Preguntas y Ejercicios Resueltos

Taller 01 de Electromagnetismo 1

Pregunta rpida 1.1

Dos varillas aislantes se encuentran cargadas con cargas de signo contrario en sus dos extremos. Las dos varillas estn apoyadas sobre sus centros, de modo que pueden girar libremente, y colocadas en la posicin que se muestra en la figura 1.1, vista desde arriba. El plano de rotacin de las varillas es el plano del papel. Vuelven las varillas a dicha posicin si se las separa ligeramente y luego se las libera? Si no es as, a qu posicin se movern? Representa la posicin final (o posiciones finales, si hay ms de una) un equilibrio estable?

Figura 1.1 Si se perturba el sistema volver a esta posicin?

Respuesta y explicacin

La configuracin es inherentemente inestable. Las cargas negativas se repelen. Cualquier ligera rotacin de una de las varillas podra producir una rotacin adicional que alejara el sistema de su posicin inicial. En el siguiente diagrama se muestran tres posibles configuraciones finales. La configuracin (a) es estable: si se acercan los extremos superiores cargados positivamente, se repelern y devolvern el sistema a su posicin inicial. La configuracin (b) representa un equilibrio inestable: si se acercan los extremos superiores, la atraccin entre ellos ser mayor que la de los extremos inferiores, acabndose en la configuracin (c). La configuracin (c) es estable.

(a) (b)

(c)

Figura 1.2 Explicacin de la pregunta rpida 1.1 Situacin problmica 1.1

Una esfera cargada positivamente, pendiente de un hilo, se sita cerca de un objeto no conductor. La esfera es atrada por el objeto. A partir de este experimento, no es posible determinar si el objeto est cargado negativamente o es neutro.

Por qu no? Qu experimento adicional sera de ayuda para decidir entre ambas posibilidades?

Razonamiento La atraccin entre la esfera y el objeto puede ser una atraccin de cargas de signo contrario o tambin puede ser la atraccin entre un objeto cargado y uno neutro debido a la polarizacin de las molculas del objeto neutro. Hay dos posibles experimentos adicionales que ayudaran a determinar si el objeto estar cargado negativamente cerca del objeto; si la esfera es repelida por el objeto, ste estar cargado negativamente. Otra posibilidad consiste en situarse una esfera carga negativamente cerca del objeto; si la esfera es repelida por el objeto, ste estar cargado negativamente. Si la esfera es atrada por l, el objeto tendr una carga neutra. Pregunta rpida 1.2 El objeto A tiene una carga de +2 C y el objeto B tiene una carga de + 6 C. Cul de las siguientes es correcta? (a) FAB = - 3FBA (b) FAB = - FBA (c) 3FAB = - FBA

Respuesta y explicacin (b) A partir de la tercera ley de Newton, la fuerza elctrica que B ejerce sobre A es de igual magnitud y sentido contrario a la que A ejerce sobre B, es decir, FAB = - FBA Pregunta rpida 1.3

Una carga de prueba puntual de + 3 C se encuentra situada en un punto P, donde el campo elctrico debido a una serie de cargas fuente se dirige hacia la derecha y tiene una magnitud de 4x106 N/C. Si la carga de prueba se sustituye por una carga de 3 C, qu le sucede al campo elctrico en P?


Nada, suponiendo que las cargas fuente que crean el campo no sean perturbadas por nuestras acciones. Recuerde que el campo elctrico no es creado por la carga de + 3 C ni por la carga de -3 C, sino por las serie de cargas fuente. Pregunta rpida 1.4

Una pelota de plstico muy pequea, recubierta de metal y de carga neutra, est suspendida en el espacio entre dos placas metlicas verticales,


donde existe un campo elctrico uniforme. Si las dos placas estn cargadas, una positiva y la otra negativamente, describa el movimiento de la pelota despus de ponerla en contacto con una de las placas.


Las dos placas cargadas crean una regin de campo elctrico uniforme entre ellas, dirigido desde la positiva hacia la negativa. Si la pelota se perturba de modo que toque una de las placas, por ejemplo la negativa, una cierta carga negativa se transferir a la pelota, que experimentar una fuerza de repulsin que acelerar hacia la placa positiva. Cuando toque la placa positiva, ceder su carga negativa y adquirir carga positiva, y se acelerar de nuevo hacia la placa negativa. La pelota continuar realizando este movimiento de un lado a otro hasta que haya transferido la carga entre ellas, dejando ambas placas en estado elctricamente neutro. Pregunta rpida 1.5

Cuando hace buen tiempo, aparece un campo elctrico sobre la superficie de la Tierra, que apunta hacia el interior de sta. Cul es el signo de la carga del suelo en dicho caso?


Negativa, puesto que la lneas de campo elctrico apuntan hacia abajo, el suelo debe tener cargas negativas. Pregunta rpida 1.6 Ordene los valores de la magnitud del campo elctrico en los puntos A, B y C de la figura 1.3, de mayor a menor.

Figura 1.3 Lneas de campo elctrico por dos cargas puntuales positivas


A, B y C. El campo elctrico mximo en A, puesto que las lneas se encuentran ms juntas. El hecho de que no haya lneas en C indica que el campo all es cero. Ejemplo conceptual 1.1

Si un objeto suspendido A es atrado hacia el objeto B, que est cargado, podemos concluir que el objeto A est cargado?

Razonamiento

Figura 1.4: Atraccin electrosttica entre una esfera cargada B y un conductor neutro A

No. El objeto A podra tener una carga de signo opuesto a la de B, pero tambin podra ser neutro. En este ltimo caso , el objeto B hace que A se polarice, con lo cual atrae carga de un signo a la cara cercana de A, y al mismo tiempo desplaza una cantidad igual de carga del signo opuesto hacia la cara lejana, como se muestra en la figura 1.4. As, la fuerza de atraccin ejercida sobre B por cara inducida en el lado cercano de A es ligeramente mayor que la fuerza de repulsin ejercida sobre B por la carga inducida en lado lejano de A. En consecuencia, la fuerza neta sobre A est dirigida hacia B. Ejemplo 1.2 Determinacin de la fuerza resultante

Considere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de un tringulo, como se muestra en la figura 1.5, donde q1 = q2 = 5.0 C, q3 = - 2.0 C y a = 0.10 m. Encuentre la fuerza resultante sobre q3.

Solucin

Primero observe la direccin de las fuerzas individuales ejercidas sobre q3 por q1 y q2. La fuerza ejercida sobre q3 por q2 es atractiva debido


a que q3 y q2 tienen signos opuestos. La fuerza ejercida sobre q3 por q1 es repulsiva debido a que ambas son positivas.

Figura 1.5 La fuerza ejercida sobre q3 por q1 es F31. La fuerza ejercida sobre q3 por q2 es F32. La fuerza resultante ejercida por F3 sobre q3 es el vector suma F31 + F32

Calcule ahora la magnitud de las fuerzas sobre q3. La magnitud de F32 es:

2

23

e32a

qqkF

2

66

2

29

m 10.0

C10x0.2C10x0.5

C

m.N10x99.8

N0.9

Advierta que en vista de que q3 y q2 tienen signos opuestos, F32 est dirigido hacia la izquierda, como se muestra 1.5

La magnitud de la fuerza ejercida sobre q3 y q1 es

213

e31

a2

qqkF

2

66

2

29

m 10.02

C10x0.5C10x0.5

C

m.N10x99.8

N0.11

La fuerza F31 es repulsiva y forma un ngulo de 45 con el eje x. En consecuencia, las componentes x y y de F31 son iguales, con magnitud dada por F31cos45 = 7.9 N. La fuerza F32 est en la direccin x negativa. Por tanto, las componentes x y y de la fuerza resultante sobre q3 son

Fx = F31x + F32x = 7.9 N - 9.0 N = -1.1 N

Fy = F31y = 7.9 N La fuerza resultante sobre q3, en forma de vector unitario como F1 = (-1.1i +7.9j) N. Ejemplo 1.3 Dnde es igual a cero la fuerza resultante?

Tres cargas se encuentran a lo largo del eje x, como se muestra en la figura 1.6. La carga positiva q1 = 15.0 C est en x = 2.00 m y la carga positiva q2 = - 6.00 C est en el origen. Dnde debe estar situada la carga q3 sobre el eje x de manera que la fuerza resultante sobre ella sea cero?

Solucin

Puesto que q3 es negativa y tanto q1 como q2 son positivas las fuerzas F31 y F32 son atractivas, segn se indica en la figura 1.6. Si dejamos que x sea la coordenada de q3 entonces las fuerzas F31 y F32 tienen magnitudes

213

e31x00.2

qqkF

y

2

23

e32x

qqkF

Figura 1.6 Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje x. La carga q3 es negativa, en tanto que q1 y q2 son positivas: Si la fuerza neta sobre q3 es cero, entonces la fuerza sobre q3 debida a q1 deber ser igual y opuesta a la fuerza sobre q3 debida a q2.

Para que la fuerza resultante sobre q3 sea cero, F32 debe ser igual y opuesta a F31, o

213

e2

23

ex00.2

qqk

x

qqk

Puesto que ke y q3 son comunes en ambos lados, despejamos x y encontramos que

12

2

2qxqx00.2

C100.15xC1000.6xx00.400.4 6262


Al resolver est ecuacin cuadrtica para x, encontramos que x = 0.775 m Ejemplo 1.4 El tomo de hidrgeno

El electrn y el protn de un tomo de hidrgeno estn separados por una distancia en promedio de 5.3x10-11 m. Encuentre la magnitud de la fuerza elctrica y la fuerza gravitacional entre las dos partculas.

