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Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

PUENTES I

PRÁCTICA 2

CURSO 2009-2010

Alberto Ruiz-Cabello López

INDICE

1. Predimensionamiento de la sección

2. Acciones. Cálculo de esfuerzos

2.1. Esfuerzos debidos al peso propio

2.2. Esfuerzos debidos a la carga muerta

2.3. Esfuerzos debidos a la sobrecarga

3. Predimensionamiento del pretensado

4. Esfuerzos debidos al pretensado

4.1. Momento total de pretensado

4.2. Axil de pretensado

4.3. Cortante de pretensado

4.4. Momento hiperestático de pretensado

4.5. Momento isostático de pretensado

5. Comprobaciones tensionales

Anejo I. Hormigón pretensado. Resumen de cálculos (hoja de Excel)

Anejo II. Esfuerzos. Comprobación tensional en fibr as extremas (hoja de Excel)

Anejo III. Predimensionamiento de vano central y ap oyo adyacente (hoja de Excel)

Anejo IV. Ecuaciones parabólicas (hoja de Excel)

PUENTES I. Práctica 2


1. PREDIMENSIONAMIENTO DE LA SECCIÓN

Se plantea en la presente práctica el diseño de un puente de carretera de tres vanos mediante una solución tipo viga cajón, teniendo en cuenta el proceso constructivo por voladizos sucesivos.

La luz máxima del puente es � = 80 �, un valor a partir del cual resulta ventajoso considerar soluciones de canto variable. No obstante, por su mayor simplicidad de cálculo, emplearemos para esta práctica una viga de canto constante. Con igual criterio diseñaremos la sección con almas verticales en lugar de inclinadas. El canto ℎ de la viga cajón puede estimarse a partir de la luz máxima del puente, adoptando un valor en torno a �/20. La luz máxima corresponde en nuestro caso al vano central, donde � = 80 �, por tanto:

ℎ = �20 = 4.00 �

La anchura total de la losa (plataforma útil y zona de pretiles) es de 8.00 m (�). La luz de los voladizos laterales ( ) y la distancia entre las almas (��) se determinarán considerando la

siguiente relación habitual:

= 0.40�� ⟹ � = �� + 2 = 1.80�� = 8.0 ⟹ �� = 4.44 �

Adoptamos:

�� = 4.50 �

= 1.75 �

De los apuntes del Curso de Ingeniería de Puentes de Salvador Monleón se han extraído las siguientes curvas para el predimensionamiento:

��: canto de la losa superior en el eje del tablero

�∗: canto de la losa superior e inferior en su unión con las almas, y canto de los voladizos en su arranque



��: espesor del alma en función de ℎ

De donde:

�� = 0.20 �

�∗ = 0.40 �

�� = 0.25 �

Finalmente, el espesor de la losa inferior (��), relacionado fundamentalmente con la flexión

longitudinal en apoyos, se estima a partir de la siguiente expresión:

��ℎ = ��

donde � ∈ (1.0 · 10��, 1.5 · 10��); por tanto:

�� ∈ (28, 43) #�

Adoptamos �� = 30 #�. En el extremo de las alas adoptaremos el espesor de mínimo, 20 cm.

La zona de engrosamiento del tablero, definida entre los espesores �� y �∗ tendrá una longitud

de 0.25�� = 1.125 �.



Propiedades mecánicas de la sección:

$ = 5.55 ��

% = 14.51 ��

& = 1.806 �

&( = 2.194 �

* = 23.63 �

(+�,í��.,/ �0.�,1/,)

2. ACCIONES. CÁLCULO DE ESFUERZOS

Para el cálculo longitudinal de los esfuerzos sobre el puente se consideran las siguientes cargas por metro lineal:

• Peso propio: 25 23 ��⁄ · 5.55 �5 �6⁄ = 138.75 23 �6⁄

• Peso del pavimento: 2 23 ��⁄ · 7.00 �� 6⁄ = 14.00 23 �6⁄

• Peso del pretil: 5 23 �6⁄

• Sobrecarga uniforme (IAP): 4 23 ��⁄ · 8 �� 6⁄ = 32 23 �6⁄

Los esfuerzos de diseño se determinan en base a un cálculo matricial (unidimensional) del puente. Las cargas actuantes se descomponen en tres casos: esfuerzos debidos al peso propio, esfuerzos debidos a la carga muerta y envolvente de esfuerzos debidos a la sobrecarga.



