PORTAFOLIO TANIA HERRERA
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PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL INTERNACIONAL Tulcán – Ecuador DOCENTE: MSC. JORGE POZO INTEGRANTES: Tania Gabriela Herrera Mafla MARZO 2012- AGOSTO 2012
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PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL
INTERNACIONAL
Tulcán – Ecuador
DOCENTE: MSC. JORGE POZO
INTEGRANTES:
Tania Gabriela Herrera Mafla
MARZO 2012- AGOSTO 2012
1
INTRODUCCION
La estadística inferencial es necesaria cuando queremos hacer alguna
afirmación sobre más elementos de los que vamos a medir. La estadística
inferencial hace que ese salto de la parte al todo se haga de una manera
“controlada”. Aunque nunca nos ofrecerá seguridad absoluta, sí nos ofrecerá
una respuesta probabilística. Esto es importante: la estadística no decide;
sólo ofrece elementos para que el investigador o el lector decidan. En
muchos casos, distintas personas perciben diferentes conclusiones de los
mismos datos.
El proceso será siempre similar. La estadística dispone de multitud de
modelos que están a nuestra disposición. Para poder usarlos hemos de
formular, en primer lugar, una pregunta en términos estadísticos. Luego
hemos de comprobar que nuestra situación se ajusta a algún modelo (si no
se ajusta no tendría sentido usarlo). Pero si se ajusta, el modelo nos
ofrecerá una respuesta estadística a nuestra pregunta estadística. Es tarea
nuestra devolver a la psicología esa respuesta, llenándola de contenido
psicológico.
La estadística descriptiva, como indica su nombre, tiene por finalidad
describir. Así, si queremos estudiar diferentes aspectos de, por ejemplo, un
grupo de personas, la estadística descriptiva nos puede ayudar. Lo primero
será tomar medidas, en todos los miembros del grupo, de esos aspectos o
variables para, posteriormente, indagar en lo que nos interese. Sólo con
esos indicadores ya podemos hacernos una idea, podemos describir a ese
conjunto de personas.
2
OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA
La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la
recolección, organización, análisis e interpretación de datos. Los datos
pueden ser cuantitativos, con valores expresados numéricamente, o
cualitativos, en cuyo caso se tabulan las características de las
observaciones. La estadística sirve en administración y economía para tomar
mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentes de variación y
de la detección de patrones y relaciones en datos económicos y
administrativos.
JUSTIFICACIÓN
El presente portafolio tiene como justificación recolectar todo el trabajo dado
en clases como portafolio de apoyo del estudiante y además ampliar mas el
contenido con investigaciones bibliográficas de libros ya que esto nos
permitirá analizar e indagar de los temas no entendidos para auto educarse
el estudiante y así despejar los dudas que se tiene con la investigación y el
análisis de cada uno de los capítulos ya que la estadística inferencial es
amplia y abarca problemas que estas relacionados con el entorno para
poder sacar nuestras propias decisiones ya que la estadística inferencial nos
ayudara a la carrera en la que estamos siguiendo como lo es comercio
exterior ampliar mas nuestros conocimientos y utilizar más el razonamiento y
sacar conclusiones adecuadas según el problema que se presente en el
entorno ay que las matemáticas y la estadística nos servirá a futuro para así
poderlos emplear a futuro .
3
CAPITULO I
EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Las unidades del sistema internacional de unidades se clasifican en
fundamentales y derivadas. Las unidades fundamentales no se pueden
reducir. Se citan las unidades fundamentales de interés en la asignatura de
ciencias e ingenierías de os materiales.
Las unidades derivadas se expanden en función de las unidades
fundamentales utilizando signos matemáticos de multiplicación y de división.
Por ejemplo las unidades de densidad del sí son el kilogramo por metro
cubico algunas unidades derivadas tienen nombres y símbolos especiales.
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo
internacional del kilogramo (Diaz, 2008)
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos
de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles
HIPERFINOS del estado fundamental del átomo de cesio 133. (Diaz, 2008)
Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad
de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores
paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y
4
situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una
fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud. (Diaz, 2008)
Unidad de temperatura termodinámica El kelvin (K), unidad de
temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura
termodinámica del punto triple del agua. (Diaz, 2008)
Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia
de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay
en 0,012 kilogramos de carbono 12. (Diaz, 2008)
Unidad de intensidad luminosa La candela (CD) es la unidad luminosa, en
una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática
de frecuencia 540·1012 HERTZ y cuya intensidad energética en dicha
dirección es 1/683 WATT por estereorradián. (Diaz, 2008)
Peso: es una magnitud derivada se considera como una unidad vectorial.
(Diaz, 2008)
Escalar: aquel que indica el número y la unidad. (Diaz, 2008)
Vector: indica número unidad dirección etc. (Diaz, 2008)
Magnitud derivada: el peso de la unidad newton es una unidad de fuerza.
(Diaz, 2008)
Gravedad: es la que permite a los cuerpos caer en perpendiculares según la
gravedad de la tierra (Diaz, 2008)
MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS
Múltiplo
Un múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número entero
de veces. En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal que, dividido
por n, da por resultado un número entero Los primeros múltiplos del uno al
diez suelen agruparse en las llamadas tablas de multiplicar. (Pineda, 2008)
5
Submúltiplo
Un número entero a es submúltiplo de otro número b si y sólo si b es múltiplo
de a, (Pineda, 2008).
COMENTARIO:
El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la finalidad de: Estudiar el
establecimiento de un conjunto de reglas para las unidades de medida y
como estudiantes de comercio exterior nos ayuda muchísimo porque con el
podemos obtener los resultados al almacenar una mercancía en el
contenedor sin perder el tiempo que es valioso en la carrera, y también si
perder el espacio dentro de dicho contenedor.
El sistema internacional de unidades es estudiado para obtener datos reales
y a su vez poder dar nuestros resultados sacando conclusiones propias de la
carrera Para una comunicación científica apropiada y efectiva, es esencial
que cada unidad fundamental de magnitudes de un sistema, sea
especificada y reproducible con la mayor precisión posible.
6
ORGANIZADOR GRAFICO:
Sistema Internacional de Medidas y Unidades
Magnitudes fundamentales
Una magnitud fundamental
es aquella que se define
por sí misma y es
independiente de las
demás (masa, tiempo,
longitud, etc.).
Magnitudes derivadas
Para resolver el problema que suponga la utilización de unidades diferentes en distintos lugares del mundo, en la XI
Conferencia General de Pesos y Medidas (París, 1960) se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el
cuadro siguiente puedes ver las magnitudes fundamentales del SI, la unidad de cada una de ellas y la abreviatura que se
emplea para representarla:
Son la que
dependen de las
magnitudes
fundamentales.
Múltiplos Submúltiplos
Un número es un
submúltiplo si otro lo
contiene varias veces
exactamente. Ej.: 2 es
Un múltiplo de n es
un número tal que,
dividido por n, da por
resultado un número
entero
7
TRABAJO # 1
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS
MÚLTIPLOS.- Se pueden obtener múltiplos de cualquier número, son
aquellos que se obtiene al sumar el mismo número varias veces o al
multiplicarlo por cualquier número. (son infinitos), (Aldape & Toral, 2005,
pág. 94).
Ejemplo:
Múltiplos de 5:
5-10-15-20-25-30-35-405-500-1000
SUBMÚLTIPLOS.- Los submúltiplos son todo lo contrario, son las divisiones
exactas de un número, (Aldape & Toral, 2005).
Por ejemplo :
Submúltiplos de 30:
6, 10, 5, 2, 3, etc.
8
MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS
LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Una magnitud fundamental es
aquella que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa,
tiempo, longitud, etc.).
LONGITUD: Es la medida del espacio o la distancia que hay entre
dos puntos. La longitud de un objeto es la distancia entre sus
extremos, su extensión lineal medida de principio a fin, (Serway &
Faughn, 2006).
MASA: Es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un
cuerpo, (Serway & Faughn, 2006).
TIEMPO: Es la magnitud física que mide la duración o separación de
acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a
observación, (Serway & Faughn, 2006).
INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA: Se denomina
intensidad de corriente eléctrica a la cantidad de electrones que pasa
a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo,
(Serway & Faughn, 2006).
TEMPERATURA: Es una magnitud referida a las nociones comunes
de calor o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una
temperatura mayor, (Serway & Faughn, 2006).
INTENSIDAD LUMINOSA: En fotometría, la intensidad luminosa se
define como la cantidad flujo luminoso, propagándose en una
dirección dada, que emerge, atraviesa o incide sobre una superficie
por unidad de ángulo solido, (Enríquez, 2002).
CANTIDAD DE SUSTANCIA: Su unidad es el mol. Surge de la
necesidad de contar partículas o entidades elementales
microscópicas indirectamente a partir de medidas macroscópicas
(como la masa o el volumen). Se utiliza para contar partículas,
(Enríquez, 2002).
9
MAGNITUDES DERIVADAS.- Son la que dependen de las magnitudes
fundamentales.
VELOCIDAD: Es la magnitud física que expresa la variación de
posición de un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por
un objeto en la unidad de tiempo, (Enríquez, 2002).
AREA: Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una
figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida
denominadas superficiales, (Enríquez, 2002).
VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por
un cuerpo, (Enríquez, 2002).
FUERZA: se puede definir como una magnitud vectorial capaz de
deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o
vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles,
(Enríquez, 2002).
TRABAJO: El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una
fuerza por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que
forman ambas magnitudes vectoriales entre sí, (Enríquez, 2002).
La unidad del trabajo es el JOULE.
ENERGIA: Es una magnitud física abstracta, ligada al estado
dinámico de un sistema y que permanece invariable con el tiempo en
los sistemas aislados. La unidad de la energía es el Joule, (Enríquez,
2002).
10
Figura Esquema Área Volumen
Cilindro
Esfera
Cono
Cubo
A = 6 a2 V = a3
Prisma
A = (perim. base •h) + 2 •
area base
V = área base
• h
Pirámid
e
Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos
11
CONCLUSIONES
El sistema internacional de unidades es muy importante porque se
involucra en nuestra carrera permitiendo la relación económica con
otros países mediante comercio internacional y su negociación entre
ellos. como también la práctica de problemas del sistema
internacional de unidades nos ayudan a ver la realidad de nuestro
entorno de cómo podemos solucionar problemas al momento de
exportar una mercancía, que cantidad de materia prima,
electrodomésticos, enceres que actualmente se exporta en gran
cantidad, puede alcanzar dentro de un contenedor.
El sistema internacional de unidades nos ayudan a vincularnos en los
negocios, como realizar negociaciones en el exterior porque a través
de este sistema podemos indicar el volumen, área, del tipo de
trasporte el cual se va a exportar la mercancía, que cantidad de cajas
por ejemplo podemos enviar al exterior este sistema es muy
fundamental en la carrera de comercio exterior.
Recomendaciones
Se recomienda saber todas las medidas del sistema internacional de
unidades como también las magnitudes , longitud, masa y volumen de
las figuras geométrica para que nuestro producto o mercancía pueda
ser exportada al exterior, es necesario conocer debido a que nos
permitirá realizar una buena negociación conociendo la cantidad de
mercancía que puede introducirse en el transporte.
Es de mucha importancia, que como estudiantes de la carrera de
comercio exterior conozcamos las unidades básicas más utilizadas
que se encuentran presentes en el Sistema internacional para una
correcta aplicación en los ejercicios propuestos. La utilización de las
medidas del Sistema Internacional se presenta a nivel internacional y
por ende son aplicadas en el los negocios de Comercio Internacional
ya que permite una mejor movimiento e intercambio.
12
13
BIBLIOGRAFÍA
Aldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A.
Altamirano, E. (2007).
Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía.
México: Cengage Learning.
Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales .
Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.
Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.
García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia:
I.S.B.N.
J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .
14
Pineda, L. (2008). matematicas.
Rodrígues, M. E. (2001). Coeficientes de Asociación. México: Plaza y
Valdés.
Sabadías, A. V. (2001). Estadística Descriptiva e Inferencial . Murcia:
COMPOBELL.
Serway, R. A., & Faughn, J. S. (2006). FÍSICA para bachillerato general.
New York: THOMSON.
Weiers, R. M. (2006). Introducción a la Estadística para Negocios. México:
Learning Inc.
Willliams, T. A. (2008). Estadística para Administración y Economía. México:
Cengage Learning.
LINKOGRAFIA
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm
file:///K:/Tabla-de-Magnitudes-Unidades-Y-Equivalencias.htm
file:///K:/books.htm
file:///K:/volumenes/areas_f.html
file:///K:/cuerposgeoAreaVolum.htm
ANEXOS:
1.- Convertir 2593 Pies a Yardas.
15
2.- Convertir 27,356 Metros a Millas
3.- Convertir 386 Kilogramos a Libras.
4.- Convertir 2,352 Segundos a Año.
5.- Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.
16
TRANSFORMACIONES
En muchas situaciones tenemos que realizar operaciones con magnitudes
que vienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los
cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades
de forma que se cumpla el principio de homogeneidad, (Ledanois & Ramos,
2002).
Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se
mueve a velocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30
segundos, debemos aplicar la sencilla ecuación S = v·t, pero tenemos el
problema de que la velocidad viene expresada en kilómetros/hora, mientras
que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una de las
dos unidades, de forma que ambas sean la misma, para no violar el principio
de homogeneidad y que el cálculo sea acertado, (Ledanois & Ramos, 2002).
Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión.
Llamamos factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos
unidades de la misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los
valores numéricos de equivalencia entre ambas unidades, (Ledanois &
Ramos, 2002).
EJERCICIOS REALIZADOS EN CLASE
Volumen 300 transformar en pulgadas 3
V= 100000
17
V= 100000
Q= 7200000
Vol. Paralelepípedo L x a x h
Vol. Cubo
Vol. Esfera
Vol. Cilindro
Vol. Pirámide
Área cuadrada
Área de un rectángulo B x h
Área de un circulo
Área de un triangulo
En una bodega tiene un largo de 60 m un ancho de 30 m cuantas cadjas de
manzana puede ubicar en esta bodega en estas cajas tiene 60cm de lado y
30 de ancho y 40 de altura.
Vol. de p bodega = l x a h = 60 x 30 x3 = 5400
Vol. De p caja = 60 x 30 x 40 = 72000
18
TRANSFORMACIÓN
X=
Un tanquero tiene una longitud de 17 m y un radio del tanque de 1.50 m.
¿Cuántos litros se puede almacenar en dicho tanque?.
RESOLUCION
VOL. CILINDRO =
VOL. CILINDRO= 3.1416 X (1.50 X (17)= 0 120.17
TRANSFORMACIÓN
120.17
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SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
LONGITUD
1 Km 1000 m
1 m 100 cm
1 cm 10 mm
1 milla 1609 m
1 m 1000 mm
MASA
1qq 100 lbs.
1 Kg 2.2 lbs.
1 qq 45.45 Kg
1 qq 1 arroba
1 arroba 25 lbs.
1 lb 454 g
1 lb 16 onzas
1 utm 14.8 Kg
1 stug 9.61 Kg
1 m 10 Kg
1 tonelada 907 Kg
ÁREA
100
1 10000
1 hectárea 10000
1 acre 4050
1 pie (30.48 cm
1 pie 900.29
1 10.76
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COMENTARIO EN GRUPO:
Como comentario en grupo podemos decir que las transformaciones nos
servirá en la carrera del comercio exterior y además poder resolver
problemas que se presenten ya que al realizar ejercicios de cilindros y
tanque etc., y otras formas geométricas nos servirá para determinar cuántas
cajas o bultos, etc. que pueden alcanzar en una almacenera o en cada uno
de los contenedores esto nos servirá al realizar prácticas o al momento de
emprender nuestro conocimientos a futuro.
ORGANIZADOR GRAFICO:
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LONGITUD
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los
múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la
anterior, (Riley & Sturges, 2004).
LONGITUD
1 KM 100 M
1 M 100M, 1000MM
1 MILLA 1609M
1 PIE 30,48CM, 0,3048M
1 PULGADA 2,54CM
1 AÑO LUZ 9,46X1015M
TIEMPO.
El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación
de acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación,
esto es, el período que transcurre entre el estado del sistema cuando éste
aparentaba un estado X y el instante en el que X registra una variación
perceptible para un observador (o aparato de medida). El tiempo ha sido
frecuentemente concebido como un flujo sucesivo de situaciones
atomizadas, (López, March, García, & Álvarez, 2004).
MEDIDAS DEL TIEMPO
1 AÑO 365 DIAS
1 MES 30 DIAS
1SEMANA 7 DIAS
1 DIA 24 HR
1 HORA 60 MIN,3600SEG
1 MINUTO 60 SEG.
MASA Y PESO.
La masa es la única unidad que tiene este patrón, además de estar en
Sevres, hay copias en otros países que cada cierto tiempo se reúnen para
ser regladas y ver si han perdido masa con respecto a la original. El
kilogramo (unidad de masa) tiene su patrón en: la masa de un cilindro
fabricado en 1880, compuesto de una aleación de platino-iridio (90 % platino
22
- 10 % iridio), creado y guardado en unas condiciones exactas, y que se
guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Seres, cerca de
París, (Hewitt, 2004).
PESO
De nuevo, atención a lo siguiente: la masa (la cantidad de materia) de cada
cuerpo es atraída por la fuerza de gravedad de la Tierra. Esa fuerza de
atracción hace que el cuerpo (la masa) tenga un peso, que se cuantifica con
una unidad diferente: el Newton (N), (Torre, 2007).
SISTEMA DE CONVERSION DE MASA
1 TONELADA
1000 KG
1 QQ 4 ARROBAS, 100 L
1 ARROBA 25 L
1 KG 2,2 L
1 SLUG 14,58 KG
1 UTM 9,8 KG
1 KG 1000 GR
1 L 454 GR, 16 ONZAS
23
TRABAJO # 2
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CONCLUSIÓN:
La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada
en una cierta unidad de medida, en otra equivalente. Este proceso suele
realizarse con el uso de los factores de conversión y las tablas de
conversión del Sistema Internacional de Unidades.
Frecuentemente basta multiplicar por un factor de conversión y el resultado
es otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades.
Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades
se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que
el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.
Cuando se trabaja en la resolución de problemas, frecuentemente surge la
necesidad de convertir valores numéricos de un sistema de unidades a otro,
por lo cual es indispensable tener conocimientos sobre las equivalencias de
los diferentes sistemas de unidades que nos facilitan la conversión de una
unidad a otra, tomando en cuenta el país y la medida que se emplee en los
diferentes lugares.
RECOMENDACIÓN:
En toda actividad realizada por el ser humano, hay la necesidad de medir
"algo"; ya sea el tiempo, distancia, velocidad, temperatura, volumen,
ángulos, potencia, etc. Todo lo que sea medible, requiere de alguna unidad
con qué medirlo, ya que las personas necesitan saber qué tan lejos, qué tan
rápido, qué cantidad, cuánto pesa, en términos que se entiendan, que sean
reconocibles, y que se esté de acuerdo con ellos; debido a esto es
necesario tener conocimientos claros sobre el Sistema De Conversión De
Unidades pues mediante el entendimiento de este sistema o patrón de
referencia podremos entender y comprender con facilidad las unidades de
medida las cuales las podremos aplicar en la solución de problemas de
nuestro contexto.
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
MES DE MARZO-ABRIL
ACTIVIDADES M J V S D L M
Investigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas
X X
Ejecución del Formato del Trabajo X
Resumen de los textos investigados X X
Finalización del Proyecto X
Presentación del Proyecto X
BIBLIOGRAFIA
Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.
Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.
García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia:
I.S.B.N.
Hewitt, P. G. (2004). Física Conceptual. México: Pearson Educación S.A.
J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .
Ledanois, J. M., & Ramos, A. L. (2002). Magnitudes, Dimensiones y
Conversiones de Unidades. Caracas: EQUINOCCIO.
López, J. C., March, S. C., García, F. C., & Álvarez, J. M. (2004). Curso de
Ingeniería Química. Barcelona: REVERTÉ S.A.
Pineda, L. (2008). matematicas.
Riley, W. F., & Sturges, L. F. (2004). ESTÁTICA. Barcelona: REVERTÉ.
LINKOGRAFIA:
34
http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_fundamental#Unidades_en_el_Siste
ma_Internacional_de_Unidades_.28SI.29
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29
http://www.quimicaweb.net/ciencia/paginas/magnitudes.html
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/VolumenCilindro.htm
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum1.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm
ANEXOS:
1.- Investigar las medidas de un tráiler, de una mula y de un camión sencillo,
además las medidas de las cajas de plátano, manzanas, quintales de papa y
arroz. Con esa información calcular el número de cajas y quintales que
alcanzan en cada uno de los vehículos.
