Practica9. Transformada de Fourier Discreta

Acevedo Reyes Miguel Ángel

REPRESENTACIÓN DE FOURIER DE SECUENCIAS DE DURACIÓNFINITA: LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER.1

Comenzaremos con la consideración de una secuencia x [n] con longitud finita de N muestras, de forma que x [n]=0 fuera del Intervalo 0≤n≤N−1. En muchos casos, será conveniente suponer que la longitud de la secuencia es N incluso aunque su longitud real sea M≤N . En esos casos, simplemente las últimas (N−M) muestras valdrán cero. Siempre podemos asociar a cada secuencia finita de longitud N una secuencia periódica.

~x [n ]= ∑r=−∞

∞

x [n−rN ] (1)

La secuencia de longitud finita x [n] se puede recuperar a partir de ~x [n ] si se evalúa en un solo periodo, es decir:

x [n ]={~x [n ] ,0≤n≤N0 , enel resto

(2)

Los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de ~x [n ] son muestras (separadas en frecuencia 2π /N ¿ de la transformada de Fourier de x [n] .

Como se supone que x [n] tiene longitud finita N , no hay solapamiento entre los términos x [n−rN ] para los diferentes valores de r. La Ecuación (2) se puede escribir de otra forma:

~x [n ]=[ (nmódulo N ) ]=x [((n))N ] (3)

En consecuencia, las muestras en frecuencia

X ( 2 πkN ) , k=0,1…, N−1, representan

de forma unívoca la secuencia de duración finita x [n]. Dado que x [n]≡x p[n] en un sólo periodo (rellenando con 0 la diferencia que pudiera existir), la secuencia de duración finita original x [n] puede obtenerse a partir de las muestras

en frecuencia ecuación X ( 2 πkN ) por

medio de la fórmula:

X P [n ]= 1N∑k=0

N

X (2 πN k )e j (2 πknN ), n=0 , .. ,N−1

(4)

Obsérvese que el rellenar con ceros no proporciona ninguna información adicional sobre el espectro de X (ω ). Sin embargo, al rellenar la secuencia x [n] con N−L ceros y calcular la DFT de N puntos se obtiene una “mejor” representación gráfica de la transformada de Fourier X (ω ) .

En resumen, una secuencia de distribución finita x [n] de longitud L, es decir, x [n]=0 para n<0 y n≥ L, tiene transformada de Fourier

X (ω )=∑n=0

L−1

x [n]e− jωn ,0≤ω≤2π (5)

Donde los índices superior e inferior del sumatorio reflejan el hecho de que x [n]=0 fuera del intervalo 0≤n≤L−1. Cuando muestreamos X (ω) en frecuencia equiespaciadas

ωk=2πkN

,k=0,1 ,…, N−1, donde

N ≥L, las muestras resultantes son:

X [k ]≡X (2 πkN )=∑n=0

L−1

x [n]e− j( 2πk

N)n

X [k ]=∑n=0

N−1

x [n]W N

kn, k=0 , .. ,N−1(6)

siendo W N=e− j (2 τπ

N).

La ecuación que nos permite recuperar la secuencia x [n] a partir de las muestras en frecuencia es:

x [n ]= 1N∑k=0

N−1

X [k ]W N−knn=0 ,…,N−1

(7)

La que se denomina DFT inversa (IDFT). Claramente, cuando x[n] tiene longitud L<N , la IDFT de N puntos da x[n]=0 para L≤n≤ N−1. Resumiendo, las fórmulas para la DFT y la IDFT son:

DFT

X [k ]=∑n=0

N−1

x [n]W N

kn, k=0 , .. ,N−1(8)

IDFT

x [n ]= 1N∑k=0

N−1

X [k ]W N−kn , n=0 ,…, N−1

(9)

Es interesante considerar la DFT y la IDFT como transformadas lineales de las secuencias x[n] y X[k], respectivamente. Definimos el vector xNde N puntos de la secuencia x[n],

n=0,…,N-1, el vector X N de N de las muestras en frecuencia, y la matriz N ×N , W N , como:

X N=W N xN (10)

donde W N es la matriz de transformación lineal. Obsérvese que W N es una matriz simétrica. Suponemos que existe la inversa de W N, entonces podemos invertir (10)

multiplicando ambos lados por W N−1.

Por lo tanto, se obtiene

xN=W N−1X N (11)

Lo que es simplemente una expresión para la IDFT.

