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Prácticas de Física 1Grado en Ingeniería de la Salud

Índice general

1. Medida de longitudes. Calibre y micrómetro 4

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Calibre y micrómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Determinación del volumen de un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Determinación de la densidad de un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Análisis de movimientos 9

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Movimiento rectilíneo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2. Movimiento parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3. Movimiento en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Análisis de movimientos. Tracker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Movimiento rectilíneo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Movimiento parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Ley de Hooke. Movimiento armónico simple (MAS) 13

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1. Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2. Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Estudio experimental de la ley de Hooke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3. Estudio experimental del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1. Dependencia del periodo de las oscilaciones con la amplitud . . . . . . . . . . . . 16

3.3.2. Dependencia del periodo de las oscilaciones con la masa . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.3. Captura automatizada de datos. Cálculo de la constante elástica del resorte . . . 17

4. Conservación de la energía mecánica. Péndulo simple y rueda de Maxwell 20

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2. Péndulo simple o matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2

3

4.2.2. Tarea a realizar en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2.3. Trabajo a realizar posteriormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3. Rueda de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.1. Momento de inercia y verificacion conservación energía . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.2. Tarea a realizar en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.3. Trabajo a realizar posteriormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Fluidos: Principio de Arquímedes y Ecuación de Bernouilli 29

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1. Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.2. Ecuación de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2. Determinación de la densidad de un sólido (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3. Verificación experimental de la ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1. Incertidumbre en las medidas y presentación de las memorias 37

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2. Incertidumbre e incertidumbre relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3. Clasificación de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4. Estimación de la incertidumbre en las medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.1. Medida directa de una magnitud física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.2. Medida indirecta de una magnitud física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.5. Presentación de resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.6. Recta de mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.7. Realización de gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.8. Memorias de las prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

29 de septiembre de 2016

Práctica 1

Medida de longitudes. Calibre ymicrómetro

1.1. Introducción

En esta práctica mediremos longitudes con ayuda del calibre y el micrómetro. A partir de esas medi-das calcularemos el volumen de dos piezas cilídricas.

1.2. Calibre y micrómetro

Dos aparatos de medida de longitudes utilizados frecuentemente son el calibre y el micrómetro.

Figura 1.1: Calibre

El calibre es un aparato empleado para la medida de longitudes. Consta de una regla dividida enpartes iguales, sobre la que desliza una reglilla graduada (nonius) de forma que n −1 divisiones de laregla se dividen en n partes iguales del nonius. Si D es la longitud de una de las divisiones de la regla,la longitud de una división de nonius es d = D(n − 1)/n.

Se llama precisión p a la diferencia entre las longitudes de una división de la regla y otra del nonius,por lo que

p = D − d = D − D(n −1)

n= D

n. (1.1)

4

Práctica 1. Medida de longitudes. Calibre y micrómetro 5

Figura 1.2: Micrómetro

Así, si cada división de la regla tiene por longitud un milímetro, y se han dividido nueve divisiones deella en diez del nonius, la precisión es de 1/10 de mm (nonius decimal).

Para medir una longitud con el calibre, mediremos en primer lugar, en la escala, los milímetros yluego, con el nonius, la fracción de milímetro. Esta fracción de milímetro vendrá dada por la primerarayita del nonius que coincida con la de la regla. Multiplicando la división correspondiente por d yatendremos esa fracción.

Por otra parte, el micrómetro (también es denominado tornillo de Palmer, calibre Palmer o simple-mente palmer) es otro instrumento empleado para medir longitudes con precisión. Se basa en larotación de un tornillo, cuyo desplazamiento axial es proporcional a su desplazamiento angular.

En la figura 1.2 se puede visualizar las partes fundamentales de un micrómetro.

1. Cuerpo: Constituye la estructura o armazón del micrómetro.

2. Tope fijo: Determina el punto cero de la medida.

3. Tope móvil o espiga: Parte móvil que determina la lectura del instrumento.

4. Dispositivo de seguro o tuerca de fijación: Permite paralizar el desplazamiento del tope móvil.

5. Tambor micrométrico Fijo: Adherido al cuerpo, donde se graba la escala fija de 0 a 25mm.

6. Tambor micrométrico móvil: Solidario al tope móvil, donde se graba la escala circular o móvil de50 divisiones.

7. Trinquete o freno: Sirve para limitar la presión del tope móvil sobre la pieza a medir, ya que unaexcesiva presión sobre la misma nos llevaría a mediciones erróneas.

En la figura 1.3 se puede apreciar las escalas de un micrómetro.

Para realizar una medida con el micrómetro debemos seguir los siguientes pasos:

1. Se anota la última lectura visible de la escala grabada longitudinalmente en el cuerpo del instru-mento (escala fija). En nuestro ejemplo el valor es de 5,5 mm.

2. Se observa cuál es la división del tambor que coincide exactamente con la raya longitudinal de laescala fija. En el ejemplo aparece el número 11 (este valor es el número de centésimas de mm) y seagregará a la lectura anterior como 0,11mm. El resultado final será entonces 5,5+0,11 = 5,61mm.


Figura 1.3: Micrómetro-Lectura

1.3. Determinación del volumen de un sólido

Nuestro objetivo será determinar el volumen de una pieza cilíndrica (por ejemplo, una moneda) conayuda del calibre y del micrómetro. También calcularemos la incertidumbre asociada a esta medida.

Trabajo a realizar el el laboratorio

Rellene la Tabla 1.1 realizando los siguientes pasos:

1. Compruebe que el micrómetro no tiene error de cero (cuando lo cerramos completamente, elresultado de la medida tendrá que ser cero; en caso contrario, avisar al profesor para ajustar elaparato). A continuación mida la altura del cilindro, h, con ayuda del micrómetro en 10 puntosdiferentes (10 medidas). Anote también la resolución asociada a la precisión del aparato, que serála misma para todas las medidas.

2. Igualmente compruebe que el calibre tampoco tiene error de cero (en caso contrario, avisar alprofesor para ajustar el aparato). A continuación mida el diámetro del cilindro, D , con ayuda delcalibre en 10 puntos diferentes (10 medidas). Anote también la resolución asociada a la precisióndel aparato, que será la misma para todas las medidas.

Trabajo a realizar posteriormente

1. Calcule el valor de la altura y la incertidumbre asociada a la misma. En esta medida tenemos dosfuentes de incertidumbre: una debida a la resolución del aparato (uB ) y otra debida a que la piezano es un cilindro perfecto y la altura puede variar de un punto a otro (uA). Indique explícitamentecómo se ha calculado ese valor y su incertidumbre, y no olvide las unidades en el resultado final.

2. Calcule el valor del diámetro y la incertidumbre asociada al mismo. Recuerde que volvemos a tenerdos fuentes de incertidumbre: una debida a la resolución del aparato y otra debida a que la piezano es un cilindro perfecto y el diámetro puede variar de un punto a otro. Indique explícitamentecómo se ha calculado ese valor y su incertidumbre, y no olvide las unidades en el resultado final.

3. Calcule el valor del volumen del cilindro (en unidades del S.I.) junto con su incertidumbre asocia-da (el volumen de un cilindro es V = πD2h/4). Tenga en cuenta que, para calcular la incertidum-bre, tendrá que emplear las técnicas matemáticas indicadas en el fundamento teórico. Indiqueexplícitamente cómo se ha calculado ese valor y su incertidumbre, y no olvide las unidades enel resultado final.


1.4. Determinación de la densidad de un sólido

Determinaremos la densidad de una pieza cilíndrica (por ejemplo, una moneda distinta a la usadaen el apartado anterior) midiendo su masa con la balanza (junto con su incertidumbre) y calculandosu volumen a partir de una sola medida de su diámetro y altura (junto con su incertidumbre) usandopara ello el calibre.

Tarea a realizar en el laboratorio

Para rellenar la Tabla 1.2, realice los siguientes pasos:

1. Pese la pieza con la balanza de precisión y anote la masa mo junto con el valor de la resolución dedicha balanza.

2. Mida el diámetro D y la altura h de la pieza con el calibre (una sola medida) y tenga en cuenta laresolución del calibre.


1. Calcule el volumen y densidad de la pieza en unidades del S.I. Se recuerda que el volumen deun cilindro es Vo = πD2h/4 y la densidad ρo = mo/Vo. Todas las medidas y resultados debenfigurar con sus unidades e incertidumbres asociadas y debe indicar de forma explícita cómo sehan calculado las incertidumbres.


Hoja de datos. Práctica 1

Tabla 1.1: Medidas de altura y diámetro de una pieza cilíndrica.

Pieza hi (mm) Di (mm)

123456789

10

Tabla 1.2: Medidas de masa, volumen y densidad

Pieza 3 mo (g) ho (mm) Do (mm)

Resolución del micrómetro (mm):

Resolución del calibre (mm):

Resolución de la balanza (g):

Práctica 2

Análisis de movimientos

2.1. Introducción

En esta práctica se analizarán algunos movimientos mediante un software de libre distribución. Enconcreto se estudiará el movimiento rectilíneo uniforme, el movimiento rectilíneo uniformementeacelerado (caída libre), el movimiento parabólico y el movimiento de caída de un cuerpo sometido auna fuerza de fricción con un fluido (aire).

La posición de una partícula respecto a un sistema de referencia dadoviene dada por su vector de posición~r (t ). Si la partícula se mueve, estevector será función del tiempo y, utilizando coordenadas cartesianas,lo podemos escribir como

~r (t ) = x(t ) x+ y(t ) y+ z(t ) z .

La velocidad de la partícula se define como~v(t ) =~r (t ), y su aceleracióncomo~a(t ) = ~v(t ), donde f indica derivada con respecto al tiempo de f .

Trayectoria

2.1.1. Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento frecuente en la naturaleza consiste en el denominado movimiento rectilíneo unifor-me, que ocurre cuando una partícula se mueve con aceleración nula, es decir, con velocidad constan-te. En este caso el movimiento es en línea recta. Suponiendo que se mueve en la dirección x, podemosescribir

x(t ) = x0 + v t (2.1)

donde v es la velocidad y x0 su posición en intante inicial, que supondremos t = 0. Una partículasometida a una serie de fuerzas que se compensen unas con otras (fuerza total nula) se mueve deesta manera.

Otro movimiento frecuente consiste en el denominado movimiento rectilíneo uniformemente ace-lerado, que tiene lugar cuando una partícula se mueve en línea recta con aceleración constante. Eneste caso, suponiendo que se mueve en la dirección x con aceleración a,

v(t ) = v0 +at (2.2)

x(t ) = x0 + v0t + 1

2at 2 (2.3)

9

Práctica 2. Análisis de movimientos 10

donde v0 y x0 es su velocidad y posición en intante inicial, que supondremos t = 0. Una partículasometida a la acción de una fuerza constante, con una velocidad inicial en la misma dirección queesta fuerza, como ocurre con un objeto en caída libre (despreciando el rozamiento con el aire), semueve de esta manera. En este caso, combinando las dos expresiones anteriores, se puede deduciruna expresión matemática que puede resultar útil en algunos casos

v2(x) = v20 +2a(x −x0). (2.4)

2.1.2. Movimiento parabólico

Otro movimiento, algo más complicado, ocurre cuando una partícula se mueve con aceleración cons-tante, pero ya no en línea recta porque, en el instante inicial, la velocidad tiene componente no nulaen una dirección distinta a la de la aceleración. Éste es el caso, por ejemplo, del movimiento de unproyectil si se desprecia los efectos del rozamiento con el aire. El movimiento tiene lugar en dos di-mensiones, que supondremos las direcciones x e y , y la trayectoria de la partícula es una parábola.Su aceleración vendrá dada por

ax = 0

ay = a

donde hemos supuesto que la aceleración está dirigida a lo largo del eje y . Integrando podríamoscalcular la velocidad

vx (t ) = v0x (2.5)

vy (t ) = v0y +at (2.6)

donde v0x y v0y son las velocidades iniciales en la dirección x e y (t = 0). Integrando de nuevo

x(t ) = x0 + v0x t (2.7)

y(t ) = y0 + v0y t + 1

2at 2 . (2.8)

Si observamos con detenimiento las ecuaciones anteriores, podemos comprobar que este movimien-to en dos dimensiones no es más que la composición de dos movimientos, un movimiento rectilíneouniforme en el eje x y otro uniformemente acelerado en el eje y . Resulta trivial obtener la ecuaciónde la trayectoria y comprobar que es una parábola.

2.1.3. Movimiento en un fluido

Una situación muy frecuente ocurre cuando un objeto sometido a una fuerza constante se mueve enun fluido, como ocurre con un objeto que cae en el aire. Aparecen fuerzas de fricción que dependende la velocidad y hacen que su aceleración disminuya. Esa fuerza de fricción depende también de laforma y tamaño del objeto, y es responsable de que, a igualdad de forma y tamaño, “los objetos máspesados caigan antes que los más ligeros”. 1

Es por ello que, por lo general, resulta difícil familiarizarse con la idea de que, en caída libre, si pu-diéramos quitar el aire, dos objetos de muy distinta masa que dejáramos caer desde la misma alturallegarían al suelo a la vez. Quizás resulte interesante ver el video rodado en la Luna en la misión delApolo XV en el que se ve al astronauta Scott dejando caer una pluma y un martillo que llegan al sueloa la vez ( http://www.youtube.com/watch?v=877kwyTV1Vs).

