Instituto Universitario Politécnico «Santiago Mariño»

Extensión San Felipe – Estado Yaracuy

Participantes: María G. Marín P.

C.I.: 16.481.119

San Felipe, Noviembre de 2013

Movimiento Oscilatorio

Se describen como los elementos:

Elongación

Periodo

Amplitud y

Frecuencia

Oscilación

Se clasifican en:

Movimiento Armónico Simple Movimiento Amortiguado

Se caracteriza por ausencia de fricción y conservación de energía

Se caracteriza por Presencia de fricción y perdida de energía mecánica

Se puede predecir por su posición, aceleración, energía, cinética y potencial

Antecedente del Péndulo

El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo sí depende de ella). Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensa según la latitud y la altitud. por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. por eso, un péndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.

El movimiento pendular es una forma de desplazamiento que presentan algunos sistemas fiscos como aplicación práctica al movimiento armónico simple.

Péndulo

Es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijo mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo.

Característica

A continuación hay tres características del movimiento pendular que son: péndulo simple, péndulo de torsión y péndulo físico.

Péndulo Simple

El sistema físico llamado péndulo simple está constituido por una masa puntual m suspendida de un hilo inextensible y sin peso que oscila en el vació en ausencia de fuerza de rozamientos. Dicha masa se desplaza sobre un arco circular con movimiento periódico. Esta definición corresponde a un sistema teórico que en la práctica se sustituye por una esfera de masa reducida suspendida de un filamento ligero.

El periodo del péndulo resulta independiente de la masa del cuerpo suspendido, es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud e inversamente proporcional a la aceleración de la gravedad.

Objetivo

El objetivo es la determinación de la aceleración de la gravedad a partir del periodo de un péndulo simple. Para ello se mide el tiempo que tarda el péndulo simple en realizar un número de oscilaciones. El valor del periodo se calcula a partir del valor medio de las medidas de los tiempos para longitudes distintas de un hilo del que cuelga una masa.

Fundamentos físicos

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

•El peso mg •La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg•sen q en la dirección tangencial y mg•cos q en la dirección radial.

•Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

man=T-mg•cos q

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la tensión T del hilo.

La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l

Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0

•Principio de conservación de la energía

En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio

En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema θ=θ0 , la energía es solamente potencial.

E=mg(l-l·cosθ0)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

v2=2gl(cosθ-cosθ0)

La tensión de la cuerda es

T=mg(3cosθ-2cosθ0)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt.

La segunda ley de Newton se escribe

mat=-mg·senq

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

Péndulo de torsión

Se dice que un cuerpo se desplaza con movimiento armónico de rotación entono a un eje fijo cuando un Angulo de giro resulta función sinusoidal del tiempo y el cuerpo se encuentra sometido a una fuerza recuperadora cuyo momento es proporcional a la elongación angular.

Las ecuaciones que rigen este movimiento se obtienen por sustitución de las magnitudes lineales del movimiento armónico simple por las perspectivas.

Siendo I el momento de inercia del sistema, con respecto al eje de rotación y D la constante de torsión (esta fórmula es exacta aun para oscilaciones de gran amplitud), si se conoce el momento de inercia I y se mide el periodo T se puede calcular D.

Objetivo

El objetivo de la práctica es comprobar la dependencia del momento de inercia I de un Objeto respecto a la distancia al centro de rotación y realizar la medición del momento de inercia de un cuerpo de forma complicada.

Fundamentos físicos

El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. cuando se separa un ángulo q de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe

IO· =-mgxsen

Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O. IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.

Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes senθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P

Por el teorema de Steiner

IO=IC+mx2=mR2+mx2

R se denomina radio de giro, para una varilla R2=l2/12, siendo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe

Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.

Dado un valor de P podemos hallar los dos valores de x que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo.

Para obtener estos valores, elevamos al cuadrado la fórmula del periodo P, obteniendo la ecuación de segundo grado

La ecuación de segundo grado en x, tiene dos soluciones, que se muestran en la figura, las abscisas x1 y x2 de las intersecciones de la recta horizontal (P=cte) y la curva (P en función de x).

De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado

Midiendo en la gráfica x1 y x2 para un valor dado de P, obtenemos el valor de la aceleración de la gravedad g. También podemos obtener el momento de inercia del pénduloIc=mR2 compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masa, pesando en una balanza el péndulo y calculando R2 mediante el producto de x1 por x2.

