Pr Ctica 12 Con La Calculadora Class Pad 300 Plus

Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 12

PRÁCTICA 12 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS

Objetivos: En esta práctica, el estudiante tendrá la oportunidad de utilizar las aplicaciones Principal Gráficos & Tablas y Geometría del menú de Aplicaciones Incorporadas de la calculadora ClassPad 300 PLUS, para resolver algunos problemas relacionados con los autovalores y autovectores de una matriz cuadrada y algunas de sus aplicaciones.

Requisitos: Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado el tema sobre Autovalores y Autovectores de una Matriz y los Procesos de Diagonalización de una Matriz.

12.1 Polinomio característico y ecuación característica.

Los menús [Acción] e [Interactivo], disponibles en la barra de menús de la Aplicación Principal, cuentan con el menú secundario desplegable [Matriz – Calcular ►]. Este menú contiene dos comandos relacionados con el cálculo de autovalores y autovectores de una matriz. Los comandos que permiten estos cálculos son:

[eigVl] para calcular los autovalores de una matriz cuadrada.

[eigVc] para calcular la matriz con autovectores normalizados correspondientes a los autovalores encontrados por el comando [eigVl].

Antes de comenzar, realicemos previamente algunas tareas de mantenimiento en la calculadora:

Figura 1

1. Operación con la ClassPad.

(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione

para encenderla.

(2) Toque en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.

(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.

(4) Toque el botón para acceder directamente al administrador de variables. Toque main dos veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.] [Cerr.] [Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación Principal.

El polinomio característico P de una matriz cuadrada M es un polinomio de la forma

,

donde n es el orden de la matriz M, (traza de M) y .

El cálculo de sus coeficientes puede resultar un proceso bastante largo si el orden de M es relativamente grande. Con la ayuda de la calculadora podremos calcular sus coeficientes y las raíces de la ecuación característica para obtener los autovalores de M.

Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada127


2. Encuentre el polinomio característico de la matriz .

(5) Active el teclado virtual 2D. Toque y luego toque cuatro veces el

botón .

(6) Registre en la plantilla los elementos de la matriz M y asígnele la

variable matricial M, tocando .

Para hallar el polinomio característico debemos calcular .

(7) Toque [Acción] [Matriz – Calcular ►][det] .

(8) Active el teclado alfabético tocando y luego toque .

(9) Toque [Acción] [Matriz – Crear ►][ident]

.

Se obtiene en pantalla el polinomio característico en la variable .

Figura 2

3. Escriba el polinomio característico encontrado.

4. Verifique que el coeficiente del término de cuarto orden del polinomio característico, es la traza de M y que el término independiente es el determinante de M.

5. traza(M) = det(M) =

En lo que sigue obtendremos la representación gráfica del polinomio característico y sus raíces:

6. Encuentre gráficamente las raíces del polinomio característico.

(10) Toque y luego para acceder a la Aplicación Gráficos & Tablas.

(11) Toque para maximizar la ventana del editor de gráficos.

(12) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].

(13) Registre en la línea de edición y1: el polinomio característico ,

esto es, escriba (use para ello el teclado virtual mth) y oprima al final [EXE].

Figura 3



Antes de proceder a obtener la gráfica del polinomio característico, debemos configurar la pantalla de visualización.

(14) Toque el botón para acceder directamente a la ventana de visualización.

(15) Configure los siguientes parámetros:

Mín. x: – 6 ; máx. : 8 ; escala: 1 ; Mín. y : – 500 ; máx. : 500 ; escala: 50.

(16) Toque [Acep.].

(17) Toque para trazar la gráfica del polinomio característico.

(18) Toque para maximizar la ventana de gráficos.

(19) Toque [Análisis] [Trazo].

(20) En la pantalla toque las flechas ◄ ► del controlador de gráficos para mover el cursor sobre la gráfica del polinomio y encontrar sus raíces.

Encontrará que las raíces son: .

Figura 4

Como puede observar el polinomio característico tiene 5 raíces reales distintas, lo que indica que los autovectores correspondientes son linealmente independientes y la matriz M es diagonalizable.

Las raíces del polinomio característico o bien, la ecuación característica son, como sabemos, los autovalores de la matriz M.

