PRESENTACIÓN

En el ciclo escolar 2020-2021, la sociedad hizo frente a la contingencia sanitaria por el SARS-CoV2 (COVID 19), las medidas sanitarias que se establecieron para mitigar y reducir la pandemia generaron una oferta educativa que implicó la migración forzada hacia la modalidad no presencial en todos los niveles educativos. Desde marzo de 2020, nuevos retos y desafíos se han tenido en el ámbito educativo, la vida académica ha trascurrido entre pantallas de Zoom, Meet, Classroom, chats de WhatsApp, la programación de “aprende en casa” y diversos recursos digitales. Este periodo de confinamiento marca un antes y un después en la vida educativa. Ante este panorama, Los Servicios Educativos del Estado de Chihuahua, han coadyuvado en la práctica educativa de los docentes, diseñando un cuaderno de actividades en versión digital e impresa, elaborado por el colegiado de Jefes de Enseñanza, ATP´s y el equipo Académico Estatal Multidisciplinario de la Dirección de Educación Secundaria y Superior, con el propósito de fortalecer el proceso educativo del nivel de Secundaria, para cubrir todas las regiones del territorio estatal en donde no hay conectividad, ni acceso a la cobertura del programa de educación a distancia Aprende en casa II. Los cuadernos de actividades de regreso a clases, de los tres grados de educación secundaria correspondientes al tercer periodo del ciclo escolar 2020-2021, atienden a los aprendizajes fundamentales a desarrollarse los meses de abril a julio. Contienen las asignaturas del campo de formación académica: español, matemáticas, inglés, formación cívica y ética, historia, ciencias y geografía. El contenido, apoyará la realización del trabajo académico de 6506 docentes; la versión digital del cuaderno de actividades beneficiará a 131,691 estudiantes y la versión impresa a 71,595, pertenecientes a las tres modalidades del nivel: Secundarias Generales, Secundarias Técnicas y Telesecundarias. Este esfuerzo de planeación, diseño y edición implica que; se le otorgue el crédito a quienes participaron en su elaboración, el destino de un adecuado uso didáctico de aquellos que lo tendrán es sus manos día a día, aunado al compromiso conjunto de los SEECH para la cristalización del proyecto. Con el propósito de facilitar caminos pedagógicos para que el estudiantado construya significado y sentido de sus vidas, de manera autónoma y con mirada crítica acerca de lo que está sucediendo en el mundo actual, deseo que este documento sea de beneficio para nuestros estimados estudiantes que cursan una etapa desafiante en su proceso de formación. Cumpliendo lo anterior, estoy seguro de que el esfuerzo habrá valido la pena.

Maestro Manuel Arias Delgado Director General de SEECH

CRÉDITOS

Coordinación general José Luis García Leos Carmen Julia Aguirre Santana Juan Guillermo Paredes Morín

Edición y diseño Jesús Acevedo Paredes

Coordinador de asignatura Raúl Quiñonez Gutiérrez

Responsables de contenido Sandra Elena Gutiérrez Fierro Aldo Viezcas Alcántar Cesar Armando Sánchez Hernández Humberto Parada Hernández José Luis Campos Núñez Pedro Loya Salcido Pilar Álvaro Estupiñán Benavides Elsa Alicia Díaz Vega Héctor Guillermo Robles Torres

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MATEMÁTICAS

Para iniciar nuestro tema si tienes un celular con acceso a internet puedes escanear el código QR para ver un video de introducción, de lo contrario también te damos ejemplos que te ayudarán a la solución de los ejercicios. Analiza el siguiente ejemplo: Calcula el volumen, en metros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 4 m de ancho y 2.5 m de alto. Hay que realizar el esquema de la habitación como el que está en el margen izquierdo. Fórmula para el volumen del prisma: V = Ab h Donde V es el volumen del prisma, Ab es área de la base del prisma y h es la longitud de la altura del prisma. Calculando: 𝑽 = (5𝑚)(4𝑚)(2.5𝑚) = 50m3 Recuerda que el volumen de un cuerpo es la cantidad del espacio que ocupa. La unidad principal es el metro cúbico (m3) y su capacidad es lo que cabe dentro de un recipiente. Pero en general se llama capacidad de un recipiente a su volumen. Tanto las unidades de volumen, como los múltiplos y submúltiplos del litro, se usan para medir volúmenes y capacidades. Actividad 1. Resuelve los siguientes problemas. 1. ¿Cuál es el volumen de una caja para granos en forma de prisma como el de la

siguiente figura? 2. ¿Cuál es el área de la base de un prisma rectangular, cuyo volumen es 13.65 m3

y tiene una altura de 4.2 metros?

Calcula el volumen de prismas y cilindros rectos AE

Esquema de la habitación

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MATEMÁTICAS

Menciona dos de las posibles medidas de largo y ancho de la base que cumplan las condiciones de la pregunta anterior.

3. Imagina un cubo de 343 m3 de volumen y calcula por tanteo cuánto medirá la

longitud de la arista de ese cubo.

Volumen de cilindros rectos Si cuentas con un celular y acceso a Internet escanea el código QR para ver un ejemplo. Si no cuentas con acceso a Internet no te preocupes te mostramos un ejemplo que te ayudará para la resolución de los ejercicios. Determinar el volumen del cilindro cuyo radio mide 12 cm y su altura 20 cm r = 12 cm h = 20 cm V = Ab h V = (3.1416) (12)2(20) V = 452.3904 x 20 V = 9047.808 cm3

Actividad 2. Resuelve los siguientes problemas. 4. ¿Cuál es el volumen de un tinaco de forma cilíndrica, para agua potable, que

mide 2.5 m de radio y tiene una altura de 9.1 m?

Si se sabe que 1 m3 de agua equivale a 1000 litros, ¿cuántos litros puede almacenar ese tinaco?