TRAILER MULA CAMION SENCILLO
Largo 14.30m Largo 8.27m Largo 10.80m
Ancho 2.45m Ancho 2.50m Ancho 2.60m
Alto 2.6m Alto 1.44m. Alto 4.40m
Medidas de las cajas:
Medidas de las cajas de plátano
LARGO ANCHO ALTO
20cm 51cm 34cm
Medidas de las cajas de manzana
7.5cm 9.5cm 7.5cm
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Desarrollo:
36
a.
1 caja de plátano-----------------911*10-05m3
X 91.09m3
b.
1 caja de manzana-----------------5.3*108m3
X 9.11*10-05m3
c.
(
) (
) (
) (
) (
)
37
1 qq de papa-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
d.
(
) (
)(
)(
) (
)
1 qq de arroz-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
e.
1 caja de plátano-----------------911*10-05m3
X 29.77m3
38
f.
1 caja de manzana-----------------5.3*108m3
X 29.77m3
g.
1 qq de papa-----------------0.05m3
X 29.77m3
.
h.
1 qq de arroz-----------------0.05m3
X 9.11*10-05m3
39
i.
1 caja de plátano-----------------911*10-05m3
X 123.55m3
j.
1 caja de manzana-----------------5.3*108m3
X 123.55m3
k.
1 qq de papa-----------------0.05m3
X 123.55m3
40
.
l.
1 qq de arroz-----------------0.05m3
X 123.55m3
.
41
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DEL PRIMER CAPÍTULO:
Tiempo Actividades
MARZO ABRIL MAYO
SEMANAS SEMANAS SEMANAS
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
PRIMERA CLASE
Competencia especifica (27-Marzo-2012)
X
Introducción de la Materia (27-Marzo-2012)
x
SEGUNDA CLASE
Sistema Internacional de Unidades (03-Abril-2012)
X
Tarea Sistema Internacional de Unidades. Entregar el 10 de abril del
2012
X
TERCERA CLASE
Aplicación de transformaciones (17 de abril del 2012)
X
Tarea Ejercicios de aplicación acerca del Sistema Internacional de unidades según las transformaciones (24 de abril del 2012)
X
CUARTA CLASE
Evaluación primer capitulo (03 de Mayo del 2012)
x
42
43
44
CAPITULO II
MARCO TEORICO:
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL
La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las
dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir,
determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la
otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o
que hay correlación entre ellas.
Una medida estadística ampliamente utilizada que mide el grado de
relación lineal entre dos variables aleatorias. El coeficiente de correlación
debe situarse en la banda de -1 a +1. El coeficiente de correlación se
calcula dividiendo la covarianza de las dos variables aleatorias por el
producto de las desviaciones típicas individuales de las dos variables
aleatorias. Las correlaciones desempeñan un papel vital en la creación de
carteras y la gestión de riesgos, (Weiers, 2006).
Comentario:
A una correlación se la puede apreciar con un grupo de técnicas
estadísticas empleadas para medir la intensidad de dicha relación entre dos
variables, en donde se deben identificar la variable dependiente y la
independiente.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
Representación gráfica del grado de relación entre dos variables cuantitativas.
45
Características principales
A continuación se comentan una serie de características que ayudan a
comprender la naturaleza de la herramienta.
Impacto visual
Un Diagrama de Dispersión muestra la posibilidad de la existencia de correlación
entre dos variables de un vistazo.
Comunicación
Simplifica el análisis de situaciones numéricas complejas.
Guía en la investigación
El análisis de datos mediante esta herramienta proporciona mayor información que
el simple análisis matemático de correlación, sugiriendo posibilidades y
alternativas de estudio, basadas en la necesidad de conjugar datos y procesos en
su utilización, (García, 2000).
Comentario:
El diagrama de dispersión sirve para una representación gráfica más fácil y
útil cuando se quiere describir el comportamiento de un conjunto de dos
variables, en donde aparece representado como un punto en el plano
cartesiano.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSON
En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide la
relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la
covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de
las variables.
46
De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de
Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de
dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.
El coeficiente de correlación es una medida de asociación entre dos
variables y se simboliza con la literal r; los valores de la correlación van de
+ 1 a - 1, pasando por el cero, el cual corresponde a ausencia de
correlación. Los primeros dan a entender que existe una correlación
directamente proporcional e inversamente proporcional, respectivamente,
(Willliams, 2008).
Comentario:
El coeficiente de correlación de Pearson nos da una idea de que tan
relacionadas están dos variables, este número varía entre 0 y 1; si el
coeficiente es > 0.9, entonces es una buena correlación y cuando un
coeficiente es < 0.3 indica que las variables no están correlacionadas entre
ellas y por lo que el 1 representa una correlación perfecta.
INTERPRETACIÓN DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
El coeficiente de correlación como previamente se indicó oscila entre –1 y +1
encontrándose en medio el valor 0 que indica que no existe asociación lineal entre
las dos variables a estudio. Un coeficiente de valor reducido no indica
necesariamente que no exista correlación ya que las variables pueden presentar
una relación no lineal como puede ser el peso del recién nacido y el tiempo de
gestación. En este caso el r infraestima la asociación al medirse linealmente. Los
métodos no paramétrico estarían mejor utilizados en este caso para mostrar si las
variables tienden a elevarse conjuntamente o a moverse en direcciones diferentes.
Como ya se ha planteado el grado de correlación mide la intensidad de
relación lineal, ya sea directa, inversa o inexistente entre dos variables, se
47
dice que es directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula
cuando el valor sea aproximadamente igual a cero, (Anderson, 2005).
Comentario:
El coeficiente de correlación mide solo la relación con una línea recta, dos
variables pueden tener una relación curvilínea fuerte, a pesar de que su
correlación sea pequeña; por lo tanto cuando analicemos las relaciones
entre dos variables debemos representarlas gráficamente y posteriormente
calcular el coeficiente de correlación para un mejor entendimiento.
FORMULA
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ [ ∑ ∑ ]
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Elegida una de las variables independientes y representadas los valores de la
variable bidimensional, si observamos que la función que mejor se adapta a la
forma de la nube de puntos es una recta, tendremos un problema de regresión
lineal. Si hemos elegido el carácter X como variable independiente, tendremos a la
recta de regresión de Y sobre X. Si elegimos Y como variable independiente, se
obtendrá la recta de regresión de X sobre Y.
Regresión Lineal Simple.- suponga que tenemos una única variable respuesta
cuantitativa Y, y una única variable predictora cuantitativa X. Para estudiar la
relación entre estas dos variables examinaremos la distribución condicionales de Y
dado X=x para ver si varían cuando varia x. (MORER, 2004)
48
COMENTARIO:
Podemos concluir diciendo que una de las variables independientes y
representadas los valores que mejor se adapta a la forma de la nube de
puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. A demás
el hecho de entender de que se trata una regresión lineal y saberla aplicar
relacionando dos variables nos será de mucha ayuda en nuestro futuro ya
que nos permitirá aplicar lo aprendido en problemas reales que se nos
presenten en nuestra vida profesional como por ejemplo el saber que tan
buena resulta una relación entre exportaciones e importaciones que el
Ecuador ha realizado y así con esto poder tomar decisiones.
CORRELACIÓN POR RANGOS
Cuando se obtienen datos en parejas, tales como observaciones de dos variables
para un mismo individuo, deseamos conocer si las dos variables están
relacionadas o no y de estarlo, el grado de asociación entre ellas.
Correlación Por Rangos.- Este coeficiente de Sperman, es muy utilizado en
investigaciones de mercado, especialmente cuando no se deben aplicar medidas
cuantitativas para ciertas características cualitativas, en aquellos casos , en donde
se pueden aplicar ambos coeficientes de correlación, encontraremos que sus
resultados son bastante aproximados. (BENCARDINO, 2006)
COMENTARIO:
Son datos en pareja para poder conocer la relación que existe entre ellas
para un solo individuo en común, y medir el grado de asociación entre ellas.
Esto es muy interesante ya que en un futuro nos ayudara en lo que nos
vamos a desarrollar que es un ambiente de negocios, ya que podemos
aplicar esta técnica estadística aprendida, y así poder solucionar problemas
que se nos presenten comúnmente y saber que tan buena es la relación
49
entre las dos variables propuestas es decir nos ayudara mucho ya que nos
dará una idea de que tan relacionadas linealmente están dos variables y si
su relación es positiva o negativa.
RANGO
La diferencia entre el menor y el mayor valor. En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3,
y el mayor es 9, entonces el rango es 9-3 igual a 6. Rango puede significar
también todos los valores de resultado de una función.
Rango.- es una categoría que puede aplicarse a una persona en función de su
situación profesional o de su status social. Por ejemplo: “Tenemos que respetar el
rango del superior a la hora de realizar algún pedido”, “Diríjase a mi sin olvidar su
rango o será sancionado. (MORER, 2004)
COMENTARIO:
Rango es el valor que se diferencia entre el menor y el mayor valor. Rango
puede significar también todos los valores de resultado de una función, y se
puede así relacionar y correlacionar a dos variables para obtener resultados
que nos ayudan a la toma de decisiones. A demás un rango es importante
ya que nos permite la obtención de datos más exactos y pues con esto
nuestro trabajo se entonara de forma más real y sobre todo de forma más
precisa, y por ende tomaremos decisiones más acertadas.
COMENTARIO GENERAL:
La correlación y regresión lineal están estrechamente relacionadas entre si las
cuales nos ayudan a comprender el análisis de los datos muéstrales para saber
qué es y cómo se relacionan entre sí dos o más variables en una población que
deseemos estudiar para así poder determinar posibles resultados que nos darán
50
en un estudio de mercado por ejemplo ya que nuestra carrera de comercio exterior
está muy relacionada con ese ámbito.
La regresión lineal por otro lado nos permitirá graficar las dos variables a estudiar
determinando su situación y si es conveniente o no desarrollar lo propuesto o
investigado. La finalidad de una ecuación de regresión seria estimar los valores de
una variable con base en los valores conocidos de la otra.
Es decir en resumen que nos permitirá tomar decisiones acertadas dentro de un
estudio ya sea en una población que determinara el éxito o fracaso entre dos
variables a estudiar, y facilitara la recolección de información.
ORGANIZADOR GRAFICO:
CORRELACION Y REGRESION
LINEAL
ayuda a la toma de decisiones segun lo
resultante en la aplicacion de estos
grupodetécnicasestadísticasusadasparamedirlafuerzadelaasociaciónentredosvariable
s
se ocupa de establecer si existe una relación así como de determinar su magnitud y dirección mientras que la
regresión se encarga principalmente de utilizar a
la relación para efectuar una predicción.
determinar posibles resultados como por ejemplo del exito en
un estudi de mercado
permite evaluar decisiones que se
tomen en una poblacion
herramienta basica para estudios y
analisis que pueden determinar el exito o
fracaso entre dos opciones
51
TRABAJO #3
52
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55
56
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79
80
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
Actividad
Días
Responsable Mar,
08
Mié,
09
Jue,
10
Vie,11 Sáb,12 Dom,13 Lun,14 Mar,15 Mié,16 Jue,17
Copias Tamara
Apraez,
Diana Coral,
Diana García,
Tania
Herrera.,
Janeth Reina
Iniciar
con los
ejercicios
Tamara
Apraez,
Diana Coral,
Diana Garcia,
Tania
Herrera.,
Janeth Reina
Terminar
los
ejercicios
Tamara
Aprez, Diana
Coral, Diana
García,
Tania
Herrera.,
Janeth Reina
Prueba Tamara
Aprez, Diana
Coral, Diana
Garcia,
Tania
Herrera.,
Janeth Reina
81
ANEXOS:
Ejemplo 1:
La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e
Y.
X: 6 3 7 5 4 2 1
Y: 7 6 2 6 5 7 2
Calcule:
a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
b. La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas
c. La varianza de Y ( ), la varianza de las puntuaciones pronosticadas ( )
y la varianza error (
a)
X Y XY X2 Y2
6 3 7 5 4 2 1
7 6 2 6 5 7 2
42 18 14 30 20 14 2
36 9
49 25 16 4 1
49 36 4
36 25 49 4
28 35 140 140 203
82
b)
c)
Ejemplo 2:
Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se
muestran en la tabla:
X: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13
Y: 1; 4; 6; 6; 7; 8; 10
a. Si utilizamos la variable X como predictora de la variable Y, ¿qué porcentaje
de variabilidad de Y no puede ser explicada por la variabilidad de X?.
b. ¿Qué valor pronosticaríamos en la variable Y, si en la variable X obtenemos
un valor de 10?
c. Suponiendo que no dispusiéramos de la información relativa a la variable X,
¿qué valor pronosticaríamos para la variable Y? (Razone su respuesta).
83
a) Completamos la siguiente tabla:
X Y XY X2 Y2
1 1 1 1 1
3 4 12 9 16
5 6 30 25 36
7 6 42 49 36
9 7 63 81 49
11 8 88 121 64
13 10 130 169 100
49 42 366 455 302
El cuadrado del coeficiente de correlación (coeficiente de determinación) se
interpreta como proporción de varianza de la variable Y que se explica por las
variaciones de la variable X. Por tanto: es la proporción de varianza no
explicada. Esta proporción multiplicada por 100 es el tanto por ciento o porcentaje.
b) Aplicamos la ecuación de regresión de Y sobre X: Y= b.X + a. Siendo b la
pendiente y ala ordenada cuyas expresiones aparecen entre paréntesis.
84
c) Le pronosticaríamos la media, porque no disponiendo información de la variable
X es con el que cometemos menos error de pronóstico.
Ejemplo 3:
Elección de la prueba estadística para medir la asociación o correlación. Las
edades en días están en escala de tipo intervalo, tenemos dos variables, entonces
aplicamos esta prueba.
Objetivo: Conocer qué grado de asociación existe entre la edad y peso corporal de
niños de edades desde el nacimiento hasta los 6 meses.
Hipótesis.
Entre las observaciones de edad de los niños y peso corporal existe correlación
significativa.
Ho. Entre las observaciones de edad de los niños y pero corporal no existe
correlación significativa.
85
Ejemplo 4:
Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus
puntuaciones fueron: 13, 9, 17, 25, 21, 33, 29. Además se les pidió a los sujetos
que reconocieran un conjunto de figuras imposibles (variable Y). Después de
calcular la ecuación de regresión para pronosticar Y a partir de X, se sabe que
86
para una puntuación típica de 1,2 en X se pronosticaría una puntuación típica de
0,888 en Y. También se sabe que la desviación típica de las puntuaciones
pronosticadas para Y es 11,1. Con estos datos calcular:
a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
Sujeto Xi
1 13 169
2 9 81
3 17 289
4 25 625
5 21 441
6 33 1089
7 29 841
Sumatorio 147 3535
a. La ecuación de regresión en puntuaciones diferenciales para pronosticar Y
a partir de X
87
a. La varianza de los errores del pronóstico.
Ejemplo 5:
De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben los siguientes
datos que se muestran en la tabla:
Calcular:
a) Recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas.
88
b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
c) La varianza de las puntuaciones pronosticadas.
EJEMPLO 6:
Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El
Ecuador tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis
de cual empresa es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el
país de importación.
Empresas
Valor de los transformadores
x
Unidades posibles a vender
y
X2
Y2
XY
1
2
3
4
5
1800
1500
1200
900
850
100
98
80
62
58
3.240.000
2.250.000
1.440.000
810.000
722.500
10.000
9.604
6.400
3.844
3.364
180.000
147.000
96.000
55.800
49.300
∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y2=33.212 ∑xy=
528.100
Fórmula:
89
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√[ ][ ]
√[ ][ ]
Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la
empresa importadora.
EJEMPLO 7:
Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El
Ecuador tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis
de cual empresa es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el
país de importación.
90
Empresas
Valor de los transformadores
x
Unidades posibles a vender
y
X2
Y2
XY
1
2
3
4
5
1800
1500
1200
900
850
100
98
80
62
58
3.240.000
2.250.000
1.440.000
810.000
722.500
10.000
9.604
6.400
3.844
3.364
180.000
147.000
96.000
55.800
49.300
∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y2=33.212 ∑xy=
528.100
Fórmula:
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√[ ][ ]
√[ ][ ]
Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la
empresa importadora.
91
EJEMPLO 8:
La empresa MIDECAR ha clasificado como mercancías de mayor responsabilidad
las mercancías peligrosas y frágiles obteniendo así los siguientes datos
mensuales sobre las toneladas de mercancías que ingresan sobre este tipo:
MESES Mercancías
Peligrosas
Mercancías
Frágiles
x y x^2 y^2 xy
Enero 189 85 35721 7225 16065,00
Febrero 105 96 11025 9216 10080,00
Marzo 125 78 15625 6084 9750,00
Abril 116 48 13456 2304 5568,00
Mayo 124 98 15376 9604 12152,00
659 405 91203 34433 53615
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√[ ][ ]
92
√[ ][ ]
√
93
La relación que existe dentro de las mercancías frágiles y peligrosas tiende a
positiva como lo demuestra el resultado numérico coma la formula y al grafica
respecto al eje x y eje y.
EJEMPLO 9:
3. De una determinada empresa Exportadora de Plátano se conocen los
siguientes datos, referidos al volumen de ventas (en millones de dólares) y al
gasto en publicidad ( en miles de dólares) de los últimos 6 años:
a) ¿Existe relación lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en
publicidad?
94
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ∑ ∑ ]
√
ANALISIS: En este caso r es 0.304 por tanto existe correlación ordinal positiva y
es imperfecta, es decir a mayor gasto en publicidad mayor volumen de ventas.
EJEMPLO 10:
La empresa FERRERO desea importar nueces desde Colombia por lo cual no
está seguro que empresa de transporte contratar para la mercancía de acuerdo a
esto esta empresa decide verificar los rendimientos que han tenido estas
empresas en el transporte por lo cual ha hecho una investigación de mercado y a
obtenido los siguientes resultados.
95
EMPRESAS DE
TRANSPORTE
CALIDAD DE
SERVICIO (X)
RENDIMIENTO
(Y)
XY
TRANSCOMERINTER
TRANSURGIN
TRANSBOLIVARIANA
SERVICARGAS
19
17
16
14
46
44
40
30
361
289
256
196
2116
1936
1600
900
874
748
640
420
66 160 1102 6552 2682
r ∑
∑ ∑
√[∑ ∑ ][∑ ∑ ]
r= ( )
√( ( ))( ( ))
r= 0,038
Es una relación positiva pero se podría decir que la empresa no podrá depender
de las dos variables ya que no son muy dependientes el uno del otro.
96
EJEMPLO 11:
Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar
si existe relación entre los años de servicio y la eficiencia de un empleado. El
objetivo de estudio fue predecir la eficiencia de un empleado con base en los años
de servicio. Los resultados de la muestra son:
0
1
2
3
4
5
6
7
0 5 10 15 20 25
Empleados
Años de Servicio
“X”
Puntuación de eficiencia
“Y”
XY
X2
Y2 Y` A 1 6 6 1 36 3.23 B 20 5 100 400 25 4.64 C 6 3 18 36 9 3.61 D 8 5 40 64 25 3.77 E 2 2 4 4 4 3.31 F 1 2 2 1 4 3.23 G 15 4 60 225 16 4.30 H 8 3 24 64 9 3.77
61 30 254 795 128
97
∑ ∑ ∑
√⌊ ∑ ∑ ⌋⌊ ∑ ∑ ⌋
∑ ∑
√⌊ ∑ ⌋⌊ ⌋
r = .3531
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
√∑
√∑ ∑ ∑
b = 202 = .0765
2639
a = 3.75 - .0765 (7.625) = 3.16
( y - y )2 ( y - y´ )2
5.0625 7.6729
1.5625 0.0961
0.5625 0.3721
1.5625 1.5129
3.0625 1.7161
3.0625 1.5129
98
0.0625 0.09
0.5625 0.5929
r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247
EJEMPLO 12:
Un analista de operaciones de comercio exterior realiza un estudio para analizar la
relación entre la producción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se
toma una muestra de 10 empresas seleccionadas de la industria y se dan los
siguientes datos:
EMPRESA MILES DE
UNIDADES x MILES DE
$ y XY X2 Y2
A 40 150 6000 1600 22500
B 42 140 5880 1764 19600
C 48 160 7680 2304 25600
D 55 170 9350 3025 28900
E 65 150 9750 4225 22500
F 79 162 12798 6241 26244
G 88 185 16280 7744 34225
H 100 165 16500 10000 27225
I 120 190 22800 14400 36100
J 140 185 25900 19600 34225
Σx 777 Σy 1657 Fxy 132938 Σx2 70903 Σy 2 277119
99
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑
]
r = 1´329,380 - 1´287,489 =
[709030 - 603729][2771190 - 2745949]
r = ___41891 = r= _41891__ = 0.8078
(105301) (25541) 51860.32
DESVIACION ESTANDAR
√∑
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
100
√∑ ∑ ∑
Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938)
10 - 2
Syx = 10.53
MARCO TEORICO:
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL
La correlación y la regresión están muy relacionadas entre sí. Ambas implican la
relación entre dos o más variables. La correlación se ocupa principalmente. De
establecer si existe una relación, así como de determinar su magnitud y dirección,
mientras que la regresión se encarga principalmente de utilizar a la relación. En
este capítulo analizaremos la correlación y más adelante la regresión lineal
Relaciones;
La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las relaciones.