De hecho, la IDFT dada por (11) , puede expresarse en forma matricial como

xN=1NW

N

¿

X N (12)

donde W N¿ denota la matriz compleja

conjugada de W N. De esto se concluye que

W N−1= 1

NW N

¿ (13)

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Linealidad

Si se combinan linealmente dos secuencias de longitud finita x1¿] y x2 [n ] es decir,

x3 [n]=ax1[n]+bx2[n] , (14)

la DFT de x3 [n] es:

X 3[k ]=aX 1[k ]+bX2 [k ] (15)

Es obvio que si x1 [n ] es de longitud N 1 y x2 [n ] es de longitud N 2, la longitud máxima de x3 [n] será N 3=máx(N 1 ,N 2). Por tanto, para que la Ecuación (15) tenga sentido, ambas DFT se deben calcular con la misma longitud N ≥N 3. Si, por ejemplo, N 1<N 2, entonces X 1[k ] será la DFT de x1 [n ] aumentadaen (N 2−N 1) ceros. Es decir, la DFT de N 2 puntos de x1 [n ]es

X [k ]=∑n=0

N1−1

x [n]WN2

kn, k=0 ,.. , N−1

y la DFT de N2 puntos de x2 [n ] es:

X [k ]=∑n=0

N2−1

x [n]WN2

kn, k=0 ,.. , N−1

En resumen, si

x1 [n ]←DFT→X 1[k ] y

x2 [n ]←DFT→X 2[k ]

Entonces

ax 1[n]+bx 2[n]←DF→T aX 1[k ]+bX2 [k ] (16)

Desplazamiento circular de una secuencia

Como hemos visto, la DFT de N puntos de una secuencia de duración finita x [n] de longitud L≤N es equivalente a la DFT de N puntos de una secuencia periódica x p[n], de periodo N, que se obtiene expandiendo x [n] periódicamente, esto es,

x p[n]= ∑l=−∞

∞

x [n−ln ] (17)

Suponemos ahora que desplazamos la secuencia periódica x p[n] k unidades hacia la derecha. Así obtenemos otra secuencia periódica

x ' p [n ]=x p [n−k ]= ∑l=−∞

∞

x [n−k−ln ]

(18)

La secuencia de duración finita

x ' [n ]={x ' p ,0≤n≤ N−10 , enel resto

(19)

Se relaciona con la secuencia original x [n] mediante un desplazamiento circular.

En general, el desplazamiento circular de la secuencia se puede representar como el índice de módulo N. por tanto se puede escribir:

x ' p [n ]=x [(n−k )]N (20)

Dualidad

Como la DFT está tan estrechamente relacionada con el desarrollo en serie de Fourier en tiempo discreto, es razonable esperar que la DFT exhiba una propiedad de dualidad similar a la del desarrollo en serie de Fourier en tiempo discreto.

La propiedad de dualidad de la DFT se puede obtener explotando la relación entre la DFT y el desarrollo en serie de Fourier, como hicimos en la obtención de la propiedad de desplazamiento circular.

Con este fin, consideremos x [n] y su DFT X [k ] , y construyamos las secuencias periódicas

~x [n]=x [((n))N ] (21a)

X [k ]=X [((k ))N ] (21b)

de forma que

~x [n]←DFS→~X [k ] (22)

Por la propiedad de dualidad tenemos que

~X [n]←DFS→~x [k ] (23)

Propiedades de simetría

Como la DFT de x[n] es idéntica a los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de la secuencia periódica ~x [n]=~x [((n))N ] , las propiedades de simetría asociadas a la DFT se pueden deducir de las propiedades de simetría del desarrollo en serie de Fourier.

