Potències i arrels - balagium.com fileTots els dossiers que estiguin en format PDF gratuït es...
13
3 Maths Continguts teòrics i exemples Potències i arrels
-
Upload
duongkhuong -
Category
Documents
-
view
219 -
download
0
Transcript of Potències i arrels - balagium.com fileTots els dossiers que estiguin en format PDF gratuït es...
3
Maths
Continguts teòrics
i exemples
Potènciesi arrels
Edita: Balàgium Editors, SL [email protected] www.balagium.com
Edició: Octubre 2015ISBN: 978-84-15184-48-5Dipòsit legal: L-1431-2015
Disseny cobertes i maquetació: Jordi Prió Burgués
© Balàgium Editors, SL
Reservats tots els drets.Tots els dossiers que estiguin en format PDF gratuït es podran projectar a l’aula i fer-ne fotocòpies per a l’alumnat sempre i quan s’indiqui la seva perti-nença al projecte Maths.
Tot i que és possible fotocopiar tot els dossiers, es recomana comprar-los perquè resulta més econòmic i, alhora, es contribueix a desenvolupar altruis-tament el projecte Maths.
Potències i arrels3
Potències ..................................................................................................... 2 Concepte .............................................................................................. 2 Potències de base 10 ........................................................................... 3 Potències de base 2 ............................................................................. 3 Casos particulars .................................................................................. 3 Potències de nombres enters ............................................................... 4 La potenciació no és commutativa ........................................................ 4
Propietats de potències amb la mateixa base .......................................... 5 Producte ............................................................................................... 5 Divisió ................................................................................................... 5 Potència d'una potència ........................................................................ 6 Lanotaciócientífica .............................................................................. 8
Propietats distributives de les potències ................................................. 9 Respecte al producte ............................................................................ 9 Respecte a la divisió ............................................................................. 9 Respecte a la suma ............................................................................ 10
Exemples d'operacions combinades........................................................11 Potències amb la mateixa base ...........................................................11 Potències amb bases diferents ........................................................... 12
Arrels ......................................................................................................... 14 Concepte ............................................................................................ 14 Arrels equivalents ............................................................................... 16
Propietats dels radicals ............................................................................ 18 Producte ............................................................................................. 18 Quocient ............................................................................................. 18 Arrel d'una arrel .................................................................................. 19
Operacions amb radicals ......................................................................... 19 Extracció de factors fora del radical .................................................... 19 Entrada de factors dins del radical ...................................................... 20 Suma i resta ....................................................................................... 20 Racionalització ................................................................................... 21
Ús de la calculadora ................................................................................. 22
Taula de fórmules ..................................................................................... 24
5
Potències i arrelsTeoria i exemples 3
Propietats de potències amb la mateixa base
2
2
2
2
2
2
2
3
7
4
1 1
5
4
24
3
7
27
8
3
-3
= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2
1
2
·
:
:
5
4
7
Simplifiquem
=
=
=
= = =
2 · 2 · 2 · 2
2 · 2 · 2 · 2
2 3
Es resten els exponents
1 1
8
2 · 2 · 2 =
Producte
Divisió
Aquestesoperacionsserveixenpersimplificariexpressarelresultatmitjançantunasola potència.
i
2
÷
Quan una potència canvia del numerador al denominador o viceversa, l'exponent canvia de signe.
3
-3
p1 a a an m n + m
· =
p2
p3
Una potència amb exponent negatiu representa aquesta potència amb l’exponent positiu al denominador d’una fracció.
a
+
-
-
=
=
a a an m n - m
:
Se sumen els exponents
=
a aa a
n - n
- n n = =
=
8
Maths. Secundària
La massa de l’àtom d‘hidrogen és 1,66·10-24 grams.
Els temps que tarda la llum a recórrer un 1 km és de 3,3·10-6
segons.
Un àngstrom (Å) és una unitat de longitud equivalent a 10−10 metres.
La constant de Planck (física fonamental) caracteritza la quantització de la natura i és igual 6,623·10-34 kg·m²/s.
-5
-60,00000248 = 2,48 · 10
0,00003 = 3 · 10
6
51 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
4 La notació científicaLanotaciócientíficaésunamanerad’anotarnombrespermitjàdepotències de base 10. Aquesta notació s’utilitza per expressar nombres molt grans o molt petits.Unnombreexpressatennotaciócientíficaconstad’una part entera, una decimal i una potència de base 10.
L’estrella més propera al Sol, Alfa de Centaure, es troba a una distància de 4,13·1013 km.
A La Terra hi ha aproximadament unes 7·109 persones.
A la nostra galàxia, la Via Làctia, hi ha unes 3·1011 estrelles.
