Portafolio (libro)

Diana Karolina Cueva Cedillo Página 1


SECRETARIA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR, CIENCIA,

TECNOLOGÍA E INNOVACIÓN

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

Módulo de Desarrollo y Habilidad del

Pensamiento

Portafolio

NOMBRE:

Diana Cueva Cedillo

DOCENTE:

Bioq. Carlos García Msc.

CURSO:

Administración “A”

EL ORO-MACHALA-ECUADOR 2013


Sistema nacional de nivelacion y admision

Universidad Tecnica de Machala

Facultad de Ciencias Empresariales

Diana Karolina Cueva Cedillo

Soy estudiante del Curso de nivelación 2013 en la Universidad Técnica de Machala. Soy una persona responsable, Respetuosa, honesta. Mis metas es

convertirme en Ingeniera Comercial

Florida Sector N°7

0985412063

[email protected]

MACHALA - ECUADOR

mailto:[email protected]


SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

NIVELACIÓN GENERAL

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

TOMO 3

PARTE 1: SOLUCION DE PROBLEMAS

PARTE 2: CREATIVIDAD


INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO

ORGANIZACIÓN DE LAS LECCIONES

En el curso comprende trece lecciones agrupadas en cinco unidades sobre la

temática de la solución de problemas:

La primera unidad es una introducción a la solución de problemas.

Las cuatros unidades siguientes están dedicadas a estrategias específicas

para la solución de problemas basadas en aplicación de un procedimiento

general para la solución de cualquier problema.

Las unidades están dividas en lecciones y cada una consta de:

Introducción - ¿Qué conocemos acerca del tema?

-¿Qué vamos a prender?

Cuerpo - Construyamos el conocimiento.

-Organizamos el conocimiento proceso o concepto

- Le damos sentido al conocimiento.

- Aplicamos el conocimiento

- Extendemos, transferimos y generalizamos el conocimiento,

y reflexionamos sobre su aprendizaje y aplicación.

Cierre -Concientizamos: Reflexionamos sobre lo aprendido, su

utilidad y los valores y actitudes asociados al aprendizaje y a

la vida.

ENFOQUE Y ESTRATEGIA

¿Cuál es el enfoque?

El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo; aprender

a aprender, con una visión sistemática, humana e integral de la persona, el

aprendizaje y a la vida.

La base operativa de esta concepción del aprendizaje, se sustenta en la

metodología de procesos, el desarrollo de las habilidades de pensamiento, la

transferencia de procesos al aprendizaje, el constructivismo y el aprendizaje

significativo.


¿Cuál es la estrategia?

En cuanto a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo autónomo,

para la conceptualización, el logro de imágenes mentales claras y diferenciadas;

alcanzar el hábito de aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja para

alcanzar las competencias necesarias, para utilizar los procesos

espontáneamente, con acierta y efectividad.

El aprendizaje se logrará:

Mediante la mediación y el monitoreo del docente, para lograr el desarrollo

progresivo de la autonomía del alumno, para aprender continuamente hasta

lograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.

Mediante la aplicación de los avances de la ciencia cognitiva, el

constructivismo, el enfoque sistemático, la mejora continua, el aprendizaje

significativo y el desarrollo integral y humano.

A través de la estimulación adecuada, el aprendizaje gradual y la

verificación y retroalimentación permanentes.

ACTITUDES Y VALORES REQUERIDO PARA APRENDER Y APRENDER A

APRENDER

Reconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas para

generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir con

otros.

Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compañeros con interés

y humildad.

Actuar como gestores críticos y responsables del aprendizaje y del

crecimiento personal

Mostrar disposición para reflexionar sobre los logros alcanzados y los

beneficios de aprender y aprender a aprender.

OBJETIVOS GENERALES

A través del Desarrollo del Pensamiento, el estudiante lograra las competencias

requeridas para aprender y aprender a aprender, para actuar como pensador

analítico, critico, constructivo y abierto al cambio, capaz de monitorear su propio

desarrollo, entender y mejor el entorno personal, familiar, social y ecológico. El

sentido se precisa:


1) Desarrollar los conocimientos, habilidades, actitudes y valores asociados a

los estilos del pensamiento convergente y divergente y al razonamiento

lógico, crítico y creativo, requeridos para desempeñarte con éxito.

2) Despertar en los docentes y estudiantes, el interés y la disposición para

monitorear el crecimiento propio y de otros, con una perspectiva

sistemática, futurista, integral y perfectible.

3) Valorar el papel que juega el pensamiento como herramienta indispensable,

para facilitar el desarrollo intelectual, social, moral y ético de las personas y

para proyectar su ámbito de influencia hacia sí mismo, la sociedad y el

medio.

ESTÁNDARES DE DESEMPEÑO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRAR

Se utilizara una escala de 5 niveles, para verificar el avance de los estudiantes en

el desarrollo de las competencias del curso, la cual se describe a continuación:

Nivel

1. Tiene noción del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar.

2. Realiza o demuestra el desempeño esperado, con la mediación del

docente.

3. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su propia iniciativa.

4. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su cuenta y es capaz de

corregir sus propios errores.


La finalidad de la coordinación es dar a conocer la importancia del desarrollo de

las habilidades del pensamiento en las aulas, enseñando a los alumnos a pensar,

a ser críticos y a ser reflexivos, ya que de la manera tradicional, los estudiantes

reciben una educación con hábitos de inhibición intelectual, lo que los hace

sumamente pasivos. Al hacer énfasis en el desarrollo de habilidades del

pensamiento, el aprendizaje se torna activo y significativo.

Mejorar el pensamiento de los alumnos en el salón de clases implica mejorar su

lenguaje y su capacidad discursiva. La comprensión de significados se potencia a

través de la adquisición de la habilidad de la lectura, la expresión del significado se

desarrolla mediante la habilidad de la escritura. El origen del pensamiento es el

habla y el pensamiento organizado surge por el razonamiento. Una tarea

importante consiste en concientizar, sensibilizar y preparar a los facilitadores para

que a su vez puedan enseñar a los alumnos a distinguir un pensamiento confuso

de un pensamiento eficaz, un razonamiento correcto de uno incorrecto.

La meta fundamental de la educación es enseñar a la gente a pensar, y para

estimular y mejorar el pensamiento en el aula es necesario estimular el lenguaje y

realizar progresos en los procesos de razonamiento. De ahí que el papel que

juega el facilitador en el aula, en cualquier nivel educativo es muy importante.

Las personas que están involucradas en procesos de enseñanza aprendizaje,

tienen como obligación la creación de nuevas metodologías que permitan a los

alumnos desarrollar las habilidades del pensamiento para que impriman más

calidad en su desempeño cotidiano. Para una mejor comprensión, se enlistan

cuatro puntos importantes sobre el pensamiento: Como un proceso que realiza

cada persona. Como procesos que se llevan a cabo mediante la actividad mental.

Como medio de desarrollo en el logro de metas. Como forma de desarrollo de las

habilidades del pensamiento. El pensamiento es un proceso propio de cada

persona, y está determinado por los ambientes externo e interno que la rodea.

Lo anterior lleva a considerar algunos aspectos como elementos clave para la

formulación de programas orientados hacia el desarrollo de habilidades para

pensar. Gran parte del pensamiento ocurre en la etapa de la percepción. La

manera como las personas ven el mundo que les rodea está condicionada por sus

experiencias previas, sus conocimientos y sus emociones. El pensamiento está

determinado por la perspectiva particular de cada persona. El ser humano tiende

en forma natural, a dejarse llevar por sus emociones antes de utilizar la razón.


Este proyecto es el resultado de mi esfuerzo. Por eso agradezco a mis

padres quienes a lo largo de toda mi vida han apoyado y motivado mi

formación académica, creyeron en mí en todo momento y no dudaron de

mis habilidades.

A mi Profesor a quien le debo gran parte de mis conocimientos, gracias a

su paciencia y enseñanza

Finalmente un eterno agradecimiento a esta prestigiosa universidad la cual

abrió sus puertas a jóvenes como nosotros, preparándonos para un futuro

competitivo y formándonos como personas de bien.


Dedico este proyecto a Dios y a mis padres. A Dios porque ha estado conmigo

a cada paso que doy, cuidándome y dándome fortaleza para continuar Y poder

convertirme en una buena profesional

A mis padres porque son pilares fundamentales en mi vida. Sin ellos, jamás

hubiese podido conseguir lo que hasta ahora soy. Su tenacidad y lucha

insaciable han hecho de ellos el gran ejemplo a seguir y destacar, no solo para

mí, sino para mis hermanos y familia en general.

También dedico este Proyecto de manera encarecida a mi docente Ing.

Química Carlos García la cual nos ha ayudado mucho para realizar la

elaboración del proyecto, dedicándonos tiempo para poder presentar un buen

proyecto.


JUSTIFICACION

Las habilidades de pensamiento constituyen hoy en día una de las prioridades y

retos de la educación en el contexto de un mundo en constante cambio que

demanda actualización profesional permanente y en donde es necesario formar a

los estudiantes en los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios para

lograr un pensamiento lógico, crítico y creativo que propicie la adquisición y

generación de conocimientos, la resolución de problemas y una actitud de

aprendizaje continuo que permita la autoformación a lo largo de toda la vida.

Las competencias para el desarrollo de las habilidades de pensamiento

encuentran su justificación como una experiencia de aprendizaje que pretende

hacer conciencia en los estudiantes de la importancia de desarrollar habilidades

de pensamiento crítico y creativo a lo largo de su trayectoria escolar, lo que

implica que cada estudiante ha de contribuir a tal fin utilizando sus habilidades de

pensamiento en cada una de las experiencias educativas que cursa y haciendo

transferencia a la vida cotidiana, personal y posteriormente, profesional.

Ha creado un modelo Metodológico-Didáctico diseñado y propuesto para pensar

mejor cuyas siglas son COL, que significa Comprensión Ordenada del Lenguaje.

Este modelo se compone de tres sub modelos, uno de ellos tiene que ver con los

niveles de comprensión que van desde cuando se actúa aparentemente sin

pensar, hasta cuando se hace de una manera analítica y crítica.


OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL.:

Realizar un conjunto de actividades que permitan estimular el

desarrollo del pensamiento en los alumnos y alumnas”

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Realizar actividades Y otras acciones que permitan despertar en los

alumnos y alumnas el pensamiento lógico

Resolver problemas de matemática recreativa, utilizando el razonamiento

basado en la lógica.

Descubrir procedimientos y estrategias utilizadas en la resolución de

problemas matemáticos, a partir de información recopilada en su entorno

mediato.

Mejorar en los estudiantes su capacidad de análisis deductivo y habilidades

para formular y resolver problemas de la vida diaria.


CONTENIDOS TOMO III

CONTENIDO……………………………………………………………..3

PÁGINA INICIAL PARTE 1……………………………………………5

INFORMACIÓN GENERAL ACERCA DEL CURSO………………. 6

I INTRODUCCIÓN A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS………….. 8

Justificación y Objetivos de la Unidad……………………………..8

1 Características de un problema………………………………… 9

2 Procedimiento para la solución de un problema………………..17

II PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE……... 25

Justificación y Objetivos de la Unidad………………………………… 25

3 Problemas de relaciones de parte-todo y familiares….……………….26

4 Problemas sobre relaciones de orden………………………………….36

III PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES……. 46

Justificación y Objetivos de la Unidad…………………..………………46

5 Problemas de tablas numéricas……………………………….………..47

6 Problemas de tablas lógicas………………………...…………………..57

7 Problemas de tablas conceptuales o semánticas……………………....68

IV PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS………. 79

Justificación de la Unidad……………….…………………….…………79

Objetivos de la Unidad…………………………………………………. 80


8 Problemas de simulación concreta y abstracta...……………….……..81

9 Problemas con diagramas de flujo y de intercambio…..………….….87

10 Problemas dinámicos. Estrategia medios-fines………………….…..96

V SOLUCIONES POR BÚSQUEDA EXHAUSTIVA………………. 100

Justificación y Objetivos de la Unidad……………………………… 116

11 Problemas de tanteo sistemático por acotación del error…........... . 127

12 Problemas de construcción sistemática de soluciones……..……… 133

13 Problemas de búsqueda exhaustiva. Ejercicios de consolidación….145


JUSTIFIACIÓN:

A través de investigaciones se ha podido comprobar que es poca la información

que tienen los alumnos, acerca de lo que es un problema y de las estrategias más

efectivas para resolverlas. Por tal razón, dedicaremos esta primera unidad a,

identificar en base a sus características, los enunciados que corresponden a un

problema. Este proceso contribuye a lograr una clara imagen o representación

mental del problema, básica para alcanzar cada estado y lograr la solución

buscada. En la etapa de representación, generalmente se formulan relaciones y se

aplican estrategias de representación (como diagramas, tablas, graficas, etc.) que

facilitan la compresión de los procesos involucrados en la solución del problema,

los estados intermedios que conducen al estado final y las operaciones requeridas

para alcanzar cada estado y lograr la solución buscada.

Con frecuencia la solución de problemas ha estado rodeada de mitos y creencias

que obstaculizan el aprendizaje; se atribuyen a los problemas dificultades no

justificadas, que más bien surgen de la falta de información acerca de lo que es un

problema y de la variedad de estrategias que pueden utilizarse para resolverlos.

OBJETIVOS:

En esta unidad se presenta una definición de problema, se identifican los tipos de

datos presentes en el enunciado de un problema y se introduce el concepto de

estrategia en solución de problemas.

A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:

1. Analizar el enunciado de un problema e identificar sus características

esenciales y los datos que se dan.

2. Elaborar estrategias para lograr la representación mental del problema y

llegar a la solución que se pide.

3. Aplicar las estrategias previamente diseñadas y verificar la consistencia de

los resultados obtenidos.


Lección 1: CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMAS

Con frecuencia escuchamos enunciados como los que siguen:

1. ¡Qué Calamidad!, Carolina aplazo el Modulo.

2. No sé cuánto dinero necesito para comprar los útiles escolares

3. Una moto se desplaza a 25km por hora. ¿Cuánto demorara la moto en

llegar a Pasaje que se encuentra a 50km. De distancia, si no tiene ningún

tropiezo?

¿En que se asemejan los tres enunciados?

En que comunican un hecho

¿Qué diferencias observas en la estructura de los tres enunciados?

Que el primer enunciado Jaimito aplazo la asignatura, en el segundo no sabe

cuánto ha gastado y el tercero la moto se desplaza a 25km

¿Qué diferencias observas respecto al planteamiento del enunciado?

El primero es un hecho irreversible, el segundo también es un hecho y el

tercero es directo.

¿Cómo definirías lo que es un problema?

Es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta

que debe ser respondida

Veamos algunos ejemplos adicionales. Consideremos los enunciados que siguen

y responde las preguntas:

EJEMPLO:

¿Cuál es el valor de ganancia de María, que invierte $ 3000 en mercadería y

recauda $8500. Al venderla, sabiendo que sus gastos de venta y publicidad son de

$300?

Definición de Problema Un problema es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea

una pregunta que debe ser respondida.


¿Qué información aporta?

Inversión, Ganancia, Recaudación

¿Qué interrogante plantea?

¿Cuál es el valor de Ganancia?

¿A qué conclusión podemos llegar, respecto a si es o no, un problema?

Si es un problema porque es un enunciado

EJEMPLO 2

“La felicidad es un estado mental que se produce en la persona cuando cree

haber alcanzado una meta deseada.”

¿Qué información aporta?

La Felicidad

¿Qué interrogante plantea?

Ninguna Interrogante

¿A qué conclusión podemos llegar, respecto a si es o no, un problema?

No es Problema porque no hay Interrogante

Practica 1 ¿Cuáles de los siguientes planteamientos son problemas y cuáles

no? Justifica tu respuesta; para ello completa la tabla que sigue al listado de

planteamientos.

1. Carolina no tomo en cuenta los requisitos para ingresar a la universidad

2. ¿Cuáles son las variables que debería tomarse en cuenta, para evitar que

Juan se contagie de Tifoidea?

3. Debemos conocer las consecuencias que provocan los robos en la ciudad

de Machala

4. La naturaleza o natura, en su sentido más amplio, es equivalente

al mundo natural, universo físico, mundo material o universo material. 5. ¿Qué debemos hacer, para evitar que Fernanda cometa el mismo error en

el futuro? 6. ¿Cuáles son las causas que originaron las Guerras Mundiales?

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89xito


Planteamiento ¿Es un problema?

Sí No Justificación

1 x Porque hay una interrogante 2 x Porque tiene una interrogante 3 x Porque no hay una interrogante 4 x Porque contiene un enunciado 5 x Porque tiene una interrogante 6 x Porque tiene una interrogante

Enunciados que son problemas

1. ¿Qué debemos hacer para, evitar que el Medio Ambiente se destruya?

2. ¿Cuáles son las causas que originan la Deforestación?

3. ¿cuáles son las variables que debería tomarse en cuenta, para evitar que

las personas se contagien de Gripe?

Enunciados que no son problemas

1. “El VIH es un Virus que se contagia a través de tener relaciones sexuales

sin protección?

2. Debemos conocer los efectos que ocasionan la tala de arboles

3. Debemos tener en cuenta las consecuencias que ocasionan el Alcohol

Consideremos los dos problemas que siguen:

1. ¿Un Panadero para hacer panes necesita 20 libras de Harina, vendió a sus

clientes durante el día, $400 por este concepto?

2. ¿Cómo podemos ayudar para hacer una minga en la Ciudad de Machala?

¿Qué semejanzas encuentras en estos dos problemas?

Que necesitamos buscar una solución, son problemas que tienen una interrogante

¿Qué diferencias presentan ambas situaciones?

Son diferentes hechos, la una es más detallada que la otra

¿Puedes resolver el problema? ¿Cuantos panes vendió? 20 panes

¿Qué ocurre en el segundo problema?

Practica 2.- Platea 3 enunciados que sean problemas y tres que no sean problemas


¿A qué tipos de necesidades se refiere el problema? ¿Son las mismas

necesidades para todas las comunidades?

Para un mismo tipo de necesidad: ¿Todas las comunidades deben resolverlo de la

misma manera? ¿Será que la solución depende de los recursos con que cuenta la

comunidad?

¿Qué concluyes de la comparación de los dos problemas, respecto a la

posibilidad de poderlos resolver directamente?

Para el problema estructurado existe una única solución y para el no estructurado

se busca una solución.

De esta situación, se desprende que hay dos clases de problemas respecto al

criterio de la posibilidad de solución inmediata

En el caso de los problemas estructurados, generalmente existe una solución

única al problema, con base a la información suministrada.

En el caso de los problemas no estructurados, la búsqueda de la información está

sujeta a la motivación e interés de la persona que resuelva el problema; por tal

razón, es posible obtener soluciones que pueden ser muy diferentes entre sí,

incluso aun habiendo recolectado la misma información, porque se pueden

combinar los recursos de maneras diferente

Clasificación de los problemas en función de la información que suministran

Estructurados

PROBLEMAS

No estructurados

El enunciado contiene la información necesaria y suficiente

para resolver el problema

El enunciado no contiene toda la información necesaria, y se

requiere que la persona busque y agregue la información

Practica 3.- Plantea 2 problemas estructurados y dos no estructurados


Enunciados de problemas estructurados:

1. ¿Una costurera para hacer un vestido necesita 10 hilos de diferentes

colores. Cuantos hilos necesita para hacer 15 vestidos?

2. ¿Una librería vende 300 cuadernos norma durante el día . Cuanto vendió si

recaudo $600?

Enunciados de problemas no estructurados:

1. ¿Cómo podemos hacer una coreografía de música tropical?

2. ¿cómo hacer un arroz con pollo?

Volvamos al último ejemplo de los dos problemas. Ambos enunciados aportan

información. En el caso del primer enunciado tenemos la siguiente información:

Libras de Harina 20 libras

Quien hace el pan Panadero

Recaudación toral por venta de panes 400

Lo que se evidencia de esta tabla, es que la información que aporta un enunciado

de un problema viene expresada en términos de una característica, la cual está

asociada a su respectiva variable. La columna de la izquierda, es la variable y la

de la derecha es la característica.

En el caso del segundo enunciado, que como vimos es un problema no

estructurado, la información se debe buscar o recolectar, porque no viene

completa en el problema. Sin embargo, podemos identificar variables. No tenemos

características.

Tipos de necesidad de una comunidad

Tipos de participación de la comunidad

Tipo de soluciones

Cuando tratemos de resolver este problema debemos recabar la información

faltante. La variable “tipos de necesidades de una comunidad” pueden tener

muchos valores posibles, por ejemplo, seguridad, vialidad, salud, educación de


adultos, educación de jóvenes, etc. De la misma manera podríamos descomponer

las otras variables de este problema no estructurado.

Si hablamos del peso del cuerpo, nos referimos a una variable. Si decimos que la

variable peso puede tomar los valores desde tres hasta cien kilogramos, estamos

hablando del rango de posibles valores de la variable peso.

Si decimos que María pesa 60kg, nos referimos a la característica de María con la

variable peso del cuerpo. Tenemos pues una variable, una característica y la

persona María. Esta es como la etiqueta que define a que objeto, hecho o

situación donde se aplica la variable.

