Practica1: Teoría de Incertidumbres y presentación de...

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Practica1: Teoría de Incertidumbres y presentación de resultados

Ramón Escobar Galindo

Prácticas de Física I

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• Teoría de incertidumbres:• Tipos de incertidumbres• Estimación de la incertidumbre

• Presentación de resultados experimentales• Cifras significativas• Reglas de redondeo

• Representación gráfica de resultados• ¿Cómo y cuando representar usar una gráfica?• Ajustes por mínimos cuadrados

Tema 1 Indice de contenidos

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Tema 1 Presentación de resultados experimentales

Medidax (m)

IncertidumbreΔx (m)

0.987 0.181

25.8251 0.0687

25.825 0.724

0.88 0.665

12 0.5254

1.867 0.942

26.9767 0.987

356.257 11.897

364.12 26

588.6 348

5.82 370.86

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TEORIA DE INCERTIDUMBRES

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Tema 1 Introducción a Teoría de Incertidumbres

Toda medida experimental física debe expresarse con un número (x) y sus unidades correspondientes

No es posible llevar a cabo una medida experimental sin ninguna

incertidumbre (Δx).

Este error ha de ser calculado e incluido en la medida

Medida: x ± Δx [unidades]

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Tema 1 Tipos de incertidumbres

PRECISION: Sensibilidad del equipo de medida

Δx ~ εp

• La última cifra de la medida es una estimación

• La precisión viene limitada por el instrumento (0.1cm).

Medida ≈ 26.13 cm

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ALEATORIO: Errores bidireccionales.

• Fuentes de error inevitables• Puede ser reducido pero nunca

eliminado

• Fuentes:• Errores del operador• Cambios en las condiciones

experimentales.

• ¿Cómo minimizarlos?• Tomar medidas repetidas y

calcular su promedio.Medida ± Error aleatorio

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SISTEMATICO: Errores unidireccionales.

Medida + Error sistemáticoO

Medida - Error sistemático

• Error de calibración, mal funcionamiento

• Puede ser eliminado

• Fuentes:- Limitaciones instrumentales, físicas

y humanas.

• ¿Cómo minimizarlos?- Calibración cuidadosa.- Usar las mejores técnicas posibles

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• “Precisión” (reproducibilidad) vs “Exactitud” (cercano al valor real) • Imagina a una persona lanzando dardos, tratando de alcanzar el

centro de la diana

No exactoNo preciso

ExactoNo preciso

No exactoPreciso

ExactoPreciso

Analogía del juego de dardos

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• El error total de una medición suele ser una combinación de los tres tiposde errores (precisión, aleatorio y sistemático).

• Error absoluto (Δx):• Incertidumbre asociada a un resultado dado.

• Error relativo (Δx / x):• Cómo de buena es una medida• A menudo expresado en (%)

• Ejemplo: Suponer que se ha medido la distancia Tierra-Sol (RTS) y Marte-Sol (RMS), obteniendo los siguientes resultados:

RTS = (1.5 ± 0.4) x 108 km RMS = (22.8 ± 0.4) x 108 km

¿Cuál de las dos medidas es más precisa?El error absoluto es el mismo en ambos casos (ΔR = 0.4 x 108 km)

Pero…..los errores relativos son diferentesΔRTS/RTS = 0.4/1.5 x 100 = 27%

ΔRMS/RMS = 0.4/22.8 x 100 = 2%

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Incertidumbre expandida:Define un intervalo en torno al resultado de la medición x en el que seespera encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían serrazonablemente atribuidos al mensurando

𝑥𝑥 − 𝑈𝑈 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 + 𝑈𝑈 𝑥𝑥𝑥𝑥 − Δ𝑋𝑋, 𝑥𝑥 + Δ𝑋𝑋

Se define como𝑈𝑈 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘𝑢𝑢𝑐𝑐 𝑥𝑥

Δ𝑿𝑿 = kΔx

k: Factor de cobertura. Nos proporciona el nivel de confianza del intervalo

En general, tomaremos k=1

k=1 68.3 %k=2 95.4 %k=3 99.7 %

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Tema 1 Estimación de la incertidumbre

A) Medidas directas.- Incertidumbre en una sola medida de una magnitud.- Incertidumbre en un conjunto finito de medidas de una

magnitud.

