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Matemática para Economistas Curso 6

Práctica 6: Funciones cóncavas y cuasicóncavas Ejercicio 1 Considere las funciones, f : U → , siguientes:

(a) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 1 2 2f , 2x x x x x x= ⋅ − ⋅ + 2U =

(b) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 41 2 1 1 2 2f ,x x x x x x= + ⋅ + 2U =

(c) ( )1 2 1 2f ,x x x x= ⋅ ( ){ }2 21 2 1 2U , : 0 0x x x x++= = ∈ > ∧ >

(d) ( )1 2 1 2 1 2f , 2 5x x x x x x= ⋅ + ⋅ + ⋅ 2U ++=

(e) ( )1 2 1 2f ,x x x x= ⋅ 2U ++=

(f) ( ) ( )1/41 2 1 2f ,x x x x= ⋅ 2U ++=

(g) ( ) ( ) ( )1/4 1/81 2 1 2f ,x x x x= ⋅ 2U ++=

(h) ( )1 2 1 2f ,x x x x= + 2U =

(i) ( ) ( ) ( )4 41 2 1 2f ,x x x x= + 2U =

(j) ( ) ( )1 2 1 1f , , , lnn n nx x x a x a x= ⋅ + + ⋅… … , siendo ( )1 1 0n na x a x⋅ + + ⋅ >…

(k) ( )1 2 1 2f ,x x x x= +

Clasifíquelas entre las siguientes clases: cóncavas (convexas), estrictamente cóncavas (estrictamente convexas) o ninguna de las anteriores.

Respuestas: (a) Estrictamente convexa, (b) Convexa, (c) Ninguna, (d) Ninguna, (e) Cóncava, (f) Estrictamente cóncava, (g) Estrictamente cóncava, (h) Cóncava y convexa, (i) Convexa, (j) Cóncava. (k) Convexa.

Ejercicio 2 Dada las funciones, f : U → , siguientes:

(a) ( ) 11 2 2f , xx x x e−= ⋅ 2U =

(b) ( ) 11 2 2f , xx x x e−= ⋅ ( ){ }2 2

1 2 1 2U , : 0 0x x x x+= = ∈ ≥ ∧ ≥

(c) ( )1 2 1 2f ,x x x x= ⋅ 2U ++=

(d) ( ) ( )14

1 2 3 2 3f , , 5xx x x e x x= + ⋅ + 3U =

(e) ( )1 2 1 2 1 2f , 2 5x x x x x x= ⋅ + ⋅ + ⋅ 2U ++=

(f) ( ) ( )1 2 2 1f , lnx x x x= − 2U ++=

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(g) ( )fT

k e ⋅ ⋅= ⋅ x A xx , donde 0k > , A es una matriz definida positiva y U n=

(h) ( )1 2 1 2f ,x x x x= − 2U =

(i) ( )1 2 1 2f ,x x x x= − ⋅ 2U ++=

Clasifíquelas entre las siguientes clases: estrictamente cuasicóncavas (estrictamente cuasiconvexa) y cuasicóncavas (cuasiconvexas). Justifique.

Respuestas: (a) No pertenece a ninguna de las clases, (b) Cuasicóncava estricta, (c) Cuasicóncava estricta, (d) Cuasiconvexa, (e) Cuasicóncava estricta, (f) Cuasiconvexa, (g) Cuasiconvexa estricta, (h) Cuasicóncava y cuasiconvexa, (i) Cuasiconvexa estricta.

Ejercicio 3 Interprete geométricamente los resultados en los casos (a), (b), (c) e (i) del punto anterior.

Ejercicio 4 (Función Cobb-Douglas) Sea la función u : U → definida por:

( ) ( ) ( )1 2 1 2u ,x x x xα β= ⋅ ,

siendo 0α > , 0β > y definida sobre el conjunto 2U ++= .

(a) Determine valores para y α β tal que la función sea: estrictamente cóncava, cóncava. Justifique.

(b) ¿Para qué valores de y α β la función es estrictamente cuasicóncava? Justifique.

(c) Clasifique la función que se obtiene luego de aplicar la transformación monótona ( ) ( )1 2h , : ln ux x = .

Respuestas: (a) Estrictamente cóncava si 1α β+ < , cóncava si 1α β+ ≤ y cuasicóncava estricta

siempre.

Ejercicio 5 Dada la función u : U → :

( ) ( )2u , x y x yα β= ⋅ + ⋅ , 0 ,0 >> βα y ( ){ }2 2

1 2 1 2U , : 0 0x x x x+= = ∈ ≥ ∧ ≥

Clasifíquela entre las clases de funciones que siguen: (cuasi) cóncavas, estrictamente (cuasi) cóncavas, (cuasi) convexas, estrictamente (cuasi) convexas ó ninguna las anteriores. Justifique.

