Diapositiva 1

SERIES DE TIEMPO

Ramon Custodio Frank

1En este apunte se da una visin general sobre algunos procedimientos en el anlisis en series de tiempo. Inicialmente presentamos el problema general de prediccin, luego presentamos mtodos clsicos ingenuos de suavizamiento en el anlisis de series de tiempo.

2 INTRODUCCION Una de las motivaciones para el estudio del tema surge desde tiempos remotos donde una de las principales inquietudes del hombre ha sido estimar el futuro utilizando informacin del presente y del pasado.

Esto se llama predecir.

Es evidente que las diversas instituciones requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenmenos con el fin de planificar, preveer o prevenir.3La Estadstica ha desarrollado teora y mtodos que apuntan a resolver el problema de prediccin.

Sin embargo, este no puede ser resuelto por argumentos puramente matemticos, debe ser el resultado de una combinacin matemtico-especialista.

La prediccin es una Ciencia y es un Arte, y la mayor dificultad es la mala comunicacin entre los analistas de informacin y de prediccin y los usuarios de stas.4DEFINICION BSICA DE SERIE DE TIEMPO Una serie de tiempo es una coleccin o conjunto de mediciones de cierto fenmeno o experimento registrados secuencialmente en el tiempo, en forma equiespaciada (a intevalos de tiempo iguales) . 5Las observaciones de una serie de tiempo sern denotadas por

Y(t1), Y(t2) ,... , Y(tn)

donde Y(ti) es el valor tomado por el proceso en el instante ti. 6Ejemplos de series de tiempo

Economa: Precios de un articulo, tasas de desempleo, tasa de inflacin, ndice de precios, precio del dlar, precio del cobre, precios de acciones, ingreso nacional bruto, etc. 2. Meteorologa: Cantidad de agua cada, temperatura mxima diaria, Velocidad del viento (energa elica), energa solar, etc.

3. Geofsica: Series sismolgicas.7Ejemplos de series de tiempo

4. Qumica: Viscosidad de un proceso, temperatura de un proceso.

5. Demografa: Tasas de natalidad, tasas de mortalidad.

6. Medicina: Electrocardiograma, electroencfalograma.

7. Marketing: Series de demanda, gastos, utilidades, ventas, ofertas.8Ejemplos de series de tiempo8. Telecomunicaciones: Anlisis de seales.

9. Transporte: Series de trfico.

...y muchos otros.9ANALISIS GRAFICO DE UNA SERIE DE TIEMPOPor muy simple que parezca, el paso ms importante en el anlisis de series de tiempo consiste en graficar la serie. 10Esto debe hacerse siempre, independiente de cun simples o complejos sean los procedimientos que se emplean posteriormente.

11El grfico de la serie permitir detectar los siguientes elementos:

a)Outliers: Se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal.

Si se sospecha que una observacin es un outliers, se debe reunir informacin adicional sobre posibles factores que afectaron el proceso.

12Por ejemplo, en un estudio de la produccin diaria de cobre se present la siguiente situacin:

Outliers

13b) TendenciasLa tendencia representa el comportamiento predominante de la serie.

Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un extenso perodo de tiempo. 14Tendencia

15c) Variaciones ciclicas o estacionales

La variacin estacional representa un movimiento peridico de la serie de tiempo.

La duracin del perodo puede ser un ao, un trimestre, un mes, un da, etc.16Variaciones cclicas o estacionales

17Se suele hacer una distincin entre componentes cclicas y estacionarias.

Estas ltimas ocurren con perodos identificables, como la estacionalidad del empleo, o de la venta de ciertos productos, cuyo perodo es un ao.

El trmino variacin cclica se suele referir a ciclos grandes, cuyo perodo no es atribuible a alguna causa.

Por ejemplo, fenmenos climticos, que tienen ciclos que duran varios aos.18Las tendencias y estacionalidades pueden darse simultneamente.