Solucin

De acuerdo con ley de Coulomb, encontramos que la fuerza elctrica atractiva tiene la magnitud

2

2

eer

ekF

211

219

2

29

e

m10x3.5

C10x60.1

C

m.N10x99.8F

N10x2.8F 8e

Utilizando la ley de gravedad de Newton para las masas de partculas determinamos que la fuerza gravitacional tiene la magnitud

2

pe

gr

mmGF

211

2731

2

211

g

m10x3.5

kg10x67.1kg10x11.9

kg

m.N10x7.6F

N10x6.3F 47g

La razn 39

g

e 10x2F

F . As pues, la fuerza

gravitacional entre partculas atmicas cargadas es despreciable comparada con la fuerza elctrica. Ejemplo 1.5 Determinacin de la carga en esferas

Dos pequeas esferas idnticas cargadas, cada una con 3.0x10-2 kg de masa, cuelgan en equilibrio como se indica en la figura 1.7. Si la longitud de cada cuerda es 0.15 m y el ngulo = 5.0, encuentre la magnitud de la carga sobre cada esfera.

Figura 1.7 Dos esferas idnticas, cada una con la misma carga q, suspendida en equilibrio por medio de cuerdas.

De acuerdo con el tringulo rectngulo de la

figura 1.7, vemos que L

asen . Por

consiguiente

m013.00.5senm15.0Lsena

La separacin de las esferas es 2a = 0.026 m

Figura 1.8 El diagrama de cuerpo libre para la esfera cargadas en el lado izquierdo.

La fuerza que actan sobre una de las esferas se muestran en la figura 1.8: Debido a que la esfera est en equilibrio, las resultantes de las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical deben sumar cero por separado:


0FTsenF )1 ex

0mgcosTF )2 y

En la ecuacin (2), venos que

cos

mgT , por lo

que T puede eliminarse de 1) si hacemos esta sustitucin. Lo anterior brinda un valor para la

fuerza elctrica, eF

tan )3 mgFe

0.5tans/m80.9kg10x0.3F 22e N10x6.2F 2e

De la ley de Coulomb, la fuerza elctrica entre las cargas tiene magnitud

2

2

eer

qkF

donde r = 2a = 0.026 m y la q es la magnitud de

la carga en cada esfera. (Advierta que el trmino 2

q surge aqu debido a que la carga es la misma

en ambas esferas). En esta educacin puede

despejarse 2

q y obtenerse

229

22

e

e2

C/m.N10x99.8

)m026.0)(N10x6.2(

k

rFq

C10x4.4q 8

Ejemplo 1.6 Fuerza elctrica sobre un protn Encuentre la fuerza elctrica sobre un protn ubicado en un campo elctrico de 2.0x104 N/C dirigido a lo largo del eje x positivo.

Solucin

Puesto que la carga sobre el protn es + e = 1.6x10-19 C, la fuerza elctrica sobre l es

F = eE = (1.6x10-19 C)(2.0x104i N/C) = 3.2x10-15N

donde i es un vector unitario en la direccin x positiva.

El peso del protn es mg = (1.67x10-27kg)(9.8m/s2) = 1.6x10-26 N. Por consiguiente, vemos que la magnitud de la fuerza gravitacional en este caso es despreciable comparada con la fuerza elctrica.

Ejemplo 1.7 Campo elctrico debido a dos cargas

Una carga q1 = 7.0 C se localiza en el origen y una segunda carga q2 = - 5.0 C se ubica en el eje x a 0.30 m del origen, (figura 1.9). Encuentre el campo elctrico en el punto P, el cual tiene coordenadas (0, 0.40) m.

Solucin

Primero encuentre la magnitud del campo elctrico producido por cada carga. Los campos E1 producidos por la carga de 7.0 C y E2 debido a la carga - 5.0 C se muestran en la figura 1.9. Sus magnitudes son

2

6

2

29

2

1

1

140.0

100.7.1099.8

m

Cx

C

mNx

r

qKE e

CNxE /109.3 51

2

6

2

29

2

2

2

250.0

100.5.1099.8

m

cx

C

mNx

r

qKE e

CNxE /108.1 52

Figura 1.9 El campo elctrico total E en P es igual a la suma vectorial E1+E2, donde E1 es campo debido a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la carga negativa q2

El vector E1 tiene slo una componente y. El vector E2 tiene una componente x dada por


E1cos = 3/5E1 y, una componente negativa dada por -E2Sen = -4/5 E2. Por tanto, podemos expresar el vector como

E1 = 3.9x105j N/C

E2 = (1.1 x105i -1.4 x105 j) N/C

El campo resultante E en P es la superposicin de E1 y E2:

E = E1 + E2 = (1.1X105i + 2.5x105j) N/C

De acuerdo con este resultado, encontramos que E tiene una magnitud de 2.7x05 N/C y forma un ngulo de 66 con el eje x positivo. Ejemplo 1.8 Campo elctrico de un dipolo

Un dipolo elctrico est compuesto por una carga positiva +q y una carga negativa -q separadas por una distancia 2a, como se muestra en la figura 1.10. Determine el campo elctrico E debido a estas cargas a lo largo del eje y en el punto P, el cual est a una distancia y del origen. Suponga que y >>a.

Solucin

En P, los campos E1 y E2 debido a las dos cargas son iguales en magnitud, ya que P es equidistante de las dos cargas iguales y opuestas. El campo total E = E1 + E2, donde

222221 ayq

kr

qkEE ee

Las componentes y de E1 y E2 se cancelan entre s. Las componentes x son iguales pues ambas estn a lo largo del eje x. En consecuencia, E es paralela al eje x y tiene una magnitud igual a 2E1cos. En la figura 1.10 vemos que cos = a/r = a/(y2+a2)1/2.

2/12222212cos2

ay

a

ay

qkkEE e

2/3222

ay

qakE e

Utilizando la aproximacin y>>a, podemos ignorar a2 en el denominador y escribir

3

2

y

qakE e

Figura 1.10 El campo elctrico total E en P debido a dos cargas iguales y opuestas (un dipolo elctrico) es igual a la suma vectorial E1+E2. El campo E1 se debe a la carga positiva +q y E2 es el campo debido a la carga negativa q.

De este modo vemos que a lo largo del eje y el campo de un dipolo en un punto distante vara como 1/r3, en tanto que el campo de variacin ms lenta de una carga puntual vara como 1/r2 en E para el dipolo se obtiene tambin para un punto distante a lo largo del eje x (solucionar este problema) y para un punto distante general. El dipolo es un buen modelo de muchas molculas como el HCl Ejemplo 1.9 Campo elctrico debido a una barra cargada

Una barra de longitud tiene una carga positiva uniforme por longitud unitaria y una carga total Q. Calcule el campo elctrico en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de un extremo (Figura 1.11)

Razonamiento y solucin

En este clculo se considera que la barra est sobre el eje x. Utilicemos x para representar la longitud de un pequeo segmento de la barra y expresamos con q la carga sobre el segmento. La proporcin entre q y x es igual a la proporcin entre la carga total y la longitud total de


la barra. Es decir q/ x = Q/ = . Por tanto, la carga q sobre el pequeo segmento es q = x.

Figura 1.11 El campo elctrico en P debido a una barra est cargada uniformemente que yace a lo largo del eje x. El campo en P debido al segmento de carga q es ke q/x2. El campo total en P es la suma vectorial sobre todos los segmentos de la barra.

El campo E producido por este segmento en el punto P est en la direccin x negativa y su magnitud es

22 x

xk

x

qkE ee

Observe que cada elemento produce un campo en la direccin x negativa por lo que el problema de sumar sus contribuciones es particularmente simple en este caso. El campo total en P producido por todos los segmentos de la barra, que se encuentran a diferencia distancias desde P, est dado por la siguiente ecuacin

rr

dqkE e 2

, que en este caso se convierte en:

d

de

x

dxkE

2

donde los lmites en la integral se extienden desde un extremo se la barra (x =d) hasta el otro (x = + d). Puesto que ke y son constantes, pueden salir del integrando. De esta forma encontramos que

d

d

e

d

de

xk

x

dxkE

1

2

ddQk

ddkE ee

11

donde hemos usado el hecho que la carga total Q = .

A partir de este resultado vemos que si el punto P est bastante lejos de la barra (d >> ), entonces puede ignorarse en el denominador, y E = keQ/d2. Esta es exactamente la forma que usted esperara para una carga puntual. Por tanto, en el caso de grandes valores de d/ , la contribucin de la carga aparece como una carga puntual de magnitud Q. Utilizar la tcnica de lmite (d/ ) es un buen mtodo para verificar una frmula terica. Ejemplo 1.10 Campo elctrico de un anillo de carga uniforme

Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud, con una carga total Q. Calcule el campo elctrico d lo largo del eje x del anillo en un punto P que se encuentra a una distancia x del centro del anillo ( Ver figura 1.12)


Figura 1.12 Un anillo cargado uniformemente de radio a (a) El campo en P sobre el eje x debido a un elemento de carga dq (b) El campo elctrico total en P est a lo largo del eje x. Advierta que la componente perpendicular del campo elctrico en P debido al segmento 1 es cancelado por la componente perpendicular debida al segmento 2, el cual se localiza en el segmento q opuesto al anillo.


La magnitud del campo elctrico en P debido al segmento de carga dq es

2r

dqkdE e

Este campo tiene una componente dEx = dEcos a lo largo del eje del anillo y una componente dE perpendicular al eje. Sin embargo, como vemos en la figura 1.12, el campo resultante en P debe estar sobre el eje x debido a que la suma de las componentes perpendiculares es igual a cero. Es decir, la componente de cualquier elemento es cancelada por la componente perpendicular de un elemento en el lado opuesto del anillo. Puesto que r = (x2 + a2)1/2 y cos = x/r encontramos que

dq

ax

xk

r

x

r

dqkdEdE eex 2/3222

cos

En este caso, todo los segmentos del anillo producen la misma contribuciones al campo en P puesto todos son equidistantes de este punto. As, podemos integrar la expresin anterior para obtener el campo total en P.

dq

ax

xkdq

ax

xkE eex 2/3222/322

Q

ax

xkE ex 2/322

Este resultado nuestra que el campo es cero en x = 0 Esto le sorprende? Ejemplo 1.11 Campo elctrico de un disco cargado uniformemente

Un disco de radio R tiene una carga uniforme por unidad de rea . Calcule el campo elctrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje central del disco y a una distancia x de su centro (ver figura 1.13).

Razonamiento

La solucin a este problema es directa si consideramos al disco como un conjunto de anillos concntricos. Podemos usar entonces el ejemplo 1.10, el cual produce el campo de un anillo de radio r, y sumar las contribuciones de todos los anillos que conforman el disco. Por simetra, el campo sobre un punto axial debe ser paralelo a este eje.