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MATEMÁTICAS

5. Si un tinaco cilíndrico tiene un volumen de 169.56 m3 y una altura de 6 m, ¿Cuánto debe medir su radio?

Importante que veas la siguiente información: Prisma. Es un poliedro irregular que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales, las cuales son paralelogramos.

Área y volumen del prisma Volumen: V = Ab (h)

𝑽 = [(15)(2.064)

2] (10)

V = 15.48 (10) V = 154.8 cm3 6. ¿Cuál es el volumen de un prisma hexagonal cuyo lado de la base es de 5 𝑐𝑚,

la altura es de 12 cm y tiene una apotema de 4.33 𝑐𝑚? 7. Si se tiene un recipiente en forma de prisma triangular como el de la figura B,

lleno de un líquido que se vierte en otro recipiente cilíndrico como el de la figura A. Después de esa acción, ¿qué volumen le falta al cilindro para estar completamente lleno?

B

A

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MATEMÁTICAS

8. Un lápiz de madera tiene la forma de un prisma hexagonal y tiene un cilindro alargado de carbón en su interior. Si un lápiz mide 0.5 𝑐𝑚 en cada lado de su base hexagonal, tiene una apotema de 0.34 𝑐𝑚, posee una longitud de 10.0 𝑐𝑚 y se sabe que el cilindro de carbón tiene un radio de 0.1 𝑐𝑚, ¿cuál es el volumen de madera contenida en ese lápiz?

9. ¿Cuál es el área de la base de un cilindro para almacenar oxígeno si su volumen

es de 6280 𝑐𝑚3 y su altura es de 80 𝑐𝑚? 10. Encuentra el volumen de las siguientes figuras y coloca una línea uniendo la

figura con la respuesta correcta.

Volúmenes: A) 226.19 cm3 B) 135.0 cm3 C) 125.0 cm3 11. Calcule el volumen de los siguientes sólidos:

Determinar el volumen del cilindro si su radio mide 8 cm y su altura

25 cm

Área de la base Ab= π r2 Ab= π (8)2 Ab= 64 π cm2

Volumen: V = Ab (h) V = 64 π (25) V = 1600 x 3.1416 V = 5026.56 cm3

Concepto de volumen

Entonces, ¿qué es el volumen?

El volumen es el espacio ocupado por un objeto

tridimensional, ya sea en estado líquido, sólido o

gaseoso.

En el Sistema Internacional de

unidades, el volumen se mide en metros cúbicos.

¿Cómo se calcula el

volumen de un prisma rectangular?

Alto × ancho ×

profundidad = volumen

Si la altura, el ancho y la profundidad se miden en

cm, la respuesta será en cm³.

Si la altura, el ancho y la

profundidad se miden en m, la respuesta será

en m³.

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MATEMÁTICAS

12. Encuentre el volumen de este prisma de base hexagonal regular. 13. Calcula el volumen de los siguientes prismas:

1 2 3

4 5

6

7 8

RESPUESTAS: 1. ________________ 2. ________________ 3. ________________ 4. ________________ 5. ________________ 6. ________________ 7. ________________ 8. ________________

Los prismas se pueden clasificar en 4 criterios:

1. Prismas de acuerdo a

sus lados:

Los prismas se pueden clasificar según el número

de lados que tienen sus bases:

Prisma triangular: las bases son triángulos (3

lados). Prisma cuadrangular: las bases son cuadriláteros (4

lados). Prisma pentagonal: las

bases son pentágonos (5 lados).

Prisma hexagonal: las bases son hexágonos (6

lados).

2. Regular o irregular: Un prisma es regular si sus bases son polígonos

regulares. Los prismas son irregulares si tienen

polígonos irregulares en su base

3. Recto u oblicuo.

4. Cóncavo o convexo.

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MATEMÁTICAS

Es común encontrarnos con medidas expresadas en dos tipos de unidades: las del Sistema Internacional (SI) y las del Sistema Inglés. El SI fue acordado su uso entre los países, a partir de 1960; y al parecer hay acuerdos internacionales para que aquellos países que utilizan el Sistema Inglés, en cierto período de tiempo se adhieran al acuerdo de utilizar el Sistema Internacional. Pero, unas y otras unidades de ambos sistemas aún nos las encontramos de manera regular en nuestro país. En estas actividades de aprendizaje trabajarás con unidades de medición que se emplean en el Sistema Internacional y las que se usan en el Sistema Inglés; su conversión equivalente a otras, ya sean del mismo o entre ambos sistemas de medición. Al concluirlas, lograrás resolver problemas que implican conversiones entre unidades de medida que se usan en otros lugares y, las que conoces y utilizas de manera cotidiana. Para empezar, lo que ya sabes del tema y lo que debes recordar: Actividad 1: lee y observa lo que se te presenta a continuación ¿Qué unidades de medida se usan en cada uno de los sistemas de medición? Veamos algunas unidades que se emplean en cada sistema: De los instrumentos que utilizamos para medir longitudes o distancias de un punto a otro, dos son los más disponibles a tu alcance: la cinta de medir (que también se le llama flexómetro), el metro (ya sea de madera o plástico) y tu regla de 30 centímetros que trae tu juego de geometría escolar. Estos instrumentos traen las escalas para medir tanto en unidades del Sistema Internacional como en unidades del Sistema Inglés (algunos no traen las dos escalas). En la imagen de una cinta de medir que se muestra abajo, se ven las dos escalas (en tu regla del juego de geometría también pueden verse)

Los números de la escala de arriba de la cinta indican pulgadas y los de abajo señalan centímetros. Se aprecia y se establece que una pulgada equivale a 2.54 centímetros

