MANUAL DE CALCULO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO Aplicaciones de la Norma DIN 1045 Ing. J. Pozzi Azzaro PROLOGO Ese polvo fino tan fino de apariencia simple y extraordinarias propiedades que denominan cemento Prtland, es el constituyente fundamental del material constructivo ms utilizado en el mundo: el hormign. Su desarrollo ha sido tan grande que domina y caracteriza a la ingeniera y la arquitectura de este siglo y, ha de proseguir pues no existe ligante hidrulico de mejores caractersticas tcnico econmicas. Hace un siglo y medio el cemento dio origen a, al asociarse con otros productos, al hormign, y cuando hace poco ms de de una centuria logr combinarse en forma tcnicamente compatible el hormign con el acero, naci el hormign armado, material estructural por excelencia que conjuga las cualidades de un material libre de formas o estructuras preconcebidas con una capacidad ilimitada para responder positivamente a la imaginacin creadora de los proyectistas y a ala fuerza ejecutiva de los constructores. La constante investigacin de las propiedades y del comportamiento del hormign dio nacimiento ms adelante al hormign pretensado, en el cual la unin del material y de las fuerzas permiti a este nuevo producto tomar las formas ms diversas en estructuras y elementos y aplicar nuevas tcnicas en la construccin. El uso de este noble producto, el hormign armado, posibilit al hombre avanzar espectacularmente en la ejecucin de obras de ingeniera y, como consecuencia de este programa ininterrumpido, los tcnicos investigaron cuidadosamente la forma en que este material reaccionaba antes las nuevas exigencias que le planteaban y fueron desarrollando la bsqueda de otras aplicaciones compatibles con las cualidades del producto. Paulatinamente se fue afinando la teora del clculo del hormign para determinar no slo la economicidad de su uso sino tambin la seguridad de su utilizacin. El Instituto del cemento Prtland Argentino, dentro de su misin especfica de promover el perfeccionamiento ya la difusin del uso del cemento Prtland . Ha estado en la vanguardia en cuanto se refiere a la experimentacin del cemento Prtland y del hormign armado. En numerosas publicaciones difundi estudios e investigaciones sobre este material y sus utilizaciones. Por ello sigui de cerca la aparicin y desarrollo de la teora del clculo del hormign armado en estados lmites que dio origen, entre otras, a la nueva Norma DIN 1045. Dentro de aquel esquema y de la responsabilidad que le cabe, el Instituto del Cemento Prtland Argentino entendi necesario aportar la contribucin a los profesionales y tcnicos de la construccin para que pudieran calcular al hormign armado en sus realizaciones con sujecin a la nueva norma que adquira plena vigencia en el mundo entero. Por eso resolvi encomendar a su Jefe de la Seccin Estudios Especiales Ingeniero Civil Osvaldo J. Pozzi Azzaro, la realizacin de un trabajo que, reunido en un libro de consulta accesible, permitiera dar respuestas a las preguntas que el uso del hormign armado ajustado a las reglas de la norma DIN 1045 planteaban a los profesionales de la construccin. As que puesto en marcha el proyecto que ahora culmina con la presentacin de este Manual de Clculo de Estructuras de Hormign Armado. Aplicaciones de la Norma DIN 1045 ^que el Instituto del Cemento Prtland Argentino edita integrando su extenso catlogo de publicaciones tcnicas, para uso de profesionales en actividad y tambin de estudiantes avanzados de las carreras de ingeniera y de arquitectura de nuestro pas. De esta manera el Instituto del Cemento Prtland Argentino contina su labor de difusin de la tecnologa afn con su actividad especfica y contribuye al constante inters de profesionales y tcnicos por estos temas. Deseamos agradecer a la Comisin Alemana de Hormign Armado que nos ha permitido reproducir en este Manual parte de las tablas y bacos que integraron la publicacin de aquel origen dedicado a la Norma DIN 1045. Buenos Aires, diciembre de 1980 Ingeniero Civil Carlos Ernesto Duvoy Director Tcnico del Instituto del Cemento Prtland Argentino

CAPITULO I

1. HORMIGON 1.1 INTRODUCCION El hormign est constituido por materiales inertes (agregados fino y grueso) que se mantienen unidos entre s mediante una pasta endurecida de cemento y agua. Los agregados constituyen la parte pasiva de la mezcla, mientras que la pasta de cemento y agua es el elemento activo o ligante que al endurecerse, confiere al conjunto una consistencia ptrea. Esta propiedad ligante y endurecedora la desarrolla el elemento al entrar en contacto con agua. Se producen entonces en el seno de la masa, reacciones qumicas exotrmicas complejas que transforman la pasta en un slido que adhiere y envuelve a las partculas de los agregados, mantenindolas unidos y comunicando al conjunto, en mayor o menor grado, las propiedades caractersticas del hormign: resistencia y durabilidad. Estas caractersticas del hormign no son independientes entre s, sino que estn estrecha y mutuamente ligadas, dependiendo fundamentalmente de la relacin agua cemento, de la calidad de los materiales utilizados, de sus proporciones relativas y de la forma como se ha efectuado su preparacin, colocacin y curado. 1.2 CEMENTO PORTLAND En las estructuras corrientes de hormign armado, se utilizan fundamentalmente dos tipos de cemento: a) cemento Prtland normal (IRAM 50 000) b) cemento Prtland de alta resistencia inicial (IRAM 50 001) Ambos tipos de cemento son de fraguado normal, diferencindose en que el segundo, como su nombre lo indica, adquiere elevadas resistencias a edad temprana. Con el transcurso del tiempo, las resistencias de uno y otro tienden a igualarse siendo la resistencia final prcticamente la misma. Generalmente se expende en bolsas de 50 kg o a granel. Cuando el almacenamiento es relativamente prolongado, suele ocurrir que en las bolsas ubicadas en la parte inferior de las estibas, por efecto de la gran compresin, el cemento aparece apelmazado y como si hubiera sufrido un principio de fraguado. Existen otros tipos de cementos como ser el cemento portland puzolnico, el cemento Prtland de alta resistencia a los sulfatos y otros cementos especiales. 1.3 AGREGADOS FINOS Los agregados finos los constituyen las arenas, que pueden ser naturales o artificiales. Las arenas naturales, de origen silceo, se encuentran en los lechos de los ros o costas martimas o en yacimientos terrestres, denominndose en tal caso arena de cantera. La arena artificial proviene de la trituracin de rocas, generalmente de origen grantico, razn por la cual se la denomina arena grantica o de trituracin. Las arenas naturales poseen granos ms bien redondeados, mientras que las artificiales presentan granos con aristas agudas. Las primeras conducen a hormigones ms fcilmente trabajables que las segundas. De acuerdo con su granulometra, las arenas se clasifican en finas, medianas y grandes, utilizndose para su clasificacin el mdulo de fineza que es un nmero obtenido sumando los porcentajes de arena retenidos por una serie preestablecida de tamices IRAM y dividiendo dicha suma por 100. Las arenas se consideran finas cuando su mdulo de fineza es inferior a 2,6; si el mismo se encuentra comprendido entre 2,6 y 2,0 se las califica como medianas y si excede de este ltimo valor, como arenas gruesas. Para estructuras, el mdulo de finura ms apropiado es 2,75 (que corresponde al tipo conocido comercialmente como arena oriental gruesa pero es posible obtener hormigones de buena calidad con arenas de cualquier mdulo de finura, siempre que cumplan con los lmites (curvas granulomtricas) establecidos por la IRAM 1627 y se utiliza una dosificacin correcta. Las arenas deben ser limpias, libres de impurezas orgnicas y partculas de arcilla o limo, como as tambin de inclusiones salinas. En algunos casos es posible mejorar su calidad mediante el lavado. 1.4 AGREGADOS GRUESOS Los agregados gruesos pueden ser de origen natural (canto rodado) o artificial (piedra partida), provenientes estos ltimos de la trituracin de rocas, generalmente granticas. El agregado grueso debe ser sano, no friable, libre de limo o impurezas orgnicas y sus partculas no deben ser aplanadas, sino ms bien, afectar formas polidricas.

El tamao mximo del agregado grueso queda limitado por el espesor de los distintos elementos que constituyen una estructura. En general, no deber superar 1/3 de la menor dimensin y si la armadura es muy densa, se limitar su tamao a de dicha dimensin. 1.5 AGUA DE AMASADO El agua de amasado debe ser limpia y exenta de cidos, lcalis o sustancias orgnicas en descomposicin. En principio, cada agua potable es apta para el amasado del hormign. Cuando existen dudas acerca de la conveniencia de utilizar un tipo de agua determinado, conviene preparar probetas de morteros con el agua cuestionada y con agua de aptitud reconocida y comparar las correspondientes resistencias a la compresin. Si la resistencia del hormign preparado con el agua de dudosa calidad no es inferior al 30 % de la resistencia de la probeta testigo, el agua puede utilizarse sin mayor inconveniente.

1.6 RESISTENCIA DEL HORMIGON. FACTORES INFLUYENTES La resistencia a la compresin del hormign, que define su calidad, depende de varios factores: a) edad; b) relacin agua cemento; c) dosificacin; d) forma de curado; e) calidad de sus componentes; f) temperatura a la cual se ha producido el fraguado. El aumento de resistencia con la edad se efecta rpidamente al principio, crecimiento que se hace menor a partir de los 28 das. Prcticamente puede decirse que al cabo de un ao el hormign ha alcanzado su resistencia final. A efectos de establecer la calidad de un hormign, los reglamentos exigen que se determine su resistencia a los 28 das. Los ensayos se efectan en dos tipos de probetas: cbicas o cilndricas. Las probetas cbicas tienen 20 cm de arista y las cilndricas 15 cm de dimetro y 30 cm de altura. Los valores obtenidos con ambos tipos de probetas difieren entre s, siendo mayor la resistencia cbica w que la cilndrica c. La relacin entre ambas resistencias es aproximadamente: w 150 kg/cm2 w : 250 a 550 kg/cm2 w = 1,25 c w = 1,18 c

En nuestro pas se utilizan las probetas cilndricas de 15 cm de dimetro y 30 cm de altura. La relacin agua cemento en peso es uno de los factores que influyen en la resistencia de los hormigones. En el grfico de la Figura I 1 puede apreciarse cmo vara esta ltima en funcin de la relacin agua cemento.

