Ing. Vanessa Nieto - Investigacin Operativa II

PRACTICA N 5 y 6

Teora de Juegos y Estrategias

I . O B J E T I V O S

Al culminar la presente prctica, el alumno estar capacitado para:

Modelar problemas de Teora de Juegos y estrategias con dos jugadores y suma cero, aplicando estrategias puras y estrategias mixtas.

Obtener su solucin mediante el uso de software.

Interactuar con los modelos.

I I . R E C U R S O S

Uso del software WinQSB con la opcin Decisin Anlisis, Lindo y Excel.

I I I . D U R A C I N D E L A P R C T I C A

Una sesin (2 horas).

IV . M A R C O T E R I C O

Revisar Apuntes de Clase de Teora de Juegos y Estrategias.

V . A C T I V I D A D E S D E L A P R C T I C A

Formular problemas relacionados con la toma de decisiones en condiciones de conflicto, utilizando la teora de Juegos y Estrategias.

Determinar las estrategias ptimas para cada jugador.

EJERCICIO. Considere el juego que tiene la siguiente matriz de pagos.

II

1 2 3 4

I

6234

1322

2

1

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a) Tiene punto de silla este juego? b) Utilice el Lindo y el WinQSB para determinar la estrategia optima de cada jugador y el valor

del juego, compare los resultados

c) Si el jugador 1 utiliza la estrategia [0.7 0.3] y el jugador 2 utiliza [0.25 0.25 0.25 0.25], Cul es el nuevo valor del juego? (Utilice el Excel)

d) Si el jugador 1 utiliza la estrategia [0.8 0.2], cul deber ser la estrategia del jugador 2?, cul ser el nuevo valor del juego para cada jugador?

SOLUCIN

a) Tiene punto de silla este juego?

Entonces no tiene punto de silla.

b) Utilice el Lindo y el WinQSB para determinar la estrategia optima de cada jugador y el valor del juego, compare los resultados

Utilizando el Lindo

Modelo Matemtico para el jugador 1

Salida del LINDO

Entonces se tiene:

Po = [ 0.5 0.5] y

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Qo =

125.0

875.0

0

0

v = 2.5

Utilizando el WinQsb con la opcin Decisin Anlisis/File/New Problem

Aparece la siguiente tabla de entrada de datos, donde ingresamos por la opcin Two player,

Zero-sum Game (Juego de suma cero para dos jugadores) y luego ingresamos el nmero de

estrategias para cada jugador.

Luego ingresamos la matriz de pagos y con la opcin Solve and Analyze/ Solve the Problem,

aparece la siguiente salida:

Los resultados son los mismos.

c) Si el jugador 1 utiliza la estrategia [0.7 0.3] y el jugador 2 utiliza [0.25 0.25 0.25 0.25], Cul es el nuevo valor del juego? (Utilice el Excel)

V = p*A*q =

25.0

25.0

25.0

25.0

*6234

1322*3.07.0 = 2.175

d) Si el jugador 1 utiliza la estrategia [0.8 0.2], cul deber ser la estrategia del jugador 2?, cul ser el nuevo valor del juego para cada jugador?

Si el jugador 1 cambia su estrategia, este va ha empeorar su resultado (v

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5.2

4

3

2

1

*6234

1322*2.08.0

y

y

y

y

Por lo tanto el modelo matemtico del jugador 2 ser:

La salida del LINDO es:

Por lo tanto la estrategia que deber aplicar el jugador 2 ser:

q =

1

0

0

0

El nuevo valor del juego es 0.4, o sea que el jugador 1 slo gana 0.4 y el jugador 2 slo pierde

0.4.

2.- Dado el juego bipersonal de suma nula con matriz de pagos:

1034

3130

1201

2126

a) Obtenga la estrategia ptima para ambos jugadores y el valor del juego, interpretando los resultados obtenidos.

b) Obtenga el resultado esperado del juego si el jugador A opta por su estrategia p=[1/6, 0, 5/6, 0] y el jugador B adopta su estrategia q= [1/2, 0, , 0]. Interprete el resultado obtenido.

c) Obtenga la estrategia que deber aplicar el jugador A y el resultado esperado del juego, si el jugador B adopta su estrategia q= [0.4, 0, 0.6, 0]. Interprete el resultado obtenido.