Respuesta: Cóncava y por lo tanto también cuasicóncava. Ejercicio 6 Clasifique las siguientes funciones de utilidad:

(a) (Función de aversión relativa al riesgo constante, CRRA):

( ) ( ) ( )1 11 2

1 21 1

u ,1 1

c cc c

δ δ

βδ δ

− −− −= + ⋅

− −, 2U ++= , 0 1β< < y 0δ >

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(b) Calcule el límite de la función anterior cuando 1δ → y verifique que es igual a:

( ) ( ) ( )1 2 1 2u , ln lnc c c cβ= + ⋅ , 2U ++= y 0 1β< <

(c) (Funciones de aversión absoluta al riesgo constante, CARA):

( ) ( ) ( )1 2 1 2u , exp expc c c cγ γ β γ γ= − ⋅ − − ⋅ ⋅ − , 2U ++= , 0 1β< < y 0γ >

(d) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 1 2 2u ,

2 2a ac c c c c cβ = − ⋅ + ⋅ − ⋅

, 2U ++= , 0 1β< < y 0a >

(e) ( ) ( )1

0 10

1u , , ,

1

Ttt

Tt

cc c c

δ

βδ

−

=

−= ⋅

−∑… , 1U T+++= , 0 1β< < y 0δ >

(f) (Función de elasticidad de sustitución constante –CES-):

( ) ( )1

u , x y x yρ ρ ρα β= ⋅ + ⋅ 2U ++= , 0 ,0 >> βα , 1ρ <

(g) ( ) ( ) ( ), u vU c l c l= − , ( ){ }2U , : 0 0 1c l c l= ∈ > ∧ < ≤ ,

siendo: ( )u ⋅ estrictamente cóncava y ( )v l estrictamente convexa.

(h) (Función de Leontief) ( ) { }1 2 1 2u , min ,x x x x= 2U ++=

(i) ( )1 2 1 2u , x x a x b x= ⋅ + ⋅ 2U ++= , 0, 0a b> >

Ejercicio 7 (Mínimos cuadrados ordinarios) Demuestre que la función, 2J : → , definida por:

( ) ( )2

1J ,

n

i ii

a b y a b x=

= − − ⋅∑ es convexa en ( ),a b .

Ejercicio 8 Demuestre que f : n → , definida por ( )f :=x x es convexa. (sugerencia: utilizar la desigualdad triangular).

Ejercicio 9 (Desigualdad de Jensen) Sea u : U → ( U ⊂ ) una función diferenciable y estrictamente cóncava. Demostrar que si x es una variable aleatoria con esperanza finita, ( )E a bx p x q x= ⋅ + ⋅ , se verifica la siguiente desigualdad:

( )( ) ( )( )u E E ux x>

• Interprete geométricamente.

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• Si u es una función de utilidad y x el consumo, interprete “económicamente” la desigualdad.

• ¿Cómo cambia la desigualdad anterior si u es convexa? Interprete.

Ejercicio 10 Sea ( )1 2u ,x x una función 2C . Suponga que la ecuación ( )1 2u ,x x u= define implícitamente a ( )2 1x xφ= como función 2C de x . Demuestre que si ( )1 2u ,x x es cuasicóncava y estrictamente creciente en su segunda variable entonces ( )φ 1x es convexa.

Propiedades de la función valor Ejercicio 11 Considere el siguiente problema de maximización de la utilidad:

( ),

v , , Max x y x yp p m x y= ⋅ s.a: x yp x p y m⋅ + ⋅ =

Demuestre que la función ( )v , ,x yp p m es cuasiconvexa en las variables ( ),x yp p . Interprete geométricamente.

Respuesta: Probar que el conjunto de pares ( ),x yp p tal que

( ) ( )2v , , 4x y x yp p m m p p a= ⋅ ⋅ ≤ ( a∈ ) es un conjunto convexo. Ejercicio 12 Pruebe que la función valor, ( )C , , ,w r y A , del problema:

( ),

C , , Min K L

w r y w L r K= ⋅ + ⋅ s.a: y L K= ⋅ es cóncava en ( ),w r .

Respuesta: ( )C , ,w r y w r y= ⋅ ⋅ .

Condiciones suficientes en programación no-lineal Ejercicio 13 Considere el siguiente problema:

( )⋅ − +3

,Max 1 1

x yx y

s.a: + ≤

≥

4, 0

x yx y

(a) Verifique que el punto ( ) ( )=, 1,1x y satisface las condiciones de Kuhn-Tucker.

(b) ¿Puede utilizar el teorema de programación cuasicóncava para asegurar que el punto ( )1,1 es solución del problema?

Ejercicio 14 Considere el siguiente problema de maximización de la utilidad:

( ) ( )1 2

11 2,

Max x x

x xα α−⋅ , 0 1α< <

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s.a: 1 1 2 2

1

2

00

p x p x mxx

⋅ + ⋅ ≤ ≥ ≥

(a) Suponga que existe un punto que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker, ¿puede asegurar que es solución del problema?

Ejercicio 15 Se modifica la respuesta en el punto anterior si la función objetivo viene dada por ( ) ( ) ( )1 2 1 2u ,x x x xα β= ⋅ con 0α > , 0β > y se mantiene igual todo lo restante.

Ejercicio 16 Considere el problema de una firma que determina sus demandas de factores a partir del problema de maximizar beneficios:

1 4 1 2

,Max

K Lp K L w L r K⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

s.a: 00

KL≥

≥

(a) Suponga que existe un punto que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker, ¿puede asegurar que es solución del problema?

Ejercicio 17 Considere el mismo problema del ejercicio anterior pero con una función que exhibe rendimientos crecientes a escala:

,Max

K Lp K L w L r Kα β⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ , 1α β+ >

s.a: 00

KL≥

≥

(a) Suponga que existe un punto que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker, ¿puede asegurar que es solución del problema?

Ejercicio 18 Considere ahora el problema de minimización de costos:

,Min

K Lw L r K⋅ + ⋅ , ( ),w r 0

s.a: , 1

00

K L yKL

α β α β ⋅ ≥ + > ≥ ≥

(a) Si existe un punto que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker, ¿es solución del problema?

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