Práctica 4Teorema de la divergencia,

Teorema de Stokey

Campos conservativos.

1

Teorema de la divergencia

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

2

Problema 1.

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

3

Problema 1.

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

s1

S2

D

x

y

z

z=2

z=6

D=

4

Figura 7.1:

de , a través de .

Teorema de Gauss (o Teorema de la divergencia)

Sea suave y una región tipo IV acotada por la cual es una superficie cerrada y

orientada. Entonces se cumple que:

Vamos a analizar la notación en el resultado final del Teorema de Gauss.

Primer miembro: o simplemente

Segundo miembro: es la integral de superficie del campo vectorial , y se puede escribir como

notación

De modo que en los ejercicios presentaremos el Teorema de Gauss como:

con y

Teorema: Ley de Gauss.

Se tiene un sólido tipo IV en sea y Entonces se cumple que si

Este teorema se conoce vulgarmente como Teorema de Gauss sobre un sólido cerrado y acotado con un hueco ensu interior.

7.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea la región de acotada por la semi-esfera dada por y

orientada con normal exterior. Verificar el Teorema de la divergencia.

Soluciónes suave puesto que sus componentes son funciones polinómicas en es una región tipo I y tipo

II, es tipo IV en acotada por con la superficie de la semi-esfera y el disco

76

s1

S2

x

y

z

n1

n2

5

Entonces:

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

donde encontramos

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Evaluando

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

6

Ahora evaluamos:

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Parametrizamos S1

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Observe que la orientación del vector normal es la correcta

7

Ahora evaluamos:

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Parametrizamos S1

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

s1

n1

8

Ahora evaluamos:

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Parametrizamos S1

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Ahora

9

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Ahora parametrizamos S2

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Observe que la orientación del vector normal no es la correcta, por eso tomamos el segundo

vector

10

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Ahora parametrizamos S2

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

S2

n2

11

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Entonces

(ver fig. 7.2)

Además está orientada con la normal exterior, por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema y

Figura 7.2:

Primero evaluamos

Ahora resta evaluar y comprobar que da

A tal efecto, parametrizamos por

y para que

apunte hacia el exterior debe ser

Así que

Ahora, para

para que apunte al exterior.

Por lo tanto,

77

Finalmente

Como queriamos hemos encontrado:

Hemos demostrado que y

Problema 2

Sea Calcular con la superficie del cubo dado por

(Sugerencia: Utilizar el Teorema de Gauss).

Solución

Antes que nada, el alumno debe verificar las condiciones del Teorema de Gauss.Cumplido tal requisito, pasamos a observar que si no utilizamos el Teorema de Gauss, habría que calcular seis

integrales de superficies (una por cada cara del cubo).

Ahora, y por el teorema en cuestión:

Problema 3

Sea el sólido acotado de la figura , con una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo-

ner que la proyección de sobre el plano (Notación es de tipo II en Sea un campo vec-

torial, Demuestre que ( Es decir:

)

Se sabe que las caras laterales de formarán parte de planos paralelos a los planos y , repectivamente.

Figura 7.3:

Además, (ver figura).

78

12

Problema 2.

Hemos demostrado que y

Problema 2

Sea Calcular con la superficie del cubo dado por

(Sugerencia: Utilizar el Teorema de Gauss).

Solución

Antes que nada, el alumno debe verificar las condiciones del Teorema de Gauss.Cumplido tal requisito, pasamos a observar que si no utilizamos el Teorema de Gauss, habría que calcular seis

integrales de superficies (una por cada cara del cubo).

Ahora, y por el teorema en cuestión:

Problema 3

Sea el sólido acotado de la figura , con una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo-

ner que la proyección de sobre el plano (Notación es de tipo II en Sea un campo vec-

torial, Demuestre que ( Es decir:

)

Se sabe que las caras laterales de formarán parte de planos paralelos a los planos y , repectivamente.

Figura 7.3:

Además, (ver figura).

78

Hemos demostrado que y

Problema 2

Sea Calcular con la superficie del cubo dado por

(Sugerencia: Utilizar el Teorema de Gauss).

Solución

Antes que nada, el alumno debe verificar las condiciones del Teorema de Gauss.Cumplido tal requisito, pasamos a observar que si no utilizamos el Teorema de Gauss, habría que calcular seis

integrales de superficies (una por cada cara del cubo).

Ahora, y por el teorema en cuestión:

Problema 3

Sea el sólido acotado de la figura , con una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo-

ner que la proyección de sobre el plano (Notación es de tipo II en Sea un campo vec-

torial, Demuestre que ( Es decir:

)

Se sabe que las caras laterales de formarán parte de planos paralelos a los planos y , repectivamente.

Figura 7.3:

Además, (ver figura).

78

13

Hemos demostrado que y

Problema 2

Sea Calcular con la superficie del cubo dado por

(Sugerencia: Utilizar el Teorema de Gauss).

Solución

Antes que nada, el alumno debe verificar las condiciones del Teorema de Gauss.Cumplido tal requisito, pasamos a observar que si no utilizamos el Teorema de Gauss, habría que calcular seis

integrales de superficies (una por cada cara del cubo).

Ahora, y por el teorema en cuestión:

Problema 3

Sea el sólido acotado de la figura , con una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo-

ner que la proyección de sobre el plano (Notación es de tipo II en Sea un campo vec-

torial, Demuestre que ( Es decir:

)

Se sabe que las caras laterales de formarán parte de planos paralelos a los planos y , repectivamente.

Figura 7.3:

Además, (ver figura).