Resuelve problemas que implican conversiones en múltiplos y submúltiplos del metro, litro, kilogramo y de unidades del

sistema inglés (yarda, pulgada, galón, onza y libra). AE

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MATEMÁTICAS

Equivalencia de unidades

Medición de longitud

Sistema Internacional Sistema Inglés

Unidad Símbolo Equivalencia Unidad Símbolo Equivalencia

Milímetro mm Pulgada in (ʺ) 2.54 cm

Centímetro cm Son 10 mm Pie ft (ʹ) Son 12 in 30.48 cm

Metro m Son 100 cm Yarda yd Son 3 ft 91.44 cm

Kilómetro km Son 1000 m Milla mi Son 1609 m

El instrumento que usamos para pesar es la balanza en todas sus variantes. En la imagen de abajo se muestran algunos tipos de balanzas:

Equivalencia de unidades

Medición de masa (peso)

Sistema Internacional Sistema Inglés

Unidad Símbolo Equivalencia Unidad Símbolo Equivalencia

gramo g Onza oz Son 28.35 g

kilogramo kg Son 1000 g Libra lb Son 16 oz Son 454 g

tonelada t Son 1000 kg

Para medir capacidades se utiliza EL LITRO, que es la cantidad de líquido que cabe en un recipiente en forma de cubo que mide 10 cm de largo, 10 cm de ancho y 10 cm de alto (se le conoce como decímetro cúbico).

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MATEMÁTICAS

Medición de capacidad

Sistema Internacional Sistema Inglés

Unidad Símbolo Equivalencia Unidad Símbolo Equivalencia

mililitro ml

litro l Son 1000 ml Galón americano gal 3.785 l

Para que te sirva de recuerdo u orientación, te compartimos la respuesta de un alumno a la pregunta de que como había realizado conversiones de centímetros y pulgadas: “Para convertir pulgadas a centímetros pensé que si una pulgada equivale a 2.54 centímetros, entonces multiplico la cantidad de pulgadas por 2.54. Por ejemplo: si debo de convertir 7 pulgadas a centímetros, hice lo siguiente:

7 x 2.54 = 17.78 y la respuesta es: 7 in son 17.78 cm Para convertir centímetros a pulgadas pensé que si 2.54 centímetros son una pulgada, entonces para hacer esta conversión debo de dividir la cantidad de centímetros a convertir entre lo que equivale una pulgada en centímetros. Por ejemplo: si necesito convertir 20 centímetros a pulgadas lo hice así: 20 entre 2.54

20 entre 2.54 = 7.87 (lo hice con calculadora) El resultado es: 20 cm son 7.87 in Esos fueron mis procedimientos “ La manera en que el alumno realizó las anteriores conversiones es correcta, se concluye que, para convertir unidades de un sistema de medición a otro, o de múltiplos y submúltiplos de un mismo sistema, se debe emplear multiplicación o división, según se requiera; tú decidirás cuál es la operación y equivalencia a utilizar para responder correctamente las actividades siguientes: Recuerda que, para convertir unidades del Sistema Inglés al Sistema Internacional, basta con multiplicar la unidad de medida por su equivalente. Utilizando las equivalencias que necesites de los tres cuadros anteriores, realiza las conversiones necesarias para que respondas correctamente las actividades 2 y 3 que se te piden a continuación: Actividad 2. Realiza las conversiones de unidades siguientes, Haciendo las

operaciones en tu cuaderno.

Unidades de origen Convertir a Resultado de la conversión

20 gal L

1.8 kg g

75850 g kg

10 lb kg

90 kg lb

30 yd m

1.2 km m

1500 m km

1.4 m cm

145 cm m

34 km mi

3 mi km

4 in cm

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MATEMÁTICAS

Actividad 3. Resuelve los siguientes problemas. 1. La distancia de la ciudad de Hidalgo del parral, Chih., al pueblo de “El Tizonazo”,

Dgo., es de 156 km. Carlos y su primo George (que vino de los Estados Unidos) la recorrieron caminando en una peregrinación religiosa.

a. George desea saber cuántas millas recorrieron, por lo que requiere que le ayudes a calcular cuántas millas es la distancia de Hidalgo del Parral a “El Tizonazo”.

b. Al iniciar y al finalizar el recorrido ambos primos se pesaron; sus pesos fueron: Al inicio: Carlos 64.0 kg George 128 lb Al finalizar: Carlos 60.5 kg George 120 lb Convierte el peso de inicio y fin de George, de libras a kilogramos. ¿Quién perdió más kilogramos de peso?

c. En sus pláticas, George le comenta a su primo Carlos que le gusta el futbol americano, y que en su ciudad lo practica en un terreno que tiene pasto y que mide 120 yd de largo y 53 de ancho. ¿Cuáles serían las medidas del terreno en metros?

2. Josefina tiene que recorrer 12 km dando vueltas a una pista de atletismo de

800 m. Si lleva 9 vueltas, ¿cuántos metros le quedan? 3. Un avión vuela a 7000 ft de altura. ¿A cuántos metros equivale esta altura? 4. Una persona tiene una altura de 5 ft y 9 in. Expresa la altura en centímetros 5. El largo de una puerta es de 75 in. ¿Cuál es su largo en metros? 6. Un automóvil A llenó su tanque de gasolina con 12 gal; otro automóvil B lo hizo

con 53 L. Si el precio por litro es de $ 20, ¿cuánto pagó el cliente del automóvil A en total? ¿En cuál automóvil se pagó más por la gasolina?

7. Gabriel está pintando su casa y necesita comprar 24 litros de pintura. Al llegar

a la tienda de pinturas, el encargado le informó que únicamente tenían botes de un galón. Gabriel estuvo de acuerdo en llevar los botes de un galón, pero no sabe cuántos botes tiene que comprar.