Variable Ejemplos de posibles

Valores de las variables

Tipo variable Cualitativa cuantitativa

Tipo de contaminante Gasolina X

volumen 500 mililitros de agua x

humedad 30°C x

peso 65 kilos x

temperatura 28°C x

Color de ojos café x

Color de camisa verde x

clima cálido x

edad 21 años x

estatura 1.84 x

enfermedad tifoidea x

Color de casa blanca x

Color de uñas fucsia x

Las variables y la información de un problema Los datos de un problema, cualquiera que este sea, se expresa en términos de

variables, de los valores de estas o de características de los objetos o situaciones

involucradas en el enunciado. Podemos afirmar que los datos siempre provienen de

variables. Vale recordad que una variable es una magnitud que puede tomar valores

cualitativos o cuantitativos.

Practica 4. Completa la siguiente tabla en la cual se pide que des algunos valores

posibles de la izquierda y que identifiques el tipo de variable


En este momento también podemos recordar otra característica de las variables

es su aplicación en el proceso de ordenamiento.

Las variables cuantitativas permiten establecer las relaciones llamadas de “orden”.

Con ellas se construye el ordenamiento natural. Para verificar la posibilidad del

ordenamiento tenemos la prueba de “mayor que” o “menor que”. Utilizando las

relaciones de orden podemos construir secuencias progresivas crecientes o

decrecientes. Si tenemos una secuencia progresiva creciente, si la característica A

respecto a una variable cuantitativa es mayor que la B, entonces colocamos

primero B y luego A; y si la secuencia es decreciente, entonces colocamos primero

A y luego B. Todas las variables cuantitativas son ordenables.

Las variables cualitativas llevan a la formación de clases cada vez que podemos

asociar elementos que tengan la misma característica cualitativa o semántica. Sin

embargo, podemos establecer convenciones que nos permiten organizar

elementos por ordenamiento; este es el caso del orden alfabético, donde se ha

acordado un orden o secuencia determinada para las letras del alfabeto, y

podemos ordenar palabras de acuerdo a esa convención. Esto determina su

designación como ordenamiento convencional.

1. Una costurera trabaja solamente los días hábiles de la semana y cobre $

250 por cada día ¿Cuántos días debe de trabajar la persona para ganar

$1250 a la semana?

Variable: Valores de la Semana Valores: $1250

Variable: N° de días trabajados Valores: 5 días

2. Un solar mide 8000m2 y se desea en 3 parcelas, cuyas dimensiones sean

proporcionales a la relación 3:5

Variable: Tamaño del solar Valores: 8000m2

Variable: N° de dimensiones Valores: 3 parcelas

Práctica 5: En cada una de las siguientes situaciones identifica las

variables e indica los valores que puede asumir.


3. Una substancia ocupa un volumen inicial 25cm3, y el mismo aumenta

progresivamente, duplica cada 4 horas. ¿Qué volumen ocupara al cabo de

18 horas?

Variable: Volumen Inicial Valores: 25cm3

Variable: Tiempo Valores: 18 Horas

4. Carolina, Juana, Fernanda y Joselyn son cuatro primas. Fernanda es de

menor estatura que Carolina, pero más alta que Joselyn. La estatura de

Juana excede la de Carolina en 8cm.¿ cuál prima es la de menor estatura?

Variable: N° de hermanas Valores: 4 hermanas

Variable: estatura Valores: 8 cm

CIERRE

¿Cuál fue el tema de esta lección?

Características de los problemas y variables

¿Qué aprendimos en esta lección?

A reconocer las variables y plantearlas para dar la solución de un problema.

¿Qué es un problema?

Es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta que

debe ser respondida.

¿Cómo podemos clasificar los problemas, tomando en cuenta la información

que nos dan?

Estructurados

No estructurados

¿Qué diferencias existen entre los dos tipos de problemas mencionados en

clase?

En el caso de los estructurados generalmente existe una solución única al

problema con base a la información suministrada y en caso de los no

estructurados está sujeta en la búsqueda de la información o solución.


¿Qué papel juegan las variables en el análisis y la solución de un problema?

Son magnitudes que poseen características que ayudan a resolver el problema.

¿Qué utilidad tiene lo aprendido en la lección?

Nos permite identificar mejor las características de una situación para darle una

respuesta objetiva

LECCIÓN 2: PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Introducción

¿Qué estudiamos en la lección anterior?

Características de los problemas y variables

¿Qué características debe tener un problema?

Un enunciado y una interrogante o pregunta

¿De qué manera se expresa la información en un problema?

En los términos de variables, características encontradas en un enunciado.

¿En qué se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?

El estructurado su enunciado contiene información necesaria y suficiente para

resolver el problema el no estructurado es de buscar la solución.

¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?

Nos encontramos de tipo cualitativa y cuantitativa.

Presentación del proceso

Consideramos el siguiente ejercicio:

Lo primero que debemos hacer es leer todo el enunciado. Nos preguntamos:

Ejercicio 1: Carolina necesitaba zapatos y fue a Súper Éxito, para lo cual saco cierta

cantidad de dinero del Banco. Vio unos bonitos zapatos y gasto el 50% de lo que

llevaba para adquirirlos, luego compro unas sandalias que le costó $100. Si al final le

quedaron $300 que gasto para ir al cine con sus amigos. ¿Cuánto dinero saco del

Banco?


¿Tiene información? SI

¿Tiene una interrogante que debemos responder? SI

Ya que ambas respuestas son afirmativas, podemos concluir que es un problema.

¿De qué trata el problema?

De cuánto dinero saco del Banco

El segundo pasó para continuar la resolución del problema es preguntándonos:

¿Qué datos aporta el enunciado? ¿Cuáles son las variables y características?

Variable: cantidad del dinero Inicial característica: Desconocida

Variable: Primera Compara característica: Zapatos

Variable: costo de la primera compra característica: 50% del dinero inicial

Variable: Segunda compra característica: camisa

Variable: Costo de la segunda compra característica: $100

Variable: dinero después de las compras característica: $300

Variable: Destino del Remanente característica: Pagar el Cine

Muy bien. Hemos traído todos los datos expresados en el problema

En tercer lugar debemos analizar las relaciones que podemos plantear y las

operaciones que podemos realizar. Esto es pensar es una estrategia para resolver

el problema. ¿Qué relación podemos establecer entre el costo de los Zapatos y el

dinero inicial?

La mitad del dinero que tenía

A partir de la tercera variable de la lista podemos decir:

1.- “Los zapatos le costó la mitad del dinero inicial (50%)o, lo que es o mismo,

que el dinero inicial es el doble del costo del pantalón”

Otra relación que podemos establecer es:

2.-“Después de comprar los zapatos le quedo una cantidad de dinero igual a la

mitad del dinero inicial”

Una tercera relación a partir de la quinta y sexta variable seria:

3. “con el dinero sobrante después de comprar los zapatos se compró unas

zapatillas para la playa de $100 y le quedaron $ 300 que gasto en el Cine”


Estas relaciones las podemos visualizar de la siguiente manera:

Dinero Inicial =?

50% $100 $300

Zapatos Sandalias Cine

El cuarto paso es usar las relaciones y operaciones planteadas (usar la estrategia

de solución que hemos planteado) para resolver el problema. Veamos cómo

queda esto:

De la segunda y tercera relaciones podemos sacar que:

La mitad del dinero inicial es igual a la suma de $100 y $300 que son $400

Luego, con la primera o segunda relaciones podemos plantear la siguiente

operación:

La cantidad del dinero inicial es el doble de la cantidad que quedo después de

comprar los zapatos, la cual es de $400. Por lo tanto, la cantidad de dinero inicial

es de $800

El quinto paso es formular la respuesta:

La cantidad de dinero que saco del Banco fue $800

El sexto, y último paso del procedimiento es verificar si todo está correcto

Muy bien. Lo que acabamos de ver es un procedimiento o estrategia que podemos

aplicar para resolver cualquier problema. El procedimiento esta listado a

continuación. Verifica si estos fueron los pasos que seguimos en la resolución del

problema anterior.

Procedimiento para resolver un problema

1. Lee cuidadosamente todo el problema.

2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas

a partir de los datos y de la interrogante del problema.

4. Aplica la estrategia de solución del problema

5. Formula la respuesta del problema.

6. Verifica el proceso y el producto.


¿Crees que es importante tener un procedimiento para la solución de

cualquier problema? ¿Por qué?

Sí, porque así llegar de manera ordenada y tener una respuesta correcta.

¿Qué beneficio crees tiene aplicar este procedimiento?

La de evitar errores o mal interpretaciones al problema.

Practica del proceso

Es importante recordar que estas prácticas presentan problemas sencillos para

resolver, pero que lo importante es seguir el procedimiento. Si lo seguimos de

manera deliberada y en forma sistemática, vamos a alcanzar la automatización del

proceso, y por consecuencia, el desarrollo de la habilidad asociada al

procedimiento o estrategia de resolución de problemas.

1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?

Compra de materiales educativos

2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado

DATOS:

Gasto de la computadora $550

Gasto de la impresora $ 250

Dinero disponible $ 1000

3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que

pueda a partir de los datos y de la interrogante del problema.

Sumo lo gastado y luego resto el dinero disponible para saber cuánto me

queda para comprar los materiales educativos

4) Aplica la estrategia de solución del problema.

550 + 250= 800 1000- 800= $200

Práctica 1:.Ariana Gasto $550 en una computadora y $250 en una

impresora. Si tenía disponible $1000 para gatos de materiales educativos

¿cuánto dinero le queda el resto de los materiales educativos?


5) Formula la respuesta del problema.

R= El dinero sobrante para comprar el resto de gastas educativos es de $200

6) ¿Cuál es el paso final en todos los procedimientos? Verificar el

procedimiento y el producto. ¿seguiste todos los pasos en el orden del

procedimiento? ¿verificaste si los datos eran los correctos o que no

confundiste o intercambiaste algún número?

7) ¿las operaciones matemáticas están correctas?

Si

a) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?

Compra de revistas

b) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

DATOS:

Compra 30 revistas

Valor de C/U $80

Descuento 10%

c) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que

pueda a partir de los datos y de la interrogante del problema.

Multiplicamos las 30 revistas por $80, el resultado obtenido lo multiplicamos

Por el 20%luego el resultado obtenido le restamos el descuento y Para

obtener el valor de cada libro lo dividimos para 30

d) Aplica la estrategia de solución del problema.

30*80= 2400 – 240= 2160

2400*10%= 240 Descuento

2160/30=70 Valor de cada Revista

Práctica 2: Erick compro 30 revistas y pago $80 por cada uno. La imprenta le hizo

una rebaja del 10% sobre el precio de la lista de cada revista. Se pregunta:

¿Cuánto es el precio de la lista?

¿Cuánto pago Erick por las 30 revistas?

¿Cuánto gana el vendedor si logra colocar todos libros al precio de lista?


Reparticion de Herencia

1er trim.

2º trim.

3er trim.

4º trim.

e) Formula la respuesta del problema.

R= El precio de la lista es de 2400

R= Erick paga por los libros $ 2160

R= El vendedor gana $240

f) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar

el resultado?

Si revisamos el ejemplo y en caso de algún error corregirlo

1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?

Repartición de Herencia

2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

DATOS:

Herencia $ 600.000

Madre $ 300.000

3 hijos y madre $75000

3) Plantea las relaciones operaciones y estrategias de solución que puedas a partir

de los datos y de la interrogativa del problema.

Primero dividimos la herencia para dos y la mitad es de la madre y la otra

mitad sobrante la dividimos para cuatro y el valor obtenido le corresponde a

los hijos y a la madre. A la madre le sumamos la mitad más los $ 75000

¿Podrías representar el reparto del dinero de la herencia en el grafico

que se da ala derecha?

Práctica 3: Fernanda, Narcisa, Y Juan son hijos de Maribel y Pedro. Pedro al morir

deja una herencia que alcanza a $600 mil, la cual debe repartirse de acuerdo, a sus

deseos como sigue: el dinero se divide en dos partes, media para la madre y el resto

para repartirse en partes iguales entre los tres hijos y la madre.¿ Qué cantidad de

dinero recibirá cada persona?


4) Aplica la estrategia de solución del problema.

Herencia: 600.000 /2= 300.000 Madre

300.000 /4= 75000 tres hijos y la madre

Madre:

300.000 + 75000 = 375000

Hijos:

75000 para cada uno

5) Formula las respuestas del problema.

R= A la madre le corresponde $375000

R= A cada hijo le corresponde $ 75000

6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar

el resultado?

Verificar si seguimos de manera organizada el procedimiento

Cierre


El procedimiento para resolver problemas

¿Cuál es el objetivo que se persigue al resolver un problema?

Conseguir un resultado más eficaz para evitar comerte errores

Reflexión

En esta lección aprendimos que la solución de los problemas debe hacerse siguiendo

un procedimiento, sin importar el tipo o naturaleza del problema. Ahora, la clave para

resolver el problema está en el paso tres donde debemos plantear relaciones,

operaciones y estrategias para tratar de responder lo que se nos pregunta.

En las próximas unidades vamos a conocer varios tipos de problema, y vamos a

practicar ese planteamiento de relaciones, operaciones y estrategias para cada tipo

de problemas.


¿Cuáles son los pasos del procedimiento para resolver un problema?

1. Leer cuidadosamente todo el problema

2. Leer por parte el problema y sacar todos los datos del enunciado

3. Plantear las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a

partir de los datos y de la interrogante del problema.

4. Aplicar la estrategia de solución del problema

5. Formular la respuesta del problema

6. Verificar el proceso y el producto.

¿Crees que son importantes todos los pasos? ¿Por qué?

Son importantes ya que si no seguimos estos pasos no obtendremos la respuesta

correcta

¿Qué crees que pueda ocurrir si olvidamos u omitimos algún paso del

procedimiento?

Podríamos tener errores y la respuesta no va a ser la correcta

¿Cómo será más fácil resolver un problema, comenzando a escribir fórmulas

de manera entusiasta o siguiendo el procedimiento? ¿Por qué?

Siguiendo el proceso para resolver problemas ya que en cada uno de los pasos se

detalla cada parte para resolverlo de la forma correcta


UNIDAD II: PROBLEMAS DE

RELACIONES CON UNA VARIABLE

JUSTIFICACION:

En esta unidad, como su nombre lo indica, se presentan problemas acerca de

relaciones entre variables o característica cas de objetos o situaciones. Dichas

relaciones están ´presentes en los enunciados de los problemas y pueden ser de

diferentes tipos; la naturaleza de la relación determina la estrategia particular a

seguir para lograr la solución del problema

Una relación es un nexo entre dos o más características correspondientes a la

misma variable. En el enunciado del problema se dan los valores de las variables

que correspondan y se presentan los nexos entre estas; de análisis de estos

nexos surge el tipo de relación y de este la estrategia particular de representación

a utilizar para comprender el problema, lograr la imagen mental, y en muchos

casos, obtener la solución.

Las variables, sus valores y sus relaciones conforman los datos de los problemas.

Un dato puede ser una variable, un valor de una variable o una relación entre dos

variables o entre sus valores.

A pesar de que el enunciado de un problema siempre presenta relaciones entren

sus datos, que como sabemos provienen de las variables, existen ciertos tipos de

nexos que determinan clases especiales de problemas los cuales pueden

agruparse y resolverse mediante estrategias particulares. De lo dicho se

desprende que esta unidad, además de lograr que los jóvenes centren su atención

en la identificación y el análisis de las relaciones entre variables y características

presentes en el enunciado de un problema, logra identificar estos tipos especiales

de relaciones y de estrategias particulares.

En la unidad se presentan relaciones especiales de diferentes tipos: intercambio,

parte – todo, causa-efecto, orden, pertenencia, equivalencia, familiares, etc.


OBJETIVOS:

A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de :

1. Centrar su atención en el enunciado del problema y en las relaciones entre

sus datos

2. Identificar el tipo de relación presente en el enunciado del problema y en

las relaciones entre sus datos

3. Analizar los diferentes tipos de relaciones presentes en el enunciado de un

problema y determinar la estrategia más apropiada para enfocar su

solución de acuerdo al tipo de relación

4. Establecer relaciones entre las variables, sus valores y los datos de los

problemas

5. Valorar la utilidad del uso de estrategias en la solución de problemas


Ejercicio: 1 con una balanza de 2 platillos y solo 3 pesas de 1.3.9 kilos

respectivamente, podre pesar objetos cuyos pesos sean cantidades

exactamente 1 kilo hasta 13 kilos. Se trata de identificar Lapesa o grupo de

pesas de las disponibles que podría colocarse en uno o los platillos para

lograr un determinado equilibrio colocando el objeto en el platillo B. se

pueden combinar las pesas como se desee ¿ cómo se combinarían las

pesas para colocarlas todas o algunas de ellas en ambos platillos para pesar

.5.7.10 y 11 kilos?

Lección 3: PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE- TODO Y FAMILIARES

Introducción:

¿Sobre qué se trató la unidad anterior?

Procedimientos para la solución de problemas

¿Qué características debe tener un problema?

Un enunciado, información y una interrogante

¿Qué debe hacer una persona para resolver un problema?

Analizarlo

¿En qué se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?

El estructurado es aquel que el enunciado contiene información necesaria y

suficiente para resolver ver el problema y el no estructurado el enunciado no

contiene toda la información necesaria

¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?

Cualitativa y cuantitativa

Presentación y práctica del proceso:

La lección anterior nos enseñó que debemos seguir una estrategia para resolver

los problemas ejecutando los pasos de ese procedimiento garantizamos: primero

una comprensión profunda del problema; segundo generamos las ideas y

buscamos las relaciones, operaciones y estrategias particulares para resolver la

incógnita que se nos plantea en el problema; y tercero, la corrección de eventuales

errores mediante la verificación del procedimiento y del producto del proceso.


1. Lee todo el enunciado ¿de qué trata el problema?

De una Balanza de dos platillos que se sirve para pesar hasta 13kg usando

solamente de las tres pesas de 1.3 y 9kg

2. ¿Cuál es la incógnita del problema?

Determinar La pesa o grupo de pesas que deben colocarse en el platillo A

La incógnita es determinar la pesa o grupos de pesas que deben colocarse en

el platillo A o en ambos platillos para equilibrar la balanza

3. ¿Qué relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado del

problema?

Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuando

ambos platillos tienen el mismo peso

Segunda, que cuento con 4pesas con los valores 1, 3,9KG

Tercera, que el objeto se coloca en el platillo B

Cuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otro

platillo para lograr el equilibrio con el objeto

Y quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso total

del platillo para lograre el equilibrio con el objeto

4. ¿cómo podemos pesar?

Si colocamos en el platillo B objetos de 1KG, 3KG,9KG podemos equilibrarlo

colocando en el platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto.

Si colocamos un objeto de 4KG en el platillo ¿cómo podemos equilibrarlo?

No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocando

en el platillo A las pesas de 1KG, 3KG juntas. De esta manera podemos pesar

objetos cuyo peso sea igual a la suma de los pesos de dos pesas. De esta

manera podemos pesar objetos de 4KG, 10KG Y 12KGY 13kg

y si colocamos las tres pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetos

de 13kg

Ya hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10,12

¿Pero cómo podemos hacer para pesar un objeto de 2KG?

Ahora recordamos la estragia que nos dice que tenemos total libertad para

colocar las pesas, si el objeto pesa 2KG ,puedo equilibrar la balanza

colocando el objeto y La pesa 1KG en el platillo B y la pesa de 3KG en el

platillo A porque la suma de los pesos de ambos platillos será igual.


Colocando el objeto y La pesa de 1KG en el platillo B podemos pesar 2KG Y

8KG Colocando en el platillo A las pesas de 3KG Y 9KG y si colocamos el

objeto y la pesa de 3KG en el platillo B y la pesa de 9KG en el platillo A

Podemos pesar 6KG

Nos falta averiguar ¿cómo podemos pesar objetos de 5KG, 7KG, Y11KG?

En el último caso acompañamos el objeto con una presa, y podíamos pesar

objetos cuyo peso estaba por debajo del peso que teníamos en el platillo A.

esto lo podemos ampliar con otros pesos en el platillo A si colocamos en el dos

pesas. Así, colocando en A las pesas de 9 kg y 3kg, y en B el objeto y Lapesa

de 1kg, podemos pesar un objeto de 11kg; y colocando en A las pesas de 9kg

y 1kg, y en B, el objeto y la pesa de 3kg, podemos pesar un objeto de 7kg.

Ahora nos falta solamente como pesar 5kg. Dándonos cuenta que 9 kg es

igual a 5kg + 4kg, entonces podemos pesar un objeto de 5kg poniéndolo en el

platillo B con las pesas de 3kg y 1kg, que pesan combinadas los 4kg, y el

platillo A la pesa de 9kg.

