Posgrado en Ciencia de los Materiales · Ciencia de los Materiales Sup er-incremento de los m...

Posgrado en

Ciencia de los Materiales

Super-incremento de los modulos de Young en

compositos binarios semi-auxeticos: Simulacion y

predicciones para las propiedades elasticas efectivas

de un medio ortotropo.

Tesis como requisito para obtener el grado de

Doctor en Ciencia de los Materiales que presenta:

Gerardo Gabriel Nava Gomez.

Director de tesis: Dr. Luis Edmundo Fuentes Cobas (CIMAV).

Asesores: Dr. Hector Camacho Montes (UACJ).

Dr. Federico Juan Sabina Ciscar (UNAM).

Chihuahua, Chih. Noviembre de 2012.

Agradecimientos

En el transcurso de mis estudios doctorales, tuve la oportunidad de conocer a un

numero importante de personas e instituciones cuya ayuda y apoyo incondicional, de

corazon, agradezco.

Doy gracias al CONACYT por la beca que, durante estos anos, fue el sustento de mi

familia. Agradezco tambien al CIMAV, al IIMAS y a la UACJ por todas las facilidades

que me proporcionaron. Agradezco el apoyo otorgado por los proyectos CONACYT

J47552-Y, 100559, 101489 y 129658.

Por otra parte, en lo personal, siempre estare en deuda con los amigos y familiares

que, en los momentos de crisis que llegue a vivir, estuvieron siempre dispuestos a darme

la mano. A todos ellos, desde esta hoja de papel: ¡Les doy las gracias!

Mencion especial se merecen mis asesores, de quienes he aprendido tanto. Espero que

el presente trabajo este a la altura de sus expectativas. En un plano personal digo: ¡Gra-

cias Hector y Federico por su apoyo financiero! ¡Gracias Luis, Flor, Ariane y Sandra por

sus gestiones ante CIMAV!

Por ultimo y no menos importante, quisiera dar las gracias a mi madre, por apoyarme

siempre en las decisiones que a lo largo de mi vida he enfrentado.

Dedico este trabajo a mis hijos: ¡No saben cuanto los extrano y me hacen falta!

i

Indice general

Resumen 1

Summary 2

1. Introduccion 31.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Descripcion del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Formalismos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Metodo de Homogeneizacion Asintotica . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2. Metodo de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Hipotesis y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.1. Hipotesis central y objetivos generales . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Verificacion de la hipotesis (objetivos particulares) . . . . . . . . . 12

1.5. Organizacion del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2. Sıntesis de los capıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Convenciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Elementos esenciales de la elasticidad lineal 172.1. Ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2. Tensor de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3. Tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.4. Ecuacion gobernante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.5. Relacion constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.6. Representacion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Elasticidad plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1. La ecuacion biarmonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2. Representacion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3. Potenciales de Kolosov-Muskhelishvili . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Restricciones fısicas para las propiedades elasticas . . . . . . . . . . . . . 322.3.1. Medios isotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2. Relaciones para medios ortotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.3. Restricciones fısicas para medios ortotropos . . . . . . . . . . . . 35

3. Metodo de Homogeneizacion Asintotica 383.1. Escalas de lectura de las propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ii

3.2. Aplicacion al caso elastostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3. Tensor de rigidez elastica efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Aplicacion en materiales compuestos con constituyentes transversalmente

isotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.1. Enunciado de los problemas locales en contacto perfecto . . . . . 463.4.2. Problemas planos y anti-planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.3. Clasificacion de los problemas locales . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5. Relacion entre los problemas locales ppL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.1. Un invariante entre promedios de esfuerzos locales . . . . . . . . . 513.5.2. Aplicacion a los problemas locales ppL . . . . . . . . . . . . . . . 523.5.3. Aplicacion al calculo de la propiedad efectiva C3333 . . . . . . . . 54

4. Solucion a los problemas locales I 564.1. Geometrıa para los problemas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2. Proceso de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3. Ejemplo: Problemas anti-planos 13L y 23L . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1. Forma de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.2. Periodicidad de los desplazamientos de la matriz . . . . . . . . . . 624.3.3. Continuidad de los desplazamientos en la interfaz Γ . . . . . . . . 634.3.4. Continuidad de las tracciones en la interfaz . . . . . . . . . . . . . 654.3.5. Evaluacion del promedio de los esfuerzos locales . . . . . . . . . . 674.3.6. Propiedades efectivas C44 y C55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. Solucion a los problemas locales II 735.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2. Solucion a los problemas locales ppL (p = 1, 2, 3) . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1. Forma general de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.2. Periodicidad de los desplazamientos de la matriz . . . . . . . . . . 775.2.3. Condiciones de continuidad en la interfaz . . . . . . . . . . . . . . 785.2.4. Sistema lineal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.5. Evaluacion del promedio de los esfuerzos locales . . . . . . . . . . 845.2.6. Simplificacion del sistema lineal equivalente . . . . . . . . . . . . 895.2.7. Propiedades efectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3. Problema plano 12L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3.1. Periodicidad de los desplazamientos de la matriz . . . . . . . . . . 965.3.2. Condiciones de continuidad en la interfaz . . . . . . . . . . . . . . 965.3.3. Sistema lineal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3.4. Promedio de los esfuerzos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3.5. Propiedad efectiva C66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6. Metodo de Elementos Finitos 1046.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2. Metodo de residuos ponderados de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . 108

iii

6.3. Aplicacion en materiales compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3.1. Formalismo esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3.2. Laminado binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.3. Matriz reforzada por fibras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7. Implementacion de las soluciones analıticas 1247.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.2. Control de salidas y configuracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3. Criterio de convergencia empleado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3.1. Naturaleza del problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.3.2. Convergencia por las potencias del radio . . . . . . . . . . . . . . 1307.3.3. Notas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.4. Instalacion y ejecucion de los programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4.1. Pre-requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4.2. Instalacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4.3. Ejecucion de los programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.4.4. Notas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8. Resultados y discusion I: Constituyentes convencionales y anisotropıa 1418.1. Material compuesto de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2. Comparacion MHA-MEF para el caso rectangular . . . . . . . . . . . . . 1498.3. Indice de Anisotropıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9. Resultados y discusion II: Semi-auxeticos 1619.1. Comparacion MHA-MEF: Caso rectangular y semi-auxetico . . . . . . . 162

9.1.1. Matriz convencional reforzada por fibras auxeticas . . . . . . . . . 1629.1.2. Matriz auxetica reforzada por fibras convencionales . . . . . . . . 1679.1.3. Una prediccion analıtica de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.2. Validez teorica de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.2.1. Cotas energeticas variacionales: VRA cuadrado . . . . . . . . . . 1819.2.2. Restricciones de Lempriere: Caso rectangular . . . . . . . . . . . . 186

9.3. Ventanas de auxeticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10.Conclusiones 197

Bibliografıa 200

A. Propiedades de las funciones matematicas empleadas 209A.1. Funciones elıpticas ℘(z) y ζ(z) de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 209

A.1.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.1.2. Relacion de Legendre: Valores para δ1 y δ2 . . . . . . . . . . . . . 211A.1.3. Serie de Laurent para ζ(z) y sumas de red . . . . . . . . . . . . . 212A.1.4. Serie de Laurent para la suma de la funcion ζ(z) y sus derivadas

impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

iv

A.2. La funcion Q(z) de Natanzon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.2.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.2.2. Relacion entre Q ′(z) y ℘(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220A.2.3. Calculo de las constantes γ1 y γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224A.2.4. Series de Laurent para Q(z) y sus derivadas impares . . . . . . . 224

B. Problemas Planos: Condiciones para las tracciones en la interfaz 226B.1. Formulacion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226B.2. Condiciones para los problemas ppL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227B.3. Condiciones para el problema 12L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228B.4. Operacion auxiliar de simplificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229B.5. Forma estandar de las condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

v

Indice de figuras

1.1. Material compuesto binario objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Micrografıas del composito de Wilkes et al. (2006) . . . . . . . . . . . . . 91.3. Modelo de fibras cortas de Levy y Papazian (1990) con algunas dimen-

siones relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1. Volumen representativo de analisis (VRA) con dimensiones caracterısticas. 564.2. Diagrama esquematico del proceso de solucion analıtica. . . . . . . . . . 584.3. Trayectos de integracion para evaluar los esfuerzos locales de la matriz

usando el teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4. Region en C donde la funcion ζ(z) y sus derivadas son analıticas. . . . . 62

6.1. Ejemplos de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2. Dominio Ω del problema y su frontera Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3. Diferentes condiciones para nodos que conectan los constituyentes de un

composito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4. Ejemplos de experimentos numericos para un laminado . . . . . . . . . . 1196.5. Condiciones empleadas para el modulo de corte de un laminado . . . . . 1206.6. Modelo y condiciones de elementos finitos para los modulos de corte C44

y C55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.1. Estructura de directorios empleada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.2. Diferentes tareas del proceso de calculo de las propiedades efectivas . . . 126

8.1. Coeficientes efectivos C22 y C33 en funcion de V2 para el material com-puesto de Dean y Turner (1973) (b/a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.2. Coeficientes efectivos de corte C44 y C66 en funcion de V2 para el materialcompuesto de Dean y Turner (1973) (b/a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.3. Coeficientes efectivos de corte C12 y C23 en funcion de V2 para el materialcompuesto de Dean y Turner (1973) (b/a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.4. Razon de Poisson efectiva ν13 en funcion de V2 para el material compuestode Dean y Turner (1973) (b/a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.5. Razones de Poisson efectivas ν31 y ν12 en funcion de V2 para el materialcompuesto de Dean y Turner (1973) (b/a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.6. Volumenes representativos de analisis para los casos b/a < 1 y b/a > 1 . . 1498.7. Resultados obtenidos para C11 y C22 cuando b/a = 5/4. Los consti-

tuyentes son los reportados por Dean y Turner (1973) . . . . . . . . . . . 150

vi

8.8. Resultados obtenidos para C13, C23, C44 y C55 cuando b/a = 5/4. Losconstituyentes son los reportados por Dean y Turner (1973) . . . . . . . . 151

8.9. Variacion del ındice de anisotropıa A = C44/C55 en funcion de la razonde aspecto b/a obtenida por ambos metodos cuando V2 = 0.8Vp. Losconstituyentes son los reportados por Dean y Turner (1973) . . . . . . . . 159

8.10. Variacion del ındice de anisotropıa A = C44/C55 en funcion de la razon deaspecto b/a obtenida por el MHA. Los constituyentes son los reportadospor Dean y Turner (1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.11. Variacion del ındice de anisotropıaA = C44/C55 en funcion de las propiedadesde los constituyentes para diferentes razones de aspecto . . . . . . . . . . 160

9.1. Coeficientes efectivos de rigidez elastica C11, C22 y C33 para una matrizde adhesivo convencional reforzada por fibras de polipropileno auxeticocuando la razon de aspecto es b/a = 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.2. Similar a la figura 9.1, coeficientes C13 y C23 . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.3. Similar a las figuras 9.1 y 9.2, coeficientes anti-planos C44 y C55. . . . . . 1649.4. Similar a las figuras 9.1, 9.2 y 9.3, coeficientes C12 y C66. . . . . . . . . . 1649.5. Razones de Poisson efectivas ν12, ν13 y ν23 obtenidas por el MHA. Matriz

convencional reforzada por fibras de PP auxetico, b/a = 3/2. . . . . . . . 1669.6. Modulos de Young efectivos E1, E2 y E3 obtenidos por el MHA. Matriz

convencional reforzada por fibras de PP auxetico, b/a = 3/2. . . . . . . . 1679.7. Resultados obtenidos para los coeficientes efectivos C11, C22 y C33. Ma-

triz isotropa de polipropileno auxetico reforzada por fibras isotropas deadhesivo convencional. La razon de aspecto es b/a = 3/2. . . . . . . . . . 168

9.8. Similar a la figura 9.7. Coeficientes efectivos C12, C13 y C23. . . . . . . . 1689.9. Razones de Poisson efectivas ν12, ν13 y ν23 obtenidas por el MHA para una

matriz isotropa de PP auxetico reforzada por fibras isotropas de adhesivoconvencional. La razon de aspecto es b/a = 3/2. . . . . . . . . . . . . . . 169

9.10. Aproximaciones lineales para los coeficientes efectivos C13 y C23. Matrizde PP isotropo y auxetico reforzada por fibras isotropas de adhesivo con-vencional. Razon de aspecto b/a = 3/2, ajuste para el rango 0 ≤ V2 ≤ 0.4. 170

9.11. Comparacion entre los resultados obtenidos y los estimadores de Voigt,Reuss y Hill para C33. Matriz isotropa de PP auxetico reforzada por fibrasisotropas de adhesivo convencional. Razon de aspecto b/a = 3/2. . . . . . 171

9.12. Similar a las figuras 9.7 y 9.8. Coeficientes efectivos anti-planos C44 y C55. 1719.13. Indice de anisotropıa A = C44/C55. Matriz isotropa de PP auxetico re-

forzada por fibras de adhesivo convencional e isotropo. Razon de aspectob/a = 3/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9.14. Regla de aproximacion empleada para la estimacion de C44 en terminosde los coeficientes efectivos C22, C33, C23 y C55. . . . . . . . . . . . . . . 173

9.15. Similar a las figuras 9.7, 9.8 y 9.12. Coeficiente efectivo de corte C66. . . 1749.16. Comparacion entre el modulo elastico efectivo de corte C66 obtenido por

el MHA y la ecuacion (9.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

vii

9.17. Indice AF (ecuacion 9.11) para tres materiales compuestos diferentes conrazon de aspecto b/a = 3/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.18. Modulos de Young efectivos obtenidos por el MHA. Matriz isotropa dePP auxetico reforzada por fibras isotropas de adhesivo convencional. . . . 177

9.19. Campo de desplazamientos esperados para un ensayo de tension en ladireccion y3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.20. Desplazamiento en la direccion x obtenido en ANSYS para el modelopropuesto en la figura 9.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.21. Cotas variacionales de Hashin-Hill para: a) E3 y, b) KF

. Matriz auxeticareforzada por fibras convencionales, razon de aspecto unitaria. . . . . . . 184

9.22. Similar a la figura 9.21. Modulos de corte efectivos: a) µ23 (anti-plano) y,b) µ12 (plano). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.23. Similar a las figuras 9.21 y 9.22. Razon de Poisson efectiva ν31. Para elcalculo de las cotas se emplearon las formulas (9.15i) y (9.15j). . . . . . . 186

9.24. Modulos de corte efectivos obtenidos para una matriz auxetica reforzadapor fibras convencionales cuando la razon de aspecto es b/a = 3/2. . . . . 187

9.25. Evaluacion de las condiciones enunciadas en (9.18b) para una matrizauxetica reforzada por fibras convencionales. La razon de aspecto es b/a =3/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9.26. Evaluacion de la condicion (9.18c) para una matriz auxetica reforzada porfibras convencionales. La razon de aspecto es b/a = 3/2. . . . . . . . . . . 188

9.27. Ventana de auxeticidad para el composito semi-auxetico de Wei y Edwards(1998) (inclusiones esfericas) cuando ν1 ≈ 1/2 y ν2 ≈ −1. . . . . . . . . . 191

9.28. Ventana de auxeticidad para una matriz reforzada por fibras. VRA Cuadra-do con ν1 ≈ 1/2 y ν2 ≈ −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.29. Ventanas de auxeticidad para una matriz reforzada por fibras y diferentesrazones de aspecto. Los parametros de entrada empleados son: ν1 ≈ 1/2y ν2 ≈ −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.30. Dependencia de φc en funcion de la razon de aspecto b/a cuando ν1 ≈ 1/2y ν2 ≈ −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

A.1. Sucesion de paralelogramos que definen una red doblemente periodica . . 209

viii

Indice de tablas

1.1. Relacion entre problemas locales y coeficientes efectivos . . . . . . . . . . 12

2.1. Convenciones empleadas para la representacion de dos ındices . . . . . . 25

3.1. Dependencias directas entre los esfuerzos y las componentes de los de-splazamientos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Relacion entre las propiedades efectivas y los esfuerzos de cada problemalocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1. Funciones de forma para los elementos mostrados en la figura 6.1 . . . . 105

7.1. Valores de algunas sumas de red S2n cuando b/a = 0.6 . . . . . . . . . . 1297.2. Valores de percolacion empleados para el calculo del ındice de anisotropıa

en Nava-Gomez et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.3. Indice de anisotropıa en funcion de la razon de aspecto . . . . . . . . . . 139

8.1. Coeficientes de rigidez elastica para los constituyentes del composito deDean y Turner (1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.2. Resultados experimentales reportados por Dean y Turner (1973) . . . . . 1428.3. Resultados comparables obtenidos para C66, casos rectangular (b/a =

5/4) y cuadrado (b/a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.4. Resultados comparables obtenidos para C12, casos rectangular (b/a =

5/4) y cuadrado (b/a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.5. Resultados comparables obtenidos para C33, casos rectangular (b/a =

5/4), cuadrado (b/a = 1) y el estimador de Voigt . . . . . . . . . . . . . 154

9.1. Propiedades elasticas de los constituyentes empleados para los compositosbinarios semi-auxeticos. Las propiedades se encuentran expresadas enterminos de sus coeficientes de rigidez elastica. . . . . . . . . . . . . . . 161

9.2. Valores crıticos de φ obtenidos a traves del MHA para una matriz re-forzada por fibras distribuıdas periodicamente en un arreglo cuadrado yconstituyentes isotropos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

A.1. Valores numericos obtenidos para δ1 con (A.13) y δ2/i con (A.11) paradiferentes razones de aspecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

A.2. Valores obtenidos para las sumas de red S4 y S6 para algunas razones deaspecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

A.3. Valores de verificacion para las relaciones (A.47a)-(A.47d). . . . . . . . . 223

ix

Resumen

Se propone un tipo de material compuesto binario cuyas propiedades elasticas son

mayores que las de sus constituyentes. Lo anterior es posible si uno de los constituyentes

posee razon de Poisson negativa (material auxetico). Para ello, se calculan los coeficientes

efectivos del tensor de rigidez elastica empleando dos metodologıas distintas. El material

compuesto bajo estudio es una matriz auxetica e isotropa reforzada por fibras isotropas

distribuidas en un arreglo periodico rectangular. Los resultados obtenidos son aplicables

al caso de constituyentes convencionales (no auxeticos) y transversalmente isotropos. Se

explora la anisotropıa que surge entre los modulos de corte longitudinales (direccion de

las fibras) debido a la distribucion rectangular de las fibras. Por ultimo, se construyen las

ventanas de auxeticidad a fin de observar las condiciones bajo las cuales un composito

binario sigue exhibiendo razones de Poisson negativas cuando la matriz es convencional

y las fibras auxeticas.

1

Summary

A fiber-reinforced composite material with enhanced elastic properties is herein ad-

dressed. Such enhancement consists on a binary composite with Young’s modules greater

than those exhibited by their constituents. An isotropic and auxetic matrix (an isotro-

pic material with negative Poisson’s ratio) reinforced by non-auxetic and isotropic fibers

is proposed. The fibers are distributed uniformly, following a rectangular and periodic

pattern. With the previous conditions, the evaluation of the nine effective coefficients

related to the elastic stiffness tensor is carried out using two distinct methodologies.

This procedure is also appliable to conventional (non-auxetic) and transversely-isotropic

constituents. From the obtained results, it is possible to explore the anisotropy which

arises between the effective off-plane shear moduli (shear along fibre’s direction). The

source of such anisotropy is due to the rectangular distribution of the fibers. Finally,

the auxeticity windows (novel diagrams to determine if a semi-auxetic composite has

negative Poisson’s ratios) are plotted.

2

1. Introduccion

1.1. Antecedentes

El conocimiento de la existencia de materiales con razones de Poisson negativas o

auxeticos1 data desde finales del siglo XIX (Ballato, 2010). Ejemplos de este tipo de

materiales son algunos minerales de pirita (Love, 1944), cristales simples de arsenico

(Gunton y Saunders, 1972), cadmio (Li, 1976) y la α-cristobalita polimorfa con razones

de Poisson entre -0.16 y -0.50 (Yeganeh-Haeri et al., 1992).

Contrario a la creencia comun, existe fuerte evidencia de que este tipo de materiales

son mas abundantes en la naturaleza de lo que parece (Evans y Alderson, 2000). Ejemplo

de ello son las investigaciones de Milstein y Huang (1979) en cristales con estructura fcc

y el trabajo de Baughman et al. (1998) que muestra la posibilidad de que, hasta un 69 %

de los metales simples con simetrıa cubica, exhiban razones de Poisson negativas.

Quizas, el trabajo mas importante en este tema es el realizado por el Dr. Roderic

Lakes. Al respecto, en Lakes (1987) se describen los pasos necesarios para obtener es-

pumas auxeticas2. Esta tecnica, junto con los trabajos posteriores de Caddock y Evans

(1989), Friis et al. (1988), Evans et al. (1995), Alderson et al. (2002), Ravirala et al.

(2005a) y Ravirala et al. (2005b), entre otros, se ha ido perfeccionado hasta el punto

de patentar materiales como son la membrana inteligente de Alderson et al. (1998) y el

poli-propileno (PP) auxetico de Ravirala et al. (2005a).

En cuanto a su estructura, un material auxetico posee lo que diversos autores han

denominado estructura re-entrante (Evans y Alderson, 2000). En terminos generales, lo

anterior se refiere a la existencia de diferentes enlaces inter-atomicos capaces de reaco-

modarse durante un proceso de deformacion (Lakes, 1987).

1Termino acunado por Evans et al. (1991).2Lakes (1987) obtuvo una espuma auxetica al comprimir tri-axialmente una espuma de poliester (no

auxetica) en un molde. Posteriormente, calento la muestra hasta una temperatura cercana al puntode reblandecimiento. Finalmente, dejo enfriar el material en el molde a temperatura ambiente.

3

La estructura re-entrante modelo posee una geometrıa similar a la que existe en las

celdas abiertas que forman un panal. Con la diferencia de que los vertices del hexagono

que forman la celda son plegables (quirales) y, a la vez, existe un mecanismo, no necesa-

riamente electrostatico, capaz de desarrollar fuerzas repulsivas entre los vertices opuestos

cuando la celda esta siendo deformada.

Dado que la mayorıa de los materiales auxeticos se producen a partir de espumas y

otros polımeros, sus propiedades mecanicas basicas como el modulo de Young se con-

sideran generalmente pobres cuando se les compara con la que exhiben los metales y

otros polımeros no auxeticos (Gibson y Ashby, 1982). De esta forma, la necesidad de

reforzar este tipo de materiales (auxeticos obtenidos a partir de polımeros con estruc-

tura re-entrante) con otros de naturaleza no auxetica o convencional3 se hace evidente

(Alderson et al., 2005; Chirima et al., 2009).

Desde el trabajo de Milton (1992), se sabe que existe la posibilidad teorica de que

los laminados auxeticos reforzados por fibras pueden poseer razones de Poisson cercanas

a −1. Para ello, es requisito indispensable que las laminas sean altamente anisotropi-

cas (Alderson y Coenen, 2008). Por esta razon, se ha dado preferencia al empleo de

compositos reforzados por fibras de carbono (Harkati et al., 2007); lo cual, ha dado

lugar a diferentes avances en la industria textil y aeronautica (Clegg et al., 1999; Hay-

hurst et al., 1999), entre otras. Recientemente, Skertchly (2011) patento una armadura

ceramica reforzada con material auxetico a partir de estos trabajos.

No obstante, la principal desventaja de reforzar un material auxetico con consti-

tuyentes convencionales radica en la posibilidad de que el composito, visto como un

medio homogeneo, pierda sus caracterısticas auxeticas (Alderson et al., 2005; Chirima

et al., 2009; Lim y Acharya, 2011). Al respecto, el trabajo de Wei y Edwards (1998) ha

mostrado que es posible elaborar diagramas en los cuales, a partir de las concentraciones

relativas de volumen de cada constituyente, es posible valorar la rigidez elastica4 y el

caracter auxetico del composito. Dichos diagramas se conocen como ventanas de auxeti-

cidad.

Otra caracterıstica relevante de la auxeticidad estriba en que es una propiedad in-

dependiente de la escala (Lakes, 1987). Esto es, en la medida en que se proponga un

3En el sentido de que son materiales con razon de Poisson positiva y cuyo modulo de Young es,comparativamente, mayor.

4Entendida a partir del cociente de los modulos de Young de los constituyentes.

4

diseno estructuralmente re-entrante (Yang et al., 2004). A manera de ejemplo, algunos

disenos estructurales para reactores nucleares en zonas sısmicas (materiales conven-

cionales) poseen caracterısticas macroscopicamente auxeticas (Evans y Alderson, 2000).

Lo anterior ha llevado a diferentes investigaciones que buscan explicar, a partir de di-

versos modelos geometricos, el mecanismo geometrıa-deformacion mediante el cual un

material adquiere razones de Poisson negativas (Grima et al., 2011).

Para el caso de compositos binarios que poseen un constituyente auxetico (materiales

semi-auxeticos), se ha encontrado que existe la posibilidad de obtener modulos de Young

efectivos mayores a los que exhiben sus constituyentes. Ejemplo de lo anterior son los

trabajos de Chirima et al. (2009), Kocer et al. (2009), Lim (2009) y Lim (2010) en la-

minados semi-auxeticos. Por otra parte, Alderson et al. (2005) ilustran efectos similares

para el caso de una matriz convencional reforzada por fibras auxeticas.

Por estas razones, el modelado de las propiedades efectivas que exhibe un material

compuesto con constituyentes auxeticos representa, hoy mas que nunca, una rama de

investigacion activa, objeto de estudio del presente trabajo.

1.2. Descripcion del trabajo

La presente investigacion trata sobre el calculo de los diferentes coeficientes que definen

al tensor de rigidez elastica efectivo, Cijkl, en dos compositos binarios semi-auxeticos.

Para ello se emplearan dos metodologıas distintas e independientes entre sı: El Metodo

de Homogeneizacion Asintotica (MHA), de corte analıtico y; el Metodo de Elementos

Finitos (MEF), como metodo numerico de comprobacion.

Debido a la extension del tema, el trabajo se centra en el modelado de un mate-

rial compuesto binario reforzado por fibras infinitamente largas, distribuidas de manera

que forman un arreglo rectangular periodico. Por simplicidad, solo se han considerado

constituyentes isotropos o transversalemente isotropos5. La figura 1.1 ilustra el material

compuesto objetivo y su volumen representativo de analisis.

En aras de completitud, se investigan tres configuraciones para este composito: 1) Una

matriz convencional reforzada por fibras convencionales; 2) una matriz convencional re-

5Plano de isotropıa en direccion del eje de las fibras.

5

a) b)

Figura 1.1.: Material compuesto binario objetivo. a) Matriz reforzada por fibras cilındricasde seccion transversal circular distribuidas en forma de patron rectangular. b)Volumen representativo de analisis (VRA).

forzada por fibras auxeticas y; 3) una matriz auxetica reforzada por fibras convencionales.

La aplicacion del principio de Neumann (Nowick, 2005; Fuentes y Fuentes, 2008)

establece que el tensor de rigidez elastica efectivo de este material compuesto debe

poseer nueve componentes linealmente independientes. Esto es, se trata de un medio

macroscopicamente ortotropo, cuya simetrıa de propiedades elasticas es similar a las de

la madera (grupo mmm o D2h).

En lo referente al MHA, el presente trabajo detalla la solucion analıtica de tres tipos

de problemas locales6, necesarios para obtener los nueve coeficientes de rigidez elastica

efectivos para este composito. Debido a la generalidad de las soluciones, los resultados

obtenidos son aplicables tanto a constituyentes isotropos como transversalmente isotro-

pos, sin importar si son auxeticos o no.

Para el caso del MEF se empleo la herramienta ANSYS Multiphysics. Modelando

los diferentes problemas locales a traves del lenguaje parametrico que proporciona esta

herramienta7. El fundamento de esta metodologıa posee como referentes el formalismo

desarrollado por Suquet (1987) y su implementacion, en ANSYS, reportada por Berger

et al. (2005).

Cabe destacar que el procedimiento empleado en ANSYS puede aplicarse para otro

tipo de materiales compuestos. Ejemplo de ello es una investigacion para un laminado

semi-auxetico realizado en colaboracion con Mirella Ramırez, doctorando del Instituto

6En el sentido que se resuelven en el VRA.7Ansys Parametric Design Language o APDL por sus siglas en ingles.

6

de Investigaciones en Matematicas Aplicadas y en Sistemas de la Universidad Nacional

Autonoma de Mexico. Los resultados de esta colaboracion se encuentran publicados en

Ramırez et al. (2012).

Tomando en cuenta la colaboracion anterior, el producto de esta investigacion son

tres artıculos en revistas arbitradas con factor de impacto Reuters8 mayor a 1.0. Adi-

cionalmente, se expuso un trabajo con publicacion en las memorias de la 23er conferencia

tecnica de la Sociedad Americana de Compositos9 (Nava-Gomez et al., 2008).

Los artıculos producidos para la matriz reforzada por fibras son: Nava-Gomez et al.

(2010) en Mechanics Research Communications y, Nava-Gomez et al. (2012) en Me-

chanics of Materials. El laminado semi-auxetico (no incluido en esta tesis) se encuentra

publicado el International Journal of Engineering Science.

1.3. Formalismos basicos

1.3.1. Metodo de Homogeneizacion Asintotica

En cuanto a sus antecedentes, el MHA es un metodo multiescala de base periodica

(Bensoussan et al., 1978), que ha resultado de utilidad en la obtencion de las propiedades

efectivas en materiales compuestos. Lo anterior se demuestra en los trabajos de Pobedrya

(1984), Bakhalov y Panasenko (1989), Kalamkarov y Kopalkov (1997), Sabina et al.

(2001), Rodrıguez-Ramos et al. (2001), Guinovart-Dıaz et al. (2001a), Guinovart-Dıaz

et al. (2001b), Sabina et al. (2002), Guinovart-Dıaz et al. (2005), Otero et al. (2005) y

Camacho-Montes et al. (2006), entre otros.

Recientemente se ha buscado aplicar el MHA en nanocompositos estructurados. Ejem-

plo de ello son las investigaciones de Chung y Namburu (2003), Blanc et al. (2007) y Fish

et al. (2007). En cuanto a su relevancia, los trabajos de Liu y Chen (2003) y Kalamkarov

et al. (2006) han aplicado exitosamente el metodo para estructuras basadas en nanotu-

bos de carbono.

En el conocimiento del autor y sus asesores, el unico antecedente analıtico reportado en

la literatura para una geometrıa identica a la propuesta y con constituyentes isotropos es

8Actualizado a 2012.9American Society for Composites o ASC por sus siglas en ingles.

7

el de Lim (2001). En este trabajo, el Dr. Alan Lim Teik-Cheng10 propone una estimador

para los tres modulos de Young a partir del cociente entre modulos de Young de los

constituyentes y la razon de aspecto del VRA. Dicho parametro esta definido como:

razon de aspecto =altura del rectangulo

base del rectangulo= b/a. (1.1)

No obstante, aunque las predicciones hechas en Lim (2001) obedecen las cotas clasicas

de Reuss11, su principal defecto estriba en que no incluye los modulos de corte o, a falta

de ellos, las razones de Poisson de los constituyentes. En consecuencia, este modelo es

incapaz de predecir los modulos de corte del composito, motivo por el cual, no es apli-

cable al caso semi-auxetico.

En el interes del trabajo, el antecedente a considerar es Rodrıguez-Ramos et al. (2001).

En esta publicacion se resuelve y valida el caso particular b/a = 1 (red periodica cuadra-

da) para fibras transversalmente isotropas que refuerzan una matriz isotropa. Las predic-

ciones realizadas en esta publicacion fueron verificadas con el composito experimental

reportado en Dean y Turner (1973). La simetrıa de propiedades elasticas que se obtiene

es analoga a las que exhibe un cristal tetragonal (grupo 4/mmm).

Para el caso rectangular (b/a 6= 1), es importante establecer que existen muy pocos

materiales de este tipo cuyas propiedades elasticas esten completamente caracterizadas.

No obstante, una revision de la literatura revelo que, el composito mas cercano al VRA

propuesto es el reportado por Wilkes et al. (2006). Dicho material consiste en una matriz

de carburo de silicio de origen biologico (bioSiC) con fibras de aleacion de Al–13Si–9Mg.

La idea central en la elaboracion de este material consiste en aprovechar las carac-

terısticas naturalmente ortotropas de la madera. Ası, al considerar que existen micro-

canales por donde alguna vez corrio la savia, la posibilidad de infiltrar otro material a

traves de ellos, derivara en un nuevo material compuesto.

Para el caso del bioSiC, la preforma o precursor es la madera de Haya (Fagus sylvatica),

que se piroliza a 1000 0C en una atmosfera de argon durante 1 hora. Hecho esto, se

procede a infiltrar el especimen con un excedente de silicio fundido a 1550 oC, proceso

10Escuela de Ciencias y Tecnologıa, Universidad del Singapore Institute of Management.11Los modulos de Young efectivos deben ser mayores o iguales a la media geometrica ponderada,

(V1/E1 + V2/E2 + · · ·+ Vn/En)−1

, de los modulos de Young de los constituyentes.

8

durante el cual se verifica la reaccion:

C + Si −→ β–SiC.

Obteniendo un composito de bioSiC-Si12.

Para el material reportado por Wilkes et al. (2006), mediante un tratamiento con

acidos nıtrico y fluorhıdrico, el remanente de silicio que queda en los micro-canales se

remueve para, posteriormente, llenarlos con la aleacion de aluminio. La figura 1.2 muestra

tres micrografıas de este material.

a)

b)

Figura 1.2.: Micrografıas del composito de Wilkes et al. (2006). En las tres micrografıas elmaterial mas claro es la aleacion de aluminio. a) Figura 3 del artıculo. Secciontransversal cuando la aleacion se infiltra sin presion. b) Figuras 4a) y 4b) delartıculo. Secciones transversal y longitudinal cuando la aleacion se infiltra apli-cando presion.

1.3.2. Metodo de Elementos Finitos

En lo que se refiere al MEF, en la literatura abundan los ejemplos de su aplicacion en

el modelado de las propiedades efectivas de compositos binarios, periodicos o no. Incluso,

12Tomese en cuenta que el exceso de Si terminara llenando, parcialmente, los micro-canales.

9

a) b)

Figura 1.3.: Modelo de fibras cortas de Levy y Papazian (1990) con algunas dimensionesrelevantes. a) Distribucion longitudinal de las fibras (apilamiento). b) Secciontransversal (VRA cuadrado).

existe software comercial cuya aplicacion es cotidiana en industrias como la manufactura

de plasticos, aeronautica y textil, entre otras.

En el interes del trabajo, ademas de las investigaciones mencionadas en el apartado

anterior13, por su relevancia, son de interes los trabajos de Levy y Papazian (1990) y

Chirima et al. (2009).

En la primera de estas publicaciones se expone la aplicacion del MEF para una matriz

reforzada por fibras de longitud finita y borde redondeado14, distribuidas como se ilustra

en la figura 1.3.

En este trabajo, los autores introducen la proporcion diametro/longitud de la fibra

(cociente d/l) en su modelo. De esta forma se obtiene una gama de predicciones que

van, desde partıculas esfericas (d/l = 1), hasta fibras muy largas (d/l = 20). Cabe

mencionar que en Levy y Papazian (1990) solo se consideran constituyentes isotropos

convencionales.

En Chirima et al. (2009) se analizan diferentes configuraciones de geometrıa y ma-

teriales para un laminado formado por pelıculas del polipropileno auxetico de Ravirala

13Suquet (1987) y Berger et al. (2005)14Forma similar a los granos de arroz o, en la terminologıa de los autores, bigotes.

10

et al. (2005a) alternadas con capas de un adhesivo convencional. Una variante en el

modelo descrito por estos autores consiste en mantener fijo el espesor de las pelıculas.

En el interes del trabajo, para los semi-auxeticos, se tomaron los datos de los consti-

tuyentes empleados en la publicacion anterior. Por otra parte, con fines de comparacion,

se replicaron los resultados reportados por Rodrıguez-Ramos et al. (2001).

1.4. Hipotesis y objetivos

1.4.1. Hipotesis central y objetivos generales

La hipotesis del trabajo es:

Las propiedades elasticas efectivas de una matriz reforzada por fibras, obtenidas a

traves de los metodos de homogeneizacion asintotica y elementos finitos, arrojaran resul-

tados similares cuando los constituyentes son transversalmente isotropos y el composito

es globalmente ortotropo.

Adicionalmente, se espera que las aproximaciones obtenidas para todos los coeficientes

que definen el tensor de rigidez elastica efectivo, ademas de ser validas, puedan aplicarse

en una amplia gama de casos como es el semi-auxetico.

En cuanto la parte analıtica, la hipotesis requiere la solucion de seis problemas locales

cuya denominacion tecnica es: 11L, 22L, 33L, 12L, 13L y 23L, respectivamente15.

Los primeros cuatro problemas son problemas de deformacion plana en el VRA. Para

su resolucion se empleara la tecnica de potenciales de variable compleja de Kolosov-

Muskhelishvili. En contraste, los problemas locales 13L y 23L se conocen como problemas

anti-planos o fuera del plano. Estos problemas fueron resueltos por el autor en su tesis

de maestrıa (Nava-Gomez, 2007) empleando constituyentes transversalmente isotropos

y convencionales (no auxeticos).

La relacion entre problemas locales y los componentes del tensor de rigidez elastica

efectivo se ilustra en la tabla 1.1. Por simplicidad, se ha obviado la simetrıa del tensor

de rigidez elastica en su construccion.

15Esta clasificacion se ilustrara posteriormente.

11

Problema CoeficientesLocal efectivos

Planos

11L C1111 C2211 C3311

22L C1122 C2222 C3322

33L C1133 C2233 C3333

12L C1212

Anti-planos 13L C1313

23L C2323

Tabla 1.1.: Relacion entre problemas locales y coeficientes efectivos.

Es importante establecer que la equivalencia de las soluciones obtenidas por el MHA

y el MEF, por sı misma, es condicion necesaria, pero no suficiente, para garantizar la

validez de las soluciones. De esta forma, se requeriran comparaciones adicionales contra

modelos, teorıa y materiales experimentales similares.

1.4.2. Verificacion de la hipotesis (objetivos particulares)

Para el caso del MHA, primero se comparara la solucion analıtica contra los casos

reportados por Rodrıguez-Ramos et al. (2001) y, simultaneamente, se analizaran estas

predicciones contra los datos experimentales reportados por Dean y Turner (1973). Este

caso en particular se refiere a la razon de aspecto b/a = 1 (caso cuadrado).

Hecho lo anterior, se estudiara la correspondencia entre las predicciones arrojadas por

ambos metodos para el caso rectangular (b/a 6= 1). En virtud de que en estos escenarios

de prueba el composito es ortotropo, se introduce el siguiente indicador de relevancia:

A =C2323

C1313

. (1.2)

Como se mostrara posteriormente, este indicador depende de: 1) La razon de aspecto

del composito, 2) la concentracion relativa de cada constituyente y; 3) el valor absoluto

12

del siguiente parametro adimensional:

χp =C

(Matriz)2323 − C(Fibra)

2323

C(Matriz)2323 + C

(Fibra)2323

. (1.3)

Hechas estas validaciones se procedera a describir las configuraciones semi-auxeticas

por ambos metodos. Esto es: 1) Una matriz convencional reforzada por fibras auxeticas

y, 2) una matriz auxetica reforzada por fibras convencionales.

Del analisis de la segunda configuracion propuesta se desprende una prediccion de

interes experimental: Para una razon de aspecto b/a = 3/2 se determino un super-

incremento en los tres modulos de Young del composito. Esto es, los modulos de Young

efectivos superan a los modulos de Young de los constituyentes.

A partir del resultado anterior y, en virtud de que no se encontraron materiales ex-

perimentales similares para efectuar alguna comparacion, se requirio introducir dos va-

lidaciones de caracter teorico.

La primera de estas validaciones compara las predicciones hechas por el MHA contra

las cotas energeticas variacionales de Hill (1964) y Hashin (1965), aplicables a toda ma-

triz isotropa reforzada por fibras isotropas, siempre y cuando el composito sea transver-

salmente isotropo y sus constituyentes esten ordenados16.

La ultima validacion compara los resultados obtenidos contra las restricciones fısicas

para los coeficientes de rigidez elastica en un medio ortotropo, todas ellas deducidas por

Lempriere (1968) a partir de principios termoelasticos generales.

Por ultimo, para el caso de una matriz convencional reforzada por fibras auxeticas,

se procede a estudiar la posibilidad de que el material compuesto exhiba razones de

Poisson negativas. Esto es, mediante la construccion de las ventanas de auxeticidad de

Wei y Edwards (1998) para diferentes configuraciones de constituyentes.

16Este termino tecnico se refiere a que sea posible establecer dos relaciones de la forma EA > EB yGA > GB , en donde E y G se refieren, respectivamente, a los modulos de Young y de corte en losconstituyentes A y B. Un material binario no ordenado es aquel en donde ocurre alguna de estassituaciones: 1) EA > EB pero GB > GA y; 2) EB > EA pero GA > GB .

13

En el conocimiento del autor y sus asesores, es la primera ocasion en la que se cons-

truyen este tipo de diagramas para un material compuesto binario fibroso. Motivo por el

cual, representan otro aporte fundamental del trabajo.

Por su relevancia, estos resultados fueron publicados en Nava-Gomez et al. (2010) y

Nava-Gomez et al. (2012). En la primera publicacion se verifica que el MHA y el MEF

coinciden en las predicciones para los modulos de corte anti-planos (G13 y G23). La

segunda de ellas, mucho mas extensa, incluye los demas resultados.

1.5. Organizacion del trabajo

1.5.1. Aspectos generales

Debido al aspecto eminentemente teorico de esta investigacion, el formato de la tesis

es ligeramente diferente al establecido por el Centro de Investigaciones. No obstante, el

trabajo esta apegado a la estructura propuesta por el Dr. Erasmo Orrantia Borunda en

la medida de lo posible.

Ası, el apartado de materiales y metodos comprende los capıtulos 2 a 7, mientras que

la seccion de resultados y discusion se contempla en los capıtulos 8 y 9. Las conclusiones

del trabajo se exponen en el capıtulo 10. A su vez, se han incluido diferentes anexos

que contienen algunos desarrollos que, sin dejar de ser importantes, pudiesen distraer al

lector de la discusion central.

1.5.2. Sıntesis de los capıtulos

Materiales y metodos

El capıtulo 2 esta dedicado a ilustrar las formulas generales de la elasticidad lineal

ası como la representacion compleja de la ecuacion biarmonica.

El tercer capıtulo es una breve introduccion al MHA y su aplicacion al caso elas-

tostatico. Cabe destacar que esta sıntesis es una exposicion del autor de los fundamentos

del metodo. A su vez, se ha incluido un resultado teorico relevante.

En los capıtulos 4 y 5 se resuelven los problemas locales anti-planos y planos, res-

pectivamente. En su redaccion se considero incluir, en la medida de lo posible, detalle

suficiente de los calculos realizados. No obstante, algunas definiciones y calculos adi-

14

cionales se incluyeron en los anexos del trabajo.

El capıtulo 6 esta dedicado al MEF. Por claridad de la exposicion, se explica primero

como se aplicaron las condiciones de Berger et al. (2005) para el laminado semi-auxetico

reportado en Ramırez et al. (2012). Posteriormente, se establecen las condiciones de

modelado restantes requeridas para el caso de la matriz reforzada por fibras.

El septimo capıtulo discute la implementacion de un sistema desarrollado en Fortran

90 a fin de evaluar las soluciones analıticas obtenidas. Se hizo enfasis en el criterio

de convergencia empleado y en la manera en que deben ejecutarse los programas para

replicar los resultados obtenidos.

Resultados y discusion

En el capıtulo 8 se comparan los resultados obtenidos por ambos metodos para el

caso de una matriz reforzada por fibras. A su vez, se replica el caso cuadrado de Ro-

drıguez-Ramos et al. (2001) realizando la comparacion con los resultados de Dean y

Turner (1973). Por ultimo, se incorpora el calculo del ındice de anisotropıa (1.2) por

ambos metodos.

El capıtulo 9 esta dedicado a la discusion de las configuraciones semi-auxeticas. En

el se han incluido, casi totalmente, los resultados y validaciones publicados en Nava-

Gomez et al. (2012). Por otra parte, se exploran diferentes indicadores de la ortotropıa

del material compuesto y se explica, parcialmente, el origen del super-incremento de los

modulos de Young para el caso de la matriz auxetica reforzada por fibras convencionales.

En este capıtulo, tambien se construyen las ventanas de auxeticidad.

Por ultimo, en el decimo capıtulo, se introducen las conclusiones del trabajo.

1.6. Convenciones generales

Como se mostro previamente, se emplearan ındices para los diferentes tensores carte-

sianos que aparecen, de manera que el convenio de suma sobre ındices repetidos de

Einstein se da por entendido.

A lo largo del trabajo se emplean indistintamente ındices Griegos y Latinos. Se es-

tablece de antemano que todo ındice Griego correra de 1 a 2, mientras que los ındices

15

Latinos van de 1 a 3. El ındice Υ se reserva para indicar los constituyentes del composito

fibroso siguiendo siempre la convencion 1=Matriz, 2=Fibra.

Hay que tener cuidado con la letra δ ya que esta sujeta al contexto. Puede significar

diferencial inexacto (de uso exclusivo en el capıtulo 2), alguna constante de red (δα) o,

cuando lleva dos subındices, es la delta de Kronecker (δij). A su vez, se emplea tambien

como parametro para las ventanas de auxeticidad sin subındices.

Otra convencion consiste en la introduccion del operador coma para indicar la derivada

parcial respecto a alguna coordenada espacial, esto es:

σij, j =∂σij∂ xj

.

No obstante, debido a que se esta aplicando un metodo multiescala (MHA), a menos

que se indique lo contrario, el empleo de esta notacion estara restringido a las coorde-

nadas x1, x2 y x3 para la macroescala X. Mientras que, para la micro o mesoescala Y

(coordenadas y1, y2 y y3) esta derivada parcial se denotara de la manera usual (capıtulo

3). Una vez adentrados en los problemas locales, la coma se empleara para denotar la

derivada parcial respecto a una coordenada espacial en la mesoescala.

Cabe aclarar que en todo momento se trabajara en el regimen de pequenas deforma-

ciones, de manera que las variables espaciales siempre estaran en minusculas y represen-

taran coordenadas lagrangianas, esto es, independientemente de la escala empleada.

16

2. Elementos esenciales de la

elasticidad lineal

2.1. Ecuaciones fundamentales

2.1.1. Aspectos generales

La teorıa de la elasticidad lineal es una rama de la mecanica de los medios continuos

cuyo proposito es obtener los estados de esfuerzos y deformaciones que pudiesen desa-

rrollarse en un solido cuando es sometido a la accion de algun agente externo. Entre los

agentes externos se consideran: Las fuerzas de origen mecanico, el calor, las interaccio-

nes quımicas que pudiesen verificarse con el entorno ası como la presencia de campos

electromagneticos.

A efectos de analisis, la mecanica de los medios continuos divide cualquier material en

partıculas o puntos materiales, los cuales, desde un punto de vista macroscopico resul-

tan infinitesimales pero, en su interior, cada punto material es lo suficientemente grande

como para ignorar cualquier efecto de naturaleza molecular. Debido a esta abstraccion,

las leyes de la mecanica clasica son aplicables en cada punto material del medio (Landau

y Lifshitz, 1959).

Un aspecto fundamental de la teorıa radica en el empleo de dos sistemas de coorde-

nadas de referencia, el sistema lagrangiano o material y el sistema euleriano o espacial.

El primero de ellos busca predecir la posicion de cada punto material a partir del

conocimiento de las condiciones iniciales en la configuracion inicial o sistema no defor-

mado.

En contraste, el sistema de Euler describe el proceso de deformacion a partir de la

configuracion actual o sistema deformado, empleando para ello las condiciones actuales

que imperan en el proceso de deformacion del medio.

17

Para el caso de un medio elastico, se asume implıcitamente que el material sera capaz

de recuperar su forma y dimensiones originales una vez que la accion del agente externo

responsable de la deformacion se remueva.

Lo anterior generalmente se puede garantizar solo si se consideran magnitudes pequenas

para la deformacion o, en otras palabras, si la accion del agente externo somete al

material a un regimen de pequenas deformaciones o regimen elastico. En este caso, el

empleo de una u otra descripcion (lagrangiana o euleriana) es equivalente (Saouma,

1998), obteniendo con ello una simplificacion importante.

2.1.2. Tensor de deformacion

Con la consideracion anterior, la deformacion puede definirse a traves de la descrip-

cion lagrangiana. Para ello basta con designar por d` =√dx1 + dx2 + dx3 a la distancia

infinitesimal presente entre dos puntos materiales proximos en la configuracion no de-

formada y por d` ′ =√dx ′1 + dx ′2 + dx ′3 a la distancia entre los mismos puntos durante

la deformacion.

Al considerar que la relacion entre las coordenadas primadas y no primadas puede

escribirse en terminos de las componentes del vector desplazamiento ui como dx ′i =

dxi + dui, mediante argumentos puramente geometricos se obtiene (Landau y Lifshitz,

1959):

(d` ′)2 = (d`)2 + (ui, j + uj, i + uk, i uk, j) dxi dxj. (2.1)

Expresion que tradicionalmente se reescribe como

(d` ′)2 = (d`)2 + 2 εij dxi dxj. (2.2)

En donde

εij =1

2(ui, j + uj, i + uk, i uk, j) , (2.3)

es el tensor de deformacion de Green–Saint Venant o tensor de deformacion lagrangiano

(Landau y Lifshitz, 1959; Lubliner, 1990; Saouma, 1998).

