Presentació de la unitat COM · 2016-09-26 · En el manual d’àlgebra Aritmètica universal,...
2
3 ÀLGEBRA • ues ues es En el manual d’àlgebra Aritmètica universal, Newton, l’autor, diu que per resoldre un problema cal primer traduir-lo al llenguatge algèbric. Però en el que es poden identificar fàcilment amb l’àlgebra. Expressions algèbriques El doble d’una quantitat x La meitat d’una quantitat −b El triple d’un nombre p2 El quadrat d’un nombre b a x+y) b 2 El doble de la suma de dos nombres 2 x Com llegiries les expressions algèbriques se- güents? a) a2 b x y) c) 4 x x e) p3 f) b Calcula el valor numèric de m m4 · 3 per a: a) a4 c) a1 1 COMENCEM! 3 • ω ues ues es En el manual d’àlgebra Aritmètica universal, Isaac Newton, l’autor, diu que per resoldre un problema cal primer traduir-lo al llenguatge algèbric. Però en el nostre dia a dia constantment fem servir expressions que es poden identificar fàcilment amb l’àlgebra. 1. Relaciona a la teva llibreta les expressions escri- tes amb les expressions algèbriques: Expressions escrites Expressions algèbriques El doble d’una quantitat x La meitat d’una quantitat a − b El triple d’un nombre p 2 El quadrat d’un nombre b a de dos nombres x + y ) de dos nombres b 2 El doble de la suma de dos nombres 2 x 2. Com llegiries les expressions algèbriques se- güents? a) a + 2 b b) 3 ( x − y ) c) 4 x d) x 3 e) 3 f) b 4 2 − 3. Calcula el valor numèric de m en l’expressió m = 4 · a 3 per a: a) a = 4 b) a = 0 c) a 1 d) a − 1 COMENCEM! Presentació de la unitat COM S’UTILITZA AQUEST LLIBRE 118 UNITAT 5 1 SEGMENTS PROPORCIONALS Fixa’t en aquestes dues parelles de segments. Les lletres majúscules indiquen els extrems de cada segment: Es pot escriure el quocient indicat entre els valors de les dues longituds de cada parella de segments i obtenir una raó: longitud del segment AB → 3 cm longitud del segment CD → 4 cm = = AB CD 3 cm 4 cm 3 4 o = = CD AB 4 cm 3 cm 4 3 longitud del segment MN → 6 cm longitud del segment QP → 8 cm = = MN QP 6 cm 8 cm 6 8 o = = QP MN 8 cm 6 cm 8 6 En una raó, si les unitats de les magnituds dels seus termes són les mateixes, no cal escriure-les. Es pot comprovar que la raó dels segments AB i CD , d’una banda, i MN i QP , de l’altra, és la mateixa: = AB CD 3 4 = = MN QP 6 8 3 4 Per tant, les dues raons són iguals i formen una proporció: 3 4 6 8 = → = AB CD MN QP Semblantment: = CD AB 4 3 = = QP MN 8 6 4 3 4 3 8 6 = → = CD AB QP MN Les parelles de segments AB , CD i MN , QP són segments proporcionals. La raó entre dos segments és el quocient entre els valors de les seves longituds, expressades en la mateixa unitat. Una parella de segments és proporcional a una altra quan la raó entre les longituds dels dos primers és igual a la raó entre les longituds dels al- tres dos. La igualtat entre les dues raons forma una proporció. FIXA-T’HI BÉ! La raó entre dos segments permet obtenir un dels segments com a fracció de l’altre: = AB CD 3 4 → = AB CD 3 4 El segment AB és les tres quartes parts del seg- ment CD . A B C D 4 cm 3 cm M N Q P 8 cm 6 cm 119 UNITAT 5 1. Dues parelles de segments són proporcionals, de manera que = AB CD EF GH . Si AB = 28 cm, CD = 12 cm i GH = 30 cm, quina és la longitud del seg- ment EF ? Si les dues parelles de segments són proporcionals, les raons entre les seves longituds formen una proporció. Les unitats de les longituds estan totes expressades en centímetres i, per tant, no fem cap conversió: = AB CD EF GH → = EF 28 12 30 Per buscar la longitud EF , calculem el quart proporcional: = ⋅ = EF 28 30 12 70 La longitud del segment EF és 70 cm. Fixa’t que la unitat és la mateixa que la de les longituds amb què forma proporció. 