Concretamente:

x¿ [n ]←DFT→X ¿ [ ( (−k ) )N ] ,0≤n≤N−1 , (24)

Convolución circular

Consideramos dos secuencias de duración finita x1 [n ] y x2 [n ], ambas de longitud N, cuyas DFT son X 1[k ] y X 2[k ] , respectivamente. Deseamos determinar la secuencia

x3 [n] , cuya DFT es X 3[k ]=X 1[k ]X 2[k ]. Tenemos que:

x3 [n ]=∑n=0

N−1~x 1[m ]~x 2[n−m ] ,0≤n≤ N−¿

(25)

La ecuación (25) se puede reescribir como:

x3 [n ]=∑n=0

N−1

x 1[m ]x 2[((n−m))N ] ,0≤n≤N−1

En esta convolución la segunda secuencia se invierte circularmente en el tiempo y se desplaza circularmente con respecto a la primera. Por esta razón, la operación de combinar dos secuencias mediante la esta operación se denomina convolución circular. Más concretamente, diremos que es una convolución circular de N puntos, identificando explícitamente el hecho de que ambas secuencias tienen longitud N (o inferior) y que las secuencias se desplazan módulo N. En algunas ocasiones la operación de formar una secuencia x3 [n]para 0≤n≤N−1 utilizando la ecuación anterior se indicará como:

x3 [n]=x 1[n]N x 2[n] (26)

Como la DFT de x3 [n] es X 3[k ]=X 1[k ]X 2[k ] y además X 1[k ]X 2[k ]=X 2[k ]X 1[k ] , se deduce directamente que,

x3 [n ]=∑n=0

N−1

x 2 [m ] x1[((n−m))N ] ,0≤n≤N−1

En la siguiente tabla se reducen las propiedades de la DFT

Desarrollo:

1. Utilice la función dftmtx() para determinar la matriz de factores de fase de la DTF de 2,4 y 8 puntos.

Figura1. Matriz de factores de fase para DFT de 2 puntos

Figura2. Matriz de factores de fase para DFT de 4 puntos

Figura3. Matriz de factores de fase para DFT de 4 puntos

2. Verifique que el producto de la matriz de factores de fase por su transpuesta conjugada es igual a una ,atriz escalar, utilice las matrices del inciso (1)

Figura4. Matriz de escalar, producto de una matiz de factores de fase para 2 puntos y su

transpuesta

Figura5. Matriz de escalar, producto de una matiz de factores de fase para 4 puntos y su

transpuesta

Figura6. Matriz de escalar, producto de una matiz de factores de fase para 8 puntos y su

transpuesta

3. Generar 128 muestras de la secuencia x1 [n ]=cos [40πn /128 ] y x1 [n ]=cos [39 πn/128] y utilice la funcion fft() para calcular la transformada de Fourier discreta de 128 puntos. Represente graficamente con stem() los espectros de magnitud y explique la diferencia en las graficas obtenidas.

Figura7. DFT de 128 puntos de

x1 [n ]=cos [40πn /128 ]

Figura8. DFT de 128 puntos de

x1 [n ]=cos [39 πn/128]

Se puede observar como el derrame espectral se encuentra más acentuado en la Figura7 a diferencia de la Figura6 que posee toda la potencia concentrada en dos deltas. Esto se debe seguramente a que existen más cruces por 0, por parte de la señal x1 [n ]=cos [40πn /128 ] que de x1 [n ]=cos [39 πn/128].

4. Generar 128 muestrasde la secuencia x1 [n ]=cos [40πn /128 ] y utilizar la funcion fft(x,N) para calcular la transformada de Fourier discreta de 128 puntos y 256 puntos. Represente gráficamente con stem() los espectros de magnitud y

explique la diferencia en las gráficas.

Figura9. DFT de 128 puntos de

x1 [n ]=cos [40πn /128 ]

Figura10. DFT de 256 puntos de

x1 [n ]=cos [40πn /128 ]

Se puede observar como el derrame espectral en la Figura9 es mayor, que en la Figura8, esto se debe a que a pesar que el numero de puntos a analizar de la seceuncia en el dominio de la frecuencia, no aumento el numero de muestras en le tiempo (ancho de la ventana).

5. Verifique las siguientes propiedades de la DFT:a) Desplazamiento en el tiempo

Sea una secuencia

y [n ]=cos ( π4 (n−k )) y N=32,

Figura11. Secuencia y [n ]=cos ( π4 (n−k )) con k=0

Figura12. Espectro de magnitud de la DFT de

y [n ]=cos( π4 (n−k )) con k=0 y N=32

puntos

Figura13. Espectro de fase de la DFT de

y [n ]=cos( π4 (n−k )) con k=0 y N=32

puntos

Para esta secuencia sin desplazamiento, se puede observar que el espectro de magnitud de la DFT, corresponde a dos deltas, con amplitud igual a 16 unidades, ubicadas en m=4 y m=28, siendo m el índice de muestra de la DFT, Y [m ], y el espectro de magnitud refleja que no existen componentes imaginarias