La dosificacin influye en el sentido que, si se utilizan proporciones de cemento y agregados que no corresponden a las caractersticas granulomtricas de estos ltimos, se obtienen hormigones poco compactos y porosos, de baja calidad. El curado tiene una gran importancia, por cuanto durante el perodo inicial de endurecimiento (primeros 7 das), es imprescindible que el hormign posea la humedad necesaria para que el proceso de endurecimiento se realice en condiciones ptimas. Por ello conviene mantener al hormign, durante el perodo mencionado, al abrigo de la accin directa de los rayos solares y en lo posible constantemente hmedo. La influencia de la calidad de los componentes es evidente por s mima y no necesita mayores comentarios. La temperatura a que tiene lugar el proceso de fraguado e inicial de endurecimiento, tiene su importancia. A medida que la misma disminuye, el fraguado se hace ms lento, siendo el lmite inferior de + 5 C, temperatura para la cual prcticamente el fraguado se detiene. Aumentando la temperatura, el fraguado y endurecimiento inicial se aceleran, lo que permite obtener resistencias ms elevadas a edad temprana, pero siempre que el aumento de temperatura no signifique una prdida de humedad, por cuanto ello tendra efectos contraproducentes. 1.6 TRABAJABILIDAD Y CONSISTENCIA DEL HORMIGOB Se entiende por trabajabilidad la mayor o menor facilidad de colocacin y terminacin en una determinada estructura. Para cada tipo o caracterstica de obra existe una trabajabilidad adecuada, que depende del tamao y forma de los elementos que la constituyen, disposicin y cantidad de la armadura y de los mtodos de colocacin y compactacin que se empelan. El trmino consistencia define el estado de fluidez de un hormign fresco y comprende toda la escala posible, desde la mezcla ms fluida a la ms seca. Se denomina consistencia plstica del hormign aqulla que hace que este ltimo pueda ser fcilmente moldeado en una masa compacta y densa, pero que le permite cambiar lentamente de forma si se retira el molde. Las mezclas muy secas o muy fluidas no responden a ese concepto, pues las primeras no pueden ser compactadas adecuadamente con los medios ordinarios mientras las segundas segregan al manipularse, esto es: pierden su homogeneidad, por asentamiento de los agregados gruesos. Una forma de apreciar la consistencia la constituye el ensayo del asentamiento mediante el cono de Abrams. Dicho ensayo no proporciona una medida absoluta de la trabajabilidad, pero para hormigones con agregados y condiciones de obra similares permite apreciar el contenido de agua. Es aconsejable, tanto desde el `punto de vista de la calidad del hormign como de su economa, proyectar las mezclas con el menor asentamiento compatible con su apropiada colocacin. De esta manera se podr alcanzar la mnima relacin agua cemento para un mismo contenido de cemento. 1.8 DOSIFICACION DE HORMIGONES Las proporciones de la mezcla deben responder, por una parte, a la calidad del hormign que se requiere en cada caso (resistencia a los distintos esfuerzos y a la accin de los agentes agresivos) y, por otra parte, a las condiciones de colocacin en obra, que exigen una cierta trabajabilidad de la misma. La dosificacin es correcta cuando permite satisfacer ambos requisitos con la mxima economa de material.

Existen diversos mtodos para la dosificacin de hormigones cuya descripcin y forma de aplicacin escapan a los alcances de esta publicacin.

1.9 ANALISIS DEL DIAGRAMA TENSION _ DEFORMACION DEL HORMIGON Del estudio de los diagramas b b de la Figura I 2 obtenidos al ensayar a compresin, probetas cilndricas de 15 cm de dimetro y 30 cm de altura, para hormigones de distinta calidad surgen las siguientes conclusiones:

b = tensin de compresin en el hormign b = deformacin especfica del hormign (acortamiento) 1) Los diagramas son aproximadamente lineales hasta valores de b del orden de la mitad del valor de rotura br, vale decir para b 0,5 br la relacin entre tensiones y deformaciones del hormign se puede expresar: b = b lb b = mdulo de elasticidad longitudinal del hormign. 2) El valor de b, representado por la tangente del ngulo que forma la recta tangente a la curva b b en el origen con el eje de abscisas, es mayor para hormigones ms resistentes. 3) Las deformaciones b mximas alcanzan valores entre 1,5 y 2 % siendo en general independientes de la calidad del hormign. Dado que en esta publicacin se adopta como norma de clculo la NORMA DIN 1045 (ed. 1978), utilizaremos en adelante la nomenclatura alemana en todo el planteo y desarrollo de este captulo y los siguientes.

1. 10 DEFINICION DE RESISTENCIA MEDIA Y RESISTENCIA CARACTERISTICA Dado un conjunto de n probetas cilndricas, hechas con hormign de una cierta calidad, las cuales son ensayadas a compresin, se obtendr un conjunto de n valores de la tensin de rotura del material generalmente distintos entre s. Se define como resistencia media de dicho hormign al valor: 1 cM = --------- ci

n donde cM = resistencia media n = nmero de probetas cilndricas ci = tensin de rotura para cada probeta La resistencia media es un valor que representa mejor la calidad del hormign que cualquiera de los resultados aislados de cada probeta, sin embargo no da una idea precisa de la homogeneidad de la calidad del hormign. Veamos estos ejemplos. EJEMPLO 1 se hicieron 4 ensayos con los siguientes resultados: c1 = 230 kg/cm2 c2 = 280 kg/cm2 c3 = 310 kg/cm2 c4 = 340 kg/cm2 La resistencia media resulta: EJEMPLO 2 c1 = 280 kg/cm2 c2 = 285 kg/cm2 c3 = 290 kg/cm2 c4 = 305 kg/cm2 y la resistencia media resulta: cM = 290 kg/cm2 cM = 290 kg/cm2

En ambos ejemplos se obtiene igual resistencia media pero el segundo hormign es de mejor calidad que el primero, ya que a igualdad de resistencia media la dispersin de valores individuales es menor. Con el propsito de tener en cuenta este problema se introdujo el concepto de resistencia caracterstica del hormign, que se define: cN = cM ( 1 k.) donde: cN : resistencia caracterstica del hormign : desviacin o variacin

= 1/n -1 x (ci/cM 1)2

para n < 30

= 1/n x (ci/cM 1)2

para n 30

Este valor aumenta cuanto mayor es la dispersin de los resultados ci , dando una idea de ka calidad del hormign ejecutado; su valor debe oscilar entre 0,10 y 0,25 aproximadamente. El factor k que aparece en la expresin de cM surge de la teora de probabilidades e implica que la resistencia caracterstica del hormign es un valor tal que es igualado o superado, como mnimo, por el 95 % de las probetas ensayadas. El valor de k es funcin del nmero de probetas ensayadas; en la Figura I 3 se indican los valores de k. El nmero de probetas a ensayar debe ser suficientemente grande, en general ms de 30, para que los resultados sean representativos. Veamos ahora, a travs de los 2 ejemplos citados, el clculo de la resistencia caracterstica cN: EJEMPLO 1 cM = 290 kg/cm2 = 0,14

de la tabla de la Figura I 3 se obtiene para (4) cuatro probetas: k = 2,35 Luego EJEMPLO 2 cM = 290 kg/cm2 = 0,03 k = 2,35 resulta: cN = 270 kg/cm2 cN = 195 kg/cm2

Como se observa, el hormign del segundo ejemplo es de mejor calidad, pues su resistencia caracterstica es mayor debido a la baja dispersin de los wi. En la tabla de la figura I 4 se observan los valores de Eb mdulo de elasticidad longitudinal del hormign y los valores de cM resistencia media cilndrica correspondientes a distintos valores de desviacin para los hormigones ms utilizados.

1.11 ALGUNOS FENOMENOS EN EL HORMIGON

El hormign es un material pseudoslido, en el cual se encuentran partculas en estado slido, rodeadas por intersticios ocupados por aire y agua, vale decir que es un material formado por las tres fases: slido, lquida y gaseosa. Sealaremos brevemente algunas de las deformaciones propias del hormign. a) Hinchamiento El hormign, sumergido en agua, al endurecerse experimenta un hinchamiento creciente con el tiempo y que al cabo de 2 aos se hace asinttico a un valor de 0,2 mm /m aproximadamente. b) Retraccin Si el hormign endurece al aire se produce una disminucin de su volumen que al cabo de 2 aos alcanza valores de 0,2 a 0,5 mm/m. Cuanto ms seca es la atmsfera que rodea al hormign, mayor ser su contraccin. No debe confundirse con la contraccin de frage, ya que es un fenmeno de capilaridad y no de fraguado. c) Deformacin diferida Consideramos que en el instante tc se aplica a una probeta hormigonada en el instante tb, una tensin de compresin *b que se mantiene constante en el tiempo. En el instante tc, el hormign sufre una deformacin instantnea bc , observamos el valor de b en un instante t, pese a que *b se mantuvo constante. La deformacin b ha aumentado alcanzando un valor bt = bc. K donde K es la funcin de deformacin diferida que depende de la edad del hormign en el momento de empezar a aplicarse la carga tc tb y del tiempo de aplicacin de la carga t tc.

1.12 ACERO PARA HOMIGON ARMADO Ya se ha sealado que el hormign posee una resistencia a la traccin relativamente reducida en comparacin con su resistencia a la compresin. Como la mayora de las estructuras que se construyen con hormign se

encuentran solicitadas por flexin, para compensar dicho dficit de resistencia se dispone, en las partes de las secciones sometidas a tensiones de traccin, barras de acero cuya misin es absorber dichos esfuerzos. Las barras que se utilizan comnmente son de seccin circular y los dimetros usuales son: 1) Barras de acero , seccin circular, laminados en caliente Es el denominado acero comn, cuya designacin es AL 22 - Resistencia a la traccin caracterstica: tk 3400 kg/cm2 - Lmite de fluencia caracterstico: tk 2200 kg/cm2 - Alargamiento de rotura caracterstico: A10K 18 % 2) Barras de acero conformadas, de dureza natural Su designacin es ADN 42. Este acero posee un lmite de fluencia mayor que el acero comn debido a una variacin que se introduce en su composicin qumica: - Resistencia a la traccin caracterstica: tk 5000 kg/cm2 - Lmite de fluencia caracterstico: tK 4200 kg/cm2 - Alargamiento de rotura caracterstica: A10K 12 % 3) Barras de acero conformadas, de dureza mecnica, laminadas en caliente y torsionadas o estiradas en fro Las designaciones son ADM 42 y ADM 60, respectivamente; esta clasificacin es funcin del lmite de fluencia convencional de cada acero. A este acero se le efecta un tratamiento de torsionado o estirado en fro de modo de aumentar su lmite de fluencia, ste se adopta en forma convencional ya que estos aceros, al ser tratados, pierden su escaln de fluencia; el lmite adoptado corresponde a una deformacin permanente del 2 .

Resistencia a la traccin caracterstica Lmite convencional de fluencia caracterstico Alargamiento de rotura caracterstico

ADM - 42 bK 5000 kg/cm2 0,2K 4200 kg/cm2 A10K 10 %

ADM - 60 6600 kg/cm2 6000 kg/cm2 8%

4) Mallas de acero La malla es un material compuesto por barras de acero lisas o conformadas, dispuestas en dos capas formando ngulo recto, con todas sus uniones soldadas por el proceso de soldadura elctrica, que se suministran en paneles o rollos. En general, se presentan mallas cuya disposicin de barras forman cuadrados o rectngulos con separaciones que pueden ser de 50, 100, 150, 200, 250 y 300 mm. Los dimetros de barras varan de 3 a 12 mm Resistencia a la traccin caracterstica Lmite convencional de fluencia caracterstico Alargamiento de rotura caracterstico AM - 50 bK 5500 kg/cm2 0,2K 5000 kg/cm2 A10K 6% AM - 60 6600 kg/cm2 6000 kg/cm2 6%

A los efectos del proceso de clculo de acuerdo con la Norma DIN 1045, designaremos en lo sucesivo con al lmite de fluencia caracterstico, sea convencional o no, o sea: = tK lmite real de fluencia = 0,2K lmite convencional de fluencia

Como nomenclatura, para clculos y tablas, se utilizar la siguiente: Acero BSt 22/34 Acero BSt 42/50 Acero BSt 50/55 Los nmeros entre barras indican el lmite de fluencia y la resistencia a traccin caracterstico, respectivamente.

