Practica Para Alumnos

Instituto Superior Juan XXIIITécnico Superior en Análisis de Sistemas

Resolución de Problemas - Curso de Ingreso

DEJE EN LA PAGINA 19Resolver cada problema utilizando la estrategia que considere más conveniente:

(La gallina ponedora). Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días necesita para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos?

(Los chicos de la feria). A la feria benéfica de la escuela cada chico debía concurrir con un adulto. Los adultos pagan 2 pesos y los chicos 1 peso de entrada. Se recaudaron 180 pesos. ¿Cuántos chicos fueron a la feria?

(Los Cuatro Perros). Tenemos cuatro perros: un galgo, un dogo, un alano y un podenco. Este último come más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el dogo, pero éste come más que el podenco. ¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener?

Rosa colecciona lagartos, escarabajos y gusanos. Tiene más gusanos que lagartos y escarabajos juntos. En total tienen en la colección doce cabezas y veintiséis patas. ¿Cuántos lagartos tiene Rosa? Obs: un escarabajo tiene 6 patas.

(Baile en discoteca). Seis jóvenes fueron a bailar a una discoteca, una de las chicas vestía de rojo, la otra de verde y otra de azul. Los muchachos también con esos mismos colores. Mientras bailaban en la pista el chico de tojo al pasar al lado de la chica de verde le dijo: ninguno de nosotros tiene pareja de su mismo color. Deduzca de qué color viste el compañero de baile de la chica de rojo.

(El mago). Un hombre que estaba a punto de cruzar una calle, se le aparece un señor quien dice ser un mago, y le dice: “te propongo lo siguiente para hacerte rico: cada vez que cruces esta calle te duplicaré el dinero que llevas en los bolsillos”. El hombre desconfía, y le pregunta: “¿Qué deseas a cambio?. El mago responde con una sonrisa “sólo deberás pagarme $3,20 pesos por cada vez que cruces”. El hombre acepta, entusiasmado. Cruza la calle, y para su asombro, comprueba que tenía en sus bolsillos el doble de dinero. Paga al mago sus $3,20 y, como era extremadamente ambicioso, vuelve a cruzar, y duplica nuevamente su dinero. Paga al mago sus $3,20 y vuelve a cruzar una tercera vez. Paga al mago sus $3,20 y…. descubre que no tiene más dinero. ¿Cuánto dinero tenía el hombre al comienzo, antes de ser tentado por el mago?

(Jack y Hill) Jack tenía cierto número de pesos y Hill tenía más que el amigo. Hill entonces le dio a Jack tantos pesos como él tenía. Al ser esto muy injusto, Jack le dio a Hill tantos pesos como le quedaban a Hill, pero Hill insistió en darle a Jack tantos pesos

Magdalena ValeaAnalista de Sistemas – M.P.28991 Página 1



como le habían quedado a Jack, de tal manera que terminó el negocio, quedando Jack con 16 pesos. Hill no tenía ni uno solo. ¿Con cuántos pesos comenzó cada uno?

Mi hermano me lleva 8 años. ¿Dentro de cuántos años su edad será el doble que la mía, si hace tres años era el triple?

Dos hermanos deciden ahorrar juntos las propinas que reciben de su padre durante un año. Al final de este período lograron reunir $192. Si el hermano mayor ahorró el triple de lo que ahorró el menor, ¿cuánto ahorró cada uno?

En el corral de una escuela-granja hay sólo corderos y gallinas. Patricio y Ana deben informar a su maestra cuántos animales hay allí. Cada uno cuenta a su manera. Cuando regresan Patricio dice que contó 192 patas y Ana, que contó las cabezas, llegó a 60. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral?

Un número de dos cifras es tal que: la suma de las cifras es 11 y la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1. ¿Cuál es dicho número?

Ricardo compró dos libros y un cuaderno por $80. Si un libro cuesta la mitad del otro y el cuaderno $40 menos que el libro más caro, ¿cuánto pagó por cada artículo?