7. En la aplicación Principal, muestre que cada uno de los autovalores de M tienen multiplicidad algebraica 1 y encuentre los autovalores de M usando el comando eigVl.

(21) En el panel de iconos toque para acceder directamente a la Aplicación Principal.

(22) Active el teclado virtual mth.

(23) Si aun mantiene el histórico, seleccione el polinomio característico encontrado en el paso (9) y cópielo. En caso contrario, registre el polinomio característico en la línea de entrada.

(24) Ubique el cursor en la línea de entrada, toque [Acción] [Transformación ►] [factor]. Seguidamente pegue el contenido del portapapeles y toque [Ejec.].

Al factorizar el polinomio encontramos:

Lo que indica que cada autovalor tiene multiplicidad algebraica 1.

(25) Toque [Acción] [Matriz – Calcular ►] [eigVl] [VAR] [CAP] [M] [Ejec.].

En la línea de salida aparecerá la lista de los autovalores de M.

Figura 5

Figura 6

12.2 Autovalores y autovectores.

Usaremos el comando [eigVc] para hallar una matriz cuyas columnas están constituidas por autovectores unitarios, asociados a cada uno de los autovalores , listados en este orden. Observe que éste es el orden listado por la calculadora (Figura 6).



(26) Toque [Acción] [Matriz – Calcular ►] [eigVc] [M] [Ejec.].

Aparecerá en pantalla la matriz indicada (Figura 7).

(27) Asigne a esta matriz la variable matricial C, tocando [ans] [] [C] [Ejec.].

Aparecerá nuevamente en pantalla la matriz C pero con los elementos presentados en fracciones.

Se pueden encontrar los autovectores de una matriz, o más bien, una base del autoespacio correspondiente a un autovalor , resolviendo la ecuación lineal homogénea .

Figura 7

8. Encuentre una base del autoespacio correspondiente al autovalor resolviendo la ecuación . Finalmente, dado que M es diagonalizable, verifique que ,

donde y C la matriz encontrada en el paso (26).

(28) Borre la pantalla.

(29) Registre la matriz ejecutando la siguiente secuencia de instrucciones:

[M] [–] [2] [Acción] [Matriz – Crear ►][ident] [5] [ ) ] [Ejec.].

(30) Active el teclado 2D activado toque

.

(31) En la matriz columna registre, de arriba hacia abajo, las variables x, y, z, u, v y toque [Ejec.].

(32) Toque .

(33) En la plantilla registre el sistema de ecuaciones:

y toque [Ejec.] (Sugerencia: copie cada uno de los primeros miembros de las ecuaciones y péguelos en la plantilla)

Se obtiene: , , , , .

Basta tomar y el vector será el

vector base del autoespacio .

(34) Finalmente, registre el producto matricial y toque [Ejec.].

(35) En la línea de salida seleccione la matriz diagonal calculada y toque

el botón .

Se obtiene la matriz . Observe que los elementos no nulos fuera de la diagonal son “ceros informáticos”, valores sumamente pequeños en valor absoluto que aparecen debido a errores de redondeo al realizar el producto

.

Figura 8

Figura 9



9.

10. Para cada una de las siguientes matrices:

a) Calcule los autovalores de la matriz indicando la multiplicidad algebraica de cada uno.

b) Encuentre los autovectores de la matriz resolviendo el sistema y el autoespacio correspondiente a cada autovalor.

c) Indique si la matriz es diagonalizable.

1) 2) 3) 4) 5)

11.

1)

2)

3)

4)



5)

12.3 Rotación de ejes coordenados en el plano.

La ecuación de segundo grado en dos variables tiene la forma:

(1)

Esta ecuación es la suma tres términos: una forma cuadrática, una forma lineal y un término constante.

De acuerdo a los valores que tomen los coeficientes A, B, C, D, E y F, la ecuación (1) representa en el plano una sección cónica o sección cónica degenerada.

Cuando el término B es nulo, por medio del proceso de completación de cuadrados en las dos variables, pueden establecerse sus elementos principales: vértices, centro, focos, eje focal, etc. Sin embargo, cuando el término B es no nulo, no es posible realizar tal completación de cuadrados. En consecuencia se requiere de otro método para determinar sus elementos principales.