CAPITULO II COMPORTAMIENTO DEL HORMIGON ARMADO. DIMENSIONAMIENTO II.1 INTRODUCCION El clculo de una estructura comprende las siguientes etapas: - Eleccin del esquema estructural. - Determinacin de los estados de carga. - Clculo de solicitaciones. - Comprobacin o dimensionamiento de secciones Primeramente es necesario elegir el esquema estructural que refleje lo ms fielmente posible el comportamiento real de la estructura, adoptando luces de clculo, forma de trabajo, dimensiones generales y relativas de las piezas, condiciones de apoyo, etc. Luego se deben precisar las cargas permanentes y accidentales que actan sobre la estructura, y las combinaciones de cargas que provoquen los efectos ms desfavorables sobre la misma. El clculo de solicitaciones se efecta suponiendo un comportamiento elstico lineal de la estructura con proporcionalidad entre solicitaciones y deformaciones. En esta etapa, la consideracin del comportamiento no lineal de los materiales es an objeto de estudio, obtenindose mtodos de clculo de solicitaciones muy engorrosos, que escapan a los alcances de esta publicacin. Para la comprobacin o dimensionamiento de secciones se distinguen dos mtodos de clculo bien diferenciados. a) mtodo clsico (tensiones admisibles) b) mtodo de clculo en estados lmites (carga ltima) Bsicamente, ambos mtodos consisten en: a) Mtodo clsico: Supone una relacin lineal entre tensiones y deformaciones en el hormign; el proceso de clculo consiste en determinar las solicitaciones debidas a las cargas mximas de servicio y dimensionar la seccin de modo tal que las mximas tensiones en el hormign y el acero no superen una fraccin de la resistencia de estos materiales, fraccin que se denomina tensin admisible. b) Mtodo de clculo en estados lmites: La relacin entre tensiones y deformaciones en el hormign, se establece mediante una ley de variacin no lineal, que sin representar la verdadera distribucin de tensiones, da valores de las solicitaciones ltimas, satisfactorias y compatibles con los hallados experimentalmente. El proceso de clculo consiste en determinar las solicitaciones mximas producidas por las cargas de servicio, mayormente mediante un coeficiente de seguridad, para luego comparar dichas solicitaciones con las denominadas solicitaciones ltimas, que son aqullas que produciran resistencia real elegida como resistencia de clculo. II.2 SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE CALCULO CLASICO Y EN ESTADOS LIMITES a) Hiptesis de Bernoulli Ambos mtodos presuponen la validez de la hiptesis de Bernoulli las secciones planas antes de la solicitacin permanecen tambin planas al ser sometidas a dicha solicitacin . Esto implica diagramas de deformaciones especficas lineales y presupone una total adherencia entre acero y hormign. b) Relacin tensin deformacin Supongamos la viga de la Figura II 1 de hormign armado simplemente apoyada y sometida a un estado de carga creciente hasta llegar a la rotura por flexin.

Analicemos ahora una seccin comprendida en el tercio central, donde se producen los mximos momentos flexores e iniciemos el proceso de carga. En un principio se producirn deformaciones especficas en la seccin que provocarn un estado de tensin lineal en el hormign, tanto de compresin como de traccin y un esfuerzo de traccin en el acero. Este estado de tensin se denomina ESTADO I y se mantiene para valores de las deformaciones especficas tales que provoquen tensiones de traccin en el hormign no mayores que la admisible. En este estado no aparecen fisuras en la pieza, pudiendo trabajar en conjunto hormign y acero bajo esfuerzo de traccin. Al aumentar las cargas aumentan las deformaciones produciendo fisuras en el hormign en la zona traccionada de modo que, el par interno en la seccin lo forman la resultante del diagrama lineal de tensiones de compresin en el hormign y el esfuerzo de traccin en el acero. Este estado se denomina ESTADO II y es vlido hasta valores de tensin de compresin en el hormign de aproximadamente la mitad del valor de la tensin de rotura, lmite hasta el cual es vlida la relacin lineal entre tensiones y deformaciones. Es de observar que el eje neutro se ha acercado a las fibras comprimidas respecto del ESTADO I, debido a la presencia de fisuras en la zona traccionada. Si incrementamos nuevamente las cargas, las deformaciones especficas aumentan, con lo cual, si nos ubicamos en el diagrama , del hormign veremos que la relacin entre ambas magnitudes no es lineal, de modo que el diagrama de tensiones de compresin en el hormign se incurva tomando cada fibra ms carga de la que tomara de existir una distribucin lineal, aumentando el brazo elstico de la pieza x y la fuerza normal N. este estado se denomina ESTADO III. El ESTADO II es el utilizado en el clculo clsico y el ESTADO III en el clculo en estados lmites. De este anlisis surgen como conclusiones: - Ambos mtodos no admiten contribucin del hormign a la traccin, a diferencia del ESTADO I. - La adopcin de un diagrama , lineal en el hormign no es vlida, como puede apreciarse en el grfico de la Figura I 2. c) Seguridad En el mtodo de clculo en estados lmites se mayoral las solicitaciones de servicio mediante coeficientes de seguridad. Estos dependen de que la estructura avise la rotura mediante fisuras bien visibles o que por el

contrario se pueda producir rotura brusca, sin aviso. El coeficiente de seguridad debe aumentar cuando la posibilidad de aviso disminuye. En el mtodo clsico no es posible determinar la seguridad de la estructura ya que, al suponer un diagrama , lineal en el hormign, que dista mucho de la realidad, el cociente entre la tensin de la rotura del material y la tensin de trabajo no refleja el coeficiente de seguridad con que trabaja la pieza. d) Determinacin de las tensiones de clculo de los materiales En el mtodo clsico se establece la tensin admisible del hormign a partir de la resistencia media obtenida en el ensayo a compresin de varias probetas y la tensin admisible del acero a partir de la tensin correspondiente al lmite elstico garantizado. En el clculo a rotura, las resistencias de clculo del hormign y del acero se obtienen de las tensiones caractersticas de ambos materiales que se determinan tal cual lo explicado en el captulo de materiales. II.3 CALCULO Y DIMENSIONAMIENTO SEGN NORMA DIN 1045 En lo que sigue se aplicarn las bases generales de clculo y dimensionamiento de la nueva NORMA DIN 1045. II.3.1 ECUACIONES GENERALES DE EQUILIBRIO

NOMENCLATURA d: altura total de la seccin b: ancho total de la seccin h: altura til de la seccin, distancia entre la fibra ms comprimida del hormign y la armadura traccionada d1,d2: recubrimiento x: profundidad del eje neutro z: brazo elstico de la seccin, distancia entre la resultante de tensiones de compresin en el hormign Db y el esfuerzo en la armadura traccionada Zs Ds: esfuerzo en la armadura comprimida b1, b2: deformaciones especficas en las fibras ms y menos comprimidas respectivamente S1,S2: deformaciones especficas en la armadura comprimida y traccionada respectivamente Nu, Mu: solicitaciones ltimas Nu = DS + Db+ Zs (1) (2) (3)

Mu = - Db (d/2 a) Ds (d/2 d1) + Zs (d/2 d2) Ms2u = Mu Nu . zs2 = - Db. Z Ds (h-d1)

Ms1u = Mu + Nu. Zs1 = Db (a d1) + Zs (h d1) (1) (2) (3) (4)

(4)

ecuacin de equilibrio de fuerzas ecuacin de equilibrio de momentos, respecto del eje baricntrico ecuacin de equilibrio de momentos, respecto de la armadura traccionada ecuacin de equilibrio de momentos, respecto de la armadura comprimida.

II.3.2 DIAGRAMAS CONVENCIONALES a) Hormign La NORMA DIN 1045 ha adoptado para el hormign el diagrama , de la Figura II 3, el cual no representa ninguna distribucin real de tensiones, sino un diagrama idealizado cuyos resultados han sido comprobados satisfactoriamente.

La funcin b = f(b) queda definida de este modo: 0 < b : b = 0 - 2 b 0 - 3,5 b - 2 : B = - R [1 (1 + b / 2x10-3)2] : b = - R

Siendo R tensin de compresin de clculo cn R 110 70 130 105 170 140 210 175 300 230 380 270 470 300

La mxima deformacin especfica admitida es de -3,5 (solicitaciones a flexin simple o compuesta de gran excentricidad) y de - 2 para compresin pura o flexin compuesta de pequea excentricidad. b) Acero

Acero es

22/34 1,05

42/50 2,00

50/55 2,38

Este diagrama ideal es aplicable para aceros de dureza natural como para aceros conformados en fro. Como deformacin especfica mxima a traccin se admite un valor del 5, pues si bien pueden admitirse alargamientos mayores antes de producirse el agotamiento de la pieza, se adopta como lmite funcional de la misma un espesor acumulado de fisuras de 5 mm por metro de largo.

II.3.3 DIAGRAMAS DE DEFORMACIONES ESPECIFICAS En funcin de las deformaciones lmites de ambos materiales hormign y acero, establecidas por la NORMA DIN 1045, se obtiene los diagramas de deformaciones especficas de la Figura II 5 que contemplan toda la gama posible de solicitaciones. Se representa tambin la variacin del coeficiente de seguridad de la seccin. Descripcin de los Dominios de Deformaciones Dominio 1 Est comprendido entre las rectas a (S2 = S1 = 5 ) y b (S2 = 5; S1= 0). La solicitacin vara desde una traccin pura hasta una flexo traccin con pequea excentricidad, el hormign prcticamente no colabora ya que est en su casi totalidad traccionado. Siendo S2 = 5 la NORMA DIN 1045 asigna un coeficiente de seguridad = 1,75 ya que el tipo de rotura es dctil, o sea con preaviso a travs de fisuras claramente visibles. Dominio 2 Est comprendido entre las rectas b c S2 = 5 S2 = 5 ; S1 = 0 ; b1 = - 3,5

La solicitacin oscila entre flexin pura o flexin compuesta. 1) Si As es muy grande, al trabajar con un S2 = 5 la resultante de traccin Zs en las armaduras es mayor que la resultante de compresin Db en el hormign, en consecuencia la solicitacin ser de flexo traccin. 2) Si As es pequea estamos en el caso inverso, flexo compresin. 3) Si As es tal que Zs = Db, estamos en presencia de flexin pura. Dominio 3 Est comprendido entre las rectas c S2 = 5 ; b1= - 3,5

d

S2 = 0

; b1 = - 3,5

siendo es la deformacin especfica del acero correspondiente al lmite elstico del diagrama , convencional. En este dominio se aprovechan el hormign y el acero por completo ya que ambos materiales trabajan bajo deformaciones que corresponden a tensiones mximas. El coeficiente de seguridad aumenta para valores de S menores que 3, hasta un valor igual a 2,1 cuando S = 0. El tipo de solicitaciones es equivalente al visto en el dominio 2. Dominio 4 Est comprendido entre las rectas d e S2 = es b2 = 0 ; b1 = - 3,5 ; b1= - 3,5

La recta d nos define el ltimo diagrama de deformaciones especficas en el cual aprovechamos al mximo ambos materiales, de all en ms el acero trabaja con deformaciones menores que es y en consecuencia a menor tensin. En el otro extremo la recta e nos define un diagrama de deformaciones en el que toda la seccin est comprimida. A este dominio corresponden solicitaciones de flexo compresin con pequea excentricidad. Dominio 5 Est comprendido entre las rectas e f b2 = 0 ; b1 = - 3,5 b2 = - 2 ; b1 = - 2

la solicitacin vara desde flexo compresin con pequea excentricidad a compresin pura. La deformacin correspondiente a la rotura debida a este ltimo tipo de solicitacin es b1 = - 2 , en general podemos expresar: b1 = - 3,5 0,75 b2 II.4 DIMENSIONAMIENTO A FLEXION PURA O FLEXION COMPUESTA CON GRAN EXCENTRICIDAD (SECCION RECTANGULAR) Para elementos sometidos preponderantemente a flexin losas, vigas, etc es conveniente la utilizacin de las tablas T.1 a T.3 denominadas Kh, de fcil manejo y que permiten calcular las armaduras ms adecuadas, tanto traccionadas como comprimidas, para este tipo de solicitacin. Utilizacin de la tabla Kh