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MATEMÁTICAS

Si sabes que un galón es equivalente a 3.785 litros, ayúdale a Gabriel para saber cuántos galones tiene que comprar. Recuerda que él quiere 24 litros. Para terminar, realiza las medidas que se te indican en el cuadro siguiente y conviértelas a las solicitadas:

Producto Medidas en unidades

Del (SI) Medidas en unidades

Del sistema inglés

1 Alto de la puerta principal de tu casa _______________ cm _______________ in

2 Algún producto empacado _______________ Kg _______________ lb

3 Un garrafón _______________ L _______________ gal

4 Un producto empacado _______________ g _______________ oz

5 Indaga la distancia que hay de tu

comunidad hasta una ciudad próxima

De _____________________ Hasta __________________ Hay ______________ km

_______________ mi

Para empezar, lo que ya sabes del tema: En estudios anteriores se llevaron a cabo experimentos aleatorios y se discutió la importancia de la recolección, así como del registro de los datos. En este grado se usa dicha información para obtener e interpretar datos representados de diversas maneras. Las representaciones gráficas son muy importantes porque a través de ellas se puede visualizar con mayor facilidad el comportamiento de una variable estadística así mismo permiten la comprensión, comparación y análisis de la variable. Gráficas de línea: Representan datos numéricos (cantidades brutas, porcentajes, razones, etc.) que varían a través del tiempo (años, meses, días, etc.). Se caracteriza porque no es necesario empezar de cero, a menos que se indique. Se compone de datos que se representan por puntos unidos por segmentos lineales. Los pasos para construir un gráfico de líneas son los siguientes:

a. En el eje horizontal (abscisas) se colocan los períodos de tiempo (meses, años, etc.)

Recolecta, registra y lee datos en histogramas, polígonos de frecuencia y gráficas de línea AE

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MATEMÁTICAS

b. En el eje vertical (ordenadas) se colocan los valores correspondientes a la otra variable, que puede ser temperatura, dinero, personas, etc.

c. Se señalan los puntos. A cada período de tiempo le asignamos un punto en el valor que le corresponda de la otra variable.

d. Se unen mediante segmentos lineales los puntos consecutivos. Actividad 1. La tabla siguiente muestra la temperatura media diaria en una

ciudad a lo largo de 7 días de una semana. Responde las preguntas y completa la gráfica de línea correspondiente.

Día Temperatura

Lunes -4°

Martes -4°

Miércoles -3°

Jueves -3°

Viernes -1°

Sábado 2°

Domingo 1° a. ¿Qué día hizo menos frío? b. ¿La mayoría de los días, la temperatura fue bajo o sobre cero? c. ¿Cuál fue la temperatura en los dos primeros días? Completa la gráfica:

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

TEM

PER

ATU

RA

L M M J V S D

D Í A S

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MATEMÁTICAS

Actividad 2. Con la siguiente información construye un gráfico de línea en tu cuaderno que muestre el número de espectadores de una representación teatral en dos semanas.

Día 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Espectadores 143 108 198 116 236 351 263 127 94 134 101 215 309 254

¿Cuáles de los días podrían ser días de fines de semana? Justifica tu respuesta

HISTOGRAMAS En estadística, un histograma es una representación gráfica en forma de barras, en las que sus alturas son proporcionales a la frecuencia absoluta de los intervalos representados. Son parecidos a una gráfica de barras, pero a diferencia de ésta, no se deja espacio entre las barras. Cada barra corresponde a un intervalo de datos agrupados y no a un solo dato como en la gráfica de barras. La base de las barras indica la amplitud del intervalo, y la altura representa la frecuencia. Los lados de cada barra del histograma comienzan y terminan en una frontera de intervalo, o sea que cada barra está entre dos fronteras. Utilidad: Sirve para interpretar las variaciones de los datos., para investigar cómo se puede solucionar un problema o mejorar un proceso. Comenzamos explicando cómo se construye un histograma: 1. Calcular el rango de los datos, éste se obtiene restando al dato mayor el dato

menor 2. Obtener el número de clases (barras). Un criterio muy usado es sacar la raíz

cuadrada al número de datos. Por ejemplo, si son 30 datos, la raíz cuadrada de 30 es 5.47 aproximadamente, por lo que se seleccionan 5 clases (se redondea al entero más cercano).

3. Establecer el ancho del intervalo: Dividimos el rango entre el número de

clases. 4. Definimos los límites de cada clase: el dato más pequeño será el límite inferior

del primer intervalo; sumamos al límite inferior el ancho del intervalo para obtener el límite superior del primer intervalo; para obtener el límite inferior del segundo intervalo tomamos el valor consecutivo al límite superior del primer intervalo y para obtener el límite superior del segundo intervalo le sumamos al límite inferior el ancho del intervalo. Así sucesivamente hasta obtener los límites de todas las clases.

5. Graficamos el histograma, las bases de las barras son los intervalos de clases y

la altura son las frecuencias de las clases. Si se unen los puntos medios de la base superior de los rectángulos se obtiene el polígono de frecuencias.

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MATEMÁTICAS

Ejemplo: Se tomó el tiempo de atención a 50 clientes de una empresa telefónica.

Tiempo en minutos:

11.5 10.2 10.0 13 11.1

13.2 13.4 10.4 11.3 14.4

11.2 12.3 10.5 14.2 15.5

14.3 9.3 12.4 9.0 10.0

14.2 15.2 10.3 14.3 10.0

14.5 8.2 14.0 13.0 12.4

12.2 11.5 15.3 11.5 13.5

12.4 8.5 11.3 12.2 9.1

11.2 12.5 14.4 13.0 15.3

12.5 9.1 14.3 12.1 9.2 1. Obtenemos el rango = Dato mayor – Dato menor 15.5 – 8.2 = 7.3 2. Calculamos el número de intervalos de clase = Raíz cuadrada del número de

datos: √50 ≈ 7.07 , lo redondeamos al entero más cercano = 7 3. Encontramos el ancho del intervalo = Rango entre número de intervalos:

7.3 ÷ 7 ≈ 1.04 (Se redondea para que tenga el mismo número de decimales que los datos).