1No confundir este rozamiento con el denominado rozamiento seco, que ocurre entre dos superficies.


2.2. Análisis de movimientos. Tracker

En esta práctica analizaremos algunos de los movimientos anteriormente descritos. Para ello utiliza-remos el software denominado Tracker, que es libre y puede descargarse desde el siguiente enlace:

http://physlets.org/tracker/

Existen diferentes versiones en función del sistema operativo, y es posible instalar una versión enespañol. El manual del programa se puede descargar en la misma página. Este programa permite,a partir de una película de vídeo, obtener las coordenadas de la partícula en función del tiempo yanalizar su movimiento. En la red existen mucho vídeos que enseñan a manejarlo, por ejemplo

http://www.youtube.com/playlist?list=PL62DC6BEB5117B954

Para el análisis de movimiento, cada grupo de prácticas realizará un vídeo. Se recomienda utilizar elmóvil o tableta con mayor resolución y configurarlo para grabar al mayor número de fotogramas porsegundo (fps) posible (intente activar si le aparece la opción de “slow motion”). Cada pareja de prác-ticas instalará el software anterior en el ordenador en el que vaya a trabajar.Es necesario que el video que es cargado por Tracker tenga un número de imágenes por segundoconstante. Si el video grabado con el móvil no tiene esta característica, dicho video debe ser proce-sado por un conversor de videos.

2.3. Movimiento rectilíneo uniforme

Trabajo a realizar en el laboratorio

De acuerdo con las indicaciones del profesor, grabe un vídeo en el que se vea cómo un objeto semueve horizontalmente sometido a una fuerza que podemos considerar nula si desprecimos el roza-miento (en el presente caso los efectos de rozamiento son prácticamente despreciables). En el videodebe aparecer una regla que nos permita posteriormente determinar la escala de longitud.


Posteriormente (y fuera del laborario) lleve a cabo los siguientes apartados que deben adjuntarse enla Memoria de Prácticas.

1. Utilizando Tracker, obtenga la posición x en función del tiempo t . Compruebe que la coordena-da y apenas varía. No es necesario presentar en la memoria la tabla con estos valores.Nota. Tanto en este primer vídeo como en los demás, es muy importante que al identificar el ob-jeto en Tracker, dicho objeto no esté muy cerca de otros objetos (como la mano) que pudieran“confundir” al software del programa.

2. Mediante Tracker, u otro software, represente gráficamente la coordenada x en función del tiem-po (x en vertical y t en horizontal). Responda a las siguientes cuestiones:

(a) ¿Qué curva se espera encontrar y por qué?

(b) Razone si la la gráfica obtenida corresponde a un movimiento rectilíneo uniforme, y caso deno ser así, explique las causas.


3. Calcule la velocidad del objeto utilizando la gráfica anterior (la velocidad será la pendiente de larecta). Para ello, ajuste la curva mediante una recta (use cualquier programa que permita hacerlo,por ejemplo el mismo Tracker, excel, etc.).

4. Obtenga también la componente x de la velocidad instantánea del objeto [vx (t )] utilizando Trac-ker y represente esta velocidad en función del tiempo junto con el valor constante obtenido en elapartado anterior.

2.4. Movimiento parabólico


En el laboratorio, siguiendo las indicaciones del profesor, grabe un vídeo en el que se vea cómo unobjeto describe un movimiento parabólico.


1. Utilizando Tracker, obtenga las coordenadas de la trayectoria en función del tiempo [x(t ), y(t )].No es necesario presentar en la memoria la tabla con estos valores. Represéntelas en función deltiempo (dos gráficas) y, tras compararlas con los resultados obtenidos anteriormente, verifiqueque el movimiento horizontal corresponde a un movimiento uniforme y el vertical a uno unifor-memente acelerado.

2. Aplique las herramientas de ajuste de curvas de Tracker a las trayectorias x(t ) e y(t ) para obte-ner las ecuaciones correspondientes a las trayectorias x(t ) e y(t ). Compruebe que correspondena las obtenidas teóricamente para el movimiento parabólico. Si está más familiarizado con otroprograma, puede utilizarlo siempre que lo especifique.

3. De las ecuaciones obtenidas anteriormente con Tracker que ajustan las componentes x(t ) e y(t )de la trayectoria, calcule:

(a) Vector velocidad inicial (componente horizontal y vertical).

(b) Ángulo de salida.

(c) Vector aceleración (componente horizontal y vertical).

Práctica 3

Ley de Hooke. Movimiento armónicosimple (MAS)

3.1. Introducción

En esta práctica se comprobará la ley de Hooke para un resorte y se estudiarán algunas característicasdel movimiento armónico simple (MAS).

3.1.1. Ley de Hooke

En general, si estiramos o comprimimos ligeramente un resorte aparece una fuerza que intenta queéste recupere su longitud inicial. Siempre que esta deformación sea pequeña, esta fuerza resulta serproporcional a dicha deformación. Esta ley recibe el nombre de ley de Hooke, en honor del científicobritánico Robert Hooke, que la enunció en el siglo XVII.

En concreto, si suponemos que el resorte se encuentra a lo largode la dirección x, llamando x0 a la longitud del resorte sin estirarni comprimir, y x la posición de su extremo, esta fuerza la podre-mos escribir como

~F =−k(x −x0)x =−k∆x x (3.1)

donde ∆x = x −x0 expresa el desplazamiento de la masa respectoa la posición de equilibrio (es decir, la deformación del resorte) ya la cantidad |(x−x0)| se la denomina elongación. Evidentemente,si el resorte está estirado ∆x será una cantidad positiva y si estácomprimido negativa.Por otra parte, k es una constante propia de cada resorte (porejemplo en un resorte blando , como de un juguete, tiene un valordel orden de 1 N/m y, para los resortes mucho más rígidos comolos de la suspensión de un automóvil, es del orden de 105 N/m). Elsigno menos en (3.1) da cuenta del carácter recuperador de estafuerza.

13

Práctica 3. Ley de Hooke. Movimiento armónico simple (MAS) 14

Una situación bastante frecuente consiste en un resorte vertical del que cuelga una masa (la direcciónvertical será aquí denotada como x). Si el sistema está en equilibrio, la fuerza elástica compensaráal peso, de manera que, llamando ξ a la elongación del resorte, se cumplirá que kξ = mg (hemossupuesto que la masa del resorte es mucho más pequeña que la del objeto que cuelga, de maneraque podemos despreciarla). Si tomamos el origen de coordenadas (x0 = 0) justamente en este puntode equilibrio y ahora desviamos ligeramente el sistema de su posición de equilibrio (por ejemplo loestiramos una cantidad ∆x), tendremos que la fuerza neta que actuará sobre el objeto será

~F = mg x−k(ξ+∆x) x−=−k∆x x (3.2)

dado que kξ = mg . Esta ecuación es idéntica a la descrita anteriormente en (3.1), lo que nos diceque la fuerza neta que actúa sobre el sistema es la fuerza elástica, midiendo las elongaciones siempredesde el punto de equilibrio (x0 = 0).

3.1.2. Movimiento armónico simple

Un objeto que se mueva sometido a una fuerza elástica de las características anteriormente men-cionadas oscila alrededor de su punto de equilibrio describiendo un movimiento que se denominaMovimiento Armónico Simple (MAS). En la Naturaleza es frecuente encontrar sistemas que realizaneste tipo de movimiento (al menos en primera aproximación), y no sólo sistemas mecánicos, sinotambién químicos, eléctricos y muchos otros en los que la variable que describe el estado del sistemavaría en el tiempo de igual manera.

En este tipo de movimiento, si denominamos x a la variableque describe la posición del sistema respecto a su punto deequilibrio (x = 0), puede demostrarse que varía en el tiempode la forma

x(t ) = A cos(ωt +δ), (3.3)

donde A se denomina amplitud (el mayor valor que alcanzala coordenada x) y δ la fase inicial.ω se denomina frecuenciaangular y está relacionada con la frecuencia f de las oscila-ciones (numero de oscilaciones por unidad de tiempo) y elperiodo T (tiempo que tarda en realizar una oscilación). Esfácil demostrar que ω= 2π f = 2π/T .

x

Derivando (3.3), encontramos que su velocidad y aceleración vendrán dadas por

v(t ) = −Aωsen(ωt +δ) (3.4)

a(t ) = −Aω2 cos(ωt +δ) . (3.5)

Los valores de A y δ vendrán determinados por las condiciones iniciales (posición y velocidad en elinstante inicial). Tomando un origen adecuado de tiempos siempre es posible hacer que δ= 0.

Para un objeto de masa m colgado de un resorte vertical, de constante elástica k, que oscila alrededorde su posición de equilibrio, puede demostrarse que, siempre que la amplitud de las oscilaciones seapequeña, realiza un MAS cuyo periodo viene dado por

T = 2π

√m

k. (3.6)


3.2. Estudio experimental de la ley de Hooke.

Utilizaremos el siguiente material: base soporte, varilla, nuez con gancho, resorte (azul), regla, porta-pesas de 20 g y un juego de pesas.

Realice el montaje mostrado en la figuraadjunta. Este dispositivo lleva incorpo-rada una escala en milímetros, para po-der medir directamente el estiramientodel resorte mediante el índice rojo. An-tes de colgar ningún peso asegúrese queel índice rojo marque el “0” de la escala.Si esto no es así hay que ajustarlo.


El método consiste en colgar diversas masas y medir la elongación correspondiente, siempre con elsistema en equilibrio. Puesto que el portapesas tiene una masa de 20g, lo usaremos también comouna primera pesa y mediremos su elongación correspondiente. Por ello, en nuestro caso, como laposición inicial del reposo se tomará como x0 = 0, entonces ∆x = x − x0 = x, siendo x justamente elvalor medido en la escala transparente. Después del portapesas iremos introduciendo las restantespesas (la masa total será la de la propia pesa más la del portapesas) e iremos rellenando las columnascorrespondientes a x (mm) en las Tabla 3.1 de la “Hoja de datos.” Hay que tener en cuenta que lafuerza elástica, al estar el sistema en equilibrio, será igual en módulo al peso de las pesas F = mg , cong = 9,8m/s2.

Tareas a realizar posteriormente

1. A partir de los valores de k obtenidos, calcule el valor medio de k (que se denotara k) junto con suincertidumbre correspondiente, k ±U (k).Nota: Este cálculo y todos los demás que impliquen operaciones repetidas con una serie de valorespueden realizarse (de hecho, es aconsejable) mediante un software adecuado (Excel, LibreOfficeCalc, ...). Esto también sería aplicable para las representaciones gráficas que se piden.

2. Represente en una gráfica los valores de F frente a x (F en el eje vertical y x en el horizontal) ycompruebe que la nube de puntos parece ajustarse bastante bien mediante una recta.

3. Encuentre la ecuación de la recta de mejor ajuste de los puntos anteriores mediante la técnica demínimos cuadrados (debe hallar el valor de su pendiente y su incertidumbre asociada). Super-


ponga esta recta a la nube de puntos del apartado anterior (una sola gráfica para este apartado yel anterior).Nota: La teoría subyacente al cálculo de esta recta se ha expuesto en el Apartado 1.6. No obstan-te, no es necesario que realice los cálculos a mano. Recuerde que esta tarea la puede hacer me-diante el uso de un software adecuado. En la página web del departamento de Física Aplicada 1(http://departamento.us.es/dfisap1/etsii.htm) aparecen enlaces para descargar una ho-ja Excel (también válida para LibreOffice Calc) donde se muestra cómo obtener la pendiente y suincertidumbre (esta hoja debería actualizarse con los datos correspondientes al presente caso).También aparece un enlace a un software gratuito llamado zgrapher.

4. Verifique que se cumple la ley de Hooke y obtenga el valor de la constante del resorte, k, juntocon su incertidumbre asociada a partir de la pendiente de la recta de mejor ajuste.

5. Compare el valor de k y el obtenido a través de la pendiente de la recta de mejor auste, indicandosi ambos coinciden o no (tenga en cuenta las incertidumbres de cada caso). En caso negativo,explique las posibles causas de dicha discrepancia.

3.3. Estudio experimental del movimiento armónico simple

En esta sección se realizará un estudio dinámico de las oscilaciones del resorte, analizando algunascaracterísticas del MAS, y volveremos a calcular la constante elástica k del resorte. Para ello utilizare-mos de nuevo el siguiente material: base soporte, varilla, nuez con gancho, resorte, portapesas 20g,juego de pesas, cronómetro y teléfono móvil.