Figura 1.13 Un disco cargado uniformemente de radio R. El campo elctrico en un punto axial P est dirigido a lo largo de este eje, perpendicular al plano del disco.

Solucin

El anillo de radio r y ancho dr tiene un rea igual a 2rdr (ver figura 1.13). La carga dq sobre este anillo es igual al rea del anillo multiplicada por la carga por unidad de rea, o dq = 2rdr: Usando este resultado en la ecuacin dada para Ex en el ejemplo 1.10 (con a sustituida por r) se produce para el campo debido al anillo la expresin

rdr

ax

xkdE e 2

2/322

Para obtener el campo total en P, integramos esta expresin sobre los lmites r = 0 hasta r = R, observando que x es una constante. Esto se transforma en:

R

e

rx

rdrxkE

0 2/322

2

R

e

rxxkE

0

2/122

2/1

2/122 Rx

x

x

xkE e

El resultado es vlido para todos los valores de x. El campo cercano al disco sobre un punto axial puede obtener tambin a partir de 1) suponiendo que R > x.

02

xkE e


donde 0 es la permitividad del campo espacio libre o vaco. Ejemplo 1.12 Una carga positiva acelerada

Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo elctrico uniforme E dirigido a lo largo del eje x, como se muestra en la figura 1.14 Describa su movimiento

Figura 1.14 Una carga puntual positiva q en un campo elctrico uniforme E experimenta una aceleracin constante en la direccin del campo.


La aceleracin de la carga es constante y est dada por qE/m. El movimiento es en lnea recta a lo largo del eje x. Por consiguiente, podemos aplicar las ecuaciones de la cinemtica para movimiento rectilneo con aceleracin constante.

2

002

1attvxx atvv 0

02

0

2 2 xxavv

Si x0 = 0 y v0 = 0 se obtiene

22

22

1t

m

qEatx

tm

qEv

xm

qEv

22

La energa cintica de al carga despus de que se ha movido una distancia x es

qExxm

qEmmvK

2

2

1

2

1 2

Este resultado tambin puede obtener del teorema del trabajo y la energa, gracias a que el trabajo

realizado por la fuerza elctrica es qExxFe y

KW Ejemplo 1.13 Un electrn acelerado En la figura 1.15 se muestra un electrn que entra a la regin de un campo elctrico uniforme con v0 = 3.00x106 m/s y E = 200 N/C. El ancho de las placas es = 0.100 m (a) Encuentre la aceleracin del electrn mientras est en el campo elctrico.

Figura 1.15 Un electrn se lanza horizontalmente en un campo elctrico uniforme producido por dos placas cargadas: El electrn se somete a una aceleracin hacia abajo (opuesta E) y su movimiento es parablico.

Solucin

Puesto que la carga en el electrn tiene una magnitud de 1.60x10-19C y m = 9.11x10-31 kg, utilizando un anlisis similar al ejemplo 1.12 se tiene que

j

kgx

CNCxj

m

eEa

31

19

1011.9

/200106.1

smjxa / 1051.3 13

b) Encuentre el tiempo que tarda el electrn en viajar a travs de la regin

Solucin

La distancia horizontal recorrida por el electrn mientras est en el campo elctrico es = 0.100 m. Empleando la ecuacin x = v0t con


x = , encontramos que el tiempo que transcurre en el campo elctrico es

sxv

t 86

0

1033.3m/s 3.00x10

m 100.0

c) cul es el desplazamiento vertical y del electrn mientras est en el campo elctrico?

Solucin

Utilizando la ecuacin 22

2

1

2

1t

m

eEaty y los

resultados de a) y b), encontramos que

282132 1033.3/1051.32

1

2

1sxsmxaty

cmmy 95.10195.0

Si la separacin entre las placas es ms pequea que esto, el electrn golpear la placa positiva. Pregunta rpida 1.7

Para una superficie gaussiana a travs de la cual el flujo neto sea cero, las siguientes cuatros afirmaciones podran ser ciertas. Cules de ellas deben ser necesariamente ciertas? (a) No hay cargas en el interior de la superficie. (b) La carga neta en el interior de la superficie es cero. (c) El campo elctrico es cero en todos los puntos de la superficie. (d) El nmero de lneas de campo elctrico que entran en superficie es igual al nmero de lneas de campo que salen de ella.

Explicacin y respuesta

Figura 1.16 Carga puntual situado en el exterior de una superficie cerrada. El nmero de lneas que entran en la superficie es igual al de lneas que salen de la misma.

(b) y (d). (a) no es necesariamente cierta, puesto que podra haber el mismo nmero de cargas positivas y negativas en el interior de la superficie. (c) no es necesariamente cierta, como puede en la figura 1.16, donde existe un campo elctrico no nulo sobre todos los puntos de la superficie, pero la carga neta cerrada por sta es cero, de modo que el flujo elctrico neto es cero. Situacin problmica 1.2

Una superficie gaussiana esfrica encierra una carga puntual q. Describa qu le ocurre al flujo neto a travs de la superficie si (a) se triplica la carga, (b) se duplica el volumen de la esfera, (c) la superficie se convierte en un cubo, y (d) la carga se mueve a otro punto en el interior de la superficie.

Razonamiento

(a) Si se triplica la carga, el flujo neto a travs de la superficie tambin se triplica, puesto que el flujo neto es proporcional a la carga encerrada por la superficie. (b) El flujo neto permanece constante si el volumen vara puesto que la superficie sigue encerrando la misma carga, sin importar su volumen. (c) El flujo neto no vara cuando vara la forma de la superficie cerrada. (d) El flujo neto a travs de la superficie cerrada permanece constante si la carga se mueve a otro punto, mientras este segundo punto se encuentre en el interior de la superficie. Situacin problmica 1.3 Considere una carga puntual +Q situada en el espacio vaco. Se rodea la carga con cascarn esfrico conductor, de modo que la carga se encuentre en el centro de ste. Qu efecto tiene esto sobre las lneas de campo creadas por la carga?

Razonamiento

Al rodear la carga con el cascarn esfrico conductor, las cargas de la superficie conductora se desplazaran para satisfacer las condiciones de un conductor en equilibrio electrosttico, as como la ley de Gauss. Aparecer una carga neta Q sobre la superficie interior del conductor, de modo que el campo elctrico en el interior del conductor se anula (una superficie esfrica en el interior de la superficie conductora rodear una carga neta igual cero). Por tanto, aparecer una carga +Q sobre la superficie exterior del cascarn. De este modo, una superficie gaussiana situada en el


exterior del cascarn encerrar una carga neta +Q, la misma que habra si el cascarn no hubiera estado all. Por tanto, el cambio en las lneas de campo es la ausencia de lneas en el interior del cascarn conductor. Ejemplo 1.14 Flujo a travs de un cubo

Considere un campo elctrico uniforme E orientado en la direccin x. Encuentre el flujo elctrico neto a travs de la superficie de un cabo de lados orientado como se indica en la figura 1.17 Solucin

El flujo neto puede evaluarse al sumar los flujos a travs de cada cara del cubo. En primer lugar, observe que el flujo a travs de cuatro de las caras es cero, puesto que E, es perpendicular a dA es perpendicular a E en las caras marcadas con y en la figura 1.16. En consecuencia, = 90, por lo que E.dA = EdAcos90 = 0. Por la misma razn de los planos paralelos al plano xy tambin es cero.

Figura 1.17 Una superficie hipottica en forma de cubo en un campo elctrico uniforme paralelo al eje x. El flujo neto a travs de la superficie es cero

Considere ahora las caras marcadas con y . El flujo neto a travs de stas es

21

AdEAdEe

Para la cara E es constante y apunta hacia adentro, en tanto que dA apunta hacia fuera ( = 180), de manera que encontramos que el neto a travs de esta cara es

1 1

2

1

180cos

EEAdAEEdAAdE

puesto que el rea de cada cara es 2A .

Del mismo modo en E es constante y apunta hacia afuera y en la misma direccin que dA ( = 0), por lo que el flujo a travs de esta cara es

2 1

2

2

0cos

EEAdAEEdAAdE

Por tanto, el flujo neto sobre todas las caras es cero, ya que

022 EEe

Ejemplo 1.15 El campo elctrico debido a una carga puntual

A partir de la ley de Gauss, calcule el campo elctrico debido a una carga puntual aislada q y demuestre que la ley de Coulomb se deduce de este resultado.

Solucin

Para esta situacin elegimos una superficie gaussiana esfrica de radio r y centrada en la carga puntual, como en la figura 1.18. El campo elctrico de una carga puntual positiva apunta radialmente hacia fuera por simetra y es, por tanto, normal a la superficie en todo punto. Es decir, E es paralelo a dA en cada punto, por lo que E.dA = EdA y aplicando la ley de Gauss se tiene

0

qEdAAdEe

Figura 1.18 La carga puntual q est en el centro de la superficie gaussiana esfrica y E es paralela dA en todos los puntos sobre la superficie

Por simetra, E es constante en todo los puntos sobre la superficie, por lo que puede sacarse de la integral. Por consiguiente


0

24

q

rEdAEEdA

donde hemos aprovechado el hecho de que el rea de la superficie de una esfera es 4r2. Por tanto, la magnitud del campo a una distancia r de q es

22

04 r

qk

r

qE e

Si una segunda carga puntual q0, se sita en un punto donde el campo es E, la fuerza elctrica sobre la carga tiene una magnitud

2

00

r

qqkEqF ee

Previamente obtuvimos la ley de Gauss a partir de ley de Coulomb. Aqu mostramos que la ley de Coulomb se desprende de la ley Gauss. Son equivalentes. Ejemplo 1.16 Una distribucin de carga simtrica esfricamente

Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme y una carga positiva Q (figura 1.19), a) Calcule la magnitud del campo elctrico en un punto fuera de esfera b) Encuentre la magnitud del campo elctrico en un punto dentro de la esfera.

