Pres Robotics Summer School 111214

7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214

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ROBTICAModelacin Dinmica y Simulacin de Robots

Miguel Torres TorritiPONTIFICIAUNIVERSIDADCATLICADECHILEESCUELADEINGENIERADepartamento de Ingeniera Elctrica

V ESCUELA DE VERANO LATINO AMERICANA EN ROBTICAUniversidad de Chile

14 diciembre 2011

EVLAR 2 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011

Contenidos

Cinemtica Directa y el Procedimiento de Denavit-Hartenberg

Dinmica Inversa y el Algoritmo Recursivo deNewton-Euler

ABB IRB2400


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Por qu simular?


Por qu simular?

Disear/verificar antes de construir Experimentar sin destruir equipo costos Entrenar/Experimentar en un ambiente controlado y

sin peligro


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Cuidado!

Of the thousands of ways computers have been misused,simulation tops the list. The reasons for this widespread abuseare not hard to find:

1. Every simulation simulates something, but theres no particularreason it should simulate what the simulator had in mind.

2. Computer outputs are readily mistaken for gospel, especially bypeople who are working in the dark and seeking any sort ofbeacon.

3. Simulation languages have succeeded in making it easier toachieve impressive simulations, without making it easier toachieve valid simulations.

4. There are no established curricula based on extensive practicalexperience. Thus, everyone is an "expert" after writing onesimulation, of anything, in any language, with any sort of result.

5. The promise of simulation is so great that its easy to confusehope with achievement.

- Simulation: Principles and Methods, Graybeal and Pooch, 1980.


Criterios de Implementacin

Tipos de Coordenadas: Representaciones Maximales (aka, absolutas, Lagrangianas)

Usadas en Grfica Computacional, Physics Engines (Baraff,Mirtich)

Requieren la solucin de un Linear Complementarity Problem(LCP) para manejar las restricciones y colisiones(Anitescu+Potra, Trinkle).

No hay que preocuparse de rotaciones relativas entre cuerpos,todo es con respecto a un sistema inercial absoluto.

Reducidas (aka, generalizadas, recursivas): Usadas en Multibody-Rigid Systems, Robtica Soluciones computacionalmente rpidas para la dinmica

directa: Composite-Rigid Body Algorithm (Walker+Orin, 1982). Articulated-Rigid Body Algorithm (Featherstone, 1987).

Resulta difcil incorporar restricciones y colisiones.


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Arquitectura de un Simulador

SimulationParameters

File

TimeStepper

MotionSolver

ConstraintSolver

Collision

Detector

CollisionHandler

1 2

5

6

User

3

4

7 (NO)

7 (YES)

8

x(t0), T

Adjust T

x(t0)

x(t0+t)

c(t0)

Fc(t0+t) Ic=Fc(t0+t)t

Contact regions

x(t0+T)


Cinemtica del Brazo Robtico

Estudio analtico de la geometra del movimiento deun brazo robtico con respecto a un sistema decoordenadas fijo en funcin del tiempo sinconsiderar las fuerzas/torques que originan dichomovimiento.

Los dos problemas fundamentales concernientes aldesplazamiento espacial del brazo robtico son:1. Cinemtica Directa: Dadas las coordenadas generalizadasde las articulaciones y los

parmetros geomtricos del robot, donde n es el nmero degrados de libertad, determinar cul es la posicin del efectorfinal con respecto a sistema de coordendas de referencia.

2. Cinemtica Inversa: Dadas una posicin y orientacin delefector final, cules son los distintos posibles valores quecada articulacin debe tener.

)()()()( 21 tqtqtqtq n


5/43


Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar Links and Joints

link 0

link 1

link 2

Se requiere conocer el ngulo de cada articulacin (coordenadasgeneralizadas)para toda posicin deseada de la herramienta enespacio de trabajo (coordenadas del mundo).

Dibujado en pizarrn.


Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar Coordinate Systems

eje 1

eje 2

z0

z1

x0

x1

y0

y1



6/43


Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar End Effector

eje 1

eje 2

z0

z1

x0

x1

y0

y1

z2=ay2=s

x2=n

x2=n

z2

y2=s



Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar DH Parameters

eje 1

eje 2

z0

z1

x0

x1

y0

y1

z2=ay2=s

x2=n

x2=n

z2

y2=s

Tabla de Parmetros D-Hdel Robot 2-DOF RR-Planar

d1

a1

d2

a2

Art icu laci n i i d i ai i

1 q1 d1=0 a1 0

2 q2 d2=0 a2 0



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Parmetros de Denavit-Hartenberg

linki

joint i

joint i+1

joint i-1

yi-1

zi-1zi

xiyi

di

i

ai

ilink i-1

xi-1



Parmetros de Denavit-HartenbergDibujado en pizarrn.


8/43






9/43





link twist link length



10/43



link offset link angle




link twist link length link offset link angle

parmetros del eslabn parmetros de la articulacin



11/43


Procedimiento de Denavit-Hartenberg (1/9)

Permite referir las coordenadas del efector final (herramienta omano) del robot con respecto a un sistema de coordenadasinercial fijo en la base del robot.

Reglas para la definicin de los sistemas de coordenadas enbase a los cuales se construirn las matrices de transformacinhomogneas (rotacin y traslacin de coordenadashomogneas: La numeracin es tal que cuando se actua la articulacin i,

(i=1,2,,n), se mueve el eslabn i. El sistema de coordenadas {Si}, (i=1,2,,n), es solidario con el

eslabn i(el sistema de coordenadas de la base {S0} est fijo). El ejezi-1 yace a lo largo de la articulacin i. El ejexies normal azi-1, intersecta azi-1, y apunta hacia afuera

dezi-1. El eje y

i

se define tal que {Si

} sea un sistema dextrosum, i.e.

ii

iii

xz

xzy



La representacin de D-H emplea cuatro parmetrosque describen completamente la geometra de cadaeslabn. Estos parmetros son:i: ngulo en torno azi-1 dexi-1 axiusando la regla de la mano

derecha (ngulo de la articulacin link angle).di: distancia a lo largo dezi-1 desde el origen del sistema de

coordenadas {Si-1} hasta la interseccin dezi-1 conxi(offsetdel eslabn link offset).

ai: distancia a lo largo dexi desde la interseccin dezi-1 conxihasta el origen del sistema {Si}, o la distancia ms cortaentre zi-1 y zi(largo del eslabn link length).

i: ngulo entorno axidezi-1 aziusando la regla de la manoderecha (ngulo de torsin del eslabn link twist).

Nota: aiy idefinen parmetros del eslabn, mientras que iydidefinen parmetros de la articulacin. Para cadaarticulacin i=1, 2, , n, la coordenada generalizada sedefine como:

prismticanarticulaciunapara

revolucindenarticulaciunapara

i

ii

dq


12/43



Sistemas de Coordenadas segn la convencin D-Hestndar:

linki

joint i

joint i+1

joint i-1

yi-1

zi-1zi

xiyi

di

i

ai

ilink i-1

xi-1



Sistemas de Coordenadas segn la convencin D-Hmodificada (Craigs modified D-H):

linki

joint i

joint i+1

joint i-1

yi-1

zi-1zi

xiyi

di

i

ai

ilink i-1

xi-1

linki

joint i

joint i+1

joint i-1

yi

zi

Zi-1

xi

yi-1

di

i

ai

ilink i-1

xixi-1

D-H Modificado (Craig):En esta convencin se fijael origen Si-1 en laarticulacin i-1, y airepresenta la distancia dellink i(entre Siy Si+1).

D-H Estndar:En esta convencin se fijael origen Si-1 en laarticulacin i, y airepresenta la distancia dellink i(entre Si-1 y Si).


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DH1. Numerar los eslabones i=0,1,,n. (0 para la basefija, 1 para el primer eslabn mvil, etc.)

DH2. Numerar las articulaciones i=1,2,,n. (1 para el

primer grado de libertad, n para el ltimo).DH3. Para i=0,1,,n-1 fijar el ejezisobre la articulacin

i+1.DH4. Sistema de Coordenadas de la Base {S0}: Situar el

origen de {S0} cualquier punto del ejez0 de modoquex0 y y0 formen un sistema dextrorsum conz0.

