PRACTICAS DE F ISICA - ugr.esazurita/docencia/material_docente/laboratorio/... · ... Momentos de...

PRACTICAS

DE

FISICA(Licenciado en Geologıa)

Octubre 2008

Laboratorio 3Departamento de Fısica Teorica y del Cosmos

Facultad de CienciasUniversidad de Granada

Alumno/a: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indice

Informacion general y normas

I.1 Informacion y normas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Normas especıficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Teorıa de errores

T.3 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

T.4 Clasificacion de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

T.5 Conceptos de exactitud, precision y sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

T.6 Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

T.7 Determinacion de una magnitud y de su error por medida directa . . . . . . . . 6

T.8 Determinacion de una magnitud y de su error por medida indirecta . . . . . . . 8

T.8.1 Ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

T.9 Expresion del valor de una magnitud y de su error . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

T.9.1 Ejemplos de calculo de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

T.10 Construccion de tablas y graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

T.10.1 Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

T.10.2 Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

T.11 Ajuste de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

T.12 Interpolacion en tablas de simple entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1 Medidas de precision 19

1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.1 Nonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2 Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.3 Micrometro o palmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Realizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 Determinacion del cero de calibre y micrometro . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2 Calculo de volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Rotacion: Momentos de Inercia y Teorema de Steiner 23

2.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Parte experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

i

ii Practicas de Fısica para Geologos

3 Pendulo simple y medida de la aceleracion de la gravedad 273.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Fundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Realizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.1 Dependencia del periodo con la amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.2 Determinacion del valor de g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 El principio de Arquımedes 314.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Fundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Realizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Dilatacion termica 335.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4 Parte experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Ley de Ohm 366.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 Fundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.4 Realizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Fenomenos transitorios: carga y descarga de un condensador 397.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.3 Fundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.4 Realizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8 Medida del campo magnetico terrestre 448.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.3 Fundamento e introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.3.1 Bobinas de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.3.2 Campo magnetico terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.4 Realizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A Codigo de colores de una resistencia 51

B El polımetro 53B.1 Medidas de tension: polımetro como voltımetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54B.2 Medidas de intensidad: polımetro como amperımetro . . . . . . . . . . . . . . . 54B.3 Medidas de resistencias: polımetro como ohmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Informacion general

Fısica para Geologos, Grupo B, Curso 2008-2009

I.1 Informacion y normas generales

Las practicas de Fısica consisten en la preparacion (previa a la visita al laboratorio), ejecucion yredaccion de informes de una seleccion de experimentos de Fısica relacionados con los contenidosteoricos de la asignatura de Fısica para Geologos.

Los experimentos se realizaran en el laboratorio de Fısica General 3, durante diez sesiones de2 horas. En ellas se realizaran ocho practicas (siete experimentos y una exposicion oral sobreuna de las practicas realizadas). La primera sesion se dedicara a una clase de teorıa de erroresy la utima se utilizara para recuperar practicas (maximo una por alumno).

Todos los alumnos deben tener un cuadernillo de practicas, el cual contiene notas sobre elcalculo de errores o incertidumbres, sobre representaciones graficas, ası como los guiones de laspracticas que se realizaran en el laboratorio. Los guiones estan disponibles en la fotocopiadorade la Facultad de Ciencias o en la siguiente pagina web:http://cafpe3.ugr.es/teaching/labo fisica general/Laboratorio.htm.

Las practicas se realizaran por parejas, pero cada alumno debe entregar sus propios informes.

Las faltas deberan ser justificadas y no se podran hacer cambios de grupo sin previo acuerdocon los profesores correspondientes.

• Responsabilidades del alumno:

– Leer en detalle el guion de cada practica antes de su realizacion en el laboratorio.

– Realizar las siete practicas asignadas.

– Entregar informes de las siete practicas realizadas (ver nota sobre informes abajo)en el plazo indicado por el profesor.

– Cuidar el material de laboratorio y dejar este en orden.

• Evaluacion:

– Es imprescindible aprobar las practicas para aprobar la asignatura de Fısica.

1

2 Practicas de Fısica para Geologos

– La nota final del laboratorio se obtendra del trabajo en el laboratorio, de la correccionde los informes de las practicas, de la exposicion oral de la realizacion y resultados deuna de las practicas, y de un examen de practicas que se hara tras haber finalizadotodas las sesiones.

– La calificacion obtenida en las practicas (laboratorio + informes + exposicion oral+ examen) supondra un maximo de 2 puntos sobre la nota final de la asignatura.

– Para aprobar las practicas es necesario:

∗ realizar las siete practicas

∗ entregar los informes de todas las practicas

∗ realizar una exposicion oral sobre una de las practicas

∗ aprobar el examen de practicas

∗ realizar los informes correctamente. Los informes no son correctos:

· si faltan resultados o graficas, o si estas no se realizan correctamente

· si los resultados se presentan sin unidades o con unidades incorrectas

· si las magnitudes no son correctamente redondeadas o si se muestran sin suscorrespondientes errores

· si no se interpretan y comentan los resultados obtenidos o si no se respondenlas cuestiones del guion de cada practica

• Material de laboratorio: Cada alumno debera llevar al laboratorio el siguiente material:

– calculadora

– bolıgrafo o lapiz

– hojas donde se apuntaran las medidas realizadas, sus errores y toda aquella infor-macion relevante para la realizacion posterior del informe de la practica

Los alumnos necesitaran tambien papel milimetrado y regla graduada para realizar lasrepresentaciones graficas de los informes.

I.2 Normas especıficas

• INFORMES DE PRACTICAS

Cada alumno debera entregar un informe de cada practica realizada en el laboratorio.En este deben quedar claros los objetivos del experimento y deben mostrarse las medidasrealizadas y sus errores con las unidades correspondientes. Tambien deben presen-tarse, interpretar y discutir los resultados obtenidos. Un informe tıpico, podrıa constarde los siguientes apartados:

Informacion general 3

– Objetivos, dos o tres frases donde se resuman los objetivos de la practica. No setrata de copiar el guion de practicas.

– Descripcion, una descripcion breve (uno o dos parrafos) del dispositivo experimen-tal, del material que se utiliza, de las magnitudes que se mediran en la practica y delos instrumentos de medida que se usaran en cada caso.

– Realizacion, presentacion de las medidas realizadas, siguiendo las indicaciones delguion de practicas. Las medidas se presentaran con claridad, en forma de tabla,siempre acompanadas de sus unidades y errores.

– Analisis y resultados, debe contener todos los resultados de los calculos. Estosse presentaran en forma de tablas y/o graficas siempre que el guion lo pida, y sinolvidar las instrucciones de las secciones T.8.1 y T.8.2 del cuadernillo de practicas.Los resultados obtenidos y graficas deben comentarse.

– Conclusiones, comentar los resultados obtenidos. Se deben tratar de contestar alas siguientes preguntas: ¿Que relaciones o tendencias entre magnitudes has encon-trado?; ¿has obtenido los resultados esperados?; ¿estan de acuerdo con la teorıa?; sino, ¿a que pueden deberse las diferencias?; ¿como mejorarıas el metodo experimen-tal?

• TABLAS y GRAFICAS

Las tablas y las graficas son fundamentales en la presentacion de resultados. Esmuy importante (imprescindible!) que los informes contengan todas las tablas y graficasque requiere cada practica, y que estas se realicen siguiendo las normas descritas en losapartados T.8.1 y T.8.2 del cuadernillo de practicas.

Teorıa de errores

T.3 Introduccion

Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecision debida a lasimperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos, quedeben registrar la informacion. El principal objetivo de la teorıa de errores consiste en acotarel valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales.

La medidas experimentales de las magnitudes fısicas pueden ser directas o indirectas.Estas ultimas se obtienen a partir de los valores medidos de otras magnitudes ligadas conla magnitud problema mediante una formula fısica. Debe admitirse como postulado el queresulte imposible llegar a conocer el valor exacto de una magnitud, ya que los procedimientosexperimentales de comparacion con el patron correspondiente para obtener las medidas directasvienen siempre afectados de errores inevitables. Ası, aunque es imposible encontrar en lapractica el valor “cierto” o “exacto” de una magnitud determinada, aceptaremos que esteexiste. Nuestro problema es establecer los lımites dentro de los cuales se encuentra dicho valor.

T.4 Clasificacion de los errores

El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente.Los errores no siguen una ley determinada y su origen reside en multiples causas.

Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos grandesgrupos: errores sistematicos y errores accidentales.

Se denominan errores sistematicos a aquellos que son constantes a lo largo de todo elproceso de medida y, por tanto, afectan a todas las mediciones de un modo definido, siendo losmismos para todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado y se pueden clasificar a suvez en:

• Errores instrumentales. Por ejemplo un error de calibrado.

• Errores personales. Estos son, en general, difıciles de determinar y se deben a limita-ciones de caracter personal. Por ejemplo, un problema visual del observador.

• Errores en la eleccion del metodo de medida de la magnitud.

4

Teorıa de errores 5

Este tipo de errores se ponen de manifiesto cambiando el aparato de medida, el observador oel metodo de medida.

Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen por variaciones fortuitas oaleatorias que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo observador. Lasvariaciones no son reproducibles de una medicion a otra y no presentan, mas que por azar, elmismo valor en dos mediciones cualesquiera de una serie. Estos errores son incontrolables.

Para un gran numero de medidas, los errores accidentales, debido a su caracter aleatorio,presentan tantas desviaciones positivas como negativas. Aunque con los errores accidentalesno se pueden hacer correcciones para obtener valores mas concordantes con el real, aplicandometodos estadısticos al conjunto de medidas disponible, se puede llegar a algunas conclusionesacerca del valor mas probable.

T.5 Conceptos de exactitud, precision y sensibilidad

En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamos adefinir: exactitud, precision y sensibilidad.

La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experi-mental, de modo que un aparato es tanto mas exacto cuanto mas proximo este el valor de lamedida realizada al valor verdadero de la magnitud medida.

La precision hace referencia a la concordancia entre varias medidas de la misma magnitud,realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Es por tanto un concepto relacionado con ladispersion de las medidas, de modo que un aparato sera tanto mas preciso cuanto menor sea ladiferencia entre distintas medidas de una misma magnitud.

La exactitud implica normalmente precision, pero la afirmacion inversa no es cierta, ya quepueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a errores sistematicostales como error del cero, etc. En general se puede decir que es mas facil conocer la precisionde un aparato que su exactitud.

La sensibilidad de un aparato esta relacionada con el valor mınimo de la magnitud quees capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significaque para masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviacion apreciable.Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de ladivision mas pequena de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo erroneo, setoman como identicos los conceptos de precision y sensibilidad, aunque ya hemos visto que setrata de conceptos diferentes. Toda medida realizada con un aparato viene afectada, al menos,de un error accidental de valor igual a la sensibilidad del aparato utilizado.

