Pr ctica 9-con-la-calculadora-class-pad-300-plus (2)

Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 9

PRÁCTICA 9 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS

Objetivos: En esta práctica, aprenderemos cómo utilizar nuevos comandos de los menús [Acción] e [Interactivo] de la Aplicación Principal y nuevos menús de la Aplicación Estadística para resolver algunos problemas relacionados con Espacios Vectoriales Euclidianos con ayuda de la calculadora ClassPad 300 PLUS.

Requisitos: Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado los temas relativos al tópico Espacios Vectoriales con Producto Interior y haber resuelto la práctica 8.

9.1 Producto interior.

El intento de convertir un espacio vectorial en un espacio métrico y poder desarrollar sobre él una geometría euclidiana, supone la capacidad de medir distancias entre puntos y calcular medidas angulares. Esto puede lograrse introduciendo el concepto de producto interior entre dos vectores del espacio vectorial. Estos espacios son llamados espacios euclidianos y su mayor fortaleza es la posibilidad de establecer la ortogonalidad entre dos vectores, idea fundamental de la cual depende una gran diversidad de métodos de solución, particularmente en los espacios de funciones.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERIOR PROPIEDADES DE LA NORMA

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1.

2.

3.

4.

5.

1. Operación con la ClassPad

(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione

para encenderla.

(2) Toque en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.

(3) En la barra de menús, toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.

(4) Toque el botón para acceder directamente al administrador de variables. Toque main dos veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.] [Cerr.] [Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación Principal.

2. Considere el espacio vectorial real de las matrices cuadradas de orden 2. Si

y son dos matrices en , definimos sobre este espacio el

producto interior usual .

Recuerde que la traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal.

Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada88


a) Calcule el producto interior entre las matrices y y establezca que

son ortogonales en .

b) Calcule la norma de la matriz A y la norma de la matriz B.

Observe que el producto interior que se ha definido en , es análogo al producto escalar de

vectores en . De modo que, si consideramos la matrices de las componentes de A y B respecto a la

base canónica de y las tomamos como vectores columnas, el producto escalar entre éstas nos dará

el producto interior de las matrices A y B. Sean estos vectores y .

(5) Active el teclado virtual 2D.

(6) Calcule el producto escalar entre los vectores y .

Como se puede apreciar (Figura 1), las matrices A y B son ortogonales en .

(7) Calcule la norma de la matriz A.

(8) Calcule la norma de la matriz B.

La norma de cualquier matriz puede calcularse con el comando [norm] del menú secundario [Matriz – Calcular ►] de los menús [Acción] e [Interactivo]. Esta norma, inducida por el producto interior que se ha definido, se llama Norma de Frobenius.

(9) Utilice el comando [norm] del menú secundario [Matriz – Calcular ►] para calcular la norma de la matriz A.

Observe que este resultado es el mismo que se obtuvo en el paso (7).

Figura 1

Figura 2

3. a) ¿Son Ortogonales A y B en ?, ¿por qué?

b)

9.2 Proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt.

A partir de una familia F finita o infinita de vectores linealmente independientes que generan el subespacio gen(F) en un espacio euclidiano E, puede construirse otra familia G de vectores ortogonales tales que gen(F) = gen(G). Tal construcción se realiza por medio del proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt que se describe como sigue:

Sea una familia finita o infinita de vectores linealmente independientes en un

espacio euclidiano E. Entonces existe una familia de vectores ortogonales en E tal que



para cada entero positivo k, . Más aún, cada vector se construye de acuerdo con el algoritmo recursivo:

.

;

4. En el espacio vectorial real (espacio de los polinomios de grado menor o igual 2) se

define el producto interno de dos polinomios p y q por . Utilice el

proceso de ortogonalización de Gram–Schmitd para construir una base ortogonal de a partir

de los vectores de su base canónica: , y .