DH5. Para i=1,2,,n-1 fijar el origen del Sistema deCoordenadas del eslabn i, {Si}, en la interseccindel ejezicon la lnea perpendicular comn azi-1 yzi.Si ambos ejes se cortan, fijar el origen en el puntode interseccin. Si ambos ejes son paralelos, fijar elorigen en la articulacin i+1.



DH6. Fijarxien la lnea perpendicular comn azi-1 yzi.DH7. Fijar yide modo que forme un sistema dextrorsum conxi yzi.DH8. Fijar el Sistema de Coordenadas del Extremo Efector {Sn} de

modo que zn coincida con la direccin de zn-1 y xn seaperpendicular azn-1 yzn. Establecer {Sn} preferentemente enel centro de la pinza (gripper) o en la punta de la herramientaque tenga el robot.

DH9. Definir icomo el ngulo que habra que girar en torno azi-1

para quexi-1 yxiqueden paralelos.DH10. Definir dicomo la distancia medida a lo largo dezi-1 quehabra desplazar {Si-1} para quexi-1 yxiqueden alineados.

DH11. Definir aicomo la distancia medida a lo largo dexi(queahora coincidira con xi-1) que habra desplazar el nuevo {Si-1}para que su origen coincidiese totalmente con el de {Si}.

DH12. Definir icomo el ngulo que habra que girar entorno axi(que ahora coincidira con xi-1) para que el nuevo {Si-1}coincidiese totalmente con {Si}.


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DH13. Construir las matrices de transformacin:

donde i, ai, di, ison los parmetros D-H del eslabn i.

1000

0

1000

0000

0001

1000

01000010

001

1000

1000010

0001

1000

010000

00

),(),(),(),( 111

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

ii

i

i

ii

ii

iiiiiiiii

i

dcs

sacsccs

cassscc

cssc

a

dcs

sc

xRaxDdzDzRA


Procedimiento de Denavit-Hartenberg (8/9)DH14. Calcular la matriz de transformacin que relaciona el sistema de la

base {S0} con el del extremo del robot {Sn} como:

La matrix Tdefine la posicin y orientacin del extremo referido a labase en funcin de las n coordenadas de las articulaciones.

Nota 1: Es posible demostrar que las reglas anteriores (especficamente

aquellas en la transparencia 1/7) garantizan la existencia de unamatriz de transformacin de coordenadas, T, nica. Sin embargo,el Procedimiento D-H permite que las definiciones de los marcos decoordenadas no sean nicas. Por esta razn, las matricesintermedias de transformacin pueden ser diversas, pero la matriz Tresultante ser siempre igual para una geometra dada del robot.

Nota 2: Es comn emplear la notacin n, s, a, para referirse a los vectores

unitariosxn, yn,zn, respectivamente, del sistema de coordenadas dela herramienta o extremo efector. Esta notacin proviene del hechoque normalmente a (approach) es la direccin en que el gripperaproxima el objeto, s (sliding) es la direccin en que el gripperabre/cierra el gripper, y n (normal) es la direccin perpendicular a sy a.

nn AAAT 12

1

1

0


15/43


Procedimiento de Denavit-Hartenberg (9/9) Nota 3:

En la construccin del Procedimiento D-H se consideran tres situacionesposibles:a) zi-1 yzino son coplanares: En este caso la direccin dexiest dada

por:

Notar que esta direccin corresponde a la del segmento ms cortoentrezi-1 yzi(el cual corresponde a la normal comn dezi-1 yzi).

b) zi-1 yzise intersectan: En este caso la direccin dexise define comoen el caso a). Pero adems se tiene que ai=0. En este caso resultanatural colocar el origen de {Si} en la interseccin dezi-1 yzi.

c) zi-1 yzison paralelos: En este caso existen un nmero infinito derectas perpendiculares a ambos ejes y se tiene que ai=0, puesto queson paralelos. Adems resulta conveniente colocar xide modo queintersecte el origen de {Si-1}, as el offset entre eslabones diser cero(di=0).

