Práctica 12Integrales

1

Problema 1.

Capítulo 17

Aplicación del Teorema de los Residuos ala evaluación de algunas integralesdefinidas

Objetivos: Evaluar algunas integrales definidas, mediante aplicación del Teorema de los residuos.

17.1 Conceptos básicos

Queremos evaluar integrales definidas del tipo en donde es una función racional del

coseno, del seno o de ambos.

Si recordamos que y y ponemos entonces será

Luego, y si hacemos

podemos calcular

mediante siempre que no haya singularidades de sobre la curva dada

por (Sólo valdrá la igualdad entre las dos integrales en el caso de singularidades de en el interior de ).Ahora, se aplica el teorema de los Residuos.

En el caso particular en que sea una “función par" respecto a

entonces

17.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular

Solución

207Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

2

Problema 1.

Capítulo 17

Aplicación del Teorema de los Residuos ala evaluación de algunas integralesdefinidas

Objetivos: Evaluar algunas integrales definidas, mediante aplicación del Teorema de los residuos.

17.1 Conceptos básicos

Queremos evaluar integrales definidas del tipo en donde es una función racional del

coseno, del seno o de ambos.

Si recordamos que y y ponemos entonces será

Luego, y si hacemos

podemos calcular

mediante siempre que no haya singularidades de sobre la curva dada

por (Sólo valdrá la igualdad entre las dos integrales en el caso de singularidades de en el interior de ).Ahora, se aplica el teorema de los Residuos.

En el caso particular en que sea una “función par" respecto a

entonces

17.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular

Solución

207Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

3

Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

4

Problema 2.

Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

Poner

Luego

con y las raices de

Ahora bien, como , observe que , se deduce que y .

Luego .

Así que es analítica en todo excepto en y , pero sólo y por el Teorema de

los residuos:

Ahora estudiemos la existencia de al ser

es polo simple de y

Problema 2

Demuestre que

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 3

Calcular

Solución

Como coseno es una función par y resulta que es función par

Luego, y por el resultado del ejercicio se puede concluir que

208

5

Problema 3.

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

6

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

Problema 4

Calcular

Solución

Según el ejercicio (3), , sin embargo no podemos utilizarlo como una tabla de integrales, lo que si

podemos es observar que es función par respecto de .

Por lo tanto , hacer

Verifique Ud. las condiciones del Teorema de los residuos y concluiremos que , con

.

Aquí . Estudiemos , podríamos factorizar el denominador como hici-

mos en la parte teórica, sin embargo no es necesario, podemos observar que el posible límite en cuestión es de la

forma (Empleando la Regla de L’Hospital)

Por lo tanto es un polo simple de y . Finalmente:

Problema 5

Calcular:

Solución

es función impar ( ) pero es función par y también lo es la función , por

lo tanto . Ahora haciendo los cambios correspondientes, según la teoría conocida, se llega

a , ¡hágalo! y convénzase de llegar a esa expresión. Obsérvese que

con

. Ahora .

De modo que sólo y estan en

Emplee Ud. procedimiento similar al empleado en el (5) para demostrar que y son polos simples de

y que

Finalmente, verifique las condiciones del Teorema de los residuos y concluya que

209

7

Problema 4.

Problema 6

Demuestre que con

Solución

Haciendo los cambios adecuados, según la teoría Ud. debe llegar a

(puesto que )

Recuerde que .

Vamos a demostrar que en hay polo de orden 2 para

el cual existe, finito.

Ahora

Demeustre que puede aplicar el Teorema del residuo para llegar a:

Problema 7

Demuestre que

Solución

luego aplique el resto de la teoría

para llegar a y esta integral la calculamos en el ejercicio del capítulo

y obtuvimos precisamente

Problema 8

Demuestre que

Solución

Aplicando la teoría correspondiente demuestre que

210

Problema 6

Demuestre que con

Solución

Haciendo los cambios adecuados, según la teoría Ud. debe llegar a

(puesto que )

Recuerde que .

Vamos a demostrar que en hay polo de orden 2 para

el cual existe, finito.