Péndulo Físico

El péndulo físico, también llamado péndulo compuesto, es un sistema integrado por un sólido de forma irregular, móvil en torno a un punto o a eje fijos, y que oscila solamente por acción de su peso. representado un péndulo físico, que consiste de un cuerpo demasa m suspendido de un punto de suspensión que dista una distancia dcm de su centro de su masa.

El período del péndulo físico para pequeñas amplitudes de oscilación está dado por la expresión 1:

donde I es el momento de inercia de péndulo respecto del centro de rotación (punto de suspensión), mla masa del mismo, g la aceleración de la gravedad del lugar y dcm la distancia del centro de masa del péndulo al centro de rotación.

Un péndulo físico es un sólido rígido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano vertical alrededor de un eje perpendicular a un plano que contenga a su centro de masas.

El punto de intersección del eje con dicho plano es el punto de suspensión. La posición de equilibrio es aquella en que el centro de masas se encuentra en la misma vertical y por debajo del punto de suspensión. En la figura 1 se presenta esquemáticamente un sólido plano de pequeño espesor utilizado como péndulo físico.

Fundamentos

Un cuerpo rígido que gira libremente en torno a un eje fijo de rotación, que no coincide con su centro de gravedad, constituye un péndulo físico. Las leyes de la dinámica de rotación establecen que el momento de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual al momento de inercia del cuerpo multiplicado por la aceleración angular a que es sometido:

(1) Donde M es el momento de las fuerzas que actúan sobre el sistema, I el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de oscilación (O) y el ángulo que nos da la posición del cuerpo respecto de la de equilibrio. Por tanto la derivada segunda de respecto del tiempo dos veces es la aceleración angular del sistema.

Figura 1 - El péndulo físico

El momento de la fuerza de la gravedad que actúa sobre un péndulo físico como el de la figura 1, cuando el sistema forma un cierto ángulo respecto a la posición de equilibrio, se puede expresar, en función de ese ángulo como:

(2) Donde m es la masa del péndulo, a es la distancia del eje de oscilación O al centro de gravedad y el signo indica que es un momento recuperador, que tiende a llevar al sistema a la posición de equilibrio.

Hemos empleado la aproximación del seno de un ángulo por el propio ángulo, válido para oscilaciones pequeñas, de forma que al realizar la experiencia tendremos que cuidarnos de que esta hipótesis se cumpla, es decir hacer oscilar al péndulo con un ángulo pequeño.

Igualando las dos expresiones anteriores (1) y (2), obtenemos la que nos da el periodo del péndulo físico:

(3) Para la posterior comparación con los valores experimentales podemos poner, en esta expresión, el momento de inercia respecto al eje de oscilación en función del momento de inercia respecto del centro de masas, a través del teorema de Steiner, en el que el momento del centro de gravedad será la suma del momento de la barra y el de las dos masas con las cuchillas:

Y sustituyendo en la expresión (3), obtenemos:

(4) En el caso del péndulo simple o péndulo matemático esta expresión se simplifica en la siguiente:

(5) Donde es la distancia del eje de giro al centro de gravedad que en el péndulo matemático es la longitud del péndulo.

Por tanto, si igualamos las dos expresiones (3) y (5) obtenemos:

(6) Que nos da la de un péndulo matemático del mismo periodo de oscilación que el péndulo físico que estamos estudiando. A este valor se le llama longitud reducida del péndulo físico.

La longitud del Péndulo

El movimiento ocurre en un plano vertical y es accionado por la fuerza gravitacional. Considerando que el péndulo oscila libremente (sin roce) se puede demostrar que su movimiento es un movimiento armónico simple, siempre y cuando la amplitud de su oscilación sea pequeña. Las fuerzas que actúan sobre la masa son las fuerzas ejercidas por la cuerda T y la fuerza gravitacional mg. la componente tangencial de la fuerza gravitacional,

Aplicaciones en la ing. Civil

Grúa de bola: péndulo que es usado para la demolición de edificio entre otros.

plomada: péndulo que sirve para rectificar si esta verticalmente u horizontal lo qu ese desee nivelar.

un ayudante de maestro de obra realiza movimiento armónico simple, en donde se puede predecir por su posición, aceleración, energía, cinética y potencial

Conclusión

Uno de los movimientos más importantes observados en la naturaleza, es el movimiento oscilatorio o vibratorio. Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente respecto a una posición de equilibrio. Al igual que los movimientos armónicos simples (MAS), debido que diariamente se coloca en práctica en nuestras vidas diarias.