3.3.1. Dependencia del periodo de las oscilaciones con la amplitud


Realizaremos el mismo montaje que en el Apartado 3.2. Se colgará el resorte azul del gancho cargadocon el portapesas y algunas pesas (∼ 100g). Estire un poco el resorte para que se desvíe de su posi-ción de equilibrio hasta que alcance una amplitud de aproximadamente 1 cm y déjelo oscilar. Mida eltiempo transcurrido en 30 oscilaciones, t30 (recuerde que cada oscilación se entiende como un perio-do) y anote su valor en la segunda columna de la Tabla 3.2. Repita el proceso anterior para diferentesamplitudes según se señala en la primera columna de la Tabla 3.2. En cada uno de los casos anterioresel periodo de estas oscilaciones será T = t30/30.


1. Con los resutados obtenidos, ¿es posible concluir que el periodo de oscilacion de un resorte nodepende de la elongación inicial del mismo? Comente su respuesta de forma razonada y tenga encuenta lo que se espera desde un punto de vista teórico.

3.3.2. Dependencia del periodo de las oscilaciones con la masa

Estudiemos ahora si el periodo de oscilación depende o no de la fuerza que aplicamos al resorte (masadel objeto que cuelga). En este caso necesitamos considerar también la masa de la varilla portaíndiceya que también estará oscilando. La masa de esta varilla es de 7,5g en ambos dispositivos.



Añada las masas indicadas en la Tabla 3.3 y desplace el resorte un poco de su posición de equilibrio ymida (y anote) el tiempo transcurrido en 30 oscilaciones, t30. (Recuerde que cada oscilación completase entiende como un periodo y que el portapesas de 20 g cuenta como la primera masa añadida). Elperiodo será T = t30/30.


1. Calcule el valor medio de la constante del resorte k junto con su incertidumbre correspondiente:k ±U (k).

2. Represente gráficamente los valores de T 2 frente a los de m (T 2 en el eje vertical y m en el ho-rizontal) y obtenga la ecuación de la recta de mejor ajuste por la técnica de mínimos cuadrados.Dibuje esta recta superpuesta a la nube de puntos.

3. A partir de la pendiente de la recta obtenida, calcule el valor de k.

4. Compare y comente si este último resultado está en concordancia con los valores obtenidos de ken el Apartado 3.2.

3.3.3. Captura automatizada de datos. Cálculo de la constante elástica del resorte

En este apartado se registrarán los valores de la aceleración de un objeto (el teléfono móvil) medianteuna aplicación que mida esta magnitud. Por ejemplo, para Android, se recomienda la aplicación “Ac-celerometer Monitor.” Ajuste la configuración de esta aplicación de modo que i) anule el efecto de lagravedad, y ii) póngala en “slow motion.” Ante cualquier duda consulte a su profesor.


1. Introduzca el teléfono móvil en la pequeña bolsa de plástico transparente y tome nota de su masa.

2. Cuelgue del resorte la bolsa con el móvil en su interior, procurando que el móvil quede lo másvertical posible. Ponga en funcionamiento la aplicación que registra la aceleración del teléfono.

3. Desplace ligeramente el teléfono de la posición de equilibrio y deje que oscile al menos durante10 oscilaciones. Apague la aplicación. Los datos se guardan automáticamente en un archivo quedeberá localizarse posteriormente.


1. Descargue el fichero con los datos de la aceleración en un ordenador. Los datos que nos interesanson los que corresponden a la aceleración vertical (ésta se distinguirá porque oscilará en tornoal valor de g , si no ha eliminado anteriormente el valor de la misma el configuración de la apli-cación). Represente gráficamente la aceleración en función del tiempo. Tenga en cuenta que po-siblemente en la columna de tiempos del fichero de datos aparezca el intervalo de tiempo entrecada medida. El valor de tiempo en el que estamos interesados será el tiempo “acumulado” desdeel inicio.


2. En la representación gráfica anterior identifique el intervalo de tiempo en que se han producido,digamos, cinco oscilaciones completas (t5). De este valor obtenga el periodo T de la oscilación(T = t5/5). Calcule también la frecuencia angular ω.

3. Con esta frecuencia, y conocida la masa del teléfono, determine la constante elástica del resorte.Compare el resultado obtenido con los obtenidos anteriormente con otros métodos.



Tabla 3.1: Medida de la constante del resorte azul por procedimientos estáticos

m (kg) F = 9,8m (N) x (mm) x (m) k = F /x (N/m)

0,0200,0400,0600,0800,1000,1200,1400,1600,1800,200

Tabla 3.2: Medidas del periodo de oscilación del resorte en función de su amplitud

Amplitud ≡∆x (cm) t30 (s) T = t30/30(s)

1234

Tabla 3.3: Medidas del periodo de oscilación del resorte en función de su masa

Masas Masa total

aplicadas incluyendo varilla t30 (s) T = t30/30 (s) T 2 (s2) k = (2π)2 m

T 2 (N/m)

(kg) m (kg)

0,0200,0400,0600,0800,1000,1200,1400,1600,180

Práctica 4

Conservación de la energía mecánica.Péndulo simple y rueda de Maxwell

4.1. Introducción

En esta práctica se comprobará la ley de conservación de la energía mecánica. En primer lugar seestudiará esta ley en el caso de un péndulo simple para luego estudiarla en el caso de la rueda deMaxwell.

4.2. Péndulo simple o matemático

Un péndulo simple es una masa puntual m suspendida de un hi-lo de masa despreciable y longitud l . Aunque es un modelo muysimple, en muchas situaciones los péndulos reales pueden consi-derarse que se comportan como ideales, al menos en una primeraaproximación. Si la masa se perturba ligeramente de su posiciónde equilibrio (hilo vertical), la masa puntual oscila alrededor de es-ta posición describiendo un arco de circunferencia de radio l .Las fuerzas que actúan sobre el péndulo, despreciando el roza-miento con el aire, son su peso mg , y la tensión T del hilo. Cuandoel hilo forma un ángulo θ con la vertical, el peso tiene las com-ponentes mg cosθ a lo largo del hilo (fuerza normal) y mg senθ,tangente a la circunferencia (fuerza tangencial).Considerando la componente tangencial Fτ (que es una fuerza derestitución) y aplicando la segunda ley de Newton, encontramos lasiguiente ecuación diferencial:

T

mg sen

mg cos

mg

m

O

−mg senθ = Fτ = md2s

dt 2 (4.1)

donde la longitud del arco s está relacionada con el ángulo θ mediante s = lθ (evidentemente, s = l θ).

Sustituyendo en la ecuación (4.1) obtenemos

d2θ

dt 2 =−g

lsenθ (4.2)

20

Práctica 4. Conservación de la energía mecánica. Péndulo simple y rueda de Maxwell 21

(observe que la masa m no aparece en la ecuación anterior).

Suponiendo oscilaciones pequeñas (θ ¿), la función seno se puede aproximar por su argumento(esto es, senθ ≈ θ) y, en ese caso, podemos reescribir (4.2) como

d2θ

dt 2 + g

lθ = 0 (4.3)

lo que nos lleva a la siguiente ecuación de movimiento armónico simple:

θ+Ω2θ = 0 (4.4)

que tiene por soluciónθ(t ) = θm cos(Ωt +α) (4.5)

donde θm es el ángulo máximo de oscilación y cuya frecuencia angular,Ω, viene dada por

Ω=√

g

l(4.6)

y, por consiguiente, su periodo es

T = 2π

Ω= 2π

√l

g. (4.7)

A partir de (4.5), la velocidad angular del movimiento pendular, ω(t ) = θ(t ), viene dada entonces por

ω(t ) =−Ωθm sen(Ωt +α) . (4.8)

Si la amplitud de la oscilación no es pequeña, la divergencia con respecto al movimiento armóni-co simple puede ser considerable. A efectos prácticos, esta aproximación es razonable para ángulosmenores de 10.

4.2.1. Conservación de la energía mecánica

Recordemos que, en un sistema mecánico, si las únicas fuerzas que realizan trabajo son conservati-vas, la energía mecánica del sistema permanece constante.

En nuestro caso, la energía cinética vendrá dada por

Ec = 1

2mv2 (4.9)

donde v = θl y, por lo tanto,

Ec = 1

2ml 2θ2 . (4.10)

Tomando el origen de coordenadas en el enganche del péndulo (punto O en la figura) y el origen deenergías potenciales en el punto de equilibrio (hilo vertical), la energía potencial vendrá dada por

Ep = mg l (1−cosθ). (4.11)

Si consideramos despreciable las fuerzas de rozamiento, la energía mecánica del sistema (suma decinética y potencial) permanecerá constante.

Nota: En este apartado, en ningún momento se ha considerado que las oscilaciones tengan que ser pequeñas,por lo que este resultado es válido sea cual sea la amplitud de las oscilaciones. No obstante podemos demostrar


que la energía mecánica es invariable en el tiempo de forma fácil supuesta la aproximación de “pequeñasoscilaciones”. En este caso tenemos que

1−cosθ ≈ θ2/2

por lo que la energía potencial puede expresarse como Ep = 1/2mg lθ2. Por otra parte podemos escribir que

Ec = 1/2ml 2θ2 = 1/2ml 2Ω2θ2m sen2(Ωt −α) = 1/2ml 2Ω2θ2

m[1−cos2(Ωt −α)] = 1/2ml 2Ω2(θ2m −θ2) .

Esto implica que la energía mecánica será

Em = Ec +Ep = 1/2ml 2g /l (θ2m −θ2)+1/2mg lθ2 = 1/2mg lθ2

m ,

esto es, una cantidad invariable en el tiempo.

4.2.2. Tarea a realizar en el laboratorio

En este apartado intentaremos comprobar la ley de conservación de la energía mecánica. Para ellotendremos que gabrar con el teléfono móvil el movimiento del péndulo. Colocaremos una pantallablanca detrás de manera que no obstaculice el movimiento del péndulo y que permita destacarlosobre el fondo. También señalaremos claramente el punto O (comienzo de la cuerda). Recuerde quees necesario colocar cerca una regla que nos sirva como referencia de longitud.

1. Pese el péndulo y anote su masa en la Tabla 4.1.

2. Coloque el péndulo en el soporte y mida su longitud l . Anote su resultado en la Tabla 4.1.

3. Con un teléfono móvil, preferiblemente apoyado en algún sitio, grabe el movimiento del péndulodurante unos dos minutos. En el instante inicial, el péndulo debe estar en equilibrio, luego lodesviamos un ángulo de aproximadamente 30 y lo dejamos oscilar. Grabe dos vídeos diferentescon el fin de elegir posteriormente el mejor.

4. Al grabar el vídeo, hay que prestar especial cuidado al fondo para que el péndulo destaque sufi-cientemente con respecto a éste (siga las indicaciones del profesor).

4.2.3. Trabajo a realizar posteriormente

1. Importe el vídeo en el programa Tracker.

2. Fije el origen de coordenadas en el punto donde oscila el péndulo (comienzo de la cuerda).

3. Rote los ejes 90o en sentido horario, de manera que el eje x apunte para abajo.

4. Fije las unidades de ángulos en radianes (menú “sistema de coordenadas”).

5. Fije la escala de longitudes con la regla que aparece en el video (herramienta “vara de calibración”)y ponga estas longitudes en metros.

6. Elija ahora los ajustes del corte del vídeo para capturar las oscilaciones. El corte inicial debe to-marse al inicio de las oscilaciones cuando la bola del péndulo está cercana a la mano pero sufi-cientemente lejos como para que su identificación no esté perturbada por la imagen de la manou otro objeto.

7. Capture las coordenadas del movimiento. Elija crear masa puntual, presione Ctr+Shift para se-leccionar el patrón de píxeles a seguir y pulse el botón search. Puede que también sea necesarioreajustar el tamaño del recuadro donde busca el patrón seleccionado.


8. Una vez obtenida la tabla de valores (t , x, y), seleccione en la herramienta de datos que se muestrenlas variables θ y ω (el programa define este ángulo como el ángulo del vector de posición de lapartícula con el eje x, y ésta es la razón por la que hemos tenido que girar el sistema de ejes. Suderivada con respecto al tiempo es ω= θ).

9. Represente en un gráfica, utilizando todo el video ya “cortado”, el ángulo de oscilación en funcióndel tiempo. Compruebe que, debido al efecto de la fricción con el aire y al rozamiento de la cuerdacon su punto de apoyo, la amplitud de las oscilaciones va disminuyendo lentamente. Comprue-be también que, para una sola oscilación, este efecto es muy pequeño (en una sola oscilación laamplitud de partida es esencialmente la misma que la de llegada).

10. Seleccione el intervalo de valores correspondiente a media oscilación. La idea es analizar el mo-vimiento partiendo de un punto en el que la velocidad sea cero hasta que alcanza de nuevo esevalor. Corte y guarde ese conjunto de datos en un fichero. Del conjunto de valores de este ficheronos interesarán únicamente los valores (θ,ω).1

11. En una sola gráfica, represente la energía cinética Ec = 1/2ml 2ω2 y la energía potencial Ep =mg l (1− cosθ) en función del ángulo θ (use diferentes colores, tonos o estilos de línea). Utiliceel valor de g calculado en los apartados anteriores. También, en otro color, tono o estilo de línea,represente la energía mecánica del sistema. En definitiva, para media oscilación, representaremosEc (θ), Ep (θ) y Em(θ). Si el programa Tracker no le resulta últil para esta tarea, use otro programaque le resulte más conveniente.