T.6 Error absoluto y error relativo

Si medimos una cierta magnitud fısica cuyo valor “verdadero” es x0 y obtenemos un valor dela medida x, llamaremos error absoluto en dicha medida a la diferencia:

∆x = x − x0 . (T.1)


Si la medida es aceptable, |∆x| |x0|.

El error absoluto nos da una medida de la desviacion, en terminos absolutos, respecto alvalor verdadero y obviamente tiene identicas dimensiones fısicas que la magnitud a la que afecta.No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa desviacion. Paratal fin se usa el error relativo.

El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero:

ε =∆x

x0

. (T.2)

Se trata pues de una cantidad adimensional y usualmente se expresa en % (100 ε). Cuantomenor sea ε mejor sera la medida.

T.7 Determinacion de una magnitud y de su error por

medida directa

La medida de cualquier magnitud carece de sentido si no se indica una estimacion del errorasociado a la misma. Dado que no conocemos el valor verdadero de la magnitud que deseamosmedir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimacion tanto del valor de la magnitudcomo de una cota de error que nos indique la incertidumbre en la determinacion realizada. Elresultado de una medida lo indicaremos en la forma:

x ± ∆x (unidades) . (T.3)

El valor de la magnitud problema y su error se determinan estadısticamente, para lo cualla medida se ha de repetir varias veces segun se especifica a continuacion.

1. Se toman siempre tres medidas de la magnitud, se calcula el valor medio de estastres medidas, x3 =

∑

xi/3 y se halla la dispersion total D de las mismas, es decir, ladiferencia entre los valores extremos de las medidas:

D = xmax − xmın , (T.4)

(valor maximo de las medidas obtenidas menos el valor mınimo) y finalmente se obtieneel tanto por ciento de dispersion T , que viene dado por:

T =100 D

x3

. (T.5)

(a) Si el valor de la dispersion total D no excede la sensibilidad S del aparato,

D ≤ S , (T.6)

se toma como valor verdadero de la magnitud el valor medio de las tres medidas x3

y como error absoluto la sensibilidad,

x3 ± ∆x , ∆x = S . (T.7)


(b) Si el valor de la dispersion total D es mayor que la sensibilidad del aparato,

D > S , (T.8)

procederemos a aumentar el numero de medidas de la magnitud. El criterio a seguirviene determinado por el valor del porcentaje de dispersion T de acuerdo con lasiguiente tabla:

T en las tresprimeras medidas

No total de medidas necesarias

T ≤ 2 % Bastan las tres medidas realizadas

2 % < T ≤ 8 % Hay que hacer 3 medidas mas, hasta un total de 6

8 % < T ≤ 15 % Hay que hacer un total de 15 medidas

15 % < T Hay que hacer un mınimo de 50 medidas

2. Una vez realizadas las medidas necesarias, se toma como valor de la magnitud el valormedio de las mismas y el error se determina segun los casos como sigue:

(a) Si se han realizado tres medidas, se toma como error absoluto el valor de la sensi-bilidad del aparato que, como hemos indicado anteriormente, es el error absoluto decada una de las medidas individuales,

∆x = S . (T.9)

(b) Si se han realizado seis medidas, entonces se calcula el error de dispersion definidocomo D6/4 (cuarta parte de la dispersion total de las seis medidas, es decir, ladiferencia entre la mayor y menor de todas las medidas realizadas) y se asigna comoerror absoluto de las medidas el maximo entre este valor y la sensibilidad del aparato:

∆x = max (D6/4, S) . (T.10)

(c) Si se han realizado quince o mas medidas, el error absoluto viene dado por el errorcuadratico medio o desviacion estandar (σ) de las N medidas:1

∆x ≡ σ =

[

∑

(xi − x)2

N − 1

]1/2

. (T.11)

El significado de la desviacion estandar es el siguiente: en el intervalo [x−nσ, x+nσ]se encuentran un 68.3, 95.4, 99.7 % de las medidas para n = 1, 2, 3, respectivamente.

1Una serie repetida de medidas de una misma magnitud posee alrededor de su valor medio una distribuciontıpica llamada gaussiana o normal.


T.8 Determinacion de una magnitud y de su error por

medida indirecta

Como ya hemos indicado, la medida indirecta de una magnitud se debe a la aplicacion de unaformula a un conjunto de medidas directas (variables independientes o datos) que las relacionancon la magnitud problema. Mediante dicha formula se obtiene tambien el error de la medidasegun explicamos a continuacion.

Si en la formula aparecen numeros irracionales tales como π, e, etc., debemos elegir el numerode cifras significativas con que se toman a la hora de realizar los calculos correspondientes demodo tal que los errores cometidos al truncar estos numeros irracionales no afecten al valor delerror absoluto de la magnitud que queremos determinar.

Supongamos que la magnitud F es funcion de otras magnitudes fısicas,

F = f(x, y, z, ...) (T.12)

y que se han realizado medidas de las variables x, y, z... y se han determinado sus valores yerrores correspondientes (esto es, conocemos x±∆x, y±∆y, z±∆z...). Para realizar el calculodel error absoluto de F se procede como sigue.

Admitiendo que los errores se distribuyen de forma gaussiana, el error ∆F viene determinadopor las derivadas parciales de F con respecto a las variables medidas directamente y por suserrores mediante la expresion:

(∆F )2 =

(

∂F

∂x

)2

(∆x)2 +

(

∂F

∂y

)2

(∆y)2 +

(

∂F

∂z

)2

(∆z)2 + ... (T.13)

T.8.1 Ejemplos sencillos

A continuacion determinamos el error ∆F para algunas formas sencillas de la funcion F :

•

F = x + ay , donde a es una constante. Aplicando la formula T.13 para esta funcion que

solo depende de dos variables (x e y) :

(∆F )2 =

(

∂F

∂x

)2

(∆x)2 +

(

∂F

∂y

)2

(∆y)2 (T.14)

Para esta funcion tenemos que ∂F∂x

= 1 y ∂F∂y

= a. Por tanto:

(∆F )2 = (∆x)2 + a2(∆y)2 ⇒ (∆F ) =√

(∆x)2 + a2(∆y)2 (T.15)

•

F = x y b , donde b es una constante.

En este caso, ∂F∂x

= yb y ∂F∂y

= xb. Por tanto:


(∆F )2 = (y b)2(∆x)2 + (x b)2(∆y)2 ⇒ (∆F ) = b√

(y ∆x)2 + (x ∆y)2 (T.16)

o equivalentemente,

(

∆F

F

)2

=(

∆x

x

)2

+

(

∆y

y

)2

(T.17)

Esta ultima relacion nos indica que para una funcion de este tipo (producto de potencias),el error relativo al cuadrado de la magnitud F es igual a la suma de los errores relativosde las magnitudes fısicas de las que depende F al cuadrado.

•

F = mx

ky, donde m y k son constantes.

Tenemos que ∂F∂x

= aby

y ∂F∂y

= −axby2 . Por tanto:

(∆F )2 =

(

m

k y

)2

(∆x)2 +

(

−m x

k y2

)2

(∆y)2 (T.18)

operando en la expresion anterior, y teniendo en cuenta que F = mxky

, podemos escribir∆F en funcion de el valor de la magnitud F y de los errores relativos de las magnitudesx e y:

(∆F )2 =(

F

x

)2

(∆x)2 +

(

F

y

)2

(∆y)2 = F 2

(

∆x

x

)2

+

(

∆y

y

)2

(T.19)

Como vemos, en este caso se verifica tambien la ecuacion T.17.

•

F = k xa , donde k y a son constantes (positivas o negativas). Para esta funcion, ∂F∂x

=k a xa−1 y por tanto:

∆F =∣

∣

∣k a xa−1(∆x)∣

∣

∣ =∣

∣

∣

∣

F a∆x

x

∣

∣

∣

∣

(T.20)

Para un caso mas generico de funcion producto de varias potencias (que engloba los tresejemplos anteriores),

F = xa yb zc ...

con a, b, c... constantes positivas o negativas, repitiendo el procedimiento anterior se puededemostrar que

(

∆F

F

)2

= a2(

∆x

x

)2

+ b2

(

∆y

y

)2

+ c2(

∆z

z

)2

+ ... (T.21)


T.9 Expresion del valor de una magnitud y de su error

De ordinario, dado el significado de cota de imprecision que tiene el error absoluto, este debedarse con una sola cifra significativa, aumentandola en una unidad si la segunda fuera mayor oigual que 5, por convenio.

El valor de la magnitud debe tener solo las cifras necesarias para que su ultima cifra signi-ficativa (cifra de acotamiento) sea del mismo orden decimal que el error absoluto.2

Como ejemplo damos la siguiente tabla de valores de distintas magnitudes para aclarar lodicho anteriormente.

Valores incorrectos Valores correctos

3.418 ± 0.123 3.4 ± 0.1

6.3 ± 0.09 6.30 ± 0.09

46288 ± 1551 46000 ± 2000 o bien (46 ± 2) · 103

428.351 ± 0.27 428.4 ± 0.3

0.01683 ± 0.0058 0.017 ± 0.006

T.9.1 Ejemplos de calculo de errores

Vamos a calcular el error absoluto de ciertas magnitudes, conociendo su dependencia funcionalde otras magnitudes de las que poseemos medidas y cuyos errores absolutos son conocidos.

1. Consideremos la funcion V = V + at. Supongamos que tenemos medidas de las varia-bles de las que depende V (V, a y t) y que se han determinado sus respectivos erroresabsolutos:

V = (20.2 ± 0.1) m/s , a = (4.1 ± 0.2) m/s2 , t = (10.00 ± 0.01) s

Con estos datos podemos calcular el valor de V y el error de la misma:

• Para calcular la magnitud, sustituımos los valores de la variables de las que dependeV en la funcion V (V, a, t):

V = V + at = 20.2 + 4.1 · 10 = 61.2 m/s

Acotaremos esta cifra como corresponda una vez que hayamos calculado el errorabsoluto de V .

2Si un valor se extrae de una tabla u otro lugar, sin indicacion de su error, se tomara como error una unidaddel orden de la ultima cifra con que se expresa.