Analizaremos algunas características importantes generales de estas con las que
comprenderemos mejor este tema.
Relaciones lineales:
Veamos una relación lineal entre dos variable. La siguiente tabla nos muestra el
salario mensual que percibieron cinco agentes de ventas y el valor en dólares de
las mercancías vendidas por cada uno de ellos en ese mes.
101
Agente variable X mercancía vendida ($) Y variable salario ($)
1 0 500
2 1000 900
3 2000 1300
4 3000 1700
5 4000 2100
Podemos analizar mejor la relación entre estas variables. Si trazamos una grafica
trazamos los valores XyY, para cada agente de ventas, como los puntos de dicha
grafica. Sería una grafica de dispersión o de dispersigrama.
La grafica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece en el
cuadro.
Una relación lineal.- entre dos variables, es aquella que puede representarse con
la mejor exactitud mediante una línea recta.
Problema de que ambos tienen escalas muy diferentes. Como mencionamos
anteriormente podemos resolver esta dificultad al convertir cada calificación en su
valor Z transformado, lo cual colocaría a ambas variables en la misma escala, en
la escala Z.
Para apreciar la utilidad de los puntajes Z en la determinación de la correlación,
consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que el supermercado de su
barrio está vendiendo naranjas, las cuales ya están empacadas; cada bolsa tiene
marcado el precio total. Ud. quiere saber si existe una relación entre el peso de las
naranjas de cada bolsa y su costo. Como Ud. Es investigador nato, elige al azar
seis bolsas y la pesa, de hecho están relacionadas estas variables. Existe una
correlación positiva perfecta entre el costo y el peso de las naranjas. Asi el
coeficiente de correlación debe ser igual a + 1.
Para utilizar esta ecuación primero hay que convertir cada puntaje en bruto en su
valor transformado. Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de redondeo
102
con alguna algebra, esta ecuación se puede transformar en una ecuación de
cálculo que utilice datos en bruto:
Ecuación para el cálculo de la r de pearson
r ∑
∑ ∑
√[∑ ∑ ][∑ ∑ ]
Donde ∑ es la suma de los productos de cada pareja XyY ∑
también se llama la suma de los productos cruzados.
Datos hipotéticos a partir de cinco sujetos:
SUBJETIVO X Y X2 Y2 XY
A 1 2 1 4 2
B 3 5 9 25 15
C 4 3 16 9 12
D 6 7 36 49 42
E 7 5 49 25 35
TOTAL 21 22 111 112 106
103
r ∑
∑ ∑
√[∑ ∑ ][∑ ∑ ]
r
√[ ][ ]
PROBLEMA DE PRÁCTICA:
Tenemos una relación lineal imperfecta y estamos interesados en calcular la
magnitud y dirección de la magnitud y dirección de la relación mediante la r
Pearson.
# de
estudiantes
IQ
(promedio de
calificaciones)
Promedio
de datos
Y
X2 Y2 XY
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12
TOTAL
110 112 118 119 122 125 127 130 132 134 136 138
1503
1.0 1.6 1.2 2.1 2.6 1.8 2.6 2.0 3.2 2.6 3.0 3.6
27.3
12.100 12.544 13.924 14.161 14.884 15.625 16.129 16.900 17.424 17.956 18.496 19.044
189.187
1.00 2.56 1.44 4.41 6.76 3.24 6.76 4.00
10.24 6.76 9.00
12.96 69.13
110.0 179.2 141.6 249.9 317.2 225.0 330.2 260.0 422.4 384.4 408.0 496.8
3488.0
104
r ∑
∑ ∑
√[∑ ∑ ][∑ ∑ ]
r
√[ ][ ]
Una segunda interpretación de la r de pearson es que también se puede
interpretar en términos de la variabilidad de Y explicada por medio de X. este
punto de vista produce más información importante acerca de r y la relación entre
X y Y en este ejemplo la variable X representa una competencia de ortografía y la
variable Y la habilidad de la escritura de seis estudiantes de tercer grado. Suponga
que queremos que queremos predecir la calificación de la escritura de Esteban, el
estudiante cuya calificación en ortografía es de 88.
Para calcular la r de Pearson para cada conjunto. Observe que en el conjunto B,
donde la correlación es menor, a algunos de los valores
r= ∑
Son positivos y otros son negativos. Estos tienden a cancelarse entre si, lo
cual hace que r tenga una menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A y C
todos los productos tienen el mismo signo, haciendo que la magnitud de r
aumente. Cuando las parejas de datos ocupan las mismas u opuestas posiciones
105
dentro de sus propias distribuciones, los productos tienen el mismo signo, la
cual produce una mayor magnitud de r
Calculando r utilizando para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto
¿Qué quiere utilizar la ecuación de los datos en bruto o la los puntajes z?
Sume la constante 5 de los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo, mediante la
ecuación de datos en bruto ¿ha cambiado el valor?
Construya una grafica de dispersión para las parejas de datos.
Sería justo decir que este es un examen confiable
Un grupo de investigadores a diseñado un cuestionario sobre la tensión, consistente en
quince sucesos. Ellos están interesados en determinar si existe una coincidencia entre
dos culturas acerca de la cantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. El
cuestionario se aplica a 300 estadounidenses y 300 italianos. Cada individuo debe utilizar
el evento “matrimonio” como estándar y juzgar los demás eventos en relación con el
ajuste necesario para el matrimonio recibe un valor arbitrario de 50 puntos. Si se
considera un evento requiere de más ajustes que el matrimonio, el evento debe recibir
más de 50 puntos. el número de puntos excedentes depende de la cantidad de ajustes
requeridos. Después de cada sujeto de cada cultura ha asignado de puntos a todos los
eventos, se promedian los puntos de cada evento. Los resultados aparecen en la
siguiente tabla.
EVENTOS
ESTADOUNIDENSES
ITALIANOS
Muerte de la esposa 100 80
Divorcio 73 95
Separación de la pareja 65 85
Temporada en prisión 63 52
Lesiones personales 53 72
Matrimonio 50 50
106
Despedido del trabajo 47 40
Jubilación 45 30
Embarazo 40 28
Dificultades sexuales 39 42
Reajustes económicos 39 36
Problemas con la
familia política
29 41
Problemas con el jefe 23 35
Vacaciones 13 16
Navidad 12 10
a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y calcule la
correlación entre los datos de los estadounidenses y la de los italianos
b. Suponga que los datos solo tienen una escala ordinal y calcule la correlación entre
los datos de ambas culturas
INDIVIDUO EXAMEN CON
LÁPIZ Y PAPEL
PSIQUIATRA
A
PSIQUIATRA
B
1 48 12 9
2 37 11 12
3 30 4 5
4 45 7 8
5 31 10 11
6 24 8 7
7 28 3 4
107
8 18 1 1
9 35 9 6
10 15 2 2
11 42 6 10
12 22 5 3
un Psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la depresión. Para
comparar los datos de los exámenes con los datos de los expertos, 12 individuos “con
perturbaciones emocionales” realizan el examen lápiz-papel. Los individuos son
calificados de manera independiente por los dos psiquiatras, de acuerdo con el grado de
depresión determinado para cada uno como resultado de las entrevistas detalladas. Los
datos aparecen a continuación.
Los datos mayores corresponden a una mayor depresión.
a. ¿Cuál es la correlación de los datos de los dos psiquiatras?
b. ¿Cuál es la correlación sobre las calificaciones del examen de lápiz y papel de
cada psiquiatra?
Para este problema, suponga que Ud. Es un psicólogo que labora en el departamento de
recursos humanos de una gran corporación. El presidente de la compañía acaba de
hablar con Ud. Acerca de la importancia de contratar personal productivo en la sección de
manufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la capacidad de la
institución para hacer esto. Existen 300 empleados en esta sección y cada obrero fabrica
el mismo artículo. Hasta ahora la corporación solo ha recurrido a entrevistas para elegir a
estos empleados. Ud. Busca bibliografía y descubre dos pruebas de desempeño lápiz y
papel, bien estandarizadas y piensa que podrían estar relacionadas con los requisitos de
desempeño de esta sección. Para determinar si alguna de ellas se puede usar como
dispositivo de selección elige a 10 empleados representativos de la sección de la
manufactura, garantizando que una amplio rango de desempeño quede representado en
108
la muestra y realiza las dos pruebas con cada empleado por semana, promediando
durante los últimos seis meses.
Desempeño
en el
trabajo
Examen 1
Examen 2
1
50
10
25
2
74
19
35
3
62
20
40
4
90
20
49
5
98
21
50
6
52
14
29
7
68
10
32
8
80
24
44
9
88
16
46
10
76
14
35
CORRELACIÓN
4.1.1. TÉCNICAS DE CORRELACIÓN
En los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola
variable. A continuación abordaremos el estudio de dos variables y no solamente
de una. Particularmente estudiaremos qué sentido tiene afirmar que dos variables
están relacionadas linealmente entre si y cómo podemos medir esta relación
lineal.
4.1.2. RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLES
Supongamos que disponemos de dos pruebas siendo una de ellas una prueba de
habilidad mental y otra una prueba de ingreso a la Universidad. Seleccionemos
cinco estudiantes y presentemos en la tabla Nº 4.1.1 los puntajes obtenidos en
estas dos pruebas.
109
Tabla Nº 4.1.1
Estudiantes X
Prueba de habilidad
mental
Y
Examen de Admisión
María 18 82
Olga 15 68
Susana 12 60
Aldo 9 32
Juan 3 18
La tabla nos dice que si podemos hacer tal suposición ya que los estudiantes con
puntajes altos en la prueba de habilidad mental tienen también un puntaje alto en
el examen de admisión y los estudiantes con puntaje bajo en la prueba de
habilidad mental. Tienen también bajo puntajes en el examen de admisión. En
circunstancia como la presente (cuando los puntajes altos de una variable están
relacionados con los puntajes altos de la otra variable y los puntajes) afirmaríamos
que hay una relación lineal positiva entre las variables, entonces podemos definir
una relación lineal positiva entre ese conjunto de pares valores X y Y, tal la
muestra la tabla N º 4.1.1
Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos
obtenido los puntajes que se muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿podríamos afirmar
que en esta situación los puntajes de la prueba de habilidad mental pueden usarse
para pronosticar los puntajes del examen de admisión? También, aunque en este
caso mostramos una relación contraria a la que ocurre en la realidad ya que los
sujetos con puntajes altos en el test de habilidad mental aparecen con puntajes
bajos en el examen de admisión y los sujetos con puntajes bajos en el test de
habilidad mental presentan los puntajes altos en el examen de admisión, entonces
110
podemos definir una relación lineal negativa entre un conjunto de pares valores X
y Y (tal como en la tabla Nº 4.1.2) es decir, los puntajes altos de X están
apareados con los puntajes bajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados
con los puntajes de Y.
Tabla Nº 4.1.2
Estudiantes X Prueba de habilidad
mental
Y Examen de Admisión
María 18 18
Olga 15 32
Susana 12 60
Aldo 9 68
Juan 3 82
Tabla Nº 4.1.3
Estudiantes X Prueba de habilidad
mental
Y Examen de Admisión
María 18 18
Olga 15 82
Susana 12 68
Aldo 9 60
Juan 3 32
Examinemos ahora la tabla Nº 4.1.3. En este casi ya no podemos afirmar que los
puntajes de la prueba de habilidad mental sirvan para pronosticar los puntajes del
examen de admisión, ya que unos puntajes bajos del examen de admisión y
algunos puntajes bajos del test de habilidad mental están apareados con otros
111
puntajes altos del examen de admisión, entonces en este caso, decimos que no
existe una relación lineal entre las variables X y Y.
4.1.3. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
En las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente cinco
parejas de valores para ambas variables, sino muchísimas parejas. Otra forma
alternativa de ver si existe o no relación lineal entre dos variables seria hacer una
grafica de los valores X y Y en un sistema de coordenadas rectangulares, este tipo
de gráfica es conocido con el nombre de diagrama de dispersión, gráfico de
dispersión o nube de puntos. Dibujemos el diagrama que corresponde a la Tabla N
º 4.1.1. Lo haremos haciendo corresponder a cada valor de la variable
independiente X, un valor de la variable dependiente Y, es decir, para la alumna
Susana haremos corresponder du puntaje en la prueba de habilidad mental (12)
con su puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno Juan le hacemos
corresponder su puntaje del test de habilidad mental (3) con su puntaje del
examen de admisión (18). Luego ubicaremos los cinco pares de puntajes en el
sistema de ejes rectangulares y obtendremos los gráficos Nº 4.1.1 y Nº 4.1.2
Observemos en el gráfico Nª 4.1.1 que la tabla Nª 4.1.1. Es descrita por el
diagrama de dispersión. Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la
sensación de ascender en línea recta de izquierda a derecha. Esto es
característico en datos en los que existe una relación lineal positiva. Aunque estos
cinco datos no configuren una línea recta en forma perfecta. Se puede trazar una
línea recta que describa que estos puntos en forma bastante aproximada
conforme se ve en el gráfico Nª 4.1.2 y por esto decimos que la relación es lineal.
Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en una
sola línea en forma exacta afirmamos que la relación lineal es perfecta. El grado
en que se separan los puntos de una sola línea recta nos da el grado en que la
relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una
112
sola línea decimos que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos
se encuentran en una sola línea decimos que la relación lineal entre las dos
variables es menos fuerte y cuando más puntos queden incluidos en una línea
recta afirmamos que la relación lineal es más fuerte.
GRÁFICO Nª 4.1.1.
113
Usando los datos de una tabla Nº 4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar
empleada hasta ahora podemos construir el correspondiente gráfico de dispersión,
tal como se muestra en el gráfico Nº 4.1.3.
Podemos observar en el gráfico Nº 4.1.4. que la nube de puntos de la gráfica
pueden delinearse bien por una línea recta, lo que nos indica que hay una relación
lineal entre las dos variables X y Y Vemos también que la línea desciende de
izquierda a derecha (tienen pendiente negativa) por lo que decimos que la relación
lineal entre las dos variables es negativa.
Si tenemos en cuenta la tabla Nº 4.1.3 podemos obtener una figura como se
muestra en la gráfica Nº 4.1.5 Notamos, en esta situación, que resultará inútil
cualquier línea recta que trate describir adecuadamente este diagrama de
dispersión.
Diagrama de Dispersión
Y
80
70
60
50
40
30
20
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X
114
GRÁFICO Nº 4.1.4.
Diagrama de Dispersión aproximado por una línea recta
4.1.4 COEFICIENTE DE CORRELACIONE RECTILINEA DE PEARSON
Con ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de puntos, o
diagrama de dispersión, representa una reacción lineal y si esta relación lineal es
positiva o negativa, pero con la sola observación de la gráfica no podemos
cuantificar la fuerza de la relación, lo que si conseguiremos haciendo uso del
coeficiente r de Pearson.
El coeficiente de correlación r de Pearson, toma valores comprendidos entre 1 y +
pasando por 0. El número -1 corresponde a una correlación negativa perfecta (los
puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando perfectamente
una línea recta). El numero +1 corresponde a una correlación positiva perfecta.
(los puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando
perfectamente una línea recta). El coeficiente de correlación r=0 se obtiene
80
70
60
50
40
30
20
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X
115
cuando no existe ninguna correlación entre las variables. Los valores negativos
mayores que -1 indican una correlación negativa y los valores positivos menores
que 1 indican una correlación positiva.
Referente a la magnitud de r podemos decir que independientemente del signo,
cuando el valor absoluto de r esté más cercana de 1, mayor es la fuerza de la
correlación, es así que -0,20 y +0.20 son iguales en fuerza (ambos son dos
valores débiles) los valores -0.93 y +0.93 también son iguales en fuerza (ambos
son dos valores fuertes).
Cálculo del Coeficiente r de Pearson utilizando una máquina calculadora
cuando los datos no son muy numerosos.
Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. En la Tabla podemos
calcular el coeficiente de Pearson con una máquina calculadora mediante la
siguiente fórmula.
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
Tabla Auxiliar 4.1.4.
(1) x
(2) Y
(3) X^2
(4) Y^2
(5) XY
18 82 324 6724 1476
15 68 225 4624 1020
12 60 144 3600 720
9 32 81 1024 288
3 18 9 324 54
∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y
2 =16296 ∑XY =3558
En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. En la columna (3) se
han elevado al cuadrado los valores de X. En la columna (4) se han elevado al
116
cuadrado los valores de Y. En la columna (5) se ha efectuado el producto de cada
pareja de valores X y Y. Aplicando los datos en la fórmula 4.1.1., se tiene:
√[ ][ ]
√
√
√
INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado? Tofo coeficiente de
correlación que no sea cero indica cierto grado de relación entre dos variables.
Pero es necesario examinar más esta materia, porque el grado de intensidad de
relación se puede considerar desde varios puntos de vista. No se puede decir que
un r de 0,50 indique una relación dos veces más fuerte que la indicada por un r de
0, 25. Ni se puede decir tampoco que un aumento en la correlación de r = 0,40 a r
= 0,60 equivalga a un aumento de r = 0,70 a r = 0,90. Es de observar que una
correlación de 0,60 indica una relación tan estrecha como una correlación de +
0,60. La relación difiere solamente en la dirección.
Siempre que éste establecido fuera de toda duda razonable una relación entre dos
variables, el que el coeficiente de correlación sea pequeño puede significar
únicamente que la situación medida está contaminada por algún factor o factores
no controlados. Es fácil concebir una situación experimental en la cual, si se han
mantenido constantes todos los factores que o sean pertinentes, el r podría haber
sido 1 en lugar de 0,20. Por ejemplos: generalmente la correlación entre la
117
puntuación de aptitud y el aprovechamiento académico es 0,50 puesto que ambos
se miden en una población cuyo aprovechamiento académico también es
influenciable por el esfuerzo, las actitudes, las peculiaridades de calificación de los
profesores, etc. Si se mantuvieran constantes todos os demás factores
determinantes del aprovechamiento y se midieran exactamente la aptitud y las
notas, el r seria 1 en vez de 0,50.
Una conclusión práctica respecto a la correlación es que ésta es siempre relativa a
la situación dentro de la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún
hecho natural absoluto. El coeficiente de correlación es siempre algo puramente
relativo a las circunstancias en que se ha obtenido y se ha de interpretar a la luz
de esas circunstancias y sólo muy rara vez en algún sentido absoluto.
Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de correlación
como de medida del grado de relación lineal entre dos variables es una
interpretación matemática pura y está completamente desprovista de
implicaciones de causa y efecto. El hecho de que dos variables tiendan a
aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica que obligadamente una tenga
algún efecto directo o indirecto sobre la otra.
A continuación calcularemos con la fórmula antes indicada el coeficiente de
PEARSON de la relación presentada en la tabla.
Cuadro Auxiliar 4.1.5.
(1) x
(2) Y
(3) X^2
(4) Y^2
(5) XY
18 18 324 324 324
15 32 225 1024 480
12 60 144 3600 720
9 68 81 4624 612
3 82 9 6724 246
∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y
2 =16296 ∑XY =2382
118
√[ ][ ]
√
√
√
Vemos que la correlación es fuerte y negativa.
Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº 4.1.1. El Coeficiente de
Correlación lineal con los datos de la tabla nº 4.1.3.
Cuadro Auxiliar Nº 4.1.6
(1) x
(2) Y
(3) X^2
(4) Y^2
(5) XY
18 18 324 324 324
15 82 225 6724 1230
12 68 144 4624 816
9 60 81 3600 540
3 32 9 1024 96
∑X=57 ∑Y=260 ∑X2=783 ∑Y2=16296 ∑XY=3006
√[ ][ ]
√
√
√
La correlación es muy débil y positiva.