12. Compruebe que la energía mecánica se mantiene constante dentro de los márgenes de incerti-dumbre. Verifique que, durante el movimiento, la energía cinética se va transformando en poten-cial y viceversa. También compruebe que el punto de equilibrio corresponde a un mínimo de lacurva de energía potencial. Realice un breve comentario sobre la curva obtenida.2

4.3. Rueda de Maxwell

Puede demostrarse que cualquier movimiento de un sólido rígido es composición de dos movimien-tos simultáneos, uno de traslación y otro de rotación. En la mayoría de las situaciones resulta conve-niente tomar como referencia el centro de masas (cm), de manera que el movimiento puede consi-derarse como combinación de una traslación (todo los puntos se mueven con la misma velocidad yaceleración que la del cm), y una rotación alrededor de un eje que pasa por el cm (todos los puntostienen la misma velocidad y aceleración angular). La velocidad y aceleración total de cualquier puntoserá la suma de las correspondientes a la traslación y a la rotación.

De todos los movimientos posibles de un sólido, uno muy fre-cuente consiste en el denominado movimiento de rodadura, unmovimiento como el que se muestra en la figura donde, al no exis-tir deslizamiento, el punto de contacto con el suelo tiene veloci-dad nula. Siempre podemos suponer que el sistema se traslada,con la velocidad y aceleración del cm, y rota simultáneamente al-rededor de un eje móvil, perpendicular al plano del movimiento,que pasa por el cm y se traslada con él.

1Mucho cuidado si se trabaja con otro programa ya que Tracker utiliza la coma para indicar decimales (opción pordefecto en Windows) y otros programas el punto, lo que puede llevar a errores.

2Puede demostrarse que las oscilaciones pequeñas de cualquier sistema alrededor de un punto de equilibrio son, engeneral, muy parecidas al caso estudiado.


Al rodar y no “patinar”, el punto de contacto de la rueda con el suelo tiene una velocidad nula y lasmagnitudes angulares y lineales están relacionadas de la forma

vcm =ωR (4.12)

acm =αR (4.13)

donde R es el radio de la rueda. Como el punto de contacto tiene velocidad nula, el rozamiento esestático y NO realiza trabajo.

En relación con la energía cinética del sistema, puede demostrarse que la energía cinética total serásuma de la correspondiente a la traslación y a la rotación, y viene dada por

Ec = 1

2M v2

cm + 1

2Izω

2, (4.14)

donde M es la masa de la rueda, e Iz el momento de inercia respecto al eje de rotación (que se suponedirigido a lo largo de la dirección z).

Si las fuerzas que realizan trabajo son conservativas, y como en un sólido rígido la energía potencialinterna permanece constante, podemos suponer que la energía mecánica del sistema es la suma dela energía cinética y potencial debida a las fuerzas externas y permanece constante. En el caso de quela única fuerza externa que realiza trabajo sea el peso, si tomamos el origen de energía potencial enuna altura a la cual h = 0, tendremos que la energía mecánica puede escribirse como

Em = 1

2M v2

cm + 1

2Izω

2 +M g h = cte. (4.15)

En esta práctica utilizaremos un sistema denominado “rueda de Maxwell,” que no es más que unaversión del clásico yo-yo. Básicamente es un disco con un eje al que se le ha enrollado una cuerda ydesciende girando. El disco, de masa M , se mueve verticalmente (analizaremos el descenso, y supon-dremos que gira en sentido antihorario), y puede representarse geométricamente como un círculo enel plano x y que gira respecto al eje z.

En el movimiento de la rueda de Maxwell la cuerda no desliza(el disco está rodando sobre la cuerda, que está quieta y juega elmismo papel que el suelo en el caso de la rueda). Si llamamos ral radio del eje (¡ojo! no al radio de la rueda), tendremos que

vcm =ωr (4.16)

acm =αr . (4.17)

Por otra parte, como la única fuerza que realiza trabajo es el peso, la energía mecánica se mantendráconstante (despreciando la fricción con el aire) y se cumplirá

Em = 1

2Izω

2 + 1

2M v2

cm −M g s (4.18)

donde M es la masa de la rueda, s es el desplazamiento vertical del centro de masa de la rueda desdela posición inicial (la rueda desciende), Iz es el momento de inercia de la rueda respecto el eje derotación que pasa por su centro de masa y vcm = ds/dt es la velocidad de traslación vertical del centrode masa. El origen de energía potencial se ha tomado en s = 0 y se ha considerado sentido positivohacia abajo.


Como vcm =ωr , podemos escribir

Em =−M g s + 1

2

(M + Iz

r 2

)v2

cm = cte . (4.19)

Resolviendo el problema mecánico, y suponiendo que las condiciones iniciales son

s(0) = 0 y vcm(0) = 0

se puede demostrar que

vcm(t ) =(

M

M + Iz /r 2

)g t (4.20)

s(t ) = 1

2

(M

M + Iz /r 2

)g t 2 . (4.21)

4.3.1. Determinación el momento de Inercia de la rueda de Maxwell y comprobación dela conservación de la energía mecánica

En este apartado utilizaremos la rueda de Maxwell,cronómetro, disparador y escala milimétrica (regla). Elmontaje de la práctica se puede observar en la figuraadjunta. En ésta se puede ver la rueda de Maxwell en suposición final.La cuerda se enrolla en la cuerda y ésta se engancha enel disparador. Se coloca la primera referencia de la reglaen el centro de la rueda. A una cierta distancia s se colo-ca otra referencia, de manera que se pueda medir estadistancia fácilmente (con una incertidumbre U (s) aso-ciada a la precisión de la regla). Por otra parte, el cronó-metro permite medir el tiempo de caída con precisión.Se pulsa el disparador y se mide el tiempo que tarda enrecorrer la distancia s (desde el punto de salida hastaque pase por la referencia fijada).

4.3.2. Tarea a realizar en el laboratorio

Mida el tiempo que tarda la rueda en recorrer la distancia que le separa desde el punto inicialhasta el final para 8 valores diferentes de intervalo de altura s. Repita esta medida 3 veces en cadacaso y tome el valor medio de ambas medidas, t . Con los datos obtenidos rellene la Tabla 4.2.

A continuación, utilice el teléfono móvil para grabar un vídeo en el que se observe la caída de larueda. Coloque una regla en sus proximidades para que ésta aparezca en el vídeo.


4.3.3. Trabajo a realizar posteriormente

1. Represente gráficamente los valores de s frente a t 2 (los puntos de dicha representación NO debenunirse nunca mediante una recta quebrada).

2. Mediante la técnica de mínimos cuadrados, calcule la pendiente y la ordenada en el origen (juntocon sus incertidumbres asociadas) de la recta que mejor ajusta la nube de puntos anteriormenterepresentada (las operaciones pueden realizarse mediante el uso de un software apropiado, pre-sentando únicamente los resultados finales).

3. Trace esta recta en la misma gráfica que ha usado para la representación del punto 1. A partir de larepresentación anterior. Discuta qué tipo de movimiento ha obtenido para el centro de masa. Ob-tenga la aceleración de dicho movimiento junto con su incertidumbre asociada y compárela conla de la gravedad. Teniendo en cuenta que la rueda tiene un movimiento de caída libre, expliquela razón de esta posible discrepancia.

4. Haciendo uso de la pendiente de la recta y comparando con la expresión (4.21), determine elvalor experimental del momento de inercia, Iz , de la rueda de Maxwell junto con su incertidumbreasociada. Tome los siguientes valores para la rueda de Maxwell: masa M = 0,5kg, radio del eje degiro r = 2,5mm y g = 9,8m/s2.

5. Utilizando(4.20) calcule la velocidad del centro de masas de la rueda para los mismos tiempos quelos medidos experimentalmente y construya una tabla similar a la que se muestre a continuación.

t (s) vcm (m/s)

......

6. Para cada valor del tiempo, determine el valor de la energía potencial gravitatoria [Ep = −mg s],el de la energía cinética de rotación [Ecr = (1/2)Iz (vcm/r )2], el de la energía cinética de traslación[Ect = (1/2)M v2

cm] y el de la energía mecánica [Em]. Construya una tabla similar a la siguiente.

t Ep (J) Ecr (J) Ect (J) Em (J)

......

......

...

7. En una misma gráfica, represente frente al tiempo t (eje horizontal) el valor de cada una de lascuatro energías obtenidas anteriores. Indique el tipo de curva que se obtiene en cada caso (lineal,parabólica, exponencial, ...) y comente los resultados. ¿Qué energía cinética es la más relevante enla presente situación?

8. ¿Se puede deducir, partiendo de los datos obtenidos, que se conserva la energía mecánica en larueda de Maxwell?


9. Utilizando el programa Tracker y el video rodado, capture el movimiento del centro de la rueday obtenga una tabla de posiciones s en función del tiempo. Tome el origen de coordenadas en elcentro de la rueda justo cuando empieza a moverse y rote los ejes 180º para que el eje y coincidacon la dirección “hacia abajo” [y(t ) ≡ s(t )]. Usando Tracker, calcule también la velocidad vy enfunción del tiempo (no es necesario que presente en la memoria de la práctica estas tablas de va-lores). Utilizando esta última tabla de valores [vy (t ) u vcm(t )], repita todas las representacionesgráficas que se han pedido en el punto 7 y también responda a las preguntas que ya se hicie-ron anteriormente . Se recomienda utilizar un programa de hoja de cálculo, como Excel o el queincluye el mismo Tracker. Comente los resultados obtenidos e indique claramente si coincideno muestran discrepancias con los obtenidos anteriormente y, si las hay, dé alguna razón que lasjustifique.



Tabla 4.1: Conservación energía mecánica

l (m) m (kg)

Tabla 4.2: Medidas del espacio recorrido por la rueda de Maxwell en función del tiempo

s (mm) t1 t2 t3 t

Práctica 5

Fluidos: Principio de Arquímedes yEcuación de Bernouilli

En esta práctica estudiaremos en primer lugar fluidos en reposo. Utilizando el principio de Arquíme-des calcularemos la densidad de un sólido y, como necesitaremos medir longitudes con precisión,también se aprenderá a manejar el calibre y el micrómetro.

Por último se realizará una pequeña demostración que nos permitirá verificar el principio de Ber-nouilli para fluidos en movimiento.

5.1. Introducción

5.1.1. Principio de Arquímedes

Si un objeto de volumen Vo y masa mo se cuelga de un dinamómetro (un resorte de constante elásticaconocida que permite determinar el valor de la fuerza aplicada) y el sistema está en equilibrio, el valordel módulo de la fuerza que medirá el dinamómetro será igual a su peso P = mog = ρogVo, siendo ρo

la densidad del objeto, que consideraremos homogéneo.

Si suponemos ahora que dicho objeto se encuentra totalmentesumergido en un fluido, de densidad ρf, sobre él aparece unafuerza adicional de empuje ~B . Esta fuerza es consecuencia de lapresión hidrostática que el fluido está ejerciendo en su superfi-cie, su dirección es opuesta a la de su peso, el valor de su móduloviene dado por

B = ρfgVo (5.1)

y está aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, supuestohomogéneo. Esta ley se conoce con el nombre de principio deArquímedes.

Debido a la aparición del empuje, la fuerza T que marca el di-namómetro disminuirá, indicando un peso aparente Pap menor(supondremos que la densidad del líquido es menor que la delobjeto, de manera que el empuje siempre será menor que supeso y se hundirá completamente). Analizando el balance defuerzas en el objeto

29

Práctica 5. Fluidos: Principio de Arquímedes y Ecuación de Bernouilli 30

T +B = mog , (5.2)

y como T = Pap, que es justamente la fuerza que mide el dina-mómetro, podremos escribir que

Pap = (ρo −ρf)Vog , (5.3)

donde, despejando la densidad del cuerpo, llegamos a que

ρo = ρf +Pap

Vog. (5.4)

5.1.2. Ecuación de Bernouilli

En general, el estudio de un fluido en movimiento es un problema extremadamente complicado. Noobstante, existen situaciones en las que es posible simplificar el problema y trabajar con un modelosimple que, aunque con bastantes limitaciones, permite averiguar fácilmente muchas de las caracte-rísticas de ese movimiento.

Figura 5.1: Movimiento de un fluido

Si suponemos que el movimiento del fluido en una tubería es estacionario (no varía en el tiempo), laviscosidad es despreciable (no existe disipación debida al rozamiento de unas partes del fluido conotras), la densidad es constante y no hay torbellinos, podemos obtener la denominada ecuación deBernoulli, que relaciona la presión, velocidad y altura de dos puntos en un fluido en movimiento. Enconcreto, si llamamos S1,S2 a las secciones de la tubería en los puntos 1 y 2, h1,h2 sus alturas y p1, p2

a las presiones en esos puntos, se cumplirá que

p1 + 1

2ρfv

21 +ρfg h1 = p2 + 1

2ρfv

22 +ρfg h2 (5.5)

donde ρf es la densidad del fluido. Normalmente, cuando esta ecuación se aplica a fluidos reales,hay que incluir la pérdida de presión debida a los efectos la fricción (se añade un término al punto 2conocido como pérdida de carga).

