PRÁCTICA DOMICILIARIANº1
45
FACULTAD: INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA: INGENIERÍA CIVIL FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL GRUPO Nº 5 TEMA: “PRIMERA PRÁCTICA DOMICILIARIA” ASIGNATURA : MACANICA DE FLUIDOS II (IC-348) PROFESOR : Ing. Jaime Bendezu Prado ALUMNO : CAJAMARCA ATAO, Javier. LÓPEZ PORRAS, Vladimir A. PUJAICO HUAUYA, Riv. SICHA BAUTISTA, Oscar Raúl. SULCARAYME GUERRA, Ciro. TOVAR POMA, Javier Cesar. VILCAPOMA MENDOZA, Deyvin. CICLO ACADEMICO : 2011-II AYACUCHO_PERU 2012
Transcript of PRÁCTICA DOMICILIARIANº1
FACULTAD: INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y CIVILESCUELA: INGENIERÍA CIVIL
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
GRUPO Nº 5
TEMA: “PRIMERA PRÁCTICA DOMICILIARIA”
ASIGNATURA : MACANICA DE FLUIDOS II (IC-348)
PROFESOR : IInngg.. JJaaiimmee BBeennddeezzuu PPrraaddoo
ALUMNO : CAJAMARCA ATAO, Javier.
LÓPEZ PORRAS, Vladimir A.
PUJAICO HUAUYA, Riv.
SICHA BAUTISTA, Oscar Raúl.
SULCARAYME GUERRA, Ciro.
TOVAR POMA, Javier Cesar.
VILCAPOMA MENDOZA, Deyvin.
CICLO ACADEMICO : 2011-II
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2
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
3
a) Método de Hardy-Cross
Es un método de aproximaciones sucesivas que determina el caudal que discurre por cada
tubería y el sentido de flujos.
Este método consiste en asumir caudal y sentido cualquiera a cada tramo de tubería, se
puede decir que cuanto más alejado sea el valor del caudal asumido respecto al caudal
verdadero se hará más iteraciones.
Al dar valores a cada tramo de la red de tuberías se debe cumplir la ecuación de la
continuidad ( ).
Para este método se utilizara las siguientes fórmulas:
1.72 ∗ 10 .
. .
∑
∑
Dónde:
Perdida por fricción en la tubería
Longitud de cada tramo (Km)
Caudal en cada tramo (lt/s)
Coeficiente de Hazen y Williams
Diametro de cada tubería (pulg)
1.85 (por H y W)
Se iterará hasta que 1% y alrededor de cada circuito ∑ 0 y en tramos
comunes sean iguales.
Para resolver el problema dado se dará caudales y sentidos de flujo arbitrarios como se
muestra en la (figura 3):
En la (figura 3) se muestra que existen 5 circuitos. Se asume como sentido positivo, el giro de
las agujas de reloj, y si circulan en sentido anti horario serán negativas.
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Figura 3
I
s 5 iteracio
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100 ‐90
100 ‐90
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100 90
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ME
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0 0.171
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∑= ‐1.25
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de los cauda
II
CÁNICA D
e hizo en el
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E FLUIDOS
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56.329
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12.081
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UNSCH
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‐33.670
‐33.670
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‐61.180
‐82.080
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0.15
0.20
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0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
C 100
140
100 ‐
140 ‐
100 1
140 1
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100 ‐
100 1
100
100
100 ‐
140 ‐
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100 ‐33.6
100 ‐33.6
100 ‐59.1
140 82.0
100 134.2
140 71.1
140 ‐61.1
140 ‐82.0
100 63.1
140 13.1
100 ‐66.7
140 ‐71.1
100 59.1
140 61.1
140 ‐4.43
100 ‐144.5
100 115.4
100 66.7
100 39.8
100 ‐60.1
140 4.43
ME
Qo hf60 0
10 0
‐68 ‐0
‐30 ‐0
∑= ‐0
140 1
130 1
22 0
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140 0
∑= 2
68 0
38 0
‐62 ‐0
‐22 ‐0
∑= ‐0
hfo(m
67 ‐0.05
67 ‐0.02
10 ‐0.38
8 0.219
∑= ‐0.23
25 0.358
1 0.168
18 ‐0.32
08 ‐0.21
∑= ‐0.01
4 0.089
4 0.00
72 ‐0.07
11 ‐0.16
∑= ‐0.14
1 0.38
8 0.32
3 ‐0.00
57 ‐2.18
43 0.19
∑= ‐1.29
2 0.07
6 0.07
14 ‐0.02
3 0.008
∑= 0.134
CÁNICA D
fo(m) h0.081
0.004
0.073
0.034
0.023
1.877
1.299
0.157
1.547
0.278
2.064
0.073
0.069
0.021
0.157
0.036
m) hfo/
55 0.0
20 0.0
81 0.0
9 0.0
37 0.0
8 0.0
8 0.0
22 0.0
19 0.0
15 0.0
9 0.0
6 0.0
71 0.0
68 0.0
44 0.0
1 0.0
2 0.0
08 0.0
84 0.0
5 0.0
94 0.0
1 0.0
6 0.0
20 0.0
8 0.0
4 0.0
E FLUIDOS
hfo/Qo 0.001
0.000
0.001
0.001
0.004
0.013
0.010
0.007
0.013
0.002
0.045
0.001
0.002
0.000
0.007
0.010
/Qo
002 1
001 1
006 ‐1
003 1
011
003 0
002 ‐1
005 ‐2
003 ‐1
013
001 1
000 1
001 2
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005
006 1
005 2
002 3
015 2
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030
001 ‐2
002 ‐1
000 ‐1
002 ‐3
005
S II
ΔQ
3.138
3.138
1.277
‐41.111
‐80.897
‐68.816
‐26.428
‐24.567
‐24.567
‐1.277
1.861
1.861
26.428
ΔQ Q
1.275
1.275
11.793
0.642
0.632
14.056
22.435
10.642
4.689
4.689
8.883
4.056
1.793
2.435
7.262
3.068
3.068
28.883
14.195
14.195
37.262
UNSCH
Q1 =Qo + ΔQ63.140
13.140
‐66.720
‐71.110
59.100
61.180
‐4.430
‐144.570
115.430
66.720
39.860
‐60.140
4.430
Q2 =Qo + ΔQ
‐22.400
‐22.400
‐70.890
92.720
134.880
57.050
‐83.620
‐92.720
77.830
27.830
‐37.840
‐57.050
70.890
83.620
32.830
‐121.500
138.500
37.840
25.670
‐74.330
‐32.830
5
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B‐C 18
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‐G 12
B‐F 16
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C‐G 16
E‐F 15
‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
G‐H 20
H‐K 18
‐K 24
G‐J 10
amo D(pul
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
F‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
C Qo
100 ‐22.4
100 ‐22.4
100 ‐70.8
140 92.72
∑
100 134.8
140 57.05
140 ‐83.6
140 ‐92.7
∑
100 77.83
140 27.83
100 ‐37.8
140 ‐57.0
∑
100 70.89
140 83.62
140 32.83
100 ‐121.
100 138.5
∑
100 37.84
100 25.67
100 ‐74.3
140 ‐32.8
∑
C Qo
100 ‐9.24
100 ‐9.24
100 ‐56.0
140 91.8
∑
100 148.9
140 73.0
140 ‐67.8
140 ‐91.8
∑
100 75.8
140 25.8
100 ‐52.9
140 ‐73.0
∑
ME
hfo(m
40 ‐0.026
40 ‐0.009
89 ‐0.533
2 0.275
∑= ‐0.294
88 0.361
5 0.112
62 ‐0.574
72 ‐0.275
∑= ‐0.376
3 0.131
3 0.025
84 ‐0.025
05 ‐0.112
∑= 0.019
9 0.533
2 0.574
3 0.329
5 ‐1.583
5 0.273
∑= 0.126
4 0.025
7 0.034
3 ‐0.030
83 ‐0.329
∑= ‐0.301
hfo(m
4 ‐0.00
4 ‐0.00
00 ‐0.34
4 0.270
∑= ‐0.08
92 0.434
4 0.177
85 ‐0.39
84 ‐0.27
∑= ‐0.05
8 0.125
8 0.022
91 ‐0.04
04 ‐0.17
∑= ‐0.07
CÁNICA D
m) hfo/
6 0.0
9 0.0
3 0.0
5 0.0
4 0.0
1 0.0
2 0.0
4 0.0
5 0.0
6 0.0
1 0.0
5 0.0
5 0.0
2 0.0
9 0.0
3 0.0
4 0.0
9 0.0
3 0.0
3 0.0
6 0.0
5 0.0
4 0.0
0 0.0
9 0.0
1 0.0
m) hfo/
5 0.0
2 0.0
5 0.0
0 0.0
2 0.0
4 0.0
7 0.0
0 0.0
0 0.0
0 0.0
5 0.0
2 0.0
6 0.0
7 0.0
6 0.0
E FLUIDOS
/Qo
01 13
00 13
08 14
03 ‐0
12
03 14
02 15
07 15
03 0
14
02 ‐1
01 ‐1
01 ‐1
02 ‐1
05
08 ‐1
07 ‐1
10 ‐1
13 ‐1
02 ‐1
39
01 15
01 13
00 13
10 14
12
/Qo
001 4
000 4
006 ‐3
003 2
010
003 1
002 ‐5
006 ‐6
003 ‐2
014
002 7
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002 5
006
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ΔQ Q
3.159
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1.731
5.066
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3.116
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4.479
4.479
3.956
2.569
1.910
5.262
6.525
2.569
7.172
7.172
6.529
5.262
UNSCH
Q3 =Qo + ΔQ
‐9.240
‐9.240
‐56.000
91.840
148.920
73.040
‐67.850
‐91.840
75.880
25.880
‐52.910
‐73.040
56.000
67.850
17.980
‐123.230
136.770
52.910
38.790
‐61.210
‐17.980
4 =Qo + ΔQ
‐4.760
‐4.760
‐59.960
94.410
150.830
67.780
‐74.380
‐94.410
83.050
33.050
‐46.380
‐67.780
6
CIRC
UIT
O IV
E‐F‐
G
I‐
I‐
CIRC
UIT
O V G‐
H‐
J‐
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
CIRC
UIT
O V G
H
J
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
‐F 15 ‐G 12
‐J 10
‐J 16
‐E 20
‐H 20
‐K 18
‐K 24
‐J 10
amo D(pul
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
F‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
F‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
G‐H 20
H‐K 18
‐K 24
G‐J 10
amo D(pul
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
0.30 100.15 14
0.20 14
0.45 10
0.18 10
0.18 10
0.30 10
0.15 10
0.20 14
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
lg) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
00 5640 67.85
40 17.98
00 ‐123.2
00 136.7
00 52.91
00 38.79
00 ‐61.2
40 ‐17.9
C Qo
100 ‐4.76
100 ‐4.76
100 ‐59.9
140 94.4
∑
100 150.8
140 67.7
140 ‐74.3
140 ‐94.4
∑
100 83.0
140 33.0
100 ‐46.3
140 ‐67.7
∑
100 59.9
140 74.3
140 25.7
100 ‐114.