Solucin

Puesto que la distribucin de carga es simtrica esfricamente, seleccionamos tambin es este caso una superficie gaussiana esfrica de radio r, concntrica con esfera, como en la figura 1.18a. Siguiendo la lnea de razonamiento dada en el ejemplo 1.15, encontramos que

)r (para 2

ar

QkE e

Observe que este resultado es idntico al obtenido para una carga puntual. Por tanto, concluimos que, para una esfera cargada uniformemente, el campo en la regin externa a la esfera es equivalente al de una carga puntual localizada en el centro de la esfera.

Figura 1.19 una esfera aislante cargada uniformemente de radio a y una carga total Q. a) El campo en un punto exterior a al esfera es keQ/r2. b) el campo dentro de la esfera se debe slo a la carga dentro de la superficie gaussiana y est dado por (keQ/a3)r

b) Encuentre la magnitud del campo elctrico en un punto dentro de la esfera.


En este caso elegimos una superficie gaussiana con radio r < a, concntrica con la distribucin de carga (ver figura 1.19b). Expresamos el volumen

de esta esfera ms pequea mediante V . Para aplicar la ley de Gauss en esta situacin es importante observar que la carga qin dentro de la

superficie gaussiana de volumen V es una cantidad menor que la carga total Q. Para calcular

la carga qin, si usa el hecho de que Vqin ,

donde es la carga por unidad de volumen y

V es el volumen encerrado por la superficie

gaussiana, dado por 3 3

4rV para una esfera.

Por tanto.

3

3

4rVqin

Como en el ejemplo 1.15, la magnitud del campo elctrico es constante en cualquier punto de la superficie gaussiana esfrica y es normal a la superficie en cada punto. Por consiguiente, la ley de Gauss en la regin r < a se tiene

0

24

inq

rEdAEEdA

Al despejar E se obtiene

rr

r

r

qE in

0

2

0

3

2

034

3/4

4


Puesto que por definicin 3

03/4 a

Q

, esto

puede expresarse de la siguiente manera

ra

Qkr

a

QE e

33

04

Advierta que este resultado para E difiere del obtenido en el inciso a). ste muestra que E0 mediante r 0, como tal vez usted pudo haber pronosticado de acuerdo con la simetra esfrica de la distribucin de carga. En consecuencia, el resultado elimina la singularidad que existira en r = 0 si E vara como 1/r2 dentro de la esfera. Es

decir, si 2/1 rE , el campo sera infinito en r = 0,

lo cual es, sin duda, una situacin imposible fsicamente. Una grafica de E contra r se muestra en la figura 1.20

Figura 1.20 Una grfica de E contra r para una esfera aislante cargada uniformemente: El campo dentro de la esfera (r < a) vara linealmente con r. El campo fuera de la esfera (r >a) es el mismo que el de una carga puntual Q localizada en el origen.

Ejemplo 1.17 El campo elctrico debido a un cascarn esfrico delgado

Un cascarn esfrico delgado de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente sobre su superficie (ver figura 1.21). Encuentre el campo elctrico en puntos dentro y fuera del cascarn.


El clculo del campo fuera del cascarn es idntico al ya realizado para la esfera slida en el ejemplo 1.16. Si construimos una superficie gaussiana esfrica de radio r > a, concntrica con el cascarn, entonces la carga dentro de esta superficie es Q. En consecuencia, el campo en un

punto fuera del cascarn es equivalente al de una carga puntual Q en el centro.

)r (para 2

ar

QkE e

Figura 1.21 a) El campo elctrico interior de un cascarn esfrico cargado uniformemente es cero. b) El campo exterior es el mismo que el de una carga puntual con una carga total Q localizada en el centro del cascarn. c) Superficie gaussiana para r < a

El campo elctrico dentro del cascarn esfrico es cero. Esto se desprende tambin de la ley de Gauss aplicada a una superficie esfrica de radio r < a. Puesto que la carga neta dentro de la superficie es cero y por la simetra esfrica de la distribucin de carga, la aplicacin de la ley de Gauss muestra que E = 0 en la regin r < a, Ejemplo 1.18 Una distribucin de una carga simtrica cilndricamente

Encuentre el campo elctrico a una distancia r de una lnea de carga positiva y uniforme de longitud infinita cuya carga por unidad de longitud es uniforme (ver figura 1.22)

Razonamiento

La simetra de la distribucin de carga muestra que E debe ser perpendicular a la lnea de carga y apuntar hacia afuera, como en la figura 1.22a. La vista del extremo de la lnea de carga mostrada en la figura 1.22b ayuda a visualizar las direcciones de las lneas de campo elctrico. En este caso elegimos una superficie gaussiana cilndrica de radio r y longitud que es coaxial con la lnea de carga. Para la parte curva de esta superficie, E es constante en magnitud y perpendicular a la superficie en cada punto. Adems, el flujo a travs de los extremos del cilindro gaussiano es cero debido a que E es paralelo a estas superficies.

Solucin La carga total dentro de nuestra superficie gaussiana es . Al aplicar la ley de Gauss y


advertir que E es paralelo a dA en todos los puntos sobre la superficie curva del cilindro, encontramos que

00

ine

qdAEAdE

Pero el rea de la superficie es r 2A , por tanto,

0

r 2

E

rk

rE e

2

2 0

Figura 1.22 (a) Una lnea de carga infinita rodeada por una superficie gaussiana cilndrica concntrica con la lnea de carga. (b) Una vista de extremo muestra que el campo sobre la superficie cilndrica es constante en magnitud y perpendicular a la superficie.

Si la lnea de carga tiene una longitud finita, el resultado para E no es el dado por la ecuacin

rkE e

2 .

Para puntos cercanos a la lnea de carga y alejados de los extremos, la ecuacin anterior proporciona una buena aproximacin del valor del campo. Esto se traduce en que la ley de Gauss no es til para calcular E en el caso se una lnea de carga finita. Esto se debe a que la magnitud del campo elctrico ya no es constante sobre la superficie del cilindro gaussiano. Adems, E no es perpendicular a la superficie cilndrica en todos los puntos. Cuando hay poca simetra la distribucin de carga, como se este caso, es necesario calcular E utilizando la ley de Coulomb.

Ejemplo 1.19 Una lmina plana de carga no conductora

Encuentre el campo elctrico debido a un plano infinito no conductor con carga uniforme por unidad de rea .

Razonamiento La simetra de la situacin seala que E debe ser perpendicular al plano y que la direccin de E en un lado del plano debe ser opuesta a su direccin en el otro lado, como se muestra en la figura 1.23. Es conveniente elegir para nuestra superficie gaussiana un cilindro pequeo cuyo eje sea perpendicular al plano y cuyos extremos tengan cada uno un rea A y sean equidistantes del plano.

Figura 1.23 Una superficie gaussiana cilndrica que penetra una lmina de carga infinita. El flujo a travs de cada extremo de la superficie gaussiana es EA. No hay flujo a travs de la superficie curva del cilindro.


En este caso vemos que E es paralelo a la superficie cilndrica, no hay flujo a travs de esta superficie. El flujo hacia afuera de cada extremo del cilindro es EA (puesto que E es perpendicular a los extremos); por tanto, el flujo total a travs de nuestra superficie gaussiana es 2EA.

Solucin

Notando que la carga total dentro de la superficie es A, aplicando la ley de Gauss para obtener

00

2

AqEA ine

02

E

Puesto que la distancia de la superficie a partir del plano no aparece en la ecuacin anterior,

concluimos que 02/ E a cualquier distancia

desde el plano. Es decir, el campo es uniforme en todos lados. Ejemplo conceptual 1.20

Explique por qu la ley de Gauss no puede utilizarse para calcular el campo elctrico de a) un dipolo elctrico, b) un disco cargado, y c) tres cargadas puntuales en las esquinas de un tringulo.

Razonamiento

Los patrones de campo elctrico de cada una de estas tres configuraciones no tienen suficiente simetra para hacer los clculos prcticos. (La ley de Gauss en forma integral slo es til para calcular el campo elctrico de distribuciones de carga altamente simtricas, como esferas, cilindros y lminas cargadas uniformemente). Con el fin de aplicar la ley Gauss en forma integral, usted debe ser capaz de encontrar una superficie cerrada que rodee la distribucin de carga, la cual puede subdividirse de manera que la magnitud del campo sobre las regiones independientes de la superficie sea constante. Una superficie de este tipo no puede encontrarse en estos casos. Ejemplo 1.21 Una esfera dentro de un cascarn esfrico.

Una esfera conductora slida de radio a tiene una carga positiva neta 2Q (figura 1.24). Un cascarn esfrico conductor de radio interior b y radio

exterior c es concntrico con la esfera slida y tiene una carga neta Q. Mediante el empleo de la ley de Gauss, determine el campo elctrico en

las regiones marcadas con , , y y la distribucin de carga sobre el cascarn esfrico.

Figura 1.24 Una esfera conductora slida de radio a y carga 2Q rodeada por un cascarn esfrico conductor de carga Q.


Advierta primero que la distribucin de carga en ambas esferas tiene simetra esfrica, puesto que stas son concntricas. Para determinar el campo a diversas distancias r del centro, construimos superficies gaussianas esfricas de radio r.

Para encontrar E en el interior de la esfera slida

de radio a (regin ), considere una superficie gaussiana de radio r < a. Puesto que no hay carga dentro de un conductor en equilibrio electrosttico, vemos que qin = 0, por lo que de la ley de Gauss y la simetra, E1 = 0 para r < a. De este modo, concluimos que la carga neta 2Q sobre la esfera slida se distribuye sobre su superficie exterior.