1.1. Esfuerzos debidos al peso propio

1.2. Esfuerzos debidos a la carga muerta

1.3. Esfuerzos debidos a la sobrecarga

En este caso se representa la envolvente de 6 casos diferentes de sobrecarga:

1. Sobrecarga uniforme actuando únicamente en el vano 1.



4. Sobrecarga uniforme actuando simultáneamente en los vanos 1 y 2.





La envolvente de sobrecarga resulta:

1.4. Esfuerzos de diseño

Los esfuerzos de diseño en apoyo intermedio y vano central se resumen en la siguiente tabla:

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Vano intermedio. Momento flector (kN·m) 40870 7070 14220

Apoyos interiores. Momento flector (kN·m) -70170 -12130 -18100

3. PREDIMENSIONAMIENTO DEL PRETENSADO

Para el predimensionamiento del acero pretensado se han considerado cinco limitaciones tensionales sobre las fibras extremas de la sección. A saber:

Instante de tesado:

1. Fibra extrema en máxima compresión: tensión normal mayor o igual que 0.6 veces la resistencia característica a compresión del hormigón a 7 días.

2. Fibra extrema en mínima compresión o tracción nominal: tensión normal mayor que 0.

Estado de servicio:

3. Fibra extrema en mínima compresión o tracción nominal

a. Pretensado y cargas permanentes: tensión normal mayor que 0.

b. Pretensado y cargas totales: tensión normal mayor que la resistencia característica a tracción pura del hormigón (negativa).

4. Fibra extrema en máxima compresión: tensión normal menor que 0.6 veces la resistencia característica del hormigón a 28 días.

Estas cinco limitaciones se traducen numéricamente en cinco inecuaciones (véase Capítulo 31 de Proyecto y cálculo de estructuras de hormigón, de José Calavera). Dichas inecuaciones tienen como variables la fuerza de tesado inicial en el extremo (P0) y la excentricidad en la sección considerada (e0):



Geométricamente, el conjunto de pares de valores (78, �8) que satisfacen estas inecuaciones se puede representar mediante el polígono que delimitan las cinco rectas que quedan definidas por las inecuaciones convertidas en igualdades (o ecuaciones); la variable independiente es 1/78 y la dependiente e0. Se ha desarrollado una hoja de cálculo para determinar los valores característicos de dichas rectas, que luego se transponen fácilmente a un programa de representación gráfica. Al final de esta memoria se exponen los resultados obtenidos para el vano 2 y el apoyo 3.

Se ha predimensionado con unas pérdidas instantáneas del 15 % (�� = 0.85) y unas pérdidas a tiempo infinito del 25 % (�� = 0.75).

El polígono de soluciones para el caso del vano intermedio resulta:



Se han representado adicionalmente dos rectas horizontales que delimitan la máxima excentricidad por encima y por debajo del centro de gravedad (�8 = 0). El vértice derecho del polígono (no visible en la figura), que representa el valor de la mínima fuerza de pretensado que satisface las inecuaciones, excede los límites definidos por las rectas horizontales. En este caso, por tanto, la mínima fuerza de pretensado se obtiene para la máxima excentricidad negativa, a partir de la cuarta condición tensional (recta r4). Resulta:

�8 = −1.989 � 78 = 27874 23

Para el apoyo intermedio se tiene:

Siguiendo un razonamiento similar al aplicado para el vano:

�8 = 1.601 � 78 = 47423 23

Adoptamos pues un valor para la fuerza de pretensado inicial de 28705 kN (valor compatible con la excentricidad máxima en el vano). El número de cables de pretensado necesarios para las unidades propuestas en el enunciado será:

78 = (:º <� #=�6�>)0?0.70 · @ABC ⟹ 47423 = (:º <� #=�6�>) · (0.70 · 5035)

⟹ :º <� #=�6�> = 13.46 ⟹ :º <� #=�6�> = 14

Se necesitarán por tanto 9 unidades de pretensado, cuya tensión inicial (DE) y área serán:

(:º <� #=�6�>) · DE = 47423 23 ⟹ DE = FFGH 23

IJ = (:º <� #=�6�>) · 2850 ��2 = FKKKE ��2



En la presente práctica, el diseño de la armadura pretensada se limitará al predimensionamiento que acabamos de exponer. Es decir, no se van a considerar los esfuerzos hiperestáticos del pretensado ni en la validación de la propia fuerza de pretensado, ni en el resto de cálculos destinados al diseño de la losa. Así pues, damos validez a P0 = 4718 kN.