El problema se resuelve realizando una rotación alrededor del origen de los ejes OX y OY del sistema coordenado rectangular OXY, a fin de que en el nuevo sistema coordenado OX´Y´, la cónica tome la nueva ecuación:

(2)

El término constante F no se ve alterado en este proceso de rotación.

Si consideramos las matrices , y , la ecuación (1) puede escribirse

en forma matricial como:

(3)

Dado que la matriz M es simétrica, ésta puede diagonalizarse ortogonalmente, sus autovalores son reales y los correspondientes autovectores son ortogonales. Sean Q la matriz diagonalizante y D la matriz

diagonal semejante a M y la matriz de las componentes del punto en el nuevo sistema

coordenado OX´Y´, entonces la relación entre X y X´ viene dada por (4) o bien, (5). Sustituyendo (4) en la ecuación (1) y simplificando, se obtiene la ecuación en forma matricial:

(6), donde o (7).

Dado que existen distintas matrices diagonalizantes Q (matriz de rotación con ) se eligen

los autovectores unitarios y de manera que las componentes de sean positivas, así

tendremos .

Si y son los autovalores respectivos de y entonces y (tenga

presente que ).

La ecuación (6) toma la forma:



(8) o bien,

(9)

La medida del ángulo de rotación de los ejes coordenados del sistema OXY viene dado por:

12. Considere la ecuación cuadrática .

a) Realice una rotación de los ejes coordenados a fin de obtener, en el nuevo sistema, la ecuación canónica de la cónica.

b) Indique tres de sus elementos principales tanto en el nuevo sistema como en el original.

c) Dibuje la cónica en el sistema original exhibiendo los nuevos ejes coordenados

La matriz simétrica asociada a la forma cuadrática es , la matriz asociada a la forma

lineal es y el término constante es .

13. Operación con la ClassPad.

(36) Borre la pantalla.

(37) Registre la matriz M y asígnele la variable matricial M.

(38) Registre la matriz N y asígnele la variable matricial N.

(39) Utilice el comando [eigVl] para calcular los autovalores de M.

En lo que sigue construiremos la matriz diagonalizante ortogonal Q y la correspondiente matriz diagonal D.

Figura 10

Observaciones:

Tenga presente en este problema, que la matriz diagonalizante ortogonal Q que se escoge convenientemente, es tal que las componentes del autovector en la primera columna, deben ser positivas y que el autovector en la segunda columna, debe tener primera componente negativa y segunda componente positiva. De manera que . Esto permite encontrar una rotación cómoda para el problema.

El comando [eigVc] no siempre presenta una matriz con estas características, pues el problema tiene múltiples soluciones. Conviene entonces, encontrar los autovectores resolviendo el sistema

para cada autovalor y hacer la escogencia de las columnas de Q a posteriori.

Una vez que se tiene la matriz Q, la matriz diagonal D se construirá colocando los autovalores en las columnas en el mismo orden que sus autovectores correspondientes.



(40) Para resuelva el sistema homogéneo

.

El conjunto solución es ; . Un vector de

componentes positivas es , al normalizarlo tenemos

. Por ser M simétrica, los autovectores

correspondientes a son ortogonales a . Tomaremos en

este caso .

Figura 11

La matriz diagonalizante ortogonal será y la correspondiente matriz diagonal

será .

(41) Registre la matriz Q y asígnele la variable matricial Q.

(42) Encuentre la matriz .

Se obtiene .

La ecuación de la cónica en el nuevo sistema es:

.

Figura 12

Al completar cuadrados se obtiene la ecuación canónica . Ecuación que

corresponde a una hipérbola con centro en el punto . Los vértices tienen coordenadas

y . La ecuación del eje focal es .

Para obtener las coordenadas de estos puntos y la ecuación del eje focal, recordemos que:

(i) ; (ii)

Dado que la ecuación del eje focal en el nuevo sistema es , en el sistema original será, de

acuerdo a (i): , o bien, . Para hallar las coordenadas del centro y los

vértices en el sistema original usamos (ii) como sigue:



(43) En la línea de entrada edite el producto matricial .y

toque [Ejec.]

Luego las coordenadas del centros y los vértices en el sistema original son respectivamente:

, y .

Figura 13

Utilizaremos la aplicación Geometría para dibujar la cónica y los nuevos ejes coordenados.