B) Mediciones indirectas.- Propagación de la incertidumbre.

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A) Medidas directas.- Incertidumbre en una sola medida de una magnitud.

La incertidumbre es simplemente la precisión del instrumento, Δx = εp- Instrumento analógico

εp= División más pequeñaEj: regla graduada en milímetros

εp= 1 mm.

- Instrumento digitalεp= Unidad más pequeña de instrumentoEj: escala digital medida gramos

εp= 1 g.

148 ± 1 g

26,1±0,1 cm

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A) Medidas directas.- Incertidumbre en un conjunto finito de medidas directas de una

magnitud.(x1, x2, x3, …., xn) cada una de ellas con su error de precisión εp

Resultado como la media (valor más probable)

Desviación estándar o desviación cuadrática media (𝝈𝝈)

Nota: Si el número de medidas es menor que 10, podemos hacer la aproximación:

∑=

=+++

=n

1ii

n21 xn1

nx...xxx

nh

nxxxxxxx

n

i in ∑==−++−+−= 1222

22

1 )(....)()()(σ xxh ii −=

∆𝒙𝒙 = 𝜺𝜺𝒑𝒑𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝟐𝟐 (unidad) xx ∆±𝜎𝜎 𝑥𝑥 =𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

6

15


A) Medidas directas.Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un termómetro cuya resolución es εp=1ºC

Resultado de la medida (valor medio):

Desviación estándar: CT

nTTTT

ii

n º6.6451... 5

1

21 ==+++

= ∑=

Ch

nTTTTTT i in º2.2

5)(....)()(

5

1222

22

1 ==−++−+−

= ∑ =σ TTh ii −=

∆𝑻𝑻 = 𝜺𝜺𝒑𝒑𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 (unidad) xx ∆±

T1 T2 T3 T4 T564ºC 61ºC 65ºC 68ºC 65ºC

�𝑻𝑻 ± ∆𝑻𝑻 = 𝟔𝟔𝟔𝟔.𝟔𝟔 ± 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∆𝑻𝑻�𝑻𝑻

= 𝟑𝟑.𝟗𝟗𝟗

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A) Medidas directas.Supongamos que medimos una longitud tres veces con una regla graduada en milímetros εp=1 mm

Resultado de la medida (valor medio):

Desviación estándar:

cmLLi

i 5.631 3

1== ∑

=

cmTLTLTL 03

)()()( 232

22

1 =−+−+−

=σ

∆𝑳𝑳 = 𝜺𝜺𝒑𝒑𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 (unidad) xx ∆±

L1 L2 L36.5 cm 6.5 cm 6.5 cm

�𝑳𝑳 ± ∆𝑳𝑳 = 𝟔𝟔.𝟓𝟓 ± 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∆𝑳𝑳�𝑳𝑳

= 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟗

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B) Medidas indirectasLa incertidumbre en la medida indirecta se deriva de las incertidumbres de las mediciones directas utilizadas para calcularla (propagación de incertidumbre).