78

Hemos demostrado que y

Problema 2

Sea Calcular con la superficie del cubo dado por

(Sugerencia: Utilizar el Teorema de Gauss).

Solución

Antes que nada, el alumno debe verificar las condiciones del Teorema de Gauss.Cumplido tal requisito, pasamos a observar que si no utilizamos el Teorema de Gauss, habría que calcular seis

integrales de superficies (una por cada cara del cubo).

Ahora, y por el teorema en cuestión:

Problema 3

Sea el sólido acotado de la figura , con una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo-

ner que la proyección de sobre el plano (Notación es de tipo II en Sea un campo vec-

torial, Demuestre que ( Es decir:

)

Se sabe que las caras laterales de formarán parte de planos paralelos a los planos y , repectivamente.

Figura 7.3:

Además, (ver figura).

78

Hemos demostrado que y

Problema 2

Sea Calcular con la superficie del cubo dado por

(Sugerencia: Utilizar el Teorema de Gauss).

Solución

Antes que nada, el alumno debe verificar las condiciones del Teorema de Gauss.Cumplido tal requisito, pasamos a observar que si no utilizamos el Teorema de Gauss, habría que calcular seis

integrales de superficies (una por cada cara del cubo).

Ahora, y por el teorema en cuestión:

Problema 3

Sea el sólido acotado de la figura , con una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo-

ner que la proyección de sobre el plano (Notación es de tipo II en Sea un campo vec-

torial, Demuestre que ( Es decir:

)

Se sabe que las caras laterales de formarán parte de planos paralelos a los planos y , repectivamente.

Figura 7.3:

Además, (ver figura).

7814

Nota: Este ejercicio se coloca en el capítulo correspondiente al Teorema de Gauss, por ser parte de la demostracióndel mismo.

Solución

Designemos cara superior de cara inferior y las caras laterales. Por lo tanto,

(puesto que )

por ser por hipótesis tipo II en

Ahora bien,

con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada en este

libro: reemplazando a en donde las comillas indican que se ha tomado

la orientación adecuada.

Problema 4

Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados porrespectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea

usar el Teorema de Gauss para calcular

Solución

puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en (ver fig. 7.4).

es obviamente región tipo IV, suave, acotada por superficie cerrada y orientada. Por lo tanto,se cumple el Teorema de Gauss:

La segunda y tercera integral deben ser nulas puesto que si se recuerda, de MA las coordenadas del

centroide de son y como en este caso, pero

tiene que ser La cuarta integral

79

Hemos demostrado que y

Problema 2

Sea Calcular con la superficie del cubo dado por

(Sugerencia: Utilizar el Teorema de Gauss).

Solución

Antes que nada, el alumno debe verificar las condiciones del Teorema de Gauss.Cumplido tal requisito, pasamos a observar que si no utilizamos el Teorema de Gauss, habría que calcular seis

integrales de superficies (una por cada cara del cubo).

Ahora, y por el teorema en cuestión:

Problema 3

Sea el sólido acotado de la figura , con una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo-

ner que la proyección de sobre el plano (Notación es de tipo II en Sea un campo vec-

torial, Demuestre que ( Es decir:

)

Se sabe que las caras laterales de formarán parte de planos paralelos a los planos y , repectivamente.

Figura 7.3:

Además, (ver figura).

78

15

Nota: Este ejercicio se coloca en el capítulo correspondiente al Teorema de Gauss, por ser parte de la demostracióndel mismo.

Solución

Designemos cara superior de cara inferior y las caras laterales. Por lo tanto,

(puesto que )

por ser por hipótesis tipo II en

Ahora bien,

con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada en este

libro: reemplazando a en donde las comillas indican que se ha tomado

la orientación adecuada.

Problema 4

Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados porrespectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea

usar el Teorema de Gauss para calcular

Solución

puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en (ver fig. 7.4).

es obviamente región tipo IV, suave, acotada por superficie cerrada y orientada. Por lo tanto,se cumple el Teorema de Gauss:

La segunda y tercera integral deben ser nulas puesto que si se recuerda, de MA las coordenadas del

centroide de son y como en este caso, pero

tiene que ser La cuarta integral

79

Hemos demostrado que y

Problema 2

Sea Calcular con la superficie del cubo dado por

(Sugerencia: Utilizar el Teorema de Gauss).

Solución

Antes que nada, el alumno debe verificar las condiciones del Teorema de Gauss.Cumplido tal requisito, pasamos a observar que si no utilizamos el Teorema de Gauss, habría que calcular seis

integrales de superficies (una por cada cara del cubo).

Ahora, y por el teorema en cuestión:

Problema 3

Sea el sólido acotado de la figura , con una superficie cerrada orientada hacia el exterior de Supo-

ner que la proyección de sobre el plano (Notación es de tipo II en Sea un campo vec-

torial, Demuestre que ( Es decir:

)

Se sabe que las caras laterales de formarán parte de planos paralelos a los planos y , repectivamente.

Figura 7.3:

Además, (ver figura).

78

16

Nota: Este ejercicio se coloca en el capítulo correspondiente al Teorema de Gauss, por ser parte de la demostracióndel mismo.

Solución

Designemos cara superior de cara inferior y las caras laterales. Por lo tanto,

(puesto que )

por ser por hipótesis tipo II en

Ahora bien,

con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada en este

libro: reemplazando a en donde las comillas indican que se ha tomado

la orientación adecuada.

