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OPTIMIZACIÓN Análisis de funciones algebraicas

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OPTIMIZACIÓN

Análisis de funciones

algebraicas

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INTEGRANTES

ING JUAN ALBERTO BALLINAS LEÓN

ING ALBERTO COCOM CELAYA

ING ISAEL TOLEDO SÁNCHEZ

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AGRADECIMIENTOS

A EL COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE MEXICO POR EL APOYO Y SOPORTE PARA LA REALIZACION EFICAZ DE ESTE DIPLOMADO

AL INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL POR LA IMPARTICION DEL MISMO

A NUESTRO PONENTE ING. SERGIO FLORES POR SU PACIENCIA, SAPIENCIA Y AMISTAD

A NUESTROS COMPAÑEROS POR SU ENTUSIASMO

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JUSTIFICACIÓN

Como profesores, sabemos que los problemas de tasa relacionada y máximos y mínimos aplicados, o de optimización, puede ser una experiencia desalentadora para algunos estudiantes de cálculo. En el caso típico, la interpretación correcta de las palabras de tales problemas, para formar una ecuación o una función, es el mayor desafío para los alumnos

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OBJETIVO

Aplicar el pensamiento crítico al resolver problemas reales de diversos entornos a través de la optimización que el cálculo diferencial ofrece y, muy particularmente el análisis de funciones por medio de máximos y mínimos mediante los criterios de la derivada de primer y segundo orden, logrando una agudeza mental más eficaz y eficiente, así como el razonamiento complejo

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EJEMPLO 1

Dada la función determinar empleando

los criterios de la primera y segunda derivada:Números críticos de primer ordenIntervalos en los que F(x) es creciente y decrecienteMáximos y mínimosNúmeros críticos de segundo ordenIntervalos en los que F(x) es cóncava hacia arriba o

cóncava hacia abajoPuntos de Inflexión

4 32( ) 3

12 6

x xF x x

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SOLUCIÓN7

4 32

3 2

1

3 22

3

( ) 34 6

1 1( ) 6

3 2

0

1 1 76 0

3 2 25

x xF x x

DERIVAMOS

f x x x x

IGUALAMOS A CERO f Y RESOLVEMOS

x

x x x x

x

X1= -5

X2= 0

X3 = 7/2

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75 0

2'( 6) '( 4) '(1)

'( 4) '(1) '(4)

7( 5, 43.7) (0,0) ( , 17)

2

APLICAMOS CRITERIO DE LA DERIVADA

ALREDEDOR DE ALREDEDOR DE ALREDEDOR DE

f f f

f f f

MINIMO MAXIMO MINIMO

LAS COORDENADAS DE CADA PUNTO

f(x) Crece Máximo Decrece

f '(x)C + 0 -

f ''(x)C - - -

f(x) Decrece Mínimo Crece

f '(x)C - 0 +

f ''(x)C   +  

0 7/2

-5

- -+ +

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2

12

2

7( , 5) (0, )

2

7( 5,0) ( , )

22ª

¨( ) 6

36 0

2

( 3) 24.75

(

LA FUNCION DECRECE EN LOS SIGUIENTES INTERVALOS

y

LA FUNCION CRECE EN LOS SIGUIENTES INTERVALOS

y

DETERMINAMOS LOS PUNTOS DE INFLEXION CON LA DERIVADA

f x x x

xx x

x

F

F

2) 9.3

( 3, 24.75), (2, 9.3)

ENTONCES

PI

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EJEMPLO 2

Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 de ancha. Para ello se recortará un cuadro en cada esquina y se doblará. ¿Cuál debe ser el lado del cuadro cortado para que el volumen de la caja resultante sea máximo?

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SOLUCIÓN

A partir del enunciado puede seguirse el proceso que se detalla a continuación:

1. Determinar el objetivo del problema: lo que hay que hacer máxima o mínima. En el ejemplo anterior el objetivo es que el volumen de la caja sea máximo.

2. Expresar en forma de función tal objetivo. La caja es un prisma rectangular: volumen = área de la base por la altura. Para mejor comprensión conviene hacer un dibujo.

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SOLUCIÓN ANALÍTICA

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EJEMPLO 3

Una empresa distribuidora de café tiene una función de demanda, representada por

p =precio q =cantidad demandada en

toneladas

2( ) 0.3 0.6 3000p q q q

$U S

tonelada

Demanda

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De lo anterior:

a) Representar gráficamente la función demanda

b) Siendo I el ingreso total de la empresa el producto de la cantidad demandada por el precio de venta , determina:i) El nivel de demanda que hace máximo el ingreso totalii) El ingreso máximo correspondienteiii) El precio correspondiente

( )p q

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SOLUCIÓN

El bosquejo de la función demanda

implica considerar que

Es decir solo consideramos valores positivos de la demanda (q)

Por inspección de la grafica identificamos que se trata de una función cuadrática con concavidad negativa

2( ) 0.3 0.6 3000p q q q

0q

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b) Siendo y sustituyendo p por su expresión

Entonces obtenemos

La cual de acuerdo al grafico solo estudiaremos en el intervalo

[0,99]Aplicamos el criterio de la primer derivada:i)

*I p q2( ) 0.3 0.6 3000p q q q

3 2( ) 0.3 0.6 3000 ( )I q q q q funcion ingreso

2 2'( ) 0.9 1.2 3000

'( ) 0

57

I q q q

I q

q toneladas numero critico

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Estudiemos el signo de la derivada primera de la función para justificar que el punto critico corresponde a un máximo:

Signo de

De tal forma que:ii)

iii) Y el precio de venta es:

'( )I q

mI $ 113500ax U S

$(57) 1990U Sp ton

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EJERCICIOS A DESARROLLAR

Se tiene una lámina circular que tiene de radio 70 cm. De la que se desea cortar un rectángulo de la mayor área posible.

¿Qué medidas debe tener el rectángulo?¿Cuál debe ser el área máxima)

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Con una malla de 380 m. se desea cercar un terreno rectangular.

¿Cuáles deben ser las medidas del terreno para que su área sea máxima?

Se pueden cercar infinidad de terrenos rectangulares con una malla de 380 m. aquí algunos casos.Terreno num. largo ancho Perímetro Área

1 110 m. 80 m 380 m 8800 m22 140 m. 50 m 380 m 7000 m23 112 m. 78 m 380 m 8736 m24 100 m. 90 m 380 m 9000 m2

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BIBLIOGRAFÍA

DENNIS G. ZILL, MATE 1 CALCULO DIFERENCIAL,

MC GRAW HILL

FUENLABRADA SAMUEL, MATE IV CALCULO DIFERNECIAL, MC GRAW HILL

SWOKOWSKI EARL, CALCULO CON GEOMETRIA ANALÍTICA, GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICA

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GRACIAS