Mejor estimación de y:

Error:

Nota: es la derivada parcial de f con respecto a xi, manteniendo xjconstante)

Ejemplo

),...,,( 21 nxxxfy =

),...,,( 21 nxxxfy =

ii xx ∆±

(unidad) yy ∆±21 bxaxy −=

axy1

=∂∂ b

xy2

−=∂∂

22

21 )()( xbxay ∆⋅+∆⋅=∆

21 xbxay −=

∆𝑦𝑦 =𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥1

2

∆𝑥𝑥1 2 +𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥2

2

∆𝑥𝑥2 2 + ⋯ = �𝑚𝑚=1

𝑚𝑚𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑚𝑚

2

∆𝑥𝑥𝑚𝑚 2

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑚𝑚

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B) Medidas indirectasCalculamos el volumen de un paralelepípedo a partir de los valores obtenido de las medidas de sus aristas

Mejor estimación de V(a,b,c):

Error:

),...,,( 21 nxxxfy =ii xx ∆±

b

a ca = 10,00 ± 0,10 cmb = 25,0 ± 2,0 cmc = 15,0 ± 1,5 cm

V(a,b,c) = a·b·c

�𝑽𝑽 = 𝑽𝑽 �𝒂𝒂, �𝒃𝒃, �𝟏𝟏 = �𝒂𝒂 � �𝒃𝒃 � �𝟏𝟏 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟓𝟓𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑

∆𝑉𝑉 =𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕𝑎𝑎

2

∆𝑎𝑎 2 +𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕𝑏𝑏

2

∆𝑏𝑏 2 +𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕𝑐𝑐

2

∆𝑐𝑐 2 = 481.69633 𝑐𝑐𝑚𝑚3

𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 · 𝑐𝑐

𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 · 𝑐𝑐

𝜕𝜕𝑉𝑉𝜕𝜕𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏

�𝑽𝑽 ± ∆𝑽𝑽 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟓𝟓𝟎𝟎 ± 𝟔𝟔𝟒𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑

(unidad) yy ∆±

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B) Medidas indirectasEjemplo: densidad de una bola de acero

Cálculo de la densidad (ρ): 𝜌𝜌 =𝑚𝑚

43𝜋𝜋𝑅𝑅

3=

𝑚𝑚43𝜋𝜋

𝐷𝐷2

3 = 𝜕𝜕(𝑚𝑚,𝐷𝐷)

Dm

El diámetro D se mide con un calibre cuya resolución es εp (D)= 0.01cm

La masa m se mide con una balanza cuya resolución es εp (m)= 0.1g

𝜌𝜌 =6𝑚𝑚𝜋𝜋𝐷𝐷3

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B) Medidas indirectasEjemplo: densidad de una bola de acero• Se mide el diámetro 7 veces

• Valor medio del diámetro:

• Incertidumbre:

D1 (cm) D2 (cm) D3 (cm) D4 (cm) D5 (cm) D6 (cm) D7 (cm)

2.38 2.45 2.39 2.44 2.40 2.43 2.42

�𝐷𝐷 =∑𝑚𝑚=17 𝐷𝐷𝑚𝑚

7 = 2.4157 cm

𝜎𝜎 𝐷𝐷 =𝐷𝐷1 − �𝐷𝐷 2 + 𝐷𝐷2 − �𝐷𝐷 2 + ⋯ 𝐷𝐷7 − �𝐷𝐷 2

7 = 0.024411 cm

𝜀𝜀𝑝𝑝 𝐷𝐷 = 𝛿𝛿𝐷𝐷 = 0.01 cm Δ𝐷𝐷 = 𝜀𝜀𝑝𝑝2 𝐷𝐷 + 𝜎𝜎2 𝐷𝐷 = 0.02638 cm

𝐷𝐷 = 2.416 ± 0.026 cm

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B) Medidas indirectasEjemplo: densidad de una bola de acero• Se realiza una única medida de la masa, obteniéndose

• Valor medio de la masa:

• Incertidumbre: En este caso la incertidumbre será igual a la resolución del instrumento.

m (g)

57.7

�𝑚𝑚 = 57.7 g

𝜀𝜀𝑝𝑝 𝑚𝑚 = 𝛿𝛿𝑚𝑚 = 0.1 g Δ𝑚𝑚 = 𝜀𝜀𝑝𝑝2 𝐷𝐷 = 0.1𝑔𝑔

m= 57.7 ± 0.1 𝑔𝑔

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B) Medidas indirectasEjemplo: densidad de una bola de acero• Medidas directas:

• Valor medio de la densidad: �̅�𝜌 = 𝜕𝜕 �𝑚𝑚, �𝐷𝐷

• Incertidumbre medida indirecta:

m = 57.7 ± 0.1 𝑔𝑔𝐷𝐷 = 2.416 ± 0.026 cm

�̅�𝜌 =6 �𝑚𝑚𝜋𝜋�𝐷𝐷3

= 7.8170 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑚𝑚−3

∆𝜌𝜌 =𝜕𝜕𝜌𝜌𝜕𝜕𝑚𝑚

2

∆𝑚𝑚 2 +𝜕𝜕𝜌𝜌𝜕𝜕𝐷𝐷

2

∆𝐷𝐷 2 = 0.1462 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑚𝑚3

𝜕𝜕𝜌𝜌𝜕𝜕𝑚𝑚 =

6𝜋𝜋𝐷𝐷3

𝜕𝜕𝜌𝜌𝜕𝜕𝐷𝐷 = −

18𝑚𝑚𝜋𝜋𝐷𝐷4

�𝝆𝝆 ± ∆𝝆𝝆 = (𝟑𝟑.𝟒𝟒𝟐𝟐 ± 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓) 𝒈𝒈𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑

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B) Medidas indirectasEjemplo: densidad de una bola de acero

�̅�𝜌 =6 �𝑚𝑚𝜋𝜋�𝐷𝐷3

= 7.8170 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑚𝑚−3

∆𝜌𝜌 =𝜕𝜕𝜌𝜌𝜕𝜕𝑚𝑚

2

∆𝑚𝑚 2 +𝜕𝜕𝜌𝜌𝜕𝜕𝐷𝐷

2

∆𝐷𝐷 2 = 0.1462 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑚𝑚3

�𝝆𝝆 ± ∆𝝆𝝆 = (𝟑𝟑.𝟒𝟒𝟐𝟐 ± 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓) 𝒈𝒈𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑

IMPORTANTE: Estrictamente en el resultado final la incertidumbre quedebería expresarse es la Incertidumbre expandida U(x) ó Δ𝑋𝑋 = kΔx, quetendrá en cuenta el factor de cobertura k según el nivel de confianza quese requiera del resultado. En tal caso se usaría: 𝑈𝑈 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘𝑢𝑢𝑐𝑐 𝑥𝑥 (Δ𝑋𝑋 = kΔx)

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A) Medidas directas.- Incertidumbre en una sola medida de una magnitud.

Δx = εp (analog. εp= División más pequeña)(digital, εp= Unidad más pequeña)

- Incertidumbre en un conjunto finito de medidas directas de una magnitud.

B) Medidas indirectas- Propagación de incertidumbre

nhn

i i∑== 12

σ xxh ii −= ∆𝒙𝒙 = 𝜺𝜺𝒑𝒑𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝟐𝟐

),...,,( 21 nxxxfy =

∆𝑦𝑦 = �𝑚𝑚=1

𝑚𝑚𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑚𝑚

2

∆𝑥𝑥𝑚𝑚 2

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Observaciones

- Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u ordenador, conviene conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados intermedios.

- Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a la incertidumbre de las magnitudes que intervienen en la fórmula.

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PRESENTACIÓN DE RESULTADOS EXPERIMENTALES

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¿Qué tienen de extraño estas frases?- La extinción de los dinosaurios ocurrió hace aproximadamente

65 millones de años y 3 días- Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27

segundos- El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12

días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas

- El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene determinado por el valor de la incertidumbre

