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Práctica 2 Integrales de funciones escalares y vectoriales 1
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Práctica 2Integrales de funciones
escalares y
vectoriales
1
Problema 1.
(d) Definición. Las coordenadas del centro de masa de son:
(e) Las coordenadas del centroide de son:
2.2 Ejercicios resueltos
Problema 1
Evaluar con la semi-esfera superior de radio .
Solución
Se trata de calcular (una integral de campo escalar sobre una superficie).
El problema podría haber sido propuesto de esta otra manera:
Evaluar con (ver fig. ).
Figura 2.1:
Aquí podemos usar la parametrización en cartesianas (puesto que ) y poner
se calcula
Por lo tanto,
Problema 2Repita el ejercicio pero usando la parametrización general.
28
(d) Definición. Las coordenadas del centro de masa de son:
(e) Las coordenadas del centroide de son:
2.2 Ejercicios resueltos
Problema 1
Evaluar con la semi-esfera superior de radio .
Solución
Se trata de calcular (una integral de campo escalar sobre una superficie).
El problema podría haber sido propuesto de esta otra manera:
Evaluar con (ver fig. ).
Figura 2.1:
Aquí podemos usar la parametrización en cartesianas (puesto que ) y poner
se calcula
Por lo tanto,
Problema 2Repita el ejercicio pero usando la parametrización general.
28
(d) Definición. Las coordenadas del centro de masa de son:
(e) Las coordenadas del centroide de son:
2.2 Ejercicios resueltos
Problema 1
Evaluar con la semi-esfera superior de radio .
Solución
Se trata de calcular (una integral de campo escalar sobre una superficie).
El problema podría haber sido propuesto de esta otra manera:
Evaluar con (ver fig. ).
Figura 2.1:
Aquí podemos usar la parametrización en cartesianas (puesto que ) y poner
se calcula
Por lo tanto,
Problema 2Repita el ejercicio pero usando la parametrización general.
28
(d) Definición. Las coordenadas del centro de masa de son:
(e) Las coordenadas del centroide de son:
2.2 Ejercicios resueltos
Problema 1
Evaluar con la semi-esfera superior de radio .
Solución
Se trata de calcular (una integral de campo escalar sobre una superficie).
El problema podría haber sido propuesto de esta otra manera:
Evaluar con (ver fig. ).
Figura 2.1:
Aquí podemos usar la parametrización en cartesianas (puesto que ) y poner
se calcula
Por lo tanto,
Problema 2Repita el ejercicio pero usando la parametrización general.
28
(d) Definición. Las coordenadas del centro de masa de son:
(e) Las coordenadas del centroide de son:
2.2 Ejercicios resueltos
Problema 1
Evaluar con la semi-esfera superior de radio .
Solución
Se trata de calcular (una integral de campo escalar sobre una superficie).
El problema podría haber sido propuesto de esta otra manera:
Evaluar con (ver fig. ).
Figura 2.1:
Aquí podemos usar la parametrización en cartesianas (puesto que ) y poner
se calcula
Por lo tanto,
Problema 2Repita el ejercicio pero usando la parametrización general.
28
2
(d) Definición. Las coordenadas del centro de masa de son:
(e) Las coordenadas del centroide de son:
2.2 Ejercicios resueltos
Problema 1
Evaluar con la semi-esfera superior de radio .
Solución
Se trata de calcular (una integral de campo escalar sobre una superficie).
El problema podría haber sido propuesto de esta otra manera:
Evaluar con (ver fig. ).
Figura 2.1:
Aquí podemos usar la parametrización en cartesianas (puesto que ) y poner
se calcula
Por lo tanto,
Problema 2Repita el ejercicio pero usando la parametrización general.
28
Recuerde que la parametrización no es única, por ejemplo aquí se podría usar una parametrización en coordenadas
esféricas (coordenadas esféricas), con la dificultad de tener que sustituir el integrando:
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
3
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
4
Problema 2.
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Antes de continuarpreste especial atención a el
integrando
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
5
Problema 2.
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
6
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Observemos la relación entre las regiones D1 y D2.