En la regin sobre las esferas, donde a < r < b, construimos una superficie gaussiana esfrica de radio r y advertimos que la carga dentro de esta superficie es + 2Q (la carga sobre la esfera interior). Debido a al simetra esfrica, las lneas de campo elctrico deben apuntar radialmente hacia afuera y ser de magnitud constante sobre la superficie gaussiana. Siguiendo el ejemplo 1.15 y utilizando la ley de Gauss, encontramos que

00

2

22

2r 4

QqEAE in


b)ra (para 2

r4

222

0

2 r

QkQE e

En la regin donde r > c, la superficie gaussiana esfrica que rodea a una carga total qin = 2Q + (-Q) = Q. En consecuencia, la ley de Gauss aplicada a esta superficie origina.

c)r (para 22

r

QkE e

Por ltimo, considere la regin , donde b < r < c. El campo elctrico debe ser cero en esta regin debido a que el cascarn esfrico es tambin un conductor en equilibrio. Si construimos una superficie gaussiana de este radio, vemos que qin debe ser cero puesto que E2 = 0. De acuerdo con este argumento, concluimos que la carga sobre la superficie interior del cascarn esfrico debe ser -2Q para cancela la carga +2Q sobre la esfera slida. (La carga -2Q es inducida por la carga +2Q). Adems, puesto que la carga neta sobre el cascarn debe tener una carga igual +Q. Pregunta rpida 1.8

Si el camino entre A y B no influye sobre la integral de la siguiente ecuacin

B

AAB sdEqUUU

0

Por qu no utilizamos simplemente la expresin U = -q0Ed, donde d es la distancia en la lnea recta entre A y B?


En general, el campo elctrico vara de un punto a otro, de modo que la expresin propuesta no produce el resultado correcto. Situacin problmica 1.4

Supongamos que los cientficos hubieran decido medir pequeas energas utilizando los protn-voltios en vez de los electrn-voltios. Qu diferencia habra?

Razonamiento

No habra ninguna diferencia. Un electrn-voltio es la energa ganada por un electrn que es acelerado a travs de la misma diferencia de potencial de un voltio. Un protn acelerado a travs de la misma diferencia de potencial tendr la misma energa cintica, puesto que su carga

es de la misma magnitud que la del electrn. El protn se mover ms lentamente despus de acelerarse a travs de un voltio, puesto que su masa es mayor, pero an as habr ganado una energa cintica de un electrn-voltio o un protn-voltio. Pregunta rpida 1.9

Si se libera un electrn desde el reposo en un campo elctrico uniforme, la energa potencial elctrica del sistema carga-campo aumenta, disminuye o permanece constante?


La energa potencial elctrica disminuye si un electrn (de hecho, cualquier partcula cargada) se libera en un campo elctrico. La fuerza elctrica hace que electrn se acelere, y la energa potencial del sistema carga-campo disminuye a medida que la energa cintica del electrn aumenta. Es el caso anlogo a la disminucin de energa potencial y aumento de energa cintica de cuerpo que cae debido a la gravedad. Pregunta rpida 1.10

Si el potencial elctrico de un punto es cero, significa que no hay carga en las proximidades del punto?


No. Suponga que hay varias cargas en la vecindad del punto en cuestin. Si algunas cargas son positivas y otras negativas, las contribuciones al potencial elctrico en el punto pueden cancelarse. Por ejemplo, el potencial elctrico en el punto medio entre carga de igual magnitud y signo contrario es cero. Pregunta rpida 1.11

Un globo esfrico contiene una partcula cargada positivamente en su centr0. Si se infla el globo para hacerle ocupar un volumen mayor, mientras la partcula cargada permanece en el centro, Cules de las siguientes cantidades varan: (a) el potencial elctrico sobre la superficie del globo, (b) la magnitud del campo elctrico sobre la superficie del globo, (c) el flujo elctrico a travs del globo?

Explicacin y respuesta (a), (b). El potencial elctrico es inversamente proporcional al radio (V = keq/r). La magnitud del


campo elctrico es inversamente proporcional al cuadrado del radio (V = keq/r2). Puesto que pasa el mismo nmero de lneas de campo a travs de la superficie, independiente del tamao, el flujo elctrico a travs de la superficie permanece constante. Pregunta rpida 1.12

Suponga que se conoce el valor del potencial elctrico en un punto Puede calcularse el valor del campo elctrico en dicho punto nicamente con es informacin?


El valor del potencial elctrico en un punto no es suficiente para determinar el campo elctrico. El campo elctrico est relacionado con la variacin del potencial en el espacio de modo que debe conocerse cmo vara el potencial alrededor del punto. Pregunta rpida 1.13

Si el potencial elctrico es constante en una regin, qu puede deducirse acerca del campo elctrico en esa misma regin? Si el campo elctrico es nulo en una regin, qu puede deducirse acerca del potencial elctrico en esa misma regin?


Si V es constante en determinada regin del espacio el campo elctrico en dicha regin debe ser nulo, puesto que el campo elctrico est relacionado con la variacin del potencial en el espacio. (En una dimensin, Ex = -dV/dx, de modo que si V es constante E = 0) De igual modo, si E = 0 en una determinada regin del espacio, V debe ser constante en dicha regin (por ejemplo, el interior de un conductor cargado en equilibrio). Situacin problmica 1.4 Por qu el extremo de un pararrayos es puntiagudo?

Razonamiento

La funcin de un pararrayo es servir de atraccin a los rayos, de modo que la carga liberada por el rayo pueda desviarse hasta suelo de forma segura. Si el pararrayo es puntiagudo, el campo elctrico es muy intenso cerca del extremo, puesto que el radio de curvatura del conductor es muy pequeo. Este gran campo elctrico aumenta

mucho la probabilidad que la descarga del rayo se produzca cerca del extremo del pararrayos, en vez de cualquier otro sitio. Ejemplo 1.22 El campo elctrico entre dos placas paralelas de carga opuesta

Una batera de 12 V se conecta entre dos placas paralelas, como se ve en la figura 1.25. La separacin entre las placas es igual a 0.30 cm, y el campo elctrico se supone como uniforme. (Esta suposicin es razonable si la separacin de las placas es pequeas en la relacin con el tamao de placa y si no consideramos puntos cerca de los bordes de las placas) Determine la magnitud del campo elctrico entre placas.

Figura 1.25 Una batera de 12 V conectada a dos placas paralelas. El campo elctrico entre las placas tiene una magnitud dada por la diferencia de potencial divida entre la separacin d de las placas.

Solucin

El campo elctrico est dirigido de la placa positiva hacia la placa negativa. Vemos que la placa positiva est a un potencial mayor que la placa negativa. Advierta que la diferencia de potencial entre las placas debe ser igual a la diferencia de potencial entre los terminales de la batera. Esto puede entenderse observando que todos los puntos en un conductor en equilibrio estn al mismo potencial, por lo que no hay diferencia de potencial entre una terminal de la batera y cualquier parte de la placa a la cual est conectada. Por tanto, la magnitud del campo elctrico entre las placas es

V/m 100.4m 1030.0

V 12 32

xxd

VVE

AB

Esta configuracin, conocida como capacitor de placas paralelas.


Ejemplo 1.23 Movimiento de un protn en campo elctrico uniforme

Un protn se suelta desde el reposo en un campo elctrico uniforme de magnitud igual a 8.0x104 V/m dirigido a lo largo del eje x positivo (figura 1.26). El protn se desplaza 0.50 m en la direccin de E. a) Encuentre el cambio en el potencial elctrico entre los puntos A y B.

Figura 1.26 Un protn se acelera de A a B en la direccin del campo elctrico.

Solucin El cambio de potencial elctrico no depende de la presencia del protn. De la ecuacin

EddsEVB

A , tenemos:

)m 50.0(V/m) 100.8( 4xEdV

m 100.4 4xV

Este resultado negativo indica que el potencial disminuye entre A y B

b) Determine el cambio de energa potencial del protn para este desplazamiento

Solucin

A partir de la ecuacin

B

AsdE

q

UV

0

sabemos que

VeVqU

JxVxCxU 15419 104.6)100.4)(106.1(

El signo negativo indica que la energa potencial del sistema disminuye cuando el protn se mueve

en la direccin del campo elctrico. Este hecho concuerda con el principio de conservacin de la energa en un sistema aislado; cuando el protn acelera en la direccin del campo, adquiere energa cintica y al mismo tiempo el sistema pierde energa potencial elctrica. El aumento de energa cintica de una partcula cargada en un campo elctrico se utiliza en muchos dispositivos, como los caones de electrones de los tubos de imagen de los televisores y los aceleradores de partculas utilizados en las investigaciones de la fsica de partculas. Ejemplo 1.24 Potencial debido a dos cargas puntuales Una carga puntual de 2.00 C se localiza en el origen y una segundo carga puntual de -6.00 C se coloca en la posicin (0, 3.00) m sobre el eje y, como se muestra en la figura 1.27a. (a) Calcule el potencial en el punto P, de coordenadas (4.00, 0)


Figura 1.27 (a) El potencial elctrico en el punto P debido a las dos cargas puntuales q1 y q2 es la suma algebraica de los potenciales creados por ambas cargas b) Qu trabajo se realiza para traer una carga puntual de 3.00 C desde el infinito hasta el punto P.

Solucin

Para dos cargas puntuales, la ecuacin

i i

ie

r

qkV se convierte en

2

2

1

1

r

q

r

qkV e

En este ejemplo q1 = 2.00 C, r1 = 4.00 m, q2 = -6.00 C y r2 = 5.00 m. Por tanto, VP tiene el valor.

m

Cx

m

Cx

xCmNxVP

00.5

1000.6

00.4

1000.2

/.1099.8

66

229

VxVP31029.6

b) Qu trabajo se realiza para traer una carga puntual de 3.00 C desde el infinito hasta el punto P (ver figura 1.27b)?

Solucin El trabajo realizado es igual al cambio de energa potencial dado por la ecuacin

B

AsdE

q

UV

0

033 pVqqqUW

JxVxCxW 336 109.181026.61000.3

El signo negativo se debe al hecho que la carga de 3.00 C atrada por la combinacin de q1 y q2, que tiene carga neta negativa. La carga 3.00 C mueve espontneamente hacia las otras cargas cuando es liberada, de modo que el agente externo no necesita hacer nada para acercarla a las otras cargas. Sin embargo, para evitar que la carga se acelere, el agente externo se opone al desplazamiento de la carga, lo cual implica que el trabajo realizado es negativo. Un agente externo

necesitara realizar un trabajo positivo para alejar la carga desde P hasta el infinito.