- Por ejemplo, es absurdo dar como resultadosx=(1.2732345678534±0.0358) m

L=(2.1389639±0.18653617) m

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- CADA MEDIDA DEBE ESTAR ACOMPAÑADA DE SU ERROR CORRESPONDIENTE

- EL VALOR MEDIDO Y LA INCERTIDUMBRE DEBENEXPRESARSE EN LAS MISMAS UNIDADES

- EL VALOR MEDIDO Y LA INCERTIDUMBRE DEBENTENER LA MISMA PRECISIÓN

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1) CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN EL ERROR(Δx)Usar sólo dos cifras distinta de cero en el error (cifras significativas)¿Cúales? Primeras dos cifra no cero empezando desde la izquierda

x=(1.2732345678534±0.0358) m

L=(2.1389639±0.18653617) m

Δx = 0.0036 (m)

Δx = 0.19 (m)

¿REDONDEO DEL ERROR (Δx)?

¿REDONDEO DEL VALOR DE LA MEDIDA (x)?

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2) REDONDEO DEL ERROR (Δx)2.1 Primer dígito eliminado < 5:

La ultima cifra se mantiene igual

2.2 Primer dígito eliminado > 5:La ultima cifra se incrementa en 1 unidad

2.3 Primer dígito eliminado = 5:2.3.1. Después del 5, hay valores distintos de 0

La ultima cifra se incrementa en 1 unidad2.3.2. Después del 5, todos los dígitos son 0

La ultima cifra se mantiene igual si es parLa ultima cifra se aumenta en 1 unidad si es impar

(redondeo al par más próximo)

Δx = 243 (m)Δx = 240 (m)

Δx = 2690 (m)Δx = 2700 (m)

Δx= 36,51 (m)Δx= 37 (m)

Δx= 36,50 (m)Δx= 36 (m)

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3) REDONDEO DEL VALOR DE LA MEDIDA (x)- El error absoluto establece el número de cifras guardadas

(significativas) en el valor de la medida

- Las reglas de redondeo se aplican tanto al valor de error total como al valor de medición

Ejemplo: x = 123.5739 (m)Δx = 0.02135 (m)

x = 123.574 ± 0.021 (m)

LOS VALORES DE LA MEDIDA NO DEBEN INCLUIR NINGUNA CIFRA NO SIGNIFICATIVA

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1) CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN EL ERROR(Δx)Usar sólo dos cifras distinta de cero en el error (cifras significativas)¿Cúales? Primeras dos cifra no cero empezando desde la izquierda

2) REDONDEO DEL ERROR (Δx)Eliminar resto de cifras siguiendo reglas de redondeo.

3) REDONDEO DEL VALOR DE LA MEDIDA (x)Mantener la misma precisión que el error.

(unidad) xx ∆±

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1,43865 ± 0,01239

(*) 4,81343 ± 0,04661

132,2894 ± 2,8754

5127 ± 234

0,53781 ± 0,00962

5,03574 ± 0,02575

2,3487 ± 0,345

109,32 ± 8,75

1,439 ± 0,012

4,813 ± 0,047

132,3 ± 2,9

5,036 ± 0,026

2,35 ± 0,34

109,3 ± 8,8

(5378 ± 97) × 10-5130 ± 230

0,5378 ± 0,0096

; ur = 0,86 %

; ur = 0,96 %

; ur = 2,2 %; ur = 4,6 %

; ur = 1,8 %

; ur = 0,51 %

; ur = 15 %

; ur = 7,6 %(*) ur(%)= (0,04661 / 4,81343) x 100 % = 0,96833 %…= 0,96 %

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Medidax (m)


Incertidumbreredondeada Δx (m)

Resultado finalx ± Δx (m)

0.987 0.181 0.18 0.99 ± 0.18

25.8251 0.0687 0.069 25.825 ± 0.069

25.825 0.724 0.72 25.82 ± 0.72

0.88 0.665 0.66 0.88 ± 0.66

12 0.5254 0.53 12.00 ± 0.53

1.867 0.942 0.94 1.87 ± 0.94

26.9767 0.987 0.99 26.98 ± 0.99

356.257 11.897 12 356 ± 12

364.12 26 26 364 ± 26

588.6 348 350 590 ± 350

3.82 370.86 370 0 ± 370

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Medidax (m)


