Universidad Nacional de San Juan - Facultad de Ingeniería DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA Y AUTOMATICA

Carrera: Ingeniería Electrónica Área CONTROL

Asignatura: CONTROL I GGUUIIAA DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE YY AAUUTTOOEEVVAALLUUAACCIIOONN UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 4

“ANALISIS DE RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS LINEALES Y AUTONOMOS”

PRÁCTICO Nº 6 y PRÁCTICO Nº7

Unidad 4 Práctico 6 y 7 1

1. Objetivos generales: Al finalizar la unidad el alumno deberá: 1. Conocer el concepto de respuesta en frecuencia de sistemas lineales autónomos. 2. Comprender la relación entre las especificaciones del dominio

frecuencial y los del dominio temporal y su importancia en el diseño de sistemas de

control. 3. Conocer las gráficas polares de respuesta en frecuencia. 4. Conocer las gráficas rectangulares de respuesta en frecuencia. 5. Comprender cómo a partir de la determinación experimental de la respuesta en frecuencia de un sistema se puede, usando gráficas

rectangulares, determinar el modelo matemático del mismo. 6. Conocer la utilidad de las gráficas frecuenciales para establecer las

características de un sistema realimentado negativamente, a través de la representación frecuencial de lazo abierto.

2. Objetivos específicos: Al finalizar la unidad el alumno podrá: 1.1. Explicar cuál es el procedimiento para obtener la respuesta en frecuencia

de un sistema, en forma experimental y en forma analítica, definiendo el estado en que se debe encontrar el sistema.

1.2. Describir las cantidades que interesa medir en el análisis de respuesta en frecuencia. 2.1. Definir las principales especificaciones en el dominio frecuencial. 2.2. Relacionar para sistemas de segundo orden las especificaciones de respuesta en frecuencia con las especificaciones del domino temporal. 3.1. Graficar en coordenadas polares la respuesta en frecuencia de un

2

sistema lineal a partir del conocimiento de la función de transferencia del mismo. 3.2. Explicar cuál es el efecto del agregado de polos finitos a una función de transferencia sin dinámica de numerador, usando diagramas polares. 3.3. Explicar cuál es el efecto del agregado de polos en el origen a una

función de transferencia sin dinámica de numerador, usando diagramas polares. 3.4. Explicar cuál es el efecto del agregado de ceros finitos a una función de transferencia usando diagramas polares. 4.1. Explicar cómo se obtienen gráficas rectangulares de respuesta en

frecuencia. 4.2 Realizar la gráfica de magnitud en decibeles contra logaritmo decimal de

la frecuencia y fase en grados contra logaritmo decimal de la frecuencia o diagrama exacto de Bode, usando métodos analíticos y computacionales.

Realizar la gráfica aproximada por asíntotas de Bode, para un sistema lineal, a partir del conocimiento de la función de transferencia.

4.3. Justificar la representación por asíntotas en el diagrama de Bode para

una constante, polos y ceros en el origen, polos y ceros simples y factores cuadráticos.

4.4. Realizar el diagrama asintótico de Bode para un sistema a partir del

conocimiento de su función de transferencia. 5.1. Explicar el procedimiento para obtener la respuesta en frecuencia de un

sistema lineal en forma experimental. 5.2. Explicar el procedimiento para obtener la función de transferencia de un

sistema lineal en forma experimental a partir de la graficación de Bode.

3

3. Contenidos: 4.1 Respuesta en frecuencia de sistemas lineales autónomos. 4.1.1. Descripción de la determinación experimental y analítica de la respuesta

en frecuencia. 4.1.2. Justificación de la sustitución de s por jw. 4.1.3. Obtención de la respuesta en frecuencia a partir de los diagramas de

polos y ceros. 4.1.4. Definición de especificaciones en el dominio frecuencial. 4.1.5. Especificaciones frecuenciales de un sistema de segundo orden y su

relación con el dominio temporal. 4.2. Gráficas polares de respuesta de frecuencia. 4.2.1. Gráficas polares de factores integral y derivativo. 4.2.2. Gráficas polares de factores de primer orden. 4.2.3. Gráficas polares de factores cuadráticos. 4.2.4. Gráfica polar de un retardo puro. 4.2.5. Formas generales de los diagramas polares. 4.2.6. El efecto del agregado de polos finitos a una función de transferencia. 4.2.7. El efecto del agregado de polos en el origen a una función de