119
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN
CLASES
El presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que nos
proporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos
conjuntos.
Ejemplo: calcular el grado de correlación entre las puntuaciones obtenidas en
inventario de hábitos de estudio y los puntajes obtenidos de un examen
matemático, aplicados a un total de 134 alumnos de un colegio de la localidad.
^-^X Hábitos de Y ^\esiudio
Matemáticas^
20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 Total fy
70 -* 80 3 2 2 7
60 -> 70 1 0 4 5 10
50 ~» 60 2 6 16 3 27
40 50 4 14 19 10 47
30 >-'■» 40 7 15 6 0 28
20 M 30 8 2 0 1 t 1
10 20 1 1 2 4
Total f. 23 40 48 23 134
Podemos notar que el problema no es tan simple, como el casa anterior, dado,
que ahora los datos se han clasificado en una tabla de doble entrada N" 4.1.7.
Este): cuadro muestra, en la primera columna del lado izquierdo los intervalos de
clase 0» la variable Y, los que cubren todos los posibles datos acerca de las
puntuaciones! alcanzadas por los estudiantes en la prueba de Matemática.
Nótese que los in t e rva los los crecen de abajo hacia arriba. En la fila superior
se presentan les intervalos <%
120
Dentro del cuadro en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se encuentran
las frecuencias de celda que correspondan a puntajes que pertenecen tanto a un
intervalo de la variable Y como un intervalo de la variable X.
La fórmula que utilizaremos es la siguiente
Para obtener los datos que deben aplicarse en la formula vamos a construir el
cuadro auxiliar al mismo tiempo que se explica el significado de los símbolos de
esa formula
Lo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y verticales por
sus respectivas marcas de clase a continuación adicionalmente al cuadro N4.1.7
cinco columnas por el lado derecho, cuyos encabezamientos son : f para la
primera.
1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la
columna f sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma
fila de la marca de clase 75, obtenemos 3+2+2=7, numero que se escribe
en el primer casillero o celda de la columna f. en la fila de la marca de
clase 65 sumamos 1+4+5=10 numero que se escribe debajo del 7.
2) Ahora vamos a determinar las frecuencias marginales de la variable x: en
la columna encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente
las frecuencias 1+2+4+7+8+1=23
3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada u, este signo
significa desviación estándar y procedemos a la misma forma en las tablas.
Recuerden que las desviaciones unitarias positivas: +1+2 y negativas : -1-2
y -3 corresponden a los intervalos menores.
4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la
variable X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la
fila superior del cuadro , por esa razón , escribimos cero debajo de la
frecuencia marginal 48.
121
5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la
columna encabezada. Para obtener los valores de la cuarta columna
encabezada debemos tomar en cuenta que por lo tanto basta multiplicar
cada valor de la segunda columna por su correspondiente valor de la
tercera columna así se obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En
efecto:
(3)(21)=63 (20)(20)=40(+1)(27)=27; 00*00=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (-
3)(-12)=36
La suma 63+40+27+28+44+36=238
Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que (f)(u)=fu
por consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la primera fila por
su correspondiente valor de la primera fila por su correspondiente valor de la
segunda fila para obtener el respectivo valor de la tercera fila.
(23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23
Sumando horizontalmente:
(-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63
Vamos por la cuarta fila vemos que u (fu)= Fu2 luego basta multiplicar cada
elemento de la segunda fila por su correspondiente elemento de la tercera fila
por su correspondiente elemento de la tercera fila para obtener el respectivo
elemento de la cuarta fila así:
(-2)(-46)=9; (-1)(-40)=40; 0*0=0y (+1)(23)=23
Para obtener valores de la quinta columna observamos que hay tres factores
el 1 es la frecuencia f de la celda o casillero que se está considerando el
segundo factor es la desviación unitaria u, el tercer factor es la desviación
unitaria, por lo tanto el procedimiento será el siguiente: tomemos el número 3
que es la frecuencia de la celda determinada por el cruce de los intervalos que
tienen la marcha de la clase 75 horizontalmente y 35 verticalmente.
122
Para ubicar el tercer factor corremos la vista del numero 3 hacia su derecha
hasta llegar a la columna de las desviaciones unitarias u y ubicamos el
numero +3 formemos el producto de estos tres números: (3)(--1)(+3)=-9
encerrado de un semicírculo lo escribimos en la celda elegida
En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0)(+)
Continuando hacia la derecha (2) (+1)(+3)=6
X hábitos estudio Y matemática 25 35 45 55 Fy Uy FyUy FyU^2y
suma de los # en semicírculos
75 2 3 2 2 7 3 21 63 -3
65 1 0 4 5 10 2 20 40 6
55 2 6 16 3 27 1 27 27 -7
45 4 14 19 10 47 0 0 0 0
35 7 15 6 0 28 -1 -28 23 29
25 8 2 0 1 11 -2 -22 44 34
15 1 0 1 2 4 -3 -12 36 0
∑FxUx = 6
∑FxUx^2= 238
∑FxyUxUy= 59
Fx 23 40 48 23 134 Ux -2 -1 0 1 FxUx -46 -40 0 23 ∑FxUx=-63 FxUx^2 92 40 0 23 ∑FxUx^2=155
La fórmula del paso (9) lleva el signo ∑para indicar que se deben sumar
horizontalmente los números que están encerrados en los semicírculos de esa
primera fila elegida así: -9+0+6. Este número se escribe en la quita columna.
Trabajemos con la segunda fila: (1) (-2)(+2)= -4 se encierra en un semicírculo.
(0)(-1)(+2)= 0
(4)(0)(+2)= 0
(5)(+1)(+2)= 10
123
Sumando 0 + 0 + 10 = 10
Ahora con la tercera fila:
(2)(-2)(+1)= -4
(6)(-1)(+1)= -6
(16)(0)(+1)= 0
(0)(+1)(+1)= 3
Sumando: (-4) + (-6) + 0 + 3 = -7
Cuarta fila
(-4) + (-2) + 0 = 0 todos los productos vales cero, luego la suma = 0
Quinta fila
(7)(-2)(-1)= 14
(15)(-1)(-1)= 15
(6)(0)(-1)= 0
(0)(+1)(-1)= 0
La suma es: 14+15= 29
(8)(-2)(-2)= 32
(2)(-1)(-2)= 4
(0)(0)(-2)= 0
(1)(+1)(-2)= -2
La suma es: 32 + 4 -2 = 34
Séptima fila:
124
(1)(-2)(-3)= 6
(1)(0)(-3)= 0
(2)(1)(-3)= -6
Sumando: 6 + 0 – 6 = 0
Sumando los valores de la columna quinta.
Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en la formula
n= 134
∑ = 59
∑ = -63
∑ = 6
∑ = 155
∑ = 238
r=
√{ }{
r=
√
r= 0,358
125
Ejercicio Resuelto N° 2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación Entre
Conjuntos de Datos Agrupados
Calcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en matemáticas y
físicas de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad MN
X Puntuación matemáticas Y Puntuación fisica 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 TOTAL
90 - 100 0 0 0 2 5 5 12
80 - 90 0 0 1 3 6 5 15
70 - 80 0 1 2 11 9 2 25
60 - 70 2 3 10 3 1 0 19
50 - 60 4 7 6 1 0 0 18
40 - 50 4 4 4 0 0 0 11
TOTAL 10 15 22 20 21 12 100
126
PUNTACIÓN EN MATEMÁTICA
SUMA DE LOS NÚMEROS
ENCERRADOS EN SEMICÍRCULOS EN
CADA FILA
45 55 65 75 85 95 Fy Uy Fy Uy Fy U2y
PU
NT
UA
CIO
N E
NF
ISIS
CA
Y
95 2 5 5 12 2 24 48 54
85 1 3 6 5 15 1 15 15 30
75 1 2 11 9 2 25 0 0 0 0
65 2 3 10 3 1 19 -1 -19 19 2
55 4 7 6 1 18 -2 -36 72 28
45 4 4 3 11 -3 -33 99 36
fx 10 15 22 20 21 12 100 -3 -49 253 150
Ux -2 -1 0 1 2 3 3 Σfy Uy Σfy U2
y Σ fxy Ux Uy
FxUx -20 -15 0 20 42 36 63 Σfx Ux
Fx U2
x 40 15 0 20 84 10
8
267 Σfx U2
x
127
En este problema tenemos que calcular el confidente de correlación lineal r para
dos conjuntos de datos constituidos por los calificativos en una escala de 0 a 100,
en matemáticas y en física para 100 estudiantes de la facultad de Ciencias de
cierta universidad
Los datos se muestran en el cuadro N° 4.1.9 Notemos que a lo largo de la línea
horizontal superior se encuentran los intervalos que contienen los calificativos de
matemáticas desde 40 hasta 100.
Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los calificativos
para física de los mismos estudiantes, desde el calificativo 40 hasta 100. Notese
que en la columna de los calificativos de física los datos crecen de abajo hacia
arriba y para la fila horizontal superior vemos que los calificativos en matemáticas
crecen izquierda a derecha.
A continuación procederemos a calcular el confidente de correlación r para estos
datos aplicando el mismo método que utilizaremos en el problema anterior.
1) Traslademos los datos del cuadro N° 4.1.9. Llamaremos xy a cualquiera de
las frecuencias de los casilleros interiores del cuadro N° 4.1.9. En el cuadro
N° 4.1.10. podemos observar que se han agregado cinco columnas por el
lado derecho y cuatro filas por la parte interior
Observemos en el cuadro N° 4.1.10 que los intervalos para la puntuación en
matemáticas y para la puntación en física se han remplazado por las marcas de
clase correspondientes. Así en la fila horizontal superior se han remplazado el
primer intervalo 40 50 por su marca de clase45, el segundo intervalo 50 60
por su marca de clase 55 y de esta manera se han remplazado los demás
intervalos por sus marcas de clases en el cuadro N° 4.1.10.
De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los intervalos
se han remplazado por sus respectivas marcas de clase así para la puntuación en
física el primer intervalo superior 90 100 se han remplazado por su marca de
clase 95, el segundo intervalo superior 80 90 se ha remplazado por su marca
128
de clase 85 y así sucesivamente hasta llegar al intervalo inferior 40 50 que se
ha remplazado por su marca de clase 45.
Ahora vamos a realizar los pasos siguientes
1) Para las frecuencia marginales fy sumemos todos los valores fxy de la
primera fila que tiene la marca de clase 95. De esta forma tenemos: 2+5+5=
12 Para la segunda fila que corresponde a la marca de clase 85
obtenemos: 1+3+6+5= 15 que escribimos en el segundo casillero de fy.
2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales fx. el primer
resultado de fx lo obtenemos sumando las frecuencias fxy para la colunia que
tiene la marca de clase 45, de esta forma tenemos: 2+4= 10 que se escribe
en el primer casillero de fx para el segundo casillero tenemos el número 15
que se obtiene verticalmente de las frecuencias fxy de la columna que tiene
de marca de clase 55. Continuando con las sumas de las f de las demás
columnas llenamos las frecuencias marginales fx.
3) Atendamos la columna Uy la columna Uy tiene en total 6 casilleros
arbitrariamente escogemos uno de estos casilleros como origen de trabajo
y le asignamos el numero 0. Aquí hemos escogido el tercer casillero
contando de arriba hacia abajo. Observamos ahora la primera columna de
la izquierda en donde están las marcas de clase de los puntajes de física.
Aquí observamos que las marcas de clase crecen de abajo hacia arriba
entonces las desviaciones unitarias en la columna Uy crecerán de abajo
hacia arriba entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones unitarias son
números negativos que van decreciendo hacia abajo.
Desde el 0 hacia arriba las desviaciones serán positivas y crecientes.
De manera que podemos observar que la columna Uy está conformada por
los siguientes números que crecen del 0 hacia arriba: 1,2 y desde el 0 hacia
abajo decrece: -1,-2,-3.
4) Veamos la fila Ux
129
Notamos que el fila horizontal superior las marcas de clase crecen de
izquierda a derecha de igual forma las desviaciones unitarias crecerán de
izquierda a derecha. Elegiremos como origen de trabajo arbitrariamente uno
del casillero Ux el tercero contando de izquierda a derecha, y vamos
asignando números positivos crecientes hacia la derecha del 0, así
tenemos 1, 2,3 ya hacia la izquierda, a partir del cero, tendremos:-1y-2.
5) Expliquemos la columna fy Uy. Multipliquemos cada valor de fy por su
correspondiente valor de Uy y se obtiene un valor Fy Uy. Por ejemplo el
numero 24 se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fy = 12 por su
correspondiente desviación unitaria Uy = 2esto es, 12*2= 24. Para el
segundo casillero multiplicamos 15*1=15; para el tercero 25*0=, así hasta
terminar con 11*(-3)= -33.
6) Observemos la columna Fy U2
y. L primera celda de esta columna tiene el
número 48 que se obtiene de multiplicando el valor Uy =2 de la segunda
columna por su correspondiente valor Fy Uy = 24 de la tercera columna, es
decir, 2*24= 48. Para el segundo casillero de la columna fy U2
y , tenemos 15
que es igual a 1 por 15. De esta forma continuamos llenando los demás
valores de la columna Fy U2
y.
7) Veamos ahora la fila fx ux. El número -20 del primer casillero de esta fila se
obtiene multiplicando la frecuencia marginal fx = 10 por su correspondiente
desviación unitaria Ux = -2 es decir: 10 (-2)= -20.
Para el segundo casillero de FX UX, multiplicamos (-1)*(-15)= 15 y así
sucesivamente 12*3= 36.
8) Veamos Fx U2
x. El primer casillero de esta fila es 40 y es el resultado de
multiplicar -2 del primer casillero de la fila Fx Ux por menos 20 de su
correspondiente primer casillero de la fila Ux esto es, (-2)* (-20)= 40. Para
el segundo casillero de fx U2
x multiplicamos -1 del segundo casillero de Ux
por -15 de su correspondiente segundo casillero de FX UX, luego obtenemos
(-1) *(-15)=15 .Así continuamos multiplicando los valores de los casilleros
130
Ux por sus correspondientes valores de la fila Fx Ux hasta llegar a (3) (36)=
108.
9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculo, por ejemplo
ahora, el numero 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la
puntuación en matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en
física.
10) Para saber cómo se obtiene este numero 4, corramos nuestra vista hacia
la derecha dirigiéndonos hacia la columna UY y obtenemos el numero 2.
Del numero 4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la
fila Ux y obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde esta el 4, encerrado
en semicírculo, es fxy = 2. Multiplicando estos 3 factores tendremos fxy Ux Uy
= (2) (1) (2) = 4.
Podemos anunciar la siguiente regla:
Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros interiores del
cuadro N°4..1.10 multiplicamos el valor de la frecuencia fxy del casillero para el
cual estamos haciendo el cálculo, por los valores de las desviaciones unitarias Uy y
Ux , obtenidas corriendo la vista hacia la derecha hasta columna Uy y también
hacia abajo hasta legar a la fila Ux.
Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75 en
matemática y 85 en física, tenemos la frecuencia de la celda Fxy = 3, los otros dos
factores son: Uy =1 y Ux = 1.
Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo.
Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas marca de
clase 45 en física, tenemos:
131
fxy = 4, Uy = -3, Ux = -1
fxy Ux Uy = (4) (-3) (-1) = 12 que es el valor encerrado en semicírculo. Así podemos
proceder para obtener todos los demás valores encerrados en semicírculos.
Sumando las frecuencias marginales de la columna fy, se tiene ∑ fy =100.
Sumando los valores de la tercera columna se obtiene ∑fy Uy = - 49. Sumando los
valores de la cuarta columna, tenemos ∑fy U^2y = 253. La suma de los valores de
la quinta columna:
∑fxy Ux Uy = 150
Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de los
valores de la fila. Así, por ejemplo, ∑fx = 100; ∑fy = 100.
Para la tercera fila: ∑fx Ux = 63
Para la cuarta fila: ∑fx U^2x = 267
Estos totales de filas y columnas reemplazaremos en la fórmula.
√[ ][ ]
√
√
Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0.79.
132
Ejercicio Propuesto Nº 1 del Cálculo del Coeficiente de Correlación entre dos
Conjuntos Agrupados de Datos.
Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba de
conocimientos de Psicología General (variable x) y un test de inteligencia (variable
y).
Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar en la fórmula tenemos:
Resultado:
√[ ][ ]
√
√
Ejemplo propuesto N°2 del cálculo del coeficiente de correlación entre dos
conjunto de datos agrupados. Supongamos que se tienen 50 vendedores de cierta
compañía. Estos vendedores durante un año 1985 han realizado ventas tal como
lo muestra el cuadro N°4.1.13, el que también muestra el número de años de
experiencia que tiene como vendedores.
Para dicho cuando, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r.
133
0 2
2 4
4 6
6 8
8 10
TOTAL
15 18 1 1
12 15 2 3 4 9
9 12 7 3 2 12
6 9 6 9 4 19
3 6 5 2 7
1 3 2 2
TOTAL 2 11 18 12 7 50
Tomando los datos obtenidos n el cuadro Auxiliar N°4.1.14 apliquemos en la
formula N° 4.1.12, se tiene.
√[ ][ ]
√
√
Años de
experienc
ia X
Monto
de
134
135
Progresiones lineales simples
4.2.1. Regresión lineal simple
Al comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que
estudiaríamos dos variables y no solamente una. Llamamos a esa ocasión X a
una de las variables Y a la otra. En el tema que nos ocuparemos ahora,
estudiaremos la forma de predecir v valores de Y conociendo primero los
valores de X. Es así que viendo la tabla N 4.2.1, similar a la que utilizamos
cuando estudiamos correlación, conociendo el puntaje en la prueba de
habilidad mental (variable X) para un alumno determinado, podemos anticipar
el puntaje del examen de admisión (variable Y) del mismo alumno.
Consideraremos la relación lineal expresada por el cuadro N4.2.1 si dibujamos
esa relación, obtenemos el grafico N4.2.1. Como podemos observar todos los
puntos se alinean exactamente. En una sola línea recta, la que recibe el
nombre de línea de regresión. Teniendo en cuenta esta línea, podemos
predecir cualquiera d los valores de Y conociendo el valor de X; para X=25,
según la recta, correspondiente de Y=35, para X=20 corresponde Y=30. Etc.
En este caso se trata de una correlación positiva perfecta cuyo coeficiente de
correlación es +1.
Prueba de habilidad
mental X
Examen de Admisión
Y
SUSANA 5 15
IVAN 10 20
LOURDES 15 25
ALDO 20 30
JUAN 25 35
MARIA 30 40
136
CESAR 35 45
OLGA 40 50
Recordemos ahora el grafico N 4.1.2 que dibujamos cuando estudiamos
correlación, en este grafico observamos el diagrama de dispersión aproximado
por una línea recta, la recta que mejor se ajuste a los puntos del diagrama de
dispersión, es decir, en la mejor medida procure dejar igual número de puntos
del diagrama de dispersión por encima de ella que igual número de puntos
debajo, se llama línea de regresión.
ECUACION DE LA REGRESION RECTILINEA
La ecuación que describe la línea de regresión es:
(
) (
)
GRÁFICO
Serie 1
f(x)=1*x+10; R²=1
-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
x
y
r = 1,00
137
= media de la variable X en la muestra.
X = un valor de la variable X
r = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y.
SY = desviación estándar de Y en la muestra.
SX = desviación estándar de X en la muestra.
Yr = Valor Y resultado del cálculo de la fórmula.
Veamos cómo podemos predecir los valore de Y a partir de los valores de X.
como el gráfico de este cuadro es una línea recta ascendente sabemos que su
coeficiente de correlación de Pearson r = +1. Además tenemos los siguientes
resultados:
X = 22,5 SX = 11,46 Y= 32,5 SY = 11,46
Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro.
Apliquemos estos datos a la fórmula, obtenemos la siguiente expresión:
(
) (
)
Simplificando términos obtenemos:
Escojamos cualquier valor de X, por ejemplo para María x = 30, reemplazando
este valor en (b).
Vemos en le cuadro el valor que corresponde a María efectivamente es 40, es
decir podemos usar la ecuación para predecir los valores de Y conociendo los
valores de X.
138
Esta fórmula de regresión se puede aplicar par dos variables X y Y, entre las
cuales no es obligatorio que exista una correlación lineal perfecta, es decir, no
es obligatorio que el r para la correlación entre X y Y sea siempre igual a 1.
Este valor de r para otras aplicaciones de la regresión, puede tomar cualquier
valor distinto de 1.