Problema 4

Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados porrespectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea

usar el Teorema de Gauss para calcular

Solución

puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en (ver fig. 7.4).

es obviamente región tipo IV, suave, acotada por superficie cerrada y orientada. Por lo tanto,se cumple el Teorema de Gauss:

La segunda y tercera integral deben ser nulas puesto que si se recuerda, de MA las coordenadas del

centroide de son y como en este caso, pero

tiene que ser La cuarta integral

79

Nota: Este ejercicio se coloca en el capítulo correspondiente al Teorema de Gauss, por ser parte de la demostracióndel mismo.

Solución

Designemos cara superior de cara inferior y las caras laterales. Por lo tanto,

(puesto que )

por ser por hipótesis tipo II en

Ahora bien,

con lo cual se concluye la demostración. Sólo resta observar que hemos usado, según la notación acordada en este

libro: reemplazando a en donde las comillas indican que se ha tomado

la orientación adecuada.

Problema 4

Sea el sólido interior al cilindro de ecuación entre los planos dados porrespectivamente. Suponer que está orientada hacia el exterior de Sea

usar el Teorema de Gauss para calcular

Solución

puesto que sus componentes son combinaciones de polinomios y exponenciales en (ver fig. 7.4).

es obviamente región tipo IV, suave, acotada por superficie cerrada y orientada. Por lo tanto,se cumple el Teorema de Gauss:

La segunda y tercera integral deben ser nulas puesto que si se recuerda, de MA las coordenadas del

centroide de son y como en este caso, pero

tiene que ser La cuarta integral

79

17

Teorema de Stokes.

Figura 5.1:

según el caso).

Versión (b) del Teorema de Stokes.Sea una parametrización de una superficie orientada orientada también y con

las hipótesis siguientes:(i) es uno a uno.

(ii)

Conclusión:

El primer miembro se puede escribir como: y el segundo miembro

como:

Nota: Recordamos al alumno que debe consultar los textos recomendados por el Profesor de su curso. En particular,en Marsden y Tromba, tercera edición, encontrará en las páginas la justificación del por qué se presentael teorema en dos versiones. Allí se demuestra el teorema en la versión más fácil, que es la (a) y se indican las

dificultades para la demostración de la versión (b).

5.2 Ejercicios Resueltos.

Problema 1

Sea el disco dado por con

Calcular

5718

Problema 3.

Figura 5.1:

según el caso).

Versión (b) del Teorema de Stokes.Sea una parametrización de una superficie orientada orientada también y con

las hipótesis siguientes:(i) es uno a uno.

(ii)

Conclusión:

El primer miembro se puede escribir como: y el segundo miembro

como:

Nota: Recordamos al alumno que debe consultar los textos recomendados por el Profesor de su curso. En particular,en Marsden y Tromba, tercera edición, encontrará en las páginas la justificación del por qué se presentael teorema en dos versiones. Allí se demuestra el teorema en la versión más fácil, que es la (a) y se indican las

dificultades para la demostración de la versión (b).

5.2 Ejercicios Resueltos.

Problema 1

Sea el disco dado por con

Calcular

57

Solución

es una curva cerrada y simple igual al borde de .

es una región tipo III (puesto que es tipo I y además tipo II, basta con que sea uno de los dos tipos).

son funciones por ser combinaciones de polinomios y exponenciales en . Por lo tanto, en lugar deparametrizar la curva y calcular la integral de línea dada, utilizaremos el Teorema de

Green (del cual hemos verificado sus condiciones).

Así que,

Si no usamos el Teorema de Green, los cálculos resultan muy largos. En efecto:

Una parametrización de podría ser

y calcular

es una locura.

Problema 2

Sea sea además Calcular

Solución

es el rectángulo dado por para calcular la integral dada, habría queparametrizar cada lado del rectángulo y sumar cuatro integrales de línea.

En su lugar, vamos a ver si se puede aplicar el Teorema de Green: es una curva cerrada y simple. esregión tipo I y también es tipo II (luego es tipo III), son combinaciones de polinomios, exponenciales y funciones

trigonométricas en por lo tanto,

Así que,

Problema 3

Como ejercicio, el alumno puede calcular como integral de línea y comprobar el resultado anterior.

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

58

Solución

es una curva cerrada y simple igual al borde de .

es una región tipo III (puesto que es tipo I y además tipo II, basta con que sea uno de los dos tipos).

son funciones por ser combinaciones de polinomios y exponenciales en . Por lo tanto, en lugar deparametrizar la curva y calcular la integral de línea dada, utilizaremos el Teorema de

Green (del cual hemos verificado sus condiciones).

Así que,

Si no usamos el Teorema de Green, los cálculos resultan muy largos. En efecto:

Una parametrización de podría ser

y calcular

es una locura.

Problema 2

Sea sea además Calcular

Solución

es el rectángulo dado por para calcular la integral dada, habría queparametrizar cada lado del rectángulo y sumar cuatro integrales de línea.

En su lugar, vamos a ver si se puede aplicar el Teorema de Green: es una curva cerrada y simple. esregión tipo I y también es tipo II (luego es tipo III), son combinaciones de polinomios, exponenciales y funciones

trigonométricas en por lo tanto,

Así que,

Problema 3

Como ejercicio, el alumno puede calcular como integral de línea y comprobar el resultado anterior.

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

58

19

Solución

es una curva cerrada y simple igual al borde de .

es una región tipo III (puesto que es tipo I y además tipo II, basta con que sea uno de los dos tipos).

son funciones por ser combinaciones de polinomios y exponenciales en . Por lo tanto, en lugar deparametrizar la curva y calcular la integral de línea dada, utilizaremos el Teorema de

Green (del cual hemos verificado sus condiciones).

