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Predicción de Volatilidad y Precios de las Opciones: El caso delIbex-35.

Corredor Casado Pilar

Santamaría Aquilué Rafael (*)

Departamento de Gestión de Empresas

Universidad Pública de Navarra

Dirección para correspondencia:

Rafael Santamaría AquiluéUniversidad Pública de NavarraDepartamento de Gestión de EmpresasCampus Arrosadía s/n 31006 Pamplona (Navarra)Teléfono: (948) 169389Fax: (948) 169404e-mail: rafael@upna.es

(*) Los autores desean agradecer la ayuda financiera concedida por laD.G.E.S. (PB97-0676) y por la Universidad de La Rioja (API-98/A22).

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Predicción de Volatilidad y Precios de las Opciones: El caso delIbex-35.

Resumen

El propósito del presente trabajo es la comparación de la capacidad de

distintas alternativas paramétricas para predecir la volatilidad del Ibex-35.

Para ello se estudian modelos basados en las series históricas de

rentabilidades del subyacente, en particular algunos procesos de volatilidad

condicional autorregresiva, modelos de volatilidades implícitas y

combinaciones de ambos.

Dado que la volatilidad es una variable inobservable, el trabajo establece

la comparación de predicciones en el mercado de opciones, siguiendo las

guías expuestas en el artículo de Noh et al (1994). Para ello se ha empleado

una estrategia de negociación utilizando cinco definiciones alternativas de

opciones at-the-money. Los resultados obtenidos, en términos generales, nos

permiten avalar la superioridad de los modelos basados en volatilidades

implícitas, frente a los otros modelos propuestos.

Abstract:

The aim of this paper is to compare some parametric alternatives in order

to forecast the volatility of the index Ibex-35. We study models based on the

past returns of the underlying, particularly some processes of

autoregressive conditional volatility, models of implied volatilities and

mixed predictions composed by previous predictions.

Following the paper of Noh et al (1994) that consider the volatility as an

unobservable variable, we stablish the comparation in the option market.

We have employed a trading strategy using five different measures of at-

the-money options. In general, the results obtained support that models of

implied volatility outperform other models proposed.

3

1.-Introducción

La importancia de la volatilidad en las decisiones financieras hacen que

su predicción sea uno de los temas de mayor auge en los últimos años. La

controversia se plantea en cuanto a si existe la posibilidad de encontrar

buenas predicciones de la volatilidad del mercado, si las volatilidades

implícitas son la mejor predicción de la volatilidad o si, por el contrario, los

datos históricos recogen información más útil en la predicción.

Los trabajos que han abordado este tema se enmarcan en dos vías

diferentes. Por un lado, aquellos que intentan encontrar el mejor predictor

de la volatilidad en base a comparaciones con volatilidades reales y por otro

aquellos que, justificando que la volatilidad es inobservable, tratan de medir

la capacidad predictiva trasladando esas predicciones a los precios de

mercado de las opciones1.

El objetivo de este trabajo, en línea con el de Noh et al (1994), es evaluar

distintos modelos de predicción de volatilidad comparando los beneficios que

se obtienen al trasladarlos a los precios de las opciones. Las alternativas

que se van a comparar son tres: La primera se obtiene de modelos de

volatilidad condicional en los que se utilizan únicamente datos históricos, la

segunda proviene de la predicción obtenida a través de volatilidades

implícitas y la tercera es una combinación de ambas en la que se utilizará

tanto información histórica como datos de las volatilidades implícitas2.

1 En la primera línea de análisis se encuentran trabajos como los de Gemmil

(1986), Scott y Tucker (1989), Canina y Figleski (1993), Afonso y Lorenzo (1996),Day y Lewis (1992), Lamoreux y Lastrapes (1993), Dewachter y León (1996),Kroner et al (1995), Jorion (1995), Xu y Taylor (1995), Guo (1996), Amin y Ng(1997), Christensen y Prabhala (1998) y Fleming (1998). En la segunda línea seencuentran los de Harvey y Whaley (1992) y Noh et al (1994).

2 La consideración de estas alternativas se inspira en el trabajo de Lamoreux y Lastrapes (1993) peroasumiendo la imposibilidad de observar directamente la volatilidad.

4

La utilización de precios de opciones requiere de la elección de un modelo

de valoración. En un contexto de volatilidad estocástica, el modelo utilizado

debería ser consistente con este aspecto. Sin embargo hay varias razones

que pueden justificar la utilización del modelo B-S:

-Aunque es bien conocido que el modelo posee sesgos no es menos

reconocido que es el más utilizado por los inversores en la valoración de sus

transacciones en el mercado. Como argumentan Canina y Figleski (1993)

existe un conflicto claro al aplicar el modelo Black Scholes (en adelante B-

S). Este modelo asume que el proceso de precios tiene una volatilidad

constante, en una situación en la que la volatilidad se debe predecir ya que

cambia aleatoriamente en el tiempo. Los inversores racionales deberían

utilizar un modelo de precios que incorpore la naturaleza estocástica de la

volatilidad. Sin embargo, tanto a nivel práctico como a nivel académico se

utiliza la volatilidad implícita del modelo B-S para medir las expectativas

de la volatilidad del mercado.

-La aparente contradicción de predecir volatilidades implícitas obtenidas

desde el modelo B-S utilizando procesos de volatilidad condicional para el

subyacente puede quedar resuelta. Por una parte en las opciones at the

money (ATM) se considera que la estimación obtenida de las volatilidades

implícitas en B-S es muy cercana a la estimación obtenida desde el modelo

de Hull y White (H-W), por otra parte Nelson (1990) obtiene una

aproximación del modelo GARCH a un proceso de difusión en tiempo

discreto y Duan (1997) amplia el conjunto de modelos de volatilidad

condicional (entre los que se encuentra el GJR) que pueden aproximarse a

procesos de difusión, lo cual justifica el empleo de modelos de volatilidad

condicional junto con el modelo B-S de obtención de volatilidades implícitas.

No obstante, resulta necesario remarcar que se trata de un contraste

conjunto en el que se impone, como supuesto adicional a la capacidad

predictiva de las distintas estimaciones de volatilidad, la adecuación del

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modelo B-S para valorar opciones. Por ello el trabajo se podría entender más

como un estudio de cómo se adecúa la aproximación tomada por la mayoría

de los inversores (en la medida en que emplean el modelo B-S para derivar

precios) que como el descubrimiento del auténtico proceso que siguen las

volatilidades. En consecuencia, una forma de interpretar el estudio es la

contrastación de si esta forma de obtener la volatilidad que se va a utilizar

posteriormente en el modelo B-S es una forma eficiente de obtener la

predicción de volatilidad.

El trabajo se estructura atendiendo al siguiente esquema: el apartado

segundo describe la base de datos utilizada, el tercero muestra la

metodología empleada en la obtención de predicciones de volatilidades desde

dos campos diferentes: modelos de volatilidad condicional y volatilidades

implícitas, el cuarto apartado recoge la estrategia planteada en el mercado y

los resultados obtenidos, el quinto apartado engloba la obtención de una

predicción de volatilidad adicional combinada con datos históricos y con

volatilidades implícitas y los resultados obtenidos al aplicar esa predicción a

la estrategia planteada en el apartado anterior y por último el apartado

sexto resume las principales conclusiones que se pueden extraer del trabajo.

2.-Base de Datos

En el presente trabajo se han empleado conjuntamente dos bases de

datos. Por un lado, para la obtención de las volatilidades implícitas se ha

utilizado la base de datos de opciones intradía proporcionada por MEFF

Renta Variable S.A3. Por otro lado para los cálculos de predicciones de

volatilidad obtenidas con datos históricos se ha empleado la base de datos

de precios de cierre del subyacente de la opción durante el periodo

analizado, el índice Ibex-35.

6

Con objeto de evitar transacciones poco representativas se han eliminado

aquellas opciones cuya prima era igual a cero, así como aquellas con

volatilidad implícita nula. Igualmente se han eliminado las operaciones

realizadas fuera de la banda horaria entre las 11 y las 16´45 horas, puesto

que en las horas extremas las volatilidades implícitas tienden a ser más

altas que en el resto del día. Atendiendo a razones de liquidez, pero

tratando de evitar los problemas ligados a los días inmediatos al

vencimiento, se han considerado únicamente opciones con vencimiento

superior a cinco días e inferior a 45 días. Finalmente se han tomado

solamente las opciones ATM. Razones como la linealidad en varianza de

estas opciones o el menor diferencial bid-ask apoyan nuestra decisión. La

volatilidad implícita media diaria utilizada se obtiene cada día promediando

las volatilidades implícitas de las operaciones que mantienen los requisitos.