100 145.
∑
100 46.3
100 39.4
100 ‐60.5
140 ‐25.7
∑
C Qo
100 1.16
100 1.16
100 ‐55.0
140 94.7
ME
0.345 0.39
8 0.10
23 ‐1.62
77 0.26
∑= ‐0.51
1 0.04
9 0.07
1 ‐0.02
8 ‐0.10
∑= ‐0.01
hfo(m
6 ‐0.00
6 ‐0.00
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1 0.284
∑= ‐0.109
83 0.444
8 0.154
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41 ‐0.284
∑= ‐0.148
5 0.147
5 0.034
38 ‐0.03
78 ‐0.154
∑= ‐0.009
6 0.391
8 0.462
7 0.210
.8 ‐1.42
2 0.298
∑= ‐0.064
8 0.036
3 0.074
57 ‐0.020
77 ‐0.210
∑= ‐0.120
hfo(m
6 0.000
6 0.000
02 ‐0.33
77 0.286
CÁNICA D
5 0.00 0.0
8 0.0
25 0.0
6 0.0
16 0.0
6 0.0
2 0.0
21 0.0
08 0.0
11 0.0
m) hfo/
1 0.0
1 0.0
1 0.0
4 0.0
9 0.0
4 0.0
4 0.0
2 0.0
4 0.0
8 0.0
7 0.0
4 0.0
6 0.0
4 0.0
9 0.0
1 0.0
2 0.0
0 0.0
5 0.0
8 0.0
4 0.0
6 0.0
4 0.0
0 0.0
0 0.0
0 0.0
m) hfo
0 0.0
0 0.0
4 0.0
6 0.0
E FLUIDOS
006 3006 6
006 7
013 8
002 8
033
001 ‐6
002 0
000 0
006 ‐7
009
/Qo
000 5
000 5
007 4
003 0
010
003 5
002 4
006 4
003 ‐0
014
002 0
001 0
001 ‐5
002 ‐4
006
007 ‐4
006 ‐4
008 ‐4
012 0
002 0
035
001 5
002 5
000 5
008 4
011
/Qo
000 2
000 2
006 ‐
003 0
S II
3.956 6.525
7.792
8.435
8.435
6.529
0.643
0.643
7.792
ΔQ Q5
5.915
5.915
4.939
0.359
5.556
4.750
4.580
0.359
0.806
0.806
5.027
4.750
4.939
4.580
4.857
0.976
0.976
5.027
5.833
5.833
4.857
ΔQ Q
2.774
2.774
0.712
0.972
UNSCH
59.960 74.380
25.770
‐114.800
145.200
46.380
39.430
‐60.570
‐25.770
5 =Qo + ΔQ
1.160
1.160
‐55.020
94.770
156.390
72.530
‐69.800
‐94.770
83.860
33.860
‐51.410
‐72.530
55.020
69.800
20.910
‐113.820
146.180
51.410
45.260
‐54.740
‐20.910
Q6 =Qo + ΔQ
3.930
3.930
‐55.730
95.740
7
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
CIRC
UIT
O V G
H
J
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
B‐C 18
C‐G 16
F‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
F‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
G‐H 20
H‐K 18
‐K 24
G‐J 10
amo D(pulg
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
∑
100 156.3
140 72.5
140 ‐69.8
140 ‐94.7
∑
100 83.8
140 33.8
100 ‐51.4
140 ‐72.5
∑
100 55.0
140 69.8
140 20.9
100 ‐113.8
100 146.1
∑
100 51.4
100 45.2
100 ‐54.7
140 ‐20.9
∑
C Qo
100 3.93
100 3.93
100 ‐55.7
140 95.7
100 158.1
140 71.4
140 ‐71.4
140 ‐95.7
100 86.7
140 36.7
100 ‐49.6
140 ‐71.4
100 55.7
140 71.4
140 23.3
100 ‐110.
100 149.6
ME
∑= ‐0.04
39 0.475
3 0.174
8 ‐0.41
77 ‐0.28
∑= ‐0.04
86 0.150
86 0.036
41 ‐0.04
53 ‐0.17
∑= ‐0.03
02 0.334
8 0.411
91 0.143
82‐1.40
18 0.301
∑= ‐0.21
41 0.044
6 0.096
74 ‐0.01
91 ‐0.14
∑= ‐0.02
o hfo(m
3 0.00
3 0.00
73 ‐0.34
74 0.29
∑= ‐0.04
19 0.48
44 0.17
48 ‐0.43
74 ‐0.29
∑= ‐0.06
75 0.16
75 0.04
61 ‐0.04
44 ‐0.17
∑= ‐0.00
73 0.34
48 0.43
31 0.17
33 ‐1.32
67 0.31
∑= ‐0.06
CÁNICA D
7 0.0
5 0.0
4 0.0
1 0.0
6 0.0
8 0.0
0 0.0
6 0.0
4 0.0
4 0.0
3 0.0
4 0.0
1 0.0
3 0.0
3 0.0
1 0.0
4 0.0
4 0.0
6 0.0
7 0.0
3 0.0
0 0.0
m) hfo
01 0.0
00 0.0
42 0.0
92 0.0
49 0.0
85 0.0
70 0.0
30 0.0
92 0.0
66 0.0
60 0.0
41 0.0
41 0.0
70 0.0
09 0.0
42 0.0
30 0.0
75 0.0
24 0.0
15 0.0
64 0.0
E FLUIDOS
009
003 1
002 ‐
006 ‐
003 ‐
014
002 2
001 2
001 1
002 1
006
006 0
006 1
007 2
012 3
002 3
033
001 ‐
002 1
000 1
007 ‐
010
o/Qo
000 2
000 2
006 1
003 0
010
003 2
002 1
006 1
003 ‐0
014
002 0
001 0
001 ‐
002 ‐
006
006 ‐
006 ‐
007 ‐
012 1
002 1
034
S II
1.802
1.092
1.685
0.972
2.894
2.894
1.805
1.092
0.712
1.685
2.398
3.487
3.487
1.805
1.089
1.089
2.398
ΔQ Q
2.753
2.753
1.733
0.276
2.477
1.644
1.457
0.276
0.833
0.833
1.676
1.644
1.733
1.457
1.489
1.020
1.020
UNSCH
158.190
71.440
‐71.480
‐95.740
86.750
36.750
‐49.610
‐71.440
55.730
71.480
23.310
‐110.330
149.670
49.610
46.350
‐53.650
‐23.310
Q7 =Qo + ΔQ
6.680
6.680
‐54.000
96.020
160.670
73.080
‐70.020
‐96.020
87.580
37.580
‐51.290
‐73.080
54.000
70.020
21.820
‐109.310
150.690
8
CIRC
UIT
O V G‐
H‐
J‐
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
CIRC
UIT
O V G
H
J
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
‐H 20
‐K 18
‐K 24
‐J 10
amo D(pulg
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
G‐H 20
H‐K 18
‐K 24
G‐J 10
amo D(pul
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
F‐G 12
B‐F 16
0.18 10
0.30 10
0.15 10
0.20 14
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
00 49.61
00 46.35
00 ‐53.6
40 ‐23.3
C Qo
100 6.68
100 6.68
100 ‐54.0
140 96.0
100 160.6
140 73.0
140 ‐70.0
140 ‐96.0
100 87.5
140 37.5
100 ‐51.2
140 ‐73.0
100 54
140 70.0
140 21.8
100 ‐109.
