Pre-càlculo
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Círculo y Circunferencia
Matemáticas 11°
Carmen Paternina.
OBJETIVOS
Diferenciar los conceptos de círculo y circunferencia.
Reconocer y graficar las lineas y ángulos del círculo.
Aplicar los teoremas de lineas y ángulos a la solución de ejercicios y problemas.
Escribir la ecuación del círculo con C(0,0) y C(h,k) según la información dada.
Analizar la ecuación de un círculo encontrando centro y radio y clasificando si es punto, círculo real ó imaginario.
Definiciones Básicas
Circunferencia:Conjunto de puntos coplanares que son equidistantes de un punto fijo llamado centro de la circunferencia.
.O
P.F
K
L
G
.
.
..
Definiciones Básicas
Radio:segmento cuyos extremos son el centro de la circunferencia y otro punto de la misma. También se le llama radio a la medida de esos segmentos.
.O
P.r
r
Definiciones Básicas
Cuerda: Segmento cuyos extremos son DOS puntos de la circunferencia.
Diámetro: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia.
.O
P
M
C
NA
G
Cuerdas: , , PM NC GA
Diámetro: NCr
r
Interior de la circunferencia: Conjunto de puntos coplanares a la circunferencia, que están a una distancia del centro MENOR que el radio.
Exterior de la circunferencia: Conjunto de puntos coplanares a la circunferencia, que están a una distancia del centro MAYOR que el radio.
O
. P
, , , , están en el Exterior de la circunferenciaP F L M K
. M
. L
. F
. K
r
PO r
FO r
LO r
MO r
KO r
, , están en el Interior de la circunferenciaJ G W
. G
. W
. J
JO r
GO r
WO r
Definiciones Básicas
Círculo:Unión de la circunferencia y su interior. Conjunto de puntos coplanares que están a una distancia menor o igual que el radio.
.O
P.
Círculo de centro y radio P OP
Ángulo central: Dados dos puntos E y F de una circunferencia. Se llama ángulo central al ángulo cuyo vértice es el centro D de la circunferencia.
Los lados de dicho ángulo son y DE DF����������������������������
.
.
E
F
D
El es un ángulo centralFDE
Arco: Sean A y B dos puntos de una circunferencia de centro C tales que
NO sea un diámetro, entonces:
1. El conjunto formado por A, B y todos los puntos de la circunferencia que pertenecen al interior del se llama arco MENOR de extremos A y B.
2. El conjunto formado por A, B y todos los puntos de la circunferencia que pertenecen al exterior del se llama arco MAYOR de extremos A y B.
AB
ACB
ACB
A.
B.
“Soy el arco menor”
“Soy el arco mayor”
Notaciones:
Si un arco tiene extremos A y B lo denotamos:
Como suele haber ambigüedad escribimos donde M es un punto cualquiera del arco.
Por costumbre se suele utilizar para el arco menor.
AB
AMB
AB
A
B.
. M
N
.
Arco Menor:
Arco Mayor:
Arco Menor:
AMB
ANB
AB
3. Si en las definiciones anteriores es un diámetro, en lugar de “arco” llamamos a esa parte SEMICIRCUNFERENCIA
AB
A O. B
“Soy una semicircunferencia
A.B.
Rectas en la circunferencia
M
N.
.
.H
L.
D.
es tangente a la circunferencia
es exterior a la circunferencia
es secante a la circunferencia
MN
LD
AB
�������������� �
�������������� �
�������������� � es el punto de tangenciaH
Teoremas importantes
Teorema 1:Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que contiene el punto de tangencia.
.O
F.
Círculo de centro O y radio OF
OF
Teoremas importantes
Teorema 2:En una circunferencia, toda recta que contenga al centro y sea perpendicular a una cuerda, biseca la cuerda.
.O
A
si AB entonces AM MB
.B
M
Ejercicios
Dada la siguiente figura, complete lo que se le solicita.