Incertidumbreredondeada Δx (m)

Resultado finalx ± Δx (m)

0.987 0.181 0.18 0.99 ± 0.18

25.8251 0.0687 0.069 25.825 ± 0.069

25.825 0.724 0.72 25.82 ± 0.72

0.88 0.665 0.66 0.88 ± 0.66

12 0.5254 0.53 12.00 ± 0.53

1.867 0.942 0.94 1.87 ± 0.94

26.9767 0.987 0.99 26.98 ± 0.99

356.257 11.897 12 356 ± 12

364.12 26 26 364 ± 26

588.6 348 350 590 ± 350

3.82 370.86 370 0 ± 370

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS RESULTADOS

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Tema 1 Representación gráfica de los resultados

• Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una distancia L=(100±1)m

• Para calcular v, 8 personas miden el tiempo que tarda en recorrer el coche la distancia L

• Los tiempos medidos por cada reloj son los siguientes:

L

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8(4.0±0.1) s (3.9±0.1) s (4.1±0.1) s (4.0±0.1) s (3.8±0.1) s (4.1±0.1) s (4.2±0.1) s (3.7±0.1) s

Cuándo NO se necesita hacer una representación gráfica

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t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8(4.0±0.1) s (3.9±0.1) s (4.1±0.1) s (4.0±0.1) s (3.8±0.1) s (4.1±0.1) s (4.2±0.1) s (3.7±0.1) s


• Calculamos el valor medio del tiempo:

• Calculamos la incertidumbre del tiempo:

• Resultado:

̅𝑡𝑡 =∑𝑚𝑚=18 𝑡𝑡𝑚𝑚

8= 3.975 s

𝜎𝜎 𝑡𝑡 =𝑡𝑡1 − ̅𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡2 − ̅𝑡𝑡 2 + ⋯ 𝑡𝑡8 − ̅𝑡𝑡 2

8 = 0.13059 s𝜀𝜀𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 𝛿𝛿𝑡𝑡 = 0.1 s

Δ𝑡𝑡 = 𝜀𝜀𝑝𝑝2 𝑡𝑡 + 𝜎𝜎2 𝑡𝑡 = 0.164479 s

𝑡𝑡 = 3.98 ± 0.16 s; ⁄∆𝒕𝒕 �̅�𝒕 = 𝟔𝟔.𝟏𝟏𝟗

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• Calculamos el valor de la velocidad a partir de la expresión:

• Incertidumbre de la velocidad (medida indirecta):

• Resultado:

𝑡𝑡 = 3.98 ± 0.16 sL = 100 ± 1 𝑚𝑚

�̅�𝑣 =�𝐿𝐿̅𝑡𝑡= 25.1256 𝑚𝑚𝑠𝑠−1

∆𝑣𝑣 =𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝐿𝐿

2

∆𝐿𝐿 2 +𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑡𝑡

2

∆𝑡𝑡 2 =1̅𝑡𝑡2∆𝐿𝐿 2 +

�𝐿𝐿2̅𝑡𝑡4∆𝑡𝑡 2 = 1.04086 𝑚𝑚𝑠𝑠−1

𝑣𝑣 = 25.13 ± 1.04 𝑚𝑚𝑠𝑠−1

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• Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una distancia L

• Para calcular v, 8 personas se sitúan en 8 puntos diferentes del recorrido situados a una distancia al origen Li y midiendo cada una (una sola vez) un tiempo ti

Cuándo SI se necesita hacer una representación gráfica

L=0 L1 L2 L3 L7 L8

t1 t2 t3 t7 t8

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• Resultados de las medidas:


L=0 L1 L2 L3 L7 L8

t1 t2 t3 t7 t8

t (± 0.01 s) L (± 1 m)0.51 12.51.01 25.01.57 37.52.10 50.02.47 62.53.06 75.03.55 87.54.14 100.0