Así que,

Si no usamos el Teorema de Green, los cálculos resultan muy largos. En efecto:

Una parametrización de podría ser

y calcular

es una locura.

Problema 2

Sea sea además Calcular

Solución

es el rectángulo dado por para calcular la integral dada, habría queparametrizar cada lado del rectángulo y sumar cuatro integrales de línea.

En su lugar, vamos a ver si se puede aplicar el Teorema de Green: es una curva cerrada y simple. esregión tipo I y también es tipo II (luego es tipo III), son combinaciones de polinomios, exponenciales y funciones

trigonométricas en por lo tanto,

Así que,

Problema 3

Como ejercicio, el alumno puede calcular como integral de línea y comprobar el resultado anterior.

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

58

Nota:

20

Problema 4.Problema 4

Calcular mediante el Teorema de Green:

con

Solución

es una elipse de semiejes y , por lo tanto es curva cerrada y simple, con

así que es región tipo III. por lo tanto, son funciones polinómicasen luego están en en

Como está recorrida en sentido horario, por conocimientos de integrales de líneas vistas en MA

Aquí,

Problema 5

Sean y campos escalares: región cerrada y acotada tipo III y Sea curva simple

cerrada, frontera de con sentido (+)

(a) Demuestre que se cumple:

(b) Demuestre que se cumple:

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

Problema 6

Con las mismas condiciones del ejercicio anterior, demuestre la conocida "Fórmula de Green:"

Del problema 6 se deduce también, que si y son funciones armónicas sobre ( y ), entonces:

(¡Compruébelo!)

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

Nota: Las fórmulas que aparecen en los Problemas 5 y 6 se presentan frecuentemente en problemas de Física-Matemática.

59

Problema 4

Calcular mediante el Teorema de Green:

con

Solución

es una elipse de semiejes y , por lo tanto es curva cerrada y simple, con

así que es región tipo III. por lo tanto, son funciones polinómicasen luego están en en

Como está recorrida en sentido horario, por conocimientos de integrales de líneas vistas en MA

Aquí,

Problema 5

Sean y campos escalares: región cerrada y acotada tipo III y Sea curva simple

cerrada, frontera de con sentido (+)

(a) Demuestre que se cumple:

(b) Demuestre que se cumple:

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

Problema 6

Con las mismas condiciones del ejercicio anterior, demuestre la conocida "Fórmula de Green:"

Del problema 6 se deduce también, que si y son funciones armónicas sobre ( y ), entonces:

(¡Compruébelo!)

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

Nota: Las fórmulas que aparecen en los Problemas 5 y 6 se presentan frecuentemente en problemas de Física-Matemática.

59

Problema 4

Calcular mediante el Teorema de Green:

con

Solución

es una elipse de semiejes y , por lo tanto es curva cerrada y simple, con

así que es región tipo III. por lo tanto, son funciones polinómicasen luego están en en

Como está recorrida en sentido horario, por conocimientos de integrales de líneas vistas en MA

Aquí,

Problema 5

Sean y campos escalares: región cerrada y acotada tipo III y Sea curva simple

cerrada, frontera de con sentido (+)

(a) Demuestre que se cumple:

(b) Demuestre que se cumple:

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

Problema 6

Con las mismas condiciones del ejercicio anterior, demuestre la conocida "Fórmula de Green:"

Del problema 6 se deduce también, que si y son funciones armónicas sobre ( y ), entonces:

(¡Compruébelo!)

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

Nota: Las fórmulas que aparecen en los Problemas 5 y 6 se presentan frecuentemente en problemas de Física-Matemática.

59

Problema 4

Calcular mediante el Teorema de Green:

con

Solución

es una elipse de semiejes y , por lo tanto es curva cerrada y simple, con

así que es región tipo III. por lo tanto, son funciones polinómicasen luego están en en

Como está recorrida en sentido horario, por conocimientos de integrales de líneas vistas en MA

Aquí,

Problema 5

Sean y campos escalares: región cerrada y acotada tipo III y Sea curva simple

cerrada, frontera de con sentido (+)

(a) Demuestre que se cumple:

(b) Demuestre que se cumple:

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

Problema 6

Con las mismas condiciones del ejercicio anterior, demuestre la conocida "Fórmula de Green:"

Del problema 6 se deduce también, que si y son funciones armónicas sobre ( y ), entonces:

(¡Compruébelo!)

Solución

Se deja como ejercicio para el alumno.

Nota: Las fórmulas que aparecen en los Problemas 5 y 6 se presentan frecuentemente en problemas de Física-Matemática.

59

21

Finalmente,

Problema 8

Usar el Teorema de Stokes para calcular con la superficie plana cuyo borde es la curva de intersección entre

las dos superficies de ecuaciones respectivamente.

con sentido horario, si se ve desde el origen de coordenadas y

Solución

(ver fig. 5.3) en plano

Figura 5.3:

se desprecia ya que

Por lo tanto,

para que apunte hacia la cabeza del caminante y S quede a su izquierda.

Por lo tanto

una

vez que el alumno verifique las condiciones del Teorema de Stokes.

Nota: Para que tenga sentido horario, vista desde el origen de coordenadas, se pone con sentido antihorariovista desde arriba de (si volteas la página y la miras contra la luz, observarás que vista desde el origen, tiene

sentido horario ).

61

Problema 5.

Finalmente,

Problema 8

Usar el Teorema de Stokes para calcular con la superficie plana cuyo borde es la curva de intersección entre

las dos superficies de ecuaciones respectivamente.

con sentido horario, si se ve desde el origen de coordenadas y

Solución

(ver fig. 5.3) en plano

Figura 5.3:

se desprecia ya que

Por lo tanto,

para que apunte hacia la cabeza del caminante y S quede a su izquierda.