Dos secantes:________
Tres cuerdas:________
Una tangente:________
Dos radios:__________
Un punto de tangencia:_____
Un diámetro:________
BG�������������� �
y
LR
CE�������������� �
MR MG
,
,
JH�������������� �
NR
F
BG SD,
Teoremas importantes
Teorema N°1: Teorema del ángulo exteriorSiα es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:
2
Teoremas importantes
Teorema N°2: Teorema del ángulo interiorSi α es ángulo interior de la circunferencia, entonces:
Teoremas importantes
Teorema N°3:Teorema del las Secantes Sean PA y PB dos secantes, entonces:Toda la primera secante PA * su segmento externo PD es igual a toda la segunda secante PB * su segmento externo PC
Teoremas importantes
Teorema N°4: Teorema del la Tangente y Secantes sean PA una tangente y PC una secante, entonces: la tangente al cuadrado PA es igual a toda la secante PC por su segmento externo PD
Teoremas importantes
Teorema N°5: Teorema de las Tangentes sean PA y PC dos tangentes, entonces: la primera tangente es igual a la segunda tangente
Teoremas importantes
Teorema N°6: Teorema de las Cuerdas sean AB y CD dos cuerdas, entonces: El producto de los segmentos determinados en la primera cuerda AP * PB es igual al productos de los segmentos determinados en la segunda cuerda CP * PD
REPASO DE TEMAS ESTUDIADOS.
TRIGONOMETRÍA.
PLANES DE APOYO.
Matemáticasgrado 11
Todos se preguntan que son las matemáticas y de donde provienen aquí encontrara su respuestaMatemática: es la disciplina que estudia, mediante el razonamiento deductivo, las propiedades de los entes abstractos, tales como los números, las figuras geométricas, etc...,así como las relaciones que dichos entes guardan entre sí. Suele decirse que las matemáticas nacieron en Grecia hacia el año 600 ADC Pero esta afirmación es solo parcialmente verdad
Matemática: trigonometría
Que es la trigonometría? trigonometría, rama de las matemáticas que
estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. las dos ramas fundamentales son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
Que es un Angulo?
el Angulo es la porción de plano delimitada por dos semirrectas del mismo origen
Los ángulos se identifican por 3 letras donde :
La letra central corresponde al vértice Las otras 2 letras son puntos cualquiera de
las semirrectas que lo forman
Los ángulos: se clasifican en
Angulo recto : mide 90 grados Angulo agudo: mayor que 0 menor que 90
Angulo obtuso: mayor que 90 menor que 180 Angulo llano: mide 180 grados
Clases de angulos
Ángulos : complementarios y suplementarios
son complementarios cuando la suma de sus valores es un ángulo recto, es decir, 90 grados sexagesimales.
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus valores es igual a la de dos rectos, es decir(180º).
Como saber si un ángulo es complementario o suplementario.
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus ángulos es igual a 90°. Si conocemos un ángulo, su ángulo complementario se puede encontrar restando la medida del mismo a 90o.
Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 43o? Solución: 90° - 43° = 47°
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus grados es igual a 180o. Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 180o.
Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 143o? Solución: 180° - 143° = 37°
ÁNGULOS
Angulo coterminales- dos o mas ángulos que terminen en el mismo lugar.
ANGULOS CUADRANTALES
EJEMPLOS:
A) sen 90º. Solución: Como sen q = y, sen 90º = 1 (la coordenada en y).
B) cot 180º. Solución: Como cot q = x/y, cot 180º = –1/0 = indefinida
C) sec 360º. Solución: Como sec q = 1/x, sec 360º = 1/1 = 1
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Seno = Opuesto/Hipotenusa
Cosecante = Hipotenusa/Opuesto
Coseno = Adyacente/Hipotenusa
Secante = Hipotenusa/Adyacente
Tangente = Opuesto/Adyacente
Cotangente = Opuesto/Adyacente
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Trucos para memorizar fácilmente las 6 funciones trigonométricas:
SOHCAHTOA: Seno = opuesto/Hipotenusa
Coseno = Adyacente/Hipotenusa Tangente = Opuesto/Adyacente
CHOSHACAO:
Cosecante = Hipotenusa/Opuesto Secante = Hipotenusa/Adyacente Cotangente = Adyacente/Opuesto
IDENTIDADES:
En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
IDENTIDADES
Sec A = 1/Cos A; Cos A Sec A = 1
CscA = 1/SenA; Sen A Csc
A = 1 Tan A = Sen A/Cos A Tan A Cot A = 1
Cot A = Cos A/Sen A
Sen²A+Cos²A = 1 Sen²A=1-Cos²A Cos²A=1-Sen²A
Tan²A+1=Sec²A Tan²A=Sec²A-1 1=Sec²A-Tan²A
Cot²A+1=Csc²A Cot²A=Csc²A-1 1=Csc²A-Cot²A
ANGULOS
Ángulos Dobles sen2A=2senA cos A cos2A=cos²A-Sen²A tan2A=2TanA/1-Tan²A=Sen2A/Cos2A Csc2A=1/Sen2A Sec2A=1/CoS2A Cot2A=Cos2A/Sen2A
IDENTIDADES
Ángulos Medios sen(1/2) A=√(1-cosA)/2 Csc(1/2) A= √(1+cosA)/2 Tan(1/2) A = √(1-cosA)/(1+cosA)=Sen 2A/cos
2A Csc(1/2 )A = √1/sen1/2 A Sec ( ½) A = √ 1 /cos1/2 A Cot (½ A) = √cos1/2 A/sen1/2 A
IDENTIDADES
Suma y/o Resta De Ángulos sen(A±B) =sen A cos B ± Sen B Cos A Csc(A ±B) = 1/sen (A+B) Cos(A+B) = cosA cosB ±senA senB Sec(A ±B) = 1/cos (A ±B) Tan(A ±B) = TanA ±TanB/1 ±TanA TanB Cot(A ±B) = Cos(A ±B)/Sen(A ±B)
IDENTIDADES
Ejemplos : Cot 120° (usando ángulos dobles y ángulos especiales).