Usando dicha relación encontramos:
7
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
Recordemos:
Solución
Aquí con pero
Se calcula y ya que
Por lo tanto,
ya que es un rectángulo
el cual es de tipo I y tipo II.
Entonces,
Problema 3
Calcular la frontera de la esfera dada por
Solución
Observe que el conjunto dado define a una esfera sólida, es decir, entran los pertenecientes al interior de
la esfera: y los de la superficie: (o sea, la frontera o borde). Podría-mos hacer los cálculos utilizando con (Se deja
como ejercicio). O bien utilizando coordenadas cartesianas con para la semi-esfera superior y
para la semi-esfera inferior.
Así que
Por lo tanto,
Ahora, por lo que
Pero, recordando que las coordenadas del centroide de una superficie son:
29
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
Por ser S una superficie esférica.
8
También por ser S un hemisferio, de la esfera,
entonces:
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
Por ser un hemisferio encontraremos:
9
Finalmente:y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
10
Problema3.
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
11
Problema3.
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
12
Comenzaremos calculando la integral sobre el área, recordando la
clase anterior, lo primero que calcularemos es el PVF:
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
Entonces:
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
observe:
13
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
las dos integrales son equivalentes pues lo que se ha
hecho es re-escribir uno de los
intervalos
Finalmente luego del calculo de las integrales:
14
Ahora continuamos calculando
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30El calculo de esta ultima integral
requiere que usemos
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
recuerde la practica anterior.
15
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
Observe la relacion entre las regiones.
(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
y como en nuestro caso (ya que es una superficie esférica) resulta que y
serían para el hemisferio superior y para el hemisferio inferior.
Pero, estando cada semi-esfera con centro en el origen de coordenadas, resulta y . Por lo tanto,
Problema 4
El promedio P de una función sobre una superficie se define por P (estamos usando
una de las notaciones dadas en la parte (a)). Hallar el promedio de la función sobre la superficie
descrita por la porción de cilindro interior a la esfera con
Solución
Como (ver fig. ) es parte del cilindro, debemos parametrizar éste:
Obsérvese que aquí (Ver ejercicio del capítulo ).
Figura 2.2:
Se calcula
o bien
En todo caso,
y
30
16
Problema 4.
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
Figura 2.4:
Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,
(Recordar que si es impar).
Y
Nota didáctica: También si se utiliza el hecho de que
centroide de una lámina plana , aquí en este problema y
, puesto que aquí
Finalmente:
32
17
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
Figura 2.4:
Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,
(Recordar que si es impar).
Y
Nota didáctica: También si se utiliza el hecho de que
centroide de una lámina plana , aquí en este problema y
, puesto que aquí
Finalmente:
32
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
18
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
Figura 2.4:
Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,
(Recordar que si es impar).
Y
Nota didáctica: También si se utiliza el hecho de que
centroide de una lámina plana , aquí en este problema y
, puesto que aquí
Finalmente:
32
19
Antes de integrar hay que parametrizar las superficies
involucradas:
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
Figura 2.5:
Problema 7
Sea la superficie dada por limitada por el plano de ecuación en el primer octante. Calcular
Solución
Ahora, intersectando por lo que, proyectando
sobre el plano (ver fig ).
Ahora, ampliando la intersección del plano con el paraboloide y la proyección de sobre el
Figura 2.6:
plano , se obtiene la fig
Por lo tanto,
33
20
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
Figura 2.4:
Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,
(Recordar que si es impar).
Y
Nota didáctica: También si se utiliza el hecho de que
centroide de una lámina plana , aquí en este problema y
, puesto que aquí
Finalmente:
32
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
21
Continuando, ahora integramos:
Figura 2.3:
Nota: Si se usa queda como se muestra en la figura .
Problema 5
Hallar el promedio P de la función sobre la superficie descrita por la porción de cilindro
interior a la esfera dada por
Solución
P
Problema 6
Sea la región de acotada lateralmente por inferior y superiormente por los planos
de ecuaciones respectivamente. Calcular (es decir, ).
Solución
Ver fig .
ParaPodemos usar, por ejemplo, Así que en el plano viene dada por (ver fig ):
Para aquí
Para
(En el ejercicio del capítulo , se usó otra parametrización para .)