Juan y Pedro son mellizos. Julián tiene 3 años más que ellos y las edades de los tres sumadas es 42. ¿Qué edad tiene Julián? Rta: 16 años.

Un maratonista está compitiendo en una carrera de 8500m. Sufre una lesión y se retira cuando ha recorrido la cuarta parte de lo que le faltaba por recorrer. ¿Cuántos metros corrió realmente? Rta: 1700 m.

Siendo 68m el perímetro de un rectángulo y 12,5m uno de sus lados, ¿cuál es la longitud del otro? Rta: 21,5 m.

La suma de tres números pares consecutivos es 72. ¿Cuáles son esos números? Rta: 22, 24 y 26.

Dos toneles contienen en conjunto 108 litros de vino. Si pasáramos 4 litros de un tonel al otro, éste contendría el doble de vino que el primero. ¿Cuántos litros de vino contiene cada tonel? Rta: 40 y 68 litros.

José nació 2 años después que Pablo y 3 años antes que César. ¿Cuántos años tiene cada uno si la suma de sus edades es 17? Rta: José 6 años, Pablo 8 años y César 3 años.




Tres personas reúnen un pequeño capital de $9500 para establecer un comercio minorista. Si la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la tercera ½ de lo que aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución de cada uno de ellos? Rta: $3000, $5000 y $1500.

En un triángulo rectángulo, el cateto menor es igual a 3/5 de la hipotenusa. Esta supera por 3 cm al cateto mayor. ¿Cuál es la medida de cada lado? Rta. 9,12 y 15 cm.

Hallar dos números reales tales que sean 56 unidades menores que su propio cuadrado. Rta. –7 y 8.

He pensado un número natural menor que cien; tiene la suma de sus cifras igual a 10. Si se invierten las cifras y al número así formado se le suma 3, resulta otro número 57 unidades mayor que el pensado. ¿Cuál es el número que pensé? Rta. 28.

¿Cuál es el número natural tal que la mitad del producto por su consecutivo es 105? Rta. 14.

Jorge reparte 35 revistas entre sus amigos, dándole a cada uno tantas revistas como amigos son, más dos revistas. ¿Cuántos amigos tiene Jorge? Rta. 5.

José María suma las notas obtenidas en la última prueba de matemática, historia y geografía obteniendo 25. La nota de historia es 2 unidades menor que la de matemática y 1 unidad mayor que la de geografía. ¿Cuál es la nota de cada evaluación? Rta. 10 en matemática, 8 en historia y 7 en geografía.

Juliana recorre a velocidad constante una distancia de 300 km invirtiendo un determinado tiempo. Si la velocidad se incrementara en 25 km por hora, el tiempo requerido sería 2 horas menor que el anterior. ¿Cuál es el tiempo que invirtió Juliana?

Este problema, de origen árabe, data del siglo XI. A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. Sus alturas son de 20 y 30 pies, y la distancia entre sus troncos (que suponemos verticales) es de 50 pies. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Ambos descubren simultáneamente un pez en la superficie del río justo entre las palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y volando directamente hacia el pez, lo alcanzan al mismo tiempo. Si los pájaros vuelan a la misma velocidad ¿A qué distancia de la palmera más alta apareció el pez?




La suma de tres números es 176. El primero es la cuarta parte del tercero y este supera al segundo en 40 unidades. ¿Cuáles son esos números?

Se tiene un caño de forma cilíndrica de 12 m de largo, su sección es una circunferencia de 4 m de longitud. Una soga rodea al cilindro dando 4 vueltas exactas al mismo. Calcular el largo de la soga.

A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuántos años tenía. La contestación fue compleja:Tomad tres veces los años que tendré dentro de tres años, restadles tres veces los años que tenía hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora. ¿Cuántos años tiene ahora?

Los misioneros y los caníbalesTres misioneros y tres caníbales han de cruzar un río en una barca en la que sólo caben dos personas. Los tres misioneros saben remar, pero solo uno de los caníbales sabe hacerlo. Por otra parte, han de efectuar el traslado de forma que en ningún momento los caníbales superen en número a los misioneros, pues en tal caso se los comerían. ¿Cuál es el mínimo número de viajes que habrán de efectuar para cruzar todos al otro lado sin que los caníbales se coman ningún misionero, ni lleguen siquiera a mordisquearlo?