El trazado de la armadura se determina a partir de las siguientes premisas:

• Se asume un trazado a base de parábolas sucesivas tangentes.

• En anclajes el trazado pasa por el centro de gravedad de la sección.

• En apoyos y centro de vano se considera excentricidad máxima (para un valor de recubrimiento de 20 cm). En estos puntos el trazado tiene tangente horizontal.

• Las parábolas de vano y apoyos interiores serán tangentes en un punto que dista del apoyo 1,5 veces el canto de losa.

• El punto de tangencia entre la parábola de apoyo extremo y vano extremo distará 3.50 m del apoyo izquierdo y 6.60 m del apoyo derecho (valores que corresponden a las envolventes pésimas de momentos).

A continuación se representa el trazado resultante de la armadura de pretensado, incluyendo las ecuaciones de los tramos parabólicos (el origen se sitúa en la esquina inferior izquierda de la viga).

VANO 1

VANO 2



VANO 3

4. ESFUERZOS DEBIDOS AL PRETENSADO

Una vez se ha predimensionado el pretensado de la viga cajón, estamos en condiciones de determinar los esfuerzos debidos al mismo. La deformación que induce el pretensado sobre la viga habrá de ser compatible con las coacciones que se establezcan en los apoyos; al tratarse de una viga hiperestática, la obligada compatibilidad dará lugar a fuerzas de reacción en los mismos. Puesto que la interacción entre el cable de pretensado y la viga se encuentra equilibrada (o autoequilibrada), la suma de las reacciones debidas al pretensado habrá de ser nula.

El sistema de fuerzas equivalentes de pretensado se introducirá en la viga hiperestática empleando una discretización de la misma en varias rebanadas, en las cuales, individualmente, se ha de cumplir el equilibrio de las fuerzas de pretensado. En cada rebanada actúan las siguientes fuerzas:

• Fuerzas puntuales en las secciones extremas , equivalentes a la tracción del cable a la altura de cada una de las secciones. La tensión en el cable desde el extremo de tesado se reduce debido a las pérdidas instantáneas provocadas por el rozamiento entre el cable y la vaina en que se aloja, y a las pérdidas diferidas debidas a la retracción y fluencia en el hormigón y a la relajación en el acero.

Pérdidas instantáneas . Si 78 es la fuerza aplicada en el extremo de tesado, la tensión a lo largo de la longitud 0 de la viga por efecto de las pérdidas instantáneas será:

L = 78�M(NOPMQ) (1)

donde:

�: variación angular en el trazado del cable entre los puntos de aplicación de L8 y L. R: coeficiente de rozamiento en curva. 2: coeficiente de rozamiento parásito en recta.

Adoptaremos para los coeficiente los siguientes valores típicos:

R = 0.21

2R = 0.006



Pérdidas diferidas . Las pérdidas diferidas se evalúan conforme a la siguiente expresión:

∆7TU� = :V(., .8)WXA + YAZX[(., .8) + 0.80ΔWA]

1 + : $A$X

^1 + $X_A�%X

` (1 + aV(., .8)$A

donde:

_A: distancia del centro de gravedad de las armaduras activas al centro de

gravedad de la sección.

:: coeficiente de equivalencia.

V(., .8): coeficiente de fluencia para una edad de puesta en carga igual a la edad del hormigón en el momento de tesado.

ZX[(., .8): deformación de retracción que se desarrolla tras la operación de tesado.

WXA: tensión en el hormigón en la fibra correspondiente al centro de gravedad de

las armaduras activas debido a la acción del pretensado, el peso propio y la carga muerta.

ΔWA]: pérdida por relajación a longitud constante.

Ac: área de la sección de hormigón. %X: momento de inercia de la sección de hormigón.

a: coeficiente de envejecimiento; Simplificadamente, y para evaluaciones a tiempo infinito, puede adoptarse a = 0.8.

En nuestro caso, supondremos nula la relajación en el acero.

• Fuerzas distribuidas a lo largo de la rebanada : fuerza vertical, fuerza horizontal y momento (aplicadas a la altura del CG de cada sección), que representan la interacción entre la viga y el cable a lo largo de la rebanada. Supondremos simplificadamente un reparto uniforme de tales fuerzas en la longitud de la rebanada; en base a esta simplificación, cuanto menor sea la longitud de la rebanada, tanto mejor será la aproximación.