• Para calcular el error, aplicamos lo aprendido en la seccion T.6 : dado que V dependede tres variables (V, a, t), ∆V viene determinado por las derivadas parciales de Vcon respecto a dichas variables:

(∆V )2 =

(

∂V

∂V

)2

(∆V)2 +

(

∂V

∂a

)2

(∆a)2 +

(

∂V

∂t

)2

(∆t)2

Calculamos las derivadas parciales

∂V

∂V

= 1 ,∂V

∂a= t ,

∂V

∂t= a

y sustituimos los resultados en la expresion anterior:

(∆V )2 = (∆V)2 + (t∆a)2 + (a∆t)2

Sustituyendo los valores de magnitudes y errores en esta formula y realizando loscalculos numericos correspondientes, obtenemos:

∆V =√

(0.1)2 + (10.00 · 0.2)2 + (4.1 · 0.01)2) = 2.00291... m/s

Teniendo en cuenta que el error se expresa con una unica cifra significativa, ∆V = 2m/s y por tanto, la ultima cifra significativa de V debe ser la de las unidades (paraque tenga el mismo orden decimal que el error absoluto, ver seccion T.7):

V = (61 ± 2) m/s

2. Sea la funcion Ep = m g h. Los valores de las magnitudes de las que depende Ep hansido medidos y sus errores absolutos calculados:

m = (170.2 ± 0.5) g , h = (50.15 ± 0.02) cm , g = (9.81 ± 0.01) m/s2

• Calculamos el valor de la magnitud:

Ep = m g h = 0.1702 · 9.81 · 0.5015 = 0.8373354...J

• Calculamos el error de forma identica al ejemplo anterior:

(∆Ep)2 =

(

∂Ep

∂m

)2

(∆m)2 +

(

∂Ep

∂g

)2

(∆g)2 +

(

∂Ep

∂h

)2

(∆h)2

Las derivadas parciales son

∂Ep

∂m

= g h ,∂Ep

∂g= m h ,

∂Ep

∂h= m g

Por tanto,


(∆Ep)2 = (g h ∆m)2 + (m h ∆g)2 + (m g ∆h)2,

Sustituimos ahora los valores de magnitudes y errores, con especial cuidado a lasunidades, y realizamos los calculos numericos:

∆Ep =√

(9.81 · 0.5015 · 5 · 10−4)2 + (0.1702 · 0.5015 · 0.01)2 + (0.1702 · 9.81 · 2 · 10−4)2

∆Ep = 2.625064283... · 10−3 J

Ahora ya podemos expresar el error de Ep correctamente (con una unica cifra signi-ficativa) y acotar de el valor de Ep :

Ep = (837 ± 3) · 10−3 J

3. Por ultimo, vamos a calcular el error de una magnitud generica F que depende de otrasa traves de una expresion algo mas compleja que las anteriores, del tipo

F =(x + y) z

(u − v) w.

Supongamos que se han medido las magnitudes correspondientes a cada variable y se handeterminado sus errores absolutos con valores

x = 27.3 ± 0.1 , u = 50.2 ± 0.1 , z = 10.0 ± 0.1 ,

y = 2.45 ± 0.05 , v = 1.03 ± 0.01 , w = 3.26 ± 0.02 .

Vamos a calcular el valor de la magnitud F y el error correspondiente a la misma:

F = 1.85596...

(∆F )2 =

(

∂F

∂x

)2

(∆x)2 +

(

∂F

∂y

)2

(∆y)2 +

(

∂F

∂z

)2

(∆z)2

+

(

∂F

∂u

)2

(∆u)2 +

(

∂F

∂v

)2

(∆v)2 +

(

∂F

∂w

)2

(∆w)2

∂F

∂x=

z

(u − v) w,

∂F

∂u= −

(x + y) z

(u − v)2 w,

∂F

∂z=

(x + y)

(u − v) w,

∂F

∂y=

z

(u − v) w,

∂F

∂v=

(x + y) z

(u − v)2 w,

∂F

∂w= −

(x + y) z

(u − v) w2.

Tras realizar los calculos numericos obtenemos ∆F = 0.023176... Al igual que en los casosanteriores, teniendo en cuenta que el error absoluto se expresa correctamente con una solacifra significativa: ∆F = 0.02 y por tanto,

F = 1.86 ± 0.02 .


T.10 Construccion de tablas y graficas

Las tablas y las graficas son fundamentales en la presentacion de los resultados cientıficos.Es imprescindible que se presenten con claridad, pues con ellas se pretende mostrar al lectorlas relaciones existentes entre magnitudes de interes que han sido medidas o calculadas en unexperimento dado.

T.10.1 Tablas

En las tablas debe ser evidente para el lector la magnitud representada en cada entrada dela grafica (poniendo su nombre en la cabecera o el sımbolo con el que se representa en lasformulas) y su correspondiente unidad de medida (que podemos poner entre parentesis). Lasmagnitudes presentadas deben ir siempre acompanadas de su error. Se presenta un ejemplo detabla a continuacion:

Tiempo (s) Velocidad (m/s)

0.0 ± 0.2 0 ± 2

2.0 ± 0.2 7 ± 2

4.0 ± 0.2 17 ± 2

6.0 ± 0.2 25 ± 2

8.0 ± 0.2 31 ± 2

10.0 ± 0.2 39 ± 2

12.0 ± 0.2 51± 2

Tabla T.1. Ejemplo de tabla

T.10.2 Graficas

La representacion grafica de los fenomenos fısicos que estudiemos debe ajustarse a las siguientesnormas:

1. Graficas en papel milimetrado con los ejes bien trazados en cuyos extremos indicaremosla magnitud representada en ellos y la unidad en que ha sido medida. El tıtulo de lagrafica sera claro y vendra indicado en la parte superior.

2. La variable independiente del fenomeno debe ir representada en abscisas (eje horizontal)y la dependiente en ordenadas (eje vertical).

3. Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rapida y sencilla. Para ello seelegiran las escalas con intervalos equiespaciados.


Figura T.1 Ejemplo de representacion grafica de los datos experimentales presentados en la tabla T.1.

Corresponden a un experimento en que se ha medido la velocidad de un movil (representada en el eje

de ordenadas) en funcion del tiempo (representado en eje de abscisas). La lınea recta representa el

mejor ajuste lineal de los datos experimentales. Los datos se han representado con sus correspondientes

barras de error. Notese que no se han unido mediante lıneas los datos experimentales entre sı.

4. Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas, sin excederlo dema-siado. De este modo los datos ocuparan toda la grafica y permitiran una mejor lecturade los datos experimentales.

5. Sobre los ejes solo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de laescala (que han de quedar ası uniformemente espaciadas). Nunca se senalan en los ejesde la grafica los valores correspondientes a las medidas realizadas.

6. Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspon-diente a sus dos coordenadas (punto experimental) rodeado por el denominado rectangulode error o barras de error. Dado un dato experimental para el que la magnitud repre-sentada en abscisas vale x ± ∆x, y la representada en ordenadas y ± ∆y, la base delrectangulo de error abarca desde x − ∆x hasta x + ∆x y su altura se extiende desdey −∆y hasta y + ∆y.En el caso de que ∆x o ∆y sean despreciables en comparacioncon la escala utilizada, el rectangulo de error queda reducido a un simple segmento verticalu horizontal, segun el caso.

En el caso de las barras de error, estas se extienden desde x −∆x hasta x + ∆x parala variable representada en el eje de abscisas, y desde y − ∆y para la representada enodenadas. En el caso de que ∆x o ∆y sean despreciables en comparacion con la escalautilizada, no se representa la(s) barra(s) de error correspondiente(s). Un rectangulo obarra de error de un dato experimental nos indica graficamente la incertidumbre de dichodato, o equivalentemente, el area de la grafica en la que se encuentra el valor verdadero


de la magnitud.

7. Las curvas de ajuste han de construirse con lıneas finas y nunca quebradas, que deberıanpasar por el area definida por los rectangulos o barras de error (ver figura T.1), aunquepara ello dejen de pasar por los puntos experimentales (que pueden quedar a derecha oizquierda de la curva). Si al hacer esta operacion alguno de puntos queda excesivamentealejado de la curva (teniendo en cuenta sus barras de error), esa medida es falsa poralguna causa accidental y debe repetirse.

T.11 Ajuste de la recta

Con frecuencia se plantea el problema de encontrar una expresion matematica y = f(x) de laley fısica que rige el comportamiento de un determinado fenomeno, a partir de una serie de Nmedidas (xi, yi) de las magnitudes x e y que lo caracterizan.

Cuando la representacion grafica del fenomeno estudiado proporciona una distribucion de lospuntos experimentales en forma practicamente lineal, nos interesa determinar cual es la ecuacionde la recta que mejor ajusta dichos puntos experimentales, pues dicha ecuacion expresara laley fısica que rige el fenomeno estudiado.

La ecuacion de una recta se puede expresar de la forma y = mx+b, donde m es la pendientede la recta, b la ordenada en el origen y x e y las variables independendiente y dependienterespectivamente. La ecuacion de la recta queda determinada conocidas m y b.

• Metodo grafico.

Este es un metodo aproximado, pero didactico, de obtener la ecuacion de la recta. Paraobtener m y b y sus errores mediante el metodo grafico a partir de un conjunto de datosexperimentales (xi, yi) previamente representados segun las normas de la seccion T.8.2,debemos seguir los siguientes pasos:

1. Con ayuda de una regla pintamos la recta que mejor ajusta los datos experimentales.Esto es, la recta que hace que los puntos esten lo mas cerca posible de esta, y demodo que queden simetricamente distribuıdos a ambos lados de ella. Esta lıneano tiene necesariamente que pasar por todos los puntos experimentales, aunque sıdebera pasar por el area definida por los rectangulos o barras de error de los puntosexperimentales. Si algun punto queda excesivamente alejado de la lınea de ajuste(teniendo en cuenta sus barras de error), desestimaremos ese dato, pues posiblementees una medida falsa por alguna causa accidental.

2. Calculamos la pendiente de la recta. Marcamos dos puntos cualesquiera (P1 y P2)sobre la recta (ver figura T.3) y determinanos sus coordenadas (x1, y1), (x2, y2).Dado que ambos puntos pertenecen a la recta, cumplen que:

y1 = mx1 + b

y2 = mx2 + b(T.22)


Figura T.3

y por tanto,

y2 − y1 = m(x2 − x1)

o equivalentemente,

m =y2 − y1

x2 − x1(T.23)

lo cual nos permite calcular el valor de la pendiente m conocidas las coordenadas dedos puntos situados en la recta.

3. Calculamos la ordenada en el origen sustituyendo en las equaciones T.22 las coorde-nadas de los puntos P1 o P2 y el valor calculado de la pendiente.

4. Calculo del error de la pendiente y de la ordenada en el origen. Podemos obteneruna estimacion del error cometido en la determinacion de m y b de la recta quemejor ajusta nuestros datos, comparando estos parametros con los de las rectas demayor y menor pendiente que (aun no siendo las que mejor ajustan todos los datos)pasan por los puntos experimentales (teniendo en cuenta sus rectangulos o barrasde error).

La figura T.4 muestra con lınea continua el mejor ajuste a los datos experimentales.Con lınea discontinua se representa la recta de mayor pendiente posible (mmax) que,aun siendo claramente no optima para ajustar nuestros datos, pasa por las areasdefinidas por las barras de error. Esta recta nos acota superiormente el valor de lapendiente de la ecuacion que describe el fenomeno fısico que estamos estudiando.

Del mismo modo, se ha representado (con lınea punteada) la recta que acota inferior-mente el valor de la pendiente. Si mmax y mmin son respectivamente las pendientesde las rectas que acotan superior e inferiormente la pendiente de la recta que mejorajusta nuestros datos, podemos considerar como error de m, a la mayor diferenciade pendiente entre la recta del mejor ajuste y las de las rectas de mayor y menospendiente compatible con los datos experimentales, esto es:


m

m

min

max

Figura T.4

∆m = max (|m − mmax|, |m − mmin|) (T.24)

Por tanto, basta calcular mmax y mmin (con el metodo descrito en el apartado 2.)para obtener ∆m con la ecuacion anterior.