(44) En la aplicación Principal, toque para acceder a la Aplicación Geometría.

(45) En el panel de iconos toque para maximizar la ventana de la aplicaión..

(46) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar esta ventana.

(47) Toque [Preferencias ►] [ventana vis.].

(48) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

; y . Toque [Acep.].

(49) Toque [Ver] y active la rejilla entera tocando el cuadro de verificación (en caso de no estar activa).

(50) Toque varias veces hasta que aparezcan los ejes numerados.

Al terminar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 14.


(52) Active el teclado virtual mth.

(53) En la línea de entrada toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ►] [Solve]. Seguidamente registre la ecuación de la cónica, esto es,

15x^2+20xy-4(5)x+8(5)y-100=0. Toque .

Aparece la solución .

(54) Seleccione y copie únicamente el primer miembro de esta ecuación.

(55) Toque .

(56) En la barra de herramientas toque [Dibuj] [Función].

(57) En el cuadro de diálogo pegue el contenido del portapapeles y toque [Acep.].

Aparecerá la gráfica de la hipérbola en el viejo sistema.

Dado que los vectores y

constituyen la base ortonormal del nuevo sistema, el primero indica la dirección positiva del eje y el segundo la dirección positiva del

eje .

Para dibujar los nuevos ejes basta indicar, para cada uno de

Figura 14

Figura 15



ellos, dos puntos por donde pasan.

(58) Toque [Dibuj] [Recta].

(59) Toque en la pantalla el punto y luego el punto .

Aparece la gráfica del eje .

(60) Toque en la pantalla el punto y luego el punto .

Aparece la gráfica del eje .

Si queremos la gráfica del eje focal, recuerde que su ecuación es , o bien, .

(61) En la barra de herramientas toque [Dibuj] [Función].

(62) En el cuadro de diálogo, registre la expresión y toque [Acep.].

Aparecerá las gráficas de la hipérbola, los nuevos ejes coordenados y el eje focal. Figura 16

12.4 Cadenas de Markov.

14. Competencia entre productos.

Dos empresas que se identifican con las letras A y B, compiten en el mercado de los productos similares y . Generalmente, cada comprador es fiel a su proveedor pero por diversas razones, de vez en cuando, algunos consumidores compran el producto competidor. En la actualidad, A pierde cada mes el 20% de su clientela en favor del producto y B pierde el 30% de

la suya a favor del producto .

Si representa la fracción del total de compradores (considerada constante) que en el mes n,

compra el producto y la fracción de los que compran , se obtienen las siguientes relaciones:

para

Si representa la matriz columna que tiene por elementos y para . Las ecuaciones anteriores pueden escribirse como:

para , y donde .

a) Deduzca que donde representa la repartición del mercado al inicio de

las observaciones.

b) Calcule las primeras 6 potencias de M.

c) Al cabo de dos años, ¿Qué porcentaje aproximado del mercado están a favor de cada uno de los productos y ?.¿El resultado anterior es independiente de la repartición inicial del mercado?

d) Encuentre una fórmula explícita para el término general para .

e) ¿Qué puede deducir a muy largo plazo sobre la repartición, en porcentaje, del mercado a



favor de cada producto, en términos de la repartición inicial?

15. a)


(64) Registre la matriz M y asígnele la variable matricial M.

(65) Calcule cada una de las primeras seis potencias de M.

16. b)

(66) Calcule la vigésimo cuarta potencia de M.

(67) En la línea de salida seleccione la matriz obtenida.

(68) En la barra de herramientas toque el botón para ver los elementos de la matriz en formato decimal.

Figura 17

17. c)

(69) Calcule los autovalores de M.

(70) Encuentre la matriz diagonalizante (de los autovectores) de M y asígnele la variable matricial C.

(71) Asígnele la variable matricial D a la matriz diagonal correspondiente

a C. Esto es, .

(72) Verifique que .

(73) En la barra de herramientas toque el botón para ver los elementos de la matriz en formato decimal (Figura 18).

(74) Asigne a la matriz matricial K.

(75) Calcule el producto .

Figura 18



(76) Toque [Acción] [Transformación ►] [Combine] [Ans] [Ejec].

Esto nos da una fórmula para con . En

consecuencia, podemos deducir una fórmula para .

Ahora puede dar respuesta a la situación d).