100 150.6
100 51.2
100 48.8
100 ‐51.1
140 ‐21.8
C Qo
100 8.10
100 8.10
100 ‐54.0
140 96.3
∑
100 161.8
140 72.9
140 ‐70.4
140 ‐96.3
∑
ME
1 0.04
5 0.10
5 ‐0.01
1 ‐0.17
∑= ‐0.05
o hfo(m
8 0.00
8 0.00
00 ‐0.32
02 0.29
∑= ‐0.02
67 0.49
08 0.17
02 ‐0.41
02 ‐0.29
∑= ‐0.03
58 0.16
58 0.04
29 ‐0.04
08 ‐0.17
∑= ‐0.01
0.32
02 0.41
82 0.15
31 ‐1.30
69 0.31
∑= ‐0.09
29 0.04
86 0.11
14 ‐0.01
82 ‐0.15
∑= ‐0.01
hfo(m
0 0.004
0 0.001
09 ‐0.32
1 0.295
∑= ‐0.02
81 0.506
4 0.176
4 ‐0.41
31 ‐0.29
∑= ‐0.03
CÁNICA D
1 0.0
0 0.0
16 0.0
75 0.0
50 0.0
m) hfo
03 0.0
01 0.0
22 0.0
93 0.0
25 0.0
99 0.0
77 0.0
13 0.0
93 0.0
30 0.0
62 0.0
43 0.0
43 0.0
77 0.0
15 0.0
22 0.0
13 0.0
55 0.0
02 0.0
19 0.0
93 0.0
43 0.0
10 0.0
15 0.0
55 0.0
16 0.0
m) hfo/
4 0.0
1 0.0
3 0.0
5 0.0
3 0.0
6 0.0
6 0.0
8 0.0
5 0.0
0 0.0
E FLUIDOS
001 1
002 2
000 2
007 1
011
o/Qo
000 1
000 1
006 ‐0
003 0
010
003 1
002 ‐0
006 ‐0
003 ‐0
014
002 1
001 1
001 0
002 0
006
006 0
006 0
007 0
012 1
002 1
033
001 ‐0
002 0
000 0
007 ‐0
010
/Qo
000 1
000 1
006 0
003 0
010
003 1
002 0
006 0
003 ‐0
015
S II
1.676
2.509
2.509
1.489
ΔQ Q
1.425
1.425
0.094
0.287
1.137
0.137
0.381
0.287
1.275
1.275
0.465
0.137
0.094
0.381
0.709
1.519
1.519
0.465
0.810
0.810
0.709
ΔQ Q
1.281
1.281
0.647
0.153
1.128
0.587
0.494
0.153
UNSCH
51.290
48.860
‐51.140
‐21.820
Q8=Qo + ΔQ
8.100
8.100
‐54.090
96.310
161.810
72.940
‐70.400
‐96.310
88.850
38.850
‐50.830
‐72.940
54.090
70.400
22.530
‐107.790
152.210
50.830
49.670
‐50.330
‐22.530
Q9=Qo + ΔQ
9.380
9.380
‐53.440
96.460
162.940
73.530
‐69.910
‐96.460
9
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
CIRC
UIT
O V G
H
J
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
CIRC
UIT
O V G
H
J
G
=
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
F‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
G‐H 20
H‐K 18
‐K 24
G‐J 10
amo D(pulg
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
G‐H 20
H‐K 18
‐K 24
G‐J 10
=====
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0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
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0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
100 88.8
140 38.8
100 ‐50.8
140 ‐72.9
∑
100 54.0
140 70.4
140 22.5
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100 152.2
∑
100 50.8
100 49.6
100 ‐50.3
140 ‐22.5
∑
C Qo
100 9.38
100 9.38
100 ‐53.4
140 96.4
100 162.9
140 73.5
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140 ‐96.4
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140 39.3
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140 ‐73.5
100 53.4
140 69.9
140 22.0
100 ‐107.
100 152.8
100 51.4
100 50.7
100 ‐49.2
140 ‐22.0
ME
5 0.167
5 0.046
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94 ‐0.17
∑= ‐0.00
9 0.323
4 0.418
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∑= ‐0.03
3 0.043
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∑= ‐0.02
o hfo(m
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8 0.00
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46 0.29
∑= ‐0.01
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46 ‐0.29
∑= ‐0.01
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39 0.04
4 ‐0.04
53 ‐0.17
∑= ‐0.00
44 0.31
91 0.41
05 0.15
16 ‐1.25
84 0.32
∑= ‐0.04
4 0.04
78 0.11
22 ‐0.01
05 ‐0.15
∑= ‐0.00
CÁNICA D
7 0.0
6 0.0
3 0.0
6 0.0
6 0.0
3 0.0
8 0.0
4 0.0
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5 0.0
9 0.0
3 0.0
4 0.0
4 0.0
4 0.0
2 0.0
m) hfo
05 0.0
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12 0.0
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79 0.0
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16 0.0
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55 0.0
27 0.0
42 0.0
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19 0.0
14 0.0
58 0.0
09 0.0
E FLUIDOS
002 0
001 0
001 ‐0
002 ‐0
006
006 ‐0
006 ‐0
007 ‐0
012 0
002 0
033
001 0
002 1
000 1
007 0
011
o/Qo
001 0
000 0
006 0
003 0
010
003 0
002 0
006 ‐0
003 ‐0
015
002 0
001 0
001 0
002 ‐0
006
006 ‐0
006 0
007 0
012 0
002 0
033
001 ‐0
002 0
000 0
007 ‐0
011
S II
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0.541
0.571
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0.494
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0.634
0.634
0.571
1.112
1.112
0.478
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0.739
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0.121
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0.577
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0.041
0.055
0.067
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0.685
0.685
0.099
0.478
0.478
0.206
UNSCH
89.390
39.390
‐51.400
‐73.530
53.440
69.910
22.050
‐107.160
152.840
51.400
50.780
‐49.220
‐22.050
10=Qo + ΔQ
10.120
10.120
‐53.390
96.580
163.560
73.570
‐69.980
‐96.580
89.970
39.970
‐51.300
‐73.570
53.390
69.980
22.260
‐106.480
153.520
51.300
51.260
‐48.740
‐22.260
10
TraCI
RCU
ITO I B
A
E
B
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
CIRC
UIT
O V G
H
J
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
amo D(pulg
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
G‐H 20
H‐K 18
‐K 24
G‐J 10
amo D(pul
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
F‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
C Qo
100 10.7
100 10.7
100 ‐53.1
140 96.6
100 164.0
140 73.8
140 ‐69.
140 ‐96.6
100 90.2
140 40.2
100 ‐51.5
140 ‐73.
100 53.1
140 69.8
140 22.1
100 ‐106.
100 153.8
100 51.5
100 51.7
100 ‐48.2
140 ‐22.
C Qo
100 11.1
100 11.1
100 ‐53.0
140 96.7
∑
100 164.4
140 73.8
140 ‐69.8
140 ‐96.7
∑
100 90.5
140 40.5
100 ‐51.5
140 ‐73.8
∑
ME
o hfo(m
73 0.00
73 0.00
13 ‐0.31
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∑= ‐0.00
09 0.51
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66 ‐0.29
∑= ‐0.00
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27 0.04
51 ‐0.04
8 ‐0.18
∑= ‐0.00
13 0.31
8 0.41
1 0.15
13 ‐1.23
87 0.33
∑= ‐0.01
51 0.04
77 0.12
23 ‐0.01
1 ‐0.15
∑= ‐0.00
hfo(m
0 0.007
0 0.003
07 ‐0.31
1 0.297
∑= ‐0.00
41 0.521
6 0.180
8 ‐0.41
71 ‐0.29
∑= ‐0.00
3 0.173
3 0.050
5 ‐0.04
86 ‐0.18
∑= ‐0.00
CÁNICA D
m) hfo
07 0.0
02 0.0
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97 0.0
07 0.0
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11 0.0
97 0.0
09 0.0
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80 0.0
03 0.0
13 0.0
11 0.0
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33 0.0
31 0.0
19 0.0
44 0.0
23 0.0
13 0.0
58 0.0
05 0.0
m) hfo/
7 0.0
3 0.0
2 0.0
7 0.0
5 0.0
1 0.0
0 0.0
1 0.0
7 0.0
7 0.0
3 0.0
0 0.0
4 0.0
0 0.0
2 0.0
E FLUIDOS
o/Qo
001 0
000 0
006 0
003 0
010
003 0
002 0
006 0
003 ‐0
015
002 0
001 0
001 0
002 ‐0
006
006 ‐0
006 ‐0
007 0
012 0
002 0
033
001 ‐0
002 0
000 0
007 ‐0
011
/Qo
001 0
000 0
006 0
003 0
010
003 0
002 0
006 0
003 ‐0
015
002 0
001 0
001 ‐0
002 ‐0
006
S II
ΔQ Q
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0.375
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0.320
0.056
0.004
0.054
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0.264
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0.056
0.058
0.004
0.060
0.317
0.317
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0.257
0.257
0.060
ΔQ Q1
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0.290
0.110
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0.251
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0.071
0.039
0.159
0.159
0.074
0.092
UNSCH
Q11=Qo + ΔQ
11.100
11.100
‐53.070
96.710
164.410
73.860
‐69.800
‐96.710
90.530
40.530
‐51.500
‐73.860
53.070
69.800
22.160
‐105.810
154.190
51.500
52.030
‐47.970
‐22.160
12=Qo + ΔQ
11.390
11.390
‐52.960
96.750
164.660
73.950
‐69.730
‐96.750
90.690
40.690
‐51.570
‐73.950
11
CIRC
UIT
O IV
E‐
F‐
G
I‐
I‐
CIRC
UIT
O V G‐
H‐
J‐
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
CIRC
UIT
O V G
H
J
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
‐F 15
‐G 12
‐J 10
‐J 16
‐E 20
‐H 20
‐K 18
‐K 24
‐J 10
amo D(pulg
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
G‐H 20
H‐K 18
‐K 24
G‐J 10
amo D(pul
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
0.30 10
0.15 14
0.20 14
0.45 10
0.18 10
0.18 10
0.30 10
0.15 10
0.20 14
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
lg) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
00 53.07
40 69.8
40 22.16
00 ‐105.8
00 154.1
00 51.5
00 52.03
00 ‐47.9
40 ‐22.1
C Qo
100 11.3
100 11.3
100 ‐52.9
140 96.7
100 164.6
140 73.9
140 ‐69.7
140 ‐96.7
100 90.6
140 40.6
100 ‐51.5
140 ‐73.9
100 52.9
140 69.7
140 22.1
100 ‐105.