4. Determinamos los límites de las clases:

a. Primera clase. - El límite inferior será el menor de los datos, que es 8.2; para obtener el límite superior, al dato menor le sumamos el ancho del intervalo: 8.2+1.04=9.24.

b. Segunda clase. - El límite inferior será 9.25 porque es el valor que sigue a 9.24; para obtener el límite superior, le sumamos el ancho del intervalo al límite inferior: 9.25+1.04=10.29.

c. Para las clases siguientes se repite el procedimiento: 5. Con base en la tabla de datos obtenemos la frecuencia de cada intervalo, sólo

tenemos que contar cuántos datos quedan dentro de cada intervalo. Es conveniente ordenar primero los datos de menor a mayor para evitar errores:

8.2 8.5 9 9.1 9.1 9.2 9.3 10 10 10 10.2 10.3 10.4 10.5 11.1 11.2 11.2 11.3 11.3 11.5 11.5 11.5 12.1 12.2 12.2 12.3 12.4 12.4 12.4 12.5 12.5 13 13 13 13.2 13.4 13.5 14 14.2 14.2 14.3 14.3 14.3 14.4

14.4 14.5 15.2 15.3 15.3 15.5

Intervalo de clase Frecuencia

Desde Hasta

8.20 9.24 6

9.25 10.29 5

10.30 11.34 8

11.35 12.39 7

12.40 13.44 10

13.45 14.49 9

14.50 15.54 5

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MATEMÁTICAS

6. Graficamos:

POLÍGONO DE FRECUENCIA Se forma uniendo los puntos medios de las barras de un histograma en su parte superior mediante segmentos. Se acostumbra agregar una columna vacía antes y después del histograma para que el polígono inicie y termine en el eje de las equis. Utilidad: Se usa para determinar la forma que sigue la distribución de frecuencias de las observaciones con el fin de ajustar alguna función probabilística determinada.

Actividad 3. Las calificaciones finales del grupo de 1° A, en matemáticas, en el

primer trimestre, fueron las siguientes:

8.2 8.4 8.7 7.2 5.4 8.1 7.6 9.9 7.7 8.9 5.3 7.7 8.4 9.7 6.7 6 7.1 7.8 9.2 5.3 7.1 5.1 6.7 7.8 7.3 7.3 7.5 8.2 7.4 8.3

Basándote en los datos anteriores, responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es el valor del rango? b. ¿Cuántos intervalos de clase debe tener el histograma? c. ¿Cuánto debe valer el ancho de cada intervalo (redondeado a décimos)?

Ahora, traza el histograma y el polígono de frecuencias en tu cuaderno.

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MATEMÁTICAS

Actividad 4. A partir de la información que se puede obtener del siguiente histograma, contesta las preguntas que se plantean:

a. ¿De cuántas personas se tomó el peso para elaborar el histograma? b. ¿Cuántas personas pesan menos de 38.6 kg? c. ¿Cuántas personas pesan más de 53.7 kg? d. ¿Cuántas personas tienen un peso mayor que 38.5, pero menor que 69 kg? e. Si suponemos que el peso promedio de cada una de las personas que

representa una columna, es el promedio de su límite inferior y superior (Por ejemplo, en la segunda columna, el peso promedio de cada una de las 12 personas sería: (23.4+38.5)/2 = 30.95); entonces, ¿cuánto será el peso promedio del total de personas que se están representando en el histograma?

Actividad 1. ¡Acordándome del pasado! Media aritmética: Para calcular la Media aritmética o promedio es necesario sumar todos los datos y dividirlos entre el número de datos que son. Mediana: Para calcular la Mediana es necesario acomodar los datos en orden ascendente y seleccionar el dato que se encuentre al centro del conjunto de datos. Si el número de datos es par deberás tomar los dos datos del centro y obtener su promedio. Moda: Para calcular la Moda solo deberás observar cuál es el dato que más se repite.

Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana), el rango y la desviación media de un conjunto de datos y decide cuál de ellas conviene más en el

análisis de los datos en cuestión

AE

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MATEMÁTICAS

Para empezar, lo que ya sabes del tema: En estudios anteriores has aprendido a calcular medidas de tendencia central (Media, Mediana y Moda), así como el rango de un conjunto de datos y las propiedades de éstos, para ello vamos a recordarlos mediante el siguiente ejercicio: Del siguiente conjunto de datos calcula las medidas de tendencia central:

10, 10, 30, 30, 30, 50, 50, 70, 80

Media = Mediana = Moda = Agregaremos dos datos a los extremos del conjunto y calcula una vez más las medidas de tendencia central:

0, 10, 10, 30, 30, 30, 50, 50, 70, 80, 1000

Media = Mediana = Moda = Compara las medidas de tendencia central para ambos casos, ¿en cuál de ellas afectó los valores extremos que se agregaron? ¿Qué valores se agregaron al conjunto de datos? ¿Cómo son los valores que se agregaron con respecto a los originales? ¿En cuál de ellas no afectó los valores que se agregaron? ¿Cómo podrías describir esta propiedad? Actividad 2. ¿Cerca o lejos? La tabla muestra la cantidad de agua consumida en una escuela durante un ciclo escolar.

¿Cuál es la moda del consumo del agua? ¿Cuál es el promedio de m3 consumidos? ¿Cuál es la mediana de m3 consumidos?

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

m3 74 23 20 12 16 8 8 8 12 16 17 18

Considera lo siguiente:

El rango de un conjunto de datos numéricos es la distancia que hay entre el

valor mínimo y el valor máximo y se representa

como:

R= valor max – valor min

La dispersión de un conjunto es la variación

que existe entre los datos.