2. La raó entre les longituds de dos segments és 3 5 . Si el més llarg fa 6,4 cm, quina és la longitud de l’altre? Plantegem la proporció corresponent a l’enunciat i calculem el terme que hi manca. Fixa’t que la mesura del segment llarg, en la proporció, s’ha de posar corresponent al terme més gran, que és el del denominador: l 3 5 6,4 = → l 3 6,4 5 3,84 cm = ⋅ = La longitud de l’altre segment és 3,84 cm. ACTIVITATS RESOLTES 1. Dues parelles de segments són proporcionals, = AB CD EF GH . Determina el valor del segment CD si AB =50 cm, EF =60 cm i GH=90 cm. 2. A partir dels segments AB = 12 cm, CD = 8 cm, EF = 20 cm i GH= 30 cm, volem saber: a) Si són proporcionals de manera que = AB CD EF GH . Justifica-ho. b) Si són proporcionals de manera que = CD AB EF GH . Justifica-ho. 3. La raó entre dos segments proporcionals és 1 2 . Si el segment petit fa 6 cm, quant fa el gran? ACTIVITATS AB CD EF GH 5 3 = = A B C D E F G H Desenvolupament dels continguts COMENCEM! Activitats d’escalfament Es presenten els contin- guts a partir d’una situació real Pot incloure foto- grafies, preguntes, activitats resoltes, semiresoltes o proposades Conté un recordatori de conceptes i els objectius de la unitat POSEM FIL A L’AGULLA Activitat sobre un tema que et pugui interessar i que formi part de la vida quotidiana Entre 5 i 10 activitats concretes, numerades, que giren al voltant d’aquest tema i que integren tots els continguts de la unitat Es basen en gràfics, si- tuacions reals, manipulació de programari infor- màtic, etc Sempre inclou alguna activitat perquè treballeu en grup Llista dels continguts de la unitat Un text introductori ens per- met fer una petita incursió en els continguts de la unitat a partir d’alguna història o situació real que hi estigui relacionada 60 UNITAT 3 L’Alan és un noi de tretze anys apassionat pels espies, pels investigadors i per les matemàtiques. Li agraden tant, que gairebé viu el dia a dia com si fos un espia de veritat. A casa seva, els seus pares i els seus dos germans es di- verteixen amb les històries i jocs que l’Alan els planteja constantment. ALAN, DE PROFESSIÓ: ESPIA MATEMÀTIC 1. Quan un amic de l’Alan arriba a casa seva i li demana la contrasenya Wi-Fi, sempre li dóna el text següent: a) Quants caràcters té la contrasenya Wi-Fi de l’Alan? b) Tradueix els enunciats que presenta l’Alan en llenguatge algèbric. c) Quina és la contrasenya Wi-Fi de casa de l’Alan? 2. Prova d’encriptar la teva data de naixement d’una manera similar a l’encriptació que ha fet l’Alan amb la contrasenya Wi-Fi. Fes-la arribar al teu professor. Quan les tingui totes, repartirà l’encriptació d’un company a cadascun de vosaltres. Quina és la data de naixement del teu company desconegut? ACTIVITATS L’espionatge sempre ha estat lligat a les matemà- tiques. Des dels primers codis encriptats fins als actuals hackers, sempre han fet falta grans conei- xements matemàtics. • La contrasenya té tants caràcters com la meitat de la meva edat menys 1. • El primer caràcter és el doble menys 3 de la quantitat de persones que viuen en aquesta casa. • El segon caràcter és la diferència dels quadrats de 3 i de 2. • Un terç de la suma dels dos primers caràcters és el tercer caràcter. • El quart caràcter és el doble de la diferència entre el primer i el tercer caràcter. • La resta de caràcters s’obtenen de la mateixa manera: a la diferència del primer caràcter entre el doble del segon s’hi afegeix la meitat de la suma del tercer i quart. POSEM FIL A L’AGULLA 61 UNITAT 3 3. Una de les primeres contrasenyes que va encriptar l’Alan va ser a partir dels coefi- cients i dels graus de les expressions algèbriques. Observa les expressions algèbri- ques següents i indica el coeficient i el grau dels termes que les formen: a) 2 x3 −3 x2 +5 b) −4 x5 +x c) 4 x3 −x2 +2 x −3 4. Reduir els termes semblants d’una expressió algèbrica pot servir per encriptar claus. Redueix primer les expressions algèbriques següents i busca’n el valor nu- mèric per a m=−1 i n =2: a) 7 m−9 m+3 +6 m+1 b) 2 m2 +3 m−m(3 m+2) −5 m c) 3 n +m2 −m(3 +n) d) (m+n)2 −2 n(m+n +1) 5. Un dels codis practicats per l’Alan es basa a obtenir les claus a partir d’extreure el factor comú de les expressions algèbriques. Extreu el factor comú de les expressions algèbriques següents (en