Se determina primeramente el valor Ms, momento respecto de la armadura traccionada Ms = M N . zs (tm)

M; zz: debern tomarse siempre con signos positivos N: deber tomarse positivo si es de traccin y negativo si es de compresin Se calcula ahora el valor de Kh: h (cm) Kh = ------------------Ms ( tm) /b(cm) Entrando en tablas en funcin del acero, en la columna correspondiente a la resistencia del hormign de nuestra pieza y en el rengln del valor Kh inmediato inferior al Kh calculado, se obtienen los siguientes valores: s : deformacin en el acero b1: deformacin en la fibra ms comprimida del hormign su/ : tensin de servicio en el acero kx: factor que permite calcular la profundidad del eje neutro x = kx . h kz: factor que permite calcular el brazo elstico de la seccin z = kz. h ks:: factor de clculo de la armadura: N (t) Ms (tm) As(cm2) = -------------- . ks + -----------------h (m) su/ (t/cm2) Se denomina K*h al valor de Kh correspondiente a b1 = - 3,5 . Cuando el Kh calculado resulta menor que K*h es conveniente colocar armadura comprimida, entrando en tablas se obtienen valores de ks y ks1 con los cuales se calculan: Ms ( tm) N (t) Ms ( tm) As2 (cm2) = -------------. ks + ------------ ; As1 (cm2) = -----------. Ks1. 1 h (m) su/1,75(t/cm2) h (m)

Las tablas de Kh han sido preparadas para relaciones d1/h = 0,07, los valores y 1 son factores de correccin a utilizar cuando d1/h > 0,07; por el contrario, si d1/h < 0,07 se adopta: = 1 = 1. Al lado de la columna correspondiente a Kh se observa una columna de valores ds , dimetros mximos de la barra d acero a colocar para que las fisuras a formarse sean admisibles. Ocurre a menudo que el dimetro mximo ds que nos admite la norma, no es comercial o deseamos colocar otro mayor, en este caso es necesario aumentar la armadura y se calcula mediante la siguiente expresin: As = Ascal 3d1/d2

Donde:

As (cm2): armadura necesaria para cumplir con la condicin de fisuracin admisible. Ascal (cm2): es la armadura calculada con la expresin general. ds: dimetro mximo que admite la norma para el Kh calculado. Di: dimetro de barra que deseamos colocar. II.5 DIMENSIONAMIENTO A COMPRESION PURA N < 0; M = 0 La ecuacin de equilibrio de fuerzas resulta: 1 N =- -------- (Ab . R + As . su) o Ab N = - --------- (R + tot 0 . su) : coeficiente de seguridad = 2,1 R: tensin de clculo en el hormign su: tensin en el acero para un acortamiento unitario del - 2 Acero Tipo BSt 22/34 BSt 42/50 BSt 59/55 su (t/cm2) 2,2 4,2 4,2

As Ab: seccin de hormign; tot 0 = cuanta geomtrica total = -----Ab As: seccin de acero Las siguientes expresiones permiten calcular Ab y As en forma general o en funcin de la cuanta geomtrica total. 1 Ab = - ------------- (. N + As .su) R 1 As = - ----------- (. N + Ab. R) su .N Ab = - ------------R + tot 0. su . N As = - ------------------( R/tot 0 + su)

II.6 DIMENSIONAMIENTO A FLEXO - TRACCION N>0 Ms = M N. zs2 0

En este caso el esfuerzo de traccin es muy grande frente a la flexin, haciendo que toda la seccin est traccionada, puesto que si: Ms 0, M N. zs2 = N (e zs2) 0 Siendo N > 0 debe ser e zs2 0, o sea e zs2

Planteando una ecuacin de momentos respecto de la armadura As2 se obtiene la ecuacin As1 y viceversa. N (zs2 e) As1 = ------------ - ------------(zs2 + zs1) su / donde su s ----------- = -------- 1,75 Acero Tipo BSt 22/34 BSt 42/50 BSt 50/55 s / (t/cm2) 1,26 2,4 2,86 N (zs2 + e) As2 = ----------- - --------------su/ (zs1 + zs2)

II.7 DIMENSIONAMIENTO A FLEXION COMPUESTA CON PEQUEA EXCENTRICIDAD (SECCION RECTANGULAR) Para este tipo de solicitacin, caracterstico en columnas de borde o pie de prtico, es conveniente colocar armadura simtrica. A tal efecto se utilizan los diagramas de interaccin A4 a A12 que abarcan todo el campo de solicitaciones posibles y permiten determinar la armadura necesaria. El procedimiento a seguir es el siguiente:

a) Se determinan los esfuerzos adimensionales: N M n = -----------m = --------------b. d. R b. d2. R donde es importante sealar que d no es el lado mayor, sino aqul que representa la altura de la seccin cuando acta el momento M, o sea b . d3 j = --------12

Utilizando ahora el diagrama de interaccin que corresponde, en funcin del tipo de acero y del recubrimiento d1/h trazamos dos rectas, una paralela al eje de abscisas por el punto n dato y otra paralela al eje de ordenadas por el punto m dato y en la interseccin de ambas obtendr el valor de la cuanta mecnica 01 = 02. De este modo podemos determinar la cuanta geomtrica total tot 0 01 siendo 01 = 02 = ---------tot 0 = 01 + 02 s/R y la armadura As2 = As1 = 01 .b . d As = As1 + As2

A su vez, en los diagramas de interaccin estn indicadas rectas de igual estado de deformacin y rectas de igual coeficiente de seguridad. II.8 DIMENSIONAMIENTO A FLEXION COMPUESTA OBLICUA (SECCION RECTANGULAR) Este tipo de solicitacin se presenta, por ejemplo, en columnas que trabajen como pie de dos prticos perpendiculares entre s, o que soporten dos mnsulas normales entre s.

En funcin de la posicin del centro de presin, que ubicamos con My Mx ex = ------ey = - -----N N

elegimos la disposicin de la armadura en la seccin, en la Figura II 13 se observan, en sombreado, las zonas donde se ubica el centro de presiones y la armadura ms conveniente para cada caso.

La disposicin I resulta apta para secciones en las cuales, el centro de presin puede ubicarse en diferentes posiciones debido a que los momentos pueden cambiar de signo y donde Mx My. La disposicin II es aceptable cuando Mx > My y puede haber cambio de signo. La disposicin III es vlida cuando resulta Mx > My My > Mx, pero los momentos no cambian de signo. Luego determinamos N n = -------- ; b.d.R Mx mx = ------b.d2. R ; My my = ----------b2.d.R

utilizando los bacos A13 y A15, con el valor n ubicamos el octante en el cual se debe trabajar y haciendo si mx > my : si my > mx : m1 = mx m1 = my m 2 = my m2 = mx

se obtiene la cuanta mecnica total tot 0 La cuanta geomtrica resulta: tot 0 tot0 = ------------s / R y la armadura total As = tot 0..b.d II.9 DIMENSIONAMIENTO A FLEXIN COMPUESTA (SECCIN CIRCULAR Y ANULAR) a) Seccin Circular Describiremos ahora los pasos a seguir para dimensiones en elementos de seccin circular sometido a flexin compuesta. A tal efecto, se utiliza el diagrama de interseccin A.16, determinndose: N n = ----------r2 R M m = -------------r3 R

Con n y m se obtienen, del diagrama correspondiente, los siguientes valores: b1, b2: deformaciones del hormign en las fibras ms alejadas. s: deformacin en el acero. tot 0: cuanta mecnica, con la cual podemos determinar la cuanta geomtrica. tot 0 tot 0 = ------------s / R y la armadura total As= tot 0 . . r2 b) Seccin Anular En este caso, se utilizan los bacos A.17 A.18, segn resulten la relacin entre radios y la relacin d1 / (r r1), siendo d1 el recubrimiento de la armadura.

Se determina N n = ---------. r2.. R

M m = ------------. r3. R

ri/r 0,70 0,90 La cuanta geomtrica resulta 0 0 = --------s / R y la ecuacin total As = 0. . . R2

0,51 0,19

En ambos tipos de seccin (circular o anular), si la solicitacin es de flexin compuesta segn dos planos de flexin se dimensiona del mismo modo, slo que haciendo:

M = M2x M2y

CAPITULO III LOSAS III.1 Introduccin Los entrepisos de hormign ms comnmente usados, estn constituidos por losas y vigas, formando un todo monoltico. Las cargas que actan sobre las primeras se transmiten a las segundas y estas ltimas las transfieren a las columnas, ya sea directamente o por intermedio de otras vigas. A su vez, las columnas transmiten al terreno de fundacin, mediante sus respectivas bases, el total de las cargas actuantes. Las losas de entrepiso pueden ser llenas o alivianadas, segn que todo el espesor est ocupado por hormign o que se intercalan en el mismo, elementos huecos prefabricados, obtenindose as estructuras ms livianas y aislantes. Otro tipo de losa muy utilizada es la losa nervurada constituida por nervios o vigas de escasa separacin entre s y losa superior o placa de poco espesor (7 cm), que los que une a todos ellos. En estos casos, el moldeo de la losa se efecta en obra conjuntamente con las vigas que le sirven de apoyo. Tambin pueden construirse losas de entrepiso con elementos resistentes premoldeados, los que permiten acelerar la construccin y, al mismo tiempo, eliminar o reducir a un mnimo el empleo de encofrados, con la consiguiente reduccin de costos. III.2 LOSAS MACIZAS III.2.1 CLASIFICACION: LOSAS ARMADAS En 1 O 2 DIRECCIONES Losas es todo aquel elemento constructivo estructural en el cual dos de sus dimensiones prevalecen frente a la tercera, y las cargas actan en una direccin normal al plano medio de la losa. Desde el punto de vista de su funcionamiento estructural podemos clasificar en dos tipos: a) armadas en una direccin b) armadas en dos direcciones Del tipo a) teenemos: - Losa en voladizo - Losa con dos lados opuestos apoyados y dos libres. Y todas aquellas losas que, apoyadas en tres o cuatro lados, se cumpla que la relacin entre sus lados resulta: ly/ lx > 2.

Se explica esta clasificacin por lo siguiente: supongamos la placa de la Figura III I, simplemente apoyada en sus cuatro bordes y con carga uniforme y repartida en toda su superficie, siendo O el punto medio de la placa, W0 ser el descenso del mismo y la flecha mxima. Si analizamos ahora las deformadas de dos fibras, pasantes por O de direccin x y direccin y, vemos los radios curvaturas de las deformadas son diferentes. Llamando fx a la deformada en la direccin x y fy a la deformada en la direccin y vemos que x < y x : radio de curvatura en la direccin x y: radio de curvatura en la direccin y 1 siendo W = ----- la curvatura de la deformada resulta: W x > W y Y recordando que Mi = - E J W i E: mdulo de elasticidad del material J: momento de inercia de la seccin resulta Mx > My O sea que a menor largo de lado, mayor curvatura y en consecuencia mayor momento correspondiente a esa direccin. Si en el ejemplo de la figura III I resulta ly/ lx > 2, se obtiene Mx >> My. En consecuencia se calcular la losa como armada en una sola direccin. Del tipo b) tenemos: Todas aquellas losas que apoyadas en 3 4 lados se cumple que la relacin entre sus lados resulta: ly/ lx 2, o las vinculadas en sus vrtices mediante columnas. III.2.2 CARGAS Sobre losas tendremos actuando dos tipos de cargas: - permanentes (peso propio, contrapiso, mortero de asiento, piso, cielorraso suspendido, muro de mampostera, etc). Ver Tabla T25. - accidentales o sobrecargas (sobrecarga originada segn destino del local, apoyos de mquinas, vehculos, etc.). ver Tabla T25. III.2.3 LUCES DE CALCULO a) Cuando se supone apoyo sin restriccin al giro. a1 a2 lc = l0 + ------ + -------3 3

lc = 1,05 l0

se adopta el menor valor

b) Cuando se supone restriccin parcial o total al giro. lc = l1 lc = 1,05 l0 se adopta el menor valor

c) En losas continuas lc = l1

d) En caso de voladizo lc = 1,05 l0

III.2.4 ESPESOR MINIMO DE LOSAS Estos son valores mnimos del espesor total de losa: - en general : 8 cm - nervuradas : 7 cm - transitables para automviles : 10 cm para camiones o vehculos pesados : 12 cm

Los espesores de losas no deben ser inferiores a ciertos valores mnimos impuestos por razones de deformabilidad, a fin de que las flechas que se produzcan en estado de servicio no superen determinados lmites; para ello se define h = lc/ m; estos valores de m son vlidos para losas de edificios de vivienda o con sobrecargas similares (Figura III 6). III.2.5 LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCION Como habamos visto, estas losas transmiten su carga esencialmente en la direccin de la luz menor, de modo que la armadura principal se ubicar en dicha direccin, colocando una armadura mnima constructiva en la direccin normal.

