COLEGIO SANTA MARÍA MARIANISTAS

     

Integrantes:• Pedro Pablo Arrese• Alejandro Fiocco• Juan Diego Mujica• Felipe Palomares

Alguna vez te has puesto a pensar y te has preguntado ¿que forma tiene una caja de galletas?, ¿y un tubo?, ¿y una pelota?, ¿y un lapicero?, ¿y un cono de helado?,... Todos los objetos que nos rodean son cuerpos. Tienen tres dimensiones: altura, ancho y espesor.

Estos ocupan un lugar en el espacio. Dentro de este mundo, hay una clase especial: Los sólidos geométricos.

No creo que nunca hayas escuchado hablar de ellos. De hecho que te suenan los prismas, cubos o cilindros. Pero otros te preguntaras que son: tetraedro, octaedro,..., pero en el planeta en el que nos movemos vivimos rodeados y manipulando consecutivamente sólidos geométricos. 

Según las características de los elementos de los sólidos geométricos, se pueden clasificar en dos grandes grupos los poliedros y los cuerpos redondos … creo que me estoy adelantando. Eso lo veremos después.

Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares.

En los poliedros distinguimos: Vértices: puntos donde concurren tres aristas

Aristas: lados de los polígonos regulares

Caras: polígonos regulares

Además podemos fijarnos en: Ángulos planos: cuyos lados son dos aristas convergentes.Ángulos diedros: cuyas caras son dos polígonos adyacentes.Ángulos triedros: formados por tres caras convergentes en un vértice.

Poliedro convexo:: si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras.

Poliedro cóncavo: es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura.

Poliedro simple: es el que no tiene orificios que lo atraviesen. En todo poliedro simple se cumple el teorema de Euler.

Teorema que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios) cualquiera.

Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número de caras, C, más el número de vértices, V, es igual al número de aristas, A, más dos. Es decir:C + V = A + 2

En un vértice pueden concurrir m polígonos regulares de n lados unidos vértice a vértice. La suma de los ángulos de cada uno de estos polígonos no debe ser mayor de 360º, pues de lo contrario no formarían un “ángulo sólido”.

<360ºPor tanto debe considerarse que:

Los poliedros más sencillos son aquellos que se forman a partir de un solo polígono regular. Este grupo de poliedros ya era conocido por Euclides (330 a.C.) y estos cinco sólidos estuvieron acompañados de cierto misticismo. Se asociaban con los cuatro elementos supuestos y con el Universo y reciben el nombre de sólidos platónicos. Los únicos sólidos platónicos son:

Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Representa el fuego. Está formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.

Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.

Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.

Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el que tiene mayor volumen en relación con su superficie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.

En todos ellos se cumple la relación: CARAS + VÉRTICES – ARISTAS = 2

Nombre Nº de Caras

Nº de aristas

Nº de vértices

Nº deÁngulos Diedros

Figuras que forman

las caras

Tetraedro4 6 4 6 Triángulo

equilátero.

Cubo 6 12 8 12 Cuadrado

Octaedro8 12 6 12 Triángulo

equilátero

Dodecaedro 12 30 20 30 Pentágono

Icosaedro20 30 12 30 Triángulo

equilátero

Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de sí mismo, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el cubo lo es del octaedro:

El prisma es un poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos congruentes llamados

bases, cuyos planos son paralelos.

Bases: dos polígonos congruentes, cuyos planos son paralelos.

Caras laterales: polígonos regulares.Arista: lados de los polígonos

regulares.Vértices: puntos donde concurren

tres aristas.Altura: distancia entre las dos

bases.Diagonal: segmento que une dos

vértices que no pertenecen a una misma cara.

En un prisma, el número de caras laterales es igual al número de lados del polígono de la base.

Prisma Cuadrangular Prisma Hexagonal

El nombre de un prisma se da según el polígono de la base.

Es el poliedro convexo cuyas caras son regiones paralelogramos inclinadas y sus bases son regiones poligonales pertenecientes a planos paralelos.

Es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases

En el prisma recto, las caras laterales son todas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.

Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos.

Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.

Prisma Nº Caras

Nº Vértices Nº Aristas

Triangular 3 6 9

Cuadrangular

4 8 12

Pentagonal

5 10 15

Hexagonal 6 12 18

Prisma Triangular

Prisma Cuadrangular

Prisma Hexagonal

Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula:ALATERAL = (perímetro de la base) (altura del prisma)

Y para obtener el área total del prisma solamente

tendríamos que sumar, al área lateral, el área de las dos bases del prisma.

ATOTAL = ALATERAL + 2ABASE

Para calcular el volumen de un prisma se deben multiplicar sus dimensiones.

V = largo x ancho x alturaObserva que el producto de las dos primeras

dimensiones (largo y ancho) es precisamente el área de la base.

Para hallar el volumen de un prisma, podemos utilizar la relación:

VPRISMA = [Área de la base] · [Altura del prisma]

Prisma Óptico Sólido Cristalino

La pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono y por caras laterales varios triángulos con un vértice en común.

La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base.

Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal … según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono …

Pirámide Triangular Pirámide Cuadrangular

Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.

Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.

Pirámide Cuadrangular

Pirámide Triangular

Pirámide Nº Caras

Nº Vértices Nº Aristas

Triangular 3 4 6

Cuadrangular

4 5 8

Pentagonal

5 6 10

Hexagonal 6 7 12

En una pirámide regular se cumple que:El área lateral es igual al producto del semiperímetro de la base por la longitud de la apotema de la pirámide.

ALATERAL = semiperímetro · apotema

En una pirámide cualquiera se cumple que :El área total esta determinada por la suma de las áreas de las caras laterales y el área de la base

ATOTAL = ALATERAL + ABASE

El volumen de una pirámide es igual a un tercio del volumen del prisma.

VPIRÁMIDE = 1/3 VPRISMA

VPIRÁMIDE = 1/3 (ABASE) (altura)

Las pirámides de Egipto son un ejemplo de construcciones de pirámides. Los Egipcios, según lo que se observa en las pirámides sabían algo de geometría.

En la naturaleza observamos muchos cuerpos geométricos. En esta sección estudiaremos sobre los cuerpos redondos. Los cuerpos redondos tienen algo esférico. Como la esfera por ejemplo, si se dan cuenta no tiene lados es todo circular. El cilindro solo tiene bases aunque ups creo que me estoy adelantado a lo que sigue...bueno...allá vamos...

Sólido generado por la rotación completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, llamado eje.

Radio

Altura

Generatriz

Bases

AO

BO’

Bases: dos círculos paralelosRadio (r): AO = BO’Altura (h): OO’, perpendicular trazada entre

las bases.Generatriz (g): AB, lado del rectángulo que

gira alrededor del eje.

Área lateral (AL)AL = 2πr · g

Area Total (AT)AT = AL + 2ABASE

AT = AL + 2πr2

Volumen (V)V = ABASE · hV = πr2 · h

Desarrollo de Cilindro

Tubo de Telescopio

Es el sólido originado por la rotación completa de un triangulo rectángulo alrededor de uno de los lados que forman el ángulo recto.

V

O B

Radio

Vértice

Base

Altura

Generatriz

Vértice: V, punto cúspide del sólidoAltura (h): VO, perpendicular trazada del vértice a la

base.Base: circulo generado por la base del triangulo

rectángulo que rota.Generatriz (g): VB, lado del triangulo que rota

alrededor del eje.

Área Lateral (AL):AL =πr · g

Área Total (AL):AT = AL + πr2

Volumen (V):V = 1/3 πr2h

Desarrollo del Cono

El Teide

Fuji-Yama

Es el sólido limitado por una superficie cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto interior llamado centro.

Diámetro

Radio

Centro

Diámetro: segmento que pasa por el centro y cuyos extremos son dos puntos de la superficie de la esfera.

Radio (r): segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

Area (A):A = 4πr2

Volumen (V):V = 4/3πr3

Reactor de una central eléctrica

La Tierra