alguna hauràs d’operar primer): a) 4 x +2 y b) 3 (x −1) +6 y c) 4 p+6 q d) 9 x y −2 x(y +7) 6. Per desbloquejar la seva tauleta, l’Alan també ha preparat un codi. Ha de relacionar el desenvolupament d’una identitat notable amb la identitat mateixa. Observa i rela- ciona a la teva llibreta els elements de la columna Aamb els de la Bi la C: Columna A Columna B Columna C (x−4) (x+4) (x−4)2 x2+8 x+16 (x+4) (x+4) (x+4)2 x2−16 (x−4) (x−4) x2−42 x2−8 x+16 7. Per parelles, busqueu informació sobre Alan Turing: qui va ser?, què és la màquina Enigma?, quin lligam tenia amb la informàtica? Elaboreu un pòster sobre Turing i escolliu en- tre tots els que més us agradin. Podeu fer-los servir per decorar les parets de l’aula! Les activitats resoltes pro- posen models de càlculs i problemes, amb els procedi- ments bàsics per a l’aprenen- tatge dels continguts Els continguts del currí- culum de matemàtiques es presenten de manera ordenada, amb explica- cions clares i amb el ri- gor necessari per ajudar a aconseguir-ne la com- prensió i assimilació Les activitats són propostes de treball per practicar els continguts que s’expliquen a l’apartat Fixa’t en les petites peces d’informació del marge que t’ajudaran a recor- dar continguts i a fixar l’atenció en aspectes clau per millorar l’aprenen- tatge
Transcript of Presentació de la unitat COM · 2016-09-26 · En el manual d’àlgebra Aritmètica universal,...
3 ÀLGEBRA
• ω
Expressions algèbriques
expressions algèbriques
Les identitats notables
En el manual d’àlgebra Aritmètica universal, Isaac Newton, l’autor, diu que per resoldre un problema cal primer traduir-lo al llenguatge algèbric. Però en el nostre dia a dia constantment fem servir expressions que es poden identificar fàcilment amb l’àlgebra.
1. Relaciona a la teva llibreta les expressions escri-tes amb les expressions algèbriques:
Expressions escrites Expressions algèbriques
El doble d’una quantitat 3 x
La meitat d’una quantitat a − b
El triple d’un nombre p2
El quadrat d’un nombreba
La diferència de dos nombres 2 (x + y)
El quocient de dos nombres
b2
El doble de la suma de dos nombres 2 x
2. Com llegiries les expressions algèbriques se-güents?
a) a + 2 b
b) 3 (x − y)
c) 4 x
d) x3
e) p3
f) ab
42
−
3. Calcula el valor numèric de m en l’expressió m = 4 · a − 3 per a:
a) a = 4
b) a = 0
c) a = 1
d) a = −1
COMENCEM!3333 ÀLGEBRA
• ω
Expressions algèbriques
expressions algèbriques
Les identitats notables
En el manual d’àlgebra Aritmètica universal, Isaac Newton, l’autor, diu que per resoldre un problema cal primer traduir-lo al llenguatge algèbric. Però en el nostre dia a dia constantment fem servir expressions que es poden identificar fàcilment amb l’àlgebra.
1. Relaciona a la teva llibreta les expressions escri-tes amb les expressions algèbriques:
Expressions escrites Expressions algèbriques
El doble d’una quantitat 3 x
La meitat d’una quantitat a − b
El triple d’un nombre p2
El quadrat d’un nombreba
La diferència de dos nombres 2 (x + y)
El quocient de dos nombres
b2
El doble de la suma de dos nombres 2 x
2. Com llegiries les expressions algèbriques se-güents?
a) a + 2 b
b) 3 (x − y)y)y
c) 4 x
d) x3
e) p3
f) ab
42
−
3. Calcula el valor numèric de m en l’expressió m = 4 · a − 3 per a:
a) a = 4
b) a = 0
c) a = 1
d) a = −1
COMENCEM!
Presentació de la unitatCOM S’UTILITZA AQUEST LLIBRE
118 UNITAT 5
1 SEGMENTS PROPORCIONALSFixa’t en aquestes dues parelles de segments. Les lletres majúscules indiquen els extrems de cada segment:
Es pot escriure el quocient indicat entre els valors de les dues longituds de cada parella de segments i obtenir una raó:
longitud del segment = =ABCD
3 cm4 cm
34
→ 3 cm longitud del segment = =
CD
AB
4 cm3 cm
43
→ 4 cm
= =ABCD
3 cm4 cm
34
o = =CD
AB
4 cm3 cm
43
longitud del segment = =MN
QP
6 cm8 cm
68
→ 6 cm longitud del segment = =QP
MN
8 cm6 cm
86
→ 8 cm
= =MN
QP
6 cm8 cm
68
o = =QPMN
8 cm6 cm
86
En una raó, si les unitats de les magnituds dels seus termes són les mateixes, no cal escriure-les.