transferencia. 4.2.8. El efecto del agregado de ceros a una función de transferencia. 4.2.9. Diagramas polares inversos y su utilización. 4.3. Gráficas rectangulares de respuesta de frecuencia. 4.3.1. Conceptos básicos sobre gráficas rectangulares. 4.3.2. Diagramas de Bode. 4.3.3. Diagramas asintóticos de Bode. Aproximación por asíntotas de

constantes, polos y ceros en el origen, factores de primer orden, factores cuadráticos. Aproximación de la curva real a las asíntotas.

4.3.4. Sistemas de fase mínima y sistemas de fase no mínima. 4.3.5. Comportamiento de los sistemas de fase no mínima. 4.3.6. Representación frecuencial de un retardo puro. 4.3.7. Relación entre el tipo de sistema y la curva de logaritmo de la amplitud. 4.3.8. Determinación de los coeficientes de error de posición Kp. 4.3.9. Determinación de los coeficientes de error de velocidad Kv. 4.3.10. Determinación de los coeficientes de error de aceleración Ka. 4.4. Análisis experimental de la respuesta frecuencial. 4.4.1. Obtención de la respuesta en frecuencia experimental de un sistema.

4

4.4.2. Determinación experimental de funciones de transferencia. 4.4.3. Procedimiento para obtener la función de transferencia de un sistema

lineal en forma experimental. 4.4.4. Determinación de funciones de transferencia de fase mínima a partir de

los diagramas de Bode. 4.4.5 .Determinación de funciones de transferencia de fase no mínima a partir

de los diagramas de Bode. 4.4.6 .Apreciaciones útiles sobre la determinación experimental de la función

de transferencia.

5

4. Diagrama conceptual:

6

7. Material bibliográfico a utilizar: a) Libros de texto: * "Ingeniería de Control Moderna". Autor: K. OGATA. Editorial Prentice Hall (Segunda Edición). 1993. * "Sistemas Automáticos de Control". Autor: B. KUO. Editorial Continental -México (Sexta Edición). 1991. b) Libros de consulta: * "Automatic Control Systems". Autor: B. KUO. Editorial Prentice Hall (Sexta Edición). 1991. * "System Control and Modelling". Autor: J. SCHWARZENBACH and K. F.

GILL. Editorial SIEMENS. 1984. c) Apuntes de Cátedra: * "Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales". Autor: Ing. Mario A. Pérez

López. 1981. d) Revistas: * "Control Systems Magazine". Publicación periódica de IEEE. Sociedad de

Control Automático. USA. * "Telegráfica Electrónica". Publicación mensual de la Editorial Arbó. Bs. As.

ARGENTINA. * "Instrumentación, Medición & Control - Automatización". Publicación periódica

de la Editorial Control S.R.L. - Bs. As. ARGENTINA. * "Control Engineering". Publicación mensual de la Editorial Cahners

Publishing. The Netherlands (Holanda).

7

PRÁCTICO Nº 6 8- Actividad a desarrollar por el alumno: 1. Leer y comprender el libro de texto de la cátedra. 2. Realizar la actividad de autoevaluación y los ejercicios de los Prácticos,

que se proponen a continuación: 8.1- El alumno deberá responder "si" o "no" a las aseveraciones que a continuación se enuncian, luego de leerlas atentamente. a.- La determinación de respuesta en frecuencia sólo es posible realizarla

cuando el sistema es estable. b.- Dado un sistema de control automático de lazo cerrado lineal, sólo es

posible realizar el análisis de respuesta en frecuencia del mismo cuando todos los componentes que lo constituyen son estables.

c.- Para realizar el análisis de frecuencia de sistemas lineales se realiza la

sustitución de s por jw en la función de transferencia porque ello es equivalente a introducir en la entrada del sistema una senoide de amplitud constante.

d.- Realizar el análisis de respuesta en frecuencia para un sistema lineal es

equivalente a dar valores a la variable s en el plano complejo desde el origen hasta w → ∞ sobre el eje imaginario, cuando se conoce la función de transferencia.

e.- En el análisis de respuesta en frecuencia interesa el estudio de la

relación entre las amplitudes de entrada y salida en función de la frecuencia; y de la fase de la salida respecto a la entrada en función de la frecuencia.

f.- Para sistemas físicos el desfasaje entre la salida y la entrada es en

adelanto cuando la frecuencia tiende al infinito. g.- Las especificaciones de respuesta en frecuencia se pueden relacionar

siempre con el dominio temporal mediante expresiones matemáticas de fácil obtención.

h.- Si un sistema tiene un ancho de banda grande tendrá una respuesta en

el dominio temporal rápida.

