INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL.Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y

Eléctrica.Unidad Zacatenco.

Asignatura: ANALISIS NUMERICO

PRACTICA NO.3REGLA FALSA

Integrantes del Equipo:

Benítez Acevedo Luis Fernando Santiago Rodríguez Leopoldo

Profesor: Lic. María Ivonne Gutiérrez Villalba

Grupo:

4CM3

PRACTICA NO. 3 “REGLA FALSA”

1.- OBJETIVO:

Determinará el valor de una raíz a un polinomio dado por el método numérico de Regla Falsa.

Usará algún software para comprobar la raíz encontrada por una grafica. Codificara el método de Regla Falsa.

2.- MARCO TEORICO:

El método de Regla Falsa es una alternativa del método de bisección y que modifica un poco su algoritmo en la obtención de las nuevas aproximaciones pero conservando los criterios para Xa y Xb por lo cual se toma como base el algoritmo de bisección.

La ventaja que tiene este método es la rapidez de convergencia comparándolo con bisección este método converge más rápido; es decir con menos iteraciones

En particular, si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces un valor de la regla falsa es precisamente x=0, y por lo tanto, nos asegura que debe existir xo∈(a ,b)tal que f(xo)=0, es decir, debe haber por lo menos una raíz de f(x ) en el intervalo (a,b).

El método de regla falsa sigue los siguientes pasos:

Sea f(x) continua.

i) Encontrar o proponer valores iniciales Xa y Xb, tales que f(Xa) y f(Xb) tienen signos opuestos, es decir:

f ( Xa )∗f (Xb )<0

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre Xa y Xb:

Xr=Xb−f ( Xb )∗(Xa−Xb)f (Xa )−f (Xb)

iii) Evaluar f(Xr). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

1.- f ( Xa )∗f (Xr )<0

En este caso, tenemos que f(Xa) y f(Xr) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [Xa,Xr].

2.- f ( Xa )∗f (Xr )>0

En este caso, tenemos que f(Xa) y f(Xb) tienen el mismo signo, y de aquí que f(Xr) y f(Xb) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [Xr,Xb].

3.-f ( Xa )∗f (Xb )=0

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raíz. Para esto se tienen diferentes criterios de evaluación de iteraciones o hasta que el error a la aproximación sea mínimo dicho error queda definido por:

Error%=|Xract−XrantXr act |∗100

Es importante considerar la grafica de la función a evaluar ya que de ella depende los valores iniciales de Xa y Xb cuando no se tiene una idea de donde está la raíz.

3.- DESARROLLO:

1.- Se realizó la práctica tomando en cuenta la función:

f ( x )=−2.5x3+17 x2−22 x−11

La raíces esperadas son x=-0.38 y x1=2.43

2.- En las siguientes imágenes se hace referencia a las aproximaciones a las raíces de la función:

Se propuso inicialmente como:

Raiz positiva

Xa=2 Xb=3

1ra iteración:

2da iteración:

Como se puede observar a partir de la segunda iteración, la aproximación es aceptable.

Raíz negativa

Xa=1 Xb=0

1ra iteración:

2da iteración:

3ra iteración:

4ta iteración:

Como se puede ver la aproximación en la 4 iteracion a diferencia de la raíz positiva, quedo mas alejada de la raíz verdadera esta aproximación Xr.

3.- En la siguiente imagen se muestra el diagrama de flujo del método Regla Falsa:

4.- CONCLUSIONES:

Por los resultados obtenidos llegamos a la conclusión que este método es útil se asemeja bastante a bisección pero con la diferencia que mejora en la rapidez de convergencia es decir, hace menos iteraciones que bisección partir de 4 o más aproximaciones ya que el error se reduce significativamente, la desventaja que pudimos notar es que de igual forma que en bisección, las condiciones iniciales propuestas deben de ser cercanas a la raíz, sino Xr se aproximara muy lento a la raíz. Pudimos percibir que la rapidez de convergencia de este método deja mucho que desear.