Para el cálculo de integrales indefinidas o definidas debe usarse el comando de integración del

menú secundario [Cálculo ►] de los menús [Acción] e [Interactivo]. En el caso del cálculo de la integral

definida de una función en una variable , la sintaxis de este comando es la siguiente:

Una manera cómoda de calcular una integral definida, es usando la plantilla del teclado virtual 2D. Basta registrar el integrando, los límites de integración y la variable de integración en el diferencial. Esto nos permite registrar la integral de la misma manera como se escribe la misma con lápiz y papel.


(10) Active el teclado alfabético [abc] y toque .

Para lo que sigue, alterne entre el teclado alfabético [abc] y el

teclado de plantillas 2D. Puede utilizar las teclas , y demás teclas del teclado físico de la calculadora.

(11) Asigne cada una de los polinomios: a las variables Q1, Q2, y Q3 respectivamente.

Figura 3

Al desarrollar el proceso de ortogonalización por pasos tenemos:

Paso 1: .

(12) Asigne la variable P1 al polinomio 1.

El segundo polinomio del conjunto ortogonal lo obtendremos en el siguiente paso:

Paso 2:



Observe que el polinomio viene dado por:

Utilizaremos el teclado 2D para registrar esta expresión.

(13) Con el teclado alfabético activo toque .

(14) Active el teclado 2D y toque .

(15) Con el cursor en el numerador toque .

(16) Con el cursor en el denominador toque .

(17) Registre en ambas integrales los límites de integración y .

(18) Con el teclado alfabético activo registre en la integral del numerador

el integrando tocando .

(19) Ubique el cursor en recuadro de la diferencial y toque .

Observe la Figura 4.

(20) Registre el integrando de la integral del denominador tocando

.

(21) Registre la variable del diferencial tocando .

(22) Ubique el cursor a la derecha de la expresión editada y toque .

(23) Finalmente toque .

Se obtiene de este modo (Figura 5).

Figura 4

Figura 5

El tercer polinomio del conjunto ortogonal se obtiene en el siguiente paso:

Paso 3: .

(24) Asigne la variable P2 al polinomio .

(25) Calcule el polinomio siguiendo un procedimiento análogo al anterior y registrando en el área de trabajo la expresión dada en el Paso 3.

Se obtendrá que

Figura 6

6. Base Ortogonal:



En el espacio de los polinomios P con el producto interno se obtiene la

sucesión ortogonal , , , , , ... a partir de los polinomios linealmente

independientes , , , , , ... en P. Estos polinomios son llamados polinomios de Legendre y son importantes en temas de ecuaciones diferenciales y análisis lineal.

7. Considere la siguiente familia de vectores de :

, , ,

a) Encuentre una base B para el subespacio S generado por los cuatro vectores.

b) Utilice el proceso de ortogonalización de Gram – Schmitd para construir una base ortonormal para el subespacio S a partir de los vectores de la base B. Tome como producto interior en el producto escalar.

8. a) Base B:

b) Base Ortonormal:

9.3 Complementos ortogonales.

Considere un subespacio vectorial S de un espacio euclidiano E . Un vector en E es ortogonal al subespacio S si es ortogonal a cada vector de S. El conjunto de todos los vectores en E que son ortogonales a todos los vectores de S se llama complemento ortogonal de S en E y se denota por .

es también un subespacio vectorial de E y .

En Rn el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneas AX = O, se sabe que es un subespacio de Rn y es, además, el complemento ortogonal del subespacio generado por los vectores fila de la matriz A. Por otra parte, el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales trn(A)X = O es el complemento ortogonal del subespacio generado por los vectores columna de A.

9. Considere la matriz y sean S el conjunto solución del sistema

lineal AX = O y T el conjunto solución del sistema lineal trn(A)X = O. Determine bases para los cuatro subespacios: S, , T y .

10. Base de S:

Base de :



Base de T:

Base de :

11. Determine una base para el complemento ortogonal del subespacio S generado por los vectores: , , , y

.

12. Base de :

9.4 Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio.

Si S es un subespacio vectorial de un espacio euclidiano E

de dimensión finita con base ortogonal y

es cualquier vector de E, entonces existe un único vector en S y un único vector en tales que . El vector

recibe el nombre de proyección ortogonal del vector sobre

el subespacio S, y se denota por .