Ejemplo 1.25 Potencial elctrico de un dipolo Un dipolo elctrico consta de dos cargas de igual valor y signo contrarios, separadas una distancia 2a, como se muestra en la figura 1.28. El dipolo se encuentra orientado a lo largo del eje x y centrado en el origen. Calcule (a) El potencial elctrico en cualquier punto P del eje x y (b) el campo elctrico en un punto muy alejado del dipolo.

Figura 1.28 Dipolo elctrico situado sobre el eje x

Solucin

(a) Utilizando la ecuacin i i

ie

r

qkV ,

tenemos que

ax

q

ax

qk

r

qkV e

i i

ie

22

2

ax

qakV e

(b) Si P se encuentra muy alejado del dipolo de modo que x >>a, entonces podemos ignorar el trmino a2 en x2 a2, de modo que V se convierte en

)( 2

2ax

x

qakV e

Utilizando la ecuacin dx

dVE x y este

resultado, podemos calcular el campo elctrico en el punto P.


axx

qak

dx

dVE ex para

43

Si comparamos este resultado con el que obtuvimos en el ejemplo 1.8, vemos que difieren un factor de 2 para puntos muy alejados del dipolo. Es el ejemplo citado, calculamos el campo elctrico sobre una lnea perpendicular a la lnea definida por el dipolo. Como vemos en la figura 1.10, las componentes verticales del campo se cancelan. Por tanto, slo las componentes horizontales de ambos campos (que tienen una magnitud muy pequea) contribuyen al campo total. En este ejemplo, por el contrario, estudiamos el campo sobre la prolongacin de la lnea que conecta las dos cargas del dipolo. Para los puntos situados sobre dicha lnea, los vectores de campo elctrico slo tienen componente sobre la lnea, de modo que ambos vectores de campo se combinan para producir el campo elctrico total. Como resultado, el campo elctrico es mayor que el de la direccin perpendicular al dipolo en un factor de 2. Ejemplo 1.26 Potencial debido a un anillo uniformemente cargado

Calcule el potencial y el campo elctrico en un punto P situado sobre el eje de un anillo de radio a cargado uniformemente, con carga total Q. El plano del anillo es perpendicular al eje x (figura 1.29)

Figura 1.29 Anillo de radio a uniformemente cargado, cuyo plano es perpendicular al eje x. Cada segmento del anillo de carga dq se encuentra a la misma distancia de cualquier punto P situado sobre el eje x

Solucin

Sea x la distancia entre P y el centro del anillo, como se muestra en la figura 1.29. El elemento de carga dq se encuentra a una distancia del punto P

igual a 22 axr . Por tanto, podemos

expresar V como

22 ax

dqk

r

dqkV ee

En este caso, cada elemento de carga dq se encuentra a la misma distancia de P. Por tanto,

podemos sacar el trmino 22 ax de la integral

y V se reduce a

2222 ax

Qkdq

ax

kV ee

La nica variable en dicha expresin de V es x . Aplicando consideraciones de simetra, vemos que a lo largo del eje x E slo puede tener componente en x. Por tanto, podemos utilizar la

ecuacin dx

dVE x para calcular la magnitud

del campo elctrico en P:

2/122 axdx

dQk

dx

dVE ex

xaxQkE ex 22/322

21

2/322 axQxk

E ex

Este resultado coincide con el que obtuvimos a travs de la integracin directa (vase ejemplo 1.10) Ejemplo 1.27 Potencial de un disco cargado uniformemente

Encuentre el potencial elctrico a lo largo del eje x de un disco cargado uniformemente de radio a y carga por unidad de rea (Figura 1.30)

Razonamiento y solucin De nuevo elegimos el punto P a una distancia x del centro del disco y consideramos el plano del disco perpendicular al eje x. El problema se simplifica dividiendo el disco en una serie de anillos cargados. El Potencial de cada anillo est


dado por al ecuacin 22 ax

QkV e

del

ejemplo 1.26.

Figura 1.30 Un disco cargado uniformemente de radio a, cuyo plano es perpendicular al eje x. El clculo del potencial en un punto axial P se simplifica al dividir el disco en anillos de rea 2rdr.

Considere uno de dichos anillos de radio r y ancho dr, como se indica en la figura 1.30. El rea del anillo es dA = 2rdr (la longitud de la circunferencia multiplicada por el ancho) y la carga en el anillo es dq = dA = 2rdr. Por tanto, el potencial en el punto P debido al anillo es

2222

2

ax

rdrk

ax

dqkdV ee

Para encontrar el potencial total en P, sumamos sobre todos los anillos que integran el disco. Es decir, integramos dV de r =0 a r = a.

a

e

ax

rdrkV

0 22

2

rdraxkV ae 22/1

0

22

Esta integral es de la forma duun

y tiene el

valor de 1

1

nu n

, donde 21n y

22 aru . De esto resulta

xaxkV e 2/1222

Como en ejemplo 1.26, podemos encontrar el campo elctrico en cualquier punto axial tomando el negativo de la derecha de V en relacin con x.

2212

ax

xk

dx

dVE ex

Ejemplo 1.28 Potencial de una lnea de carga finita Una barra de longitud por unidad de longitud y una carga total Q. Encuentre el potencial elctrico en el punto P a lo largo del eje y a una distancia d del origen (Figura 1.31)

Figura 1.31 Una lnea de carga uniforme de longitud localizada a largo del eje x. Para calcular el

potencial en P, la lnea de carga se divide en segmentos, cada uno de longitud dx, que tiene una carga dq = dx.

Solucin

El elemento de longitud dx tiene una carga dq = dx donde es la carga por unidad de

longitud, Q/ . Puesto que este elemento est a

una distancia 22 dxr de P. Podemos

expresar el potencial en P debido a este elemento como

22 dx

dxk

r

dqkdV ee


Para obtener el potencial total en P integramos esta expresin sobre los lmites x = 0 a x = . Si advertimos que ke, y d son constantes encontramos que

0 220 22 dx

dxQk

dx

dxkV ee

Esta integral que se encuentra en la mayora de las tablas integrales, tiene el valor

d

dxx

dx

dx 22

22ln

Al evaluar V, encontramos que

d

dQkV e

22

ln

Ejemplo 1.29 Potencial creado por una esfera uniformemente cargada

Una esfera maciza aislante de radio R tiene una carga total Q, distribuida uniformemente por todo su volumen (figura 1.32) (a) Calcule el potencial elctrico en un punto exterior a la esfera, es decir, r > R. Tome el potencial como uno r .

Figura 1.32 Esfera slida aislante de radio R cargada uniformemente con carga total Q. El potencial elctrico en los puntos B y C coincide con el generado por una carga puntual Q situada en el centro de la esfera.

Solucin

En el ejemplo 1.16 calculamos, a partir de la ley de Gauss, que la magnitud del campo elctrico en el exterior de una distribucin de carga con simetra esfrica es

) (para 2

Rrr

QkE er

donde el campo est dirigido radialmente hacia afuera cuando Q es positiva. Para obtener el potencial en un punto exterior, como B en la figura 1.32, sustituimos esta expresin para E en

la ecuacin sdEdV

como drEsdE r

en este caso, obtenemos.

r

e

r

rBr

drQkdrEV

2

) (para Rrr

QkV eB

Observe que el resultado es idntico al del potencial elctrico debido a una carga puntual. En vista de que el potencial debe ser continuo r = R, podemos usar esta expresin para obtener el potencial en la superficie de la esfera. Esto es, el potencial en un punto C en la figura 1.32

) (para RrR

QkV eC

b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfera cargadas, es decir, para r < R.

Solucin

En el ejemplo 1.16 encontramos que el campo elctrico dentro de una esfera carga uniformemente es

R)r (para 3

rR

QkE er

Podemos utilizar este resultado y la ecuacin

B

AsdE

q

UV

0

para evaluar la diferencia de potencial VD -VC

donde D e sun punto interior:

r

er

RrCD rdr

R

QkdrEVV

03

2232

rRR

QkVV eCD


Sustituyendo Vc = keQ/R dentro de esta expresin y al despejar VD, obtenemos

) (para 32 2

2

RrR

r

R

QkV eD

En r = R, esta expresin proporciona un resultado para el potencial que concuerda con el potencial en la superficie, esto es, VC. En la figura 1.33 se presenta una grfica de V contra r para esta distribucin carga.

Figura 1.33 Una grfica del potencial elctrico y contra la distancia r desde el centro de una esfera aislada cargada uniformemente de radio R. La curva para VD dentro de la esfera es parablica y se une suavemente con la curva para VB fuera la esfera la cual es una hiprbola. El potencial tiene un valor mximo V0 en el centro de la esfera.

Ejemplo1.30 Dos esferas cargadas conectadas

Dos conductores esfricos de radio r1 y r2 estn separadas por una distancia mucho mayor que el radio de cualquier de las esferas. stas estn conectadas por medio de un alambre conductor, como se ve en la figura 1.34. Si las cargas sobre las esferas en equilibrio son q1 y q2 respectivamente, encuentre la razn de las intensidades de campo en las superficies de las esferas.

Solucin Puesto que las esferas estn conectadas por un alambre conductor, deben estar al mismo potencial

2

2

1

1

r

qk

r

qkV ee

Figura 1.34 Dos conductores esfricos cargados conectados por un alambre conductor. Las esferas estn al mismo potencial V.

Por tanto, la razn de carga es

2

1

2

1

r

r

q

q (1)

En vista de que las esferas estn muy alejadas, sus superficies estn cargadas de manera uniforme, y podemos expresar la magnitud de los campos elctricos en sus superficies como

2

1

1

1r

qkE e y 2

2

22

r

qkE e

Tomando la razn de estos dos campos y utilizando 1) encontramos que

1

2

2

1

r

r

E

E (2)

Por consiguiente, el campo es ms intenso en la vecindad de la esfera ms pequea. Ejemplo1.31 Capacitor de placas paralelas

Un capacitor de placas paralelas tiene un rea A = 2.00x10-4 m2 y una separacin de placa d = 1.00 m. Encontrar su capacitancia.

Solucin


Figura 1.35 Una capacitor de placas paralelas se compone de dos placas paralelas cada una de rea A, separadas por una distancia d. Cuando se carga el capacitor, las cargas tienen cargas iguales de signo opuesto.