Notar adems que los tres casos se expresan en los pasos DH5-DH6.

ii

iii zz

zz

x

1

1


Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH1)

link 0

link 1

link 2


16/43



eje 1

eje 2



eje 1

eje 2

z0

z1


17/43


Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH4-DH6)

eje 1

eje 2

z0

z1

x0

x1



eje 1

eje 2

z0

z1

x0

x1

y0

y1


18/43



eje 1

eje 2

z0

z1

x0

x1

y0

y1

z2=ay2=s

x2=n

x2=n

z2

y2=s



eje 1

eje 2

z0

z1

x0

x1

y0

y1

z2=ay2=s

x2=n

x2=n

z2

y2=s


d1

a1

d2

a2


1 q1 d1=0 a1 0

2 q2 d2=0 a2 0


19/43


1000

0100

0

0

),(),(),(),( 2222

2222

2222212121

sacs

casc

xRaxDdzDzRA


1000

0),(),(),(),( 11

1

iii

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiiiii

i

dcs

sacsccs

cassscc

xRaxDdzDzRA

Art iculac in i i d i ai i

1 q1 d1=0 a1 0

2 q2 d2=0 a2 0

1000

0100

00

),(),(),(),( 1111

1111

1111101010

sacs

casc

xRaxDdzDzRA


1000

0100

000

22

222

12

cs

asc

A

Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH13b)

1000

0

),(),(),(),( 111

iiiiiii

iiiiiii

iii

iiiiiiiii

i

cdccsss

sdsccsc

asc

zRdzDaxDxRA


1 q1 d1=0 a1 0

2 q2 d2=0 a2 0

1000

0100

000

11

111

01

cs

asc

A


20/43


Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH1)

link 0

link 1

link 2



eje 1

eje 2


21/43



eje 1

eje 2

z0

z1


Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH4-DH6)

x0

eje 1

eje 2

z0

z1x1


22/43



x0

eje 1

eje 2

z0

z1x1

y1

y0



x0

eje 1

eje 2

z0

z1x1

y1

y0

z2x2

x2=n

y2=s z2=a

y2


23/43



x0

eje 1

eje 2

z0

z1x1

y1

y0

z2x2

x2=n

y2=s z2=a

y2

d1

d2


1 q1 d1 0 -/2

2 0 q2 0 0

Tabla de Parmetros D-Hdel Robot 2-DOF RP-Planar


1000

100

0010

0001

),(),(),(),(2

2222212121

qxRaxDdzDzRA


1000

0),(),(),(),( 11

1

iii

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiiiii

i

dcs

sacsccs

cassscc

xRaxDdzDzRA

1000

010

00

00

),(),(),(),(1

11

11

1111101010

d

cs

sc

xRaxDdzDzRA


1 q1 d1 0 -/2

2 0 q2 0 0


24/43


1000

100

0010

0001

21

2

qA

Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH13b)

1000

0

),(),(),(),( 111

iiiiiii

iiiiiii

iii

iiiiiiiii

i

cdccsss

sdsccsc

asc

zRdzDaxDxRA

1000

00

100

00

11

1

11

01

cs

d

sc

A


1 q1 d1 0 -/2

2 0 q2 0 0


Ejercicios

Obtenga los parmetros DH para un robot:1. Cartesiano XY.2. SCARA (articulaciones RRP)3. Articulado con 6DOF R, como el Kuka KR16.

Robot Cartesiano2-DOF PP-Planar

Robot SCARA3-DOF RRP


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Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16


Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH1)

link 0

link 1

link 2link 3

link 4

link 5

link 6


26/43



eje 2

eje 1

eje 4eje 5

eje 6

eje 3



eje 2

eje 1

eje 4 eje 5

eje 6

z1

eje 3

z0

z3

z4

z5

z2


27/43


Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH4-DH6)

