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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Tienes la forma general: a1(x) +a0(x)y =f(x)

Dividiendo entre a1(x) : p(x)y =Q(x)

Vericando de esta nueva ecuacin dif Tiene comofactor integrante:

u(x) =! como solucin general:

"

#$emplo (x +1) %y =(x +1)&

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ECUACIONES DIFERENCIALES DEBERNOULLI

Tiene la forma general:+'(x)y = Q(x)yn

donde n 01Dividiendo entre yn: yn+'(x)y1n = Q(x)

*ea: + = y1n

,ultiplicando por(1 n): =(1 n)yn

(1 n) +(1 n)'(x)+ =(1 n)f(x)

*ustituyendo:+(1 n)'(x)+ =(1 n)f(x)

#$emplo y = y%

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ECUACIONES DIFERENCIALES DERICATTI

-a ecuacin:. '(x)y / Q(x)y%/ (x) (1)

-a ecuacin de icatti se puede resolver si se conoce una solucinparticular se puede 3allar suponiendo 4ue y. f(x) sea una solucinparticular entonces se puede 3allar la solucin de la ecuacindiferencial 3aciendo y . f(x) / 5 donde 5 es una funcin incgnita 4uese va a determinar con la ayuda de la ecuacin diferencialEs decir: y = f(x) = f(x) + reemplazando en la ecuacin (1) setiene:

f(x) + = P(x)(f(x) + z) + Q(x)(f(x) + z) + !(x)"""# ()$%rupando los t&rminos de la ecuacin ():

P(x) + Q(x)f(x))z'(x)z + (f(x) P(x)f(x) Q(x)f(x) !(x)) = *"#()

,omo y= f(x) es una solucin de la ecuacin diferencial de !-,,$.-entonces se tiene:f(x) P(x)f(x) ' Q(x)f(x) !(x)= * """"##(/)

0e las ecuaciones (/) y () se tiene: 6 ('(x) / %Q(x) f(x)) 5 .

#$emplo. y + y 1 donde la solucin es y =

f(x) = x

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ECUACIONESDIFERENCIALES DE PRIMERORDEN Y GRADOSUPERIOR AL PRIMERO

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Las ecuaciones diferenciales de ri!er orden" #rado suerior al ri!ero e di$ide en dos%ios de ecuaciones&

#cuaciones diferenciales de -78798#

T';* D#

#

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Ecuaciones diferenciales de LAGRANGE&

2as ecuaciones de 2a%ran%e se puede resol3ermediante el par4metro p y tiene la si%uiente

forma:

y= x f (y) + g (y)

Para resol3er la ecuacin diferencial de 2a5ran%ese transforma en otra ecuacin diferencial lineal en

x como funcin de P haciendo y=p de donde

dy=pdx lue%o se sustituye a la ecuacin:y= x f (p) + % (p) 0iferenciando la ecuacin setienedy = f (p)dx + x f (p)dp + %(p)dp

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E'e!lo & (" ) *"+ , "+ln"+

*olucin:7 la ecuacin diferencial la expresamos de la forma: y .

xy>?% / y>lny>?% (1)*ea: y> . dy?dx . p reempla5ando en (1)

" . xp?% / plnp?% diferenciando se tiene:dy . p?% dx / x?% dp / lnp?% dp / dp?% reempla5amos

por dy . pdxpdx . p?% dx / x?% dp / lnp?% dp / dp?% simplicamosdx?dp 6 1?p x . lnp / 1?p 4 se convirti en una

ecuacin diferencial lineal

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ECUACIONES DIFERENCIALES DECLAIRAUT

2a ecuacin diferencial de ,lairaut tiene la forma:

y. xy>/ g (y>)

2a ecuacin de ,lairaut y=x#y+%(y) es el casoparticular de la ecuacin de 2a5ran%e y= x#%(y) +7(y) resulta ser %(y)= yy se resuel3esi%uiendo los mismos pasos ue las ecuaciones de2a%ran%e

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E'e!lo& y=xy+ a/"+(

*olucin:8ea: y= dy9dx = p dy = pdx reemplazando en la ecuacin

dy= xdp + pdx ' a9pdp reeplazando dy= pdx

pdx= xdp + pdx ' a9pdp (x' a9p)dp= *

0e donde x= a9p3 dp= * p=c p

2ue%o: x= a9c

y . xc / %a?c

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#D=

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-7 #@'#*!9 *# 9T#87 "--#87 7 =97 ;,=-7 ;

#@'#*!9 97-:

=na ve5 se 3a encontrado vE(t) se integra y sesustituye a la ecuacin original por y%:

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APLICACI.N DE LA ECUACION DIFERENCIAL ALA DE TERMODIN/MICA

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APLICACI.N DE LAS ECUACIONES DE CAMBIO DE TEMPERATURA

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