Practica 03 Triangulos (1)
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Razones Razones Razones Razones
trigonomtricas trigonomtricas trigonomtricas trigonomtricas
de un ngulo de un ngulo de un ngulo de un ngulo
agudoagudoagudoagudo
Trigonometra- UNI
18 mar. 15 Pgina 2
Introduccin
Cuando observamos a un ingeniero medir la altura
de un edificio, o la inclinacin de una carretera
utilizando un instrumento llamado teodolito
podemos quiz pensar qu relacin tiene ese
instrumento con las Razones Trigonomtricas,
aparentemente ninguna, pero de las medidas que
toma el ingeniero esta la esencia de la
trigonometra, con el teodolito se observa dos
puntos, uno de referencia a una cierta distancia
previamente medida y otro punto con un cierto
ngulo de inclinacin, con estos datos y utilizando
las razones trigonomtricas se puede determinar
la altura de edificios, la inclinacin de una
carretera, la altura de una montaa o comnmente
utilizado para hacer levantamientos de planos
topogrficos.
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Trigonometra- UNI
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Definicin de las Razones
trigonomtricas de un ngulo
agudo
Considere el tringulo rectngulo 90ABC , C =
con lados a,b,c como se muestra en la figura
A
B
C
a
b
c
Elementos:
a : Cateto opuesto respecto de
b : Cateto adyacente respecto de
c : Hipotenusa
Teorema de Pitgoras:
En todo triangulo rectngulo se cumple
La suma de los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa.
2 2 2a b c+ =
Comprobacin
En el tringulo rectngulo anterior tomando como
centro el punto B construimos una circunferencia
de radio a cmo se muestra en el grfico
siguiente.
A C
B
c
b
a
a
ca
E
F
Del Teorema de la Tangente a una circunferencia:
2( AC ) ( AF )( AE )=
Entonces:
2
2 2 2
2 2 2
( )( )b c a c a
b c a
a b c
= +
=
+ =
Ejemplo:
De la figura mostrada determine el valor de x
3
2x
2 1x +
Sol.
Aplicamos el teorema de Pitgoras y relacionamos
los catetos y la hipotenusa.
2 2 2
2 2 2
2 2
3 2 2 1
9 4 4 4 1
9 4 1
2
a b c
( ) ( x ) ( x )
x x x
x
x
+ =
+ = +
+ = + +
= +
=
Trigonometra- UNI
18 mar. 15 Pgina 4
Por otra parte, con las longitudes de los lados de
un tringulo rectngulo se pueden establecer
ciertos cocientes, que son llamados histricamente
las razones trigonomtricas y se definen de la
siguiente manera:
Definicin
Notacin Definicin
sen Opuesto a
senHipotenusa c
= =
cos Adyacente b
cosHipotenusa c
= =
tan Opuesto a
tanAdyacente b
= =
cot Adyacente b
cotOpuesto a
= =
sec Hipotenusa c
secAdyacente b
= =
csc Hipotenusa c
cscOpuesto a
= =
Ejemplo:
En un tringulo rectngulo se verifica que 7
25sen = entonces determine tan sec +
Sol.
Considerando el tringulo rectngulo:
25
x
7
Obtenemos el cateto mediante el teorema de
Pitgoras
2 2 27 (25)
24
x
x
+ =
=
Del tringulo obtenemos:
7 25
24 24
4
3
tan ;sec
Nos preguntan :
tan sec
= =
+ =
Nota:
El valor de las Razones trigonomtricas solo
depende del valor del ngulo, y no de la longitud
de los lados, lo cual observamos en los siguientes
tringulos semejantes:
3
4
5
A B
C
M N
P
15
20
25
De la figura
3
5
15 3
25 5
ABC : sen
MNP : sen
=
= =
Ejemplo:
A cierta hora del da el ngulo de inclinacin del
Sol es de 75 . Determine la altura de un edificio si
la longitud de su sombra en ese instante es de
32 15, m
Sol.
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Trigonometra- UNI
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AB
h
32,15
75
De la figura:
7532 15
32 15 75
32 15 3 73
120
htan( )
,
, (tan ) h
, ( , ) h
h m
=
=
=
Ejemplo:
En el siguiente tringulo rectngulo, determine
E tan cot = +
a
b
3 ab
Sol.
Aplicamos el teorema de Pitgoras para relacionar
los lados del tringulo
2 2 2
2 2 2(3 ) ....( )
a b c
a b ab i
+ =
+ =
Nos preguntan:
2 2
2
3
9
9
a b a btan cot ...( ii )
b a ab
Reemplazando ( i ) en ( ii ) :
( ab )tan cot
ab
abtan cot
ab
tan cot
++ = + =
+ =
+ =
+ =
Ejemplo:
La torre de pisa se inici su construccin en 1173,
despus de prolongadas interrupciones se
concluy la construccin en 1370. La longitud de
la torre es de 55,8m desde la base, tiene una
inclinacin de unos 4 y su separacin mxima de
la vertical es:
(Considere 4 0.06975sen = )
Sol.
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A
B C
4
55,8m
Del grfico es la longitud
de la torre y su separacin maxima
de la vertical es
Entonces
(4 )
0,0697555.8
3,89
AC
BC
BCsen
AC
BC
BC m
=
=
=
Ejemplo:
En un tringulo rectngulo demuestre que
2 2
0 1
0 1
1
I ) sen
II ) cos
III ) sen cos