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MATEMÁTICAS

¿Cuál es la diferencia entre la cantidad mayor y la cantidad menor de m3? ¿Cómo se le llama a esta diferencia? ¿Qué significado tiene esta medida de dispersión? Actividad 3. ¿Y la dispersión? Dos jugadores de básquetbol anotaron los siguientes puntos en siete partidos como se muestra en la tabla:

¿Cuántos puntos anotaron cada uno en el total de los 7 juegos? ¿Cuál es la media aritmética de los puntos anotados por cada jugador? Calculemos el valor absoluto de la diferencia de los puntos anotados por cada jugador con respecto a la media, en cada uno de los juegos.

¿Para cuál de los jugadores consideras que son mayores las distancias entre los datos? ¿Cuántos juegos se jugaron? ¿Cuál es el rango de los datos (puntos anotados) de cada jugador? ¿Cuál es el valor de la desviación media de cada jugador? ¿Qué información proporcionan estos valores sobre la dispersión de los puntos anotados? Actividad 4. ¿Quién fue mejor? De acuerdo con los procedimientos y resultados que obtuviste en la sesión anterior, respondan lo siguiente: ¿Cuál fue la moda de los datos (puntos anotados) de cada jugador?

Juego/pts 1 2 3 4 5 6 7

Jugador 1 32 36 40 42 31 28 30

Jugador 2 18 33 52 72 21 24 30

Juego/pts 1 2 3 4 5 6 7

Jugador 1

Jugador 2

Considera lo siguiente:

La Desviación media simbolizada como DM de un

conjunto de datos, es el promedio de las distancias

de los datos a la media aritmética. Es una manera de ver qué tan lejos de la

media aritmética están los datos de una muestra, por lo

que es una medida de dispersión. Si los datos son:

X1, X2,…Xn con media aritmética X, la desviación

media se obtiene mediante la expresión:

𝑫𝑴 =|𝑿𝟏 − 𝑿| + |𝑿𝟐 − 𝑿| + |𝑿𝒏 − 𝑿|

𝒏

El valor absoluto de

cualquier número siempre será positivo, ejemplo:

|3| = 3 ; |-4| = 4

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¿Cuál fue la mediana de los datos (puntos anotados) de cada jugador? ¿Cuál fue la media aritmética de los datos (puntos anotados) de cada jugador? En base a las medidas de tendencia central, ¿cuál considerarías para elegir al mejor jugador? Argumenta tu respuesta. En base al total de puntos anotados, ¿quién fue el mejor jugador? ¿Qué jugador anotó más puntos en un solo juego? Tomando en cuenta la media aritmética, ¿quién fue el mejor tirador? ¿Por qué? Tomando como base el rango de los puntos anotados, ¿quién tiró mejor? Argumenta tu respuesta. De acuerdo con las dispersiones de los datos (Desviación media), ¿quién fue el mejor? Argumenta tu respuesta. Tomando en cuenta los puntos anotados, la media aritmética, el rango y la desviación media, ¿quién sería el jugador más eficiente? Argumenta tu respuesta. Actividad 5. Aplica lo aprendido. Ahora que ya sabes calcular, interpretar y utilizar de la mejor manera las medidas de tendencia central y de desviación, trabajarás en un pequeño proyecto, donde aplicarás lo aprendido en tu vida cotidiana. Para ello, necesitarás los recibos de agua de un año de tu casa, con el fin utilizar las medidas de tendencia central para calcular y encontrar la cifra que es más representativa en el consumo de m3 de agua. Apóyate en la siguiente tabla, para registrar los consumos de cada mes, y posteriormente contesta las preguntas.

¿Cuál es la moda del consumo en m3 de agua? ¿Cuál es el promedio de m3 consumidos? ¿Cuál es la mediana de m3 consumidos? ¿Cuál es el rango en los consumos de agua?

Mes Ene Feb Mzo Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

m3

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¿Cuál es la desviación media del conjunto de datos? ¿Cuál de las medidas de tendencia central es más representativa en esta situación? Argumenta tu respuesta. Elabora un plan para el ahorro de agua en tu casa explicando cómo lo llevarás a cabo y por qué decidiste hacerlo así. Actividad 6. Lo que hemos aprendido… Lee el siguiente texto:

Medidas de tendencia central y de dispersión En la estadística existen varias formas de calcular el dato que es representativo a un conjunto de datos, aplicando las medidas de tendencia central, tales como: la media, que a su vez se derivan la media aritmética (también conocida como promedio), la media geométrica, y la media ponderada. Así mismo otras como la mediana, la moda, el percentil y los cuartiles. Por lo que hemos estudiado sabemos que para calcular la media aritmética es necesario sumar todos los datos del conjunto y dividirlo entre el número de datos que son, cabe señalar que si existe un dato dentro del conjunto que sea bastante mayor o menor a ellos, éste afectará a dicha medida (promedio). Por otro lado, la mediana se calcula organizando los datos en orden ascendente y seleccionando el que se encuentre al centro de dicho conjunto, si el número de datos en el conjunto es impar siempre existirán el mismo número de datos para cada lado del dato central, mientras que cuando es par el número de datos del conjunto, deberemos elegir los dos datos centrales y calcular un promedio de ellos y así tomarlo como dato central. Por otra parte, la moda es simplemente el dato que más ocurre dentro del conjunto de datos, por lo que puede ser unimodal si solo existe un dato que se repite o bimodal si existen dos datos que se repiten el mismo número de veces o también multimodal si se repiten tres o más datos el mismo número de veces, puede ser que así mismo no se repita ningún dato y este conjunto no tenga moda. Estas medidas de tendencia central son útiles para representar a un conjunto de datos, sin embargo, es importante conocerlas y elegir la que sea más representativa, tomando en cuenta sus propiedades y los mismos datos del conjunto. Algo que nos podría ayudar a seleccionarla, sería el considerar las medidas de dispersión, ya que éstas nos permiten saber que tan separados se encuentran los datos con respecto a la media aritmética. Para ello tenemos una, llamada rango, la cual simplemente nos indica qué tan separado está el conjunto de datos con respecto al mayor del menor. También, tenemos la desviación media, la cual se calcula obteniendo la sumatoria de las diferencias absolutas entre cada uno de los datos con respecto a la media aritmética de ellos y dividiendo todos ellos entre el número de datos que son; esta medida nos permite visualizar que tan separados se encuentran cada uno de ellos con respecto a la media (promedio), si el resultado es más próximo a cero indica que los datos están poco dispersos, mientras que si se aleja más del cero indicará una mayor dispersión o separación de los datos; esto sería de mucha utilidad a la hora de analizar y elegir la medida de tendencia central más representativa. Elabora y completa en media cartulina un diagrama como el siguiente, y explica con tus propias palabras en qué consisten, basándote en la lectura que acabas de realizar y los conocimientos que adquiriste:

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Tomando como referencia lo aprendido durante las actividades realizadas y la lectura ¿Cuál de las medidas de tendencia central es más conveniente utilizar? Argumenta tu respuesta. Para comenzar, lo que ya sabes del tema y lo que debes recordar: Un experimento aleatorio es aquél en el que si lo repetimos con las mismas condiciones iniciales no garantiza los mismos resultados. Así, por ejemplo, al lanzar una moneda no sabemos si saldrá cara o cruz, al lanzar un dado no sabemos qué número aparecerá, la extracción de las bolas de sorteos, loterías, etc., son experiencias que consideramos aleatorias puesto que en ellas no podemos predecir los resultados.

En un experimento aleatorio, se conoce como probabilidad teórica o clásica de un evento al número de resultados favorables del evento dividido entre el total de posibles resultados del experimento. Es decir, es igual al cociente de resultados favorables entre el número total de resultados posibles. Por ejemplo, al lanzar una moneda la probabilidad teórica de que caiga águila sería una entre dos posibles resultados (1 / 2). Veamos de forma rápida algunos conceptos relacionados con los experimentos aleatorios:

Determina la probabilidad teórica de un evento en un experimento aleatorio AE

Aritmética Ponderada

Percentil Cuartil

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

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Espacio muestral: Al conjunto formado por todos los posibles resultados elementales de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral de dicho experimento. Si consideramos como ejemplo el experimento consistente en el lanzamiento de una moneda: Los sucesos elementales son Águila (A) y Sello (S). El espacio muestral asociado a dicho experimento es: E = {A, S}. Evento o suceso: Es un subconjunto cualquiera del espacio muestral. Por ejemplo, en el experimento de lanzar una moneda, el espacio muestral E= {A, S}, el evento A es que caiga águila y el evento B es que caiga sello. A = [A] B = [S] MANOS A LA OBRA: Actividad 1. En el experimento de lanzar dos monedas, ¿cuál es el espacio

muestral?, ¿qué probabilidad hay de obtener dos águilas?, ¿cuál es la probabilidad de obtener sello y águila?

E = ___________, __________, _________, _________. A = Obtener dos águilas P(A) = ___________

B = Obtener sello y águila P(B) = ___________

Ahora realiza el experimento cuatro veces y anota los resultados:

Lanzamiento 1 2 3 4

Resultado

¿Coinciden los resultados con la probabilidad teórica? Completa el siguiente párrafo, empleando las palabras que aparecen a continuación:

a. probabilidad frecuencial b. sin efectuar el experimento c. al efectuarse un gran número de veces d. probabilidad teórica

Existen dos tipos de probabilidad: La __________________ se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir. La ____________________ se obtiene cuando se experimenta un gran número de veces el mismo fenómeno en condiciones semejantes. La diferencia entre probabilidad teórica y probabilidad frecuencial radica en que la primera se obtiene ___________________________, y la segunda ____________________________.

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Recordemos que: la probabilidad teórica se obtiene al dividir el número de resultados favorables de un evento entre el espacio muestral (total de posibles resultados de un experimento).

𝑃(𝑨) =𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Ejemplo: Claudia compró 5 boletos para la rifa de un celular en la que se vendieron 100 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que se gane el celular? Para calcular una probabilidad, se necesita determinar el espacio muestral. El espacio muestral está constituido por todos los resultados posibles de un experimento de azar. En este caso el espacio muestral es 100. También se necesita determinar el número de casos favorables, que en este caso es 5, o sea el número de boletos que compró Claudia. Por lo tanto:

𝑃(𝑨) =5

100= 0.05

También podemos decir que su probabilidad es del 5% Actividad 2. Resuelve los siguientes problemas: 1. En una caja hay 6 canicas rojas y 4 azules. Sin mirar el interior de la caja:

a. ¿Qué canica tiene mayor probabilidad de extraerse de la caja?

b. Si devuelve la canica a la caja y se extrae otra, ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica de color azul?

2. Si tenemos una canasta que contiene naranjas y mandarinas, de las cuales hay

20 naranjas y 10 mandarinas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta? ¿cuál sería la probabilidad de sacar cada fruta?

3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado de 6 caras? 4. Una tómbola como la que se muestra al margen tiene 10 bolas numeradas del

1 al 10. Al sacar una de las bolas, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola con número múltiplo de 5?

5. Al lanzar un dado de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número

par? Actividad 3. Para calcular la probabilidad en un juego de azar, a veces es

necesario analizar los eventos de manera separada. Por ejemplo, en los volados es posible analizar cada lanzamiento o ronda, y de esta manera hacer predicciones.

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Analiza el juego que se plantea a continuación y haz lo que se indica.

María y Rodrigo juegan a lanzar una moneda tres veces consecutivas: si las tres veces sale la misma cara de la moneda, el jugador gana un punto; de lo contrario, pasa el turno al otro jugador.