Cot2(60°) =Cos 2(60)= Cos²60-sen²60 Sen 2(60) 2Sen60Cos60 =(1/2) ² - (3/2) 2(3/2) (1/2) = 1/4 – 3/4 2√3/4 = -2/4 = 2 * √3 *√3 2 3√4 2√3 √3 √3
Ley del Seno
En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados A, B y C y el seno de sus respectivos ángulos opuestos a, b y c
a/sin A = b/Sin B = c/Sin C
Ley del Coseno
En todo triángulo «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...»
TRIANGULOS ESPECIALES
Graficas de funciones trigonométricas
Se usa esta ecuación para graficar. y = ±C ±A sen o cos B(∞±D) C= desplazamiento vertical A= amplitud B=numero de ciclos D=desplazamiento horizontal
Graficas de funciones trigonométricas
Ejemplos: Función Seno
Graficas de funciones trigonométricas
Ejemplos: Función Coseno
Graficas de funciones trigonométricas
Ejemplos: Función Tangente
Graficas de funciones trigonométricas
Ejemplos : Función Secante
Graficas de funciones trigonométricas
Ejemplos : Función cosecante
TRIANGULOS ESPECIALES
Ejemplos : Función Cotangente
TRIANGULOS
Que es un triángulos ? Porción de plano limitada por 3 líneas que se
cortan de dos en dos, en un punto común llamado vértice, tiene 3 vértices y 3 lados.
TRIANGULOS
Según sus lados como se define un triangulo ?
• Equilátero: tres lados iguales• Isósceles: dos lados iguales.• Escaleno: tres lados desiguales.
TRIANGULOS
Según sus ángulos los triángulos se clasifican
• Acutángulo: tres ángulos agudos• Rectángulo: un ángulo recto• Obtusángulo: un ángulo obtuso
TRIANGULOS
El área de un triangulo siempre se coloca en unidades cuadradas
El Área de un triangulo es = Base * altura sobre 2 Subperimetro: el perímetro dividido entre 2 El perímetro se saca sumando todos los lados del
triangulo. Cateto al cuadrado+cateto al cuadrado=hipotenusa al
cuadrado Otra forma de sacar el Área de un triangulo es
A=√S(S-L1 )(S-L2 )(S-L 3 )
TRIANGULOS
Ortocentro : Se denomina ortocentro al punto donde se
cortan las tres alturas del triangulo.
ortocentro
TRIANGULOS
Incentro : es el punto de corte de las bisectrices interiores de un triangulo
GEOMETRIA: ANALITICA
Que es la geometría Analítica y para que nos sirve ?
se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del Análisis matemático y del Algebra.
lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante formulas del tipo f(x,y)=0 donde f representa una función
.
CIRCULO
Centro (0 ,0) X² + Y² =r² Centro (h , k) (x-h) ² +(y-k) ²= r²
Diámetro = 2 veces el radio
CIRCULO
Distancia entre 2 puntos :
D=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
Distancia de un punto
a una línea :
D=/Ax+By+C/
√A²+B²
CIRCULO
Punto Medio : Pm: (xm= x1+x2 /2) (ym= y1+y2 /2) Área del Circulo :
πr²
Formula General : X²+Y²+Bx+Cy+D=0
Circunferencia o perímetro : 2πr
CIRCULO
Cuando: El radio al cuadrado es mayor que 0,es
Circulo real. El radio al cuadrado es igual que 0, es Punto. El radio al cuadrado es menor que 0 , es
Circulo Imaginario.
