Practica 2 Vibraciones Libres Con y Sin Amortiguamiento
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Práctica 2 Vibraciones libres con y sin amortiguamiento
Esta práctica está formada por un conjunto de ejercicios realizados sobre un sistema sencillo,
una viga en voladizo sometido a vibraciones libres con y sin amortiguamiento. El objetivo es
insistir en los conceptos básicos de las vibraciones libres, realizando el análisis modal para
obtener las frecuencias naturales y los modos de vibración, pero ahondando además en la
forma en que estos afectan al comportamiento dinámico del sistema. Para ello se analizará la
evolución en el tiempo del sistema cuando se le somete a diferentes condiciones iniciales,
analizando la respuesta del sistema en el tiempo (análisis transitorio). ANSYS dispone de varios
métodos para realizar el análisis transitorio, de los cuales se van a ver los comandos y opciones
del análisis completo y de la superposición modal, comentando las ventajas y limitaciones
básicas de cada uno de ellos.
Por último, se pretende hacer una introducción al manejo básico del amortiguamiento. El
efecto del amortiguamiento en el comportamiento dinámico de un sistema tiene un valor
variable, siendo especialmente importante cuando el sistema funciona en situaciones cercanas
a las de resonancia. Un sistema dinámico puede tener diversos tipos de amortiguamiento. Aquí
nos limitaremos a ver los métodos y parámetros que ANSYS tiene para manejar los tipos de
amortiguamiento más sencillos y habituales.
Vibraciones libres
Ejercicio 1. Frecuencias naturales y modos de vibración de una viga en voladizo
Se trata de realizar el análisis modal de una viga en voladizo para obtener sus frecuencias
naturales y modos de vibración. Se trata de una viga de 1 m de longitud con una sección
constante que es un cuadrado de 1 cm de lado, que está fabricada de un acero de E = 210 GPa
y tiene una densidad de 7800 Kg/m3.
La viga se va a modelar con 10 elementos finitos tipo viga y se van a realizar el análisis modal
para obtener los 30 primeros modos y frecuencias empleando el método de Lanczos. Teniendo
en cuenta que la malla tiene sólo 10 elementos, pretende observarse la importancia del error
en los modos más altos. El error se hace visible simplemente observando las formas de los
modos.
El porcentaje de error puede calcularse a partir de los valores teóricos exactos de las frecuen‐
cias naturales, o también repitiendo el análisis modal sobre un modelo de la viga con una malla
exageradamente fina (100 o 200 elementos).
PREPROCESADOR
DEFINICIÓN DEL TIPO DE ANÁLISIS
Preferences/ Structural h‐Method
DEFINICIÓN DE LOS ELEMENTOS A UTILIZAR Y SUS PROPIEDADES
Preprocessor/
TIPO DE ELEMENTO Element Type/ Add/Edit/Delete/ Add...
SETS DE CONSTANTES Real Constants/ Add/Edit/Delete/ Add...
MATERIAL Material Props/
1
Viga 3D: Beam 2D elastic 3
Options…
1
Choose element type Type 1 BEAM3 AREA 1e‐4 IZZ 1e‐8/12 HEIGHT 1e‐2
1
Definir material (acero): Material Models/ ‐ New Model ‐ Structural/Linear/ Elastic/Isotrophic E = 210.0e9 N/m2
= 0.3 ‐ Density/
=7850 kg/m3
CREACIÓN DE LA GEOMETRÍA
Se definen dos rectángulos y un círculo de cuya combinación booleana se obtiene la geometría
del apoyo:
‐ Parámetros que definen los rectángulos:
Modeling: ‐ Create/Keypoints/In Active CS (Introducir coordenadas y nº de punto)
Keypoint X Y Z 1 0 0 0 2 1 0 0
‐ Unir puntos para hacer el contorno:
‐Create/Lines/Lines/Straight Line (Seleccionar keypoints 1 y 2)
MALLADO
Meshing/MeshTool
‐ Características de la malla que se va a crear (estos comandos pueden ejecutarse también
desde el menú Preprocessor/Meshing):
‐ Atributos de elemento para la línea seleccionada:
Element Attributes/Lines/Set: MAT 1, REAL 1, TYPE 1 BEAM3
‐ Tamaño de elemento para las áreas que se seleccionen
Size Cntrls /Lines/ Set (Seleccionar la línea y en asignar 10 a NDIV – número de
elementos en que se va a dividir la línea)
‐ Mallado línea:
Mesh/Lines, (Pulsar Mesh y Seleccionar la línea)
CONDICIONES DE CONTORNO
Loads
‐ Condiciones de apoyo en el extremo empotrado de la viga (keypoint 1):
‐ Ligar todos los gdls del keypoint:
Loads/Define Loads/Apply/Structural/Displacement/On Keypoints:
Selecciona el keypoint izquierdo (1).
ALLDOF todos los gdl.