Ahora

Demeustre que puede aplicar el Teorema del residuo para llegar a:

Problema 7

Demuestre que

Solución

luego aplique el resto de la teoría

para llegar a y esta integral la calculamos en el ejercicio del capítulo

y obtuvimos precisamente

Problema 8

Demuestre que

Solución

Aplicando la teoría correspondiente demuestre que

210

Problema 6

Demuestre que con

Solución

Haciendo los cambios adecuados, según la teoría Ud. debe llegar a

(puesto que )

Recuerde que .

Vamos a demostrar que en hay polo de orden 2 para

el cual existe, finito.

Ahora

Demeustre que puede aplicar el Teorema del residuo para llegar a:

Problema 7

Demuestre que

Solución

luego aplique el resto de la teoría

para llegar a y esta integral la calculamos en el ejercicio del capítulo

y obtuvimos precisamente

Problema 8

Demuestre que

Solución

Aplicando la teoría correspondiente demuestre que

210

Problema 6

Demuestre que con

Solución

Haciendo los cambios adecuados, según la teoría Ud. debe llegar a

(puesto que )

Recuerde que .

Vamos a demostrar que en hay polo de orden 2 para

el cual existe, finito.

Ahora

Demeustre que puede aplicar el Teorema del residuo para llegar a:

Problema 7

Demuestre que

Solución

luego aplique el resto de la teoría

para llegar a y esta integral la calculamos en el ejercicio del capítulo

y obtuvimos precisamente

Problema 8

Demuestre que

Solución

Aplicando la teoría correspondiente demuestre que

2108

Problema 5.

Entonces existe

sem. sup. polos realessimples de

y, si

designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces

(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que

. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que

para cada con y se tiene que , entonces se cumple que

sem. sup. polos realessimples de

.

18.1 Ejercicios Resueltos

Problema 32

(a) Sea . Demuestre que .

(b) Calcular

Solución

(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.

Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además

. (Recuérdese que , ).

Por lo tanto, . (Puesto que

)

Luego,

(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente

grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario

(figura 18.5).

Sabemos entonces que , con y, así,

.

Luego,

sem. sup.

, .

En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos

queda .

219

Entonces existe

sem. sup. polos realessimples de

y, si

designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces

(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que

. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que

para cada con y se tiene que , entonces se cumple que

sem. sup. polos realessimples de

.

18.1 Ejercicios Resueltos

Problema 32

(a) Sea . Demuestre que .

(b) Calcular

Solución

(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.

Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además

. (Recuérdese que , ).

Por lo tanto, . (Puesto que

)

Luego,

(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente

grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario

(figura 18.5).

Sabemos entonces que , con y, así,

.

Luego,

sem. sup.

, .

En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos

queda .

219

9

Figura 18.5:

Ahora, con

analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener

.

En forma análoga con , se demuestra que .

(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).

Finalmente: . Por lo tanto

(Nota: Si se pide , el resultado es ).

Problema 33

Calcular

Solución

Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-

dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente

de funciones pares, es par).

Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.

Problema 34

Calcular

Solución

, siendo , escogido suficientemente

220

Entonces existe

sem. sup. polos realessimples de

y, si

designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces

(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que

. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que

para cada con y se tiene que , entonces se cumple que

sem. sup. polos realessimples de

.

18.1 Ejercicios Resueltos

Problema 32

(a) Sea . Demuestre que .

(b) Calcular

Solución

(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.

Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además

. (Recuérdese que , ).

Por lo tanto, . (Puesto que

)

Luego,

(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente

grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario

(figura 18.5).

Sabemos entonces que , con y, así,

.

Luego,

sem. sup.

, .

En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos

queda .

219

Entonces existe

sem. sup. polos realessimples de

y, si

designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces

(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que

. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que

para cada con y se tiene que , entonces se cumple que

sem. sup. polos realessimples de

.

18.1 Ejercicios Resueltos

Problema 32

(a) Sea . Demuestre que .

(b) Calcular

Solución

(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.

Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además

. (Recuérdese que , ).

Por lo tanto, . (Puesto que

)

Luego,

(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente

grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario

(figura 18.5).

Sabemos entonces que , con y, así,

.

Luego,

sem. sup.

, .

En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos

queda .