Para el regimen de pequenas deformaciones, el termino uk, i uk, j en la expresion anterior

es despreciable (Landau y Lifshitz, 1959), obteniendo ası, el tensor de deformacion de

Cauchy:

εij = εji =1

2(ui, j + uj, i) . (2.4)

18

2.1.3. Tensor de esfuerzos

A fin de modelar la accion que ejerce una fuerza sobre un medio continuo, resulta

conveniente expresarla en terminos su volumen. Para ello se reescribe la fuerza F en

terminos de la distribucion volumetrica f como:

F =

∫V

f dV . (2.5)

Resultado que representa a las fuerzas volumetricas o materiales al interior de un medio

continuo.

Por otra parte, existe la posibilidad de que diferentes fuerzas de caracter molecular

y/o mesoscopicas puedan desarrollarse al interior de un material como respuesta a un

estımulo externo. Ejemplos de estas fuerzas son: La tension superficial presente entre dos

medios en contacto, las fuerzas cohesivas y adhesivas y, fuerzas de caracter electrostatico

como la friccion. En su conjunto estas fuerzas son conocidas como fuerzas internas, de

contacto o tensiones internas.

Si se conceptualiza cada punto material del medio como un pequeno solido de dimen-

siones infinitesimales1, es posible argumentar que la accion de las fuerzas internas ocurre

exclusivamente en las superficies del mismo. De esta forma, es posible introducir una

distribucion superficial t para este tipo de fuerzas al interior del medio.

De lo anterior, en ausencia de fuerzas externas, el enunciado de la tercera ley de Newton

al interior del medio se establece como:∮S

t dS = 0. (2.6)

En donde dS es el vector de superficie.

Al asumirse que la distribucion f puede escribirse en terminos de la divergencia del

campo σ, la posibilidad de asociar f y t se hace patente. Esto es:∫V

f dV =

∫V

div(σ) dV =

∮S

σ dS. (2.7)

Expresion en donde, al considerar que f es un vector, se infiere que el campo σ es

un tensor de segundo rango. Obteniendo ası, la definicion del tensor de esfuerzos para

1Fundamento de todas las definiciones de Cauchy.

19

pequenas deformaciones. Esto es2:

fi = σij, j. (2.8)

Por ultimo, al considerar las fuerzas volumetricas en (2.6), se tiene:∮S

t dS =

∫V

f dV . (2.9)

Expresion de la cual, a traves de (2.7), se deduce la definicion para la traccion en

terminos de la componente nj del vector normal a cada superficie:

tj = σij nj. (2.10)

Otra condicion necesaria para el equilibrio consiste en que la suma de los momentos

producidos por las fuerzas internas sea cero. La expresion para el momento en terminos

de una integral de volumen es:

Mij =

∫V

(xi fj − xj fi) dV . (2.11)

Al aplicar la relacion (2.8) y la formula de integracion por partes, se obtiene:

Mij =

∫V

(xi σjk − xj σik), k dV −∫V

(xi, k σjk − xj, k σik) dV . (2.12)

Expresion que puede simplificarse a traves del teorema de la divergencia y la definicion

para las derivadas espaciales xi, j = δij como:

Mij =

∮S

(xi σjk − xj σik) dS−∫V

(σji − σij) dV . (2.13)

A la luz de la naturaleza superficial del tensor de esfuerzos, el momento Mij repre-

senta una cantidad que puede expresarse en terminos de integrales de superficie exclu-

sivamente. De manera que el termino volumetrico en (2.13) puede anularse (Landau y

Lifshitz, 1959). Con esta consideracion se obtiene la simetrıa del tensor de esfuerzos :

σij = σji. (2.14)

2Cabe precisar que, en estricto, la derivada debe de tomarse sobre las coordenadas eulerianas (Landauy Lifshitz, 1959).

20

2.1.4. Ecuacion gobernante

Para el caso del regimen de pequenas deformaciones, la ecuacion que gobierna el cam-

po de esfuerzos es la segunda ley de Newton. De las definiciones anteriores, queda claro

que esta debe expresarse por unidad de volumen.

Ası, si Pi(r) representa las componentes de una fuerza por unidad de volumen y ρm(r)

es la densidad del material, escritos en terminos del vector de posicion r; la relacion

entre las fuerzas presentes y las componentes de la aceleracion ai es3 (Saouma, 1998):

Pi(r) + σij, j = ρ(r) ai. (2.15)

Para el caso elastostatico, la expresion anterior se reduce a:

σij, j = 0. (2.16)

En donde el estado de los esfuerzos se determina a partir de las condiciones fısicas im-

puestas al medio.

Adicionalmente, del termino superficial reportado en (2.13), se tiene:∮S

(xi σjk − xj σik) dS = 0. (2.17)

Expresion auxiliar para el equilibrio de los momentos.

2.1.5. Relacion constitutiva

Una relacion constitutiva es una expresion de caracter empırico que conecta dos cam-

pos campos fısicos a traves de alguna propiedad material. Para el caso de los solidos

elasticos, la conexion entre los esfuerzos y las deformaciones viene dada por la ley de

Hooke.

Para poder deducir esta ley para el caso generalizado, se requiere asociar el trabajo

de deformacion realizado por un solido sometido a un estado de esfuerzos. De la teorıa,

el trabajo mecanico de deformacion por unidad de volumen esta definido como (Landau

3Una formulacion equivalente viene dada por la ecuacion de Cauchy: ρm pi + σij, j = ρmDviDt

donde

pi es la fuerza volumetrica por unidad de masa yD

Dtes la derivada material de la velocidad v

(Saouma, 1998; Lubliner, 1990).

21

y Lifshitz, 1959):

δw = −σij δεij. (2.18)

Expresion en la cual el sımbolo δ representa un diferencial inexacto.

De esta forma, la primera ley de la Termodinamica puede escribirse como:

δe = δq + σij δεij, (2.19)

en donde e representa la densidad de energıa interna y q el calor por unidad de volumen,

respectivamente.

Introduciendo las siguientes consideraciones para el caso elastico:

1. Al suprimirse las fuerzas que provocan la deformacion el cuerpo volvera a su con-

figuracion inicial.

2. El proceso de deformacion puede considerarse como termodinamicamente reversible.

Esto es, δq = Tds, donde T es la temperatura y s la densidad de entropıa.

3. El caracter inexacto de (2.19) puede reemplazarse por diferenciales exactos.

Se obtiene en (2.19):

de = Tds+ σij dεij. (2.20)

La importancia de la expresion anterior radica en que la densidad de energıa interna

queda establecida mediante una ecuacion de estado en funcion de la densidad de entropıa

y la deformacion. Ası, al tomar el diferencial exacto a densidad de entropıa constante,

se deduce:

σij =

(∂ e

∂ εij

)s

. (2.21)

Una expresion equivalente a la anterior se obtiene mediante la densidad de energıa

libre de Helmholtz (a = e− Ts). Esto es:

da = de− sdT − Tds = σij dεij − sdT. (2.22)

22

Expresion de la cual se deduce la siguiente relacion a temperatura constante:

σij =

(∂ a

∂ εij

)T

. (2.23)

Ls expresiones (2.21) y (2.23) representan dos aproximaciones a la relacion constitutiva

buscada. La primera de ellas asocia los esfuerzos con las deformaciones a traves de un

proceso isoentropico. En contraste, la formulacion en terminos de la densidad de energıa

libre establece esta asociacion en terminos de un proceso isotermico. Si para el ultimo

proceso se introducen las siguientes consideraciones (Landau y Lifshitz, 1959):

1. Un cuerpo deformado posee una temperatura T , que es la misma para todo el

cuerpo.

2. El estado no deformado del cuerpo esta a la misma temperatura T y ausente de

fuerzas externas.

3. La energıa libre puede expresarse como una serie de potencias en funcion de la

deformacion de la forma:

a = a0 + a1 εij +a2

2!(εij)

2 +a3

3!(εij)

3 + . . . (2.24)

Es posible establecer la siguiente aproximacion a segundo orden:

a ≈ a0 + a1 εij +a2

2!(εij)

2 . (2.25)

Donde se infiere que los coeficientes a0, a1 y a2 son, respectivamente, un escalar, un

tensor de segundo rango y un tensor de cuarto rango.

Escribiendo el ultimo de los coeficientes como a2 = aijkl, tras aplicar las considera-

ciones para el proceso isotermico propuesto4 y escribir5 (εij)2 = εij εkl = εkl εij, se tiene:

a ≈ aijkl2

εijεkl. (2.26)

4A saber, el escalar a0 se puede escoger de manera que el estado energetico de referencia (no deformado)sea cero. El coeficiente a1 (tensor de segundo rango) debe ser cero, ya que, a un estado neutral deesfuerzos no habra deformaciones.

5Con la consecuencia de que el tensor de cuarto rango exhiba la simetrıa aijkl = aklij .

23

En donde, al aplicar la relacion (2.23), se deduce:

σij =

(∂ a

∂ εij

)T

≈ aijkl2

εkl. (2.27)

Expresion que, convenientemente, se escribe como:

σij = Cijkl εkl (2.28)

que es la ley de Hooke generalizada.

2.1.6. Representacion matricial

A partir de la simetrıa de los tensores de esfuerzo y deformacion y de la simetrıa que

se obtiene durante la deduccion de la ley de Hooke, el numero total de componentes

que caracterizan al tensor de rigidez elastica Cijkl se reduce de 81 a 21. En terminos

formales, estas simetrıas son (Bower, 2009):

Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij. (2.29)

Por otra parte, las relaciones de simetrıa de la forma aij = aji establecen una reduc-

cion de 9 a 6 componentes para tensores de segundo rango. Con esta simplificacion, es

posible representar estos tensores a traves de vectores de dimension 6× 1.

Ası, la ley de Hooke puede representarse a traves de la operacion matricial:

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C12 C22 C23 C24 C25 C26

C13 C23 C33 C34 C35 C36

C14 C24 C34 C44 C45 C46

C15 C25 C35 C45 C55 C56

C16 C26 C36 C46 C56 C66

ε1

ε2

ε3

ε4

ε5

ε6

(2.30)

en donde se aprecian las 21 componentes del tensor de deformacion.

Historicamente, esta simplificacion es atribuıda a Woldemar Voigt (1850–1919), razon

por la que se le conoce como notacion de Voigt. En esta convencion, los ındices 1 a 6

se construyen a partir de una pareja de ındices del tensor cartesiano. El ordenamiento

24

establecido por Voigt se ilustra en la tabla 2.1, en ella se han incluido, a manera de

desambiguacion, las diferentes notaciones empleadas en la literatura.

TensorialIngenieril

VoigtEsfuerzo Deformacion

11 σx εx 122 σy εy 233 σz εz 3

23 o 32 τyz γyz = 2 εyz 413 o 31 τxz γxz = 2 εxz 512 o 21 τxy γxy = 2 εxy 6

Tabla 2.1.: Convenciones empleadas para la representacion de dos ındices.

2.2. Elasticidad plana

2.2.1. La ecuacion biarmonica

Las ecuaciones de la elasticidad lineal se simplifican al considerar dos casos de interes

practico: Los problemas planos de deformaciones o de esfuerzos. Las condiciones sobre

los desplazamientos que definen el problema plano de deformaciones son:

u1 = u1(x1, x2), (2.31a)

u2 = u2(x1, x2), (2.31b)

u3 = 0. (2.31c)

Con esta simplificacion, la ecuacion gobernante para el caso elastostatico en un medio

isotropo6 queda establecida mediante el sistema:(λ+ 2µ)

∂ ε11

∂ x1

+ λ∂ ε22

∂ x1

+ 2µ∂ ε12

∂ x2

= 0

2µ∂ ε12

∂ x1

+ λ∂ ε11

∂ x2

+ (λ+ 2µ)∂ ε22

∂ x2

= 0.

(2.32)

En donde λ y µ son los parametros de Lame.

6Formulacion que es equivalente para medios transversalmente isotropos, siempre que el plano sea elde isotropıa de las propiedades.

25

Al considerar las condiciones de compatibilidad de Saint-Venant7 que surgen de la

simetrıa del tensor deformacion, se deduce que cada componente del desplazamiento

debe poseer, al menos, tercer derivada. De estas relaciones entre deformaciones, es de

nuestro interes la siguiente:

∂2 ε22

∂ x21

+∂2 ε11

∂ x22

= 2∂2 ε12

∂ x1 ∂ x2

(2.33)

Derivando en (2.32) la primer ecuacion respecto a x1, la segunda respecto a x2 y luego

sumarlas, de la aplicacion de (2.33), tras algunas simplificaciones, se obtiene:

∇2

(ε11 + ε22

)= 0. (2.34)

Expresion en la cual el sımbolo ∇2 representa el operador Laplaciano.

El resultado anterior puede ser escrito en terminos de un potencial escalar para el

desplazamiento. Designando este potencial por Θ se tiene:

u = ∇Θ(x1, x2), (2.35)

en donde ∇ es el operador gradiente.

Ası, al desarrollar las definiciones para las deformaciones ε11, ε22 y ε12 en terminos del

potencial escalar Θ, se obtiene:

ε11 + ε22 = ∇2Θ. (2.36)

Resultado que al sustituirse en (2.34) nos lleva a la ecuacion biarmonica, centro de la

teorıa plana de la elasticidad:

∇2

(∇2Θ

)= ∇4Θ =

∂4 Θ

∂ x41

+ 2∂4 Θ

∂ x21 ∂ x

22

+∂4 Θ

∂ x42

= 0. (2.37)

En la literatura se reportan numerosas tecnicas para la resolucion de la ecuacion

biarmonica. El punto de partida consiste en proponer una funcion U(x1, x2), con cuarta

derivada continua y acorde a las condiciones del problema. Esta funcion esta directa-

7Conocidas tambien como condiciones de continuidad.

26

mente relacionada con los esfuerzos mediante:

σ11 =∂2 U

∂ x22

, (2.38a)

σ22 =∂2 U

∂ x21

, (2.38b)

σ12 = σ21 = − ∂2 U

∂ x1 ∂ x2

, (2.38c)

σ11 + σ22 = ∇2U. (2.38d)

2.2.2. Representacion compleja

Para el interes de la tesis, se empleara una tecnica basada en la representacion com-

pleja de la ecuacion biarmonica. Esta tecnica fue desarrollada por Goursat (1898) y

perfeccionada posteriormente por Kolosov (1909), Kolosov y Muskhelishvili (1915) y

Muskhelishvili (1919).

El punto de partida de esta tecnica consiste en introducir la variable compleja z =

x1 + ix2 con conjugada z = x1− ix2. Ası, mediante la regla de la cadena, se obtienen las

siguientes definiciones para los operadores diferenciales:

∂

∂ x1

=∂

∂ z+

∂

∂ z, (2.39a)

∂

∂ x2

= i

(∂

∂ z− ∂

∂ z

). (2.39b)

De las cuales se deduce:

∇2 = 4∂2

∂ z ∂ z. (2.40)

Ası, la ecuacion biarmonica puede ser escrita como:

∂4 U

∂ z2 ∂ z2 = 0. (2.41)

Expresion que, al integrarse directamente, nos proporciona el resultado de Goursat

(1898):

U(z, z) = A(z) + z B(z) + z C(z) +D(z). (2.42)

27

Si se considera que U debe ser una funcion real, es posible establecer (Muskhelishvili,

1953):

C(z) = C(z) = B(z), (2.43a)

D(z) = D(z) = A(z). (2.43b)

De manera que, al sustituır estos supuestos en (2.42), se obtiene:

U(z, z) = A(z) + A(z) + z B(z) + z B(z) = 2 Re A(z) + z B(z) . (2.44)

Introduciendo el termino 1/4 para anular la constante del operador de Laplace (2.40),

tras algunas consideraciones de caracter analıtico y formal (Muskhelishvili, 1953), es

posible escribir la expresion anterior como:

2U(z, z) = zϕ(z) + z ϕ(z) + χ(z) + χ(z). (2.45)

Resultado conocido con el nombre de formula de Goursat.

La importancia de este resultado radica en que ϕ(z) es armonica, mientras que χ(z)

posee, hasta cierto punto, un caracter arbitrario. Ası, ϕ(z) puede representarse como:

ϕ(z) = p(x1, x2) + i q(x1, x2). (2.46)

En donde p y q son dos funciones que satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann.

Hasta este punto se ha propuesto la funcion de variable compleja U(z, z) definida

en (2.45) como solucion a la ecuacion biarmonica. Cierto es que, a partir de (2.38a),

(2.38b) y (2.38c) es posible obtener una relacion entre los esfuerzos y las funciones ϕ(z)

y χ(z) mediante las definiciones (2.39a) y (2.39b). No obstante, dicho procedimiento

es demasiado laborioso. En el interes del trabajo, se opto por seguir el procedimiento

descrito en la pag. 264 de Sokolnikoff (1956).

28

2.2.3. Potenciales de Kolosov-Muskhelishvili

Reescribiendo (2.38a), (2.38b) y (2.38c) como8:

σ11 + i σ12 =∂2 U

∂ x22

− i ∂2 U

∂ x1 ∂ x2

= −i ∂

∂ x2

(∂ U

∂ x1

+ i∂ U

∂ x2

), (2.47a)

σ22 − i σ12 =∂2 U

∂ x21

+ i∂2 U

∂ x1 ∂ x2

=∂

∂ x1

(∂ U

∂ x1

+ i∂ U

∂ x2

). (2.47b)

En donde, al calcular las derivadas respecto a x1 y x2 en (2.45), se obtiene9:

∂ U

∂ x1

+ i∂ U

∂ x2

= ϕ(z) + z ϕ ′(z) + ψ(z). (2.48)

Expresion en la que las primas indican derivada respecto a z y, ademas, se ha introducido

la definicion:

ψ(z) = χ ′. (2.49)

Calculando ahora las derivadas respecto a x1 y x2 para (2.48), tras sustituır en (2.47a)

y (2.47b) se tiene:

σ11 + i σ12 = ϕ ′(z) + ϕ ′(z)− z ϕ ′′(z)− ψ ′, (2.50a)

σ22 − i σ12 = ϕ ′(z) + ϕ ′(z) + z ϕ ′′(z) + ψ ′. (2.50b)

Relaciones de las cuales es posible deducir:

σ11 + σ22 = 2[ϕ ′(z) + ϕ ′(z)

]= 4 Re ϕ ′(z) , (2.51a)

σ22 − σ11 + 2i σ12 = 2 [z ϕ ′′(z) + ψ ′(z)] . (2.51b)

Expresiones que relacionan directamente a los esfuerzos con las funciones ϕ(z) y ψ(z).

Por su importancia, en lo sucesivo se les llamara relaciones de Kolosov-Muskhelishvili

para los esfuerzos.

A fin de obtener una expresion que relacione a ϕ(z) y ψ(z) con los desplazamien-

tos, basta escribir las definiciones (2.38a), (2.38b) y (2.38c) en terminos de la relacion

8Cabe mencionar que esta simplificacion no es ocurrencia de Sokolnikoff (1956), sino una sıntesis delapartado §32 de Muskhelishvili (1953). Existen ciertas conjeturas si el procedimiento se atribuye aLove (1944) aunque, a decir de Muskhelishvili (1953), este se publico por vez primera en Muskhel-ishvili (1919).

9Escrıbase primero 2U como zϕ(z) + z ϕ(z) + χ(z) + χ(z) y aplıquense las definiciones (2.39a) y(2.39b) para calcular las derivadas. Luego, regrese las equivalencias ϕ(z) = ϕ(z) y χ(z) = χ(z) a finde deducir (2.48).

29

constitutiva. Para el caso de un medio isotropo, la suma de los esfuerzos σ11 + σ22 es10:

∇2U = 2 (λ+ µ)

(∂u1

∂x1

+∂u2

∂x2

)(2.52)

Escribiendo ahora:

∂2 U

∂x22

= ∇2U − ∂2 U

∂x21

, (2.53a)

∂2 U

∂x21

= ∇2U − ∂2 U

∂x22

. (2.53b)

Tras efectuar algunas operaciones algebraicas y aplicar la formula de Goursat emple-

ando la definicion (2.40), se tiene:

∇2U = 4∂2U

∂z ∂z= 2

(ϕ ′(z) + ϕ ′(z)

). (2.54)

En donde, de la definicion de ϕ(z) (ecuacion 2.46) y las relaciones de Cauchy-Riemann

para p y q, se deduce:

∇2U = 4∂p

∂x1

= 4∂q

∂x2

. (2.55)

Resultado que permite escribir los esfuerzos σ11 y σ22 como:

2µ∂u1

∂x1

= −∂2 U

∂x21

+2 (λ+ 2µ)

λ+ µ

∂p

∂x1

, (2.56a)

2µ∂u2

∂x2

= −∂2 U

∂x22

+2 (λ+ 2µ)

λ+ µ

∂q

∂x2

. (2.56b)

Expresiones que, al integrarse respecto a x1 y x2, son:

2µu1 = −∂ U∂x1

+2 (λ+ 2µ)

λ+ µp+ g1(x2), (2.57a)

2µu2 = −∂ U∂x2

+2 (λ+ 2µ)

λ+ µq + g2(x1). (2.57b)

10Observese que la unica diferencia entre la funcion Θ(x1, x2) definida en (2.37) y U(x1, x2) es el factor2(λ+ µ).

30

Resultado en donde g1(x2) y g2(x1) son funciones que, de acuerdo a la teorıa (Love,

1944; Muskhelishvili, 1953; Sokolnikoff, 1956), representan terminos relacionados al des-

plazamiento de cuerpo rıgido. A efectos de analisis, es valido asumir g1(x2) = g2(x1) = 0.

Por ultimo, aprovechando la conveniencia de la definicion (2.48), al multiplicar (2.57b)

por la unidad imaginaria y sumarla a (2.57a), se obtiene la formula de Kolosov-Musk-

helishvili para los desplazamientos :

2µ (u1 + i u2) = κϕ(z)− z ϕ ′(z)− ψ(z). (2.58)

En donde el parametro κ es:

κ =λ+ 3µ

λ+ µ= 3− 4ν. (2.59)

La importancia de todo el procedimiento descrito desde (2.42) hasta la ultima expresion

estriba en que, para un problema plano de deformaciones en un medio isotropo, es posible

obtener el estado de esfuerzos y deformaciones en terminos de dos funciones de variable

compleja, ϕ(z) y ψ(z). El procedimiento anterior se sintetiza en tres expresiones:

2µ (u1 + i u2) = κϕ(z)− z ϕ ′(z)− ψ(z) , (2.60)

σ11 + σ22 = 2[ϕ ′(z) + ϕ ′(z)

]= 4 Re ϕ ′(z) , (2.61)

y

σ22 − σ11 + 2i σ12 = 2 [z ϕ ′′(z) + ψ ′(z)] . (2.62)

Para el lector interesado, el tratamiento de los problemas planos generalizados de

esfuerzos y deformaciones puede encontrarse con suficiente detalle en Lekhnitskii (1981).

31

2.3. Restricciones fısicas para las propiedades elasticas

2.3.1. Medios isotropos

El origen de las propiedades fısicas de un material se encuentra en su estructura. Para

el caso de las propiedades mecanicas, el tipo de enlace presente entre los atomos que

conforman la estructura determina, ademas de la direccionalidad de las propiedades, su

rigidez elastica.

Al respecto, existen diferentes modelos que, a partir del analisis de la estructura elec-

tronica, son capaces de predecir los diferentes modulos elasticos que exhibe el material11.

Desde el punto de vista de la mecanica de medios continuos, historicamente, la aseve-

racion de que K es positiva, parte del enunciado general de que, cualquier material

sometido a presion hidrostatica siempre disminuye su volumen.

Para el caso de G, su positividad queda manifiesta al descomponer el tensor de defor-

macion en sus componentes volumetrica y deviatorica:

εij =1

3δij εkk +

(εij −

1

3δij εkk

). (2.63)

Resultado desde el cual, para el caso isotropo, es posible reescribir la ecuacion (2.24)

para la energıa libre de Helmholtz como (Landau y Lifshitz, 1959):

a =K

2(εkk)

2 +G

(εij −

1

3δij εkk

)2

. (2.64)

Descomposicion desde la cual, es posible afirmar la positividad de K y G. Esto es,

si se considera que las deformaciones hidrostatica y de cizalla involucraran siempre un

trabajo positivo (Jones, 1999). Cabe mencionar que un argumento similar se obtiene al

apelar a la segunda ley de la Termodinamica.

Ası, al considerar la positividad K y G, tras escribirlas en terminos de las diferentes

constantes elasticas de uso comun y realizar un analisis de las desigualdades que apare-

cen, se obtienen las siguientes restricciones fısicas para los valores de las constantes

11A manera de ejemplo, considerense los trabajos de Fuchs (1935); Gilman (1966, 1971); Harrison(1980) y el libro de Gilman (2003), donde se derivan expresiones para K y G a partir de primerosprincipios.

32

elasticas de un material isotropo:

1

S11

= E > 0, (2.65a)

C66 = µ = G > 0, (2.65b)

K >E

9, (2.65c)

−1 < ν <1

2, (2.65d)

C12 = λ >−2G

3, (2.65e)

C11 >4G

3. (2.65f)

De las cuales se destaca (2.65d), enunciado teorico que permite la existencia de razones

de Poisson negativas.

2.3.2. Relaciones para medios ortotropos

A fin de enunciar las restricciones fısicas para las constantes elasticas en un medio

ortotropo, resulta conveniente escribir primero las relaciones entre los coeficientes de

rigidez elastica y las constantes ingenieriles E1, E2, E3 (un modulo de Young por cada

direccion), G12, G13, G23 (modulos de corte por plano de cizalla) y las seis diferentes

razones de Poisson: ν12, ν21, ν13, ν31, ν23 y ν32. Estas relaciones son (Jones, 1999; Bower,

2009):

C11 = E1 (1− ν23ν32) β, (2.66a)

C22 = E2 (1− ν13ν31) β, (2.66b)

C33 = E3 (1− ν12ν21) β, (2.66c)

C44 = G23, (2.66d)

C55 = G13, (2.66e)

C66 = G12, (2.66f)

C12 = E1 (ν21 + ν31ν23) β = E2 (ν12 + ν13ν32) β, (2.66g)

C13 = E1 (ν31 + ν21ν32) β = E3 (ν13 + ν12ν23) β, (2.66h)

C23 = E2 (ν32 + ν12ν31) β = E3 (ν23 + ν21ν13) β, (2.66i)

33

en donde,

β =1

1− ν12ν21 − ν13ν31 − ν23ν32 − 2ν21ν32ν13

. (2.67)

La forma inversa de (2.66) es (Bower, 2009):

E1 =∆

C22C33 − C223

, (2.68a)

E2 =∆

C11C33 − C213

, (2.68b)

E3 =∆

C11C22 − C212

, (2.68c)

ν12 =C12C33 − C13C23

C22C33 − C223

, (2.68d)

ν21 =C12C33 − C13C23

C11C33 − C213

, (2.68e)

ν13 =C13C22 − C12C23

C22C33 − C223

, (2.68f)

ν31 =C13C22 − C12C23

C11C22 − C212

, (2.68g)

ν23 =C11C23 − C12C13

C11C33 − C213

, (2.68h)

ν32 =C11C23 − C12C13

C11C22 − C212

, (2.68i)

en donde

∆ = C11C22C33 + 2C12C13C23 − C11C223 − C22C

213 − C33C

212. (2.69)

En general, el empleo de las relaciones anteriores, ademas de impractico, propicia e-

rrores en la evaluacion de las propiedades elasticas (Fuentes y Fuentes, 2008). Por esta

razon, resulta mas conveniente emplear la matriz de complianza S, donde cada coefi-

ciente esta relacionado con las constantes de ingenierıa de forma directa.

34

Para el caso ortotropo esto es (Jones, 1999; Fuentes y Fuentes, 2008):

S(orto) =

1/E1 −ν21/E2 −ν31/E3 0 0 0

−ν12/E1 1/E2 −ν32/E3 0 0 0

−ν13/E1 −ν23/E2 1/E3 0 0 0

0 0 0 1/G23 0 0

0 0 0 0 1/G13 0

0 0 0 0 0 1/G12

, (2.70)

De la cual, a partir del hecho de que S es simetrica, se obtiene (Beer et al., 2004):

ν21

E2

=ν12

E1

, (2.71a)

ν31

E3

=ν13

E1

, (2.71b)

ν32

E3

=ν23

E2

. (2.71c)

2.3.3. Restricciones fısicas para medios ortotropos

Las restricciones impuestas para un material isotropo equivalen a establecer que:

det (S) > 0, (2.72a)

det (C) > 0. (2.72b)

En donde S y C son, respectivamente, las representaciones matriciales para el tensor de

complianza y rigidez elastica.

Al respecto, Lempriere (1968) demuestra que las condiciones anteriores tambien son

aplicables a medios ortotropos. Esto es, las matrices S y C asociadas a los tensores

elasticos deben estar positivamente definidas. De esta forma, en los elementos diagonales

de las matrices de complianza y rigidez elasticas, se tiene:

S11, S22, S33, S44, S55, S66 > 0, (2.73a)

C11, C22, C33, C44, C55, C66 > 0. (2.73b)

O, equivalentemente:

E1, E2, E3, G12, G13, G23 > 0. (2.74)

35

Al considerar las definiciones (2.66a)–(2.66i) se deducen las restricciones:

1− ν23ν32, 1− ν13ν31, 1− ν12ν21 > 0. (2.75)

Y, de (2.67), se deduce:

1− ν12ν21 − ν13ν31 − ν23ν32 − 2ν21ν32ν13 > 0. (2.76)

Por ultimo, al considerar la inversa de S, se tiene para C11, C22 y C33:

C11 =S22 S33 − S2

23

S> 0, (2.77a)

C22 =S11 S33 − S2

13

S> 0, (2.77b)

C33 =S11 S22 − S2

12

S> 0. (2.77c)

En donde:

S = S11S22S33 − S11S223 − S22S

213 − S33S

212 − 2S12S13S23. (2.78)

Obteniendo con ello:

S > 0, (2.79a)

|S12| <√S11 S22, (2.79b)

|S13| <√S11 S33, (2.79c)

|S23| <√S22 S33. (2.79d)

Relaciones de las cuales, de (2.71a)–(2.71c), se deducen las siguientes condiciones

equivalentes:

|ν12| <√E1

E2

, |ν21| <√E2

E1

, (2.80a)

|ν13| <√E1

E3

, |ν31| <√E3

E1

, (2.80b)

|ν23| <√E2

E3

, |ν32| <√E3

E2

. (2.80c)

36

Como puede apreciarse, las restricciones que surgen para un medio ortotropo son,

ademas de complejas, contraintuitivas cuando se les compara con las que se obtuvieron

para el caso isotropo. Por ejemplo, para el composito de Dickerson y DiMartino (1966)

se reportan razones de Poisson experimentales con valores cercanos a 1.97 para ν12 y

los modulos de Young E1 = 81.77 GPa y E2 = 9.17 GPa. Ası, al considerar (2.80a), se

obtiene que |ν12| < 2.99. En otras palabras, en un medio ortotropo, termodinamicamente

es posible obtener razones de Poisson con valores superiores a 1/2.

Hasta el momento, toda la argumentacion descansa en el hecho de que las condiciones

K > 0 y G > 0 para un medio isotropo son termodinamicamente admisibles. Hecho

que, en terminos practicos, siempre se da por verificado. No obstante, existen trabajos

de caracter teorico como el de Wang y Lakes (2005). En dicha publicacion, se considera

un material con inclusiones nanometricas cuya temperatura es cercana a la requerida

para que ocurra una transformacion de fase. Bajo este supuesto, los autores en comento

demuestran la posibilidad de obtener, al menos localmente, compresibilidades negativas.

37

3. Metodo de Homogeneizacion

Asintotica

3.1. Escalas de lectura de las propiedades

A fin de poder aplicar el metodo de homogeneizacion asintotica es necesario intro-

ducir dos escalas de lectura para las propiedades relacionadas a traves de un parametro

pequeno y positivo λ (λ << 1). De esta forma, la escala X, con coordenadas espaciales

xi, representara la macroescala o escala de variaciones lentas. A su vez, se designara por

Y, con coordenadas yi, a la mesoescala o escala de variaciones rapidas. La relacion entre

estas escalas es (Bensoussan et al., 1975):

xi = λ yi. (3.1)

El sentido fısico de la relacion anterior radica en considerar los ordenes de magnitud

presentes entre las escalas X e Y. Es decir, una unidad en la mesoescala representa una

pequena fraccion de su contraparte macroscopica.

Dado que nos interesa observar los efectos en la macroescala debidos a las perturba-

ciones o variaciones que llegasen a ocurrir en la microescala se establece, a priori, la

existencia de funciones de la forma (Bensoussan et al., 1978):

f(xi, yi) = f (0)(xi, yi) + λ f (1)(xi, yi) + λ2 f (2)(xi, yi) + λ3 f (3)(xi, yi) + . . . (3.2)

Desarrollo en donde, cada funcion f (h)(xi, yi) (h = 1, 2, 3, . . .), representa una contribu-

cion al problema macroscopico en el orden de magnitud (potencia de λ) dado.

Para el caso elastostatico, se propone describir el campo de desplazamientos macroscopi-

cos en terminos de la siguiente suma de contribuciones:

ui(xi) = u(X)i (xi) + ui. (3.3)

38

Donde la contribucion u(X)i representa los desplazamientos que ocurren en la macroescala,

mientras que el termino ui representa las perturbaciones que son observables en la

macroescala.

A la luz de lo anterior se establece (Amar y Gianni, 2005):

u(xi, yi)λ−→ ui. (3.4)

Es decir, la funcion a dos escalas u(xi, yi) representa, a traves del parametro pequeno

λ, la mejor aproximacion para ui.

Sin perdida de formalidad, a partir de (3.1) y la regla de la cadena, se deduce la

siguiente definicion para el diferencial total de ui:

(λ)dui =∂ ui(xi, yi)

∂ xidxi +

∂ ui(xi, yi)

∂ yidyi =

(∂ ui(xi, yi)

∂ xi+

1

λ

∂ ui(xi, yi)

∂ yi

)dxi. (3.5)

En donde se ha introducido el superındice izquierdo (λ) para indicar que el diferencial de

ui puede describirse en terminos de los diferenciales de ui(xi, yi) a traves del parametro

pequeno λ (Nava-Gomez, 2007). Esto es, una redefinicion del operador derivada respecto

a las coordenadas macroscopicas, escrita en terminos del parametro pequeno λ:

(λ)∂

∂ xi=

∂

∂ xi+

1

λ

∂

∂ yi. (3.6)

Al aplicar esta definicion en la expansion asintotica de la forma (3.2), tras agrupar

terminos, se obtiene en la primer y segunda derivadas espaciales de la macroescala (Nava-

Gomez, 2007):

(λ)∂ ui∂ xj

=

(∂

∂ xj+

1

λ

∂

∂ yj

)( ∞∑h=0

λh u(h)i (xi, yi)

)

=1

λ

∂ u(0)i (xi, yi)

∂ yj+∞∑h=0

λh

(∂ u

(h)i (xi, yi)

∂ xj+∂ u

(h+1)i (xi, yi)

∂ yj

)(3.7)

39

y

(λ)∂2 ui∂ xj ∂ xk

=1

λ2

∂2 u(0)i (xi, yi)

∂yj ∂yk+

1

λ

(∂2 u

(0)i (xi, yi)

∂ xk ∂ yj+∂2 u

(0)i (xi, yi)

∂ xj ∂ yk+∂2 u

(1)i (xi, yi)

∂ yj ∂ yk

)

+∞∑h=0

λh

(∂2 u

(h)i (xi, yi)

∂ xj ∂ xk+∂2 u

(h+1)i (xi, yi)

∂ xk ∂ yj+∂2 u

(h+1)i (xi, yi)

∂ xj ∂ yk

+∂2 u

(h+2)i (xi, yi)

∂ yj ∂ yk

), (3.8)

respectivamente.

Con las expresiones anteriores y (3.3) es posible construır las definiciones para la

homogeneizacion de la ecuacion gobernante.

3.2. Aplicacion al caso elastostatico

A fin de homogeneizar la ecuacion gobernante, escribimos primero la ley de Hooke

macroscopica en terminos del desplazamiento:

σij =Cijkl

2

(∂ uk∂ xl

+∂ uk∂ xl

). (3.9)

De la simetrıa Cijkl = Cijlk para el tensor de rigidez elastica, la ecuacion gobernante

para el caso elastostatico puede escribirse de forma compacta en terminos del desplaza-

miento como:∂ Cijkl∂ xj

∂ uk∂ xl

+ Cijkl∂2 uk∂ xj ∂ xl

= 0. (3.10)

En donde se ha incluido la derivada parcial para las propiedades elasticas, ya que se

trata de un medio heterogeneo.

Para el caso de un material compuesto con estructura periodica, se propone que Cijkl

sea una funcion exclusiva de la mesoescala1. Es decir, se asume que las propiedades

elasticas del medio solo dependeran de la distribucion y propiedades de los constituyentes

al interior del VRA. Con esta consideracion y las definiciones previas, se tiene:

1

λ

∂ Cijkl∂ yj

λ−→ ∂ Cijkl∂ xj

. (3.11)

1A excepcion de que macroscopicamente el material presente un gradiente en sus propiedades (Amary Gianni, 2005). Un ejemplo consiste en el ındice de refraccion de algunas fibras opticas comerciales.

40

Escribiendo el desplazamiento uk como un problema de la forma (3.3) en (3.10), tras

aplicar las relaciones (3.7), (3.8) y agrupar terminos de las potencias de λ; tras algunas

simplificaciones, se obtiene:

∂

∂ yj

(Cijkl

∂ u(0)k

∂ yl

)= 0,

(3.12a)

∂

∂ yj

(Cijkl

(∂ u

(0)k

∂ xl+∂ u

(1)k

∂ yl

))+∂ Cijkl∂ yj

∂ u(X)k

∂ xl+ Cijkl

∂2 u(0)k

∂ xj ∂ yl= 0,

(3.12b)

∂

∂ yj

(Cijkl

(∂ u

(1)k

∂ xl+∂ u

(2)k

∂ yl

))+

∂

∂ xj

(Cijkl

(∂

∂ xl

(u

(X)k + u

(0)k

)+∂ u

(1)k

∂ yl

))= 0,

(3.12c)

∂

∂ yj

(Cijkl

(∂ u

(m+1)k

∂ xl+∂ u

(m+2)k

∂ yl

))+

∂

∂ xj

(Cijkl

(∂ u

(m)k

∂ xl+∂ u

(m+1)k

∂ yl

))= 0.

(3.12d)

En donde m = 1, 2, 3, . . .

En conjunto, las expresiones (3.12a–3.12d) representan un sistema homogeneo infinito

equivalente para la ecuacion gobernante. El orden de las expresiones corresponde, res-

pectivamente, a las potencias λ−2, λ−1, λ0 y λm (m > 0).

La integracion directa de (3.12a) establece que:

u(0)k = g(xk). (3.13)

Es decir, u(0)k solo depende de las coordenadas de la macroescala. Esto es en virtud de

que se ha establecido que Cijkl es una funcion exclusiva de la mesoescala.

De lo anterior se deduce que uk (la perturbacion observable macroscopicamente) es

de la forma2:

uk = u(0)k (xk) + λu

(1)k (xk, yk) + λ2 u

(2)k (xk, yk) + . . . (3.14)

2A manera de ejemplo, basta preguntarse ¿como serıa uk si λ fuese cero? Una prueba formal puedeencontrarse en el lema 2.13 de Amar y Gianni (2005).

41

Definiendo la suma de las contribuciones macroscopicas como:

u(E)k = u

(X)k + u

(0)k . (3.15)

Es posible simplificar las ecuaciones (3.12b) y (3.12c) como sigue:

∂

∂ yj

(Cijkl

(∂ u

(E)k

∂ xl+∂ u

(1)k

∂ yl

))= 0, (3.16a)

∂

∂ yj

(Cijkl

(∂ u

(1)k

∂ xl+∂ u

(2)k

∂ yl

))+

∂

∂ xj

(Cijkl

(∂ u

(E)k

∂ xl+∂ u

(1)k

∂ yl

))= 0. (3.16b)

Para u(1)k se propone la siguiente separacion de variables (Bakhalov y Panasenko,

1989):

u(1)k = pqLk

∂ u(E)p

∂ xq. (3.17)

Expresion en donde pqLk es una funcion tensorial que depende exclusivamente de la mi-

croescala. Los ındices izquierdos p y q hacen referencia a las componentes del termino

macroscopico ∂u(E)p /∂xq.

Sustituyendo la separacion anterior en (3.16a), tras intercambiar los ındices k → p y

l→ q en el termino ∂u(E)k /∂xl, es posible escribir (3.16a) como:

∂

∂ yj

(Cijpq + Cijkl

∂ pqLk∂ yl

)∂ u

(E)p

∂ xq= 0. (3.18)

En donde, si se considera que ∂u(E)p /∂xq no es necesariamente cero3, se deduce:

∂

∂ yj

(Cijpq + Cijkl

∂ pqLk∂ yl

)= 0. (3.19)

A diferencia de (3.12a), la suma Cijpq+Cijkl ∂ pqLk/∂ yl solo depende de la microescala.

De esta forma, si |Ω| representa el volumen del VRA y ∂Ω su superficie, a traves del

teorema de la divergencia se obtiene:∫Ω

∂

∂ yj

(Cijpq + Cijkl

∂ pqLk∂ yl

)dΩ =

∮∂Ω

(Cijpq + Cijkl

∂ pqLk∂ yl

)nj d (∂Ω) = 0. (3.20)

3En virtud que representa a las deformaciones macroscopicas.

42

Resultado del cual se deduce:

Cijkl∂ pqLk∂ yl

nj = −Cijpq nj. (3.21)

Observando la similitud del lado derecho de la expresion anterior con la ley de Hooke,

se identifica a la funcion pqLk como el desplazamiento local. De manera que el esfuerzo

local pqσij queda definido como:

pqσij = Cijkl∂ pqLk∂ yl

(3.22)

Resultado que representa la version local para la ley de Hooke.

De lo anterior, se deduce que (3.21) es la definicion de la traccion local :

pqσij nj = −Cijpq nj (3.23)

De manera analoga a la empleada para u(1)k , Bakhalov y Panasenko (1989) proponen:

u(2)k = pqrMk

∂2 u(E)p

∂ xq ∂ xr. (3.24)

En donde, a diferencia de pqLk, la funcion tensorial pqrMk posee unidades de longitud al

cuadrado.

A partir de las separaciones de variables (3.17) y (3.24), el primer termino de la

ecuacion (3.16b) puede escribirse como sigue:

∂

∂ yj

(Cijkl

(∂ u

(1)k

∂ xl+∂ u

(2)k

∂ yl

))=

∂

∂ yj

(Cijkl pqLk

∂2 u(E)p

∂ xl ∂ xq+ Cijkl

∂pqrMk

∂ yl

∂2 u(E)p

∂ xq ∂ xr

)

=∂

∂ yl

(Cilkj pqLk

∂2 u(E)p

∂ xj ∂ xq

)+

∂

∂ yr

(Cirkl

∂ pjqMk

∂ yl

∂2 u(E)p

∂ xj ∂ xq

)

=∂

∂ yl

(Cilkj pqLk + Cilkr

∂ pjqMk

∂ yr

) ∂2 u(E)p

∂ xj ∂ xq. (3.25)

43

A su vez, el segundo termino se escribe como:

∂

∂ xj

(Cijkl

(∂ u

(E)k

∂ xl+∂ u

(1)k

∂ yl

))= Cijkl

∂2 u(E)k

∂ xj ∂ xl+ Cijkl

∂ pqLk∂ yl

∂2 u(E)p

∂ xj ∂ xq

=(Cijpq + Cijkl

∂ pqLk∂ yl

) ∂2 u(E)p

∂ xj ∂ xq. (3.26)

De esta forma, (3.16b) puede ser escrita como:[∂

∂ yl

(Cilkj pqLk + Cilkr

∂ pjqMk

∂ yr

)+ Cijpq + Cijkl

∂ pqLk∂ yl

]∂2 u

(E)p

∂ xj ∂ xq= 0. (3.27)

Expresion que guarda familiaridad con las ecuaciones de la elasticidad lineal4. Aquı, el

termino entre los corchetes representa la aportacion de las perturbaciones a las propiedades

del material.

3.3. Tensor de rigidez elastica efectivo

A partir del resultado anterior es posible obtener el tensor de rigidez elastica efectivo

Cijkl. Para ello es necesario tomar el promedio de (3.27) en el VRA. Este promedio se

define mediante la integral:

〈f〉 =1

|Ω|

∫Ω

f(yi) dΩ, (3.28)

en donde f(yi) representa una funcion definida en la mesocelda o VRA.

Aplicando esta definicion para el termino entre corchetes de (3.27), se tiene:

Cijpq =1

|Ω|

∫Ω

(∂

∂ yl

(Cilkj pqLk + Cilkr

∂ pjqMk

∂ yr

)+ Cijpq + Cijkl

∂ pqLk∂ yl

)dΩ. (3.29)

4Comparese con Cijpq ∂2u

(E)p /∂ xj∂xq = 0.

44

En donde se han tomado los ındices de la derivada respecto a xq para el desplazamiento

macroscopico u(E)p .

Escribiendo el resultado anterior en terminos de dos integrales, una de superficie y

otra de volumen, se tiene:

Cijpq =1

|Ω|

∮∂Ω

(Cilkj pqLk + Cilkr

∂ pjqMk

∂ yr

)nl d(∂Ω)

+1

|Ω|

∫Ω

(Cijpq + Cijkl

∂ pqLk∂ yl

)dΩ. (3.30)

Si se considera que el VRA es periodico, se pueden escoger las funciones periodicas

pqLk y pjqMk de manera que la integral de superficie se anule.

Para ello, considerese primero que el ındice j esta libre en el termino que multiplica a

pqLk. De manera que puede sustituırse por r y el problema se reduce a establecer que5:

∂ pjqMk

∂yr= −pqLk. (3.31)

Por otra parte, de acuerdo a Bakhalov y Panasenko (1989), una condicion necesaria

y suficiente para garantizar la unicidad de las soluciones a las ecuaciones que aparecen

en el sistema homogeneizado consiste en establecer que:

〈pqLk〉 = 0. (3.32)

Condicion que equivale a decir que los desplazamientos locales son periodicos.

Con estas consideraciones, el tensor de rigidez elastico efectivo es (Bakhalov y Panasenko,

1989):

Cijpq =

⟨Cijpq + Cijkl

∂ pqLk∂ yl

⟩(3.33)

En donde el operador 〈.〉 indica el promedio en el VRA.

5A fin de aclarar esta idea, basta imaginar por un momento que pjqMk representa a una funcionperiodica similar, digamos, al coseno; y que pqLk fuese su contraparte analoga, en el ejemplo, alseno. Un argumento formal puede encontrarse en Bakhalov y Panasenko (1989).

45

Al considerar la simetrıa Cijpq = Cijqp para el tensor efectivo, se verifica con facilidad:

pqLk = qpLk. (3.34)

Resultado que equivale a establecer que los desplazamientos locales pqL son simetricos

para los ındices de suma p y q. Argumentos formales sobre el significado matematico

de esta simetrıa y su demostracion pueden encontrarse, respectivamente, en Bensoussan

et al. (1978) y Bakhalov y Panasenko (1989). Cabe mencionar que la correspondencia

entre cada problema local y el desplazamiento local pqL, aquı descrita, queda manifiesta.

Para el caso del resto de las ecuaciones del sistema homogeneizado (relacion (3.12d)

para m ≥ 1), se asume, de la fısica del problema, que las derivadas macroscopicas se

anularan a partir de la segunda derivada para el desplazamiento, u(E). Por otra parte,

puede establecerse que las potencias del parametro pequeno empleado en la expansion

asintotica a dos escalas, λr, pueden omitirse a partir de r > 2. Una demostracion formal

puede encontrarse en Bensoussan et al. (1978) y Amar y Gianni (2005).

3.4. Aplicacion en materiales compuestos con

constituyentes transversalmente isotropos

3.4.1. Enunciado de los problemas locales en contacto perfecto

A fin de aplicar los resultados anteriores en un material compuesto, conviene enun-

ciar cada problema local como la solucion de la ecuacion gobernante para los esfuerzos

locales6:

pqσ(Υ)ij, j = 0 (3.35)

En donde el ındice Griego Υ = 1, 2 denota a cada fase constituyente7. De esta forma,

la rigidez elastica de cada material queda establecida como C(Υ)ijkl y los desplazamientos

locales como pqL(Υ)k . De ellos, para la geometrıa bajo estudio, solo se exige que el despla-

zamiento local asociado a la matriz (pqL(1)) satsifaga la condicion de periodicidad (3.32)

(Pobedrya, 1984).

En lo que se refiere al contacto entre ambos materiales, por simplicidad, se asumen

condiciones de contacto perfecto. Es decir, los desplazamientos y las tracciones, seran

6Considerese que el operador coma aquı se refiere a la derivada espacial respecto a las coordenadas yj .71 = matriz, 2 = fibra.

46

continuas en la interfaz comun a ambos constituyentes.

Denotando por Γ a esta superficie comun, el enunciado matematico para la continuidad

de los desplazamientos locales es:

pqL(1)

∣∣∣∣∣Γ

= pqL(2)

∣∣∣∣∣Γ

(3.36)

Por otra parte, de la definicion local para las tracciones (ecuacion 3.23), se tiene:

(pqσ

(1)ij + C

(1)ijpq

) ∣∣∣∣∣Γ

nj =(pqσ

(2)ij + C

(2)ijpq

) ∣∣∣∣∣Γ

nj. (3.37)

Expresion que se escribe de forma mas compacta como:

‖pqσ(Υ)ij nj‖ = −‖C(Υ)

ijpq‖nj (3.38)

en donde ‖f (Υ)‖ representa, la diferencia o contraste en la interfaz Γ de la funcion f .