No se realizan ponderaciones en función de la sensibilidad a la volatilidad o

al volumen negociado puesto que argumentos como los ofrecidos por Beckers

(1981) o Brookfield (1993) redundan en que la media de las opciones ATM

puede ser una buena aproximación.

El periodo analizado comprende desde la introducción del mercado de

derivados sobre renta variable en España en 1992 hasta diciembre de 1996.

El periodo 1992-95 se ha utilizado como periodo previo para establecer los

parámetros de predicción. El año 1996 se ha empleado para las predicciones

fuera de la muestra.

3.-Metodología y Obtención de Predicciones.

3.1-Modelos GARCH

Desde la introducción del modelo ARCH por Engle en 1982 numerosos

estudios han utilizado dicha propuesta así como otros modelos de la misma

3 Agradecemos a Manolo Andrade, Arturo Piñera y Remedios Romeo la aportación de las bases de datos

7

familia para modelizar la volatilidad de las series financieras. Dado que en

un primer paso se quieren utilizar datos históricos, se piensa seguir esta

metodología de los modelos de volatilidad condicional para intentar

encontrar una buena predicción de la volatilidad futura durante la vida de

la opción. Esta decisión se encuentra avalada por el trabajo de Engle et al

(1993) en el que tomando datos históricos realizaron distintas predicciones

según varios métodos. Los resultados que obtienen apoyan al modelo

GARCH como aquel que aporta una mejor predicción de volatilidades frente

a las predicciones realizadas con modelos ARMA o MA o estimaciones MCO,

entre otras.

En primer lugar se va a considerar el modelo de volatilidad condicional

GARCH propuesto por Bollerslev (1986) puesto que parece ser un modelo,

según argumentan Lamoreux y Lastrapes (1990), que recoge de forma

parsimoniosa el comportamiento de la mayoría de las series financieras.

Siguiendo en esta línea de modelización se piensa también estimar el

modelo GJR propuesto por Glosten et al (1993) ya que dicho modelo recoge

las asimetrías que se dan en el comportamiento de la volatilidad ante

shocks positivos y negativos. Este modelo es menos sensible a la presencia

de valores extremos que el EGARCH, Engle y Ng (1993). Además algunos

trabajos como el de Brailsford y Faff (1996) han encontrado que el modelo

GJR predice mejor que otras alternativas de volatilidad que utilizan datos

históricos.

La especificación de los modelos de volatilidad condicional (GARCH y

GJR) habitual va a ser modificada para incluir dentro de los modelos el

posible efecto del fin de semana. Siguiendo los trabajos de Fama (1965),

Odfield (1980) y French y Roll (1986), la justificación de este efecto se puede

encontrar en que la volatilidad puede venir causada, entre otros motivos,

por la propia negociación, la aparición de información privada y/o la

aparición de información pública. Los dos primeros motivos se trasladarán a

empleadas.

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los precios de los activos exclusivamente en los días de negociación efectiva

de los títulos, sin embargo, la información pública puede darse en momentos

del tiempo en los que no se esté negociando en el mercado, con lo que parte

de la volatilidad aparecería en esos momentos de no negociación. En su

trabajo observan como en los días que no existe negociación la volatilidad

incrementa aunque solamente una parte de lo que le correspondería

aumentar a la volatilidad de un día. Por este motivo se intuye que la

volatilidad después de unos días sin negociación será mayor que la de un

día normal. Si los inversores son conocedores de esta situación lo

incorporarán en sus predicciones.

Con este objetivo, siguiendo el trabajo de Noh et al (1994), se va crear

una variable nt que tomará el valor del número de días de calendario que

han transcurrido desde el último día de negociación. Por tanto, nt tomará el

valor 1 todos los días de la semana excepto los lunes en los que el valor de nt

será 3 y cualquier día después de alguna fiesta que tomará el valor de la

suma de los días que hayan transcurrido sin negociación. Además esta

variable se ajustará por el factor δ, de forma que los días en los que no hay

negociación sólo se incrementa una parte de la volatilidad como se ha

argumentado previamente.

De esta forma los modelos GARCH, sin y con incorporación del

componente fin de semana, respectivamente, seguirían la siguiente

formulación:

Rt Rt ut= + − +α α0 1 1 donde ut sigue una N(0,ht)

siendo ht ut ht= + − + −β β β0 1 12

2 1 cuando no se incluye el elemento estacional

y siendo ( )[ ]ht nt nt ut ht= + −−

− + −δ β δ β β0 1 1 1

22 1 cuando sí se incluye.

9

Cuando el modelo considerado es el GJR la modelización de la varianza

sería:

ht ut ht St ut= + − + − + −−

−β β β β0 1 12

2 1 3 1 12 si no se incorpora el elemento

estacional y

( )[ ]ht nt nt ut ht St ut= + −−

− + − + −−

−δ β δ β β β0 1 1 1

22 1 3 1 1

2 si se incluye, siendo St- una

variable ficticia que toma el valor 1 cuando ut es menor que cero y 0 cuando

ut es positivo.

En una primera fase se han estimado estos modelos para el periodo 1992-

95. Los valores de los coeficientes se encuentran recogidos en el Cuadro I,

tanto para el GARCH como para el GJR, así como para el GARCH y GJR

estacional. Se incluye también información sobre el ajuste de los residuos

sobre los distintos modelos. En general puede decirse que en ningún caso los

residuos estandarizados se ajustan completamente a la normal, aunque los

valores del Jarque-Bera son algo inferiores en los dos modelos GJR. No

obstante, los residuos estandarizados no se encuentran significativamente

explicados por los residuos retardados, lo que supone cierto aval al empleo

de estos modelos.

Tras la estimación resulta necesario obtener para cada día t la volatilidad

estimada media durante la vida de la opción. Cuando se están utilizando

modelos de volatilidad condicional, el proceso consiste en calcular en el día t

una predicción de la volatilidad para t+1, t+2,...., t+τ, siendo τ el día de

vencimiento de la opción. Si el proceso que se considera es un GARCH las

volatilidades tomarán la siguiente expresión:

ht t ut ht+ = + − +1 0 1 12

2, β β β

[ ] ( )ht t E ut t ht t ht t+ = + + + + = + + +2 0 1 12

2 1 0 1 2 1, / , ,β β β β β βΩ

10

:

:

:

( )ht t ht t+ = + + + −τ β β β τ, ,0 1 2 1

Donde por ejemplo ht+2,t es la volatilidad prevista para t+2 con toda la

información disponible en t (Ωt).

Si es un GARCH corregido por el efecto del fin de semana las

volatilidades que se calcularán para cada día en t serán:

( ) ht t nt nt ut ht+ = + + − +1 1 0 12

2,δ β δ β β

[ ]( ) ( )

ht t nt nt E ut t ht t

nt nt ht t

+ = + + +−

+ + + =

= + + +− + +

2 2 0 1 1 12

2 1

2 0 1 1 2 1

, / ,

,

δ β δ β β

δ β δ β β

Ω

:

:

:

( ) ht t nt nt ht t+ = + + + −− + + −τ τ

δ β τδ β β τ, ,0 1 1 2 1

Cuando el modelo para la predicción es el GJR, las volatilidades se

obtendrán:

ht t ut ht St ut+ = + − + + −−

−1 0 1 12

2 3 1 12

, β β β β

[ ] [ ]( )

ht t E ut t ht t E St ut t

ht t

+ = + + + + + −+ =

+ + + +

2 0 1 12

2 1 3 12

0 1 2 3 2 1

, / , /

/ ,

β β β β

β β β β

Ω Ω

:

:

11

:

( )ht t ht t+ = + + + + −τ β β β β τ, / ,0 1 2 3 2 1

De la misma forma si el proceso que se considera es un GJR que

incorpora igualmente el efecto del fin de semana las volatilidades previstas

para τ-t días en este caso se calcularían en un día t como:

( ) ht t nt nt ut ht St ut+ = + + − + + −1 1 0 1

22 3

2,

δ β δ β β β

[ ] [ ]( ) ( )

ht t nt nt E ut t ht t E St ut t

nt nt ht t

+ = + + +−

+ + + + −+ =

= + + +− + + +

2 2 0 1 1 12

2 1 3 12

2 0 1 1 2 3 2 1

, / , /

/ ,

δ β δ β β β

δ β δ β β β

Ω Ω

:

:

:

( ) ht t nt nt ht t+ = + + + −− + + + −τ τ

δ β τδ β β β τ, / ,0 1 1 2 3 2 1

Dado que lo que se necesita para incorporar en el precio de la opción es la

media de las volatilidades durante el tiempo hasta vencimiento, en cada

predicción se deberá calcular la media de estas volatilidades obtenidas en t

hasta el vencimiento τ. Por ello la volatilidad media sería en cada caso:

σ ττ

τt t

ht t ht t ht t+ + =

+ + + + + +1

2 1 2,

, , .. .... ... .... ,

siendo ht+1,t, ht+2,t,........ht+τ,t las volatilidades obtenidas a través del

GARCH, GARCH estacional, GJR o del GJR estacional según se esté

calculando la predicción con uno u otro proceso.

En el presente trabajo se realiza una estimación de la volatilidad para

todas las sesiones diarias de mercado del año 1996. Para cada uno de los

12

cuatro procesos de volatilidad condicional considerados se estiman

diariamente sus parámetros con una muestra constante de 1000

observaciones (forward rolling) y, de acuerdo con los días hasta el

vencimiento de la opción, se obtiene una predicción de la volatilidad media

hasta su vencimiento.

3.2-Volatilidades implícitas

Con el objetivo de obtener predicciones de volatilidad tomando las

volatilidades implícitas se va a seguir el planteamiento utilizado en los

trabajos de Harvey y Whaley (1991) y (1992), Sheikh (1993) y Noh et al

(1994) entre otros. Numerosos estudios han abordado el análisis del efecto

apalancamiento sobre los cambios de volatilidad, encontrándose en todos

ellos un efecto significativo de la rentabilidad retardada sobre la volatilidad.

Igualmente se han incorporado variables ficticias identificativas del día de

la semana, especialmente las que se relacionan con el fin de semana. En la

misma línea es necesario determinar el número de retardos de la variable

dependiente que se deben incluir así como si se deben añadir movimientos

de la volatilidad del otro tipo de opción. En este sentido hay que señalar que

van a utilizarse dos predicciones distintas, aquellas que provienen de datos

medios de volatilidades implícitas de opciones call y put y las que se derivan

de la utilización exclusiva de las opciones call, dado que van a ser éstas el

objeto principal de las estrategias de inversión. Es en este último modelo

donde se podrían incluir las variaciones de las volatilidades implícitas de

las opciones put como variables independientes adicionales.

Puesto que el objetivo final del trabajo es encontrar el modelo que ofrezca

mejores predicciones y no tanto la capacidad de las variables independientes

para explicar la variable dependiente, se han llevado a cabo una serie de

predicciones con distintas alternativas. Se han realizado 20 combinaciones

diferentes teniendo en cuenta distintos retardos de las volatilidades

13

independientes así como, en algunos casos, la inclusión del volumen

negociado como una variable adicional. Estas combinaciones pretenden

encontrar el modelo que mejores predicciones proporciona para emplearlo

como modelo de predicción en el año 1996.

Para llegar a este modelo final se empezó inicialmente de una estimación

de cada uno de estos modelos durante el periodo 1992-95 exceptuando el

último trimestre del 95. De esta forma se fijan los coeficientes que van a

servir de partida para obtener la primera predicción en el último trimestre

del 95 y a partir de esa primera predicción se va añadiendo información

adicional de cada día y se van calculando las predicciones durante todo el

trimestre. Las distintas alternativas de predicción no ofrecen medidas del

error de predicción demasiado diferentes entre sí por lo que se elige el

modelo empleado por Harvey y Whaley (1992) y Noh et al (1994), (Ver

Anexo 1).

En el caso de que se utilicen datos de opciones call como variable

dependiente el modelo seleccionado es el siguiente:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆σ β β β β β β β σ β σ β σ β σct Rt DL DM DJ DV tc

tc

tp

tp ut+ = + + + + + + +

−+ + − +1 0 1 2 3 4 5 6 7 1 8 9 1. . . .

Donde ∆σct+1 es el cambio en volatilidad de t a t+1 en las opciones call, Rt

es la rentabilidad en t del activo subyacente. DL, DM, DJ y DV son variables

ficticias que toman los valores 1 los lunes, martes, jueves y viernes

respectivamente y 0 en otro caso. ∆σpt y ∆σpt-1 son los cambios en volatilidad

implícita de las opciones put en t y t-1 y ut es el término de error.

En el caso de que se utilicen datos medios de opciones call y put el modelo

que se va a emplear es el que se detalla a continuación:

∆ ∆ ∆σ β β β β β β β σ β σt t L M J V tR D D D D ut t

+ = + + + + + + + +−

1 0 1 2 3 4 5 6 7 1. . . .

14

Donde la única variación con respecto al anterior es que no se incluyen

los retardos de las volatilidades de las opciones put ya que en este caso

carecería de sentido incluirlos.

Siguiendo el modelo de volatilidades implícitas, la predicción realizada en

t para el día t+1 se obtiene de forma directa, puesto que dichas volatilidades

procedentes del modelo de regresión ya representan por definición la

volatilidad media durante la vida de la opción. El proceso consiste en

estimar en cada día la regresión con toda la información conocida hasta el

momento t y obtener la predicción de la volatilidad implícita σ t t k+ +12

, para el

día siguiente.

Como ya se ha avanzado previamente, existe una inconsistencia al

obtener una volatilidad implícita invirtiendo el modelo B-S y con ellas

proceder a estudiar el comportamiento estocástico de la volatilidad. En

teoría sería deseable invertir un modelo de precios de opciones consistente

con volatilidad estocástica. No obstante existen razones para utilizar los

procedentes de B-S (Jorion, 1995).

- Los modelos de volatilidad estocástica conllevan simulaciones

numéricamente muy costosas.

-Estos modelos asumen un proceso de series temporales específico para la

volatilidad. Este modelo puede estar mal especificado y exigir la estimación

de adicionales parámetros los cuales introducen una fuente suplementaria

de error.

-Para las opciones de corto plazo ATM el modelo B-S está muy cercano a

ser lineal en la volatilidad media y de estimación casi idéntica a aquellos

modelos de volatilidad estocástica.

Por ello se emplearán las volatilidades implícitas al igual que se ha

realizado en la literatura. El esquema que se sigue para predecir los precios

de las opciones es similar independientemente de cual haya sido el proceso

de obtención de la predicción de volatilidad (modelos de volatilidad

15

condicional o modelos de regresión con implícitas). Basándonos en el modelo

de valoración utilizado por los inversores en el mercado se calculará el

precio de la opción que se desee a través de B-S.

En general, cuando se contrasta la eficiencia y se encuentran resultados

contrarios a su cumplimiento éstos suelen atribuirse a procedimientos de

contraste erróneos (por errores de medida o por inferencia estadística

inapropiada) o a procesos ineficientes de información en el mercado. Pero

una razón adicional son los sesgos derivados de la utilización de modelos de

valoración inadecuados. En nuestro caso, esta explicación no puede ser

obviada en la medida en que se utiliza una secuencia de aproximaciones

para hacer uso de las volatilidades implícitas procedentes del modelo B-S.

En particular, dado que se utilizan modelos de volatilidad condicional se

toman los resultados generalizados de Duan (1997) para aprovechar la

convergencia de los procesos GARCH a distintos procesos de difusión

bivariante utilizados en la literatura de precios de opciones con volatilidad

estocástica como el de H-W4, y posteriormente, se utiliza la aproximación de

B-S al modelo de H-W para opciones ATM. Estas aproximaciones aunque

son muy frecuentes en la literatura5 no deben ocultar su posible capacidad

de explicación de resultados contrarios a la eficiencia del mercado.

4.-Estrategia de Negociación y Resultados.