19d) Variaciones aleatorias.Los movimientos irregulares (al azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cclicas.20El anlisis grfico de los datos se acostumbra a resumir en una tabla como la que siguiente:

21Ejercicios:1)Para cada una de las series graficadas a continuacin realizar al anlisis grfico completando la tabla de familiarizacin.

Serie A Serie B22Construya la grafica y la tabla de familiarizacin para la siguiente serie:

Planificacin de un casinoObjetivos: Planificacin de compra de alimentos y necesidades de servicio para satisfacer la demanda de almuerzo en un gran casino.23Serie: Nmero de almuerzos servidos por mes en el casino II de la Universidad de Campinas-Brasil para el perodo de enero 1997 a marzo de 2000, de acuerdo a la administracin general del restaurante.

24 Modelos Clsicos Un modelo clsico de series de tiempo, supone que la serie Y(1), ..., Y(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes:

tendencia, componente estacional, trmino de error aleatorio.251.Y(t) = T(t)+E(t)+A(t) Modelo aditivo2.Y(t) = T(t) E(t) A(t) Modelo multiplicativo

donde:T: Tendencia de la serie. E: Variacin Estacional.A: Variaciones aleatorias.

El grfico siguiente muestra la serie y sus componentes, para el caso aditivo. 26El problema que se presenta es modelar adecuadamente las componentes de la serie.

27ESTIMACIN DE LA TENDENCIAHay varios mtodos para estimar la tendencia T(t), uno de ellos es utilizar un modelo de regresin lineal.

Se pueden utilizar otros tipos de regresiones, como regresin cuadrtica, logstica, exponencial, entre otros. 28EJEMPLO 1: La tabla presenta parte de los datos de una serie de energa elctrica. Son 24 datos mensuales referentes a los aos 1977 a 1978. Consumo de Energa Elctrica

29Grfico de la serie:30El modelo de tendencia propuesto es un modelo de regresin lineal:Y(t) = 0 + 1 t + A(t)

Recurriendo al mtodo de mnimos cuadrados se estiman los parmetros y se obtiene

31La serie sin tendencia se de la siguiente manera:Se observa un ciclo que dura casi todo el perodo observado, de 24 meses.32ESTIMACION DE LA COMPONENTE ESTACIONAL

Para estimarla, se debe conocer el perodo, y se deben tener datos de varios perodos consecutivos.

Por ejemplo, datos mensuales, estacionalidad de un ao.

El ejemplo siguiente ilustra la forma de obtener la componente estacional. 33EJEMPLO 2.

Indicador Mensual de Actividad Econmica (IMACEC). Base del ndice : 1996=100

Corresponde al nuevo Indicador Mensual de Actividad Econmica (Imacec), estructurado a base de la matriz insumo-producto de 1996. La cobertura de este indicador comprende casi la totalidad de las actividades econmicas incluidas en el PIB.

Las cifras de 2000 y 2001 son provisionales.Las cifras de 2002 y 2003 son preliminares.34

35

36Se estima la tendencia por el mtodo de mnimos cuadrados, de regresin lineal

dando el siguiente resultado:Intercepto a = 100.3. Corresponde al valor de partida.

Pendiente b = 0.253 . Corresponde al aumento medio mensual.

Coeficiente de determinacin R2 = 0.74, que indica un ajuste moderadamente bueno.

El error estndar de los errores se estim en 3.98.

37La recta de regresin correspondiente a la tendencia se muestra en el siguiente grfico:

38Asumiremos un modelo clsico aditivo.

Entonces para obtener una estimacin de la estacionalidad, restamos los valores ajustados de la tendencia a los datos, obteniendo una serie sin tendencia.

Luego promediamos todos los valores de enero, los de febrero, los de marzo, etc., obteniendo doce valores mensuales promedio: 39

40Se observan valores altos a partir de marzo, y bajos en torno a septiembre.

Si recomponemos la serie con tendencia y componente cclica, sin la componente aleatoria, tenemos la situacin que se ilustra en el grfico siguiente:

41Con esto se pueden hacer predicciones futuras, extrapolando la recta de regresin y sumndole la componente cclica del mes correspondiente.