219

Entonces existe

sem. sup. polos realessimples de

y, si

designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces

(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que

. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que

para cada con y se tiene que , entonces se cumple que

sem. sup. polos realessimples de

.

18.1 Ejercicios Resueltos

Problema 32

(a) Sea . Demuestre que .

(b) Calcular

Solución

(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.

Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además

. (Recuérdese que , ).

Por lo tanto, . (Puesto que

)

Luego,

(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente

grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario

(figura 18.5).

Sabemos entonces que , con y, así,

.

Luego,

sem. sup.

, .

En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos

queda .

21910

Figura 18.5:

Ahora, con

analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener

.

En forma análoga con , se demuestra que .

(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).

Finalmente: . Por lo tanto

(Nota: Si se pide , el resultado es ).

Problema 33

Calcular

Solución

Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-

dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente

de funciones pares, es par).

Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.

Problema 34

Calcular

Solución

, siendo , escogido suficientemente

220

Figura 18.5:

Ahora, con

analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener

.

En forma análoga con , se demuestra que .

(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).

Finalmente: . Por lo tanto

(Nota: Si se pide , el resultado es ).

Problema 33

Calcular

Solución

Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-

dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente

de funciones pares, es par).

Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.

Problema 34

Calcular

Solución

, siendo , escogido suficientemente

220

Ejercicio

Figura 18.5:

Ahora, con

analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener

.

En forma análoga con , se demuestra que .

(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).

Finalmente: . Por lo tanto

(Nota: Si se pide , el resultado es ).

Problema 33

Calcular

Solución

Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-

dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente

de funciones pares, es par).

Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.

Problema 34

Calcular

Solución

, siendo , escogido suficientemente

220

Entonces existe

sem. sup. polos realessimples de

y, si

designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces

(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que

. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que

para cada con y se tiene que , entonces se cumple que

sem. sup. polos realessimples de

.

18.1 Ejercicios Resueltos

Problema 32

(a) Sea . Demuestre que .

(b) Calcular

Solución

(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.

Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además

. (Recuérdese que , ).

Por lo tanto, . (Puesto que

)

Luego,

(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente

grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario

(figura 18.5).

Sabemos entonces que , con y, así,

.

Luego,

sem. sup.

, .

En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos

queda .

219

11

Problema 6.

Figura 18.5:

Ahora, con

analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener

.

En forma análoga con , se demuestra que .

(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).

Finalmente: . Por lo tanto

(Nota: Si se pide , el resultado es ).

Problema 33

Calcular

Solución

Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-

dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente

de funciones pares, es par).

Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.

Problema 34

Calcular

Solución

, siendo , escogido suficientemente

220

Figura 18.5:

Ahora, con

analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener

.

En forma análoga con , se demuestra que .

(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).

Finalmente: . Por lo tanto

(Nota: Si se pide , el resultado es ).

Problema 33

Calcular

Solución

Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-

dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente

de funciones pares, es par).

Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.

Problema 34

Calcular

Solución

, siendo , escogido suficientemente

220

Figura 18.5:

Ahora, con

analítica en el disco . Aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para obtener

.

En forma análoga con , se demuestra que .

(Se puede utilizar otro procedimiento. Por ejemplo, demuestre que y son polos simples de ycalcule los residuos).

Finalmente: . Por lo tanto

(Nota: Si se pide , el resultado es ).

Problema 33

Calcular

Solución

Observar que es función par. (También, basta ver que el numera-

dor es par por ser producto de dos funciones impares y que el denominador también es par. Luego, , al ser cociente

de funciones pares, es par).

Por lo tanto, la integral pedida es un medio del valor de la integral del ejercicio anterior.

Problema 34

Calcular

Solución

, siendo , escogido suficientemente

220

grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).

Figura 18.6:

Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero

demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .

es polo simple de y

.

Finalmente se demuestra que y y, aplicando el

teorema de los residuos, nos queda:

De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).

Problema 35

Calcular

Solución

en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,

son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,

; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .

Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con

, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):

Se demuestra que y .

Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos

a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene

, siendo y .

Demuestre que y son polos simples de y que y .

221

grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).

Figura 18.6:

Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero

demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .

es polo simple de y

.