El abuelo y el nietoLo que voy a contar sucedió en 1932. Tenía yo entonces tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia, me dejó pasmado al contestarme que con su edad ocurría lo mismo. Me pareció imposible.- Claro que es imposible -añadió una voz-. Pues es completamente posible. Mi abuelo me lo demostró. ¿Cuántos años teníamos cada uno de nosotros?

El impermeable, el sombrero y los zapatosCierta persona compró un impermeable, un sombrero y unos zapatos y pagó por todo 200 pesos. El impermeable le costó 90 pesos más que el sombrero; el sombrero y el impermeable juntos costaron 160 pesos más que los zapatos. ¿Cuál era el precio de cada prenda?




Escribir el término n-ésimo de las siguientes sucesiones:

1, 2, 3, 4, ……… término n-ésimo2, 4, 6, 8, 10, ……………..1, 3, 5, 7, 9, 11, …………..1, 2, 6, 24, 120, …………..1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, …...1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ..

Expresar el elemento n-ésimo de las siguientes sucesiones de números1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/61, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120…..1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,……

Con ecuaciones o con tus propias estrategias.Cuatro problemas, sencillos, resueltos:

1) Dos hermanos deciden ahorrar juntos las propinas que reciben de su padre durante un año. Al final de este período lograron reunir $192. Si el hermano mayor ahorró el triple de lo que ahorró el menor, ¿cuánto ahorró cada uno? 2) En el corral de una escuela-granja hay sólo corderos y gallinas. Patricio y Ana deben informar a su maestra cuántos animales hay allí. Cada uno cuenta a su manera. Cuando regresan Patricio dice que contó 192 patas y Ana, que contó las cabezas, llegó a 60.¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral? 3) Un número de dos cifras es tal que: la suma de las cifras es 11 y la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1. ¿Cuál es dicho número? 4) Ricardo compró dos libros y un cuaderno por $80. Si un libro cuesta la mitad del otro y el cuaderno $40 menos que el libro más caro, ¿cuánto pagó por cada artículo?

Con ecuaciones o con tus propias estrategiasSeis problemas, algo más complejos, resueltos.




1.- Juliana recorre a velocidad constante una distancia de 300 km invirtiendo un determinado tiempo. Si la velocidad se incrementara en 25 km por hora, el tiempo requerido sería 2 horas menor que el anterior. ¿Cuál es el tiempo que invirtió Juliana?

2.- Este problema, de origen árabe, data del siglo XI. A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. Sus alturas son de 20 y 30 pies, y la distancia entre sus troncos (que suponemos verticales) es de 50 pies. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Ambos descubren simultáneamente un pez en la superficie del río justo entre las palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y volando directamente hacia el pez, lo alcanzan al mismo tiempo. Si los pájaros vuelan a la misma velocidad ¿A qué distancia de la palmera más alta apareció el pez?

Hagamos un esquema que nos ayude:Hemos designado con X lo que debemos calcular. A y B son las posiciones de los pájaros y P la del desdichado pez… cado.

3.- La suma de tres números es 176. El primero es la cuarta parte del tercero y este supera al segundo en 40 unidades. ¿Cuáles son esos números?

4.- Jorge reparte 35 revistas entre sus amigos, dándole a cada uno tantas revistas como amigos son, más dos revistas. ¿Cuántos amigos tiene Jorge? Rta. 5.

5.- En un campeonato internacional de ajedrez, cada maestro debió jugar exactamente una vez con cada uno de sus adversarios. Si en total se jugaron 45 partidas y la cantidad de maestros es un número par, ¿Cuál fue el número de maestros que participó del campeonato?"




6.- Se tiene un caño de forma cilíndrica de 12 m de largo, su sección es una circunferencia de 4 m de longitud. Una soga rodea al cilindro dando 4 vueltas exactas al mismo. Calcular el largo de la soga.