Esto es:

‖f (Υ)‖ = f (1)

∣∣∣∣∣Γ

− f (2)

∣∣∣∣∣Γ

. (3.39)

3.4.2. Problemas planos y anti-planos

Un desarrollo parcial de la ecuacion gobernante es:pqσ

(Υ)11, 1 + pqσ

(Υ)12, 2 + pqσ

(Υ)13, 3 = 0

pqσ(Υ)21, 1 + pqσ

(Υ)22, 2 + pqσ

(Υ)23, 3 = 0

pqσ(Υ)31, 1 + pqσ

(Υ)32, 2 + pqσ

(Υ)33, 3 = 0

(3.40)

De manera que, en principio, cada problema local pqL involucra la resolucion de este

sistema8.

8En el peor escenario, (3.40) representa la solucion de 18 ecuaciones agrupadas en 6 sistemas por cadaconstituyente.

47

A partir de la version local para la ley de Hooke, tras considerar que los constituyentes

son transversalemente isotropos, se obtiene:

pqσ(Υ)11 = C

(Υ)1111 pqL

(Υ)1, 1 + C

(Υ)1122 pqL

(Υ)2, 2 + C

(Υ)1133 pqL

(Υ)3, 3 , (3.41a)

pqσ(Υ)22 = C

(Υ)1122 pqL

(Υ)1, 1 + C

(Υ)1111 pqL

(Υ)2, 2 + C

(Υ)1133 pqL

(Υ)3, 3 , (3.41b)

pqσ(Υ)33 = C

(Υ)1133 pqL

(Υ)1, 1 + C

(Υ)1133 pqL

(Υ)2, 2 + C

(Υ)3333 pqL

(Υ)3, 3 , (3.41c)

pqσ(Υ)12 = pqσ

(Υ)21 = C

(Υ)1212 pqL

(Υ)1, 2 + C

(Υ)1221 pqL

(Υ)2, 1 , (3.41d)

pqσ(Υ)13 = pqσ

(Υ)31 = C

(Υ)1313 pqL

(Υ)1, 3 + C

(Υ)1331 pqL

(Υ)3, 1 , (3.41e)

pqσ(Υ)23 = pqσ

(Υ)32 = C

(Υ)2323 pqL

(Υ)2, 3 + C

(Υ)2332 pqL

(Υ)3, 2 . (3.41f)

Expresiones que representan un semi-desarrollo para los esfuerzos locales. Por su relevan-

cia, la relacion que guardan estos esfuerzos con los desplazamientos locales se presentan

en la tabla 3.1.

Grupo Esfuerzos Desplazamientos

Ipqσ

(Υ)11 pqL

(Υ)1 , pqL

(Υ)2 , pqL

(Υ)3

pqσ(Υ)22 pqL

(Υ)1 , pqL

(Υ)2 , pqL

(Υ)3

pqσ(Υ)33 pqL

(Υ)1 , pqL

(Υ)2 , pqL

(Υ)3

II pqσ(Υ)12 = pqσ

(Υ)21 pqL

(Υ)1 , pqL

(Υ)2

III pqσ(Υ)13 = pqσ

(Υ)31 pqL

(Υ)1 , pqL

(Υ)3

pqσ(Υ)23 = pqσ

(Υ)32 pqL

(Υ)2 , pqL

(Υ)3

Tabla 3.1.: Dependencias directas entre los esfuerzos y las componentes de los desplazamientos

locales pqL(Υ)k . La division en tres grupos ayudara a clasificar cada problema local

como plano o anti-plano.

De la geometrıa del problema, dado que las fibras son infinitamente largas en com-

paracion con su diametro, conviene expresar los esfuerzos pqσ(Υ)11 , pqσ

(Υ)22 y pqσ

(Υ)33 como

independientes de la componente pqL(Υ)3 del desplazamiento. De esta manera, su resolu-

cion puede tratarse como un problema plano de deformaciones.

48

Con esta consideracion, el desarrollo de la ecuacion gobernante para los problemas

locales listados en los grupos I y II de la tabla 3.1, se establece mediante el siguiente

sistema de ecuaciones: C(Υ)1111 pqL

(Υ)1, 11 + C

(Υ)1212 pqL

(Υ)1, 22 +

(C

(Υ)1122 + C

(Υ)1212

)pqL

(Υ)2, 12 = 0(

C(Υ)1122 + C

(Υ)1212

)pqL

(Υ)1, 12 + C

(Υ)1212 pqL

(Υ)2, 11 + C

(Υ)1111 pqL

(Υ)2, 22 = 0

(3.42)

En contraste, para los esfuerzos locales de corte pqσ(Υ)13 y pqσ

(Υ)23 , enunciados en el grupo

III de la tabla 3.1, se asume una dependencia exclusiva de la tercer componente del des-

plazamiento. Definiendo ası los problemas anti-planos.

Dado que es necesario considerar los efectos que estos desplazamientos locales (pqL(Υ)3 )

tienen sobre la seccion transversal del VRA, estos deben de asumirse como funciones de

y1 y y2. Esto es, pqL(Υ)3 = pqL

(Υ)3 (y1, y2). Ası (3.40) se establece como:

C(Υ)3131 pqL

(Υ)3, 11 + C

(Υ)3232 pqL

(Υ)3, 22 = 0. (3.43)

En donde, si se considera que en un medio transversalmente isotropo C(Υ)3131 = C

(Υ)3232,

la expresion anterior se reduce al problema de Laplace:

∇2pqL

(Υ)3 = 0. (3.44)

3.4.3. Clasificacion de los problemas locales

A fin de asociar cada problema local con la propiedad efectiva, resulta conveniente

reescribir la ecuacion (3.33) en terminos del esfuerzo local. Esto es:

Cijpq =⟨C

(Υ)ijpq

⟩+⟨pqσ

(Υ)ij

⟩. (3.45)

De manera que, al considerar que el material compuesto es ortotropo, se disponen de

nueve propiedades efectivas distintas. Todas ellas pueden enunciarse en terminos de los

49

esfuerzos locales como:

C1111 =⟨C

(Υ)1111

⟩+⟨

11σ(Υ)11

⟩, (3.46a)

C2222 =⟨C

(Υ)2222

⟩+⟨

22σ(Υ)22

⟩, (3.46b)

C3333 =⟨C

(Υ)3333

⟩+⟨

33σ(Υ)33

⟩, (3.46c)

C1122 = C2211 =⟨C

(Υ)1122

⟩+⟨

22σ(Υ)11

⟩=⟨C

(Υ)2211

⟩+⟨

11σ(Υ)22

⟩, (3.46d)

C1133 = C3311 =⟨C

(Υ)1133

⟩+⟨

33σ(Υ)11

⟩=⟨C

(Υ)3311

⟩+⟨

11σ(Υ)33

⟩, (3.46e)

C2233 = C3322 =⟨C

(Υ)2233

⟩+⟨

33σ(Υ)22

⟩=⟨C

(Υ)3322

⟩+⟨

22σ(Υ)33

⟩, (3.46f)

C1313 = C3113 = C1331 = C3131 =⟨C

(Υ)1313

⟩+⟨

13σ(Υ)13

⟩=⟨C

(Υ)3113

⟩+⟨

13σ(Υ)31

⟩=⟨C

(Υ)1331

⟩+⟨

31σ(Υ)13

⟩=⟨C

(Υ)3131

⟩+⟨

31σ(Υ)31

⟩, (3.46g)

C2323 = C3223 = C2332 = C3232 =⟨C

(Υ)2323

⟩+⟨

23σ(Υ)23

⟩=⟨C

(Υ)3223

⟩+⟨

23σ(Υ)32

⟩=⟨C

(Υ)2332

⟩+⟨

32σ(Υ)23

⟩=⟨C

(Υ)3232

⟩+⟨

32σ(Υ)32

⟩, (3.46h)

C1212 = C2112 = C1221 = C2121 =⟨C

(Υ)1212

⟩+⟨

12σ(Υ)12

⟩=⟨C

(Υ)2112

⟩+⟨

12σ(Υ)21

⟩=⟨C

(Υ)1221

⟩+⟨

21σ(Υ)12

⟩=⟨C

(Υ)2121

⟩+⟨

21σ(Υ)21

⟩. (3.46i)

Relaciones de las cuales, es posible construir la tabla 3.2. En ella, se asocia cada propiedad

efectiva con sus esfuerzos locales, incluyendo aquellos que exige la formulacion matematica

del problema local.

Un analisis de la tabla 3.2 muestra que el conjunto de los problemas locales ppL

(p = 1, 2, 3) puede tratarse, matematicamente hablando, como un solo problema. Esto

es, con la reserva de parametrizarlos adecuadamente.

El caso del problema local 12L es similar al caso ppL. Con la distincion de que solo se

emplean los modulos de corte C(Υ)1212 para el calculo de la propiedad efectiva C1212.

Los solucion de los problemas locales 13L y 23L se encuentra detallada en Nava-Gomez

(2007). No obstante, esta ha sido incluida a efectos de evaluar el ındice de anisotropıa

A definido en (1.2).

50

Problema local Propiedades efectivasEsfuerzos

Directos Adicionales

11L C1111, C2211, C3311 11σ(Υ)11 , 11σ

(Υ)22 , 11σ

(Υ)33 11σ

(Υ)12

22L C1122, C2222, C3322 22σ(Υ)11 , 22σ

(Υ)22 , 22σ

(Υ)33 22σ

(Υ)12

33L C1133, C2233, C3333 33σ(Υ)11 , 33σ

(Υ)22 , 33σ

(Υ)33 33σ

(Υ)12

12L = 21L C1212 12σ(Υ)12 12σ

(Υ)11 , 12σ

(Υ)22

13L = 31L C1313 31σ(Υ)31 31σ

(Υ)32

13L = 32L C2323 32σ(Υ)32 32σ

(Υ)31

Tabla 3.2.: Relacion entre las propiedades efectivas y los esfuerzos de cada problema local.Se han incluido los esfuerzos que surgen directamente de la evaluacion de (3.45),ası como los que la formulacion matematica de cada problema local exige.

Por ultimo, se destaca que existe una relacion entre los problemas locales ppL. Dicha

relacion permite reducir el numero de problemas locales a resolverse, de 6 a 5, y es un

aporte de este trabajo. Por su importancia, se ha incluido en la siguiente seccion.

3.5. Relacion entre los problemas locales ppL

3.5.1. Un invariante entre promedios de esfuerzos locales

De las ecuaciones (3.46d–3.46f) se obtienen las siguientes relaciones para los promedios

de los esfuerzos locales: ⟨22σ

(Υ)11

⟩=⟨

11σ(Υ)22

⟩, (3.47a)⟨

33σ(Υ)11

⟩=⟨

11σ(Υ)33

⟩, (3.47b)⟨

33σ(Υ)22

⟩=⟨

22σ(Υ)33

⟩. (3.47c)

51

Al combinar9 las sumas de (3.47a) con (3.47b), (3.47a) con (3.47c) y (3.47b) con

(3.47c) se obtiene: ⟨22σ

(Υ)11 + 33σ

(Υ)11

⟩=⟨

11σ(Υ)22 + 11σ

(Υ)33

⟩, (3.48a)⟨

11σ(Υ)22 + 33σ

(Υ)22

⟩=⟨

22σ(Υ)11 + 22σ

(Υ)33

⟩, (3.48b)⟨

11σ(Υ)33 + 22σ

(Υ)33

⟩=⟨

33σ(Υ)11 + 33σ

(Υ)22

⟩. (3.48c)

Anadiendo⟨

11σ(Υ)11

⟩a (3.48a),

⟨22σ

(Υ)22

⟩a (3.48b) y

⟨33σ

(Υ)33

⟩a (3.48c) se tiene:

⟨11σ

(Υ)11 + 22σ

(Υ)11 + 33σ

(Υ)11

⟩=⟨

11σ(Υ)11 + 11σ

(Υ)22 + 11σ

(Υ)33

⟩, (3.49a)⟨

11σ(Υ)22 + 22σ

(Υ)22 + 33σ

(Υ)22

⟩=⟨

22σ(Υ)11 + 22σ

(Υ)22 + 22σ

(Υ)33

⟩, (3.49b)⟨

11σ(Υ)33 + 22σ

(Υ)33 + 33σ

(Υ)33

⟩=⟨

33σ(Υ)11 + 33σ

(Υ)22 + 33σ

(Υ)33

⟩. (3.49c)

Relaciones que se sintetizan en la siguiente identidad:

⟨iiσ

(Υ)pp

⟩=⟨ppσ

(Υ)ii

⟩(ındice p fijo, ındice de suma en i). (3.50)

La importancia de este resultado, producto de la simetrıa del tensor efectivo Cijpq =

Cijqp, radica en que es independiente de la geometrıa, propiedades y numero de consti-

tuyentes del composito.

Por otra parte, si se considera que en la teorıa elemental la suma σ11 + σ22 + σ33

representa el primer invariante del tensor de esfuerzos, existen razones suficientes para

establecer que (3.50) es su contraparte para la aproximacon dada por el MHA.

3.5.2. Aplicacion a los problemas locales ppL

Considerando que para las relaciones (3.41a–3.41c) la componente L(Υ)3 se anula, las

unicas parejas de ındices kl que subsisten son 11 y 22. De esta forma, la formula para

9Sumense los lados derecho e izquierdo de (3.47a), respectivamente, con los lados derecho e izquierdode (3.47b). Los lados derecho e izquierdo de (3.47a), respectivamente, con los lados izquierdo yderecho de (3.47c). Por ultimo, los lados derecho e izquierdo de (3.47b), respectivamente, con loslados derecho e izquierdo de (3.47c).

52

obtener el promedio de los esfuerzos locales ppσ(Υ)ii es:⟨

ppσ(Υ)ii

⟩=

1

|Ω|

∫Ω

(C

(Υ)ii11 ppL

(Υ)1, 1 + C

(Υ)ii22 ppL

(Υ)2, 2

)dΩ. (3.51)

Aplicando el teorema de Green, la ultima integral puede escribirse como:∫Ω

(C

(Υ)ii11 ppL

(Υ)1, 1 + C

(Υ)ii22 ppL

(Υ)2, 2

)dΩ =

∮Γ

C(Υ)ii11 ppL

(Υ)1 dy2 −

∮Γ

C(Υ)ii22 ppL

(Υ)2 dy1. (3.52)

En donde Γ es la interfaz comun entre la matriz y la fibra.

De la condicion de continuidad de los desplazamientos en la interfaz, se tiene:∮Γ

C(Υ)ii11 ppL

(Υ)1 dy2 = −

∮Γ

C(1)ii11 ppL1 dy2 +

∮Γ

C(2)ii11 ppL1 dy2, (3.53a)∮

Γ

C(Υ)ii22 ppL

(Υ)2 dy1 = −

∮Γ

C(1)ii22 ppL2 dy1 +

∮Γ

C(2)ii11 ppL2 dy1. (3.53b)

De manera que el promedio⟨ppσ

(Υ)ii

⟩es:

⟨ppσ

(Υ)ii

⟩= −‖C

(Υ)ii11‖|Ω|

∮ΓppL1 dy2 +

‖C(Υ)ii22‖|Ω|

∮ΓppL2 dy1. (3.54)

Expresion donde se ha introducido el sımbolo ‖.‖ para indicar la diferencia de las

propiedades10.

Al aplicar este resultado en (3.48a–3.48c) y comparar los integrandos con la siguiente

regla de asociacion: ∮ΓppL1 dy2 −→ ppL

(Υ)1 , (3.55a)∮

ΓppL2 dy1 −→ ppL

(Υ)2 . (3.55b)

10C(1)iiαα − C

(2)iiαα.

53

Se deducen las siguientes relaciones entre desplazamientos locales :

‖C(Υ)1122 + C

(Υ)1133‖ 11L

(Υ)1 = ‖C(Υ)

1111‖(

22L(Υ)1 + 33L

(Υ)1

), (3.56a)

‖C(Υ)1111 + C

(Υ)2233‖ 11L

(Υ)2 = ‖C(Υ)

1122‖

(22L

(Υ)2 + 33L

(Υ)2

), (3.56b)

‖C(Υ)1122 + C

(Υ)1133‖ 22L

(Υ)1 = ‖C(Υ)

1122‖(

11L(Υ)1 + 33L

(Υ)1

), (3.56c)

‖C(Υ)1122 + C

(Υ)1133‖ 22L

(Υ)2 = ‖C(Υ)

1111‖

(22L

(Υ)2 + 33L

(Υ)2

), (3.56d)

‖C(Υ)1111 + C

(Υ)1122‖ 33L

(Υ)1 = ‖C(Υ)

1133‖(

11L(Υ)1 + 22L

(Υ)1

), (3.56e)

‖C(Υ)1111 + C

(Υ)1122‖ 33L

(Υ)2 = ‖C(Υ)

1133‖

(11L

(Υ)2 + 22L

(Υ)2

). (3.56f)

La suma de las dos ultimas relaciones puede escribirse como:

33L(Υ) =

‖C(Υ)1133‖

‖C(Υ)1111 + C

(Υ)1122‖

(11L

(Υ) + 22L(Υ)

)(3.57)

Con lo cual se demuestra que, con las condiciones establecidas, el problema local 33L es

una combinacion lineal de los problemas locales 11L y 22L.

3.5.3. Aplicacion al calculo de la propiedad efectiva C3333

El resultado principal de la relacion anterior estriba en que es posible calcular la

propiedad efectiva C3333 sin necesidad de resolver el problema local 33L. Para ello se

escribe (3.46c) como:

C3333 =⟨C

(Υ)3333

⟩+⟨C

(Υ)1133 (33L1, 1 + 33L2, 2)

⟩. (3.58)

Tomando las derivadas de las componentes de (3.57), se tiene:

33L(Υ)1, 1 =

‖C(Υ)1133‖

‖C(Υ)1111 + C

(Υ)1122‖

(11L

(Υ)1, 1 + 22L

(Υ)1, 1

), (3.59a)

33L(Υ)2, 2 =

‖C(Υ)1133‖

‖C(Υ)1111 + C

(Υ)1122‖

(11L

(Υ)2, 2 + 22L

(Υ)2, 2

). (3.59b)

54

Observando que para un material transversalmente isotropo C1133 = C2233, es posible

escribir (3.58) a partir de (3.59a) y (3.59b) como:

C3333 =⟨C

(Υ)3333

⟩+

‖C(Υ)1133‖

‖C(Υ)1111 + C

(Υ)1122‖

⟨C

(Υ)1133

(11L

(Υ)1, 1 + 11L

(Υ)2, 2

)⟩

+‖C(Υ)

1133‖‖C(Υ)

1111 + C(Υ)1122‖

⟨C

(Υ)2233

(22L

(Υ)1, 1 + 22L

(Υ)2, 2

)⟩. (3.60)

En donde se aprecia que:⟨C

(Υ)1133

(11L

(Υ)1, 1 + 11L

(Υ)2, 2

)⟩=⟨

11σ(Υ)33

⟩= C1133 −

⟨C

(Υ)1133

⟩, (3.61a)⟨

C(Υ)2233

(22L

(Υ)1, 1 + 22L

(Υ)2, 2

)⟩=⟨

22σ(Υ)33

⟩= C2233 −

⟨C

(Υ)2233

⟩. (3.61b)

Donde se ha considerado que las propiedades efectivas C1133 y C2233 son distintas por

tratarse de un material compuesto ortotropo.

De lo anterior, se tiene en (3.60):

C3333 =⟨C

(Υ)3333

⟩+

‖C(Υ)1133‖

‖C(Υ)1111 + C

(Υ)1122‖

C1133 + C2233 −

⟨C

(Υ)1133 + C

(Υ)2233

⟩(3.62)

Cabe destacar que, a partir de las relaciones (3.56a) a (3.56f), pueden construirse

conexiones adicionales entre las propiedades efectivas y los problemas locales. Un ejem-

plo detallado para este tipo de conexiones entre propiedades puede encontrarse en Sevos-

tianov y Kachanov (2002) y Sevostianov et al. (2006b) para el caso elastico, y en Sevos-

tianov et al. (2006a) para el caso electro-elastico.

En cuanto a la teorıa se refiere, relaciones similares fueron propuestas primero por Hill

(1964) y extendidas luego por Pobedrya (1984) y Rodrıguez-Ramos et al. (2001) para

redes periodicas cuadradas. En ambos casos se redujo el numero de problemas locales

de cinco a tres. Las relaciones aquı obtenidas extienden sus resultados al caso ortotropo.

55

4. Solucion a los problemas locales I

4.1. Geometrıa para los problemas locales

A fin de obtener un material compuesto ortotropo a partir de constituyentes transver-

salmente isotropos se propone un arreglo rectangular de fibras cilındricas infinitamente

largas, de seccion transversal circular, al interior de una matriz. El VRA junto con sus

caracterısticas geometricas relevantes se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1.: Volumen representativo de analisis (VRA) con dimensiones caracterısticas.

Como se aprecia, las direcciones y1 y y2 representan la seccion plana perpendicular a

la direccion y3 (no mostrada) que es el eje de las fibras. A su vez, R es el radio de las

fibras, cuyo valor va de cero a b/2a, y Γ representa la interfaz comun entre la matriz y

la fibra. Ambos materiales estan en contacto perfecto.

56

Una cantidad de suma importancia en esta geometrıa consiste en la razon de aspecto

rectangular, b/a. Este parametro geometrico indica el espaciamiento existente entre las

fibras en la direccion y2. Para el caso de la direccion y1 se asume un espaciamiento uni-

tario.

Esta diferencia entre espaciamientos es el origen de las caracterısticas ortotropas del

material compuesto. El caso b/a = 1 (simetrıa cuadrada) fue estudiado previamente por

Rodrıguez-Ramos et al. (2001), obteniendo un composito de caracterısticas tetragonales.

El area total del VRA es b/a. A efectos de estudio, es posible establecer, previa nor-

malizacion de la longitud de la fibra, las siguientes fracciones de volumen para la matriz

(V1) y la fibra (V2):

V1 = 1− V2, (4.1a)

V2 =π R2

b/a. (4.1b)

Con estas definiciones, el volumen de percolacion, Vp, representa el maximo valor

que puede tener la fraccion del volumen de la fibra. Esta situacion ocurre cuando las

fibras entre uno y otro VRA quedan en contacto en al menos un punto (R = b/2a). En

consecuencia:

Vp =π a

4 b. (4.2)

De las consideraciones anteriores, el promedio de una funcion f , se establece como:

〈f〉 =1

|V |

∫V

f dV =1

b/a

(∫V1

f (1) dV1 +

∫V2

f (2) dV2

). (4.3)

Donde se asume que b/a > 0.

4.2. Proceso de solucion

En general, la solucion de todos los problemas planos sigue una misma mecanica. Esto

es, proponer una solucion analıtica para los desplazamientos de la matriz y la fibra. He-

cho esto, se procede a evaluar las diferentes condiciones del problema local. Finalmente

se evalua la propiedad efectiva en terminos de los coeficientes de las series solucion.

57

Una sıntesis del procedimiento anteriormente descrito se proporciona en el diagrama

de la figura 4.2 donde se ilustran dos procesos. En el proceso de la parte superior, se

muestran los pasos necesarios para el calculo de los coeficientes de las series para los

desplazamientos. Los procesos para el calculo de la propiedad efectiva se indican en el

diagrama inferior. La explicacion se detalla a continuacion.

Figura 4.2.: Diagrama esquematico del proceso de solucion analıtica. Los cırculos representanlas diferentes entradas y salidas de los procesos indicados por las cajas. Las flechasindican el flujo de la informacion.

Diagrama superior. 1© y 2© representan la solucion propuesta para los desplazamien-

tos de la matriz y la fibra, respectivamente. Para el caso de los problemas anti-planos,

las soluciones son explıcitas. Es decir, se proponen directamente los desplazamientos.

En los problemas planos estas soluciones estan dadas en terminos de los potenciales de

Kolosov-Muskhelishvili. Ambas soluciones estan dadas en terminos de la variable com-

pleja z = y1 + iy2, esto es, el VRA se mapea por completo al plano complejo.

Para las soluciones de la matriz se emplean algunas funciones elıpticas de Weier-

strass. Estas funciones poseen las caracterısticas de periodicidad que exige el metodo,

con excepcion de la funcion ζ(z) (Zeta). Por este motivo, 1© debe ser incializada a fin

de garantizar que sea doblemente periodica, lo cual nos da la salida A© (ecuacion 3.32).

A partir de la representacion en series de Laurent para A© y 2©, se procede a evaluar

las condiciones de continuidad para los desplazamientos y las tracciones en la interfaz

58

comun entre los constituyentes. Estas condiciones se han establecido en (3.36) y (3.37),

respectivamente.

El resultado de la evaluacion de (3.36) es la expresion B©. Esta expresion relaciona

los coeficientes de las series de Laurent A© y 2©. Esto es, B© es una ecuacion indicial

general. De forma analoga, de (3.37) y las propiedades de los constituyentes, se obtiene

la ecuacion indicial C©. Cabe destacar que para el calculo de C© se requiere del empleo

de las relaciones de Cauchy-Riemann.

En virtud de que B© y C© representan dos ecuaciones indiciales para dos funciones

distintas, ellas forman un sistema lineal de ecuaciones. La solucion de este sistema se

representa en la salida D©, de la cual, se pueden determinar todos los coeficientes de las

series de Laurent A© y 2©.

En sıntesis, el diagrama superior indica los pasos necesarios para resolver el problema

elastostatico en el VRA.

Diagrama inferior. Este proceso inicia con las series de Laurent A© y 2©. A fin de

obtener el promedio para la evaluacion de las propiedades efectivas (ecuacion 3.33), se

emplea el teorema de Green y las propiedades de los constituyentes.

Lo anterior se motiva por dos razones: 1) A© y 2© son equivalentes en la interfaz comun

Γ y, 2) la periodicidad de A© anulara el promedio en las regiones fuera de dicha interfaz.

Esto es: ∫V1

f (1) dV1 = −∮

Γ

f (1)∣∣∣Γd`, (4.4a)∫

V2

f (2) dV2 =

∮Γ

f (2)∣∣∣Γd`. (4.4b)

Donde d` es un diferencial parametrizado para la interfaz Γ. La figura 4.3 ilustra los

trayectos de integracion.

Dado que f (1) y f (2) representan los esfuerzos locales, pueden establecerse como un

producto de la propiedad elastica por el desplazamiento. En otras palabras, es posible

escribir el esfuerzo local promedio como:

〈f〉 = ‖propiedades‖∮

Γ

f (1 o 2)∣∣∣Γd`. (4.5)

59

Figura 4.3.: Trayectos de integracion para evaluar los esfuerzos locales de la matriz usando elteorema de Green. La condicion de doble periodicidad asegura que la integracionen las interfaces Γ0, Γ1, Γ2, ΓA y Γ3 se anule.

Resultado cuya evaluacion, a traves de la ortogonalidad de las funciones trigonometricas,

representa la salida E©.

Un aspecto muy interesante del metodo estriba en que E© solo depende de uno de

los coeficientes de las series de Laurent involucradas. No obstante, para los problemas

planos ppL este resultado se ha expresado en terminos de dos parametros.

Por ultimo, a partir del resultado al problema elastostatico D©, se calcula el coeficiente

E©, obteniendo ası la(s) propiedad(es) elastica(s) efectiva(s). Resultado(s) marcado(s) en

el diagrama como F©.

4.3. Ejemplo: Problemas anti-planos 13L y 23L

4.3.1. Forma de las soluciones

Para la solucion de (3.44), se proponen los desplazamientos locales α3L(Υ)3 (α = 1, 2)

en la matriz (1) y la fibra (2):

α3L(1)3 = α3a0 z +

∞∑k=1

0α3ak

ζ(k−1)(z)

(k − 1)!, (4.6a)

α3L(2)3 =

∞∑k=1

0α3bk z

k. (4.6b)

En las expresiones anteriores los coeficientes α3a0, α3ak y α3bk (m = 0, 1 2, . . .) son

numeros complejos. En (4.6a), el sımbolo ζ(k−1)(z) denota la (k − 1)-esima derivada de

60

la funcion Zeta de Weierstrass. Finalmente, el sımbolo∑

0 se emplea para indicar que

se trata de una suma sobre los ındices impares, es decir:

∞∑k=1

0α3ak

ζ(k−1)(z)

(k − 1)!= α3a1

ζ(z)

0!+ α3a3

ζ(3)(z)

2!+ α3a5

ζ(5)(z)

4!+ . . . (4.7)

La eleccion de esta forma de solucion tiene como antecedente directo los trabajos de

Pobedrya (1984) y Rodrıguez-Ramos et al. (2001). No obstante, en la literatura1 se puede

encontrar este tipo de formulaciones para problemas de elasticidad desde principios de

los anos 30. Ejemplo de ello es el trabajo de Natanzon (1935).

La funcion ζ(z) es impar y cuasi-periodica, esto es, en el sentido en que no es doble-

mente periodica pero sus derivadas sı. A efectos de comparacion, exhibe un compor-

tamiento similar al de la funcion simplemente periodica cot(z), con la diferencia, esen-

cial, de que su primer derivada es el negativo de la funcion ℘(z) (Pe) de Weierstrass.

Esta funcion y sus derivadas son funciones que son periodicas en dos direcciones (no

paralelas) del plano complejo o doblemente periodicas. El caracter elıptico de estas fun-

ciones estriba en que ℘(z) es la inversa de una integral elıptica2.

Respecto a la ecuacion (3.44), de la teorıa de funciones de variable compleja, se sabe

que toda funcion analıtica alrededor de un punto z = z0 en una region R satisface la

ecuacion de Laplace. Para el caso de la funcion ζ(z) y sus derivadas, la region R es la

totalidad del plano complejo con excepcion del conjunto de puntos Ωmn que forman la

red doblemente periodica3. El caso rectangular se ilustra en la figura 4.4a).

Debido a su periodicidad, el estudio de R se reduce a un paralelogramo fundamental

R0 cuyos vertices estan indicados en terminos de los perıodos fundamentales ω1 y ω2.

Para el caso rectangular ilustrado en la figura 4.4b), los perıodos fundamentales son4:

ω1 = 1, (4.8a)

ω2 = ib

a. (4.8b)

1En particular, en algunos textos especializados de las escuelas de Mecanica de la extinta URSS.2En analisis complejo, los terminos doblemente periodico y elıptico son intercambiables.3Estableciendo los perıodos como ω1 y ω2, la totalidad de estos puntos queda definida como Ωmn =mω1 + nω2, donde m y n son enteros (m, n = 0, ±1, ±2, ±3, . . .).

4Es muy importante hacer la siguiente aclaracion. En la literatura existen muchas definiciones de lafuncion ζ(z) en terminos de sus semiperıodos. Por ello, es comun que se encuentre definida comoζ(z | 2ω1, 2ω2). En este trabajo se emplea la definicion ζ(z |ω1, ω2).

61

cc ccc

c

c

ccc c

e eee

z0 + ω1 + ω2

z0

R0

z0 + ω2

z0 + ω1

a) b)

Figura 4.4.: Region en C donde la funcion ζ(z) y sus derivadas son analıticas. a) Abstracciondel plano complejo para una red rectangular mostrando los puntos singulares Ωmn

mediante cırculos. b) Paralelogramo fundamental R0 en terminos del vertice z0 (aescala).

Hechas estas aclaraciones, al considerar que el propio VRA se esta mapeando por

completo al paralelogramo fundamental, se tiene:

13L3 = Re

13a0 z +

∞∑k=1

013ak

ζ(k−1)(z)

(k − 1)!

, (4.9a)

23L3 = Im

23a0 z +

∞∑k=1

023ak

ζ(k−1)(z)

(k − 1)!

. (4.9b)

Es decir, los desplazamientos locales 13L3 y 23L3 son las componentes rectangulares de

un mismo conjunto de funciones doblemente periodicas.

4.3.2. Periodicidad de los desplazamientos de la matriz

La condicion de periodicidad para (4.6a) implica que:

α3a0

(z + ωβ

)+ α3a1 ζ(z + ωβ) = α3a0 z + α3a1 ζ(z), (4.10)

sobre el ındice β = 1, 2.

De la teorıa de las funciones doblemente periodicas se sabe que la diferencia ζ(z +

ωβ)− ζ(z), en cada perıodo, es una constante5 δβ. La cual, obedece la siguiente relacion

5En terminos formales, δβ = 2 ζ

(ωβ2

∣∣∣ω1, ω2

).

62

de Legendre:

δ1 ω2 − δ2 ω1 = 2π i. (4.11)

Ası, tras evaluar (4.11) y sustituır en (4.10), se obtiene:

13a0 = −13a1 δ1, (4.12a)

23a0 =

(−δ1 +

2π

b/a

)23a1. (4.12b)

Es decir, ambas constantes quedan definidas en terminos de la constante δ1, la razon de

aspecto y el coeficiente que multiplica a la funcion ζ(z).

A fin de evaluar δ1, se empleo la siguiente formula tomada de la librerıa digital de

funciones matematicas del NIST 6 (Walker, 1996; Weil, 1999):

δ1 = π2

1

3+ 2

∞∑n=1

csc2

(i n π b

a

). (4.13)

Expresion que se encuentra tabulada en el anexo A para algunas razones de aspecto.

4.3.3. Continuidad de los desplazamientos en la interfaz Γ

La condicion de continuidad de los desplazamientos en la interfaz comun es:

α3L(1)3

∣∣∣∣∣Γ

= α3L(2)3

∣∣∣∣∣Γ

. (4.14)

A fin de evaluarla, es menester introducir la parametrizacion t = R cos θ + i R sen θ, a

fin de denotar todo punto presente en la interfaz Γ. De esta forma, la expresion anterior

es:

α3a0 t+∞∑k=1

0α3ak

ζ(k−1)(t)

(k − 1)!=∞∑k=1

0α3bk t

k . (4.15)

A fin de poder igualar estos coeficientes resulta conveniente expresar las soluciones

para la matriz en terminos de una serie de Laurent. En el anexo A se detalla la cons-

truccion de esta serie para los desplazamientos de la matriz α3L(1)3 (z). Esto es:

α3L(1)3 (z) = α3a0 z +

∞∑l=1

0α3al z

−l −∞∑k=1

0α3ak k

∞∑l=1

0 ηkl zl. (4.16)

6Relacion 23.8.5 del sitio http://dlmf.nist.gov/23.8, es necesario hacer la conversion de semiperıodosa perıodos.

63

En donde ηkl representa un coeficiente real que depende de los ındices impares k y l,

motivo por el cual no debe de confundirse con un tensor. La definicion de los coeficientes

ηkl es:

η11 = 0, (4.17a)

ηkl = ηlk =(k + l − 1)!

k! l!Sk+l para k + l > 2. (4.17b)

En donde el sımbolo Sk+l representa las sumas de red o series holomorfas reales de

Eisenstein. Estas sumas solo dependen de la razon de aspecto, su definicion se propor-

ciona en el anexo A.

A fin de simplificar los calculos, resulta conveniente re-definir η11 a fin de que se

incorpore la constante α3a0 en la segunda suma. Esto es posible solo en los problemas

anti-planos, ya que, de acuerdo a (4.12a) y (4.12b), ambas constantes multiplican al

primer coeficiente, α3a1, y a la primer potencia de z. Esto es:

η11 α3a1

def−α3a0 (4.18)

Con los elementos anteriores, la condicion de continuidad de los desplazamientos lo-

cales en la interfaz Γ es:

α3al t−l −

∞∑k=1

0α3ak k ηkl t

l = α3bl tl. (4.19)

En donde, por simplicidad, se ha obviado la suma impar sobre el ındice l.

De la expresion anterior, al considerar cada problema local por separado, se obtienen

dos series de Fourier7. Comparando cada termino de estas series se obtienen las siguientes

ecuaciones indiciales8 por problema local :

13al −∞∑k=1

013ak k ηkl = 13bl, (4.20a)

−23al −∞∑k=1

023ak k ηkl = 23bl. (4.20b)

7Una para los cosenos (problema local 13L) y la otra para los senos (problema 23L).8Para el ındice impar l.

64

4.3.4. Continuidad de las tracciones en la interfaz

La condicion de continuidad para las tracciones normales en la interfaz, en cada pro-

blema anti-plano, esta dada por:

‖13σ(Υ)3α nα‖ = ‖C(Υ)

55 ‖n1, (4.21a)

‖23σ(Υ)3α nα‖ = ‖C(Υ)

44 ‖n2. (4.21b)

Expresiones en las cuales se ha introducido la notacion de Voigt y el ındice Υ = 1, 2,

como siempre, indica el constituyente.

A fin de evaluar los esfuerzos locales que aparecen, se requieren las derivadas parciales

respecto a las componentes y1 e y2 en la mesocelda. A fin de obtener una formulacion

general, escribimos primero (4.6a) como:

α3L(1)3 (z) = L(z) = Az + f(z). (4.22)

En donde la constante A representa el numero real asociado a los terminos a0 de cada

solucion y f(z) es la componente asociada a la funcion ζ(z) y sus derivadas impares.

De manera analoga, para las fibras (ecuacion 4.6b), se propone la asignacion general:

α3L(2)3 (z) = g(z). (4.23)

La ventaja de esta abstraccion estriba en que ayuda a recordar el caracter analıtico de

las soluciones para los desplazamientos. En virtud de ello, es posible aplicar las relaciones

de Cauchy-Riemann, de las cuales se deduce:

13L(1)3, 1 = Re L ′(z) = 13a0 + Re f ′(z) , (4.24a)

13L(1)3, 2 = −Im L ′(z) = −Im f ′(z) , (4.24b)

23L(1)3, 1 = Im L ′(z) = Im f ′(z) , (4.24c)

23L(1)3, 2 = Re L ′(z) = 23a0 + Re f ′(z) , (4.24d)

13L(2)3, 1 = Re g ′(z) , (4.24e)

13L(2)3, 2 = −Im g ′(z) , (4.24f)

23L(2)3, 1 = Im g ′(z) , (4.24g)

23L(2)3, 2 = Re g ′(z) . (4.24h)

65

Introduciendo la definicion auxiliar:

h(z) = C(1)44 f(z)− C(2)

44 g(z); (4.25)

es posible escribir las condiciones (4.21a) y (4.21b) como:(C

(1)44 13a0 + Re h ′(t)

)n1 − Im h ′(t) n2 = −‖C(Υ)

44 ‖n1, (4.26a)

Im h ′(t) n1 +(C

(1)44 23a0 + Re h ′(t)

)n2 = −‖C(Υ)

44 ‖n2. (4.26b)

Expresiones que pueden escribirse de la siguiente forma:

Re h ′(t) n1 − Im h ′(t) n2 = c1 n1, (4.27a)

Re h ′(t) n2 − Im h ′(t) n1 = c2 n2. (4.27b)

En donde c1 y c2 son dos constantes.

A partir de las relaciones de Cauchy-Riemann, es posible deducir las identidades si-

guientes:

Re h ′(z) n1 − Im h ′(z) n2 =1

r

∂ (Im h(z))∂ θ

, (4.28a)

Re h ′(z) n2 + Im h ′(z) n1 = −1

r

∂ (Re h(z))∂ θ

. (4.28b)

Sustituyendo estas identidades en los lados izquierdos de (4.26a) y (4.26b) con r =

R, tras evaluar las integrales de forma indefinida respecto al angulo con constante de

integracion nula, se obtiene, respectivamente:

Im h(t) = −(‖C(Υ)

44 ‖+ C(1)44 13a0

)R sen θ, (4.29a)

Re h(t) = −(‖C(Υ)

44 ‖+ C(1)44 23a0

)R cos θ. (4.29b)

Por otra parte, de las series de Laurent para los desplazamientos de la matriz, se tiene:

Re f(t) = 23a1η11R cos θ +∞∑l=1

0(

23alR−l −

∞∑k=1

023akkηklR

l)

cos (lθ), (4.30a)

Im f(t) = 13a1η11R sen θ −∞∑l=1

0(

13alR−l +

∞∑k=1

013akkηklR

l)

sen (lθ). (4.30b)

66

Relaciones en las cuales se ha removido el termino asociado a las constantes α3a0.

A partir de las ecuaciones indiciales (4.20a–4.20b), las series para la fibra son:

Re g(t) = −∞∑l=1

0(

23alR−l +

∞∑k=1

023akkηklR

l)

cos (lθ), (4.31a)

Im g(t) =∞∑l=1

0(

13alR−l −

∞∑k=1

013akkηklR

l)

sen (lθ). (4.31b)

De esta forma, la evaluacion de h(t) en (4.29a –4.29b) es:

∞∑l=1

013alR

−l sen (lθ) + χp

∞∑k=1

013akk

∞∑l=1

0 ηklRl sen (lθ) = χpR sen θ, (4.32a)

∞∑l=1

023alR

−l cos (lθ)− χp∞∑k=1

023akk

∞∑l=1

0 ηklRl cos (lθ) = −χpR cos θ. (4.32b)

Expresiones en las cuales se ha introducido el parametro χp, definido como:

χp =C

(1)44 − C

(2)44

C(1)44 + C

(2)44

=‖C(Υ)

44 ‖C

(1)44 + C

(2)44

(4.33)

Las ecuaciones (4.32a) y (4.32b) son dos ecuaciones para el ındice impar l, para ob-

tenerlas basta comparar cada termino son su respectiva funcion trigonometrica, esto

es:

13al + χpR2l

∞∑k=1

013ak k ηkl = χpR

2l δl1, (4.34a)

23al − χpR 2l

∞∑k=1

023ak k ηkl = −χpR 2l δl1. (4.34b)

En donde el sımbolo δl1 representa la delta de Kronecker. Cabe destacar que estas ecua-

ciones representan la salida D© en el diagrama de la figura 4.2.

4.3.5. Evaluacion del promedio de los esfuerzos locales

Segun se establecio en (3.46h), la propiedad efectiva C44 esta modulada en terminos

de los esfuerzos locales 23σ(Υ)32 mediante:

C44 =⟨C

(Υ)44

⟩+⟨

23σ(Υ)32

⟩. (4.35)

67

Al considerar que 23σ(Υ)32 = C

(Υ)44 23L

(Υ)3, 2 , la evaluacion de su promedio en el VRA es:

⟨23σ

(Υ)32

⟩=C

(1)44

b/a

∫V1

23L(1)3, 2 dV1 +

C(2)44

b/a

∫V2

23L(2)3, 2 dV2. (4.36)

Segun lo expuesto en la seccion 4.2, las integrales anteriores pueden escribirse como

integrales sobre la interfaz Γ mediante el teorema de Green. Esto es:∫V1

23L(1)3, 2 dV1 =

∮Γ

23L(1)3 dy1, (4.37a)∫

V2

23L(2)3, 2 dV2 = −

∮Γ

23L(2)3 dy1. (4.37b)

Por otra parte, al considerar que en la interfaz Γ los desplazamientos de la matriz y

la fibra son equivalentes, se tiene:

⟨23σ

(Υ)32

⟩=C

(1)44

b/a

∫V1

23L(1)3, 2 dV1 +

C(2)44

b/a

∫V2

23L(2)3, 2 dV2 =

‖C(Υ)44 ‖b/a

∮Γ

23L(1)3 dy1. (4.38)

Al considerar que en la interfaz Γ el diferencial dy1 es −R sen θ dθ, de la representacion

trigonometrica para la serie de Laurent del desplazamiento 23L(1)3 , se tiene:

⟨23σ

(Υ)32

⟩=‖C(Υ)

44 ‖b/a

∞∑l=1

0

(∫ 2π

023alR

−l+1 sen (lθ) sen θ dθ

)

+‖C(Υ)

44 ‖b/a

∞∑l=1

0

∫ 2π

0

(∞∑k=1

023ak k ηkl

)R l+1 sen (lθ) sen θ dθ. (4.39)

Al considerar la ortogonalidad de las series trigonometricas, se obtiene:

⟨23σ

(Υ)32

⟩=‖C(Υ)

44 ‖b/a

(π 23a1 + π R 2

∞∑k=1

023ak k ηk1

). (4.40)

Removiendo el primer termino de la suma en la expresion anterior, tras algunas susti-

tuciones, se obtiene:

⟨23σ

(Υ)32

⟩=‖C(Υ)

44 ‖ (1 +R 2 η11)

b/aπ23a1 + ‖C(Υ)

44 ‖V2

∞∑k=3

0 k 23ak ηk1. (4.41)

68

A fin de evaluar la suma en k empleamos la relacion (4.34b). Tras algunas operaciones

algebraicas, se obtiene:

V2

∞∑k=3

0 k 23ak ηk1 = V2 +π

χp b/a23a1

(1− χpR 2 η11

). (4.42)

Sustituyendo este resultado en (4.41), tras desarrollar χp y anular terminos comunes,

se tiene: ⟨23σ

(Υ)32

⟩=

2π C(1)44

b/a23a1 + ‖C(Υ)

44 ‖V2. (4.43)

El resultado anterior es importante, ya que establece que la modulacion de C44 de-

pendera unica y exclusivamente del primer coeficiente del problema 23L9.

Por ultimo, al considerar que el primer sumando en (4.35) se refiere al promedio de

Voigt, es posible escribir:⟨C

(Υ)44

⟩= C

(1)44 (V1 + V2)− ‖C(Υ)

44 ‖V2 = C(1)44 − ‖C

(Υ)44 ‖V2. (4.44)

De manera que la propiedad efectiva C44 esta dada por:

C44 = C(1)44

(1 +

2π

b/a23a1

)(4.45)

Siguiendo un procedimiento similar al aquı descrito, para el problema anti-plano 13L

se tiene:

C55 = C(1)44

(1− 2π

b/a13a1

)(4.46)

4.3.6. Propiedades efectivas C44 y C55

A fin de calcular los coeeficientes 13a1 y 23a1, es necesario resolver los sistemas lineales

(4.34a) y (4.34b), respectivamente. Al respecto, se obtiene una simplificacion importante

al considerar el re-escalamiento de coeficientes propuesto por Lopez-Lopez et al. (2005):

ar =a ′r R

r

√r, (4.47)

donde R es el radio de la fibra y el ındice r corre de forma impar (r = 1, 3, 5, . . .).

9Si se hubiese tomado 23L(2)3 en (4.38), el resultado serıa C44 =

⟨C

(Υ)44

⟩− ‖C(Υ)

44 ‖V2 23b1.

69

La idea detras de este artificio radica en simplificar la evaluacion numerica de los sis-

temas (4.32a) y (4.32b) al poder representarlos por medio de matrices simetricas. Otro

aspecto de interes es que, las unidades de los coeficientes re-escalados son identicas10.

Sustituyendo (4.47) en (4.34a) y (4.34b), respectivamente, se obtiene:

13a′k δkl + χp

∞∑k=1

013a′k wkl = χpR

l√l δl1, (4.48a)

23a′k δkl − χp

∞∑k=1

023a′k wkl = −χpR l

√l δl1. (4.48b)

En donde

wkl = wlk =√kl R k+l ηkl, (4.49)

y se ha introducido la delta de Kronecker en todos los terminos a ′l .

Ası, (4.48a) puede escribirse en terminos de la siguiente matriz simetrica por bloques

para los ındices impares k y l:

1 + χpw11 χpwk1

χpw1l 1 + χpwkl

13a′1

13a′l

=

χpR

0

(4.50)

En donde la simetrıa de la matriz queda manifiesta al considerar que wk1 = w1l.

A traves de la factorizacion de χp en (4.50), se obtiene el siguiente problema matricial:

(χ−1p I +W

)13A = U . (4.51)

Donde todos los sımbolos caligraficos indican una matriz o vector de orden infinito. Esto

es: I representa la matriz identidad,W es la matriz simetrica formada por los elementos

10Considerese la primera parte del desarrollo de Laurent para la matriz,

∞∑l=1

0 al z−l. El coeficiente a1

debe poseer unidades de longitud2, a3 de longitud4 y, en general, al poseera unidades de longitud l+1.Con el re-escalamiento propuesto, todos los coeficientes a ′l poseen unidades de longitud.

70

wkl, 13A es el vector de los coeficientes 13a′l y U es el vector solucion con elementos

U(1) = R y U(m) = 0 para toda m > 1.

Prosiguiendo de forma similar con el sistema (4.48b), se obtiene:

(χ−1p I −W

)23A = −U . (4.52)

Expresion en donde las matrices I y W , y el vector U , poseen el mismo significado

que el empleado en (4.51). Aquı 23A es el vector de orden infinito para los coeficientes

re-escalados del problema local 23L.

Con los elementos anteriores, tras un poco de algebra, se obtiene:

13a′1 =

χpR

(1 + χpw11)− χ2p VT

p N−1p Vp, (4.53a)

23a′1 =

−χpR(1− χpw11)− χ2

p VTp M−1

p Vp. (4.53b)

En donde, Np y Mp son las submatrices:

Np = I + χpW , (4.54a)

Mp = I − χpW (4.54b)

para k y l ≥ 3; mientras que Vp es el subvector11 con elementos w31, w51, w71, . . .

Sustituyendo los resultados (4.53a) y (4.53b) en (4.46) y (4.45), respectivamente, tras

considerar el re-escalamiento (4.47), con algunas simplificaciones12, se obtiene finalmente:

C44 = C(1)44

(1− 2V2χp

1 + χp (2V2 − δ1R2)− χ2p VT

p M−1p Vp

), (4.55a)

C55 = C(1)44

(1− 2V2χp

1 + χp δ1R2 − χ2p VT

p N−1p Vp

). (4.55b)

11Cuya traspuesta es el vector renglon VTp .

12Tomese w11 = R2 η11 = R2δ1 − 2V2 para el problema 23L y w11 = R2δ1 en el problema 13L.