Dentro de un rango limitado, estas predicciones pueden ser acertadas.

A continuacin se muestra el grfico de la componente aleatoria sola. 42

Si se usa el modelo multiplicativo, el procedimiento es parecido.

Nota: Junto con las series de datos como esta, el Banco Central tambin entrega series sin tendencia y desestacionalizadas.43SUAVIZAMIENTO DE SERIES DE TIEMPOUna forma de visualizar la tendencia, es mediante suavizamiento de la serie.

La idea central es definir a partir de la serie observada una nueva serie que filtra o suaviza los efectos ajenos a la tendencia (estacionalidad, efectos aleatorios), de manera que podamos visualizar la tendencia.44Serie original Serie suavizada

45Promedio Mvil. Este mtodo de suavizamiento es uno de los ms usados para describir la tendencia.

Consiste en fijar un nmero k, preferentemente impar, como 3, 5, 7, etc., y calcular los promedios de todos los grupos de k trminos consecutivos de la serie.

Se obtiene una nueva serie suavizada por promedios mviles de orden k.

De este modo se tienden a anular las variaciones aleatorias.46Por ejemplo, consideremos una serie de seis observaciones y fijemos el orden k=3. Entonces los trminos de la serie suavizada sonNtese que Z(1) y Z(6) no se pueden calcular. En general, se pierden k/2 trminos en cada extremo.

47EJEMPLO 3.Precio del dlar observado, das mircoles, enero a junio ao 2003.Fuente: Banco Central de Chile.

En las columnas 3 a 6, se entregan los promedios mviles de orden 3, 5, 7 y 9, respectivamente.48

49La serie original aparece graficada a continuacin.

50Los grficos siguientes corresponden a las medias mviles. Se observa cmo a medida que aumenta el orden, el efecto del suavizado es mayor. Pero tambin se pierden ms datos en los extremos.

51El suavizamiento de media mvil es muy fcil de aplicar, permite visualizar la tendencia de la serie. Pero tiene dos inconvenientes:

No es posible obtener estimaciones de la tendencia en extremos y no entrega un medio para hacer predicciones.Si la serie presenta un efecto estacional de perodo k, es conveniente aplicar un suavizamiento de media mvil de orden k.

En tal caso se elimina el efecto estacional, junto con la variacin aleatoria, observndose solamente la tendencia.52SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL

Este modelo se basa en que una observacin suavizada, en tiempo t, es un promedio ponderado entre el valor actual de la serie original y el valor de la serie suavizada, en el tiempo inmediatamente anterior.

Si Y(t) representa la serie de tiempo original, y Z(t) la serie de tiempo suavizada, entonces lo anterior se puede escribir

en que a es un nmero entre 0 y 1.

53Si a es cercano a 1, la serie suavizada pondera ms fuertemente el valor original, luego ambas se parecen, y en consecuencia, el suavizamiento es poco. Si a se acerca a 1/2, se ponderan moderadamente la serie original y la suavizada, por lo que el suavizamiento es moderado.Si a es cercano a cero, (1-a) es cercano a 1, y la serie suavizada pondera ms fuertemente el valor suavizado inmediatamente anterior, por lo que el suavizado es importante. 54Consecuencia de la frmula anterior es que la serie suavizada se puede expresar como

Es decir, cada trmino suavizado es un promedio ponderado de todos los trminos histricos de la serie original, con ponderaciones etc.

55Como a est entre 0 y 1, estos nmeros se van achicando a medida que avanzan.

Eso significa que a medida que nos alejamos hacia el pasado, los trmino van influyendo cada vez menos en el trmino presente.

La rapidez con que disminuye la influencia es mayor mientras ms grande (cercano a 1) es a.Los grficos siguientes muestran las ponderaciones de los trminos hacia el pasado, cuando a = 0.3 y cuando a = 0.756

57Criterio para elegir a:

Si la serie vara lentamente, se eligen valores de a cercanos a 0. (valor tpico a = 0.3).