Por otra parte, este vector se calcula por la fórmula: Figura 7

13. Considere el subespacio S de R4 cuya base es

y el vector .

a) Construya una base ortogonal para S.

b) Determine .

c) Determine la distancia de a S.

14. a)

b)

c)



15. Considere el subespacio de R4. y el vector .

a) Encuentre una base para S.

b) Construya una base ortogonal para S.

c) Determine .

16. a)

b)

c)

9.5 El método de los mínimos cuadrados.

El método de los mínimos cuadrados proporciona un ejemplo de aplicación del problema de encontrar, en un espacio euclidiano E, la distancia de un vector a un subespacio S. Este método se emplea como modelo matemático para realizar predicciones a partir de datos recolectados en la vida cotidiana o para estimar parámetros a partir de datos recogidos experimentalmente. El caso más sencillo, y del que se deducen otros modelos, consiste en determinar la ecuación de una recta: a la que deberían

pertenecer todos los puntos de coordenadas para , obtenidos en algún proceso de recolección de datos. Generalmente, por imprecisión de los instrumentos, los errores en los experimentos o en la misma recolección de datos, se obtienen puntos que no están alineados. El problema es encontrar la recta que “mejor ajusta” este conjunto de puntos (recta de regresión lineal). El método de los mínimos cuadrados proporciona “buenas aproximaciones” de los coeficientes a y b.


(26) Borre la pantalla de la aplicación Principal.

(27) Toque el botón en la barra de herramientas. Al desplegarse el

menú toque para acceder directamente a la Aplicación Estadística.

Aparecerá en la parte inferior de la pantalla dividida la ventana del editor de listas.

(28) En el panel de iconos toque para maximizar la ventana del editor de listas.

(29) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el editor de listas.

Figura 8



18. Un problema de resistencia de materiales:

En la primera columna de la tabla están representados los diámetros de varias soldaduras. En la segunda columna están representadas las resistencias de corte correspondientes. Se supone que existe una relación afín ( ) entre estas dos variables. Encuentre la recta de regresión lineal entre estas variables.

x y680 190800 200780 209885 215975 215

1025 2151100 2301030 2501175 2651300 250

(30) Con las teclas direccionales ubique el cursor el la primera celda de la lista 1 (list1) y teclee 680. Confirme con [EXE].

Observe que el cursor se ubica en la segunda celda de la lista 1.

(31) De la misma manera registre los demás datos correspondientes a la variable x.

(32) Al terminar, ubique el cursor en la primera celda de la lista 2 (list2) y registre los datos que corresponden a la variable y.

De esta manera, en la lista 1, se encuentran todos los datos de la variable x y en la segunda lista se encuentran todos los datos de la variable y.

Para trazar el diagrama de dispersión de los datos será necesario hacer las siguientes operaciones de configuración de gráficos estadísticos:

(33) En la barra de menús, toque [ConfGráf] [Opciones …]. En el cuadro de diálogo utilice los

botones para configurar los siguientes parámetros: Dibujo: On, Tipo: Disper., Lista X: list1, ListaY: list2, Frec.: 1, Marca: Cuadrado. Finalmente toque [Def.] para confirmar la configuración.

(34) Toque en la barra de herramientas para trazar el gráfico de dispersión.

Aparecerá la ventana de gráficos mostrando el diagrama de dispersión.

(35) Toque [Cálc.] [Regresión lineal]. En el cuadro de diálogo toque [Acep.].

Aparece en pantalla el cuadro Cálculo Estadístico que muestra los valores de los parámetros de interés a, b y los parámetros estadísticos r, y MSe (Figura 11).

Figura 9 Figura 10 Figura 11

Los parámetros estadísticos indicados en la pantalla de la Figura 11 son los siguientes:

: es la fórmula del modelo de regresión lineal.

: coeficiente de regresión (pendiente).

: término constante de regresión (ordenada en el origen).



: coeficiente de correlación

: coeficiente de determinación.

: Error cuadrático medio dado por .