Por lo tanto

una

vez que el alumno verifique las condiciones del Teorema de Stokes.

Nota: Para que tenga sentido horario, vista desde el origen de coordenadas, se pone con sentido antihorariovista desde arriba de (si volteas la página y la miras contra la luz, observarás que vista desde el origen, tiene

sentido horario ).

61

22

Finalmente,

Problema 8

Usar el Teorema de Stokes para calcular con la superficie plana cuyo borde es la curva de intersección entre

las dos superficies de ecuaciones respectivamente.

con sentido horario, si se ve desde el origen de coordenadas y

Solución

(ver fig. 5.3) en plano

Figura 5.3:

se desprecia ya que

Por lo tanto,

para que apunte hacia la cabeza del caminante y S quede a su izquierda.

Por lo tanto

una

vez que el alumno verifique las condiciones del Teorema de Stokes.

Nota: Para que tenga sentido horario, vista desde el origen de coordenadas, se pone con sentido antihorariovista desde arriba de (si volteas la página y la miras contra la luz, observarás que vista desde el origen, tiene

sentido horario ).

61

Finalmente,

Problema 8

Usar el Teorema de Stokes para calcular con la superficie plana cuyo borde es la curva de intersección entre

las dos superficies de ecuaciones respectivamente.

con sentido horario, si se ve desde el origen de coordenadas y

Solución

(ver fig. 5.3) en plano

Figura 5.3:

se desprecia ya que

Por lo tanto,

para que apunte hacia la cabeza del caminante y S quede a su izquierda.

Por lo tanto

una

vez que el alumno verifique las condiciones del Teorema de Stokes.

Nota: Para que tenga sentido horario, vista desde el origen de coordenadas, se pone con sentido antihorariovista desde arriba de (si volteas la página y la miras contra la luz, observarás que vista desde el origen, tiene

sentido horario ).

61

Finalmente,

Problema 8

Usar el Teorema de Stokes para calcular con la superficie plana cuyo borde es la curva de intersección entre

las dos superficies de ecuaciones respectivamente.

con sentido horario, si se ve desde el origen de coordenadas y

Solución

(ver fig. 5.3) en plano

Figura 5.3:

se desprecia ya que

Por lo tanto,

para que apunte hacia la cabeza del caminante y S quede a su izquierda.

Por lo tanto

una

vez que el alumno verifique las condiciones del Teorema de Stokes.

Nota: Para que tenga sentido horario, vista desde el origen de coordenadas, se pone con sentido antihorariovista desde arriba de (si volteas la página y la miras contra la luz, observarás que vista desde el origen, tiene

sentido horario ).

61

Entonces:

¿En este caso fue correcta la aplicaciondel teorema de Stokes?

23

Definición:

Teorema: Las siguientes condiciones son equivalentes:

Capítulo 6

Campos conservativos

Objetivos: El alumno debe saber demostrar el Teorema de los campos conservativos (o de las equivalencias). Debeentender su significado y saber aplicarlo correctamente.

6.1 Conceptos básicos

En sus clases, debe conocer la importancia de los campos vectoriales que puedan escribirse como un gradiente, es

decir: dado ¿ cuáles son las condiciones para que exista una campo escalar tal que?.

La respuesta la tenemos en el siguiente teorema:

Teorema de los campos conservativos.

Sea tal que y si hay puntos de en donde el conjunto de estospuntos debe ser finito.

Nota muy importante: puede estar definido de pero en tal caso, no puede haber puntos excepcionales,

es decir,

Entonces, las condiciones a continuación "son equivalentes" (lo cual significa que si se cumple alguna de ellas, se

cumplen las demás).

(a) para cualquier curva cerrada, simple y orientada,

(b) Si y son dos curvas simples orientadas cualesquiera, con los mismos punto inicial y punto final,

(c) para alguna (y si existe un número de puntos en donde no está definida, tampoco loestará. En no puede haber puntos excepcionales),

(d) (lo cual significa que es irrotacional).

Un campo vectorial como el que satisfaga alguna de las condiciones del teorema se llama un campo conservativo.

El Teorema afirma que al cumplirse una de las condiciones se cumplen todas. La demostración consiste en suponer

(a) cierta y demostrar que (a) (b), luego que si (b) es cierta, (b) (c) y si (c) es cierta, (c) (d). Finalmente, sedemuestra que (d) (a), con lo cual se cierra el ciclo y queda: (a) (b) (c) (d) (a).

La función que aparece en (c), en donde se llama una una función potencial para y al demostrar que

(b) (c) se encuentra que:

69

Capítulo 6

Campos conservativos

Objetivos: El alumno debe saber demostrar el Teorema de los campos conservativos (o de las equivalencias). Debeentender su significado y saber aplicarlo correctamente.

6.1 Conceptos básicos

En sus clases, debe conocer la importancia de los campos vectoriales que puedan escribirse como un gradiente, es

decir: dado ¿ cuáles son las condiciones para que exista una campo escalar tal que?.

La respuesta la tenemos en el siguiente teorema:

Teorema de los campos conservativos.

Sea tal que y si hay puntos de en donde el conjunto de estospuntos debe ser finito.

Nota muy importante: puede estar definido de pero en tal caso, no puede haber puntos excepcionales,

es decir,

Entonces, las condiciones a continuación "son equivalentes" (lo cual significa que si se cumple alguna de ellas, se

cumplen las demás).