eje 2

eje 1

eje 4eje 5

eje 6

z1

x0

x1

eje 3

z0

z3

x4

z4

x5

z5

z2x3

x2



eje 2

eje 1

eje 4 eje 5

eje 6

z1

x0

x1

y0

y5

y2

y1

y3

eje 3

z0

z3

y4x4

z4

x5

z5

z2x3

x2


28/43



eje 2

eje 1

eje 4eje 5

eje 6

z1

x0

x1

y0

y5

y2

x6=n

y6=s

y1

y3

eje 3

z6=a

z0

z3

y4x4

z4

x5

z5

z2x3

x2



eje 2

eje 1

eje 4 eje 5

eje 6

z1

x0

x1

y0

y5

y2

d1

a1

a2

d4

x6=n

y6=sd6

a3

y1

y3

eje 3

z6=a

z0

z3

Como sera la tabla de parmetros D-H siarticulacin 4 fuese prismtica en vez de rotatoria?

Articulacin i i di ai i

1 q1 d1 a1 +/2

2 q2 0 a2 0

3 q3 0 a3 -/2

4 q4 d4 0 -/2

5 q5 0 0 +/2

6 q6 d6 0 0

Tabla de Parmetros D-Hdel Robot Kuka KR16

y4x4

z4

x5

z5

z2x3

x2


29/43


[ ] c1 c2 c3 c4 c5 c6 c1 c2 c3 s4 s6 c1 s2 s3 c4 c5 c6 c1 s2 s3 s4 s6 s1 s4 c5 c6 s1 c4 s6 s5 c6 c1 c2 s3 s5 c6 c1 s2 c3

[ ] c1 c2 c3 c4 c5 s6 c1 c2 c3 s4 c6 c1 s2 s3 c4 c5 s6 c1 s2 s3 s4 c6 s1 s4 c5 s6 s1 c4 c6 s5 s6 c1 c2 s3 s5 s6 c1 s2 c3

[ ] c 4 s 5 c 1 c 2 c 3 c 4 s 5 c 1 s 2 s 3 s 1 s 4 s 5 c 5 c 1 c 2 s 3 c 5 c 1 s 2 c 3

c 4 s 5 d 6 c 1 c 2 c 3 c 4 s 5 d 6 c 1 s 2 s 3 s 1 s 4 s 5 d 6 c 1 c 2 s 3 c 5 d 6 c 1 c 2 s 3 d 4 c 1 s 2 c 3 c 5 d 6 c 1 s 2 c 3 d 4 c 1 c 2 c 3 a 3 [

c 1 s 2 s 3 a 3 c 1 c 2 a 2 c 1 a 1 ]

[ ] s1 c2 c3 c4 c5 c6 s1 c2 c3 s4 s6 s1 s2 s3 c4 c5 c6 s1 s2 s3 s4 s6 c1 s4 c5 c6 c1 c4 s6 s5 c6 s1 c2 s3 s5 c6 s1 s2 c3

[ ] s1 c2 c3 c4 c5 s6 s1 c2 c3 s4 c6 s1 s2 s3 c4 c5 s6 s1 s2 s3 s4 c6 c1 s4 c5 s6 c1 c4 c6 s5 s6 s1 c2 s3 s5 s6 s1 s2 c3

[ ] c 4 s 5 s 1 c 2 c 3 c 4 s 5 s 1 s 2 s 3 c 1 s 4 s 5 c 5 s 1 c 2 s 3 c 5 s 1 s 2 c 3

c4 s5 d6 s1 c2 c3 c4 s5 d6 s1 s2 s3 c1 s4 s5 d6 s1 c2 s3 c5 d6 s1 c2 s3 d4 s1 s2 c3 c5 d6 s1 s2 c3 d4 s1 c2 c3 a3 [

s 1 s 2 s 3 a 3 s 1 c 2 a 2 s 1 a 1 ]

[ ] s 2 c 3 c 4 c 5 c 6 s 2 c 3 s 4 s 6 c 2 s 3 c 4 c 5 c 6 c 2 s 3 s 4 s 6 s 5 c 6 s 2 s 3 s 5 c 6 c 2 c 3

[ ] s 2 c 3 c 4 c 5 s 6 s 2 c 3 s 4 c 6 c 2 s 3 c 4 c 5 s 6 c 2 s 3 s 4 c 6 s 5 s 6 s 2 s 3 s 5 s 6 c 2 c 3