De esta manera podemos resumir todas las alternativas de pesado en una

tabla indicando que muestre los kilogramos que se desean pesar, el contenido

del platillo A y el contenido del platillo B

Cantidad de KG a pesar Platillo B Platillo A

1 Objeto pesa 1KG

2 Objeto + pesa 1KG pesa 3KG

3 Objeto pesa 3KG

4 Objeto pesa 3kg y 1KG

5 Objeto + pesa 3kg y 1kg pesa 9KG

6 Objeto+ pesa 3KG pesa 9KG

7 Objeto+ pesa 3KG pesa 9KG + 1kg

8 Objeto+ pesa 1KG pesa 9KG

9 Objeto pesa 9KG

10 Objeto pesa 9KG + 1kg

11 Objeto+ pesa 1KG pesa 9KG + 3kg

12 Objeto pesa 9KG + 3kg

13 Objeto pesa 9KG, 3kg y 1kg

5) para formular la respuesta a la interrogante de cómo se combinan las pesas

para pesar 2, 57,10 y 11 kg, solamente tenemos que identificar en la anterior la

distribución de pesas en cada uno de los platillos. Por ejemplo, para pesar un


objeto de 2kg. Lo colocamos en el platillo B junto con la pesa de 1kg, y en platillo

A colocamos la pesa de 3kg. De la misma manera procedemos para las demás

cantidades.

6) por ultimo verificamos cada paso y los resultados de las operaciones

De esta manera terminamos la solución formal del ejemplo 1 que planteamos al

inicio de esta clase. Seguimos paso a paso el procedimiento que aprendimos en la

lección 2. En este caso las relaciones que planteamos utilizaban el principio que el

equilibrio de la balanza se alcanza cuando el peso total del platillo A es igual al

peso total del platillo B, y que esos pesos totales resultan de la suma de todos los

pesos que hay en cada platillo.

¿Qué hacemos en primer lugar?

Leer, analizar e identificar el problema

¿Qué datos se dan?

El precio de venta de la bicicleta

¿De qué variable estamos hablando?

La suma del valor inicial

¿Que se dice acerca del precio de venta del objeto?

Resulta de la suma de su valor inicial una ganancia igual a la mitad de su valor y

unos gastos de manejo del 30%

Practica 1: El precio de venta de una bicicleta es de $150. Este precio resulta

sumar su valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos de

manejo de 30% de su valor ¿cuánto es el valor inicial de la bicicleta?

Problemas sobre relaciones parte- todo

En este tipo de problemas unimos un conjunto e partes conocidas para formar

diferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas

donde se relacionan partes para formar una totalidad deseada, por esos se denominan

“problemas sobre relaciones parte- todo “


¿Que se pide?

El precio del valor inicial del objeto

Representación del enunciado del problema:

X+X/2+0.30x=150 2x+x+0.60x=600

3.6x=600

X=166.67

¿Que se extrae de este diagrama?

La ganancia al valor inicial y al gasto de manejo

¿Que se concluye?

Valor del objeto es $166.67

¿Cuánto es el valor del objeto?

Valor del objeto: 166.67

Ganancia 50.00

30% 50.00

¿Cómo se describe la iguana? Tronco Cabeza

De describe en tres secciones: cabeza,

tronco, extremidades

¿Qué datos da el enunciado del

problema?

Que la cabeza mide 5 centímetros

¿Qué significa que la cola mide tanto

como la cabeza más la mitad del

cuerpo?

Que mide 5 centímetros más que la mitad del tronco cola

Practica 2: La medida de las tres secciones de una iguana - cabeza trono y

cola- son las siguientes: la cabeza mide 5 centímetros, la cola mide tanto como

la cabeza más la mitad del tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la

cabeza y en la cola ¿cuantos centímetros mide en total la lagartija?


Escribe esto en palabras y símbolos:

Medida de la cola= medida de la cabeza + la mitad del cuerpo

Medida de la cola= 5cm + la mitad del cuerpo

¿Y que se dice del cuerpo?

Es la suma de la cabeza y de la cola

Vamos a escribir o a representar estos datos en palabras y símbolos:

Medida del tronco= medida de la cabeza + medida de la cola

Medida del tronco= 5cm + medida de la cola

Si colocamos lo que mide la cola obtenemos:

Medida del tronco= 5cm +5cm + mitad de la medida del cuerpo

Medida del tronco= 10cm + mitad de la medida del cuerpo

Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:

Medidas del tronco

Medidas del medio tronco 10cm

¿Que observamos en el esquema? ¿Cuánto mide el tronco en total?

10cm + 10 cm= 20cm

Entonces, ¿cuánto mide en total la lagartija? Para contestar esto completa el

esquema que sigue

Cola Tronco Cabeza

5cm +10cm 5cm+5cm+10cm 5cm

15cm 20cm 5cm


¿Qué estrategias utilizamos para comprender y resolver el problema?

Identificamos en el dibujo las partes de la lagartija y las medidas

respectivas

Representamos las cantidades en el esquema

Veamos otro problema de relación entre las partes y el todo

¿Qué debemos hacer para resolver el problema?

Comprender el problema, generar ideas y buscar relaciones, verificar

procedimiento

¿Qué se pregunta?

La masa corporal del hombre

¿Qué observas en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?

El todo es 150 kilos

¿Cómo podemos representar los datos?

Juan: 80 100% +50%+25%+12.5%=187.50%

Niña: 40 187.50% 150kg

Gata: 20 100% x

Accesorios: 10 100% * 150kg 80kg

Total 150 187.50 %

Ecuación:

X+2x+3x+4x= 150

10x= 150

X= 10

Practica 3: Juan lleva sobre sus hombros una niña que pesa la mitad que él; la

niña, al mismo tiempo, lleva un gato que pesa la mitad que ella; y la gatita lleva

accesorios que pesan la mitad que ella. Si Juan con su carga pesa 150 kilos,

¿cuánto pesa Juan sin carga alguna?


¿Cómo lo expresamos en palabras?

La relación que existe entre el peso del hombre es de 0.53

¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?

80/150=0.53

¿Cómo calculamos el peso del hombre?

100% +50%+25%+12.5%=187.50%

187.50% 150kg

100% x

100% * 150kg 80kg

187.50 %

¿Cuánto pesa el hombre?

0.53 kilos

¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado?

Verificar el ejemplo y volverlo a revisar

‘

PROBLEMAS SOBRE RELACIONES FAMILIARES

En esta parte de la lección se presenta un tipo particular de relación referido a

nexos de parentesco entre los diferentes componentes de la familia.

Las relaciones familiares, por sus diferentes niveles, constituyen un medio útil

para desarrollar habilidades de pensamiento de alto nivel de abstracción y es esta

la razón por la cual se incluye un tema en la lección que nos ocupa

Practica 4: que parentesco tiene conmigo; si su madre fue la única hija de mi

madre


¿Que se plantea en el problema?

Relación entre la madre y la hija

¿Qué personajes figuran en el problema?

Madre e hija

¿Qué relaciones podemos establecer entre estos personajes?

Que son familia

Completa las relaciones en la representación:

¿Que se observa en el diagrama con respecto a María y el señor del retrato?

¿Qué tienen en común?

Que son tío-sobrino

¿Qué relación existe entonces entre ambas personas?

Son familia (tío-sobrina)

Respuesta del problema

El parentesco que tiene es que es tía-sobrina

¿Que hicimos en este ejercicio?

Usamos relaciones entre todas las personas

¿Qué tipo de estrategia utilizamos?

Problema sobre relaciones familiares


¿Qué se plantea en el problema?

La relación que existe entre Hernán y Emma

¿A qué personajes se refiere el problema?

Hernán, Manuel, Emma

Representación:

Respuesta:

R= que parentesco que tienen es que son Hermanos

¿Qué se plantea en el problema?

La relación entre la hermana y el padre

Pregunta:

Representación:

Practica 5: Hernán es cuñado de Manuel, Manuel es cuñado de Emma y Emma

es la hermana de la esposa de Manuel. Que parentesco hay entre Hernán y

Emma?

Practica 6: El hijo de la hermana de mi padre es:


Respuesta:

R= Es mi Primo

Cierre:

¿Qué clases de problemas estudiamos en esta lección?

Problemas de relaciones familiares, parte todo

¿Qué diferencias existen entre los diferentes problemas?

Los parentescos

¿Que hicimos para resolver los problemas de este tipo?

Hacemos diagramas, dibujos y de ahí resolvemos

¿Cuál fue la variable en este caso?

Tipo de relación o parentesco (Familia)

¿Qué estrategia seguimos para resolver estos problemas?

Relaciones por partes, para ver los nexos familiares

¿Crees que la estrategia estudiada tiene utilidad? ¿Por qué?

Si porque podemos ver la relación que hay entre familias

LECCIÓN 4: PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN

INTRODUCCION:

¿Sobre qué trato la lección anterior?

Problema de relaciones de parto-todo y familiares

¿Qué características tiene un problema con relaciones parte- todo?

Que se puede formar diferentes cantidades y generar equilibrio

¿Qué debe hacer una persona para resolver un problema de relación de

parte- todo?

Comprender el problema, generar ideas y buscar relaciones verificar

procedimientos


¿En qué se diferencian un problema parte- todo de uno de relaciones

familiares?

En el problema parte todo se relacionan partes para formar una totalidad deseada

y relaciones familiares presenta un tipo particular referido a nexos de parentesco

¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de estos

problemas?

Cualitativa y cuantitativa

Presentación del proceso:

Vamos a iniciar el trabajo de esta lección con un ejercicio

¿Qué debemos hacer en primer lugar?

Leer todo el problema

¿A qué aspectos o variables se refiere el problema?

Estatura

¿Qué tipo de variable es?

Cuantitativa

¿En qué forma se expresa la información relativa a las estaturas?

Relaciones de orden

Muy bien. Seguramente identificaste que el enunciado se refiere a la variable

estatura de ciertas personas que es una variable cuantitativa y que la información

esta expresada en términos de relaciones de orden (… más o menos alto que…)

¿qué hacemos luego?

Podemos aplicar una estrategia de representación que nos va a facilitar la

comprensión y la solución del problema

La representación puede hacerse de la siguiente manera: se traza una línea o eje

vertical, se fija sobre esta línea u punto de referencia u origen a partir del cual se

Ejercicio 1: José es más bajo que Patricio, pero más alto que Manuel. Manuel a

la vez es más bajo que José, pero más alto que Rodrigo. ¿ Quién es más alto y

quien le sigue en estatura?


representan los valores de la variable; se coloca un flecha sobre la línea vertical

para indicar el sentido creciente de la variable cuyo nombre se escribe al lado de

la punta de la fleca. Esto quiere decir que más cerca de la flecha(arriba) es de

mayor estatura, y más lejos de la punta de la flecha es de menos estatura ( abajo)

Luego leemos el problema parte por parte y vamos aplicando la estrategia, esto es

vamos representando los datos. Podemos utilizar las iniciales de los nombres de

las personas para hacer la representación.

¿Cuál es la primera relación que encontramos en el problema?

“José es más bajo que Patricio pero más alto que Manuel”

Podemos ubicar José en algún punto de la línea o eje, lo cual significa que él tiene

una estatura.

Luego, como José es más bajo que Patricio eso quiere decir que Patricio debe

estar ubicado por arriba de donde ubicamos a José. Eso podemos leerlo José es

más bajo que Patricio, o Patricio es más alto que José. Y luego, como José es

más alto que Manuel, este debe estar ubicado debajo de la posición donde

ubicamos a José.

Hasta ahora hemos logrado diseñar una estrategia que nos permite representar la

información que nos da el problema en un gráfico, esto es, pasamos de relaciones

de orden a una representación gráfica.

¿Cuál es la próxima relación que nos da el problema?

“Manuel a la vez es más bajo que José, pero más alto que Rodrigo”

La relación dice que Manuel es más bajo que José. Eso ya lo tenemos

representando en el gráfico. Sigue la relación indicando que Manuel es alto que

Rodrigo. Eso significa que debemos ubicar a Rodrigo de forma tal que la ubicación

de Manuel este por encima, es decir más arriba que la de Rodrigo. Para esto solo

tenemos que ubicarlo en la parte inferior de la línea o eje, tal como se indica en el

gráfico de la derecha. Ya hemos agotado las relaciones que nos dan información.

El grafico de la derecha contiene toda la información que suministra el enunciado

del problema.

Ahora que hemos completado el grafico. ¿Podemos contestar quien es el más alto

y quien le sigue en estatura? sí. Inspeccionando el grafico vemos que el de mayor

estatura (persona más alta) es el que está más arriba, es decir, Patricio, y le sigue

en estatura José.


El último paso es la verificación. Esta estrategia de representación gráfica facilita

la verificación de las relaciones que están planteadas en el enunciado del

problema, y de la inspección para determinar el resultado.

Hemos seguido los seis pasos del procedimiento para resolver problemas con una

estrategia de la representación de relaciones de orden basadas en variables

cuantitativas. A estas estrategias de resolución de problemas la llamamos

representación de una dimensión.

Estatura Estatura Estatura

Patricio Patricio

José José

Manuel Manuel

Rodrigo

¿Qué utilidad tiene esta estrategia?

Permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto

¿Qué papel juega la variable en estos problemas?

Es un papel fundamental ya que de acuerdo a esta se hace la representación

¿En qué casos se puede usar esta estrategia?

Para ordenar de forma correcta la estatura

Representación de una dimensión La estrategia utilizada se denomina “Representación en una dimensión” y como

ustedes observaron permite representar datos correspondientes a una sola

variable o aspecto.


Variable: Trayecto a su casa

Pregunta: ¿Quién vive más lejos y quien vive más cerca?

Representación:

Trayecto a la casa

Pablo Kimberly Carolina Juan

Respuesta:

R= Juan vive más lejos y Pablo vive más cerca

Variable Dinero

Pregunta: ¿Quién es el más rico y quien posee menos dinero?

Practica 1: en el trayecto que recorre Juan, Carolina, Kimberly y Pablo a su

casa, Juan camina más que Carolina. Kimberly caminas más que Pablo, pero

menos que Carolina. ¿Quién vive más lejos y quien vive más cerca?

Reflexión Los problemas de esta lección involucran relaciones de orden. Dichos problemas se

refieren a una sola variable o aspecto, el cual generalmente toma valores relativos,

o sea que se refieren a comparaciones y relaciones con otros valores de la misma

variable; por ejemplo cuando decimos “Juan es más alto que Antonio” nos

estaremos refiriendo a la variable o aspecto estatura y estamos dando la estatura

de Juan, pero con relación a la estatura de Antonio; no sabemos cuánto mide Juan

ni cuanto mide Antonio

Practica 2: Fernanda tiene más dinero que Narcisa pero menos que Pedro.

Pablo es más rico que Fernanda y menos que Pedro. ¿Quién es el más rico y

quien posee menos dinero?


Representación:

Dinero

Narcisa Fernanda Pablo Pedro

Respuesta:

R= el más rico es Pedro y el que posee menos dinero es Narcisa


Leer el problema

¿ a qué variable se refiere el problema?

La edad de varias personas

¿Qué debemos hacer a continuación?

Como la edad en una variable cuantitativa y el problema está expresado en

relaciones de orden, podemos usar la estrategia de representación en una

dimensión. Dibujemos el eje para la variable edad

Edad

La primera relación de orden establece que “Ramírez y Peña son más jóvenes

que Sandoval”. Colocamos a Sandoval. Sion embargo, no podemos ubicar a

Ramírez y Peña. Solo sabemos que son más jóvenes, es decir, que están

ubicados a la izquierda de Sandoval

Sandoval edad

Ramírez y Peña

Ejercicio 2: Ramírez y peña son más jóvenes que Sandoval. Gutiérrez es menor

que Peña, pero mayo que Ramírez. ¿Quién es el más joven y quien le sigue de

edad


En este momento solo anotamos la información concreta que tenemos, y

postergamos la información que no podemos ubicar hasta que encontremos

alguna otra información que nos ayude a ubicarla

Luego leemos la próxima relación:” Gutiérrez es menor que Peña pero mayor que

Ramírez”. Esto nos permite ordenar estas tres personas. De menor a mayor ellas

están ubicadas en el orden siguiente: Ramírez, Gutiérrez y Peña

Ramírez Gutiérrez Peña

Pero ¿dónde ubicamos este trio? Para responder esta pregunta debemos

recordad la información que postergarnos en el paso anterior. Ramírez y peña son

menores que Sandoval

Así que los tres deben ubicarse a la izquierda de Sandoval

Sandoval Edad

Ramírez Gutiérrez Peña

Muy bien. Ya henos vaciado toda la información del enunciado en la

representación gráfica de anterior. Por inspección podemos incluir la respuesta a

la pregunta:

“Ramírez es el más joven y le sigue en edad Gutiérrez”

En el ejercicio anterior el problema se plantea con relaciones de orden con

variables de valores relativos como en el casa anterior; la única diferencia entre

este ejercicio y las practicas anteriores está en los enunciados, los cuales

presentan ciertas investigaciones en la forma de presentar los datos.

Estrategia de postergación

Esta estrategia adicional llamada de “Postergación” consiste en dejar para más tarde

aquellos datos que parezcan, hasta tanto se presente otro dato que complemente la

información y nos permita procesarlo


Variable: Idiomas

Representación

Idiomas

Ruso alemán Italiano Francés

Respuesta:

R= Para Stephanie el idiomas menos difícil es Ruso y el más difícil Francés

Variable:

Variable: año de nacimiento

Pregunta: ¿Quién es el más joven y quien es el más viejo

Representación:

Practica 4: Estefanía está estudiando idiomas y considera que el alemán es

más difícil que el ruso. Piensa además que el francés es más fácil que el Italiano y

que el Ruso es más difícil que el italiano. ¿Cuál es el idioma que es menos difícil

para Stephanie y cual considera más difícil?

Casos especiales de la representación en una dimensión

Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede hacer

parecer confuso un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a la

redacción del mismo. E este caso se hace necesario prestar atención especial a la

variable, a los signos de puntuación y al uso de ciertos de ciertas palabras presentes en

el enunciado

Practica 7: Juan nació 2 años después de Carlos. Pedro es 3 años mayor que Juan

Joel es 6 años menor que Pedro. Alberto nació 5 meses después que Joel. ¿Quién es el

más joven y quien es el más viejo?


(+ años)

Alberto Joel Juan Pedro

Respuesta:

R= el más joven es Alberto y el más Viejo es Pedro

¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?

Una confusión que va después del mayor

¿Qué diferencias hay si resolvemos la práctica usando como variable la

“edad” o el “año” de nacimiento?

Ninguna

Precisiones acerca de las tablas

En este tipo de problemas existe una variable sobre la cual se centra el mismo. Es

siempre una variable cuantitativa que sirve para plantear las relaciones de orden que

vinculan dos personas. Objetos o situaciones de los incluidos en el problema. Por

ejemplo, en el ejercicio 1 de esta lección la variable era estatura y José, patricio

Manuel, y Rodrigo eran los sujetos incluidos en el problema. José, Patricio Manuel, y

Rodrigo son valores de otra variable llamada “nombre”. La variable estatura depende de

cual valor del variable nombre he seleccionado. Por tal razón llamaos a la variable

estatura variable dependiente. Y por complemento, al variable nombre la llamamos

variable independiente.

Es cierto sentido la variable nombre queda fija al seleccionar los personajes del

problema en cambio, la variable estatura depende de cual joven estamos considerando

La pregunta o incógnita del problema se formula alrededor de la variable dependiente,

por ejemplo, en este caso la pregunta es “¿quién es el más alto? La cual se refiere

directamente a la variable estatura


Cierre:

¿Que hicimos en esta lección?

Problemas sobre relaciones de orden

¿Por qué se llama representación en una dimensión?

Porque requiere una sola variable cuantitativa para establecer el orden

¿Y cómo son las variables en este tipo de problemas?

Cuantitativa

¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?

Es muy útil cuando se requiere establecer una relación de orden

¿Cómo reconocerías los proble3mas que se resuelven aplicando la

estrategia “Representación en una dimensión”?

Cuando se menciona una relación de orden a través de una variable cuantitativa

¿Qué le enseñarías a una persona que se resuelve problemas en forma no

planificada?

Que aplique una forma estructurada para que en el procedimiento pueda

resolver los problemas

¿Cuáles encargos le harías a una persona para que minimice sus errores al

resolver problemas?

Que lea de forma comprensiva, identifique los datos y las variables que

establezcan relaciones, operaciones y estrategias que pueda aplicar para resolver

problemas


UNIDAD III: PROBLEMAS DE RELACIONES

CON DOS VARIABLES

JUSTIFICACION:

Es la presente lección se plantean problemas que involucran relaciones

simultáneamente entre dos variables y se pide una respuesta que corresponde a

una tercera variable que resulta de las relaciones previamente mencionadas. En

este tipo de problemas la estrategia más apropiada para obtener las soluciones es

la construcción de tablas.

De las tres variables que se dan, dos son cualitativos y permiten construir loa tabla

y la tercera puede ser cualitativa, cuantitativa, o lógica, según el tipo de respuestas

que se pide encontrar y los datos dados en el problema. Esta tercera variable

siempre está incluida en la pregunta del problema y se utiliza para llenar las celdas

o los cuadros de la tabla.

Las lecciones de esta unidad se refieren a los tres tipos de problemas antes

mencionados relaciones numéricas, relaciones lógicas entre dos o más variables

y relaciones entre conceptos. El primer tipo de problema se resuelve mediante la

construcción de tablas numéricas; el segundo tipo de problema se apoya en las

tablas lógicas y el tercer tipo se trabaja con tablas semánticas o conceptuales; en

primer tipo de tablas se registran en las celdas cantidades o nu8meros, en el

segundo tipo relaciones lógicas y en el tercero conceptos.