También se cumplirá la denominada ecuación de continuidad, que nos impone que el caudal volu-métrico Q (sus unidades pueden ser l/s, l/h, m3/s...) se mantiene constante; es decir

Q = S1v1 = S2v2 . (5.6)


Si comparamos dos puntos en un tramo horizontal (h1 = h2), la ecuación de continuidad junto conla ecuación de Bernoulli,

P1

ρfg+ v2

1

2g= P2

ρfg+ v2

2

2g, (5.7)

nos dice que, si se produce un estrechamiento, la velocidad aumenta y como consecuencia la presióndisminuye (y viceversa). Este efecto se denomina efecto Venturi, y tiene muchas aplicaciones.

La ecuación (5.7) la hemos escrito de una forma ligeramente diferente (dividiendo por ρfg ), de ma-nera que todos los términos tienen dimensión de longitud. En el contexto de dinámica de fluidos, sesuele usar las siguientes denominaciones:

Altura de presión estática: hest = p/(ρfg ) .

Altura de presión dinámica: hdin = v2/(2g ) .

En consecuencia, en un fluido que se mueve en un tramo horizontal de tubería tendremos que

htot = hest +hdin = Cte (5.8)

donde hemos definido la altura total como htot = hest +hdin. En un fluido real, debido a las pérdidaspor fricción, este término de altura no permanecerá constante, sino que irá disminuyendo a lo largode la tubería.

Tubo de Venturi

En esta práctica trabajaremos con un tubo de Venturi, que no esmás que un tubo horizontal con un estrechamiento en el que sehan conectado varios tubos verticales (abiertos a la atmósfera)en varios puntos i = 1,2, . . . Aplicando la ecuación de continui-dad, tendremos que en cada punto se cumplirá que

vi = Q

Si(5.9)

donde Q es el caudal, vi la velocidad del fluido en el punto i ySi la sección del tubo en ese punto.

Una de las aplicaciones del tubo de Venturi consiste en la medida de caudales. Normalmente el cau-dal se suele medir en litros/segundo (l/s) y la diferencia de presión en bares (1 bar = 105 Pa).

5.2. Determinación de la densidad de un sólido (I)

Con un dispositivo similar al utilizado en la práctica de la ley de Hooke, y con ayuda del principiode Arquímedes, determinaremos las densidades de un sólido. Para ello necesitaremos también aguacorriente, un cilindro regular, una probeta graduada, y una balanza de precisión.



Realizar el montaje de la figura y a continuación siga los siguien-tes pasos:

1. Mida el diámetro y la altura del cilindro con el calibre y anotesu valor en la Tabla 5.1. Tome nota de la masa del cilindro,usando para ello la balanza habilitada a tal efecto. Anote tam-bién la resolución del calibre para posteriormente obtener laincertidumbre del volumen correspondiente.

2. Cuelgue del dinamómetro el cilindros, determine y anote supeso (Recuerde que T = kx = P , y utilice la constante k cal-culada en la práctica de la ley de Hooke. Para el muelle azulk ≈ 20N/m y para el rojo k ≈ 10N/m).

3. Tome nota del volumen de agua corriente contenida en la pro-beta.

4. Sumerja el cilindro en agua corriente y anote su peso aparente(Pap, que es el valor de T ) y el volumen de agua desalojada(esto último nos permitirá determinar el volumen del cuerpo).

5. Rellene la Tabla 5.2.


1. Calcule la densidad del cilindro junto con su incertidumbre asociada a partir de la medida de sumasa y del volumen obtenido a partir de las medidas del diámetro y la altura.

2. Calcule la densidad del cilindro y su incertidumbre asociada mediante la expresión (5.4).

3. Compare los valores obtenidos por los dos procedimientos anteriores.

4. Repita el proceso para el otro cilindro rellenando la Tabla 5.2. Todas las medidas deben figurarcon su incertidumbre (indique explícitamente cómo se han calculado dichas incertidumbres).


5.3. Verificación experimental de la ecuación de Bernoulli

En este apartado realizaremos algunas medidasque nos permitirán comprobar la ecuación deBernouilli. Para ello se utilizará el montaje experi-mental que aparece en la figura, que básicamen-te consta de un tubo de Venturi con seis puntosde medición de la presión. Las seis presiones es-táticas se muestran en un panel con seis manó-metros (los tubitos de cristal). También se puedemedir la presión total en distintos puntos del tu-bo de Venturi, que se indica en un segundo ma-nómetro. Esta medición se efectúa mediante unasonda móvil en sentido axial respecto al tubo deVenturi. Esta sonda está cerrada herméticamente.

Esta práctica la realizará el profesor como una de-mostración. Los alumnos sólo tendrán que tomarlos datos y con ellos realizar la tarea posterior quese indica.

Nota: Debe tenerse en cuenta que la ecuación de Bernoulli se dedujo bajo las suposiciones de fluido incompre-sible, no viscoso, y en régimen laminar. En el presente experimento nos encontramos con que la viscosidad delagua no puede despreciarse y además el régimen de trabajo no será laminar sino turbulento. Para comprobaresto último basta calcular el número de Reynolds en el punto más estrecho del tubo de Venturi. Recordemosque el número de Reynolds venía dado por

NR = 2rρv

η(5.10)

donde r es el radio de la tubería, ρ es la densidad del agua, v es la velocidad media del agua y η es el coeficiente

de viscosidad dinámica del agua (η ≈ 1mPa·s a 20oC). Un simple cálculo nos muestra que para un caudal

de 500 l/h (que es uno de los que usamos) NR > 3000. Los hechos anteriores ocasionan que la ecuación de

Bernoulli solo se cumplirá de forma aproximada.


El equipo se compone de los siguientes elementos:

1- Panel de prácticas.

2- Manómetro de 6 tubitos.

3- Racor de manguera de entrada de agua

4- Válvula de entrada de agua

5- Tubo de Venturi con seis puntos de medición

6- Tubo de salida

7- Válvula de salida

8- Empaquetedura para prensaestopas y sonda de me-dición de presión total (móvil en sentido axial)

9- Manómetro de tubito simple

10- El dispositivo tiene en la entrada un medidor decaudal (no se muestra).

Según el fabricante, la sección en los diferentes puntos del tubo de Venturi es la siguiente:

Punto i Si (cm2) S1/Si

1 3.38 1.002 2.33 1.453 0.846 4.004 1.70 2.005 2.55 1.336 3.38 1.00


1. Compruebe que todas la válvulas están cerradas.

2. Ajuste la tuerca racor del prensaestopas de la sonda de presión total de forma que esta sonda sepueda mover fácilmente.

3. Conecte la bomba y abra lentamente la válvula de entrada principal.

4. Abra las válvulas de purga de todos los manómetros.

5. Abra al máximo la válvula de entrada (con la válvula de salida cerrada) hasta que los manómetrosqueden completamente irrigados y todo el aire de las tuberías sea expulsado.

6. Cierre la válvula de entrada hasta que se alcance el nivel de caudal deseado (entre 200 y 600 l/h)

7. Vaya abriendo con cuidado la válvula de salida hasta conseguir que el nivel de agua en los ma-nómetros no excedan los límites inferiores y superiores del área de medición. Si en este procesoentrase aire en las tuberías, habría que repetir el proceso desde el principio.

8. Mida la presión en todos los puntos de medición. Después coloque la sonda de presión total en elcorrespondiente nivel de medición y anote la presión total en cada punto de medición.


9. Rellene la Tabla 5.3 con la medida de los datos de las alturas de presiones para caudales distintos(el profesor indicará cuántos). Recuerde que hest se mide con los tubitos abiertos al aire, y htot conla sonda (el punto del fluido en la punta de la sonda tiene velocidad nula). La presión dinámica sepuede calcular fácilmente como hdin = htot −hest.


1. Calcule el número de Reynolds correspondiente al punto de medición 3 del tubo de Venturi yverifique que el régimen es turbulento. (Para este cálculo todos los datos debieran introducirse enunidades del SI).

2. Represente gráficamente las alturas de presiones (htot,hest y hdin) en función de los puntos demedición i del tubo de Venturi para cada uno de los caudales medidos. Para ello dibuje una gráficapara cada caudal y en cada gráfica trace tres curvas correspondientes a cada una de las alturas (eneste caso, las curvas serían líneas quebradas que unen los puntos correspondientes).¿Se verifica la ecuación de Bernoulli? Explique su respuesta. ¿Se detecta alguna pérdida de carga?

3. Calcule las velocidades teóricas y experimentales del fluido en cada uno de los puntos de medi-ción para los distintos caudales y rellene la Tabla 5.3. Las velocidades teóricas del fluido, vteo, sepueden obtener a partir de los datos de caudal y la ecuación (5.9). La velocidad vexp se calcula apartir de la altura de presión dinámica obtenida anteriormente mediante la siguiente relación:

vexp =√

2g hdin . (5.11)

4. Represente en gráficas distintas las velocidades medidas vexp y calculadas vteo en el tubo de Ven-turi en función de los puntos de medición para cada uno de los caudales (dos curvas por cadagráfica). Interprete los resultados de dichas gráficas.



Tabla 5.1: Medidas de masa y dimensiones de un cilindro

m (g) h (mm) D (mm)

Pieza 1

Resolución del calibre (mm): Resolución de la balanza (g):

Tabla 5.2: Medidas de Pap, Vo y densidad de un sólido. La densidad del agua es ρf = 1 g/cm3.

Cilindro Pap ±U (Pap)[N] Vo ±U (Vo)[m3] ρo ±U (ρo)[kg/m3]

Tabla 5.3: Medidas de altura de presiones en función del caudal Q

Q h1 h2 h3 h4 h5 h6

[l/s] [mm.c.a.] [mm.c.a.] [mm.c.a.] [mm.c.a.] [mm.c.a.] [mm.c.a]

htot

hest

hdin

(mm.c.a hace referencia a milímetros en columna de agua, término muy utilizado en este contexto)

Tabla 5.4: Medidas de velocidades en función del caudal Q

Q v1 v2 v3 v4 v5 v6

[l/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s]

vexp

vteo

Apéndice 1

Incertidumbre en las medidas ypresentación de las memorias

1.1. Introducción

Las medidas de las diferentes magnitudes físicas que intervienen en una experiencia dada, ya se ha-yan obtenido de forma directa o a través de su relación mediante una fórmula con otras magnitudesmedidas directamente, nunca pueden ser exactas. Debido a la precisión limitada que todo instru-mento de medida tiene, así como a otros factores de distinta naturaleza que más adelante conside-raremos, debe aceptarse el hecho de que no es posible conocer el valor exacto de ninguna magni-tud. Por tanto, cualquier resultado numérico obtenido experimentalmente debe presentarse siempreacompañado de un número que indique cuánto puede alejarse este resultado del valor “exacto.”

1.2. Incertidumbre e incertidumbre relativa

En general, se define como error de una medida a la diferencia existente entre el valor exacto de lamagnitud y el valor obtenido experimentalmente. Ahora bien, como no podemos saber el valor exac-to, tampoco podemos conocer este error. Por ello definimos otra cantidad que está directamaneteasociada al resultado de una medición y que llamaremos incertidumbre. Esta cantidad caracterizala dispersión de los valores que razonablemente podrían ser atribuidos a la mangitud medida. El ob-jetivo de la teoría de incertidumbre en la medida es la estimación de la incertidumbre asociada a unresultado dado.

El resultado experimental para una magnitud m lo expresaremos como sigue:

m ±U (m) (1.1)

siendo U (m) la incertidumbre asociada a la medida de m.1 El doble signo ± se coloca porque la incer-tidumbre puede producirse por exceso o por defecto. No obstante, la incertidumbre de una medidano nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Es evidente que no es igual de grave tener unaincertidumbre de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio. Porello, se define como incertidumbre relativa (error relativo) al cociente:

U (m)

m(1.2)

1 Nótese que U (m) NO quiere decir “función U de m.” Debe leerse como “incertidumbre U asociada a la medida de m.”

37

Apéndice 1. Incertidumbre en las medidas y presentación de las memorias 38

que a veces se multiplica por cien, cualificando así la incertidumbre en porcentaje de la medida rea-lizada.

1.3. Clasificación de los errores

Fundamentalmente, los errores se clasifican en dos grandes grupos: errores sistemáticos y errorescasuales.

1. Errores sistemáticos. Son errores que se repiten constantemente en el transcurso de un experi-mento, y que afectan a los resultados finales siempre en el mismo sentido. Se pueden distinguirvarias fuentes de errores sistemáticos:

Errores de calibración (o errores de cero) de los aparatos de medida. Es el caso, por ejemplo, delerror que se comete cuando la aguja de un aparato analógico de medida (amperímetro, balan-za, ...) no marca cero en la posición de reposo. Este tipo de errores también pueden apareceren los aparatos electrónicos digitales como consecuencia de una mala calibración interna.

Condiciones experimentales no apropiadas. Ocurren cuando se utilizan los instrumentos demedida bajo condiciones de trabajo (presión, temperatura, humedad, frecuencia de la red,etc.) diferentes de las recomendadas.