Completa el diagrama de árbol que representa los resultados posibles en el juego de María y Rodrigo. (A= águila, S= sol) ¿Cuántos resultados posibles hay al lanzar tres veces una moneda? ¿Con qué combinación de resultados se gana el juego? ¿Cuál es la probabilidad de que se presente la combinación ganadora? Actividad 4. Resuelve los siguientes problemas:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado de 6 caras obtengamos el número 4?

2. Se ha lanzado una moneda 4 veces y en todas ha caído águila, ¿Cuál es la probabilidad de que en el quinto lanzamiento caiga sello?

3. Se tienen en una urna 3 pelotas azules, 2 rojas, 4 negras y 1 blanca,

a. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar sin ver una pelota de la urna, sea negra?

b. ¿Qué probabilidad hay de que sea azul? c. ¿Y blanca?

d. Si se extrae una pelota negra y luego se regresa a la urna, ¿cuál es la probabilidad de que se extraiga una pelota roja?

Sabías que… En probabilidad se

utilizan los diagramas de árbol en problemas de

conteo. Para la construcción de un

diagrama en árbol se partirá poniendo una

rama para cada una de las posibilidades. Cada una de estas ramas se conoce como rama de

primera generación.

Ejemplo: si lanzas una moneda al aire dos veces seguidas ¿qué resultados puedes obtener? Utiliza un diagrama de árbol.

Si aún tienes dudas y cuentas con un celular e

Internet puedes escanear el código QR y consultar

cómo utilizar un diagrama de árbol

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4. Se tiene una ruleta con los números del 1 al 8, ¿cuál es la probabilidad de que al girarla se detenga en un número par?

5. Se lanza al aire un dado dodecaedro como el de la imagen, con las doce caras

pentagonales numeradas del 1 al 12.

a. Escribe el espacio muestral

b. Calcula la probabilidad de los eventos:

• Cae un número mayor que 4 • Cae un número impar • Cae el número 15 • Cae un número impar menor que 8

Un poco de historia… Cierto día del año 1654, Blas Pascal (1623 - 1662) matemático francés, hacía un viaje en compañía de un jugador más o menos profesional conocido como el caballero Meré, quien era una persona apasionada por el juego de los dados y las cartas, siendo además un hombre ilustrado. Este caballero creyó que había encontrado una "falsedad" en los números al analizar el juego de los dados, observando que el comportamiento de los dados era diferente cuando se utilizaba un dado que cuando se empleaban dos dados. La "falsedad" partía simplemente de una comparación errónea entre las probabilidades de sacar un seis con un solo dado o de sacar un seis con dos dados. Para este caballero debería existir una relación proporcional entre el número de jugadas necesarias para conseguir el efecto deseado en uno y otro caso. El problema radicó en que el citado caballero no tuvo en cuenta que en el segundo caso estaba analizando una probabilidad compuesta en donde las probabilidades se deben calcular multiplicativamente. Actividad 5. Resuelve los siguientes problemas:

1. En la rifa de un automóvil se venden 1000 boletos.

a. Calcular la probabilidad de ganarse el automóvil comprando un boleto.

b. ¿Cuál sería la probabilidad si se compran 20 boletos?

c. ¿Cuál sería la probabilidad de ganar si no compra boleto?, justifica

matemáticamente tu respuesta. 2. En un ánfora existen 10 fichas amarillas, 6 rojas y 4 azules. Sin ver:

a. ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha amarilla en un primer intento?

b. ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha que no sea roja en un primer

intento?

c. ¿Qué probabilidad existe de sacar una ficha que no sea azul ni amarilla en

un primer intento?

Sabias que… El dado dodecaedro es

aquel que tiene 12 caras, que son pentágonos

regulares

La probabilidad de que ocurra un evento también se puede expresar como

porcentaje; por ejemplo, la probabilidad de que caiga

sello al lanzar una moneda es ½, 0.5 o 50%.

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MATEMÁTICAS

3. En una urna existen 10 bolas numeradas con los dígitos. (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),

a. ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola con un número múltiplo de 3?

b. ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola con un número divisor de 6?

c. ¿Qué probabilidad existe de sacar una bola con un número par? Hagamos matemáticas… Analiza el siguiente experimento y responde las preguntas que se te hacen a continuación. Dentro de una botella hay 30 canicas de colores rojo, amarillo y verde. La botella está pintada de negro y no se ve el color de las canicas, pero está tapada con un plástico traslúcido de forma que, si se voltea de cabeza, se puede observar el color de la única canica que queda contra la tapa. Se realiza mil veces el experimento de voltear de cabeza la botella y anotar el color de la canica que se podía ver en la tapa. De este experimento se obtuvieron los siguientes resultados: Cuál es la probabilidad de que al voltear nuevamente la botella en la tapa salga una canica de color:

a. Rojo _____________

b. Amarillo _____________

c. Verde _____________

¿Puedes estimar el número de canicas de cada color que hay en la botella? Escribe tu procedimiento. _________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Color de canica Número de veces que se vio en la tapa

Rojo 290

Amarillo 194

Verde 516

La probabilidad frecuencial, también

conocida como probabilidad frecuentista,

se refiere a qué tan probable resulta un

suceso si un experimento se repite muchas veces.

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Ahora realiza el siguiente experimento y responde. Lanza una moneda al aire 20 veces y registra los resultados que obtienes en cada lanzamiento. Utiliza la siguiente tabla:

Lanzamiento Águila Sello Lanzamiento Águila Sello

1 11

2 12

3 13

4 14

5 15

6 16

7 17

8 18

9 19

10 20

¿Cuál es la probabilidad teórica de obtener sello y cuál de obtener águila al lanzar la moneda? ¿Cuál es la probabilidad de obtener sello y cuál de obtener águila según tu experimento?