Es pot comprovar que la raó dels segments = =ABCD
3 cm4 cm
34
i = =
CD
AB
4 cm3 cm
43
, d’una banda, i = =MN
QP
6 cm8 cm
68
i = =QP
MN
8 cm6 cm
86
, de l’altra, és la mateixa:
=ABCD
34
= =MNQP
68
34
Per tant, les dues raons són iguals i formen una proporció:
34
68
= → =ABCD
MNQP
Semblantment: =
CDAB
43
= =QPMN
86
43
43
86
= → =CDAB
QPMN
Les parelles de segments = =ABCD
3 cm4 cm
34
, = =
CD
AB
4 cm3 cm
43
i = =MN
QP
6 cm8 cm
68
, = =QP
MN
8 cm6 cm
86
són segments proporcionals.
La raó entre dos segments és el quocient entre els valors de les seves longituds, expressades en la mateixa unitat.
Una parella de segments és proporcional a una altra quan la raó entre les longituds dels dos primers és igual a la raó entre les longituds dels al-tres dos. La igualtat entre les dues raons forma una proporció.
FIXA-T’HI BÉ!
La raó entre dos segments permet obtenir un dels segments com a fracció de l’altre:
=ABCD
34
→ =AB CD34
El segment =ABCD
34
és les tres quartes parts del seg-ment
=ABCD
34.
A
B
C
D
4 cm
3 cm
M
N
Q
P8 cm
6 cm
119UNITAT 5
1. Dues parelles de segments són proporcionals, de manera que =ABCD
EFGH
.
Si =ABCD
EFGH
= 28 cm, =AB
CDEFGH = 12 cm i
=ABCD
EFGH = 30 cm, quina és la longitud del seg-
ment =AB
CDEFGH
?
Si les dues parelles de segments són proporcionals, les raons entre les seves longituds formen una proporció. Les unitats de les longituds estan totes expressades en centímetres i, per tant, no fem cap conversió:
=ABCD
EFGH
→ =EF28
12 30Per buscar la longitud =
⋅=EF
28 3012
70, calculem el quart proporcional:
=⋅
=EF28 30
1270
La longitud del segment =⋅
=EF28 30
1270 és 70 cm. Fixa’t que la unitat és la mateixa que
la de les longituds amb què forma proporció.
2. La raó entre les longituds de dos segments és 35
. Si el més llarg fa 6,4 cm, quina és la longitud de l’altre?
Plantegem la proporció corresponent a l’enunciat i calculem el terme que hi manca. Fixa’t que la mesura del segment llarg, en la proporció, s’ha de posar corresponent al terme més gran, que és el del denominador:
l35 6,4
= → l3 6,4
53,84 cm=
⋅=
La longitud de l’altre segment és 3,84 cm.
ACTIVITATS RESOLTES
1. Dues parelles de segments són proporcionals, =ABCD
EFGH
. Determina el
valor del segment =
ABCD
EFGH si
=ABCD
EFGH
= 50 cm, =
ABCD
EFGH
= 60 cm i =
ABCD
EFGH = 90 cm.
2. A partir dels segments =ABCD
EFGH
= 12 cm, =
ABCD
EFGH = 8 cm,
=ABCD
EFGH
= 20 cm i =
ABCD
EFGH = 30 cm,
volem saber:
a) Si són proporcionals de manera que =ABCD
EFGH
. Justifica-ho.
b) Si són proporcionals de manera que =CDAB
EFGH
. Justifica-ho.
3. La raó entre dos segments proporcionals és 12
. Si el segment petit fa 6 cm, quant fa el gran?
ACTIVITATS
ABCD
EFGH
53
= =
A
B
C
D
E
F
G
H
Desenvolupament dels continguts
COMENCEM!
Activitats d’escalfament . Es presenten els contin-guts a partir d’una situació real . Pot incloure foto-grafi es, preguntes, activitats resoltes, semiresoltes o proposades . Conté un recordatori de conceptes i els objectius de la unitat .
POSEM FIL A L’AGULLA
Activitat sobre un tema que et pugui interessar i que formi part de la vida quotidiana . Entre 5 i 10 activitats concretes, numerades, que giren al voltant d’aquest tema i que integren tots els continguts de la unitat . Es basen en gràfi cs, si-tuacions reals, manipulació de programari infor-màtic, etc . Sempre inclou alguna activitat perquè treballeu en grup .
Llista dels continguts de la unitat .
Un text introductori ens per-met fer una petita incursió en els continguts de la unitat a partir d’alguna història o situació real que hi estigui relacionada .