Para la determinacin de los esfuerzos caractersticos, se calcular una faja de 1 m como si estuviera aislada, bajo la accin de las cargas, resolvindose como una viga de ancho unitario. III.2.5.1 DETERMINACION DE LAS CARGAS a) Carga en toda la superficie de la losa Llamaremos g: cargas permanentes p: sobrecargas accidentales q: carga total (g + p) La carga total actuante en una faja unitaria ser: q = (g + p). 1 m (t/m)

b) Cargas puntuales y lineales Se pueden determinar los esfuerzos en losas determinando un ancho de distribucin bm normal a la luz de clculo de la losa con los valores indicados en la Figura III 7.

.La superficie de accin de la carga se determina mediante los valores lx, ly (paralelo y normal a la luz de la losa, respectivamente). De acuerdo con las Figuras III 8 y III 9, resulta: ti = b0 + 2s + d (i = x,y)

donde: b0: ancho de la impronta de la carga s: espesor de piso y contrapiso, o espesor de carpeta de distribucin, etc d: espesor de la losa

Luego se calcula una viga de largo de clculo igual a la de la losa y con una carga distribuida de valor igual a P/ty extendida en un largo lx y cuyo baricentro est a una distancia x del apoyo izquierdo de la losa, siendo P(t) el valor total de la carga concentrada lineal o rectangular, segn el caso. Hemos determinado entonces los esfuerzos caractersticos en la viga: MF: mximo momento en el tramo MS: mximo momento en el apoyo Q: esfuerzo de corte en los apoyos Luego, determinado bm de la figura III 7, podemos calcular: mF = MF/ bm : momento de losa en el tramo por metro de ancho mS = MS/ bm: momento de losa en el apoyo por metro de ancho qi = Qi / bm: esfuerzo de corte de losa en apoyos por metro de ancho con i = izq. O der. Asimismo se denomina: U = abscisa del mximo momento de tramo lc = luz de clculo de la losa lv = luz de voladizo Es importante sealar que el ancho de distribucin bm no podr adoptarse mayor que el ancho real posible, por ejemplo, cuando la carga est ubicada cerca de los bordes. III.2.5.2 DETERMINACION DE ESFUERZOS CARACTERISTICOS Una losa se la considera simplemente apoyada cuando sus extremos pueden girar libremente, por ejemplo, cuando apoya sobre mampostera. Por el contrario, si la losa posee continuidad con elementos de gran rigidez, por ejemplo, losa armada en dos direcciones de espesor mucho mayor, viga de gran rigidez a la torsin, etc, se dice que la losa est empotrada en ese borde. Normalmente estos empotramientos no son perfectos tenindose una situacin intermedia. Asimismo, no es recomendable suponer la losa empotrada en las vigas, pues de hacerlo habra que asegurar mediante dimensiones y armadura adecuadas que la misma sea suficientemente rgida a torsin frente a la rigidez a flexin de la losa. En la figura III 10 vemos que, en el caso (I) las vigas, al no tener rigidez a torsin, permiten el libre giro de la losa sobre sus apoyos, contrario a lo que ocurre en el caso (II), en el que suponemos, que la rigidez a torsin de las vigas es tan grande que anula los giros en los bordes de losa.

Para impedir los giros, aparecen momentos flexores en la losa (o sea aqullos que producen traccin en las fibras superiores y compresin en las inferiores), que se traducen en momentos torsores en la viga repartidos a lo largo de la misma. Las vigas apoyan, por ejemplo, sobre dos columnas (ver figura III- 11); stas recibirn entonces dos tipos de carga, N esfuerzo normal debido a la reaccin vertical de la viga y un momento flexor M, reaccin producida por los momentos torsores distribuidos. Estos esfuerzos N y M, ms el peso propio de la columna, se transmiten en definitiva a la base. Vemos entonces que, al comprobar en primera instancia que la rigidez a torsin de las vigas es muy grande frente a la rigidez a flexin de la losa, podamos asegurar que en los bordes de la misma O, pero a costa de aumentar la armadura en vigas, columnas y bases pues soportan nuevas solicitaciones, sin por ello haber logrado disminuir la armadura en la losa, obteniendo como nica ventaja que la flecha de la misma resulte menor (Figura III 12).

Para losas de un tramo, los esfuerzos mximos M, Q deben obtenerse para carga total g + p utilizando la tabla T49. Por el contrario, en losas de varios tramos, es necesario ubicar convenientemente la sobrecarga para obtener las mximas solicitaciones. A tal efecto, se pueden utilizar las tablas T50 y T51, que se explican en el punto IV.6 del Captulo IV; o, en su defecto, resolver el sistema hiperesttico utilizando los mtodos dados por la teora de las estructuras. III.2.6 LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES Este tipo de losa transmite los esfuerzos en ambas direcciones, de modo que ser necesario colocar armaduras principales perpendiculares entre s, para absorber dichas solicitaciones.

1 Determinacin de las cargas a) Repartida en toda la superficie de la losa g cargas permanentes (t/m2) p sobrecargas (t/m2) q=g+p b) Cargas puntuales y lineales Conocido el valor de la carga y su extensin o su proporcin en planta, es necesario recurrir a grficos de superficies de influencia que nos permiten hallar, para cada tipo de carga y condiciones de borde, las solicitaciones mximas. 2 Determinacin de esfuerzos caractersticos a) Losa aislada Se calculan las solicitaciones a carga mxima g + p, para ello se utilizan las tablas 726 a T47. Se elige la tabla en funcin del tipo de vinculacin y en funcin de la relacin de lados, y se obtienen los momentos de tramo en ambas direcciones, los momentos en los empotramientos y la resultante de las reacciones sobre cada lado. La tabla fue confeccionada en base a la teora de la elasticidad para valores de (coeficiente de Poisson) = 0; dado que para el hormign armado se recomienda un valor de = 0,2, se pueden corregir los valores obtenidos en tablas mediante las siguientes ecuaciones: 1 Mx = ---------- (M*x + M*y) (1 2) 1 My = --------- (M*y + M*x) (1 2) Siendo: Mx, My: los valores de momentos corregidos M*x, M*y: los valores de momentos obtenidos de tablas = 0 El clculo de una losa armada en dos direcciones, mediante la teora de la elasticidad, supone la existencia de rigidez a torsin en la misma, Esto no es vlido cuando las losas: - no estn aseguradas contra el despegue en las esquinas; - en el encuentro de dos bordes simplemente apoyados no existe armadura de esquina; - presentan huecos considerables en las zonas de esquinas. En estos casos, para lograr la seguridad necesaria a rotura, se deben aumentar los momentos de tramo calculados con las tablas. A tal efecto, se ha confeccionado la tabla T48 con la cual se pueden obtener Mx, My ya corregidos. b) Losas continuas Cuando la losa consta de varios paos continuos, los momentos flexores deben determinarse teniendo en cuenta la continuidad y considerando para cada seccin los estados de carga ms desfavorables.

La distribucin de cargas se har del siguiente modo: para obtener el mximo momento flexor positivo en el pao 6(Figura III 13.A), se cargar dicho pao con g*p y los restantes alternativamente con g y g*p, como los cuadros blancos y negros de un damero. Para el apoyo a ver figura III 13.B. b.1) Clculo de momentos en el tramo 1) Se supone primeramente que todos los paos estn sometidos a una carga ficticia de valor: p q = g + --2 y se admite que en este estado parcial de carga no se produce rotacin en los apoyos lindantes con otras losas. De esta forma, cada pao se comporta como una losa empotrada en uno o varios bordes, segn sea su posicin relativa (pao esquinero, marginal, interior, etc). 2) Luego se consideran los paos cargados alternativamente (Figura III 13.A) con cargas ficticias de valor: p q = ------2 que se supondrn dirigidas hacia abajo en los paos rayados y hacia arriba en los restantes. En este nuevo estado parcial de carga se admite que cada losa est simplemente apoyada en sus cuatro bordes. Sumando ambos estados de carga se obtienen los momentos mximos y mnimos de tramo. b.2) Clculo de momentos de empotramiento Se cargan ambas losas contiguas con g * p y se calculan cada una de ellas con sus verdaderas condiciones de borde y considerndolas empotradas en los bordes contiguos. Como momento de dimensionamiento puede adoptarse el promedio de los momentos de empotramiento de ambas losas.

III.2.7 DIMENSIONAMIENTO Y DISPOSICIONES DE ARMADO III.2.7.1 DIMENSIONAMIENTO Como hemos visto, las losas estn sometidas a solicitaciones de flexin. Para calcular las armaduras se utilizan las tablas Kh descriptas en el captulo II, dimensionando como una viga de ancho b0 = 1m.

donde: M = momento flexor de clculo h = d d2 d2 = recubrimiento b0 = ancho de dimensionamiento b1 = altura til a adoptar en la direccin de mayor momento b2 = altura til a adoptar en la direccin de menor momento Una vez determinada la armadura, en cm2/m de losa, se puede determinar el dimetro y separacin de las barras mediante la tabla T55. III.2.7.2 DISPOSICIONES DE ARMADO Armadura mnima

5 c/25 cm

6 c/2 d

Separacin mxima entre barras a) En la direccin ms solicitada d P = 15 + -----10 b) En la direccin menos solicitada a = 25 cm a = 2d (cm)

(cm)

En las losas armadas en una direccin, se colocar en la direccin secundaria (la de mayor largo) una armadura cuya seccin es: 1 As ------- As principal 5 y como mnimo 6 c/25 cm

En losas simplemente apoyadas se deber prever una armadura mnima en la zona de apoyo, para cubrir eventuales aumentos de empotramiento, cuyo valor debe ser: 1 AsA ------- As tramo 3 Para cubrir momentos en los apoyos de losa continuas, se podrn levantar barra de la armadura correspondiente al tramo, cuya seccin no podr superar los 2/3 de la armadura del tramo. Si las barras dobladas provenientes de ambas losas continuas no alcanzan a cubrir el momento se agregarn barras adicionales. En losas continuas debe procurarse que las armaduras de una misma direccin, en campos contiguos, tengan igual separacin, o que las separaciones sean mltiplos simples una de la otra (doble, triple, etc) a fin de facilitar su colocacin en obra. Armadura en las esquinas Si se prev en las esquinas de la losa armadura de torsin, sta se ubicar en la parte inferior y superior de la losa, de acuerdo con algunos de los dos criterios siguientes: 1) Armadura inclinada, 2) Armadura paralela a los lados