En cambio, si vara bruscamente, se eligen valores de a cercanos a 1 (valor tpico a = 0.7). 58El mtodo de suavizamiento exponencial sirve para hacer predicciones, pero slo de un valor, siguiente al ltimo valor observado.

Si se tienen observaciones Y(t), Y(t-1), Y(t-2), ... Y(t-k).

Si tratramos de obtener el trmino Z(n+1) con la frmula para el suavizamiento exponencial, nos dara

59Si tratramos de obtener el trmino Z(n+1) con la frmula para el suavizamiento exponencial, nos dara

pero como no tenemos una observacin Y(n+1), la aproximamos por Y(n).

Por lo tanto podemos hacer una prediccin para Y(n+1) con la frmula del suavizamiento exponencial modificada de la siguiente forma: 60Si se intentara hacer ms de una prediccin, dara el mismo valor, por eso que slo se usa para predecir un valor a la vez. pero como no tenemos una observacin Y(n+1), la aproximamos por Y(n).

Por lo tanto podemos hacer una prediccin para Y(n+1) con la frmula del suavizamiento exponencial modificada de la siguiente forma:

61Sin embargo, en la prctica, cada vez que aparece una nueva observacin real, se actualiza la frmula anterior, pera predecir la siguiente.

As, cada vez que el tiempo avanza en una unidad, se predice un nuevo valor a futuro. El valor de a se que sirve mejor se suele buscar por un sistema de prueba y error, hasta encontrar el que permite predecir mejor. 62EJEMPLO 4En la pgina siguiente se muestra el Producto Interno Bruto trimestral de Chile, desde el primer trimestre de 1996 hasta el primer trimestre de 2003, en millones de pesos.

Fuente: Banco Central de Chile.63

64Junto a los datos se muestran tres suavizamientos exponenciales con a=0.3, a=0.5 y a=0.7.

Como no hay datos indefinidamente hacia el pasado, los primeros trminos de la serie sauvizada salen algo distorsionados, pues no consideran suficientes trminos hacia atrs. 65La forma de calcular es la siguiente, partiendo del primer trimestre 1996, que llamaremos t=1 :

Z(1) = X(1)Z(2) = a Y(2)+(1-a) Z(1)Z(3) = a Y(3)+(1-a) Z(2)etc.66Como se ve, Z(1) no contiene toda la historia hacia atrs, Z(2) slo un termino hacia el pasado, Z(3) slo 2, etc.

Los grficos de la serie y los tres suavizamientos se muestran a continuacin.67En los grficos se puede apreciar que cuando la constante a es pequea, cercana a cero, el suavizamiento es significativo.

A medida que aumenta a acercndose a 1, el suavizamiento es menos y la serie suavizada se parece ms a la serie original.68Se dispone de 29 datos. Es posible hacer una prediccin del trmino de orden 30, que corresponde al segundo trimestre de 2003, mediante la frmula Y(30) = a Y(29) + (1-a) Z(29)En el caso de a=0.3, se tieneY(30) = 0.3 * 9621810 + 0.7 * 9386688 = 9457224 millones de pesos.En el caso a=0.5, la prediccin da 9554055 millones de pesos. Y en el caso a=0.7, se obtiene el valor 9600122 millones. Observando el grfico, cul de las tres predicciones parece ser mejor ?69FIN70 Tabla de familiarizacin

EstacionalidadTendenciaAleatoria

Alta

Media

Baja

tY(t)tY(t)tY(t)

12063614281832763167

21870815566322842520

36294416566412950572

45027217565553053875

56937518571853127233

65005619339063257942

72060420672613347610

85494721522323461738

95057622582323551168

105042523457263626370

114420224245503742964

122760425309543842748

132879126342953962390

tY(t)tY(t)

184,613110,3

289,914118,1

381,915116,5

495,416134,2

591,217134,7

689,818144,8

789,719144,4

897,920159,2

9103,421168,2

10107,622175,2

11120,423174,5

12109,624173,7