La distància als confinsobservables de l’Univers és d’uns 4,6·1026 m.
Els dinosaures es varen extingir fa uns 6·106 anys.
a
Potències d'exponent negatiub
Potències d'exponent positiu
2 480 000 = 2,48 · 10
300 000 = 3 · 10
La part entera només té una xifra
La part entera només té una xifra i diferent de zero
La part decimal télesxifressignificatives
La part decimal télesxifressignificatives
Potència de base 10
Potència de base 10
5
Lacomaesdesplaçacap a l’esquerra
Lacomaesdesplaçacap a la dreta
6
6
512345
123456
Prefixos submúltiples del Sistema Internacional-1
-2
-3
-6
-9
-12 -24
-15
-18
-21deci d
centi c
mili m
micro n
10
10
10
10
nano zepton z
pico yoctop y
femto f
atto a
10 10
10 10
10
10
10
Maths. Secundària
3 Respecte a la suma
a
-3 32 52 5
= = = 5 25 2_ i
-3 3
-3 3
b
=-n n
a bb a_ i
El signe de l’exponent es canvia quan una potència passa del numerador al denominador o viceversa.
Lajustificacióestrobaenl’apartat a de la pàgina anterior.
_ i
_ iUna fracció amb exponent negatiu és igual a la fracció inversa amb l’exponent positiu.p6
a bn nn
+a b+_ i !No es compleix ni per a la suma ni per a la resta.Els dos exemples següents ho justifiquen.
b
2
3
a
a
b
b
+
+
_
_
i
i
=
=
=
=
=
=
a
a
a·b
a·b2a2·b
b
b
+
++
+
+
2
3
2
3
2
33
a·b
a·ba2
b2
a + b
a + b
( a + b) · ( a + b ) · ( a + b )
( a + b) · ( a + b ) ab
a b
a+b
a+b
a+b
11
Potències i arrelsTeoria i exemples 3
Exemples d'operacions combinades
1 Potències amb la mateixa base
2 2
9 3 3
2
27
2 22
3
2 2
3
2
3 3 3
2
3
5 4
4 8 62
5·3 4·23
3
8 15 8 31
24
4
2 5 10
3 + 4 + 1
3 + 2 + 5
·
·
·
· ·
·
·
· ·
· · · ·
·a
b
c
d
=
=
= =
= =
Es multipliquen els exponents dels parèntesis
Se sumen els exponents
Calfixar-sequel’exponent és un 1
9 i 27 es poden posar com a potències de base 3
3 2
3 32 34 2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
5
2
5
4
5
16
3
3
2
5
3
3
·
·
·
·
·
· ·
·
·
4
4
^
^
^
^
5
2
5
2
5
2
2
5
7
7
·
·
·
·
3
6
^
^
^
^
5 5
2
5
2
2 + 3 5 + 12
10+12+12
17
34
5
2
5
2
5
2
7 + 1
1 + 7
8 + 6
8 + 30
14
38
5
2
5
2
3·4
3·4
2·3
5·6
5
2
5
2
17 - 14
34 - 38
3
-4
Es resten els exponents
Es resten els exponents
^ ^^ ^
Se sumen els exponents
Se sumen els exponents
^ ^^ ^
+ +
2 22 45 3^ ^^ ^
Se sumen els exponents
Es multipliquen els exponents dels parèntesis
Es multipliquen els exponents dels parèntesis
4 i 16 es poden posar com a potències de base 2
Es multipliquen els exponents dels parèntesis
se sumen els exponents
se sumen els exponents
4
14
Maths. Secundària
Arrels
83
=
signe radical:
indica el tipus d’arrel
és el símbol de l’arrel
2
índex
Tipus d’arrel
radicant
arrel
b
a
3 4
a
a a
arrel quadrada(quan l’índex és 2, no s’indica)
arrel cúbica arrel quarta
8 = 23
83= 2
a an= = b b
n
5
8= 223elevar al cub arrel cúbica
83
= 2
8arrel cúbica
83
= 2 8= 23elevar al cub
ConcepteL’arrel d’un nombre és l’operació inversa d’elevar un nombre.S’anomena radical l’expressió enquadrada en blau.
1
Es llegeix
“arrel cúbica de 8”
,Una expressió amb un radical es pot escriure mitjançantpotències.