71

Cabe mencionar que un breve analisis de los problemas matriciales (4.51) y (4.52)

muestra que, si R → 0, en el lımite, ambos sistemas representan un problema de la

forma:

I A = 0. (4.56)

Es decir, se trata de un sistema homogeneo cuya solucion es A = 0. De lo anterior se

desprende que, si no existiese fibra, los coeficientes 13a1 y 23a1 serıan cero y, en conse-

cuencia, C44 = C(1)44 y C55 = C

(1)44

13.

13Ver las ecuaciones 4.45 y 4.46, respectivamente.

72

5. Solucion a los problemas locales II

5.1. Consideraciones generales

En el capıtulo anterior se establecio el procedimiento a seguir en la resolucion de

problemas elastostaticos que involucran el empleo de la funcion ζ(z) de Weierstrass y

sus derivadas impares. Para el caso de los problemas planos ppL (p = 1, 2, 3) y 12L se

empleara la misma tecnica; con la diferencia de que los calculos se realizaran en terminos

de los potenciales de Kolosov-Muskhelishvili.

En virtud de lo anterior, se requiere primero escribir las condiciones de continuidad

en terminos de dichos potenciales. Para los desplazamientos, de la ecuacion (2.60), se

tiene:

2µΥ

(L

(Υ)1 + i L

(Υ)2

)= κΥ ϕΥ(z)− zϕ ′Υ(z)− ψΥ(z). (5.1)

En donde se han obviado los ındices del problema local1 y el significado del ındice Υ. Las

constantes µΥ son los modulos de corte en el plano (C(Υ)66 ), mientras que los parametros

adimensionales κΥ estan dados por2:

κΥ = 1 +4C

(Υ)66

C(Υ)11 + C

(Υ)12

. (5.2)

Extendiendo el sentido de la condicion (3.36) como:

(L

(1)1 + i L

(1)2

) ∣∣∣∣∣Γ

=(L

(2)1 + i L

(2)2

) ∣∣∣∣∣Γ

. (5.3)

1En virtud de que (5.1) es aplicable en ambos problemas locales.2Considerese en (2.59) que λ = C12, λ+ 2µ = C11 y µ = C66 en un medio transversalmente isotropo.

Descompongase luego (λ+3µ)/(λ+µ) = 1+2µ/(λ+µ) y aplıquese la relacion C11 +C12 = 2(λ+µ)en el ultimo denominador.

73

Tras introducir el cociente de los modulos de corte:

χm =C

(2)66

C(1)66

, (5.4)

se obtiene la condicion equivalente:

χm

(κ1 ϕ1(t)− tϕ ′1(t)− ψ1(t)

)= κ2 ϕ1(t)− tϕ ′2(t)− ψ2(t) (5.5)

Para t = Reiθ.

Un analisis similar se realiza para la continuidad de las tracciones (ecuacion 3.37) a

partir de las definiciones (2.61) y (2.62). Al igual que en los problemas anti-planos, es

necesario aplicar las condiciones de Cauchy-Riemann y realizar algunas manipulaciones,

las cuales, se detallan en el anexo B.

El resultado que se obtiene para los problemas locales ppL es:

‖ϕΥ(t) + t ϕ ′Υ(t) + ψΥ(t)‖ = −λ1(p) t+ λ2(p) t (5.6)

En donde se han introducido los parametros dependientes del problema local:

λ1(p) =‖C(Υ)

2p + C(Υ)1p ‖

2, (5.7a)

λ2(p) =‖C(Υ)

2p − C(Υ)1p ‖

2; (5.7b)

y los coeficientes se estan dando en notacion de Voigt para el ındice p = 1, 2, 3.

Para el problema local 12L se encuentra un resultado similar al anterior. No obstante,

al comparar los desarrollos realizados, se deduce una importante relacion entre los po-

tenciales de los problemas locales.

Introduciendo los pre-ındices de cada problema local (pp y 12) en los potenciales, la

relacion en comento es:

ppϕΥ(z) = i 12ϕΥ(z), (5.8a)

ppψΥ(z) = i 12ψΥ(z). (5.8b)

74

Resultado que ha sido previamente reportado en Pobedrya (1984).

Con esta equivalencia, es posible re-escribir las condiciones de continuidad para el

problema local 12L en terminos de los potenciales ppϕΥ(z) y ppψΥ(z). Para la continuidad

de los desplazamientos se tiene:

χm

(κ1 ppϕ1(t) + t ppϕ ′1(t) + ppψ1(t)

)= κ2 ppϕ2(t) + t ppϕ ′2(t) + ppψ2(t) (5.9)

A su vez, la continuidad de las tracciones estara dada por la condicion:

‖ppϕΥ(t)− t ppϕ ′Υ(t)− ppψΥ(t)‖ = ‖C(Υ)66 ‖ t (5.10)

El costo de esta re-formulacion estriba en que, la condicion de periodicidad para los

desplazamientos de la matriz, sera distinta en los problemas locales 12L y ppL. Para el

caso del problema local 12L, la escritura de (5.1) en terminos de los potenciales ppϕΥ(z)

y ppψΥ(z) es:

2µ1

(12L

(1)1 + i 12L

(1)2

)= i

(κ1 ppϕ1(z) + z ppϕ ′1(z) + ppψ1(z)

)(5.11)

En lo sucesivo, se omitiran los pre-ındices en los potenciales de Kolosov-Muskhelishvili.

Esto es, en la medida que el contexto y la formalidad lo permitan. Por otra parte, se

anticipa que la formulacion matematica de estos potenciales, sera la misma para todos

los problemas planos. En esencia, las propuestas para los potenciales seran similares a

las empleadas por Pobedrya (1984) y Rodrıguez-Ramos et al. (2001), con la diferencia

de que, por vez primera, se emplearan en el caso de un VRA con simetrıa rectangular.

75

5.2. Solucion a los problemas locales ppL (p = 1, 2, 3)

5.2.1. Forma general de la solucion

Para la resolucion de los problemas planos locales 11L, 22L y 33L se proponen los

siguientes potenciales de Kolosov-Muskhelishvili para la matriz y la fibra:

ϕ1(z) = a0 z +∞∑k=1

0 ak ζ(k−1)(z)

(k − 1)!, (5.12a)

ψ1(z) = b0 z +∞∑k=1

0 bk ζ(k−1)(z)

(k − 1)!+∞∑k=1

0 akQ(k−1)(z)

(k − 1)!, (5.12b)

ϕ2(z) =∞∑k=1

0 ck zk, (5.12c)

ψ2(z) =∞∑k=1

0 dk zk. (5.12d)

Donde todos los coeficientes de las series son reales.

Para el potencial ψ1(z) se ha introducido la funcion Q(z) de Natanzon (1935) y sus

derivadas impares. Esto se hace con la finalidad de que ϕ1(z) y ψ1(z) sean linealmente

independientes. Como se aprecia, la forma matematica para los potenciales es, en esen-

cia, parecida a la empleada para los problemas anti-planos.

Al igual que la funcion ζ(z), la funcion impar Q(z) es la integral de una funcion in-

troducida por el Dr. V. Ya. Natanzon en la resolucion de un problema elastostatico. A

diferencia de su contraparte Weierstrassiana, la funcion Q(z) esta definida en el origen3.

Por su relevancia, se le ha dedicado un apartado en el anexo A.

La funcion Q(z) y sus derivadas obedecen las siguientes relaciones para los perıodos

ωα (Grigolyuk y Filshtinskii, 1970):

Q(z + ωα)−Q(z) = ωα ℘(z) + γα, (5.13a)

Q(k)(z + ωα)−Q(k)(z) = ωα ℘(k)(z). (5.13b)

3Q(0) = 0.

76

En donde las constantes γα, de manera analoga a la funcion ζ(z), se definen a partir de

sus semi-perıodos. Esto es:

γα = 2Q(ωα

2

)− ωα ℘

(ωα2

). (5.14)

A su vez, el analogo a la relacion de Legendre para la funcion Q(z) es:

γ2 ω1 − γ1 ω2 = δ1 ω2 − δ2 ω1. (5.15)

Expresion restringida a redes periodicas rectangulares (Grigolyuk y Filshtinskii, 1970).


A partir de (5.1), la condicion de doble periodicidad es:

κ1 ϕ1(z)− zϕ ′1(z)− ψ1(z) = κ1 ϕ1(z + ωα)− (z + ωα)ϕ ′1(z + ωα)− ψ1(z + ωα). (5.16)

Considerando que para la k-esima derivada de la funcion ζ(z), se verifica:

ζ(k)(z) = −℘(k−1)(z) si k ≥ 1. (5.17)

Obteniendo con ello para los terminos relacionados con el potencial ϕ1(z) en (5.16):

κ1 ϕ1(z + ωα)− (z + ωα)ϕ ′1(z + ωα)− κ1 ϕ1(z) + zϕ ′1(z) =

(κ1 − 1) ωα a0 + κ1 δα a1 − ωα∞∑k=1

0 ak ℘(k−1)(z)

(k − 1)!(5.18)

A su vez, del conjugado de las relaciones (5.13a) y (5.13b), se tiene:

ψ1(z + ωα)− ψ1(z) = b0 ωα + b1 δα + a1 γα + ωα

∞∑k=1

0 ak ℘(k−1)(z)

(k − 1)!. (5.19)

Obteniendo ası la evaluacion de (5.16), esto es:

(κ1 − 1) ωα a0 − ωα b0 = (γα − κ1 δα) a1 + δα b1. (5.20)

Expresion que relaciona los coeficientes a0, b0, a1 y b1 entre sı.

77

Al desarrollar el ındice α se obtiene el siguiente sistema para los coeficientes a0 y b0:(κ1 − 1) ω1 a0 − ω1 b0 = (γ1 − κ1 δ1) a1 + δ1 b1

(κ1 − 1) ω2 a0 − ω2 b0 = (γ2 − κ1 δ2) a1 + δ2 b1

(5.21)

Cuya solucion puede escribirse, de forma generalizada, como:

a0 = Aa a1 + Ab b1, (5.22a)

b0 = Ba a1 +Bb b1. (5.22b)

En donde se ha introducido una notacion mnemotecnica conveniente. Esto es, el caracter

en mayusculas indica el coeficiente de ındice cero al que pertenece el valor (a0 o b0), mien-

tras que el caracter en minusculas establece el coeficiente de ındice uno por el que se

multiplica (a1 o b1).

Para el caso rectangular4, al aplicar la relacion de Legendre para las constantes δα y

su analogo para γα (ecuaciones 4.11 y 5.15, respectivamente), se obtiene:

Aa =π

b/a− δ1, (5.23a)

Ab =π

b/a (κ1 − 1), (5.23b)

Ba =π (κ1 − 1)

b/a+ δ1 − γ1, (5.23c)

Bb =π

b/a− δ1 = Aa. (5.23d)

En donde, al considerar que para el caso rectangular δ1 y γ1 son reales (Grigolyuk y

Filshtinskii, 1970), se verifica el caracter real de los coeficientes a0 y b0.

5.2.3. Condiciones de continuidad en la interfaz

Las series de Laurent para los potenciales de la matriz son:

ϕ1(z) = a0 z +∞∑l=1

0 al z−l −

∞∑k=1

0

∞∑l=1

0 k ak ηkl zl, (5.24a)

ψ1(z) = b0 z +∞∑l=1

0 bl z−l +

∞∑k=1

0

∞∑l=1

0 k (ak ρkl − bk ηkl) z l. (5.24b)

4Perıodos ω1 = (1, 0) y ω2 = (0, b/a).

78

En donde ηkl posee el mismo significado introducido en los problemas anti-planos, con

excepcion de que ahora η11 = 05. A su vez, del anexo A, los coeficientes ρkl estan

definidos como:

ρ11 = 0, (5.25a)

ρkl = ρlk =(k + l)!Tk+l+1

k! l!para k + l > 2. (5.25b)

En donde el sımbolo Tk+l+1 se refiere a las sumas de red para la funcion de Natanzon6.

A fin de evaluar las condiciones de continuidad, se toman en consideracion todas las

combinaciones posibles para tl = Rleilθ que aparecen al sustituır las series de Laurent

para la matriz en (5.5) y (5.6)7. La ventaja del procedimiento radica en que se deducen

tres relaciones entre los coeficientes que surgen de las potencias de e−ilθ, eiθ y ei(l+2)θ,

respectivamente.

Al aplicar el procedimiento anteriormente descrito en (5.5), se obtiene:

χm

[(κ1 − 1)

(a0 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)− b1

R2

]= (κ2 − 1) c1 , (5.26a)

χm

[l alR 2l− κ1R

2

∞∑k=1

0 k ak ηk (l+2) −b(l+2)

R 2l+2

]= κ2R

2 cl+2 , (5.26b)

χm

[κ1 alR 2l

− b0 δl1 +∞∑k=1

0 kak[R2(l + 2)ηk (l+2) − ρkl

]+ bk ηkl

]= −(l + 2)R2cl+2 − dl , (5.26c)

para l = 1, 3, 5, . . .

5Como originalmente se define. Veanse las ecuaciones 4.17a y 4.18.6Analogas a las series de Eisenstein y definidas en el anexo A.7A saber: t l = R l eilθ, t l = R l e−ilθ, t−l = R−l e−ilθ, t−l = R−l eilθ, t t l−1 = R l e−i(l−2)θ y t t−l−1 =R−l ei(l+2)θ.

79

Analogamente, de (5.6) se obtiene:

λ1(p)

2+

(a0 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)+

b1

2R2= c1 , (5.27a)

b(l+2)

R 2l+2− l alR 2l−R2

∞∑k=1

0 k ak ηk (l+2) = R2 cl+2 , (5.27b)

λ2(p) δl1 + b0 δl1 +alR 2l−

∞∑k=1

0 kak[R2(l + 2)ηk (l+2) − ρkl

]+ bk ηkl

= (l + 2)R2 cl+2 + dl . (5.27c)

5.2.4. Sistema lineal equivalente

A partir de las relaciones anteriores (ecuaciones 5.26a a 5.27c) se construyen tres

sistemas de ecuaciones lineales para los coeficientes b1, c1, dl, bl+2 y cl+2 en terminos de

los coeficientes al. Para ello, primero se considera que:

a0 = Aaa1 + Abb1 = Aaa1 +V2

R 2 (κ1 − 1)b1, (5.28)

en donde se ha multiplicado y divido por R 2 la definicion para Ab, esto es a fin de ex-

presar el termino que multiplica al coeficiente b1 en terminos del volumen de la fibra.

Ası, el sistema asociado a los coeficientes de las relaciones para eiθ es:χm

[(κ1 − 1)

(Aaa1 −

∞∑k=1

0 kakηk1

)+

(V2 − 1) b1

R 2

]= (κ2 − 1) c1

λ1(p)

2+ Aaa1 −

∞∑k=1

0 kakηk1 +

(V2

κ1 − 1+

1

2

)b1 = c1

(5.29)

De forma analoga, de las ecuaciones (5.26b) y (5.27b) para los coeficientes asociados

a las potencias de ei(l+2)θ, se obtiene el sistema:χm

[lalR 2l− κ1R

2

∞∑k=1

0 kakηk(l+2) −bl+2

R2l+2

]= κ2R

2cl+2

lalR 2l

+R 2

∞∑k=1

0 kakηk(l+2) −bl+2

R2l+2= −R 2cl+2

(5.30)

80

Por ultimo, para los coeficientes de las potencias de e−ilθ, se tiene:

χm

[−Baδl1a1 +

κ1alR 2l

+R 2

∞∑k=1

0 kak(l + 2)ηk(l+2) −∞∑k=1

0 kakρkl

−Bbδl1b1 +∞∑k=1

0 kbkηkl

]= −(l + 2)R 2cl+2 − dl

λ2(p)δl1 +Baδl1a1 +alR 2l−R 2

∞∑k=1

0 kak(l + 2)ηk(l+2)

+∞∑k=1

0 kakρkl +Bbδl1b1 −∞∑k=1

0 kbkηkl = (l + 2)R 2cl+2 + dl

(5.31)

En donde se ha considerado la definicion de b0.

Las ecuaciones 5.29–5.31 representan tres sistemas lineales a partir de los cuales es

posible obtener un sistema lineal de orden infinito para los coeficientes al. A fin de

simplificar calculos, se introducen las siguientes definiciones de Rodrıguez-Ramos et al.

(2001):

α0 = χm V1 + (κ2 − 1)

(V2

κ1 − 1+

1

2

), (5.32a)

A =κ2 − χmκ1

κ2 + χm, (5.32b)

B =χm − 1

χmκ1 + 1, (5.32c)

C =χm (κ1 − 1)− (κ2 − 1)

α0

, (5.32d)

D =χm (κ1 + 1)

χm + κ2

, (5.32e)

E =κ2 − 1

2α0

. (5.32f)

81

La solucion de los sistemas (5.29) y (5.30), en terminos de los coeficientes al y ak, es:

b1

R 2= C

(Aaa1 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)− E λ1(p), (5.33a)

c1 =χm2α0

[V1 λ1(p) + (κ1 + 1)

(Aaa1 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)], (5.33b)

bl+2

R 2= lal + AR2l+2

∞∑k=1

0 k ak ηk(l+2), (5.33c)

cl+2 = −D∞∑k=1

0 k ak ηk(l+2). (5.33d)

Por otra parte, la suma de las ecuaciones del sistema (5.31), puede escribirse como:

alB

+R 2l

[−Baδl1a1 +R 2

∞∑k=1

0 kak(l + 2)ηk(l+2) −∞∑k=1

0 kakρkl


0 kbkηkl

]= −λ2(p)R 2lδl1

χm − 1. (5.34)

Relacion que dara origen al sistema lineal buscado.

Adicionalmente, del sistema (5.31) se obtiene:

(l + 2)R 2 cl+2 + dl =χm

χm − 1

[λ2(p) δl1 + (κ1 + 1)

alR 2l

](5.35)

Relacion que sera de utilidad posterior.

A fin de escribir (5.34) en terminos del mismo conjunto de coeficientes, es necesario

representar los coeficientes bk en terminos de al y/o ak. Para ello se considera que:

∞∑k=1

0 k bk ηkl = b1η1l +∞∑k=1

0 (k + 2) bk+2 η(k+2)l. (5.36)

82

De manera que, al sustituır (5.33c) para la suma de coeficientes bk+2, se tiene:

∞∑k=1

0 (k + 2) bk+2 η(k+2)l = R 2

∞∑k=1

0 (k + 2) k ak η(k+2)l

+ AR 2

∞∑k=1

0

(k + 2)R 2k+2η(k+2)l

(∞∑j=1

0 j aj ηj(k+2)

). (5.37)

Expresion en donde se ha tenido que introducir el ındice j.

Al desarrollar algunos terminos de la doble suma, se aprecia la posibilidad de inter-

cambiarlos, obteniendo con ello:

∞∑k=1

0 (k + 2) bk+2 η(k+2)l = R 2

∞∑k=1

0 (k + 2) k ak η(k+2)l

+ A∞∑k=1

0 k ak

∞∑j=1

0 (j + 2)R 2j+4 η(j+2)lηk(j+2). (5.38)

Para el coeficiente b1 que esta en (5.34) y (5.36), se tiene:

(−Bbδl1 + η1l) b1 = CAaR2 (η1l −Bbδl1) a1 + ER 2λ1(p) (Bbδl1 − η1l)

+ CR 2

∞∑k=1

0 k ak ηk1 (Bbδl1 − η1l). (5.39)

De manera que la suma de todos los coeficientes bk que aparecen en (5.34) es:


0 kbkηkl = CAaR2 (η1l −Bbδl1) a1 + ER 2λ1(p) (Bbδl1 − η1l)

+ CR 2

∞∑k=1

0 k ak ηk1 (Bbδl1 − η1l) +R 2

∞∑k=1

0 (k + 2) k ak η(k+2)l

+ A∞∑k=1

0 k ak

∞∑j=1

0 (j + 2)R 2j+4η(j+2)l ηk(j+2). (5.40)

83

Sustituyendo el resultado anterior en (5.34) se obtiene el sistema lineal de orden in-

finito buscado. Esto es:

alB

+R 2l

[(CAaR

2η1l −(Ba + CAaBbR

2)δl1

)a1 + CR 2

∞∑k=1

0 k ak ηk1 (Bbδl1 − η1l)

+R 2

∞∑k=1

0 k ak

(l + 2) ηk(l+2) + (k + 2) η(k+2)l

+ A

∞∑k=1

0 k ak

∞∑j=1

0 (j + 2)R 2j+4η(j+2)l ηk(j+2) −∞∑k=1

0 k ak ρkl

]

= −[ER 2l+2λ1(p) (Bbδl1 − η1l) +

λ2(p)R 2lδl1χm − 1

]. (5.41)

5.2.5. Evaluacion del promedio de los esfuerzos locales

A partir de la definicion para las propiedades efectivas (ecuacion 3.33) y la definicion

del promedio en el VRA, para los problemas locales ppL se tiene:

Cijpp =⟨C

(Υ)ijpp

⟩+

1

b/a

∫V1

C(1)ijkl ppL

(1)k, l dV1 +

∫V2

C(2)ijkl ppL

(2)k, l dV2

. (5.42)

Si los constituyentes son transversalmente isotropos y la tercer componente del des-

plazamiento es nula, el semi-desarrollo de las integrales para el promedio de los esfuerzos

locales,⟨ppσ

(Υ)ij

⟩, es:

∫V1

C(1)ijkl ppL

(1)k, l dV1 =

∫V1

C(1)ij11 ppL

(1)1, 1 dV1 +

∫V1

C(1)ij22 ppL

(1)2, 2 dV1 (5.43a)∫

V2

C(2)ijkl ppL

(2)k, l dV2 =

∫V2

C(2)ij11 ppL

(2)1, 1 dV2 +

∫V2

C(2)ij22 ppL

(2)2, 2 dV2 . (5.43b)

Integrales que pueden simplificarse al considerar el teorema de Green en el VRA,

ası como la doble periodicidad de los desplazamientos en la matriz. Esto es:∫V1

C(1)ij11 ppL

(1)1, 1 dV1 = −C(1)

ij11

∮ΓppL

(1)1 dy2 (5.44a)∫

V1

C(1)ij22 ppL

(1)2, 2 dV1 = C

(1)ij22

∮ΓppL

(1)2 dy1 (5.44b)∫

V2

C(1)ij11 ppL

(2)1, 1 dV2 = C

(2)ij11

∮ΓppL

(2)1 dy2 (5.44c)∫

V2

C(1)ij22 ppL

(2)2, 2 dV2 = −C(2)

ij22

∮ΓppL

(2)2 dy1 . (5.44d)

84

Al considerar la continuidad de los desplazamientos en la interfaz, se deduce la si-

guiente expresion para el esfuezo local promedio:

⟨ppσ

(Υ)ij

⟩=

(C

(2)ij11 − C

(1)ij11

)b/a

∮ΓppL1 dy2 +

(C

(1)ij22 − C

(2)ij22

)b/a

∮ΓppL2 dy1 . (5.45)

Al sustituır el resultado anterior en (5.42) e introducir la definicion para el contraste

de propiedades en la interfaz (‖.‖), se tiene:

Cijpp =⟨C

(Υ)ijpp

⟩−‖C(Υ)

ij11‖b/a

∮ΓppL1 dy2 +

‖C(Υ)ij22‖b/a

∮ΓppL2 dy1 . (5.46)

A fin de evaluar este resultado es preciso escribirla de forma explıcita. De la formula

de Kolosov-Muskhelishvili para los desplazamientos, se tiene:

ppL(Υ)1 =

1

2C(Υ)66

ReκΥ ϕΥ(z)− z ϕ ′Υ(z)− ψΥ(z)

, (5.47a)

ppL(Υ)2 =

1

2C(Υ)66

ImκΥ ϕΥ(z)− z ϕ ′Υ(z)− ψΥ(z)

. (5.47b)

Resultado que puede ser escrito en terminos de los potenciales de la matriz en la

interfaz como:

κ1 ϕ1(t)− t ϕ ′1(t)− ψ1(t) = Λ1(t) + Λ2(t) + Λ3(t). (5.48)

La idea detras de esta descomposicion consiste en agrupar los desplazamientos ppL(1)1

y ppL(1)2 en terminos de las potencias de e−ilθ, eiθ y ei(l+2)θ en Λ1(t), Λ2(t) y Λ3(t),

respectivamente. Esto es:

Λ1(t) = −b0Re−iθ + κ1

∞∑l=1

0 al e−ilθ

R 2l+

∞∑l=1

0R l e−ilθ∞∑k=1

0 kak[R2(l + 2)ηk (l+2) − ρkl

]+ bk ηkl

, (5.49a)

Λ2(t) =

[(κ1 − 1)

(a0 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)− b1

R2

]Reiθ , (5.49b)

Λ3(t) =∞∑l=1

0

l alR 2l− κ1R

2

∞∑k=1

0 k ak ηk (l+2) −b(l+2)

R 2l+2

R lei(l+2)θ . (5.49c)

85

Ası, tras considerar la parametrizacion y1 = R cos θ, y2 = R sen θ en la interfaz Γ, se

tiene: ∮ΓppL1 dy2 =

R

2C(1)66

∫ 2π

0

ReppL

(1)1 (t)

cos θ dθ , (5.50a)∮

ΓppL2 dy1 = − R

2C(1)66

∫ 2π

0

ImppL

(1)2 (t)

sen θ dθ . (5.50b)

A partir de la ortogonalidad de las funciones trigonometricas, se tiene:∫ 2π

0

Re Λ1(t) cos θ dθ = π R ppϑ1, (5.51a)∫ 2π

0

Re Λ2(t) cos θ dθ = π R ppϑ2, (5.51b)∫ 2π

0

Re Λ3(t) cos θ dθ = 0, (5.51c)∫ 2π

0

Im Λ1(t) sen θ dθ = −π R ppϑ1, (5.51d)∫ 2π

0

Im Λ2(t) sen θ dθ = π R ppϑ2, (5.51e)∫ 2π

0

Im Λ3(t) sen θ dθ = 0 (5.51f)

En donde:

ppϑ1 =κ1 a1

R2− b0 + 3R2

∞∑k=1

0 k ak ηk3 +∞∑k=1

0 k bk ηk1 −∞∑k=1

0 k ak ρk1, (5.52a)

ppϑ2 =(κ1 − 1

)(a0 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)− b1

R2. (5.52b)

Sustituyendo estos resultados en (5.50a) y (5.50b), se tiene:∮ΓppL

(1)1 dy2 =

πR2

2C(1)66

(ppϑ1 + ppϑ2) , (5.53a)∮ΓppL

(1)2 dy1 =

πR2

2C(1)66

(ppϑ1 − ppϑ2) . (5.53b)

86

Finalmente, tras considerar la definicion de V2 y la linearidad del operador ‖.‖, la

sustitucion del resultado anterior en (5.46) es:

Cijpp =⟨C

(Υ)ijpp

⟩− V2

2C(1)66

‖C(Υ)

ij11 − C(Υ)ij22‖ ppϑ1 + ‖C(Υ)

ij11 + C(Υ)ij22‖ ppϑ2

(5.54)

Expresion que representa los coeficientes efectivos buscados.

Un desarrollo alternativo se obtiene al emplear los potenciales para la fibra. En este

caso, el resultado del procedimiento anteriormente descrito para los parametros ppϑ1 y

ppϑ2 es:

ppϑ1 = −(

3R2 c3 + d1

χm

), (5.55a)

ppϑ2 =(κ2 − 1) c1

χm. (5.55b)

Es importante mencionar que pueden obtenerse simplificaciones adicionales si se con-

sidera que los constituyentes son transversalmente isotropos. Las mas importantes son:

C1p + C2p =⟨C

(Υ)1p + C

(Υ)2p

⟩− V2

C(1)66

‖C(Υ)11 + C

(Υ)12 ‖ϑ2 , (5.56a)

C2p − C1p =⟨C

(Υ)2p − C

(Υ)1p

⟩+

V2

C(1)66

‖C(Υ)11 − C

(Υ)12 ‖ϑ1 , (5.56b)

C3p =⟨C

(Υ)3p

⟩− V2

C(1)66

‖C(Υ)31 ‖ϑ2 . (5.56c)

En donde se ha introducido la notacion de Voigt para el ındice p = 1, 2, 3.

Por otra parte, de las definiciones para χm y λ1(p) (ecuaciones 5.4 y 5.7a, respectiva-

mente) y la relacion (5.35), se tiene:

87

χm − 1 = −

(C

(1)66 − C

(2)66

C(1)66

), (5.57a)

C(1)66 − C

(2)66 =

‖C(Υ)11 − C

(Υ)12 ‖

2, (5.57b)

λ1(1) =‖C(Υ)

11 + C(Υ)12 ‖

2, (5.57c)

3R2 c3 + d1 =χm λ2(p)

(χm − 1)+χm (κ1 + 1) a1

(χm − 1) R2. (5.57d)

De las cuales es posible obtener, tras algunas manipulaciones, la representacion de las

ecuaciones (5.56a) y (5.56b) en terminos de los coeficientes a1 y c1 exclusivamente. Esto

es:

C1p + C2p =⟨C

(Υ)1p + C

(Υ)2p

⟩− 2V2

(λ1(1)

C(1)66

) (κ2 − 1

χm

)c1 , (5.58a)

C2p − C1p =⟨C

(Υ)2p − C

(Υ)1p

⟩+ 2V2

[λ2(p) +

(κ1 + 1) a1

R2

]. (5.58b)

Expresiones que resultan similares a las reportadas previamente por Rodrıguez-Ramos

et al. (2001) para el calculo de los coeficientes efectivos en un VRA de simetrıa cuadrada8.

Por ultimo, para el caso R = 0 en (5.54), de (5.52a) y (5.52b) se tiene:

lımR→0

V2 ppϑ1 = κ1 a1 , (5.59a)

lımR→0

V2 ppϑ2 = −b1 . (5.59b)

De manera que, si se espera obtener las propiedades de la matriz en este caso, es es-

trictamente necesario que a1 y b1 sean cero. Lo anterior puede mostrarse a partir de lo

desarrollado. Para ello, baste considerar que si R → 0 en (5.33a), entonces b1 → 0. Lo

mismo puede apreciarse para a1 en (5.41), y ası:

lımR→0

Cijpp = lımR→0

⟨C

(Υ)ijpp

⟩= C

(1)ijpp . (5.60)

8Vease la ecuacion (3.23), en notacion de Hill, para la publicacion en comento.

88

5.2.6. Simplificacion del sistema lineal equivalente

Al igual que en los problemas anti-planos, se procede a re-escalar el sistema lineal

(5.41), esto se hace con la finalidad de obtener una matriz simetrica de computo mas

sencillo (McPhedran y McKenzie, 1980). La ecuacion dimensional para la primera parte

de la serie de Laurent del potencial ϕ1(z) es:

ϕ1 [=] a0 L + a1 L−1 + a3 L−3 + . . .+ al L−l + . . . (5.61)

En donde L representa la unidad de longitud y el sımbolo [=] se emplea para indicar

una equivalencia dimensional.

Dado que ambos potenciales de Kolosov-Muskhelishvili poseen unidades de fuerza (F)

por unidad de longitud, se deduce que las unidades de los coeficientes al y bl son FLl−1,

mientras que los coeficientes a0 y b0 poseen unidades de FL−2. De la definicion de los

ultimos en terminos de a1 y b1, se deduce que las unidades de las constantes Aa, Ab, Ba

y Bb poseen unidades de L−2.

Al comparar con el re-escalamiento introducido por Lopez-Lopez et al. (2005), se

propone:

ar =a ′r R

r

√r, (5.62a)

br =b ′r R

r

√r. (5.62b)

Donde R es el radio de la fibra. Sustituyendo esta propuesta en (5.61) se concluye que las

unidades de los coeficientes re-escalados para los potenciales de la matriz seran F L−1,

es decir, las unidades que poseen los potenciales.

Siguiendo un analisis similar para ϕ2(z) y ψ2(z) se deduce que las unidades de los

coeficientes cl y dl son FL−l−1. Proponiendo para ello el siguiente re-escalamiento:

cr =c ′r

R r√r, (5.63a)

dr =d ′r

R r√r. (5.63b)

Obteniendo ası las mismas unidades que los potenciales. En el conocimiento del autor y

sus asesores, esta es la primer vez que se re-escalan los problemas planos. Por tanto, se

89

trata de un aporte de este trabajo.

Al sustituır el resultado (5.62a) en (5.41), se obtiene:

a ′lB

+ CAaR2(√

l R l+1η1l

)a ′1 −

(BaR

2 + CAaBbR4)δl1 a

′1

+ C∞∑k=1

0 a ′k

(√kl Rk+l ηk1

) (BbR

2δl1 − η1lR2)−∞∑k=1

0 a ′k√kl Rk+l ρkl

+∞∑k=1

0 a ′k√kl Rk+l+2

(l + 2) ηk(l+2) + (k + 2) η(k+2)l

+ A

∞∑k=1

0 a ′k

∞∑j=1

0√kl (j + 2)R 2j+k+l+4η(j+2)l ηk(j+2)

= −R[Eλ1(p)

(BbR

2δl1 −√lRl+1η1l

)+λ2(p) δl1χm − 1

]. (5.64)

Expresion que requiere simplficarse.

De la definicion de los coeficientes wkl de los problemas anti-planos (ecuacion 4.49),

se tiene:

√l R l+1η1l = w1l, (5.65a)

√kl Rk+l ηk1

(BbR

2δl1 − η1lR2)

=√kRk+1ηk1BbR

2δ1l −√kRk+1ηk1

√lRl+1η1l

= wk1

(BbR

2δ1l − w1l

)= Bl wk1. (5.65b)

En donde Bl = BbR2δ1l − w1l.

Por otra parte, definiendo la constante A0 como:

A0 = BaR2 + CAaBbR

4. (5.66)

Es posible re-escribir (5.64) de la siguiente forma:

90

a ′lB

+(CAaR

2w1l − A0 δl1)a ′1 + CBl

∞∑k=1

0 a ′k wk1 −∞∑k=1

0 a ′k√kl Rk+l ρkl

+∞∑k=1

0 a ′k√kl Rk+l+2

(l + 2) ηk(l+2) + (k + 2) η(k+2)l

+ A

∞∑k=1

0 a ′k

∞∑j=1

0√kl (j + 2)R 2j+k+l+4η(j+2)l ηk(j+2)

= −R[Eλ1(p)Bl +

λ2(p) δl1χm − 1

]. (5.67)

Observando que:

√kl Rk+l+2

(l + 2) ηk(l+2) + (k + 2) η(k+2)l

=√

(l + 2)l(√

k(l + 2)Rk+l+2ηk(l+2)

)+√

(k + 2)k(√

(k + 2)lRk+l+2η(k+2)l

)=√

(l + 2)lwk(l+2) +√

(k + 2)kw(k+2)l. (5.68)

Se introduce la siguiente definicion:

hkl = hlk =√

(l + 2)lwk(l+2) +√

(k + 2)kw(k+2)l. (5.69)

De forma analoga se observa que:

√kl (j + 2)R 2j+k+l+4η(j+2)l ηk(j+2) = w(j+2)l wk(j+2), (5.70)

obteniendo con ello la siguiente definicion:

rkl = rlk =∞∑j=1

0w(j+2)l wk(j+2). (5.71)

Por ultimo, para la serie de Laurent de la funcion de Natanzon y sus derivadas, se

introduce la definicion:

gkl = glk =√kl Rk+l ρkl. (5.72)

91

De manera que (5.67) puede escribirse como:

a ′lB

+[CAaR

2w1l − A0δl1

]a ′1

+∞∑k=1

0 a ′k

hkl + Arkl + CBlwk1 − gkl

= −R

[Eλ1(p)Bl +

λ2(p) δl1χm − 1

]. (5.73)

5.2.7. Propiedades efectivas

El resultado anterior puede representarse mediante la siguiente matriz por bloques

sobre los ındices impares l (renglon) y k (columna):

1

B+ h11 + Ar11 − A0 hk1 + Ark1 + CBbR

2wk1 − gk1

h1l + Ar1l + CAaR2w1l − g1l

δklB

+ hkl + Arkl − Cwk1w1l − gkl

a ′1

a ′l

=

−R(Eλ1(p)BbR

2 +λ2(p)

χm − 1

)

ERλ1(p)w1l

(5.74)

Donde se ha considerado que w11 y g11 son cero.

A la luz de que Aa y Bb son identicos, de la simetrıa de las definiciones para hkl, rkl,

wkl y gkl, el sistema anterior es simetrico.

A fin de introducir los coeficientes asociados a los terminos CBlwl1 y la constante A0

en (5.73), se introducen las definiciones siguientes:

92

p11 = BaR2, (5.75a)

pkl = 0 si k + l > 2, (5.75b)

f11 = −AaBbR4, (5.75c)

fk1 = Bbwk1R2 para k > 1, (5.75d)

f1l = Aaw1lR2 para l > 1, (5.75e)

fkl = flk = −w1lwk1 para k y l > 1. (5.75f)

Donde se aprecia que A0 = p11 + f11.

Denotado la suma de todas las definiciones como:

jkl = jlk = hkl + Arkl + Cfkl − gkl − pkl. (5.76)

Es posible escribir (5.73) en terminos del siguiente problema matricial:(IB

+ J)

ppA = R ppU . (5.77)

Expresion en la cual, al igual que para los problemas anti-planos, la notacion caligrafica

indica una matriz o vector de orden infinito.

La solucion por bloques de (5.77) para los coeficientes re-escalados ppa′1 y el sub-vector

de coeficientes ppAsub (en terminos del coeficiente ppa′1) es:

ppa′1 = −

BR

[λ2(p)

χm − 1+ Eλ1(p)

(BbR

2 +BVTmM−1

m Vp)]

1 +B j11 −B2 VTmM−1

m Vm, (5.78a)

ppAsub = B(ERλ1(p)M−1

m Vp − ppa′1M−1

m Vm). (5.78b)

93

En donde:

Mm = I +BJsub, (5.79a)

Jsub =

j33 j35 j37 . . .

j35 j55 j57 . . .

j37 j57 j77 . . ....

......

. . .

, (5.79b)

VTm =

[j13 j15 j17 . . .

], (5.79c)

y el vector Vp posee el mismo significado empleado en los problemas anti-planos, esto es:

VTp =

[w13 w15 w17 . . .

]. (5.80)

Comparando con Rodrıguez-Ramos et al. (2001)9, el resultado para ppa1 (sin re-escalar)

es el que se reporta en (5.78a). A efectos de comparacion, se toma p = 2, Aa = Bb = 0

y VTmM−1

m Vp = 0 (celda cuadrada), obteniendo, en la notacion aquı expuesta:

22a(Cuadrado)1 = −

(‖C(Υ)

66 ‖κ1χm + 1

)R2

1 +Bj11 −B2 VTmM−1

m Vm. (5.81)

Donde la unica diferencia estriba en el signo, la cual, surge desde la formulacion de las

series de Laurent para los potenciales10.

A partir de los resultados para ppa′1 y ppAsub, es posible obtener los parametros ppϑ1 y

ppϑ2 que aparecen en la ecuacion 5.54, que define las propiedades efectivas.

Para efectos de calculo, resulta conveniente utilizar la formulacion dada en terminos

de la fibra en las ecuaciones (5.55a) y (5.55b). Para ello, de (5.35), para el ındice l = 1

se tiene:

3R 2 c3 + d1 =χm

χm − 1

[λ2(p) + (κ1 + 1)

a1

R 2

]. (5.82)

9Ecuacion 3.31 del artıculo en comento.10En Rodrıguez-Ramos et al. (2001), se propone ϕ1(z) = a0z+

∑∞l=1

0 al z−l+

∑∞k=1

0 k ak∑∞l=1

0 ηklzl.

Introduciendo el signo en la definicion de ηkl. Aquı, el signo en la doble suma se ha puesto explıcita-mente, dejando la definicion de ηkl sin signo. Una situacion similar se encuentra para ψ1(z).

94

Y ası:

ppϑ1 = −(λ2 (p) +

ppa′1

BR

). (5.83)

Por otra parte, la version re-escalada para (5.33b) es:

c1 =χm2α0

[V1 λ1(p) + (κ1 + 1)

(AaR ppa

′1 −

1

R

∞∑k=1

0ppa′k

√k Rk+1ηk1

)]. (5.84)

En donde, al considerar la definicion de wkl, con w11 = 0, del producto de vectores, se

tiene:∞∑k=1

0ppa′k

√k Rk+1ηk1 = VT

p ppAsub . (5.85)

Y con ello:

c1 =χm2α0

V1 λ1(p) +

(κ1 + 1)

R

(AaR

2ppa′1 − VT

p ppAsub

). (5.86)

Con los elementos anteriores, tras diversas sustituciones, se obtiene:

ppϑ2 = E

λ1 (p)

[1− V2 − (κ1 + 1)BE VT

pM−1m Vp

]+

(κ1 + 1) ppa′1

R

[AaR

2 +B VTpM−1

m Vm]

(5.87)

A partir del valor obtenido para ppa′1 en (5.78a), es posible obtener (5.83) y (5.87)11.

Resultados de los cuales es posible evaluar (5.54) a fin de obtener las propiedades efectivas

Cijpp.

11Tomese en consideracion que los productos VTpM−1m Vm, VT

pM−1m Vp, VTmM−1m Vm y VT

mM−1m Vp repre-sentan cuatro escalares diferentes, no necesariamente iguales a cero, que son indispensables en estaevaluacion. Por este motivo, el tratamiento algebraico extensivo se omite. No obstante, la formulacionaquı expuesta, coincide con la reportada por Pobedrya (1984) para el caso cuadrado.

95

5.3. Problema plano 12L


De acuerdo a la relacion (5.11) establecida en el apartado 5.1, los potenciales 12ϕ1(z)

y 12ψ1(z) pueden formularse en terminos de ppϕ1(z) y ppψ1(z), respectivamente. Ası, a

partir de las formulas de Kolosov-Muskhelishvili, la condicion de periodicidad de los

desplazamientos, para este problema local, es:

κ1 ppϕ1(z) + zppϕ ′1(z) + ppψ1(z) = κ1 ppϕ1(z + ωα) + (z + ωα)ppϕ ′1(z + ωα)

+ ppψ1(z + ωα). (5.88)

Donde, al desarrollar esta condicion, se obtiene un sistema lineal para los coeficientes

12a0 y 12b0 (el pre-ındice indica el problema local), cuya solucion general es de la forma:

12a0 = A ′a 12a1 + A ′b 12b1, (5.89a)

12b0 = B ′a 12a1 +B ′b 12b1. (5.89b)

Resultado donde se emplea la misma regla mnemotecnica usada para los problemas

locales ppL, donde los coeficientes primados estan dados por:

A ′a =π

b/a− δ1 = Aa, (5.90a)

A ′b = − π

b/a (κ1 + 1), (5.90b)

B ′a = δ1 − γ1 −π (κ1 + 1)

b/a, (5.90c)

B ′b =π

b/a− δ1 = A ′a = Bb. (5.90d)

5.3.2. Condiciones de continuidad en la interfaz

El apartado 5.1 tambien establece las condiciones de continuidad para los desplaza-

mientos y las tracciones normales en la interfaz Γ (relaciones (5.9) y (5.10), respectiva-

mente). De manera que, al considerar la parametrizacion de las series de Laurent para los

potenciales de Kolosov-Muskhelishvili en la interfaz, es posible escribir los desplazamien-

tos κΥ ppϕΥ(t) + tppϕ ′Υ(t) + ppψΥ(t) en grupos asociados a las potencias: Reiθ, Rlei(l+2)θ

y Rle−ilθ.

96

Omitiendo los pre-ındices en los coeficientes, para la matriz, estas agrupaciones son:

Reiθ: (κ1 + 1)

(a0 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)+b1

R2, (5.91a)

Rlei(l+2)θ:bl+2

R2l+2− l alR2l− κ1R

2

∞∑k=1

0 k ak ηk(l+2), (5.91b)

Rle−ilθ:κ1 alR2l−∞∑k=1

0 k ak[(l + 2)ηk(l+2)R

2 − ρkl]

+ b0δl1 −∞∑k=1

0 k bk ηkl. (5.91c)

Y, en la fibra:

Reiθ: (κ2 + 1) c1, (5.92a)

Rlei(l+2)θ: κ2R2 cl+2, (5.92b)

Rle−ilθ: (l + 2)R2 cl+2 + dl. (5.92c)

Analogamente, la condicion para las tracciones involucra la evaluacion de κΥ ppϕΥ(t)−tppϕ ′Υ(t)−ppψΥ(t). Ası, la escritura de esta expresion en terminos de los grupos anteriores,

para la matriz, es:

Reiθ: − b1

R, (5.93a)

Rlei(l+2)θ:l alR2l−∞∑k=1

0 k ak R2 ηk(l+2) −

bl+2

R2l+2, (5.93b)

Rle−ilθ:alR2l

+∞∑k=1

0 k ak[R2ηk(l+2) − ρkl

]− b0 δl1 +

∞∑k=1

0 k bk ηkl. (5.93c)

Mientras que, para la fibra, estas agrupaciones son:

Reiθ: 0, (5.94a)

Rlei(l+2)θ: R2 cl+2, (5.94b)

Rle−ilθ: − (l + 2)R2 cl+2 − dl. (5.94c)

5.3.3. Sistema lineal equivalente

De los desarrollos anteriores se obtienen los siguientes sistemas lineales que relacionan

los coeficientes.

97

Para Reiθ:χm

[(κ1 + 1)

(a0 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)+b1

R2

]= (κ2 + 1) c1

−b1

R= 0

(5.95)

Para Rlei(l+2)θ:χm

[bl+2

R2l+2− l alR2l− κ1R

2

∞∑k=1

0 k ak ηk(l+2)

]= κ2R

2 cl+2

l alR2l−R2

∞∑k=1

0 k ak ηk(l+2) −bl+2

R2l+2= R2 cl+2

(5.96)

Y, por ultimo, introduciendo el termino t ‖C(Υ)66 ‖ = R l e−ilθ‖C(Υ)

66 ‖ δl1 en las tracciones,

se tiene el sistema asociado al grupo R le−ilθ:

χm

[κ1 alR2l−∞∑k=1

0 k ak[(l + 2)ηk(l+2)R

2 − ρkl]

+ b0δl1 −∞∑k=1

0 k bk ηkl

]= (l + 2)R2 cl+2 + dl

alR2l

+∞∑k=1

0 k ak[R2ηk(l+2) − ρkl

]−(b0 + ‖C(Υ)

66 ‖)δl1 +

∞∑k=1

0 k bk ηkl

= −(l + 2)R2 cl+2 − dl

(5.97)

La solucion de estos sistemas en terminos de los coeficientes al (l = 1, 3, 5, . . .) es12:

b1 = 0, (5.98a)

bl+2

R2= l al − AR2l+2

∞∑k=1

0 k ak ηk(l+2), (5.98b)

c1 =χm (κ1 + 1)

κ2 + 1

(A ′a a1 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

), (5.98c)

cl+2 = −D∞∑k=1

0 k ak ηk(l+2). (5.98d)

12Considerese que si 12b1 = 0, entonces 12a0 = A ′a 12a1 y 12b0 = B ′a 12a1.

98

Y el sistema lineal de orden infinito:

alB

+B ′aR2 a1 δl1 −R2l

∞∑k=1

0 k ak[R2 (l + 2) ηk(l+2) − ρkl

]+∞∑k=1

0 k bk ηkl

=‖C(Υ)

66 ‖R2 δl1χm − 1

. (5.99)

En donde las constantes A, D y B poseen el mismo significado que el empleado en los

problemas locales ppL.

Al desarrollar la suma para los coeficientes bk, siguiendo la tecnica empleada ante-

riormente, tras introducir las operaciones de re-escalamiento de los coeficientes y las

definiciones para hkl, rkl y gkl dadas en la seccion 5.2.6, el resultado anterior puede

escribirse como:

a ′lB

+B ′aR2 δl1 a

′1 −

∞∑k=1

0 a ′k [hkl − Arkl − gkl] =‖C(Υ)

66 ‖Rδl1χm − 1

(5.100)

Sistema lineal que, a la luz de las definiciones previas, es simetrico.

5.3.4. Promedio de los esfuerzos locales

De la definicion para el promedio de los esfuerzos locales⟨

12σ(Υ)ij

⟩en el VRA bajo

estudio, se obtiene:

C66 =⟨C

(Υ)66

⟩+

1

b/a

∫VΥ

C(Υ)66

(12L

(Υ)1, 2 + 12L

(Υ)2, 1

)dVΥ. (5.101)

Donde, al aplicar el teorema de Green en las integrales de volumen que aparecen, se

obtiene:∫VΥ

C(Υ)66

(12L

(Υ)1, 2 + 12L

(Υ)2, 1

)dVΥ = ‖C(Υ)

66 ‖

[∮Γ

12L(Υ)1 dy1 −

∮Γ

12L(Υ)2 dy2

](5.102)

Ası, si en la interfaz Γ los diferenciales son dy1 = −R sen θ dθ y dy2 = R cos θ dθ, se

tiene:

C66 =⟨C

(Υ)66

⟩− R ‖C(Υ)

66 ‖b/a

∫ 2π

0

(12L

(Υ)1 sen θ + 12L

(Υ)2 cos θ

)dθ (5.103)

99

Al observar la definicion original de los desplazamientos en terminos de los potenciales

de Kolosov-Muskhelishvili 12ϕ(z) y 12ψ(z), se tiene:

2C(1)66 12L

(1)1 = Re

κ1 12ϕ1(z)− z 12ϕ ′1(z)− 12ψ1(z)

, (5.104a)

2C(1)66 12L

(1)2 = Im

κ1 12ϕ1(z)− z 12ϕ ′1(z)− 12ψ1(z)

. (5.104b)

Donde, al introducir las relaciones de Pobedrya (1984) (ecuaciones 5.8a y 5.8b), se

deduce13:

2C(1)66 12L

(1)1 = Re

i(κ1 ppϕ1(z) + z ppϕ ′1(z) + ppψ1(z)

), (5.105a)

2C(1)66 12L

(1)2 = Im

i(κ1 ppϕ1(z) + z ppϕ ′1(z) + ppψ1(z)

). (5.105b)

Aplicando la descomposicion propuesta en (5.48) con:

Λ1(t) = R l e−ilθ

B ′aa1δl1 +

κ1 alR2l− (l + 2)R2

∞∑k=1

0 k ak ηk(l+2)

+∞∑k=1

0 k ak ρkl −∞∑k=1

0 bk ηkl

, (5.106a)

Λ2(t) = R l eilθ δl1 (κ1 + 1)

(A ′a a1 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

), (5.106b)

Λ3(t) = R l ei(l+2)θ

bl+2

R2l+2− lalR2l− κ1R

2

∞∑k=1

0 kak η(k+2)l

(5.106c)

De la ortogonalidad de las funciones trigonometricas, se tiene:

∫ 2π

012L

(1)1 sen θ dθ =

1

2C(1)66

∫ 2π

0

(Re

i∞∑l=1

0 Λ1(t) + Λ2(t) + Λ3(t)

)sen θ dθ

=π R

2C(1)66

(κ1 +B ′aR

2) a1

R2− 3R2

∞∑k=1

0 kak ηk3 +∞∑k=1

0 kak ρk1

−∞∑k=1

0 kbk ηk1 − (κ1 + 1)

(A ′a a1 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)(5.107)

13Vıa: 12ϕ ′1(z) = −i ppϕ ′1(z) y 12ψ1(z) = −i ppψ1(z).