De modo similar, consideramos como error en la determinacion de la ordenada en elorigen,

∆b = max (|b − bmax|, |b − bmin|) (T.25)

donde bmax y bmin son respectivamente las ordenadas en el origen de las rectas cuyaspendientes son mmax y mmin, y que calculamos de igual modo que para la recta quemejor ajusta nuestros datos.

• Metodo de los mınimos cuadrados.

Este es uno de los metodo mas utilizados para calcular la ecuacion de la recta que mejorajusta un conjunto de datos experimentales (xi, yi). Dicha recta debe cumplir la condicionde que los puntos experimentales queden distribuidos simetricamente a ambas partes dela misma y ademas lo mas proximos a ella que sea posible. Matematicamente, ello implicaque la recta de ecuacion y = mx + b, debe cumplir que la expresion

c =N∑

i=1

(yi − mxi − b)2 (T.26)

tenga un valor mınimo. Es decir, la suma de las diferencias entre los puntos exprimentalesy la recta debe ser mınima.


Derivando c respecto a a y a b y anulando ambas derivadas se obtiene:

m =N∑

xiyi −∑

xi∑

yi

N∑

x2i − (

∑

xi)2=

∑

yi − Nb∑

xi(T.27)

b =

∑

x2i

∑

yi −∑

xi∑

xiyi

N∑

x2i − (

∑

xi)2=

∑

yi − m∑

xi

N. (T.28)

Si se ajusta una recta que pase por el origen de coordenadas el problema se simplificapuesto que al ser b = 0 se tiene:

m =

∑

yi∑

xi, (T.29)

que proporciona directamente el valor de la pendiente de la recta.

Ademas de los valores de pendiente y ordenada en el origen, es interesante obtener eldenominado coeficiente de correlacion lineal r, que nos da una medida del grado decorrelacion entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta que punto x e y estanrelacionadas mediante una funcion lineal. La expresion de r es:

r =N∑

xiyi −∑

xi∑

yi√

[N∑

x2i − (

∑

xi)2] [N∑

y2i − (

∑

yi)2], (T.30)

que varıa entre 0 (no existe correlacion) y ± 1 (hay correlacion completa).

Las expresiones correspondientes al calculo del error de la pendiente y la ordenada en elorigen son:

∆m =

[

∑

(yi − mxi − b)2

(N − 2)∑

(xi − x)2

]1/2

(T.31)

∆b =

[(

1

N+

x2

∑

(xi − x)2

)(

∑

(yi − mxi − b)2

(N − 2)

)]1/2

. (T.32)

T.12 Interpolacion en tablas de simple entrada

Las tablas de simple entrada nos proporcionan el valor de una variable en funcion de otra.Cuando se quiere determinar el valor z que corresponde a uno dado x, no tabulado, se tomandos valores tabulados de x y z entre los que se encuentran nuestros valores problema. Sean:

x1 z1

x2 z2

La relacion que liga x con z puede hallarse aproximadamente mediante interpolacion lineal:

z = z1 +z2 − z1

x2 − x1

(x − x1) . (T.33)

que permite determinar z en funcion de x. El error de z es:

∆z =

∣

∣

∣

∣

z2 − z1

x2 − x1

∣

∣

∣

∣

∆x . (T.34)

Practica 1

Medidas de precision

1.1 Objetivo

El objetivo de esta practica es realizar varias medidas de precision usando algunos de los instru-mentos mas habituales: el calibre y el micrometro. Antes de empezar las medidas describiremosel manejo del nonius cuyo conocimiento es imprescindible para el correcto manejo del calibre.

1.2 Material

1.2.1 Nonius

El modelo de nonius de la practica consta de una tablilla de madera de 1 m de longitudcon divisiones cada 5 cm (escala principal) y una tablilla corredera con 10 divisiones (escalaauxiliar).

La tablilla corredera esta disenada de forma tal que 10 rayas de la escala auxiliar tienenla misma longitud que 9 rayas de la escala principal. De esta forma, la longitud entre dosdivisiones de la escala auxiliar es 1/10 mas pequena que la longitud entre dos divisiones de laescala principal.

Una medida de longitud con el nonius se hace de la siguiente forma. Supongamos, porejemplo (ver Figura 1.1), que la primera raya de la escala auxiliar (marcada con un “0”) haquedado situada entre el “6” y el “7” de la escala principal. Se busca entonces cual es laprimera raya de la escala auxiliar que coincida con una de las rayas de la escala principal. Si,por ejemplo, es la octava raya entonces el resultado de la medida sera

6 +8

10= 6.8 (1.1)

1.2.2 Calibre

Este instrumento, cuyo esquema se presenta en la Figura 1.2, sirve para medir longitudes (oespesores), interiores y profundidades. Posee una regla dividida en milımetros y otra dividida

19


0 5 10 15 20 25

0 5 10

Figura 1.1

en pulgadas y un nonius, siendo la longitud maxima que se puede medir de 135 mm. Para medirlongitudes se utilizan los topes A; para medir interiores los topes B; y para medir profundidadesla varilla C que se desplaza por la parte posterior de la regla.

A

B

C

Figura 1.2

1.2.3 Micrometro o palmer

El micrometro (Figura 1.3) sirve para medir espesores de hasta 25 mm. El paso de rosca deltornillo es de 0.5 mm y el tambor esta dividido en 50 divisiones. Es decir, se puede alcanzar unaprecision en la medida de 0.5 mm/50 = 0.01 mm. El tambor siempre se debe mover medianteel tornillo sensible situado en el extremo del mismo.

Practica 1. Medidas de precision 21

Figura 1.3

1.3 Realizacion

1.3.1 Determinacion del cero de calibre y micrometro

Teoricamente una medida de longitud nula deberıa marcar cero en la escalar del calibre y delmicometro. Sin embargo, debido al manejo incorrecto del aparato o al envejecimiento del mismopuede ocurrir que se obtenga un resultado diferente de cero. Esto se conoce como error del cero,O. Todas las medidas que se realicen con ese aparato vendran afectadas por el error del cero.Al ser un error sistematico (el error afecta de la misma forma a todas las medidas realizadascon el mismo aparato) se puede corregir.

Una vez determinado el error del cero, se deberan corregir todas las medidas que se realicencon ese aparato de la forma siguiente. Si se obtiene como resultado de la medida el valorL′ ± ∆L′, el verdadero resultado de la misma sera

L = (L′ − O) ± ∆L′ (1.2)

1.3.2 Calculo de volumenes

Tras hallar el error del cero de los dos aparatos, calcularemos el volumen, V , de la placa metalicarectangular y el volumen interior del cilindro de la practica.

Volumen de una placa

Para hallar el volumen de la placa metalica, determinaremos el grosor, a, de la mismausando el micrometro. Seguidamente hallaremos los otros dos lados de la placa, b y c, usandoel calibre. ∆a, ∆b y ∆c son los errores de estas medidas. Ademas hay que:

– Especificar la sensibilidad (error instrumental) del calibre y del micrometro.

– Justificar el numero de medidas que has realizado de cada dimension.


– Expresar correctamente cada dato con su error correspondiente.

– Calcular el volumen y el error del volumen, indicando correctamente el valor final:

a = ∆a =

b = ∆b =

c = ∆c =

V = ∆V =

Volumen interior de un cilindro

Para hallar el volumen interior del cilindro, se mediran la longitud total, l, y el diametrointerior, d, del mismo usando el calibre, con lo que se puede calcular el volumen deseado.

Sigue los pasos indicados en el caso anterior:

l = ∆l =

d = ∆d =

V = ∆V =

Volumen del metal que forma el cilindro

Para hallar el volumen de la envoltura metalica del cilindro, se mediran la longitud total,l, y el diametro interior, d, y exterior, D, usando el calibre, con lo que se puede calcular elvolumen deseado.

Sigue los pasos indicados en el caso anterior:

l = ∆l =

d = ∆d =

D = ∆D =

V = ∆V =

Practica 2

Rotacion: Momentos de Inercia yTeorema de Steiner

2.1 Objetivos

Determinaremos el momento de inercia de diversos cuerpos midiendo sus periodos de vibraciony comprobaremos el teorema de Steiner. La vibracion consiste en un movimiento armonicosimple de pequena amplitud alrededor de un eje determinado.

2.2 Material

• Diversos cuerpos rıgidos: esfera, disco, barra, masas puntuales y disco con agujeros.

• Regla graduada.

• Barrera fotoelectrica.

• Soporte con un eje acoplado a una espiral elastica.

IMPORTANTE: nunca girar el eje mas de 2 vueltas

2.3 Fundamento teorico

Para determinar el momento de inercia de los cuerpos considerados, estudiaremos su movimientode vibracion respecto de un eje que pasa por su centro de masas. Obtendremos que el periodode vibracion depende del momento de inercia del cuerpo, I, y de la constante recuperadora,D, de la espiral elastica acoplada al eje de giro. Vamos a plantear la ecuacion de la dinamicade rotacion y a partir de ella deduciremos que el movimiento es un movimiento oscilatorioarmonico simple.

23


La variacion del momento angular, ~L, de un solido rıgido es igual al momento resultante delas fuerzas externas, ~M :

~M =d~L

dt, (2.1)

donde ~L = I ~w es el momento angular del solido rıgido, siendo ~ω su velocidad angular e I eltensor de inercia. Si el cuerpo gira alrededor de un eje principal de inercia entonces I es unescalar y ~L y ~w son paralelos:

~L = I ~w. (2.2)

Sustituyendo (2.2) en (2.1):

M = Id2Φ

dt2, (2.3)

donde Φ es el angulo de giro y M es el momento de fuerzas resultante en la direccion del ejede giro.

Para angulos pequenos, en el rango de validez de la Ley de Hooke, la espiral tiende arecuperar su posicion de equilibrio mediante un momento de fuerza directamente proporcionalal angulo girado, Φ. Dicho momento es igual y de sentido contrario al momento ejercido sobrela espiral:

M = −DΦ. (2.4)

D es la constante recuperadora de la espiral. Por tanto, la ecuacion de la dinamica, que seobtiene de (2.3) y (2.4) es

d2Φ

dt2+

D

IΦ = 0. (2.5)

La solucion general de esta ecuacion es Φ = A sen(

2πt

T

)

. En efecto, sustituyendo esta solucion

en (2.5) se encuentra que para

T = 2π

√

I

D(2.6)

se verifica la ecuacion (compruebalo). A partir de esta ecuacion, podemos obtener I si conoce-mos la constante recuperadora, D, y medimos el periodo, T .

Teorema de Steiner

Segun el teorema de Steiner el momento de inercia, Ir, de un cuerpo respecto a un eje situadoa una distancia r del centro de masas y paralelo al eje que pasa por dicho centro viene dadopor:

Ir = I + Mr2 (2.7)

donde I es el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas, M es la masatotal del cuerpo y r la distancia entre ambos ejes.