(a) para cualquier curva cerrada, simple y orientada,

(b) Si y son dos curvas simples orientadas cualesquiera, con los mismos punto inicial y punto final,

(c) para alguna (y si existe un número de puntos en donde no está definida, tampoco loestará. En no puede haber puntos excepcionales),

(d) (lo cual significa que es irrotacional).

Un campo vectorial como el que satisfaga alguna de las condiciones del teorema se llama un campo conservativo.

El Teorema afirma que al cumplirse una de las condiciones se cumplen todas. La demostración consiste en suponer

(a) cierta y demostrar que (a) (b), luego que si (b) es cierta, (b) (c) y si (c) es cierta, (c) (d). Finalmente, sedemuestra que (d) (a), con lo cual se cierra el ciclo y queda: (a) (b) (c) (d) (a).

La función que aparece en (c), en donde se llama una una función potencial para y al demostrar que

(b) (c) se encuentra que:

69

Capítulo 6

Campos conservativos

Objetivos: El alumno debe saber demostrar el Teorema de los campos conservativos (o de las equivalencias). Debeentender su significado y saber aplicarlo correctamente.

6.1 Conceptos básicos

En sus clases, debe conocer la importancia de los campos vectoriales que puedan escribirse como un gradiente, es

decir: dado ¿ cuáles son las condiciones para que exista una campo escalar tal que?.

La respuesta la tenemos en el siguiente teorema:

Teorema de los campos conservativos.

Sea tal que y si hay puntos de en donde el conjunto de estospuntos debe ser finito.

Nota muy importante: puede estar definido de pero en tal caso, no puede haber puntos excepcionales,

es decir,

Entonces, las condiciones a continuación "son equivalentes" (lo cual significa que si se cumple alguna de ellas, se

cumplen las demás).

(a) para cualquier curva cerrada, simple y orientada,

(b) Si y son dos curvas simples orientadas cualesquiera, con los mismos punto inicial y punto final,

(c) para alguna (y si existe un número de puntos en donde no está definida, tampoco loestará. En no puede haber puntos excepcionales),

(d) (lo cual significa que es irrotacional).

Un campo vectorial como el que satisfaga alguna de las condiciones del teorema se llama un campo conservativo.

El Teorema afirma que al cumplirse una de las condiciones se cumplen todas. La demostración consiste en suponer

(a) cierta y demostrar que (a) (b), luego que si (b) es cierta, (b) (c) y si (c) es cierta, (c) (d). Finalmente, sedemuestra que (d) (a), con lo cual se cierra el ciclo y queda: (a) (b) (c) (d) (a).

La función que aparece en (c), en donde se llama una una función potencial para y al demostrar que

(b) (c) se encuentra que:

69

24

Problema 6.

En el caso si cumple con alguna de las condiciones del Teorema, entonces :

Nota: En las hipótesis del Teorema, figura (parte (c)), esta hipótesis es necesaria para la demostracióndel mismo, sin embargo, en algunos textos no aparece. Es un error, por lo tanto, decir que si entonces

((c) (d)), primero hay que verificar que en la demostración Ud. verá que sin esa condiciónno se puede probar que

6.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea

(a) ¿Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) Es obvio que ya que sus componentes son funciones polinómicas en . Veamos si (d) (a) porqueentonces sería (d) (a) (b) (c), (c) es la que permite encontrar una función potencial para .

Ahora, (d) dice que Por lo tanto, si habrá función potencial.

Por lo tanto no es irrotacional no existe función potencial.

Problema 2Sea

(a) ¿ Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) es obvio, ahora, es irrotacional

en función potencial para .

(b)

Si Ud. quiere puede ahora comprobar que En efecto:

70

En el caso si cumple con alguna de las condiciones del Teorema, entonces :

Nota: En las hipótesis del Teorema, figura (parte (c)), esta hipótesis es necesaria para la demostracióndel mismo, sin embargo, en algunos textos no aparece. Es un error, por lo tanto, decir que si entonces

((c) (d)), primero hay que verificar que en la demostración Ud. verá que sin esa condiciónno se puede probar que

6.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea

(a) ¿Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) Es obvio que ya que sus componentes son funciones polinómicas en . Veamos si (d) (a) porqueentonces sería (d) (a) (b) (c), (c) es la que permite encontrar una función potencial para .

Ahora, (d) dice que Por lo tanto, si habrá función potencial.

Por lo tanto no es irrotacional no existe función potencial.

Problema 2Sea

(a) ¿ Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) es obvio, ahora, es irrotacional

en función potencial para .

(b)

Si Ud. quiere puede ahora comprobar que En efecto:

70

En el caso si cumple con alguna de las condiciones del Teorema, entonces :

Nota: En las hipótesis del Teorema, figura (parte (c)), esta hipótesis es necesaria para la demostracióndel mismo, sin embargo, en algunos textos no aparece. Es un error, por lo tanto, decir que si entonces

((c) (d)), primero hay que verificar que en la demostración Ud. verá que sin esa condiciónno se puede probar que

6.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea

(a) ¿Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) Es obvio que ya que sus componentes son funciones polinómicas en . Veamos si (d) (a) porqueentonces sería (d) (a) (b) (c), (c) es la que permite encontrar una función potencial para .

Ahora, (d) dice que Por lo tanto, si habrá función potencial.

Por lo tanto no es irrotacional no existe función potencial.

Problema 2Sea

(a) ¿ Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) es obvio, ahora, es irrotacional

en función potencial para .

(b)

Si Ud. quiere puede ahora comprobar que En efecto:

70

25

Problema 7.