Las tablas son instrumentos muy útiles para resolver problemas pues permiten

organizar la información. Visualizar el problema y constituyen una especie de

memoria externa que nos ayuda a mantener el record de algunos elementos de

información que a veces deben de postergarse para relacionarse con datos que se

dan posteriormente o que se infieren durante el proceso de resolución de los

problemas

OBJETIVOS:

A través de la unidad que los alumnos sea capaces de:

1. reconocer los tres tipos de problemas que se estudian en la lección y las

estrategias más apropiadas para resolverlos

2. aplicar apropiadamente las estrategias para resolver problemas mediante

tablas numéricas, lógicas, y conceptuales

3. resolver problemas que involucren dos o más variables simultáneamente


LECCIÓN 5: PROBLEMAS DE TABLAS NUMERICAS

INTRODUCCION:

¿Sobre qué trato la unidad anterior?

Problemas sobre relaciones de orden

¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior’

Relaciones de orden

¿Qué tiene en común todos los tipos de estrategias que vimos en la unidad

anterior?

Que tiene 1 sola variable

¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relaciones parte-todo y

relaciones familiares?

Se refieren en los parentescos entre los diferentes componentes familiares

¿En qué consiste la estrategia de representación en una dimensión?

Permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto

¿Cómo eran los diagramas en los problemas de relaciones de orden?

Era una sola variable o aspecto

¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de un

problema?

En dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos

Presentación del proceso:

En esta lección continuamos el estudio de estrategias para la solución de

problemas. Veamos a continuación otro ejemplo de problema

Ejemplo1: Rita, Elsa y pedro tienen un club para compartir discos de

música y películas. Entre los tres tienen 20 objetos, e los cuales 14 son

discos de música y 6 películas. Rita tiene 3 discos de música y Elsa tiene

el mismo número de películas. Elsa tiene en total tres objetos más que

Rita. ¿Cuantos objetos tipo discos de música tiene Elsa, y cuantos

objetos tipo películas tiene pedro si Rita tiene 5 objetos en total?


Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante, por lo

tanto. Estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar dos cosas:

primero, que la información no está suministrada en términos de relaciones de

orden; y segundo que la variable central es número de objetos y requiero de dos

calificativos para poder precisarlo, es tipo de objeto y la persona a la cual

pertenecen los objetos.

De lo expuesto anteriormente podemos concluir que la estrategia “representación

en una dimensión” no nos sirve .la razón principal es que la variable cuantitativa

depende de dos variables. Po ejemplo, el primer 3 son objetos de Rita y son del

tipo disco de música. Para resolver esto podríamos pensar en una cuadricula

donde por un lado ponemos el dueño y por otro lado podemos el tipo de objeto, y

en el centro en número de objetos. Veamos lo que queremos decir.

En cada cuadro sombreado puedo colocar el número del objeto, del tipo a que

corresponde y de la persona a que pertenece. Sin embargo, en el problema

hablan de un total de discos de música o del total de objetos de una de las

personas. Para representar esto podríamos añadir otra línea vertical de cuadros

que llamamos “columnas” y otra línea de cuadros horizontales que llamamos

“Filas” las cuales sirviera para colocar los totales. En el caso de las columnas, la el

recuadro o celda inferior correspondería al total de objetos de la persona que

encabeza la columna, y en el caso e las filas, las celdas del lado derecho

correspondería al total de objetos del tipo de objeto indicando en el lado izquierdo.

La celda ene l extremo inferior d derecho es como un total de totales simplemente

el número tota de objetos sin distingos de tipo o dueño. El nuevo ecuador quedaría

como sigue

Tipo de objeto

Nombre RITA ELSA PEDRO

Discos de música

3

Películas

Objeto Nombre RITA ELSA PEDRO TOTAL

Discos de música

Películas

TOTAL


Ahora leemos parte, por parte y vaciamos la información del problema ene l

cuadro que tenemos preparado

Todas las informaciones pueden asentarse en el cuadro. Solamente la última

información die que “Elsa tiene en total tres objetos que Rita”, como no sabemos

el total de objetos de Rita, ponemos una X para recordar la información. Esto no

es más que una aplicación la estrategia de postergación que habíamos estudiado

en la unidad anterior a este tipo de problemas.

Cuando leemos la pregunta nos informa que la solución que buscamos es para el

caso que Rita tenga en total 5 objetos. Ahora podemos cambiar x por un 5, la x+3

por un 8

Los recuadros o celdas que o están aún llenas podemos calcularlos recordando

que los torales son las sumas de las filas columnas. Así, si Rita tiene 5 objetos y 3

son discos de música entonces tiene 2 películas. Si Elsa tiene 8 objetos y 3 son

películas, entonces tiene 5 discos de música. Si Rita y Elsa tienen y 3 películas

respectivamente, y el total de películas de 6 entonces Pedro debe tener 1 película.

Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas las celdas del recuadro y

que como sigue:


Discos de música

3 14

Películas 3 6

TOTAL X X+3 20


Discos de música

3 14

Películas 3 6

TOTAL 5 8 20


Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Elsa tiene 5

discos de música y pedro tiene 1 película. Antes de concluir, verificamos que

hemos vaciado correctamente los datos, que las operaciones han sido

correctamente realizadas y que la inspección es la que corresponde

La búsqueda de una respuesta para este problema nos permite formalizar una

nueva estrategia para la solución de problemas en los cuales existe dependencia

de dos variables. El recuadro que estructura la estrategia lo denominamos tabla

numérica y a la estrategia de solución del problema la llamamos representación en

dos dimensiones

A diferencia de los problemas formulados con una variable cuantitativa

dependiente, una variable cualitativa independiente y relaciones de orden dentro

las características que resolvimos en la unidad anterior, ahora se trata de

problemas con una variable cuantitativa dependiente, dos variables cualitativas

independientes y relaciones que definen características de la variable

dependiente. Antes era relaciones de orden producto de comparaciones relativas

del tipo "Pedro “es más alto que José”, ahora son relaciones absolutas que definen

las características de la variable cuantitativa del tipo “El número de películas de

Elsa es 3”

La estrategia particular(a la que se hace referencia en el paso cuarto del

procedimiento para resolver un problema de la lección 2) que se utiliza en este

caso es la representación mediante tablas numéricas, las tablas son reticulados

que tienen filas y columnas, las cuales determinan celdas. En las filas y las

columnas se representan los tipos de variables consideradas, y en las celdas

sombreadas con gris se insertan los números que son las características de la

variable dependiente. Estos valores son producto de las relaciones absolutas con

las características correspondientes al par de variables independientes. Las

celdas en el entorno exterior a la celda sombreada corresponden a totalizaciones

de filas y columnas, que es una característica propia de estas tablas. Recorriendo

la totalidad de celdas en tablas podemos visualizar y relacionar todos losposible4s

valores dados en la tabla, obtener datos faltantes y responder la pregunta del

problema.


Discos de música

3 5 6 14

Películas 2 3 1 6

TOTAL 5 8 7 20


Practica del proceso:


Idiomas

¿Cuál es la pregunta?

¿Cuántos libros de francés tienen Susana y cuántos libros de cada idioma tienen

entre todas?

¿Cuáles son las variables dependientes?

Libros (Nombres)

¿Cuáles son las variables independientes?

Cantidad de libros de cada idioma

Libro idioma

Nombre Elena María Susana TOTAL

Francés 2 1 3 6

Italiano 1 1 2 4

Alemán 1 2 3 6

TOTAL 4 4 8 16

Estrategia de representación en dos dimensiones: Tablas numéricas

Esta es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa depende

de dos variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación

gráfica o tabular llamada “tabla numérica”

Practica 1: Elena, María, Susana estudian tres idiomas (francés, italiano y

alemán), y entre las tres tienen 16 libros de consulta. E los cuatro libros de

Elena, la mitad son de francés y uno es de italiano. María tiene la misma cantidad

de libros de italiano que Elena. Susana tiene tres libros de alemán, pero en

cambio tiene tanto libros de italiano como libros de alemán tiene María. Cuantos

libros de francés tiene Susana y cuántos libros de cada idioma tienen entre todas


Respuesta:

R= Susana tiene 3 libros de Francés, y entre todos tienen 6 libros de Francés, 4

libros de Italiano y 6 libros de Alemán

De qué trata el problema?

Número de Prendas


¿Cuántas Faldas tiene Estela?


(Nombres)


Prendas de vestir

Respuesta:

R= Estela tiene 1 Falda

Prendas Nombre Nelly Estela Alicia TOTAL

Blusas 3 8 4 15

Faldas 3 1 1 5

Pantalones 4 3 3 10

TOTAL 10 12 8 30

Practica 2: tres muchachos Nelly, Estela y Alicia tienen en conjunto 30 prendas de

vestir de las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tres

blusas y tres faldas, Alicia que tienen 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El número de

pantalones de Nelly es igual al de las blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos

pantalones como blusas tiene Nelly. La cantidad de pantalones que posee Alicia es la

misma que la de blusas de Nelly ¿cuantas faldas tienen Estela?



Número de accesorios


¿Cuantas pulseras tiene Clara y Belinda?


(Nombres)


Accesorios

Respuesta:

R= Clara tiene 1 pulsera y Belinda tiene 5 pulseras

accesorios Nombre Clara Isabel Belinda TOTAL

Pulseras 1 3 5 9

Anillos 3 2 1 6

TOTAL 4 5 6 15

Las tablas Numéricas

Las tablas numéricas son representaciones graficas que nos permiten visualizar una

variable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de

que la representación de una variable cuantitativa es que se pueden hacer

totalizaciones (sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablemente

el problema porque abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representaciones

de una dimensión entre cualquiera de las dos variables cualitativas y la variable

cuantitativa. También a deducir valores faltantes usando operaciones aritméticas

Practica 3. Las hijas del señor Gonzales, Clara, Isabel y Belinda tiene 9 pulseras y 6

anillos, es decir, un total de 15 accesorios personales, clara tiene 3 anillos, Isabel tiene

tantas pulseras como anillos tiene Clara y, en total, tiene un accesorio más que Clara,

que tiene 4.¿ cuantas pulseras tiene Clara y Belinda?


Vamos a continuar nuestra práctica incluyendo problemas donde se presentan

celdas a las que no les corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenados

con el valor numérico cero.


Tres matrimonios


¿Cuántos hijos varones tienen los García?


Apellidos


Miembros de la Familia

Tabla numéricas con ceros

En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementos

asignados. Por ejemplo, si hablamos de hijas e hijos en varios matrimonios, y

decimos que Yolanda es la hija única del matrimonio Pérez, eso no significa que

la celda de hijos correspondientes al matrimonio Pérez está vacía o le falta

información, lo que significa es que a esa celda le corresponde el valor numérico

“0” cero, porque al ser Yolanda hija única significa que los Pérez tiene solo una

hija, y es hembra. A veces confundimos erróneamente la ausencia de elementos

en una celda con una falta de información; si hay ausencia de elementos

entonces la información es que son cero elementos.

Practica 4. Tres matrimonios de Apellidos Pérez, Gómez, y García, tiene en total

10 hijos Yolanda, que es hija de los Pérez, tiene solo una hermana y no tiene

hermanos. Los Gómez tienen un hijo varón y un par de hijas. Con la excepción de

María, todos los otros hijos del matrimonio García son Varones. ¿ Cuántos hijos

varones tienen los García?


Respuesta:

R= Los García tienen 6 Hijos Varones


¿ De qué trata el problema?

Animales Domésticos


¿Qué otros animales y cuantos de cada tipo hay en la casa de María?


Nombres



Miembros de Familia

Apellidos Pérez Gómez García TOTAL

hija 0 2 0 2

Hermana 1 0 0 1

Varón 0 1 6 7

TOTAL 1 3 6 10

Practica 5. En las casas de María, Juana, y Paula hay un total de 16 animales

domésticos entre los cuales hay 3 perros, doble número de gatos, y además

canarios y loros. E4n la casa de Juana aborrecen a los perros y a los loros, pero

tienen 4 gatos y 2 canarios (con mucho miedo). En la de Paula solo hay un perro y

otros dos animales, ambos gatos. En la de María tienen 3 canarios y algunos otros

animales. ¿Qué otros animales y cuantos de cada tipo hay en la casa de María?


Respuesta:

R= en la casa de María hay 7 animales, 2 perros, 3 canarios, y 2 Loro


Goles


¿Cuantos goles metieron entre los tres en 2007?


Años


Jugadores


Nombre María Juana Paula TOTAL

Perros 2 0 1 3

Gatos 0 4 2 6

Canarios 3 2 0 5

Loros 2 0 0 2

TOTAL 7 6 3 16

Practica 6. Jorge Romero metió 6 goles durante la temporada de futbol de 2006

y 6 en la del 2009. En 2007 y 2008 no le fue bien, de modo que durante los 4

años (2006 a 2009) metió un total de 15 goles. Pedro Vidal metió 14 goles en

2007 y la mitad en 2009. Su total para los 4 años fue de 21 goles. Enrique Pérez

metió tantos goles en 2008 como Vidal metió en los 4 años, pero en las otras

temporadas no le fue mejor que a Pedro en 2006. Entre los tres en 2008

metieron 22 goles. ¿Cuantos goles metieron entre los tres en 2007?


Respuesta:

R= Entre los tres jugadores metieron 16 goles en el 2007


Mascotas


¿Cuántas y que clase de mascotas tiene cada uno?


Nombres


Mascotas

Jugadores Años 2006 2007 2008 2009 TOTAL

Jorge 6 2 1 6 15

Pedro 0 14 0 7 21

Enrique 0 0 21 0 21

TOTAL 6 16 22 13 57

Macotas Nombre Milton Nortus Nortis TOTAL

sapos 3 2 2 7

arañas 3 5 2 9

murciélago 1 1 1 4

TOTAL 7 8 5 20

Practica 7. Milton, Nortus, y Narti tienen un total de 20 mascotas. Milton tiene tres

sapos y a la misma cantidad de arañas que de murciélagos. Nortus tiene tantas

arañas como Milton sapos y Murciélagos. Narti tiene 5 mascotas, una es

murciélago y tiene la misma cantidad de sapo Nortus, que es el mismo número de

murciélagos que Milton. Si Milton tiene 7 mascotas ¿Cuántas y que clase de

mascotas tiene cada uno?


Respuesta:

R= Milton tiene 7 mascotas 3 sapos, 3 arañas y 2 murciélagos

R= Nortus tiene 8 mascotas 2 sapos, 5 arañas y 1 murciélagos

R= Nortis tiene 5 mascotas 2 sapos 2 arañas y 1 murciélagos


Número de accesorios


¿Cuantas pulseras tiene Juana y Betty?


(Nombres)


Bisutería

Respuesta:

R= Juana tiene 1 pulsera y Betty tiene 5 pulseras

Bisutería Nombre Juana Lucia Betty TOTAL

Cadenas 1 3 5 9

Tobilleras 3 2 1 6

TOTAL 4 5 6 15

Practica 3. Las hijas del señor Pérez , Juana, Lucia y Betty tiene 9 cadenas y 6

tobilleras, es decir, un total de 15 Bisuterías , Juana tiene 3 anillos, Lucia tiene tantas

cadenas como tobilleras tiene Juana y, en total, tiene un accesorio más que Juana, que

tiene 4.¿ cuantas pulseras tiene Juana y Betty?


Cierre:

¿Qué clases de problemas estudiamos en esta lección?

Problemas de tablas numéricas

¿Que hicimos para resolver los problemas de este tipo?

Leer, analizar, identificar datos

¿Cómo se llama la estrategia desarrollada en esta lección?

Tablas Numéricas

¿Qué hacemos cuando determinamos que una celda no tiene elementos

asignados?

A esa celda le corresponde al valor numérico “0”

Lección 6: Problemas de tablas lógicas

¿Sobre qué trato la lección anterior?

Problemas de tablas numéricas

¿Cómo se llama la forma de representación para resolverlo esos problemas?

Representación de datos dimensiones tablas numéricas

¿Cómo denominar una tabla?

Una de las variables independientes es desplegada en los encabezados de las

columnas mientras que la otra variable es desplegada como inicio de las filas, y

la variable dependiente es desarrollada en las celdas de la región reticular

definida por el cruce de columnas y filas. Por esta razón se habla que las tablas

tienen dos entradas, una por las columnas y otra por las filas

En título de una tabla está determinado por la variable dependiente que se

visualiza, y se complementa con las variables independientes que caracterizan

los valores del cuerpo de la tabla. Así la tabla de la practica 1 de esta lección se

denomina de la siguiente manera

“Numero de libros en función de dueño e idioma”


¿Adicionalmente a la denominación de las variables cualitativas y de los

valores de la variable cuantitativa que otra información contiene estas

tablas?

Adicional a las variables, nos deduce valores faltantes usando operaciones

aritméticas

¿Qué tenemos que hacer si no puedo representar una información específica

cuando leo el problema parte por parte?

PRESENTACION DEL PROCESO

Inícienos el trabajo de esta lección con un ejercicio



¿De qué se trata el problema?

De encontrar las profesiones de tres damas

¿Qué variables están presentes?

Hay dos variables cualitativas: nombres de damas8delia,ana y lea) y

profesiones(arquitecta, abogada y medica)

¿Qué otras informaciones están expresadas en el anunciado?

cada una de las damas tiene de esas tres profesiones que son diferentes

entre si

nos relatan dos hechos que aportan información sobre las profesiones de

las damas

¿Qué se preguntan en el problema?

Las profesiones de las tres damas

EJERCICIO 1 las profesiones de delia Ana y lea son diferentes. Ellas son

arquitectas abogadas y medica aunque no necesariamente es en ese orden.

Ana contrato la arquitecta para que le diseñara su casa. Lea le dijo a la

abogada que se iba a reunir con Ana el día siguiente ¿Cuáles son las

profesiones de delia, Ana y lea?


Ninguna de las estrategias particulares anteriores se aplica en este caso .no

tenemos esa variable cuantitativa alrededor de la cual se centraba el problema.

Sin embargo, tenemos una condición nueva que puede ayudar. Relaciones uno de

los nombres. Por ejemplo, Ana, con las tres profesiones

Ana es arquitecta Ana es abogada Ana es medico

Una de esas tres aseveraciones es verdadera, y las otras dos son falsas. Algo

similar se plantea si relacionamos los otros dos nombres con las profesiones. La

información que nos permite establecer cuál de las tres aseveraciones es

verdadera, y cuales falsas, son los hechos que involucran a las damas. Para

procesar la información de los hechos nos puede ayudar una tabla como la

siguiente:

Nombre Delia Ana Lea

ARQUITECTA

ABOGADA

MEDICA

En este caso lo que asentamos en la región sombreada es el valor de la fila. Con

esta estrategia particular podemos iniciar el valor de la columna con el valor de la

fila. Con esta estrategia particular podemos iniciar la lectura parte por parte de la

información planteada en los hechos. El primer hecho es “Ana contrato la

arquitecta para que le diseñara su casa”. Eso significa que Ana y la arquitecta son

personas diferentes, entonces es falso que Ana sea arquitecta, y lo podemos

reflejar en la tabla como sigue:


ARQUITECTA Falso

ABOGADA

MEDICA

Luego podemos afirmar “lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el día

siguiente” lo cual implica que lea no es abogada y también que Ana no es

abogada. Esto podemos reflejarlo en la tabla.



ARQUITECTA Falso

ABOGADA Falso Falso

MEDICA

En este momento podemos hacer algunas deducciones basándose en la

observación de la tabla. Si recordamos las relaciones que hicimos de Ana con las

profesiones, hemos encontrado que dos de ellas son falsas, podemos concluir que

la tercera es verdadera. Entonces Ana es médica. Algo similar ocurre con la fila

intermedia; La única opción que queda para delia es abogada, por lo cual

podemos concluir que delia es abogada.


ARQUITECTA Falso

ABOGADA Verdadero Falso Falso

MEDICA Verdadero

Además, podemos sacar otras deducciones: si delia es la abogada, entonces es

falso que delia sea arquitecta o medica; de la misma manera la médica no puede

ser ni delia ni lea. Y finalmente nos queda que la única opción verdadera de

profesión para lea es arquitecta. Por lo tanto la tabla queda:


ARQUITECTA Falso Falso Verdadero

ABOGADA Verdadero Falso Falso

MEDICA Falso Verdadero Falso

Ahora inspeccionando la tabla, podemos contestar la pregunta: Delia es abogada,

Ana es médica y lea es arquitecta. Verifiquemos y concluimos el problema del

ejercicio

En esta representación generamos una tabla cuyas celdas llenan con dos posibles

valores verdadero o falso a diferencia de las tablas de la lección anterior en las

cuales se colocaban valores numéricos. La variable lógica está implícita en el


enunciado y debe ser definida por la persona que resuelve el problema para usar

esta estrategia particular usando entre las dos variables cualitativas que siempre

están de manera explícita en el anunciado

Los valores que toma la variable lógica que se define con base a las dos variables

cuantitativas son de dos estados verdaderos o falso si o no en general cualquier

par de símbolos. Las tablas no permiten la totalización de columnas i filas. Sin

embargo con frecuencia tienen otras características de gran utilidad: La exclusión

mutua que se da entre los valores de una misma fila o columna cuando esta

característica se da si en una fila o columna una celda tiene el valor de verdadero

entonces los demás celdas son falsas. Esta propiedad facilita la solución celdas en

esa columna o fila falsas.