Fórmulas o modelos aproximados. Este tipo de error aparece al pretender obtener demasíadascifras significativas en los resultados extraídos de un modelo o de una fórmula aproximados.Por ejemplo, si se quiere medir la aceleración de la gravedad con más de tres cifras significa-tivas no se puede usar la fórmula g = 4π2L/T 2 (péndulo simple) porque ésta es una aproxi-mación que supone una serie de condiciones ideales que no suelen cumplirse en multitud desituaciones prácticas.

Por definición, una medida es tanto más exacta cuanto menores son los errores sistemáticos.

2. Errores casuales o aleatorios. Como el propio nombre indica, no existe una causa predetermi-nada para este tipo de errores. Son imposibles de controlar y alteran, tanto en un sentido comoen otro (por exceso y por defecto), la medida realizada. Este tipo de errores se someten a estudiosestadísticos. Existen varias fuentes de errores casuales:

El cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno, provoca errores cuya eva-luación es sólo posible a partir de un estudio estadístico hecho con medidas repetitivas.

Falta de definición en la cantidad a medir, lo que provoca valores diferentes en las distintasmedidas realizadas. Por ejemplo, el diámetro de una esfera metálica real no es una cantidaddefinida exactamente porque la esfera no es perfecta; si uno mide el valor de varios diámetrosencontrará valores numéricos diferentes.

Errores de precisión, debidos a que el aparato de medida tiene una sensibilidad dada. Se definela resolución como la unidad más pequeña que puede medir un aparato de medida.

Errores de apreciación, debidos a posibles defectos (visuales, auditivos, etc.) del observador, otambién a la estimación a ojo que se hace de una cierta fracción de la más pequeña división dela escala de lectura de los aparatos de medida.

Por definición, una medida es tanto más precisa cuanto más pequeños son los errores casuales.


1.4. Estimación de la incertidumbre en las medidas

A continuación presentamos un procedimiento matemático para calcular con buena aproximacióncuánto puede alejarse del valor verdadero, el valor medido experimentalmente para una magnitudfísica dada. Debido al carácter aleatorio de los errores casuales, distribuyéndose éstos al azar porexceso o por defecto, se puede estudiar su influencia mediante técnicas estadísticas. En general tam-bién ocurre esto con los errores sistemáticos, pero de forma aproximada consideraremos que estosafectan en un sentido dado al resultado, sin tener, por tanto, carácter aleatorio.

Las normas para estimar las incerticumbres que a continuación expondremos sólo sirven para errorescasuales, y presuponen que los errores sistemáticos han sido cuidadosamente evitados. Hablaremosde una medida muy precisa cuando, una vez eliminados gran parte de los errores sistemáticos, consi-gamos errores casuales muy pequeños, y esto permitirá escribir el resultado final con bastantes cifrassignificativas.

El objetivo de este apartado es establecer lo que nosotros vamos a definir como resultado experimen-tal m de una medida y como incertidumbre U (m) de la misma. Distinguiremos dos situaciones:

medida directa, y

medida indirecta.

1.4.1. Medida directa de una magnitud física

Consideraremos dos tipos de incertidumbre típica cuando hacermos una medida directa:

Tipo A: uA

Tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en las mismas condiciones. Requiere de un análisisestadístico del conjunto de observaciones. Está relacionada con magnitudes estimadas a partirde un determinado número de observaciones repetidas e independientes, y como incertidumbretípica de dicha estimación se toma la desviación típica experimental de la medida.

Tipo B: uB

Tiene en cuenta toda la información disponible acerca de la resolución del instrumento de me-dida, especificaciones del fabricante, certificados de calibración... (Una sola medida, o todas lasmedidas dan el mismo resultado). Están relacionadas con magnitudes cuyo método de estimaciónno ha sido a partir de observaciones repetidas.

La incertidumbre típica resultante será

u =√

u2A +u2

B (1.3)

La incertidumbre expandida, U (que será la magnitud que aparece tras el signo ± en la expresiónfinal de una medida) será proporcional a la incertidumbre típica,

U = ku (1.4)

siendo k el factor de cobertura, que un valor que se obtiene por elaborados procesos estadísticos.Dado que nosotros evitaremos adentrarnos en los detalles sobre su cálculo usaremos frecuentementeun valor estimado de

k ≈ 2 (1.5)

que está asociado a un grado de confiabilidad de aproximadamente el 95%.


Incertidumbre típica tipo A (varias medidas)

Analicemos ahora la situación habitual correspondiente al caso en que se realizan varias medidasde una magnitud física. La caracterización de esta incertidumbre se hace mediante la ayuda de laEstadística. La filosofía del método parte del hecho de que el valor exacto de la magnitud es inacce-sible, y el proceso de medida es un proceso aleatorio que viene gobernado por una distribución deprobabilidad normal o gaussiana cuya forma matemática viene dada por

P (x) = 1

σp

2πexp

((x −µ)2

2σ2

)(1.6)

y su representación gráfica (campana de Gauss) es

Obsérvese que x = µ es el valor más probable al realizar una medida ya que para ese valor la distri-bución de probabilidad presenta un máximo. El parámetro σ nos da una medida de la anchura de lacampana. La probabilidad de que al realizar una medida obtengamos un valor comprendido en unintervalo cualquiera viene dada por el área que hay bajo la curva gaussiana en ese intervalo. Así, porejemplo, la probabilidad de que el valor de una medida caiga dentro del intervalo µ±σ es del 68,30%,dentro del intervalo µ± 2σ es del 95,45%, y dentro del intervalo µ± 3σ es del 99,73%. El área totalbajo la campana es lógicamente 1, ya que la probabilidad de encontrar el valor de una medida entre−∞ y +∞ es del 100%. La justificación del estudio estadístico radica en la suposición de que el valormás probable µ del proceso aleatorio coincide precisamente con el valor verdadero de la magnitudfísica, y por ello nuestro objetivo será determinar con la mayor precisión posible el valor de µ, y asi-mismo dar una expresión para el margen de incertidumbre en nuestra estimación de µ. Obsérveseque si los errores sistemáticos (de carácter no aleatorio) no hubiesen sido previamente eliminados,no coincidirían µ y el valor verdadero de la magnitud física.

Para determinar con exactitud µ habría que hacer infinitas medidas. Sin embargo, en el laboratoriorealizaremos un número finito n de medidas que nos darán los valores m1,m2,m3, . . . ,mn . Sobre eseconjunto finito de medidas, la Estadística nos permite definir y calcular ciertas cantidades de interés,a saber:

Valor medio o media aritmética de los n valores mi (i = 1, . . . ,n):

m = 1

n

n∑i=1

mi (1.7)

Desviación de la medida mi respecto de la media:

hi = mi −m (1.8)

También se puede hacer una extensión del concepto a desviación respecto de un parámetro acualquiera:

hi ,a = mi −a . (1.9)


Una propiedad interesante que tiene el valor medio que lo hace ser muy representativo de unconjunto de medidas es precisamente el ser el parámetro respecto del cual es mínima la suma delos cuadrados de las desviaciones, es decir, matemáticamente

d

da

(n∑

i=1(hi ,a)2

)a=m

= 0 ;d2

da2

(n∑

i=1(hi ,a)2

)a=m

> 0 (1.10)

Error cuadrático medio o desviación típica de las n medidas:

s =√∑n

i=1 h2i

n −1(1.11)

El valor de s nos da una idea de la dispersión de las medidas mi respecto de la media m.

Error cuadrático de la media o desviación estándar de las n medidas:

sm = spn=

√ ∑ni=1 h2

i

n(n −1)(1.12)

El valor de sm es muy importante porque nos informa de cómo de parecido es el valor medio mde nuestras n medidas al valor mas probable µ del proceso aleatorio global (recuérdese nuestrahipótesis de partida de que µ es a todos los efectos el valor verdadero de la magnitud física). Dehecho, puede demostrarse que la probabilidad de que m esté dentro del intervalo µ±3sm es del99,73% (distribución gaussiana de los valores medios).

Como conclusión podemos decir que m nos da una estimación de µ, y que cuanto menor sea la des-viación estándar sm tanto más se parece realmente m a µ. Evidentemente, la desviación estándardecrece a medida que el número n de medidas es mayor. Hay que señalar que muchas de las con-sideraciones estadísticas que se han hecho sólo son estrictamente ciertas cuando n es grande (porejemplo, n > 30). No obstante, nos conformaremos con un número inferior de medidas (n ∼ 10).

Como consecuencia de todo esto, nuestra forma de proceder será la siguiente: se realizará un ciertonúmero (por ejemplo 10) de medidas de una magnitud física, se calculará el valor medio y la desvia-ción estándar mediante (1.7) y (1.12) y se considerará como valor experimental el valor medio y comoincertidumbre tipo A al valor de la desviación estándar:

uA(m) = sm . (1.13)

Ejemplo: Supongamos que se desea medir con un cronómetro digital que mide hasta milisegundos el período

de un péndulo. Se realizan 10 medidas de dicho período, y se obtienen los siguientes valores en milisegundos

(ms): 902, 850, 915, 930, 888, 875, 889, 902, 902 y 890. A continuación, se procede a calcular el valor medio me-

diante (1.7) obteniéndose 894,3 ms, y la desviación estándar mediante (1.12) obteniéndose 6,9 ms. Tomamos

como valor experimental el valor medio y como incertidumbre extendida el doble de la desviación estándar. El

resultado se expresaría como 894±14ms, donde se han hecho ciertos redondeos de acuerdo con las normas

que daremos más adelante para presentar resultados.

En algunas ocasiones puede ocurrir que una medida suelta esté especialmente alejada de todas lasdemás, en ese caso puede descartarse dicha medida y sustituirse por una nueva, ya que lo más pro-bable es que se haya tomado mal esa lectura concreta. Estas medidas incorrectas dan lugar a los


denominados puntos experimentales erróneos, los cuales deben ser indicados en las representacio-nes gráficas. Como norma, si la desviación de una medida dudosa, hi = mi −m, es mayor o igual quecuatro veces la desviación promedio, se puede rechazar la medida dudosa.

Cuando se observa una fuerte dispersión en las medidas tomadas para una magnitud dada, se puedeaumentar el número de medidas para así reducir la desviación estándar.

Incertidumbre típica tipo B (una sola medida)

En principio, cualquier medida experimental debe ser repetida varias veces. Cuando se observe queel resultado obtenido es siempre idénticamente el mismo, y sólo en ese caso, estará justificado elquedarse con una sola medida. Dicha medida m1 será el valor experimental obtenido para m. Paradeterminar la incertidumbre típica debemos considerar la resolución del aparato de medida. Si laresolución del instrumento con el que medimos es δ, entonces, supondremos que el valor de la me-dida que hacemos puede obtenerse con igual probabilidad en cualquier punto dentro del intervalo[m1−δ,m1+δ]. En este caso, los posibles valores de la medida que realicemos pueden describirse me-diante una distribución rectangular de probabilidad, de amplitud δ y se cumplirá que u2

B (m) = δ2/12,lo que supone una incertidumbre típica de

uB (m) = δp12

(1.14)

para cualquier medida que realicemos. Como hemos supuesto que nuestra medida se encuentra en elintervalo [m1−δ,m1+δ] con un 100% de confiabilidad, esto quiere decir (a falta de más informaciónsobre la calibración del instrumento) que

UB (m) = δ

2. (1.15)

En algunos casos solamente podemos saber que nuestra medida se encuentra entre un valor mí-mino mmin y otro máximo mmax. Entonces supondremos que la medida se encontrará con igualprobabilidad dentro del intervalo [mmin,mmax]. La medida será entonces m = (mmax +mmin)/2 conuna incertidumbre típica de u(m) = (mmax −mmin)/

p12 y una incertidumbre expandida de UB (m) =

(mmax −mmin)/2 con un grado supuesto de confiabilidad del 100%.

En cuanto al resultado medido m1 hay que decir que en el caso de aparatos analógicos (con aguja, condiales, con niveles de mercurio, ...) existe la posibilidad de que la aguja (o cualquier otro mecanismode medida) quede en el espacio intermedio entre dos marcas de la escala de medida. En este caso,puede adoptarse como valor de la medida el de la marca más cercana a la posición de la aguja, o bien,si se prefiere, cuantificar a ojo esa fracción de unidad que no aparece ya en la escala. Con los aparatosdigitales no puede darse esta posibilidad. Resumiendo, en los casos en que se realice una sola medidade valor m1, nuestro resultado será

m1 ±δ/2 . (1.16)

Ejemplo: Supongamos que un amperímetro analógico (medidor de intensidad de corriente) tiene una escala

de lectura que aprecia hasta décimas de amperio (resolución: δ= 0,1A), y al hacer una medida la aguja se queda

a la mitad de camino entre 0.6 A y 0.7 A. En ese caso, se podrá tomar como valor experimental m1 = 0,65A y

como incertidumbre expandida UB = δ/2 = 0,05A. Se dirá que la intensidad de corriente es de 0,65±0,05A.

Supongamos que un cronómetro digital que mide hasta milésimas de segundo (resolución: δ = 1ms) estima

el período de oscilación de un péndulo en 882 milisegundos; entonces m1 = 882ms y la incertidumbre UB =0,5ms, y el resultado se dará como 882±0,5ms.


