Prctica de Matemticas II - Grafos

DII 1er curso 2 cuatrimestre 1/5

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Coloracin de grafosComencemos planteando el problema de dar color a las regiones de un mapa plano de modo que a regiones

vecinas se les asigne distinto color.Este problema puede ser resuelto asignando a cada regin un color diferente; pero, en mapas con muchas

regiones esta solucin no resulta eficiente, pues seran necesarios demasiados colores. Adems, si se quierereproducir un mapa por procedimientos grficos, es interesante utilizar pocos colores para rentabilizar laproduccin. Por lo tanto, nos planteamos el problema de colorear un mapa asignando colores distintos aregiones vecinas, pero utilizando el mnimo nmero de colores posible.

Ejercicio 1: a) Colorear el mapa A en la figura con 3 colores distintos y el mapa B con 4 coloresdistintos, excluyendo la regin exterior no acotada.

Mapa A Mapa B

b) Dar alguna razn para que el mapa A no pueda ser coloreado con 2 colores:

Por tanto, el mnimo nmero de colores para colorear A es:

c) Dar alguna razn para que el mapa B no pueda ser coloreado con 3 colores:

Por tanto, el mnimo nmero de colores para colorear B es:

Todo mapa plano puede ser representado por un grafo plano, que llamaremos grafo dual. Para construirel grafo dual de un mapa representamos cada regin del mapa por un vrtice incluyendo un vrtices querepresente la regin exterior no acotada, cada par de regiones vecinas se representarn uniendo medianteuna arista los dos vrtices correspondientes (dos regiones cuyas fronteras coinciden slo en un punto no seconsideran vecinas). As, el problema de coloreado de un mapa se convierte en el problema de coloreado delos vrtices de un grafo de modo que no haya dos vrtices adyacentes con el mismo color. Obsrvese que elgrafo dual de un mapa es un grafo simple.

Ejercicio 2: Dar la representacin grfica de los grafos duales de los mapas A y B anteriores.

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Definicin: Una coloracin de un grafo simple es una asignacin de color a cada vrtice del grafo de modoque a vrtices adyacentes les corresponda distinto color.

Del mismo modo que el caso de mapas, cabe preguntarse: cul es el mnimo nmero de colores necesariopara colorear un grafo?

Definicin: El nmero cromtico de un grafo es el mnimo nmero de colores necesarios para colorearste. Denotaremos por (G) el nmero cromtico del grafo G.

Uno de los ms famosos teoremas en Matemticas resuelve el problema del nmero cromtico paragrafos planos.

Teorema de los cuatro colores: El nmero cromtico de un grafo plano es menor o igual que cuatro.

Ejercicio 3: Establecer el nmero cromtico de los siguientes grafos planos G y G, justificando larespuesta.

El teorema de los cuatros colores es vlido slo para grafos planos, de hecho existen grafos no planoscon nmero cromtico n para todo n natural.

Veamos a continuacin un algoritmo de coloreado de grafos que nos puede ayudar a aproximar el nmerocromtico. Este algoritmo nos proporciona una coloracin para cualquier grafo plano, pero sta puede usarms colores que el nmero cromtico; por lo tanto, este algoritmo no es ptimo.

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Algoritmo de coloreado: Comencemos ordenando los vrtices de G, v1, v2, , vn en orden decrecientesegn su grado d(v1) d(v2) d(vn).

Asignar el color 1 a v1. Recorriendo ordenadamente la lista de vrtices asignar el color 1 al siguientevrtice en la lista que no sea adyacente a v1 (si existe), continuando por la lista asignar tambin el color 1 acada vrtice que no sea adyacente a un vrtice al que ya se le ha asignado el color 1.

Entonces, asignar el color 2 al primer vrtice de la lista que no haya sido ya coloreado, y siguiendoordenadamente con los vrtices todava no coloreados asignar tambin el color 2 a los vrtices que no seanadyacentes a un vrtice con color 2.

Si quedan vrtices sin colorear elegir un color 3 para el primer vrtice no coloreado y continuar como conlos colores 1 y 2.

Ejercicio 4: Construir, usando el algoritmo anterior una coloracin del siguiente grafo, indicandosobre el grafo con v1, v2, la ordenacin dada los vrtices y con diferentes nmeros los colores paracada vrtice.

Ejercicio 5: a) Encontrar un coloreado para el grafo completo de cinco vrtices K5.

Puedes encontrar una coloracin con menos colores que la obtenida arriba? ________Por qu?

Cul es el nmero cromtico de K5? ___________

Extrapola los razonamientos hechos sobre K5 y concluye cul es el nmero cromtico de Kn: _____

b) Dibuja el grafo bipartito K3,5 y obtn una coloracin suya por el algoritmo anterior.

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Concluye cul es el nmero cromtico de K3,5, justificando la respuesta. ______________________________________________________________________________________ .

Cul es entonces el nmero cromtico de cualquier grafo bipartito? ______

c) Se denomina grafo cclico de n vrtices, y se denota por Cn, al grafo cuyos vrtices y aristas secorresponden con los vrtices y aristas del polgono regular de n lados. Estudiar el nmero cromticode Cn. (Indicacin: el nmero cromtico de Cn es diferente para n par o impar. Como en los casosanteriores estudiar algn caso concreto, por ejemplo C5 y C6, y luego generalizar).

La coloracin de vrtices en un grafo tiene aplicacin a mltiples problemas relacionados conasignaciones y programaciones. Por ejemplo, cul es el nmero mnimo de das que hay que disponer paraprogramar los exmenes de un centro de modo que un estudiante no tenga que hacer dos exmenes el mismoda.

Resolvamos ahora un problema de asignacin de canales de televisin a varias emisoras.

NOTA: Los dos problemas siguientes deben estar debidamente explicados y justificados.

Ejercicio 6: El departamento informtico de una empresa se compone de los seis comits que seenumeran acontinuacin:

C1 = {Alonso, Belndez, Soln} C2 = { Belndez, Serrano, Rey}C3 = {Alonso, Rey, Soln} C4 = { Serrano, Rey, Soln}C5 = {Alonso, Belndez } C6 = { Belndez, Rey, Soln}Estos comits se renen una da al mes. Cuntas horas de reunin diferentes habr que programar

como mnimo para que nadie tenga dos reuniones a la vez?

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Ejercicio 6: a) En unos laboratorios qumicos hay que almacenar un pedido compuesto por un totalde siete sustancias qumicas diferentes que distinguiremos con los nmeros del 1 al 7. As mismo, lanaturaleza de estas sustancia es tal que para todo 52 i la sustancia i no puede almacenarse en elmismo compartimento que la sustancia i-1 o la i+2. Determinar el mnimo nmero de compartimentosque se necesitan para almacenar de forma segura estas siete sustancias.

b) Supongamos que adems de las condiciones de la parte a), los cuatro pares siguientes de las sietemismas sustancias requieren tambin compartimentos separados: 1 y 4, 2 y 5, 2 y 6, 3 y 6. Cul es elmenor nmero de compartimentos de almacenamiento que se necesitan ahora?