Ocho problemas de ingenio, sencillos resueltos.1. El vaso de agua y el vaso de vino.Tenemos un vaso con agua y un vaso con vino. Tomamos una cucharadita de agua del primer vaso, la echamos en el segundo y removemos, con lo que tendremos una mezcla homogénea de vino con un poco de agua. A continuación, con la misma cuchara, tomamos una cucharadita de esta mezcla y la echamos en el vaso de agua.¿Habrá más vino en el vaso de agua que agua en el vaso de vino, o viceversa?

2. ¿Cuántos años tiene?A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuántos años tenía. La contestación fue compleja:Tomad tres veces los años que tendré dentro de tres años, restadles tres veces los años que tenía hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora.¿Cuántos años tiene ahora? 3. Las atribuciones de Robinson Si le abandonaran en una isla desierta y le dieran a elegir entre un martillo y una caja de clavos ¿que escogería?Imagínese, además, que la isla está llena de árboles, y un buen día se declara un incendio en la punta norte. Para colmo de males, sopla un persistente viento del norte, por lo que el fuego amenaza con barrer toda la superficie de la isla en pocos minutos. La vegetación es tan tupida que no hay un solo rincón en tierra en que un hombre pueda resguardarse de las llamas. Podría tirarse al mar mientras durara el incendio, pero no se lo vamos a poner tan fácil: el agua está infestada de tiburones.¿Qué haría?

4. Calcetines y guantesEn una misma caja hay 10 pares de calcetines de color café y 10 pares negros, y en otra caja hay 10 pares de guantes de color café y otros tantos pares negros. ¿Cuántos calcetines y guantes es necesario sacar de cada caja, para conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo color (cualquiera)?




5. Los misioneros y los caníbalesTres misioneros y tres caníbales han de cruzar un río en una barca en la que sólo caben dos personas. Los tres misioneros saben remar, pero solo uno de los caníbales sabe hacerlo. Por otra parte, han de efectuar el traslado de forma que en ningún momento los caníbales superen en número a los misioneros, pues en tal caso se los comerían. ¿Cuál es el mínimo número de viajes que habrán de efectuar para cruzar todos al otro lado sin que los caníbales se coman ningún misionero, ni lleguen siquiera a mordisquearlo?

6. Un guardarropa surtidoTodas mis camisas son blancas menos dos, todas son azules menos dos y todas son rosas menos dos.¿Cuántas camisas tengo de cada color?

7. El abuelo y el nietoLo que voy a contar sucedió en 1932. Tenía yo entonces tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia, me dejó pasmado al contestarme que con su edad ocurría lo mismo. Me pareció imposible.- Claro que es imposible -añadió una voz-. Pues es completamente posible. Mi abuelo me lo demostró. ¿Cuántos años teníamos cada uno de nosotros?

8. La cadenaA un herrero le trajeron 5 trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, y le encargaron que los uniera formando una cadena continua.Antes de poner manos a la obra, el herrero comenzó a meditar sobre el número de anillos que tendría necesidad de abrir y forjar uno nuevo. Decidió que le haría falta abrir y cerrar cuatro anillos.¿No es posible efectuar este trabajo abriendo y forjando un número menor de anillos? Respuesta:Puede cumplirse el trabajo encargado, abriendo sólo tres eslabones. Para ello es preciso soltar los tres eslabones de uno de los trozos y unir con ellos los extremos de los cuatro trozos restantes.

Tres problemas de ingenio, más complejos, resueltos.1. Los huevos de gallina y de pato