100 154.3
100 51.5
100 52.2
100 ‐47.7
140 ‐22.1
C Qo
100 11.5
100 11.5
100 ‐52.
140 96.7
ME
7 0.31
8 0.41
6 0.15
81 ‐1.22
19 0.33
∑= ‐0.01
5 0.04
3 0.12
7 ‐0.01
6 ‐0.15
∑= ‐0.00
o hfo(m
39 0.00
39 0.00
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∑= ‐0.00
66 0.52
95 0.18
73 ‐0.41
75 ‐0.29
∑= ‐0.00
69 0.17
69 0.05
57 ‐0.04
95 ‐0.18
∑= ‐0.00
96 0.31
73 0.41
11 0.15
63 ‐1.22
37 0.33
∑= ‐0.00
57 0.04
26 0.12
74 ‐0.01
11 ‐0.15
∑= ‐0.00
o hfo(m
58 0.00
58 0.00
92 ‐0.31
77 0.29
∑= ‐0.00
CÁNICA D
2 0.0
1 0.0
9 0.0
26 0.0
3 0.0
11 0.0
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4 0.0
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05 0.0
m) hfo
07 0.0
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11 0.0
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50 0.0
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10 0.0
58 0.0
22 0.0
33 0.0
09 0.0
44 0.0
25 0.0
13 0.0
58 0.0
03 0.0
m) hfo
08 0.0
03 0.0
10 0.0
97 0.0
03 0.0
E FLUIDOS
006 ‐0
006 ‐0
007 ‐0
012 0
002 0
033
001 0
002 0
000 0
007 0
011
o/Qo
001 0
000 0
006 0
003 0
010
003 0
002 0
006 0
003 ‐0
015
002 0
001 0
001 ‐0
002 ‐0
006
006 ‐0
006 ‐0
007 0
012 0
002 0
033
001 0
002 0
000 0
007 ‐0
011
/Qo
001 0
000 0
006 0
003 0
010
S II
0.110
0.071
0.053
0.180
0.180
0.074
0.232
0.232
0.053
ΔQ Q1
0.185
0.185
0.038
0.024
0.162
0.038
0.014
0.024
0.124
0.124
0.012
0.038
0.038
0.014
0.012
0.148
0.148
0.012
0.136
0.136
0.012
ΔQ Q1
0.138
0.138
0.046
0.017
UNSCH
52.960
69.730
22.110
‐105.630
154.370
51.570
52.260
‐47.740
‐22.110
13=Qo + ΔQ
11.580
11.580
‐52.920
96.770
164.820
73.990
‐69.720
‐96.770
90.810
40.810
‐51.580
‐73.990
52.920
69.720
22.120
‐105.480
154.520
51.580
52.400
‐47.600
‐22.120
14=Qo + ΔQ
11.720
11.720
‐52.870
96.790
12
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
CIRC
UIT
O V G
H
J
G
Tra
CIRC
UIT
O I B
A
E
B
CIRC
UIT
O II B
C
F
B
CIRC
UIT
O II
I C
D
G
C
CIRC
UIT
O IV
E
F
G
I
I
B‐C 18
C‐G 16
F‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
F‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
G‐H 20
H‐K 18
‐K 24
G‐J 10
amo D(pulg
B‐A 18
A‐E 20
E‐F 15
B‐F 16
B‐C 18
C‐G 16
‐G 12
B‐F 16
C‐D 18
D‐H 16
G‐H 20
C‐G 16
E‐F 15
‐G 12
G‐J 10
I‐J 16
‐E 20
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
0.18
0.30
0.15
0.20
g) L(Km)
0.30
0.18
0.30
0.24
0.15
0.24
0.15
0.24
0.15
0.20
0.18
0.24
0.30
0.15
0.20
0.45
0.18
100 164.
140 73.9
140 ‐69.
140 ‐96.
100 90.8
140 40.8
100 ‐51.
140 ‐73.
100 52.9
140 69.7
140 22.1
100 ‐105
100 154.
100 51.5
100 52.
100 ‐47
140 ‐22.
C Qo
100 11.7
100 11.7
100 ‐52.8
140 96.7
100 164.9
140 74.0
140 ‐69.6
140 ‐96.7
100 90.8
140 40.8
100 ‐51.6
140 ‐74.0
100 52.8
140 69.6
140 22.1
100 ‐105.
100 154.6
ME
.82 0.52
99 0.18
72 ‐0.41
77 ‐0.29
∑= ‐0.00
81 0.17
81 0.05
58 ‐0.04
99 ‐0.18
∑= ‐0.00
92 0.31
72 0.41
12 0.15
.48 ‐1.21
.52 0.33
∑= ‐0.00
58 0.04
.4 0.12
.6 ‐0.01
12 ‐0.15
∑= ‐0.00
o hfo(m
72 0.00
72 0.00
87 ‐0.31
79 0.29
∑= ‐0.00
94 0.52
03 0.18
69 ‐0.41
79 ‐0.29
∑= ‐0.00
89 0.17
89 0.05
61 ‐0.04
03 ‐0.18
∑= ‐0.00
87 0.31
69 0.41
1 0.15
39 ‐1.21
61 0.33
∑= ‐0.00
CÁNICA D
23 0.0
81 0.0
10 0.0
97 0.0
03 0.0
74 0.0
50 0.0
44 0.0
81 0.0
01 0.0
10 0.0
10 0.0
59 0.0
19 0.0
34 0.0
06 0.0
44 0.0
26 0.0
13 0.0
59 0.0
02 0.0
m) hfo
08 0.0
03 0.0
10 0.0
97 0.0
02 0.0
24 0.0
81 0.0
10 0.0
97 0.0
02 0.0
74 0.0
50 0.0
44 0.0
81 0.0
01 0.0
10 0.0
10 0.0
58 0.0
17 0.0
34 0.0
04 0.0
E FLUIDOS
003 0
002 0
006 0
003 ‐0
015
002 0
001 0
001 ‐0
002 ‐0
006
006 ‐0
006 ‐0
007 ‐0
012 0
002 0
033
001 0
002 0
000 0
007 0
011
o/Qo
001 0
000 0
006 0
003 0
010
003 0
002 0
006 0
003 ‐0
015
002 0
001 0
001 ‐0
002 ‐0
006
006 ‐0
006 ‐0
007 0
012 0
002 0
033
S II
0.120
0.038
0.029
0.017
0.082
0.082
0.025
0.038
0.046
0.029
0.015
0.092
0.092
0.025
0.107
0.107
0.015
ΔQ Q1
0.089
0.089
0.016
0.009
0.080
0.018
0.007
0.009
0.062
0.062
0.002
0.018
0.016
0.007
0.009
0.073
0.073
UNSCH
164.940
74.030
‐69.690
‐96.790
90.890
40.890
‐51.610
‐74.030
52.870
69.690
22.100
‐105.390
154.610
51.610
52.510
‐47.490
‐22.100
15=Qo + ΔQ
11.810
11.810
‐52.850
96.800
165.020
74.050
‐69.680
‐96.800
90.950
40.950
‐51.610
‐74.050
52.850
69.680
22.110
‐105.320
154.680
13
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
14
CIRC
UIT
O V G‐H 20 0.18 100 51.61 0.044 0.001 0.002 51.610
H‐K 18 0.30 100 52.51 0.126 0.002 0.064 52.570
J‐K 24 0.15 100 ‐47.49 ‐0.013 0.000 0.064 ‐47.430
G‐J 10 0.20 140 ‐22.1 ‐0.158 0.007 ‐0.009 ‐22.110
∑= ‐0.001 0.011
En esta última iteración se cumple que ΔQ 1%Q, como se muestra en la siguiente tabla:
Tramo ΔQ Q Error = ▲Q*100/Q (%)
<1%
CIRC
UIT
O I B‐A 0.089 11.81 0.753 OK
A‐E 0.089 11.81 0.753 OK
E‐F 0.016 ‐52.85 0.031 OK
B‐F 0.009 96.80 0.010 OK
CIRC
UIT
O II B‐C 0.080 165.02 0.048 OK
C‐G 0.018 74.05 0.024 OK
F‐G 0.007 ‐69.68 0.010 OK
B‐F ‐0.009 ‐96.80 0.010 OK
CIRC
UIT
O II
I C‐D 0.062 90.95 0.068 OK
D‐H 0.062 40.95 0.151 OK
G‐H ‐0.002 ‐51.61 0.003 OK
C‐G ‐0.018 ‐74.05 0.024 OK
CIRC
UIT
O IV
E‐F ‐0.016 52.85 0.031 OK
F‐G ‐0.007 69.68 0.010 OK
G‐J 0.009 22.11 0.040 OK
I‐J 0.073 ‐105.32 0.069 OK
I‐E 0.073 154.68 0.047 OK
CIRC
UIT
O V G‐H 0.002 51.61 0.003 OK
H‐K 0.064 52.57 0.121 OK
J‐K 0.064 ‐47.43 0.134 OK
G‐J ‐0.009 ‐22.11 0.040 OK
Entonceobtenid
Seguida120lbs/unidade
De la m
1181
lt/s
154
68lt/
s
es la nueva dos será (fig
amente pas/pulg , traes:
Tram
isma mane
A
E
I
11.8
1lt/s
15
4.68
lt/s
distribuciógura 4):
amos a halbajaremos
9.