60 UNITAT 3
L’Alan és un noi de tretze anys apassionat pels espies, pels investigadors i per les matemàtiques. Li agraden tant, que gairebé viu el dia a dia com si fos un espia de veritat. A casa seva, els seus pares i els seus dos germans es di-verteixen amb les històries i jocs que l’Alan els planteja constantment.
ALAN, DE PROFESSIÓ: ESPIA MATEMÀTIC
1. Quan un amic de l’Alan arriba a casa seva i li demana la contrasenya Wi-Fi, sempre li dóna el text següent:
a) Quants caràcters té la contrasenya Wi-Fi de l’Alan?
b) Tradueix els enunciats que presenta l’Alan en llenguatge algèbric.
c) Quina és la contrasenya Wi-Fi de casa de l’Alan?
2. Prova d’encriptar la teva data de naixement d’una manera similar a l’encriptació que ha fet l’Alan amb la contrasenya Wi-Fi. Fes-la arribar al teu professor. Quan les tingui totes, repartirà l’encriptació d’un company a cadascun de vosaltres. Quina és la data de naixement del teu company desconegut?
ACTIVITATS
L’espionatge sempre ha estat lligat a les matemà-tiques. Des dels primers codis encriptats fins als actuals hackers, sempre han fet falta grans conei-xements matemàtics.
• La contrasenya té tants caràcters com la meitat de la meva edat menys 1.
• El primer caràcter és el doble menys 3 de la quantitat de persones que viuen en aquesta casa.
• El segon caràcter és la diferència dels quadrats de 3 i de 2.
• Un terç de la suma dels dos primers caràcters és el tercer caràcter.
• El quart caràcter és el doble de la diferència entre el primer i el tercer caràcter.
• La resta de caràcters s’obtenen de la mateixa manera: a la diferència del primer caràcter entre el doble del segon s’hi afegeix la meitat de la suma del tercer i quart.
POSEM FIL A L’AGULLA
61UNITAT 3
3. Una de les primeres contrasenyes que va encriptar l’Alan va ser a partir dels coefi-cients i dels graus de les expressions algèbriques. Observa les expressions algèbri-ques següents i indica el coeficient i el grau dels termes que les formen:
a) 2 x3 − 3 x2 + 5 b) −4 x5 + x c) 4 x3 − x2 + 2 x − 3
4. Reduir els termes semblants d’una expressió algèbrica pot servir per encriptar claus. Redueix primer les expressions algèbriques següents i busca’n el valor nu-mèric per a m = −1 i n = 2:
a) 7 m − 9 m + 3 + 6 m + 1
b) 2 m2 + 3 m − m (3 m + 2) − 5 m
c) 3 n + m2 − m (3 + n)
d) (m + n)2 − 2 n (m + n + 1)
5. Un dels codis practicats per l’Alan es basa a obtenir les claus a partir d’extreure el factor comú de les expressions algèbriques. Extreu el factor comú de les expressions algèbriques següents (en alguna hauràs d’operar primer):
a) 4 x + 2 y b) 3 (x − 1) + 6 y c) 4 p + 6 q d) 9 x y − 2 x (y + 7)
6. Per desbloquejar la seva tauleta, l’Alan també ha preparat un codi. Ha de relacionar el desenvolupament d’una identitat notable amb la identitat mateixa. Observa i rela-ciona a la teva llibreta els elements de la columna A amb els de la B i la C:
Columna A Columna B Columna C
(x − 4) (x + 4) (x − 4)2 x2 + 8 x + 16
(x + 4) (x + 4) (x + 4)2 x2 − 16
(x − 4) (x − 4) x2 − 42 x2 − 8 x + 16
7. Per parelles, busqueu informació sobre Alan Turing: qui va ser?, què és la màquina Enigma?, quin lligam tenia amb la informàtica?
Elaboreu un pòster sobre Turing i escolliu en-tre tots els que més us agradin. Podeu fer-los servir per decorar les parets de l’aula!
Les activitats resoltes pro-posen models de càlculs i problemes, amb els procedi-ments bàsics per a l’aprenen-tatge dels continguts .
Els continguts del currí-culum de matemàtiques es presenten de manera ordenada, amb explica-cions clares i amb el ri-gor necessari per ajudar a aconseguir-ne la com-prensió i assimilació .
Les activitats són propostes de treball per practicar els continguts que s’expliquen a l’apartat .
Fixa’t en les petites peces d’informació del marge que t’ajudaran a recor-dar continguts i a fi xar l’atenció en aspectes clau per millorar l’aprenen-tatge .