VALUE 0
PROCESADOR
‐ Para hacer el análisis modal:
Solution:
‐ Definir análisis
Analysis Type/New Analysis/Modal
‐ Especificar algoritmo y parámetros del mismo:
Analysis Options/Block Lanczos/
30 modos, o rango de 0 a 0 Hz (sin límites)
Normalizar a la matriz de masas
‐ Resolver:
Solve/Current LS
POSTPROCESADOR
‐ Para ver resultados del análisis modal:
‐ Lista de modos obtenidos y frecuencias:
Results Summary
‐ Para obtener gráficos y animaciones de los modos:
Results Viewer/
‐ Seleccionar el número de modo con el “slider”
‐ Para ver la forma del modo:
‐ Choose a result item/
Nodal Solution/DOF Solution/Displaced Structure
‐ Botón Plot Results (Para ver la deformada)
‐ Botón Animate Results (Para ver la animación)
Mode Shape
No. of frames to create (nº de posiciones intermedias entre el máximo y el
mínimo de desplazamiento del modo)
Time Delay (cuanto menor, más rápido)
‐ Para detener la animación y cambiar de modo hay que cerrar la ventana
Animation Control(Close)
‐ Para ver los vectores de desplazamiento modal o el gráfico contour:
‐ Choose a result item/
Nodal Solution/DOF Solution/Displacement vector sum
‐ Elegir Contour o Vector
‐ Plot Results
Ejercicio 2. Excitar el primer modo con las condiciones iniciales adecuadas
Los modos de vibración definen la forma que adopta el sistema cuando todas sus partículas
vibran de forma síncrona con la misma frecuencia. Para conseguir que un sistema vibre de
forma libre con la frecuencia de uno de los modos de vibración, es necesario que, al defor‐
marlo para sacarlo de su posición de equilibrio, adopte la forma del modo correspondiente.
En este ejercicio se quiere obtener la respuesta de una viga en voladizo ante unas condiciones
iniciales. Tras liberar la viga, se analizará su evolución en el tiempo, para lo que se realizará un
análisis de tipo transitorio. El objetivo de un análisis transitorio es determinar la respuesta a lo
largo del tiempo, de un sistema sometido a la acción de cargas que pueden ser variables
(armónicas o no) o constantes. En general, un análisis transitorio es un problema de respuesta
forzada en el tiempo, pero como en este caso la causa del movimiento son unos desplazamien‐
tos iniciales, se trata de un caso de vibraciones libres.
El resultado demuestra que cuando las condiciones iniciales coinciden con los desplazamientos
de un modo de vibración, la viga ofrece una respuesta armónica y vibra con la frecuencia
natural correspondiente a ese modo. En el ejercicio 3 comprobaremos que cuando los despla‐
zamientos no se corresponden con la forma de ningún modo, el movimiento está definido por
una combinación de modos.
ANSYS dispone de tres métodos para hacer un análisis transitorio: Full, Reduced y Mode
Superposition. Para este ejercicio se va a utilizar el método Full dado que es el único que deja
introducir condiciones iniciales diferentes de cero.
El modelo de elementos finitos que se va a utilizar en este ejercicio es el mismo que se empleó
en el ejercicio anterior, por lo que el esquema del ejercicio comienza en el procesador.
Durante el postprocesado se utilizarán comandos del TimeHist Postpro para mostrar gráficos
de la respuesta en el tiempo de puntos clave de la viga.
PROCESADOR
‐ Para hacer el análisis transitorio:
Solution:
‐ Definir análisis
Analysis Type/New Analysis/Transient/OK
Solution method: Full
‐ Introducir las condiciones iniciales
Define Loads/Apply/Initial Condit’n/Define (selecciona uno a uno los nudos de la viga)
DOF to be specified: UY
Initial value of DOF: (introduce el desplazamiento para cada nudo)
‐ Especificar algoritmo y parámetros del mismo:
Analysis Type/Solution Controls
Basic
Analysis Options: Small Displacement Transient
Time Control:
Time at end of loadstep: 1
Automatic Time Stepping: OFF
Number of substeps: Number of substeps: 500
Write Items to Result File
Basic Quantities
Write every substep
Transient
Full Transient Options
Transient effects
Stepped Loading
Damping Coefficients (Rayleigh)
=0, =0 Time Integration
Newmark Algorithm
Amplitude Decay: =0.005 Solution Options
Program Chosen Solver
‐ Resolver:
Solve/Current LS
POSTPROCESADOR
‐ Para ver resultados del análisis modal:
‐ Igual que en el ejercicio anterior
‐ Para ver resultados del análisis de respuesta forzada:
‐ Para obtener la animación de la respuesta forzada:
Results Viewer/
‐ Para ver el movimiento en el tiempo:
‐ Choose a result item/
Nodal Solution/DOF Solution/Displaced Structure
‐ Botón Animate Results (Para ver la animación)
Over Time
No. of animation frames: 100
Model Result Data: Time Range Min 0, Max 1
Animation Time Delay 0.1 s
Contour Data for Animation:
DOF Solution
Translation UY
‐ Para detener la animación, cerrar la ventana Animation Control (Close)
‐ Para obtener un gráfico de la respuesta en el tiempo de un nudo de la viga:
Results Viewer/ Time History Variable Viewer
‐ Time History Variables/Pulsar Add Data (+)
‐ Add Time History Variable/Nodal Solution/DOF solution/Y‐Component of Displ./OK
(Seleccionar el nudo del extremo libre de la viga)
‐ Repetir el proceso y seleccionar un nudo intermedio de la viga.