100

Y

∫ 2π

012L

(1)2 cos θ dθ =

1

2C(1)66

∫ 2π

0

(Im

i∞∑l=1

0 Λ1(t) + Λ2(t) + Λ3(t)

)cos θ dθ

=π R

2C(1)66

(κ1 +B ′aR

2) a1

R2− 3R2

∞∑k=1

0 kak ηk3 +∞∑k=1

0 kak ρk1

−∞∑k=1

0 kbk ηk1 + (κ1 + 1)

(A ′a a1 −

∞∑k=1

0 k ak ηk1

)(5.108)

De manera que, de la suma de los resultados (5.107) y (5.108), se obtiene:

∫ 2π

0

(12L

(1)1 sen θ + 12L

(1)2 cos θ

)dθ =

π R

C(1)66

(κ1 +B ′aR

2) a1

R2

− 3R2

∞∑k=1

0 kak ηk3 +∞∑k=1

0 kak ρk1 −∞∑k=1

0 kbk ηk1

(5.109)

Al considerar la evaluacion de (5.99) cuando l = 1, se tiene:

−3R2

∞∑k=1

0 kak ηk3 +∞∑k=1

0 kak ρk1 −∞∑k=1

0 kbk ηk1 = − a1

BR2−B ′a a1 +

‖C(Υ)66 ‖

χm − 1. (5.110)

Resultado que puede simplificarse mediante:

‖C(Υ)66 ‖

χm − 1=C

(1)66 − C

(2)66

C(2)66 − C

(1)66

C(1)66

= −C(1)66 . (5.111)

Al introducir la definicion de la constante B, tras algunas simplificaciones se obtiene:

∫ 2π

0

(12L

(1)1 sen θ + 12L

(1)2 cos θ

)dθ = π R

[(κ1 + 1

‖C(Υ)66 ‖

)a1

R2− 1

]. (5.112)

Y con ello, tras considerar que V2 = πR2 a/b, se tiene para la propiedad efectiva

(ecuacion 5.103):

C66 =⟨C

(Υ)66

⟩− V2 (κ1 + 1)

a1

R2+ V2 ‖C(Υ)

66 ‖. (5.113)

101

Expresion que, al considerar que⟨C

(Υ)66

⟩= C

(1)66 V1 + C

(2)66 V2 y V1 + V2 = 1, puede

simplificarse, esto es:

C66 = C(1)66 − V2 (κ1 + 1)

a1

R2(5.114)

Resultado que, en su version re-escalada, coincide con el reportado por Pobedrya (1984).

5.3.5. Propiedad efectiva C66

Como se ha ilustrado previamente, es posible escribir el sistema re-escalado (5.100)

en terminos de un problema matricial. Esto es:(IB− J ′

)12A = R 12U . (5.115)

En donde los elementos de la matriz J ′ estan definidos como:

j ′kl = j ′lk = hkl − Arkl − gkl − p ′kl. (5.116)

Y, adicionalmente, se han introducido las definiciones:

p ′11 = B ′aR2, (5.117a)

p ′kl = 0 si k + l > 2, (5.117b)

12U =

[−C(1)

66

0

]. (5.117c)

Mediante la representacion de (5.115) por bloques:

1B− j ′11 −VT

µ

−VµMµ

B

12a′1

12Asub

=

−RC(1)

66

0

(5.118)

102

En la cual:

VTµ = [j ′13, j

′15, j

′17, . . .] , (5.119a)

Mµ = I −BJ ′sub, (5.119b)

J ′sub =

j ′33 j ′35 j ′37 . . .

j ′35 j ′55 j ′57 . . .

j ′37 j ′57 j ′77 . . ....

......

. . .

, (5.119c)

12ATsub = [12a

′3, 12a

′5, 12a

′7, . . .] . (5.119d)

Es posible calcular el coeficiente 12a′1. Esto es:

12a′1 = − BRC

(1)66

1−Bj ′11 −B2 VTµM−1

µ Vµ. (5.120)

Con ello, al sustituır en la version re-escalada de (5.114), se tiene:

C66 = C(1)66

1 +

(κ1 + 1) B V2

1−Bj ′11 −B2 VTµM−1

µ Vµ

(5.121)

Resultado que es la expresion de forma cerrada para la propiedad efectiva. Cabe

destacar que la expresion anterior coincide con el reportada por Pobedrya (1984) para

el caso cuadrado14.

14Considerese que, para el caso cuadrado: B ′aR2 = V2 (κ1 − γ1/π).

103

6. Metodo de Elementos Finitos

6.1. Aspectos generales

El metodo de elementos finitos (MEF) es una tecnica numerica que, a traves de la

discretizacion del medio continuo en pequenos fragmentos denominados elementos, in-

terconectados entre sı por diferentes puntos llamados nodos, busca aproximar la solucion

a un problema dado.

Cada nodo posee un conjunto mınimo de variables escalares o grados de libertad, re-

queridos para establecer las diferentes ecuaciones gobernantes que se desean resolver

(aproximar) en la totalidad del medio. Es decir, la solucion de un problema equivale a

determinar la totalidad de los grados de libertad en los nodos o valores nodales1.

Si se asume que los valores nodales para un grado de libertad son conocidos, es posible

postular la existencia de una funcion Ψ que aproxime el grado de libertad al interior del

elemento. Ası, para un elemento con n nodos, se propone la siguiente interpolacion2:

Ψ =n∑i=1

Si Ψi = S1 Ψ1 + S2 Ψ2 + · · ·+ SN ΨN . (6.1)

En donde cada Ψi (i = 1, 2, . . . ) representa el valor nodal, modulado por una funcion

escalar adimensional Si, dependiente de la posicion, conocida tambien como funcion de

forma del nodo i.

Ademas de poseer caracterısticas de continuidad y diferenciabilidad, las funciones de

forma satisfacen lo siguiente:

1En este contexto, es valido establecer que, en realidad, el MEF aproxima la solucion del problemamediante la representacion del continuo en terminos de un conjunto discreto de puntos de observacionsobre los cuales es posible trazar los vertices de cada elemento. Con ello se explica la existencia deesquemas sin elementos.

2Cabe aclarar que en la mayorıa de las implementaciones del metodo, se asume que Ψ es un polinomio.Ası, el empleo de esquemas como el metodo de mınimos cuadrados y la interpolacion de Lagrange,son de uso comun.

104

1. Si ri es la posicion del nodo i, entonces Si(ri) = 1; pero Si(rj) = 0. Donde rj es la

posicion de cualquier otro nodo distinto al nodo i al interior del elemento.

2. Para cualquier posicion r al interior de un elemento con n nodos:

n∑i=1

Si(r) = 1. (6.2)

En la tabla 6.1 se proporcionan ejemplos para las funciones de forma de los elementos

mostrados en la figura 6.1.

Elemento rectangular Elemento lineal(nodos i, j, m y n) (nodos i, j y k)

Si =(

1− x

l

) (1− y

w

)Si =

(xl− 1) (2x

l− 1

)Sj =

x

l

(1− y

w

)Sj =

x

l

(2x

l− 1

)Sm =

y

w

(1− x

l

)Sk =

4x

l

(1− x

l

)Sn =

xy

lw–

Tabla 6.1.: Funciones de forma para los elementos mostrados en la figura 6.1, expresadas enterminos del sistema local de coordenadas de cada elemento, 0 ≤ x ≤ l y 0 ≤ y ≤ w.

La generalizacion de (6.1) para nodos con mas de un grado de libertad es (Zienkiewicz

y Taylor, 2000):

a = [N1, N2, · · · ]

a1

a2

...

= N(E) a(E). (6.3)

Expresion en donde los vectores ai (i = 1, 2, 3, . . . ) se conocen como vectores nodales

del elemento, y Ni es la matriz de forma del i-esimo nodo. Por otra parte, la matriz

N(E) = [N1, N2, . . . ] es la matriz de forma elemental, no necesariamente cuadrada,

mientras que el vector columna a(E) es el ordenamiento de los vectores nodales.

Las matrices de forma Ni, Nj, etc., deben ser cuadradas. Estas pueden obtenerse a

partir de las funciones de forma escalares Si, Sj, etc. En consecuencia, las matrices de

105

(a) (b)

Figura 6.1.: Ejemplos de elementos finitos. (a) Rectangulo de dimensiones l×w con nodos ensus vertices y la superficie que describe. (b) Barra de longitud l para interpolacionescuadraticas. Para el rectangulo, el sistema local de coordenadas se establece conorigen en el nodo i, eje x a lo largo del vertice i-j y eje y en el vertice i-m. Labarra se muestra en el sistema global de coordenadas.

forma estan sujetas a los requisitos ya mencionados, esto es:

Ni(ri) = I (la matriz identidad), (6.4a)

Ni(rj) = 0 si j 6= i, (6.4b)∑∀i

Ni(r) = I para cualquier r valida. (6.4c)

A manera de ejemplo, para el rectangulo de la figura 6.1, cuyas funciones de forma

fueron introducidas en la tabla 6.1, la modelacion de los grados de libertad u y v se

expresa como:

a =

u

v

= [SiI, SjI, SmI, SnI]

ai

aj

am

an

(6.5)

En donde la matriz identidad empleada es de dimension 2 (N(E) de dimension 2× 8) y

los vectores ap (p = i, j, m, n) son de la forma aTp = [up, vp].

En terminos generales, la solucion de un problema por elementos finitos, consiste en

encontrar la funcion desconocida u que satisface un conjunto de ecuaciones diferenciales

106

Figura 6.2.: Dominio Ω del problema y su frontera Γ. El operador diferencial lineal A repre-senta el problema a resolver en Ω. Las condiciones de frontera se expresan a travesdel operador lineal B.

que pueden expresarse genericamente como3 (Zienkiewicz y Taylor, 2000):

A(u) =

A1(u)

A2(u)...

= 0 (6.6)

al interior de un dominio (volumen, area, etc.) Ω, sujeto a determinadas condiciones

sobre la frontera Γ del dominio, de la forma:

B(u) =

B1(u)

B2(u)...

= 0 (6.7)

Situacion que se ilustra en la figura 6.2.

Para el caso del MEF, se establece la siguiente aproximacion para u (Moaveni, 1999;

Zienkiewicz y Taylor, 2000):

u ≈ u =N∑i=1

Ni ai = N(G) a(G) (6.8)

3Situacion que corresponde, en la practica, a la mayorıa de los problemas fısicos.

107

en los N nodos que discretizan Ω y donde el superındice (G) indica que se refiere al

problema global.

En virtud de que los nodos interconectan los elementos entre sı, el problema global

puede dividirse en m sub-problemas (uno por elemento). Ası, al aplicar los operadores

lineales A y B en los nodos de cada elemento, y ensamblar las ecuaciones que surgen,

se obtiene un problema lineal de la forma:

K(G) a(G) + f (G) = 0. (6.9)

La matriz K(G) se conoce como matriz global de rigidez del problema, mientras f (G) es el

vector global de cargas4.

6.2. Metodo de residuos ponderados de Galerkin

En virtud de que el sistema de ecuaciones diferenciales (6.6) es cero, es posible es-

cribirlo como (Moaveni, 1999; Zienkiewicz y Taylor, 2000):∫Ω

vT A(u) dΩ =

∫Ω

v1A1 (u) + v2A2 (u) + · · · dΩ = 0. (6.10)

En donde v es un vector formado por funciones arbitrarias, de dimension identica al

numero de ecuaciones (o componentes de u) involucradas.

A diferencia de la forma diferencial dada en (6.6), la ventaja de esta formulacion es-

triba en que, si en algun punto del dominio A(u) 6= 0, es posible encontrar un vector v

tal que la integral (6.10) sea satisfecha (Zienkiewicz y Taylor, 2000). En este sentido, la

forma integral (6.10) es mucho mas conveniente que (6.6). La diferencia principal entre

el MEF y otros metodos, como el metodo de diferencias finitas, es precisamente esta.

De manera analoga, para las condiciones de frontera del problema, la forma integral

de (6.7) es: ∫Γ

vT B(u) dΓ =

∫Γ

v1B1 (u) + v2B2 (u) + · · · dΓ = 0. (6.11)

4Cabe aclarar que los terminos rigidez y carga son debidos a que, historicamente, el MEF seaplico primero en la resolucion de problemas de elasticidad. No obstante, la matriz K(G) representael operador diferencial junto con las propiedades fısicas del elemento, mientras que las condicionesen la frontera Γ(E) se sintetizan en el vector f (G).

108

Donde v es un vector de funciones arbitrarias, no necesariamente igual a v.

A partir de las representaciones anteriores es posible combinar ambos problemas en

uno solo, esto es: ∫Ω

vT A(u) dΩ +

∫Γ

vT B(u) dΓ = 0. (6.12)

¿Que forma deben tener las funciones v y v? Dependiendo del tipo de problema,

en general, se deben buscar funciones tales que el resultado de la integral este acotado

(Zienkiewicz y Taylor, 2000). Por otra parte, la forma de los operadores A y B ası como

las condiciones que localmente deba obedecer u, determinan la eleccion de las funciones

v y v.

Al respecto, la restriccion mas importante estriba en que las funciones deben de ser

de cuadrado integrable (Zienkiewicz y Taylor, 2000). Por otra parte, es evidente que si

existen derivadas de orden n-esimo en los operadores A y B, las funciones v y v deben

poseer, al menos, n− 1 derivadas continuas.

Un enunciado alternativo a (6.12), que puede deducirse a partir de la integracion por

partes, es el siguiente (Zienkiewicz y Taylor, 2000):∫Ω

C (v)T D(u) dΩ +

∫Γ

E (v)T F(u) dΓ = 0. (6.13)

En donde los operadores C y E poseen un orden menor de derivada del que aparece en

los operadores A o B. De esta forma, el orden de continuidad para u se reduce. El costo

de esta formulacion estriba en que v y v deben poseer mayor grado de continuidad.

En virtud de que (6.13) es mas permisivo que (6.12), en la literatura se le conoce co-

mo formulacion debil de las ecuaciones (6.6), (6.7) o (6.12). Un hecho relevante consiste

en que la forma (6.13) es fısicamente mas realista que la ecuacion diferencial original

(Zienkiewicz y Taylor, 2000).

Dado que de antemano no se conocen las funciones v y v, en el mas puro espıritu del

metodo, procedemos a formularlas en terminos de la siguiente aproximacion:

v ≈N∑j=1

wj δaj v ≈N∑j=1

wj δaj. (6.14)

109

En donde N representa el numero de incognitas presentes en el problema y δaj repre-

senta un conjunto de parametros arbitrarios. A su vez, las funciones wj y wj se conocen

genericamente como funciones de peso para la aproximacion.

Introduciendo esta aproximacion en (6.12), tras considerar que u ≈ Na, se tiene

(Zienkiewicz y Taylor, 2000):

δaTj

[∫Ω

wTj A(Na) dΩ +

∫Γ

wTj B(Na) dΓ

]= 0 (para j = 1, 2, 3, · · ·N). (6.15)

De donde se deduce con facilidad que, si los parametros δaj no son cero, entonces:∫Ω

wTj A(Na) dΩ +

∫Γ

wTj B(Na) dΓ = 0 (para j = 1, 2, 3, · · ·N). (6.16)

Resultado que tambien puede aplicarse en (6.13).

En virtud de que Na representa una aproximacion, su evaluacion siempre dejara un

residuo. Ası, la ecuacion anterior representa la integral del residuo multiplicada por una

funcion de peso, motivo por el cual el metodo aquı expuesto se conoce como metodo de

residuos ponderados.

Debido a que cualquier funcion de peso puede proponerse, existen tantos nombres a

los procesos en elementos finitos como funciones de peso se propongan5 (Zienkiewicz y

Taylor, 2000). Entre las elecciones comunes se encuentran:

5A manera de ejemplo, Moaveni (1999) identifica al menos cuatro metodos basados en residuos: (1)Colocacion de puntos, (2) Subdominios, (3) Galerkin y, (4) el metodo de mınimos cuadrados (wT

j =

δTjA(Na)).

110

1. Metodo de colocacion de puntos: wj = δj, donde δj es cero si r 6= rj, pero∫Ωδj dΩ = I.

2. Metodo de subdominios: wj = I en Ωj, pero es cero en otra parte.

3. Metodo de Galerkin (Bubnov-Galerkin): wj = Nj.

Por otra parte, Zienkiewicz y Taylor (2000) destacan que, el metodo de diferencias fini-

tas, es un caso particular del metodo de colocacion bajo el esquema de Petrov-Galerkin,

en donde wj 6= Nj.

Para el caso elastostatico, si han de considerarse las fuerzas volumetricas mediante el

vector b, el operador para la ecuacion gobernante es:

A(u) =

A1

A2

A3

=

∂ σx∂ x

+∂ τxy∂ y

+∂ τxz∂ z

∂ σy∂ y

+∂ τxy∂ x

+∂ τyz∂ z

∂ σz∂ z

+∂ τxz∂ x

+∂ τyz∂ y

+

bx

by

bz

(6.17)

Escribiendo las componentes del desplazamiento como uT = [u, v, w], se tiene para

w = δu = [δu, δv, δw]T:∫Ω

δuT A(u) dΩ =

∫Ω

[δu

(∂ σx∂ x

+∂ τxy∂ y

+∂ τxz∂ z

+ bx

)+ δv (A2) + δw (A3)

]dΩ

(6.18)

Efectuando la integracion por partes en cada termino, tras aplicar el teorema de

Green6, es posible escribir la integral anterior como (Zienkiewicz y Taylor, 2000):

−∫

Ω

[σx

∂

∂ x(δu) + τxy

(∂

∂y(δu) +

∂

∂x(δv)

)+ · · · − δubx − δvby − δwbz

]dΩ

+

∮Γ

[δu (σx nx + τxy ny + τxz nz) + δv (· · · ) + δw (· · · )] dΓ (6.19)

6Para la coordenada xi (i = x, y, z):

∫Ω

φ∂ ψ

∂ xidΩ = −

∫Ω

∂ φ

∂ xiψ dΩ +

∮Γ

φψ ni dΓ.

111

Resultado en el cual se reconoce el desarrollo del tensor de pequenas deformaciones y

las tracciones, obteniendo ası:∫Ω

δεT σ dΩ−∫

Ω

δuT b dΩ−∮

Γ

δuT t dΓ = 0 . (6.20)

En donde:

δε =

∂

∂ x(δu)

∂

∂ y(δv)

∂

∂ z(δw)

...

= S δu (6.21)

representa el vector para las pequenas deformaciones y S el operador lineal7:

S =

∂/∂x 0 0

0 ∂/∂y 0

0 0 ∂/∂z

0 ∂/∂z ∂/∂y

∂/∂z 0 ∂/∂x

∂/∂y ∂/∂x 0

. (6.22)

La relevancia de la ecuacion 6.20 consiste en que representa el enunciado variacional

para la densidad de energıa potencial total Π (Moaveni, 1999), esto es:

Π =1

2

∫V

σij εij dV −∫V

Fi ui dV , (6.23)

donde V representa el volumen del medio y Fi es la fuerza por unidad de volumen8.

Al considerar la aproximacion:

δu = N δa, (6.24)

7Escrito en terminos del ordenamiento de Voigt. Cabe aclarar que esta forma del operador introducelas definiciones de corte γxy, γxz y γyz.

8Otra forma de enunciarlo es δΠ = δ (U +W ), donde U y W son, respectivamente, la densidad deenergıa potencial y el trabajo mecanico por unidad de volumen.

112

o formulacion de Galerkin, se tiene9:

δε = S (Nδa) = B δa (6.25)

en donde, evidentemente, B = SN.

Estableciendo la forma general para la relacion constitutiva:

σ = D (ε− ε0) + σ0 (6.26)

en la cual D representa la matriz de rigidez elastica, ε0 el estado inicial de deformaciones

y σ0 los esfuerzos residuales presentes. Tras considerar las aproximaciones u ≈ Na y

ε ≈ B a, se tiene en (6.20)10:∫Ω

δaT BT D B a dΩ−∫

Ω

δaT BT D ε0 dΩ +

∫Ω

δaT BT σ0 dΩ

−∫

Ω

δaT NT b dΩ−∮

Γ

δaT NT t dΓ = 0. (6.27)

Al comparar este resultado con el enunciado del residuo (ecuacion 6.16), tras eliminar

el termino δaT se obtiene la forma11 Ka + f = 0, en donde:

K =

∫Ω

BT D B dΩ, (6.28a)

f =

∫Ω

BT σ0 dΩ−∫

Ω

BT D ε0 dΩ−∫

Ω

NT b dΩ−∮

Γ

NT t dΓ. (6.28b)

9Considerese que los parametros δa son constantes en los nodos, por lo que S (δa) = 0.10Considerese que la transpuesta del producto de matrices es (AB)T = BTAT.11Cabe aclarar que a lo largo de esta construccion se ha omitido el ındice j que aparece en (6.16). En

virtud de esto, aquı a debe considerarse como el vector en los nodos [a1, a2, · · · ]T, que es constante.

113

6.3. Aplicacion en materiales compuestos

6.3.1. Formalismo esencial

Para el MEF, el problema del calculo de las propiedades elasticas efectivas de un

composito, equivale a establecer una relacion constitutiva de la forma:

〈σ〉 = C 〈ε〉 . (6.29)

Expresion en la cual, el operador de promediacion 〈.〉, introducido previamente, se es-

tablece al interior del dominio Ω, en terminos del vector f , definido en cada elemento

como f (E), mediante (Berger et al., 2005):

〈f〉 =1

|Ω|

m∑E=1

∫ΩE

f (E) dΩE =1

|Ω|

∫Ω1

f (1) dΩ1 +

∫Ω1

f (2) dΩ2 + · · ·

(6.30)

Para la totalidad de los m elementos que forman el dominio Ω (material compuesto),

con dimension (longitud, area o volumen) |Ω|.

A fin de evaluar (6.29) es necesario perturbar el material, en otras palabras, debe some-

terse a la accion de un agente externo capaz de deformarlo (Suquet, 1987; Berger et al.,

2005), de manera que un estado de esfuerzos al interior del medio se establezca. A partir

de este estado es posible evaluar los promedios requeridos en (6.29).

Para el caso de un material compuesto de estructura periodica el analisis se reduce

al VRA, por esta razon es posible imponer condiciones periodicas de la forma (Suquet,

1987):

ui = Sij xj + vi (6.31)

donde Sij es la deformacion promedio, mientras que vi representa la parte periodica de

la componente del desplazamiento (la fluctuacion o perturbacion local) sobre la frontera

del dominio. Es importante mencionar que, en general, la cantidad vi es desconocida y

depende de las cargas globales aplicadas (Berger et al., 2005).

Cabe destacar que existen restricciones inherentes a esta aproximacion, y son (Berger

et al., 2005):

1. Debido a que C es una matriz de 6×6, se requiere establecer un numero suficiente

de experimentos numericos a fin de obtener las expresiones necesarias para inferir

los coeficientes de C.

114

2. El diseno de cada experimento numerico, debe ser tal que se pueda garantizar

que las condiciones de frontera introducidas no influyan en la solucion. En caso

opuesto, es necesario sustraer su efecto.

3. Las condiciones en los nodos que interconectan elementos asociados a distintos

constituyentes, deben de conocerse de antemano.

En terminos generales, la primer restriccion se refiere al hecho de proponer, a traves

de diferentes condiciones mecanicas, vectores de la forma:

〈εx〉0

0

0

0

0

,

0

〈εy〉0

0

0

0

,

0

0

〈εz〉0

0

0

,

0

0

0

〈γyz〉0

0

,

0

0

0

0

〈γxz〉0

y

0

0

0

0

0

〈γxy〉

; (6.32)

de los cuales es posible, hasta cierto punto, inferir las columnas de la matriz C.

Por ejemplo, a partir de:

〈σx〉〈σy〉〈σz〉〈τyz〉〈τxz〉〈τxy〉

=

C11 C12 C13 . . .

C21 C22 C23 . . .

C31 C32 C33 . . .

C41 C42 C43 . . .

C51 C52 C53 . . .

C61 C62 C63 . . .

〈εx〉0

0

0

0

0

. (6.33)

Se tiene:

C11

C21

C31

C41

C51

C61

=

〈σx〉 / 〈εx〉〈σy〉 / 〈εx〉〈σz〉 / 〈εx〉〈τyz〉 / 〈εx〉〈τxz〉 / 〈εx〉〈τxy〉 / 〈εx〉

. (6.34)

De manera que, el problema se reduce a obtener deformaciones promedio cero en donde

sea necesario. En este sentido, en principio, con seis experimentos numericos, se pueden

115

obtener los 21 coeficientes elasticos efectivos.

No obstante, de antemano y como regla general, no existe experimento numerico ni

fısico en el cual sea posible establecer vectores de la forma (6.32) con absoluta certeza.

En el mejor de los casos, para el ejemplo anterior, la relacion que se obtiene es de la

forma:

〈σx〉〈σy〉〈σz〉∼ 0

∼ 0

∼ 0

≈

C11 C12 C13 . . .

C21 C22 C23 . . .

C31 C32 C33 . . .

C41 C42 C43 . . .

C51 C52 C53 . . .

C61 C62 C63 . . .

〈εx〉∼ 0

∼ 0

∼ 0

∼ 0

∼ 0

. (6.35)

Donde solo pueden obtenerse algunos coeficientes.

Al respecto, el trabajo de Wurkner et al. (2011) propone, a traves de rotaciones

del VRA, un metodo eficiente para calcular los coeficientes efectivos C44 y C55 en un

composito con simetrıa de propiedades elasticas monoclınica (13 coeficientes efectivos).

La segunda restriccion se refiere, en esencia, a tener presente el no introducir desplaza-

mientos de cuerpo rıgido o, equivalentemente, fuerzas volumetricas al interior del medio.

Esto obedece al hecho de que, para el esquema planteado, el calculo de los coeficientes

elasticos representa un problema elastostatico.

Cabe aclarar que, en la practica, el metodo experimental para la estimacion de dichos

coeficientes representa, generalmente, un problema de condiciones dinamicas. Esto es, a

partir de la estimacion/reconstruccion del frente de onda para las componentes longitu-

dinal y transversal de la velocidad del sonido, metodo de uso extendido en disciplinas

como la Geofısica12.

Por ultimo, la tercer restriccion establece la posibilidad de que los constituyentes

puedan desplazarse uno respecto a otro, hecho que se conoce con el nombre generico

de delaminacion. A fin de incluir este tipo de efectos es indispensable establecer alguna

relacion entre los desplazamientos para aquellos nodos que conectan elementos asociados

12Cabe aclarar que en este caso se resuelve la ecuacion eikonal, de la cual, a partir de las relaciones deChristoffel, es posible obtener estimaciones de los diferentes modulos elasticos.

116

Figura 6.3.: Diferentes condiciones para nodos que conectan los constituyentes de uncomposito. Los nodos 1 y 2 conectan los elementos (I), (II), (III) y (IV). Loselementos (II) y (III) corresponden al material B, mientras que los elementos (I)y (IV) estan asociados a los constituyentes A y C, respectivamente.

a diferentes constituyentes13.

A manera de ejemplo, considerese la region mostrada en la figura 6.3. Si se asume que

los desplazamientos al interior de una misma fase material son continuos, la condicion

de contacto perfecto entre los elementos (II) y (III) para el nodo 2 es:

u(II)2 − u

(III)2 = 0. (6.36)

Por otra parte, al admitir que el material A pueda delaminarse y, tras establecer que

el material C esta en contacto perfecto con el material B; el juego de condiciones que se

obtiene para los desplazamientos puede escribirse de la forma:

u(I)1 − u

(II)1 = c1, (6.37a)

u(I)1 − u

(IV )1 = c2, (6.37b)

u(II)1 − u

(IV )1 = 0, (6.37c)

u(I)2 − u

(II)2 = c1, (6.37d)

u(I)2 − u

(III)2 = c1. (6.37e)

13Cabe aclarar que, en apego a la filosofıa del metodo de elementos finitos, un elemento solo puedeestar asociado a un constituyente, condicion que no necesariamente es aplicable a los nodos.

117

Expresiones en las cuales los vectores c1 y c2, no necesariamente iguales, deben de es-

pecificarse.

Debido a que es difıcil establecer estos vectores de antemano, la solubilidad del sistema

global (ecuacion 6.9) puede llegar a comprometerse14. Por otra parte, algunos sistemas

comerciales de elementos finitos, no poseen una implementacion robusta para interpretar

este tipo de condiciones en el problema global15, incluso si, artificialmente16, se propor-

cionan dichos vectores.

6.3.2. Laminado binario

A fin de ilustrar esta metodologıa, se han introducido tres ensayos numericos para el

laminado mostrado en la figura 6.4(a). Para el ensayo de tension propuesto en direccion

del eje x (figura 6.4(b)), es posible inferir que la deformacion promedio 〈εx〉 es la mayor

de todas17.

Por otra parte, es posible restringir los grados de libertad a fin de anular los es-

fuerzos de corte promedio (Ramırez et al., 2012). Por ejemplo, si se establece que los

desplazamientos normales a las superficies libres18 sean cero (Berger et al., 2005), para

constituyentes isotropos en contacto perfecto, la aproximacion para (6.29) es:

〈σ〉Ensayo (b) ≈

〈σx〉〈σy〉〈σz〉

≈

C11

C21

C31

〈εx〉Ensayo (b) . (6.38)

14Cabe senalar que este es un problema abierto, el cual, ha dado origen al desarrollo de elementos detecnologıa de contacto. Por otra parte, es importante mencionar que la formulacion variacional debil,admite este tipo de discontinuidades locales (Zienkiewicz y Taylor, 2000), de manera que se tratamas de un problema de implementacion que teorico.

15Incluso en ANSYS.16A manera de ejemplo, considerese como aproximacion el problema de Hertz para el contacto entre

dos solidos, resuelto a detalle en la seccion §9 de Landau y Lifshitz (1959), fundamento de algunasformulaciones de contacto imperfecto entre medios isotropos.

17Cabe aclarar que la flecha en la figura representa una condicion sobre la superficie del materialcompuesto (las tres laminas). Por otra parte, la aseveracion solo es valida si los constituyentes estanen contacto perfecto (condicion de soldadura).

18Las que no estan sometidas a carga externa alguna.

118

Figura 6.4.: Ejemplos de experimentos numericos para un laminado. Las flechas representanla perturbacion (fuerza, desplazamiento o esfuerzo) introducida al VRA. (a) Lam-inado formado por tres capas. (b) Ensayo de tension en direccion x. (c) Ensayode tension en direccion y. (d) Ensayo de corte en el plano x− y.

De manera analoga, para el ensayo de la figura 6.4(c), se tiene:

〈σ〉Ensayo (c) ≈

〈σx〉〈σy〉〈σz〉

≈

C12

C22

C32

〈εy〉Ensayo (c) . (6.39)

Para el ensayo de corte mostrado en la figura 6.4(d), es importante introducir condi-

ciones adicionales (no mostradas) que eviten el movimiento de cuerpo rıgido (Berger

et al., 2005).

Para ello existen dos aproximaciones, la empleada por Berger et al. (2005), que acopla

los nodos de los extremos opuestos19, ilustrado en la siguiente seccion y; la realizada

en Ramırez et al. (2012), que introduce los desplazamientos o fuerzas necesarios para

obtener un par equivalente de magnitud cero, situacion que se bosqueja en la figura 6.5.

19Cabe aclarar que para el caso de los coeficientes elasticos de corte, el Dr. Harald Berger y su equipode la Universidad de Magdenburgo han propuesto ambas implementaciones.

119

Figura 6.5.: Condiciones empleadas para el modulo de corte de un laminado.

En ambas aproximaciones, con ciertas dificultades de implementacion y evaluacion, es

posible aproximar el modulo de corte a traves del cociente:

C66 ≈〈τxy〉Ensayo (d)

〈εxy〉Ensayo (d)

. (6.40)

Hasta este punto se han ilustrado tres experimentos numericos para obtener algunos

coeficientes efectivos. Para el caso de los coeficientes C11, C22 y C66, no existe meca-

nismo de verificacion salvo el proponer experimentos con diferentes magnitudes en las

perturbaciones, de manera que el cociente siempre sea el mismo.

Si se toma en cuenta la simetrıa geometrica del composito, para el caso de consti-

tuyentes isotropos, el ensayo de tension (no mostrado) a lo largo del eje z, debera repor-

tar resultados similares a los obtenidos por el ensayo propuesto en la figura 6.4(b). Esto

es, en virtud de la simetrıa del tensor de rigidez elastica y la aplicacion del principio de

Neumann (Nowick, 2005; Fuentes y Fuentes, 2008) en el laminado.

De lo anterior, el ensayo de tension en el eje z solo proporcionarıa los coeficientes

elasticos C13 = C31, C23 = C32 y C33 = C11; mientras que, la simetrıa C21 = C12 se

puede obtener de los ensayos (b) y (c). Quedando pendiente el ensayo de corte en el

120

plano x − z (coeficiente C55), en virtud de que el modulo de corte que se obtiene del

plano y − z (coeficiente C44), para el laminado, es, en principio, equivalente a C66.

6.3.3. Matriz reforzada por fibras

Para el caso de la matriz reforzada por fibras se requiere la evaluacion de los seis

ensayos descritos previamente (tres de tension, tres de corte), a fin de obtener los nueve

coeficientes elasticos efectivos. Como se muestra mas adelante, en realidad, solo se re-

quieren dos ensayos de tension y tres de corte.

A fin de obtener los modulos de corte fuera del plano (problemas anti-planos) se re-

quirio imponer restricciones especiales y de acoplamiento entre nodos, identicas a las

reportadas por Berger et al. (2005). Dichas condiciones se establecen sobre los nodos

presentes en los planos perpendiculares al plano de cizalla20, como se ilustra en la figura

6.6 tomada de Nava-Gomez et al. (2008)21.

Para el caso del coeficiente efectivo C44, a fin de evitar movimiento de cuerpo rıgido,

se impuso en los nodos de la lınea x2 = 0, x3 = 0 (lınea base de la cara etiquetada en

ingles como fondo) la condicion de que las componentes 2 y 3 del desplazamiento fuesen

cero. Situacion que se muestra en la figura 6.6 IIb).

A su vez, en la figura en comento, es necesario restringir la componente x del desplaza-

miento en las caras paralelas al plano de corte x2 − x3 (etiquetadas como izquierda y

derecha, respectivamente); mientras que los nodos en las caras superior e inferior (figura

6.6 IId)) se someten a la restriccion (Nava-Gomez et al., 2008):

u(Cara superior)3 − u(Cara inferior)

3 = constante. (6.41)

Para el caso de las caras que contienen a la fibra (figura 6.6 IIc)) es necesario acoplar los

desplazamientos nodales en la direccion x2, esto equivale a establecer que (Nava-Gomez

et al., 2008):

u(Cara frontal)2 − u(Cara posterior)

2 = 0. (6.42)

De forma analoga, para el coeficiente efectivo C55, se requieren de condiciones similares

para el plano de cizalla respectivo. Esto es, u1 = u3 = 0 en la lınea x1 = 0, x3 = 0 y

20Se hace especial mencion a las recomendaciones oportunas del Dr. Harald Berger en cuanto al metodoa seguirse a fin de implementar estas condiciones en ANSYS.

21El credito artıstico es de Karla Carmona Miranda. La convencion de ejes mostrada es x1, x2 y x3.

121

(I)

(II)

(III)

Figura 6.6.: Modelo y condiciones de elementos finitos para los modulos de corte C44 y C55

implementado en ANSYS. (I) Identificacion de las caras externas del VRA. (II)Condiciones impuestas al plano de cizalla x2 − x3 (coeficiente C44). (III) Similara (II), pero para el plano de cizalla x1 − x3 (coeficiente C55).

122

u2 = 0 en las caras paralelas al plano de cizalla (figura 6.6 IIIb)). Nodos acoplados en

la componente x del desplazamiento para las caras que contienen a la fibra (figura 6.6

IIc)) y; la ecuacion de restriccion

u(Cara izquierda)3 − u(Cara derecha)

3 = constante. (6.43)

A fin de obtener las ecuaciones de acoplamiento, es necesario que el malleo22 o dis-

cretizacion del modelo, se realice de manera que los nodos que vayan a quedar acoplados

y/o restringidos entre una y otra cara sean congruentes (Berger et al., 2005).

A manera de ejemplo, para los nodos mostrados en las figuras 6.6 IIb) y 6.6 IIId), si

la coordenada de un nodo cualquiera de la cara izquierda es (0, ny, nz) (0 ≤ ny ≤ b/a),

su contraparte o nodo objetivo, es el ubicado en la coordenada (1, ny, nz) sobre la cara

derecha. Mientras que los nodos de las figuras 6.6 IId) y 6.6 IIIb), la equivalencia serıa

(nx, b/a, nz) (0 ≤ nx ≤ 1) para la cara superior y (nx, 0, nz) en la cara inferior.

Para el caso de los coeficientes elasticos efectivos, C11, C22, C12, C13, C23, y el coe-

ficiente de corte C66, la simetrıa del VRA permite trabajar sobre el plano x1 − x2, im-

poniendo condiciones identicas a las descritas en el caso del laminado, siempre y cuando,

la direccion del plano de isotropıa, coincida con la direccion del eje de la fibra.

A diferencia de la propuesta de Berger et al. (2005), este trabajo intro-

duce esta simplificacion.

Finalmente, para el coeficiente efectivo C33, se empleo la relacion (3.62),

obtenida analıticamente. Esto es:

C33 =⟨C

(Υ)33

⟩+

‖C(Υ)13 ‖

‖C(Υ)11 + C

(Υ)12 ‖

C13 + C23 −

⟨C

(Υ)13 + C

(Υ)23

⟩(6.44)

demostrando con ello la relevancia de los desarrollos teoricos previos23.

22Meshing por su nombre en ingles.23En virtud de que se economiza una implementacion, computacionalmente costosa, en elementos finitos.

123

7. Implementacion de las soluciones

analıticas

7.1. Aspectos generales

Con la finalidad de evaluar los resultados analıticos obtenidos en capıtulos anterio-

res, se desarrollaron una serie de programas en Fortran 90 en un computador personal

con sistema operativo Linux Ubuntu a 64 bits1. Las diferentes funcionalidades de cada

programa y el control de entradas y salidas se integraron mediante programas para el

procesamiento por lotes o scripts desarrollados en dash2. Cada programa realiza una

tarea independiente en la estimacion numerica de las soluciones analıticas expuestas en

este trabajo.

Figura 7.1.: Estructura de directorios empleada.

Para organizar el codigo fuente, los programas ejecutables, las entradas y salidas del

proceso, se ideo la estructura de directorios mostrada en la figura 7.1.

En el subdirectorio src se localiza el codigo fuente y el archivo Makefile para compi-

larlo. A su vez, los archivos binarios (post-compilacion) se encuentran en el subdirectorio

1Version 8.04 LTS2Lenguaje Shell de la distribucion de Linux empleada. Otras alternativas mas conocidas son Bourne

Shell (bsh), Korn Shell (ksh) y C Shell (csh).

124

bin. Por otra parte, los datos de los materiales se toman de la carpeta database. Las

salidas se almacenan en la carpeta salidas. Por simplicidad en la navegacion, se intro-

dujo el enlace simbolico del subdirectorio bin al subdirectorio salidas. Los scripts de

ejecucion se encuentran localizados en la carpeta bin.

La organizacion de los diferentes modulos que comparten los programas se hizo toman-

do en consideracion dos aspectos: 1) El tipo de entrada y salida y, 2) la tarea a realizar.

En general, las entradas se clasifican en dos tipos: a) Datos de la geometrıa del VRA

y b) las propiedades de los constituyentes. Las primeras se ingresan directamente de la

lınea de comandos.

En cuanto a las propiedades de los constituyentes, estas se obtienen de un archivo de

texto plano, con 10 lıneas, y la siguiente estructura:

1. Los coeficientes elasticos C11, C12, C13, C33 y C44 para la matriz.

2. Los coeficientes elasticos C11, C12, C13, C33 y C44 para la fibra.

Cabe mencionar que se asume de forma implıcita que C22 = C11, C23 = C13, C55 = C44

y C66 = (C11 − C12)/2. A manera de ejemplo, las propiedades del composito de Dean y

Turner (1973) (matriz isotropa, fibra transversalmente isotropa) se enlistan como: 8.65,

4.75, 4.75, 8.65, 1.95, 20.4, 9.4, 10.5, 240 y 24, en cada lınea y sin espacios previos a la

cantidad o posteriores a la misma. Se asume tambien que las propiedades estan expre-

sadas en las mismas unidades.

En lo referente a las tareas que se ejecutan, estas se enlistan a continuacion:

1. Calculo de las sumas de red S2n y T2n+1 (n = 1, 2, 3, . . .).

2. Carga del archivo con las propiedades de los constituyentes.

3. Calculo de las constantes asociadas a cada problema local.

4. Armado de las matrices asociadas a cada problema local.

5. Calculo del/de los coeficiente(s) efectivo(s) asociados al problema local.

6. Generacion de salidas en formato CSV (archivo plano separado por comas).

125

Figura 7.2.: Diferentes tareas del proceso de calculo de las propiedades efectivas.

Las salidas que se generan son: Los nueve coeficientes de rigidez elastica efectiva, las

constantes de ingenierıa3 E1, E2, E3, G23, G13, G12 y las seis razones de Poisson efec-

tivas ν23, ν13, ν12, ν32, ν31 y ν21.

Debido a la necesidad de encadenar las diferentes salidas del proceso, se utilizan

archivos temporales que interconectan las diferentes tareas entre sı. El diagrama generi-

co de flujo se ilustra en la figura 7.2.

7.2. Control de salidas y configuracion

Con la finalidad de dar flexibilidad al archivo por lotes, se establecio un archivo de

configuracion generico (extension config) ubicado en la carpeta bin. Al igual que con

el archivo de propiedades, este archivo enlista los diferentes archivos temporales que los

programas pueden llegar a requerir en un momento dado; esto es, algunos de los progra-

mas pre-cargan el archivo de configuracion para posteriormente cargar la informacion

que llegasen a necesitar.

En su estado actual, el archivo config consta de seis lıneas con los nombres y exten-

siones de los siguientes archivos: 1) Archivo para almacenar las constantes de geometrıa

del VRA y las obtenidas directamente a partir de ellas: δ1, δ2, γ1 y γ2 (extension geom).

3Obtenidas a traves de la matriz de complianza elastica efectiva.

126

2) Archivo de almacenamiento de las sumas de red S2n (extension SS). 3) Archivo de al-

macenamiento de las sumas de red T2n+1 (extension ST). 4) Archivo de almacenamiento

de las propiedades de los constituyentes y de aquellas constantes que dependen tanto de

la geometrıa como de los constituyentes, por ejemplo: χm , χp, κ1, κ2, Aa, Ab, Ba, Bb,

etc. (extension params). 5) Archivo para almacenar la inversa de la matriz asociada a

cada problema local (extension imat) y; 6) un archivo para almacenar el vector de resul-

tados asociado a cada problema local (extension cvec). Por facilidad de procesamiento,

todos estos archivos estan sin formato4 (no son editables como texto) y se localizan en

el directorio bin.

Debido a que de antemano no se sabe la cantidad de sumas de red (S2n y T2n+1) que

se requieren para el calculo, es preciso estimar su numero5, cantidad que puede ajustarse

en el script modificando la variable NSUMAS6.

Otros parametros ajustables en el script de ejecucion son: 1) El nombre del archivo de

configuracion, 2) la precision por defecto7, 3) los nombres de los archivos temporales, 4)

los directorios de entrada (database) y salida (salidas) y, 5) el registro o log del proceso.

Se recomienda dejar la configuracion actual, con el esquema de nombres y directorios

mostrado en la figura 7.1.

El script de ejecucion esencial esta en el archivo caso puntual.sh, en la carpeta bin.

Con el, es posible ejecutar el calculo para una fraccion de volumen y razon de aspecto

dadas. Para el caso de que se desee estimar diferentes fracciones de volumen para una

misma razon de aspecto el script a ejecutarse es corrida aspecto.sh, en el mismo sub-

directorio.

A diferencia del primer script, el ultimo incluye un control mınimo para manejar el

caso de percolacion, V2 = π a/4 b (b/a ≥ 1). Introduciendo para ello las variables confi-

4Es decir, no se trata de archivos de texto plano, razon por la cual no hay necesidad de usar lainstruccion FORMAT en Fortran.

5Una implementacion mediante arreglos dinamicos, aunque viable, representa un control de entradasy salidas mas costoso en vez de definir arreglos de dimension pre-establecida.

6De momento, el numero de sumas se pre-fijo en 6000; aunque en calculos de baja precision puedenusarse entre 400 y 1200 sumas, dependiendo del VRA que se trate.

7Cantidad que se discute a continuacion.

127

gurables xeps y pi (el numero π). Esto se implemento ası, en virtud de que el caso de

percolacion es relativamente problematico8.

7.3. Criterio de convergencia empleado

7.3.1. Naturaleza del problema numerico

Para algunos calculos, como es el caso de las constantes δ1 y δ2, entre otras, el cri-

terio de convergencia empleado es el de Leibnitz. En terminos generales, dicho criterio

establece que el error aceptable en la sucesion de aproximaciones fn para una funcion f

sea:

|fn − fn−1| ≤ ε. (7.1)

Donde ε es un parametro positivo pequeno (ε << 1) y n ≥ 1 es el numero de iteracion,

comenzando con la aproximacion inicial f ≈ f0, obteniendo con ello, la serie convergente:

f ≈n∑i=0

fi (7.2)

El criterio de Leibnitz es util si se garantiza de antemano que:∣∣∣∣∣fn+1

fn

∣∣∣∣∣ < 1. (7.3)

Situacion que ocurre, de forma natural, en sucesiones similares a la sucesion hipergeo-

metrica, ası como en las sucesiones de la forma x, x2, x3, . . ., xn cuando |x| < 1.

La principal desventaja de este criterio estriba en que existen sucesiones en las que

|fn+1/fn| > 1, pero |fn+2/fn+1| < 1. Lo que equivale a asumir, de forma casi equivalente,

que |fn| < |fn+2| < |fn+1|.

Lamentablemente, esta situacion llega a ocurrir en la evaluacion de las funciones

elıpticas. A manera de ejemplo, considerese la evaluacion de las sumas de red S2n para el

caso b/a = 0.6 mostrada en la tabla 7.1 (Nava-Gomez, 2007), donde se aprecia, ademas

8A diferencia de otros casos, en la experiencia del autor, en los problemas planos el numero de sumasde red que se requieren para el caso de percolacion puede llegar a ser considerablemente grande sinobtener resultados numericamente satisfactorios.

128

de la alternancia del signo, la tendencia creciente de las sumas de red9.

Suma de red Valor aproximadoS4 16.81606788S6 –42.98736066S8 121.19148818S10 –328.58107956S12 921.62468313S14 –2550.20387971

Tabla 7.1.: Valores de algunas sumas de red S2n cuando b/a = 0.6.

Al respecto cabe preguntarse, ¿que se requiere para evaluar los coeficientes ηkl?

ηkl =(k + l − 1)!

k! l!Sk+l. (7.4)

En este caso, la apuesta consiste en asumir que el producto de factoriales (k! l!) cre-

cera mucho mas rapido que el valor absouluto del producto (k + l − 1)!Sk+l. Situacion

que es, hasta cierto punto, difıcil de justificar de forma directa10.

A diferencia del caso cuadrado, en donde las sumas de red (S2n o T2n+1) convergen a

4 y, mas importante aun, con S6, S10, S14, . . ., S4t+2 (t = 1, 2, 3, . . .) identicas a cero, la

evaluacion de los coeficientes ηkl requiere hacerse de forma indirecta; esto es, simplificar

primero el cociente (k + l− 1)!/k! l! y, posteriormente, evaluar el producto por la suma

de red respectiva. En caso opuesto, se corre el riesgo de salirse de los lımites numericos

definidos en Fortran11, siendo que el resultado final esperado es un numero real, cuyo

valor absoluto es, quizas, menor a la unidad.

¿Que garantiza que las soluciones pueden calcularse de forma convergente? Analizando

el sistema, se encuentra que los coeficientes ηkl y ρkl siempre estan multiplicados por una

9Cabe destacar que la evaluacion de las sumas de red S2n esta dada por series absolutamente con-vergentes, con excepcion del caso S2. Una situacion similar ocurre con las sumas de red T2n+1,absolutamente convergentes para el caso n > 1 , pero de difıcil evaluacion si n = 1 (suma T3).