186 UNITAT 7
1. Digues quantes cares, arestes i vèrtexs tenen els cossos geomètrics següents:
a) Un hexàedre
b) Un ortòedre
c) Una piràmide triangular regular
d) Una piràmide quadrangular regular
e) Un prisma hexagonal regular
f) Un prisma pentagonal regular
2. Indica si les afirmacions següents són certes o falses. Justifica les respostes.
a) Un cos geomètric és una figura bidimen-sional.
b) Els segments que uneixen les diferents ca-res d’un cos geomètric s’anomenen arestes.
c) Tots els cossos geomètrics tenen desen-volupament pla.
d) Podem distingir dos tipus de cossos geo-mètrics: políedres i cossos de revolució.
e) Els cossos geomètrics es generen girant 360° una figura plana.
f) Els políedres tenen com a mínim 4 cares.
g) Els políedres han de tenir totes les cares iguals.
h) Només existeixen 5 políedres.
3. Quin desenvolupament pla correspon al cub següent?
4. Digues quantes cares tenen els políedres re-gulars següents i la forma d’aquestes cares:
Políedre Nombre de cares
Forma de les cares
Tetràedre
Octàedre
Icosàedre
Hexàedre
Dodecàedre
5. Dibuixa el desenvolupament pla d’un prisma triangular. Quantes cares, vèrtexs i arestes té?
6. Completa la taula següent a la teva llibreta:
Cos Cares Arestes Vèrtexs
Cub
Ortòedre
Prisma quadrangular
Prisma hexagonal
Piràmide triangular
Piràmide hexagonal
Dodecàedre
7. Dibuixa el desenvolupament pla d’un prisma hexagonal. Quantes cares, vèrtexs i arestes té?
8. Fes una llista d’objectes polièdrics i cossos de revolució que tinguis per casa. Fes una fo-tografia de cadascun d’ells. Podeu fer una selecció dels exemples més macos a classe i decorar alguna de les parets de l’aula. 5
13 4
2
6
6
15 4
2
31 4
5
ACTIVITATS FINALS
189UNITAT 7
40. Per preparar una festa, en Pol ha calculat que necessitarà 0,75 L de beguda per cada convidat. En total ha convidat 25 persones i ha comprat 30 llaunes de 33 cL, 2 ampolles de 2 L i 25 brics de 220 cm3. Contesta:
a) Quants litres ha calculat que necessitarà?
b) Quants litres de beguda ha comprat?
c) Sobrarà o faltarà beguda segons les pre-visions?
41. Calcula el volum d’un prisma hexagonal de costat 0,8 dm i altura 1,2 m.
42. Calcula la relació entre els volums de dos cubs d’aresta 2 cm l’un i 4 cm l’altre. Compara-la amb la relació entre les arestes.
43. El radi d’una esfera és el doble que el d’una altra. Com serà la relació entre els seus vo-lums?
44. A un municipi de Lleida, s’han recollit 300 L/m2 de precipitacions al llarg de l’últim any. Fa 5 anys, van recollir una mitjana diària de 750 cm3. Con-testa:
a) Quina és la precipitació diària mitjana de l’últim any?
b) Quant va ploure i nevar en total fa 5 anys?
c) En quin any les precipitacions han estat més escasses?
AUTOAVALUACIÓ
Ara que arribem al final de la unitat, contesta les activitats d’autoavaluació següents per saber si has assolit els objectius de la unitat.
1. Dibuixa un cub de costat 3 cm. Pinta les cares de color groc, les arestes de color verd i els vèrtexs de color vermell. Comprova que se-gueix la relació d’Euler. Dibuixa’n també el desenvolupament pla.
2. Transforma les unitats següents en les indi-cades:
a) 10 m → cm
b) 50 mm → hm
c) 3 m2 → dm2
d) 5 000 m2 → km2
e) 135 cm3 → dm3
f) 1 dm3 → L
3. Calcula l’àrea d’un ortòedre de 5 cm d’am-plada, 6 cm de llargada i 2 cm d’altura. Quin n’és el volum?
4. L’Aina ha de folrar un cilindre de radi de la base 5 cm i d’altura 15 cm. Quina superfície de folre necessita?
5. Volem passar el contingut d’un envàs de di-mensions 6 cm × 9 cm × 15 cm a un altre d’esfèric de radi 6 cm. Hi cabrà tot el con-tingut?
6. Les arestes de dos cubs són 4 cm i 6 cm. Qui-na és la relació entre els seus volums?
Ara compara els teus resultats amb els que sur-ten a la fitxa d’autoavaluació. Quins exercicis no has fet bé? Contesta també els ítems d’auto-avaluació que trobaràs a la fitxa i fes-la arribar al teu professor. Així podrà ajudar-te amb aquells punts de la unitat que no acabes de dominar.