Ahora,
con y
31
Figura 2.4:
Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,
(Recordar que si es impar).
Y
Nota didáctica: También si se utiliza el hecho de que
centroide de una lámina plana , aquí en este problema y
, puesto que aquí
Finalmente:
32
Figura 2.4:
Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,
(Recordar que si es impar).
Y
Nota didáctica: También si se utiliza el hecho de que
centroide de una lámina plana , aquí en este problema y
, puesto que aquí
Finalmente:
32
22
Figura 2.4:
Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,
(Recordar que si es impar).
Y
Nota didáctica: También si se utiliza el hecho de que
centroide de una lámina plana , aquí en este problema y
, puesto que aquí
Finalmente:
32
Figura 2.4:
Para la segunda y tercera integral se tiene respectivamente,
(Recordar que si es impar).
Y
Nota didáctica: También si se utiliza el hecho de que
centroide de una lámina plana , aquí en este problema y
, puesto que aquí
Finalmente:
32
23
Problema 5.
Figura 2.5:
Problema 7
Sea la superficie dada por limitada por el plano de ecuación en el primer octante. Calcular
Solución
Ahora, intersectando por lo que, proyectando
sobre el plano (ver fig ).
Ahora, ampliando la intersección del plano con el paraboloide y la proyección de sobre el
Figura 2.6:
plano , se obtiene la fig
Por lo tanto,
33
Figura 2.5:
Problema 7
Sea la superficie dada por limitada por el plano de ecuación en el primer octante. Calcular
Solución
Ahora, intersectando por lo que, proyectando
sobre el plano (ver fig ).
Ahora, ampliando la intersección del plano con el paraboloide y la proyección de sobre el
Figura 2.6:
plano , se obtiene la fig
Por lo tanto,
3324
Figura 2.5:
Problema 7
Sea la superficie dada por limitada por el plano de ecuación en el primer octante. Calcular
Solución
Ahora, intersectando por lo que, proyectando
sobre el plano (ver fig ).
Ahora, ampliando la intersección del plano con el paraboloide y la proyección de sobre el
Figura 2.6:
plano , se obtiene la fig
Por lo tanto,
33
Figura 2.5:
Problema 7
Sea la superficie dada por limitada por el plano de ecuación en el primer octante. Calcular
Solución
Ahora, intersectando por lo que, proyectando
sobre el plano (ver fig ).
Ahora, ampliando la intersección del plano con el paraboloide y la proyección de sobre el
Figura 2.6:
plano , se obtiene la fig
Por lo tanto,
33
Intersectando las superficies:
Si proyectamos sobre el eje xy:
Figura 2.5:
Problema 7
Sea la superficie dada por limitada por el plano de ecuación en el primer octante. Calcular
Solución
Ahora, intersectando por lo que, proyectando
sobre el plano (ver fig ).
Ahora, ampliando la intersección del plano con el paraboloide y la proyección de sobre el
Figura 2.6:
plano , se obtiene la fig
Por lo tanto,
33
Figura 2.5:
Problema 7
Sea la superficie dada por limitada por el plano de ecuación en el primer octante. Calcular
Solución
Ahora, intersectando por lo que, proyectando
sobre el plano (ver fig ).
Ahora, ampliando la intersección del plano con el paraboloide y la proyección de sobre el
Figura 2.6:
plano , se obtiene la fig
Por lo tanto,
33
25
Figura 2.7:
evaluada en es
y pasando a coordenadas polares, tenemos,
y con en el primer cuadrante y : transformación en polares (ver fig).
Por lo tanto,
Figura 2.8:
34
26
Figura 2.7:
evaluada en es
y pasando a coordenadas polares, tenemos,
y con en el primer cuadrante y : transformación en polares (ver fig).
Por lo tanto,
Figura 2.8:
34
Figura 2.7:
evaluada en es
y pasando a coordenadas polares, tenemos,
y con en el primer cuadrante y : transformación en polares (ver fig).