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V I . E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

1. En el horario de 8 a 9 p.m., Panamericana (PANTEL) y Amrica televisin compiten por la

audiencia de 10 millones de espectadores. Semanalmente, las cadenas televisivas deben anunciar en

forma simultnea el espectculo que emitirn en ese horario. Las elecciones posibles de cada cadena y

el nmero de televidentes de Panamericana, en millones, aparecen en la tabla A, para cada eleccin.

Por ejemplo, si ambas cadenas escogen una pelcula de accin, la matriz indica que 3.5 millones

escogern Panamericana y 10 3.5 = 6.5 millones vern Amrica. As tenemos un juego de dos personas con juego constante, con c = 10 (millones).

Tabla A

Amrica Televisin

Pelcula

de Accin Telenovela Comedia

Pelcula de Accin 3.5 1.5 6.0

Pantel Telenovela 4.5 5.8 5.0

Comedia 3.8 1.4 7.0

a) Tiene este juego un punto de silla?. Cul es el valor del juego para cada cadena?. b) Que Cadena es la ganadora del juego? c) Qu estrategia debe aplicar cada cadena televisiva? d) En un ao cuntas semanas debe aplicar cada estrategia cada cadena? e) Cuntos televidentes atrae ms la cadena televisiva ganadora? f) Para el problema anterior, Si Pantel Ofrece Telenovela y Amrica Televisin ofrece Pelcula de

Accin, entonces Pantel gana 6 millones de espectadores. Cuales sern las nuevas respuestas?

2. Dos grandes cadenas de supermercados que llamaremos A y B respectivamente van a

inaugurar, en las mismas fechas, un nuevo supermercado en un centro comercial de una

ciudad en la que el nmero de clientes potenciales es de 100, 000. El reparto del nmero

de clientes potenciales entre las dos cadenas depende de la estrategia que cada una de las

firmas adopte en cuanto a campaas de publicidad y productos en oferta. En funcin de la

estrategia seguida por cada empresa, el nmero de clientes potenciales se adjudica a la

cadena A en miles es el siguiente:

a) Cul es el nmero mnimo de clientes que aceptar tener A? Y B?

b) Cul es la estrategia ptima de A y B? A la vista de este resultado, podemos afirmar que A y B esperan repartirse por igual el nmero de clientes potenciales?

c) Qu ocurrir si B decide optar por una estrategia diferente a la ptima?

d) Determine, el programa lineal para el jugador A.

8010603

7040302

6020401

321

A

A

A

BBB

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3.- Pablo ha pasado la tarde en un saln de juegos observando cmo uno de los empleados juega al

mentiroso y cmo juegan en otra mesa a una variacin de las tres en raya. En el juego del mentiroso, la

casa tiene tres posibles alternativas: pasar, decir la verdad o mentir (alternativas que vamos a llamar B1, B2 y B3, mientras que Pablo slo tiene dos posibilidades: decir la verdad o mentir (A1 y A2).

Segn se combinen estas opciones las posibles ganancias para el jugador quedan recogidas en la

siguiente tabla:

B1 B2 B3

A1 8 3 1

A2 0 1 2

En el otro juego observa que, tanto el jugador (a quien seguiremos llamando A) como la casa (jugador C) tiene tres posibles estrategias: intentar conseguir las tres en raya en fila, conseguirlo en

columna o conseguirlo en diagonal. Dependiendo de las estrategias adoptadas por los contrincantes,

los posibles resultados son:

C1 C2 C3

A1 1 -1 3

A2 7 4 6

A3 3 -2 5

a) Cmo debe jugar Pablo al mentiroso o a las tres en raya de forma ptima, si su comportamiento racional es prudente?

b) Si en el juego del mentiroso Pablo aplica la estrategia emprica [0.5 0.5], Qu alternativa de mejora le recomendara Ud. A la casa?.