Practica 2. Rotacion: Momentos de Inercia y Teorema de Steiner 25

2.4 Parte experimental

El dispositivo experimental consiste en una barrera fotoelectrica y un eje acoplado a una espiralelastica. Los diversos cuerpos se van montando sobre dicho eje.

Para medir los periodos de oscilacion de cada uno de los cuerpos, se seguira el siguiente pro-cedimiento: Estando el cuerpo en reposo, colocar la barrera fotoelectrica de forma queintercepte la marca, que debe estar situada en el borde del objeto. De esta forma, en cadaoscilacion la marca corta el rayo de luz de la barrera dos veces (una en cada sentido). De lostres modos posibles del contador de la barrera, elegimos T/s, que es el que mide directamenteel periodo, promediando el giro en sentidos horario y antihorario. El periodo es dos vecesla cantidad que aparece indicada, en segundos.

Determinacion de los momentos de inercia

La constante recuperadora del muelle es D=0.02483 Nmrad

.

Conocida la constante recuperadora de la espiral, D, podemos hallar los momentos de inerciade las figuras que se encuentren disponibles entre: esfera, disco (sin agujeros), barra y masaspuntuales. Para ello:

1. Medir los periodos de vibracion de cada figura. Se recomienda que los angulos giradossean pequenos, Φ ≤ π/2.

2. Construir una tabla indicando para cada figura su momento de inercia calculado experi-mentalmente (a partir de la ecuacion 2.6).

3. En el caso de las masas puntuales:

(a) Situarlas en tres posiciones distintas de la varilla respecto al eje de giro.

(b) Anotar en la tabla tanto la distancia al eje de giro como el momento de inerciaexperimental calculado para las 3 posiciones, y la formula que nos darıa el momentode inercia teorico.

4. Utilizando el disco con agujeros, que permite variar el eje de giro, hallaremos los momentosde inercia midiendo los periodos cuando el eje de giro pasa por diferentes agujeros.

(a) Representar graficamente T 2 frente a r2, para diferentes distancias r.

(b) Hallar la ecuacion de la recta que mejor se ajusta a los datos.

(c) Calcular I a partir de la ecuacion de la recta y compararlo con el valor halladodirectamente a partir de la ecuacion que nos da el periodo. Recuerda que, a partirde (2.6) y (2.7), se tiene

T 2 =4π2

D(I + Mr2) (2.8)

(d) ¿Se verifica el teorema de Steiner?


(e) ¿Cual es el momento de inercia del disco?

(f) ¿Cual es la masa del disco?

Expresar cada dato obtenido experimentalmente con su error correspondiente.

Practica 3

Pendulo simple y medida de laaceleracion de la gravedad

3.1 Objetivo

En esta experiencia se mide la aceleracion de la gravedad utilizando unicamente un pendulo yun cronometro.

3.2 Material

El dispositivo experimental consiste en una masa m (pesa) suspendida de un hilo fino de acerode masa despreciable frente a m. La longitud efectiva del hilo puede medirse sobre una escalagraduada y se puede variar cambiando la posicion de un pasador que impide su movimiento.Los tiempos de oscilacion se tomaran con un cronometro.

3.3 Fundamento

El pendulo simple o matematico es un dispositivo ideal que consta de una masa puntual msuspendida de un punto fijo mediante un hilo de longitud l inextensible y sin peso.

En su posicion de equilibrio el hilo esta vertical. Si se desplaza de esta posicion un anguloinicial Φ0 y se suelta, podemos descomponer las fuerzas que actuan sobre la masa (su peso y latension del hilo) en sus componentes radial y tangencial en funcion del angulo Φ con la vertical.En la direccion tangencial, que es en la que esta permitido el movimiento, la unica componenteque existe se debe al peso y vale mg sin Φ. La ecuacion es

mg sin Φ = −mld2Φ

dt2. (3.1)

Esta es una ecuacion diferencial no lineal, cuya solucion exacta es un desarrollo en serie deinfinitos terminos. Sin embargo, si la oscilacion Φ es pequena, puede hacerse la aproximacion

27


sin Φ ≈ Φ que conduce a la ecuacion lineal:

mgΦ = −mld2Φ

dt2. (3.2)

Una solucion de esta ecuacion es Φ = Φ0 sin(ωt + ϕ) con ω =√

g/l. Para comprobarlo, basta

con sustituirla en (3.2). Esta solucion representa un movimiento armonico simple de periodo

T =2π

ω= 2π

√

l

g. (3.3)

Si no se hace la aproximacion de oscilaciones pequenas, la solucion es tambien un movimientoarmonico, de periodo aproximado por la siguiente expresion:

T = 2π

√

l

g

[

1 +(

1

2

)2

sin2 Φ0

2+(

1 · 3

2 · 4

)2

sin4 Φ0

2+ ...

]

, (3.4)

que coincide con (3.3) en el lımite Φ0 → 0.

3.4 Realizacion

3.4.1 Dependencia del periodo con la amplitud

Se trata de medir los periodos del pendulo para diversas amplitudes y una longitud fija yrepresentar en una grafica la relacion entre ambos. Para ello:

1. Tomar una longitud fija del hilo, por ejemplo l = 50 cm.

2. Desviar el pendulo 5 de la vertical y dejarlo oscilar libremente. Cuando lo haya hechovarias veces, poner en marcha el cronometro para medir el tiempo t transcurrido enn = 10 oscilaciones. Proceder del mismo modo tomando amplitudes de 10, 15, 20,25 y 30. Anotar las medidas, amplitudes y periodos (T = t/n) en una tabla, consu correspondiente error. Notese que el error en la medida del periodo es inversamenteproporcional al numero de oscilaciones que tienen lugar durante el tiempo de medicion,lo que justifica tomar un n relativamente grande.

Amplitud A [] Periodo T [s]

Practica 3. Pendulo simple y medida de la aceleracion de la gravedad 29

3. Con estos datos dibujar una grafica representando en abscisas la amplitud y en ordenadasel periodo. Sobre esta misma grafica, representar (con otro color u otro sımbolo) los valoresteoricos del periodo calculados con la formula (3.4) para esas mismas amplitudes.

4. Discutir los resultados.

3.4.2 Determinacion del valor de g

Lo mas inmediato serıa aplicar la formula (3.3) del periodo del pendulo en funcion de sulongitud l para hallar g = 4π2l/T 2. Sin embargo, aunque el periodo puede medirse con bastanteprecision, su longitud (distancia desde el punto de suspension al centro de masas de la pesa)no esta bien determinada. Notese que el error relativo de g es proporcional al error en ladeterminacion de la longitud del pendulo, ∆g/g = ∆l/l + 2∆T/T .

Por el contrario, los incrementos en la longitud del pendulo se miden con un error tanpequeno como la sensibilidad de la escala graduada de la que se dispone, ya que en esta medidano influye la posicion del centro de masas de la pesa. Sea l = r + r0, donde r0 es una longitudcualquiera. Entonces,

T 2 = 4π2 r + r0

g=

4π2

gr +

4π2r0

g. (3.5)

A partir de la pendiente a ≡ 4π2/g se deduce g,

g =4π2

a. (3.6)

Como la constante se puede expresar con tanta precision como se requiera, el error relativo deg es el mismo de la pendiente a,

∆g

g=

∆a

a. (3.7)

1. Medir los periodos correspondientes a varias longitudes, operando siempre con pequenasamplitudes para que la aproximacion del periodo (3.3) sea valida. Tabular los resultadoscon sus errores correspondientes.

r [cm] T [s] T 2 [s2]


2. Representar graficamente T 2 frente a r, calcular la pendiente y su error mediante elmetodo grafico y, a partir de la pendiente, extraer el valor de g con su error. Comparar elresultado obtenido con el valor proporcionado por el ordenador y comentar los resultados.

Practica 4

El principio de Arquımedes

4.1 Objetivo

El objetivo de esta practica es el de familiarizarnos con el famoso principio de Arquımedes y deusarlo en el contexto en el que este lo descubrio: la determinacion de la densidad y del volumende un solido.

4.2 Material

Disponemos de un dinamometro, un recipiente con agua y algunos cuerpos que podemos sus-pender del dinamometro y de los que desconocemos su volumen y densidad.

4.3 Fundamento

Segun el Principio de Arquımedes, todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerzade empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Es decir, estafuerza de empuje provoca una perdida de peso del cuerpo.

Sea V el volumen de un cuerpo, P su peso, ρ su densidad y g la aceleracion de la gravedad.Entonces,

P = V ρg . (4.1)

Si llamamos V ′ al volumen de fluido desalojado, P ′ al peso del mismo y ρ′ a su densidad,tendremos

P ′ = V ′ρ′g . (4.2)

Como evidentemente V = V ′, de (4.1) y (4.2) se deduce que

V =P ′

ρ′g(4.3)

y

31


ρ =P

P ′ρ′ . (4.4)

Por tanto, conociendo el peso de un cuerpo problema P , el peso del fluido desalojado P ′

(igual a la disminucion de peso que experimente al sumergirlo en el fluido) y la densidad delfluido ρ′, podremos determinar el volumen y la densidad del cuerpo.

4.4 Realizacion

1. Medir la temperatura ambiente.

2. Hallar el peso P de un cuerpo problema con el dinanometro.

3. Sumergir completamente el cuerpo problema en un recipiente con agua.

4. Determinar su peso aparente Ps, una vez sumergido. El peso P ′ del agua desalojada sera,segun el Principio de Arquımedes, la perdida aparente de peso del cuerpo al sumergirse,es decir,

P ′ = P − Ps . (4.5)

(donde hemos despreciado la fuerza de empuje debida al aire).

5. Tomando como temperatura del laboratorio la media de las temperaturas al iniciar y alterminar la toma de datos, obtener la densidad del agua a esta temperatura medianteinterpolacion de los datos que figuran en la tabla correspondiente.

6. Conocidos el peso del cuerpo P , el del lıquido desalojado P ′ y la densidad del agua a latemperatura media del laboratorio ρ′, determinar el volumen y la densidad del cuerpoproblema aplicando las formulas (4.3) y (4.4).

7. Expresa todas las magnitudes medidas y calculadas (es decir, P, Ps, P′, V, ρ) con su error.

Justifica el numero de medidas que has necesitado tomar con el dinamometro en cadacaso.

8. Repetir los pasos para los diferentes cuerpos. ¿Cuales podrıan ser del mismo material?

9. ¿Que se podrıa hacer para disminuir el error?

Practica 5

Dilatacion termica

5.1 Objetivo

Estudiar la dilatacion lineal de diferentes materiales en funcion de la temperatura, con la ayudade un extensometro.

5.2 Material

• Cubeta de metacrilato, termostato de inmersion, termometro y tubos de goma.

• Varillas huecas de aluminio, laton, cobre y acero.

• Extensometro y banco para fijar las varillas.