En el caso si cumple con alguna de las condiciones del Teorema, entonces :

Nota: En las hipótesis del Teorema, figura (parte (c)), esta hipótesis es necesaria para la demostracióndel mismo, sin embargo, en algunos textos no aparece. Es un error, por lo tanto, decir que si entonces

((c) (d)), primero hay que verificar que en la demostración Ud. verá que sin esa condiciónno se puede probar que

6.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea

(a) ¿Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) Es obvio que ya que sus componentes son funciones polinómicas en . Veamos si (d) (a) porqueentonces sería (d) (a) (b) (c), (c) es la que permite encontrar una función potencial para .

Ahora, (d) dice que Por lo tanto, si habrá función potencial.

Por lo tanto no es irrotacional no existe función potencial.

Problema 2Sea

(a) ¿ Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) es obvio, ahora, es irrotacional

en función potencial para .

(b)

Si Ud. quiere puede ahora comprobar que En efecto:

70

En el caso si cumple con alguna de las condiciones del Teorema, entonces :

Nota: En las hipótesis del Teorema, figura (parte (c)), esta hipótesis es necesaria para la demostracióndel mismo, sin embargo, en algunos textos no aparece. Es un error, por lo tanto, decir que si entonces

((c) (d)), primero hay que verificar que en la demostración Ud. verá que sin esa condiciónno se puede probar que

6.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea

(a) ¿Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) Es obvio que ya que sus componentes son funciones polinómicas en . Veamos si (d) (a) porqueentonces sería (d) (a) (b) (c), (c) es la que permite encontrar una función potencial para .

Ahora, (d) dice que Por lo tanto, si habrá función potencial.

Por lo tanto no es irrotacional no existe función potencial.

Problema 2Sea

(a) ¿ Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) es obvio, ahora, es irrotacional

en función potencial para .

(b)

Si Ud. quiere puede ahora comprobar que En efecto:

70

En el caso si cumple con alguna de las condiciones del Teorema, entonces :

Nota: En las hipótesis del Teorema, figura (parte (c)), esta hipótesis es necesaria para la demostracióndel mismo, sin embargo, en algunos textos no aparece. Es un error, por lo tanto, decir que si entonces

((c) (d)), primero hay que verificar que en la demostración Ud. verá que sin esa condiciónno se puede probar que

6.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea

(a) ¿Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) Es obvio que ya que sus componentes son funciones polinómicas en . Veamos si (d) (a) porqueentonces sería (d) (a) (b) (c), (c) es la que permite encontrar una función potencial para .

Ahora, (d) dice que Por lo tanto, si habrá función potencial.

Por lo tanto no es irrotacional no existe función potencial.

Problema 2Sea

(a) ¿ Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) es obvio, ahora, es irrotacional

en función potencial para .

(b)

Si Ud. quiere puede ahora comprobar que En efecto:

70

En el caso si cumple con alguna de las condiciones del Teorema, entonces :

Nota: En las hipótesis del Teorema, figura (parte (c)), esta hipótesis es necesaria para la demostracióndel mismo, sin embargo, en algunos textos no aparece. Es un error, por lo tanto, decir que si entonces

((c) (d)), primero hay que verificar que en la demostración Ud. verá que sin esa condiciónno se puede probar que

6.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Sea

(a) ¿Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) Es obvio que ya que sus componentes son funciones polinómicas en . Veamos si (d) (a) porqueentonces sería (d) (a) (b) (c), (c) es la que permite encontrar una función potencial para .

Ahora, (d) dice que Por lo tanto, si habrá función potencial.

Por lo tanto no es irrotacional no existe función potencial.

Problema 2Sea

(a) ¿ Existe función potencial para ?

(b) En caso afirmativo, encuéntrela.

Solución(a) es obvio, ahora, es irrotacional

en función potencial para .

(b)

Si Ud. quiere puede ahora comprobar que En efecto:

70

26

Problema 3

Sea el campo vectorial del ejercicio anterior. Calcular siendo

la curva intersección entre el plano de ecuación y la esfera dada por conorientación de positiva.

Solución

La interseción en realidad es el disco

Por lo tanto,

Pero por el ejercicio y y como es bordeada por simple, cerrada (+)y

utilizamos el Teorema de los campos conservativos con (d) (a), es decir, si

Problema 4

Sea Calcular la curva de la figura desde el punto al

punto .

Figura 6.1:

Solución

Antes de ponernos a calcular la integral de línea, vamos a ver si es conservativo: ya que sus compo-

nentes son combinaciones de funciones polinómicas y trigonométricas en

es irrotacional tiene función potencial en .

Hemos usado el teorema de las equivalencias en la forma (d) (a) (b) (c). En un examen, por ejemplo, el

alumno debe redactar el Teorema para que se entiendan las implicaciones escritas.

Por lo tanto:

71

Problema 8.

Problema 3

Sea el campo vectorial del ejercicio anterior. Calcular siendo

la curva intersección entre el plano de ecuación y la esfera dada por conorientación de positiva.

Solución

La interseción en realidad es el disco

Por lo tanto,

Pero por el ejercicio y y como es bordeada por simple, cerrada (+)y

utilizamos el Teorema de los campos conservativos con (d) (a), es decir, si

Problema 4

Sea Calcular la curva de la figura desde el punto al

punto .

Figura 6.1:

Solución

Antes de ponernos a calcular la integral de línea, vamos a ver si es conservativo: ya que sus compo-

nentes son combinaciones de funciones polinómicas y trigonométricas en

es irrotacional tiene función potencial en .

Hemos usado el teorema de las equivalencias en la forma (d) (a) (b) (c). En un examen, por ejemplo, el

alumno debe redactar el Teorema para que se entiendan las implicaciones escritas.

