MOVIMIENTO DEL AGUA EN FORMACIONES GEOLÓGICAS

4.1 Conservación de Fluido de Masa

Considerando un fluido elemental con volumen V y superficie S que está asociado a un cuerpo fluido (en este caso agua).

El fluido elemental es arbitrario, pero el volumen es pequeño con respecto al total del cuerpo del fluido.

M: es la masa total del del fluido en este volumen dado al sumarla masa en cada incremento de volumen dV

:Definida como la densidad del fluido, entonces la masa del fluido al incrementar el volumen dV es dV.

La masa dentro del volumen entero es:

ρ

(4.1)V

M dVρ= ∫

ρ

Considerando la posibilidad de que la masa esté en movimiento y salga del control del volumen a través de la superficie, tenemos que denotar una superficie S.

Si la velocidad del fluido es perpendicular al incremento del área superficial dS, està dado por , la velocidad del fluido dirigida hacia fuera, el movimiento de masa através de la superficie incremental .

El total de masa permitido para el control de volumen vía flujo a través de una frontera está dado por:

nv

ndS es v dSρ

( )4.2n nS

F v dSρ= ∫

Puede estar relacionada con con el vector unitario dirigido hacia fuera que denota n, a través del producto escalar relacionado por vectores, esto sería:

, donde es la velocidad del fluido.

( )nv n= ∨ i ∨

nv

En ausencia de aportes internos o descensos de masa, la cantidad de cambios de masa en nuestro control de volumen está balanceado por la cantidad de líquido moviéndose a través de la superficie . Entonces podemos escribir:

S

( )4.3nM Ft∂

= −∂

El signo negativo es debido a que si la parte izquierda de (4.3) es positiva, entonces, la cantidad de masa debe estar incrementando, esto quiere decir habría un flujo de masa fluyendo hacia adentro del líquido.

Por definición es el flujo de un líquido que sale, es decir, la cantidad que sale, entonces el sigo de (4.3) es negativo.

nF

Sustituyendo las Eq. (4.1) y (4.2) en (4.3) y aplicando el teorema de Gauss

(4.1)V

M dVρ= ∫

( )4.2n nS

F v dSρ= ∫

( )4.3nM Ft∂

= −∂

Fn

sup

es una funcionvectoriales un vector normal dirigidohacia afuera dela erficie Sincluido enunvolumen V

Cabe destacar que: F nnF

( F) F nV S

dv dS∇ =∫ ∫i i Teorema de Gauss

= i

F es la divergencia de F∇⋅

[ ] ( )

S i e l v ec to r F co rre sp o n d e a l v ec to r v , en to n ces e l teo rem a d e G au ss d ice :

v n vS V

d S d V

ρ

ρ ρ⋅ = ∇ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫El lado derecho de la ecuación 4.3 puede ser remplazado por:

( )vV

d Vρ∇ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦∫

( )

Y de la ecuacion de B alance:

vV V

dM d dV dVdt d t

ρ ρ⎛ ⎞

= = ∇ ⋅⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫ ∫

Debido a que el volúmen V no está cambiando con el tiempo (por construcción), V no está en función del tiempo, sin embargo el tiempo derivativo puede ser intercambiado con la integración espacial sobre V

( )v 0 (4.4)V

dVtρ ρ∂⎡ ⎤+∇ ⋅ =⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

Como el volumen es arbitrario, restringido solamente a ser un volumen fijo en el espacio para Eq. 4.4 se mantenga, el integrando debe desaparecer. El resultado es la ecuación de conservación de masa para el fluido:

( )v 0 (4.5)tρ ρ∂+∇⋅ =

∂

Existe otra alternativa de esta ecuación que puede ser encontrada en la literatura. Para derivarla, es conveniente expandir el segundo término de Eq. (4.5):

( ) ( ) ( )

( )

v + v

Que puede ser rescrita como:

v = 0

Donde el operador es llamado la derivada sustancialdefinida como:

v

donde la cantidad denotada por representa algunescalar (como dens

t

DDt

DDt t

ρ ρ ρ

ρ ρ

∂+ ∇⋅ ⋅∇ = 0

∂

+ ∇ ⋅

⋅ ∂ ⋅≡ + ⋅∇ ⋅

∂⋅

idad)

4.2 Conservación de fluido de masa en un medio poroso

En la Eq. 4.5 se estableció una expresión que describe la conservación de masa en un punto en un fluido. Para extender este concepto a medios porosos, se necesitan nuevos conceptos:

El circulo mostrado en la figura se proyectará en tres dimensiones y tendremos un cilindro incrustado en la grava, entonces tendremos una muestra análoga en sus tres dimensiones. Entonces asumimos que el volumen usado para definir porosidad es suficiente para ser representativo del material vecino al punto no. 1. Lo Definimos como REV

Tomando 5 muestras para medir la porosidad se tiene:

Los valores de porosidad no cambian significativamente.

El concepto de Volumen Elemental Representativo (REV) representael parámetro de porosidad.

La muestra debe contener una estadísticas significativa de poros y sólidos para representar una significativa del parámetro porosidad.

Cuando se utilizan pocas muestras, la determinación de la porosidad es poco precisa.

Para una ecuación de masa sustentada formalmente, el REV debe estar sujeto a un tamaño donde todos los parámetros y estados variables en la ecuación sean representados sustancialmente.

Ahora, tomando en cuenta un REV conveniente, se desarrollará la Ecuación de Conservación de Masa en medios porosos.