5.3 Fundamento teorico

El aumento de temperatura ocasiona generalmente un incremento de volumen, tanto en sustan-cias solidas como en lıquidas. Una conocida excepcion es el agua, que en el intervalo compren-dido entre 0C y 4C muestra el comportamiento contrario: en particular, aumenta de volumenal congelarse, en oposicion a la mayorıa de las sustancias.

Incluso si el cuerpo solido tiene un hueco, la dilatacion es la misma que si el hueco estuvierarelleno del mismo material que el del cuerpo. Ası ocurre, por ejemplo, con un tubo de undeterminado material, como los que utilizaremos en esta Practica.

Si se trata de un solido en forma de varilla (que aproximadamente tiene una sola dimension)de longitud `0, es un hecho empırico que, si la variacion de temperatura ∆T no es demasiadogrande, la dilatacion longitudinal ∆` que experimenta es directamente proporcional a `0 y a∆T ,

∆` = α1`0∆T, (5.1)

33


donde α1 se denomina coeficiente de dilatacion lineal. En la Tabla 5.1 aparecen sus valorespara los materiales que utilizaremos en esta Practica. Intentaremos reproducirlos experimen-talmente.

Material α1 en (C)−1

Acero 1.1×10−5

Cobre 1.6×10−5

Laton 1.8×10−5

Aluminio 2.2×10−5

Tabla 5.1: Coeficientes de dilatacion lineal.

En realidad los coeficientes de dilatacion no son constantes sino que varıan ligeramente conla temperatura.

5.4 Parte experimental

La cubeta sobre la que se soporta el termostato de inmersion con el termometro adosado, debeestar llena hasta un nivel adecuado de agua, que como mınimo cubra la resistencia yel bloque de la bomba de circulacion. De lo contrario se encendera el indicador luminosode alarma al conectar el equipo.

Debe existir permanentemente un tubo de goma conectado a la bomba de circulacion. Deno ser ası, debera contactarse con el profesor de practicas.

El extremo libre del tubo de goma que sale de la bomba debe conectarse a un extremo de lavarilla problema, mientras que al otro extremo se conectara otro tubo de goma que devolverael agua circulante a la cubeta.

El equipo se conectara solo cuando se hayan revisado las condiciones anteriores.

La temperatura del bano termico se selecciona mediante el mando de la izquierda. El banoalcanzara la temperatura deseada cuando el indicador central comience a parpadear.

Medida de coeficientes de dilatacion lineal

1. Anotar la temperatura ambiente del laboratorio, T0, consultando el termometro que seencuentra a la entrada del mismo.

2. Escoger 3 de las 4 varillas disponibles y colocarlas alternativamente en el banco de fijacion,conectados al sistema de circulacion de la cubeta segun se ha explicado anteriormente.Hace falta hacer solamente una serie de medidas para cada meterial.

Practica 5. Dilatacion termica 35

3. El extensometro debera fijarse tambien al banco, de modo que su punta se encuentre encontacto con un extremo de la varilla, sin excesiva presion sobre el mismo.

4. Para cada varilla:

(a) Ajustar el cero del extensometro, para que la medidas indiquen directamente ladilatacion de las varillas.

(b) Conectar el termostato y seleccionar T = 25C.

(c) Cuando el bano haya alcanzado la temperatura seleccionada, anotar la temperaturaque puede leerse en el termometro, T , con su correspondiente error. Puede ajustarsemejor la temperatura del bano operando el mando offset, aunque basta con tomarla lectura del termometro.

(d) Anotar la lectura del extensometro, ∆`.

(e) Elevar la temperatura sucesivamente unos 5C cada vez, accionando el mando deltermostato, y repetir los dos pasos anteriores.

(f) Repetir los pasos (c)–(e) hasta obtener seis medidas.

No sera necesario operar el termostato por encima de 50C.

(g) Escribir en una tabla los valores de los incremento de la temperatura, ∆T = T −T0,y las correspondientes dilataciones de las varillas, ∆`, y estimar sus errores.

(h) Representar graficamente los datos ∆` en ordenadas y ∆T en abscisas y ajustagraficamente una recta. Determina la pendiente de la recta y su error.

(i) Sabiendo que la longitud inicial de las varillas es `0 = 600 mm, obtener el valor delcoeficiente de dilatacion lineal α1 de cada material a partir de la pendiente de larecta de ajuste y la ecuacion (5.1). Comparar los resultados con la Tabla 5.1.

Tras cada serie de medidas, apagar el termostato y sustituir el agua de lacubeta por otra frıa, siguiendo las intrucciones del profesor de practicas.

Practica 6

Ley de Ohm

6.1 Objetivo

En esta practica se estudia el comportamiento de los resistores compactos de uso extendido enlos laboratorios y en la tecnica, a fin de verficar si cumplen la ley de Ohm. Asimismo, se iniciaal alumno en el uso del codigo de colores de las resistencias y en el manejo del polımetro.

6.2 Material

• Placa reticular DIN A4.

• Fuente de tension continua.

• Dos polımetros.

• Resistencias: 220 Ω, 470 Ω, 2.2 kΩ, 3.3 kΩ, 10 kΩ, 47 kΩ y 100 kΩ.

• Enchufes en puente.

• Cables para conexion.

6.3 Fundamento

La ley de Ohm establece que, a una temperatura dada, existe una proporcionalidad directaentre la diferencia del potencial V aplicada a los extremos de un conductor y la intensidadde corriente I que circula por el mismo. La relacion matematica que expresa esta ley fuedescubierta y demostrada por G.S. Ohm en 1827,

I =V

R. (6.1)

36

Practica 6. Ley de Ohm 37

R es la resistencia, medida en ohmios (Ω) siempre que V se exprese en voltios (V) e I enamperios (A). La ley de Ohm no es una propiedad general de la materia, ya que no todas lassustancias y dispositivos la obedecen. Una sustancia que obedece la ley de Ohm se denominaconductor ohmico o conductor lineal. En caso contrario, el conductor se denomina no lineal.

6.4 Realizacion

1. Determinar el valor nominal de 5 resistencias distintas. Para ello, se utilizaran el codigode colores (Apendice A) y el polımetro (Apendice B). Comparar y tabular los resultadosobtenidos, sin olvidar los correspondientes errores.

Dependencia de la intensidad con la tension a resistencia constante

2. Montar sobre la placa reticular el circuito correspondiente a la Fig. 6.1, utilizando laresistencia R1 = 220 Ω.

Figura 6.1

3. Actuando sobre el mando regulador de la fuente de tension continua, aumentar esta desde1 V hasta 10 V, con incrementos de 1 V. Medir, para cada valor de la tension V, el corres-pondiente valor para la intensidad de corriente I. Obtener este mismo dato calculandoloa partir de la ley de Ohm, utilizando para ello el valor medido de R. Construir una tablaque refleje los valores medidos y calculados. Cada dato debe expresarse correctamentecon su error.

4. Representar en papel milimetrado los resultados experimentales, colocando la corriente Ien ordenadas y la tension V en abscisas. No olvidar dibujar los rectangulos que represen-tan el error. Obtener la recta de ajuste por el metodo de mınimos cuadrados. A partirde la pendiente de esta recta, calcular el valor de la resistencia utilizada y su error.

5. Repetir los pasos 2 a 4, utilizando esta vez la resistencia R2 = 470 Ω.


Dependencia de la intensidad con la resistencia a tension constante

6. Colocar de nuevo la resistencia R1 = 220 Ω.

7. Actuando sobre el mando regulador de la fuente de tension, fijar esta en 10 V.

8. Medir la intensidad de corriente I. Obtener este mismo dato a partir de la ley de Ohmusando el valor medido de R.

9. Sustituir sucesivamente R1 por las resistencias R2 = 470 Ω, R3 = 2.2 kΩ, R4 = 3.3 kΩ,R5 = 10 kΩ, R6 = 47 kΩ y R7 = 100 kΩ y repetir para cada una de ellas el paso 8.

10. Construir una tabla que refleje los valores de I medidos y calculados para cada una delas resistencias utilizadas. Cada dato, tanto teorico como experimental debe expresarsecorrectamente con su error.

11. Representar graficamente I (mA) en funcion de R (Ω) ası como los rectangulos de error.

Practica 7

Fenomenos transitorios: carga ydescarga de un condensador

7.1 Objetivo

Existen numerosos fenomenos en los que el valor de la magnitud fısica que los caracteriza evolu-ciona en regimen transitorio, esto es: la magnitud fısica que estamos considerando aumenta odisminuye con el tiempo t de acuerdo a una ley matematica en la que el termino predominantetiene la forma

magnitud fısica ∝ e−t/τ , (7.1)

donde τ tiene dimensiones de tiempo y se denomina constante de tiempo del transitorio. Susignificado fısico es obvio: indica el tiempo en el que la magnitud fısica en estudio aumenta odisminuye (segun la ley que rija el fenomeno) un factor e ' 2.7182. La desintegracion de unelemento radioactivo o la amortiguacion de una onda son fenomenos tıpicamente transitorios.Con esta practica estudiaremos otros dos ejemplos de tales fenomenos, la carga y descarga deun condensador.

7.2 Material

Disponemos de un condensador C de 3200 µF, con una tolerancia del 10 %, una resistenciaR de 22 kΩ, con la misma tolerancia, y una fuente de corriente continua que suministra unatension V0 ≈ 12 V. Ademas contamos con un cronometro digital para determinar el tiempo enque se toman las medidas y un polımetro.

7.3 Fundamento

En circuitos electricos que contienen un condensador C o una autoinduccion L que bruscamenteson conectados a un generador de corriente continua, se originan corrientes electricas cuyaevolucion en el tiempo tiene el comportamiento de un fenomeno transitorio. Consideremos

39


el circuito de la Fig. 7.1, con un condensador C, una resistencia ohmica R, un generadorde corriente continua V0 y un interruptor, todos ellos conectados en serie. Supongamos queinicialmente (t = 0) el condensador esta descargado y que cerramos el circuito. La intensidad Ique circula por el y las caıdas de tension entre los extremos del condensador VC y entre los dela resistencia VR pueden ser calculados por la simple aplicacion de la primera ley de Kirchoff,

BBB

BBBBBB

PPP

-

••

R

CVC(t)

+

−V0

I

Figura 7.1

V0 = VR + VC . (7.2)

Puesto que VR = IR, siendo I = CdVC

dt, podemos escribir

V0 = RCdVC

dt+ VC , (7.3)

ecuacion que tiene como solucion,

VC = V0(1 − e−t/RC) , (7.4)

de lo que se deduce que la caıda de tension en los extremos de la resistencia es:

VR = V0 − VC = V0e−t/RC . (7.5)

Ambas expresiones (7.4) y (7.5) son similares a (7.1) y representan un fenomeno transitorio conuna constante de tiempo:

τ = RC . (7.6)

Aplicando la ley de Ohm se tiene que la intensidad que circula por el circuito es,

I =V0

Re−t/RC . (7.7)

La evolucion temporal de la tension en el condensador ası como la intensidad que circulapor el circuito se describen en las Figs. 7.2 y 7.3, respectivamente. Observamos que la tensionen el condensador VC aumenta de forma monotona con el tiempo, tendiendo cuando t → ∞

Practica 7. Fenomenos transitorios: carga y descarga de un condensador 41

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EF ,?>

Figura 7.2 Figura 7.3

al valor lımite V0, valor para el cual el condensador esta cargado. A efectos practicos podemosconsiderar que esto ocurre cuando t ≈ 5τ .