10Una aproximacion rapida indicarıa que el producto de factoriales, para valores de k y l grandes, crececasi de manera exponencial, esto es O(k! l!) ≈ ek+l equivalente, digamos, a e2n si k = l = n. Por otraparte, en el mejor de los casos, con estas consideraciones, O(Sk+l) ≈ cn (siendo c una constante) yO ((k + l − 1)!) ≈ en; de manera que el lımite del cociente en cn/e2n cuando n es muy grande puedeverificarse, con el riesgo de que este sea una constante mayor o igual a 1 (serie divergente).

11Por ejemplo, que el producto k! l! nos arroje un numero muy grande, capaz de lanzar la excepcionde infinito, obteniendo ası un cero en donde no existe o, peor aun, que el producto (k + l− 1)!Sk+l

arroje la excepcion anterior, obteniendo un coeficiente, para Fortran, equivalente a infinito.

129

potencia de la forma R2n (n = 1, 2, 3, . . .), en virtud de que k y l siempre son impares.

Por otra parte, a partir del hecho de que R ≤ 1/2 para cualquier razon de aspecto, los

coeficientes wkl, rkl y gkl, son absolutamente convergentes aunque con signo alterno.

En virtud de la alternancia de signo, existe la posibilidad latente de que, si se aplica

el criterio de Leibnitz y se trunca la aproximacion, digamos, al termino fm, se omita un

termino fm+1 capaz de modificar sustancialmente la aproximacion. En otras palabras,

las aproximaciones para f son oscilatorias. Por otra parte, la evaluacion de rkl involu-

cra la suma de productos w(j+2) l wk (j+2) que, inherentemente, deben de incluir terminos

adicionales en la aproximacion o, en su defecto, un numero suficiente de sumas de red.

A partir de lo anterior, en las matrices de los sistemas que surgen, se procedio a

implementar un criterio de convergencia novedoso. Capaz de garantizar, con

ciertas limitaciones, que terminos adicionales no modifiquen el resultado. Por su natu-

raleza, se llamo a este criterio como convergencia por las potencias del radio, que

se discute en la seccion que sigue.

7.3.2. Convergencia por las potencias del radio

En terminos generales, la totalidad de los problemas matriciales a resolverse son de la

forma: (IC

+M)A ′ = R (7.5)

donde C es una constante (diferente a cero), I la matriz identidad, M una matriz

simetrica (ambas matrices de orden infinito), A ′ y R son, respectivamente, los vectores

de coeficientes y de resultados (tambien de orden infinito).

A lo largo de los capıtulos 4 y 5 se muestra que los coeficientes que forman el vector

A ′ estan escalados en terminos de las potencias del radio y pueden escribirse como:

A ′ =

Ra1

R3/√

3 a3

R5/√

5 a5

...

=

Rk1

R3 k3

R5 k5

...

. (7.6)

A su vez, la matriz M en su definicion, incluye las diferentes potencias pares del radio.

130

Lo anterior lleva implıcita la siguiente factorizacion:(IC

+M)A ′ = R

(IC

+M)K (7.7)

donde, el vector K posee la estructura R2(n−1) k2n−1 (n = 1, 2, 3, . . .).

Dado que el parametro R es menor a 1/2, cualquier aproximacion a un valor ε dado

estara limitada, naturalmente, por la respectiva potencia del radio. Por ejemplo, si se

desease una precision ε = 1 × 10−4, el numero aproximado de coeficientes kn+1 que se

requiere es ocho12.

De lo anterior se obtiene una aproximacion inicial con dimension finita al problema.

Esto es: (IC

+M)A ′ ≈

(I8

C+ M8

)A ′

8, (7.8a)

R ≈ R8. (7.8b)

Expresiones donde el subındice 8 indica la dimensionalidad del problema. Llamemos a

la solucion de este problema B(0)8 .

A continuacion, se procede a iterar el problema aumentando su dimensionalidad. Esto

puede realizarse de muchas formas, y establece lo que se conoce como tamano de paso

en el algoritmo. Por simplicidad, se escogio aumentar la dimension de 1 en 1, guardando

copias de los pasos anteriores, a fin de evitar re-calculos.

De lo anterior, se tiene la segunda aproximacion mediante el problema:(I9

C+ M9

)A ′

9 = R9 (7.9)

y ası sucesivamente.

Dado que las cifras significativas asociadas al problema involucran, cuando menos, los

coeficientes de la aproximacion inicial (8 en el ejemplo), se establece el siguiente criterio

de convergencia:

12Valor que puede deducirse a partir de la ecuacion (1/2)2(n−1)

= 1× 10−4 cuando el radio es 1/2.

131

Sea B(r)m el sub-vector de dimension m obtenido a la r-esima iteracion (r > 1) del

problema (7.5), requerido para obtener una solucion con k cifras significativas a partir

de las potencias del radio. El problema converge a una solucion si y solo si, para un

valor pequeno y positivo ε, en la iteracion r se verifica:

|B(r)m −B(r−1)

m | < εm. (7.10)

En donde el vector εm posee dimension m, y cada uno de sus elementos es el valor ε.

En el ejemplo anterior, a partir de la solucion A′9, se toma el sub-vector de dimension

8 × 1, B(1)8 , y se le compara con B

(0)8 . Si el valor absoluto de la diferencia, de cada

elemento, es menor al ε dado, el vector B(1)8 es solucion del problema. En caso opuesto,

se incrementa la dimension del problema de acuerdo al tamano de paso definido, esto es:(I10

C+ M10

)A ′

10 = R10, (7.11)

y se ejecuta la comparacion del sub-vector B(2)8 (primeros 8 coeficientes obtenidos para

A ′10) con el vector previo (B

(1)8 ).

7.3.3. Notas adicionales

Cierto es que en la formulacion analıtica, la totalidad de los coeficientes efectivos solo

dependen del primer coeficiente del sistema. No obstante, en terminos practicos, es mas

sencillo estimar las constantes ppc1 en los problemas planos, a partir del sub-vector a ′l+2

(l = 1, 3, 5, . . .) y con ello obtener los parametros ppϑ1 y ppϑ2 introducidos en el capıtulo

5.

Por otra parte, en apariencia, el metodo se refiere al vector A ′ en vez del vector Kintroducido en (7.7). Al respecto, cabe precisar que, en general, el primer termino del

vector de resultados, R, esta multiplicado por el radio. Por este motivo, el numero de

coeficientes que deben de converger se estima partir de K en vez de A ′.

El metodo descrito anteriormente garantiza, parcialmente, que las oscilaciones pre-

sentes en esta aproximacion no sean decisivas entre las diferentes iteraciones. Esto es, en

virtud de la regularidad de los coeficientes empleados. En otras palabras, los coeficientes

wkl, gkl y rkl, siempre son decrecientes. De manera que el sistema (7.5), converge con-

forme se incrementa la dimension. En otras palabras, los ultimos renglones se parecen,

132

cada vez mas, a un problema de la forma:

I A = C R. (7.12)

Cabe destacar que, para todos los problemas (planos y anti-planos), si l >> 1, el sub-

vector R es, en terminos practicos, un vector de ceros. De manera que los coeficientes

a ′l se anulan numericamente.

No obstante las bondades del criterio de convergencia, existe una fuerte depen-

dencia de la aproximacion del numero de coeficientes requeridos inicialmente.

Con la finalidad de reducir tiempos de calculo y poder manejar potencias del radio

cercanas a cero, la aproximacion se hizo pre-fijando el numero mınimo de coeficientes

en 5 y empleando R4n en la aproximacion inicial en vez de R2(n−1). El algoritmo final

se detalla a continuacion, en el cual, la variable entera mat dimmin es 5:

INTEGER FUNCTION estimar_dimension(radio, u_eps)

IMPLICIT NONE

REAL(KIND=double), INTENT(IN) :: radio, u_eps

! Internas

REAL(KIND=double) :: val

INTEGER :: m, n

n = 1

val = radio

DO WHILE (val .GE. u_eps)

val = radio*val

n = n + 1

END DO

! Primera division R**(2n) = eps

IF ( MODULO(n,2) .EQ. 0) THEN

m = n/2

ELSE

m = (n+1)/2

END IF

! Segunda division

IF ( MODULO(m,2) .EQ. 0) THEN

n = m/2

ELSE

n = (m+1)/2

END IF

IF (n .LT. mat_dimmin) THEN

PRINT*," (WARNING!) Dimension inicial de matriz es: ",n

PRINT*,"La dimension inicial minima esta fijada en: ", mat_dimmin

n = mat_dimmin

END IF

estimar_dimension = n

END FUNCTION estimar_dimension

133

7.4. Instalacion y ejecucion de los programas

7.4.1. Pre-requisitos

A fin de poder compilar los programas proporcionados se requiere tener instalados en el

equipo Linux las utilidades make, gawk y gfortran. Dependiendo de la distribucion que

se use, estas pueden descargarse a partir de las herramientas del sistema con privilegios

especiales. Se requiere tener conexion a Internet o, en su defecto, los discos de instalacion

a fin de descargar estas utilerıas.

7.4.2. Instalacion

La totalidad de los programas en la estructura de directorios se proporciona en el

archivo coeficientes.tar para sistemas Linux. A fin de extraerlo se recomienda crear

una carpeta especıfica para ello y, dentro de esta carpeta, descargar el archivo. Hecho

esto, desde una terminal, hay que ejecutar el comando:

$tar -xvf coeficientes.tar

Lo cual, creara la estructura de directorios y extraera los archivos de forma automatica

en cada uno de ellos. El inventario inicial es el siguiente:

Carpeta bin:

caso puntual.sh corrida aspecto.sh percolaciones.sh

caso puntual.config pvalues

Carpeta database:

dean y turner matriz auxetica

fibra auxetica levy y papazian

Carpeta src:

algebra.f90 Makefile salidaC.f90 coef efectivos.f90

elementos.f90 materiales.f90 tokenize.f90 constantes.f90

eng constants.f90 matrices locales.f90 datos.f90 geometria.f90

nativas.f90 defs.f90 no fibra.f90 aniso chip.f90

134

Verificado lo anterior, desde la carpeta src se ejecuta el comando:

$make

con ello se compilan los programas y se generan los diferentes archivos binarios requeri-

dos. Todos ellos quedan en la carpeta bin. El inventario de esta carpeta al finalizar este

proceso es13:

Carpeta bin:

caso puntual.sh corrida aspecto.sh geometria

percolaciones.sh caso puntual.config materiales

matrices locales coef efectivos eng constants

no fibra salidaC pvalues

aniso chip

7.4.3. Ejecucion de los programas

En general, cada archivo con extension sh posee ayuda suficiente a fin de conocer

como se ejecuta. A manera de ejemplo, al ejecutar desde una terminal en la carpeta bin

la instruccion:

$sh caso puntual.sh

Se mostraran todos los parametros (opcionales o no) requeridos. Ası, para el caso del

script de ejecucion caso puntual.sh se requieren los siguientes argumentos en la lınea

de comandos:

$sh caso puntual.sh <aspecto> <volumen> <propiedades> [epsilon]

Donde el argumento entre corchetes [.] indica que se trata de un parametro opcional.

A manera de ejemplo, si se desea calcular el composito de Dean y Turner (1973), para

el caso cuadrado y con fraccion de volumen para la fibra de 0.176 unidades, usando la

precision por defecto, se introduce la instruccion siguiente:

$sh caso puntual.sh 1 0.176 dean y turner

Y los resultados del calculo, como se indica en la pantalla, se almacenan en el archivo

salidas/puntual.out. Un vistazo a esta salida es el siguiente:

13Cabe mencionar que al interior de la carpeta src se generan diferentes archivos intermedios, por cadaprograma hay un archivo objeto, con extension .o y, para algunos programas, se generan los archivosde modulo de Fortran 90, con extension .mod.

135

1, 1.0000, 0.1760, 9.8147, 5.2058, 5.3182

2, 1.0000, 0.1760, 5.2058, 9.8147, 5.3182

3, 1.0000, 0.1760, 5.3182, 5.3182, 49.0564

4, 1.0000, 0.1760, 2.6360

5, 1.0000, 0.1760, 2.6360

6, 1.0000, 0.1760, 2.2511

En este formato de salida cada renglon indica el problema local (primer columna).

La segunda y tercer columnas representan, respectivamente, la razon de aspecto y la

fraccion de volumen de la fibra. Los numeros restantes corresponden a las propiedades

efectivas (en las unidades de la entrada), en el orden siguiente:

Reglon Columna 4 Columna 5 Columna 6

1 C11 C12 C13

2 C21 C22 C23

3 C31 C32 C33

4 C44

5 C55

6 C66

A su vez, se genera el archivo eng puntual.out con la estructura siguiente:

1.0000, 0.1760, 6.9184, 6.9184, 45.2904, 2.6360,

2.6360, 2.2511, 0.5011, 0.0541, 0.0541, 0.5011,

0.3541, 0.3541

En este caso se trata de un archivo con 14 columnas14. Dependiendo de la resolucion

de salida de la terminal (numero de caracteres por fila) el escalonamiento que se muestra

puede estar presente de diferentes formas. Al igual que la salida anterior, las primeras

dos columnas estan reservadas a la geometrıa del VRA. El orden de los coeficientes que

aparecen es: Ex, Ey, Ez, Gzy, Gzx, Gxy, νxy, νxz, νyz, νyx, νzx y νzy, respectivamente.

El caso del script corrida aspecto.sh es similar al anterior, con la diferencia de que

es necesario introducir el incremento en la fraccion de volumen de la fibra en vez de V2.

Ası, la invocacion desde la lınea de comandos es:

$sh corrida aspecto.sh <aspecto> <propiedades> <incremento> [epsilon]

A manera de ejemplo, para ejecutar el caso del composito con constituyentes isotropos

similares a los reportados en Levy y Papazian (1990), cuando la razon de aspecto es de

1.25, en incrementos de volumen ∆V2 = 0.05 y, con el valor ε por defecto; es necesario

14La salida en escalera mostrada es lo que se verıa en pantalla.

136

ejecutar la instruccion:

$sh corrida aspecto.sh 1.25 levy y papazian 0.05

En este caso, las salidas que se producen estan en los archivos C corrida.out y

ENG corrida.out. La primera de ellas es para los coeficientes efectivos de la matriz de

rigidez elastica, la segunda son los modulos elasticos efectivos empleados en Ingenierıa

(tomados de la matriz de complianza).

A diferencia del caso puntual, los archivos de salida estan en un formato distinto, listo

para importarse en una hoja de calculo. En este caso, el archivo de salida C corrida.out

posee 14 columnas separadas por coma. Nuevamente, las primeras dos de ellas son para

la razon de aspecto y la fraccion de volumen V2, mientras que las restantes son para los

coeficientes efectivos. Cabe destacar que el primer renglon indica el encabezado de cada

columna.

Para el ejemplo anterior, omitiendo la primer columna y algunos espacios presentes en-

tre columnas (a fin de poder mostrar la salida) el contenido del archivo que se obtiene es:

Volumen,C11,C12,C13,C21,C22,C23,C31,C32,C33,C44,C55,C66

0.0000,108.0000,53.0000,53.0000,53.0000,108.0000,53.0000,53.0000,53.0000,108.0000,27.5000, 27.5000,27.5000

0.0500,113.8836,55.0352,54.2658,55.0352,113.8012,54.2526,54.2658,54.2526,128.6418,29.6484, 29.6994,29.2522

0.1000,120.5068,57.0346,55.6440,57.0346,120.1340,55.5844,55.6440,55.5844,149.3143,31.9183, 32.1395,31.0243

0.1500,128.0022,58.9832,57.1536,58.9832,127.0491,57.0013,57.1536,57.0013,170.0213,34.3208, 34.8628,32.8465

0.2000,136.5339,60.8673,58.8185,60.8673,134.5984,58.5091,58.8185,58.5091,190.7678,36.8694, 37.9235,34.7527

0.2500,146.3073,62.6765,60.6699,62.6765,142.8335,60.1147,60.6699,60.1146,211.5596,39.5811, 41.3929,36.7826

0.3000,157.5838,64.4088,62.7493,64.4088,151.8040,61.8254,62.7493,61.8254,232.4047,42.4774, 45.3675,38.9847

0.3500,170.7006,66.0782,65.1128,66.0782,161.5556,63.6510,65.1128,63.6510,253.3136,45.5861, 49.9822,41.4195

0.4000,186.0970,67.7288,67.8377,67.7287,172.1300,65.6051,67.8377,65.6051,274.3008,48.9428, 55.4343,44.1667

0.4500,204.3521,69.4585,71.0321,69.4585,183.5686,67.7100,71.0321,67.7100,295.3871,52.5937, 62.0285,47.3369

0.5000,226.2337,71.4551,74.8489,71.4550,195.9271,70.0046,74.8488,70.0045,316.6033,56.5975, 70.2738,51.0961

0.5500,252.7651,74.0418,79.5032,74.0418,209.3133,72.5577,79.5032,72.5577,337.9946,61.0291, 81.1284,55.7230

0.6000,285.3635,77.7188,85.3017,77.7192,223.9493,75.4850,85.3017,75.4849,359.6286,65.9848, 96.8442,61.7940

0.6281,307.1464,80.5275,89.2325,80.5274,232.8691,77.3597,89.2323,77.3595,371.9386,69.0474,110.4467,66.4748

Con lo anterior, es posible representar graficamente la dependencia de la propiedad

efectiva en funcion de la fraccion de volumen V2. Por otra parte, la portabilidad del

formato permite identificar, desde una hoja de calculo, patrones y relaciones relevantes

como es, por ejemplo, el ındice de anisotropıa C44/C55, ası como las comparaciones

C12 = C21, C13 = C31 y C23 = C32, necesarias en la validacion del calculo realizado.

137

El ultimo script de ejecucion que se proporciona, percolaciones.sh, es similar al em-

pleado para un calculo puntual, con la diferencia de que se introduce un multiplicador,

menor a 1, para el volumen de percolacion Vp.

La utilidad de este script consiste en obtener calculos en terminos de fracciones rep-

resentativas del volumen de percolacion para una razon de aspecto dada. La invocacion

de este script desde la lınea de comandos es:

$sh percolaciones.sh <propiedades> [multiplicador]

Donde el multiplicador por defecto es 1.

A diferencia de los otros scripts, el valor ε de calculo no se deja abierto al usuario.

Por otra parte, se requiere una entrada adicional que le indique la razon de aspecto y

el valor del volumen de percolacion. La entrada adicional se proporciona en el archivo

pvalues, ubicado al interior de la carpeta bin.

Dependiendo del interes del usuario, el archivo pvalues puede editarse para diferentes

escenarios. En la instalacion se proporciona el que se requiere para generar la grafica

para el ındice de anisotropıa reportada en Nava-Gomez et al. (2010)15, en donde se em-

plean los constituyentes del composito de Dean y Turner (1973). El contenido de este

archivo corresponde a la primera y tercer columnas de la tabla 7.2. Esto es:

$sh percolaciones.sh dean y turner

En este ejemplo, las salidas de interes que se producen son: PC 100 dean y turner.out

y PENG 100 dean y turner.out. Esta nomenclatura de archivos de salida obedece al

formato:

### <constituyentes>

con prefijos PC (coeficientes de rigidez elastica) y PENG (constantes de ingenierıa). El

numero que se da (100 en el ejemplo) corresponde al multiplicador empleado mutiplica-

do por 100. El indicador <constituyentes> representa el archivo con las propiedades

de los constituyentes empleado.

Las salidas poseen el mismo formato que el caso del script corrida aspecto.sh, con

la diferencia de que la primer columna (razon de aspecto), varıa. Ası, para reconstruır

por completo el grafico 4b) de Nava-Gomez et al. (2010), basta ejecutar, ademas de la

anterior, las siguientes dos instrucciones:

15Figura 4b) del artıculo en comento.

138

Razon Volumen de Valor Valorde aspecto percolacion empleado redondeado

(b/a) (Vp) (4 decimales) (5 decimales)0.1 π/40 0.0784 0.078540.2 π/20 0.1570 0.157080.3 3π/40 0.2355 0.235620.4 π/10 0.3141 0.314160.5 π/8 0.3926 0.392700.6 3π/20 0.4712 0.471240.7 7π/40 0.5497 0.549780.8 π/5 0.6282 0.628320.9 9π/40 0.7068 0.706861.0 π/4 0.7853 0.78540

Tabla 7.2.: Valores de percolacion empleados para el calculo del ındice de anisotropıa en Nava-Gomez et al. (2010). La regla de aproximacion a Vp consiste en observar si elquinto decimal es mayor a 5 (columna 4), entonces se usan los cuatro decimalesanteriores; en caso opuesto, del redondeo a 4 decimales se resta 1/10000.

$sh percolaciones.sh dean y turner 0.75

$sh percolaciones.sh dean y turner 0.50

y, posteriormente, pasar a una hoja de calculo los archivos que se obtienen. En la hoja

de calculo es posible obtener el cociente C44/C55 en funcion de la razon de aspecto. El

resultado de este ejercicio se muestra en la tabla 7.3.

Razon de aspectoIndice de anisotropıa

V2 ≈ Vp V2 ≈ 0.75Vp V2 ≈ 0.50Vp0.1 1.476 1.136 1.0480.2 1.866 1.245 1.0860.3 2.153 1.324 1.1140.4 2.346 1.374 1.1320.5 2.436 1.396 1.1400.6 2.430 1.389 1.1370.7 2.316 1.350 1.1230.8 2.085 1.277 1.0970.9 1.706 1.164 1.0571.0 1.000 1.000 1.000

Tabla 7.3.: Indice de anisotropıa en funcion de la razon de aspecto. Los constituyentes son losempleados por Dean y Turner (1973). El calculo que se muestra es una correc-cion a la reportada por Nava-Gomez et al. (2010). El origen de la diferencia es laevaluacion de las constantes δ1 y δ2.

139

7.4.4. Notas finales

El conjunto de programas desarrollados posee caracterısticas adicionales como es el

manejo de archivos de registro o archivos log a lo largo de la ejecucion de cada script. Por

otra parte, el detalle de lo que hace cada programa de Fortran se incluye en la cabecera

del mismo. No obstante, por su relevancia, es importante aclarar algunos aspectos de los

programas algebra.f90 y tokenize.f90.

En el primero de ellos, la rutina matriz inversa se adapto del algoritmo para el

calculo de la inversa a partir del metodo de Gauss-Jordan. Este algoritmo se encuentra

en la Web bajo la direccion:

http://www.dreamincode.net/code/snippet1272.htm

El programa tokenize.f90 es un modulo para Fortran 90 de dominio publico. Su

funcion consiste en interpretar una entrada de texto con algun separador o token, a

fin de asociarlo a algun tipo de dato pre-definido16. La direccion Web donde puede

descargarse el modulo es:

http://www.koders.com/fortran/fid8D1B7844C069BF38FEBAA77099104F3A88DF5D0D.aspx?s=CSV#L36

Actualizacion: El binario aniso chip no posee script de ejecucion. El proposito de

este programa es calcular la variacion del cociente C44/C55 para un rango de razones

de aspecto a partir de un parametro χp dado. Con el, es posible reconstruır una de las

graficas publicadas en Nava-Gomez et al. (2010).

16El archivo CSV es un ejemplo de ello. Las comas son los tokens que separan cada campo.

140

8. Resultados y discusion I:

Constituyentes convencionales y

anisotropıa

8.1. Material compuesto de referencia

Para comparar las soluciones obtenidas por el MHA y el MEF, es necesario establecer

una referencia comun que, preferentemente, se encuentre reportada en la literatura. Al

respecto, se establece como punto de comparacion el material compuesto formado por

una matriz isotropa de resina epoxy LY558 reforzada por fibras de carbon Modmor1 tipo

2, transversalmente isotropas, reportada por Dean y Turner (1973). Las propiedades de

estos constituyentes se muestran en la tabla 8.1. Los datos experimentales se reproducen

en la tabla 8.2.

Coeficientes de rigidez elastica (GPa)C11 = C22 C33 C44 = C55 C66 C13 = C23 C12

Matriz 8.65 8.65 1.95 1.95 4.75 4.75Fibra 20.4 240 24 5.5 10.5 9.4

Tabla 8.1.: Coeficientes de rigidez elastica para los constituyentes del composito de Dean yTurner (1973). La matriz es la resina epoxy isotropa LY558 de Ciba. Las fibrasson de carbon Modmor tipo 2, transversalmente isotropas. El eje de las fibras seestablece paralelo a la direccion x3. La mesocelda se asume con razon de aspectounitaria (VRA cuadrado).

La eleccion de esta referencia se debe a que, en el trabajo de Rodrıguez-Ramos et al.

(2001), se realiza una comparacion similar para el caso del VRA cuadrado empleando el

MHA. Por ende, es de esperarse que los resultados obtenidos por el MEF sean acordes

tanto a la implementacion aquı realizada para el caso particular b/a = 1, ası como los

1Proporcionadas a los citados autores por Fothergill and Harvey Ltd. y Morganite Ltd.

141

resultados obtenidos previamente en el artıculo en comento.

Coeficiente de rigidez elastica efectiva Razon de Poisson

V2 C11 C22 C33 C44 C66 C12 C23 ν13 ν31 ν12

( %) (GPa) (adim)

35 11.5 11.2 3.8 2.7 5.8

36 11.5 10.9 116 4.25 2.6 5.7 5.8 0.34 0.03 0.53

47 12.7 12.2 117 4.6 3.0 6.5 6.7 0.35 0.03 0.51

48 12.4 125 4.8 5.5 0.29 0.02 0.51

58 13.3 146 6.5 3.3 6.7 4.8 0.24 0.02 0.50

59 13.7 142 5.9 5.2 0.25 0.02 0.51

62 14.4 13.6 150 6.2 3.5 6.6 9.6 0.48 0.03 0.46

63 14.6 14.1 152 6.9 3.5 7.1 4.9 0.23 0.02 0.50

68 14.7 170 7.25 6.1 0.28 0.02 0.49

69 15.4 14.7 167 7.4 7.3 0.33 0.02 0.49

72 15.2 171 7.7 3.9 7.4 8.3 0.37 0.03 0.47

Tabla 8.2.: Resultados experimentales reportados por Dean y Turner (1973).

Las figuras 8.1(a) y 8.1(b) muestran, respectivamente, los resultados obtenidos por el

MHA y el MEF para los coeficientes elasticos efectivos C22 y C33 cuando la razon de

aspecto es unitaria. Como se aprecia, ambos metodos proporcionan resultados similares

en este caso y coinciden, relativamente, con el resultado obtenido experimentalmente

por Dean y Turner (1973). Las predicciones para el coeficiente C22 siguen la misma ten-

dencia que los valores experimentales, con poca sobre-estimacion.

El resultado obtenido para los coeficientes de elasticos de corte C44 y C66 se muestra,

respectivamente, en las figuras 8.2(a) y 8.2(b). Estos casos son de interes particular en

la simulacion de elementos finitos, de acuerdo a lo expuesto en el capıtulo 6. Como se

aprecia, para el caso de C44 (problema anti-plano), las predicciones MHA y MEF de

ambos coeficientes poseen la misma tendencia y coinciden para casi todas las fracciones

de volumen, exceptuando aquellas cercanas a la percolacion, en donde la prediccion

MHA difiere un poco. Esta situacion tambien se aprecia en la correspondencia de ambas

predicciones contra los datos experimentales. Para el caso de C66, la coincidencia entre

el MEF y el MHA mejora bastante, guardando una adecuada correspondencia con los

datos experimentales. En el ultimo caso, los resultados de Dean y Turner (1973) son

ligeramente superiores a las predicciones.

142

(a)

(b)

Figura 8.1.: Coeficientes efectivos C22 y C33 en funcion de V2 para el material compuestode Dean y Turner (1973) (b/a = 1). Se muestran los resultados obtenidos por elMHA, el MEF y los valores experimentales. El coeficiente C33 en elementos finitosha sido calculado con la relacion (6.44) a partir de los resultados obtenidos pordicho metodo.

143

(a)

(b)

Figura 8.2.: Coeficientes efectivos de corte C44 y C66 en funcion de V2 para el material com-puesto de Dean y Turner (1973) (b/a = 1). Se muestran los resultados obtenidospor el MHA, el MEF y los valores experimentales.

144

El caso de los coeficientes efectivos de rigidez elastica C12 y C23 = C13 se muestra en

las figuras 8.3a) y 8.3b), respectivamente. Como se observa, en ambas figuras el acuerdo

existente entre el MEF y el MHA es excelente. En cuanto a la coincidencia contra los

datos experimentales, la primer figura exhibe concordancia en cuanto a la tendencia. No

obstante, para el caso del coeficiente efectivo C23, los datos experimentales (mostrados

en la tabla 8.2), poseen demasiada dispersion. Al respecto, tanto Dean y Turner (1973)

como Rodrıguez-Ramos et al. (2001), argumentan la posibilidad de que existiese error

en la medicion experimental, en particular, para el coeficiente C13.

De lo anterior, es de esperarse que la razon de Poisson efectiva ν13 presente discor-

dancias al compararsele contra los resultados experimentales. Esta situacion se verifica

con facilidad en la grafica mostrada en la figura 8.4. A efectos de calculo, la razon de

Poisson se obtiene mediante la formula:

ν13 = −S13

S33

=C13

C11 + C12

. (8.1)

Por otra parte, un aspecto interesante de la figura 8.4 consiste en que ambas predic-

ciones (MHA y MEF) establecen que la razon de Poisson ν13 es, aproximadamente cons-

tante2. Esto es, sin importar el volumen de fibra que se introduzca, ν13 ≈ 0.35. Teniendo

con ello concordancia entre ambos metodos.

La variacion de las razones de Poisson efectivas ν31 y ν12 en terminos del volumen de la

fibra se ilustra en las figuras 8.5a) y 8.5b), respectivamente. Para el caso transversalmente

isotropo, las razones de Poisson en comento se obtienen a partir de las relaciones:

ν31 = −S13

S11

=C13 (C11 − C12)

C11C33 − C213

, (8.2a)

ν12 = −S12

S11

=C12C33 − C2

13

C11C33 − C213

. (8.2b)

En las cuales, se observa la dependencia del coeficiente de rigidez C13.

Para ν31 es notorio que, en ambos casos, la tendencia aparentemente uniforme de los

datos experimentales, se verifica en el rango 0.35 ≤ V2 ≤ 0.72, indistintamente del valor

2Una leve variacion se nota solo si se emplean 4 cifras significativas.

145

(a)

(b)

Figura 8.3.: Coeficientes efectivos de corte C12 y C23 en funcion de V2 para el material com-puesto de Dean y Turner (1973) (b/a = 1). Se muestran los resultados obtenidospor el MHA, el MEF y los valores experimentales.

146

Figura 8.4.: Razon de Poisson efectiva ν13 en funcion de V2 para el material compuesto deDean y Turner (1973) (b/a = 1). Se muestran los resultados obtenidos por elMHA, el MEF y los valores experimentales. La discrepancia aparente se comentaen el texto.

experimental obtenido para C13 = C23.

A su vez, otro aspecto relevante en las figuras 8.5a) y 8.5b) consiste en la aparente

competencia existente entre estas dos razones de Poisson. Es decir, conforme ν31 va dis-

minyendo, ν12 aumenta, llegando a tener valores cercanos a 1/2, lımite del caso isotropo3.

Para el caso de ν12 (figura 8.5b)), se aprecia una cauda conforme V2 se acerca al valor

de percolacion Vp = π/4, obtenida por ambos metodos. Este resultado difiere un poco

con el reportado por Rodrıguez-Ramos et al. (2001). Esto quizas se debe al criterio de

convergencia empleado en las evaluaciones para el MHA, discutido a detalle en el sexto

capıtulo.

Con los elementos anteriores, es claro que la hipotesis se verifica para el caso b/a = 1

cuando los constituyentes son los enunciados en la tabla 8.1. Teniendo una concordancia

adecuada cuando se les compara contra los datos experimentales reportados por Dean y

Turner (1973) y el resultado teorico publicado por Rodrıguez-Ramos et al. (2001).

3Dentro del rango aproximado 0.14 ≤ V2 ≤ 0.21.

147

(a)

(b)

Figura 8.5.: Razones de Poisson efectivas ν31 y ν12 en funcion de V2 para el material compuestode Dean y Turner (1973) (b/a = 1). Se muestran los resultados obtenidos por elMHA, el MEF y los valores experimentales.

148

Figura 8.6.: Volumenes representativos de analisis para los casos b/a < 1 y b/a > 1. La relacionentre los coeficientes efectivos, tomando como base el caso b/a < 1, y su recıproco(a/b > 1), se indica en las matrices.

8.2. Comparacion MHA-MEF para el caso rectangular

A fin de verificar la hipotesis para el caso b/a 6= 1, por claridad, se opto por efectuar

primero la comparacion de los resultados obtenidos empleando los mismos constituyentes

de la seccion anterior (tabla 8.1). A diferencia del caso anterior, el material compuesto

que se obtiene exhibira, de acuerdo al principio de Neumann (Nowick, 2005; Fuentes y

Fuentes, 2008), simetrıa de propiedades elasticas ortotropa.

Cabe mencionar que existe una relacion entre los coeficientes de rigidez elastica efec-

tiva para los casos 0 < b/a < 1 y b/a > 1. Esto es, al intercambiar los ejes 1 y 2, los

resultados que se obtienen son, con la diferencia del intercambio de ındices que debe de

efectuarse, numericamente hablando, equivalentes. Esta relacion se ilustra en la figura

8.6.

La relevancia de lo anterior estriba en que, las evaluaciones hechas por el MHA para

el caso b/a > 1 son numericamente mas estables que en el caso recıproco (b/a < 1). Por

otra parte, en cuanto a la implementacion en elementos finitos, a partir del hecho que:

C44(b/a) = C55(a/b) (8.3)

el numero de programas a implementarse en APDL4, se disminuye para el caso anti-

plano.

4ANSYS Parametric Design Language.

149

La figura 8.7 muestra los resultados obtenidos para los coeficientes de rigidez elastica

C11 y C22 cuando la razon de aspecto es5 b/a = 1.25 o 5/4 y su comparacion con el caso

b/a = 1 mostrado con anterioridad en la figura 8.1a). Como era de esperarse, C11 6= C22,

debido a que se trata de un material compuesto ortotropo. Es importante aclarar que, en

este caso el volumen de percolacion es Vp = π/5 ≈ 0.6283, motivo por el cual las curvas

mostradas para el caso rectangular son mas cortas en comparacion con el caso cuadrado.

Figura 8.7.: Resultados obtenidos para C11 y C22 cuando b/a = 5/4. Los constituyentes sonlos reportados por Dean y Turner (1973). Las leyendas Cuad y Rect denotan, res-pectivamente, los casos rectangular y cuadrado obtenidos por el metodo indicado.

Analogamente, los resultados obtenidos para los coeficientes de rigidez elastica efec-

tivos C13 y C23 se muestran en figura 8.8a), verificando que C13 6= C23, con una corres-

pondencia adecuada entre las predicciones realizadas por ambos metodos. Las predic-

ciones para los coeficientes de cizalla anti-planos, C44 y C55, se muestran en la figura

8.8b). En ella, la correspondencia de resultados entre las metodologıas empleadas es

adecuada, mostrando pequenas diferencias para valores de V2 cercanos a la percolacion.

De nueva cuenta, se observa el resultado esperado, C44 6= C55. El conjunto de figuras

8.7, 8.8a) y 8.8b) son evidencia que indica la ortotropıa del composito.

5A manera de desambiguacion y en lo sucesivo, a menos que se indique lo contrario, al enunciarel coeficiente siempre nos referiremos al caso para la razon de aspecto indicada, en el orden pre-establecido para los coeficientes. Es decir, si C11 = 2.5 GPa y C22 = 2.1 GPa cuando b/a = 1.25, elcaso recıproco, a/b = 0.8, es C11 = 2.1 GPa y C22 = 2.5 GPa, respectivamente.

150

(a)

(b)

Figura 8.8.: Resultados obtenidos para (a) C13 y C23 y, (b) C44 y C55 cuando b/a = 5/4. Losconstituyentes son los reportados por Dean y Turner (1973). Las leyendas Cuad yRect denotan, respectivamente, los casos rectangular y cuadrado obtenidos por elmetodo indicado.

151

El caso del coeficiente de rigidez elastica efectivo C66 es muy interesante, esto es en

virtud de que, practicamente, las predicciones son similares a las reportadas para el caso

cuadrado. A fin de observar una diferencia relativamente notable6 se opto por tabular los

resultados en la tabla 8.3, donde se aprecia, un leve incremento para el caso rectangular

respecto al cuadrado conforme V2 se aproxima al volumen de percolacion Vp = π/5. Es

de considerar el hecho de que, para los valores tabulados, el MEF no muestra este hecho7.

V2

Rectangular Cuadrado

C66 MEF C66 MHA C66 MEF C66 MHA

0.00 1.950 1.950

0.05 2.032 2.034 2.034 2.034

0.10 2.112 2.118 2.117 2.119

0.15 2.193 2.203 2.201 2.205

0.20 2.277 2.291 2.288 2.294

0.25 2.365 2.383 2.379 2.387

0.30 2.460 2.479 2.477 2.484

0.35 2.564 2.582 2.582 2.587

0.40 2.678 2.693 2.697 2.698

0.45 2.803 2.814 2.823 2.818

0.50 2.942 2.949 2.963 2.951

0.55 3.095 3.101 3.119 3.099

0.60 3.264 3.277 3.293 3.267

0.62 3.336 3.357 3.340

0.628 3.392

0.65 3.488 3.460

0.70 3.707 3.689

0.75 3.955 3.970

0.78 4.121 4.178

0.785 4.218

Tabla 8.3.: Resultados comparables obtenidos para C66, casos rectangular (b/a = 5/4) y cuadra-do (b/a = 1). Los constituyentes son los empleados por Dean y Turner (1973). Loscoeficientes efectivos se encuentran en GPa.

La similitud entre los casos cuadrado y rectangular se explica a partir del hecho de que,

para el caso cuadrado, el composito exhibe simetrıa de propiedades elasticas tetragonal

6Empleando un redondeo a 3 decimales en el calculo.7Comparense los casos rectangular y cuadrado cuando V2 = 0.6, por ejemplo. Para el MEF C66(b/a =

1) > C66(b/a = 5/4), mientras el MHA reporta lo opuesto.

152

(grupo 4/mmm). Esto es, la relacion:

C66 =C11 − C12

2, (8.4)

ya no es aplicable. Resultado que se anticipa en Dean y Turner (1973) y Rodrıguez-

Ramos et al. (2001).

V2Rectangular Cuadrado

C12 MEF C12 MHA C12 MEF C12 MHA

0.00 4.750 4.750

0.05 4.877 4.877 4.877 4.877

0.10 5.005 5.005 5.006 5.006

0.15 5.134 5.135 5.137 5.137

0.20 5.266 5.266 5.270 5.270

0.25 5.401 5.401 5.406 5.407

0.30 5.539 5.540 5.547 5.548

0.35 5.684 5.685 5.694 5.695

0.40 5.839 5.840 5.849 5.851

0.45 6.005 6.008 6.015 6.017

0.50 6.192 6.194 6.197 6.198

0.55 6.402 6.403 6.395 6.398

0.60 6.641 6.643 6.619 6.622

0.62 6.751 6.748 6.721

0.628 6.793

0.65 6.876 6.879

0.70 7.169 7.174

0.75 7.516 7.516

0.78 7.762 7.748

0.785 7.790

Tabla 8.4.: Resultados comparables obtenidos para C12, casos rectangular (b/a = 5/4) y cuadra-do (b/a = 1). Los constituyentes son los empleados por Dean y Turner (1973). Loscoeficientes efectivos se encuentran en GPa.

Para el coeficiente efectivo C12 se observa una situacion parecida a la expuesta previa-

mente; es decir, es necesario tabular los datos debido a su similitud con el caso cuadrado.

No obstante, a diferencia de los resultados obtenidos para el coeficiente C66, el acuer-

do que existe entre los resultados reportados por ambas metodologıas para los casos

b/a = 5/4 y b/a = 1 es sorprendente, llegando incluso a reportar resultados identicos al

milesimo. La tabla 8.4 expone esta situacion.

153

V2Rectangular Cuadrado Estimador de

C33 MHA C33 MEF C33 MEF C33 MHA Voigt

0.00 8.650 8.650 8.650

0.05 20.122 20.122 20.122 20.122 20.218

0.10 31.599 31.599 31.599 31.599 31.785

0.15 43.083 43.083 43.083 43.083 43.353

0.20 54.572 54.572 54.572 54.572 54.920

0.25 66.069 66.069 66.069 66.069 66.488

0.30 77.574 77.573 77.573 77.573 78.055

0.35 89.087 89.086 89.084 89.085 89.623

0.40 100.610 100.609 100.606 100.606 101.190

0.45 112.143 112.142 112.137 112.138 112.758

0.50 123.689 123.688 123.680 123.681 124.325

0.55 135.250 135.249 135.235 135.237 135.893

0.60 146.827 146.826 146.806 146.807 147.460

0.62 151.463 151.464 151.440 152.087

0.628 153.345 153.961

0.65 158.394 158.395 159.028

0.70 170.001 170.003 170.595

0.75 181.635 181.635 182.163

0.78 188.635 188.626 189.103

0.785 189.839 190.306

1.000 240.000

Tabla 8.5.: Resultados comparables obtenidos para C33, casos rectangular (b/a = 5/4), cuadra-do (b/a = 1) y el estimador de Voigt. Los constituyentes son los empleados porDean y Turner (1973). Los coeficientes efectivos se encuentran en GPa.

154

La tabla 8.5 muestra los resultados obtenidos para el coeficiente efectivo C33 y su

comparacion contra el estimador de Voigt, el cual, para C33 esta dado por:

C(V )

33 = V1C(1)33 + V2C

(2)33 = C

(1)33 − V2 ‖C(Υ)

33 ‖. (8.5)

Como se aprecia, los valores reportados son muy cercanos a este estimador. De acuer-

do a Bunge et al. (2000), esta situacion era de esperarse, en virtud de que se trata de

fibras muy largas donde, evidentemente, C(2)33 >> C

(1)33 ; es decir, la rigidez elastica de las

fibras en la direccion x3 respecto a la matriz, casi anula, numericamente hablando, los

efectos atribuidos a la distribucion de las fibras, la cual esta medida en terminos de la

razon de aspecto.

Una comparacion con fibras donde el cociente C(2)33 /C

(1)33 sea mas cercano a la unidad,

quizas hubiese proporcionado resultados mas interesantes en lo referente al efecto que

tiene la razon de aspecto. No obstante, en el interes de la hipotesis del trabajo, para

C33, las predicciones realizadas por ambos metodos establecen, ademas de un excelente

acuerdo entre ellas (cuadrados con cuadrados, rectangulares con rectangulares), ligeras

diferencias entre los casos b/a = 1 y b/a = 5/4 cuando V2 > 0.30.

Los resultados anteriormente mostrados permiten asegurar, a priori, la corresponden-

cia entre el MHA y el MEF para el caso rectangular (b/a 6= 1). Verificando con ello,

de forma parcial, la hipotesis de trabajo. Otro aspecto a considerar consiste en que, las

graficas y tablas anteriormente expuestas, demuestran la suficiencia de ambos metodos

en cuanto a su capacidad de predecir los 9 coeficientes de rigidez elastica para un medio

macroscopicamente ortotropo.

8.3. Indice de Anisotropıa

A fin de cuantificar la perdida de isotropıa en un medio heterogeneo, diversos autores

en diferentes publicaciones han propuesto introducir cantidades que, en su conjunto, se

conocen como ındices de anisotropıa. El mas conocido de ellos fue introducido por Zener

(1948) para cristales del sistema cubico, el cual, a partir de la relacion (8.4), propone el

indicador8:

AZener =2C66

C11 − C12

. (8.6)

8Una formulacion alternativa consiste en establecer que AZener =2C44

C11 − C12.

155

Donde, para un medio isotropo o transversalmente isotropo, AZener = 1.

Otra cantidad de interes que puede construirse a partir de la relacion (8.4), tambien

de relevancia en cristales cubicos, es (Gilman, 2003):

G? =3C66 (C11 − C12)

4C66 + C11 − C12

. (8.7)

En la cual, para el caso isotropo y transversalmente isotropo, G? = C66/2.

En virtud de que ninguno de estos indicadores toma en cuenta la naturaleza tenso-

rial de las propiedades elasticas de un medio, recientemente, se ha propuesto unificar

criterios. El ejemplo mas notable de este esfuerzo es la publicacion de Ranganathan y

Ostoja-Starzewski (2008), donde se propone el ındice universal de anisotropıa elastica

en cristales.

En el contexto del presente trabajo, a la luz de los resultados anteriores, la diferencia

mas visible (ver grafica 8.8b)) se encuentra en el cociente9:

A =C44

C55

. (8.8)

A diferencia de otros trabajos, en el conocimiento del autor y sus asesores, existe poca

literatura que haga referencia directa o indirecta a este cociente. No obstante, cabe pre-

cisar que el cociente anterior o su recıproco pueden obtenerse, con relativa facilidad, de

forma experimental o teorica10.

Cierto es que se pudo haber propuesto el recıproco de este coeficiente, no obstante,

para un medio macroscopicamente ortotropo, se encontro el siguiente resultado de

interes, en el composito binario formado por una matriz reforzada por

fibras :

A > 1 si 0 < b/a < 1, (8.9a)

A < 1 si b/a > 1. (8.9b)

9Cabe destacar que otras combinaciones posibles son: C11/C22, AZener (en virtud de que C66 ya no escombinacion lineal de C11 y C12) y C23/C13 o sus recıprocos.

10A manera de ejemplo, vease el calculo hecho por Ledbetter y Migliori (2006) para los valores extremosde la velocidad del sonido en un medio (ecuacion de Christoffel). El cociente de sus cuadradosgeneraliza el ındice de Zener.

156

Independientemente de los constituyentes empleados. En este sentido, el indi-

cador (8.8) posee, hasta cierto punto, generalidad.

El fundamento de este resultado radica en que, para la solucion dada por el MHA,

A(χp) = A(−χp). (8.10)

Donde el parametro χp se introdujo previamente en el capıtulo 4 (ecuacion 4.33), el cual

esta definido como:

χp =C

(1)44 − C

(2)44

C(1)44 + C

(2)44

(8.11)

A manera de demostracion, conviene reescribir las expresiones analıticas para las

propiedades efectivas como:

C44 = C(1)44

(1− 2V2χp

1 + aχp − χ2pα(χp)

), (8.12a)

C55 = C(1)44

(1− 2V2χp

1 + bχp − χ2pβ(χp)

). (8.12b)

Donde:

a = 2V2 − δ1R2, (8.13a)

b = δ1R2, (8.13b)

α(χp) = VTp M−1

p Vp, (8.13c)

β(χp) = VTp N−1p Vp. (8.13d)

Al desarrollar el cociente C44/C55, se tiene:

A =

[1 + (a− 2V2) χp − χ2

p α

1 + (b− 2V2) χp − χ2p β

]×[

1 + b χp − χ2p β

1 + aχp − χ2p α

]. (8.14)

Al considerar las definiciones de a y b dadas previamente, se tiene:

a− 2V2 = −b, (8.15a)

b− 2V2 = −a. (8.15b)

157

Y con ello se tiene en (8.14):

A =

[1− b χp − χ2

p α

1− aχp − χ2p β

]×[

1 + b χp − χ2p β


]. (8.16)

De las definiciones de las matrices Mp y Np, se tiene11:

Mp(−χp) = Np(χp), (8.17a)

Np(−χp) =Mp(χp). (8.17b)

Con lo cual es posible establecer que:

α(−χp) = β(χp), (8.18a)

β(−χp) = α(χp). (8.18b)

De manera que, al sustituır χp por −χp en (8.16), se tiene:

A =

[1 + b χp − χ2

p β


]×[

1− b χp − χ2p α

1− aχp − χ2p β

]. (8.19)

Expresion que es identica a (8.16) y, en consecuencia, (8.10) queda demostrada.

Debido a que el tiempo de computo por elementos finitos es considerablemente ma-

yor que el empleado en la solucion analıtica (MHA), la mayorıa de las graficas que se

muestran a continuacion se efectuo empleando el MHA. A su vez, es importante aclarar

que, en virtud de que los valores del volumen relativo de percolacion (Vp) son diferentes

en cada razon de aspecto, todas las graficas relacionadas con la razon de aspecto b/a se

realizaron empleando multiplos de Vp.

A fines de comparacion, se ha incluido una grafica en la figura 8.9 donde se muestra la

validez del enunciado (8.9a), por ambos metodos, empleando los constituyentes de Dean

y Turner (1973). Ambos metodos muestran que A ≥ 1 cuando 0 < b/a ≤ 1, lo cual,

exhibe la validez del enunciado (8.9b).

11Este hecho se verifica numerica y teoricamente en Nava-Gomez (2007) a partir de un teorema enun-ciado en Flaherty y Keller (1973) para estos coeficientes elasticos en una celda rectangular periodica.

158

Figura 8.9.: Variacion del ındice de anisotropıa A = C44/C55 en funcion de la razon de aspectob/a obtenida por ambos metodos cuando V2 = 0.8Vp. Los constituyentes son losreportados por Dean y Turner (1973).

Figura 8.10.: Variacion del ındice de anisotropıa A = C44/C55 en funcion de la razon de as-pecto b/a obtenida por el MHA. Los constituyentes son los reportados por Deany Turner (1973). Se tomaron las fracciones del volumen de percolacion (Vp) in-dicadas.

159

La grafica en la figura 8.10 muestra la dependencia de A en funcion de V2 y b/a. La

mayorıa de los datos de esta grafica corresponden con los mostrados en la tabla 7.312.

Como puede apreciarse, la diferencia entre C44 y C55 aumenta conforme el volumen

que ocupan las fibras se acerca al valor de percolacion.