4. Dos cadenas de supermercados se proponen construir, cada una, una tienda en una regin rural en

donde se encuentran cuatro pueblos. Las distancias entre los pueblos se muestra en la siguiente figura:

5Km 3Km 7Km

Aproximadamente 15% de la poblacin vive cerca del pueblo A, 30% cerca del pueblo B, 20% cerca

del pueblo C y 35% cerca del pueblo D, cada pueblo es lo suficientemente grande como para que

ambas cadenas consideren ubicarse en l. Debido a que la cadena I es ms grande y tiene ms prestigio

que la cadena II, la cadena I controlar la mayora de los negocios, siempre que sus ubicaciones sean

comparativas. Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la regin y ambas han terminado

estudios de mercado que dan proyecciones idnticas. Si ambas cadenas se sitan en el mismo pueblo o

equidistantes de un pueblo, la cadena I controlar el 65% de los negocios en ese pueblo. Si la cadena I

est ms cercana a un pueblo que la cadena II, la cadena I controlar 90% de los negocios en ese

pueblo. Si la cadena I est ms alejada de un pueblo que la cadena II, atraer a 40% de los negocios de

ese pueblo. El resto de las operaciones, bajo cualquier circunstancia, irn a la cadena II.

Cada firma planea construir slo un supermercado en la regin. Qu pueblo debe seleccionar cada

uno y cules sern los porcentajes del mercado?.

A B C D

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5. Diez estudiantes del PPII salen a cenar en un restaurante que ofrece dos platos: pollo y langosta. El

pollo cuesta 2500 mientras que la langosta 10000. La disposicin a pagar por el pollo de cada

estudiante es de 3000, mientras que la disposicin a pagar por la langosta es de 5000. Normas sociales

exigen que se reparta la cuenta entre los diez estudiantes, pagando todos lo mismo, sin importar si

ordenaron pollo o langosta. Adems todos deben elegir pollo o langosta y se considera de psimo

gusto no pedir nada o retirarse de la mesa antes de que llegue la cuenta.

(a) Qu debera pedir cada estudiante para que el excedente total de los consumidores sea el mayor

posible? Justifique.

(b) Si los dems estudiantes piden pollo, Qu le conviene ms a Ud., pedir pollo o langosta?

Justifique.

(c) Si los dems estudiantes piden langosta, Qu le conviene mas a Ud., pedir pollo o langosta?

Justifique.

(d) Es equilibrio de Nash que todos pidan pollo? Justifique.

(e) Es equilibrio de Nash que todos pidan langosta? Justifique.

6. Dos bancos del sistema compiten por atraer el mayor nmero de cuenta habientes en un poblado del

occidente del pas: Banco Le cuido su ahorro el primero, y Banco Le Guardo su Plata el segundo; para el logro de su objetivo cada uno aplica las estrategias siguientes:

A. Sorteo de electrodomsticos B. Tasa de inters ms alta C. Sorteo de dinero en efectivo

Si el segundo banco ofrece sorteo de electrodomsticos atrae 200 cuenta habientes ms que el primero,

cuando este ofrece lo mismo, 1000 ms cuando el primero ofrece tasa de inters mas alta y 800 menos

cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece una tasa de inters

ms alta atrae 1300 ms cuando el primero ofrece sorteo de electrodomsticos, 700 ms cuando el

primero ofrece lo mismo y 900 menos cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. Si el

segundo banco ofrece sorteo de dinero en efectivo atrae 2000 menos cuando el primero ofrece sorteo

de electrodomsticos, 1500 ms cuando el primero ofrece tasa de inters ms alta y 850 menos cuando

el primero ofrece lo mismo.

a) Qu banco es el ganador del juego? b) Qu estrategia debe aplicar cada banco? c) En un ao cuantos meses debe aplicar cada estrategia? d) Cuntos cuenta habientes atrae ms el banco ganador? e) Si el primer banco ofrece sorteo de dinero en efectivo y el segundo sorteo de

electrodomsticos, el segundo atrae 800 cuenta habientes ms que el primero. Cules sern

las nuevas respuestas?