De forma analoga podemos estudiar el fenomeno de descarga del condensador. Si en t = 0 elcondensador esta cargado a una tension V0 y cerramos nuestro circuito sin fuente de alimentacion(Fig. 7.4), la caıda de tension total en la malla es:

BBB

BBBBBB

PPP

••

R

CVC(t)

+

−

I

Figura 7.4

RCdVC

dt+ V0 = 0 . (7.8)

Esta ecuacion diferencial tiene como solucion

VC = V0e−t/RC = VR . (7.9)

que representa otro fenomeno transitorio con identica constante de tiempo τ = RC a la delproceso de carga. Analogamente la intensidad en el circuito decrece exponencialmente en virtud


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9

Figura 7.5 Figura 7.6

de la ley de Ohm:

I =V0

Re−t/RC . (7.10)

En la practica, la duracion del transitorio es igualmente t ≈ 5τ . Las ecuaciones (7.9) y(7.10) se representan en las Figs. 7.5 y 7.6, respectivamente.

7.4 Realizacion

1. Medir la tension V0 que suministra la fuente de corriente continua conectando la salidade esta directamente al polımetro. El valor de la medida sera V0 ≈ 12 V.

2. Comprobar con el polımetro que el condensador esta descargado (el polımetro medirauna tension nula). Si el condensador estuviese todavıa cargado se deberan unir medianteun conductor (preferiblemente un cable conectado a una resistencia) los dos polos delcondensador. Es importante conectar la fuente de alimentacion al condensador con lapolaridad adecuada. El polo negativo del condensador esta indicado con un triangulito. en los bornes.

3. Proceso de carga:

(a) Montar el circuito de la Fig. 7.1 con el polımetro en disposicion de medir la caıda detension en los bornes del condensador.

(b) A continuacion, conectar la fuente de tension al mismo tiempo que se pone en marchael cronometro. Se tomaran medidas de VC a intervalos regulares de unos 10 s. Elintervalo temporal de las medidas puede espaciarse conforme la tension que indicael polımetro se va estabilizando. Tomar medidas hasta transcurridos 8-10 minutos,tiempo en el cual puede decirse que el condensador se ha cargado.

Practica 7. Fenomenos transitorios: carga y descarga de un condensador 43

4. Proceso de descarga:

(a) Desconectar el circuito anterior de la fuente y disponerlo como se indica en la Fig. 7.4.

(b) Medir de nuevo la tension en los bornes del condensador a intervalos regulares de 10 s.Observaremos que la tension que indica el polımetro disminuye con el transcurso deltiempo. Las medidas podemos espaciarlas, igualmente, conforme la tension se esta-biliza. Transcurridos 8-10 minutos podemos considerar que el proceso de descargaha terminado.

5. Construir una tabla con los valores de tiempos y tensiones medidas, con su error, enlos procesos de carga y descarga y representar graficamente VC en funcion del tiempopara ambos procesos (la tension en el eje de ordenadas y el tiempo en abscisas). Elcomportamiento exponencial sera evidente.

6. Tomando logaritmos neperianos a ambos lados de (7.9), se obtiene la ecuacion de unarecta,

ln VC = ln V0 −t

τ. (7.11)

Representar graficamente ln VC en funcion del tiempo para el proceso de descarga.Ajusta graficamente una recta a los datos. Determina la pendiente de la recta y su error.

7. Calcular la constante de tiempo τ del proceso y su error a partir de la pendiente de larecta de ajuste. Comparar el resultado con el valor teorico τ = RC.

Practica 8

Medida del campo magnetico terrestre

8.1 Objetivo

El objetivo de esta practica es medir el valor del campo magnetico terrestre. Para ello se empleaun campo magnetico de magnitud y direccion conocidas, que se superpone al campo terrestre(desconocido). La practica permite variar la intensidad del campo prueba para obtener laintensidad de la componente horizontal del campo magnetico terrestre. La componente verticales tambien calculada.

8.2 Material

La Fig. 8.1 muestra el dispositivo experimental, que consta de los siguientes elementos:

• Un par de bobinas de Helmholtz, con radio 20cm y 154 espiras cada una.

• Una fuente de tension continua.

• Un polımetro digital.

• Un reostato o resistencia variable.

• Una brujula.

• Una sonda Hall axial.

• Un teslametro, que permite medir campos magneticos.

Las bobinas de Helmholtz estan conectadas en serie entre sı, y a una fuente de tensioncontinua, a traves de un reostato. En el circuito conectaremos tambien un polımetro en serie(en modo amperımetro).

44

Practica 8. Medida del campo magnetico terrestre 45

TeslametroBobinas de Helmholtz

Sonda de Hall axial

Reostato

Polimetro

Fuente de alimentacion

Figura 8.1

8.3 Fundamento e introduccion

8.3.1 Bobinas de Helmholtz

Un par de bobinas de Helmholtz es un dispositivo formado por dos bobinas circulares identicassituadas a lo largo de un mismo eje (el eje de simetrıa de estas), por las que circula la mismaintensidad de corriente electrica. Usando la ley de Biot y Savart, puede demostrarse que elcampo magnetico ( ~BH) generado por un par de bobinas de Helmholtz a lo largo del eje de lasbobinas viene dado por:

~BH = (BH)z~k =

NµR2IH

2× (

1

((d2

+ z)2 + R2)3/2+

1

((d2− z)2 + R2)3/2

) ~k (8.1)

donde N y R son el numero de espiras y radio de las bobinas respectivamente, d la separacionentre las bobinas, IH la itensidad de corriente electrica que circula por las estas, µ es laconstante de permeabilidad del vacıo, z es la distancia sobre el eje de las bobinas tomandocomo origen el centro de las mismas (ver Fig. 8.2), y ~k un vector unitario en el eje z. Enparticular, en el punto medio de las bobinas (z=0), el campo magnetico generado viene dadopor:

~BH = (BH)z~k =

NµR2

((d2)2 + R2)3/2

× IH~k = K × IH

~k (8.2)


donde K es una constante. En cualquier caso, las ecuaciones anteriores muestran que en unpunto fijo del eje de las bobinas, el campo magnetico generado es proporcional a la intensidad decorriente que circula por las bobinas. La constante de proporcionalidad K (Ec. 8.2) dependerasolo de las caracterısticas de las bobinas y de la distancia entre estas.

d

eje zz = 0

R

Figura 8.2. Bobinas de Helmholtz

8.3.2 Campo magnetico terrestre

El campo magnetico terrestre (desde la superficie de la Tierra y hasta distancia de unos 5veces el radio de la Tierra) corresponde aproximadamente al campo que generarıa un dipolomagnetico situado en el centro de la Tierra. La Fig. 8.3 muestra un diagrama simplificado delcampo magnetico terrestre.

Como puede apreciarse en la Fig. 8.3b, para una latitud geografica (λ) determinada, elvector campo magnetico puede descomponerse en su componente tangente a la superficie (ocomponente horizontal, (BT )h), que apunta siempre al Norte, y su componente vertical, (BT )v,que en el hemisferio norte esta dirigida hacia el centro de la Tierra, y a la inversa en el sur.El angulo que forma la direccion del vector campo magnetico con la horizontal de un lugar, sedenomina angulo de inclinacion.

8.4 Realizacion

1. Campo magnetico de las bobinas de Helmholtz en el punto central.

En la primera parte de la practica, vamos a comprobar que el campo magnetico en elpunto central de las bobinas Helmholtz (z = 0 en el eje de simetrıa de las bobinas) vienedado por la Ec. 8.2 y calcularemos el valor de la constante K. Para ello mediremos elcampo magnetico generado (BH) para un rango de valores de intensidad de corriente (IH)que haremos circular por las bobinas.


(a) (b)

PN GeograficoPN Magnetico

PN Geografico

PN magnetico

B

λ

(B )

(B )

T h

T v

TEcuador

Plano horizontal local

Figura 8.3. (a) Esquema simplificado del campo magnetico terrestre. (b) descomosicion del campo

magnetico terrestre en un lugar de latitud λ, en sus componentes horizontal, (BT )h, y vertical, (BT )v.

• Pasos previos a la obtencion de las medidas:

(a) Encender el teslametro (interruptor en su parte trasera) y asegurarse de que haestado encendido durante al menos ∼10 minutos antes de comenzar las medidaso el ajuste del punto cero (descrito abajo).

(b) Asegurar que la fuente de alimentacion esta limitada a max. 1.5 A. Para ellomover si fuese necesario la rueda de la derecha, etiquetada con ‘A’

(c) Poner el voltaje de la fuente de alimentacion (rueda de la izquierda, etiquetadacon ‘V’) al maximo.

(d) Poner el reostato a la maxima resistencia. Para ello alejar el mando superior delas clavijas de conexion.

• Colocar la punta de la sonda Hall en el centro de las bobinas. La sonda Hall axialmide componentes de campos magneticos orientados en direccion paralela al soportede la sonda. Por ello, haciendo uso de los soportes disponibles, hay que colocar lasonda de modo que la punta este situada en el punto z = 0 (Fig. 8.2), y de modoque la sonda sea paralela al eje de simetrıa de las bobinas (ver Fig. 8.1).

• Poner polımetro en modo amperımetro: colocar una clavija de los cables de conexionen el terminal etiquetado COM, y la otra en el etiquetado con 10 A, para proteger


su fusible interno.

• Pasados 10 minutos de su encendido, ajustar el punto cero del teslametro. Para ello,mover el boton de ajuste del teslametro (a la derecha, etiquetado con ’0’) hasta queindique cero o un valor lo mas pequeno posible.

• Encender la fuente de alimentacion y el polımetro.

• Ir aumentando la intensidad que circula por los carretes (IH) haciendo uso delreostato, y medir con el teslametro el campo magnetico generado para cada valor deIH entre 0 y 2 amperios. Tomar al menos 5 o 6 pares de medidas.

• Construir una grafica de BH (en eje y) en funcion de IH (en eje x) con sus corres-pondientes barras de error. Ajustar la recta resultante por mınimos cuadrados ycalcular valor de K y su correspondiente error.

2. Medida de la componente horizontal del campo magnetico. En ausencia de otrocampo magnetico cercano, una aguja imantada indicara siempre la direccion del polo nortemagnetico. En presencia de otro campo magnetico adicional (por ejemplo el generado porbobinas de Helmholtz), la aguja de la brujula se deflectara un angulo α, orientandose en

la direccion del campo magnetico resultante ( ~B), suma de la componente horizontal del

campo magnetico terrestre ~(BT )h y del campo adicional ( ~BH):

(B ) hT

(B ) zH

N

S

Bα

eje z

φ

Figura 8.3

Usando el teorema de seno, se obtiene:

(BH)z

sin α=

(BT )h

sin(φ − α)(8.3)

y usando la Ec. 8.2, obtenemos:

(BH)z = K × IH =sin α

sin(φ − α)(BT )h (8.4)

La Ec. 8.4 relaciona el angulo de deflexion α producido por una intensidad de corrienteIH , con la componente horizontal del campo magnetico terrestre, permitiendonos calcular

este ultimo, conocidos el angulo φ que forman ~(BT )h y ~(BH)z, y el valor de la constanteK.