Ejercicios Resueltos de Regresión Lineal Simple
Al aplicar un test de inteligencia a una muestra representativa constituida por
800 alumnos, se obtuvo la puntuación media de 30,4 puntos, con la desviación
estándar de 12,6 puntos.
La edad media de la muestra fue de 14,5 años, con la desviación estándar de
3,2 años.
El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre la variable Y, edad de los
sujetos estudiados y la variable X, rendimiento mental de los mismos sujetos,
fue r = 0,89.
Con estos datos se pide determinar la ecuación de regresión rectilínea de edad
en base del puntaje del rendimiento mental.
¿Qué edad corresponde a los sujetos que alcanzan puntuaciones de:
X1 = 18 Puntos X4 = 50 Puntos
X2 = 25 Puntos X5 = 60 Puntos
X3 = 45 Puntos X6 = 80 Puntos
Datos:
= 14,5 SY = 3,2 r = 0, 89
= 30,4 SX = 12,6
Aplicando estos datos en la fórmula se tiene:
(
) (
)
139
Es la ecuación de regresión buscada.
Respuesta de la 1ra. Pregunta
X1 = 18
YR = 7,63 + 0,226 (18) = 7,63 + 4,07
YR = 11,7 años
Segunda pregunta
X2 = 25
YR = 7,63 + 0,226 (25) = 7,63 + 5,65
YR = 13,28 años
Tercera pregunta
X3 = 45
YR = 7,63 + 0,226 (45) = 7,63 + 10,17
YR = 17,8 años
Cuarta pregunta
X4 = 50
YR = 7,63 + 0,226 (50) = 7,63 + 11,3
YR = 18,93 años
Quinta pregunta
X5 = 60
YR = 7,63 + 0,226 (60) = 7,63 + 13,56
YR = 21,19 años
140
Sexta pregunta
X6 = 80
YR = 7,63 + 0,226 (80) = 7,63 + 18,08
YR = 25,71 años
Este cuadro contiene la primera columna los nombres de los alumnos, en la
segunda están los rangos de esos alumnos en la variable, en la tercera se
hallan los rangos de los alumnos en la variable Y. En la cuarta columna están
las diferencias de los rangos correspondientes de las variables X y Y. en la
quinta columna se colocan las cuadros de las diferencias, ya calculadas.
CUADRO AUXILIAR Nº 4.3.4
ALUMNOS RENGO DE
X
RANGO DE
Y
D=
DIFERENCIA
Rodríguez 3 3 0 0
Fernández 4 5 -1 1
Córdova 2 1 1 1
Flores 1 2 -1 1
Lema 5 4 1 1
APLICANDO LOS DATOS EN LA FORMULA Nº 4.3.1, SE TIENE
[
]
P= 0.08
Es una correlación positiva. Su valor es muy alto y poco común puesto que la
práctica enseña que en la correlación de la inteligencia con el rendimiento
escolar en las asignaturas, casi siempre se alcanza un valor próximo a 0.5.
EJEMPLO 2
141
Supongamos el siguiente cuadro nº 4.3.5. Queremos calcular el coeficiente de
correlación por rangos.
CUADRO Nº 4.3.5
EXAMINADOS PRUEBA DE
HABILIDAD MENTAL
X
APTITUD ACADÉMICA
Y
Susana 49 55
Iván 46 50
Lourdes 45 53
Aldo 42 35
Juan 39 48
maría 37 46
cesar 20 29
Olga 15 32
Observamos que los examinados están ordenados con respecto a la prueba de
habilidad mental de mayor a menor; podemos afirmar que la posición o rango
que se podría asignar a Susana es el primero, a Iván le correspondería el
segundo, para Lourdes el tercero tal como se muestra en el cuadro Nº4.3.6.
De igual forma podríamos ordenar la posición o rango de los postulantes según
los resultados de la prueba de aptitud académica Y del examen de admisión, lo
que se muestra en el cuadro Nº4.3.6 es así como Susana también ocupa el
número de orden o rango primero y Lourdes ocupa el segundo lugar o rango
dos en esa prueba, así podemos continuar ordenando los alumnos según su
rango en la pruebe de aptitud académica y terminaremos con cesar que ocupa
el rango 8 en tal prueba.
142
CORRELACIÓN POR RANGOS
Es el orden que posee o se asignan a cada miembro de un conjunto de de
elementos de acuerdo a una escala ordinal dada. El rango ubica el elemento en
un punto de esa escala.
Por ejemplo: podemos establecer un ordenamiento de los alumnos de acuerdo
a los puntajes alcanzados en un examen. Así tenemos en el cuadro Nº 4.3.1
que sigue:
CUADRO Nº 4.3.1
ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora
PUNTAJES 40 65 52 70 76 56
Ordenándolos de acuerdo a la magnitud del puntaje, establecemos los rangos
siguientes en el cuadro Nº 4.3.1.
CUADRO Nº 4.3.2
ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora
RANGOS 6 3 5 2 1 4
4.3.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS
La correlación por rangos se refiere a la correspondencia en el ordenamiento
de los elementos de dos conjuntos dados. La fuerza de la correlación se mide
por medio del coeficiente por rangos de spearman, cuya fórmula es:
[ ∑
]
143
En donde.
P= letra griega rho, designa el coeficiente de correlación por rangos.
D= diferencias de rangos correspondientes entre si pertenecientes a dos
variables X y Y. Por ejemplo d=
n= numero de pares correspondientes.
EJEMPLOS Nº 1
En la primera columna de la izquierda del cuadro Nº 4.3.3 se presenta un grupo
de 5 estudiantes; en la segunda columna están sus niveles mentales que se
consideran como categorías de la variable X, en la tercera columna se indican
los resultados de una prueba de matemáticas aplicadas al grupo, cuyas
puntuaciones son valores de la variable Y.
CUADRO Nº 4.3.3
ALUMNOS NIVEL MENTAL
X
MATEMÁTICAS
Y
Rodríguez medio 35
Fernández interior al promedio 17
Córdova superior al promedio 48
flores muy superior al
promedio
42
lema muy inferior al promedio 20
144
Calcular el coeficiente de correlación por rangos.
ESTUDIANTES CLASIFICACION
DE LOS RANGOS
CLASIFICACION DE
LOS RANGOS
D= DIF D2
RANGO X RANGO Y
SUSANA 1 1 0 0
ESTEBAN 2 3 -1 1
LOURDES 3 2 1 1
ALDO 4 6 -2 4
JUAN 5 4 1 1
MARIA 6 5 1 1
CESAR 7 8 -1 1
OLGA 8 7 1 1
∑D2 = 10
En la descripción de este cuadro la columna X corresponde a los rangos en las
pruebas de habilidad mental, la columna Y corresponde a los rangos de las
pruebas de los estudiantes de actitud académica. La columna D corresponde a
la diferencia del rango de un elemento de la columna X menos el rango de su
correspondiente elemento en la columna Y. en la columna D2 se halla el
cuadrado de la diferencia anotada en la columna D.
Ahora para medir la correlación entre los resultados de la prueba de habilidad
mental y del examen de admisión, tomamos los datos del cuadro anterior en el
que los datos están transformados en rangos.
Conforme ya mencionamos en el ejemplo 1 la fuerza de la correlación en este
tipo de problemas, se determina por el coeficiente p (rho) de correlación de
rangos de spearman. Aplicamos la formula N° 4,3,1 en donde
145
N= 8 pares
∑D2 = 10, este número es el resultado de la suma de los números D elevados
al cuadrado que figuran la columna D2.
Vemos que existe una correlación positiva fuerte entre las puntuaciones de la
prueba de la habilidad mental y los puntajes de la actitud académica del
examen de admisión.
Caso de rangos empatados o repetidos
Examinemos el caso N° 4.3.7 y supongamos que en el examen de admisión de
Susana y Esteban obtuvieron el mismo puntaje 55 y por lo tanto a cualquiera
de los dos le corresponde los rangos primero o segundo para romper esta
indeterminación, convenimos en asignar a cada uno de ellos el promedio de
ambos
Rangos, o sea
= 1.5 entonces tanto Susana como esteban tendrán el
rango
Tratemos ahora los rangos del VI Ciclo vemos que los profesores L Y P están
empleados o igualados en puntaje por lo que a cualquiera de los dos le
corresponde el rango 5 o el rango 6.el rango que le asignemos serán el
resultado de promedio 5 y 6 que son los dos rangos empatados, luego (5+6) / 2
=5.5 será el número que le asignamos como rango.
Los profesores Fy Z tienen en el VI ciclo los rangos 3 y 4 a cualquiera de estos
dos les corresponde el tercer o cuarto lugar. El número que les asignaremos
será (3+4) /2 = 3.5.
Luego elaboramos una columna para los nuevos rangos Y en donde a los
profesores L y P les asignaremos el rango 5.5 y a los profesores F Y Z les
asignaremos el rango 3 Y 5. los profesores J Y K seguirán con los rangos 1 y 2
respectivamente.
En La Columna D se colocan las diferencias X – Y
146
Nos ocuparemos ahora de la columna D2. En esta columna se encuentran
valores de la columna D elevados al cuadrado, luego sumamos los valores de
la columna D2 y obtenemos ∑ = 17.
Ahora aplicaremos la formula número 4.3.1.
Aquí ∑ = 17.
N= 6
P= 1- = 0.5
Luego la correlación entre los puntajes asignados a los 6 pro0fesores por el V
ciclo y los puntajes asignados por el VI ciclo es positiva, pero su magnitud no
es ni muy fuerte ni muy débil.
2º EJERCICIO
Cinco niños se someten a una pruebe de habilidad mental y los resultados de
estas se ordenan por rangos en la columna X. también se muestran en la
columna Y los rangos de estos mismos 5 niños respecto al tiempo que gastan
al mirar la tv.? (Ver cuadro Nº 4.3.1)
¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que
gastan mirando tv.?
Calculando los nuevos rangos para la columna Y teniendo en cuenta rangos
igualados obtenemos:
ALUMNOS x Y
A 1 4 o 5 B 2 4 o 5
C 3 2 o 3 D 4 1
E 5 2 o 3
6 (17) 6 (36 -1)
147
¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que
gastan mirando tv.?
Calculando los nuevos rangos para la columna Y. teniendo en cuenta los
rangos iguales obtenemos:
X Y D X - Y
D2
A 1 4.5 -3.5 12.25 B 2 4.5 -2.5 6.25
C 3 2.5 0.5 0.25 D 4 1 3 9
E 5 2.5 2.5 6.25 2 = 34.00
Para Obtener Los Rangos Correspondientes A Los Niños A Y B Hemos
Sumado Los Lugares Que Podrían Ocupar Cualquiera De Los Dos Y Que Son
5 Y 4 Y Luego Esta Suma La Dividimos Entre El Numero De Rango Igualados
Que Son Dos, Esto Es: (4+5)/ 2= 4.5 Luego Rango Que Les Corresponda A A
Y B Es 4.5
DE IGUAL FORMA PROCEDEMOS PARA LOS RANGO C Y E obteniendo
para ellos como nuevo rango 2.5.
Ahora añadiremos una nueva columna D, en esta columna escribiremos
diferencia entre uno de los rangos de x menos el correspondiente rango de Y.
Elevamos al cuadrado cada valor de y y escribimos cada resultado en la
columna del cuadrado. Luego sumamos los valores de la columna de D2 y
obtenemos 2 =34.00
P= 1 – 1.7=+0.7
Luego obtenemos una correlación negativa cuya magnitud es 0.7 que es un
valor fuerte para este tipo de situación.
148
EJERCICIO PROPUESTO DE CÁLCULO DE COEFICIENTE DE SPEARMAN
La tabla muestra siete estudiantes que ordenados alfabéticamente obtuvieron
su número de orden según sus calificaciones en teoría y práctica académica en
un curso de lenguaje. Calcular el coeficiente de correlación de SPEARMAN.
ALUMNOS PRACTICA X TEORIA Y A 7 6
B 4 7 C 6 5
D 3 2 E 5 1
F 2 4 G 1 3
2º EJERCICIO
El cuadro muestra las correspondientes alturas en centímetros de grupo de
padres y de sus hijos primogénitos.
1) calcular el coeficiente de correlación de espermas
2) calcular también el coeficiente de Pearson
3) son parecidos?
ALTURA PADRE X ALTURA HIJOS Y
172 178
164 154
180 180
190 184
164 166
164 166
165 166
180 175
RESPUESTA 1 p= 0.89
3º EJERCICIO
En la tabla los cinco siguientes individuos se han colocado por rangos de 1 a 5
sobre X e Y. calcular el coeficiente de correlación.
149
X Y
A 2 3
B 1 2
C 3 1
D 5 5
E 4 4
RESPUESTA 1 p= 0.7
EJERCICIO
El gerente del personal una empresa agroindustrial estudia la relación entre la
variable dependiente Y y la variable independiente X de su personal obrero.
Recoge una muestra aleatoria de 10 trabajadores y se obtuvieron los datos en
dólares por semana.
a) Determinar el diagrama de dispersión
b) De su comentario sobre el valor de la pendiente
La relación es positiva e imperfecta porque al pasar la recta no cruza por
todos los puntos, sin embargo el valor de la pendiente se aproxima a
uno.
c) Estime el gasto que correspondería a un salario semanal de 90USD.
150
Salario (x)
Gasto (y)
X2 Y
2 XY (xi -Ẋ) (xi - Ẋ)^2 (Yi -Ῡ) (Yi -Ῡ)^2
28 25 784 625 700 -17,8 316,84 -13,4 179,56
25 20 625 400 500 25 625 20 400
35 32 1225 1024 1120 35 1225 32 1024
40 37 1600 1369 1480 40 1600 37 1369
45 40 2025 1600 1800 45 2025 40 1600
50 40 2500 1600 2000 50 2500 40 1600
50 45 2500 2025 2250 50 2500 45 2025
35 30 1225 900 1050 35 1225 30 900
70 55 4900 3025 3850 70 4900 55 3025
80 60 6400 3600 4800 80 6400 60 3600
ƩX=458 ƩY=384 ƩX2=23784 ƩY
2=16168 ƩXY=19550 Ʃ(xi -Ẋ)
=412,2 Ʃ(xi - Ẋ)^2=
23316,84
Ʃ(Yi -Ῡ) =345,6
Ʃ(Yi-Ῡ)^2= 15722,56
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√[ ][ ]
√[ ][ ]
√
Desviación Estándar (X)
Sx = √∑
Sx = √
√ = 48,28
151
Ẋ =
Sy = √
√ = 39, 65
Ῡ =
+ (
)
+ (
) (
)
+
+
+ = 73, 54 gasto de un salario semanal
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√
√
r = -0.005
152
COMENTARIO.- Vemos que los vehículos de 20 toneladas no tienen relación con los de
40 toneladas, ya que a los de 20 se los utiliza más para las importaciones que los de 40
debido a que son más ligeros al transportar las mercancías.
153
154
155
156
157
PRUEBA DE HIPÓTESIS
Hipótesis Estadística
Se llama hipótesis, a una suposición o conjetura; que se formula, con el
propósito de ser verificada. Cuando se establece la veracidad de una hipótesis,
se adquiere el compromiso de verificada en base a los datos de la muestra
obtenida. La hipótesis estadística es fundamentalmente distinta de una
proposición matemática, debido que al decidir sobre su certeza podemos tomar
decisiones equivocadas, mientras que en la proposición matemática podemos
afirmar categóricamente si es verdadera o falsa.
Hipótesis Nula
Es una hipótesis que afirma lo contrario de lo que se quiere probar. En ella se
supone que el parámetro de la población que se está estudiando, tiene
determinado valor. A la hipótesis nula, se le representa con el símbolo Ho, y se
formula con la intención de rechazarla.
Ejemplo: Para decidir que una moneda está cargada, suponemos lo contrario,
es decir, que la moneda es legal, esto es, que tiene igual probabilidad o
proporción de salir cara, que de salir sello. Llamamos P (proporción poblacional
de cara) y Q (proporción poblacional de sello), P +Q = 1 (proporción del total o
100% de los casos); pero la moneda es legal, entonces esperamos que P = Q,
reemplazando P por Q, P + P = 1, 2P = 1 y P = 0.5, es decir, la proporción
poblacional de éxito (cara), para todas las monedas legales es 0.5. Sobre esta
base, durante la ejecución del experimento, aceptamos que actúan únicamente
las leyes del azar, descartando la influencia de cualquier otro factor.
Hipótesis Alternativa
Es una hipótesis diferente de la hipótesis nula. Expresa lo que realmente
creemos es factible, es decir, constituye la hipótesis de investigación. Se le
designa por el símbolo . En el ejemplo citado, la hipótesis alternativa sería:
: P ≠ 0.5, es decir, P > 0.5 o P < 0.5, si es que queremos realmente
averiguar que la moneda no es legal.
Concepto de significación en una Prueba Estadística
Suponiendo que está formulada una hipótesis y que al realizar un experimento
para someterla a prueba encontramos que el estadístico de la muestra, difiere
marcadamente del valor del parámetro que establece la hipótesis nula , en
ese caso, decimos que la diferencias encontradas son significativas y estamos
158
en condiciones de rechazar la hipótesis nula o, al menos no aceptarla en
base a la muestra obtenida.
En realidad estamos determinando, si la diferencia, entre el valor del parámetro
establecido en y el valor del estadístico obtenido en la muestra, se debe tan
solo al error de muestreo (en este caso aceptamos ); o si la diferencia es tan
grande que el valor obtenido por el estadístico de la muestra, no es fruto del
error de muestreo, en este caso rechazamos .
Prueba de Hipótesis
Se le llama también ensayo de hipótesis o dócima de hipótesis. Son
procedimientos que se usan para determinar, se es razonable o correcto,
aceptar que el estadístico obtenido en la muestra, puede provenir de la
población que tiene parámetro, el formulado en .
Como resultado de la prueba de hipótesis, aceptamos o rechazamos . Si
aceptamos , convenimos en que el error de muestreo (el azar), por sí solo,
puede dar lugar al valor al estadístico que origina la diferencia entre éste y el
parámetro. Si rechazamos , convenimos que la diferencia es tan grande, que
no es fruto del error de muestreo (al azar) y concluimos que el estadístico de la
muestra no proviene de una población que tenga el parámetro estudiado.
El mecanismo para rechazar la hipótesis , es el siguiente: suponemos como
válida la hipótesis nula , la que afirma que el parámetro tiene cierto valor
(supongamos el caso de la media poblacional entonces : ʯ = . Tomamos
una muestra y calculamos el estadístico de la muestra (para el caso de la
media el estadístico es la media muestral x ). omo suponemos que es
cierta, podemos suponer que la muestra proviene de la población que tiene
como parámetro el de (es decir, no serán muy diferentes) y la
probabilidad de que dicha diferencia muestral pequeña aparezca, será grande.
Si en cambio tomamos una muestra de una población que no tiene como
parámetro , en dicho caso el valor de x - , será grande, (x será muy
distinto que ), es decir, dicha diferencia será significativa, y la probabilidad de
obtener dicha diferencia muestral al muestrear, será pequeña. Necesitamos un
estándar, es decir, un valor tal que, al comparar con él la probabilidad de
obtener una diferencia entre x y , nos permita aceptar o rechazar .
Llamemos a este valor el nivel de significación. ste será tal que, si la
probabilidad de la diferencia entre x y es muy pequeña (menor que ),
rechazaremos y la muestra aleatoria no proviene de la población con
parámetro ; si la probabilidad de la diferencia entre x - es grande (mayor
que ) aceptamos y la muestra aleatoria proviene de la población con
parámetro .
159
Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis , se corre el
riesgo de equivocarse (recuerde que nos hemos referido a la probabilidad de
obtener una diferencia entre x y y no de un hecho establecido), es decir, de
cometer errores.
Estos posibles errores son:
Error tipo I
Consiste en rechazar la hipótesis , cuando en realidad no debería ser
rechazada, por ser verdadera. La probabilidad de cometer el error tipo I, se
llama alfa ( ).
Error tipo II
Consiste en no rechazar a hipótesis Ho, cuando debería ser rechazada por ser
falsa. La probabilidad de cometer el error tipo II, se llama beta (β).
Se debe procurar que la probabilidad de los errores tipo I y tipo II, sean las más
pequeñas posibles, sin embrago, para un tamaño de muestra dado, el querer
disminuir un tipo de error, trae consigo, incrementar el otro tipo de error. La
única forma de disminuir ambos errores, es aumentar el tamaño de la muestra.
Nivel de significación de una Prueba Estadística.
En relación a la comprobación de una hipótesis dada, se llama nivel de
significación, a la probabilidad a de cometer el error tipo I, al rechazar la
hipótesis nula Ho.