Figura III 15

Primer criterio: Armadura inclinada: la inferior normal a la bisectriz del ngulo que forman los bordes de la losa y la armadura superior paralela a dicha bisectriz, siguiendo los criterios de la Figura III 15. Asinf = Assup = Astramo As tramo = armadura inferior en el tramo de la losa (cm2/m) Segundo criterio: Armadura paralela a los lados de acuerdo al esquema de la figura III 15. Asinf = Assup = As tramo

III.2.8 AISLACION Las losas llenas, si bien son las de ejecucin ms fcil y las que admiten menores espesores de entrepiso, tienen como inconveniente su reducida capacidad de aislacin trmica y acstica. Para mejorara esas condiciones se les suele recubrir con capas o elementos aislantes. Los hormigones livianos de piedra pmez y los celulares, obtenidos mediante la adicin de agentes espumgenos, constituyen materiales ideales a ese objeto. Dichos hormigones pueden colocarse directamente en obra, o tambin pueden utilizarse en forma de bloques o losetas premoldeadas. Debido a los bajos coeficientes de transmisin trmica y acstica de estos materiales, bastan pequeos espesores para obtener aislacin satisfactoria. En azoteas o entrepisos donde no interesan mayormente la prdida de alturas, puede lograrse en forma econmica una excelente aislamiento, con mezclas de suelo cemento. Cuando se usan techados asflticos, para la proteccin de azoteas en zonas calurosas, es conveniente blanquearlas, a fin de evitar la excesiva absorcin de calor, caractersticas de las superficies oscuras. III.2.9 REACCIONES DE LOSAS SOBRE SUS APOYOS En losas armadas en una direccin, las reacciones (t/m) se obtienen mediante las tablas T49, T50 y T51, de acuerdo al tipo de carga y condiciones de apoyo de la losa. En losas armadas en dos direcciones se pueden calcular las reacciones sobre las vigas de borde, obteniendo diagramas de cargas resultantes al dividir la losa en tringulos y trapecios, segn Figuras III 16 y III 17.

Cuando a una esquina concurren dos bordes de igual tipo de apoyo, el ngulo divisorio es de 45 ; si concurren uno empotrado y otro simplemente apoyado, el ngulo adyacente al borde empotrado es de 60 . De este modo, las cargas actuantes sobre las vigas de borde quedan representadas por diagramas triangulares o trapeciales.

En los esquemas I a IX se han representado y calculado los diagramas de cargas sobre las vigas de borde para los nueve casos de sustentacin ms comunes. Se denomina: ly: largo del lado mayor de la losa lx: largo del lado menor de la losa qo: valor de la ordenada mxima de la carga distribuida en un borde simplemente apoyado qe: valor de la ordenada mxima de la carga distribuida en un borde empotrado

ESQUEMA III

ESQUEMA V

b) para 1,27 lx > ly > lx

III.3 LOSAS NERVURADAS DE HORMIGON ARMADO Son losas formadas por vigas - placa con una separacin mxima entre nervios de 70 cm; en este caso no es necesario realizar una verificacin esttica de la losa.

Sobrecarga mxima admisible: p = 500 kg/m2 Sobrecargas debidas a vehculos pesados: no son admisibles En caso de existir cargas concentradas de valor P 750 kg, deber colocarse un nervio transversal de distribucin. III.3.1 PLACA No es necesario realizar una verificacin esttica. espesor mnimo 1 emn ------ lN 10 emn 5 cm siendo lN luz libre entre nervios. La armadura transversal (perpendicular a la direccin de los nervios) debe ser: BSt 22/34 3 8 /m BSt 42/50 3 6 /m BSt 50/55 3 6 /m

III.3.2 NERVIOS LONGITUDINALES

Las aplicaciones se obtienen de acuerdo a lo explicado para losas armadas en una direccin, siendo la luz de clculo la correspondiente a los nervios longitudinales.

En la Figura II _ 19 se observa el esquema de clculo para la losa nervurada de la figura; una vez determinados los esfuerzos caractersticos, se obtiene la armadura de acuerdo con lo explicado en el captulo II, adoptando como altura el valor d (suma de la altura de nervios longitudinal y de placa). Esta armadura debe distribuirse en forma uniforme en todos los nervios longitudinales. Si en cada nervio existen, por lo menos, dos barras, se debe doblar cada segunda barra en el apoyo. El ancho mnimo de nervios es de 5 cm, pudindose ensanchar en la zona de apoyos, para una mejor absorcin de los momentos negativos, con una inclinacin de 1:3 (Figura III 20).

En los nervios longitudinales se debern colocar estribos tales que cubran la tensin = 0,25 max 0. Se podrn suprimir los estribos si se cumplen las siguientes cuatro condiciones simultneamente: 1 p 275 kg/m2 2 dimetro de la armadura longitudinal 16 mm 3 la armadura de tramo se extiende de apoyo a apoyo 4 max 0 011 III.3.3 NERVIOS LONGITUDINALES A los efectos de repartir la carga uniformemente en todos los nervios longitudinales, se deben colocar nervios transversales, cuya separacin mxima viene dada por la tabla de la Figura III 2:

En general, es conveniente que la altura y armadura de los nervios transversales coincidan con las respectivas de los nervios longitudinales. Es conveniente aclarar que, si la separacin entre nervios longitudinales resulta mayor que 70 cm, deber efectuarse el clculo de solicitaciones y el dimensionamiento de armadura suponiendo un esquema de losas continuas, armadas en una direccin, apoyadas en los nervios que se dimensionarn con el criterio explicado para vigas. CAPTULO IV VIGAS IV.1 INTRODUCCIN Son estructuras lineales, o sea, donde una de sus dimensiones prevalece frente a otras dos y de seccin arbitraria. En general tendremos: - Vigas de seccin rectangular. - Vigas placa, donde en la absorcin de esfuerzos de compresin actan placa y nervio unidos monolticamente; stas pueden ser vigas placa aisladas o vigas placa donde la placa forma parte de una losa. En la Figura IV- 1 se han dibujado las secciones de una viga placa en T, viga placa en L y una rectangular. Asimismo, se ha dibujado una planta de entrepiso formado por tres losas y una zona vara, con vigas y columnas, para esquematizar las vigas de seccin rectangular y aqullas que en colaboracin con las losas forman vigas placas T L. IV.2 CARGAS En general, las cargas que solicitan a una viga pueden ser distribuidas o concentradas. Distribuidas: Incluyen el peso propio de la viga, reaccin de losas vinculadas a ella, peso de muros o tabiques que apoyan sobre la misma, etc (t/m) Concentradas: Estas son originadas por vigas, viguetas o columnas que descargan sobre la viga (t)

IV. 3 LUCES DE CLCULO De acuerdo con las condiciones de apoyo, se adoptarn las indicadas en el puento III.2.3 del captulo de losas. IV.4 CONDICIONES DE APOYO a) Simplemente apoyadas: Cuado descansan en muros, en otras vigas o sobre columnas de muy poca rigidez a flexin frente a la rigidez de la viga. b) Empotradas: Cuando sus extremos se hallan rgidamente vinculadas a otros elementos estructurales, por ejemplo tabiques o columnas, cuya rigidez a la flexin es muy superior a la rigidez de la viga. c) Parcialmente empotradas: Es un caso intermedio entre los dos, vale decir cuando se resuelve en conjunto el sistema viga columna formando una estructura aporticada. d) En voladizo: Cuando tienen un extremo libre y el otro rgidamente vinculado a algn elemento estructural. e) Continuas: Las que se extienden sobre varios apoyos simples y que desde el punto de vista estructural, trabajan solidariamente.

IV. 5 RELACIONES ALTURA TIL - LUZ DE CLCULO

Al igual que en losas, las vigas deben poseer una altura mnima para evitar posibles deformaciones incompatibles para su buen funcionamiento en estado de servicio; estos valores son vlidos para edificios de vivienda o con sobrecargas similares. lc h =----m

IV. 6 DETERMINACIN DE LOS ESFUERZOS CARACTERSTICOS Las vigas pueden estar sometidas a esfuerzos de flexin, corte, torsin y en el caso de travesaos de prticos, a flexin compuesta. Veamos ahora cmo determinar los mximos esfuerzos de flexin y corte. En las vigas de un solo tramo, se determinan los esfuerzos originados por las cargas totales, o sea, cargas concentradas y distribuidas permanentes ms sobrecargas. En la Tabla T49 se pueden obtener los esfuerzos caractersticos, para diferentes estados de cargas de los cuatro esquemas de vigas ms comunes. Cuando se trata de un sistema de vigas continuas apoyadas sobre vnculos simples, las solicitaciones mximas y mnimas se obtienen ubicando en el sistema las cargas permanentes en todos los tramos y las sobrecargas en ciertos tramos elegidos convenientemente. Dada una viga contnua de n apoyos y n 1 tramos, describiremos ahora la ubicacin de la sobrecarga para producir los mximos esfuerzos; para ello nos referiremos a los esquemas (I), (II), (III), (IV) de la Figura IV 3. Esquema I Si se ubican las sobrecargas en los tramos impares 1,3,5 . etc, se obtienen: Momento mximo en los tramos impares Momento mnimo en los tramos pares Corte y reaccin mxima en el apoyo 1 Corte y reaccin mxima en el apoyo n si n es par Corte y reaccin mnima en el apoyo si n es impar Esquema II Si se ubican las sobrecargas en los tramos pares 2,4,6, .etc, se obtienen: Momento mximo en los tramos pares Momento mnimo en los tramos impares Corte y reaccin mnima en el apoyo 1 Corte y reaccin mnima en el apoyo n si n es par Corte y reaccin mxima en el apoyo n si es impar Esquema III Si se ubican las sobrecargas en ambos tramos adyacentes a un apoyo intermedio j cualquiera y en forma alternada en los dems tramos, se obtienen: Momento mnimo en el apoyo j Corte y reaccin mxima en el apoyo j

Esquema IV Si se ubican las sobrecargas en tramos alternados, con excepcin de los dos tramos adyacentes al apoyo j, se obtiene: Momento mximo en el apoyo j Corte y reaccin mnima en el apoyo j Aclaracin Cuando decimos M mximo o mnimo nos referimos al momento flexor teniendo en cuenta su signo, o sea: mximo: es el momento flexor ms positivo o menos negativo. mnimo: es el momento flexor ms negativo o menos positivo.

Si en el sistema de vigas continuas a resolver, todos los elementos posen igual momento de inercia y cargas uniformemente distribuidas, la relacin de luces y cargas no difieren en ms de 10 % y la relacin g/p en todos los tramos se mantiene prcticamente constante, se pueden utilizar las tablas T50 y T51. Con las mismas se pueden obtener los momentos mximos en tramo y apoyo y los esfuerzos de corte mximos para vigas continuas de 2 a 5 tramos. Una de las tablas nos permite calcular los esfuerzos en el sistema, teniendo en cuenta la adaptacin por plastificacin en el apoyo del 15 %, admitida por la mueva norma alemana DIN 1045, para clculo de estructuras de hormign armado (ver IV.7.2). Utilizacin de las Tablas T50 y T51 De acuerdo al nmero de tramos y la relacin g/p se obtienen los coeficientes de clculo, siendo, por ejemplo: m1: coeficiente de clculo para momento en el tramo 1 mB: coeficiente de clculo para momento en el apoyo B q1A: coeficiente de clculo para corte en A correspondiente a tramo 1 q2B: coeficiente de clculo para corte en B correspondiente a tramo 2 Luego, las solicitaciones resultan: q .l2 Mj = -------- ; mj q. l Qjk = ---------qjk siendo q = g + p

Si las luces o cargas de cada tramo difieren sustancialmente entre s, ser necesario resolver el sistema de vigas continuas por algunos de los mtodos de resolucin de sistemas hiperestticos. IV. 7 REDUCCIN DEL MOMENTO FLEXOR EN EL APOYO IV.7.1 POR ANCHO DE APOYO Al efectuar el clculo de un sistema de vigas continuas hemos supuesto que el giro, en los apoyos intermedios, no est restringido o sea que los apoyos son del tipo cuchillo. En la realidad, ningn vnculo (viga, columna, tabique, etc) cumple esta condicin, sino que posee un ancho c que disminuye el valor del momento en el apoyo. Se presentan dos casos: a) unin rgida viga apoyo b) unin no rgida entre los elementos a) Unin rgida en el apoyo

MI momento en el filo izquierdo del apoyo MII momento en el filo derecho del apoyo En este caso se dimensiona con el mayor valor entre MI y MII b) Unin no rgida en el apoyo

Llamando M: momento de clculo obtenido del sistema suponiendo un apoyo tipo cuchilla MD: momento de dimensionamiento definitivo.