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• Sabemos que la distancia y el tiempo están relacionados a través de la relación lineal: 𝐿𝐿 = 𝑣𝑣𝑡𝑡

• Si se representan gráficamente los valores obtenidos, de modo que la distancia esté en el eje de ordenadas y los tiempos en el eje de abcisas, los puntos deben estar alineados


0

20

40

60

80

100

120

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5

L (m)

t(s)

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• Debido a los errores experimentales, los puntos no están perfectamente alineados

• Por ello, hay que encontrar la recta de mejor ajuste a esos puntos• Se puede hacer manualmente o de forma matemática


0

20

40

60

80

100

120

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5

L (m)

t(s)

0

20

40

60

80

100

120

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5

L (m)

t(s)

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1) Método Gráfico• “Mejor” línea recta a través de los puntos experimentales


0

20

40

60

80

100

120

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5

L (m)

t(s)

xδ

yδ

b

X

X

bmxy +=

b = intercepción con el eje x

m = pendiente de la línea

)tan(xym α=∂∂

=α

vtL =

m = v b = 0

Forma grosera de ajustar los datos a una línea rectaMétodo sencillo pero poco riguroso ¿Errores¿

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1) Método Matemático: Ajuste por mínimos cuadrados• Procedimiento matemático para minimizar


minimun)( 2 =−+∑ ii ybmx

( )22 ∑∑∑∑∑

−

−=

ii

iiii

xxn

xyyxnm

nxmy

b ii ∑∑ −=

( )( ) 2

2

)/()2( nxxnbmxy

mii

ii

∑ ∑∑

−−−−

=∆

∑∆=∆ 2ixmb

Nota: calcular todos los dígitos decimales en los pasos intermedios.Sólo redondear los valores finales.

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1) Método Matemático: Ajuste por mínimos cuadrados• El coeficiente de correlación (r) es una medida cuantitativa de la

cercanía de los puntos experimentales a la recta de regresión

• |r|

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Observaciones

- Para todas estas fórmulas el Departamento tiene disponible una hoja de cálculo que se puede descargar desde “Enseñanza Virtual” que simplemente introduciendo la tabla de valores os da directamente m, b, Δm, Δb, y r

- No obstante si alguien no dispone del programa Excel, necesario para que funcione la hoja de cálculo, en el Laboratorio siempre hay ordenadores encendidos para que al finalizar cada práctica se ejecute la aplicación anterior y se obtengan los parámetros comentados.

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1) Método Matemático: Ajuste por mínimos cuadrados• Ejemplo anterior:


𝑦𝑦 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

𝐿𝐿 = 𝑣𝑣 𝑡𝑡 + 0

• Identificar la fórmula matemática de nuestro problema con la recta de regresión

• Por tanto, la velocidad coincidirá con la pendiente, y la ordenada en el origen debe ser cero

• Aplicando las fórmulas de mínimos cuadrados se obtiene:

𝑣𝑣 ≡ 𝑚𝑚 = 24.41 ± 0.37ms

𝑏𝑏 = 0.07 ± 0.97 m ~ 0 m

𝑟𝑟 = 0.9993

49


Muchas leyes físicas establecen la dependencia de una variable en términos de otra. (Ojo: ¡no siempre lineal!)

• Supongamos que estamos tomando las medidas de tiempos del coche anterior, pero no sabemos si se está moviendo con velocidad constante (𝑳𝑳 = 𝒗𝒗𝒕𝒕) o aceleración constante (𝑳𝑳 = 𝟏𝟏

𝟐𝟐𝒂𝒂𝒕𝒕𝟐𝟐)

• Podemos hacer dos representaciones: una de L frente a t y otra de L frente a t2 y ver en cuál de ellas los puntos están más cercanos a una recta

Esto se puede comprobar a ojo o de forma cuantitativa mediante el coeficiente de correlación r