Los niveles de significación más usados en la práctica son: de 0.05 (5%) y de
0.01 (1%).
El nivel de significación de 5% se interpreta de la siguiente manera: en 100
casos, cabe esperar, que en 5 de ellos se cometa una decisión equivocada, al
rechazar la hipótesis Ho, cometiendo, en consecuencia, un error de tipo I.
Pasos de una Prueba de Hipótesis
1o Formular la Ho y la H1
160
2o Determinar si la prueba es unilateral o bilateral.
3o Asumir el nivel de significación de la prueba.
4oDeterminar la distribución muestral que se usara en la prueba.
5o Elaborar el esquema de la prueba.
6o Calcular el estadístico de la prueba.
7o Tomar la decisión, para esto, se comparan el esquema de la parte.
5o, con el estadístico del paso 6o.
Ejemplo de una prueba de hipótesis utilizando los pasos anteriores.
Se realiza el experimento aleatorio de lanzar 50 veces una moneda,
obteniéndose 34 veces el resultado cara. Al nivel de significación de 5%, se
quiere averiguar si la moneda está cargada.
1) Ho: P= 0.5, la moneda no está cargada.
H1: P≠ 0.5 la moneda está cargada (P>0.5 ó P<0.5).
2) La prueba debe ser bilateral o de dos colas, porque hay dos
posibilidades en la H1:
a) Si se obtiene muchas veces cara, entonces la moneda está cargada
de un lado (P>0.5).
b) Si se obtiene pocas veces cara, entonces la moneda está cargada
del otro lado (P<0.5).
3) Asumimos el nivel de significación de 5%, con lo que estamos
aceptando de que con la probabilidad de 0.05, puede ocurrir que se
rechace Ho, a pesar de ser verdadera; cometiendo por lo tanto el error
de tipo I. la probabilidad de no rechazar Ho, será de 0.95.
4) Determinar la distribución muestral que se utilizara en la prueba.
Tenemos por dato muestral la proporción
, el parámetro de Ho, es la
proporción poblacional P; entonces utilizaremos la distribución muestral
de proporciones para describir la variación de las muestras por el error d
161
muestreo. Tamaño de muestra n= 50> 30. (Muestra grande)
aproximaremos la distribución muestral de proporciones, mediante la
distribución normal, porque n=50> 30.
5) Esquema de la prueba: En la distribución normal de probabilidades
estandarizadas, para el nivel de significación de 5%, el nivel de
confianza será de 95%, entonces los coeficientes críticos o coeficientes
de confianza para la prueba bilateral serán: -1.96 1.96, es decir -1.96 ≤ z
≤ 1.96.
El esquema correspondiente es:
Si al realizar el experimento y calcular el puntaje estandarizado Z, encontramos
que Z cae fuera del intervalo -195 ≤ z ≥ 1.96, esto indicara que se debe
rechazar H˳
Si por el contrario Z cae dentro del intervalo ya mencionado, eso indicara que
no debemos rechazar H˳
Vemos que hay dos regiones e rechazo, por eso la prueba se llama prueba
bilateral o de dos colas.
6) Cálculo de Z. utilizando la fórmula 5.3.2
Donde Xi corresponde en este caso a la producción de la muestra: p`
162
: es la medida de la distribución muestral de proporciones, igual a la
proporción poblacional P de H˳
: es la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones,
llamada también error estándar de la proporción: p`
Ejemplo de Prueba de una Cola o Unilateral.
Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene 905 de efectividad para
curar una enfermedad. En una muestra de 200 persona de aliviaron 160.
Determinar que a afirmación no es cierta, es decir, la medicina cura meno del
90% de los casos. Sea el nivel de significación 0.05.
1) .- H˳: P = 0.90 P, proporción poblacional de éxito.
H1: P < 0.90 Es lo que queremos probar.
163
2) .- Habrá una sola región de rechazo o región crítica y es aquella en la
que la proporción de personas curadas por la medicina es menor que
0.90; luego se trata de una prueba unilateral, o de una sea cola; en esta
caso de cola izquierda, que es la dirección a la que apunta la
desigualdad de H1.
3) Asumiendo el nivel de significación de 5% (0.05), en la distribución
normal de probabilidades estandarizada se tiene el coeficiente critico de
Z= -1.65.
4) Como el dato es una proporción muestral, y en Ho hay una proporción
poblacional, usaremos la distribución muestral de proporciones.
5) El esquema de la prueba es:
6)
´P = Proporción de la muestra =
P = Proporción de la población P = 0.9
Grados de libertad: el termino libertad se refiere a libertad para variar y recoger
datos de la muestra. Analicemos la fórmula para la desviación estándar
corregida
√∑
164
Para calcular la desviación estándar es necesario estimar la media poblacional
û mediante x= u, es decir se eta estimando un parámetro poblacional por lo
tanto por grados de libertad serán n-1. Al querer calcular la desviación estándar
ha disminuido en uno la libertad de escoger los datos, por haber estimado un
parámetro, la media poblacional.
En la prueba de student de diferencia de medidas, se estimaran dos medias
poblacionales de cada una de las dos poblaciones de las cuales se toman los
datos, para calcular las dos medias. Los grados de libertad serán n1+n2-2
donde n1 es el tamaño de la muestra 1, tomada de la población 1 y n2 es el
tamaño de la muestra tomada de la población 2.
Los grados de libertad están representados por la siguiente formula
Gl=n-k
N: numero de observaciones independientes
K: numero de parámetros estimados
Distribución de Student
Cuando:
i) el tamaño de la muestra es pequeño y este es menor que 30
ii) la población de donde se obtienen los datos está distribuida normalmente
iii) se desconoce la desviación estándar de la población entonces haremos uso
de la distribución de Student
La distribución de Student está representada por el estadístico t:
√
El estadístico z de la distribución normal era
√
165
En el denominador de t tenemos s, que varía de muestra en muestra. En el
denominador de z tenemos o , la desviación estándar de la población que es
una constante; t sigue una distribución de Student con n-1 grados de libertad,
los valores de t se pueden encontrar en la tabla correspondiente en el apéndice
de este libro. Existe un valor específico para cada grado de libertad asociado
con un determinado nivel de significación.
La grafica de la distribución de Student es mas aplanada que la distribución
normal Z.
Ejemplo de prueba de una media utilizando la distribución de student
Se aplico un test de inteligencia a una muestra de 15 alumnos de un salón de
clase de cierto Colegio y se determino un CI promedio de 105.4 con una
desviación estándar de 5.3. Se saber que al estandarizar el mencionado test en
los colegios secundarios de la localidad, se hallo un CI medio de 101.
Asumiendo un nivel de significación de 1% probar que el rendimiento mental
del grupo de 15 alumnos, es más alto que el promedio de estandarización del
test.
U= rendimiento mental medio de estandarización = 101
X= rendimiento mental medio de la muestra = 105,4
1) formulación de la hipótesis
H0:µ = 101, no existe diferencias significativas en el rendimiento mental, de la
muestra X y de la población
H1: µ= >101
2) prueba unilateral de cola derecha, de acuerdo con H1,
3) Nivel De Significación Asumido: 1% = 0.01
Distribución
de student
Distribución
normal
166
4) Distribución aplicable para la prueba
Considerando que los datos son la media de la muestra X y la media
poblacional µ, se debe reutilizar la distribución maestral de medias, además
como n <30 (muestra pequeña) y se desconoce 0 (desviación estándar de la
población) se empleara la distribución de student, ya que ese sabe los valores
de CI siguen una distribución normal.
5) Esquema grafico de la prueba
El nivel de significación es a = 0.01
Los grados de libertad son:
Gi= n-1 = 15 – 1=14g. de lib
En la tabla de distribución de student, con 14gl, a = 0.01 y prueba de 1 cola,
encontramos el t crítica: tc =2.624
6) Cálculo del estadístico de la prueba
Datos
X= 105.4 ; µ = 101 ; s= 5.3 ; n= 15
167
7) toma de decisiones
Observamos que t=3.11 se ubica en la región de rechazo por tanto se descarta
que µ = 101 y se acepta la alternativa µ > 101 es decir el grupo de 15 alumnos
tiene rendimiento mental mayor que el promedio de estandarización.
Ejemplo:
Una tableteadora de un laboratorio farmacéutico produce comprimidos de cierto
medicamento, con un peso medio de 2grs. Por comprimido. Para determinar si
la maquina sigue en buenas condiciones de producción, se tomó una muestra
de 10 tabletas cuyos pesos en gramos son: 2.04; 1.96; 2.00; 1.98: 2.02; 2.01;
1.97; 1.94; 2.03; 2.01, asumiendo un nivel de significación de 0.01, verificar que
la maquina no está en
Buenas condiciones de producción.
Llamemos:
µ: el peso medio de las tabletas producidas por la máquina.
1) Formulación de hipótesis
H0: µ= 2, la maquinas se halla en buenas condiciones.
H1: µ ≠ 2, la maquina no se halla en buenas condiciones
2) Prueba bilateral porque en H1 hay dos posibilidad
µ>2 o µ< 2
3) Nivel de significación , s4e asume el 1% = 0.01
4) Distribución de probabilidad apropiada para la prueba.
168
Considerando que las hipótesis se refieren a medios poblacionales, que se
da como dato el valor de la media población µ= 2grs, y que se puede
calcular la media de la muestra, utilizaremos la distribución muestral de las
medias para efectuar la prueba. Siendo la muestra pequeña (n= 10) y la
desviación de student o de la población desconocida, no es aplicable la
distribución normal y por tanto recurridos a la distribución de student,
asumiendo que la población.
169
Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene el 90% de
efectividad para curar una enfermedad. En una muestra de 200
personas se aliviaron 160. Determinar que la afirmación no es
cierta, es decir que la medicina cura menos del 90% de los casos.
Si el nivel de significancia (error de estimación) es del 0,05
1.- HALLAR H0 Y HA
2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS
Es unilateral de una cola
3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA
4.- DETERMINAR EL VALOR DE n
170
5.- GRAFICAR LA CAMPANA DE GAUSS
6.- CALCULAR EL VALOR DE Z
= 0,80
√
√
171
7.- rechazo de la hipótesis nula y aceptación de la hipótesis alternativa, porque
los medicamentos curan menos del 90% a los pacientes.
Una muestra de 80 alambres de acero producidos por la Fábrica A,
da una resistencia media a la rotura de 1230lobras con una
desviación estándar de 120 libras. Una muestra de 100 alambres de
acero producidos por la Fábrica B da una resistencia media a la
rotura de 1190 libras con una desviación estándar de 90 libras.
¿Hay una diferencia real en la resistencia media de las dos marcas
de alambre de acero, si el nivel de confianza es el 95%?
1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.
Ho: U1 = U2
Ha: U1 U2
2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS
La campana de gauss es bilateral de 2 colas
3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA
Nivel de significancia o E.E. = 0,05
Z =1,96 valor estandarizado
172
4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA
n 1 = 80 n > 30
n 2 = 100 n > 30 Prueba de Hipótesis
5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS
6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z
1 = 1230 S1 = 120
2 = 1190 S2 = 90
√
√
√
√
173
√
7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. La rotura de los
alambres de la Fábrica A es diferente a la rotura de los alambres de la Fábrica
B.
Los salarios diarios de una industria particular tiene una
distribución normal con media de 23,20 dólares y una desviación
estándar de 4,50 dólares. Si una compañía de esta industria emplea
40 trabajadores, les paga un promedio de 21,20 dólares. ¿Puede se
acusada esta compañía de pagar salarios inferiores con un nivel de
significancia del 1%?
1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.
Ho: U = 23,20
Ha: U > 23,20
2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS
La campana de gauss es de una cola
3.- NIVEL DE CONFIANZA = 99%
174
4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA
5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS
6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z
√
√
√
7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. No está pagando
a los trabajadores lo que les corresponde entonces debe entrar a un juicio para
resolver este inconveniente.
175
EJERCICIO PLANTEADO
Según una encuesta realizada se afirma que la exportación de petróleo crudo
tiene el 95% de efectividad para comercializarse en el mercado internacional.
En una muestra de 45 países a los que se envía el petróleo ecuatoriano, se
reflejaron que 35 países los más grandes importadores de petróleo tienen
ventas elevadas. Determinar que la afirmación no es cierta, es decir que la
exportación de petróleo se comercializa en menos del 95%. Si se tiene un nivel
de significancia del 0,05.
1. Ho: U = 95%
Ha: U < 95%
2. La campana de Gauss es de una cola
3. α = 95%
Error de Estimación: 0,05
Z = -1,65
4. n = 45 n > 30 Prueba de Hipótesis
5. Construir Campana de Gauss
176
6.
√
√
7. Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa.
Las exportaciones de petróleo que el Ecuador realiza a diferentes países
se comercializan en más del 95%, por lo que el país puede continuar
realizando sus exportaciones al exterior.
DISTRIBUCIÓN T-STUDENT
En probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de
probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población
normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados
de libertad, donde n es un entero positivo, si su función de densidad es la
siguiente:
f(t)=
)1(2
12
)1(
)2
(
)2
1(
n
n
t
nn
n
, - t ,
0
1)( dxexp xp
siendo p>0
La gráfica de esta función de densidad es simétrica respecto del eje de
ordenadas, con independencia del valor de n, y de forma semejante a la
distribución normal.
177
Propiedades:
1. La media es 0 y su varianza 2n
n
, n>2.
2. La gráfica de la función de densidad es en forma de campana.
3. Los datos están más disperso que la curva normal estándar.
4. A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1).
5. La gráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose
en que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se
encuentra por debajo del de la normal.
6. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con
los de la normal.
Ejercicio: La empresa de transporte pesado TRANSURGIR de la ciudad de
Tulcán adquirió camines nuevos que cargan un peso aproximado a 15
toneladas cada uno para determinar si esta afirmación es verdad se tomo una
muestra de 7 camiones con repletos de carga cuya carga pesaba; 15,04tonn,
14,96tonn, 15tonn, 14,98tonn, 15,2tonn, 15,1tonn y 14,96tonn. Asumiendo un
nivel de significancia de 0,01 verificar que los camiones si cumplen con el peso
establecido.
1) Ho: u=15tonn
Ha: u≠2 u es diferente de dos
2) Bilateral
3) 99% 0,01 gl=n-1
gl= 10-1= 9
t=±3,250
4) n˂30 T-student
178
5) GRAFICA
√∑
6) –
√
–
√
7) Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa ya
que el peso que puede transportar cada camión se encuentra en la
zona de aceptación.
Ejercicio. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500
horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada
mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con
esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya
duración fue?:
Xi (Xi-X) (Xi-X)2
15,04 0,006 0,000032653
14,96 -0,074 0,005518367
15 -0,034 0,00117551
14,98 -0,054 0,002946939
15,2 0,166 0,027461224
15,1 0,066 0,004318367
14,96 -0,074 0,005518367
105,24
-
0,000000000000008881784197 0,046971429
179
PRUEBA CHI - CUADRADO
Pruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que cumplen
tres requisitos fundamentales:
1. La variable de la prueba debe ser la variable cuantitativa.
2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.
3. Los datos deben ajustarse a determinadas distribuciones estadísticas.
Ejemplos.
1. La prueba basada en la distribución normal de probabilidades.
2. La prueba de student.
Pruebas No Paramétricas.- llamadas también pruebas de distribución libre.
Son aquellas que:
1. La variable de la prueba puede ser cualitativa o cuantitativa.
2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.
3. Son independientes de cualquier distribución de probabilidad.
Ejemplo.
La prueba de Chi – Cuadrado (también llamada prueba Ji –Cuadrado).
Las pruebas paramétricas son mas poderosas. Sin embargo cuando la variable
es cualitativa, sólo se puede usar las pruebas no paramétricas.
El Estadístico Chi – Cuadrado
En un estadístico que sirve de base para una prueba no paramétrica
denominada prueba chi – cuadrado que se utiliza especialmente para variables
cualitativas, esto es, variables que carecen de unidad y por lo tanto sus valores
no pueden expresarse numéricamente. Los valores de estas variables son
categorías que sólo sirven para clasificar los elementos del universo del
estudio. También puede utilizarse para variables cuantitativas,
transformándolas, previamente, en variables cualitativas ordinales.
El estadísticos chi- cuadrado se define por
180
En donde:
n= número de elementos de la muestra.
n-1= número de grados de libertad
s2= varianza de la muestra
a2= varianza de la población
Desarrollaremos un ejemplo numérico con la finalidad de fijar el concepto de
Chi – cuadrado.
Ejemplo:
En un estudio de la capacidad de aprendizaje de matemáticas, en los niños de
una población, se tomó una muestra representativa de 40 niños. Se les aplicó
una prueba de diagnostico del aprendizaje en matemáticas y con los datos
obtenidos se calculó la varianza s2=8.4, conociendo que la varianza poblacional
es de 2= 12,37, calcular el valor del estadístico chi-cuadrados.
Datos:
n= 40 S2= 8,4 a2= 12,37
Ahora vamos a elaborar el concepto de DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL
ESTADÍSTICO CHI- CUADRADO.
Supongamos que se realiza los pasos siguientes:
1. De una población de N elementos se extrae todas las muestras posibles
del mismo tamaño n.
181
2. Con los datos de cada muestra se calcula el estadístico chi – cuadrado.
3. Con todos los valores de Chi – cuadrado se forma una distribución de
frecuencias; éstas se denomina distribución muestral del Chi-cuadrado.
Esta distribución muestral se representa gráficamente en un sistema de
coordenadas, colocando en el eje de abscisas los valores del estadístico Chi-
cuadrado.
Cuadrado en el eje vertical se colocan las frecuencias de cada valor del chi-
cuadrado.
El área encerrada bajo la curva y el eje horizontal es igual a uno y representar
la probabilidad de que Chi-cuadrado tome valores mayores que 0.
El área rayada situada a la derecha de la ordenada levantada en la abscisa x2
(gl), representa la probabilidad de cometer el error tipo l en la prueba de chi-
cuadrado. Esta probabilidad es el nivel de significación de la prueba. El valor
x2 (gl) se llama valor crítico del chi-cuadrado y se determina por medio de una
tabla especial, que representa al final del libro el aprendizaje de tablas.
Antes de entrar en el manejo de la tabla debemos tener encuentra que para
una probabilidad dad, por ejemplo =0.05, al aumentar el número de grados de
libertada también aumenta el valor crítico de Chi-cuadrado; esto se ilustra en
las tres figuras siguientes:
182
Este crecimiento del valor crítico se debe a que el aumentar el número de
grados de libertad, la curva de la distribución muestral de Chi-cuadrado tiende
a tomar una forma más extendida y por tanto el punto crítico se desplaza hacia
la derecha.
Descripción y manejo de la tabla.- La tabla de valores críticos de x2 se
encuentra en el apéndice. En la línea horizontal superior encabezando en cada
columna se hayan los valores de .
En la primera columna de la izquierda están los grados de libertad. Los
ejemplos siguientes el manejo de la tabla.
1. Ejemplo:
=0.05 y gl= 4 g de l
A partir de gl=4g de l, dirigimos una visual hacia la derecha hasta cortar a la
visual que baja por =0.05; en la intersección se encuentra el valor crítico
2. Ejemplo:
Si
Hallamos x2 (6)=12.592
3. Ejemplo:
Si
Encontramos x2 (10) = 18.307
Con estos 9 valores de la variable de estudio X, vamos a elaborar el cuadro de
frecuencias observadas correspondientes a las 10 categorías establecidas.
183
Cuadro 11. 3. 2
Intervalos Conteo Frecuencias
Observadas
Menos de 6,26 a 6, 26 IIII - I 6
6 , 26 a 11,62 IIII - I 6
11,62 a 15,51 III 3
15,51 a 18,80 IIII 5
18,80 a 21,96 IIII 4
21,96 a 25,12 IIII - IIII 10
25,12 a 28,41 III 3
28,41 a 32,30 IIII 4
32,30 a 37,66 IIII 4
37,66 a más. IIII 5
A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los 50 datos, es
decir, colocar a cada uno de ellos dentro de su categoría representándolo por
una tarja. La suma de las tarjas de cada clase da la frecuencia observada de
esta clase.
Para facilitar el cálculo del estadístico chi-cuadrado mediante la fórmula
indicada
∑
Agregamos las frecuencias observadas y esperadas en celdas tal como se
presenta a continuación. Recordemos que se fijo la frecuencia esperada de 5
en cada intervalo, luego:
Frecuencia observada O, y frecuencia esperada E, en la Prueba Chi-cuadrado
de Bondad de Ajuste.