186 UNITAT 7
1. Digues quantes cares, arestes i vèrtexs tenen els cossos geomètrics següents:
a) Un hexàedre
b) Un ortòedre
c) Una piràmide triangular regular
d) Una piràmide quadrangular regular
e) Un prisma hexagonal regular
f) Un prisma pentagonal regular
2. Indica si les afirmacions següents són certes o falses. Justifica les respostes.
a) Un cos geomètric és una figura bidimen-sional.
b) Els segments que uneixen les diferents ca-res d’un cos geomètric s’anomenen arestes.
c) Tots els cossos geomètrics tenen desen-volupament pla.
d) Podem distingir dos tipus de cossos geo-mètrics: políedres i cossos de revolució.
e) Els cossos geomètrics es generen girant 360° una figura plana.
f) Els políedres tenen com a mínim 4 cares.
g) Els políedres han de tenir totes les cares iguals.
h) Només existeixen 5 políedres.
3. Quin desenvolupament pla correspon al cub següent?
4. Digues quantes cares tenen els políedres re-gulars següents i la forma d’aquestes cares:
Políedre Nombre de cares
Forma de les cares
Tetràedre
Octàedre
Icosàedre
Hexàedre
Dodecàedre
5. Dibuixa el desenvolupament pla d’un prisma triangular. Quantes cares, vèrtexs i arestes té?
6. Completa la taula següent a la teva llibreta:
Cos Cares Arestes Vèrtexs
Cub
Ortòedre
Prisma quadrangular
Prisma hexagonal
Piràmide triangular
Piràmide hexagonal
Dodecàedre
7. Dibuixa el desenvolupament pla d’un prisma hexagonal. Quantes cares, vèrtexs i arestes té?
8. Fes una llista d’objectes polièdrics i cossos de revolució que tinguis per casa. Fes una fo-tografia de cadascun d’ells. Podeu fer una selecció dels exemples més macos a classe i decorar alguna de les parets de l’aula. 5
3 43 43 43 43 43 43 43 43 413 41
2
6
6
5 45 45 45 45 45 45 45 45 415 41
2
31 4
5
ACTIVITATS FINALS
189UNITAT 7
40. Per preparar una festa, en Pol ha calculat que necessitarà 0,75 L de beguda per cada convidat. En total ha convidat 25 persones i ha comprat 30 llaunes de 33 cL, 2 ampolles de 2 L i 25 brics de 220 cm3. Contesta:
a) Quants litres ha calculat que necessitarà?
b) Quants litres de beguda ha comprat?
c) Sobrarà o faltarà beguda segons les pre-visions?
41. Calcula el volum d’un prisma hexagonal de costat 0,8 dm i altura 1,2 m.
42. Calcula la relació entre els volums de dos cubs d’aresta 2 cm l’un i 4 cm l’altre. Compara-la amb la relació entre les arestes.
43. El radi d’una esfera és el doble que el d’una altra. Com serà la relació entre els seus vo-lums?
44. A un municipi de Lleida, s’han recollit 300 L/m2
de precipitacions al llarg de l’últim any. Fa 5 anys, van recollir una mitjana diària de 750 cm3. Con-testa:
a) Quina és la precipitació diària mitjana de l’últim any?
b) Quant va ploure i nevar en total fa 5 anys?
c) En quin any les precipitacions han estat més escasses?
AUTOAVALUACIÓ
Ara que arribem al final de la unitat, contesta les activitats d’autoavaluació següents per saber si has assolit els objectius de la unitat.
1. Dibuixa un cub de costat 3 cm. Pinta les cares de color groc, les arestes de color verd i els vèrtexs de color vermell. Comprova que se-gueix la relació d’Euler. Dibuixa’n també el desenvolupament pla.
2. Transforma les unitats següents en les indi-cades:
a) 10 m → cm
b) 50 mm → hm
c) 3 m2 → dm2
d) 5 000 m2 → km2
e) 135 cm3 → dm3
f) 1 dm3 → L
3. Calcula l’àrea d’un ortòedre de 5 cm d’am-plada, 6 cm de llargada i 2 cm d’altura. Quin n’és el volum?
4. L’Aina ha de folrar un cilindre de radi de la base 5 cm i d’altura 15 cm. Quina superfície de folre necessita?
5. Volem passar el contingut d’un envàs de di-mensions 6 cm × 9 cm × 15 cm a un altre d’esfèric de radi 6 cm. Hi cabrà tot el con-tingut?
6. Les arestes de dos cubs són 4 cm i 6 cm. Qui-na és la relació entre els seus volums?
Ara compara els teus resultats amb els que sur-ten a la fitxa d’autoavaluació. Quins exercicis no has fet bé? Contesta també els ítems d’auto-avaluació que trobaràs a la fitxa i fes-la arribar al teu professor. Així podrà ajudar-te amb aquells punts de la unitat que no acabes de dominar.