Las cestas contienen huevos; en unas cestas hay huevos de gallina, en las otras de pato. Su número está indicado en cada cesta: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. "Si vendo esta cesta -meditaba el vendedor- me quedará el doble de huevos de gallina que de pato".¿A qué se refiere el vendedor? 2. El recitalUn día, un famoso grupo musical, hizo un concierto tan malo que tuvo que salir corriendo del escenario. Para poder escapar, disponían de un túnel que estaba muy oscuro, por el que podían pasar como máximo dos personas al mismo tiempo.Sólo tenían una linterna para poder cruzar el túnel.Los cuatro componentes del grupo, no eran igualmente rápidos. Habían realizado simulacros y uno tardaba 10 minutos en recorrer el túnel, otro tardaba 5 minutos, otro tardaba 2 minutos y el último tardaba 1 minuto.Cuando van de dos en dos, siempre tardan en recorrer el túnel el tiempo que tarda el más lento.Lógicamente si dos de ellos han pasado el túnel con la linterna, uno de los dos tiene que volver para que puedan pasar el túnel los que falten. La pregunta es la siguiente: ¿es posible que el grupo pueda escapar en 17 minutos?

3. Besos y abrazosLos Gómez y los López se encuentran por la calle, y rápidamente se produce un efusivo intercambio de besos y abrazos. Cada uno de los López saluda a cada uno de los Gómez. Al saludarse dos varones se dan un abrazo, mientras que al saludarse dos mujeres, o un hombre y una mujer, se dan un beso. Al final de la efusiva salutación se han producido 35 abrazos y 42 besos.¿Cuántas mujeres y cuantos varones hay en cada familia?

Geometría y algo más.Cuatro problemas, sencillos, resueltos:

1. Calcular el área de la zona sombreada, si se trata de un rectángulo y dos círculos, todos tangentes entre sí. (10 significa 10 cm.)




2. Demostrar que la diferencia entre el ángulo suplementario y el complementario de un mismo ángulo agudo es siempre de 90 grados.

3. El perímetro de un patio rectangular es de 56 metros. El ancho es igual a los 2/5 del largo. Calcular el área del patio.

4. El perímetro del rectángulo ABCD es de 60 centímetros y su largo es el doble de su ancho. x mide 1,5 centímetros. Calcular el área sombreada.

Cuatro problemas, algo complejos, resueltos. 1) La recta AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto A. Dicha circunferencia tiene 9 centímetros de diámetro. C pertenece a la circunferencia y el segmento CB mide las dos terceras partes del radio de la circunferencia. Determinar si el área sombreada es mayor, igual o menor que la de la cuarta parte del círculo.

2) Calcular el área exacta de la figura sombreada, sabiendo que ABCDEF es un hexágono regular, inscripto en la circunferencia de centro O, que la longitud de la misma es de 24 pi cm y que el ángulo ASE es recto.




El radio de la circunferencia es de 12 cm pues 2r=24.

3 . Calcular el área exacta de la zona sombreada si : la curva interior es arco de la circunferencia de centro O ; la curva exterior es arco de la circunferencia de centro O’ ; las rectas BO y AO son perpendiculares y el segmento OA mide 4 metros.

4. Una correa continua corre, en torno de dos ruedas, de manera que éstas giran en sentidos opuestos. Las ruedas tienen 3 cm y 9 cm de radio y la distancia entre sus centros es de 24 cm. Determinar con error menor que 0,01 cm la longitud de la correa.

Geometría y algo más.Con diagramas de Venn-Euler. Cuatro problemas resueltos.




CUANDO DECIMOS, POR EJEMPLO "¿CUÁNTAS PERSONAS NO TOMABAN NI TÉ NI CAFÉ?" DEBE INTERPRETARSE EL LENGUAJE CORRIENTE EN QUE HABLAMOS LOS ARGENTINOS Y NO UNA DOBLE NEGACIÓN LÓGICA.

1) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas.¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas.¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona.¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas.¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas.¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas.¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas.¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas.¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.




2) Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente. Rtas. a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días.

3) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no café, etc.

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas: ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rta. 30 personas. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas? Rta. 28 personas. ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 13 personas. ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas bebidas? Rta. 9 personas. ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas? Rta. 9 personas.¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rta. 20 personas. ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos bebidas? Rta. 18 personas.¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rta. 7 personas. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 12 personas.¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 17 personas.




¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rta. 1 persona. ¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rta. 29 personas. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rta. 2 personas.¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rta. 9 personas. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 18 personas. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. ¿Cuántas personas tomaban té y café pero no chocolate? Rta. 3 personas.¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rta. 3 personas.¿Cuántas personas tomaban chocolate y café pero no té? Rta. 2 personas.

4) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes: I) Motocicleta solamente: 5II) Motocicleta: 38III) No gustan del automóvil: 9IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20VI) No gustan de la bicicleta: 72VII) Ninguna de las tres cosas: 1VIII)No gustan de la motocicleta: 61 ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?¿A cuántos le gustaban las tres cosas?¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta? Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.

Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente:Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:




Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 - (20+5+1) = 46:

Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:

Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas: A 99 personas.




A ninguna.A 46 personas.A 10 personas.a 14 personas.

Con diagramas de Venn-Euler. Combinatoria

Problemas resueltosPermutación1) Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante.

Variación

2) Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

3) ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD?Hay 6!/2! 4) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS?

Combinación 5) Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar? Combinaciones con repetición6)¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas?

7. Una comida gratisDiez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba, la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras:




Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continuó:Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos. La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.Sin embargo no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Estas son exactamente 3.628.800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10.000 años.Posiblemente a ustedes les parecerá increíble que 10 personas puedan colocarse en un número tan elevado de posiciones diferentes. Comprobemos el cálculo.Ante todo, hay que aprender a determinar el número de combinaciones distintas, posibles. Para mayor sencillez empecemos calculando un número pequeño de objetos, por ejemplo, tres. Llamémosles A, B y C.Deseamos saber de cuantos modos diferentes pueden disponerse, cambiando mutuamente su posición. Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento el objeto C, los dos restantes, A y B, pueden colocarse solamente en dos formas.Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizar esta operación tres veces:colocar C detrás de la pareja,colocar C delante de la pareja,colocar C entre los dos objetos de la pareja. Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepción de las tres mencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el número total de formas posibles de colocación de los tres objetos será: 2 x 3 = 6.Hagamos el cálculo para cuatro objetos.Tenemos cuatro objetos A, B, C y D, y separemos de momento uno de ellos, por ejemplo, el objeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posibles de posición. Ya sabemos que para tres, el número de cambios posibles es 6. ¿En cuántas




formas diferentes podemos disponer el cuarto objeto en cada una de las 6 posiciones que resultan con tres objetos? Evidentemente, serán cuatro. Podemos:colocar D detrás del trío,colocar D delante del trío,colocar D entre el 1º y de 2º objetos,colocar D entre el 2º y 3º. Obtenemos en total: 6 x 4 = 24 posiciones, pero teniendo en cuenta que 6 = 2 x 3 y que 2 = 1 x 2, entonces podemos calcular el número de cambios posibles de posición haciendo la siguiente multiplicación: 1 x 2 x 3 x 4 = 24.Razonando de idéntica manera, cuando haya 5 objetos, hallaremos que el número de formas distintas de colocación será igual a: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.Para 6 objetos será: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 y así sucesivamente.Volvamos de nuevo al caso antes citado de los 10 comensales. Sabremos el número de posiciones que pueden adoptar las 10 personas alrededor de la mesa, si nos tomamos el trabajo de calcular el producto siguiente: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.Resultará el número indicado anteriormente: 3.628.800.El cálculo sería más complicado, si de los 10 comensales, 5 fueran muchachas y desearan sentarse a la mesa alternando con los muchachos. A pesar de que el número posible de combinaciones se reduciría en este caso considerablemente, el cálculo sería más complejo.Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jóvenes. Los otros cuatro pueden sentarse, dejando vacías para las muchachas las sillas intermedias, adoptando 1 x 2 x 3 x 4 = 24 formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, el primer joven puede ocupar 10 sitios distintos. Esto significa que el número total de combinaciones posibles para los muchachos es de 10 x 24 = 240.¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacías, situadas entre los jóvenes las 5 muchachas? Evidentemente serán 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos, con cada una de las 120 que pueden adoptar las muchachas, obtendremos el número total de combinaciones posibles, o sea, 240 x 120 = 28.800Este número, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y se necesitaría un total de 79 años. Los jóvenes clientes del restaurante, que vivieran hasta la edad de cien años, podrían asistir a una comida, servida gratis, si no por el propio camarero, al menos por uno de sus descendientes.Sabiendo calcular el número de permutaciones posibles, podemos determinar el número de combinaciones realizables con las cifras del "juego del 15". Con otras palabras, podemos calcular el número total de ejercicios que es posible efectuar con ese juego. Se comprende fácilmente, que el cálculo se reduce a hallar el número de combinaciones posibles a base de 15 objetos. Sabemos, según hemos visto, que para ello es preciso multiplicar sucesivamente: 1 x 2 x 3 x 4 x … x 14 x 15.