Por lo tanto,
Figura 2.8:
34
27
Ahora, con
Por lo tanto,
Problema 8
Calcular con y es la porción de hiperboloide dado por
comprendida entre los planos de ecuaciones y , respectivamente. (Expresar el resultado en función de
y ).
Solución
Ver el ejercicio a del capítulo para una parametrización de y el dibujo correspondiente.
Hacemos el cambio
puesto que
Por lo tanto,
Finalmente,
Problema 9
Calcular con la supeficie del paraboloide dado por sobre el plano
Solución
(ver fig. )
Demuestre que
35
28
Problema 6
rientación de , sea Entonces se cumple que
Obsérvese que el primer miembro es mientras que el segundo miembro es
toda vez que el segundo miembro es la integral de superficie del
campo escalar es decir de la componente normal de sobre .
(f) Definición . Si es el campo de velocidad de un fluido, apunta en la dirección en la cual el fluido semueve a través de la superficie cerca de Se define la masa de fluido que fluye a través de por unidad
de tiempo en dirección como el flujo del fluido y por el teorema , y esto es por
definición de integral de un campo escalar sobre
Nota: En los ejercicios, como
Por lo tanto, ahorraremos un paso, y una vez que conocemos la dirección de
(es decir, sepamos si es o ), pondremos en donde "(PVF)"
es el (PVF) final del segundo miembro de ( ) con su signo adecuado.En los ejercicios resueltos se verá más claro quién es el "PVF."
Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial sobre una superficie es que si
3.2 Ejercicios resueltos
Problema 1Calcular el flujo total del campo a través de la superficie cerrada con
en dirección de la
normal exterior de .
Solución
flujo total orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.
(Obsérvese que se podría usar la notación )
y este vector apunta hacia exterior
Por lo tanto,
Se obtiene entonces,
con
Por lo tanto,
41Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42
29
rientación de , sea Entonces se cumple que
Obsérvese que el primer miembro es mientras que el segundo miembro es
toda vez que el segundo miembro es la integral de superficie del
campo escalar es decir de la componente normal de sobre .
(f) Definición . Si es el campo de velocidad de un fluido, apunta en la dirección en la cual el fluido semueve a través de la superficie cerca de Se define la masa de fluido que fluye a través de por unidad
de tiempo en dirección como el flujo del fluido y por el teorema , y esto es por
definición de integral de un campo escalar sobre
Nota: En los ejercicios, como
Por lo tanto, ahorraremos un paso, y una vez que conocemos la dirección de
(es decir, sepamos si es o ), pondremos en donde "(PVF)"
es el (PVF) final del segundo miembro de ( ) con su signo adecuado.En los ejercicios resueltos se verá más claro quién es el "PVF."
Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial sobre una superficie es que si
3.2 Ejercicios resueltos
Problema 1Calcular el flujo total del campo a través de la superficie cerrada con
en dirección de la
normal exterior de .
Solución
flujo total orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.
(Obsérvese que se podría usar la notación )
y este vector apunta hacia exterior
Por lo tanto,
Se obtiene entonces,
con
Por lo tanto,
41
rientación de , sea Entonces se cumple que
Obsérvese que el primer miembro es mientras que el segundo miembro es
toda vez que el segundo miembro es la integral de superficie del
campo escalar es decir de la componente normal de sobre .
(f) Definición . Si es el campo de velocidad de un fluido, apunta en la dirección en la cual el fluido semueve a través de la superficie cerca de Se define la masa de fluido que fluye a través de por unidad
de tiempo en dirección como el flujo del fluido y por el teorema , y esto es por
definición de integral de un campo escalar sobre
Nota: En los ejercicios, como
Por lo tanto, ahorraremos un paso, y una vez que conocemos la dirección de
(es decir, sepamos si es o ), pondremos en donde "(PVF)"
es el (PVF) final del segundo miembro de ( ) con su signo adecuado.En los ejercicios resueltos se verá más claro quién es el "PVF."
Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial sobre una superficie es que si
3.2 Ejercicios resueltos
Problema 1Calcular el flujo total del campo a través de la superficie cerrada con
en dirección de la
normal exterior de .
Solución
flujo total orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.