mo I
ra hallarem
11.81lt/s
52.85lt/s
/
Figura 4
n de cauda
lar las presien /
1lbs/pulg
120lbs/
807 /
827.
mos para los
B
F
105.32lt/s
96.8
0lt/s
: Resultado f
ME
ales y senti
iones en ca para lo cu
6,8947
/pulg 82
Pesoesp
371 0.05
688.9337k
demás nud
165.02lt/s
69.68lt/s
final de caud
CÁNICA D
idos de fluj
ada nudo saual haremo
7573kN/m
27.371kN/
pecificodel
∗
553 ∗ 9.807
kN/
dos:
C
G
J
74.0
5lt/s
22
.11l
t/s
dales en las t
E FLUIDOS
o de acuer
abiendo queos la respec
/m
lagua
7
90.95lt/s
51.61lt/s
47.43lt/
uberías
S II
do a los re
e la presiónctiva conve
D
H
K 40
.95l
t/s
52.5
7lt/s
UNSCH
sultados
n en A es rsión de
15
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
16
688.0154kN/
693.8489kN/
695.7333kN/
Tramo II
688.5658kN/
687.9956kN/
687.9966kN/
688.9148kN/
Tramo III 688.4095kN/
688.7264kN/
687.9946kN/
688.5649kN/
Tramo IV
688.0050kN/
688.7368kN/
692.4795kN/
693.7703kN/
687.9369kN/
Tramo V 688.4095kN/
688.7264kN/
687.9946kN/
688.5649kN/
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
17
Para reducir el error es que hemos calculado la presión por varios tramos, entonces el valor verdadero de la presión para cada nudo es:
. /
. /
. /
. /
. /
. /
. /
. /
. /
. /
b) EL MÉTODO DE LA LINEALIZACIÓN.
Este método fue desarrollado por D.J. Wood y C.O.A Charles entre 1970 y 1972 se basa en la
linealización de las ecuaciones de energía en cada una de las tuberías de la red. Es un
método muy apto para ser programado ya que sólo requiere de la obtención de la inversa
de una matriz y algunas iteraciones, se ha demostrado que converge mucho más rápido que
el método de Cross.
El método de la linealización se basa en los siguientes pasos:
1. Para cada nodo de la red se debe cumplir la ecuación de la continuidad.
0…………… .
Sea Un el número de nodo de la red, entonces se tendrán Un ecuaciones, una de las
cuales es redundante.
2. Para cada uno de los circuitos de la red se debe cumplir la ecuación de la conservación
de la energía:
0…… .
Sea NC el número de circuitos de la red, entonces se tendrán NC ecuaciones. Mediante
las ecuaciones de Darcy‐Weisbach en la ecuación (II) se obtiene lo siguiente:
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
18
20…… .
La anterior ecuación indica que se tienen NC ecuaciones no lineales para el caudal: Dado que
no es posible resolver directamente estas ecuaciones simultáneas no lineales, en caso de
flujo en redes se deben utilizar métodos iterativos.
El sistema de ecuaciones (III), existen una por cada circuito, se pueden transformar en:
0……… . .
Siendo:
∑
2……………
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales, el método de la linealización propone el
procedimiento siguiente:
′ ………………
Dónde:
………… .
El caudal es el caudal estimado, si se trata de la primera iteración, o el caudal corregido
de la iteración previa para las demás iteraciones. Al reemplazar la ecuación (IV) se obtiene:
0…… . .
Si en el circuito existe una bomba ésta última ecuación cambia a
′ …… . .
Las NC ecuaciones (VIII), una para cada circuito, se combinan con n ecuaciones de
continuidad (una de las cuales es redundante, así que en realidad sólo se usan n‐1
ecuaciones) para formar un sistema de NT=NC+NU‐1 ecuaciones lineales , donde NT es el
número de tubos de la red, es decir, se tiene una ecuación para cada tubo y la incógnita para
ellas es el caudal. Las cabezas de los nodos pueden ser calculadas, si se requieren
posteriormente.
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
19
Para utilizar las ecuaciones anteriores se debe suponer un cauda inicial en cada tubo. Una de
las grandes ventajas de éste método radica en que al no tener éstos que cumplir la ecuación
de la continuidad en el nodo no se requiere tiempo para la preparación de datos iniciales. El
caudal inicial puede ser supuesto igual para todos los tubos. Ésta situación no afectará a la
velocidad de convergencia.
Para obtener los ′ en cada iteración se utilizan las ecuaciones siguientes:
Factor de pérdidas:
∑
2……………
Ecuación de Colebrook‐White:
12log
3.72.51
Al observar que en todos los procesos de cálculo de redes los valores del caudal en cada
tubo convergen por encima y por debajo, sucesivamente, al caudal final, Wood propuso que
el caudal de la siguiente iteración sea el siguiente:
2
Ésta última ecuación acelera de manera considerable el proceso de convergencia.
L D C Qo K k1 0.52 28 100 1 0.00001599
k2 0.10 20 120 1 0.00001130
k3 0.24 10 120 1 0.00079297
k4 0.14 20 120 1 0.00001582
k5 0.24 14 120 1 0.00015403
k6 0.14 20 120 1 0.00001582
k7 0.24 14 120 1 0.00015403
k8 0.14 16 120 1 0.00004689
k9 0.14 16 120 1 0.00004689
k10 0.28 10 120 1 0.00092513
k11 0.28 24 100 1 0.00001824
k12 0.28 18 100 1 0.00007405
k13 0.10 28 100 1 0.00000308
Ecuació CIRCUIT
CIRCUIT
CIRCUIT
CIRCUIT
CIRCUIT
Iteració TUBERIA
A‐B
A‐H
B‐C
B‐E
C‐D
C‐F
D‐G
F‐G
G‐J
E‐F
E‐I
I‐J
H‐I
Forman
A‐B A
‐1.00 1
1.00 0
0.00 0
0.00 0
0.00 0
0.00 0
0.00 0
0.00 ‐1
0.00 0
0.31 1
0.00 0
0.00 0
0.00 0
ón de la ene
O I
O II
O III
O IV
O V
ón 1:
A Q(0)
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
ndo sistema
A‐H B‐C
1.00 0.00 0
0.00 ‐1.00 ‐1
0.00 1.00 0
0.00 0.00 0
0.00 0.00 1
0.00 0.00 0
0.00 0.00 0
1.00 0.00 0
0.00 0.00 0
1.94 0.00 4
0.00 0.44 ‐4
0.00 0.00 0
0.00 0.00 0
rgía en los c
L (m)
100
440
140
240
140
240
240
140
200
140
200
280
100
de ecuacio
B‐E C‐D
0.00 0.00 0
1.00 0.00 0
0.00 ‐1.00 ‐
0.00 1.00 0
1.00 0.00 0
0.00 0.00 1
0.00 0.00 0
0.00 0.00 0
0.00 0.00 0
4.28 0.00 0
4.28 0.00 4
0.00 0.44 ‐
0.00 0.00 0
circuitos:
D (pul) C
20
20
20
14
20
14
14
16
18
16
10
24
20
ones lineale
C‐F D‐G
0.00 0.00
0.00 0.00
1.00 0.00
0.00 1.00
0.00 0.00
1.00 0.00
0.00 ‐1.00 ‐
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
4.28 0.00
4.28 ‐4.28
0.00 0.00 ‐
ME
C (pul^0.5/s)
120
100
120
120
120
120
120
120
100
120
120
100
100
s (matricial
F‐G G‐J
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00 ‐
1.00 0.00
‐1.00 1.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00 ‐
1.30 0.00
‐1.30 ‐1.47
CÁNICA D
) K
0.011298
0.069657
0.015818
0.154031
0.015818
0.154031
0.154031
0.046892
0.052890
0.046892
0.660804
0.018241
0.015831
mente)
E‐F E‐I
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
‐1.00 1.00
1.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 ‐1.00
0.00 ‐
18.37
‐1.30 0.00
0.00 0.00
1.30 18.37
E FLUIDOS
8663 0.314
7045 1.936
8128 0.439
1963 4.282
8128 0.439
1963 4.282
1963 4.282
2875 1.303
0947 1.470
2875 1.303
4721 18.37
1382 0.507
1147 0.440
I‐J H‐I
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 ‐1.00
‐1.00 1.00
0.00 ‐0.44
0.00 0.00
0.00 0.00
‐0.51 0.00
S II
K'
4160491
682128
9824687
2874547
9824687
2874547
2874547
3861211
0638213
3861211
7374315
7203492
0186655
Q.AB
Q.AH
A.BC
Q.BE
Q.CD
Q.CF
X Q.DG =
Q.FG
Q.GJ
Q.EF
Q.EI
Q.IJ
Q.HI
UNSCH
40
0
0
60
70
80
50
‐300
0
0
0
0
0
20
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
21
Q.AB 104.9
Q.AH 144.9
A.BC 72.21
Q.BE 32.71
Q.CD 51.88
Q.CF 20.33
Q.DG = 8.12