Como resultado se obtiene: 1.307.674.365.000, o sea, más de un billón.La mitad de ese enorme número de ejercicios son insolubles, o sea que en este juego, más de 600.000 millones de combinaciones no tienen solución. Por ello se comprende, en parte, la fiebre de apasionamiento por el "juego del 15", que embargó a las gentes, que no sospechaban la existencia de ese inmenso número de casos insolubles.Si fuera posible colocar cada segundo las cifras en una nueva posición, para realizar todas las combinaciones posibles, habría que trabajar incesantemente día y noche más de 40.000 años.Como fin de nuestra charla sobre el número de combinaciones posibles, resolvamos el siguiente problema relacionado con la vida escolar.Hay en clase 25 alumnos. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en los pupitres?Para los que han asimilado lo expuesto anteriormente, la solución es muy sencilla: basta multiplicar sucesivamente los 25 números siguientes: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x … x 23 x 24 x 25.En matemáticas existen diversos métodos de simplificación de los cálculos, pero para facilitar operaciones como la que acabamos de mencionar, no los hay. El único procedimiento para efectuar exactamente esta operación consiste en multiplicar con paciencia todos esos números. Sólo puede reducirse algo de tiempo requerido para efectuar esa multiplicación, eligiendo una agrupación acertada de los mismos. El resultado que se obtiene es un número enorme compuesto de 26 cifras, cuya magnitud es incapaz de representársela nuestra imaginación.He aquí el número: 15.511.210.043.330.985.984.000.000

Progresiones aritméticas y geométricasCuatro problemas resueltos

1.Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para una competencia: Pablo comienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000 metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada día duplica lo hecho el día anterior. Cuántos metros recorre cada uno el décimo día?Solución: Pablo aumenta el recorrido según una progresión aritmética, por lo tanto an= 1000 + (10 - 1). 1000 = 10000En cambio Emilio aumenta su recorrido según una progresión geométrica, por lo tanto an= 200. 210 - 1 = 102 400 Se puede ver en una tabla

Pablo Emilio

1er día 1000 200

2do día 2000 400

3er día 3000 800




4to día 4000 1600

5to día 5000 3200

6to día 6000 6400

7mo día 7000 12800

8vo día 8000 25600

9no día 9000 51200

10mo día 10000 102400

Respuesta: El décimo día Pablo recorre 10000 metros y Emilio 102400 metros2.-

1 2 3 4* * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * * * * * ** * * *

7 asteriscos 10 asteriscos 13 asteriscosLa progresión 7, 10, 13, ... es aritmética; la diferencia entre los términos consecutivos es 3; el primer término es 7. ¿Cuántos asteriscos habrá en el séptimo diagrama?; esto significa: ¿cuál es el séptimo término de la sucesión?an = a1 +(n - 1). ra7 = 7 + 6. 3 = 253.-Hallar el término 11º y el término enésimo de la progresión aritmética 4, 7, 10, ...En esta sucesión, a1 = 4 y r = 3, luego:a11 = 4 + (11-1).3 = 4 + 10.3 = 34El enésimo término será:an = 4 + 3(n-1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1

4.-Leyenda sobre el tablero del ajedrezEl ajedrez es un juego antiquísimo. Cuenta muchos siglos de existencia y por eso no es de extrañar que estén ligadas a él diferentes leyendas, cuya veracidad es difícil comprobar debido a su antigüedad. Precisamente quiero contar una de estas leyendas. Para comprenderla no hace falta saber jugar al ajedrez; basta simplemente saber que el tablero donde se juega está dividido en 64 escaques (casillas negras y blancas, dispuestas alternativamente).