184
Ei 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Oi 6 6 3 5 4 10 3 4 4 5
7) Toma de decisiones
Observamos que este valor de Chi-cuadrado, en el esquema grafico (figura
11.3.5) se ubica en la regresión de aceptación, luego aceptamos esto es,
que la muestra se obtiene de una población distribuida normalmente.
Problema
De una investigación demográfica se conoce que los habitantes de ciertos
países se distribuyen en la forma siguiente: 0- 20 años, 25%; 21 – 40 años,
35%; 41 -61 años, 25%; 61 -80 años, 10%; 81 – 100 años, 5%.
Después de transcurridos varios años se quiso probar que la distribución
poblacional de las edades no ha cambiado para lo que se selecciono una
muestra respectiva de 1000 personas y se observo que las frecuencias de las 5
categorías fueron: 0- 20 años, 200; 21 – 40 años, 300; 41 -61 años, 300; 61 -80
años, 100; 81 – 100 años, 100.
1) la distribución actual por edades es igual a la del año de ejecución
del censo
La distribución actual por edades no es igual a la del año de
ejecución
2) La prueba es unilateral y de cola derecha
3) Nivel de significación a= 0.10
4) Se utiliza la distribución CHI – CUADRADO
185
186
ESQUEMA DE LA PRUEBA
Existen k= 5 celdas, tenemos gl = K-1 = 5-1=4 grados de libertad a =
0.10 en la tabla de CHI – CUADRADO obtenemos
5) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA
200
300
300
100
100
Las frecuencias observadas nos las proporcionan con la muestra aleatoria de
los 1.000 habitantes.
CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS
= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 35% = 350
77.14
7.779
250 350 250 100 50
187
= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 105% = 100
= 1.000 X 5% = 50
CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO
∑
=
+
= 10+7.14+10+0+50
= 77.14
6) TOMA DE DECISIONES
Vemos que el estadístico calculado CHI – CUADRADO (77.14) es mayor
que el valor critico encontrado en la tabla (7.779) vemos que 77.14 cae
en la región de rechazo por lo tanto rechazamos y aceptamos , es
decir la distribución actual por edades no es igual a la de la investigación
demográfica.
CORRECCIÓN DE YATES
Cuando el número de grados de libertad es igual a la unidad, es necesario
realizar una corrección por continuidad durante el cálculo del estadístico de la
188
prueba. Esta corrección se denomina de yates y consiste en disminuir en 0.05
al valor absoluto de la diferencia | | entre las frecuencias observadas y as
frecuencias esperadas.
El ejemplo siguiente ilustra la aplicación de esta corrección.
PROBLEMA
En el año de 1960, la proporción de hombres y mujeres de cierta institución de
enseñanza superior, fue de 75% y 25%, respectivamente. Con la finalidad de
verificar si el transcurso del tiempo había originado algún cambio en las
proporciones de estudiantes de ambos sexos, en el año de 1970 se tomó una
muestra aleatoria de 100 alumnos de 1º ciclo, obteniendo 60 hombres y 40
mujeres. Con estos datos realizar la verificación por medio de la prueba de CHI
– CUADRADO, asumiendo el nivel de significación de a= 5%.
1) la distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 también es
de 75% y de 25% respectivamente
La distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 no es del
75% ni del 25% respectivamente
2) La prueba es universal y de cola derecha
3) Nivel de significación a= 0.05
4) Emplearemos la distribución muestral de CHI – CUADRADO
189
5) ESQUEMA DE LA PRUEBA
Existen 2 categorías entonces K= 2 y gl = K – 1 =2-1=1 a= 0.05 con
estos datos vamos a la tabla de CHI – CUADRADO y obtenemos
3.841.
6) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA
60
40
OBTENCIÓN DE LOS VALORES ESPERADOS
11.21
3.841
75 25
190
Valor esperado para los hombres: 100 x 75% = 75
Valor esperado para las mujeres: 100 x 25% = 25
CACULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA
Como gl = 1 utilizaremos la corrección de yates
(| |
)
(| | )
(| | )
(| | )
(| | )
(| | )
( )
( )
=2.8+8.41= 11.21
7) TOMA DE DESICIONES
Como el valor de CHI – CUADRADO es de 11.21, mayor que el valor
CHI – CUADRADO afirmamos que 11.21 cae en la región de rechazo,
luego rechazamos la por lo tanto afirmamos que la distribución de
hombres y mujeres no es del 75% ni del 25% respectivamente.
En un estudio realizado en el departamento de investigación del ESAN acerca
del perjuicio étnico hacia el negro. En los universitarios de lima se aplico
Lugar de residencia
191
Una encuesta a los universitarios según su lugar de procedencia, obteniendo
los resultados que presenta la siguiente tabla
Al nivel de significación Q=0.05, determinar que las variables perjuicio étnico
hacia el negro y lugar de residencia son independientes
1. Ho: el perjuicio étnico y el lugar de residencia son independientes
H1: existe dependencia entre las variables.
2. La prueba es unilateral y la cola derecha
3. Asumimos el nivel de significación de Q= 0.05
4. Utilizaremos la distribución muestral de chi-cuadrado porque las dos
variables son cualitativas.
5. Esquema de la prueba
Gl =(C-1) (F-1) 1.1.3.4
Gl =(3-1) (2-1) = 2 11.3.4
Gl= 2
Q= 0.05
X2 = (2) = 5.991
C= # de columnas
F= # de filas
6. Calculo del estadístico de la prueba x= 3.54
5.991
Formula
∑ (
)
2
X2= 3.54
Grado de perjuicio
Barriadas Barrios populares
intermedios
Barrios residenciales
total
Alto 32 225 50 307
Bajo 28 290 79 397
Total 60 515 129 704
192
Ya conocemos las frecuencias observadas para determinar las frecuencias
esperadas emplearemos la misma tabla, manteniendo invariables de
frecuencias marginales de dos variables
Lugar de Residencia
Grado de perjuicio
Barriadas Barrios populares
(intermedios)
Barrios residenciales
total
Alto E11 E12 E13 307
Bajo E21 E22 E23 397
Total 60 515 129 704
Cuando las variables X y Y son independientes, las frecuencias de cada celda
son igual al productos de las frecuencias marginales correspondientes dividido
por el tamaño de la muestra.
26.16
32
224.58
225
33.84
28
290.42
290
72.75
79
56.25
50
193
Las frecuencias esperadas y las asociadas determinan las frecuencias
observadas anteriormente
194
ORGANIZADOR GRAFICO:
estadistica inferencial
PRUEBA DE HIPOTESIS
Se llama hipótesis, a una suposición o conjetura; que se formula, con el
propósito de ser verificada. Cuando se establece la veracidad de una hipótesis,
se adquiere el compromiso de verificada en base a los datos de la
muestra obtenida.
t de student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una
distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de
una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es
pequeño.
chi cuadrado
En una prueba de ajuste la hipótesis nula establece que una variable X tiene una cierta distribución de probabilidad con unos determinados valores de los
parámetros.
195
UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL
DEL CARCHI
ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN
COMERCIAL INTERNACIONAL
TEMA:
Mínimos cuadrados, prueba de
hipótesis, t de student
Tutor:
MSC. JORGE POZO
Integrantes:
Tania herrera
Marzo-agosto
196
1.-TEMA:
Mínimos Cuadrados, Prueba de Hipótesis, T de student
2.-PROBLEMA:
Escaso conocimiento de lo que son los Mínimos Cuadrados, Prueba de
Hipótesis, T de student, provocara el no aplicarlos al contexto de nuestra
carrera para una buena toma de decisiones.
3.- OBJETIVOS:
3.1.- Objetivo General:
Determinar que es Mínimos Cuadrados, Prueba de Hipótesis, T de
student y así poder aplicarlo en el contexto de nuestra carrera.
3.2.- Objetivos Específicos:
Investigar que son Mínimos Cuadrados, Prueba de Hipótesis, T de
student
Resolver los ejercicios.
4.-JUSTIFICACION:
El presente trabajo tienen como finalidad conocer lo que es la regresión y
correlación lineal al trabajar con dos variables cuantitativas podemos estudiar la
relación que existe entre ellas mediante mínimos cuadrados. Aunque los
cálculos de ambas técnicas pueden ser similares en algunos aspectos e incluso
dar resultados parecidos, no deben confundirse. Los mínimos cuadrados tan
solo medimos la dirección y la fuerza de la asociación de una variable frente a
la otra, pero nunca una relación de causalidad.
197
5.-MARCO TEORICO:
Métodos de mínimos cuadrados.
El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos
presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los
mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos características
importantes:
1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la
recta de ajuste
∑ (Yｰ - Y) = 0.
2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra
recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ -
Y)² → 0 (mínima).
El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²
Re emplazando nos queda
Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones
resultante. Veamos el siguiente ejemplo:
En un estudio económico se desea saber la relación entre el nivel de
instrucción de las personas y el ingreso.
Se debe tener presente la diferencia entre el valor de obtenido con la ecuación
de regresión y el valor de Y observado. Mientras es una estimación y su
bondad en la estimación depende de lo estrecha que sea la relación entre las
dos variables que se estudian; Yｰ es el valor efectivo, verdadero obtenido
198
mediante la observación del investigador. En el ejemplo Yｰ es el valor mediano
del ingreso que obtuvo el investigador utilizando todos los ingresos observados
en cada ciudad y es el valor estimado con base en el modelo lineal utilizado
para obtener la ecuación de regresión
Los valores estimados y observados pueden no ser iguales por ejemplo la
primera ciudad tiene un ingreso mediano observado de Yｰ = 4.2 al remplazar
en la ecuación el porcentaje de graduados obtenemos un estimado de
Gráficamente lo anterior se puede mostrar así:
199
Prueba de Hipótesis
Afirmación acerca de los parámetros de la población. Etapas Básicas en
Pruebas de Hipótesis.
Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en
parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se
compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro
hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se
acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor
hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la
hipótesis es cierta.
Etapa 1.- Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula
(H0) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado
muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.
Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de
significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el
resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de
esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de
1.05 o menos.
Etapa 3.- Elegir la estadística de prueba. La estadística de prueba puede ser la
estadística muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o
una versión transformada de esa estadística muestral. Por ejemplo, para probar
el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra
aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la
media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba.
Etapa 4.- Establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba.
Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y la estadística
de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores críticos
de estadística de prueba. Puede haber uno o más de esos valores,
dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos.
200
Etapa 5.- Determinar el valor real de la estadística de prueba. Por ejemplo, al
probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra
aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico que se
establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un
valor de z.
Etapa 6.- Tomar la decisión. Se compara el valor observado de la estadística
muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba. Después
se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la
alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de los
administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de
desempeño o cuál de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.
La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones:
una región de rechazo y una de no rechazo. Si la prueba estadística cae en
esta última región no se puede rechazar la hipótesis nula y se llega a la
conclusión de que el proceso funciona correctamente.
Al tomar la decisión con respecto a la hipótesis nula, se debe determinar el
valor crítico en la distribución estadística que divide la región del rechazo (en la
cual la hipótesis nula no se puede rechazar) de la región de rechazo. A hora
bien el valor crítico depende del tamaño de la región de rechazo.
PASOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS
Expresar la hipótesis nula
Expresar la hipótesis alternativa
Especificar el nivel de significancía
Determinar el tamaño de la muestra
Establecer los valores críticos que establecen las regiones de rechazo
de las de no rechazo.
Determinar la prueba estadística.
201
Coleccionar los datos y calcular el valor de la muestra de la prueba
estadística apropiada.
Determinar si la prueba estadística ha sido en la zona de rechazo a una
de no rechazo.
Determinar la decisión estadística.
Expresar la decisión estadística en términos del problema.
CONCEPTOS BÁSICOS PARA EL PROCEDIMIENTO DE PRUEBAS DE
HIPÓTESIS.
Hipótesis Estadística:.- Al intentar alcanzar una decisión, es útil hacer
hipótesis (o conjeturas) sobre la población aplicada.
Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman hipótesis estadísticas.
Son, en general, enunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las
poblaciones.
Hipótesis Nula..- En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con
el único propósito de rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una
moneda está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda es buena (o
sea p = 0,5, donde p es la probabilidad de cara).
Analógicamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro,
formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea. Que
cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el
muestreo de la misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis
nula y se denotan por Ho.
202
T de Student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución
de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población
normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la
determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la
construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de
dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y
ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de
Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el
error estándar de la media , siendo entonces el intervalo de confianza
para la media = .
Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la
diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se
distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar
si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.
para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son: E(t(n))= 0 y Var (t(n-
1)) = n/(n-2) para n > 3
203
EJERCICIOS
9. El gerente de personal de la empresa P&C quiere estudiar la relación entre
el ausentismo y la edad de sus trabajadores, tomó una muestra aleatoria de 10
trabajadores de la empresa y encontró los siguientes datos.
Edad (años) Ausentismo
(días por año)
25 46 58 37 55 32 41 50 23 60
18 12 8
15 10 13 7 9
16 6
450 552 464 555 550 416 287 450 368 360
625 2116 3364 1369 3025 1024 1681 2500 529
3600
324 144 64
225 100 169 49 81
256 36
313,29 10,89
234,09 32,49
151,29 114,49
2,89 53,29
388,09 299,29
43,56 0,36
11,56 12,96 1,96 2,56
19,36 5,76
21,16 29,16
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√[ ]
√
√
204
PRIMER MÉTODO
∑ ∑ ∑
(∑ ) ∑
SEGUNDO MÉTODO
(
) (
)
(
) (
)
√∑
√
√
√∑
√
√
TERCER MÉTODO
205
∑
∑
CUARTO MÉTODO
QUINTO MÉTODO
Serie 1
f(x)=-0.25985876*x+22.495969; R²=0.7281
-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
-20
-10
10
20
30
40
50
x
y
206
10.- El banco de préstamos estudia la relación entre ingreso (X) y de ahorros
(Y) mensuales de sus clientes.
a) Determinar la ecuación lineal de las dos variables.
b) Trace el diagrama de dispersión en el plano cartesiano
c) Estime el ingreso que corresponde a un ahorro semanal de 90 dólares.
d) Si el ahorro es de 200 dólares que gasto puede realizar el obrero en
dicha semana.
e) Si el ingreso es de 350 dólares cual es el salario.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 200 400 600 800 1000
Títu
lo d
el e
je
Título del eje
Y
Lineal (Y)
207
Desarrollo
Ingresos Ahorros
x Y X Y X2 Y2 (xi-x) (xi-x)2 (yi-y) (yi-y)2
350 100 35000 122500 10000 -283,33 80275,89 -111,11 12345,43
400 110 44000 160000 12100 -233,33 54442,89 -101,11 10223,23
450 130 58500 202500 16900 -183,33 33609,89 -81,11 6578,83
500 160 80000 250000 25600 -133,33 17776,89 -51,11 2612,23
950 350 332500 902500 122500 316,67 100279,89 138,89 19290,43
850 350 297500 722500 122500 216,67 46945,89 138,89 19290,43
700 250 175000 490000 62500 66,67 4444,89 38,89 1512,43
900 320 288000 810000 102400 266,67 71112,89 108,89 11857,03
600 130 78000 360000 16900 -33,33 1110,89 -81,11 6578,83
5700 1900 1388500 4020000 491400 410000 90288,89
Primer caso
(
) (
)
X=∑
Y=∑
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ [ ∑ ∑ ]
√
√
√∑
208
√
√∑
√
(
) (
)
(
) (
)
11.- Un comerciante mayorista encargo un estudio para determinar la
relación entre los gastos de publicidad semanal por radio y las ventas de
sus productos. En el estudio se obtuvieron los siguientes resultados.
Semana 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Gasto de Publicidad ($) 30 20 40 30 50 70 60 80 70 80
Venta ($) 300 250 400 - 550 750 630 930 700 840
En la quinta semana por diversos motivos no se pudo hacer el estudio
a) Determine la ecuación de regresión de ventas sobre gastos de
publicidad
Semanas Ingresos Ahorros
x Y xy
2 30 300 9000 900 90000 -25,6 652,80 -294,44 86694,91
3 20 250 5000 400 62500 -35,55 1263,80 -344,44 118638,91
4 40 400 16000 1600 160000 -15,55 241,80 -194,44 37806,91
6 50 550 27500 2500 302500 -5,55 30,80 -44,44 1974,91
7 70 750 52500 4900 562500 14,45 208,80 155,56 24198,91
8 60 630 37800 3600 396900 4,45 19,80 35,56 1264,51
9 80 930 74400 6400 864900 24,45 597,80 335,56 112600,51
10 70 700 49000 4900 490000 14,45 208,80 105,56 11142,91
11 80 840 67200 6400 705600 24,45 597,80 245,56 60299,71
500 5350 338400 31600 3634900 0,05 3822,22 454622,22
209
Primer caso
(
) (
)
X=∑
Y=∑
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ [ ∑ ∑ ]
√ ∑ ∑ [ ∑ ]
√
√∑
√
√∑
√
(
) (
)
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ [ ∑ ∑ ]
210
√ ∑ ∑ [ ∑ ]
√
b. Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes.
a) Determina el coeficiente de determinación. De su comentario sobre
este valores
yr= -5,27 + 10,79(30) yr= 318,43
12.- Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación
entre cantidad de fertilizante y producción de papa por hectárea.
Sacos de fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Rendimiento en quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76
a) Encuentre la ecuación de regresión de la cosecha sobre el fertilizante,
por el método de mínimos cuadrados.
∑ ∑ ∑
∑ ∑
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 20 40 60 80 100
Títu
lo d
el e
je
Título del eje
Ahorros Y
Lineal (Ahorros Y)
211
∑
∑
b. Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes ¿Cuánto es el
error o residual?
-76=1.63 es el error.
b) Determina el coeficiente de determinación. De su comentario
sobre este valores
212
∑ ∑ ∑
√[ (∑ ) ∑
][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√
√
√
13.- El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones
finales en un curso de matemáticas de una muestra 10 alumnos ha
dado los siguientes resultados:
Alumno
Horas de estudio 14 16 22 20 18 16 18 22 10 8
Calificación 12 13 15 15 17 11 14 16 8 5
a) Determine la recta de regresión de la calificación sobre el número de
horas de estudio invertidos. Interprete la ecuación de regresión.
213
Alumno Horas de
Estudio X
Calificación
Y XY
A1 14 12 168 196 -2,40 5,76
A2 16 13 208 256 -0,40 0,16
A3 22 15 330 484 5,60 31,36
A4 20 15 300 400 3,60 12,96
A5 18 17 306 324 1,60 2,56
A6 16 11 176 256 -0,40 0,16
A7 18 14 252 324 1,60 2,56
A8 22 16 352 484 5,60 31,36
A9 10 8 80 100 -6,40 40,96
A10 8 5 40 64 -8,40 70,56
∑
∑
∑
–
𝐗𝐢 𝐗
214
√∑
√
14.- Sobre la base de una muestra de tamaño 28 se encontró que la
ecuación de regresión muestral de gastos mensuales (Y) sobre tamaño
de la familia (X) es:
Además la covarianza de Y con X es igual a 32, y la desviación estándar de
Y es igual a 5,
a) Determine el coeficiente de correlación y analizar la bondad del ajuste
de la línea de regresión con el coeficiente de determinación.
215
15.- Una muestra de 60 de las 350 agencias de ventas de automóviles
de una importadora registrada en un mes con X (autos vendidos por
agencia), Y (ventas en miles de dólares) ha dado los siguientes
resultados:
∑ ∑ ∑
a) Determine la ecuación de regresión:
∑
∑
Ecuación
b) Calcule el coeficiente de terminación ¿Qué porcentaje de la
variación total es explicada por la regresión?
∑
∑
216
∑
∑
∑
∑
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ [ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
16.- Los contadores con frecuencia estiman los gastos generales
basados en el nivel de producción. En la tabla que sigue se da la
información recabada sobre gastos generales y las unidades
producidas en 10 plantas y se desea estimar una ecuación de regresión
para estimar gastos generales futuros.
Gastos generales ($) 300 1000 1100 1200 600 800 900 500 400 200
Unidades producidas 15 45 55 75 30 40 45 20 18 10
a) Determine la ecuación de regresión y haga un análisis del coeficiente
de regresión.
∑
217
∑
∑
–
√∑
√
218
17.- el banco “préstamo” estudia la relacion entre las variables,
ingreso (x) y ahorros (y) mensuales de susu clientes. una muestra
aleatoria de susu clientes revelo los siguientes datos en dolares:
X 350 400 450 500 950 850 700 900 600
Y 100 110 130 160 350 350 250 320 130
A) Cuáles son los supuestos del modelo de regresión?