CIRCULO
Área sector : πr²n / 360 Área Segmento : A Sector - AΔ
Longitud del sector 2πrn/360 Área Corona Circular πr² - πR² Β = π(R² - r²)
ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO
Líneas tangentes trazadas desde un punto exterior con iguales, tienen la misma medida
∞= arco mayor – arco menor
2 L1=L2
ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO
Líneas secantes : Trazados desde un punto exterior
Secante Secante1 * Seg.Ext1= Secante2* Seg.Ext2
B = arco mayor – arco menor
2
ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO
Línea tangente y secante :Trazados desde un punto exterior
Tan² = Secante* Seg.Ext
ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO
Cuerdas que se cortan dentro de un circulo
ANGULOS
∞= Angulo centra β= Angulo inscrito Angulo central = Arco Angulo
inscrito=1/2 Arco
ANGULOS
Punto a una razón dada = (xr = x1+r(x2-x1) (yr = y1+r(y2-y1) Area del triangulo: AΔ= B*h /2
A =√S(s-a)(s-b)(s-c) S=a+b+c / 2 AΔ equilatero = l²√3 / 4
ANGULOS
Dados 2 puntos (x1,y1)(x2,y2 ) . Se busca la pendiente 1) M = y 2–y1
x2 - x1 2) y – y1 =m(x – x1 )
Dado un punto y la pendiente 1) Encuentras M 2) P(x1,y1) 3) y – y1 =m(x – x1 )
ANGULOS
Dada la pendiente (m) y el intercepto con el eje y (b) y=mx+b
Dado los 2 intercepto (a,b) x/a + y/b=1Forma general: Ax+By+C = 0 Para dar la inclinación de la línea Pendiente = tan β
ANGULOS
Ecuación de la mediatriz: Mediatriz: es la linea que sale del punto
medio de un segmento en forma perpendicular.
1) Hallo punto medio del segmento 2) Hallo pendiente de ese segmento y la paso
a perpendicular 3) Hago la ecuación: y-y1 = m(x-x1)
ANGULOS
Ecuación de la Altura : 1) Hallo pendiente del segmento donde llega y
la paso a perpendicular 2) Hago la ecuación con M y el punto donde
sale la altura : y-y1=m(x-x1)
ANGULOS
Ecuación de la mediana : Mediana: es el segmento que tiene por
extremos, un vértice y el punto medio del lado opuesto.
1) Hallo punto medio del segmento donde 2) Busco pendiente del punto medio, y punto
de donde sale 3) Escribo la ecuación (y-y1)=m(x-x1)
ANGULOS
Líneas paralelas tienen pendientes iguales Líneas perpendiculares: inversas y signo
contrario m= -1/m Línea paralela al eje x tiene m = 0 Línea paralela al eje y tiene m = 1/0
CONICAS
Elipse a=punto final eje
mayor sus coordenadas se llaman vértice
b=punto final eje menor, sus coordenadas se nombran B
c= foco c² = a² – b²
Lr= lado recto lr=2b² /a E=exentridad e= c/a
e <1 e = c/aHorizontal Vertical x ² + y ² = 1 x ² + y ²
=1 a ² b ² a ² b ²
CONICAS
a=punto final eje mayor , sus coordenadas se llaman vertical
b=punto final eje menor, sus coordenadas se nombran B
c= foco c ² = a ² - b ² Lr= lado recto lr= 2b ² /aExcentridad e=c/a
debe ser menor que 1
a= punto final eje real o transversal, sus coordenadas se llaman vértice
b= punto final eje conjugado o imaginario, sus coordenadas se llaman B
C= foco c ² =a ² + b ²
Lr= lado recto lr= 2b ² /a
E=c/a debe ser mayor que 1
CONICAS
Elipse E Hipérbola Elipse E Hipérbola
Horizontal Vertical C (0,0) C (0,0) v (±a,0) v (0, ±a) (0,±b) β (±b,0) f (±c,0) f (0, ±c) Pf (±c, ±1/2L) pf (±1/2Lr
±c)
Siempre c < a Siempre c > a
CONICAS
Eje mayor o eje real o transversal= 2a Eje menor o eje conjugado o imaginario =
2b Elipse hipérbola
CONICAS
Distancia focal 2c El centro es el punto medio entre los dos
vértices (v), los dos puntos finales del eje menor o conjugado (B) o los dos focos (F).el foco es el punto medio entre los dos puntos finales.