Con el objetivo de llevar a cabo una simulación de estrategias se plantea

una guía lo más cercana posible al mercado real para poder asegurar que

esta estrategia podría realmente haberse implantado en el mercado a los

precios cotizados. La estrategia de negociación toma como referencia nuestra

predicción en t+1 de una opción y según su relación con el precio en t se

4 Anteriormente, Nelson (1990) ya había resuelto una primera aproximación del proceso GARCH amovimientos brownianos geométricos.

5 Estas aproximaciones han sido empleadas en los trabajos de Lamoreux y Lastrapes (1993) o Dewachtery León (1996) entre otros.

16

decide comprar o vender dicha opción para deshacer la posición en t+1. De

esta forma si el precio que se prevé para t+1, según nuestra estimación, es

mayor al que se cotiza en t se comprará la opción hoy para venderla en t+1 y

obtener beneficio; realizándose la operación inversa cuando el precio de la

opción prevista para t+1 sea menor que el que cotiza en t.

Puesto que realizar una estrategia de este tipo conlleva riesgo se cree

oportuno establecer una estrategia con cobertura delta6. Dados los altos

costes que supondría realizar esta estrategia con el subyacente

directamente, que en el periodo analizado es el índice Ibex-35, se toma como

sustituto el futuro sobre el índice al igual que hicieron en su trabajo Harvey

y Whaley (1992). De este modo, en cada día del periodo de predicción (año

1996) se compran (venden) un número de opciones correspondientes a la

inversa de la delta multiplicado por cien y se venden (compran) 100

contratos de futuros. Al día siguiente la operación se deshace, siempre y

cuando exista una opción que cumpla las restricciones planteadas y, si esto

no fuese posible, se realizará en el primer día en el que se cumplan las

condiciones.

La elección de la opción que se va a negociar supone establecer una serie

de criterios que intenten minimizar problemas de sesgos, así como de falta

de liquidez. Por ello, además de las condiciones establecidas a la base de

datos de forma general se añaden otras restricciones como el que se actúe

únicamente sobre opciones call con un vencimiento mayor o igual a 10 días e

inferior a 45 días. De esta forma nos aseguramos la existencia de una opción

de corto plazo con la que negociar y dejamos un margen de unos días para

poder deshacer la posición.

Se quiere trabajar con las opciones ATM. Con el objetivo de determinar

posibles variaciones en los resultados en función del ratio tomado (precio de

6 La cobertura delta únicamente cubre el riesgo instantáneamente, por lo que el empleo de otrascoberturas más completas muy probablemente reduciría en mayor medida los posibles beneficios que sepuedan obtener siguiendo la estrategia planteada.

17

ejercicio entre precio del subyacente) se realiza el análisis con cinco ratios

diferentes dentro de los habitualmente considerados como ATM. Los ratios

considerados son 0.99-1.01, 0.98-1.02, 0.97-1.03, 0.96-1.04 y 0.95-1.05. Para

cada uno de ellos se establece la muestra y se realiza la estrategia

anteriormente comentada, por lo que dispondremos finalmente de cinco

resultados para valorar la capacidad predictiva de las distintas alternativas.

La rentabilidad obtenida por el inversor será:

( ) ( )R

a C C d b F F

Ctt t t t

t

=− + −+ +1 1 100

Donde Ct es la prima de la opción en el momento t; Ft es el precio del

futuro en el momento t; d es el inverso de la delta; a toma el valor 1 si la

opción se compra o el valor -1 si la opción se vende y b toma los valores -1 y

1 según se compre o se venda la opción, respectivamente.

Además, si el inversor vende en t la opción se le permite que invierta en

activo libre de riesgo. Ello supone que la rentabilidad anterior se modifica

en el caso de la venta puesto que es necesario añadir la rentabilidad

adicional derivada de los resultados de su inversión en activo libre de riesgo

en el periodo (t, t+1). La expresión anterior de rentabilidad debe ser

complementada con la incorporación de los costes de transacción, con objeto

de tener una medida de rentabilidad efectiva de la operación. Por ello el

numerador se verá minorado en 25 pesetas por contrato de opción

negociado, además de un 0.5% del valor de la prima de la opción y 50

pesetas por cada contrato de futuro que se negocie7.

El Cuadro II recoge los datos referidos a las volatilidades previstas según

los distintos modelos. Se muestran cuatro predicciones de volatilidad

obtenidas con datos históricos que son las que se refieren a los modelos de

7 Estos costes se han recogido de la Circular 1/96 de MEFF.

18

volatilidad condicional, y dos predicciones obtenidas con volatilidades

implícitas. En dicho cuadro se presentan únicamente aquellas relativas al

ratio 0.95-1.05, puesto que los valores del resto de predicciones son muy

similares y, en aras a una mayor claridad, se recogen en el Anexo 2. Cabe

destacar que las predicciones de volatilidad obtenidas con los modelos de

volatilidad condicional (especialmente con el GARCH y el GARCH

estacional) ofrecen valores mayores que las que proceden de los modelos de

volatilidades implícitas en todos los casos analizados. Este hecho puede ser

debido a que las predicciones de estos modelos se calculan con datos de

cierre del subyacente, considerados normalmente algo superiores a los de

las transacciones del día. Dentro de las volatilidades implícitas el valor más

alto lo tiene aquella predicción que se obtiene con valores de opciones call,

quedando la predicción con volatilidades implícitas medias con el valor más

bajo de todas ellas.

Un primer análisis de las predicciones puede realizarse a través de los

coeficientes de correlación entre las distintas predicciones puesto que nos

ofrecen información acerca de sus componentes comunes. Así, se observa

como los cuatro modelos de volatilidad condicional tienen coeficientes de

correlación que van del 0.93 (entre GARCH estacional y GJR) al 0.99 (entre

GJR y GJR estacional o GARCH y GARCH estacional) lo que refleja

claramente el movimiento conjunto de todas ellas, consecuencia de la

similitud entre la información que subyace en cada uno de estos modelos.

Por otro lado, también las dos volatilidades implícitas parecen moverse

juntas, ya que su coeficiente de correlación es 0.90. Sin embargo, la

correlación entre cualquiera de las predicciones desde los modelos de

volatilidad condicional con algunas de las predicciones desde volatilidades

implícitas desciende pasando a unos valores comprendidos entre 0.60 (entre

implícitas medias y GJR) y 0.67 (entre implícitas con call y put separadas

con el GARCH). Estas diferencias sugieren que los conjuntos de información

en los que se sustentan ambos grupos resultan algo distintos en algunos

19

momentos del tiempo, por lo que los distintos métodos pueden proporcionar

predicciones de volatilidad sensiblemente diferentes.

El Cuadro III muestra los datos referentes a los precios previstos según

los distintos métodos, así como los precios reales según los distintos ratios

considerados. Un primer hecho se mantiene en todos los casos: la media de

los precios reales es superior a los precios previstos. También se cumple que

los precios previstos con los distintos modelos GARCH y GJR son más

elevados que los derivados de los modelos basados en volatilidades

implícitas, por lo que sus valores medios son más próximos a los precios

medios reales. No obstante, estos resultados medios pueden ser el resultado

de compensación de sesgos sistemáticos y, por tanto, pueden ocultar

mayores errores de predicción. Con objeto de analizar esta posibilidad,

hacemos uso del coeficiente de correlación que nos indicará la medida de

variación conjunta entre predicción y realización y podrá servir de

complemento a los resultados presentados.

Un primer aspecto destacable es que la correlación entre todos los precios

previstos, tanto los procedentes de modelos de volatilidad condicional como

los procedentes de volatilidades implícitas, es bastante elevada. En cuanto a

la correlación entre precios reales y previstos, ésta varía según los precios

previstos procedan de uno u otro conjunto de información. Así, para todos

los ratios considerados, el mayor coeficiente de correlación se presenta en el

modelo de volatilidades implícitas con opciones call (de 0.72 a 0.86). Las

predicciones con volatilidades implícitas con calls y puts y las obtenidas con

volatilidades condicionales presentan correlaciones menores (0.68 a 0.85),

siendo todas ellas, muy próximas entre sí, aunque inferiores a las que se

derivan del modelo de implícitas con datos medios de calls y puts en el ratio

0.99-1.01. Estos resultados sobre la correlación entre precios reales y

previstos puede ser un avance de los resultados que se obtienen a

continuación.