B) Dibuje el diagrama de dispersión y describa la tendencia trazando una línea
a través de los puntos.
C) Determinar la ecuación de regresión muestral. interprete esta ecuación
D) Calcule el error estándar de estimación. ¿Entre dos valores estarán
aproximadamente 95% de las predicciones? (suponga muestra grande)
E) Analice que tan bien se ajustan los puntos del diagrama de dispersión a la
línea de regresión utilizando el coeficiente de determinación.
XY
350 100 1225 100 350 802.59 123.43
400 110 1600 121 440 544.29 102.21
450 150 2025 169 585 335.99 65.77
500 160 2500 256 800 177.69 26.11
950 350 9025 1225 3325 31.67 192.93
850 350 7225 1225 2975 21.67 192.93
700 250 4900 625 1750 6.67 15.13
900 320 8100 1024 2880 26.67 118.59
600 130 3600 169 780 11.09 65.77
570 190 40200 4914 13885 1958.33 902.87
219
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√[ ]
=
=63.33
=
=21.11
Sx = √∑
= 14.75
Sy = √∑
= 10.2
1) y= +r (
) x – r (
)
y= 21.11 +0.96 (
) x – 0.96 (
) (63.33)
y= 21.11 + 0.96 (0.68)x – 0.96 (43.06)
y= 21.11 + 0.65x -41.34
y = -20.23+0.65x
2) B=
=
= 0.45
Sxy = ∑
- =
- (21.11) (63.33) = 1542.78 – 1336.89 = 205.89
220
= ∑
- =
– = 4466.67-4010.69= 455.98
= 21.11-0.45 (63.33)
a= -7.51
y= a + bx
y -7.51+0.45x
3) y= +
( x - )
y = 21.11 +0.45 (x -63.33)
y = -7.39 +0.45x
18.- a) Calcule la desviación estándar de la pendiente b (error estándar de b)
b) halle un intervalo de confianza de 0.95 para b. ¿se puede afirmar que b = 0?
c) utilice t bilateral para probar la hipótesis nula b= 0 al nivel de significación del 5%.
Calcule la probabilidad p.
Sx = √∑
= 14.75
Sy = √∑
= 10.2
19.- la pendiente de la línea de regresión muestral resulto b= 0.452 se
quiere determinar si está pendiente es significativa en la población utilizando
el método de análisis de varianza.
1) B=
=
= 0.45
a) plantee las hipótesis nula y alternativa
b) determinar la región de rechazo al nivel de significación 0.05 y describa la
regla de decisión
c) describa la tabla ANOVA y tome la decisión
d) halle la probabilidad p de la prueba.
221
20.- determinar el intervalo de confianza del 95% para;
a) la cantidad de ahorro promedio, si el ingreso es = 1200 $
1) y= +
( x - )
y = 21.11 +0.45 (x -63.33)
y = -7.39 +0.45x
Y = -7.39+ 0.45( 1200)
Y= 398.536
b) la cantidad de ahorro cuando el ingreso es = 1200 $
1) y= +
( x - )
y = 21.11 +0.45 (x -63.33)
y = -7.39 +0.45x
1200= -7.39+ 0.45( x)
X= 366.657.5
15,. Continuando con el ejercicio 10
a) Calcule el coeficiente de correlación interprete la tendencia
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√[ ]
222
b) B) ¡porque son iguales las signos de b y r?
c) C) utilizando la significación al 5% del coeficiente regresión muestral
¿podemos concluir que hay relación positiva entre ahorros e
ingresos?
d) Realice la prueba bilateral de la hipótesis nula p=0 al nivel
significación 0.05
21.- Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre
cantidad e fertilizante y producción de papa por hectárea.
Sacos de fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Rendimiento en quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76
∑
∑
SX= √∑
SY=√∑
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ ∑ ∑
X Y XY
2
2
3 45 135 9 2025 20,25 265,69
4 48 192 16 2304 12,25 176,89
5 52 260 25 2704 6,25 86,49
6 55 330 36 3025 2,25 39,69
7 60 420 49 3600 0,25 1,69
8 65 520 64 4225 0,25 13,69
9 68 612 81 4624 2,25 44,89
10 70 700 100 4900 6,25 75,69
11 74 814 121 5476 12,25 161,29
12 76 912 144 5776 20,25 216,09
75 613 4895 645 38659 82,5 1082,1
223
√
√
a) Y= +r(
Y=61.3+0.47
(
)
Y=61.3+0.47 (3.7386) X-0.47 (3.7386)7.5
Y=61.3+1.76X-13.2
Y=48.10+1.76X
Y=a+bx
Y=48.10+1.76(10)=48.10+1.76=65.6
b) a= -b =61.3+1.757(7.5)=61.3-13.1775=48.12
∑ ∑ ∑
∑ ∑
c) b=
a= a= -b =61.3-1.715(7.5)=48.44
SXY= ∑
SX2=∑
d) Y= +
Y=61.3+
Y=61.3+1.715(X-7.5)
Y=48.44+1.715X
e) Y=48.44+1.715X
48=48.44+1.715X
X= 0.26
22.- El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un curso
de matemática de una muestra de 10 alumnos ha dado los siguientes resultados.
224
ALUMNO A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
HORAS DE ESTUDIO 14 16 22 20 18 16 18 22 10 08
CALIFICAIONES 12 13 15 15 17 11 14 16 08 05
X Y XY
2
2
14 12 168 196 144 5,76 0,36
16 13 208 256 169 0,16 0,16
22 15 330 484 225 31,36 5,76
20 15 300 400 225 12,96 5,76
18 17 306 324 289 2,56 19,36
16 11 176 256 121 0,16 2,56
18 14 252 324 196 2,56 1,96
22 16 352 484 256 31,36 11,56
10 8 80 100 64 40,96 21,16
8 5 40 64 25 70,56 57,76
164 126 2212 2888 1714 198,4 126,4
∑
∑
SX= √∑
SY=√∑
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ ∑ ∑
√
√
225
a) Y= +r(
Y=126+0.94
(
)
Y=126+0.768x-12.6
Y=0+0.768x
Y=a+bx
Y=0+0.768(22)=16.72
b) a= -b =12.3-0.75(16.4)=12.6-12.36=0.24
∑ ∑ ∑
∑ ∑
c) b=
a= a= -b =0.3
SXY= ∑
SX2=∑
d) Y= +
Y=12.6+
Y=12.6+0.06(16.4)
Y=12.6+0.98x
e) Y=12.6+0.98x
16=12.6+0.98x
X= 20.9
23.- a) Calcule la desviación estándar de la pendiente b (error estándar de b)
b) halle un intervalo de confianza de 0.95 para b. ¿se puede afirmar que b = 0?
c) utilice t bilateral para probar la hipótesis nula b= 0 al nivel de significación del 5%.
Calcule la probabilidad p.
Sx = √∑
= 14.75
Sy = √∑
= 10.2
226
24.- la pendiente de la línea de regresión muestral resulto b= 0.452 se quiere
determinar si está pendiente es significativa en la población utilizando el método de
análisis de varianza.
2) B=
=
= 0.45
a) plantee las hipótesis nula y alternativa
b) determinar la región de rechazo al nivel de significación 0.05 y describa la regla
de decisión
c) describa la tabla ANOVA y tome la decisión
d) halle la probabilidad p de la prueba.
20.- determinar el intervalo de confianza del 95% para;
a) la cantidad de ahorro promedio, si el ingreso es = 1200 $
2) y= +
( x - )
y = 21.11 +0.45 (x -63.33)
y = -7.39 +0.45x
Y = -7.39+ 0.45( 1200)
Y= 398.536
b) la cantidad de ahorro cuando el ingreso es = 1200 $
2) y= +
( x - )
y = 21.11 +0.45 (x -63.33)
y = -7.39 +0.45x
1200= -7.39+ 0.45( x)
X= 366.657.5
227
25.- Calcule el coeficiente de correlación interprete la tendencia
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√[ ]
e) B) ¡porque son iguales las signos de b y r?
f) C) utilizando la significación al 5% del coeficiente regresión muestral
¿podemos concluir que hay relación positiva entre ahorros e ingresos?
g) Realice la prueba bilateral de la hipótesis nula p=0 al nivel significación 0.05
26.- Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre cantidad e
fertilizante y producción de papa por hectárea.
Sacos de fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Rendimiento en quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76
228
∑
∑
SX= √∑
SY=√∑
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ ∑ ∑
√
√
f) Y= +r(
X Y XY
2
2
3 45 135 9 2025 20,25 265,69
4 48 192 16 2304 12,25 176,89
5 52 260 25 2704 6,25 86,49
6 55 330 36 3025 2,25 39,69
7 60 420 49 3600 0,25 1,69
8 65 520 64 4225 0,25 13,69
9 68 612 81 4624 2,25 44,89
10 70 700 100 4900 6,25 75,69
11 74 814 121 5476 12,25 161,29
12 76 912 144 5776 20,25 216,09
75 613 4895 645 38659 82,5 1082,1
229
Y=61.3+0.47
(
)
Y=61.3+0.47 (3.7386) X-0.47 (3.7386)7.5
Y=61.3+1.76X-13.2
Y=48.10+1.76X
Y=a+bx
Y=48.10+1.76(10)=48.10+1.76=65.6
g) a= -b =61.3+1.757(7.5)=61.3-13.1775=48.12
∑ ∑ ∑
∑ ∑
h) b=
a= a= -b =61.3-1.715(7.5)=48.44
SXY= ∑
SX2=∑
i) Y= +
Y=61.3+
Y=61.3+1.715(X-7.5)
Y=48.44+1.715X
j) Y=48.44+1.715X
48=48.44+1.715X
X= 0.26
28.- El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un curso
de matemática de una muestra de 10 alumnos ha dado los siguientes resultados.
230
ALUMNO A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
HORAS DE ESTUDIO 14 16 22 20 18 16 18 22 10 08
CALIFICAIONES 12 13 15 15 17 11 14 16 08 05
X Y XY
2
2
14 12 168 196 144 5,76 0,36
16 13 208 256 169 0,16 0,16
22 15 330 484 225 31,36 5,76
20 15 300 400 225 12,96 5,76
18 17 306 324 289 2,56 19,36
16 11 176 256 121 0,16 2,56
18 14 252 324 196 2,56 1,96
22 16 352 484 256 31,36 11,56
10 8 80 100 64 40,96 21,16
8 5 40 64 25 70,56 57,76
164 126 2212 2888 1714 198,4 126,4
∑
∑
SX= √∑
231
SY=√∑
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ ∑ ∑
√
√
f) Y= +r(
Y=126+0.94
(
)
Y=126+0.768x-12.6
Y=0+0.768x
Y=a+bx
Y=0+0.768(22)=16.72
g) a= -b =12.3-0.75(16.4)=12.6-12.36=0.24
∑ ∑ ∑
∑ ∑
h) b=
a= a= -b =0.3
SXY= ∑
SX2=∑
232
i) Y= +
Y=12.6+
Y=12.6+0.06(16.4)
Y=12.6+0.98x
j) Y=12.6+0.98x
16=12.6+0.98x
X= 20.9
CONCLUCIONES Y RECOMENDACIONES:
Se debe tener presente la diferencia entre el valor de obtenido con la
ecuación de regresión y el valor de Y observado. Mientras es una
estimación y su bondad en la estimación depende de lo estrecha que
sea la relación entre las dos variables que se estudian
El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de
datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el
método de los mínimos cuadrados
233
7.- CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:
MES DE JUNIO
ACTIVIDADES M J V S D L M
Investigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas
X X
Ejecución del Formato del Trabajo X
Resumen de los textos investigados X X
Finalización del Proyecto X
Presentación del Proyecto X
8.-BIBLIOGRAFIA Y LINKOGRAFIA:
http://www.monografias.com/trabajos16/metodos-lineales/metodos-
lineales.shtmlfile:///K:/magnitudes-fundamentales.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_t_de_Student
http://www.monografias.com/trabajos17/pruebas-de-hipotesis/pruebas-de-
hipotesis.shtml
234
9.- ANEXOS:
ANEXOS:
9. El gerente una empresa de exportaciones e importaciones quiere estudiar
la relación entre el entrada y salida de sus trabajadores, tomó una muestra
aleatoria de 10 trabajadores de la empresa y encontró los siguientes datos.
entrada salida
25 46 58 37 55 32 41 50 23 60
18 12 8
15 10 13 7 9
16 6
450 552 464 555 550 416 287 450 368 360
625 2116 3364 1369 3025 1024 1681 2500 529
3600
324 144 64
225 100 169 49 81
256 36
313,29 10,89
234,09 32,49
151,29 114,49
2,89 53,29
388,09 299,29
43,56 0,36
11,56 12,96 1,96 2,56
19,36 5,76
21,16 29,16
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
∑
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ][ ∑ ∑ ]
√[ ][ ]
√[ ]
√
√
235
PRIMER MÉTODO
∑ ∑ ∑
(∑ ) ∑
SEGUNDO MÉTODO
(
) (
)
(
) (
)
√∑
√
√
√∑
√
√
TERCER MÉTODO
236
∑
∑
CUARTO MÉTODO
QUINTO MÉTODO
Serie 1
f(x)=-0.25985876*x+22.495969; R²=0.7281
-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
-20
-10
10
20
30
40
50
x
y
237
18.- Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre
exportaciones e importaciones de tela.
importaciones 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
exportaciones 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76
∑
∑
SX= √∑
SY=√∑
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ ∑ ∑
√
√
X Y XY
2
2
3 45 135 9 2025 20,25 265,69
4 48 192 16 2304 12,25 176,89
5 52 260 25 2704 6,25 86,49
6 55 330 36 3025 2,25 39,69
7 60 420 49 3600 0,25 1,69
8 65 520 64 4225 0,25 13,69
9 68 612 81 4624 2,25 44,89
10 70 700 100 4900 6,25 75,69
11 74 814 121 5476 12,25 161,29
12 76 912 144 5776 20,25 216,09
75 613 4895 645 38659 82,5 1082,1
238
k) Y= +r(
Y=61.3+0.47
(
)
Y=61.3+0.47 (3.7386) X-0.47 (3.7386)7.5
Y=61.3+1.76X-13.2
Y=48.10+1.76X
Y=a+bx
Y=48.10+1.76(10)=48.10+1.76=65.6
l) a= -b =61.3+1.757(7.5)=61.3-13.1775=48.12
∑ ∑ ∑
∑ ∑
m) b=
a= a= -b =61.3-1.715(7.5)=48.44
SXY= ∑
SX2=∑
n) Y= +
Y=61.3+
Y=61.3+1.715(X-7.5)
Y=48.44+1.715X
o) Y=48.44+1.715X
48=48.44+1.715X
X= 0.26
239
19.- El número de horas de que se utiliza para un viaje de Tulcán a Guayaquil en
cuanto se demoran los transportistas ha dado los siguientes resultados.
transportistas A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
Tulcán 14 16 22 20 18 16 18 22 10 08 Guayaquil 12 13 15 15 17 11 14 16 08 05
X Y XY
2
2
14 12 168 196 144 5,76 0,36
16 13 208 256 169 0,16 0,16
22 15 330 484 225 31,36 5,76
20 15 300 400 225 12,96 5,76
18 17 306 324 289 2,56 19,36
16 11 176 256 121 0,16 2,56
18 14 252 324 196 2,56 1,96
22 16 352 484 256 31,36 11,56
10 8 80 100 64 40,96 21,16
8 5 40 64 25 70,56 57,76
164 126 2212 2888 1714 198,4 126,4
∑
∑
SX= √∑
SY=√∑
∑ ∑ ∑
√ ∑ ∑ ∑ ∑
√
√
240
k) Y= +r(
Y=126+0.94
(
)
Y=126+0.768x-12.6
Y=0+0.768x
Y=a+bx
Y=0+0.768(22)=16.72
l) a= -b =12.3-0.75(16.4)=12.6-12.36=0.24
∑ ∑ ∑
∑ ∑
m) b=
a= a= -b =0.3
SXY= ∑
SX2=∑
n) Y= +
Y=12.6+
Y=12.6+0.06(16.4)
Y=12.6+0.98x
o) Y=12.6+0.98x
16=12.6+0.98x
X= 20.9
241
4.- Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado.
Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1 000
habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de
significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?
• a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.
• b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto
Datos:
n = 1000
x = 25
Donde:
x = ocurrencias
n = observaciones
= proporción de la muestra
= proporción propuesta
Solución:
a)
242
a = 0,01
H0 es aceptada, ya que zprueba (-0,93) es menor que ztabla (2,326), por lo
que no es cierto que más del 3% de la población no conoce el nuevo
producto.
b)
a = 0,01
H0 es rechazada, ya que zprueba (1,13) es menor que ztabla (2,326), por lo
que es cierto que menos del 2% de la población no conoce el nuevo
producto.
243
5.- Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca
de relojes caen por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se
considera razón suficiente para lanzar una campaña publicitaria que active
las ventas de esta marca. Para conocer la evolución de las ventas, el
departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos
autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas
del último mes en relojes de esta marca. A partir de estas cifras se obtienen
los siguientes resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar
= 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por
establecimiento se distribuyen normalmente; con un nivel de significación del
5 % y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Se considerará oportuno
lanzar una nueva campaña publicitaria?
Datos:
n = 51
Solución:
H0: ( = 170000
H1: ( < 170000
a = 0,05
244
Se rechaza Ho, porque zprueba (-0,12) es menor que ztabla (1,645), por lo
tanto se acepta H1: ( < 170000, y se debe considerar oportuno lanzar una
nueva campaña publicitaria.
245
10.-MATRIZ DE LOGROS:
MATRIZ PARA TRABAJOS Y PRODUCTOS FINALES
NO
AP
LIC
A
NA
DA
PO
CO
P
AR
CIA
LM
EN
TE
EN
SU
MA
YO
R
PA
RT
E
TO
TA
LM
EN
TE
NIVEL.- 6 B FECHA.-
Asignatura.- estadística Inferencial 1 2 3 4 5
1
Utiliza el método científico en la planificación de la investigación y/o trabajos
2
Utiliza el método científico en la ejecución de la investigación y/o trabajos
3
Utiliza el método científico en el informe de la investigación y/o trabajos
4 Identifica las causas del problema
5 Identifica los efectos del problema
6
Expresa claramente los antecedentes del problema (planteamiento)
7
Formula el problema identificando claramente las variables
8
Analiza la factibilidad económica del proyecto y/o trabajo
9
Analiza la factibilidad tecnológica del proyecto y/o trabajo
10
Analiza la factibilidad bibliográfica del proyecto y/o trabajo
11
Plantea soluciones al problema de investigación
12
Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Tic´s. en la redacción del informe
13
Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Sintaxis
14
Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Ortografía
15
Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Redacción (citas)
16
Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Estadística
246
17 Análisis de resultados
18
Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: matemática
19
Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Protocolos de redacción
20 Conclusiones y Recomendaciones
21
Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Bibliografía
22
Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con facilidad.
23
Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con claridad
24
Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con coherencia.
25
Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación digital precisa y pertinente
26
Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación escrita precisa y pertinente
27
Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación escrita (ABSTRACT)
28
Las investigaciones y/o trabajos son temas de actualidad
29
Las investigaciones y/o trabajos ayudan a la solución de problemas contemporáneos
30
Utiliza información actualizada para los trabajos y/o investigación
31 Trabajo en equipo: Es colaborador (a)
32 Trabajo en equipo: Es creativo (a)
33 Trabajo en equipo: Es propositivo (a)
247
34 Trabajo en equipo: Acepta propuestas
35 Trabajo en equipo: Es puntual
36
Trabajo en equipo: Plantea estrategias de trabajo
37 Trabajo en equipo: Es operativo (a)
TOTAL
SUMAN TOTAL
NOTA FINAL
Nombre.- Tania Herrera
PROTOCOLO DE REDACCION.
TAMAÑO DE PAPEL A4
PESO 75 GMS
ESPACIO INTERLINEAL 1,5
FIRMA ESTUDIANTE
TAMAÑO LETRA 12
TIPO DE LETRA ARIAL
COLOR LETRA NEGRO
MARGENES
superior 2,5
izquierdo 4
inferior y derecho 2,5
NÚMERO DE PÁGINA
INFERIOR CENTRO FIRMA DOCENTE
PÁGINAS PRELIMINARES
ROMANOS
MINÚSCULA
CUERPO DEL INFORME
arábigos -2-
TÍTULO DEL CAPÍTULO
SIN NÚMERO
248