Finalmente se demuestra que y y, aplicando el

teorema de los residuos, nos queda:

De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).

Problema 35

Calcular

Solución

en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,

son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,

; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .

Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con

, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):

Se demuestra que y .

Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos

a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene

, siendo y .

Demuestre que y son polos simples de y que y .

221

grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).

Figura 18.6:

Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero

demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .

es polo simple de y

.

Finalmente se demuestra que y y, aplicando el

teorema de los residuos, nos queda:

De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).

Problema 35

Calcular

Solución

en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,

son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,

; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .

Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con

, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):

Se demuestra que y .

Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos

a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene

, siendo y .

Demuestre que y son polos simples de y que y .

221

grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).

Figura 18.6:

Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero

demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .

es polo simple de y

.

Finalmente se demuestra que y y, aplicando el

teorema de los residuos, nos queda:

De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).

Problema 35

Calcular

Solución

en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,

son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,

; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .

Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con

, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):

Se demuestra que y .

Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos

a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene

, siendo y .

Demuestre que y son polos simples de y que y .

221

grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).

Figura 18.6:

Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero

demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .

es polo simple de y

.

Finalmente se demuestra que y y, aplicando el

teorema de los residuos, nos queda:

De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).

Problema 35

Calcular

Solución

en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,

son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,

; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .

Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con

, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):

Se demuestra que y .

Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos

a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene

, siendo y .

Demuestre que y son polos simples de y que y .

221

12

grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).

Figura 18.6:

Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero

demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .

es polo simple de y

.

Finalmente se demuestra que y y, aplicando el

teorema de los residuos, nos queda:

De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).

Problema 35

Calcular

Solución

en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,

son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,

; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .

Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con

, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):

Se demuestra que y .

Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos

a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene

, siendo y .

Demuestre que y son polos simples de y que y .

221

Ejercicio

Entonces existe

sem. sup. polos realessimples de

y, si

designamos al segundo miembro de la última expresión por , entonces

(b) Finalmente, en el caso , , , , se exige que

. Si tiene raices reales simples y raices complejas y, además, existen tales que

para cada con y se tiene que , entonces se cumple que

sem. sup. polos realessimples de

.

18.1 Ejercicios Resueltos

Problema 32

(a) Sea . Demuestre que .

(b) Calcular

Solución

(a) . Hacer . Así,, con raices complejas.

Ahora bien, con suficientemente grande se tiene: , además

. (Recuérdese que , ).

Por lo tanto, . (Puesto que

)

Luego,

(b) Sea . es analítica en . Se elige entonces suficientemente

grande para que los polos de en el semiplano superior queden en int , (sentido antihorario

(figura 18.5).

Sabemos entonces que , con y, así,

.

Luego,

sem. sup.

, .

En (a) se demostró que , luego, admitiendo que nos

queda .

219

grande para que los polos simples de del semiplano superior queden dentro de . Aquí, , ,, los ceros de son y solo int (figura 18.6).

Figura 18.6:

Para variar, vamos a utilizar aquí un procedimiento distinto al del ejercicio 1 para el cálculo de residuos. Primero

demostraremos que es polo simple de , luego calcularemos .

es polo simple de y

.

Finalmente se demuestra que y y, aplicando el

teorema de los residuos, nos queda:

De modo que la integral requerida, digamos , vale .(Obsérvese que, además, ).

Problema 35

Calcular

Solución

en virtud de que tanto el numerador, , como el denominador,

son funciones impares y el cociente de funciones impares es par. Ahora,

; . Además, las raices del denominador de son una real y doscomplejas y es raiz de .

Se construye , se toma suficientemente grande para que esté en int , con

, escogiendo suficientemente pequeño y con , se llega a (figura 18.7):

Se demuestra que y .

Se demuestra también que . Finalmente, aplicando el teorema de los residuos

a (recorrida en sentido antihorario) se obtiene

, siendo y .

Demuestre que y son polos simples de y que y .

221

13

Problema 7.