[ ] c 4 s 5 s 2 c 3 c 4 s 5 c 2 s 3 c 5 s 2 s 3 c 5 c 2 c 3

[ ] c 4 s 5 d 6 s 2 c 3 c 4 s 5 d 6 c 2 s 3 s 2 s 3 c 5 d 6 s 2 s 3 d 4 c 2 c 3 c 5 d 6 c 2 c 3 d 4 s 2 c 3 a 3 c 2 s 3 a 3 s 2 a 2 d 1

[ ]0

[ ]0

[ ]0[ ]1

6

5

5

4

2

1

1

0 AAAAT

]4,4[

]3,4[

]2,4[

]1,2[

]4,1[

]3,1[

]2,1[

]1,1[

T

T

T

T

T

TT

T


6

3

3

0 AAT

c 4 c 5 c 6 s 4 s 6 c 4 c 5 s6 s 4 c 6 c 4 s 5 c4 s5 d6

s 4 c 5 c 6 c 4 s 6 s 4 c 5 s6 c4 c 6 s 4 s 5 s4 s5 d 6

s5 c6 s5 s6 c5 c5 d6 d 4

0 0 0 1

63A

c1 c2 c3 c1 s2 s3 s1 c1 c2 s3 c1 s2 c3 c 1 c 2 c 3 a 3 c 1 s 2 s 3 a 3 c 1 c 2 a 2 c 1 a 1

s 1 c 2 c 3 s 1 s 2 s3 c 1 s1 c2 s3 s1 s2 c3 s 1 c 2 c 3 a 3 s 1 s 2 s 3 a 3 s 1 c 2 a 2 s 1 a 1

s 2 c 3 c 2 s 3 0 s 2 s 3 c 2 c 3 s2 c 3 a 3 c 2 s3 a 3 s 2 a 2 d 1

0 0 0 1

30A


Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (Simplificado)

eje 2

eje 1

eje 4 eje 5

z1

x0

x1

y0

y5

y2

d1

a2

d4

x6=n

y6=s

a3

y1

y3

eje 3

z6=a

z0

z3



1 q1 d1 a1 +/2

2 q2 0 a2 0

3 q3 0 a3 -/2

4 q4 d4 0 -/2

5 q5 0 0 +/2

6 q6 d6 0 0


eje 6

y4x4

z4

x5

z2x3

x2

a1

d6

z5


30/43


Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (Repaso)

eje 2

eje 1

eje 4eje 5

eje 6

z1

x0

x1

y0

y5

y2

d1

a1

a2

d4

x6=n

y6=sd6

a3

y1

y3

eje 3

z6=a

z0

z3



1 q1 d1 a1 +/2

2 q2 0 a2 0

3 q3 0 a3 -/2

4 q4 d4 0 -/2

5 q5 0 0 +/2

6 q6 d6 0 0


y4x4

z4

x5

z5

z2x3

x2


RNE


31/43


RNE Supuestos para cada eslabn




32/43






33/43




RNE Alg. 1


34/43


Forward Equations: For i = 1 to n


Backward Equations: For i = n to 1


35/43


RNE Alg. 1


RNE Alg. 1


36/43


RNE Alg. 1


RNE Alg. 2


37/43






38/43


RNE Alg. 3 (= Alg. 2 notacin compacta)


RNE Alg. 3


39/43


Alg. 3


Alg. 3 Inicializacin


40/43


Alg. 3 Inicializacin




41/43




Ejemplos en Maple y en Matlab

2-DOF RR-Planar 2-DOF RP-Planar


42/43



eje 1

eje 2

z0

z1

x0

x1

y0

y1

z2=ay2=s

x2=n

x2=n

z2

y2=s


d1

a1

d2

a2


1 q1 d1=0 a1 0

2 q2 d2=0 a2 0



x0

eje 1

eje 2

z0

z1x1

y1

y0

z2x2

x2=n

y2=s z2=a

y2

d1

d2


1 q1 d1 0 -/2

2 0 q2 0 0

Tabla de Parmetros D-Hdel Robot 2-DOF RP-Planar


43/43


Gracias!

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