1.4.2. Medida indirecta de una magnitud física

Cuando se utiliza una fórmula para calcular el valor de una magnitud física a partir de otras magni-tudes que se han medido directamente y de constantes físicas, decimos que estamos haciendo unamedida indirecta. Es de suma importancia para este caso saber cómo se propagan las incertidum-bres de las magnitudes medidas directamente hacia la que se está obteniendo indirectamente. Dichode otra forma, hay que ser capaces de dar una expresión para la incertidumbre de la magnitud me-dida indirectamente en función de las incertidumbres de las magnitudes medidas directamente. Eltratamiento riguroso de la teoría de propagación de incertidumbres se fundamenta en el cálculo di-ferencial. En algunas ocasiones, una magnitud física es medida indirectamente a partir de otra únicamagnitud (función de una sola variable), pero, en general, es medida a partir de varias magnitudescada una de las cuales viene afectada por un margen de error (función de varias variables).

Función de una sola variable

La primera situación que nos podemos encontrar es el caso de una magnitud y que va a ser medidaindirectamente mediante una fórmula a partir de otra única magnitud x que ha sido medida directa-mente y que tiene una incertidumbre típica u(x):

y = f (x) . (1.17)

Como valor experimental de y adoptaremos el que resulta de evaluar (1.17) para el valor experimen-tal de x. Por otra parte, el cálculo diferencial nos asegura que siempre que la incertidumbre no seademasiado grande y podamos aproximar u(x) ≈ dx, podemos obtener de forma aproximada la incer-tidumbre típica en y , u(y) como sigue:

u(y) =∣∣∣∣d f (x)

dx

∣∣∣∣u(x) (1.18)

donde se supone supone que u(y) ≈ dy y estando la derivada que aparece evaluada en el valor experi-mental de x. Hay que destacar que (1.18) es válida tanto si el valor experimental de x y su incertidum-bre típica, u(x) fueron calculados por procedimientos estadísticos (ecuación (1.13)) como si fueroncalculados por procedimientos no estadísticos (ecuación (1.16)).

Como caso particular de interés, el estudio anterior conduce a que la incertidumbre típica relativa enuna magnitud indirecta es el mismo que el de la magnitud medida directamente en el caso en queambas magnitudes sean directa o inversamente proporcionales. Así si y = ax o bien y = a/x, siendoa una constante (sin error), partiendo de (1.18) tras realizar la correspondiente derivada y dividiendoambos miembros por y , se tiene que

u(y)

y= u(x)

x. (1.19)

Un problema que puede surgir (en casos excepcionales) cuando se utiliza (1.18) para el cálculo de laincertidumbre de una medida indirecta es que d f /dx sea cero para el valor experimental de x. Apa-rentemente, esto nos llevaría a que u(y) = 0, pero esto no es cierto. Hay que tener en cuenta que (1.18)es lo que se denomina una aproximación de primer orden de la incertidumbre. En el caso comentadohabría que recurrir a la aproximación de segundo orden: u(y) = |d2 f /dx2|∆x2, que evidentementenos daría una incertidumbre muy pequeña pero distinta de cero.


Función de varias variables

Consideremos ahora el caso de que, en la fórmula de la magnitud indirecta y , aparezcan varias mag-nitudes medidas directamente, por ejemplo,

y = f (x, z, t ) . (1.20)

De nuevo, se toma como valor experimental de y el que resulte de evaluar (1.20) para los valoresexperimentales de x, z y t . En cuanto a la incertidumbre típica de y , u(y), se puede demostrar quepuede expresarse en función de las incertidumbres típicas de sus variables en la siguiente forma:

u(y) =√(

∂ f

∂x

)2

u2(x)+(∂ f

∂z

)2

u2(z)+(∂ f

∂t

)2

u2(t ) (1.21)

donde ∂ f /∂x es la derivada parcial de la función f con respecto a x, y así sucesivamente. Todas lasderivadas parciales se evalúan en los valores experimentales de x, z y t .

En el supuesto de que aparezcan constantes físicas en la fórmula, se elegirán con un número sufi-ciente de decimales para que su precisión sea tal que podamos suponer que su error absoluto seacero.

En el caso particular de que tengamos una dependencia del tipo

y =C xz o bien y =Cx

z

siendo C una constante física, al aplicar (1.21) encontramos la siguiente relación de interés práctico:[u(y)

y

]2

=[

u(x)

x

]2

+[

u(z)

z

]2

. (1.22)

Ejemplo: Supongamos que se ha medido una magnitud física x obteniéndose un valor experimental 0,442(±0,003)

y que tenemos interés en medir indirectamente otra magnitud física que es precisamente y = x2. En primer lu-

gar, el valor experimental de y es y = (0,442)2 = 0,195. La incertidumbre típica de y se calcula de acuerdo con

(1.18) como u(y) = |2x|u(x) = 2 ·0,442 ·0,003/2 = 0,0013. El valor final de y será 0,195±0,003.

Ejemplo: Supongamos que se ha medido de forma directa la tensión e intensidad en una resistencia obtenién-dose V = 10,0±0,1 V e I = 2,50±0,05A. Determinaremos el valor de R =V /I (ley de Ohm) con su incertidumbre.Dado que se trata de un cociente, la incertidumbre relativa en R seguirá la relación dada en (1.22). Luego(

U (R)

R

)2

=(

0,1

10

)2

+(

0,05

2,50

)2

= 5×10−4 (1.23)

por tanto

R = 10,0

2,50±

(0,022× 10,0

2,50

)= 4,00±0,09Ω (1.24)

Ejemplo: Se han medido la longitud L y el periodo T de un péndulo obteniéndose L = 1,453±0,001 m y T =2,42±0,01 s. Teniendo en cuenta que la incertidumbre en L es de tipo B y la de T de tipo A, se desea calcular laaceleración de la gravedad g a partir de la siguiente fórmula aproximada:

g = 4π2L

T 2 . (1.25)


En primer lugar, se estima el valor experimental indirecto de g sustituyendo en (1.25) los valores experimenta-les de L y T :

g = 4× (3,1416)2 ×1,453

(2,42)2 = 9,79 ms−2 . (1.26)

A continuación, hay que evaluar incertidumbre típica de g , para lo que usaremos la expresión (1.21). Los valoresde las incertidumbres típicas tipo A son conocidos y están implícitos en las incertidumbres expandidas que sehan dado (recuérdese (1.4) y (1.14)), por tanto,

uB (L) = 2p12

UB (L) = 0,001

1,73= 0,00057m uA(T ) = UA(T )

2= 0,01

2= 0,005s. (1.27)

y aplicando (1.21)

u(g ) =√(

4π2

T 2

)2

(0,00057)2 +(4π2L

−2

T 3

)2

(0,005)2 (1.28)

y sustituyendo los valores de L y T se obtiene u(g ) = 0,041ms−2. En consecuencia, U (g ) = 2u(g ) = 0,082ms−2,

y el resultado de la medida indirecta de g es 9,79±0,08ms−2.

Como nota final, puede comprobarse que no es necesario tomar más cifras de la constante π para poder con-

siderarla como una constante sin error, ya que si se tomasen más cifras el resultado final de g sólo se vería

afectado en cifras no significativas (por debajo del margen de error).

1.5. Presentación de resultados numéricos

Cualquier valor experimental m de una magnitud física debe expresarse con un determinado núme-ro de cifras, que viene limitado por el valor de su incertidumbre. El número de cifras que hay desde laprimera cifra distinta de cero empezando por la izquierda hasta la primera cifra que venga afectadapor incertidumbre, ambas inclusive, es el número de cifras significativas (N s ) del resultado. Es evi-dente que no tiene sentido escribir cifras no significativas de un resultado. Además, el convenio desólo escribir las cifras significativas de un resultado nos hace tener información inmediata sobre suincertidumbre por el mero hecho de verlo escrito.

Ejemplo: Si nos dicen que la longitud de un cuerpo es de 14,7m sabemos que se ha medido con una precisión

de decímetros y que, por ello, nos dan 3 cifras significativas. Si la precisión de la medida hubiese sido de centí-

metros, entonces nos habrían dicho 14,70m (4 cifras significativas).

El expresar un resultado en una u otra unidad no cambia su número de cifras significativas. Por eso,los ceros a la izquierda de un número no son cifras significativas y sólo se utilizan para situar el lugardecimal. Los ceros a la izquierda pueden evitarse usando notación científica (potencias de 10).

Ejemplo: Decir que una masa es de 2,342g o decir que es de 0,002342kg, no cambia el número de cifras signi-

ficativas que en ambos casos es N s = 4. En notación científica se escribiría 2,342×10−3 kg

Los ceros al final de una medida pueden ser o no ser cifras significativas.

Ejemplo: Si nos dicen que en España hay 40000000 de personas puede que los haya exactamente, en cuyo caso

el cuatro y todos los ceros son cifras significativas, o puede que se haya redondeado a un número entero de

millones, en cuyo caso sólo el cuatro y el primer cero son cifras significativas. Para esta última situación, lo más


aconsejable para evitar ambigüedades sería entonces haber escrito 40×106 o’ 40 millones.

Cuando se hace una medida tanto directa como indirectamente puede que se obtenga el resultadocon más cifras de las significativas. De acuerdo a los antes expuesto, será la incertidumbre de la medi-da la que nos determine las cifras significativas con que debemos presentar el resultado. Así, tras ob-tener la incertidumbre expandida, será necesario llevar a cabo un redondeo en el valor de la medidapara conservar sólo cifras significativas. A este fin, utilizaremos la técnica de redondeo. En concreto,supongamos que la incertidumbre nos indica que debemos conservar cifras hasta una dada; si la cifrasiguiente a ella es cinco o mayor que cinco, entonces debemos aumentarla en una unidad, pero si esmenor que cinco, entonces no se modifica la última cifra conservada.

Finalmente, hay que especificar cómo se aplica el redondeo a la propia expresión de la incertidum-bre. Debido al significado de incertidumbre en la medida, ésta no debe expresarse nunca con más dedos cifras. Por convenio, la incertidumbre se expresará con dos cifras si sus dos primeras cifras sig-nificativas son menores que 25. En caso contrario, la incertidumbre deberá expresarse con una solacifra obtenida mediante redondeo.

Ejemplos: Veamos algunos casos de resultados expresados correcta e incorrectamente.

INCORRECTO CORRECTO

5,619(±0,126) 5,62(±0,13)8,4(±0,06) 8,40(±0,06)345,233(±0,18) 345,23(±0,18)2,023(±0,0261) 2,02(±0,03)

Aunque la determinación precisa de la incertidumbre y, por tanto, del número de cifras significativasen una magnitud calculada a partir de otras magnitudes debe llevarse a cabo mediante la técnica detransmisión de incertidumbres 1.4.2, podemos no obstante estimar el número de cifras significativasen algunos casos sin necesidad de obtener previamente la incertidumbre. Así, en cálculos que im-plican multiplicación, división y extracción de raíces de números, el resultado final no puede tenermás cifras significativas que los datos con menor número de ellas. En cálculos de sumas y restas denúmeros, el resultado final no tiene más cifras significativas después de la coma decimal que las delos datos con menor número de ellas después de la coma decimal. En el caso de restas entre númerosmuy parecidos suele ocurrir que el resultado tiene muchas menos cifras significativas que cada unode ellos.

Ejemplo: Tras medir los tres lados de un paralelepípedo se han obtenido los siguientes resultados: a = 12,3 ±0,1cm, b = 8,5 ±0,1cm y c = 0,3 ±0,1cm. Deseamos estimar el número de cifras significativas para su volumen

obtenido como V = abc. De acuerdo con lo expuesto, el resultado final del volumen tendrá sólo una cifra

significativa, ya que la medida con menos cifras significativas, c, posee una sola. Podemos verificar que lo

anterior es cierto calculando el posible valor máximo y mínimo para el volumen: Vmín. = (12,2)(8,4)(0,2) =20,496cm3 y Vmáx = (12,4)(8,6)(0,4) = 42,656cm3. Como es posible comprobar, la primera cifra del volumen

es distinta en cada caso, luego está afectada de incertidumbre (es incierta), y por lo tanto el resultado deberá

redondearse a una sola cifra: V = (12,3)(8,5)(0,3) = 31,365cm3 que tras el redondeo resulta a una cifra queda

V = 0,00003m3 o V = 3×10−5 m3.

Cuando aparezcan constantes en las expresiones a evaluar, tomaremos dichas constantes con un


número mayor o, al menos, igual de cifras significativas que el que corresponda a la medida conmás cifras significativas. De esta forma evitamos que las constantes introduzcan errores adicionales(podemos entonces considerarlas como exactas).

Ejemplo: Se quiere calcular el volumen de un cilindro recto de radio r y altura h, siendo r = 4,5 ± 0,1 cm y

h = 55,7 ±0,1 cm. El volumen es πr 2h. La constante π debe tomarse como mínimo con 3 cifras significativas

para no ser causa de errores adicionales. El volumen se obtiene con dos cifras significativas, al igual que la

medida con menos cifras significativas, r .