(77) Asigne la variable matricial N a la matriz encontrada en el paso (76).

Figura 19

Figura 20

18. d)

Se puede deducir por simple inspección que , esto permite

responder a la situación e).

19. e)

Observación:

Existe una manera de calcular la matriz en la aplicación Principal, pero debe pasarse

cada una de las columnas de la matriz M a una lista y tomar en cada lista el límite. De esta manera puede obtenerse la matriz L.

(78) Con el cursor en la línea de entrada toque [Acción] [Matriz – Crear ►] [matToList].

(79) Toque .

Esto convierte en una lista a la primera columna en una lista.

(80) Toque .

(81) Con el cursor en el recuadro inferior de la plantilla toque Figura 21



. Ubique el cursor en el segundo recuadro inferior y toque

. Ubique el cursor en el recuadro superior y toque .

Se obtiene la lista . De manera que la primera

columna de la matriz límite L es .

(82) De manera análoga toque [Acción] [Matriz – Crear ►] [matToList].

(83) Toque .

Figura 22

(84) Calcule el límite a la nueva lista y deduzca la segunda columna de la matriz límite L.

En consecuencia, la matiz límite es .

Se deduce que (recuerde que

).

Observación:

El comando [rSolve] del submenú [Ecuación/Desigualdad ►], en cualquiera de los menús [Acción] o [Interactivo] de la aplicación Principal, permite encontrar los términos enésimos de un sistema lineal de

fórmulas recursivas como la que tenemos: para , en función de

los valores iniciales y . Ilustremos esto para el caso particular y

(85) Toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ►] [rSolve].

Los pasos que siguen permiten editar las ecuaciones

La sintaxis de este comando es:

(86) Active el teclado mth. Toque

[◄] [►] [◄] [►]

.Figura 21

Se obtiene y para .

Se deduce que y . Lo que implica que, si en el primer

mes, una persona elije el producto , a largo plazo, tendrá un 60% de preferencia por el producto

.



20. Resolución de problemas.

1. Considere la ecuación cuadrática .

a) Realice una rotación de los ejes coordenados a fin de obtener una ecuación canónica de la cónica.

b) Indique tres de sus elementos principales en el nuevo sistema.

c) Dibuje la cónica en el sistema original exhibiendo los nuevos ejes coordenados

21. a)

b)

2. Considere la matriz .

a) Encuentre una matriz diagonal semejante a M y su respectiva matriz diagonalizante ortogonal Q.

b) Encuentre una ecuación canónica de la cónica de ecuación por medio de una rotación conveniente de los ejes de coordenadas.

c) Dibuje la cónica en el nuevo sistema exhibiendo al menos tres de sus elementos principales.

d) Se define la sucesión vectorial por la fórmula recursiva:

Determine una fórmula explícita para el término general de la sucesión.

22. a)

b)

d)

3. Un psicólogo del comportamiento coloca todos los días la misma rata en una jaula con dos puertas A y B. Se ha determinado que después de pasar por primera vez por la puerta A y



recibir un choque eléctrico, la probabilidad de que la rata vuelva nuevamente a pasar por ella, al día siguiente, es 0,3. Mientras que si pasa por primera vez por la puerta B y recibe alimento, la probabilidad de que nuevamente vuelva a pasar por ella, al día siguiente, es 0,6.

a) Escriba la matriz M de transición para este proceso de Markov.

b) Calcule .

c) A largo plazo, ¿qué porcentaje de veces elegirá la puerta B, si al inicio del experimento la rata tiene la misma probabilidad de pasar por la puerta A que por la B?

d) ¿Existe a largo plazo un cambio significativo en el comportamiento de la rata?

23. a)

b)

c)

d)

4. Suponga que una agencia de renta de automóviles tiene tres oficinas: Caracas, Maracaibo y Puerto La Cruz. Un auto rentado en una oficina puede ser entregado en una de ellas. En la siguiente tabla se muestra el porcentaje de veces en que un vehículo rentado en una oficina, es entregado en la misma u otra oficina después de un período:

Suponga que se tiene un total de 1000 automóviles entre las tres oficinas.

a) Encuentre la distribución a largo plazo de estos automóviles.

b) ¿Cómo puede usar esta información una empresa que renta automóviles?

24. a)

b)


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