CONICAS
ELIPSE C (h,k) HIPERBOLA Horizontal Horizontal (x – h) ² + (y – k)² = 1 (x – h) ² - (y – k)
= 1 a ² b ² a ² b ² Vertical Vertical (x – h) ² + (y – k) ² = 1 (y – k) ² - (x – h) ²
b ² a ² a ² b ²
CONICAS
Elipse - Hipérbola Elipse – Hipérbola C (h,k) Horizontal C (h,k) Vertical v (h±a,k) v (h,k±a) (h,k±b) β (h±b,k) f (h±c,k) f (h,k±c) pf (h±c,k1/2L r) pf (h±1/2Lr,k±c)
CONICAS
Parabola e = 1
v (0,0) v (h,k) y²= 4ax (y – k ) ²
=4ª(x – h) Lr = 4ª Lr= 4a f (a,0) f ( h +a, k) D: x= -a D: x= h – a pf ( a, ±2ª) pf (h+a,k
±2a)
vf = vd
Distancia del vertice al foco = Distancia de vertice a directriz
CONICAS
Vértice es el punto medio entre foco y directriz. Foco es el punto medio entre los 2 puntos finales.
y² = -4ac (y – k)²= -4ac (x – h)
f (- a,0) f (h-a, k) D: x =a D: x= h +a pf (-a,±2ª) pf (h-a,k±2ª)
CONICAS
x²=4ay (x-h)²= (y-k) f (0,a) f(h,k+a) D: y=-a D: y= k -
a pf=(±2a,a)
pf(h±2a,k+a)
CONICAS
x²= -4ay (x-h)²= -4 a (y-k) f (0,-a) f(h,k-a) D: y=a D: y= k +a pf=(±2a,-a)
pf(h±2a,k-a)
CONICAS
Curva Conica Sección Conica
CONICAS
Elipse Hipérbola
ECUACION DE LA LINEA
cuando te dan dos puntos. Se usa esta formula:
M = y2 - y1/ x2 - x1
cuando te dan la ecuación Ax + By + C = 0. se usa esta formula :
M = -a/ b
ECUACION DE LA LINEA
Aplicamos esta ecuación cuando tenemos
Y= mx+b Y-Y1 = m(x – x1 )M = pendiente este lo uso cuando
me un y= intercepto punto y la
pendiente o me dan los puntos.
ECUACION DE LA LINEA
Cuando nos dan los intercepto y la formula general.
Ax + By + C = 0 x + y = 1 Formula general de a b de una linea
GENERALIDADES
Para hallar el intercepto en y: Igualo x = 0 y busco y para hallar el intercepto en x : igualo y = 0 y busco x
GENERALIDADES
Para hallar la pendiente y la inclinación aplicamos la siguiente ecuación :
m = y2-y1 / x2-x1
y con la respuesta pongo en la calculadora shift tan de la respuesta:
Tan B =m
GENERALIDADES
Para hallar la simetría: X = -x misma ecuación simétrica eje y Y = -y misma ecuación simétrica eje x Para hallar simetría en el origen: X=-x, y=-y misma ecuación simétrica origen
GENERALIDADES
Cuando me dan la ecuación de una línea Ax+By+C = 0 m = -A / B
GENERALIDADES
Punto a una razon dada : Xr = X1 + r (x1 – x ) Yr = Y1 + r (y1 – y )
GENERALIDADES
Para hallar el punto medio : Xm = x1 + x2 / 2 Ym = y1 + y2 / 2
GENERALIDADES
Dominio : también llamado -Valores que puede tomar X - Conjunto de partida -Pre - Imagen
GENERALIDADES
Rango : también nombrado Codominio-Imagen -Conjunto de llegada-Recorrido
GENERALIDADES
Dominio : se despeja Y para hallar X En la respuesta se coloca D: XER/X≠ de la respuesta
GENERALIDADES
Rango : se despeja x para hallar Y En la respuesta se colocaD: YER/Y≠ de la respuesta