8

i.- Si el máximo de resonancia de un sistema es grande, la respuesta

temporal tendrá un máximo sobreimpulso también grande. j.- Si la función de transferencia de un sistema no tiene dinámica de

numerador, el gráfico polar de respuesta en frecuencia, cuando ésta varía de cero a infinito, pasa por un número de cuadrantes igual al número de constantes de tiempo.

k.- Agregar m polos a la función de transferencia de un sistema es hacer

rotar el diagrama polar en las altas frecuencias m x 90° en sentido horario.

l.- El diagrama polar inverso es utilizado en el diseño de sistemas de control

de lazo de realimentación unitario. 8.2- EJERCICIOS: Ejercicio Nº 1: Graficar la respuesta frecuencial de un sistema en coordenadas polares, siendo la función de transferencia del mismo:

Ejercicio Nº 2: Graficar la respuesta frecuencial en coordenadas polares para un sistema cuya función de transferencia es:

)100(*)5(*)10(5000

)()()(

SSSSRSCSM

+++==

Ejercicio Nº 3: Graficar la respuesta frecuencial en coordenadas polares para un sistema cuya función de transferencia de lazo abierto es:

1+s0,+s1=

R(s)C(s)

502

5022

0,5s)+5s)(1+s(15=sHsG )(*)(

9

Ejercicio Nº 4: Graficar la respuesta frecuencial en coordenadas polares para un sistema cuya función de transferencia de lazo abierto es:

)25(*)10(*100

)()()(*)( 2 SSSSE

SBSHSG++

==

Ejercicio Nº 5: Graficar la respuesta frecuencial en coordenadas polares para un sistema cuya función de transferencia de lazo abierto es:

)25(*)10(*250

)()()(*)( 2 SSSSE

SBSHSG++

==

Ejercicio Nº 6: Determinar cuál es la función de transferencia de lazo abierto de un sistema de fase mínima, sin dinámica en el numerador, cuya respuesta frecuencial es:

Ejercicio Nº 7: Determinar cuál es la función de transferencia de lazo abierto de un sistema de fase mínima, sin dinámica en el numerador, cuya respuesta frecuencial es:

10

Ejercicio Nº 8: Determinar cuál es la función de transferencia de lazo abierto de un sistema de fase mínima, sin dinámica en el numerador, cuya respuesta frecuencial es:

Ejercicio Nº 9: La siguiente gráfica muestra la respuesta en frecuencia de un sistema de típico de segundo orden para distintos valores de δ. Indicar cuál respuesta corresponde al menor vector de δ.

11

Ejercicio Nº 10: Determinar cuál es la función de transferencia de lazo abierto de un sistema de fase mínima, sin dinámica en el numerador, cuya respuesta frecuencial es:

Ejercicio Nº 11: Determinar cuál es la función de transferencia de lazo abierto de un sistema de fase mínima, sin dinámica en el numerador, cuya respuesta frecuencial es:

12

-3 -2 -1 0 1 2 3-6

-5

-4

-3

-2

-1

0Ejercicio 1

wn=50 rad/seg

Autocorrección del Práctico Nº 6 a - si d - si g - no j - si b - no e - si h - si k - si c - si f - no i - si l - no Resultados de los ejercicios propuestos: Ejercicio Nº 1:

13

-25 -20 -15 -10 -5 0

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Clo

sed-

Loop

(T) I

mag

inar

y

Real

Ejercicio 3

para wn --> inffase --> -270º

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0C

lose

d-Lo

op (T

) Im

agin

ary

Real

Ejercicio 2

para w --> inffase --> -270º

Ejercicio Nº 2: Ejercicio Nº 3:

14

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

x 10-3

-15

-10

-5

0

5

x 10-4C

lose

d-Lo

op (T

) Im

agin

ary

Real

Ejercicio 4

para wn --> inffase --> -360º

para wn --> 0fase --> -90º

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03Ejercicio 5

para wn --> inffase --> -360º

para wn --> 0fase --> -180º

Ejercicio Nº 4: Ejercicio Nº 5:

15

Ejercicio Nº 6:

Ejercicio Nº 7:

s)T+s)(1T+s)(1T+(1sK=G(s)

3213

Ejercicio Nº 8:

Ejercicio Nº 9: δ3 < δ2 < δ1 Ejercicio Nº 10:

( )( )( )( )STSTSTSTSKsG

4321 1111)(

++++=

Ejercicio Nº 11:

( )( )( )STSTSTSKSG

3212 111

)(+++

=

s)T+s)(1T+s)(1T+s(1K=G(s)

321

s)T+s)(1T+(1sK=G(s)

212

16

PRÁCTICO Nº 7 8- Actividad a desarrollar por el alumno: 1. Leer y comprender el libro de texto de la cátedra. 2. Realizar la actividad de autoevaluación y los ejercicios de los Prácticos,

que se proponen a continuación: 8.1- El alumno deberá responder "si" o "no" a las aseveraciones que a continuación se enuncian, luego de leerlas atentamente. a.- El caso más común de gráfica rectangular es la que emplea M(w) en

decibeles contra log10 w y ángulo de fase M(10) en grados en contra de log10 w, conocida con el nombre de diagrama de Bode.

b.- La ventaja de los diagramas de Bode frente a las gráficas polares usadas

para el análisis de respuesta en frecuencia radica en la facilidad de construcción de los primeros.

c.- Los diagramas de Bode aventajan también a los diagramas polares, en

que debido al uso de una escala logarítmica para las frecuencias, se puede obtener en un sólo diagrama tanto para la magnitud como para la fase las características de alta y baja frecuencia.

d.- Debido al uso de escala logarítmica para las frecuencias se logra una

expansión del rango de bajas frecuencias, lo que es útil en el análisis frecuencial de sistemas de control.

e.- Dado que las funciones de transferencia de sistemas de control están

formadas por factores que son constantes K, integraciones o derivaciones (s)±n, constantes de tiempo (1 + sT)±n y factores cuadráticos (s2 + 2δwns + wn

2)±n, el diagrama de Bode se puede construir superponiendo el efecto de cada uno de ellos.

f.- Conocido el diagrama de Bode de un sistema no se puede determinar a

partir del mismo la función de transferencia. g.- La representación asintótica de Bode es una representación que permite

dibujar un diagrama de Bode aproximado al real. h.- Cuando se proyectan sistemas de control siempre se usa la

17

representación exacta de Bode y no la aproximada, para evitar grandes errores en las mediciones.

i.- Dibujado un diagrama de Bode asintótico, la curva real sólo se puede

obtener a partir de las gráficas de error cuando todas las frecuencias esquinas están separadas por lo menos por una década.

j.- Cuando se aproxima por asíntotas el diagrama de Bode de un factor

cuadrático, el mayor error se comete en la frecuencia esquina W igual a la frecuencia natural de oscilación sin amortiguamiento Wn del factor cuadrático; además el error es dependiente del amortiguamiento δ.

k.- Un sistema de fase mínima tiene una representación frecuencial de Bode

en donde existe una relación biunívoca entre los diagramas de magnitud y fase.

l.- Los sistemas de fase no mínima tienen una respuesta temporal que se

caracteriza por un arranque vicioso. m.- Es imposible encontrar en un sistema de control un elemento de fase no

mínima. n.- El lugar de Black es un diagrama de respuesta frecuencial en donde se

representa el modelo de la función de transferencia en decibeles en contra de la fase en grados usando la frecuencia como parámetro.