La condición de excusión mutua depende del enunciado del problema, en el

ejercicio 1 hay tres damas y tres profesiones y se dice que todos tienen

profesiones diferentes; esto obliga a que si uno tiene una profesión ninguna otra

puede tener esa misma profesión o que si una no tiene dos de las profesiones

entonces tiene que tener la profesión que queda disponible .por lo tanto en el

enunciado debe indicarse que no se repiten las profesiones.-

Otro ejemplo, sea la redacción “Ana Eva y Olga tienen entre las tres, tres hijos

pedro Carlos y Luis”. Sí averiguo que pedro es hijo de alga entonces se que no es

hijo de Ana o de Eva porque una persona solo puede ser hijo de una madre pero

no puede afirmar que Carlos y Luis no sean hijos de Olga porque una madre

puede tener más de un hijo y no está excluido en el texto. En este caso solo hay

una excusión mutua para las madres como es natural.

Ahora con la redacción “pedro Carlos y Luis son hijos únicos de Ana Eva y Olga “si

averiguo que pedro es hijo de Olga entonces sé que no es hijo de Ana o de Eva

porque una persona solo puede ser hijo de una madre pero también sé que Carlos

y Luis son hijos únicos es decir no tiene hermanos y por lo tanto porque pedro

Carlos y Luis son únicos hijos en este caso hay exclusión mutua para las madres

como es natural pero también la hay para los hijos por la condición que son hijos

únicos

Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas lógicas

Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dos

variables cualitativas sobre las cuales puede definirse una variables

cualitativas la solución se consigue construyendo una representación tabular

llamada “tabla lógica”



A)

Nombre País Pedro Luis Carlos Raúl

México V

Venezuela V

Ecuador

Chile V

B)


México X

Venezuela V V

Ecuador X

Chile X X

C)


México X X X

Venezuela X X

Ecuador X

Chile

Práctica 1 suponiendo que se aplica la característica de la exclusión mutua

en ambas variables completa las siguientes tablas lógicas


D)


México

Venezuela X

Ecuador V


La posición que juega cada uno de los jugadores


¿Qué posición juega de cada uno de las jugadores?


Los jugadores

¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?

La relación saber qué posición juegan cada jugador

Representación

Nombres Posición Leonel Justo Raul

Portero F V F

Campista F F V

Delantero V F F

Práctica 2 Leonel justo y Raúl juegan en el equipo de futbol de club. Uno

juega de portero otro de centro campista y el otro de delantero se sabe que

Leonel y el portero festejaron el cumpleaños de Raúl Leonel no es el centro

campista ¿Qué posición juega cada uno de los muchachos?


Respuesta

R= Justo es el portero, Leonel es delantero, Raúl es el campista


De los alimentos que comieron


¿Quién comió galletas y que comió Jairo?


Nombres


Comida de cada uno

Representación

Nombres Alimento José Justo Jairo

magdalena F V F

Tostadas F F V

Galletas V F F

Respuesta

R= Justo comió galletas y Jairo comió Magdalenas

Práctica 3 José justo y Jairo desayunaron con comidas diferentes. Cada uno

consumió uno de los siguientes alimentos: magdalenas tostadas y galletas José

no comió magdalenas ni galletas justo no comió magdalenas ¿Quién comió

galletas y que comió Jairo?



De nombres de las niñas


¿Qué color de blusa usa cada una de las niñas?


Nombres y color de blusas


El color de blusas de cada uno

Representación

Nombres Color blanca Rosa Violeta

Blusa violeta F V F

Blusa rosa V F F

Blusa blanca f F v

Respuesta:

R= Blanca lleva loa blusa Rosa, rosa lleva la blusa Violeta y Violeta lleva la blusa

Blanca

Práctica 4 tres niñas una de ellas con una blusa violeta, otra con una blusa rosa

y la tercera con una blusa blanca hablan con la maestra. La niña con la blusa

violeta le dice Nos llamamos Blanca Rosa y Violeta ¨ A continuación, otra de las

tres niñas le dice ¨Yo me llamo Blanca Como puede usted ver, nuestros nombres

son los mismos que los colores de nuestras blusas pero ninguna de nosotras usa

blusas del color de nuestro nombre ¨.La maestra sonríe y dice ¨Pero ahora ya sé

cómo os llamáis ¨ ¿Qué color de blusa usa cada una de las niñas?



Animales


¿Cuál es el nombre de cada animal?


Nombres y Animales


El nombre de cada tipo de animal

Representación

Reflexión

La estrategia de las tablas lógicas es de gran utilidad para resolver tanto acertijos

como problemas de la vida real al ponerlo en práctica debemos ser muy

cuidadosos en cuatro cosas:

1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos

2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta

que tengamos suficiente información para vacilarla en la tabla

3. Concretar los hechos o informaciones que vamos en la tabla

4. Leer las afirmaciones de manera secuencial y cuando agotamos la lista

volver a leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que

hayamos obtenido

Práctica 5 en la casa de Gisela hay un canario un loro un gato y un perro

policía se llaman rampal perico Félix y rin-tin-ton pero no necesariamente es en

ese orden rin-tin-tin es más pequeño que el loro y que Félix el perro es más

joven que perico rampal es el más viejo y no se lleva bien con el loro ¿Cuál es

el nombre de cada animal?


Animal nombres Canario Loro Gato Perro

Rampal F F V V

Perico F V F F

Félix F F F F

Rin-tin –tin V F F F

RESPUESTA:

R= Rampal es el gato, perico es el Loro, Félix es el Perro y el Canario es el Rin

tin tin


Lugar de trabajo de las personas


Nombres y lugar de trabajo


El lugar que trabaja cada persona

Representación

nombre labores Ana luisa Pedro Miguel

Escuela V F F F

Ferretería F F F V

Banco F V F F

Farmacia F F V F

Práctica 6 Piense en estas cuatros personas

1. Sus nombres son Ana, luisa ,pedro ,y miguel

2. Trabajan en una escuela una ferretería ,un banco y una farmacia

3. Pedro es el hijo de la persona que trabaja en la ferretería

4. Ana y la persona que trabaja en la farmacia son hermano-hermana

5. El hijo de la persona que trabaja en el banco trabaja en la

ferretería

6. Luisa no trabaja en la escuela

¿Dónde trabajan cada uno?


Respuesta:

R= Ana trabaja en la Escuela, Luisa trabaja en el Banco, Pedro trabaja en la

Farmacia y Miguel en la Ferretería


De una carrera de autos


¿En qué lugar llego cada corredor?


Países y lugar de competencia


El lugar que obtuvo cada corredor

Representación

Lugar Países Francia Brasil México Argentina Holanda

1 F V F F F

2 V F F F F

3 F F V F F

4 F F F V F

5 F F F F V

Respuesta

R= el corredor de Francia llego en segundo lugar, el de Brasil llego en primero

lugar, el de México llego en tercer lugar, argentina llego en cuarto lugar, y el

competidor de Holanda llego en quinto lugar

Practica 7: en una carrera de autos en la que no hubo empates, participaron

corredores de Francia, Brasil, México, argentina y Holanda. El mexicano llego dos

lugares atrás del brasileño. El francés no gano, pero tampoco llego en último lugar.

El holandés ocupo un lugar después que el argentino. Este último no llego en primer

lugar en qué lugar llego cada corredor



Artistas


¿Cuál es la actividad que realiza Juan, Luis, Miguel y David


Nombres y Artistas


La actividad que ejecuta cada artista

Representación

Actividad de cada artista

nombre Juan Luis Miguel David

BAILARÍN V F F F

PINTOR F F v v

CANTANTE F V F F

ACTOR F F f v

Respuesta:

R= Juan es Bailarín, Luis es cantante, Miguel es actor y David es pintor

Práctica 9 Juan, Luis, Miguel y David son artistas. Averigua la actividad de cada

uno con base a la siguiente información:

a) Son: bailarín, pintor, cantante y actor

b) Juan y Miguel estuvieron entre el público la noche que el cantante debuto

c) El pintor hizo retratos de Luis y el Actor

d) El actor, cuya actuación en “Laida de David” fue un éxito, planea trabajar

en otra obra de teatro semejante a la anterior, pero en relación con la vida

de Juan

e) Juan Nunca ha oído hablar de Miguel


Cierre

¿Qué hicimos en esta lección?

Problemas de tablas lógicas

¿Por qué se llama tablas lógicas?

Porque tienen dos variables cualitativas sobre las cuales puede definirse una

variable lógica con base a la veracidad o0 falsedad de relaciones

¿y cómo son las variables en este tipo de problemas?

Variable cualitativa sobre las cuales puede definirse una variable lógica

¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?

Son de mucha utilidad porque permite resolver problemas que tienen dos variables

cualitativas

¿En qué se diferencia de las tablas lógicas de las tablas numéricas?

Que las tablas lógicas tienen dos variables cualitativas que pueden definirse una

variable lógica y las tablas numéricas tiene una variable cuantitativa que depende

de dos variables cualitativas

Lección 7: Problemas de tablas conceptuales

Introducción

¿En qué consiste la estrategia de representación en dos dimensiones?

En resolver problemas que tienen dos variables cualitativas sean verdadera o falso

o cualquier par de símbolos

¿Qué tipos de representación en dos dimensiones hemos estudiados?

Tabla lógica

¿Cuantas variables interviene en una representación de dos dimensiones?

Dos variables cualitativas con base a la veracidad o falsedad de relaciones entre

variables cualitativas

¿Qué diferencias hay entre las variables que interviene en una

representación de dos dimensiones?


Puede definirse una variable lógica


Consideramos el siguiente ejercicio:




De tres jóvenes que practican los mismos deportes tres diferentes días


¿Qué deportes practica cada uno cada día?

¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?

Tres variables. Nombres de los jóvenes, días de practica y deportes practicado


Los nombres de los jóvenes y los días de práctica

¿Cuál es la variable dependiente? ¿Porque?

El deporte practicado los valores son: natación, gimnasia y yudo

Representación:

Ejercicio 1 Andrés, Carlos y enrique son tres alumnos que piensan en la

importación del ejercicio. Los tres practican deportes y le dedican un día a la

semana a cada uno de los siguientes deportes: natación gimnasia y yudo. Si

practican deportes los lunes, miércoles y viernes, y en cada día cada uno

practican un deporte diferente al de los demás, averigua que deportes practican

los jóvenes cada día con base a la siguiente información:

a) Enrique nada el día que sigue Andrés

b) El que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes

c) Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes


Día Nombre Lunes Miércoles Viernes

Andrés

Carlos

Enrique

Leemos ahora la información suministrada:” Enrique nada el día que sigue a

Andrés. Para esto solo hay dos posibilidades: lunes nada Andrés y el miércoles

enrique o miércoles nada Andrés y viernes enrique como suposiciones de trabajo

Esto podemos representarlo en la tabla como sigue:


Andrés Nada Nada

Carlos

Enrique Nada Nada

No podemos derivar nada más de esa información. La segunda información dice

“el que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes “esto significa

que una persona hace gimnasia el lunes y luego hace yudo el viernes. Estas

suposiciones podemos representados como sigue:


Andrés Nada gimn Nada Yudo

Carlos Gimn Yudo

Enrique Gimn Nada Nada yudo

La tercera información dice: “Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los

viernes”. Esto significa que Carlos practica la natación el viernes que es el deporte

que se practica con traje de baño. Esto significa dos cosas: primero que Carlos

nada el viernes y segundo que la opción de Andrés nada el miércoles y enrique el

viernes es imposible porque el viernes está nadando Carlos. Por esta razón debo


aceptar que Andrés nada el lunes y enrique el miércoles y que solo sobrevive la

opción de que sea enrique el que hace gimnasia el lunes y yudo el viernes ´porque

la tabla queda como sigue:

Con estas tabla puedo derivar que Carlos debe hacer yudo el lunes y gimnasia el

miércoles y que Andrés debe hacer yudo el miércoles y gimnasia el viernes. Todo

eso para cumplir con la condición que cada joven práctica un deporte diferente

cada día finalmente la tabla queda como sigue:


Andrés Nada Yudo Gimnasia

Carlos Yudo Gimnasia Nada

Enrique Gimnasia Nada yudo

Respuesta:

Andrés nada el lunes luego práctica yudo y finalmente el viernes hace

gimnasia

Carlos primero practica yudo luego hace gimnasia y el viernes nada

Y enrique hace gimnasia el lunes nada el miércoles y practica yudo el

viernes

Hemos resuelto el problema aplicando una variante de nuestras estrategia de dos

dimensiones en este caso no tuvimos la variable cuantitativa ni la variable lógica

para una tabla lógica. Ahora tuvimos tres variables cualitativas. La tabla en este

caso no estuvo rellenada por números o valores lógicos sino por valores

conceptuales o semánticos. Por tal razón llamamos estrategia “representación en

dos dimensiones: tablas conceptuales”


Andrés Nada

Carlos Nada

Enrique Gimnasia Nada yudo


En estos problemas no tenemos la exclusión mutua de las tablas lógicas la única

ayuda es cuando conocemos todas las opciones menos una la última podemos

derivarla por exclusión

En estos problemas debemos seguir todas las recomendaciones expuestas en la

lección anterior para las tablas lógicas:

1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones

2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta

que tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla

3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo

4. Leer las afirmaciones de manera secuencial y cuando agotemos la lista

volver a leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que

hayamos obtenido

Generalmente los enunciados de estos problemas que requieren ser resueltos

mediante tablas conceptuales de hechos o planeamientos en el mismo


Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas conceptuales

Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen tres

variables cualitativas dos de las cuales pueden tomarse como independientes

y una dependiente. La solución se consigue construyendo una representación

tabular llamada “tabla conceptual” basada exclusivamente en las informaciones

aportadas en el enunciado.

Practica 1 de un total de nueve personas tres toman la prueba a tres la prueba b

y los tres restantes la prueba c las nueves personas están divididos partes iguales

entre españoles, ecuatorianos y chilenos también de las nueve personas tres son

agrónomos tres físicos y tres médicos de las tres personas que fueron sometidas a

una misma prueba (a, b,c) no hay dos o más de la misma nacionalidad o profesión.

Si una de las personas que se sometió a la prueba a es un médico ecuatoriano y la

prueba c un agrónomo ecuatoriano ¿a qué pruebas se sometieron el medico

chileno y el agrónomo español?



Leer el problema


Pruebas que se sometieron los profesionales


¿a qué pruebas se sometieron el medico chileno y el agrónomo español?


Tres variables (Nacionalidad, Profesión, Tipo de Prueba)


Nacionalidad y Profesiones

¿Cuál es la variable dependiente? ¿Porque?

Tipo de prueba que se sometió cada profesional

Representación:

NACIONALIDAD PROFESION ESPAÑOL ECUATORIANO CHILENO

AGRONOMO A C B

FISICO C B A

MEDICO B A C

Respuesta:

R=El médico español se sometió a la prueba b, EL Ecuatoriano a la prueba A y el

chileno a la prueba C

R=El físico español se sometió a la prueba c, EL Ecuatoriano a la prueba b y el

chileno a la prueba a

R=El Agrónomo español se sometió a la prueba a, EL Ecuatoriano a la prueba c y

el chileno a la prueba b


¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?

Tres pilotos que viajan en diferentes rutas y diferentes días

¿Cuantas y cuales variables tenemos en el problema?

Tres variables (Nombre de los pilotos, rutas de viaje, días de viaje)


Nombre de los pilotos y rutas del viaje

¿Cuál es la variable dependiente?¿porque?

Días de viaje porque es la información que se quiere saber

Representación

PILOTOS RUTAS JOEL JAIME JULIAN

DALAS LUNES MIERCOLES VIERNES

BUENOS AIRES VIERNES LUNES MIERCOLES

MANAGUA MIERCOLES VIERNES LUNES

Respuesta:

R= lunes Joel a dalas, Jaime a buenos aire y Julián a Managua

R= lunes Joel a Managua, Jaime a Dalas y Julián a buenos aire

R= lunes Joel a buenos aires, Jaime Managua a y Julián a Dalas

Practica 2 tres pilotos Joel Jaime y Julián de la línea aérea el viaje feliz con sede

en Bogotá se turnan las rutas de dallas buenos aires y Managua a partir de la

siguiente información se quiere determinar en qué día de la semana viaja cada

piloto a las ciudades antes citadas

a) Joel los miércoles viaja al centro del continente

b) Jaime los lunes y los viernes viaja a países latinoamericanos

c) Julián es el piloto que tiene el recorrido más corto los lunes



Recental de Música


¿En qué orden se presentaron cada uno de los interpretes durante los cuatros

días?


Tres variables (Nombres, Obras y Días)


Las obras y los días de presentación de la obra

¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?

Nombre de quien hizo la interpretación

Representación:

Practica 3 en un recital de la escuela de música se presentaron norma Alicia Héctor y

Roberto se escucharon obras en el siguiente orden de Beethoven, Liszt, Mozart y

Tchaikovski. El recital se presentó de jueves a domingo en cada uno de los días el

orden de los intérpretes cambio, de tal modo que ningún día aparecieron en el mismo

orden además en ningún día repitieron una interpretación del mismo autor. Si el orden

de los autores interpretados no cambio ¿en qué orden se presentaron cada uno de los

interpretes durante los cuatros días? Se sabe que:

a) La interpretación que hizo Alicia de Mozart fue un día antes que la de Liszt

b) Norma abrió magistralmente la presentación del sábado por la noche

c) Héctor en días seguidos se presentó en primero y segundo lugar e inauguró el

recital

d) Tchaikovski fue presentado el viernes por norma

e) Roberto no presento el sábado antes que sus amigos

f) Roberto interpreto a Mozart el mismo día que Héctor interpreto a beethoven


PILOTOS RUTAS Jueves Viernes Sábado Domingo

Beethoven Héctor Roberto

Norma Alicia

Liszt Norma Héctor Alicia Roberto

Mozart Roberto Alicia Héctor Norma

Tchaikovski Alicia Norma Roberto Héctor

Respuesta:

R= El día jueves presento Héctor, con su obra Beethoven, Norma Liszt, Roberto

Mozart, Alicia Tchaikovski

R= El día Viernes presento Héctor, con su obra Liszt, Norma Tchaikovski,

Roberto Beethoven, Alicia Mozart

R= El día Sábado presento Héctor, con su obra Mozart, Norma Beethoven,

Roberto Tchaikovski, Alicia Liszt

R= El día Domingo presento Héctor, con su obra Tchaikovski, Norma Mozart,

Roberto Liszt Alicia Beethoven

Práctica en un concurso de la escuela de Baile se presentaron Carlos, María,

Narcisa y Erick se presentaron los siguientes Bailes Salsa, Merengue, Cumbia y Rock-

Roll. El concurso se presentó de jueves a domingo en cada uno de los días el orden de

los intérpretes cambio, de tal modo que ningún día aparecieron en el mismo orden

además en ningún día repitieron una interpretación del mismo. Si el orden de los

autores interpretados no cambio ¿en qué orden se presentaron cada uno de los artistas

durante los cuatros días? Se sabe que:

g) La interpretación que hizo María de Cumbia fue un día antes que el Merengue

h) Carlos abrió magistralmente la presentación del sábado por la noche

i) Narcisa en días seguidos se presentó en primero y segundo lugar e inauguró el

concurso

j) Rock- rol fue presentado el viernes por Carlos

k) Erick no presento el sábado antes que sus amigos

l) Erick bailo la cumbia el mismo día que Narcisa bailo la salsa



Concurso de Baile


¿En qué orden se presentaron cada uno de los interpretes durante los cuatros

días?


Tres variables (Nombres, Bailes y Días)


Las Bailes y los días de presentación cada uno

¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?

Nombre de quien hizo el Baile

Representación:

bailes días Jueves Viernes Sábado Domingo

Salsa Narcisa Erick Carlos María

Merengue Carlos Narcisa María Erick

Cumbia Erick María Narcisa Carlos

Rock- Roll María Carlos Erick Narcisa

Respuesta:

R= El día jueves presento Narcisa, con su Salsa, Carlos Merengue, Erick cumbia,

y María Rock-Roll

R= El día Viernes presento Narcisa, con su Merengue, Carlos Rock- Roll, Erick

Salsa, y María cumbia

R= El día Sábado presento Narcisa, con su Cumbia, Carlos Salsa, Erick Rock-

Roll y María Merengue

R= El día Domingo presento Narcisa, Rock-Roll, Carlos Cumbia, Erick Merengue

y María Salsa


Veamos un ejemplo de este tipo ampliación de la estrategia de dos dimensiones

con tablas conceptuales o semánticas.


De las esposas, profesión y afición

Reflexión

Estos problemas de tablas conceptuales no tienen características del cálculo

de subtotales y totales de las tablas numéricas, tampoco tiene la característica

de exclusión mutua de las tablas lógicas. Esto las hace que requieran mucha

más información para poder resolverlos. Con frecuencia, con el propósito de

hacer menos tediosos el enunciado, se usa una cuarta variable, normalmente

asociada a una de las variables independientes, que sirven para bifurcar la

información que se aporta sobre la variable asociada.