20

Los datos relativos a las rentabilidades obtenidas según la estrategia

planteada sin considerar los costes de transacción se recogen en el Cuadro

IV. El Cuadro V presenta las rentabilidades efectivas tras incorporar los

costes de transacción derivados de las estrategias de negociación

planteadas. Según el Cuadro IV la rentabilidad diaria media más alta se

obtiene con las volatilidades implícitas de call, independientemente del ratio

que se tome. En todos los casos éstas son superiores a las que se obtienen

con los modelos de volatilidad condicional. La rentabilidad diaria obtenida

con las volatilidades de las call va desde un un 1.50% (cuando el ratio es

0.99-1.01) hasta un 3.17% (cuando el ratio es 0.96-1.04). Las rentabilidades

procedentes de las volatilidades condicionales previstas varían dentro del

rango 0.50%-2.66%. Puede observarse que, casi en todos los casos, los

modelos que incorporan la corrección por el fin de semana tienen

rentabilidades medias superiores a los que no lo hacen y, en general, el GJR

estacional es el que mayor rentabilidad muestra. Cabe destacar, por último,

las bajas rentabilidades que se obtienen con la predicción realizada con

datos de volatilidades implícitas medias.

No obstante, aun cuando en la mayoría de casos las rentabilidades son

positivas, los valores de las desviaciones típicas hacen prever una situación

real más incierta. El estadístico t es significativo en los cinco intervalos

cuando se utilizan las volatilidades implícitas de calls y en todos los modelos

de volatilidad condicional cuando se observan los ratios 0.97-1.03 y 0.98-

1.02. En el resto de casos las rentabilidades medias diarias no son

significativamente distintas de cero. La validez de este estadístico queda

garantizada si se supone que las rentabilidades obtenidas por las

estrategias de negociación de cada día son independientes.

Los resultados obtenidos ofrecen un mayor aval empírico en el terreno

predictivo a la utilización de volatilidades implícitas que a los modelos de

volatilidad condicional. No obstante, las conclusiones no pueden

generalizarse más allá del activo, periodo y mercado en el que se han

21

obtenido. En este sentido, el mejor comportamiento de la predicción de

volatilidades implícitas puede deberse a su relación con la liquidez del

mercado, ya que incrementos de la volatilidad implícita podrían reflejan

expectativas sobre incrementos de la volatilidad futura, así como posibles

situaciones de iliquidez. Por otro lado, puede ocurrir que las volatilidades

implícitas sean un input más común para formar expectativas futuras y, en

consecuencia, ofrezcan mejores predicciones independientemente de su

adecuación real. Es conveniente remarcar que el análisis realizado nos

aporta especial información sobre la volatilidad que va a tener cotizada el

mercado de opciones al día siguiente más que determinar si realmente una

u otra forma de predecir volatilidad recoge mejor la volatilidad futura del

subyacente.

El análisis detallado de las rentabilidades obtenidas, después de tener en

cuenta los costes de transacción, podría aportar alguna información

adicional a lo ya comentado. Los resultados que se ofrecen en el Cuadro V

son unánimes. En la práctica totalidad de casos las rentabilidades diarias

son negativas aunque no son significativas, salvo para el caso de la

utilización de volatilidades implícitas medias. La excepción de alguna

rentabilidad positiva cuando se predice con volatilidades implícitas de las

calls no hace sino reafirmar las conclusiones que se han obtenido cuando se

ha efectuado el análisis sin tener en cuenta los costes de transacción, por lo

que parece que el mejor predictor es la volatilidad implícita.

Es posible que el origen de las rentabilidades negativas se explique,

además de por la evolución de los precios, por los propios costes de

transacción. Un inversor que prevea un beneficio bruto esperado de una

estrategia que sea inferior al coste de transacción cierto de su realización

muy probablemente evitará llevarla a cabo. Considerando este aspecto, se

ha realizado una prueba adicional para todos los modelos y con todas las

submuestras asociadas a los cinco ratios ATM. Los resultados que se han

obtenido siguiendo este esquema no alteran las conclusiones finales (Ver

22

Anexo 3). De forma general se obtienen rentabilidades superiores con todas

las predicciones de volatilidad a las obtenidas con la anterior estrategia pero

el ranking de mejoras de unas frente a otras previsiones de volatilidad se

mantiene inalterado.

Una información adicional es la que se presenta en el Cuadro VI. En él se

muestran, para todos los ratios y tipos de predicción de volatilidad, los

porcentajes de compras y ventas que se ha realizado con las estrategias a lo

largo del año. Con ello se pretende determinar si existe algún posible sesgo

que se pudiese relacionar con los resultados. Estos datos revelan que el

porcentaje de compras y ventas es bastante próximo prácticamente en todas

las predicciones, excepto en las que se obtienen con volatilidades implícitas

medias en las que el número de ventas es mucho más elevado que el de las

compras. Obviando esta excepción no se puede hablar de un patrón de

comportamiento, aunque se aprecie un porcentaje ligeramente superior de

las compras frente a las ventas.

5.-Predicción de volatilidad combinando volatilidades

implícitas y datos históricos.

Una tercera vía alternativa de obtener predicciones de volatilidad es

aquella en la que se intenta combinar la información que proviene de datos

históricos con la de las expectativas futuras sobre la volatilidad

(volatilidades implícitas) puesto que cada una de ellas puede contener

información complementaria más que sustitutiva. Una vez observados los

resultados con las dos predicciones de volatilidad más utilizadas, se

pretende extender el trabajo calculando una nueva predicción de volatilidad

que sea una combinación de ambas, permitiendo, de este modo,

aprovecharse de las fuentes de predicción contenidas en ambos conjuntos de

información.

23

Para formalizar esta idea es preciso buscar los parámetros que van a

ponderar cada una de esas predicciones previas para formar la nueva

predicción. Para ello se ha pensado utilizar el último trimestre del 95 como

periodo de referencia en el que realizar predicciones fuera de la muestra.

Estas se emplean como variables independientes en un modelo en el que

como variable dependiente se toma la volatilidad implícita media realizada

en el día t+1. Este tipo de regresiones se conocen en la literatura como

regresiones encompasadas y se han empleado básicamente para determinar

si predicciones obtenidas de distintos modelos poseen información adicional.

Su planteamiento es el siguiente:

σ α β βt F F+ = + +1 0 1 1 1 2 2 2( ) ( )Ω Ω

Este modelo representa la volatilidad realizada en función de dos

estimaciones de la volatilidad F1(Ω1) y F2(Ω2) donde la segunda predicción

posee información que se encuentra contenida en la primera Ω2 ⊂ Ω1. Para

confirmar esta hipótesis, se debe contrastar que el coeficiente β1 sea igual a

1 y el coeficiente β2 sea igual a cero, ya que F2(Ω2) no contiene información

adicional a la que posee F1(Ω1) para predecir σt+1. Fair y Shiller (1990) o Day

y Lewis (1992), entre otros, utilizan este tipo de regresiones para analizar la

capacidad predictiva de distintas estimaciones.

En nuestro caso el objetivo es ligeramente diferente puesto que

únicamente se quieren obtener los coeficientes de ponderación. Con este

propósito estimamos el anterior modelo empleando GMM, en donde σt+1 es la

volatilidad implícita media realizada, F1(Ω1) es la predicción obtenida

mediante un modelo de volatilidad condicional determinado y F2(Ω2) es la

predicción obtenida desde las volatilidades implícitas (en este caso

únicamente se van a utilizar las predicciones de volatilidades implícitas con

las calls). Por tanto, contamos con cuatro combinaciones distintas de

predicciones una por cada modelo de volatilidad condicional empleado

24

(GARCH, GARCH estacional, GJR y GJR estacional) unido a la volatilidad

implícita prevista de las calls.

Los resultados de la estimación de este modelo en el último trimestre de

1995 se recogen en el Cuadro VII, en el que se estiman las distintas

ponderaciones para derivar en las predicciones del año 1996. Los valores de

los coeficientes, así como la significatividad asociada a ellos, dejan al

descubierto la importancia de las volatilidades implícitas, puesto que el

coeficiente de ponderación relacionado con ellas es superior al 90% y

significativo mientras que el asociado a la volatilidad condicional en los

distintos modelos no supera el 5% y no es significativo.