R: reaccin en el apoyo. c: ancho del apoyo. La reaccin en el apoyo la suponemos como distribuida en todo el ancho y de valor R/c, luego: R c c c MD = M - ---- . ---- . ------ = M R . ---c 2 4 8 Es importante sealar que esta reduccin del momento flexor en el apoyo, es vlida siempre y cuando se haya tomado como luz de clculo, la distancia entre ejes de apoyos, de acuerdo a lo sealado en el punto IV.3. IV.7.2 POR PLASTIFICACIN Tanto en el hormign como en el acero, cuando las solicitaciones provocan tensiones que suponen los lmites elsticos, la seccin entra en el perodo de deformaciones plsticas, caracterizado por un rpido crecimiento de las mismas sin aumento sensible de las cargas aplicadas.

En las estructuras hiperestticas, ese comportamiento plstico conduce a una redistribucin de los esfuerzos internos, en virtud de la cual las secciones ms solicitadas se deforman a partir de un cierto punto sin absorber mayor solicitacin, actuando como articulaciones plsticas . De acuerdo a lo explicado, vemos que es posible una adaptacin del diagrama de momentos disminuyendo los esfuerzos en una seccin y aumentndolos en otra, de modo de mantener el equilibrio. Supongamos el tramo de un sistema de vigas contnuas que muestra la Figura IV 6, dado el diagrama de momentos de clculo, suponiendo la seccin T o para el dimensionamiento en el tramo y l (rectangular) para los apoyos, nos conviene disminuir en un porcentaje el valor de los momentos negativos, e incrementar proporcionalmente el momento en el tramo, de modo de aprovechar la capacidad portante de la seccin T o del tramo. El equilibrio en la viga se sigue cumpliendo, ya que lo disminuido en una seccin se aumenta en otra; slo la compatibilidad de deformaciones no se cumple, pudiendo aparecer fisuras de poca importancia.

La DIN 1045 admite como mximo una adaptacin del 15 5 del diagrama de momentos de modo de controlar la cantidad y amplitud de las fisuras; de modo general, para una viga empotrada en ambos bordes, con secciones de dimensionamiento l y T en apoyos y tramo respectivamente, los momentos de dimensionamiento resultan, segn la Figura IV 7.

(1) eje de referencia diagrama de momentos original (2) eje de referencia diagrama de momentos adaptado = coeficiente de adaptacin mximo = 0,15 M*A; M*B; M*t momento inicial en apoyo y tramo MA; MB ; Mt momentos finales en apoyos y tramo MA = 0,85. M*A MB = 0,85. M*B Mtx = M0tx - Mtx Donde: Mtx = 0,15 [(1 ) M*A + . M*B x = . l (coordenada de la seccin)

IV. 8 DIMENSIONAMIENTO En general, las vigas estn sometidas a esfuerzos de flexin pura o compuesta y corte. El dimensionamiento a flexin depende del tipo de seccin resistente que es funcin de la colaboracin de la losa como a la compresin, transformando la seccin en viga T o . Por ejemplo de la Figura IV 1 resultan:

IV.8.1 DIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES RECTANGULARES En este caso se utilizarn las tablas denominadas Kh para determinar la armadura, de acuerdo con lo explicado en el captulo II.

IV.8.2 DIMENSIONAMIENTO DE VIGAS PLACAS a) Determinacin del ancho colaborante o efectivo Supongamos que se desee determinar el ancho colaborante de placa correspondiente a la viga II y se conoce la altura total de la viga do, el espesor de la losa d, el ancho de la viga bo y los valores b2 y b3 distancia entre los bordes de la viga y los ejes de ambas losas, o sea que: l2 b2 = ----2 ; l3 b3 = -------2

Luego se determinan: d ; b2 con ambos valores, de la tabla T52 se obtiene: ---- -----do lo bm2 K2 = -------; en consecuencia bm2 = K2. b2m b2 d ; b con ambos valores, de la tabla T52 se obtiene: --------do lo bm3 K3 = -----; en consecuencia bm3 = K3. b3 b3 Luego el ancho colaborante total resulta bm = bo + bm2 + bm3 donde lo es la luz corregida de la viga y vale lo = K.l siendo l = luz de clculo de la viga.

En los apoyos de vigas continuas, en donde la losa colabora como placa comprimida (viga T o invertida, el valor de bm debe disminuirse en un 40% por efecto de estriccin de las cargas concentradas. b) Determinacin de la armadura Se presentan 2 casos: 1) bm ------ 5 - secciones de alma delgada bo En este caso se puede desestimar la colaboracin del alma en la absorcin de esfuerzos de compresin del hormign y suponer que la resultante de tensiones se ubica a una distancia d/2 del borde superior de la seccin. Luego, la expresin de clculo de la armadura resulta: 1,75 M5 As = ------- (-------+ N) bx h d/2 siendo Ms = M N. z5 Asimismo, es necesario verificar la tensin de compresin del hormign en el ala; se debe satisfacer la siguiente relacin: Ms R ----------------- --------------- . bm. d(h d/2) 1,75 se obtiene del grfico.

2) bm -------b0 < 5 secciones de alma gruesa

En este caso no podemos despreciar las tensiones de compresin en el alma de la viga y al dimensionar, la parte comprimida de la seccin es transformada en un rectngulo que absorbe igual esfuerzo de compresin que la seccin T y de ancho: bi = . bm

El coeficiente se obtiene de la tabla T53, y el proceso es el siguiente: a) Se estima un valor de kx y de la tabla T53 Con d/h y bm/b0 se obtiene y bi = . Bm

b) Luego se determina h Kh = ------------ Ms/bi c) Entrando en las tablas Kh, de acuerdo al tipo de acero y hormign correspondiente se obtiene kx y ks. d) Luego se compara kx estimado y kx de tablas Si kx estimado kx tablas La armadura resulta: Ms ( tm) N (t) As = ks . -------------------- + ---------h (m) su (t/cm2) Si kx estimado < kx tabulado, se debe reiniciar el proceso eligiendo un nuevo valor de kx. Este procedimiento iterativo se puede evitar si elegimos el valor de que corresponde al mximo valor de kx. La verificacin del hormign a compresin se efecta a travs del valor de Kh, ya que si Kh Kh* es necesario colocar armadura de compresin para colaborar con el hormign, lo que indica que la seccin no es econmica y es necesario redimensionar. IV.9 VERIFICACIN AL CORTE IV.9.1 INTRODUCCIN Hasta el momento hemos descrito el dimensionamiento de secciones de vigas sometidas a flexin y esfuerzo normal. Si en una viga el momento flexor se mantiene constante a lo largo de la misma, el estado de tensiones queda definido analizando una seccin cualquiera; no ocurre lo mismo si el momento flexor es variable pues aparece una solicitacin adicional que es el esfuerzo de corte, haciendo que el estado de tensiones vare a lo largo de la pieza.

Supongamos una viga simplemente apoyada de seccin rectangular (Figura IV 12) y en la cual suponemos que existe colaboracin del hormign a traccin (ESTADO 1), analizando el equilibrio de un elemento de pieza ubicado por encima de una fibra distante y1 del eje neutro, deber cumplirse que: yx . b0 . dx + Nx = Nx + dNx de donde resulta 1 dNx yx = ---- -------b0 dx

Donde Jn: momento de inercia de la seccin respecto del eje neutro

La integral representa el momento esttico de la parte rayada de la seccin ubicada por encima de la fibra I 1 respecto del eje neutro (Sn 1), luego Q. Sn xy = ------b0. Jn que es la expresin de Jourasky. En hormign armado el cociente Jn ------ z brazo elstico de la seccin Sn Luego en general se puede expresar la tensin de corte Q = -----------b0. z Teniendo en cuenta la no colaboracin del hormign a traccin y su ley de variacin en compresin, se llega a expresiones similares para la tensin de corte en estado III. Como b0 debe adoptarse el ancho mnimo de la seccin y z, en estado III, resulta aproximadamente: z 0,85 . h

Si conocemos la variacin de tensiones normales y tangenciales en las distintas fibras de una seccin, para todas las secciones podemos determinar las tensiones principales en cualquier punto de una viga, mediante las siguientes expresiones:

Si analizamos un elemento de viga sometido a flexin y corte segn el siguiente esquema:

Mediante las ecuaciones (1) y (2) podemos hallar las tensiones mximas de traccin y compresin y el ngulo que forman las direcciones principales de tensin. Se denominan lneas isostticas de traccin o compresin a las envolventes de las tensiones principales respectivas. En la Figura IV- 14 se observan las lneas de traccin y compresin para una viga de hormign, suponiendo que el mismo no est fisurado.

El mecanismo adoptado para que el hormign y acero transmitan los esfuerzos de corte, es anlogo al de una estructura reticulada, cuyo cordn superior est formado por la zona comprimida del hormign, el cordn inferior lo constituye la armadura a traccin, las diagonales comprimidas son bielas inclinadas de hormign, las tracciones son barras de acero inclinadas y los montantes quedan materializados con barras de acero verticales denominadas estribos. En principio, este mecanismo no parece el ms apropiado, pues podra pensarse en una distribucin de armaduras que sigan las lneas isostticas de traccin pero esta disposicin sera adems de muy complicada, incorrecta, ya que si bien se garantiza el equilibrio de los esfuerzos internos, las deformaciones en el acero

seran muy elevadas, produciendo nuevas fisuras en el hormign que cambiaran el estado de tensiones y, por ende, el equilibrio.

El funcionamiento del reticulado anlogo es el siguiente (Figura IV 15): Figura A: La carga P se descompone en dos direcciones (1) y (2), ambas de compresin, el esfuerzo en (2) se descompone en dos esfuerzos de traccin en las direcciones (3) y (4), la componente vertical de (4) es igual a P y esta armadura inclinada es la que cuelga la carga del punto (A), reinicindose el ciclo hasta llegar al apoyo. Figura B: Funciona de igual modo utilizando barras verticales estribos en lugar de bielas inclinadas. Normalmente, se colocan barras dobladas a 45 60 respecto de la horizontal y estribos, actuando como reticulado superpuesto. IV.9.2 DESPLAZAMIENTO O DECALAJE DEL DIAGRAMA DE MOMENTOS Debido al funcionamiento del reticulado anlogo, el esfuerzo en la armadura traccionada aumenta y disminuye el esfuerzo de compresin en el hormign. Si se toman momentos respecto de = (Figura IV 16) resulta: P. z. cotg P. z. cotg P (a+ z . cotg ) - ---------------- - --------------- - Z. z = 0 2 2 De donde el esfuerzo en las barras traccionadas resulta: (cotg cotg ) Z= P [a/z + ----------------------- ] 2

De acuerdo a la teora de flexin a Z = P ----Z

En consecuencia el incremento Z resulta P Z = ------. (cotg cotg ) 2

Se obtiene la reparticin de esfuerzos correcta produciendo un desplazamiento del diagrama de momentos en la direccin del eje de la pieza y hacia los puntos de momento nulo. Los valores de dependen del tipo de armadura de corte que se disponga y su valor se obtiene de la Figura IV 18.

