PPT-sesión 09

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CÁLCULO 3

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calculo 3

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CÁLCULO 3

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¿Es posible volver a conocer nuestro rostro joven?

¿Saben quien es el niño del medio?

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¿Cuál es la aplicación que hace posible

transformar el rectángulo del sistema rθ en la

figura del sistema XY ?

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LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e ingeniería utilizando las integrales dobles con ayuda del Jacobiano, de forma coherente.

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Dada una función vectorial , donde son las

funciones escalares componentes de f . Si . Definimos la

Matriz Jacobiana de f en el punto , denotado por , mediante la matriz

mn RRAf : ),...,,,( 321 mffff

miafi ,...,2,1)(

Aa )(aJf

nmn

mmm

n

n

m

ax

fa

x

fa

x

f

ax

fa

x

fa

x

f

ax

fa

x

fa

x

f

af

af

af

aJf

)(....)()(

..........................

)(....)()(

)(....)()(

)(

...

)(

)(

)(

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

MATRIZ JACOBIANA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Ejemplo 01: Dada una función vectorial

)3;3(),(;),(),(),(

:

22

21

22

yxyxyxfyxfyxfyx

RRAf

13

62

),(),(

),(),(

),(

),(),(

22

11

2

1 yx

yxy

fyx

x

f

yxy

fyx

x

f

yxf

yxfyxJf

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EL JACOBIANO

El determinante jacobiano es el determinante de la matriz jacobiana; describe la

orientación de un plano tangente a la función en un punto dado, es decir, que en

un momento dado da información importante sobre el comportamiento de la

función cerca de un punto. De esta manera, el jacobiano generaliza el gradiente

de una función de múltiples variables.

Si el determinante jacobiano en un punto es positivo, entonces la función conserva la

orientación cerca de dicho punto; si es negativo, invierte la orientación. El valor

absoluto del determinante jacobiano nos da el factor por el cual la función expande o

contrae su volúmen cerca del punto en cuestión.

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Los nombres de estos conceptos son en honor al matemático Carl Gustav Jacob Jacobi.

El Jacobiano también puede ser pensado como la descripción de la cantidad de "estiramiento" que impone una transformación.

Si y , entonces el jacobiano de x y y con respecto a u y

v, denotado por , es

),( vugx ),( vuhy

),(

),(),(

vu

yxvuJ

v

x

u

y

v

y

u

x

v

y

u

y

v

x

u

x

vu

yxvuJ

),(

),(),(

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Si Ruv es una región compacta y conexa en el plano contenida en un conjunto abierto A

de R2. Sea con r(u,v)=(x(u,v); y(u,v)), una función continua con derivadas

parciales continuas tal que r es invertible en el interior de Ruv y es no

nulo en el interior de Ruv . Sea Ruv=r(Ruv) y una función continua.

Entonces,

2: RAr

RRf xy :

Teorema(cambio de variable)

),(

),(),(

vu

yxvuJ

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Hallar el jacobiano para el cambio de variables definido por: x = rcosƟ; y = rsenƟ

Ejemplo 01

Solución De acuerdo con la definición de un jacobiano, se obtiene:

rrsen

rsen

y

r

y

x

r

x

r

yx

cos

cosdet

),(

),(

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Ejemplo 02

Sea R la región limitada o acotada por las rectas: x-2y=0; x-2y=-4; x+y=4; x+y=1. Como se muestra en la figura. Hallar una transformación T de una región S a R tal que S sea una región rectangular (con lados paralelos a los ejes u o v).

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Ejemplo 03

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BIBLIOGRAFÍA

# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL

1 515.33 PURC

PURCELL, EDWIN J.

Cálculo Diferencial E Integral

Pearson Educación

2 515

STEW/M 2002

STEWART, JAMES

Cálculo Multivariable

Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson

3 515 HOFF/C

2006

HOFFMANN, LAURENCE D.

Cálculo Aplicado Para Administración,

Economía Y Ciencias Sociales

Octava edición, México

2007,.Mcgrawhill