El círculo es el REV y el punto B es el centro del REV. En este punto, no hemos considerado el problema de determinar en que fase está dado un punto A. Podría estar en la fase fluida o en la fase sólida, sabemos dónde está con respecto al origen del sisitema coordinado global x.

Para representar esta incógnita, se introduce el concepto función de distribución de fase:

( )r, , donde (solido), (liquido)t s lαγ α =

Como existen dos fases: sólido y líquido, existirán dos funciones de distribución de fase. En alguno es cero ya que el sólido y el líquido no pueden ocupar el mismo punto en el espacio, escribimos:

(r, ) (x + ) r , 0 rDonde:r = el coordinado que representa la suma de los coordinados indefinidos con el centro de REV, que es x y el coordinado local que describe la posicion de

l l l st t dV dVγ γ η

ξ

= , =1 ∈ ∈

un punto relativo al centro asociado con REV.

Con el concepto de sistema coordinado y función de distribución de fase, se obtiene la ecuación de conservación de masa para medios porosos.

Usando los promedios sobre REV en conjunto con el concepto de control de volúmen, se tiene la siguiente ecuación para fase líquida.

( )1 v ( ) (4.8)lV dV

x t dv dVdV t

ρ ρ γ η ξ∂⎛ ⎞+∇ ⋅ + ,⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫

En general no se conoce la función de distribución de fase y entonces la propuesta de integración dV, es prácticamente imposible.

Definiendo volumen promedio:

(x, ),tα

⋅1(x, ) ( )(x+ ) (x+ , ) (4.9)dV

t t t dvdV αα

η γ η ξ⋅ ≡ ⋅ ,∫

( )depende de una cantidad de material⋅

La Eq. 4.9 es la representación matemática del REV de la Fig. 4.2

Ahora, si combinamos Eqs. 4.8 y 4.9, obtenemos para la fase de fluido (α≡l):

( )v 0V l

dVtρ ρ∂+∇⋅ =

∂∫

Para un caso simple podemos considerar que no hay cambio de fase:

( ) ( )( )v 0 (4.10)l

ll

V

dVtρ

ρ∂

+∇⋅ =∂∫

La siguiente ecuación define el volumen intrínseco:

Si remplazamos el (·) por ρ, vemos que la masa estarádada por el volumen del fluido, entonces:

Donde nα está definido como dVα/dV y es conocido como fracción de volumen de la fase a.

Combinando (4.12), (4.13) y (4.11) obtenemos:

Esta ecuación queda definida como Ecuación de Conservación de Fluidos de Masa para un fluido sencillo ocupando un medio poroso.

Con una notación simplificada:

Ecuación de Flujo de Agua Subterránea

La Ecuación de Gobierno

De la ley de Darcy:

Combinando la Eq. (4.16) y (4.15):

Esto nos permite remplazar tres variables conocidas (componentes de v) con una nueva, que es la carga hidráulica.

Por otra parte, se sabe que en suelos consolidados o convertidos a mas compactos, cuando la presión de agua está decreciendo, la relación está dada por:

Donde el parámetro Cv está relacionado al coeficiente de consolidación, usado en mecánica de suelos.

El segundo concepto que será relacionado con la presión de fluido para compresibilidad del agua es:

Donde βes la comprensibilidad del agua. Al introducir ambos conceptos, la ecuación queda:

El gradiente hidráulico, también puede estar relacionado con la presión de fluido:

La relación entre derivada de gradiente y derivada de presión, diferenciando 4.20 y usando regla de Leibintz´s:

Finalmente, combinando Eqs. 4.17, 4.19, 4.21, se obtiene:

Donde SS≡gρ(εβ+Cv) es el almacenamiento específico, definidocomo el volúmen de agua relacionado con una unidad de volúmende poro medio debido a una unidad decreciente de gradiente hidráulico.

Parámetros estimados

La Eq. 4.22 tiene dos parámetros que deben ser definidos, la conductividad hidráulica K y el almacenamiento específicoico, SS. Definidos en el dominio donde la ecuación se aplica, Ω,.

Condiciones de frontera

La información provista sobre el comportamiento de la variable dependiente (gradiente) o su derivada, en el perímetro del dominio en que gobierna la ecuación, debe estar resuelto.

Para flujo de agua subterránea, las condiciones pueden tener diferentes formas, estas son: Dirichlet, Neumann, Robbins.

H0 es la carga específica a lo largo del segmento sobre el dominio

Donde es la salida específica del gradiente normal a lo largo de la frontera

son constantes específicas o funciones a lo largo de la frontera

Para problemas donde todas las condiciones de frontera o funciones corresponden a una de los tres tipos estándar, la suma de todos los segmentos debe ser:

Condiciones iniciales

La Eq. 4.22 contiene términos de derivada de primer órden. La variable dependiente es la carga requerida para especificar la carga para cada Ω con un tiempo inicial t0.

Aporte y descenso

Para la Eq. 4.22, asumimos que no hay fuentes de aporte o descenso, esto significa que para que el fluido entre o salga deun volúmen de medio poroso es vía flujo a traves de las condiciones de frontera de volúmen.

Estas fuentes de entrada o salida de agua se representan:

Donde Q representa la fuente de descenso en términos de la divergencia del vector de flujo volumétrico. Este concepto también puede ser representado matemáticamente como:

Donde qw(z) representa el índice de flujo para un pozo por una unidad de volumen con dimensiones asociadas a (L2/T) interpretadas como el volumen de un líquido por tiempo por unidad de longitud de un pozo.