ñ.- Normalmente se usa el diagrama de Black para obtener a partir de él el

diagrama de Bode del sistema. o.- Los diagramas de Black y de Bode proporcionan la misma información

respecto a un sistema, pero el diagrama de Bode es más útil porque en él se pueden observar las contribuciones de cada uno de los componentes del sistema en forma individual, mientras que en el de Black no.

p.- La respuesta en frecuencia de un sistema se la puede obtener en forma

experimental para compararla con la respuesta obtenida desde la función de transferencia del mismo sistema, pudiendo de este modo confirmar si el modelo matemático usado es válido.

q.- Cuando se desea obtener experimentalmente la respuesta en frecuencia

de un sistema, la respuesta en frecuencia del equipo de medición utilizado para la determinación de la salida del sistema debe tener curvas

18

de amplitud en función de la frecuencia prácticamente planas; además el ángulo de fase debe ser casi proporcional a la frecuencia.

r.- Para obtener la respuesta en frecuencia en forma experimental de un

sistema es necesario detener su funcionamiento normal, para poder introducir la senoide en la entrada y efectuar las mediciones de magnitud y fase en la salida.

s.- Obtenida la respuesta frecuencial experimental de un sistema, se

pueden trazar asíntotas a las curvas de modo de obtener un gráfico de Bode asintótico y de allí deducir un modelo matemático del sistema.

t.- La determinación de la función de transferencia de un sistema a partir de

la obtención de la respuesta frecuencial experimental del mismo cuando es posible, es un método de identificación determinística del sistema.

19

8.2.- EJERCICIOS: Ejercicio Nº 1: Trazar el diagrama asintótico de Bode de Módulo y Fase para el sistema cuya función de transferencia de lazo cerrado es:

0,5s)+0,2s)(1+(12s)+20(1

sRsC=FTLC(s) =)()(

Ejercicio Nº 2: Trazar el diagrama asintótico de Bode de Módulo y Fase para el sistema cuya

función de transferencia de lazo cerrado es:

Ejercicio Nº 3: Trazar los diagramas asintóticos de Bode de Módulo y Fase para las siguientes Funciones de Transferencias. Para los puntos en los cuales la F.T. sea la de Lazo Cerrado, realizar los siguientes apartados: • Indicar en el caso de factores cuadráticos si el Diagrama de Módulo de los factores aislados presentaría o no Máximo o Atenuación de Resonancia de acuerdo al valor de δ de los mismos. • Trazar aproximadamente la curva real de Módulo en según el aporte en pendiente determinado por la configuración de polos y ceros del sistema y el valor del δ de cada factor cuadrático. • Marcar sobre la curva real de módulo BW, Mr y Wr

)*01.01(*)50(*)*1.01()20(*200

)()()()

SSSS

SRSCSMa

++++

==−

)*01.01(*)50*5.3*05.0()5(*800

)()()() 2 SSS

SSRSCSMb

++++

==−

Nota: Observar que la respuesta frecuencial de amplitud, presenta un máximo de resonancia aún para un δ>0.7007, por la configuración de polos y ceros, debida a la presencia de un cero ubicado en S= -5, antes que los polos.

)5+4)(s+(s

2)+5(s=FTLC(s) 2

20

c)- )1

2003.0*2

2001(*)

1011(

)8011(*100

)()()(

22 +++

+==

SSS

S

SRSCSM

Nota: Advertir que a pesar que el factor cuadrático tiene un δ < 0.707, la respuesta frecuencial no presenta un máximo de resonancia para wn = 200, es decir que no existe ningún valor de amplitud que supere el valor de amplitud a baja frecuencia para wn, debido a la configuración de polos y ceros del sistema, aunque gráficamente se observa una apreciable desviación en wn = 200 debida al valor del delta, pero por la ubicación del factor cuadrático, no llega a convertirse en un máximo de amplitud.

)100(*)*5011(*

)10(*500)().(..)SSS

SSHSGALFTd++

+==−

)1(*))1(*10)().(...)

+−−

==−SSSSHSGALTFe SISTEMA DE FASE NO MÍNIMA

f)- ).

85011(*)100.60(

)2500.10(*100)()()(.

22

2

SSS

SSSRSCSTF

+++

+−== SISTEMA DE FASE NO MÍNIMA

g)- ).

85011(*)100.180(

)2500.10(*100)()()(.