De la ecuacin d

AC 0

, encontramos

mx

mx

mN

CxC

3

24

2

212

1000.1

1000.2

.1085.8

pFFxC 77.11077.1 12

Ejemplo1.32 Capacitor cilndrico

Un capacitor cilndrico de radio a y carga Q coaxial con un cascarn cilndrico ms grande de radio b y carga Q (ver figura 1.36a). Encuentre la capacitancia de este capacitor cilndrico si su longitud es .

Figura 1.36 (a) El capacitor cilndrico se compone de un conductor cilndrico de radio a y longitud rodeado por un cascarn cilndrico coaxial de radio b (b) Vista lateral de un capacitor cilndrico. La lnea de la superficie gaussiana cilndrica de radio r y

longitud .


Si suponemos que es grande comparada con a y b, podemos ignorar los efectos de borde. En este caso, el campo es perpendicular a los ejes de los cilndricos y est confinado a la regin entre ellos (figura 1.36b). Debemos calcular primero la diferencia de potencial entre los dos cilndricos, la cual est en general por

b

aab sdEVV

donde E es el campo elctrico en la regin

bra . Se demostr en ejemplo 1.18, utilizando la ley Gauss, que el campo elctrico de un cilindro de carga por unida de longitud es E = 2ke/r. El mismo resultado se aplica aqu debido a que el cilindro exterior no contribuye al campo elctrico dentro de l. Con este resultado y notando que E est a lo largo de r en la figura 1.36b, encontramos que

b

ae

b

arab

r

drkdrEVV 2

a

bkVV eab ln2

Al sustituir en la ecuacin que define la capacitancia de un capacitor C Q/V y utilizando el hecho de que = Q/ , obtenemos

a

bk

a

bQk

Q

V

QC

e

e ln2ln2

donde V es la magnitud de la diferencia de potencial, dada por 2keln(b/a), una cantidad positiva. Es decir, V = Va Vb es positiva debido a que el cilindro interior est a un potencial mayor.

Nuestro resultado para C tiene sentido debido a que muestra que la capacitancia es proporcional a la longitud de los cilindros. Como podra esperarse, la capacitancia depende tambin de los radios de los dos cilindros conductores. Un cable coaxial, ejemplo, se compone de dos conductores cilndricos concntricos de radios a y b separados por un aislador. El cable conduce corrientes en direcciones opuesta en los conductores interior y exterior. Dicha geometra es en especial til para proteger una seal elctrica


de influencias externas. De acuerdo con la ecuacin anterior vemos que la capacitancia por unidad de longitud de un cable coaxial es

a

bk

C

e ln2

1

Ejemplo1.33 esfrico Un capacitor esfrico de un cascarn conductor esfrico de radio b y carga Q concntrico con una esfera conductora ms pequea de radio a y carga Q (Figura 1.37). Encuentre su capacitancia.

Figura 1.37 Un capacitor esfrico consta de una esfera interior de radio a rodeada por un cascarn esfrico de radio b. El campo elctrico entre las esferas apunta radialmente hacia afuera si la esfera interior est cargada positivamente.

Razonamiento y solucin Como demostramos en el ejemplo 1.16 el campo elctrico fuera de una distribucin de carga simetra esfricamente es radial y est dado por keQ/r2. En este caso corresponde al campo entre las esferas (a < r < b). (El campo es cero en cualquier otro lado). De la ley de Gauss vemos que slo la esfera interior contribuye a este campo. De este modo, la diferencia de potencial entre las esferas est dada por

b

a

e

b

ae

b

arab

rQk

r

drQkdrEVV

12

ab

QkVV eab11

La magnitud de la diferencia de potencial es

ab

abQkVVV eab

)(

Sustituyendo esto en la ecuacin C Q/V, obtenemos

)( abk

ab

V

QC

e

Preguntas de campo elctrico 1) Un globo se carga negativamente por frotamiento y despus se adhiere a una pared Esto significa que la pared est cargada positivamente? Por qu despus de cierto tiempo cae el globo? 2) Una gran esfera metlica aislada de tierra se carga con un generador electrosttico mientras una persona parada sobre un taburete aislante sostiene la esfera. Por qu es seguro hacer esto? Por qu no sera seguro para otra persona tocar la esfera despus de que sta se ha cargado? 3) Dos esferas conductoras cargadas, cada una de radio a, estn separadas por una distancia r > 2a La fuerza neta sobre cada esfera est dada por la ley de Coulomb? Explique 4) Es posible que campo elctrico exista en el espacio vaco? Explique 5) Una carga 4q est a una distancia r de una carga q. Compare el nmero de lneas de campo elctrico que salen de la carga 4q con el nmero que entra a la carga q.

Problemas de campo elctrico 1) En la figura P1.1 se localizan tres cargas puntuales ubicadas en las esquinas de un tringulo equiltero. Calcular la fuerza elctrica neta sobre la carga de 7.0 C.


Figura P1.1

2) Dos cargas puntuales idnticas +q estn fijas en el espacio y separadas por una distancia d. Una tercera carga puntual Q puede moverse libremente y se encuentra inicialmente en reposo en un bisector perpendicular de la lnea que conecta las dos cargas fijas a una distancia x de la lnea (figura P1.2). (a) Muestre que si x es pequea en relacin a d, el movimiento de Q es armnico simple a lo largo del bisector, y determine el periodo de ese movimiento. (b) Qu tan rpido se mueve Q cuando est en el punto intermedio entre las dos cargas fijas?

Figura P1.2

3) Dos pequeas esfera de plata, cada una con 100g de masa, estn separadas 10 m. Calcule la fraccin de los electrones de una esfera que deben transferirse a la otra para producir una fuerza atractiva de 1.0x104N entre las esferas. (El nmero de electrones por tomo de es 47, y el nmero de tomos por gramo es el numero de Avogadro dividido por la masa molar de la plata, 107.87)

4) Un punto con una carga q se localiza en (x0, y0) en el plano xy. Demuestre que las componentes x y y del campo elctrico en (x, y) debidas a esta carga son

2/320200

)()(

)(

yyxx

xxkE ex

2/320200

)()(

)(

yyxx

yykE ey

5) Cuatro cargas puntuales estn en las esquinas de un cuadrado de lado a, como en la figura P1.5 (a) Determine la magnitud y direccin del campo elctrico en la posicin de la carga q. (b) Cules es la fuerza resultante sobre q.

Figura P1.5

6) Una carga q1 se localiza en el origen y una q0 se ubica a lo largo del eje y en y. En que punto a lo largo del eje y el campo elctrico es cero? 7) Considere un cascarn cilndrico circular recto con una carga total Q, radio R y altura h. Determine el campo elctrico en un punto a una distancia d del lado derecho del cilindro, como en la figura P1.7 (sugerencia. Emplee el resultado ejemplo 1.10 y considere al cilindro como una coleccin de anillos de carga). (b) Utilice el resultado del ejemplo 1.11 para revolver el mismo problema, pero esta vez suponga que el cilindro es slido.

Figura P1.7


8) Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de largo se dobla en forma de semicircunferencia, como en la figura P1.8. Si la barra tiene una carga total de -7.5 C, encuentre la magnitud y direccin del campo elctrico en O, el centro de la semicircunferencia.

Figura P1.8

9) La figura P1.9 muestra las lneas de campo elctrico para dos cargas puntuales separadas por una pequea distancia. (a) Determine la proporcin q1/q2 (b) Cules son los signos de q1 y q2?

Figura P1.9

10) Un protn se lanza en la direccin x dentro de una regin de un campo elctrico uniforme E = -6.00x105i N/C. El protn viaja 7.00 cm antes de detenerse. Determine (a) la aceleracin del protn, (b) su velocidad inicial, y (c) el tiempo que tarda en detenerse. 11) Cada uno de los electrones en un haz de partculas tiene una energa cintica K. Cules son la magnitud y direccin del campo elctrico que detendr estos electrones en una distancia d?

12) Se lanza protones con una velocidad inicial v 0 = 9.55x103 m/s dentro de una regin donde se presenta un campo elctrico uniforme E = (-720j) N/C, como en la figura P1.12. Los protones van a incidir sobre el blanco que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto donde se lanzaron los protones. Determine (a) los dos ngulos de lanzamiento que darn como resultado un impacto, y (b) el tiempo total de vuelo para cada trayectoria.

Figura P1.12

13) Una bola de corcho cargada de masa m est suspendida en una cuerda ligera en presencia de un campo elctrico uniforme, como en la figura P1.13. Cuando E = (Exi +Eyj) N/C, bola est en equilibrio a un ngulo . Encuentre (a) la carga en la bola y (b) la tensin en la cuerda.

Figura P1.13

14) Tres cargas de igual magnitud q estn fijas en vrtices de un tringulo equiltero (Figura P1.14). Una cuarta carga Q tiene libertad de movimiento a lo largo del eje x bajo la influencia de las fuerzas ejercidas por las tres cargas fijas. Encuentre un valor para s para el cual q est en equilibrio.


Figura P1.14

15) Ocho cargas puntuales, cada una de magnitud q, se localizan en las esquinas de un cubo de lado s, como en la figura P1.15 (a) Determine las componentes x, y, z de la fuerza resultante ejercida sobre la carga localizada en el punto A por otras cargas. (b) Cules son la magnitud y direccin de esta fuerza resultante?

Figura P1.15

Preguntas de ley de Gauss 6) Si el campo elctrico en una regin del espacio es cero, puede usted concluir que no hay cargas elctrico en esa regin? Explique 7) Con la ley de Gauss explique por qu las lneas de campo elctrico deben empezar y terminar en cargas elctricas. (Sugerencia: cambie el tamao de la superficie gaussiana) 8) Explique por qu el exceso de carga en un conductor aislado debe residir en su superficie, empleando la naturaleza repulsiva de la fuerza entre cargas similares y la libertad de movimiento de la carga dentro del conductor.

9) Dos esferas slidas, ambas se radio R, conducen cargas totales idnticas Q. Una esfera es un buen conductor mientras que la otra es un aislador. Si la carga sobre la esfera aislante est distribuida uniformemente por todo su volumen interior, cmo se comparan los campos elctricos externos de estas esferas? Los campos son idnticos en el interior de las dos esferas?