Q.FG 75.97
Q.GJ 134.1
Q.EF ‐16.3
Q.EI 20.98
Q.IJ 134.1
Q.HI 155.1
Iteración 2:
TUBERIA Q(1) L (m) D (pul) C (pul^0.5/s) K K'
A‐B 77.46447579 100 20 120 0.011298663 0.455789442
A‐H 97.46447579 440 20 100 0.069657045 3.415737149
B‐C 61.10729209 140 20 120 0.015818128 0.521595915
B‐E 41.3571837 240 14 120 0.154031963 3.644845829
C‐D 50.93981451 140 20 120 0.015818128 0.446841863
C‐F 35.16747758 240 14 120 0.154031963 3.175637239
D‐G 29.06018549 240 14 120 0.154031963 2.700315283
F‐G 62.98435355 140 16 120 0.046892875 1.58655319
G‐J 92.04453904 200 18 100 0.052890947 2.470470463
E‐F 16.84816888 140 16 120 0.046892875 0.517221611
E‐I 35.49098517 200 10 120 0.660804721 13.73009316
I‐J 92.04453904 280 24 100 0.018241382 0.852032291
H‐I 102.5355242 100 20 100 0.015831147 0.810504762
Formando sistema de ecuaciones lineales (matricialmente)
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AB 40
1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AH 0
0.00 0.00 1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A.BC 0
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.BE 60
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 Q.CD 70
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 Q.CF 80
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X Q.DG = 50
0.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 Q.FG ‐300
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 Q.GJ 0
0.46 3.42 0.00 3.64 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐
13.73 0.00 ‐0.81 Q.EF 0
0.00 0.00 0.52 ‐3.64 0.00 3.18 0.00 0.00 0.00 ‐0.52 0.00 0.00 0.00 Q.EI 0
0.00 0.00 0.00 0.00 0.45 ‐3.18 ‐2.70 1.59 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.IJ 0
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.59 ‐2.47 0.52 13.73 ‐0.85 0.00 Q.HI 0
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
22
Q.AB 99.8
Q.AH 140
A.BC 69
Q.BE 30.7
Q.CD 45.5
Q.CF 23.5
Q.DG = 14.5
Q.FG 59
Q.GJ 123
Q.EF ‐2.5
Q.EI 36.8
Q.IJ 123
Q.HI 160
Iteración 3:
TUBERIA Q(1) L (m) D (pul) C (pul^0.5/s) K K'
A‐B 88.61389531 100 20 120 0.011298663 0.510979664
A‐H 118.6138953 440 20 100 0.069657045 4.036270629
B‐C 65.0692504 140 20 120 0.015818128 0.550204999
B‐E 36.04464491 240 14 120 0.154031963 3.242839754
C‐D 48.22076516 140 20 120 0.015818128 0.426485314
C‐F 29.34848524 240 14 120 0.154031963 2.723069257
D‐G 21.77923484 240 14 120 0.154031963 2.113231496
F‐G 60.97086094 140 16 120 0.046892875 1.543337257
G‐J 107.7500958 200 18 100 0.052890947 2.824466043
E‐F 7.180653812 140 16 120 0.046892875 0.250522221
E‐I 36.13600891 200 10 120 0.660804721 13.94191062
I‐J 107.7500958 280 24 100 0.018241382 0.974120642
H‐I 131.3861047 100 20 100 0.015831147 1.000643525
Formando sistema de ecuaciones lineales (matricialmente)
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Q.AB 40
1.000 0.000 ‐1.000 ‐1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Q.AH 0
0.000 0.000 1.000 0.000 ‐1.000 ‐1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 A.BC 0
0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Q.BE 60
0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 ‐1.000 1.000 0.000 0.000 Q.CD 70
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 Q.CF 80
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 ‐1.000 ‐1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 X Q.DG = 50
0.000 ‐1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 ‐1.000 Q.FG ‐300
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 ‐1.000 ‐1.000 1.000 Q.GJ 0
0.511 4.036 0.000 3.243 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 ‐13.942 0.000 ‐1.001 Q.EF 0
0.000 0.000 0.550 ‐3.243 0.000 2.723 0.000 0.000 0.000 ‐0.251 0.000 0.000 0.000 Q.EI 0
0.000 0.000 0.000 0.000 0.426 ‐2.723 ‐2.113 1.543 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Q.IJ 0
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 ‐1.543 ‐2.824 0.251 13.942 ‐0.974 0.000 Q.HI 0
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
23
Q.AB 98.3
Q.AH 138
A.BC 66.7
Q.BE 31.6
Q.CD 42.5
Q.CF 24.2
Q.DG = 17.5
Q.FG 54.9
Q.GJ 122
Q.EF 0.95
Q.EI 39.4
Q.IJ 122
Q.HI 162
Iteración 4: TUBERIA Q(1) L (m) D (pul) C (pul^0.5/s) K K'
A‐B 93.45923871 100 20 120 0.011298663 0.534633251
A‐H 128.4592387 440 20 100 0.069657045 4.319322055
B‐C 65.90233131 140 20 120 0.015818128 0.556186905
B‐E 33.80690741 240 14 120 0.154031963 3.070898605
C‐D 45.37895876 140 20 120 0.015818128 0.405024641
C‐F 26.77337255 240 14 120 0.154031963 2.518595765
D‐G 19.62104124 240 14 120 0.154031963 1.933858051
F‐G 57.91142112 140 16 120 0.046892875 1.477258342
G‐J 115.0324624 200 18 100 0.052890947 2.985923636
E‐F 4.065206329 140 16 120 0.046892875 0.154463925
E‐I 37.75829892 200 10 120 0.660804721 14.47217131
I‐J 115.0324624 280 24 100 0.018241382 1.029805211
H‐I 146.5407613 100 20 100 0.015831147 1.09793605
Formando el sistema de ecuaciones lineales (matricialmente)
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Q.AB 40.0
1.0 0.0 ‐1.0 ‐1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Q.AH 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 ‐1.0 ‐1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 A.BC 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Q.BE 60.0
0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.0 1.0 0.0 0.0 Q.CD 70.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 Q.CF 80.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.0 ‐1.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 X Q.DG = 50.0
0.0 ‐1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.0 Q.FG ‐300.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.0 ‐1.0 1.0 Q.GJ 0.0
0.5 4.3 0.0 3.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐14.5 0.0 ‐1.1 Q.EF 0.0
0.0 0.0 0.6 ‐3.1 0.0 2.5 0.0 0.0 0.0 ‐0.2 0.0 0.0 0.0 Q.EI 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 ‐2.5 ‐1.9 1.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Q.IJ 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.5 ‐3.0 0.2 14.5 ‐1.0 0.0 Q.HI 0.0
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
24
Q.AB 98.3
Q.AH 138
A.BC 66.3
Q.BE 32
Q.CD 41.8
Q.CF 24.5
Q.DG = 18.2
Q.FG 54.1
Q.GJ 122
Q.EF 1.44
Q.EI 39.4
Q.IJ 122
Q.HI 162
Iteración 5:
TUBERIA Q(1) L (m) D (pul) C (pul^0.5/s) K K'
A‐B 95.8788737 100 20 120 0.011298663 0.546375916
A‐H 133.3788737 440 20 100 0.069657045 4.45952942
B‐C 66.09579559 140 20 120 0.015818128 0.557574441
B‐E 32.90807811 240 14 120 0.154031963 3.001359315
C‐D 43.59503092 140 20 120 0.015818128 0.391450219
C‐F 25.62576467 240 14 120 0.154031963 2.426532756
D‐G 18.90496908 240 14 120 0.154031963 1.87370159
F‐G 55.99593687 140 16 120 0.046892875 1.435621322
G‐J 118.650906 200 18 100 0.052890947 3.065573566
E‐F 2.753298456 140 16 120 0.046892875 0.110912925
E‐I 38.59522035 200 10 120 0.660804721 14.74438401
I‐J 118.650906 280 24 100 0.018241382 1.057275408
H‐I 154.1211263 100 20 100 0.015831147 1.146027967
Formando el sistema de ecuaciones lineales (matricialmente).
