Potenciales y campos eléctricos

J. C. Fortunatti, J. I. Specht

Departamento de Física – Universidad Nacional del Sur

Av. Alem 1253, (8000) Bahía Blanca, Argentina

e-mail: juan2_fortunatti@hotmail.com

e-mail: juanignaciospecht@gmail.com

Objetivos

En este trabajo se busca determinar el potencial eléctrico sobre un medio poco conductor, en el cual

se introducen electrodos conectados a una fuente de baja tensión. Finalmente, se propone comparar los

resultados experimentales de la distribución de potencial con la que resulta al resolver la ecuación de

Laplace con un método numérico usando una planilla de cálculo.

Introducción

En una región del espacio con densidad de carga nula se cumple la ecuación de Laplace[1]

:

(1)

con la cual es posible determinar el potencial en el espacio. En el caso bidimensional, se puede

reescribir la ec. (1) como:

(2)

Si se discretiza el espacio en intervalos regulares y se convierte las derivadas en cocientes de

incrementos finitos, es posible resolver esta ecuación por medio de un algoritmo o una planilla de

cálculo[2]

(véase Figura 1).

Figura 1. Discretización del plano x-y.

Para el caso bidimensional, las derivadas parciales para cada dirección, x e y, del plano se escriben:

(3)

(4)

y, por lo tanto, las derivadas segundas:

(5)

(6)

Con lo que la ec. (2) queda:

(7)

Teniendo en cuenta que en nuestra discretización ∆i=∆j, se llega a la siguiente expresión para Vi,j:

( ) (8)

Como se observa en la ec. (8), el valor de la celda Vi,j será un promedio de los valores de las cuatro

celdas vecinas a esta.

En el caso que una de las superficies conductoras en contacto con el medio que se estudie este

descargada, o sea no tenga un potencial fijado de antemano, las cargas en la misma se distribuirán por

efecto de la inducción producida por el contacto con las otras, adquiriendo un potencial que depende de

los potenciales de las demás, y que corresponde al equilibrio electroestático de todo el conjunto. En

este caso particular, es posible calcular el potencial inducido teniendo en cuenta la Ley de Gauss y el

hecho de que el campo eléctrico es el gradiente del potencial. La expresión que se obtenga representara

al promedio de los potenciales de los puntos vecinos a la superficie del conductor que, dependerán de la

forma geométrica del mismo.

Materiales

Fuente de C.C. Baw, modelo HY3003D.

Fuente de C.A.

Multímetro.

Placas conductoras de aluminio y bronce de distintos tamaños.

Plancha de papel grafito.

Cuba de acrílico transparente.

Método

A modo de determinar el potencial en función de la posición sobre una plancha de grafito, se montó

el circuito mostrado en la Figura 2. El mismo contaba con 3 placas conductoras de bronce montadas

sobre una plancha de papel grafito. Sobre este último también se habían colocado dos conductores

rectangulares, uno sin conectar y otro conectado por un cable conductor a la placa izquierda.

Se tomó como referencia (0 V) al conductor superior, y se conectaron las fuentes estableciendo dos

diferencias de potencial, V1 y V2, sobre las otras dos placas de bronce.

Figura 2. Setup experimental. Medición del potencial eléctrico sobre una plancha de grafito.

Se dibujaron líneas en intervalos de (1,0 ± 0,1) cm a lo alto y a lo largo de la plancha de grafito, a

modo de tener una referencia para cada medición de potencial. Finalmente, con un multímetro se

determinó la tensión sobre la planchuela para cada punto (x,y).

La segunda experiencia realizada consistió en la medición del potencial eléctrico en una cuba de

acrílico llena de agua. Dentro de la misma se colocaron tres placas conductoras de aluminio. Entre dos

de estas se conectó una fuente de C.A. generando una diferencia de potencial V0. También se introdujo

dentro de la cuba un conductor cilíndrico hueco de aluminio, el cual se encontraba solo en contacto con

el agua y el fondo de la cuba. Se utilizó una fuente de C.A. para evitar la electrólisis del agua.

Debajo de la cubeta se situó una hoja de papel milimetrado para poder realizar mediciones del

potencial, punto a punto, cada (1,0 ± 0,1) cm. Un esquema de este experimento puede ser observado en

la Figura 3.

Al realizar cada medición, se tomó la precaución de que la punta del multimetro esté perpendicular a

la base de la cuba.

Figura 3. Setup experimental. Medición del potencial eléctrico en un medio conductor liquido (agua).

En una planilla de cálculo en la computadora, se simularon las configuraciones mencionadas

anteriormente. Haciendo uso del cálculo automático del programa en sucesivas iteraciones, se puso en

práctica el método de relajación, a modo de comparar los resultados con los obtenidos

experimentalmente.

Resultados y discusión

La hoja de grafito utilizada tenía (28,3 ± 0,1) cm de ancho por (20,6 ± 0,1) cm de alto. El conductor

situado en la zona izquierda-central de la hoja era un cubo de aluminio de (4,1 ± 0,1) cm de lado, el

otro conductor que se encontraba a su derecha, también de aluminio, tenía una altura de (3,0 ± 0,1) cm

de ancho y (6,0 ± 0,1) cm de alto.

Los voltajes fijados para los conductores situados sobre la planchuela de grafito, V1 y V2, fueron

(-4,97 ± 0,01) V y (7,03 ± 0,01) V respectivamente. Estás fueron medidas situando el punto de

referencia en la placa superior, la cual se encontraría a 0 V.