Otra utilidad de la regresión lineal

50


Otra utilidad de la regresión linealt (s) L (m)

2.47 12.5

3.49 25.0

4.22 37.5

4.92 50.0

5.47 62.5

6.09 75.0

6.50 87.5

6.99 100.0

t2 (s2) L (m)

6.1009 12.5

12.1801 25.0

17.8084 37.5

24.2064 50.0

29.9209 62.5

37.0881 75.0

42.2500 87.5

48.8601 100.0

0102030405060708090

100

2 3 4 5 6 7

L (m)

t (s)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

6 16 26 36 46

L (m)

t2 (s2)

𝑟𝑟 = 0.992

𝑟𝑟 = 0.9997

Movimiento acelerado

𝑚𝑚 = 2.046 ± 0.020 m/s2

𝑎𝑎 = 4.092 ± 0.040 m/s2

𝟏𝟏 =𝒂𝒂𝟐𝟐

51


Fuerza entre Cargas

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

Distancia entre las cargas (m)

Fuer

za e

ntre

las

carg

as (N

)

Titulo

Unidades

Magnitudes en los ejes

Barra de errores

Escala apropiada

Gráfico2

1

2

3

4

5

6

7

8


Fuerza entre las cargas (N)

Fuerza entre Cargas

1

0.25

0.1111111111

0.0625

0.04

0.0277777778

0.0204081633

0.015625

Hoja1

11

20.25

30.1111111111

40.0625

50.04

60.0277777778

70.0204081633

80.015625

Hoja1


Fuerza entre las cargas (N)

Fuerza entre Cargas

Hoja2

Hoja3

52


Eje de ordenadas

(v. dependiente)

Puntos distribuidos por toda la gráfica

Barras de error

Eje de abcisas(v. independiente) Identificación

de los ejes

Escalasencilla

I (mA)1 2 3 4 5 6 7 8

V (×102 mV)

12

13

14

15

16

17

El origen no tiene porqué ser

el (0,0)

¡Nunca!(La gráfica debe

estar limpia)

Línea deajuste

53


0

12,27

24,54

36,81

49,08

61,35

73,62

85,89

98,16

110,43

0,000000001,000000002,000000003,000000004,000000005,000000006,000000007,000000008,000000009,0000000010,00000000t

L

Espaciado absurdo en el

eje

La leyenda sobra

Líneas o cuadrículas no necesarias

El espacio en blanco hace que los puntos estén en una región pequeña

Los puntos no deben unirse

No deben incluirse decimales salvo que sea necesario. Y menos en un número tan grande

54

Tema 1 Resumen

Comentarios finales

- Cada medida debe ir acompañada de su error.

- No olvidar de las unidades.- Redondeo correcto de errores

(y de valores medidos)

- Requisitos del gráfico:- Los puntos experimentales deben ser claramente visibles- Usar una escala apropiada (ocupar el máximo espacio posible)- Marcar los ejes a intervalos periódicos (no puntos experimentales)- Agregar barras de error a los puntos y unidades al eje- Si los datos se pueden ajustar a una línea recta, dibujar la mejor

línea de ajuste

55

Tema 1 Preparando la siguiente lección

• ¿Qué tipos de error existen en medidas experimentales?• ¿Cuándo podemos decir que una medida experimental no

tiene error?• ¿Qué es la propagación de errores?• ¿Cómo se redondean los resultados experimentales?

Walter Lewin (MIT) 8.01x - Lect 1 - Powers of 10, Units, Dimensions, Uncertainties, Scaling Arguments https://www.youtube.com/watch?v=GtOGurrUPmQ

https://www.youtube.com/watch?v=GtOGurrUPmQ

Practica1: Teoría de Incertidumbres y presentación de resultados Tema 1 Tema 1 Teoria de incertidumbresTema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Presentación de resultados experimentales��Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Representación gráfica de los resultados�Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1 Tema 1

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