La importancia de conocer los errores absolutos de las medidas de las magnitudes físicas a la hora deobtener conclusiones científicas queda de manifiesto con el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Supongamos que se desea determinar si la temperatura T tiene algún efecto sobre la resistenciaeléctrica de una bobina de alambre de cobre. Se miden dos valores de la resistencia R para dos temperaturasdistintas y se obtiene:

T1 = 20oC R1 = 4,024ΩT2 = 30oC R2 = 4,030Ω

Sin los errores absolutos para cada valor de la resistencia no podemos sacar conclusiones científicas. Si el error

de cada medida es de 0.002, entonces podemos concluir que la resistencia eléctrica aumenta con la tempera-

tura T . En cambio, si el error fuese de 0,008 entonces no tenemos bases para llegar a la misma conclusión.

1.6. Recta de mínimos cuadrados

El problema de la ciencia experimental no se reduce a medir ciertas magnitudes con la máxima preci-sión posible, sino que es, fundamentalmente, buscar una ley cuantitativa entre dos o más magnitudesque están variando en manera correlacionada. 2

Supongamos que el fenómeno que se quiere estudiar dependa de dos magnitudes x e y . La ley quegobierna el fenómeno relaciona una magnitud x con la otra y de tal manera que durante una serie deexperiencias se determinan los valores de una de ellas (y) que corresponden a los distintos valores dela otra (x). Si se han hecho n pares de medidas:

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn , yn) , (1.29)

nos preguntamos si es posible conocer la relación funcional entre las magnitudes x e y . Dicha relaciónpuede ser formulada, diciendo que una de ellas es función de la otra, como

y = y(x) . (1.30)

En otros términos, se pretende encontrar la curva de mejor ajuste para el conjunto de valores ex-perimentales (1.29). El problema así formulado es muy complicado debido al hecho de que existeninfinitas funciones a las que pertenecen los n puntos dados en (1.29). No obstante, en la práctica, elproblema al que nos enfrentamos es de naturaleza más simple, ya que la forma de la función y(x)es casi siempre conocida de antemano, de acuerdo con una determinada teoría o modelo. Por tanto,

2En este apartado debemos considerar que todas las incertidumbres típicas son de “tipo A.” El subíndice A se omitirápor tanto, sobreentendiendo lo anteriormente mencionado.


en primer lugar, elegiríamos el tipo de comportamiento funcional que convenga a nuestro problema.Por ejemplo, podría ser alguno de los siguientes, dependiendo del fenómeno estudiado:

y = ax +b , y = b +a/x , y = ax2 +bx + c , y = a exp(bx) , . . . (1.31)

Una vez elegida la forma de y(x) adecuada, sólo quedaría determinar los valores de los parámetrosa,b,c, etc. que aparezcan en y(x), de forma que la función se “ajuste” lo mejor posible con la nube depuntos experimentales.

Aunque el concepto de mejor ajuste no es unívoco, esto es, pude haber diferentes criterios sobrequé considerar como mejor ajuste, elegiremos el denominado ajuste de acuerdo al método de losmínimos cuadrados. A continuación, explicaremos esta técnica para el caso de dependencia lineal,y(x) = ax +b. Es decir, vamos a definir la recta de mejor ajuste en el sentido de mínimos cuadrados,también denominada recta de regresión. Las ideas básicas de la técnica que desarrollaremos pue-den ser utilizadas para ajustar por mínimos cuadrados cualquier otro tipo de función. En cualquiercaso, el ajuste tipo recta de mínimos cuadrados será el único que empleemos en las prácticas quellevaremos a cabo durante el curso.

Supongamos, pues, que la función elegida para el ajuste sea la siguiente recta:

y = ax +b , (1.32)

donde a sería la pendiente y b la ordenada en el origen. El objetivo será determinar a y b para que(1.32) sea la recta que mejor se ajuste a la colección de datos experimentales (1.29) según el crite-rio que veremos a continuación. Comenzaremos por definir el residuo de cada punto de (1.29) conrespecto a la recta (1.32) como la siguiente cantidad:

ri = yi − y(xi ) = yi − (axi +b) (1.33)

(i = 1, . . . ,n)

cantidad que puede ser positiva o negativa según el punto experimental (xi , yi ) en cuestión esté porencima o por debajo, respectivamente, de la recta. En el caso particular de que el punto estuviesesobre la propia recta su residuo sería nulo.

En principio el valor de los residuos dependerá de la recta elegida (determinada por los valores con-cretos elegidos para a y b). El criterio de ajuste por mínimos cuadrados que utilizaremos consistiráen elegir la recta de forma que la suma de los cuadrados de los residuos sea mínima. Esto es, hemosde determinar a y b de forma que

n∑i=1

r 2i =

n∑i=1

(yi −axi −b)2 (1.34)

sea mínima. La suma anterior puede verse como una función de dos variables,∑n

i=1 r 2i = f (a,b), ya

que, para un conjunto dado de datos experimentales, el resultado de dicha suma dependerá sólo delos valores elegidos de a y b, que actúan ahora como variables de la función. En este sentido, paradeterminar los valores de a y b que hacen mínima a f (a,b) puede utilizarse la técnica de cálculo demáximos y mínimos de funciones de varias variables. Así, exigiendo que las derivadas parciales dela función f (a,b) con respecto a los variables a y b, esto es (∂ f /∂a) y (∂ f /∂b), sean nulas se obtienefinalmente que

a = nC −DE

nF −D2 (1.35)

b = F E −DC

nF −D2 , (1.36)


siendo

C =n∑

i=1xi yi ; D =

n∑i=1

xi ; E =n∑

i=1yi ; F =

n∑i=1

x2i . (1.37)

Puede demostrarse que la recta de mínimos cuadrados tiene la propiedad de que pasa por el puntomedio de los valores experimentales (x, y).

La pendiente a y la ordenada en el origen b de la recta de mínimos cuadrados son en muchas oca-siones magnitudes físicas que se quieren medir. Por ello, es importante establecer qué incertidumbrevamos a considerar para dichos parámetros así calculados. Se puede demostrar que la desviaciónestándar de a y b viene dada por

sa =√

n∑n

i=1 r 2i

(n −2)(nF −D2)(1.38)

sb =√

F∑n

i=1 r 2i

(n −2)(nF −D2). (1.39)

Por tanto, como vimos en su momento en (1.13), tomaremos como incertidumbres típicas de la pen-diente y de la ordenada en el origen de una recta de mínimos cuadrados el valor de sus desviacionesestándar respectivas:

u(a) = sa (1.40)

u(b) = sb . (1.41)

La recta de regresión obtenida nos permitirá, si lo deseamos, estimar el valor de la magnitud y paravalores de x distintos a los inicialmente medidos. Se puede demostrar el valor obtenido, yo , utilizandola recta de regresión para un cierto valor, xo (no medido), viene afectado por una desviación estándar

syo=

√∑ni=1 r 2

i

(n −2)

[D −2xoD +nxo

nF −D2

], (1.42)

y como incertidumbre típica del valor de yo estimado adoptaremos el valor de su desviación estándar:

u(y0) = syo. (1.43)

Existe un parámetro muy importante denominado coeficiente de correlación lineal r de las variablesx e y , que nos permite determinar la bondad del ajuste de la recta de mínimos cuadrados. Una de lasformas de expresarlo es

r = nC −DE√(nF −D2)(nG −E 2)

(1.44)

siendo G = ∑ni=1 y2

i . El coeficiente de correlación puede ser positivo o negativo y su valor absoluto,|r |, varía entre 0 y 1; el ajuste es tanto mejor cuanto más próximo esté |r | de la unidad. Un valor de|r | próximo a cero indica que no hay mucha correlación lineal entre los datos, y que posiblementehaya que buscar una relación y = y(x) más complicada (es decir, la nube de puntos experimentalesse ajustaría mejor con una función distinta de una recta).

Muchas calculadoras así como programas tipo hojas de cálculo (Excel, LibreOfficeCalc, etc) o bien derepresentación gráfica de funciones traen incorporadas como utilidad estadística el cálculo de rectasde regresión, proporcionando todos los parámetros del ajuste para los pares de valores (xi , yi ) que seutilicen como datos.

Finalmente, cabe indicar que el estudio anterior llevado a cabo para la recta de mejor ajuste, tiene undoble interés: por un lado, la dependencia tipo recta es muy frecuente entre magnitudes físicas y, porotro lado, muchas otras dependencias más complicadas pueden reducirse a una dependencia tiporecta mediante un cambio de variables adecuado. A continuación se exponen algunos ejemplos


función inicial cambio forma lineal

y = ax2 x2 = z y = azy = a

px

px = z y = az

y = Aexp(−x) ln(y) = z ; ln(A) = b z =−x +by = Axn ln(y) = z ; ln(A) = b; ln(x) = t z = b +nt

1.7. Realización de gráficas

Las representaciones gráficas son una herramienta imprescindible para la física experimental. Con elfin de que la gráficas aporten toda la información necesaria de la forma más adecuada deben seguirseciertas normas de carácter general.

Las gráficas podrán realizarse manualmente o bien haciendo uso de algún software gráfico. Casode hacerse manualmente deberá utilizarse papel milimetrado.

Los datos experimentales siempre deben aparecer nítidamente en la gráfica. Se presentaran co-mo un conjunto de puntos. En este sentido, no deben unirse dichos puntos entre sí mediantesegmentos formando una extraña línea quebrada (debe controlarse esta opción en los programasde software gráfico).

la recta de regresión se dibujará sobre la nube de puntos experimentales en una única gráfica.

Los intervalos de valores considerados en los ejes deben ser tales que la recta representada sevisualice convenientemente en la gráfica ocupando la mayor área posible y no aparezca concen-trada en una fracción de ella (es decir, evitar que la gráfica quede en una esquina y el resto depapel vacío).

Debe especificarse siempre sobre los ejes horizontal y vertical cuáles son las magnitudes allí re-presentadas, así como las unidades físicas a que corresponden.

1.8. Memorias de las prácticas

La realización de un trabajo experimental en el laboratorio irá siempre acompañada de la posteriorpresentación de una Memoria de la Práctica. Cada pareja de prácticas presentará una Memoria decada Práctica realizada.

La presentación de las Memorias deberá estar dentro de los márgenes de claridad y limpieza exigiblesa un alumno de enseñanzas superiores. La utilización de ordenadores e impresoras para la elaboraciónde las Memorias es la opción más recomendable, no obstante, pueden realizarse manualmente si elalumno no dispusiese de medios adecuados. La presentación extremadamente cuidada será un factorpositivo a tener en cuenta, pero en ningún caso la excusa para descuidar el contenido escrito de lasMemorias.

Un esquema general (aunque flexible) del contenido de una Memoria puede ser el siguiente:

1. Una primera página con título, autores, grupo al que pertenecen y fecha de realización de la Prác-tica en el laboratorio.


2. Una breve introducción para marcar los objetivos de la Práctica.

3. Una descripción del montaje experimental utilizado en el laboratorio: aparatos, técnicas de me-dida, etc.

4. Presentación de resultados: tablas, gráficas, etc. Los resultados deberán venir acompañados de suscorrespondientes errores, cuando así se especifique. No olvidar nunca presentar los resultadoscon sus unidades correspondientes, en otro caso carecerían de significado.

5. Interpretación de los resultados y conclusiones. Comentarios sobre cualquier aspecto del trabajoexperimental, detalles acerca del desarrollo del experimento, posibles fuentes de errores sistemá-ticos no eliminadas, sugerencias, etc.

6. Un último punto que se debe añadir a la práctica y de fundamental importancia concierne a laconfrontación de los resultados obtenidos mediante las rectas de mínimos cuadrados con los re-sultados predichos por la teoría correspondiente. Una memoria de prácticas sin estos comentariosse considerará incompleta y se puntuará en consecuencia.


RESUMEN: Estimación de Incertidumbres en las Medidas

1. Medidas directas

a) UNA ÚNICA MEDIDA

Valor verdadero: el medido, m

Incertidumbre: si la resolución del aparato es δ⇒U (m) = δ/2.

Resultado final: m ±δ/2.

b) VARIAS MEDIDAS (sin errores sistemáticos, uA = 0)

Valor verdadero: el valor medio, m

Incertidumbre típica: u(m) = sm

Resultado final: m ±2sm .

2. Medidas Indirectas: y = f (x, z, t , . . .)

Valor verdadero:x −→ x ±2u(x)z −→ z ±2u(z)t −→ t ±2u(t )

y por tanto valor experimental y = f (x, z, t , . . .).

Incertidumbre típica en y , u(y), se obtiene de técnicas estadísticas:

u(y) =√(

∂ f

∂x

)2

u2(x)+(∂ f

∂z

)2

u2(z)+(∂ f

∂t

)2

u2(t )

Resultado final: f (x, z, t )±2u(y)

3. Recta de Mínimos Cuadrados: y = ax +b

Incertidumbre en a y b, es suficiente con a ±2sa , b ±2sb .

Buen ajuste si valor absoluto coeficiente de correlación, |r |, próximo a la unidad.

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