QUÈ HEM APRÈS?
Al fi nal de cada unitat, trobaràs una pàgina amb un resum dels conceptes més importants que cal recordar . A més, et proposem que facis un mapa mental de cada unitat per facilitar-te l’estudi .
MIRA AL TEU VOLTANT
Les activitats que es proposen en aquest apar-tat intenten acostar els continguts de matemàti-ques que s’han treballat en la unitat a aspectes de la realitat quotidiana, la ciència, l’esport . . . Són activitats per fer en grup .
153UNITAT 6
Semblants
Projeccions ortogonals
Teoremes
Teorema de Pitàgores
a2 = b2 + c2
h2 = m · n
Teorema del catet
Teorema de l’altura
TRIANGLES RECTANGLES
Repassa les idees principals de la unitat. Si creus que no entens bé alguna part, demana ajuda al teu professor. Després, fes un mapa mental d’aquesta unitat. Recorda’t de fer servir colors, línies corbes i imatges, de començar del centre cap a fora i, so-bretot, d’evitar frases llargues!
Es poden col·locar en posició de Tales
b2 = a · m
c2 = a · n
A′ B′
C′
A B
C
b
ac
a 2 b 2 c 2
QUÈ HEM APRÈS?
A
bc
B D Ca
h
n m
184 UNITAT 7
Una pilota de futbol, és una esfera?
Les pilotes de futbol es consideren esfèriques, però no ho són. No és possible construir una esfera de cuir perquè no és possi-ble aconseguir el desenvolupament pla d’aquest cos geomètric.
Les pilotes de futbol són icosàedres truncats, que són uns cos-sos geomètrics formats per 32 cares: 12 pentàgons regulars i 20 hexàgons regulars. Les cares són lleugerament corbes.
Aquest cos ocupa el 87,74 % de l’esfera que el tancaria. La res-ta del volum que completa l’esfera s’aconsegueix per l’inflament de les peces de cuir, que es poden deformar lleugerament.
Actualment es fabriquen pilotes de futbol amb 12 pentàgons, 30 quadrats i 20 triangles que s’acosten fins a un 94,32 % a l’esfera.
LA PILOTA DE FUTBOL
1. Agafeu una pilota de futbol desinflada i observeu les peces que la formen. Dibui-xeu-les i compteu quantes n’hi ha de cada tipus.
2. Preneu les mides que necessiteu per calcular l’àrea de la superfície d’aquesta pilota.
3. Si una pilota de futbol inflada té un diàmetre de 22 cm, quin és el volum que ocupa aquesta esfera?
4. Del volum que heu calculat a l’apartat anterior, quants centímetres cúbics corres-pondrien al volum de la pilota si no estigués inflada amb aire?
ACTIVITATS
MIRA AL TEU VOLTANT
185UNITAT 7
Si tallem un con per un pla que no passi pel vèrtex, s’ob-tenen les anomenades seccions còniques.
Les seccions còniques són trossos de pla limitats per línies corbes diferents, la forma de les quals depèn de la inclinació del pla que talla, respecte a l’eix del con: cir-cumferència, el·lipse, hipèrbole i paràbola.
• La circumferència es forma quan el pla de tall és per-pendicular a l’eix del con.
• L’el·lipse es forma quan el pla de tall no és perpendicular a l’eix del con ni paral·lel a la generatriu.
• La hipèrbole es forma quan el pla de tall és paral·lel a l’eix o altura del con.
• La paràbola es forma quan el pla és paral·lel a la gene-ratriu del con.
LES SECCIONS CÒNIQUES
1. Construïu un con de plastilina. Agafeu una super-fície petita de fusta prima i feu-la servir de pla per tallar el con en diferents direccions i obtenir les seccions còniques.
ACTIVITATS
Circumferència
El·lipse
Paràbola
Hipèrbole
Final de la unitat
Exercicis per poder repas-sar, assolir i ampliar tots els continguts de la unitat .
Al fi nal, trobaràs uns exer-cicis per poder identifi car fàcilment els objectius de la unitat que ja has adquirit .
Els videotutorials i les animacions són peces audio-visuals curtes que presenten continguts del cur-rículum de ma temàtiques . Estan del tot lligades a explicacions o activitats de la unitat . L’objectiu que persegueix el seu visionament és ajudar-te a cen-trar l’atenció i a facilitar-te els aprenentatges . Et proporcionen una eina senzilla, però potent .
Pots trobar aquests recursos a la secció multimè-dia del teu Centre d’Ensenyament Online (CEO), www.mhe.es .