No obstante, como el objetivo del trabajo es buscar una predicción de

volatilidad combinada, se toman dichas ponderaciones. Dado que ya se han

obtenido las predicciones procedentes de los modelos de volatilidad

condicional y de los modelos de volatilidades implícitas para el año 1996, la

predicción combinada en cada día t, para el día t+1, será aquella que se

obtenga de sumar los productos de cada una de esas predicciones por el

coeficiente de ponderación obtenido. De esta forma contamos con cuatro

predicciones adicionales con datos combinados.

Los resultados de las estrategias realizadas con estas cuatro predicciones

combinadas se recogen en los Cuadros VIII y IX, antes y después de los

costes de transacción, respectivamente. A nivel general, las rentabilidades

obtenidas con estas predicciones de volatilidad combinadas aportan peores

resultados que aquellas obtenidas con datos separadamente de modelos de

volatilidad condicional y de volatilidades implícitas. Esto ocurre así salvo

para uno de los ratios analizados, el más amplio (0.95-1.05). En este caso las

predicciones combinadas ofrecen mejores resultados que las obtenidas con

las predicciones procedentes de modelos de volatilidad condicional

individualmente. Además, en una combinación en concreto: GARCH e

implícitas se superan los resultados que se obtuvieron exclusivamente con

25

volatilidades implícitas que, como ya se había señalado, eran las que más

beneficios reportaban.

Observando el Cuadro IX, donde se ofrecen los resultados después de

tener en cuenta los costes de transacción, se detecta el mismo

comportamiento que se ha comentado para los resultados obtenidos antes de

costes de transacción. Finalmente se realizó la estrategia únicamente

cuando el valor esperado de los beneficios era superior a los costes de

transacción de llevarla a cabo, los resultados mantienen las mismas

conclusiones8.

Por último el Cuadro X recoge el porcentaje de compras y ventas

realizadas según las distintas predicciones y ratios. Al igual que ocurría en

el caso de las predicciones con modelos de volatilidad condicional y con

volatilidades implícitas individualmente no se observan grandes diferencias

entre compras y ventas lo cual indica que los resultados no se deben a

tendencias en el mercado. Unicamente podría apreciarse alguna diferencia

cuando el ratio es 0.99-1.01, en donde se observa un porcentaje de las ventas

más elevado.

Estos resultados avalan, la capacidad predictiva de las volatilidades

implícitas en nuestro mercado frente a otras alternativas empleadas en la

literatura, como los modelos de volatilidad condicional o combinaciones de

datos históricos con volatilidades implícitas, puesto que los beneficios

obtenidos con ellas son superiores prácticamente en todos los casos. No

obstante, los resultados de este apartado en las opciones dentro del ratio

0.95-1.05 dejan abierta la posible exploración de otras combinaciones de

estas volatilidades o su empleo en otros ratios menos negociados en el

mercado español. Igualmente queda abierto un campo de trabajo

contemplando estimaciones no paramétricas con el empleo de Redes

8 Los resultados están disponibles si se solicitan a los autores.

26

Neuronales Artificiales o su utilización como técnica de agregación no lineal

de combinaciones paramétricas9.

6.-Conclusiones

El presente trabajo aborda una cuestión de gran interés en la literatura

financiera: la predicción de la volatilidad a través del mercado de opciones.

Desde la perspectiva de los distintos trabajos que han estudiado este tema,

se ha optado por la vía de analizar la mejoría predictiva de distintas

alternativas atendiendo a sus efectos en precios, dado que su comparación

con volatilidades realizadas parece difícil por ser éstas no observables

directamente en el mercado.

Con dicho objetivo se han empleado dos tipos de volatilidades las

obtenidas a través de modelos de volatilidad condicional utilizando datos

históricos y las obtenidas a través de volatilidades implícitas. El análisis se

ha realizado en el mercado español de renta variable y más concretamente

utilizando el mercado de opciones sobre el Ibex-35. El periodo estudiado

comprende desde 1992 hasta finales de 1996.

Los resultados obtenidos parecen sugerir una mayor capacidad predictiva

de las predicciones que proceden de volatilidades implícitas frente a las

otras alternativas. Adicionalmente se han empleado unas predicciones de

volatilidad calculadas combinando las predicciones obtenidas con datos

históricos y con datos de volatilidades implícitas. En general se obtienen

peores resultados que los obtenidos únicamente con volatilidades implícitas.

Por último, nos parece interesante remarcar que si bien los resultados

obtenidos apoyan la capacidad predictiva de los modelos empleados para

obtener los precios futuros de las opciones, la inclusión de los costes de

9 En este sentido, algunas de estas alternativas se recogen en la Tesis Doctoral de Marco (1998).

27

transacción anula sus beneficios potenciales, lo cual supone un aval

empírico para el mantenimiento de la hipótesis de eficiencia de mercado.

28

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31

GARCH

GARCHS

GJR

GJRS

β0

*104

0.13

0.12

0.13

0.13

t (4.57)

(4.51)

(4.57)

(4.58)

β1 0.10

0.10

0.02

0.02

t (4.37)

(4.35)

(1.30)

(1.39)

β2 0.77

0.77

0.78

0.78

t (18.67)

(17.77)

(18.06)

(17.36)

β3 0.12

0.12

t (3.18)

(3.12)

δ 0.13

0.11

t (1.83)

(1.56)

L-L 4086.24

4087.33

4065.77

4066.64

J-B 60.76

60.39

51.70

51.81

c1*10

-0.03

0.04

0.3 0.3

t (-0.11)

(0.14)

(1.05)

(1.21)

c2*10

-0.1 -0.1 0.03

0.02

t (-0.42)

(-0.45)

(0.11)

(0.09)

Cuadro I. Coeficientes de la estimación de los modelos devolatilidad condicional y algunos descriptivos. GARCHS: GARCHestacional, GJRS: GJR estacional. L-L: Logaritmo de la función deverosimilitud. J-B: Contraste de Jarque-Bera. c1 coeficiente de laregresión ut c ut et= − +1 1 , c2: coeficiente de la regresión ut c c ut et

20 2 1

2= + − + ,

siendo ut el residuo estandarizado

GARCH

GARCHS

GJR

GJRS

IMP C

IMP M

Media

15.75

15.75

15.72

15.70

15.49

14.65

Desv.

0.95

0.87

1.09

0.92

1.99

2.31

GARCH

GARCHS

GJR

GJRS

IMP C

IMP M

32

GARCH

1 0.99

0.96

0.98

0.67

0.63

GARCHS

1 0.93

0.96

0.66

0.62

GJR

1 0.99

0.66

0.60

GJRS

1 0.66

0.61

IMP C

1 0.90

IMP M

1

Cuadro II. Media, desviación típica y correlaciones de laspredicciones de volatilidades cuando el ratio considerado es 0.95-1.05. GARCHS: GARCH estacional, GJRS: GJR estacional, IMP C:Predicciones con implícitas de calls, IMP M: Predicciones conimplícitas medias.

Media

Desv.

Media

Desv.

Media

Desv.

Media

Desv.

Media

Desv.

(1) (2) (3) (4) (5)R

eal6

7.713

3.406

5.103

9.256

0.924

2.975

7.624

2.655

7.614

6.04G

arch6

5.472

0.956

2.522

8.425

8.503

2.475

5.913

4.585

7.344

1.22G

archs6

5.472

0.996

2.522

8.425

8.513

2.485

5.923

4.595

7.344

1.22G

jr6

5.252

0.846

2.322

8.335

8.313

2.375

5.723

4.425

7.154

1.08G

jrs6

5.182

0.856

2.252

8.305

8.253

2.365

5.663

4.415

7.084

1.07I

mp c6

4.082

1.906

1.282

9.005

7.383

2.785

4.843

5.055

6.354

1.41I

mp m6

0.632

2.525

7.972

9.375

4.253

3.115

1.753

5.335

3.354

1.81Cuadro III. Descriptivos de Precios previstos y reales. (1)

Ratio 0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio0.96-1.04, (5) Ratio 0.95-1.05. GARCHS: GARCH estacional, GJRS:GJR estacional, IMP C: Predicciones con implícitas de calls, IMP M:Predicciones con implícitas medias.