IV.9.3 VERIFICACIN DE TENSIONES Y DIMENSIONAMIENTO DE ARMADURA Una vez determinados los esfuerzos en la viga, es necesario verificar las tensiones de corte y en funcin de ellas calcular las armaduras dobladas y estribos necesarios que, conjuntamente con el hormign, absorben los esfuerzos de corte. I) Procedimiento general vlido para elementos sometidos a flexin pura o compuesta con gran excentricidad.

Se determinan las tensiones de corte en las secciones de mximo esfuerzo Q Qi 0i = --------b0 . z donde 0i = tensin de corte en la seccin; Qi = esfuerzo de corte en la seccin; b0 = ancho mnimo de la seccin; z = brazo elstico de la seccin para secciones rectangulares z 0,85 . h para secciones T d z = h - ----2

La NORMA DIN 1045 permite adoptar como tensin de corte de clculo aqulla correspondiente a una seccin ubicada a una distancia r del eje de apoyo. 1 r = ------ (h + c) 2 h r = ---2

Para apoyos directos (columnas, tabiques) Para apoyos indirectos (vigas, nervios) Siendo c = ancho de apoyo.

Luego se determina la tensin de clculo mximo xM - r Mx 0i = 0i . ---------xM donde: xM coordenada de corte nulo mdida desde el apoyo correspondiente LA NORMA DIN 1945 diferencia tres casos: CASO I Si mx. 0 012

Es necesario colocar una armadura de corte capaz de absorber una tensin CASO II Si = 0,4. mx 0 012 < mx. 0 02

Se debe determinar una tensin de dimensionamiento para calcular la armadura necesaria cuyo valor es: (0)2 = ---------- 0,4 0 02 La tensin de dimensionamiento mxima mx corresponde a la seccin de mx. 0 o sea: (mx 0)2 mx = ---------- 0,4 . mx 0 02 CASO III Si 02 < mx. 0 03 La tensin de dimensionamiento resulta: = 0 y la mxima tensin de dimensionamiento que corresponde a la seccin de mx. 0 es: mx = mx. 0 Si la tensin de clculo mximo resulta: mx 0 > 03 es necesario redimensionar la seccin de la viga, aumentando el ancho o la altura de la misma. Los valores de 012, 02 y 03 se obtienen de la tabla T57 y dependen de la calidad del hormign. En la figura IV 19 se observa dibujado en trazo discontinuo el diagrama de corte de la viga, y en trazo llano el diagrama final con el cual se debe dimensionar la armadura segn el caso. De acuerdo a lo visto anteriormente, la armadura de corte puede estar constituida por: a) barras dobladas a 45 60 y estribos b) estribos solamente

Dada la viga de la figura IV 20, sometida a una carga distribuida uniforme, se ha obtenido el diagrama de tensiones de corte de dimensionamiento . Eligiendo ahora el dimetro y separacin de estribos, se puede obtener la tensin de corte B que absorbe: AsB. st. n B = -------------b0. t donde: B = tensin de corte obtenida por los estribos st = tensin de clculo del acero s = --------- 2400 kg/cm2 1,75 n = nmero de ramas de los estribos

En la Figura IV- 20 se observa una franja rayada que representa la zona del diagrama de corte cubierta por los estribos; se deben determinar ahora las barras dobladas capaces de absorber el resto del volumen de tensiones. Llamando s = mx B del anlisis de la Figura IV 20 surge que xi xm ------- = ----------(I) s max Luego, el esfuerzo de corte que deben absorber las barras dobladas resulta: s = ass . st . ns. 2 cos

donde: ass = seccin de la barra deblada ns = nmero de barras dobladas = ngulo complementario de inclinacin cuyo valor es = 0 si se doblan a 45 = 15 si se doblan a 60 La tabla T59 tiene tabulados valores de TR para diferentes dimetros, cantidad de barras dobladas y tipo de acero. De las tablas T60 a T67 se pueden obtener valores de R para diferentes dimetros, separacin y tipo de acero. Las barras dobladas deben contar al eje baricntrico de la viga, en un punto quer coincide aproximadamente con el baricentro de la superficie del diagrama de tensiones de corte que les corresponde.

En la Figura IV 21, se observa el doblado de barras, donde a partir del volumen de tensiones 1 se obtiene Ts1 (barras dobladas 1), y del volumen de tensiones 2 se obtiene Ts2 (barras dobladas 2). Las ecuaciones (I) y (II) son vlidas para vigas sometidas a una carga distribuida uniforme y donde se doblan todas las barras en un mismo punto (baricentro del tringulo de base x1 y altura s). Para diferentes tipos de diagramas se obtienen las siguientes expresiones:

II)

Procedimiento simplificado vlido para vigas bajo cargas uniformes y no solicitadas a esfuerzos normales. Al igual que en el procedimiento general se determina la tensin mxima de clculo mx 0. La armadura de corte necesaria es: Ast = (AsA + AsT) (cm2)

Donde: AsA = armadura necesaria de flexin en el apoyo correspondiente AsT = armadura necesaria de flexin en el tramo = este factor se obtiene del grfico A.58 entrando con los cocientes c/xM y max 0 / 02 Luego, la armadura de corte necesaria resulta: Ast = AsB..xM + Ass (cm2) AsB = armadura de estribos Ass = armadura de barras dobladas De las tablas T68 y T69 se obtienen armaduras de estribos y de barras dobladas para diferentes dimetros de barras. Es importante sealar que al doblar barras para absorber esfuerzos de corte, quede cubierto el diagrama de momentos en toda su extensin con la armadura necesaria.

IV. 10 TORSIN Ciertos elementos estructurales pueden estar solicitados a torsin en forma combinada con momentos flexores y esfuerzos de corte, en el caso de vigas de planta circular o vigas que soportan losas en voladizo, sin losas de continuidad. Determinado el momento torsor mximo Mt es necesario calcular las tensiones tangenciales que provoca en el plano de la seccin que a su vez conducen a tensiones tangenciales que forman un ngulo de 45 con el eje de la viga. La tensin de torsin resulta: Mt t = ------Wt Wt = mdulo resistente a torsin de la seccin, en ESTADO I sin considerar la armadura. Ver tanla T71. a) Verificacin a torsin pura Si la tensin t resulta: t 0,25 . 02 no es necesario verificar armadura, por el contrario, si t es: 0,25 02 t 02 Es necesario verificar armadura. Si el valor de t resulta: t > 02 es necesario redimensionar la seccin. b) Verificacin a torsin y corte Si 0 + t 012, con 0 = tensin de corte no es necesario verificar armadura. Si 0 + t 012 y se cumplen simultneamente las siguientes condiciones:

0 + t 1,3 02 0 03 t 02 se deber determinar por separado, la armadura necesaria para absorber 0 y t.. Si algunas de estas tres condiciones no se cumplen, es necesario redimensionar la seccin. c) Determinacin de la armadura de torsin El esfuerzo de torsin es absorbido mediante barras longitudinales y estribos que constituyen un reticulado espacial ideal conjuntamente con bielas comprimidas de hormign inclinadas a 45 . La lnea media de este reticulado espacial pasa por el centro de las barras longitudinales, formando un permetro donde el esfuerzo de corte es constante y que encierra la seccin Ak de dimensionamiento.

A k = b k . dk La seccin de estribos necesaria para absorber el momento torsor es: Mt . tB AsB = ------------------- (cm2) 2. Ak . s

Donde

s s = ----------- 2400 kg/cm2 1,75 La seccin total de barras longitudinales necesaria para absorber torsin es: Mt . Uk AsL = -----------------2. Ak . s

(cm2)

Donde Uk es el permetro de la seccin de dimensionamiento = 2 (bk + dk) IV.11 DISPOSICIONES DE APOYO En vigas debe colocarse una armadura a flexin no menor del 1,5 de la seccin total de hormign y una armadura de corte no menor de la necesaria para absorber una tensin = 0,25 mx. 0 Separacin mxima entre estribos

Caso 1 Caso 2 Caso 3 d0 = altura total de la viga Separacin mxima entre ramas

0,8 d0 30 cm 0,5 d0 25 cm 0,3 d0 20 cm

0,80. d0 40 cm Separacin mxima entre barras dobladas

IV. 12 ARMADURA ADICIONAL BAJO CARGAS CONCENTRADAS En las zonas de viga donde existen cargas puntuales es necesario reforzar la armadura transversal; esta armadura adicional puede estar constituida por estribos o barras dobladas. Clculo de la armadura 1) Estribos 2) A) Si se adopta el dimetro, la cantidad de estribos a colocar resulta: P c = ----------------n. asB . st siendo: c: cantidad de estribos a colocar P: valor de la carga puntual (t) asB : seccin transversal del estribo (cm2) st: tensin de clculo del acero (t/cm2)

n: nmero de ramas c) Si se adopta el nmero de estribos, la seccin asB de la barra de estribo a colocar resulta: P AsB = ------------c. n. st

Los estribos deben repartirse en una distancia igual al ancho de la viga que apoya. 3) Barras dobladas o caballetes La cantidad de barras dobladas ns a colocar resulta: P ns = --------------------------2 . ass . st ass = seccin de la barra doblada

Debe ser:

a 2. b

IV.13 CLCULO DE SOLICITACIONES Y DIMENSIONAMIENTO DE VIGAS EN ZONAS DE BASES U ORIFICIOS Determinacin de los esfuerzos en los cordones superior e inferior de la seccin I I, ver Figura IV 27. a) Clculo de momentos de inercia de los cordones

CAPTULO V COLUMNAS Y TABIQUES PORTANTES V.1 INTRODUCCIN

Las columnas y tabiques portantes son elementos estructurales que transmiten las cargas permanentes y accidentales del edificio hasta el plano de fundacin. Constituyen dichas cargas: a) el peso propio de columna o tabique. b) las reacciones de vigas que apoyan en dichos elementos. c) las losas que apoyan sobre tabiques. d) mampostera o cerramiento que descansan sobre tabiques. Cada una de estas cargas enumeradas se repite piso a piso hasta llegar a la fundacin. En general, las columnas y los tabiques trabajan fundamentalmente a compresin, apareciendo esfuerzos de flexin en:1) columnas de borde, 2) estructuras contraviento o antissmicas constituidas por sistemas de prticos y/o tabiques que soportan cargas horizontales, 3) columnas o tabiques donde exista una importante excentricidad de cargas. Desde el punto de vista de funcionamiento estructural podemos distinguir: a) Columnas con estribos simples, cuya armadura resistente est constituida por barras longitudinales y la armadura transversal, formada por estribos cerrados o abiertos, slo responde fundamentalmente a la necesidad de impedir el pandeo de las barras longitudinales. b) Columnas zunchadas, adems de la armadura longitudinal resistente, llevan una armadura transversal continua, en forma de espiral, arrollada sobre aqulla y que contribuye a la resistencia de la pieza. V.2 DETERMINACIN DE LAS CARGAS La carga total actuante sobre una columna es igual al peso propio, reacciones de apoyo de vigas concurrentes y la carga que transmite la columna de los pisos superiores, si los hubiere.

Para calcular la columna C1 en el tramo 4 pso (S/4 - S/3), se determina la carga tot