El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento.El inventor, llamado Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos.– Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado –dijo el rey.El sabio contestó con una inclinación.– Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado –continuó diciendo el rey–. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.Seta continuó callado.– No seas tímido –le animó el rey-. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.– Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.– Soberano –dijo Seta–, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez.– ¿Un simple grano de trigo? –contestó admirado el rey.– Sí, soberano. Por la segunda casilla ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32…– Basta –le interrumpió irritado el rey–. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo; por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que necesitas.Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió para que se enteraran de si habían entregado ya al reflexivo Seta su mezquina recompensa.– Soberano, tu orden se está cumpliendo –fue la respuesta–. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde.El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.– Soberano –le contestaron–, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.




– ¿Por qué va tan despacio este asunto? –gritó iracundo el rey–. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.El rey mandó que le hicieran entrar.– Antes de comenzar tu informe –le dijo Sheram–, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.– Precisamente para eso me he atrevido a presentarme tan temprano –contestó el anciano–. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme…– Sea cual fuere su magnitud –le interrumpió con altivez el rey– mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa y, por lo tanto, hay que entregársela.– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y toda la cosecha obtenida en estos campos ordena que sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.– Dime, cuál es esa cifra tan monstruosa –dijo reflexionando–.– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.Verifica si el resultado es correctoRespuesta:Para poder convencernos, hagamos el cálculo. Si se comienza por la unidad, hay que sumar las siguientes cifras: 1, 2, 4, 8, etc. El resultado obtenido tras 63 duplicaciones sucesivas nos mostrará la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el inventor. Podemos hallar fácilmente la suma total de granos, si duplicamos el último número, obtenido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es decir, el cálculo se reduce simplemente a multiplicar 64 veces seguidas la cifra dos:2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, y así sucesivamente 64 veces.Con objeto de simplificar el cálculo, podemos dividir estos 64 factores en seis grupos de 10 factores 2 y uno de 4 factores 2. La multiplicación sucesiva de 10 factores 2, como es fácil comprobar, es igual a 1024 y la de 4 factores 2 es de 16. Por lo tanto, el resultado que buscamos es equivalente a: 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 16




Multiplicando 1024 x 1024 obtenemos 1.048.576Ahora nos queda por hallar:1.048.576 x 1.048.576 x 1.048.576 x 16Restando del resultado una unidad, obtendremos el número de granos buscado: 18.446.744.073.709.551.615Para hacernos una idea de la inmensidad de esta cifra gigante, calculemos aproximadamente la magnitud que debería tener el granero capaz de almacenar semejante cantidad de trigo. Es sabido que un metro cúbico de trigo contiene cerca de 15 millones de granos. En ese caso, la recompensa del inventor del ajedrez debería ocupar un volumen aproximado de 12.000.000.000.000 m3, o lo que es lo mismo, 12.000 km3. Si el granero tuviera 4 m de alto y 10 m de ancho, su longitud debería de ser de 300.000.000 km, o sea, el doble de la distancia que separa la Tierra del Sol.

150.000.000 kmEl rey hindú, naturalmente, no podía entregar semejante recompensa. Sin embargo, de haber estado fuerte en matemática, hubiera podido librarse de esta deuda tan gravosa. Para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano, el trigo que le correspondía. ¿Cuánto tiempo crees que hubiera tardado, en hacerlo? Si Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando un grano por segundo, en el primer día habría contado 86.400 granos. Para contar un millón de granos habría necesitado, como mínimo, 10 días de continuo trabajo. Un metro cúbico de trigo lo habría contado aproximadamente en medio año, lo que supondría un total de 5 cuartos. Haciendo esto sin interrupción durante 10 años, habría contado 100 cuartos como máximo. Por consiguiente, aunque Seta hubiera consagrado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondían, habría recibido sólo una parte ínfima de la recompensa exigida.


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