Figura 8.11.: Variacion del ındice de anisotropıa A = C44/C55 en funcion de las propiedades delos constituyentes para diferentes razones de aspecto. Todos los resultados fueroncalculados por el MHA cuando V2 ≈ Vp. El valor absoluto para el contraste depropiedades, χp, se indica. Esta grafica es una correccion a la publicada en Nava-Gomez et al. (2010), donde se detecto un calculo erroneo de la constante δ1.

La grafica de la figura 8.11 muestra el calculo de A obtenido por el MHA para el

rango 0 < b/a ≤ 1 empleando diferentes valores absolutos para χp (diferentes consti-

tuyentes) y volumenes relativos de fibra muy cercanos a la percolacion (V2 ≈ Vp). Como

se aprecia, conforme el valor absoluto del contraste de propiedades aumenta, la diferen-

cia entre C44 y C55 es cada vez mayor. Con esto es posible explicar porque la grafica

8.8b) (χp ≈ −0.85) es tan contrastante.

Por su relevancia, los resultados para los problemas anti-planos y el

ındice de anisotropıa propuesto fueron publicados en Mechanics Research

Communications.

12Se agregaron algunas razones de aspecto cercanas a cero y b/a = 0.52 (valor donde δ1 ≈ 0).

160

9. Resultados y discusion II:

Semi-auxeticos

A fin de establecer la validez y generalidad de la hipotesis, el presente capıtulo presen-

ta la comparacion de las predicciones obtenidas por ambos metodos en dos materiales

compuestos binarios semi-auxeticos.

La primer seccion trata de los resultados para el caso de una matriz isotropa conven-

cional (no auxetica) reforzada por fibras isotropas de polipropileno auxetico (PP). Las

fibras estan distribuidas en un arreglo periodico rectangular.

Material Propiedad Elastica UnidadesC11 C12 C44

Adhesivo Convencional 161.54 69.23 46.15 MPaPolipropileno Auxetico 2.31 -1.09 1.70 GPa

Tabla 9.1.: Propiedades elasticas de los constituyentes empleados para los compositos binariossemi-auxeticos. Las propiedades se encuentran expresadas en terminos de sus coe-ficientes de rigidez elastica.

El segundo apartado expone la configuracion anterior pero con los constituyentes alter-

nados. Esto es, una matriz isotropa de PP auxetico reforzada por fibras convencionales.

Cabe destacar que, del analisis de estas configuraciones se desprenden las aportaciones

mas importantes del trabajo.

Los materiales seleccionados son los empledos en Chirima et al. (2009), reportados

previamente en Chirima et al. (2008) y mostrados en la tabla 9.1. Los autores de la pu-

blicacion (Chirima et al., 2009), aseguran la factibilidad de poder elaborar este tipo de

composito, al menos, para el caso del laminado. Aseveraciones similares pueden encon-

trarse en los trabajos de Kocer et al. (2009) y Lim y Acharya (2011), entre otros. Por otra

parte, existe evidencia como la reportada por Alderson et al. (2005), donde se establece

161

la posibilidad de elaborar estos semi-axueticos para el caso de matrices reforzadas por

fibras.

9.1. Comparacion MHA-MEF: Caso rectangular y

semi-auxetico

9.1.1. Matriz convencional reforzada por fibras auxeticas

Figura 9.1.: Coeficientes efectivos de rigidez elastica C11, C22 y C33 para una matriz de adhe-sivo convencional reforzada por fibras de polipropileno auxetico cuando la razonde aspecto es b/a = 3/2. La fraccion de volumen de percolacion es Vp = π/6.

La grafica de la figura 9.1 muestra los resultados obtenidos, por ambos metodos, para

los coeficientes efectivos de rigidez elastica C11, C22 y C33 cuando b/a = 3/2. Como se

aprecia, la concordancia entre el MHA y el MEF es excelente. La diferencia entre C11 y

C33 es, para algunas fracciones de volumen, apenas perceptible. No obstante, un hecho

interesante consiste en los dos cruces que exhibe C33. El primero con C22, cercano a

la fraccion de volumen V2 = 0.24. El segundo, alrededor de V2 = 0.48 con C11, esta

situacion se explicara posteriormente.

El caso de los coeficientes C13 y C23 se muestra en la figura 9.2. Como se aprecia,

conforme la fraccion de volumen del constituyente auxetico aumenta (la fibra) ambos

coeficientes efectivos adquieren valores negativos alrededor de V2 ≈ 0.20, claro indicador

162

de que el material compuesto exhibira caracterısticas macroscopicamente auxeticas para

fracciones de volumen mayores a este valor crıtico. Nuevamente, la concordancia entre

las predicciones realizadas por ambos metodos es excelente.

Figura 9.2.: Similar a la figura 9.1, coeficientes C13 y C23. La ortotropıa y auxeticidadmacroscopica del material compuesto se muestra.

Los resultados obtenidos para los coeficientes efectivos C44 y C55 se ilustran en la figura

9.3. La concordancia de las predicciones realizadas por ambos metodos es excelente.

Notese que el enunciado (8.9b) (C44/C55 ≤ 1) se verifica para este material compuesto

semi-auxetico y binario. Por otra parte, alrededor de V2 ≈ 0.15, la tendencia C55 > C44

se vuelve cada vez mas manifiesta.

Por ultimo, las predicciones obtenidas para C12 y C66 se muestran en la grafica de

la figura 9.4, en la cual, la concordancia entre ambos metodos es adecuada. Entre los

aspectos mas relevantes se encuentran: 1) La interseccion que se presenta entre C12 y C66

alrededor de la fraccion de volumen V2 = 0.34 y; 2) el maximo que alcanza C12 alrededor

del intervalo de fracciones de volumen [0.2, 0.23], situacion que se aclara posteriormente.

En su conjunto, las figuras 9.1, 9.2, 9.3, 9.3 y 9.4, junto con los resultados del capıtulo

anterior, demuestran la hipotesis central de este trabajo para el caso rectangular. No

obstante, en su conjunto, las graficas arrojan la siguiente informacion de interes:

163

Figura 9.3.: Similar a las figuras 9.1 y 9.2, coeficientes anti-planos C44 y C55.

Figura 9.4.: Similar a las figuras 9.1, 9.2 y 9.3, coeficientes C12 y C66.

164

1. En la figura 9.1, es notorio que alrededor de la fraccion de volumen V2 = 0.20

el coeficiente C33 rebase a C22, fraccion de volumen en la cual, en la figura 9.2,

el coeficiente C13 cambia de signo o, equivalentemente, el composito comienza a

exhibir caracterısticas auxeticas.

2. Simultaneamente, alrededor de esta fraccion crıtica de volumen, C12 exhibe sus

valores maximos (figura 9.4) mientras que, la diferencia entre los coeficientes C55

y C44 comienza a ser cada vez mas notoria (figura 9.3).

3. Cuando C23 es negativo (V2 ≈ 0.24, figura 9.2), el coeficiente C12 cambia su ten-

dencia creciente, para comenzar a disminuir hasta cruzar la curva de predicciones

para el coeficiente C66 alrededor de V2 = 0.34 (figura 9.4).

4. Finalmente, de la figura 9.1, para un valor de V2 cercano a 0.48, punto de cruce

entre C33 y C11, las propiedades efectivas C55, C66 y C33, en definitiva, han re-

basado a sus contrapartes mostradas en las figuras 9.3, 9.4 y 9.1, respectivamente.

De lo anterior, es posible argumentar la existencia de una conexion entre los diferentes

coeficientes efectivos. Esto ha sido objeto de estudios como son los trabajos de Sevos-

tianov y Kachanov (2002) y Sevostianov et al. (2006b). Por otra parte, existen fracciones

de volumen crıticas en las cuales pueden observarse intersecciones entre propiedades1.

En el interes del trabajo, la relacion (3.62):

C33 =⟨C

(Υ)33

⟩+

‖C(Υ)13 ‖

‖C(Υ)11 + C

(Υ)12 ‖

C13 + C23 −

⟨C

(Υ)13 + C

(Υ)23

⟩(9.1)

establece con claridad la conexion entre los signos de C13 y C23 con C33.

A fin de ilustrar este punto, asumiendo que para V2 = 0.2, C13 y C23 sean cero, la

evaluacion de la expresion anterior2 es C33 ≈ 210 MPa; valor que coincide con el repor-

tado en la figura 9.1.

La grafica para las razones de Poisson efectivas ν12, ν13 y ν23 se muestra en la figura

9.5. Como se aprecia, en el intervalo de valores [0.20, 0.23] para la fraccion de volumen

1Identificables como V2 ≈ 0.20, V2 ≈ 0.24, V2 ≈ 0.34 y V2 ≈ 0.48, respectivamente.2Tomando,

⟨2C

(Υ)13

⟩≈ −325 MPa,

⟨C

(Υ)33

⟩≈ 590 MPa y, ‖C(Υ)

13 ‖/‖C(Υ)11 + C

(Υ)12 ‖ ≈ −1.172.

165

Figura 9.5.: Razones de Poisson efectivas ν12, ν13 y ν23 obtenidas por el MHA. Matriz conven-cional reforzada por fibras de PP auxetico, b/a = 3/2.

de la fibra, ν13 y ν23 se vuelven negativas (material compuesto auxetico). Este resultado

esclarece los valores crıticos V2 ≈ 0.20 y V2 ≈ 0.24, en los cuales, C13 y C23 cambian de

signo.

Lo anterior puede explicarse a partir de la relacion, aplicable a medios isotropos:

C12 = C13 = C23 = λ =E ν

(1 + ν) (1− 2ν)(9.2)

en donde λ es el primer parametro de Lame. Ası, cuando λ es negativa, ν < 0.

El caso del valor crıtico V2 ≈ 0.48 tambien puede explicarse a partir de la grafica an-

terior, ya que, a partir de este valor, las tres razones de Poisson son negativas. Teniendo

ası, un material compuesto con propiedades elasticas excepcionales.

Por ultimo, el valor crıtico V2 ≈ 0.38, cruce de las propiedades C66 y C12, se expli-

ca a partir de la grafica mostrada en la figura 9.6 para los tres modulos de Young del

composito. Como se observa, para este valor crıtico, E1 intersecta con E3. Un aspecto

de interes consiste en que, al acercarse demasiado al valor de percolacion, para la razon

de aspecto empleada, nuevamente E1 ≈ E3. Esta ultima interseccion requiere estudiarse

en trabajos futuros.

166

Figura 9.6.: Modulos de Young efectivos E1, E2 y E3 obtenidos por el MHA. Matriz conven-cional reforzada por fibras de PP auxetico, b/a = 3/2.

A partir de los resultados mostrados en esta seccion, es claro que ambas metodologıas

son capaces de predecir resultados similares para el semi-auxetico binario formado por

una matriz convencional reforzada por fibras auxeticas distribuidas en un arreglo periodi-

co rectangular. Lo cual, exhibe la generalidad de ambos metodos.

9.1.2. Matriz auxetica reforzada por fibras convencionales

Las figuras 9.7, 9.8, 9.12 y 9.15 muestran los resultados obtenidos, por ambos metodos,

para el caso de una matriz de PP auxetico reforzada por fibras de adhesivo convencional.

Al igual que el caso anteriormente expuesto, en general, la concordancia entre ambos

metodos es excelente. Esto es, las predicciones obtenidas por el MHA y el MEF coinciden.

De acuerdo a la figura 9.7, los coeficientes efectivos de rigidez elastica C11, C22 y C33

decrecen su valor conforme la fraccion de volumen que ocupa la fibra, V2, aumenta. En

contraste, como se ilustra en la figura 9.8, los coeficientes C12, C13 y C23 exhiben un

comportamiento opuesto; es decir, aumentan su valor al incrementarse el volumen de la

fibra.

Dado que la matriz es auxetica, los valores de los coeficientes C12, C13 y C23 son

negativos cuando V2 = 0. De acuerdo a la figura 9.8, la introduccion de fibras adhesivas

167

Figura 9.7.: Resultados obtenidos para los coeficientes efectivos C11, C22 y C33. Matriz isotropade polipropileno auxetico reforzada por fibras isotropas de adhesivo convencional.La razon de aspecto es b/a = 3/2.

Figura 9.8.: Similar a la figura 9.7. Coeficientes efectivos C12, C13 y C23.

168

de material convencional, solo alcanzan a modificar el caracter negativo del coeficiente

de rigidez efectiva C12 conforme V2 se acerca al valor de percolacion (π/6).

En consecuencia, es de esperarse que las razones de Poisson efectivas ν12, ν13 y ν23 sean

negativas, situacion que se verifica en la figura 9.9. Otro aspecto interesante consiste en

que, el comportamiento que exhiben los coeficientes efectivos C13 y C23, de acuerdo a la

figura 9.8, es casi lineal para todas las fracciones de volumen V2. Esto es:

Cδ 3 ≈ a V2 + b (9.3)

para δ = 1, 2, dentro del rango de valores 0 ≤ V2 ≤ 0.4, con mejor ajuste para C23 que

para C13. Este resultado puede explicarse a partir de la relacion (9.1), tras considerar

el comportamiento, practicamente lineal, que exhibe C33 (figura 9.7). Por otra parte, se

anticipa que, necesariamente, b = C(1)13 = C

(1)23 .

Figura 9.9.: Razones de Poisson efectivas ν12, ν13 y ν23 obtenidas por el MHA para una matrizisotropa de PP auxetico reforzada por fibras isotropas de adhesivo convencional.La razon de aspecto es b/a = 3/2.

El ajuste lineal propuesto para C13 y C23 se muestra en la figura 9.10. Los valores de

las pendientes para los coeficientes C13 y C23 fueron calculadas3, respectivamente, en

3Metodo de mınimos cuadrados. Errores relativos de ±0.85 % y ±0.22 %. Coeficientes de determinacion(R2) de 0.987 y 0.999, respectivamente.

169

1.04 GPa y 1.74 GPa.

Figura 9.10.: Aproximaciones lineales para los coeficientes efectivos C13 y C23. Matriz de PPisotropo y auxetico reforzada por fibras isotropas de adhesivo convencional. Razonde aspecto b/a = 3/2, ajuste para el rango 0 ≤ V2 ≤ 0.4.

Al igual que en el capıtulo anterior, es tentador asumir que el comportamiento practi-

camente lineal que exhibe C33 pueda ser descrito por medio del estimador de Voigt,

C(V )

33 = C(1)33 V1 + C

(2)33 V2. (9.4)

No obstante, a partir de (9.1) y, en virtud de que C13 6= C23, el empleo de dicho estimador

no representa una adecuada eleccion. La grafica de la figura 9.11 ilustra este hecho. En

ella, se han incluıdo los estimadores clasicos de Reuss y Hill :

C(Reuss)

33 =C

(1)33 C

(2)33

C(1)33 V2 + C

(2)33 V1

, (9.5a)

C(Hill)

33 =C

(V )

33 + C(Reuss)

33

2. (9.5b)

La relevancia de esta figura estriba en que, establece que las predicciones para C33 estan

acotadas.

170

Figura 9.11.: Comparacion entre los resultados obtenidos y los estimadores de Voigt, Reuss yHill para C33. Matriz isotropa de PP auxetico reforzada por fibras isotropas deadhesivo convencional. Razon de aspecto b/a = 3/2.

Los resultados para los coeficientes de rigidez elastica anti-planos, C44 y C55, se ilus-

tran en la grafica de la figura 9.12. Como se aprecia, el enunciado (8.9b) se verifica

nuevamente. Esto es, C44/C55 < 1 cuando la razon de aspecto es mayor a la unidad.

Figura 9.12.: Similar a las figuras 9.7 y 9.8. Coeficientes efectivos anti-planos C44 y C55.

171

Dos hechos sobresalientes en la figura en comento consisten en: 1) C44 muestra un

comportamiento aproximadamente lineal hasta que la fibra alcanza una fraccion de vol-

umen cercana a 0.45 y, 2) el valor de C44 cae demasiado conforme V2 → Vp.

Lo anterior puede explicarse, de forma parcial, a traves del ındice de anisotropıa pro-

puesto, como se muestra en la figura 9.13. Por otra parte, la linealidad de los resultados

sugiere la posibilidad de que exista una conexion entre las propiedades efectivas C33 y

C44. Situacion que debe investigarse.

Figura 9.13.: Indice de anisotropıa A = C44/C55. Matriz isotropa de PP auxetico reforzadapor fibras de adhesivo convencional e isotropo. Razon de aspecto b/a = 3/2.

A fin de ilustrar lo anterior considerese la relacion:

C44 = C66 =C11 − C12

2=C22 − C12

2=C33 − C23

2(9.6)

aplicables exclusivamente un medio isotropo. En virtud de que el material com-

puesto exhibe ortotropıa, se espera que, para pequenas fracciones de volumen, esta

relacion sea, aproximadamente valida.

Explorando los resultados obtenidos por el MHA para los coeficientes C22, C33, C23,

C44 y el ındice de anisotropıa A, por tanteos en una hoja de calculo, se encontro la

172

siguiente regla empırica de asociacion:

C44 ≈

C22 + C33

2− AC23

2. (9.7)


C44 ≈C55

(C22 + C33

)2C23 + 4C55

. (9.8)

Resultado que se muestra en la figura 9.14.

Figura 9.14.: Regla de aproximacion empleada para la estimacion de C44 en terminos de loscoeficientes efectivos C22, C33, C23 y C55. El resultado muestra la conexion en-tre la propiedades efectivas. El coeficiente efectivo C55 se incluye con fines decomparacion.

A su vez, el resultado anterior establece, de forma indirecta, la siguiente definicion

alternativa para el ındice de anisotropıa:

A ≈ C22 + C33

2C23 + 4C55

. (9.9)

Expresion que, aunque sea adecuada para los constituyentes aquı descritos (matriz

auxetica reforzada por fibras convencionales), arroja predicciones incorrectas cuando

se le compara contra los resultados obtenidos para una matriz convencional reforza-

173

da por fibras auxeticas. En consecuencia, la conexion entre propiedades, es un tema a

investigarse en trabajos posteriores4.

Figura 9.15.: Similar a las figuras 9.7, 9.8 y 9.12. Coeficiente efectivo de corte C66.

Por ultimo, la figura 9.15 muestra la grafica de los resultados obtenidos para el coefi-

ciente efectivo C66. El resultado mas relevante consiste en la rapida caıda en los valores

de este modulo de corte efectivo conforme la fraccion de volumen que ocupa la fibra

aumenta. Una restriccion fısica de interes consiste, en que los valores del modulo elastico

de corte C66 no pueden ser negativos (Lempriere, 1968), situacion que, apenas se verifica

en este composito.

Realizando un analisis similar al propuesto previamente para C44, a partir de la

relacion (9.6), se obtiene:

C66 ≈

C11 + C22

2− AC12

2=C55

(C11 + C22

)− 2C44C12

4C55

. (9.10)

4Resulta interesante el observar que, aunque los resultados obtenidos para C33 y C44 en la seccion 9.1exhiben cierta linealidad, no pueden describirse de la misma forma en que aquı se ha hecho. Quizasla inclusion de constituyentes auxeticos en matrices convencionales lleva implıcita la construccionde conexiones entre propiedades mas complejas que las aquı expuestas. Por otra parte, a diferenciade los resultados reportados en este apartado, en la seccion 9.1, los coeficientes efectivos C13 y C23

no muestran la tendencia lineal reportada en la figura 9.10.

174

Relacion que solo es valida para pequenas fracciones de volumen. Esta aseveracion se

ilustra en la grafica de la figura 9.16.

Figura 9.16.: Comparacion entre el modulo elastico efectivo de corte C66 obtenido por el MHAy la ecuacion (9.10). Para fracciones de volumen relativamente pequenas, la di-ferencia entre las predicciones coincide.

No obstante lo anterior, un aspecto muy interesante estriba en que, al probar la aproxi-

macion (9.10) para una misma razon de aspecto, con los constituyentes de Dean y Turner

(1973), ası como la matriz convencional reforzada por fibras, se obtienen resultados

equiparables.

Este hecho marca una diferencia fundamental al compararsele con la propuesta dada

en (9.8). En consecuencia, a partir de (9.10), se introduce la siguiente definicion:

AF =C55

(C11 + C22

)− 2C44C12

4C55C66

. (9.11)

La grafica de la figura 9.17 muestra la evaluacion de este indicador para los tres

compositos estudiados bajo una misma razon de aspecto (b/a = 3/2).

175

Figura 9.17.: Indice AF (ecuacion 9.11) para tres materiales compuestos diferentes con razonde aspecto b/a = 3/2. Los compositos son matrices isotropas reforzadas por fibras.Las configuraciones de los constituyentes corresponden a: 1) Los empleados enDean y Turner (1973) (matriz convencional reforzada por fibras convencionales)y, 2) la indicada en la tabla 9.1 (compositos semi-auxeticos binarios) con consti-tuyentes alternados.

Como se aprecia, la definicion (9.11) representa un indicador adecuado para

describir la perdida de isotropıa5.

Un aspecto a considerar consiste en que, a diferencia del cociente A = C44/C55, los

resultados obtenidos para los semi-auxeticos muestran que, al tomar como referencia el

parametro χm, en general: AF(χm) 6= AF(1/χm) y, AF(b/a) 6= 1/AF(a/b).

9.1.3. Una prediccion analıtica de interes

Los resultados hasta el momento expuestos representan evidencia suficiente de que los

resultados que se obtienen por ambas metodologıas (MHA y MEF) son similares, razon

por la cual, se da por verificada la hipotesis del trabajo.

5En apariencia, la relacion (9.11) parece ser una combinacion lineal para A, es decir: AF = mA + b.Cabe aclarar que este supuesto solo es valido en un medio transversalmente isotropo. Por otraparte, al introducirse en la definicion de AF el promedio (C11 +C22), se garantiza que la definicion(9.11) no solo dependa de A; antes bien, de forma indirecta se introduce el cociente C11/C22 o,equivalentemente, su recıproco.

176

Por otra parte, se sabe que, a partir de la representacion matricial del tensor de rigidez

elastica, es posible obtener la matriz asociada al tensor de complianzas. Ası, en virtud

de la equivalencia de resultados, por facilidad de computo y en lo sucesivo, se reportaran

los resultados obtenidos por el MHA.

Para el caso de la matriz de PP auxetico reforzada por fibras de adhesivo convencional,

el calculo de los modulos de Young (E1, E2 y E3) revelo un resultado que, de antemano,

no se esperaba. Esto es, se obtuvieron predicciones donde los tres modulos de

Young superan los modulos de Young de sus constituyentes . La figura 9.18

muestra la grafica con los resultados obtenidos.

Figura 9.18.: Modulos de Young efectivos obtenidos por el MHA. Matriz isotropa de PPauxetico reforzada por fibras isotropas de adhesivo convencional. Los modulosde Young de los constituyentes son: EPP = 340 MPa y EAdh = 120 MPa para lamatriz y la fibra, respectivamente. Razon de aspecto b/a = 3/2.

Al considerar que los modulos de Young son EPP = 340 MPa y EAdh = 120 MPa, para

el PP auxetico y el adhesivo convencional, respectivamente. El resultado mostrado en la

figura 9.18 muestra un incremento de esta propiedad elastica de hasta un 375 %

cuando se compara la prediccion maxima (E3 ≈ 450 MPa cuando V2 ≈ 0.425)

contra el menor de los modulos de los constituyentes (EAdh para las fibras). Una

comparacion mas sobria indica un incremento de hasta un 132 % al compararsele

con el modulo de Young de la matriz (E3/EPP para V2 ≈ 0.425).

177

(a) (b)

(c) (d)

Figura 9.19.: Campo de desplazamientos esperados para un ensayo de tension en la direcciony3. (a) Plano de corte para la seccion longitudinal A−A ′. (b) Principio de super-posicion en el VRA. La matriz, al ser auxetica tiende a expanderse lateralmente(extremos izquierdo y derecho). La fibra convencional, tiende a comprimirse (cen-tro). Se muestran los extremos sometidos a tension axial uniforme. (c) Campode desplazamientos resultante alrededor de los extremos del composito (se omitela seccion central). Al igual que en (b), la densidad de lıneas de campo indicalas regiones donde la magnitud del desplazamiento es mayor. Como se muestra,hacia el centro y la interfaz de la fibra, el desplazamiento es maximo. Se ha con-siderado que el composito exhibe auxeticidad macroscopica. Las lıneas solidas ennegro en (c) indican los lımites entre la fibra y la matriz. (d) Modelo equivalenteen ANSYS para un extremo del ensayo. Las condiciones en la lınea base sonux = uy = 0 y, en la lınea superior, uy = 1. Dimensiones del modelo 9 × 30unidades, matriz y fibra con separacion uniforme.

178

En virtud de que la hipotesis se ha dado por verificada y, a partir del hecho de que las

predicciones realizadas coinciden, en terminos generales, contra valores experimentales,

segun se establecio en el capıtulo anterior, se poseen pocos elementos para verificar o

refutar los resultados mostrados en la figura 9.18.

No obstante lo inesperado de este resultado, en Kocer et al. (2009), Lim y Acharya

(2011) y Chirima et al. (2009) se reporta este realce en los modulos de Young respecto a

los de los constituyentes en laminados binarios semi-auxeticos. Por otra parte y sin de-

mostrarlo, a traves de argumentos fısicos, Alderson et al. (2005) establecen la posibilidad

de obtener este tipo de resultados en matrices auxeticas reforzadas por fibras conven-

cionales.

De acuerdo a los autores en comento, este realce de propiedades se debe a la

redistribucion de los esfuerzos mecanicos (principalmente de corte) que

ocurren en la region cercana a la interfaz. Esta situacion se ilustra en la figura

9.19, donde se describe un ensayo de tension en la direccion y3. Ası, mediante la apli-

cacion del principio de superposicion, es posible construır una idealizacion del campo de

desplazamientos esperado para un composito macroscopicamente auxetico. A manera de

verificacion, se ha incluido su realizacion en ANSYS. La solucion nodal para la compo-

nente ux del desplazamiento, se muestra en la figura 9.20.

En el interes del trabajo, se sugiere verificar estos supuestos y resultados a

partir del experimento. Como se muestra en la siguiente seccion, existe evidencia

teorica suficiente de que, en realidad, este super-incremento en el modulo

de Young se presente.

179

Figura 9.20.: Desplazamiento en la direccion x obtenido en ANSYS para el modelo propuestoen la figura 9.19. Observese la distribucion de los desplazamientos alrededor dela interfaz en la parte cercana a la base y a lo largo de la fibra (magnitud de des-plazamientos iguales pero en sentidos opuestos). Esto puede traducirse, literal-mente, como un estrangulamiento de la fibra. Origen, de la alta rigidez elasticadel composito.

180

9.2. Validez teorica de las soluciones

9.2.1. Cotas energeticas variacionales: VRA cuadrado

Debido a lo novedoso de los resultados obtenidos en la seccion anterior, en virtud de

la naturaleza teorica del trabajo, se requirio por parte de los arbitros de la publicacion,

una demostracion en terminos matematicos y termodinamicos.

Una revision de la literatura mostro que, la evaluacion de las cotas energeticas varia-

cionales para un medio ortotropo, representan en su conjunto, con excepcion de las

cotas generales calculadas en Watt (1979), trabajos en progreso (Lipton y Northrup,

1993; Lipton, 1994). Esto es, en los artıculos estudiados, no se proporcionan 18 cotas,

en cualquier combinacion, para las 9 propiedades elasticas. Por esta razon, se opto por

evaluar las cotas de Hill (1964) y Hashin (1965), aplicables a un medio transversalmente

isotropo, en un VRA cuadrado.

Tradicionalmente, estas cotas representan los lımites energeticamente admisibles para

la rigidez elastica y son mucho mejores estimadores que las cotas de Voigt-Reuss-Hill.

La formulacion de estas cotas es (Christensen, 1979):

K(−)12 ≤ K

F ≤ K(+)12 , (9.12a)

µ(−)12 ≤ µ12 ≤ µ

(+)12 , (9.12b)

µ(−)23 ≤ µ23 ≤ µ

(+)23 , (9.12c)

E(−)3 ≤ E3 ≤ E

(+)3 , (9.12d)

ν(−)31 ≤ ν31 ≤ ν

(+)31 . (9.12e)

Relaciones en las que se identifica con facilidad los modulos de corte elasticos µ12 y µ23,

la razon de Poisson ν31 y, la propiedad de interes, el modulo de Young E3. Los super-

ındices (+) y (−) indican si la cota es superior o inferior, respectivamente. A su vez, el

empleo de la barra superior, por ejemplo E3, es para establecer el valor efectivo de la

propiedad.

La constante KF

es el modulo de compresibilidad efectivo en el plano, definido como:

KF

=C11 + C12

2. (9.13)

181

Para el caso de constituyentes isotropos, este modulo en particular se define como:

KF = K +µ

3. (9.14)

DondeK es la compresibilidad del medio. Cabe mencionar que la convencion de subındices

empleada hasta el momento es aplicable (1-matriz, 2-fibra). De manera que KF1 repre-

senta el modulo de compresibilidad en el plano para la matriz.

Los valores para las 10 cotas estan dados por las relaciones siguientes:

K(−)12 = KF

2 +V1

1/(KF1 −K

F2 ) + V2/(K

F2 + µ2)

, (9.15a)

K(+)12 = KF

1 +V2

1/(KF2 −K

F1 ) + V1/(K

F1 + µ1)

, (9.15b)

µ(−)12 = µ2 +

V1

1/(µ1 − µ2) + V2 (KF2 + 2µ2)/2µ2 (KF

2 + µ2), (9.15c)

µ(+)12 = µ1 +

V2

1/(µ2 − µ1) + V1 (KF1 + 2µ1)/2µ1 (KF

1 + µ1), (9.15d)

µ(−)23 = µ2 +

V1

1/(µ1 − µ2) + V2/2µ2

, (9.15e)

µ(+)23 = µ1 +

V2

1/(µ2 − µ1) + V1/2µ1

, (9.15f)

E(−)3 = EV + 4 (ν1 − ν2)2 q(−), (9.15g)

E(+)3 = EV + 4 (ν1 − ν2)2 q(+), (9.15h)

ν(−)31 = νV + (ν1 − ν2)

(1

KF2

− 1

KF1

)q(+), (9.15i)

ν(+)31 = νV + (ν1 − ν2)

(1

KF2

− 1

KF1

)q(−). (9.15j)

En donde se han introducido los coeficientes q(+) y q(−), definidos como:

q(−) =V1 V2

V1/KF2 + V2/K

F1 + 1/µ2

, (9.16a)

q(+) =V1 V2

V1/KF2 + V2/K

F1 + 1/µ1

. (9.16b)

182

A la vez que se da por entendido que EV y νV representan el promedio de Voigt para el

modulo de Young y la razon de Poisson6, respectivamente.

Antes de continuar, es indispensable aclarar lo siguiente: Debido a que las cotas ante-

riores fueron desarrolladas pensando en constituyentes convencionales pero ordenados,

el caso de la cota 9.12e, fue adaptado. Esto es, en virtud de que ν1 < ν2, por tratarse de

una matriz auxetica, pero |ν1| > |ν2| y 1/KF2 > 1/KF

1 (materiales ordenados).

La definicion original de estas cotas para la razon de Poisson efectiva ν31 es:

ν(−)31 = νV + (ν1 − ν2)

(1

KF2

− 1

KF1

)q(−), (9.17a)

ν(+)31 = νV + (ν1 − ν2)

(1

KF2

− 1

KF1

)q(+). (9.17b)

Expresiones que, al compararlas con las adaptadas para una matriz auxetica (ecuaciones

9.15i y 9.15j), solo difieren en el intercambio de q(+) y q(−). Para el lector interesado, si

se desea respetar la formulacion original, con los constituyentes propuestos, la grafica de

estas cotas quedarıa invertida. Esto es, la cota inferior quedarıa por encima de la cota

superior.

Las figuras 9.21a), 9.21b), 9.22a), 9.22b) y 9.23 muestran, respectivamente, los resul-

tados obtenidos para los modulos elasticos efectivos E3, KF

, µ23, µ12 y ν31. El material

compuesto es una matriz isotropa de PP auxetico reforzada por fibras de adhesivo con-

vencional (ver tabla 9.1). Como se aprecia, La totalidad de los resultados obtenidos

por el MHA estan acotados. En consecuencia, los resultados obtenidos son ener-

geticamente admisibles.

6EV = E1V1 + E2V2 y, νV = ν1V1 + ν2V2.

183

(a)

(b)

Figura 9.21.: Cotas variacionales de Hashin-Hill para: a) E3 y, b) KF

. Matriz auxetica re-forzada por fibras convencionales, razon de aspecto unitaria. Los constituyentesisotropos se indican en la tabla 9.1, las etiquetas CS y CI denotan, respectiva-mente, las cotas superior e inferior.

184

(a)

(b)

Figura 9.22.: Similar a la figura 9.21. Modulos de corte efectivos: a) µ23 (anti-plano) y, b) µ12

(plano).

185

Figura 9.23.: Similar a las figuras 9.21 y 9.22. Razon de Poisson efectiva ν31. Para el calculode las cotas se emplearon las formulas (9.15i) y (9.15j).

9.2.2. Restricciones de Lempriere: Caso rectangular

A falta de cotas energeticas variacionales completas y optimas para el caso ortotropo o,

en su defecto, la relativa complejidad7 que representa evaluar las reportadas por Lipton

y Northrup (1993) y Lipton (1994) para los tres modulos de Young y los tres modulos de

corte en el plano (G12, G13 y G23), se opto por evaluar las restricciones termodinamicas

para medios ortotropos de Lempriere (1968).

Este conjunto de relaciones establecen, desde un punto de vista termodinamico, la

necesaria positividad, para cualquier simetrıa de propiedades elastica, de los tensores de

rigidez y complianza elasticas, y son (Lempriere, 1968):

E1, E2, E3, G12, G13, G23 > 0, (9.18a)

(1− ν12ν21), (1− ν13ν31), (1− ν23ν32) > 0, (9.18b)

∆ = 1− ν12ν21 − ν13ν31 − ν23ν32 − 2ν12ν23ν31 > 0. (9.18c)

7Todas las cotas proporcionadas por los autores en comento requieren el computo de diversos para-metros que van mas alla del empleo de una hoja de calculo.

186

Los enunciados anteriores pueden obtenerse a partir del desarrollo del determinante de

la matriz de rigidez elastica, el cual, por cuestiones meramente termodinamicas, debe ser

siempre positivo. De esta forma, las restricciones (9.18a) y (9.18b) establecen que todos

los coeficientes de la diagonal principal de esta matriz deben ser positivos8, mientras que

∆ es el determinante de la matriz de complianza elastica multiplicado por el producto

de los tres modulos de Young (E1E2E3).

La evaluacion de estas 10 condiciones para la matriz reforzada por fibras en la sec-

cion 9.2 se muestra en las figuras 9.24, 9.25 y 9.26. Cabe aclarar que la condicion de

positividad de los modulos de Young ya se mostro previamente en la figura 9.18.

Figura 9.24.: Modulos de corte efectivos obtenidos para una matriz auxetica reforzada por fibrasconvencionales cuando la razon de aspecto es b/a = 3/2. Los constituyentes semuestran en la tabla 9.1.

Como se muestra en las grafica de la figura 9.24, todos los modulos de corte son po-

sitivos. Este resultado, en conjunto con los reportados en la grafica 9.18, demuestran el

cumplimiento de la primer condicion de Lempriere (ecuacion 9.18a).

La grafica de la figura 9.25 demuestra el cumplimiento de la condicion (9.18b). A

su vez, en la figura 9.26 se muestra una mejorıa en la condicion de Lempriere para ∆

(ecuacion 9.18c).

8Las razones de Poisson en (9.18b) se introducen al invertir la matriz de complianza elastica y evaluarla condicion Cpp > 0 (p = 1, 2 . . . 6).

187

Figura 9.25.: Evaluacion de las condiciones (9.18b) para una matriz auxetica reforzada porfibras convencionales. La razon de aspecto es b/a = 3/2. Los constituyentes semuestran en la tabla 9.1.

Figura 9.26.: Evaluacion de la condicion (9.18c) para una matriz auxetica reforzada por fibrasconvencionales. La razon de aspecto es b/a = 3/2. Los constituyentes se muestranen la tabla 9.1.

188

9.3. Ventanas de auxeticidad

Los resultados mostrados a lo largo de este capıtulo han revelado dos caracterısticas

de interes presentes en los semi-auxeticos:

1. Una matriz convencional con inclusiones auxeticas puede llegar a exhibir carac-

terısticas auxeticas.

2. Una matriz auxetica con inclusiones de materiales convencionales puede exhibir

un importante realce de sus propiedades elasticas.

Durante la discusion de la seccion 9.1 surgieron diferentes fracciones de volumen

crıticas, en las cuales, el material compuesto podıa exhibir razones de Poisson nega-

tivas.

A fin de establecer una metodologıa de analisis para este tipo de situaciones, con-

siderando el reforzamiento/debilitamiento de la matriz producido por las inclusiones,

Wei y Edwards (1998) propusieron, para constituyentes isotropos, a partir de las ra-

zones de Poisson de los constituyentes, un diagrama en terminos de dos parametros

adimensionales definidos como:

δ = Cociente de modulos de Young =Einclusion

Ematriz

, (9.19a)

φ = Fraccion de volumen de la inclusion. (9.19b)

De manera que, cada punto en el plano formado por estos dos parametros representa

una configuracion9 posible para un material compuesto binario.

Ası, al considerar inclusiones auxeticas, los autores en comento fueron capaces de

trazar diferentes curvas que delimitan regiones de configuraciones, en las cuales, el com-

puesto binario exhibira razones de Poisson negativas. Por su utilidad, estos diagramas

se conocen como ventanas de auxeticidad10.

Es importante aclarar que existen restricciones inherentes a esta construccion, y son:

1. Solo es aplicable en compuestos binarios con constituyentes isotropos.

9Combinacion de propiedades elasticas y volumenes.10En estricto sentido, en la definicion de Wei y Edwards (1998), el termino ventana se refiere a la

region delimitada por estas curvas. Esto es, el espacio de configuraciones para la cuales el compositosera auxetico.

189

2. La descripcion de configuraciones requiere que se especifiquen, adicionalmente, las

razones de Poisson ν1 y ν2.

3. Considera que el material compuesto es isotropo.

La aseveracion anterior se justifica al considerar que, en su publicacion, Wei y Edwards

(1998) describen una matriz isotropa de material convencional reforzada por pequenas

inclusiones esfericas (nanopartıculas), en donde todas las esferas poseen las mismas di-

mensiones y se encuentran distribuıdas uniformemente en la matriz11. Mas aun, los

autores proponen, en la definicion del espacio de configuraciones δ−φ, el intervalo [0, 1]

para φ.

En la investigacion presente, se extiende la definicion de Wei y Edwards

(1998) para el caso de una matriz reforzada por fibras. A efectos de respetar el rango

de valores dado para φ se propone:

φ =V2

Vp. (9.20)

Es importante establecer que, en estricto, la generalizacion aquı presentada es valida,

siempre y cuando los constituyentes sean isotropos.

Adicionalmente, en virtud de que el estudio realizado trata con un material compuesto

ortotropo, fue necesario introducir el siguiente criterio de auxeticidad : Se considerara que

el material compuesto es auxetico en el preciso instante en el que, para una configuracion

(δ, φ) dada (conocidas ν1 y ν2), al menos una de las razones de Poisson sea negativa.

A efectos de analisis, a partir de las relaciones elementales para un medio ortotropo

(capıtulo 2), el enunciado anterior reduce el estudio a 3 de las 6 razones de Poisson,

motivo por el cual, se seleccionaron las predicciones analıticas para ν12, ν13 y ν23.

Otro aspecto relevante del criterio anterior consiste en que, para un valor δ0 dado,

pudiese existir un valor crıtico φc a partir del cual el composito exhibe auxeticidad. A-

sumiendo que esto ocurra, el punto en el diagrama (δ0, φc) delimita las regiones auxetica

(φ > φc), de la convencional (φ < φc).

11Esto es, el composito binario de Einstein (Christensen, 1979) con inclusiones auxeticas.

190

A fin de iulustrar lo anterior, a manera de ejercicio, se tomaron los datos reportados

por Wei y Edwards (1998) y se construyo el diagrama propuesto para el espacio de

configuraciones cuando ν1 ≈ 1/2 y ν2 ≈ −1; resultado que se muestra en la figura 9.27.

Figura 9.27.: Ventana de auxeticidad para el composito semi-auxetico de Wei y Edwards (1998)(inclusiones esfericas) cuando ν1 ≈ 1/2 y ν2 ≈ −1. Cualquier configuracion deconstituyentes ubicada por arriba de la curva proporciona un material compuestocon razon efectiva de Poisson negativa.

Es importante aclarar que la curva mostrada, no es una funcion. Antes bien, repre-

senta las configuraciones en donde ν cambia de signo. Por otra parte, la totalidad de

las configuraciones (0, φ) no estan representadas en el diagrama12. De manera que, el

intervalo para las δ es abierto, esto es: (0, ∞).

En lo referente a la auxeticidad, el diagrama de la figura 9.27 establece que, para

el semi-auxetico de Wei y Edwards (1998), si se emplean inclusiones con modulo de

Young menor respecto al de la matriz, para fracciones de volumen mayores al 40 %, el

composito tiene buenas oportunidades de exhibir una razon de Poisson efectiva menor a

cero. Esto es, siempre y cuando la inclusion sea super-auxetica13 (ν2 ≈ −1) y la matriz

sea, literalmente, de goma (ν1 ≈ 1/2).

12Si δ = 0, carece de sentido hablar de φ.13La espuma auxetica e isotropa con razon de Poisson mas negativa que se ha elaborado posee ν ≈ −0.8

(Wei y Edwards, 1998).

191

A fin de aplicar estos resultados para una matriz reforzada por fibras se procedio a

fijar primero Ematriz en 1 y, mediante las relaciones para un medio isotropo, calcular los

coeficientes de rigidez elastica para diferentes valores de ν1. Ası, los valores de δ estan

dados por el valor del modulo de Young que se proponga para la fibra.

Empleando diferentes valores de ν2 y calculando los coeficientes de rigidez elastica de

la fibra, tras introducir todos estos parametros en las entradas de los programas descritos

en el capıtulo 7, se procedio a ejecutarlos para diferentes razones de aspecto.

A partir de los resultados obtenidos para cada configuracion, tras su revision, al igual

que en Wei y Edwards (1998), se construye una tabla como la mostrada en 9.2 para el

caso b/a = 1. En ella, los indicadores φc(ν13) y φc(ν13) representan la fraccion de volumen

crıtica para la razon de Poisson indicada. Es importante no confundirlos con funciones.

Se aclara que solo se incluyen estas dos razones de Poisson en virtud de que el material

compuesto es transversalmente isotropo en este caso. Los valores seleccionados para ν1

y ν2 corresponden a algunas de las combinaciones propuestas por Wei y Edwards (1998).

ν2 δφc

ν1 = 0.5 ν1 = 0.25 ν1 = 0φc(ν12) φc(ν13) φc(ν12) φc(ν13) φc(ν12) φc(ν13)

–1

2

0.1 0.9376 – 0.7627 0.9081 0.2521 0(+)

1 0.9804 0.8279 0.4777 0.6291 0.0003 0(+)

10 – 0.6604 0.3369 0.8139 0.3438 0(+)

–10.1 0.7032 0.4295 0.4899 0.1858 0.0891 0(+)

1 0.7213 0.4241 0.5207 0.1824 0.1048 0(+)

10 0.8265 0.4236 0.6924 0.1821 0.2172 0(+)

Tabla 9.2.: Valores crıticos de φ obtenidos a traves del MHA para una matriz reforzada porfibras distribuıdas periodicamente en un arreglo cuadrado y constituyentes isotropos.La fraccion de volumen de percolacion es Vp = π/4. La fraccion de volumen de lafibra puede obtenerse a partir de (9.20). El valor 0(+) indica valores crıticos de φcercanos a 1/10000.

Un analisis de los datos obtenidos revela que ν13 posee mejores oportunidades de vol-

verse negativo antes que ν12 para bajas fracciones de volumen, esto es, sin importar el

valor de δ. Lo anterior se explica a partir de la isotropıa transversal del material com-

puesto. Situacion que se hace mas evidente para el caso ν2 = −1. Una excepcion a la

aseveracion anterior puede encontrarse en las combinaciones ν1 = 0.25, ν2 = −0.5 y

192

ν1 = 0.5, ν2 = −0.5, respectivamente.

Otro patron en los datos puede encontrarse cuando ν2 = −1. Primero, φc(ν13) per-

manece casi constante para un valor de ν1 dado (φc(ν13) ≈ 0.42, φc(ν13) ≈ 0.18 y

φc(ν13) ≈ 0 para ν1 = 0.5, ν1 = 0.25 y ν1 = 0, respectivamente), hecho que representa,

casi, una independencia del valor que δ tome.

Segundo, conforme la razon de Poisson de la matriz (ν1) se incrementa, el valor crıtico

φc(ν13) tambien. Lo anterior indica que las oportunidades de observar ν13 negativa dis-

minuyen conforme ν1 aumenta. Una situacion similar ocurre con φc(ν12) en donde, a

diferencia del caso anterior, existe una clara dependencia con los valores δ.

Por otra parte, para los casos donde ν2 = −0.5 y ν1 > 0, se aprecia un comportamien-

to recıproco entre φc(ν12) y φc(ν13) para las variaciones de δ. Esto es, un incremento

en el valor de φc(ν12) (menores oportunidades de volverse negativo) viene acompanado

de un decremento en el valor de φc(ν13) (mejores oportunidades de volverse negativo) y

viceversa.

A partir de los datos mostrados en la tabla 9.2, tras aplicar el criterio de auxeticidad

definido previamente, es posible construır el diagrama mostrado en la figura 9.28, el cual

representa la ventana de auxeticidad para el caso transversalmente isotropo,

aporte original de esta investigacion14.

Con la experiencia mostrada por el caso cuadrado, se procedio a calcular las ventanas

de auxeticidad para diferentes VRAs rectangulares, tomando como parametros de entra-

da ν1 ≈ 1/2 y ν2 ≈ −1, situacion que corresponde a una matriz convencional reforzada

por fibras auxeticas. Es importante aclarar que, en la mayorıa de los casos, la razon de

Poisson efectiva ν13 fue la primera en volverse negativa, observandose casi una indepen-

dencia de los valores de δ, predicciones que coinciden con las discutidas previamente

para el caso b/a = 1 (VRA cuadrado). La figura 9.29, aporte original del trabajo,

muestra estos resultados. En todos ellos la region auxetica se encuentra siempre encima

de la curva indicada.

14En el conocimiento del autor y sus asesores, es la primera vez que se reporta un diagrama de estetipo para un material compuesto que no exhibe isotropıa macroscopica.

193

Figura 9.28.: Ventana de auxeticidad para una matriz reforzada por fibras. VRA Cuadrado conν1 ≈ 1/2 y ν2 ≈ −1.

Figura 9.29.: Ventanas de auxeticidad para una matriz reforzada por fibras y diferentes razonesde aspecto. Los parametros de entrada empleados son: ν1 ≈ 1/2 y ν2 ≈ −1.

194

Un analsis de la figura 9.29 demuestra el efecto que tiene la razon de aspecto para

obtener un composito con caracterısticas auxeticas. Esto es, conforme la razon de as-

pecto se incrementa, la fraccion de volumen crıtica disminuye. Por otra parte, la rodilla

presente en cada curva para valores de δ menores a la unidad, se recorre y atenua hacia

la izquierda conforme la razon de aspecto aumenta.

La evidencia anterior sugiere que la ortotropıa del material compuesto estudiado, fa-

cilita las posibilidades de obtener razones de Poisson negativas cuando las fibras son

auxeticas, de forma casi independiente, del modulo de Young que tenga la fibra. A fin

de ilustrar este enunciado, considerense los casos cuadrado y b/a = 1.25 en la figura

9.29. De lo estudiado en secciones anteriores, la anisotropıa que se introduce es, apenas,

perceptible; no obstante, las fracciones crıticas de auxeticidad para todos los valores de

δ se reducen en aproximadamente un 43 %15.

Al considerar la relativa independencia de δ, mostrada en casi todas las razones de

aspecto, es posible establecer una relacion entre la razon de aspecto b/a y el valor

crıtico φc. Para ello, se seleccionaron primero las predicciones para φc en los intervalos

δ ∈ [0.10, 20] y b/a ∈ [1, 10] y se graficaron. Posteriormente, tras varios intentos, se

encontro que la funcion de mejor ajuste es de la forma:

φc =c1

c2 +

(b

a

)c3 . (9.21)

Empleando la herramienta para curvas de ajuste proporcionada por el graficador libre

gnuplot, se obtuvieron los parametros siguientes:

c1 = 0.0716294 ± 0.01500, (9.22a)

c2 = −0.831471 ± 0.03533, (9.22b)

c3 = 0.862255 ± 0.1483, (9.22c)

respectivamente.

15Este factor puede calcularse a partir de la grafica para valores de δ mayores a 2.

195

La grafica de la funcion objetivo propuesta en (9.21) y los valores obtenidos en la

simulacion se muestra en la figura 9.30, resultado que cuantifica el efecto que tiene la

razon de aspecto en la fraccion de volumen crıtica φc. Debido a que se trata de una

regresion no-lineal, el coeficiente de determinacion no debe tomarse como un indicador

definitivo. Para la grafica mostrada el valor de R2 es 0.997.

Figura 9.30.: Dependencia de φc en funcion de la razon de aspecto b/a cuando ν1 ≈ 1/2 yν2 ≈ −1. La curva mostrada corresponde al ajuste propuesto en (9.21) cuandob/a ∈ [1, 10]. Los cırculos representan las predicciones analıticas obtenidas parael intervalo δ ∈ [0.1, 20] bajo diferentes razones de aspecto.