Problemas de ley de Gauss 16) Un campo elctrico uniforme ai + bj intersecta a una superficie de rea A Cul es el flujo a travs de esta rea si la superficie se ubica (a) en el plano yz, (b) en el plano xz, (c) en el plano xy 17) Considere una caja triangular cerrada que descansa dentro de un campo elctrico horizontal de magnitud E = 7.8x104 N/C, como en la figura P1.17. Calcule el flujo elctrico a travs de (a) la superficie vertical, (b) la superficie inclinada, y (c) toda la superficie de la caja

Figura P1.17

18) Un cono de radio R en la base y altura h est sobre una mesa horizontal, y un campo elctrico uniforme horizontal E penetra el cono, como en la figura P1.18. Determine el flujo elctrico que entra el cono.

Figura P1.18

19) Cuatro superficies cerradas, S1 a S4 , junto con las cargas 2Q, Q y Q se dibujan en la figura P1.19. Encuentre el flujo elctrico a travs de cada superficie.


Figura P1.19

20) Una lnea de carga infinitamente larga que tiene una carga uniforme por unidad de longitud se encuentra a una distancia d de un ponto O, como en la figura P1.20. Determine el flujo elctrico total a travs de la superficie de una esfera se radio R centrada en O. (Sugerencia: Considere tanto R < d como R >d).

Figura P1.20

21) Una carga puntual Q se localiza justo arriba del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como en la figura P1.21 Cul es el flujo elctrico (a) a travs de la superficie curva, y (b) a travs de la cara plana?

Figura P1.21

22) Considere un delgado cascarn esfrico de 14.0 cm de radio con una carga total de 32.0 C distribuida uniformemente sobre su superficie. Encuentre el campo elctrico a (a) 10 cm y (b) 20 cm del centro de la distribucin de carga. 23) Un filamento recto cargado uniformemente de 7.00 m de largo tiene una carga positiva total de 2.00 C. Un cilindro de cartn descargado de 2.00 cm de longitud y 10.0 cm de radio rodea el filamento en su centro, con el filamento como el eje del cilindro. Utilizando todas las aproximaciones razonables, encuentre (a) el campo elctrico en la superficie del cilindro, y (b) el flujo elctrico total a travs del cilindro. 24) Una larga lmina plana de carga tiene una carga por unidad de rea de 9.0 C/m2. Determine la intensidad de campo elctrico justo arriba de la superficie de la lmina, medida desde su punto medio. 25) Una delgada placa conductora de 50.0 cm de lado se encuentra en plano xy. Si una carga total de 4.00x10-8C se pone sobre la placa, encuentre (a) la densidad de carga sobre la placa, (b) el campo elctrico justo arriba de la placa y (c) el campo elctrico justo abajo de la placa. 26) Un alambre largo y recto est rodeado por un cilindro metlico hueco cuyo eje coincide con el del alambre. El alambre tiene una carga por unidad de longitud de y el cilindro tiene una carga neta por unidad de longitud de 2 . De acuerdo con esta informacin, utilice la ley de Gauss para encontrar (a) la carga por longitud unitaria en las superficies interior y exterior del cilindro y (b) el campo elctrico fuera del cilindro, a una distancia r del eje. 27) Para la configuracin mostrada en la figura P1.27, suponga que a = 5.0 cm, b = 20 cm, y c = 25 cm. Suponga tambin que mide un valor del campo elctrico en un punto a 10 cm del centro igual a 3.6x105 N/C, radialmente hacia adentro en tanto que el campo elctrico en punto a 50 cm del centro es 2.0x102 N/C radialmente hacia afuera. A partir de esta informacin entre (a) la carga sobre la esfera aislante, (b) la carga neta sobre la esfera conductora hueca, y (c) la carga total sobre las superficies interior y exterior de la esfera conductora hueca.


Figura P1.27

28) Un cilindro de aislante infinitamente largo de radio R tiene una densidad de carga volumtrica que vara con el radio como

b

ra0

donde 0, a y b son constantes positivas y r es la distancia desde el eje del cilindro. Utilice la ley de Gauss determinar la magnitud del campo elctrico a distancias radiales (a) r < R y (b) r > R.

Preguntas de potencial elctrico 10) Establezca la distincin entre potencial elctrico y energa potencial elctrica 11) Explique por qu las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las lneas de campo elctrico. 12) El potencial de una carga puntual se define igual a cero a una distancia infinita. Por qu no podemos definir el potencial de una lnea de carga infinita igual a cero a cero en r ? 13) En qu tipo de clima sera ms probable que una batera de automvil se descargara y por qu? 14) Caminar sobre una alfombra y tocar despus a alguien puede producir una descarga elctrica. Explique la razn por la que ocurre lo anterior.

Problemas de potencial elctrico 29) Un positrn tiene la misma masa que un electrn. Cuando se acelera un positrn desde el reposo entre dos puntos a una diferencia de potencial fija, adquiere una velocidad que es el

30% de la velocidad de luz. Qu velocidad alcanza un protn acelerado desde el reposo entre los mismos dos puntos? 30) Un electrn que se mueve paralelo al eje x tiene una rapidez inicial de 3.7x106 m/s en el origen. Su rapidez se reduce a 1.4x105 m/s en el punto x = 2.0 cm. Calcule la diferencia de potencial entre el origen y este punto, Cul punto est a mayor potencial?

31) Un bloque de masa m y carga Q se conecta a un resorte de constante k. El bloque est sobre una pista horizontal sin friccin y el sistema est inmerso en un campo elctrico uniforme de magnitud E y su direccin es como se indica en la figura P1.31. Si el bloque se suelta desde reposo cuando el resorte est indeformado (en x = 0). (a) En qu cantidad mxima se alarga el resorte? (b) Cul ser la posicin de equilibrio del bloque? (c) Muestre que el movimiento del bloque es armnico simple y determine su periodo. (d) Repita el inciso (a) si el coeficiente de friccin cintico entre el bloque y la superficie es

Figura P1.31

32) Una partcula que tiene carga q y masa m est conectada a una cuerda con longitud L y amarrada al punto P en la figura P1.32. La partcula, la cuerda y el punto pivote estn sobre una mesa horizontal. La partcula se suelta desde el reposo cuando la cuerda forma un ngulo con un campo elctrico uniforme de magnitud E. Determine la velocidad de la partcula cuando la cuerda es paralela al campo elctrico (punto a en la figura P1.32)


Figura P1.32

33) El potencial electrosttico debido a un conjunto de cargas puntuales sobre una malla cartesiana es

2222 2

45

1

36

yxyxV

donde V est en voltios. Determinar la posicin y magnitud de todas las cargas en esta distribucin 34) Calcule la energa requerida para agrupar el arreglo de carga que se muestra en la figura P1.34, donde a = 0.20 m y b = 0.40 m y q = 6.0 C. 35) Cuando una esfera conductora descargada de radio a se coloca en el origen de un sistema de coordenadas xyz que est en un campo elctrico inicialmente uniforme E = E0k, el potencial elctrico resultante es V(x,y,z) = V0 para puntos dentro de la esfera y

2/32223

0

00),,(zyx

zaEZEVzyxV

para puntos fuera de la esfera, donde V0 es el potencial electrosttico (constante) en el conductor. Utilice esta ecuacin para determinar las componentes x, y y z del campo elctrico resultante.

Figura P1.34

36) Las tres cargas de la figura P1.36 estn en los vrtices de un triangulo issceles. Calcule el potencial elctrico en el punto medio de la base, considerando q = -7.0 C.

Figura P1.36

37) Una barra de longitud L (figura P1.37) se encuentra a lo largo del eje x con su extremo izquierdo en el origen y tiene una densidad de carga no uniforme = x (donde es una constante positiva), (a) Cules son las unidades de ? (b) Calcule el potencial elctrico en A.

Figura P1.37

38) Calcule el potencial elctrico en el punto P sobre el eje del anillo mostrado en la figura P1.38, el cual tiene una densidad de carga uniforme .


Figura P1.38

39) Cuntos electrones deben extraerse de un conductor esfrico inicialmente descargado de 0.300 m de radio para producir un potencial de 7.50 kV.

40) Dos conductores esfricos cargados se conectan mediante un largo alambre conductor y una carga de 2.00 C se pone en la combinacin: (a) Si una esfera tiene una radio de 4.00 cm y el radio de la otra es de 6.00 cm, cul es el campo elctrico cerca de la superficie de cada esfera? (b) Cul es el potencial elctrico de cada esfera? 41) A cierta distancia de una carga puntual la magnitud del campo elctrico es de 500 V/m y el potencial elctrico es igual a -3.00kV. (a) Cul es la distancia a la carga? (b) Cul es la magnitud de la carga? 42) La distribucin de carga que se muestra en la figura P1.42 se conoce como un cuadrupolo lineal (a) Demuestre que el potencial en un punto sobre el eje x donde x > d es

23

22

xdx

qdkV e

(b) Muestre que la expresin obtenida en (a) cuando x >>d se reduce a

3

22

x

qdkV e

Figura P1.42

43) La barra delgada cargada uniforme que se muestra en la figura P1.43 tiene una densidad de carga lineal . Encuentre una expresin para el potencial elctrico en P.

Figura P1.43

44) Un capacitor lleno de aire est compuesto de dos placas paralelas, cada una con rea de 7.60 cm2, separadas por una distancia de 1.8 mm. Si se aplica una diferencia de potencial de 20.0 V a estas placas, calcule (a) el campo elctrico entre las mismas (b) la densidad de carga superficial, (c) la capacitancia, y (d) la carga sobre cada placa. 45) Un cable coaxial de 50.0 cm de largo tiene un conductor interior con un dimetro de 2.58 mm que conduce una carga de 8.10 C. El conductor circundante tiene un dimetro interior de 7.27 mm y una carga de 8.10 C. (a) Cul es la capacitancia de este cable? (b) Cul es la diferencia de potencial entre los conductores? Suponga que la regin entre los conductores es aire.

Preguntas y Ejercicios Resueltos

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