‐ Seleccionar las variables a visualizar y pulsar Graph Data o List Data.
Ejercicio 3. Respuesta cuando las condiciones iniciales no coinciden con ningún modo
En este caso la respuesta corresponde a la combinación de las respuestas de varios modos de
acuerdo con un factor de participación que depende de la similitud entre la posición inicial y la
forma de cada modo.
En este ejercicio sólo es preciso modificar las condiciones iniciales del ejercicio anterior.
Vibraciones libres amortiguadas
El amortiguamiento es el proceso a través del cual un sistema dinámico disipa parte de su
energía, provocando la reducción de la amplitud del movimiento. Existen diferentes tipos de
amortiguamiento:
‐ Viscoso, relacionado con la resistencia de un cuerpo a moverse dentro de un fluido y
es en el que se basa el funcionamiento de los amortiguadores de un vehículo.
‐ De Coulomb, producido por la fricción entre cuerpos.
‐ Estructural, que se produce por la fricción interna del material o en las uniones de los
elementos del sistema.
Una de las formas más sencillas de introducir el amortiguamiento en un sistema es el de
Rayleigh, en el que se definen la matriz de amortiguamiento en función de dos factores de
proporcionalidad, y , aplicados a la matriz de masas y a la de rigidez respectivamente. Esto
permite desacoplar las ecuaciones de equilibrio empleando la transformación basada en los
modos de vibración.
Ejercicio 4. Viga en voladizo con amortiguamiento de Rayleigh
En estos ejercicios se van introducir los valores de y calculados a partir de los amortigua‐
mientos relativos calculados para dos frecuencias naturales y se comprobará cómo afectan a la
respuesta del sistema. Es importante tener en cuenta la dependencia de estos valores con la
frecuencia, mientras que estos valores son únicos en un análisis por lo que en un caso en el
que se excitan varios modos de vibración es importante tener en cuenta el valor que estos
valores tendrían para el modo que más contribuye al movimiento.
Conclusiones: Se observa que el desplazamiento es armónico, con una frecuencia de 8hz, que
es precisamente la primera frecuencia natural, y es que con esas condiciones iniciales hemos
excitado esa frecuencia. Usar el results viewer del general postprocesor para ver la deformada
a lo largo del tiempo. Por otro lado, el amortiguamiento hace que la respuesta se atenúe, es
decir que la amplitud decrezca con el tiempo. Si las condiciones iniciales no excitaran ningún
modo en particular, el desplazamiento sería suma de armónicos, e igualmente el
amortiguamiento haría que se atenúe con el tiempo.
Ejercicio 5. Viga en voladizo con un elemento amortiguador
Planteamiento: Excitar el primer modo con las condiciones iniciales correspondientes, con
amortiguamiento no proporcional, introduciendo un elemento amortiguador en el medio.
Tipo de análisis: Transient analysis (Full).
Objetivos: Aprender a introducir elementos discretos de amortiguación en el modelo.
Observar el efecto del amortiguamento no proporcional comparando con el resultado del
ejercicio 4 (mismo planteamiento pero con amortiguamiento porporcional)
Conclusiones conceptuales: Se observa que el desplazamiento es harmónico, con una
frecuencia de 8hz, que es precisamente la primera frecuencia natural, y es que con esas
condiciones iniciales hemos excitado esa frecuencia. Usar el results viewer del general
postprocesor para ver la deformada a lo largo del tiempo. Por otro lado, el amortiguamiento
hace que la respuesta se atenué, es decir que la amplitud decrezca con el tiempo. Sin
embargo, se ve que los desplazamientos de los nodos 2 (extremo libre de la viga) y 6 (mitad de
la viga) no van en fase. Es decir, no alcanzan su desplazamiento máximo ni su desplazamiento
nulo a la vez. Se observa que el nudo 2 alcanza el desplazamiento nulo entre los instantes
0.040 y 0,042, mientras que nudo 6 lo alcanza entre los instantes 0,048 y 0,050. Si dibujamos la
deformada en el instante 0,042, se ve claramente como el nudo 2 ha pasado de largo del
mínimo mientras que el nudo 6 todavía no ha llegado. Si las condiciones iniciales no excitaran
ningún modo en particular, el desplazamiento sería suma de harmónicos, e igualmente el
amortiguamiento haría que se atenúe con el tiempo. La no proporcionalidad haría que los
puntos no vayan en fase.