Figura14. Secuencia y [n ]=cos( π4 (n−k )) con k=4

Figura15. Espectro de magnitud de la DFT de

y [n ]=cos ( π4 (n−k )) con k=4 y N=32

puntos

Figura16. Espectro de fase de la DFT de

y [n ]=cos ( π4 (n−k )) con k=4 y N=32

puntos

Para esta secuencia, que corresponde a la DFT, se puede observar que el espectro de magnitud corresponde a dos deltas, con amplitud igual a 16 unidades, ubicadas en m=4 y m=28, siendo m el índice de muestra de la DFT, Y [m ], y a diferencia de la secuencia sin desplazamiento, aquí se presentan componentes imaginarias que se ven reflejadas en el espectro de fase. Se concluye que a pesar de no variar la magnitud de las componentes de la DFT, puede variar el ángulo de fase propio de cada muestra, lo que corresponde a

la propiedad de desplazamiento en el tiempo.

b) Desplazamiento en la frecuencia

Sea una la DFT de una secuencia dada por

Y [k ]=(12 )(k−d )

con periòdo N=8

puntos y cuyo desplazamiento d=0

Figura17. Secuencia Y [k ]=(12 )(k−d )

con d=0

Figura18. Espectro de magnitud de la DFT de

Y [k ]=(12 )(k−d )

con d=0 y N=8 puntos

Figura19. Espectro de fase de la DFT de

Y [k ]=(12 )(k−d )

con d=0 y N=8 puntos

Para secuencia constituida por los términos de Y [k ] sin desplazamiento, se puede observar que la secuencia correspondiente en el domino del tiempo son deltas ponderadas de tal

manera que aparentan ser un fragmento de parábola. También se puede observar que el ángulo que corresponde a cada muestra del espectro de fase es apenas apreciable.

Figura20. Secuencia Y [k ]=(12 )(k−d )

con d=4

Figura21. Espectro de magnitud de la DFT de

Y [k ]=(12 )(k−d )

con d=4 y N=8 puntos

Figura22. Espectro de fase de la DFT de

Y [k ]=(12 )(k−d )

con k=4 y N=32 puntos

Para la secuencia correspondiente a la IDFT, se puede observar que el espectro de magnitud es idéntico al observado cuando no existía desplazamiento, y [n], y a diferencia de la secuencia sin desplazamiento, aquí se presentan componentes imaginarias más marcadas, que se ven reflejadas en el espectro de fase.

Se concluye que a pesar de no variar la magnitud de las componentes de la DFT, puede variar el ángulo de fase propio de cada muestra, lo que corresponde a la propiedad de desplazamiento en la frecuencia.

c) Multiplicación

Figura23. Espectro de magnitud y fase,

respectivamente, de X3 [k ] obtenida por IDF de

x1 [n ] x2[n ], con x1 [n ]=cos ( π3n)) y

¿ x2 [n ]=( 13 )n

u[n]

Figura24. Espectro de magnitud y fase,

respectivamente, de X3 [k ] obtenida por la

convolución circular entre las DFT’s de las secuencias,

es decir, X1 [k ] y X2[k ]

6. Verifique el teorema de convolución de la DFT

Figura25. Espectro de magnitud y fase,

respectivamente, de X3 [k ] obtenida por la

convolución circular entre x1 [n ]=cos ( π3n))

yx2 [n ]=( 13 )n

Figura26. Espectro de magnitud y fase,

respectivamente, de X3 [k ] obtenida por el

producto de X1 [k ] yX2 [k ]

7. Verifique el teorema de Perseval:

Dada la función x1 [n ]=( 12 )n

u[n] con

periodo fundamental N=8 .

Figura27. Secuencia x1 [n ]=( 12 )n

u[n] su espectro

de magnitud y fase, respectivamente

Conclusiones:

La DFT es proporciona una herramienta de análisis numérico espectral de sistemas lineales, cuya representación es discreta para secuencias de duración finita.

Las propiedades que tiene se asemejan a la DTFT, pero existen diferencias significantes que la distinguen, entre ellas encontramos a la convolución circular. Otra es que al intentar recuperar una señal a partir de sus muestras en frecuencia, obtenemos la extensión periódica de esta.

1. Alan V. Oppenheim, Tratamiento Digital de Señales, Pearson Education, 2011.