(1) (2)

eal s s c m eal s s c m

eal .68 .68 .68 .69 .72 .70 .81 .81 .81 .81 .83 .81

.95 .93 .99 .97 .96

s .95 .92 .99 .97 .95

33

.95 .92 .97 .96

s .95 .92 .97 .95

c .98 .98

m(3) (4)

eal s s c m eal s s c m

eal .83 .83 .83 .83 .85 .83 .83 .83 .83 .83 .85 .83

.98 .97 .98 .98

s .98 .97 .98 .97

.98 .97 .98 .98

s .98 .97 .98 .98

c .99 .99

m(5)

eal s s c m

eal .85 .85 .85 .85 .86 .85

.99 .98

s .99 .98

.99 .98

s .99 .98

c .99

mCuadro III (Continuación).. Descriptivos de Precios

previstos y reales. (1) Ratio 0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio0.97-1.03. (4) Ratio 0.96-1.04, (5) Ratio 0.95-1.05. G: GARCH, GS:GARCH estacional, J: GJR, JS: GJR estacional, IC: Prediccionescon implícitas de calls, IM: Predicciones con implícitas medias.

Med.

Desv.

t Med.

Desv.

t Med.

Desv.

t

34

(1) (2) (3)G

arch0

.561

0.29(

0.85)1

.131

2.66(

1.39)2

.091

5.10(

2.16)G

archs0

.671

0.29(

1.02)1

.251

2.65(

1.55)2

.181

5.08(

2.25)G

jr0

.541

0.31(

0.81)1

.141

2.77(

1.40)2

.171

5.20(

2.22)G

jrs0

.501

0.33(

0.76)1

.371

2.74(

1.68)2

.181

5.18(

2.23)I

mp c1

.501

0.15(

2.30)2

.451

3.27(

2.87)3

.041

5.27(

3.10)I

mp m0

.181

0.10(

0.28)-

0.001

3.47(

-0.00)0

.181

5.12(

0.19)(4) (5)

Garch

1.98

17.98

(1.72)

1.14

18.20

(0.97)

Garchs

2.56

17.90

(2.23)

1.71

18.14

(1.47)

Gjr

2.56

18.03

(2.21)

1.69

18.26

(1.44)

Gjrs

2.66

17.99

(2.30)

1.79

18.22

(1.53)

Imp c

3.17

17.37

(2.85)

2.25

16.96

(2.06)

Imp m

0.09

16.93

(0.08)

-0.04

16.43

(-0.40)

Cuadro IV. Rentabilidades antes de costes de transacción. (1) Ratio0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04, (5) Ratio0.95-1.05. GARCHS: GARCH estacional, GJRS: GJR estacional, IMP C:Predicciones con implícitas de calls, IMP M: Predicciones con implícitasmedias.

Med.

Desv.

t Med.

Desv.

t Med.

Desv.

t

(1) (2) (3)G

arch-

1.521

0.25(

-1.74)-

0.831

2.44(

-1.05)-

0.151

4.74(

-0.16)G

archs-

1.031

0.25(

-1.57)-

0.711

2.43(

-0.89)-

0.061

4.72(

-0.06)G

jr-

1.771

0.27(

-1.77)-

0.821

2.55(

-1.02)-

0.071

4.84(

-0.07)G

jrs-

1.211

0.29(

-1.83)-

0.601

2.52(

-0.74)-

0.061

4.82(

-0.07)I

mp c-

0.201

0.08(

-0.32)0

.481

2.98(

0.58)0

.801

5.02(

0.83)I

mp m-

1.521

0.05(

-2.35)-

1.951

3.48(

-2.25)-

2.021

5.16(

-2.07)(4) (5)

G - 1 ( - 1 (

35

arch 0.58 7.60 -0.51) 1.57 8.19 -1.35)G

archs-

0.001

7.48(

-0.00)-

1.001

8.10(

-0.86)G

jr-

0.011

7.59(

-0.01)-

1.031

8.22(

-0.88)G

jrs0

.091

7.56(

0.08)-

0.921

8.18(

-0.79)I

mp c0

.621

7.04(

0.56)-

0.451

6.98(

-0.41)I

mp m-

2.431

6.88(

-2.24)-

3.091

6.43(

-2.93)

Cuadro V. Rentabilidades después de costes de transacción. (1) Ratio0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04, (5) Ratio0.95-1.05. GARCHS: GARCH estacional, GJRS: GJR estacional, IMP C:Predicciones con implícitas de calls, IMP M: Predicciones con implícitasmedias.

%C.

%V.

%C.

%V.

%C.

%V.

%C.

%V.

%C.

%V.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Garch

54.32

45.68

54.51

45.49

54.92

45.08

55.33

44.67

55.74

44.26

Garchs

53.49

46.51

53.69

46.31

54.10

45.90

53.69

46.31

53.69

46.31

Gjr

55.96

44.04

55.33

44.67

56.56

43.44

56.56

43.44

56.97

43.03

Gjrs

55.14

44.86

53.28

46.72

54.92

45.08

54.10

45.90

54.51

45.49

Imp c

41.97

58.03

46.72

53.28

51.23

48.77

52.87

47.13

52.87

47.13

Imp m

19.34

80.66

21.72

78.28

24.60

75.40

25.41

74.59

25.41

74.59

Cuadro VI. Porcentajes de compras y ventas.(1) Ratio 0.99-1.01, (2)Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04, (5) Ratio 0.95-1.05.GARCHS: GARCH estacional, GJRS: GJR estacional, IMP C: Predicciones conimplícitas de calls, IMP M: Predicciones con implícitas medias.

β0

t β1

t β2

t

(a) 1.88

(0.89)

-0.10

(-0.59)

0.98

(17.99)

(b) 1.68

(0.86)

-0.08

(-0.54)

0.97

(18.91)

(c) - ( 0 ( 0 (1

36

0.59 -0.25) .09 0.44) .94 2.79)(d) -

0.70(

-0.30)0

.10(

0.49)0

.94(1

3.38)

Cuadro VII. Resultados estimación GMM. (a) Garch + implícitas, (b)Garch estacional + implícitas, (c) Gjr + implícitas, (d) Gjr estacional +implícitas.

37

Med.

Desv.

t Med.

Desv.

t Med.

Desv.

t

(1) (2) (3)(

a)-

0.481

7.45(

-0.43)0

.621

6.75(

0.57)1

.851

8.10(

1.59)(

b)-

0.501

7.40(

-0.45)0

.481

6.70(

0.44)1

.191

8.14(

1.02)(

c)-

0.391

7.50(

-0.35)0

.531

6.78(

0.49)1

.131

8.14(

0.97)(

d)-

0.421

7.46(

-0.37)0

.551

6.76(

0.51)1

.141

8.14(

0.98)(4) (5)

(a)

1.79

19.10

(1.46)

2.77

17.03

(2.53)

(b)

1.26

19.20

(1.02)

2.19

17.03

(2.01)

(c)

1.07

19.11

(0.87)

2.07

16.95

(1.90)

(d)

1.09

19.14

(0.89)

2.08

16.99

(1.91)

Cuadro VIII. Rentabilidades con predicciones de volatilidadcombinadas, antes de costes de transacción. (1) Ratio 0.99-1.01, (2) Ratio0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04, (5) Ratio 0.95-1.05. (a):GARCH, (b): GARCH estacional, (c): GJR, (d): GJR estacional.

Med.

Desv.

t Med.

Desv.

t Med.

Desv.

t

(1) (2) (3)(

a)-

2.101

7.29(

-1.89)-

1.281

6.69(

-1.20)-

0.361

7.82(

-0.31)(

b)-

2.121

7.25(

-1.92)-

1.421

6.65(

-1.33)-

1.011

7.94(

-0.88)(

c)-

2.011

7.34(

-1.81)-

1.361

6.72(

-1.27)-

1.071

8.04(

-0.92)(

d)-

2.031

7.31(

-1.83)-

1.351

6.70(

-1.26)-

1.051

8.04(

-0.91)(4) (5)

(a)

-0.76

18.79

(-0.63)

0.05

16.77

(0.05)

(b)

-1.29

18.95

(-1.06)

-0.05

17.07

(-0.48)

(c)

-1.48

18.96

(-1.21)

-0.63

16.94

(-0.59)

(d)

-1.46

18.99

(-1.19)

-0.63

16.99

(-0.58)

Cuadro IX. Rentabilidades con predicciones de volatilidad combinadas,después de costes de transacción. (1) Ratio 0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3)

38

Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04, (5) Ratio 0.95-1.05. (a): GARCH, (b):GARCH estacional, (c): GJR, (d): GJR estacional.