En la Figura 4 pueden ser observados los datos obtenidos para la experiencia con la plancha de

grafito. Por otro lado, en la Figura 5 se muestran los resultados obtenidos al aplicar el método de

relajación con las condiciones de borde correspondientes a las geometrías de los electrodos colocados.

Figura 4. Resultados experimentales para el potencial eléctrico según la posición (x,y) sobre la hoja

de papel grafito.

Figura 5. Superficie del potencial eléctrico en función de la posición (x,y) para el papel de grafito,

determinada utilizando el método de relajación.

Complementando, en la Figura 6 se presenta la diferencia entre los resultados teóricos y

experimentales, estas diferencias oscilan significativamente en las esquinas donde el gradiente del

potencial es muy grande, y también en las zonas vecinas a los conductores. El error promedio calculado

a partir de la diferencia de los datos, es del orden de ~0,4 V, y el error relativo porcentual es de

aproximadamente 9,8%.

Los errores pico, que son prácticamente despreciables por el área que abarcan, en las esquinas de

coordenadas (0,0) y (28,0) pueden ser atribuidos a que en esa zona convergían sobre la plancha dos

zonas de potencial fijo, generadas por los conductores de bronce. Estos, al estar tan próximos producían

en esa zona una pendiente muy grande en el potencial, lo que llevó a que al cometer un error muy

pequeño al colocar la punta del tester en el punto a medir produjera un error significativo en la

medición. Por otro lado, en las zonas cercanas a las placas conductoras en la zona central de la plancha

también se observan errores considerables, los cuales pueden haberse producido debido a falsos

contactos entre las superficies de los mismos y la hoja de grafito.

Figura 6. Diferencia entre resultados experimentales y teóricos para la hoja de grafito.

En la segunda parte de la práctica se utilizó una cubeta de acrílico transparente de (30,5 ± 0,1) cm de

largo por (20,7 ± 0,1) cm ancho. La diferencia de potencial en la fuente de C.A., V0, fue de (11,24 ±

0,01) V; dado que el potencial de referencia no se estableció en los terminales de la fuente, sino en la

placa 3 dentro de la cuba; los potenciales sobre las placas 1 y 2 de la Figura 3 resultaron de (3,10 ±

0,01) V y (8,14 ± 0,01) V respectivamente.

En la Figura 7 se muestran los valores determinados con el voltímetro para este experimento. Los

resultados teóricos obtenidos tras aplicar el método de relajación con las condiciones de borde

correspondientes pueden ser observados en la Figura 8.

En la Figura 9, puede observarse la diferencia entre los resultados experimentales y teóricos para el

potencial según la posición sobre la cubeta de agua. El error promedio calculado a partir de esta

diferencia es del orden de ~0,2 V, un valor comparable al obtenido para la hoja de grafito, por otra

parte, el error relativo porcentual obtenido en este caso, es de aproximadamente 0,5%.

Se observa, en ambos experimentos, que la diferencia entre los resultados teóricos y experimentales

son máximas en las zonas cercanas a los conductores, esto podría deberse a que en la conjunción entre

los conductores y el medio conductor puede no haber un buen contacto, generando consideraciones

difíciles de determinar y abordar en el método teórico.

Figura 7. Resultados experimentales para el potencial eléctrico en función de la posición (x,y) sobre la

cuba.

Figura 8. Resultados teóricos, obtenidos mediante el método de relajación, para el potencial eléctrico

en función de la posición (x,y) sobre la cuba.

Figura 9. Diferencia entre resultados experimentales y teóricos para la cubeta de agua.

La gran diferencia entre los errores estadísticos de los experimentos puede deberse a que, en el caso

del grafito, solo hace contacto el extremo de la punta del tester, en un área muy pequeña con la hoja de

grafito. En cambio, en el caso de la cubeta de agua hay un buen contacto entre la punta del tester y el

medio conductor, ya que la punta se sumerge y la superficie de contacto es mucho mayor.

En las Figuras 10 y 11 se muestra que las líneas equipotenciales toman un comportamiento

tangencial al acercarse a los conductores, esto indica que las líneas del campo eléctrico deberán ser

normales a las superficies de los conductores, confirmando la teoría.

Figura 10. Líneas equipotenciales cada 1/8 de volt en la plancha de grafito.

Figura 11. Líneas equipotenciales cada 1/4 de volt en la cubeta de agua.

Conclusiones

Se logró comparar los valores experimentales y teóricos del potencial eléctrico en dos medios

conductores (agua y grafito) en los cuales se colocaron electrodos a distintas tensiones. Comparando

los resultados teóricos y prácticos para cada medio, se obtuvieron errores absolutos con magnitudes de

~0,4 V para el grafito y ~0,2 V para el agua. Por otro lado, el error porcentual para el caso del grafito

fue del 9,8 % y del 0,5 % para el agua, presentando errores picos en las zonas cercanas a los elementos

conductores.

Se propuso que el hecho de que las diferencias más grandes estén presentes en la vecindad de los

conductores pueda deberse a que no haya un buen contacto entre los mismos y el medio con el que se

encuentran, creando errores que son difíciles de modelar, o incluso prever.

Además, se observó que el error es mayor en el grafito que en el agua, esto puede ser atribuido a la

diferencia en el área de contacto de la punta del multímetro en uno y otro medio.

Se aconseja que al realizar este tipo de experimentos, no se coloquen muy próximos conductores

con grandes diferencias de potencial entre ellos, porque entre ellos, el potencial tendrá una pendiente

muy grande, lo que llevara a errores considerables en las mediciones.

Referencias

[1] D. J. Griffiths “Introduction to Electrodynamics” Prentice Hall. New Jersey (1999)

[2] S. Gil “Fisica Re-Creativa” Prentice Hall (2001).