(Obsérvese que se podría usar la notación )
y este vector apunta hacia exterior
Por lo tanto,
Se obtiene entonces,
con
Por lo tanto,
41
Recordemos la notación
30
rientación de , sea Entonces se cumple que
Obsérvese que el primer miembro es mientras que el segundo miembro es
toda vez que el segundo miembro es la integral de superficie del
campo escalar es decir de la componente normal de sobre .
(f) Definición . Si es el campo de velocidad de un fluido, apunta en la dirección en la cual el fluido semueve a través de la superficie cerca de Se define la masa de fluido que fluye a través de por unidad
de tiempo en dirección como el flujo del fluido y por el teorema , y esto es por
definición de integral de un campo escalar sobre
Nota: En los ejercicios, como
Por lo tanto, ahorraremos un paso, y una vez que conocemos la dirección de
(es decir, sepamos si es o ), pondremos en donde "(PVF)"
es el (PVF) final del segundo miembro de ( ) con su signo adecuado.En los ejercicios resueltos se verá más claro quién es el "PVF."
Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial sobre una superficie es que si
3.2 Ejercicios resueltos
Problema 1Calcular el flujo total del campo a través de la superficie cerrada con
en dirección de la
normal exterior de .
Solución
flujo total orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.
(Obsérvese que se podría usar la notación )
y este vector apunta hacia exterior
Por lo tanto,
Se obtiene entonces,
con
Por lo tanto,
41
rientación de , sea Entonces se cumple que
Obsérvese que el primer miembro es mientras que el segundo miembro es
toda vez que el segundo miembro es la integral de superficie del
campo escalar es decir de la componente normal de sobre .
(f) Definición . Si es el campo de velocidad de un fluido, apunta en la dirección en la cual el fluido semueve a través de la superficie cerca de Se define la masa de fluido que fluye a través de por unidad
de tiempo en dirección como el flujo del fluido y por el teorema , y esto es por
definición de integral de un campo escalar sobre
Nota: En los ejercicios, como
Por lo tanto, ahorraremos un paso, y una vez que conocemos la dirección de
(es decir, sepamos si es o ), pondremos en donde "(PVF)"
es el (PVF) final del segundo miembro de ( ) con su signo adecuado.En los ejercicios resueltos se verá más claro quién es el "PVF."
Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial sobre una superficie es que si
3.2 Ejercicios resueltos
Problema 1Calcular el flujo total del campo a través de la superficie cerrada con
en dirección de la
normal exterior de .
Solución
flujo total orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.
(Obsérvese que se podría usar la notación )
y este vector apunta hacia exterior
Por lo tanto,
Se obtiene entonces,
con
Por lo tanto,
41
Si utilizamos una parametrización cartesiana
encontramos:
Ahora integramos:
31
rientación de , sea Entonces se cumple que
Obsérvese que el primer miembro es mientras que el segundo miembro es
toda vez que el segundo miembro es la integral de superficie del
campo escalar es decir de la componente normal de sobre .
(f) Definición . Si es el campo de velocidad de un fluido, apunta en la dirección en la cual el fluido semueve a través de la superficie cerca de Se define la masa de fluido que fluye a través de por unidad
de tiempo en dirección como el flujo del fluido y por el teorema , y esto es por
definición de integral de un campo escalar sobre
Nota: En los ejercicios, como
Por lo tanto, ahorraremos un paso, y una vez que conocemos la dirección de
(es decir, sepamos si es o ), pondremos en donde "(PVF)"
es el (PVF) final del segundo miembro de ( ) con su signo adecuado.En los ejercicios resueltos se verá más claro quién es el "PVF."
Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial sobre una superficie es que si
3.2 Ejercicios resueltos
Problema 1Calcular el flujo total del campo a través de la superficie cerrada con
en dirección de la
normal exterior de .
Solución
flujo total orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.
(Obsérvese que se podría usar la notación )
y este vector apunta hacia exterior
Por lo tanto,
Se obtiene entonces,
con
Por lo tanto,
41
rientación de , sea Entonces se cumple que
Obsérvese que el primer miembro es mientras que el segundo miembro es
toda vez que el segundo miembro es la integral de superficie del
campo escalar es decir de la componente normal de sobre .