Por ejemplo, puedo hablar de cuatro personas por su apellido, y digo que hay

dos damas y dos caballeros. O puedo hablar de cinco niños e introduzco la

variable edad de cada niño. O hablo de seis señoras e introduzco una variable

que es el color del cabello, en la forma de tres cabellos rubios y tres de cabello

negro.

Ejercicio 2. Antonio, Manuel, José y Luis son amigos todos casados, con

diferentes profesiones y aficiones. Las esposas son María, Ana, Julia y Luz; sus

profesiones son ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador sus aficiones son

pesca, tenis, ajedrez y golf.

a) Julia, esposa de ingeniero, y Luz, esposa de José son ambas amigas inseparables.

b) El golfista, casado con Luz, no conoce al historiador y comparte con el biólogo algunos conocimientos de interés relacionados con su profesión.

c) Luis se reúne con el ingeniero y con el historiador para discutir asuntos de la comunicación donde viven.

d) Durante el domingo Julia y su esposo visitaron a Manuel y su esposa, quienes mostraron los trofeos ganados por Manuel en los campeonatos de ajedrez; Ana se fue con su esposo el biólogo a jugar tenis. Se pregunta cuáles son las esposas, profesiones y aficiones de los hombres

que se mencionan en el problema.



¿Cuáles son las esposas las profesiones y aficiones de los hombres?


Tres variables profesión, afición y esposa

¿Cuál variable es diferente a las demás?

Esposa

Representación:

Esposa Profesión Afición

Antonio

Manuel

José

Luis

Las esposas son María, Ana, Julia y Luz

Las profesiones son: ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador.

Las Aficiones son: pesca, Tenis, Ajedrez y Golf.

El literal a) habla de do personas de Julia, esposa del ingeniero y de luz, esposa

de José.

El literal b) habla del golfista, casado con Luz. Con lo cual ya sabemos que en una

línea van José, Luz, golf y que no es ingeniero. Como no conoce al historiador y

comparte con el biólogo, entonces es el agrónomo, y la línea queda: José, Luz,

agrónomo y golf


Antonio

Manuel

José Luz Agrónomo golf

Luis

Del literal c) sacamos que Luis es biólogo y que su esposa no es Luz.

Del literal d) sacamos que julia no es esposa de Manuel. Manuel es el aficionado

al ajedrez y Ana es esposa de Luis quien es biólogo y es el aficionado al tenis.



Antonio Julia ingeniero

Manuel ajedrez


Luis Ana Biólogo tenis

Y las celdas restantes pueden deducirse por exclusión.


Antonio Julia ingeniero

Manuel ajedrez


Luis Ana Biólogo tenis

Respuestas:

Por inspección de la tabla podemos contestar la pregunta

En este problema tuvimos cuatro variables. Los caballeros fueron como la variable

independiente, y las otras tres variables dependían del valor de la variable

caballeros; es decir esposa, profesión y afición dependía del caballero.

Practica 4. Mercedes quería pasar siete días en su casa, deseaba visitar a sus amigas y

resolver asuntos pendientes en su ciudad natal. Al llegar encontró a sus amigas Ana, Corina,

Gloria; Juanita, Luisa y Marlene, quienes le habían programado varias actividades. Mercedes

quería comer con ellas el primer día donde acostumbraban a reunirse cuando salían de la

escuela. Después de esta reunión cada amiga tenía la disponibilidad para pasarlo con

mercedes y acompañarla a uno de los siguientes eventos: un partido de futbol, en concierto,

el teatro, el museo, el cine e ir de compras. Con base en la siguiente información encuentre

quien invito a Mercedes y que actividad realizo cada día.

1) Ana, la amiga que visitó el museo y la que salió con Mercedes un día después de ir al cine el lunes, tienes las tres el cabello amarillo.

2) Gloria quien la acompaño al concierto y la dama que paso el lunes con Mercedes, tienen las tres pelo negro.

3) El día que Mercedes paso con Corina no fue el siguiente al día que se correspondió a las tres el pelo negro.

4) Las seis salieron con Mercedes en el siguiente orden: Juanita salió con Mercedes un día después de que esta fue al cine y cuatro días antes de la visita al museo, Gloria salió con Mercedes un día después de que esta fue al teatro y el día antes que Marlene invito a Mercedes.

5) Ana y la amiga que invito a Mercedes a ir de compras tiene el mismo color de cabello.

6) Mercedes visito el teatro dos días después de ir al cine. 7) Ana invito a Merces a salir el miércoles.


Se sugiere usar un formato de la tabla como el que se muestra mas bajo. Las

áreas grises de la izquierda van a ser llenadas con el color del cabello de la amiga

que invita a Mercedes. Las áreas de la derecha van a ser llenadas con los lugares

a donde cada amiga invito a Mercedes. En este caso tenemos una exclusión

mutua porque cada salió con una amiga y fue a un solo lugar.

Se sugiere usar un formato de la tabla como el que se muestra más bajo. Las

áreas grises de la izquierda van a ser llenadas con la edad del chico. Las áreas de

la derecha van a ser llenadas con las actividades que le corresponde hacer cada

chico cada día. En este caso no tenemos una exclusión mutua solo tenemos

completado cuando solo falta una actividad

Edad Nombre del niño

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

9 Delia sacudió Limpio el

piso barrio

Dio de comer

Lavo platos

13 María Dio de comer

barrio Limpio el

piso Lavo

platos sacudió

14 Juan Lavo

platos Dio de comer

sacudió barrio Limpio el

piso

12 Julia Limpio el

piso Lavo

platos Dio de comer

sacudió barrio

10 Miguel barrio sacudió Lavo

platos Limpio el

piso Dio de comer

Cierre

¿Qué lograremos en esta lección?

Resolver problemas sobre tablas conceptuales

Color cabello

Amigas Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Amarillo Ana Teatro

Negro Corina Cine

Negro Gloria Partido

Amarillo Juanita

Amarillo Luisa Compras Museo

Negro Marlene Concierto

Días

Días


¿Qué tipos de problemas resolvimos en la lección?

Problemas de tabla conceptual

¿En que se parecen y no que se diferencia los problemas que resolvimos?

En que los problemas de tablas lógicas tienen dos variables cualitativas sobre la

cual puede definirse una variable lógica

¿Qué lograremos con el estudio de esta unidad?

Logramos resolver tablas numéricas, problemas de tablas lógicas, problemas de

tablas conceptuales y problemas de tablas conceptuales con tres variables

¿Qué aplicaciones tiene los estudios con esta unidad?

Aprender realizar tablas con una, dos tres o cuatro variables

LECCION 8 PROBLEMAS DE SIMULACIÓN CONCRETA Y ABSTRACTA

Introducción

¿Sobre qué trato la primera unidad de este libro?

Introducción a la solución de problemas

¿Sobre qué trataron la segunda y tercera Unidad de este libro?

Problemas de relaciones con una variable y

Problemas de relaciones con dos variables

¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior?

Tablas conceptuales

¿Qué tienen en común todas los tipos de estrategias que vimos en la unidad

anterior?

Que tienen un orden para resolver

¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de problemas

Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos hasta

tanto se presenta otros datos que complementen la información y los permita

procesarlos



Hasta ahora el tiempo no había jugado ningún papel en todos los problemas que

hemos estudiado; a este tipo de evento o situación se les denomina estática.

Ahora vamos a encontrarnos con situaciones que cambian en el tiempo, las cuales

llamaremos dinámicas.

Para entender mejor un fenómeno cambiante podemos ubicarnos en un plano

real y podemos reproducir de manera directa el evento o situación. Esto se

denomina situación concreta. Ahora también podemos apelar a nuestra memoria,

a diagramas y a representaciones simbólicas del fenómeno estudiado, esta

segunda alternativa generalmente requiere de un esfuerzo menor y da lugar a lo

que llamamos una simulación abstracta.

Veamos un ejercicio y comprenderemos este proceso:

Ejercicio 1. La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene dirección norte-sur y tiene

10 metros de ancho la calle. Pedro sale de su casa y camina 30 m ala norte dobla ala

derecha y camina 40 m dobla de nuevo a la derecha y camina 10 m una vez más dobla a la

derecha y camina 30 m. finalmente dobla a la izquierda y camina 20m. ¿Dónde se

encuentra Pedro?

Tenemos un enunciado que da información y

plantea una interrogante. Por lo tanto estamos

ante un problema. Inmediatamente podemos

observar que la posición de Pedro va cambiando a

medida que trascurre el tiempo o sea que estamos

ante un problema dinámico.

Las variables involucradas son dirección de

recorrido y distancia recorrida pero va tomando


valores diferentes a medida que va pasando el tiempo.

Podríamos reproducir o simular el recorrido pero tendríamos que tener un patio

muy grande. Esto sería una representación muy concreta, pero podemos optar por

una representación mediante dibujos y gráficos. Para esto hagamos un diagrama

que nos permita visualizar el problema.

Esta la casa de Pedro, frente a una calle de 10 m de ancho y que tiene una

orientación norte sur. Con este diagrama como guía podemos iniciar la lectura del

problema parte por parte para ir representando los cambios que se describe en el

enunciado es decir iniciamos la aplicación de la

estrategia particular para la solución de este tipo de

problemas.

Pedro se desplaza 30m en dirección norte. Podemos

imaginar a Pedro caminado por la dirección norte –sur

con su cara mirando en el sentido norte.

El recorrido se inicia justo frente a su casa y termina a

30 m del punto de partida en el sentido norte. Está

representado por la flecha negra con la indicación de

30 cm.

Al termino de recorrido de los 30m hacia el norte. Pedro dobla a la derecha y

recorre 40m. Ahora Pedro se desplaza en la dirección este oeste con sentido al

oeste. Luego dobla de nuevo ala derecha y recorre 10m. Ahora regresa a la

dirección norte sur pero ahora con sentido sur. Al termino de los 10m dobla de

nuevo a su derecha y se desplaza 30m regresa a la dirección este oeste y

finalmente dobla a su izquierda y recorre 20m, lo cual está representado con la

quinta flecha.


Hemos completado de vaciar la

información del enunciado del problema.

Como resultado haber usado el

diagrama, ahora podemos visualizar el

recorrido completo que siguió pedro.

Por inspección del diagrama, se contesta

la pregunta acerca de la ubicación de

Pedro. Está a 10 m al este de la puerta

de salida de su casa; también podemos

contestar que está en la acera de

enfrente (cruzando la calle), justo frente

a la puerta de su casa. La primera respuesta es precisa ubicando la posición de

Pedro, la segunda es informal, es un lenguaje coloquial.

Usando el diagrama podemos verificar la exactitud de cada uno de los pasos y del

resultado final de una manera sencilla. Una vez que verifiquemos concluimos con

el problema.

Hemos resuelto el problema utilizando una nueva estrategia que denominamos

simulación. Si la hacemos recorriendo físicamente lo planteado en el problema, la

llamamos simulación concreta.

Si la hacemos, como fue el caso, usando un diagrama con una representación

simbólica de las diferentes acciones que plantea el problema, la llamamos

simulación abstracta. Estas son las estrategias básicas para la solución de

problemas dinámicos.

SITUACION DINAMICA

Una situación dinámica es un evento o suceso que experimenta cambios a medida que

transcurre el tiempo. Por ejemplo, el movimiento de un auto que se desplaza en un lugar A

un lugar B. El intercambio de dinero y objetos de una persona que compra y vende

mercancía.


Práctica 1. Una persona camina por la calle Carabobo, paralela a la calle pichincha: continua

caminado por la calle Chacabuco que es perpendicular a la pichincha. ¿Está la persona

caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?

SIMULACION CONCRETA

La simulación concreta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se

basan en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado.

También se le conoce con el nombre de “puesta en acción”.

SIMULACION ABSTARCTA

Es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en la elaboración de

gráficos, diagramas y presentaciones simbólicas que permiten visualizar las acciones que se

proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción física directa.



Sobre una persona que camina por la calle


¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle

Carabobo?


2 variables (nombre y ubicación de la calle)

Representación:


Práctica 2. Un conductor emprende el ascenso de una pendiente muy inclinada que

además está resbaladiza por las intensas lluvias en la región y que tiene una

longitud de 35 metros. Avanza en impulsos de 10 metros pero antes de iniciar el

próximo impulso se desliza hacia atrás 2 metros antes de lograr el agarre en la vía.

¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la parte

plana de la vía?

Chacabuco

Carabobo Pichincha

Respuesta

R= esta caminando por la calle perpendicular


De un conductor


¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la

parte plana de la vía?


Una variable (metros)

Representación:

Carabobo

Pichincha


1

8

8

8

8

Practica 3. Hay cinco cajas de gaseosas en un lugar y tienen que llevarse a

diferentes sitios como sigue: la primera a 10m de distancia del origen, la segunda

a 20m, la tercera a 30m, y así sucesivamente hasta colocarlas siempre a 10m de

la anterior. En cada movimiento la persona sale del origen, lleva la caja al lugar

que corresponde y regresa al lugar de origen. Este proceso se repite hasta mover

todas las cajas y regresar al punto de origen. Si solo se puede llevar una caja en

cada intento, ¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?


Gaseosas


¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la

parte plana de la vía?


Dos variables gaseosas y los metros que recorre

Representación:


10m 20

20m 40

30m 60

40m 80

50m 100

Practica 4. Un buque petrolero de 200m de eslora avanza lentamente a 200 m

por minuto para pasar un canal que tiene 200 metros de longitud. ¿Cuánto tiempo

se demora el buque desde el instante que inicia su entrada al canal hasta el

instante en que sale completamente de éste?


Buque Petrolero


¿Cuánto tiempo se demora el buque desde el instante que inicia su entrada al

canal hasta el instante en que sale completamente de éste



Dos variables (los metros y las variables)

Representación:

20 cm

200cm

Respuesta:

R= el tiempo que demora el buque es dos minutos

REPRESENTACION MENTAL DE UN PROBLEMA

La elaboración de diagramas o graficas ayuda a entender lo que se plantea en el

enunciado y a la visualización de la situación. El resultado de esta visualización

del problema es lo que se llama representación mental de este. Esta

representación es independiente para lograr la solución del problema.

Cierre

¿Qué estudiamos en esta lección?

Problemas de simulación concreta y abstracta

¿Qué es un problema dinámico?

Es un evento o suceso que experimenta cambios a media que transcurre el

tiempo


¿Qué estrategias utilizamos para resolver los problemas?

Simulación dinámica, simulación concreta, simulación abstracta

¿En qué consiste la simulación concreta?

Es una estrategia para la solución de problemas dinámicas que se basa en una

reproducción física, directa de las acciones que se proponen en el enunciado

¿A qué se refiere la simulación abstracta?

Estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en la elaboración

de gráficos diagramas representaciones simbólicas que permiten visualizar las

acciones y se proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción física

directa

¿Por qué es importante elaborar esos esquemas o diagramas en la solución

de estos problemas?

Porque nos ayuda a entender lo que se plantea en el enunciado y la visualización

LECCION 9 PROBLEMAS DE SIMULACIÓN CONCRETA Y ABSTRACTA

Introducción


Problemas de simulación concreta y abstracta

¿Por qué se llaman dinámicos los problemas de esta unidad?

Porque son fáciles de resolver y entretenidos

¿Cuál estrategia hemos estudiado para comprender y resolver estos

problemas?

Estrategia de Diagrama de Flujo


Presentación del problema

La simulación concreta o abstracta permite representar o reconstruir fenómenos

que se producen al transcurrir del tiempo. El tipo de problema estudiado se

caracteriza por una evolución temporal con un inicio y un final. Otro tipo de

problema que depende del tiempo son los de flujo o intercambio. En este caso se

identifica una variable y se ve cómo va cambiando su valor mediante acciones

repetitivas que se lo incrementan o disminuyen. Por ejemplo, la variable caudal en

el caso de un rio. Con cada afluente el caudal del rio se va incrementando, y con

cada forma de agua (para riego o consumo) el caudal del rio se va disminuyendo.

Problemas de características similares al del caudal del rio son muy frecuentes en

la vida cotidiana. Por tal razón planteamos una estrategia de solución de ese tipo

de problemas dinámicos.

Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.

Tenemos un enunciado que da información y plantea interrogantes. Por lo tanto,

estamos entre un problema. Inmediatamente podemos observar que el punto de

partida es la ciudad de Tejo. Luego vienen las ciudades Pueblo Nuevo y Caicara,

a lo largo de este recorrido tiene varios afluentes y tomas de agua.

Si quisiéramos simular este problema deberíamos hacer un tránsito desde Tejo

hasta Caicara, sin embargo, ese tránsito es muy similar al enunciado del

problema y no nos aporta mucha ayuda para resolver el problema. En este caso el

problema gira alrededor del caudal del Río Verde, y de sus cambios por los

efectos de lolos afluentes y tomas. Podemos representar esta situación con un

esquema como el que sigue:

Ejercicio 1. El rio verde tiene una caudal de 150 m3/s (metros cubitos por

segundo) al pasar por la ciudad Tejo. 5km; aguas debajo de Tejo le

desemboca el afluente Río Azul de 22 m3/s y 7,5km , más adelante queda

la toma para el acueducto del Pueblo Nuevo que consume 10 m3/s,

ubicado 2,5kkm, antes de Pueblo Nuevo. 2,5 km aguas debajo de Pueblo

Nuevo esta la toma del sistema de riego del valle Turbio que demanda 37

m3/s y 10km mas adelante le desemboca el Río Blanco de 55 m3/. 5km

mas debajo de rio pasa por Caicara donde el acueducto consume 15 m3/s

¿Cuál es el caudal del rio Verde después de Caicara? ¿Cuánto es la

disminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto y riesgos

entre Tejo y Caicara? ¿Cuál es la longitud del recorrido del rio entre Tejo y

Caicara?

d


Tejo Pueblo Caicara Nuevo En el grafico se representan los hechos. El Rio Verde con la flecha amarilla que

apunta que apunta en la dirección que fluye el rio. Se muestran las ciudades de

Tejo, Pueblo Nuevo y Caicara, y se indica el caudal del rio en Tejo. Con este

diagrama podemos iniciar la lectura de la información que aporta el enunciado del

problema. Nos habla del afluente Rio Azul a 5km con caudal 22 m3/s, de la toma

para el acueducto del Pueblo Nuevo a 7,5km que consume 10 m3/s, 2,5km antes

de llegar a Pueblo Nuevo.

Tejo Pueblo Caicara Nuevo Continuando la lectura podemos vaciar la información del enunciado del problema

en el gráfico y obtenemos el siguiente diagrama:

Tejo Pueblo Caicara Nuevo Con este esquema podemos abordar las repuestas a las interrogantes que nos

plantea el problema. La primera, ¿Cuál es el caudal del rio Verde después de

Caicara? Para calcular el caudal después de Caicara partimos del caudal en Tejo,

le sumamos el total de todos los afluentes, y le restamos el total de todas las

tomas. Esto nos da:

150 m3/s+ (22 m3/s+55 m3/s)-(10 m3/s+37 m3/s+15 m3/s) =

150 m3/s+77 m3/s-62 m3/s=165 m3/s

¿Cuánto es la disminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto y

riesgos entre Tejo y Caicara? Es la suma de todas las tomas de agua:

10 m3/s+37 m3/s+15 m3/s=62 m3/s

Río Azul

Río Azul Río Blanco

Acueducto

Río Blanco

Toma

Río Blanco


¿Cuál es la longitud del recorrido del rio entre Tejo y Caicara? A partir del gráfico,

por inspección nos da:

5 km+7, 5 km+2, 5 km +10 km+5 km=32, 5 km

También podríamos haberlo hecho construyendo una tabla que no da varios

resultados a medida que la vamos construyendo.

Localización Distancia al

punto previo

Distancia

acumulada

Variación de

caudal

Caudal

acumulado

Tejo 0 km 0 km 0 m3/s 150 m3/s

Desembocadura

del Río Verde

5 km 5 km +22 m3/s 172 m3/s

Toma acueducto

Pueblo Nuevo

7,5 km 12,5 km -10 m3/s 162 m3/s

Pueblo Nuevo 2,5 km 15 km 0 m3/s 162 m3/s

Toma riego del

valle Turbio

2,5 km 17,5 km -37 m3/s 125 m3/s

Desembocadura

del Río Blanco

10 km 27,5 km +55 m3/s 180 m3/s

Toma acueducto

Caicara

5 km 32,5 km -15 m3/s 165 m3/s

Caicara 0 km 32,5 km 0 m3/s 165 m3/s

A partir de la tabla podemos obtener todos los valores que habíamos calculado

antes, pero ahora, también podemos obtener respuesta a otras interrogantes, por

simple inspección, como por ejemplo, ¿Cuál es el caudal del Rio Verde en Pueblo

Nuevo? La respuesta es 162 m3/s.

La elaboración del esquema anterior constituye una estrategia particular para

resolver este tipo de problemas donde se tienen flujos o intercambios. Esta

estrategia se llama de Diagrama de Flujo.

Estrategia de diagramas de flujo

Esta es una estrategia que se basa en la construcción de un esquema o

diagrama que permite mostrar los cambios en la característica de una variable

(incrementos o decrementos) que ocurren en función del tiempo de manera

secuencial. Este diagrama generalmente se acompaña con una tabla que resume

el flujo de la variable.

En el ejercicio trabajado anteriormente la variable que se muestra es el caudal del

rio. Los cambios son originados por los afluentes (aumentos) y las tomas de agua

(decrementos).