Observación:

El coeficiente de determinación satisface . Indica “qué tan bueno” es el ajuste de la recta

de regresión a los datos. Mientras más cercano a 1 se encuentre este valor, mejor será el ajuste. Si entonces los puntos están alineados. Por otra parte, el coeficiente de correlación r nos da una medida de qué “tan buena” es la relación entre las dos variables. Este coeficiente satisface . Mientras más cercano a 1 se encuentre el valor absoluto de este coeficiente, “más fuerte” será la relación entre las variables x e y. El diagrama de dispersión muestra un conjunto de puntos que tiende a alinearse. Si está más cercano a cero, esto indicará que la relación entre las variable es “muy débil” y que los datos presentan una alta dispersión que no les permite alinearse.

19. ¿Cuál es la ecuación de la recta de regresión lineal?

(36) Toque para trazar la recta de regresión lineal.

Aparecerá la gráfica de la recta de regresión en el diagrama de dispersión.

Observe la disposición de los puntos respecto a la recta de regresión.

Figura 12

20. ¿Qué puede concluir del gráfico mostrado en la pantalla (Figura 12) y el valor del coeficiente de determinación (alrededor de un 75%)?

21. En el problema anterior, ¿qué valor de la resistencia de corte “y” se puede predecir para un valor de diámetro de soldadura x = 1400?

Luego de trazar un gráfico de regresión se pueden calcular los valores estimados y de las variables x, y, respectivamente, en la aplicación Principal.



(37) Toque en la barra de menús [Análisis] [Trazo].

Aparecerá un cursor sobre la gráfica de la recta de regresión.

Por otra parte, en el recuadro inferior aparecerá la ecuación de la recta de regresión.

Si utiliza las teclas direccionales ► y ◄ de la tecla elíptica del teclado de la calculadora, observará que el cursor se desplaza sobre la recta de regresión indicando los valores estimados e de las variables x, e y.

(38) Toque en el recuadro inferior el botón para copiar en el portapapeles la ecuación de la recta de regresión.

(39) En la barra de herramientas toque y luego para acceder a la

aplicación Principal. Toque para maximizar la pantalla.

(40) Active el teclado matemático [mth]. Toque para copiar, en la línea de entrada, la ecuación de la recta de regresión, luego toque

para activar el comando “with”. Toque finalmente

para evaluar la ecuación.

(41) Seleccione la fracción correspondiente al valor estimado de la

resistencia de corte y. Toque para obtener dicho valor en forma decimal (Figura 14).

Figura 13

Figura 14

22. ¿Cuál es el valor estimado de la resistencia de corte para un diámetro de la soldadura x = 1400?

23. ¿Qué valor del diámetro de la soldadura “x” se puede predecir para un valor de resistencia de corte y = 300?

Para encontrar este valor se siguen los siguientes pasos:

(42) Toque .

Con esta secuencia de botones la calculadora construye una ecuación en la línea de salida. Al resolver esta ecuación para la variable x, se obtiene el valor estimado del diámetro de la soldadura.

(43) Toque [Acción] [Ecuación / Desigualdad] [solve] [ans] [Ejec.].

(44) Seleccione la fracción correspondiente al valor estimado del diámetro

de soldadura x. Toque para obtener dicho valor en forma decimal (Figura 15). Figura 15

24. ¿Cuál es el valor estimado de la resistencia de corte para un diámetro de la soldadura y = 300?



25. Un problema relacionado con la industria del vidrio.

En ciertos problemas no hay una relación afín directa entre una variable y la otra, sino entre una variable y el inverso de la otra, entre el inverso de una y el inverso de la otra, entre una y el logaritmo de la otra, etc. En este problema, la segunda columna contiene el logaritmo decimal de la viscosidad y la primera columna la temperatura x de cierto tipo de vidrio en C .

x y

1390 0.3010

1154 0.4771

984 0.6021

874 0.6990

791 0.7782

729 0.8451

La teoría prevé que el logaritmo decimal de la viscosidad es una función exponencial de la temperatura ( ) o dicho de otro modo, que el logaritmo neperiano del logaritmo decimal de la viscosidad es una función afín de la temperatura. En base a esto, encuentre la función exponencial que mejor ajusta los puntos de la tabla.