(f) Definición . Si es el campo de velocidad de un fluido, apunta en la dirección en la cual el fluido semueve a través de la superficie cerca de Se define la masa de fluido que fluye a través de por unidad
de tiempo en dirección como el flujo del fluido y por el teorema , y esto es por
definición de integral de un campo escalar sobre
Nota: En los ejercicios, como
Por lo tanto, ahorraremos un paso, y una vez que conocemos la dirección de
(es decir, sepamos si es o ), pondremos en donde "(PVF)"
es el (PVF) final del segundo miembro de ( ) con su signo adecuado.En los ejercicios resueltos se verá más claro quién es el "PVF."
Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial sobre una superficie es que si
3.2 Ejercicios resueltos
Problema 1Calcular el flujo total del campo a través de la superficie cerrada con
en dirección de la
normal exterior de .
Solución
flujo total orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.
(Obsérvese que se podría usar la notación )
y este vector apunta hacia exterior
Por lo tanto,
Se obtiene entonces,
con
Por lo tanto,
41
Si utilizamos una parametrización cartesiana
encontramos:
rientación de , sea Entonces se cumple que
Obsérvese que el primer miembro es mientras que el segundo miembro es
toda vez que el segundo miembro es la integral de superficie del
campo escalar es decir de la componente normal de sobre .
(f) Definición . Si es el campo de velocidad de un fluido, apunta en la dirección en la cual el fluido semueve a través de la superficie cerca de Se define la masa de fluido que fluye a través de por unidad
de tiempo en dirección como el flujo del fluido y por el teorema , y esto es por
definición de integral de un campo escalar sobre
Nota: En los ejercicios, como
Por lo tanto, ahorraremos un paso, y una vez que conocemos la dirección de
(es decir, sepamos si es o ), pondremos en donde "(PVF)"
es el (PVF) final del segundo miembro de ( ) con su signo adecuado.En los ejercicios resueltos se verá más claro quién es el "PVF."
Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial sobre una superficie es que si
3.2 Ejercicios resueltos
Problema 1Calcular el flujo total del campo a través de la superficie cerrada con
en dirección de la
normal exterior de .
Solución
flujo total orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.
(Obsérvese que se podría usar la notación )
y este vector apunta hacia exterior
Por lo tanto,
Se obtiene entonces,
con
Por lo tanto,
41
rientación de , sea Entonces se cumple que
Obsérvese que el primer miembro es mientras que el segundo miembro es
toda vez que el segundo miembro es la integral de superficie del
campo escalar es decir de la componente normal de sobre .
(f) Definición . Si es el campo de velocidad de un fluido, apunta en la dirección en la cual el fluido semueve a través de la superficie cerca de Se define la masa de fluido que fluye a través de por unidad
de tiempo en dirección como el flujo del fluido y por el teorema , y esto es por
definición de integral de un campo escalar sobre
Nota: En los ejercicios, como
Por lo tanto, ahorraremos un paso, y una vez que conocemos la dirección de
(es decir, sepamos si es o ), pondremos en donde "(PVF)"
es el (PVF) final del segundo miembro de ( ) con su signo adecuado.En los ejercicios resueltos se verá más claro quién es el "PVF."
Una propiedad importante de la integral de un campo vectorial sobre una superficie es que si
3.2 Ejercicios resueltos
Problema 1Calcular el flujo total del campo a través de la superficie cerrada con
en dirección de la
normal exterior de .
Solución
flujo total orientado hacia exterior hacia exterior de . Ver fig.
(Obsérvese que se podría usar la notación )
y este vector apunta hacia exterior
Por lo tanto,
Se obtiene entonces,
con
Por lo tanto,
41
32
Continuando hacemos la siguiente integral:
Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42
Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42
entonces:
Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42
Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42
Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42
Finalmente el flujo total del campo vectorial F es:
33
Problema 7.
Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42
34
Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
a)
Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42 35
Figura 3.3:
pero para que apunte ha-
cia el exterior de se coloca Este vector es por lo que
Finalmente, el flujo total de
Obsérvese que no usamos ni , ya que en tal caso se tendría
con con la orientación adecuada; en su lugar, usamos
donde este vector entre comillas sustituye a . Un proce-
dimiento análogo se utiliza para
Problema 2
Sea la superficie dada por Si el desplazamiento de un fluido
viene dado por(a) Dibujar la superficie .
(b) Hallar una expresión para una normal unitaria a .
(c) Hallar el flujo total de a través de , conociendo que ésta, está orientada de manera que apunte en cadapunto de hacia el exterior.
Solución
(a) Para es el segmento de recta que va de aAl aumentar de valor, el segmento de recta gira alrededor del eje hasta la altura Se trata, por
lo tanto, de una rama del helicoide de la fig .
(b) pero como apunta
hacia el exterior de , puesto que es siempre (la tercera componente).
42
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
36
Problema 8.
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
z
x
y
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
37
La parametrización de la esfera del problema es:
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
Observe que no es la parametrización usual de la esfera que definimos la clase
anterior, esta es mucho mas general
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
Ahora
Oberve que la parametrización tiene una normal que apunta al interior de la esfera, asi que adoptaremos como
vector normal a:
38
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
Este vector apunta en la dirección correcta que para una
esfera es el exterior de la misma
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
Figura 3.5:
Problema 4
Sea la porción de superficie cónica interior al cilindro Sea el campo vectorial
Calcular si la tercera componente de es negativa. ¿ Cuál es el significado
físico del resultado?
Solución
Si utilizamos para la superficie cónica (ver fig. ) se obtiene
pero como se dice en el enunciado que la tercera componente de
debe ser negativa, tomamos
Por lo tanto, el flujo de viene dado por:
Ahora, de se tiene y .
Por lo tanto,
El signo (-) indica que el flujo de fluido es hacia adentro de la superficie (entra fluido).
44
n=
39
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
n
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
Figura 3.4:
(c) flujo
Obsérvese que utilizamos en lugar de , pero ya se había determinado que igual a la tercera componente
es apunta hacia el exterior.
Problema 3
Se define densidad de flujo promedio de un campo vectorial sobre una superficie a (flujo total)/ . Hallar la
densidad de flujo promedio del campo vectorial a través de toda la esfera dada
por en dirección normal exterior a la esfera, con constantes reales
Solución
Demuestre que con se obtiene
Ahora, ya sabemos que esa parametrización invierte la orientación de , por lo tanto, hemos de tomar
el cual apunta hacia el exterior de , puesto que .
En efecto, cuando por lo que la tercera componente
lo cual corresponde a los puntos del hemisferio norte de .
Para lo que implica que la tercera componente como debe
ser en el hemisferio sur de (ver fig. ).
La densidad de flujo promedio viene dada por:
Compruebe el resultado usando el hecho de que con impar.
43
40
Ejercicio 1.
Figura 3.5:
Problema 4
Sea la porción de superficie cónica interior al cilindro Sea el campo vectorial
Calcular si la tercera componente de es negativa. ¿ Cuál es el significado
físico del resultado?
Solución
Si utilizamos para la superficie cónica (ver fig. ) se obtiene
pero como se dice en el enunciado que la tercera componente de
debe ser negativa, tomamos
Por lo tanto, el flujo de viene dado por:
Ahora, de se tiene y .
Por lo tanto,
El signo (-) indica que el flujo de fluido es hacia adentro de la superficie (entra fluido).
44
Ejercicio 2.
Figura 3.6:
Problema 5
Considere una lata cilíndrica con superficie lateral dada por sin tapa y sin fondo.
(a) Parametrice con una función cuya normal apunta hacia afuera de la lata.
(b) Sea el campo de velocidades de un fluido (con medida en metros por segundo).¿ Cuántos cruzan en un segundo la superficie de la parte (a)?
Solución
(a)Si se estudian las variaciones de y según que esté en el primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante, se
concluye que apunta hacia afuera, lo cual implica que
(b) La masa del fluido viene dada por:
Problema 6
Sea consiste de las cinco caras del cubo
que no están en el plano . El vector apunta en cada cara hacia el exterior de . Calcular
Solución
(ver fig. ).
45
41