Recorrido del bus y los pasajeros


¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas quedan

en el bus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizo el bus?

Representación:

Completa la siguiente tabla:

Parada Pasajeros antes

de parada

# pasajeros que

suben

# pasajeros que

bajan

Pasajeros

después de

parada

1 0 25 0 25

2 25 8 3 30

3 30 4 0 34

4 34 5 15 24

5 24 1 0 17

6 17 0 17 0

Respuesta:

R= en la última parada se quedan 17 personas

R= Se quedan después de la tercera parada 34 personas

R= El buza hizo 6 paradas

Práctica 1. Un bus inicia su recorrido sin pasajeros. En la primera parada se

suben 25; en la siguiente parada bajan 3 y suben 8; en la otra no se baja

nadie y suben 4; en la próxima se bajan 15 y suben 5; luego bajan 8 y se

sube 1, y en la última parada no sube nadie y se bajan todos. ¿Cuántos

pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas quedan en el

bus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizo el bus?

25

0

8

3

4

0

5

15

1

8

0



Tienda de artículos deportivos


¿Cuál fue el saldo de ingresos y egresos de la tienda de Juan al final del

semestre? ¿En qué meses Juan tuvo mayores ingresos que egresos?

Representación:

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Práctica 2. Juan decidió abrir en enero una pequeña tienda de artículos

deportivos. Para esto, en el mes de enero tuvo considerables gastos para

el seguimiento y compra de artículos para la tienda; invirtió 12.000 Um y

solo tuvo 1.900 Um en ingresos producto de las primeras ventas. El mes

siguiente aun debió gastar 4.800 Um en operación pero sus ingresos

subieron a 3.950 Um. El próximo mes se celebró un torneo de futbol en la

ciudad y las ventas subieron considerablemente a 9.550 Um mientras

que los gastos fueron de 2.950 Um. Luego vino un mes tranquilo en el

cual el gasto estuvo en 3.800 Um y las ventas en 3.500Um. el mes

siguiente también fue lento por los feriados y Juan gasto 2.800 Um y

genero ventas por 2.500 Um. Para finalizar el semestre, el negocio estuvo

muy activo por los equipamientos para los cursos de verano; gasto 7.600

Um y vendió 12.900 Um ¿Cuál fue el saldo de ingresos y egresos de la

tienda de Juan al final del semestre? ¿En qué meses Juan tuvo mayores

ingresos que egresos?

1

2

0

0

1

9

0

0

4

8

0

0

3

9

5

0

2

9

5

0

9

5

5

0

3

8

0

0

3

5

0

0

2

8

0

0

2

5

0

0

7

6

0

0

1

2

9

0

0


Completa la siguiente tabla:

MESES GASTOS INGRESOS BALANCE

Enero 12000 1900 -10100

Febrero 4800 3950 -850

Marzo 2950 9550 +6600

Abril 3800 3500 -300

Mayo 2800 2500 -300

junio 7600 12900 +5300

totales 33950 24300 +350

Respuesta:

R= los ingresos son $24300

R= los egresos son $233950

R= en los meses de Marzo Y Junio tuvo mayores Ingresos $22450


De tres amigos que coleccionan cromos de jugadores de futbol. Durante el día

compran, venden, intercambian y se traspasan cromos entre ellos.


Determinar el número de cromos que tiene cada uno al final del día.

Ejercicio 2. Antonio, Alejandro y Arístides son tres amigos que coleccionan

cromos (estampas o barajitas) de jugadores de futbol. Antonio tenía 50

cromos y compro dos paquetes de 5 cromos cada uno. Alejandro tenía 30

cromos y le dio a Antonio 5 de los cromos que tenía repetidos a cambio de

2 que le faltaban. Arístides comienza su colección con 10 cromos, pero

Antonio y Alejandro le regalaron cada uno 5 cromos. Al final del día

Arístides compro un paquete de cromos y Antonio vendió a un familiar 20

cromos de sus cromos repetidos. Al final del día, ¿Cuántos cromos tienen

cada uno?


40

Las variables son el número de cromos y el tipo de transacción. Los tres amigos

no son variables porque están fijos en el proceso.

En este problema tenemos flujo de cromos, pero el flujo no es en una única

dirección como en el rio, sino que cambia de acuerdo con el tipo de transacción y

los amigos participantes.

¿Qué podemos hacer? Tratemos un diagrama donde representamos todos los

participantes indicando el número de cromos que tenía a comienzos del día.

También representamos la primera transacción que es de Antonio. La compra de

10 cromos la podemos representar con una flecha sólida que apunta en la

dirección donde quedan los cromos al final de la transacción. Por tal razón la

flecha la trazamos apuntando hacia Antonio que es donde quedan los cromos.

En la próxima figura seguimos representando otras transacciones usando nuestra

convención del sentido de las flechas. Cambiamos el tipo de flecha para indicar

que son transacciones de diferente tipo. El intercambio entre Alejandro y Antonio

lo representamos con las flechas curvas de dos direcciones, y los regalos de

Antonio y Alejandro de 5 cromos a Arístides los representamos con flechas

segmentadas.

Antonio

Compra

Arístides Alejandro

50

10

10

30

Compra


50

10

10

Antonio

5

2

5

5

Regala

Cambio

Regala


Finalmente, representamos las dos últimas transacciones: la compra de 5 cromos

por parte de Arístides con flecha solida (igual que la compra inicial de Antonio), y

la venta de 10 cromos de Antonio para la cual usamos la flecha punteada.

Ya hemos completado el diagrama correspondiente al enunciado del problema.

Ahora continuamos la estrategia interpretando el grafico para obtener la respuesta

a las interrogantes planteadas en el problema. Debemos recordar nuestra

convención: si la flecha entra a una persona es por esa persona recibe cromos; y

por el contrario, si sale es que pierde cromos. Centrémonos ahora en una persona

determinada, por ejemplo, Antonio. El grafico vemos que tenía 50 cromos, recibe

10 y 5 cromos por las dos flechas que salen de él. 50 más las 15 que nos da 65

cromos, y si a este número le restamos los 25 cromos que pierde, a Antonio le

quedan 40 cromos. Debemos ahora repetir algo similar para los otros os amigos, y

de esta manera, contestar la interrogante del problema. Sin embargo esto

podemos hacerlo de manera muy sencilla con una tabla como en el caso de los

problemas anteriores.

Esta tabla nos permite identificar la respuesta a la interrogante del problema.

Respuesta:

Al final del día Antonio tiene 38, Alejandro tiene 22 y Arístides 25.

A partir de la tabla podemos hacer otras operaciones. Por ejemplo, inicialmente

tenían entre todos 90 cromos, y al final tenían 85 cromos. Esto se debe a que, a

Pesar de que el grupo adquirió 15 cromos, Antonio vendió 20, así que el grupo tuvo una

pérdida neta de 5 cromos.

amigos Cantidad inicial recibe Cantidad final

Antonio 50 20+2+5 38

Alejandro 30 5+5 22

Arístides 10 0 25

Compra


50

10

10

40

Antonio

5

2

5

5

Regala

Cambio

Regala

Vende 20


Cierre


Problemas de diagrama de flujo de intercambio

¿Qué características tienen estos problemas?

Son problemas dinámicos porque tienen variables que aumentan y disminuyen

¿En qué consisten estas relaciones?

En cambios

¿Cómo hicimos para estudiar este nuevo tema durante la lección?

Simulación abstracta

Lección 10 problemas dinámicos. Estrategia medios – fines.

Introducción

En las dos lecciones anteriores de esta Unidad estudiamos la simulación concreta

y abstracta, y trabajamos un tipo de simulación abstracta particular que se llama

“diagrama de flujos”. El nivel de representación mediante relaciones y fórmulas

matemáticas corresponde al más elevado en términos de grado de abstracción.

Una visión detallada de estos niveles escapa del objetivo de este curso, sin

embargo, consideramos importante presentar los fundamentos de este nivel de

abstracción.

Recordemos el ejercicio 2 de la lección anterior. Los tres amigos Antonio,

Alejandro y Arístides coleccionan cromos. Inicialmente tenían un cierto número de

cromos cada uno; se ejerce una acción específica que es la compra de dos

paquetes de 5 cromos cada uno por parte de Antonio. Después de ejecutar la

acción hay un cambio en el número de cromos que tienen cada uno de los amigos

al inicio, después de cada transacción y al final.


# de

Fila Número y tipo de transacción

Cromos de

1 Cromos al inicio del día 50 30 10

2 Primero transacción, compra de 10

cromos por Antonio 60 30 10

3

Segunda transacción, intercambio de

cromos: Alejandro de 5 cromos a

Antonio y recibe 2 de Antonio

63 27 10

4 Tercera transacción, regalo de 5 cromos

de Antonio y 5 de Alejandro a Arístides 58 22 20

5 Cuarta Transacción, compra de 5

cromos por Arístides. 58 22 25

6 Quinta Transacción, venta de 20 cromos

por Antonio a una persona externa. 38 22 25

7 Cromos al final del día 38 22 25

Los tres amigos con sus cromos definen el límite de interés de este problema.

Para distinguirlo del resto del mundo llamamos estos elementos “sistema”. El

sistema sirve para definir el ámbito al que se circunscribe o que contiene el

problema o situación de interés.

Las tres columnas de la derecha en cada fila representan como está la situación

del número de cromos de cada amigo. En la fila 1 hay una situación. En la fila 2

hay una nueva situación diferente a la anterior, y así, se repiten estas situaciones

hasta la fila 7. A esta situación le damos el nombre de “estado”. A la fila 1 la

llamamos estado inicial, a la fila 7 estado final, y a las demás filas estados

intermedios. Cada estado está definido por las características de las variables de

interés en el sistema. En este caso particular hay solo una variable de interés el

número de cromos de cada uno de los tres amigos. Si Antonio está en su casa o

en la calle, sentado o parado, nos tiene sin cuidado. Podemos afirmar que esa

variable permite describir integradamente el estado del sistema.

Antonio Alejandro Alrístides


La columna con las celdas sombreadas nos indican que acciones están

ejecutando los amigos que afectan el estado del sistema, es decir, que producen

cambios en la variable de interés y generan un nuevo estado. A una acción que

genera un nuevo estado lo llamamos “operador”.

Cada una de las celdas identifica el operador que está actuando y que da lugar al

nuevo estado descrito en las columnas de la derecha. En este caso en particular

tenemos los operadores compra de cromos, intercambio de cromos, regalo de

cromos y venta de cromos. Noten que la fila 2 y la fila 5 tienen el mismo operador,

pero actúa sobre diferente persona. Eso significa que cada operador debe ser

descrito especificando todas las condiciones que determinan los cambios que

genera.

Otro ejemplo de sistema puede ser el ascensor de un edificio público. El estado

inicial es el piso de partida y el estado final es el piso de llegada. Los estados

intermedios son los pisos intermedios donde se detiene. En este caso hay dos

operaciones, uno, subir pasajeros y, otro, bajar pasajeros. Sin embargo, con toda

seguridad existe una capacidad máxima para el ascensor, por ejemplo, carga

máxima de 800 Kg o 10 pasajeros. Esto es una limitación en la acción del

operador. Este tipo de limitación es llamada una “restricción”.

Cada situación tiene un sistema que contiene o define los elementos propios de la

situación, tiene una o varias variables que permiten establecer el estado del

sistema, y tiene uno o más operadores, con sus respectivas restricciones, que

generan cambios y que determinan la evolución en el tiempo del sistema. Por esta

razón estas definiciones son aplicables a problemas dinámicos.



Ejercicio 1. Roberto y sus dos hijos, Mario y Víctor, están en una margen de

un rio que desean cruzar. Es necesario hacerlo usando el bote que disponen,

cuya capacidad máxima es de 100 kg. SI Roberto pesa 90 kg y Mario y Víctor

40 kg cada uno, ¿Cómo pueden hacer para cruzar el río?


Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo

tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos identificar los

elementos que se indican en el enunciado:

Sistema: río con tres personas (Roberto con Mario y Víctor) y un bote.

Estado inicial: Roberto, Mario y Víctor en una ribera del rio con el bote.

Estado final: Roberto, Mario y Víctor en la ribera opuesta del rio con el bote.

Operadores: Cruzando del rio con el bote.

Restricciones: capacidad máxima del bote de 100 kg.

¿Cómo podemos describir el estado? Utilicemos la siguiente notación:

(P, N, N, b:: )

Esto significa que los cuatro puntos simbolizan el río. En la ribera izquierda están

Roberto (P), Mario (N), Víctor (N) y el bote (b). Hemos representados los don

niños con la misma letra N porque para efectos del problema son iguales. En la

ribera derecha no hay ningún elemento. Otro ejemplo con la notación (N, b:: P,

N)significa que uno de los hijos ( Mario o Víctor) y el bote están en la ribera

izquierda, y Roberto y el otro hijo están en la ribera derecha.

Ahora debemos revisar el operador. ¿Qué posibilidades existe para cruzar el rio?

Bueno, las posibilidades son:

Bote con 1 hijo (cualquiera de los dos); peso del bote: 40 Kg.

Bote con 2 hijos: peso del bote 80 kg.

Bote con padre; peso en el bote 90 Kg.

Bote con padre y un hijo; peso del bore 130 kg.

Bote con padre y 2 hijos; peso en el bote: 170 Kg.

El peso dentro del bote en las posibilidades 4 (130kg) y 5 (170kg) exceden los 100

Kg de capacidad máxima del bote. Tomando en cuenta la restricción del problema

solo tenemos tres posibilidades para el operador del problema.


A 1 A 2

A 2

A 3

A 2

La evolución en el tiempo resulta de la ejecución de acciones. Para la primera

acción apliquemos el operador al estado inicial. Recordemos el estado inicial:

padre y dos hijos con el bote en la ribera izquierda del rio. La posibilidad 1 significa

que un hijo toma el bote y cruza el rio. La posibilidad 2 significa que los dos hijos

toman el bote y cruzando el rio. Y la posibilidad 3 significa que el padre toma el

bote y cruza el rio. Con cada aplicación del operador surge un nuevo estado. Esto

podemos representarlo como sigue:

(P, N, N, b:: )

(P, N :: N, b ) (P:: N, N, b:: ) (N, N :: P, b)

Este diagrama significa que a partir del estado inicial se generan tres estados

intermedios como resultado de la aplicación de las tres posibilidades del operador

del problema. El estado inicial deja de existir, y en su lugar tenemos tres posibles

nuevos estados, como se ve visualiza en el diagrama.

El resultado de la ejecución de una segunda acción lo obtenemos repitiendo la

acción de aplicación del operador a cada uno de los tres posibles estados

resultantes de la primera acción. Para el estado (P, N :: N, b ), resultante de

aplicar la posibilidad 1, tenemos que solo es posible que el hijo tome el bote y

cruce el rio, con lo cual regresa al estado inicial. Para el estado (N, N :: P, b)

ocurre lo mismo; solo existe la posibilidad 3, que significa que el padre toma el

bote, cruza el rio y regresa al estado inicial. Para el estado (P:: N, N, b:: ) la

situación es diferente. Existe dos alternativas del operador, la posibilidad 2 y la

posibilidad 1; es decir, que los dos hijos tomen el bote, crucen el rio y regresen al

estado inicial, o que uno de los dos hijos tome el bote, cruce el rio y genere el

nuevo estado (P, N, N, b:: ), diferente de todos los estados existentes hasta ahora.

El diagrama se amplía y queda como sigue:


A 1 A 2

A 2

A 3

A 2 A 2

A 2

A 3

A 2

A 1

A 2

A 1

A 2

A 1 A 2

A 2

A 3

A 2 A 2

A 2

A 3

A 2

A 1

A 2

A 1

A 2

A 3

A 2

(P, N, N, b:: )

(P, N :: N, b ) (P:: N, N, b:: ) (N, N :: P, b)

( P, N, b:: N)

En este segundo diagrama se muestran todas las alternativas posibles estados

alcanzados después de ejecutar dos acciones. Podemos destacar los siguientes

cambios, primero, las flechas de retorno que aparecen en las tres fechas iniciales

que teníamos; y segundo, la aparición de una flecha para representar la ejecución

del operador que genera un nuevo estado. Para seguir la evolución en el tiempo

invocamos la ejecución de una tercera acción. En la tercera acción la única

situación novedosa resulta de aplicar el operador al nuevo estado posible que

surgió de la segunda ejecución del operador. Para este estado ( P, N, b::N) hay

dos alternativas de aplicación del operador, la posibilidad 1 (hijo toma el bote y

cruza), con la cual regresa al estado anterior, o la posibilidad 3 (padre toma el bote

y cruza), con la cual se genera un nuevo estado. El nuevo diagrama resultante de

todas las alternativas posibles después de ejecutar tres acciones es:

(P, N, N, b:: )

(P, N :: N, b ) (P:: N, N, b:: ) (N, N :: P, b)

( P, N, b:: N)

( N:: P, N, b)


A 1 A 2

A 2

A 3

A 2 A 2

A 2

A 3

A 2

A 1

A 2

A 1

A 2

A 3

A 2

A 3

A 2

A 1

A 2

A 1

A 2 A 2

A 2

En este tercer diagrama hemos incluido los dos cambios producto de la ejecución

de la tercera acción: el retorno al estado anterior y el nuevo estado resultante de la

aplicación de la posibilidad 3 del operador.

Ya hemos visto cómo actúa el operador con la ejecución de cada acción. Para la

cuarta ejecución si el padre toma el bote y cruza, regresamos al estado anterior,

pero si el hijo toma el bote y cruza, generamos el nuevo estado ( N, N, b:: P). Y

repitiendo el procedimiento descrito ambos hijos toman el bote y cruzan el rio. El

diagrama resultante con la ejecución de las acciones cuarta y quinta es:

(P, N, N, b:: )

(P, N :: N, b ) (P:: N, N, b:: ) (N, N :: P, b)

( P, N, b:: N)

( N:: P, N, b)

( N, N, b:: P).

( :: P, N, N, b)

Para que el grupo cruce el rio deben hacer lo siguiente: primero los dos hijos

cruzan con el con el bote, uno de los hijos se queda en la ribera derecha y el otro

regresa con el bote, entonces el padre cruza el rio, luego el hijo que se quedó


cruza el rio y, finalmente, ambos hijos cruzan el rio para completar el objetivo

planteado.

La estrategia que acabamos de completar se llama Medios – fines, y es la

estrategia más sofisticada para la solución de problemas dinámicos. El diagrama

que completamos se le llama espacio del problema o de la situación planteada.

ESTRATEGIA MEDIO-FINES

Es una estrategia para tratar situaciones dinámicas que consiste en identificar una

secuencia de acciones que transformen el estado inicial o de partida en el estado final

o deseado .para la aplicación de esta estrategia debe definirse el sistema, el estado, los

operadores y las restricciones existentes, luego se constituye un diagrama conocido

como ESPACIO DEL PROBLEMA y la solución consiste en identificar la secuencia

de los operadores que se deben aplicar para el estado inicial como el final.

DEFINICIONES

SISTEMA: Es el medio ambiente con todos los elementos e interacciones existentes

donde se plantea la situación.

ESTADO: Conjunto de características que describen integralmente un objeto, situación o

evento en un instante dado; al primer estado se le conoce como “inicial” al último como

“final”, y a los demás como “intermedios”

OPERADOR: Conjunto de acciones que definen un proceso de transformación

mediante el cual se genera un nuevo estado a partir de uno existente; cada problema puede

tener uno o más operadores actúan en forma independiente y uno a la vez.

RESTRICCION: Es una limitación, condicionamiento existente en el sistema que

determina la forma de actuar de los operadores, estableciendo las características de estos

para generar el paso de un estado a otro.


Sistema:

Rio con dos misioneros y dos caníbales de un bote

Esto inicial:

2 misioneros y dos caníbales en un margen de un rio en un bote

Estado final:

Dos misioneros y dos caníbales en el margen opuesto del rio

Operadores:

Cruzando del rio con bote

¿Cuántas restricciones tenemos en estos problemas? ¿Cuáles son esas

restricciones?

Dos: en un mismo sitio el número de caníbales no puede exceder de misioneros,

la capacidad del bote es de dos personas

¿Cómo podemos describir el estado?

Mmccb:( 2 misioneros, 2 caníbales, bote, rio)

¿Qué posibilidad o alternativas existen para cruzar el rio con el operador

tomando en cuenta la restricción de la capacidad del bote?

1.- Bote con un misionero, capacidad de personas

2.- Bote con dos misioneros, capacidad dos personas

3.- Bote con un caníbal, capacidad de dos personas

4.- Bote con dos caníbales, capacidad dos personas

5.- Bote con un misionero y un caníbal, capacidad dos personas

6.- Bote con dos misioneros 1 caníbal, capacidad dos personas

7.- Bote con dos misioneros y dos caníbales, capacidad dos personas

Practica 1: dos misioneros y dos caníbales están en una margen de un rio que

desean cruzar. Es necesario hacerlo usando el bote que disponen la capacidad

máxima del bote es de dos personas. Existe una limitación en un mismo sitio el

número de caníbales no puede exceder al de misioneros porque, si lo excede, los

caníbales se comen los misioneros.¿ cómo pueden hacer para cruzar los cuatro el

rio para seguir su camino??