%C.

%V.

%C.

%V.

%C.

%V.

%C.

%V.

%C.

%V.

(1) (2) (3) (4) (5)(

a)3

3.746

6.264

0.575

9.435

1.234

8.775

3.284

6.725

4.514

5.49(

b)3

5.396

4.614

3.035

6.975

4.514

5.495

7.384

2.625

8.614

1.39(

c)3

0.046

9.963

5.256

4.754

4.675

5.334

6.725

3.284

7.955

2.05(

d)3

1.286

8.723

6.896

3.114

6.315

3.694

8.365

1.644

9.595

0.41

Cuadro X. Porcentajes de compras y ventas. Volatilidadescombinadas (1) Ratio 0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4)Ratio 0.96-1.04, (5) Ratio 0.95-1.05. (a): GARCH + Implícitas, (b): GARCHestacional + implícitas, (c): GJR + Implícitas, (d): GJR estacional +Implícitas.

39

Anexo 1

Call Call+PutE

CM√ /

/% √ /

/%

(a) 1

0.0393

0.0295

88.72

0.0435

0.0334

102.60

2 0.0389

0.0292

90.93

0.0338

0.0400

115.18

3 0.0388

0.0290

90.85

0.0410

0.033

110.84

4 0.0387

0.0292

91.16

0.0408

0.0319

108.34

5 0.0391

0.0291

91.25

0.0412

0.0322

107.28

(b) 1

0.0380

0.0282

82.67

2 0.0378

0.0280

86.57

3 0.0380

0.0281

86.02

4 0.0384

0.0289

89.39

5 0.0391

0.0291

86.80

(c) 1

0.0398

0.0307

108.00

0.0411

0.0320

98.70

2 0.0392

0.0297

101.87

0.0410

0.0321

105.97

3 0.0391

0.0296

101.87

0.0410

0.0323

110.86

4 0.0390

0.0295

99.48

0.0408

0.0319

108.35

5 0.0394

0.0294

97.75

0.0412

0.0327

107.26

(d) 1

0.0384

0.0295

101.04

2 0.0379

0.0285

94.15

3 0.0385

0.0294

103.56

4 0.0388

0.0299

104.08

5 0.0394

0.0300

100.02

Resultados de las medidas del error de predicción. (a):modelo con retardos de la variable dependiente, (b): modelocon retardos de la variable dependiente más retardos del otrotipo de opción, (c): modelo (a) incluyendo el volumen denegocio, (d): modelo (b) incluyendo el volumen negociado.

40

Anexo 2

(1) (2) (3) (4)M

ediaD

esv.M

ediaD

esv.M

ediaD

esv.M

ediaD

esv.G

arch1

5.770

.941

5.770

.941

5.760

.951

5.760

.94G

archs1

5.770

.871

5.760

.871

5.750

.871

5.760

.87G

jr1

5.731

.091

5.731

.091

5.721

.091

5.721

.09G

jrs1

5.710

.921

5.710

.921

5.700

.921

5.700

.92I

mp c1

5.491

.991

5.491

.991

5.491

.991

5.491

.99I

mp m1

4.652

.311

4.652

.311

4.652

.311

4.652

.31

Volatilidades previstas según los distintos ratios (1) Ratio0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04

(1) (2)

s s c mG

sJ J

sI

cI

m

.99 .96 .98 .67 .630

.990

.960

.980

.670

.63

s .94 .97 .65 .621 0

.930

.960

.660

.62

.99 .65 .591 0

.990

.660

.60

s .66 .601 0

.660

.60

c .901 0

.90

m1

(3) (4)

s s c mG

sJ J

sI

cI

m

.99 .96 .98 .67 .630

.990

.960

.980

.670

.63

s .93 .96 .66 .621 0

.930

.960

.660

.62

.99 .66 .601 0

.990

.660

.60

s .66 .611 0

.660

.61

c .901 0

.90

m1

Correlaciones de las predicciones de volatilidad (1) Ratio 0.99-1.01, (2)Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04. G: Garch, Gs: Garchestacional, J: GJR, Js: GJR estacional, Ic: Implícitas con calls, Im: Implícitascon medias.

41

Anexo 3

ed esv. ed esv.t

ed esv.(1) (2) (3)

Garch .86 0.84 1.14) .61 3.11

(1.79) .50 5.72 2.34)

Garchs .96 0.84 1.27) .52 3.14

(1.71) .42 5.72 2.28)

Gjr .78 0.73 1.07) .52 3.07

(1.73) .42 5.63 2.29)

Gjrs .94 0.69 1.30) .76 2.99

(2.00) .64 1.07 1.86)

Imp c .66 0.89 2.09) .59 4.34

(2.56) .26 5.30 2.98)

Imp m .21 0.35 0.31) .08 3.80

(0.09) .21 5.42 0.20)

(4) (5)G

arch .93 8.63 2.29) .95 8.96(

1.50)G

archs .82 8.64 2.20) .86 8.92(

1.43)G

jr .87 8.73 2.23) .87 9.04(

1.43)G

jrs .11 8.54 2.46) .13 8.82(

1.66)I

mp c .46 7.86 2.71) .48 7.24(

2.00)I

mp m .53 6.31 0.48) 0.19 5.79(

-0.18)

Rentabilidades antes de costes de transacción confiltro. (1) Ratio 0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04, (5) Ratio 0.95-1.05.

Med

Desv.

ted

Desv.

t Med

Desv.

t

(1) (2) (3)G

arch-

0.861

0.78(

-1.15) 0.371

2.82(

-0.42)0

.231

5.33(

0.22)G

archs-

0.761

0.78(

-1.01) 0.471

2.86(

-0.53)0

.131

5.34(

0.12)G

jr-

0.941

0.69(

-1.29) 0.441

2.77(

-0.51)0

.161

5.32(

0.16)G

jrs-

0.761

0.64(

-1.06) 0.191

2.67(

-0.23)0

.381

5.17(

0.37)I

mp c-

0.041

0.82(

-0.06) .611

4.03(

0.62)1

.111

4.99(

1.03)I

mp m-

1.491

0.29(

-2.19) 1.851

3.82(

-1.99)-

1.981

5.48(-

1.93)(4) (5)

Garch

0.29

18.20

(0.24) 0.86

18.95

(-0.66)

Garchs

0.17

18.22

(0.14) 0.96

18.90

(-0.74)

Gjr

0.25

18.26

(0.20) 0.93

19.01

(-0.71)

Gjrs

0.50

18.07

(0.40) 0.66

18.78

(-0.52)

42

Imp c

0.89

17.45

(0.71) 0.20

17.01

(-0.16)

Imp m

-1.95

16.22

(-1.79) 2.80

15.79

(-2.61)

Rentabilidades después de costes de transacción con filtro. (1) Ratio0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04, (5)Ratio 0.95-1.05.

43

%C.

%V.

%C.

%V.

%C.

%V.

(1) (2) (3)G

arch5

4.814

5.195

4.634

5.3756.48

43.52

Garchs

53.14

46.86

54.13

45.87

55.96

44.04

Gjr

53.67

46.33

54.50

45.50

55.91

44.09

Gjrs

51.85

48.15

52.04

47.96

53.85

46.15

Imp c

37.70

62.30

44.55

55.45

51.02

48.98

Imp m

17.90

82.10

18.75

81.25

22.37

77.63

(4) (5)G

arch5

6.604

3.405

6.604

3.40G

archs5

5.874

4.135

6.074

3.93G

jr5

5.874

4.135

5.874

4.13G

jrs5

3.494

6.515

3.704

6.30I

mp c5

2.794

7.215

2.314

7.69I

mp m2

2.177

7.832

2.487

7.52

Filtro. Porcentajes de compras y ventas.(1) Ratio 0.99-1.01, (2) Ratio 0.98-1.02, (3) Ratio 0.97-1.03, (4) Ratio 0.96-1.04, (5) Ratio 0.95-1.05.