(45) Toque y luego para regresar a la aplicación Estadística y maximizar la pantalla.

(46) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para borrar las listas.

(47) Registre en list1 los valores de la variable x.

(48) Registre en list2 los valores de la variable y.

(49) Toque para trazar el diagrama de dispersión.

(50) Toque [Cálc.] [Regr. exponencial]. En el cuadro de diálogo toque [Acep.] para confirmar que se desea realizar una regresión exponencial.

Figura 16

26. ¿Cuál es la relación exponencial que existe entre las variables?

Observación:

Observe que el coeficiente de correlación es negativo. Esto indica que cuando una variable crece la otra decrece. Si el coeficiente de correlación es positivo, como en el problema precedente, tendremos que cuando una variable crece la otra también crece.

(51) Toque [Acep.].

(52) Toque para trazar la curva de regresión exponencial.

Figura 17



27. ¿De acuerdo al gráfico presentado en la figura 17 y al coeficiente de correlación calculado, qué puede concluir?

28. Sólo es posible trabajar el vidrio cuando su viscosidad está entre 7.65 y 13. Determine en qué intervalo debe mantenerse la temperatura para realizar el trabajo.

Sugerencia: Para no tener problemas de desbordamiento en la resolución de la ecuación, proceda de la siguiente manera:

Copie la ecuación en la ventana de la Aplicación Estadística y péguela en la línea de entrada de la Aplicación Principal.

Sustituya el valor para la variable y ( tenemos dos valores log(7.65) y log(13)).

Ejecute Ln(ans) para tomar logaritmo neperiano en ambos miembros de la ecuación.

Finalmente ejecute solve(ans) para obtener la solución.

29. Intervalo de variación de la temperatura:

30. Un problema de estimación de parámetros.

Queremos estimar la cantidad de masa de gas licuado en un encendedor de bolsillo de una marca determinada. Para ello se dispone de 10 encendedores usados. A cada encendedor se le determina en una balanza la cantidad de masa “y” en gramos y se le mide la altura “x” en milímetros de la columna de líquido.

Responda a cada una de las preguntas que se formulan:

x y12 10615 10920 11224 11525 11630 11935 12240 12545 12848 131

a) ¿Qué tipo de función necesariamente deben verificar las variables x, y? Explique.

b) En la aplicación Estadística, registre en la list1 las alturas x, en list2 las correspondientes masas y. Trace el diagrama de dispersión. ¿Qué ajuste le sugiere la nube de puntos?

c) ¿Esperaría, por el diagrama de dispersión, que no hubiesen errores de medición?, ¿porqué?.

d) Si el ajuste propuesto es lineal, esto es, y = ax + b, ¿qué representan físicamente en este modelo los parámetros a y b?.

e) ¿Cuál es la masa aproximada de un encendedor vacío?

f) ¿Cuál es la masa aproximada del líquido en un encendedor nuevo, si la altura del depósito es de 55 mm?

31. a)



b)

c)

d)

e)

f)

9.6 Regresión lineal con más de una variable independiente.

En la Aplicación Estadística de la calculadora Class Pad 300 PLUS se pueden realizar solamente cálculos de regresión simple, esto es con una sola variable independiente. Para realizar cálculos de regresión múltiple (con más de una variable independiente), es necesario plantear el problema utilizando los recursos del álgebra lineal. Recordemos que estos problemas de ajuste de curvas a un conjunto de puntos se reducen al problema de la proyección de un vector de un espacio euclidiano E sobre un subespacio S.

Consideremos el problema siguiente:

32. Un problema de mezclas en la construcción.

Una compañía constructora almacena, en sacos de 50 Kg, tres mezclas básicas M1, M2 y M3. Pueden prepararse mezclas de argamasa efectuando combinaciones de estas tres mezclas básicas.