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AB 40
1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AH 0
0.00 0.00 1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A.BC 0
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.BE 60
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 Q.CD 70
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 Q.CF 80
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X Q.DG = 50
0.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 Q.FG ‐300
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 Q.GJ 0
0.55 4.46 0.00 3.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐14.74 0.00 ‐1.15 Q.EF 0
0.00 0.00 0.56 ‐3.00 0.00 2.43 0.00 0.00 0.00 ‐0.11 0.00 0.00 0.00 Q.EI 0
0.00 0.00 0.00 0.00 0.39 ‐2.43 ‐1.87 1.44 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.IJ 0
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.44 ‐3.07 0.11 14.74 ‐1.06 0.00 Q.HI 0
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
25
Q.AB 98.3
Q.AH 138.3
A.BC 66.22
Q.BE 32.07
Q.CD 41.7
Q.CF 24.52
Q.DG = 18.3
Q.FG 53.97
Q.GJ 122.3
Q.EF 1.507
Q.EI 39.43
Q.IJ 122.3
Q.HI 161.7
Iteración 6:
TUBERIA Q(1) L (m) D (pul) C (pul^0.5/s) K K'
A‐B 97.08868108 100 20 120 0.011298663 0.552230481
A‐H 135.8386811 440 20 100 0.069657045 4.529340621
B‐C 66.15979091 140 20 120 0.015818128 0.558033285
B‐E 32.49139017 240 14 120 0.154031963 2.969025304
C‐D 42.64701906 140 20 120 0.015818128 0.384202757
C‐F 25.07527186 240 14 120 0.154031963 2.382153003
D‐G 18.60298094 240 14 120 0.154031963 1.848229976
F‐G 54.981997 140 16 120 0.046892875 1.41349506
G‐J 120.4599779 200 18 100 0.052890947 3.105258113
E‐F 2.130231149 140 16 120 0.046892875 0.089180434
E‐I 39.01384098 200 10 120 0.660804721 14.88020932
I‐J 120.4599779 280 24 100 0.018241382 1.070962079
H‐I 157.9113189 100 20 100 0.015831147 1.169940135
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Q.AB 40.0
1.0 0.0 ‐1.0 ‐1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Q.AH 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 ‐1.0 ‐1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 A.BC 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Q.BE 60.0
0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.0 1.0 0.0 0.0 Q.CD 70.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 Q.CF 80.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.0 ‐1.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 X Q.DG = 50.0
0.0 ‐1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.0 Q.FG ‐300.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.0 ‐1.0 1.0 Q.GJ 0.0
0.6 4.5 0.0 3.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐14.9 0.0 ‐1.2 Q.EF 0.0
0.0 0.0 0.6 ‐3.0 0.0 2.4 0.0 0.0 0.0 ‐0.1 0.0 0.0 0.0 Q.EI 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 ‐2.4 ‐1.8 1.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Q.IJ 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ‐1.4 ‐3.1 0.1 14.9 ‐1.1 0.0 Q.HI 0.0
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
26
Q.AB 98.3
Q.AH 138.3
A.BC 66.22
Q.BE 32.08
Q.CD 41.69
Q.CF 24.53
Q.DG = 18.31
Q.FG 53.96
Q.GJ 122.3
Q.EF 1.514
Q.EI 39.43
Q.IJ 122.3
Q.HI 161.7
Iteración 7:
TUBERIA Q(1) L (m) D (pul)C
(pul^0.5/s) K K'
A‐B 97.69365572 100 20 120 0.011298663 0.555153996
A‐H 137.0686557 440 20 100 0.069657045 4.564176967
B‐C 66.18835995 140 20 120 0.015818128 0.558238102
B‐E 32.28654577 240 14 120 0.154031963 2.953107087
C‐D 42.16678364 140 20 120 0.015818128 0.380522203
C‐F 24.80282631 240 14 120 0.154031963 2.360135003
D‐G 18.45821636 240 14 120 0.154031963 1.835997655
F‐G 54.46898595 140 16 120 0.046892875 1.402276831
G‐J 121.3647023 200 18 100 0.052890947 3.125070926
E‐F 1.821937738 140 16 120 0.046892875 0.078083696
E‐I 39.22289197 200 10 120 0.660804721 14.94795588
I‐J 121.3647023 280 24 100 0.018241382 1.077795254
H‐I 159.8063443 100 20 100 0.015831147 1.181863396
Formando el sistema de ecuaciones lineales (matricialmente)
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AB 40.00
1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AH 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A.BC 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.BE 60.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 Q.CD 70.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 Q.CF 80.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X Q.DG = 50.00
0.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 Q.FG ‐
300.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 Q.GJ 0.00
0.56 4.56 0.00 2.95 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐14.95 0.00 ‐1.18 Q.EF 0.00
0.00 0.00 0.56 ‐2.95 0.00 2.36 0.00 0.00 0.00 ‐0.08 0.00 0.00 0.00 Q.EI 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.38 ‐2.36 ‐1.84 1.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.IJ 0.00
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
27
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.40 ‐3.13 0.08 14.95 ‐1.08 0.00 Q.HI 0.00
Q.AB 98.3
Q.AH 138.3
A.BC 66.22
Q.BE 32.08
Q.CD 41.69
Q.CF 24.53
Q.DG = 18.31
Q.FG 53.95
Q.GJ 122.3
Q.EF 1.514
Q.EI 39.43
Q.IJ 122.3
Q.HI 161.7
Iteración 8:
TUBERIA Q(1) L (m) D (pul) C (pul^0.5/s) K K'
A‐B 97.99616097 100 20 120 0.011298663 0.556614821
A‐H 137.683661 440 20 100 0.069657045 4.581578045
B‐C 66.20234019 140 20 120 0.015818128 0.558338324
B‐E 32.18444578 240 14 120 0.154031963 2.945167365
C‐D 41.92607642 140 20 120 0.015818128 0.378675046
C‐F 24.66688877 240 14 120 0.154031963 2.349135505
D‐G 18.38642358 240 14 120 0.154031963 1.829925974
F‐G 54.21196478 140 16 120 0.046892875 1.396650487
G‐J 121.8171384 200 18 100 0.052890947 3.134970633
E‐F 1.668021455 140 16 120 0.046892875 0.072439968
E‐I 39.32732567 200 10 120 0.660804721 14.98177912
I‐J 121.8171384 280 24 100 0.018241382 1.081209531
H‐I 160.753839 100 20 100 0.015831147 1.18781695
Formando el sistema de ecuaciones lineales:
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AB 40.00
1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AH 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A.BC 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.BE 60.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 Q.CD 70.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 Q.CF 80.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X Q.DG = 50.00
0.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 Q.FG ‐300.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 Q.GJ 0.00
0.56 4.58 0.00 2.95 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐14.98 0.00 ‐1.19 Q.EF 0.00
0.00 0.00 0.56 ‐2.95 0.00 2.35 0.00 0.00 0.00 ‐0.07 0.00 0.00 0.00 Q.EI 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.38 ‐2.35 ‐1.83 1.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.IJ 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.40 ‐3.13 0.07 14.98 ‐1.08 0.00 Q.HI 0.00
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
28
Q.AB 98.3
Q.AH 138.3
A.BC 66.22
Q.BE 32.08
Q.CD 41.69
Q.CF 24.53
Q.DG = 18.31
Q.FG 53.95
Q.GJ 122.3
Q.EF 1.514
Q.EI 39.43
Q.IJ 122.3
Q.HI 161.7
Iteración 9:
TUBERIA Q(1) L (m) D (pul) C (pul^0.5/s) K K'
A‐B 98.14741794 100 20 120 0.011298663 0.557345
A‐H 137.9911679 440 20 100 0.069657045 4.590274332
B‐C 66.20930426 140 20 120 0.015818128 0.558388248
B‐E 32.13342618 240 14 120 0.154031963 2.941198451
C‐D 41.80566899 140 20 120 0.015818128 0.377750458
C‐F 24.59894777 240 14 120 0.154031963 2.343634597
D‐G 18.35058101 240 14 120 0.154031963 1.826893355
F‐G 54.08342124 140 16 120 0.046892875 1.393835094
G‐J 122.0433772 200 18 100 0.052890947 3.139918874
E‐F 1.591068493 140 16 120 0.046892875 0.06958929
E‐I 39.37951732 200 10 120 0.660804721 14.99867752
I‐J 122.0433772 280 24 100 0.018241382 1.082916113
H‐I 161.2275821 100 20 100 0.015831147 1.190791724
Formando sistema de ecuaciones lineales (matricialmente)
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AB 40.00
1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AH 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A.BC 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.BE 60.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 Q.CD 70.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 Q.CF 80.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X Q.DG = 50.00
0.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 Q.FG ‐300.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 Q.GJ 0.00
0.56 4.59 0.00 2.94 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐15.00 0.00 ‐1.19 Q.EF 0.00
0.00 0.00 0.56 ‐2.94 0.00 2.34 0.00 0.00 0.00 ‐0.07 0.00 0.00 0.00 Q.EI 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.38 ‐2.34 ‐1.83 1.39 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.IJ 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.39 ‐3.14 0.07 15.00 ‐1.08 0.00 Q.HI 0.00
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
29
Q.AB 98.3
Q.AH 138.3
A.BC 66.22
Q.BE 32.08
Q.CD 41.69
Q.CF 24.53
Q.DG = 18.31
Q.FG 53.95
Q.GJ 122.3
Q.EF 1.514
Q.EI 39.43
Q.IJ 122.3
Q.HI 161.7
Iteración 10:
TUBERIA Q(1) L (m) D (pul) C (pul^0.5/s) K K'
A‐B 98.22304752 100 20 120 0.011298663 0.557710032
A‐H 138.1449225 440 20 100 0.069657045 4.594621417
B‐C 66.2127836 140 20 120 0.015818128 0.55841319
B‐E 32.10792016 240 14 120 0.154031963 2.939213935
C‐D 41.74545972 140 20 120 0.015818128 0.377287971
C‐F 24.56498014 240 14 120 0.154031963 2.340883521
D‐G 18.33266528 240 14 120 0.154031963 1.825377183
F‐G 54.01914925 140 16 120 0.046892875 1.392427016
G‐J 122.156502 200 18 100 0.052890947 3.142392595
E‐F 1.552589357 140 16 120 0.046892875 0.068156138
E‐I 39.4056067 200 10 120 0.660804721 15.00712338
I‐J 122.156502 280 24 100 0.018241382 1.083769266
H‐I 161.4644525 100 20 100 0.015831147 1.192278613
Formando sistema de ecuaciones lineales:
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AB 40.00
1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AH 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A.BC 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.BE 60.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 Q.CD 70.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 Q.CF 80.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X Q.DG = 50.00
0.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 Q.FG ‐300.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 Q.GJ 0.00
0.56 4.59 0.00 2.94 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐15.01 0.00 ‐1.19 Q.EF 0.00
0.00 0.00 0.56 ‐2.94 0.00 2.34 0.00 0.00 0.00 ‐0.07 0.00 0.00 0.00 Q.EI 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.38 ‐2.34 ‐1.83 1.39 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.IJ 0.00
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
30
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.39 ‐3.14 0.07 15.01 ‐1.08 0.00 Q.HI 0.00
Iteración 11:
TUBERIA Q(1) L (m) D (pul) C (pul^0.5/s) K K'
A‐B 98.26086259 100 20 120 0.011298663 0.557892534
A‐H 138.2218001 440 20 100 0.069657045 4.596794694
B‐C 66.21452285 140 20 120 0.015818128 0.558425658
B‐E 32.09516786 240 14 120 0.154031963 2.938221643
C‐D 41.7153543 140 20 120 0.015818128 0.377056685
C‐F 24.54799667 240 14 120 0.154031963 2.339507797
D‐G 18.3237082 240 14 120 0.154031963 1.824619079
F‐G 53.98701382 140 16 120 0.046892875 1.391722896
G‐J 122.2130658 200 18 100 0.052890947 3.143629356
E‐F 1.533348885 140 16 120 0.046892875 0.067437536
E‐I 39.41864977 200 10 120 0.660804721 15.01134547
I‐J 122.2130658 280 24 100 0.018241382 1.084195809
H‐I 161.5828874 100 20 100 0.015831147 1.193021933
Formando sistema de ecuaciones lineales:
A‐B A‐H B‐C B‐E C‐D C‐F D‐G F‐G G‐J E‐F E‐I I‐J H‐I
‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AB 40.00
1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.AH 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 A.BC 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.BE 60.00
0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 Q.CD 70.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 Q.CF 80.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X Q.DG = 50.00
0.00 ‐1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 Q.FG ‐300.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.00 ‐1.00 1.00 Q.GJ 0.00
0.56 4.60 0.00 2.94 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐15.01 0.00 ‐1.19 Q.EF 0.00
0.00 0.00 0.56 ‐2.94 0.00 2.34 0.00 0.00 0.00 ‐0.07 0.00 0.00 0.00 Q.EI 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.38 ‐2.34 ‐1.82 1.39 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Q.IJ 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ‐1.39 ‐3.14 0.07 15.01 ‐1.08 0.00 Q.HI 0.00
Q.AB 98.3
Q.AH 138.3
A.BC 66.22
Q.BE 32.08
Q.CD 41.69
Q.CF 24.53
Q.DG = 18.31
Q.FG 53.95
Q.GJ 122.3
Q.EF 1.514
Q.EI 39.43
Q.IJ 122.3
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
31
Q.HI 161.7
Caudales finales:
TUBERIA Q( )
A‐B 98.280
A‐H 138.260
B‐C 66.215
B‐E 32.089
C‐D 41.700
C‐F 24.540
D‐G 18.319
F‐G 53.971
G‐J 122.241
E‐F 1.524
E‐I 39.425
I‐J 122.241
H‐I 161.642
Con estos datos, vamos a determinar las presiones en cada nodo de la red.