196

10. Conclusiones

Se han presentado diferentes predicciones para las propiedades elasticas efectivas que

exhibe una matriz reforzada por fibras cuando sus constituyentes son transversalmente

isotropos o isotropos, empleando para ello los metodos de homogeneizacion asintotica y

elementos finitos.

Para la distribucion de fibras aquı estudiada, de principios elementales, se adelanto que

el material compuesto exhibirıa simetrıa de propiedades elasticas ortotropa. Situacion

que los resultados de ambas metodologıas muestran. Con ello se verifico que el origen

de las caracterısticas anisotropicas del composito se debe al espaciamiento relativo que

existe entre las fibras.

A fin de cuantificar la transicion de isotropıa transversal en las propiedades elasticas

a ortotropıa, a lo largo del trabajo, se introdujeron diferentes ındices, todos ellos de-

pendientes de la razon de aspecto rectangular, medida del espaciamiento relativo entre

las fibras, y de las propiedades elasticas de los constituyentes y el material compuesto.

Estos indicadores son:

A =C44

C55

, (10.1a)

AF =C55

(C11 + C22

)− 2C44C12

4C55C66

(10.1b)

Un hallazgo interesante consiste en que, el indicador A es mayor a la unidad si la razon

de aspecto lo es. Resultado que se obtuvo por ambos metodos.

Por otra parte, en los desarrollos analıticos se obtuvo y puso a prueba, una relacion

universal para los coeficientes elasticos efectivos de un medio ortotropo binario, que es:

C33 = C(V )33 +

(C

(1)13 − C

(2)13

C(1)11 + C

(1)12 − C

(2)11 − C

(2)12

) C13 + C23 −

(C

(V )13 + C

(V )23

)(10.2)

197

En donde (V ) indica el promedio de Voigt y los numeros 1 y 2 se usan para indicar,

respectivamente, a la matriz y a la fibra o inclusion.

A fin de validar las predicciones obtenidas, se efectuo una comparacion contra los

datos experimentales reportados por Dean y Turner (1973) (capıtulo 8). Los resultados

que arrojaron ambos metodos, ademas de coincidir entre ellos, mostraron adecuada con-

cordancia al compararseles contra el experimento.

Otra validacion efectuada, consistio en el calculo de las propiedades elasticas efec-

tivas para un escenario distinto al anteriormente mencionado pero con los mismos

constituyentes. Observandose, nuevamente, concordancia entre las predicciones propor-

cionadas por ambos metodos.

A fin de probar la independencia de los constituyentes empleados, en el capıtulo 9 se

introdujeron dos constituyentes isotropos, uno de ellos con razon de Poisson negativa o

auxetico (Evans et al., 1991), el otro con razon de Poisson positiva o convencional. Por

este motivo, las configuraciones estudiadas en dicho capıtulo se refieren a compositos

binarios semi-auxeticos.

Para la configuracion de una matriz convencional reforzada por fibras auxeticas, ambos

metodos, ademas de proporcionar predicciones similares entre ellos, establecieron que,

para los constituyentes empleados, el material compuesto puede llegar a exhibir carac-

terısticas macroscopicamente auxeticas (razones de Poisson negativas). Esto es, cuando

la fraccion de volumen que ocupan las fibras alcanza un valor crıtico alrededor del 20 %.

A su vez, ambos metodos establecen que, las seis razones de Poisson efectivas, se vuelven

negativas a partir de una fraccion de volumen alrededor del 45 %.

En virtud de que las propiedades de los constituyentes fueron tomadas de datos ex-

perimentales reportados en la literatura (Ravirala et al., 2005a,b; Chirima et al., 2009),

las predicciones aquı presentadas proponen un experimento factible.

Para la configuracion de una matriz auxetica reforzada por fibras convencionales, las

predicciones que se obtienen por ambos metodos muestran una concordancia excelente.

Adicionalmente, durante la exploracion de estos resultados, se encontro una configu-

racion en la cual, los tres modulos de Young del material compuesto superan a los

modulos de Young de los constituyentes, resultado que motivo el tıtulo del trabajo. Al

considerar los constituyentes empleados, de nueva cuenta, las predicciones arrojadas por

198

ambos metodos proponen un experimento factible.

Debido a la importancia de los resultados anteriores, se hizo indispensable validar,

mediante herramientas teoricas, la certeza de las predicciones obtenidas. Al respecto, en

el capıtulo 9, se muestra que los resultados para la matriz auxetica reforzada por fibras

caen dentro de las cotas de Hill-Hashin (Hill, 1964; Hashin, 1965) para el caso de un

composito con simetrıa de propiedades elasticas transversalmente isotropa. A su vez, la

configuracion propuesta para el caso ortotropo, obedece las restricciones termodinamicas

de Lempriere (1968).

Con los elementos anteriores es posible establecer, con mesurada certeza, la posibili-

dad de que las predicciones aquı presentadas para la matriz auxetica reforzada por fibras

convencionales, sean correctas.

Por ultimo, en aras de completitud, se exploro la posibilidad de aplicar el metodo

de homogeneizacion asintotica para la construccion de los diagramas de Wei y Edwards

(1998), conocidos como ventanas de auxeticidad. Con estos diagramas, es posible es-

tablecer las condiciones para que una configuracion matriz convencional-fibras auxeticas,

pueda exhibir razones de Poisson negativas.

En el conocimiento del autor y sus asesores, es la primer vez que se reportan este tipo

de diagramas para medios ortotropos. Un resultado relevante consiste en que, el espa-

ciamiento relativo presente entre las fibras, facilita en sobremanera, las posibilidades de

obtener un material compuesto con caracterısticas macroscopicas auxeticas. Resultado

que representa, material para investigaciones futuras.

199

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208

A. Propiedades de las funciones

matematicas empleadas

A.1. Funciones elıpticas ℘(z) y ζ(z) de Weierstrass

A.1.1. Definicion y propiedades

Como se ha establecido, las funciones elıpticas o doblemente periodicas, son aquellas

definidas en todo el plano complejo C, con excepcion de los puntos:

Ωmn = mω1 + nω2. (A.1)

Donde m y n son enteros, mientras que ω1 y ω2 son dos numeros complejos, diferentes

y no colineales en C llamados perıodos. La figura A.1 muestra esta construccion.

x

y

0

1

2

3

Figura A.1.: Sucesion de paralelogramos que definen una red doblemente periodica.

La funcion ℘(z) y sus derivadas provienen de una base canonica para las funciones

doblemente periodicas. Esto es, su definicion puede obtenerse a partir de las funciones

209

hiperarmonicas (Markusevich, 1970):

φp(z) =′∑

(m,n)

1

(z − Ωmn)p∀(m, n) ∈ Z(0, 0). (A.2)

En donde la potencia p es un entero positivo mayor o igual a 3 y la suma se efectua

sobre todos los perıodos Ωmn (m, n = ±1, 2 3, . . .) que forman una red periodica en C,

con excepcion del origen. Situacion que se indica con la prima en el sımbolo de la suma.

De acuerdo a Markusevich (1970), la construccion de las funciones φp(z) se deduce con

facilidad al considerar el recıproco de las distancias relativas de cada punto de la sucesion

de paralelogramos respecto al origen (figura A.1). De dicha construccion se desprende la

siguiente propiedad:

′∑(m,n)

1

|Ωmn|pes convergente si p ≥ 3. (A.3)

Por su definicion, el conjunto de funciones φp(z) posee las siguientes propiedades:

i) φp(−z) = (−1)p φp(z) Si z 6= Ωmn.

ii) Si p es impar, la funcion φp(z) posee ceros en sus semiperıodos y en sus puntos

congruentes a ellos.

Al considerar la integral para la funcion φ3(z) (menor orden posible), se obtiene:

F (z) =

∫φ3(z) dz = c− 1

2 z2− 1

2

′∑(m,n)

[1

(z − Ωmn)2 −1

Ω2mn

]. (A.4)

En donde, al establecer que la constante de integracion para F (z) sea cero, tras factorizar

el termino 1/2, se obtiene la definicion de la funcion ℘(z):

℘(z) = −2F (z) =1

z2+

′∑(m,n)

[1

(z − Ωmn)2 −1

Ω2mn

]. (A.5)

La relevancia de la funcion ℘(z) estriba en que se trata de la funcion elıptica (doble-

mente periodica) de menor orden posible. Esto es, ℘(z+ω1) = ℘(z) y ℘(z+ω2) = ℘(z).

De lo anterior se desprende, sin perdida de formalismo y por construccion, que toda

funcion doblemente periodica puede representarse a partir de la combinacion de ℘(z) y

210

sus derivadas.

La integral de la funcion ℘(z) es:

G(z) = c− 1

z−

′∑(m,n)

[1

z − Ωmn

+z

Ω2mn

+1

Ωmn

](A.6)

Donde, al anular la constante de integracion, se obtiene la definicion de la funcion ζ(z)

de Weierstrass:

ζ(z) = −G(z) =1

z+

′∑(m,n)

[1

z − Ωmn

+z

Ω2mn

+1

Ωmn

]. (A.7)

A diferencia de la funcion ℘(z), la funcion ζ(z) no es periodica. Lo anterior se debe

a que, toda funcion doblemente perıodica, no posee polos simples. De la construccion

empleada, es claro que:

℘(z) = −ζ ′(z). (A.8)

En donde, al considerar la propiedad i) de la familia φp(z), para la k-esima derivada

de la funcion ζ(z) se deduce:

ζ(k)(z) = −℘(k−1)(z). (A.9)

A.1.2. Relacion de Legendre: Valores para δ1 y δ2

Al integrar las funciones ℘(z) y ζ(z) en el contorno que define paralelogramo funda-

mental de la red periodica (capıtulo 4), R0, se tiene:∮R0

℘(z) dz = 0, (A.10a)∮R0

ζ(z) dz = 2πi. (A.10b)

En donde se ha aplicado el teorema del residuo y se ha considerado la doble periodicidad

de ℘(z).

Del resultado obtenido para ζ(z), se deduce:

δ1 ω2 − δ2 ω1 = 2πi (A.11)

211

Expresion conocida como relacion de Legendre. En ella, las constantes δ1 y δ2 representan

la evaluacion de la funcion ζ(z) en sus semiperıodos (Grigolyuk y Filshtinskii, 1970), esto

es:

δ1 = 2 ζ (ω1/2) , (A.12a)

δ2 = 2 ζ (ω2/2) . (A.12b)

De lo anterior, basta con estimar alguna de las constantes en los semiperıodos para

poder obtener la segunda. Al respecto, se considero emplear la aproximacion de Walker

(1996) y Weil (1999), esto es:

δ1 =π2

3

1 + 2

∞∑n=1

csc2 (nπ ω2/ω1)

. (A.13)

Algunos valores representativos para el caso rectangular se muestran en la tabla A.1.

Cabe mencionar que, se ha considerado que el cociente ω2/ω1 es i b/a, por otra parte,

de la teorıa, se anticipa que para el caso rectangular δ1 es real (Ling, 1960; Grigolyuk y

Filshtinskii, 1970).

A.1.3. Serie de Laurent para ζ(z) y sumas de red

Al considerar la funcion

f(z) = ζ(z)− 1

z=

′∑(m,n)

[1

z − Ωmn

+z

Ω2mn

+1

Ωmn

]. (A.14)

Es posible obtener la siguiente serie de Laurent alrededor del origen:

f(z) =′∑

(m,n)

z2

Ω3mn

+z4

Ω5mn

+z6

Ω7mn

+ . . . −

′∑(m,n)

z3

Ω4mn

+z5

Ω6mn

+z7

Ω8mn

+ . . .

(A.15)

Al considerar la simetrıa de la red periodica, es posible demostrar que las sumas

impares sobre la red periodica: 1/Ω3mn, 1/Ω5

mn, 1/Ω7mn, etc., se anulan entre sı. De manera

que, al incorporar el termino 1/z en la serie de Laurent para f(z), se obtiene:

ζ(z) =1

z−∞∑k=1

′∑(m,n)

z2k+1

(Ωmn)2k+2(A.16)

212

Aspecto δ1 δ2/i Notas

0.30 -15.610139 -10.966227

1/3 -10.759253 -9.869603

0.50 -0.592001 -6.579186

e1 -0.000000 -6.283185 δ1 = 0 (Aproximado)

0.80 2.761511 -4.073976

0.90 3.010568 -3.573674

1.00 3.141593 -3.141593 δ1 = π (Exacto)

1.10 3.210971 -2.751117

1.20 3.247836 -2.385782

1.25 3.259181 -2.209209

1.50 3.283495 -1.357943

1.80 3.288901 -0.363164

1.85 3.289162 -0.198237

e2 3.289384 0.000000 δ2 = 0 (Aproximado)

2.00 3.289593 0.296000

e3 3.289867 3.141593 δ2 = i π (Aproximado)

3.00 3.289868 3.586418

5.00 3.289868 10.166155

10.0 3.289868 26.615496

∞ π2/3 ∞ Valores asintoticos

Tabla A.1.: Valores numericos obtenidos para δ1 con (A.13) y δ2/i con (A.11) para diferentesrazones de aspecto. Los valores e1 y e2 = 1/e1 representan los ceros para δ1 yδ2, respectivamente (e2 ≈ 1.91014050, (Abramowitz y Stegun, 1965)). El valor dee3 = 2.864790023 es una aproximacion del autor.

213

Resultado que representa la serie de Laurent para la funcion ζ(z) de Weierstrass.

Por su relevancia, los coeficientes de la serie, 1/(Ωmn)2k+2, se conocen con el nombre

de sumas de red S2k+2 o series holomorfas de Eisenstein. De acuerdo a la construccion

realizada, tras considerar que se trata de potencias pares, es posible aplicar el enuncia-

do (A.3), esto es, se asume que las sumas de red S2k+2 son convergentes (k = 1, 2, 3, . . .).

En nuestro interes, los valores para S4 y S6 se pueden obtener a partir de las formulas

de Lord Rayleigh (1892) o, en su defecto, a traves de series de Lambert (Serre, 1996).

Las relaciones para evaluarlas son:

S(R)2 = 2π2

(1

6+∞∑n=1

csc2 (inπb/a)

), (A.17a)

S(R)4 = 2π4

(1

90+∞∑n=1

csc4 (inπb/a)− 2

3csc2(inπb/a)

), (A.17b)

S(R)6 = 2π6

(1

945+∞∑n=1

csc6 (inπb/a)− csc4(inπb/a) +

2

15csc2(inπb/a)

), (A.17c)

S(L)4 =

π4

45

(1 + 240

∞∑r=1

r3 qr

1− q3

), (A.17d)

S(L)6 =

2π6

945

(1− 504

∞∑r=1

r5 qr

1− q3

). (A.17e)

Expresiones en donde se ha introducido el ındice (R) o (L) para indicar la autorıa1 y

el parametro q introducido en la formulacion de Lambert es el nome de la red, definido

como q = e2iπω2/ω1 = e−2πb/a. Cabe destacar que las definiciones de Lord Rayleigh son

especıficas para el caso rectangular, motivo por el cual, en su formulacion se aprecia que

S2 = δ1.

En la literatura, solo es posible encontrar tabulados algunos valores para las sumas

de red S2k+2. Por otra parte, dichas evaluaciones solo estan restringidas a los casos

rectangular (ω2/ω1 = ci) y rombico (ω2/ω1 = 1/2+ci), donde su evaluacion proporciona

resultados reales (Ling, 1960). La tabla A.2 muestra los valores de estas sumas de red

obtenidos de la implementacion de las formulas de Lord Rayleigh. Se destaca que, al

comparar estos resultados contra los reportados en la literatura, no hubo diferencia en

1R para Lord Rayleigh, L para Lambert, respectivamente.

214

Aspecto S(R)4 (16D) S

(R)6 (16D)

1.00 3.15121 20021 53898 01.25 2.36702 93923 35617 1.63147 62559 945111.50 2.20660 15468 91272 1.95170 97194 760201.75 2.17336 30560 32070 2.01747 33403 072792.00 2.16645 82514 80805 2.03110 95062 610062.50 2.16472 47593 59381 2.03453 15813 205403.00 2.16464 98507 19257 2.03467 94456 073013.50 2.16464 66136 27787 2.03468 58353 707854.00 2.16464 64737 40389 2.03468 61114 974435.00 2.16464 64674 34075 2.03468 61239 456096.00 2.16464 64674 22298 2.03468 61239 68855

Tabla A.2.: Valores obtenidos para las sumas de red S4 y S6 para algunas razones de aspec-to. Los resultados coinciden en 16 cifras significativas contra los reportados en laliteratura.

las primeras 16 cifras significativas.

A fin de obtener los valores de estas sumas para el caso b/a < 1, de Abramowitz y

Stegun (1965), se tiene la siguiente identidad relevante:

S2k+2(ω2/ω1) =1

(ω2/ω1)2k+2S2k+2(−ω1/ω2). (A.18)

¿Porque se ha hecho enfasis en las sumas de red S4 y S6? De la teorıa de funciones

elıpticas, la funcion ℘(z) satisface la siguiente ecuacion diferencial:

[℘ ′(z)]2

= 4[℘(z)]2 − 60S4 ℘(z)− 140S6. (A.19)

De manera que los coeficientes de sus serie de Laurent estan relacionados entre sı.

Sin abundar en detalles, al representar la serie de Laurent para la funcion ℘(z) como:

℘(z) =1

z2+ c2 z

2 + c3 z4 +

∞∑n=4

c2n−2 z2n−2, (A.20)

de la ecuacion diferencial anterior, se desprende la siguiente formula de recurrencia:

cn =3

(2n+ 1) (n− 3)

n−2∑k=2

ck cn−k para n > 3. (A.21)

215

Relacion en donde, de la serie de Laurent para ζ(z), se desprende:

c2 = 3S4, (A.22a)

c3 = 5S6. (A.22b)


cn = (2n− 1)S2n n ≥ 2. (A.23)

A.1.4. Serie de Laurent para la suma de la funcion ζ(z) y sus

derivadas impares

En los problemas resueltos se ha propuesto el empleo de soluciones en la matriz que

involucran el siguiente desarrollo:

a0 z+a1ζ(z)

0!+a3

ζ(2)(z)

2!+a5

ζ(4)(z)

4!+. . .+ak

ζ(k−1)(z)

(k − 1)!+. . . k = 7, 9, 11, . . . (A.24)

A su vez, se introdujo la definicion siguiente:

∞∑k=1

0 akζ(k−1)(z)

(k − 1)!=∞∑l=1

0 alzl−∞∑l=1

0

∞∑k=1

0 k ak ηkl zl (A.25)

Donde el sımbolo ηkl es:

ηkl = ηlk =(k + l − 1)!

k! l!Sk+l k + l > 2. (A.26)

A diferencia de Grigolyuk y Filshtinskii (1970), Pobedrya (1984) y Rodrıguez-Ramos

et al. (2001), la solucion se eligio de esta forma con la finalidad de simplificar los co-

eficientes mediante la introduccion del sımbolo simetrico ηkl. Esta idea, empleada pre-

viamente por Lopez-Lopez et al. (2005), surge al considerar la serie de Laurent para la

funcion ζ(z) y sus derivadas impares.

A fin de ilustrar lo anterior, considerense los siguientes desarrollos parciales para cada

coeficiente de (A.24), en los cuales, se ha introducido el valor para el coeficiente z en el

216

desarrollo de la funcion ζ(z) (valor cero):

a1 ζ(z)

0!=a1

z− a1

0!

[1!

1!0 z1 +

3!

3!S4 z

3 +5!

5!S6 z

5 + . . .

], (A.27a)

a3 ζ(2)(z)

2!=a3

z3− a3

2!

[3!

1!S4 z

1 +5!

3!S6 z

3 +7!

5!S8 z

5 + . . .

], (A.27b)

a5 ζ(4)(z)

4!=a5

z5− a5

4!

[5!

1!S6 z

1 +7!

3!S8 z

3 +9!

5!S10 z

5 + . . .

]. (A.27c)

Reescribiendo las constantes a1/0!, a3/2! y a5/4! como 1 a1/1!, 3 a3/3! y 5 a5/5! e

introduciendolas en los denominadores, se obtiene:

a1 ζ(z)

0!=a1

z− 1 · a1

[1!

1! 1!0 z1 +

3!

3! 1!S4 z

3 +5!

5! 1!S6 z

5 + . . .

], (A.28a)

a3 ζ(2)(z)

2!=a3

z3− 3 · a3

[3!

1! 3!S4 z

1 +5!

3! 3!S6 z

3 +7!

5! 3!S8 z

5 + . . .

], (A.28b)

a5 ζ(4)(z)

4!=a5

z5− 5 · a5

[5!

1! 5!S6 z

1 +7!

3! 5!S8 z

3 +9!

5! 5!S10 z

5 + . . .

]. (A.28c)

Donde se observa el siguiente patron:

1. Todos los factoriales son impares.

2. Las potencias de z corresponden al numero de la izquierda del denominador.

3. El numero a la derecha del denominador corresponde al ındice del coeficiente ak.

4. El factorial de la suma de los numeros del denominador menos la unidad es el

numerador.

5. El indicador para la suma de red corresponde a la suma de los numeros del de-

nominador.

Con los elementos anteriores, es posible definir ηkl. A su vez, del coeficiente que mul-

tiplica a z en la funcion ζ(z), se tiene:

η11 = 0. (A.29)

217

A.2. La funcion Q(z) de Natanzon

A.2.1. Definicion y propiedades

La funcionQ(z) es una funcion disenada para la resolucion de problemas elastostaticos.

Debido a su relevancia en el trabajo y, en virtud de que se encuentra pobremente docu-

mentada en la literatura, se le ha dedicado este anexo recurriendo a la fuente original

(Natanzon, 1935).

A manera de prefacio y sin abundar en detalles, de la formulacion de los potenciales de

Kolosov-Muskhelishvili, la formula para los esfuerzos exige la conjugacion sobre funciones

de variable compleja. Motivado por lo anterior, durante la resolucion de un problema

para los esfuerzos de una placa con perforaciones periodicas, el Dr. V. Ya. Natanzon

propuso la siguiente funcion par que no es doblemente periodica :

℘1(z) = −2′∑

(m,n)

[Ωmn

(z − Ωmn)3 −Ωmn

Ω3mn

]. (A.30)

La idea detras de este artificio consiste en estar en posibilidades de poder anularla

cuando se evalue con las conjugadas de sus derivadas y/o de las derivadas de la funcion

℘(z). Por su construccion, posee la siguiente propiedad (α = 1, 2):

℘1(z + ωα)− ℘1(z) = ωα ℘′(z). (A.31)

A manera de demostracion, considerese la evaluacion de ℘1(z + ω1). Por claridad,

solo se muestra esta evaluacion de forma parcial sobre algunos valores de la recta donde

Ωmn = mω1, es decir, en Ωm0. Esto es:

℘1(z + ω1) = −2

(ω1

z3+

2ω1

(z − ω1)3 +3ω1

(z − 2ω1)3 + . . .

)(A.32)

En donde, las sumas que aparecen pueden reacomodarse como sigue:

ω1

z3+

2ω1

(z − ω1)3 +. . . =

(ω1

z3+

ω1

(z − ω1)3 +ω1

(z − 2ω1)3 + . . .

)+

ω1

(z − ω1)3 +2ω1

(z − 2ω1)3 +. . .

= ω1

(1

z3+

1

(z − ω1)3 +1

(z − 2ω1)3 + . . .

)+

ω1

(z − ω1)3 +2ω1

(z − 2ω1)3 + . . . (A.33)

218

Resultado donde, tras multiplicar por−2, permite reconocer que el termino entre parente-

sis corresponde a un desarrollo similar para la derivada de ℘(z).

La funcion que se obtiene a partir de la integral de la funcion anterior, con constante

de integracion conveniente, es:

Q(z) =′∑

(m,n)

Ωmn

(z − Ωmn)2 − 2zΩmn

Ω3mn

− Ωmn

Ω2mn

(A.34)

Donde se aprecia que Q(0, 0) = 0.

El desarrollo parcial de la serie de Laurent para Q(z) alrededor del origen es:

Q(z) = 3

′∑(m,n)

Ωmn

Ω4mn

z2 + 4

′∑(m,n)

Ωmn

Ω5mn

z3 + 5

′∑(m,n)

Ωmn

Ω6mn

z4 + . . . (A.35)

En donde, si ha de exigirse que Q(z) sea impar, tras considerar el significado de los

cocientes Ωmn/Ω4mn, Ωmn/Ω

6mn, Ωmn/Ω

8mn, etc., se infiere que estos (como sumas en la

red) deben de anularse (modulo impar). Obteniendo con ello:

Q(z) = 4

′∑(m,n)

Ωmn

Ω5mn

z3 + 6

′∑(m,n)

Ωmn

Ω7mn

z5 + 8

′∑(m,n)

Ωmn

Ω9mn

z7 + . . . (A.36)

De esta forma, a semejanza de las sumas de red S2k+2, los terminos entre parentesis

hacen referencia a una sumas de red. A falta de un nombre para ellas, de la literatura

sovietica, se reproduce su nomenclatura tecnica (Grigolyuk y Filshtinskii, 1970). Esto

es:

T2k+1 =′∑

(m,n)

Ωmn

Ω2k+1mn

para k = 1, 2, 3, . . . (A.37)

Motivo por el cual, se les conoce como sumas de red T . Sustituyendo esta definicion en

la serie de Laurent para Q(z), para r ≥ 1, se tiene:

Q(z) = 4T5 z3 + 6T7 z

5 + 8T9 z7 + . . .+ (2r + 2)T2r+3 z

2r+1 + . . . (A.38)

En apego a la definicion introducida en Natanzon (1935), la serie de Laurent para

℘1(z) se define como:

℘1(z) = b2 z2 + b3 z

4 + b4 z6 + . . .+ bk z

2k−2 + . . . (A.39)

219

En donde, al homologar los coeficientes con las definiciones previas, se tiene:

bk = (2k − 1) 2k T2k+1 para k ≥ 2, (A.40a)

Q(z) =b2

3z3 +

b3

5z5 +

b4

7z7 + . . .+

bk2k − 1

z2k−1 + . . . (A.40b)

Q(z) =∞∑k=2

2k T2k+1 z2k−1. (A.40c)

A.2.2. Relacion entre Q ′(z) y ℘(z)

A fin de poder evaluar los coeficientes bk en terminos de los definidos en (A.20) para

la funcion ℘1(z), en la ecuacion 56 del artıculo de Natanzon, se propone la siguiente

funcion elıptica generatriz:

N(z) = A℘1(z) +B z ℘ ′(z)− ζ(z)℘ ′(z). (A.41)

Expresion en donde A y B son dos constantes desconocidas.

En virtud del caracter elıptico de N(z), se tiene:

N(z + ωα)−N(z) = Aωα ℘(z) +B ωα ℘′(z)− δα ℘ ′(z) = 0. (A.42)

Enunciado que define las constantes A y B mediante el sistema2:Aω1 + B ω1 = δ1

Aω2 + B ω2 = δ2

(A.43)

Con solucion:

A =ω2 δ1 − ω1 δ2

∆=

2π i

∆, (A.44a)

B =ω1 δ2 − ω2 δ1

∆. (A.44b)

En donde el determinante del sistema es: ∆ = ω1 ω2 − ω2 ω1 y se ha considerado la

relacion de Legendre.

Al considerar que las partes principales de los productos z ℘ ′(z) y ζ(z)℘ ′(z) son,

respectivamente, −2/z2 y 2/z4, Natanzon propone, con la finalidad de remover estos

2Adaptado a la notacion de perıodos aquı empleada.

220

polos en el origen, a partir de la relacion de Hermite, la siguiente combinacion lineal:

N(z) = C − 2B ℘(z) +1

3℘ ′′(z) (A.45)

En donde C es una constante.

Al igualar las definiciones (A.42) y (A.45) para la funcion elıptica N(z), sin polos en

el origen, se obtiene:

A℘1(z) = C −Bz ℘ ′(z) + ζ(z)℘ ′(z)− 2B ℘(z) +1

3℘ ′′(z) (A.46)

Ecuacion que relaciona a ℘1(z) con las funciones de Weierstrass.

De esta forma, al considerar las series de Laurent en terminos de los coeficientes ck y

bk, para los primeros terminos se obtiene:

C = −10

3c2, (A.47a)

Ab2 =42

5c3 − 4B c2, (A.47b)

Ab3 =114

7c4 − 6B c3 −

2

3c2

2, (A.47c)

Ab4 =242

9c5 − 8B c4 −

26

15c2c3, (A.47d)

. . .

Es decir, se ha obtenido la asociacion entre las sumas T2k+1 y S2k+2 (k = 2, 3, . . .).

A fin de obtener una relacion de recurrencia entre ambas sumas de red, es menester

desarrollar los productos de series involucrados. Para el producto ζ(z)℘ ′(z) se obtiene:

ζ(z)℘ ′(z) = − 2

z4+∞∑k=2

(2k − 2) ck z2k−4 + 2

∞∑k=2

ck2k − 1

z2k−4+(∞∑k=2

ck2k − 1

z2k−1

)(∞∑k=2

(2k − 2) ck z2k−3

)(A.48)

221

Donde, a partir de la formula para el producto de series de Cauchy, se tiene:(∞∑k=2

ck2k − 1

z2k−1

)(∞∑k=2

(2k − 2) ck z2k−3

)=∞∑k=2

dk z2k. (A.49)

Con

dk = 2k∑l=2

(k − l + 1)

(2 l − 1)cl ck−l+2 para k = 2, 3, 4, . . . (A.50)

Resultado con el cual es posible generar los terminos cuadraticos que aparecen en

(A.47a)-(A.47d). Es decir:

d2 =2

3c2

2, (A.51a)

d3 =26

15c2c3, (A.51b)

d4 =16

7c2c4 +

4

5c2

3, (A.51c)

. . .

Al considerar los coeficientes para las potencias z2k−4 en (A.48), tras sumarlos con sus

contrapartes que se obtienen de la serie de Laurent para ℘ ′ ′(z)/3, se obtiene:

2

2k − 1+ 2k − 2 +

(2k − 3) (2k − 2)

3=

2

3

(2k + 1) (2k2 − 4k + 3)

2k − 1. (A.52)

Resultado que permite definir:

ak =2

3

(2k + 1) (2k2 − 4k + 3)

2k − 1ck para k = 2, 3, 4, . . . (A.53)

Con ello, finalmente se tiene:

C = −a2, (A.54a)

Ab2 = a3 − 4B c2, (A.54b)

Ab3 = a4 − 6B c3 − d2 (A.54c)

. . .

222

Terminos z−4 z0 z2 z4 z6 z8 z10

℘′(z)

z-2 2 c2 4 c3 6 c4 8 c5 10 c6 12 c7

−c2 z3℘′(z)

3

2

3c2

−2

3c22

−4

3c2 c3

−6

3c2 c4

−8

3c2 c5

−c3 z5℘′(z)

5

2

5c3

−2

5c2 c3

−4

5c23

−6

5c3 c4

−c4 z7℘′(z)

7

2

7c4

−2

7c2 c4

−4

7c3 c4

−c5 z9℘′(z)

9

2

9c5

−2

9c2 c5

−c6 z11℘′(z)

11

2

11c6

−c7 z13℘′(z)

13

2

13c7

℘′ ′(z)

32

2 · 13

c24 · 3

3c3

6 · 53

c48 · 7

3c5

10 · 93

c612 · 11

3c7

Sumas 010

3c2

42

5c3

114

7c4 −

2

3c22

242

9c5 −

26

15c2c3

442

11c6 −

16

7c2c3

730

13c7 −

26

9c2c5

−4

5c22 −

62

35c3c4

Tabla A.3.: Valores de verificacion para las relaciones (A.47a)-(A.47d).

Resultado que representa el metodo para evaluar las sumas de red T2k+1. Esto es:

Abk = ak+1 − 2k B ck − dk−1 para k ≥ 2 (A.55)

Definicion en la que implıcitamente se asume que d1 = 0.

A efectos de verificacion, las relaciones (A.47a)-(A.47d) se construyeron a partir de

la tabla A.3, reportada en Natanzon (1935) y extendida en el presente trabajo. En ella,

algunos terminos del producto ζ(z)℘ ′(z) y el cociente ℘ ′′(z)/3 en terminos de sus series

de Laurent se calculan.

223

A.2.3. Calculo de las constantes γ1 y γ2

En virtud de que ℘1(z) es la derivada de Q(z), se procede a efectuar la integracion de

(A.46). Para ello se efectua la integracion por partes de (A.46), resultado en el cual, la

integral para (℘ ′(z))2 surge. A fin de resolverla se procede a emplear la ecuacion dife-

rencial (ec. A.19), hecho lo anterior se determina la condicion de periodicidad sobre la

integral de (A.46).

El procedimiento anterior viene descrito con detalle suficiente en las paginas 355 a

357 de Grigolyuk y Filshtinskii (1970), el resultado de esta evaluacion, en la notacion

aquı empleada, es:

Aγ1 = B δ1 − 5S4 ω1, (A.56a)

Aγ2 = B δ2 − 5S4 ω2. (A.56b)

Para el caso rectangular, de los desarrollos previos, se verifica con facilidad que:

A =π

b/a, (A.57a)

B = − π

b/a+ δ1. (A.57b)

Expresiones a partir de las cuales el calculo de estas constantes puede realizarse. Una

comparacion con el caso cuadrado revela que A = π y B = 0, resultado que coincide con

el reportado.

A.2.4. Series de Laurent para Q(z) y sus derivadas impares

En los problemas planos se propone el desarrollo:

∞∑k=1

0 akQ(k−1)(z)

(k − 1)!= a1

Q(z)

0!+ a3

Q(2)(z)

2!+ . . . (A.58)

224

En donde, de manera analoga a como se hizo con la funcion ζ(z), en los desarrollos

parciales se tiene:

a1Q(z)

0!=a1

0!

[4!

3!T5 z

3 +6!

5!T7 z

5 +8!

7!T9 z

7 + . . .

], (A.59a)

a3Q(2)(z)

2!=a3

2!

[4!

1!T5 z +

6!

3!T7 z

3 +8!

5!T9 z

5 + . . .

], (A.59b)

a5Q(4)(z)

4!=a5

4!

[6!

1!T7 z +

8!

3!T9 z

3 +10!

5!T11 z

5 + . . .

](A.59c)

Repitiendo el procedimiento anteriormente empleado para ζ(z), se tiene:

a1Q(z)

0!= 1 · a1

[4!

1! 3!T5 z

3 +6!

1! 5!T7 z

5 +8!

1! 7!T9 z

7 + . . .

], (A.60a)

a3Q(2)(z)

2!= 3 · a3

[4!

3! 1!T5 z +

6!

3! 3!T7 z

3 +8!

3! 5!T9 z

5 + . . .

], (A.60b)

a5Q(4)(z)

4!= 5 · a5

[6!

5! 1!T7 z +

8!

5! 3!T9 z

3 +10!

5! 5!T11 z

5 + . . .

](A.60c)

Donde es posible identificar el patron que define a ρkl, esto es:

ρkl = ρlk =(k + l)!

k! l!Tk+l+1 para k + l > 2 (A.61)

Y con ello se obtiene:

∞∑k=1

0 akQ(k−1)(z)

(k − 1)!=∞∑l=1

0

∞∑k=1

0 k ak ρkl zl. (A.62)

En donde, necesariamente:

ρ11 = 0. (A.63)

225

B. Problemas Planos: Condiciones

para las tracciones en la interfaz

B.1. Formulacion general

A partir de la condicion de contacto perfecto en la interfaz Γ, para los problemas pqL

se tiene:

‖pqσ(Υ)ij nj‖ = −‖C(Υ)

ijpq‖nj. (B.1)

Al considerar que los constituyentes son transversalmente isotropos, se tiene (Ro-

drıguez-Ramos et al., 2001):

‖pqσ(Υ)iδ nδ‖ = −‖C(Υ)

iδpq‖nδ . (B.2)

Resultado del cual se deducen las relaciones:

Problema plano 11L:

‖11σ(Υ)11 n1 + 11σ

(Υ)12 n2‖ = −‖C(Υ)

1111‖n1 , (B.3a)

‖11σ(Υ)21 n1 + 11σ

(Υ)22 n2‖ = −‖C(Υ)

2211‖n2 , (B.3b)

Problema plano 22L:

‖22σ(Υ)11 n1 + 22σ

(Υ)12 n2‖ = −‖C(Υ)

1122‖n1 , (B.3c)

‖22σ(Υ)21 n1 + 22σ

(Υ)22 n2‖ = −‖C(Υ)

2222‖n2 , (B.3d)

Problema plano 33L:

‖33σ(Υ)11 n1 + 33σ

(Υ)12 n2‖ = −‖C(Υ)

1133‖n1 , (B.3e)

‖33σ(Υ)21 n1 + 33σ

(Υ)22 n2‖ = −‖C(Υ)

2233‖n2 , (B.3f)

Problema plano 12L:

‖12σ(Υ)11 n1 + 12σ

(Υ)12 n2‖ = −‖C(Υ)

1212‖n2 , (B.3g)

‖12σ(Υ)21 n1 + 12σ

(Υ)22 n2‖ = −‖C(Υ)

2112‖n1 . (B.3h)

226

Al observar las similitudes de las expresiones anteriores, es posible enunciar las condi-

ciones de traccion para los problemas locales 11L, 22L y 33L en un solo problema de la

forma:

Problemas planos ppL:

‖ppσ(Υ)11 n1 + ppσ

(Υ)12 n2‖ = −‖C(Υ)

11pp‖n1 , (B.4a)

‖ppσ(Υ)21 n1 + ppσ

(Υ)22 n2‖ = −‖C(Υ)

22pp‖n2 . (B.4b)

En donde la unica variante entre cada uno de estos problemas locales esta dada por

los coeficientes C11pp y C22pp, asociados, respectivamente, a las componentes n1 y n2 del

vector normal.

B.2. Condiciones para los problemas ppL

Considerando que en la interfaz Γ:

n1 = cos θ =eiθ + e−iθ

2=

1

2

(eiθ + e−iθ

), (B.5a)

n2 = sen θ =eiθ − e−iθ

2i=i

2

(−eiθ + e−iθ

), (B.5b)

Al omitir el preındice pp en cada esfuerzo se tiene:

‖σ(Υ)11 n1 + σ

(Υ)12 n2‖ = ‖σ(Υ)

11 n1‖+ ‖σ(Υ)12 n2‖

=1

2

‖σ(Υ)

11 ‖ eiθ + ‖σ(Υ)11 ‖ e−iθ − i‖σ

(Υ)12 ‖ eiθ + i‖σ(Υ)

12 ‖ e−iθ

=1

2

‖σ(Υ)

11 − i σ(Υ)12 ‖ eiθ + ‖σ(Υ)

11 + i σ(Υ)12 ‖ e−iθ

Y, de forma analoga:

‖σ(Υ)21 n1 + σ

(Υ)22 n2‖ = ‖σ(Υ)

21 n1‖+ ‖σ(Υ)22 n2‖

=1

2

‖σ(Υ)

21 ‖ eiθ + ‖σ(Υ)21 ‖ e−iθ − i‖σ

(Υ)22 ‖ eiθ + i‖σ(Υ)

22 ‖ e−iθ

=1

2

‖σ(Υ)

21 − i σ(Υ)22 ‖ eiθ + ‖σ(Υ)

21 + i σ(Υ)22 ‖ e−iθ

A su vez, para las propiedades se tiene:

−‖C(Υ)11pp‖n1 =

1

2

−‖C(Υ)

11pp‖ eiθ − ‖C(Υ)11pp‖ e−iθ

−‖C(Υ)

22pp‖n2 =1

2

i ‖C(Υ)

22pp‖ eiθ − i ‖C(Υ)22pp‖ e−iθ

227

Y con esto, las ecuaciones (B.4) se reescriben como:

‖σ(Υ)11 − i σ

(Υ)12 ‖ eiθ + ‖σ(Υ)

11 + i σ(Υ)12 ‖ e−iθ = −‖C(Υ)

11pp‖ eiθ − ‖C(Υ)11pp‖ e−iθ , (B.6a)

‖σ(Υ)21 − i σ

(Υ)22 ‖ eiθ + ‖σ(Υ)

21 + i σ(Υ)22 ‖ e−iθ = i ‖C(Υ)

22pp‖ eiθ − i ‖C(Υ)22pp‖ e−iθ . (B.6b)

Ahora, multiplicando (B.6a) por i se tiene:

‖i σ(Υ)11 + σ

(Υ)12 ‖ eiθ + ‖i σ(Υ)

11 − σ(Υ)12 ‖ e−iθ = −i ‖C(Υ)

11pp‖ eiθ − i ‖C(Υ)11pp‖ e−iθ (B.7)

Al sumar la expresion anterior con (B.6b), considerando que σ(Υ)12 = σ

(Υ)21 , se tiene:

‖2σ(Υ)21 − i

(σ

(Υ)22 − σ

(Υ)11

)‖ eiθ + i ‖σ(Υ)

22 + σ(Υ)11 ‖ e−iθ =

i ‖C(Υ)22pp − C

(Υ)11pp‖ eiθ − i ‖C

(Υ)22pp + C

(Υ)11pp‖ e−iθ (B.8)

Por ultimo, al multiplicar la expresion anterior por +i se obtiene:

‖σ(Υ)22 − σ

(Υ)11 + 2i σ

(Υ)21 ‖ eiθ − ‖σ

(Υ)22 + σ

(Υ)11 ‖ e−iθ =

− ‖C(Υ)22pp − C

(Υ)11pp‖ eiθ + ‖C(Υ)

22pp + C(Υ)11pp‖ e−iθ . (B.9)

Expresion en donde la definicion de los esfuerzos en terminos de los potenciales de

Kolosov-Muskhelishvili puede sustituirse directamente. Es decir:

‖z ϕ′ ′Υ(z) + ψ′Υ(z)‖ eiθ − ‖ϕ′Υ(z) + ϕ′Υ(z)‖ e−iθ =

1

2

−‖C(Υ)

22pp − C(Υ)11pp‖ eiθ + ‖C(Υ)

22pp + C(Υ)11pp‖ e−iθ

(B.10)

B.3. Condiciones para el problema 12L

Para este problema local el procedimiento a seguirse es similar al previamente ex-

puesto. De esta forma, el analogo a las ecuaciones (B.6) para el problema 12L es:

‖σ(Υ)11 − i σ

(Υ)12 ‖ eiθ + ‖σ(Υ)

11 + i σ(Υ)12 ‖ e−iθ = i ‖C(Υ)

1212‖ eiθ − i ‖C(Υ)1212‖ e−iθ , (B.11a)

‖σ(Υ)21 − i σ

(Υ)22 ‖ eiθ + ‖σ(Υ)

21 + i σ(Υ)22 ‖ e−iθ = −‖C(Υ)

1212‖ eiθ − ‖C(Υ)1212‖ e−iθ . (B.11b)

Al hacer la operacion i× (B.11a) + (B.11b) se tiene:

‖2σ(Υ)21 − i

(σ

(Υ)22 − σ

(Υ)11

)‖ eiθ + i ‖σ(Υ)

22 + σ(Υ)11 ‖ e−iθ = −2 ‖C(Υ)

1212‖ eiθ (B.12)

228

Multiplicando esta expresion por i y sustituirla en las formulas de Kolosov-Muskhelishvili,

se obtiene:

‖z ϕ′ ′Υ(z) + ψ′Υ(z)‖ eiθ − ‖ϕ′Υ(z) + ϕ′Υ(z)‖ e−iθ = −i ‖C(Υ)1212‖ eiθ (B.13)

Expresion analoga a (B.10).

B.4. Operacion auxiliar de simplificacion

Las expresiones (B.10) y (B.13) son en realidad derivadas en la interfaz Γ. Con la

finalidad de eliminar los terminos eiθ y e−iθ basta considerar la relacion de Cauchy-

Riemann para una funcion f(z) = u(x, y) + i v(x, y):

f ′(z) =∂ u

∂ x+ i

∂ v

∂ x=∂ v

∂ y− i ∂ u

∂ y. (B.14)

Donde, al considerar la parametrizacion:

x = R cos θ, (B.15a)

y = R sen θ (B.15b)

Se tiene:∂ f

∂ θ=∂ u

∂ θ+ i

∂ v

∂ θ(B.16)

Aplicando la Regla de la Cadena:

∂ u

∂ θ=∂ u

∂ x

∂ x

∂ θ+∂ u

∂ y

∂ y

∂ θ= −R sen θ

∂ u

∂ x+R cos θ

∂ u

∂ y, (B.17a)

∂ v

∂ θ=∂ v

∂ x

∂ x

∂ θ+∂ v

∂ y

∂ y

∂ θ= −R sen θ

∂ v

∂ x+R cos θ

∂ v

∂ y. (B.17b)

Se deduce:

∂ f

∂ θ= −R sen θ

∂ u

∂ x+R cos θ

∂ u

∂ y+ i

[−R sen θ

∂ v

∂ x+R cos θ

∂ v

∂ y

]. (B.18)

229

Al introducir las siguientes manipulaciones para la relacion de Cauchy-Riemman:

∂ f

∂ θ= −R sen θ

(∂ u

∂ x+ i

∂ v

∂ x

)+R cos θ

(∂ u

∂ y+ i

∂ v

∂ y

)= −R sen θ

(df

dz

)+ i R cos θ

(df

dz

)= i

(df

dz

)R (cos θ + i sen θ)

Se obtiene:∂ f

∂ θ= i R eiθ

df

dz(B.19)

Y, en consecuencia:

∂ f

∂ θ= −i R e−iθ

(df

dz

)(B.20)

B.5. Forma estandar de las condiciones

Al tomar la conjugada de (B.10):

‖z ϕ′ ′Υ(z) + ψ′Υ(z)‖ e−iθ − ‖ϕ′Υ(z) + ϕ′Υ(z)‖ eiθ =

1

2

−‖C(Υ)

22pp − C(Υ)11pp‖ e−iθ + ‖C(Υ)

22pp + C(Υ)11pp‖ eiθ

(B.21)

Y, tras considerar que:

z ϕ′ ′(z) =d

dz[z ϕ′(z)]− ϕ′(z) =

d

dz[z ϕ′(z)− ϕ(z)] (B.22)

230

Se deduce:

‖z ϕ′ ′Υ(z)‖ e−iθ =i

R‖ − i R e−iθ z ϕ′ ′Υ(z)‖

=i

R‖ − i R e−iθ d

dz

(z ϕ′Υ(z)− ϕΥ(z)

)‖ (B.23a)

‖ψ′Υ(z)‖ e−iθ =i

R‖ − i R e−iθ ψ′Υ(z)‖

=i

R‖ − i R e−iθ d

dz

(ψΥ(z)

)‖ (B.23b)

−‖ϕ′Υ(z)‖ eiθ = +i

R‖i R eiθ ϕ′Υ(z)‖

=i

R‖i R eiθ d

dz

(ϕΥ(z)

)‖ (B.23c)

−‖ϕ′Υ(z)‖ eiθ = +i

R‖i R eiθ ϕ′Υ(z)‖

=i

R‖i R eiθ d

dz(ϕΥ(z)) ‖ (B.23d)

Donde la suma de todas ellas es:

i

R‖i R eiθ d

dz

(ϕΥ(z)

)− i R e−iθ d

dz

(z ϕ′Υ(z) + ψΥ(z)

)‖ (B.24)


i

R

∂

∂ θ

‖ϕΥ(z) + z ϕ′Υ(z) + ψΥ(z)‖

(B.25)

De esta forma, se tiene en (B.21):

∂

∂ θ

‖ϕΥ(z) + z ϕ′Υ(z) + ψΥ(z)‖

=

1

2

R i e−iθ‖C(Υ)

22pp − C(Υ)11pp‖ −R i eiθ‖C

(Υ)22pp + C

(Υ)11pp‖

(B.26)

Integrando respecto a θ la ultima expresion, se tiene:

‖ϕΥ(z) + z ϕ′Υ(z) + ψΥ(z)‖ =

1

2

−Re−iθ‖C(Υ)

22pp − C(Υ)11pp‖ −Reiθ‖C

(Υ)22pp + C

(Υ)11pp‖

+ constante (B.27)

231

Designando la constante de integracion como cero, tras considerar que se trata de una

integral en la interfaz Γ, se establece para t = Reiθ, la siguiente condicion equivalente:

‖ϕΥ(t) + t ϕ′Υ(t) + ψΥ(t)‖ =1

2

−t ‖C(Υ)

22pp − C(Υ)11pp‖ − t ‖C

(Υ)22pp + C

(Υ)11pp‖

(B.28)

Obteniendo con ello las condiciones de traccion en la interfaz Γ para los problemas ppL.

Empleando la notacion de Hill1 para las propiedades elasticas (medios transversalmente

isotropos), se obtienen las condiciones reportadas por Rodrıguez-Ramos et al. (2001),

esto es:

Para el problema 11L:

‖ϕΥ(t) + t ϕ′Υ(t) + ψΥ(t)‖ = t ‖mΥ‖ − t ‖kΥ‖ , (B.29a)


‖ϕΥ(t) + t ϕ′Υ(t) + ψΥ(t)‖ = −t ‖mΥ‖ − t ‖kΥ‖ (B.29b)


‖ϕΥ(t) + t ϕ′Υ(t) + ψΥ(t)‖ = −t ‖C(Υ)1133‖ (B.29c)

Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito, para el problema local 12L, se

obtiene:i

R

∂

∂ θ

‖ϕΥ(z) + z ϕ′Υ(z) + ψΥ(z)‖

= i ‖C(Υ)

1212‖ e−iθ (B.30)

Resultado en donde, al evaluar la integral que aparece respecto a θ, se obtiene:

‖ϕΥ(t) + t ϕ′Υ(t) + ψΥ(t)‖ = i t ‖mΥ‖ (B.31)

1Coeficientes: m = (C2222 − C1122)/2, k = (C2222 + C1122)/2.

232

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