22

2

SSS

SSSRSCSTF

+++

+−== SISTEMA DE FASE NO MÍNIMA

)1(*)100(*)*5011(*

)1(*)10(*500)()()(...)SSSS

SSSHSGSALTFh+++

−+−==− S. DE FASE NO MINIMA

2)50(*)10(*)*20011(*

)500(*)10(*100)(.)(...)+++

+−==−

SSSS

SSSHSGALTFi SISTEMA DE FASE NO

MÍNIMA Y GANANCIA NEGATIVA

21

)500(*)10(*)1*2001(*

)80(*)1(*1000)(.)()(...)2 ++−

++−==−

SSSS

SSSHSGSALTFj SISTEMA DE FASE

NO MÍNIMA Ejercicio Nº 4: La siguiente gráfica es un diagrama de atenuación de Bode de un sistema de fase mínima, obtener la función de transferencia del mismo.

Ejercicio Nº 5: Obtener a partir de los siguientes diagramas asintóticos de atenuación de Bode y de Fase, logrados a partir de curvas reales conseguidas de un ensayo experimental en el dominio de la frecuencia, la Función de Transferencia correspondiente a los mismos.

22

a)-

b)-

23

c)-

Autocorrección del Práctico Nº 7 a - si f - no k - si o - si b - si g - si l - si p - si c - no h - no m - no q - si d - si i - no n - si r - no e - si j - si ñ - no s - si Respuesta de los problemas propuestos: Ejercicio Nº 1:

24

10

15

20

25

30

35

40M

agni

tude

(dB)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

45

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Ejercicio Nº 2:

-100

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

45

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

25

100

101

102

103

-20

-10

0

10

20

30

40M

agni

tude

, dB

Closed-Loop (T) System

100 101 102 103-200

-150

-100

-50

0

Deg

rees

Frequency in Rad/s

100

101

102

103

-10

0

10

20

30

40

Mag

nitu

de, d

B

Closed-Loop (T) System

100

101

102

103

-200

-150

-100

-50

0

Deg

rees

Frequency in Rad/s

Ejercicio Nº 3: a)- b)-

26

c)-

100

101

102

103

104

-20

0

20

40

60

Mag

nitu

de,

dB

Closed-Loop (T) System

100

101

102

103

104

-200

-150

-100

-50

0

50

Deg

rees

Frequency in Rad/s

d)-

10-1

100

101

102

103

-40

-20

0

20

40

60

Mag

nitu

de,

dB

Open-Loop (G) System

10-1

100

101

102

103

-200

-150

-100

-50

0

Deg

rees

Frequency in Rad/s

27

e)-

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-20

0

20

40

60

80

Mag

nitu

de,

dB

Open-Loop (G) System

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Deg

rees

Frequency in Rad/s

f)-

100

101

102

103

104

0

10

20

30

40

50

Mag

nitu

de,

dB

Closed-Loop (T) System

100

101

102

103

104

-500

-400

-300

-200

-100

0

Deg

rees

Frequency in Rad/s

Maxim o de Resonanciade lta < 0.707

Atenuación de Resonancia por ser de lta < 0.707

28

g)-

100

101

102

103

104

0

10

20

30

40

Mag

nitu

de,

dB

Closed-Loop (T) System

100

101

102

103

104

-500

-400

-300

-200

-100

0

Deg

rees

Frequency in Rad/s

Ex iste Max im o de Resonanciaaún con de lta > 0.707 por no ser un sistem a típico de 2º orden

Atenuación de Resonancia con de lta < 0.707

h)-

29

i)-

10-1

100

101

102

103

-40

-20

0

20

40

60

Magnitude,dB

Open-Loop (G) System

10-1

100

101

102

103

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Degrees

Frequency in Rad/s

10-1 100 101 102 103 104-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de, d

B

Open-Loop (G) System

10-1 100 101 102 103 104-400

-300

-200

-100

0

100

Deg

rees

Frequency in Rad/s

30

j)-

Ejercicio Nº 4:

1)+s+s1)(0,25+s(s1]+10[(1/4)s=G(s)

2

0,05=T ; 0,3=T ; 2=T ; 100=K 321

Ejercicio Nº 5: a) b)

+

++

−

=

SSS

SSFT

10011104.0

25

201120

)(2

+

+

+−

=SSS

SS

SFT

4011

1011

11.025

100)(

2

c) ( )

( )SSSSSSSFT

+

+

++

−=

1511105.0

100

12)(2

10-1 100 101 102 103 104-150

-100

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Mag

nitu

de, d

B

Open-Loop (G) System

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Frequency in Rad/s