: í .
: í .
: Pérdida de energía por fricción en la tubería de nodos extremos i y j.
6.824 .
. .
2 26.824 .
. .
Como los nodos están al mismo nivel ( , tenemos:
2 26.824 .
. .
Como el flujo en las tuberías es generalmente uniforme ( ), entonces tenemos:
6.824 .
. .
6.824 .
. .
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
32
TUBERIA Q ( ) D D(m) CH‐W A(m2) V(m/s) L(m) hf
A‐B 98.280 20.000 0.508 120.000 0.203 0.485 100.000 0.011
A‐H 138.260 20.000 0.508 100.000 0.203 0.682 440.000 0.133
B‐C 66.215 20.000 0.508 120.000 0.203 0.327 140.000 0.008
B‐E 32.089 14.000 0.356 120.000 0.099 0.323 240.000 0.009
C‐D 41.700 20.000 0.508 120.000 0.203 0.206 140.000 0.003
C‐F 24.540 14.000 0.356 120.000 0.099 0.247 240.000 0.005
D‐G 18.319 14.000 0.356 120.000 0.099 0.184 240.000 0.003
F‐G 53.971 16.000 0.406 120.000 0.130 0.416 140.000 0.009
G‐J 122.241 18.000 0.457 100.000 0.164 0.745 200.000 0.063
E‐F 1.524 16.000 0.406 120.000 0.130 0.012 140.000 0.000
E‐I 39.425 10.000 0.254 120.000 0.051 0.778 200.000 0.025
I‐J 122.241 24.000 0.610 100.000 0.292 0.419 280.000 0.043
H‐I 161.642 20.000 0.508 100.000 0.203 0.798 100.000 0.040
Así obtenemos las presiones en cada Nodo en ( )
PA 689.020
PB 688.907
PC 688.831
PD 688.799
PE 688.715
PF 688.715
PG 688.623
PH 687.712
PI 687.316
PJ 686.898
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
33
CONCLUSIONES
Como se puede observar en la siguiente tabla, los valores obtenidos de los caudales por los
diferentes métodos son los mismos.
Sin embargo observamos que la pérdida de carga en cada tubería (hf) es diferente.
TRAMO
MÉTODO DE HARDY CROSS
MÉTODO DE LINEALIZACION
Q (lt/s) hf Q lt/s) hf A‐B 11.81 0.055 11.1 0.011
A‐H 11.81 0.639 11.1 0.133
B‐C ‐52.85 0.038 ‐52.65 0.008
B‐E 96.8 0.094 96.85 0.009
C‐D 165.02 0.016 165.10 0.003
C‐F 74.05 0.058 74.22 0.005
D‐G ‐69.68 0.032 ‐69.38 0.003
F‐G ‐96.8 0.075 ‐96.88 0.009
G‐J 90.95 0.382 90.65 0.063
E‐F 40.95 0.000 40.75 0.000
E‐I ‐51.61 0.595 ‐51.62 0.025
I‐J ‐74.05 0.132 ‐74.10 0.043
H‐I 52.85 0.192 52.80 0.040
Al observar la tabla se nota que se obtiene diferentes presiones en cada nudo, esto se debe a que se obtuvo diferentes perdidas de cargas (hf) por cada método, (ver la tabla 1). Ya que hf interviene en la fórmula para hallar las presiones ( ∗ ), debido a esto es que se obtuvo diferentes presiones para nudos iguales. Las presiones están en /
METODO DE
HARDY CROSS METODO DE
LINEALIZACION
PA 689.46 689.02
PB 688.92 688.907
PC 688.57 688.831
PD 688.41 688.799
PE 687.98 688.715
PF 688 688.715
PG 688.73 688.623
PH 695.73 687.712
PI 693.81 687.316
PJ 692.48 686.898
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
34
CALCULO DE CAUDALES MEDIANTE METODOS GRAFICOS.
1. MÉTODO DE HARLACHER
Se toma secciones de cada curva isotacas, para poder graficar las regiones se toman las distancias desde A hasta una sección y poner su valor en la vetical y las velocidades de cada curva isotacas en la horizontal.
Tomando las Áreas:
A1, A2, A3, A4, …, An
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
35
2. MÉTODO DE O’BRIEN Y JOHNSON
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
36
Se toman los datos del canal para cada velocidad y área de cada región señalada y se desarrolla la siguiente gráfica:
Para hallar la velocidad media en ambos métodos solo se divide el Caudal(Q) hallado y el Área Mojado del canal.
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
37
PROB N° 02.- En un canal de sección trapezoidal mostrado se han trazado la Isotacas. Calcular el caudal Q y la velocidad media V.
a) Método de Harlacher b) Método de O` Brien Jonhson
M = es número de letras del apellido paterno del alumno Las velocidades en m/seg son: a = 1.3xM b = 1.1xM c = 1.0xM d = 0.8xM e = 0.6xM f = 0.4xM
a
b
ed
c
f
ESCALA: 1/100
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
38
Solución: a) Método de Harlacher
Apellido: TOVAR=T+O+V+A+R=5 M=5 Donde las velocidades en cada curva isotacas son: a = 6.5m/s
b = 5.5 m/s c = 5.0 m/s d = 4.0 m/s e = 3.0 m/s f = 2.0 m/s
Hallando las distancias entre la distribución de velocidades en el canal
a
b
edc
f
21 543 6 7 8 9 10 11
Am=58.0717m2
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
39
Hallando las secciones:
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
40
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
34
Graficando región equivalente a caudal
Q=AREA(APB) = 173.75m3/s Hallando la velocidad media: Vmed =Q/Am Vmed =2.99 m/s
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
35
b) Método de O` Brien Jonhson Las velocidades en m/seg son: a = 6.5m/s
b = 5.5 m/s c = 5.0 m/s d = 4.0 m/s e = 3.0 m/s f = 2.0 m/s
ESCALA: 1/100 Se obtuvieron las áreas haciendo el uso del autocad: A1=3.0895 m2
A2=5.234 m2 A3=7.5762 m2 A4=11.4083 m2 A5=14.1479 m2 A6=16.6158 m2 AREA MOJADA =A1+A2+A3+A4+A5+A6 AREA MOJADA = 58.0715 m2 Grafica de región equivalente a caudal:
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
36
AREA TOTAL =172.856 m2 Q=AREA TOTAL =172.856 m3/s Vmed =Q/Am Vmed=2.977 m/s
MECÁNICA DE FLUIDOS II UNSCH
37
CONCLUSIONES:
Se logró determinar el caudal mediante dos métodos gráficos: Método de Harlacher y Método de O’brien y Johnson. Teniendo como datos las velocidades en cada curva isótacas.
Tambien se consiguió hallar la velocidad media de un canal abierto, teniendo como datos el caudal ya calculado y el área mojada.
BIBLIOGRAFIA
℘ HIDRAÚLICA DE TUBERÍAS Juan Saldarriaga - Editorial Alfaomega ℘ HIDRAULICA DE CANALES ABIERTOS Ven Te Chow – Mc Graw Hill ℘ HIDRAULICA DE TUBERIAS II Cáceres-