En la figura 1 se representan las fuerzas de pretensado en una rebanada genérica; las fuerzas puntuales en las secciones extremas están aplicadas a la altura del tendón. En la figura 2 se representa el sistemas de fuerzas equivalentes aplicadas en el centro de gravedad de cada sección, de tal manera que aparecen sendos momentos d� y d�.



Fig. 1. Sistema de fuerzas equivalentes de pretensado en la rebanada

Fig. 2. Sistema de fuerzas equivalentes de pretensado en la rebanada aplicadas en el CG

Las fuerzas puntuales son conocidas, ya que dependen de la tensión aplicada en el extremo de tesado, 78 (que es una dato), de la geometría del cable (conocida) y de las pérdidas por rozamiento, que, conforme a la expresión (1), dependen a su vez de la geometría del cable y de los parámetros R y 2 (también conocidos). Los valores de m, h y q se determinarán planteando las ecuaciones de equilibrio de la rebanada.

Equilibrio de fuerzas horizontales:

ℎ · ∆0 + 3� + 3� = 0 ⟹ ℎ = − 3� + 3�∆0



Equilibrio de fuerzas verticales:

e · ∆0 + f� + f� = 0 ⟹ e = − f� + f�∆0

Equilibrio de momentos (sentido positivo antihorario):

� · ∆0 − f� · ∆0 − e · ∆02 ∆0 + d� + d� = 0 ⟹ � = f� + e · ∆0

2 − d� + d�∆0

En la determinación de las reacciones que generan en los apoyos las fuerzas de pretensado emplearemos un programa de cálculo matricial (en concreto, el STR). Los esfuerzos que se obtienen en el cálculo representan el conjunto de los esfuerzos debidos al pretensado (suma de isostáticos e hiperestáticos).

Las fuerzas equivalentes de pretensado se han determinado previamente con el apoyo de una hoja de cálculo, al igual que los coeficientes que definen cada una de las parábolas, todas ellas con origen en el extremo inferior izquierdo de la viga (al final del ejercicio se anexan los extractos de las hojas). Dicha hoja define íntegramente el archivo de entrada de datos del programa de cálculo matricial, para lo cual se ha empleado código de programación auxiliar (Visual Basic). Es posible definir un número arbitrario de rebanadas en cada vano de la viga. En particular, la viga se ha discretizado en 202 rebanadas.

En los anejos de cálculo se incluyen tablas que contienen los valores de pérdidas diferidas, pérdidas instantáneas y fuerzas equivalentes del pretensado. A continuación se representan, sucesivamente, los esfuerzos totales debidos al pretensado (flector, axil, cortante), los esfuerzos isostáticos (flector) y hiperestáticos:



4.1. MOMENTO TOTAL DE PRETENSADO



4.2. AXIL DE PRETENSADO

4.3. CORTANTE DE PRETENSADO



4.4. MOMENTO HIPERESTÁTICO DE PRETENSADO

4.5. MOMENTO ISOSTÁTICO DE PRETENSADO



Las reacciones en apoyos debidas al hiperestatismo son las siguientes:

g� = −480.3 23

g� = 595.4 23

g� = 215.2 23

g� = −330.4 23

Se verifica que la suma de todas ellas es nula:

−480.3 + 595.4 + 215.2 − 330.4 ≈ 0.00 23

5. COMPROBACIONES TENSIONALES

Finalmente se procede a la comprobación de las tensiones en las fibras extremas de la sección, incluyendo las debidas a la ley de momentos hiperestáticos. Para ello se han considerado dos combinaciones de servicio:

• Suma de momentos debidos al peso propio, a la carga muerta, al pretensado en su totalidad y a la envolvente positiva de las sobrecargas.

• Suma de momentos debidos al peso propio, a la carga muerta, al pretensado en su totalidad y a la envolvente negativa de las sobrecargas.

Se incluye un anejo con los valores de las tensiones extremas en el entorno de ambos apoyos (5 metros a cada lado) y en el vano central (los 10 metros centrales). A continuación se representa la evolución de las tensiones en las fibras extremas de la viga para ambas combinaciones (el color rojo corresponde a la envolvente negativa; el azul, a la positiva):

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