Composición M1 M2 M3

Cemento 20 18 12

Arena 20 25 15

Grava 10 5 15

Cal 0 2 8

Suponga que se desea preparar una mezcla especial compuesta por una tonelada de cemento, una tonelada de arena, media tonelada de grava y 300 Kg de cal. ¿Cuántos sacos de cada mezcla básica M1, M2 y M3 se necesitarán para preparar la mezcla especial?

Si x, y, z representan el número de sacos de cada una de las mezclas básicas M1, M2 y M3 respectivamente, que se deben combinar para obtener la mezcla especial, entonces el problema se reduce a encontrar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

33. Muestre que este sistema es incompatible. Para ello realice los siguientes pasos en su calculadora:



(53) En el panel de iconos toque para acceder a la aplicación Principal.

(54) Borre la pantalla.

(55) Active el teclado 2D. Toque .

(56) Registre en la plantilla las tres primeras ecuaciones y resuelva el sistema.

Observará que esta solución no satisface la cuarta ecuación. Figura 18

El sistema anterior es equivalente al problema de establecer si el vector cuyas componentes

representan la composición de la mezcla especial, pertenece al subespacio de R4 generado por los vectores , y cuyas componentes representan las cantidades de los componentes de cada una de las tres mezclas básicas M1, M2 y M3 respectivamente. Esto es:

Dado que el sistema es incompatible se tiene que . Se plantea el problema de

encontrar el vector más cercano a

, o dicho de otro modo, debe ser mínima.

Si , y son linealmente independientes, el

vector debe ser perpendicular a cada uno de estos

vectores; de manera que se construye bajo las siguientes tres condiciones de ortogonalidad: Figura 19

; ; .

Estas condiciones generan el siguiente sistema de ecuaciones lineales compatible determinado que permite encontrar los coeficientes x, y, z de la combinación lineal :

(57) Haciendo uso del teclado 2D, asigne cada uno de los vectores columnas , , y a las variables v, a, b y c respectivamente.

(58) Registre la primera ecuación. Para ello edite en la línea de entrada la secuencia de comandos:

dotP(a,a)x+dotP(b,a)y+dotP(c,a)z=dotP(v,a)

(59) Toque [Ejec.].

(60) Registre de manera análoga las demás ecuaciones.

Figura 20



34. Escriba el sistema de ecuaciones a resolver:

(61) En el teclado virtual 2D. Toque .

(62) Copie y pegue en la plantilla cada una de las ecuaciones construidas. No olvide registrar en el recuadro inferior derecho las variables básicas x, y, z.

(63) Toque [Ejec.].

(64) En la línea de salida seleccione los valores encontrados de las variable x, y, z.

(65) Toque para obtener dichos valores en formato decimal.Figura 21

Figura 22

La solución aproximada del problema gira en torno al vector solución:

35. Si al preparar la mezcla especial se requieren un número entero de sacos.

a) De acuerdo a su intuición, ¿cuál debe ser la combinación lineal más cercana a los requerimientos en peso del vector ?

b) Complete la siguiente tabla y encuentre la mejor solución.

x y z Cemento (kg) Arena (kg) Grava (kg) Cal (kg)

18 15 20

18 15 21

18 16 20

18 16 21

19 15 20

19 15 21

19 16 20

19 16 21

x y z

18 15 20

18 15 21

18 16 20

Continúa…x y z

18 16 21



19 15 20

19 15 21

19 16 20

19 16 21

c) ¿Qué componentes se están combinando de más y qué componentes se están combinando de menos en la mezcla especial aproximada?

36. a)

c)

37. Un problema con datos recolectados en un laboratorio.

Los datos de la tabla se han obtenido experimentalmente en un laboratorio. Si se establece que la relación entre la variables es de la forma , ¿cuál es el hiperplano de regresión que mejor ajusta el conjunto de datos?

1.02 122 – 4 319.21.00 122 4 263.51.04 122 8 258.80.87 175 – 4 352.81.21 175 4 322.81.08 175 8 285.92.05 210 – 4 463.81.98 210 4 404.91.94 210 8 347.02.10 235 – 4 484.92.14 235 4 436.12.01 232 8 396.2

38. Ecuación del hiperplano de ajuste:


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