Figura 18.9:

Figura 18.10:

Demuestre también que son polos simples de y que sus residuos respectivos son:

. De modo que, por el teorema de los residuos

pero por otro lado

Luego

Problema 42

Demuestre queSolución

Se deja como ejercicio

Problema 43

CalcularSolución

Esta integral es muy particular debido a que como tiene un polo simple en solamente, entonces se tiene

que

225

Figura 18.9:

Figura 18.10:

Demuestre también que son polos simples de y que sus residuos respectivos son:

. De modo que, por el teorema de los residuos

pero por otro lado

Luego

Problema 42

Demuestre queSolución

Se deja como ejercicio

Problema 43

CalcularSolución

Esta integral es muy particular debido a que como tiene un polo simple en solamente, entonces se tiene

que

225

Figura 18.9:

Figura 18.10:

Demuestre también que son polos simples de y que sus residuos respectivos son:

. De modo que, por el teorema de los residuos

pero por otro lado

Luego

Problema 42

Demuestre queSolución

Se deja como ejercicio

Problema 43

CalcularSolución

Esta integral es muy particular debido a que como tiene un polo simple en solamente, entonces se tiene

que

225

con , (figura 18.11). pero la suma de las 4

Figura 18.11:

integrales del segundo miembro es por estar fuera del int y ser analítica en .

Luego,

término último que es un (VP), el cual no es necesario para ya que se puede poner

para , pero sí es necesario para , integral impropia que no existe. Ahora, (VP)

. (Obsérvese que no existe).

De modo que, finalmente y, así

Problema 44

Demostrar que

Solución

ya que es una función par.

Ahora, y, por tanto, y se aplica el método

conocido, para con . Demuestre que es un polo simple de y que . Así,

226

14

con , (figura 18.11). pero la suma de las 4

Figura 18.11:

integrales del segundo miembro es por estar fuera del int y ser analítica en .

Luego,

término último que es un (VP), el cual no es necesario para ya que se puede poner

para , pero sí es necesario para , integral impropia que no existe. Ahora, (VP)

. (Obsérvese que no existe).

De modo que, finalmente y, así

Problema 44

Demostrar que

Solución

ya que es una función par.

Ahora, y, por tanto, y se aplica el método

conocido, para con . Demuestre que es un polo simple de y que . Así,

226

con , (figura 18.11). pero la suma de las 4

Figura 18.11:

integrales del segundo miembro es por estar fuera del int y ser analítica en .

Luego,

término último que es un (VP), el cual no es necesario para ya que se puede poner

para , pero sí es necesario para , integral impropia que no existe. Ahora, (VP)

. (Obsérvese que no existe).

De modo que, finalmente y, así

Problema 44

Demostrar que

Solución

ya que es una función par.

Ahora, y, por tanto, y se aplica el método

conocido, para con . Demuestre que es un polo simple de y que . Así,

226

15

Ejerecicio

con , (figura 18.11). pero la suma de las 4

Figura 18.11:

integrales del segundo miembro es por estar fuera del int y ser analítica en .

Luego,

término último que es un (VP), el cual no es necesario para ya que se puede poner

para , pero sí es necesario para , integral impropia que no existe. Ahora, (VP)

. (Obsérvese que no existe).

De modo que, finalmente y, así

Problema 44

Demostrar que

Solución

ya que es una función par.

Ahora, y, por tanto, y se aplica el método

conocido, para con . Demuestre que es un polo simple de y que . Así,

226

EjerecicioProblema 45

Demuestre que siendo

Solución

Se deja como ejercicio (Ayuda: Descomponer en suma de dos integrales ...).

Problema 46

Demuestre que con ,

Solución

Se deja como ejercicio. (Ayuda: Primero transforme en una diferencia de cosenos utilizando la

fórmula ).

Problema 47

(a) Demostrar que , con la semicircunferencia descrita por . (figu-

ra 18.12).

Figura 18.12:

(b) Demuestre que , con .

(c) Calcular .

Solución

(a) puesto que .

Luego, (Hemos usado la desigualdad Ml)

(b) Por (a), y, admitiendo que queda demostrado lo

pedido.

(c) Sea . Por el ejercicio (9) conocemos las raices de y sabemos que en el semiplano

superior sólo están , que son polos simples de (¡Demuéstrelo!)

con sus respectivos residuos y como ,

. Así, .

Por lo tanto, .

227

16