Para realizar las medidas:

• Apagar la fuente de alimentacion para asegurar que no circula corriente por lasbobinas (y asegurar por tanto que BH=0).

• Colocar la brujula en la zona central de las bobinas, de modo que el centro de labrujula este aproximadamente situado en el centro de las bobinas (hacer uso deltornillo del soporte para regular la altura de la brujula si fuese necesario).

• Girar la brujula, de modo que la direccion N-S que indica la aguja de la brujulacoincida con la direccion 0-90 en la escala graduada. Desplazar ligeramente laaguja de su posicion de equilibrio un par de veces para asegurar que la direccion N-Sse ha determinado correctamente.

• Medir el angulo φ. φ es el angulo entre la direccion N-S y el eje del par de bobinasde Helmholtz, y corresponde al maximo angulo de deflexion de la aguja. Encender lafuente de alimentacion y aumentar la intensidad que circula por las bobinas (medi-ante control del reostato) hasta que el angulo de deflexion alcance su valor maximo.Anotarlo junto con su error correspondiente.

• Poner el voltaje en 1V y la intensidad a 0.5A en la fuente de alimentacion. Actuandosobre el reostato, ir aumentando la intensidad que circula por las bobinas desde cerohasta aproximadamente 0.1A. Para cada valor de la intensidad, medir el angulo dedeflexion α. Anotar las medidas en una tabla , y calcular (BH)z y sin(φ − α)/sin αy sus correspondientes errores.

IH ± ∆IH α ± ∆α (BH)z ± ∆(BH)zsinα

sin(φ−α)± ∆( sin α

sin(φ−α))

(A) () (mT)

• Representar (BH)z (eje y) frente a sin α/sin(φ − α) (eje x) con sus correspondientesbarras de error. Haciendo uso de la Ec. 8.4, calcular a partir de la representaciongrafica la componente horizontal del campo magnetico (BT )h en Granada.

3. Medida de la componente vertical del campo magnetico.

La Fig. 8.4 muestra las componentes vertical, (BT )v, y horizontal, (BT )h, del campomagnetico terrestre. Podemos apreciar, que usando trigonometrıa basica, la componentevertical puede obtenere a partir de la horizontal una vez conocido el angulo θ o angulode inclinacion del campo magnetico.


(B ) hT

(B ) vTB T

θ

plano horizontal local

Figura 8.4

(BT )v = (BT )h tan θ (8.5)

• Apagar la fuente de alimentacion.

• Girar la brujula en su soporte, de modo que el plano de esta sea ahora perpendicularal plano horizontal, con el eje de la brujula perpendicular a la direccion N-S.

• La aguja indicara ahora la direcion del vector campo magnetico terrestre ( ~BT ). An-otar el angulo θ o angulo de inclinacion que forma la aguja de la brujula con lahorizontal.

• Usando la Ec. 8.5, calcular el valor de la componente vertical del campo magneticoterrestre y el campo total en Granada con sus respectivos errores.

• Comparar los resultados obtenidos con el valor del campo magnetico en Granada(ver http://www.ngdc.noaa.gov/geomagmodels/IGRFWMM.jsp). Comentar los re-sultados y las causas de posibles diferencias. La coordenadas de Granada son: Lat.:37 10’ 41” N, Long.: 3 36’ 3” O.

Apendice A

Codigo de colores de una resistencia

Las resistencias estan marcadas con un serie de bandas de diferentes colores que permitenidentificar su valor nominal, ası como el margen de incertidumbre de este valor o tolerancia.Para interpretar el codigo se procede de la siguiente manera.

1. Se coloca la resistencia con la banda dorada o plateada hacia la derecha.

2. Se asigna, por orden de izquierda a derecha, a cada color el valor numerico correspon-diente, segun el codigo de colores siguiente:

Negro −→ 0 Verde −→ 5

Marron −→ 1 Azul −→ 6

Rojo −→ 2 Violeta −→ 7

Naranja −→ 3 Gris −→ 8

Amarillo −→ 4 Blanco −→ 9

3. La ultima banda de color antes de la dorada o plateada, representa la potencia de 10 porla que hay que multiplicar el valor asignado a los colores anteriores.

4. El resultado numerico ası obtenido, representa el valor nominal de la resistencia expresadoen Ω.

5. La ultima banda, dorada o plateada, indica la tolerancia, de acuerdo con el codigo:

Oro −→ 5%

Plata −→ 10%

51


Ejemplo. Sea una resistencia cuyas bandas de color son amarillo, violeta, naranja y plata. Suvalor nominal sera:

amarillo-violeta −→ 47

naranja −→ 103

plata −→ 10%

⇒ R = 47 · 103 ± 4.7 · 103 Ω = (47 ± 5) · 103 Ω

Otros codigos

En las resistencias de tamano mas pequeno, que presentan una banda roja en lugar dedorada o plateada, el valor nominal se obtiene en la forma:

1a

2a

3a

3 primeros dıgitos segun codigo anterior

4a Potencia de 10

5a Coeficiente de temperatura

6a Banda roja a la derecha ⇒ 2% de tolerancia

Ejemplo. Sea una resistencia cuyas bandas son amarillo, violeta, negro, rojo, marron y rojo.Su valor nominal sera:

amarillo-violeta-negro −→ 470

rojo −→ 102

marron

rojo −→ 2%

⇒ R = 470 · 102 ± 9.4 · 102 Ω = (47.0 ± 0.9) · 103 Ω

Apendice B

El polımetro

El polımetro es el instrumento de medida fundamental en cualquier experiencia de teorıa decircuitos. Permite medir tensiones, intensidades y resistencias.

Figura B.1

En la Fig. B.1 se muestra un esquema del polımetro disponible en nuestro laboratorio. Suselementos son los siguientes.

1: Tornillo de regulacion del cero para cualquier escala.

2: Mando de regulacion del cero para medida de resistencias.

53


3: Selector de rango, tanto de tipo de medida (resistencia, tension o intensidad de corriente)como de fondo de escala (valor maximo de la senal que el polımetro es capaz de medir).Con el fin de evitar posibles averıas, nunca debera usarse una escala cuyo fondo estepor debajo del valor de la senal a medir. En el caso de la medida de resistencias, elselector no indica el fondo sino el factor de escala.

4: Selector de funcion, para corrientes continuas DC=, corrientes alternas AC∼ o resisten-cias Ω.

Existen ademas cuatro terminales de entrada, colocados en la parte superior, para conec-tar el polımetro con los circuitos o elementos a medir.

B.1 Medidas de tension: polımetro como voltımetro

1. Colocar el selector de funcion 4 en la posicion DC= o AC∼, segun se quieran medirtensiones de corrientes continua o alterna, respectivamente.

2. Conectar una de las clavijas de los cables de conexion al terminal etiquetado COM. Sueleutilizarse el cable negro. La otra clavija (generalmente la roja) se conecta al terminalVAΩ.

3. Estimar la tension esperada antes de colocar el selector de rangos 3 en laescala de tensiones apropiada dentro de la zona del selector marcada con V'. Si sedesconoce este dato, elegir el fondo de escala mayor.

4. Identificar los dos puntos entre los que se quiere determinar la tension y conectar lasclavijas libres de los cables de forma que el polımetro quede en paralelo.

5. Teniendo en cuenta el fondo de escala elegido, efectuar la medida leyendo el valor indicadoen una de las escalas graduadas: la negra, marcada con AV=, para la tension de unacorriente continua o la roja, marcada con V∼, para la de una corriente alterna. Facilitala lectura inmediata el elegir la numeracion superior o la inferior segun el fondo de escalaseleccionado. Ambas son, sin embargo, equivalentes. La sensibilidad de la medida estambien funcion del fondo de escala.

6. Solo en el caso de tener que seleccionar un fondo de escala de 1.5 kV (650 V maximo)se insertara la clavija roja del cable de conexion en el terminal de entrada marcado con1.5 kV, en vez de en VAΩ. Colocar entonces el selector 3 en la posicion 500 V/1.5kV.

B.2 Medidas de intensidad: polımetro como am-

perımetro

1. Colocar el selector de funcion 4 en la posicion DC= o AC∼, segun se quieran medirintensidades de corrientes continua o alterna, respectivamente.

Apendice B. El polımetro 55


3. Estimar la intensidad esperada antes de colocar el selector de rangos 3 en laescala de intensidades apropiada dentro de la zona del selector marcada con A'. Sise desconoce este dato, elegir el fondo de escala mayor.

4. Identificar los dos puntos entre los que se quiere determinar la tension y conectar lasclavijas libres de los cables de forma que el polımetro quede en serie.

5. Teniendo en cuenta el fondo de escala elegido, efectuar la medida leyendo el valor indicadoen una de las escalas graduadas: la negra, marcada con AV=, para la intensidad de unacorriente continua o la roja, marcada con A∼, para la de una corriente alterna. Facilitala lectura inmediata el elegir la numeracion superior o la inferior segun el fondo de escalaseleccionado. Ambas son, sin embargo, equivalentes. La sensibilidad de la medida estambien funcion del fondo de escala.

6. Solo para medidas de mas de 1 A y de hasta 10 A, insertar la clavija roja del cable deconexion en el terminal de entrada marcado con 2.5/10 A, en vez de en VAΩ. Colocarel selector 3 en la posicion 1/10 A.

MUY IMPORTANTE: Es frecuente que se intente medir la intensidad suministrada poruna fuente o la red colocando el polımetro directamente entre los terminales. Dado que laresistencia interna del polımetro, en la funcion de amperımetro, es pequena, se debera entoncesintercalar una resistencia en serie con el polımetro para evitar una sobrecarga.

B.3 Medidas de resistencias: polımetro como ohmetro

1. Aislar la resistencia o grupo de resistencias a medir del resto del circuito. De este modonos aseguramos de que medimos esta resistencia y no el equivalente de la agrupacion conel resto del circuito.

2. Colocar el selector de funcion 4 en la posicion Ω.


4. Conectar las clavijas libres de los cables de forma que el polımetro quede colocado enparalelo con la resistencia o grupo de resistencias que se desea medir.

5. Efectuar la medida a partir del valor indicado en la escala graduada marcada con Ω. Paraello, multiplicar el valor leıdo en la escala por el factor que indique el selector 3. Escogerel rango que permita la mas precisa lectura.


NOTA: Cortocircuitando los puntales del polımetro en el rango Ω×1, se debera oir una senalacustica procedente del zumbador interno, dispositivo que resulta muy util cuando el polımetrose usa para verificar la continuidad de un circuito.

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