Por lo tanto:

71

27

Problema 3

Sea el campo vectorial del ejercicio anterior. Calcular siendo

la curva intersección entre el plano de ecuación y la esfera dada por conorientación de positiva.

Solución

La interseción en realidad es el disco

Por lo tanto,

Pero por el ejercicio y y como es bordeada por simple, cerrada (+)y

utilizamos el Teorema de los campos conservativos con (d) (a), es decir, si

Problema 4

Sea Calcular la curva de la figura desde el punto al

punto .

Figura 6.1:

Solución

Antes de ponernos a calcular la integral de línea, vamos a ver si es conservativo: ya que sus compo-

nentes son combinaciones de funciones polinómicas y trigonométricas en

es irrotacional tiene función potencial en .

Hemos usado el teorema de las equivalencias en la forma (d) (a) (b) (c). En un examen, por ejemplo, el

alumno debe redactar el Teorema para que se entiendan las implicaciones escritas.

Por lo tanto:

71

Problema 3

Sea el campo vectorial del ejercicio anterior. Calcular siendo

la curva intersección entre el plano de ecuación y la esfera dada por conorientación de positiva.

Solución

La interseción en realidad es el disco

Por lo tanto,

Pero por el ejercicio y y como es bordeada por simple, cerrada (+)y

utilizamos el Teorema de los campos conservativos con (d) (a), es decir, si

Problema 4

Sea Calcular la curva de la figura desde el punto al

punto .

Figura 6.1:

Solución

Antes de ponernos a calcular la integral de línea, vamos a ver si es conservativo: ya que sus compo-

nentes son combinaciones de funciones polinómicas y trigonométricas en

es irrotacional tiene función potencial en .

Hemos usado el teorema de las equivalencias en la forma (d) (a) (b) (c). En un examen, por ejemplo, el

alumno debe redactar el Teorema para que se entiendan las implicaciones escritas.

Por lo tanto:

71

Recuerde:Ahora bien, en MA se explicó un teorema sobre integrales de línea:

Si y existe tal que entonces conocida por sus puntos inicial y final

Aquí,

Problema 5

Sea Sean las curvas de la figura , con desdehasta según el sentido de las flechas y desde hasta según el sentido de las flechas, siendo

curvas suaves.

Demostrar que

Figura 6.2:

Solución

El campo vectorial es el mismo del ejercicio anterior, vimos que y que (d).

Luego, aplicando el Teorema de los campos conservativos: (d) (a) (b). Si y son dos curvas simples

orientadas cualesquiera, con los mismos punto inicial y final, entonces

Problema 6

(a) Demostrar que si es una fuerza que sigue la ley del cuadrado inverso, con constante

y entonces es un campo conservativo en

(b) Hallar una función potencial para .

Solución

(a) así que

72

28

Problema 3

Sea el campo vectorial del ejercicio anterior. Calcular siendo

la curva intersección entre el plano de ecuación y la esfera dada por conorientación de positiva.

Solución

La interseción en realidad es el disco

Por lo tanto,

Pero por el ejercicio y y como es bordeada por simple, cerrada (+)y

utilizamos el Teorema de los campos conservativos con (d) (a), es decir, si

Problema 4

Sea Calcular la curva de la figura desde el punto al

punto .

Figura 6.1:

Solución

Antes de ponernos a calcular la integral de línea, vamos a ver si es conservativo: ya que sus compo-

nentes son combinaciones de funciones polinómicas y trigonométricas en

es irrotacional tiene función potencial en .

Hemos usado el teorema de las equivalencias en la forma (d) (a) (b) (c). En un examen, por ejemplo, el

alumno debe redactar el Teorema para que se entiendan las implicaciones escritas.

Por lo tanto:

71

Problema 3

Sea el campo vectorial del ejercicio anterior. Calcular siendo

la curva intersección entre el plano de ecuación y la esfera dada por conorientación de positiva.

Solución

La interseción en realidad es el disco

Por lo tanto,

Pero por el ejercicio y y como es bordeada por simple, cerrada (+)y

utilizamos el Teorema de los campos conservativos con (d) (a), es decir, si

Problema 4

Sea Calcular la curva de la figura desde el punto al

punto .

Figura 6.1:

Solución

Antes de ponernos a calcular la integral de línea, vamos a ver si es conservativo: ya que sus compo-

nentes son combinaciones de funciones polinómicas y trigonométricas en

es irrotacional tiene función potencial en .

Hemos usado el teorema de las equivalencias en la forma (d) (a) (b) (c). En un examen, por ejemplo, el

alumno debe redactar el Teorema para que se entiendan las implicaciones escritas.

Por lo tanto:

71

Entonces:

Ahora bien, en MA se explicó un teorema sobre integrales de línea:

Si y existe tal que entonces conocida por sus puntos inicial y final

Aquí,

Problema 5

Sea Sean las curvas de la figura , con desdehasta según el sentido de las flechas y desde hasta según el sentido de las flechas, siendo

curvas suaves.

Demostrar que

Figura 6.2:

Solución

El campo vectorial es el mismo del ejercicio anterior, vimos que y que (d).

Luego, aplicando el Teorema de los campos conservativos: (d) (a) (b). Si y son dos curvas simples

orientadas cualesquiera, con los mismos punto inicial y final, entonces

Problema 6

(a) Demostrar que si es una fuerza que sigue la ley del cuadrado inverso, con constante

y entonces es un campo conservativo en

(b) Hallar una función potencial para .

Solución

(a) así que

72

29