,
Les arrels següents s’ano-menen cinquena, sisena, setena, vuitena, novena, desena, etc.
definiciód1
19
Potències i arrelsTeoria i exemples 3
3 Arrel d’una arrel
=
=
= = = 3
m
32
5
an
215
am·n
Per definició
Per definició
Per definició
Producted’exponents
155 53
11 11
2 2 2( (
1
7 73 3
3 3
5 55
73
3 3 3
73
3
73
7
3
2 22 22 3
7
3
3 33 35 55
35
9
3
4 4
2 23
4·2
19 415 34
2
1
7 25 23 33
1
= =
= =
=
=
= =
=
= Suma
d’exponents
Suma d’exponents
Producte radicals (mateix índex)
Producte radicals (mateix índex)
Producte potències (mateixa base)
Simplificacióradicals
Simplificacióradicals
SimplificacióradicalsÍndex 2
·
·
· ·· · ··· ·· ·
· ·
· ·
73
2
5
5
5
9
19
7
11
4
3
1
2
1
4
2
^ ^2
Exponent 1
Exponent 1
3 és més petit que 5
a
b
c
5
9
3·1
2·4
2
1
=
=
+
+
Amb una arrel cúbica, cada tres 7 en pot sortir un fora de l’arrel
3·1 2+
Veuredivisió (dreta)
Veuredivisió (dreta)
2·4 1+
Amb una arrel quadrada, cada dos 3 en pot sortir un fora de l’arrel
Extracció de factors fora del radicalQuan una potència té l’exponent més gran o igual que l’índex del radical, es pot treure una part de la potència fora del radical.
r 7
Equival a multiplicar els índexs dels radicals.
Operacions amb radicals7 Aquestes operacions serveixen tant per agrupar radicals com per descompondre’ls.
22
Maths. Secundària
8 Ús de la calculadora
1
2
3
Potències
Arrels
Notació científica
x2 x3
xy ^
an Elevar al quadrat
Arrel quadrada
Per introduir l’exponentde la potència de base 10
Per introduir el signe negatiu a l’exponent
Elevar al cub
Arrel cúbica
Elevar a qualsevol exponent
Arrel amb qualsevol exponentn
EXP +/-x10x ( - )
3 x
x
x1/y y
Símbols de les funcions, representades a les tecles, per calcular
Lesactualscalculadorescientífiquesdisposend’unapantallaquepermetl’escripturamatemàtica. En canvi, en les més antigues o en les més senzilles aquesta opció no és possible.
Sense escriptura matemàtica Amb escriptura matemàtica
Algunes tecles poden executar més d’una funció. Aquestes agrupacions de funcions i de distribució depenen de cada calculadora.
1a funcióClicant la tecla
1a funcióClicant la tecla
2a funcióClicant les tecles
2a funcióClicant les tecles
10na ·
EXP
teclacursors
Teclesde calculadores amb
escriptura matemàtica
23
Potències i arrelsTeoria i exemples 3
25
4
5
5
4
8
243
512
2
3,456
7,03
3.456
7.03
3.456
7.03
2
3
2
2
· 10
· 10
25
25
64
2
3
2
5
9
2
8
-9
3
5
9
x2
x3
xy
xy 1/x
=
=
643
=
=3
En calculadores antigues 2
2
2
2
32
32
32
32
325
32
=
=
=
=
5
5
5
5
x
y
51
1
3
2
Potències
Notació científica
Arrels
^
x 10245 =445
Tecla dels cursors
=44
1681 81 16
Introducciód’una fracció
EXP
EXP
x10x
x10x ( - )
+/-
8
9
8
9
INV SHIFT
L’arrel cúbica es troba com 2a funció
o
Per indicar la coma decimal a les calculadores s’utilitza la tecla ·
23
Els continguts de l’ESO s’agrupen en les 10 temàtiques següents.
Disponibles en format imprès a preu gairebé de cost.
-volupant tot el projecte altruista Maths, especialment, els multi-mèdia interactius, d’accés lliure.
Una vegada aquests multimèdia estiguin acabats, els dossiers de teoria també estaran disponibles en PDF gratuït.
Cada una d’aquestes temàtiques presenta tres dossiers: un de teoria i exemples, un altre d’exercicis i activitats i, un tercer, amb la guia didàctica i solucionari.
Disponibles gratuïtament des de la seva publicació en format PDF.
Amb la col·laboració altruista del professorat, apor-tant suggeriments, exercicis i activitats, s’aniran rea-lizant, actualitzant i ampliant els dossiers d’exercicis i activitats i les guies didàctiques. En cada exercici i activitat se citarà l’autoria del pro-fessorat i/o centre educatiu col·laborador que ens l’hagi proporcionat.
Per a ampliar la informació del projecte i descarregar els PDF gratuïts, visiteu www.balagium.com
1 6
2 7
3
4
5
8
9
10
Els nombres Magnituds i mesura
Fraccions i proporcionalitat Geometria
Potències i arrels
Àlgebra
Funcions
Semblança i trigonometria
Estadística
Probabilitat
Continguts secundària