¿Qué estados aparecen después de ejecutar la primera acción actuando

con las cinco alternativas del operador? Dibuja el diagrama resultante de

aplicar todas las alternativas del operador al estado inicial?

CCMMB: M.2C:MB

CM::CMB 2C::2M,B

CMMB: C 2MC::C,B

C::CMMB 2M:2C,B

:: CCMMB M,C:M,C,B

::2M,2C,B

2C,2M,B

¿Qué ocurre con la alternativa de que un misterioso tome el bote y cruce el

rio?

Los caníbales comentan a los misioneros

Construye el diagrama después de las consecutivas aplicaciones del

operador. ¿Cómo queda el diagrama?


Problemas dinámicos: estrategia medios fines

¿Por qué es importante la estrategia de medios – fines?

Permite identificar una secuencia de acciones que transformen el estado inicial en el estado final deseado

¿Qué elementos intervienen en la solución de un problema con la estrategia medios – fines?

Sistema, estado, operador, y restricción

MMCCB

MC::M,CB

2M,2C,B

C::2M,B

2M,C,B::C

M,C,B::MC

::2M,2C,B


Unidad V: Solución por búsqueda exhaustiva

JUSTIFICACIÓN:

La búsqueda exhaustiva es una estrategia que se utiliza para resolver problemas

en los cuales no es posible hacer una representación a partir de su enunciado. En

este tipo de problemas generalmente se identifican características de solución, y

en base a estas características se procede en proceso de búsqueda sistemática

de una respuesta.

El proceso que se sugiere en esta estrategia es una búsqueda ordenada o

disciplinada, que nos permite evitar la prueba al azar con los consiguientes

resultados negativos y a veces frustrantes.

Existen dos caminos para manejar esta búsqueda sistemática y ordenada de una

respuesta. La primera es generando respuestas tentativas a la cuales sometemos

a un proceso de verificación para validar cuales son la solución o soluciones

reales,: la segunda es construyendo paso a paso una respuesta que cumpla con

las características planteadas en el enunciado del problema.

A la primera alternativa se le denomina “Tanteo sistemático por acotación del

error”, o simplemente “acotación del error” por estar implícito en el tanteo al

generar soluciones tentativas. Este esquema tiene dos momentos, el primero, con

la construcción de una tabla de soluciones tentativas, y el segundo momento con

la validación para determinar cuáles de ellas son realmente soluciones. El tanteo

sistemático consiste en definir ordenadamente el conjunto de todas las soluciones

tentativas del problema. Para la selección de la respuesta es importante seguir

una estrategia apropiada que nos ayude a manejar los números generalmente

elevados de soluciones tentativas hasta encontrar la que se ajusta a los

requerimientos del problema, que es la llamamos respuesta definitiva o real.

La segunda alternativa se le denomina “búsqueda exhaustiva por construcción

de soluciones”, o simplemente “construcción de soluciones”. Este esquema

depende de las características particulares descritas en el párrafo anterior.

OBJETIVOS:

A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:

1. Aplicar las estrategias de búsqueda en la resolución de problemas.

2. Reconocer los tipos de problemas que admiten el uso de esta estrategia.

3. Comprender la utilidad de la estrategia que nos ocupa.


Lección 9 problemas de simulación concreta y abstracta

Introducción

¿Sobre qué trato la primera unidad de este libro?

Introducción a la solución de problemas.

¿Sobre qué trataron la segunda y tercera unidad de este libro?

Problemas de relación con una y dos variables.

¿Sobre qué trato la cuarta unidad de este libro?

Problemas relativos a eventos dinámicos.

¿Qué tienen en común todas las unidades estudiadas?

Resolución de problemas

¿Cuál es la estrategia general para la solución de un problema?

Leer bien el ejercicio, separar los datos, hacer una representación gráfica y aplicar

bien las reglas según el caso de problema.

Presentación del problema

Hasta ahora siempre hemos combinado la información del enunciado para generar

un diagrama, un esquema o una representación tabular a partir de la cual

generábamos una respuesta, generalmente por inspección. En este caso vamos a

encontrarnos con enunciados diferentes que no nos permitan ese tipo de

representaciones.


Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo

tanto, estamos ante un problema. El problema consiste en averiguar cuantos

Ejercicio 1. En un corral un granjero tiene conejos y gallinas. Un niño le

pregunta ¿Cuántos animales tienen de cada uno? El granjero, que le gusta

jugar bromas, le contesta: “son 16 animales entre gallinas y conejos, por lo

menos hay 2 gallinas y conejos, y el número total de patas es de 52”. ¿

cómo puede el niño averiguar el número de animales de cada tipo?


conejos y gallinas hay en el corral. A partir del enunciado podemos sacar la

siguiente información: que son conejos y gallinas, que hay al menos dos de cada

uno, que el número total de animales es 16 y que el número de patas es de 52.

La solución tentativa es un número de conejos entre 2 y 14 y un numero de

gallinas entre 2 y 14 y que sumen 16. Esto podemos verlo mejor si lo

representamos como sigue:

Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

La solución está entre esos trece pares de números. Hemos usado la información

que hay por lo menos 2 conejos y 2 gallinas. ¿Cuál es la respuesta? No sabemos.

Solo sabemos que esas son todas las soluciones tentativas para el problema. La

respuesta tiene que ser una de ellas.

¿Cómo podemos averiguar la respuesta real? Ahora podemos que otro dato era el

número de patas. Como es conocido que los conejos tienen 4 patas y las gallinas

2, podemos usar esta información, para determinar la respuesta. Podríamos hacer

13 veces este cálculo, peor si queremos ahorrar tiempo y trabajo, hagámoslo por

parte. Primero calculamos los valores de los extremos para verificar que la

solución está ahí.

Sumando el número de conejos por 4 con el número de gallinas por 2 obtenemos

el número de patas. 22patas en el caso de 2 conejos y 14 gallinas; y 64 patas en

el caso de 14 conejos. Efectivamente, el numero de 52 patas está contenido en el

listado de soluciones tentativas. Ahora, para continuar con nuestro ahorro de

tiempo y trabajo, probemos el punto medio del listado, esto es, probemos el par de

8 conejos y 8 gallinas. Nos da 48 patas.

Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Número de patas

22 48 64

Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Número de patas

22 64


Esto nos indica que la solución está entre 9 conejos y 7 gallinas, y 13 conejos y 3

gallinas(ya sabemos que los pares 8 y 8, y 14 y 2 no son respuestas validas, son

solo soluciones tentativas. Ahora probamos el punto medio del intervalo indicado

anteriormente. Esto es, el par de 11 conejos y 65 gallinas. Nos da la operación 54

patas. La representación queda como sigue:

Conejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Número de patas

22 48 54 64

Ahora podemos afirmar que la solución es 9 conejos y 7 gallinas, o 10 conejos y 6

gallinas. Como 52 está más cerca de 54 que de 48, probemos primero 10 conejos

y 6 gallinas. Obtenemos 52 patas. Exactamente el número que buscábamos.

Entonces podemos concluir que la respuesta es que el granjero tiene 10 conejos y

6 gallinas en el corral. Este par de números cumple todas las condiciones del

enunciado: son conejos y gallinas, mas d e2 de cada tipo de animal, son 16

animales y tienen 52 patas.

Muy importante, solo tuvimos que hacer 5 evaluaciones del número de patas. Esto

se debe a que nos fuimos guiando por el error que obteníamos cuando

calculábamos el número de patas. Nos movíamos en la dirección de hacerlo

menor; era como encerrar la solución en un rango que era cada vez más pequeño,

hasta que llegamos al valor que era la respuesta al problema.


Estrategia de tanteo sistemático por acotación del error

Es tanteo sistemático por acotación del error consiste en definir el rango de todas las

soluciones tentativas del problema, evaluamos los extremos del rango para verificar

que la respuesta esta ene el, y luego vamos explorando soluciones tentativas ene l

rango hasta encontrar una que no tenga desviación respecto a los requerimientos

expresados ene l enunciado del problema. Esa solución tentativa es la respuesta

buscada.


¿Cuál es el primer paso para resolver el problema?

Leer el problema y sacar información

¿Qué tipos de datos se dan ene le problema?

12 niños compraron caramelos 4 um y chocolates 2um

¿Que se pide?

Cuántos caramelos y chocolates compraron los niños si gastaron entre todos 40

Um

¿Cuáles podrían ser las posibles soluciones? Haz una tabla con los valores.

Caramelos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Chocolates 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Valor total 40

¿Qué relación nos puede servir para determinar si una posible respuesta es

correcta? ¿Qué pares de posibles soluciones debemos evaluar para

encontrar la respuesta con el menor esfuerzo?

Extremos y medios

¿Cuál es la respuesta?

R= 8 chocolates y 4 caramelos

¿Qué estrategia aplicamos en esta práctica?

Acotación del error

Practica 1: en una máquina de venta de golosinas 12 niños compraron

caramelos y chocolates. Todos los niños compraron solamente una

golosina. Los caramelos valen 2Um y los chocolates 4Um ¿Cuántos

caramelos y chocolates compraron los niños si gastaron entre todos 40

Um?


Haz la practica ahora. El espacio en blanco que sigue es para que anotes más

ayudas que necesites para adivinar el número que te toque. No sigas leyendo

hasta completar la práctica

Estrategia binaria para el tanteo sistemático

El método seguido para encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correcta se

llama estrategia binaria. Para poder aplicar esta estrategia hacemos lo siguiente:

Ordenamos el conjunto de soluciones tentativas de acuerdo a un criterio. Por ejemplo, el

número de conejos, o el numero chocolates o caramelos.

Luego le aplicamos el criterio de validación (el número de patas o el costo de las golosinas a los

valores extremos para verificar si es un uno de ellos la respuesta, o que la respuesta es una

soluciones intermedias.)

Continuamos identificando el punto intermedio que divide el rango en dos porciones y le

aplicamos la validación de dicho punto. Si esa no es la solución, entonces podemos identificar

en que porción del rango esta la respuesta. Como resultado de este paso terminamos con un

nuevo rango que tiene la mitad de soluciones tentativas que tiene el rango original. Repetimos

el paso anterior comenzando para identificar el nuevo punto intermedio que divide el nuevo

rango en dos porciones y repetimos la validación en ese punto. Si no hemos acertado la

respuesta, terminamos con otro nuevo rango que tienen la cuarta parte de las soluciones

tentativas que tienen el rango del inicio del problema.

Repetimos esto hasta encontrar la respuesta al problema.

Este método es muy efectivo para descartar soluciones tentativas incorrectas. El número de

evaluaciones necesarias con este método es como sigue:

Numero de soluciones tentativas

2 4 8 16 32 64 128 256 1024

Numero de evaluaciones para obtener la respuesta

1 2 3 4 5 6 7 8 10

Practica 3: esta práctica consiste en un juego. Seleccionar do alumnos.

Uno piensa un número entre 1 y 128ambos incluidos que lo va a escribir

en un papel que mantienen guardado. El otro alumno trata de adivinar el

numero; para esto solo puede hacer preguntas cuya respuesta sea un “si”

o un “no” anota el número de preguntas que hizo cada uno de los alumnos

que adivinaba el número. Discutir los resultados.


Si la persona responde en menos de 7 preguntas hay 2 alternativas, o el número”

o la persona tiene mucha suerte adivinando.

Si la persona gasto 8 o más preguntas es que no aplico correctamente la

estrategia binaria. ¿Cómo debe hacerlo para que solo requiera, a lo sumo, 7

preguntas?

A) 3 5 4 6 2= 31

Si pongo todos +, queda 3+5+4+6+2= 20, demasiado pequeño, tengo que

multiplicar.

Si pongo todos x, queda 3 x 5 x 4 x 6 x 2= 720, demasiado grande. Como 31 está

más cerca de 20 que de 30, voy a ensayar soluciones con 3 sumas y 1

multiplicación. Tengo cuatro alternativas:

a) 3+5+4+6x2= c)3+5+4x6+2=

b) 3+5x4+6+2= d) 3x5+4+6+2=

Ahora aplicamos el criterio que nos permita verificar si la alternativa es válida o no.

La alternativa c) la suma es 31, con lo cual es una posible respuesta. No sabemos

si existen otras respuestas igualmente válidas. ¿Qué pasa si ninguna de estas

alternativas es correcta?

Determine pasar a ensayar las alternativas con 2 sumas y 2 multiplicaciones.

Estas son:

a) 3+5+4+6x2= d)3+5+4x6+2=

b) 3+5x4+6+2= e) 3x5+4+6+2=

c) 3+5x4x6+2= f) 3x5x4x6+2=

Y en el caso que ninguna de estas sea una respuesta, hay aún más alternativas

de posibles soluciones considerando 1 suma y 3 multiplicaciones.

Practica 4: coloca signos + y x entre los números indicados para que la

igualdad sea correcta. Dale prioridad a la operación de multiplicación, es

decir, primero multiplica, y luego suma todos los términos al final.


a) 3+5x4x6x2= c)3x5x4+6x2=

b) 3x5+4x6x2= d) 3x5x4x6+2=

En total podemos armar 16 alternativas de posibles soluciones.

B) 8 * 2 + 5 =21

C) 7 * 5 + 2 * 6 =47

D) 9 + 4 * 6 + 2 =35

E) 4 * 2 + 3 * 7 + 5 =34

Cierre


Problemas de tanteo sistemático por acotación del error

¿En qué consiste la estrategia de acotación del error?

Consiste en definir el rango de todas las soluciones tentativas del problema,

evaluamos los extremos para verificar que la respuesta está en el

¿En qué consiste la estrategia binaria para el tanteo sistemático?

Encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correcta

LECCIÓN 12 PROBLEMAS DE CONSTRUCCION DE SOLUCIONES

Introducción

¿Cuál fue la estrategia que estudiamos en la lección anterior?

La estrategia binaria para el tanteo sistemático

¿De qué trata esta estrategia?

Encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correcta


La estrategia del tanteo sistemático es un proceso de ensayo y error, es decir,

ensayamos una solución tentativa, si es esa, tenemos la respuesta, y si no es,

vamos moviendo en una dirección que vamos encerrando la respuesta en un


rango cada vez más pequeño, hasta encontrar la respuesta. Ahora tenemos

problemas para los cuales no es posible armar una solución tentativa. En este

caso en lugar de hacer el listado de soluciones tentativas, es mas practico tratar

de armar la respuesta que cumpla con los requerimientos del enunciado del

problema.


En este problema la información que tenemos es que vamos a usar los 9 números

que hay del 0 al 8 para llenar los recuadros de la figura, con la condición de que

todas las filas, columnas y diagonales sumen 12.

Si queremos construir esa figura, con esa condición no podemos colocar

cualesquiera tres números entre el 0 y el 8 en una fila o columna. Tiene que sumar

12. Entonces un primer paso debería ser buscar todas las ternas de números del 0

al 8 que suman 12. Vamos a ver como construimos de manera sistemática y

organizada esas ternas.

1

Iniciamos con 0 y 1, pero entre el 0 y el 8 no hay un tercer número que nos da

la sumas 12. Tomando en cuenta que el mayor número es 8, entonces el

número del medio es 4. 0 4 8

2 Ahora, dejando fijo el 0, podemos aumentar en 1 el 4 y disminuir en 1 el 8.

Nos queda otra terna. 0 5 7

3

Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 0 6 6 y no podemos

repetir números. Esas son todas las ternas que tiene el 0. Para seguir, la única

opción es pasar el número 1 en el inicio. Colocando 2 de segundo tampoco

hay un tercero que nos sirva. Así que repetimos lo que hicimos en el primer

paso, primero 1, tercero el 8 y vemos cual es el menor número que puede

completar la terna. Es el 3. 1 3 8

4 Repetimos el paso 2, pero dejando fijo el 1. Podemos aumentar en 1 el 3 y 1 4 7

Ejercicio 1. Coloca los dígitos del 0 al 8 en los cuadros de la figura de abajo, de forma

tal que cada fila, cada columna y cada diagonal sumen 12.


disminuir en el 1 el 8. Nos queda otra terna.

5 Repetimos el paso anterior. Podemos aumentar en 1 el 4 y disminuir en 1 el 7.

Nos queda otra terna. 1 5 6

6

Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 1 6 5. En este caso es

la misma terna del caso anterior. Cuando las construimos, siempre llevamos

los números en orden creciente para no repetir ternas. Esas, entonces, son

todas las ternas que tienen el 1 al comienzo, Para seguir, la única opción es

pasar al número 2 en el inicio. Colocando 3 de segundo, el 7 es el tercero para

que la terna sume 12. Así obtenemos una nueva terna. 2 3 7

7 Repetimos el paso 2, pero dejando fijo el 2. Podemos aumentar en 1 el 3 y

disminuir en el 1 el 7. Nos queda otra terna. 2 4 6

8

Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 2 5 5 y no podemos

repetir números. Esas son todas las ternas que tiene el 2. Para seguir, la única

opción es pasar el número 3 en el inicio. Colocando 4 de segundo, el 5 es el

tercero para que la terna sume 12. Así obtenemos una nueva terna. 3 4 5

9 Ahora no podemos aumentar el segundo y disminuir el tercero porque

rompemos el orden creciente de los números de la terna. Tampoco podemos ir

al próximo número porque el tercero sería menor que el segundo.

A la derecha tenemos la lista de las 8 ternas posibles para llenar filas

de la figura. Lo primero que debemos notar es que el número de las

ternas es igual al número combinado de filas, columnas y diagonales,

es decir, 3 filas, 3 columnas y 2 diagonales. De tal forma que lo único

que nos queda es distribuir estas ternas en la figura.

Si pensamos en llenar por filas, necesitamos tres ternas que no

repitan números ya que debemos usar los nueve números. Por

inspección encontramos que hay dos grupos de 3 ternas que no

repiten número, estas son las siguientes.

0 4 8 0 5 7

1 5 6 1 3 8

2 3 7 2 4 6

0 4 8

0 5 7

1 3 8

1 4 7

1 5 6 2 3 7

2 4 6

3 4 5


Para decidir dónde y cómo colocamos las ternas que

hemos

Seleccionado de la lista de 8 ternas, observemos que

el 0, el 2, el 6 y el 8 solo figuran en dos ternas; y en

la figura los recuadros encerrados en el círculo

amarillo solo participan en dos sumas que dan 12.

También podemos observar que el 4 es el único número que participan en 4

ternas y que el cuadro del centro está en cuatro sumas a 12. Entonces parece

natural que ubiquemos el 4 en el centro y los otros cuatro de la izquierda, la fila del

medio debe ser con la terna 0 4 8; y con el grupo de la derecha, la fila del medio

debe ser 2 4 6.

Sigamos con las dos soluciones en paralelo para ver las diferencias que tienen

entre ellas. Luego en las otras dos filas debemos poner en el centro los números 2

y 6 para el grupo de la izquierda, y 0 y 8 para el grupo de la derecha sigue:

2

0 4 8

6

Luego solo nos queda completar las dos alternativas de solución que vamos

construyendo. El criterio para completar las figuras es que se cumpla que la suma

de columnas y diagonales sea 12, ya que la sima de la fila está garantizada

porque estamos trabajando con las ternas para las tres filas.

= 12 = 12

= 12

= 12

= 12

= 12

= 12

= 12

= 12

= 12

= 12

= 12


Muy bien, hemos construido dos soluciones que cumplen las condiciones del

enunciado. Las respuestas son prácticamente la misma. Las diagonales son

iguales. La única diferencia es respecto a la forma como distribuimos los primeros

5 números, que hay dos alternativas diferentes.

La estrategia demostrada anteriormente difiere del tanteo sistemático en que en

este caso nunca hemos tenido soluciones tentativas. El proceso ha sido un de

construcción paso a paso de una respuesta al problema planteado en el

enunciado. Esta estrategia tiene un carácter particular porque cada problema

requiere de una metodología específica para la construcción de su respuesta.

Estrategia de búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones

La búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones es una estrategia que

tiene como objetivo la construcción de respuestas al problema mediante el

desarrollo de procedimientos específicos que dependen de cada situación. La

ejecución de esta estrategia generalmente permite establecer no solo una

respuesta, sino que permite visualizar la globalidad de soluciones que se ajustan

al problema.


¿Cuáles son las ternas posibles?

159 168

249 258

267 348

357 456

¿Cuáles grupos de tres ternas sirven para construir la solución?

159 168

267 249

258 357

¿Cómo quedan las figuras?

Estrategia de búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones

En este tipo de problemas donde se aplica la búsqueda de soluciones (por acotación o por

construcción de soluciones) primero que se hace es la búsqueda de la información que

vamos usar. En primer lugar se busca la información en el enunciado del problema. En

las prácticas anteriores la forma de la figura, los números que vamos usar y la condición

que se le impone están todos en el anunciado.

Sin embargo, también podemos extraer información a partir de la solución que se pide en

el problema. Por ejemplo, en la practica 2 de esta lección la información de que

hay un número participando en 4 ternas diferentes de la figura es extraída de la

solución.

Practica 1: coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo, de

forma tal que cada fila, cada columna y cada diagonal sumen 15


El enunciado solo nos plantea que reemplacemos las letras por número para que

la operación sea correcta. El resto de la información tiene que salir de la

respuesta.

En primer término tenemos que A + D = D. Eso solo es posible si A es cero.

En segundo término tenemos que la suma de D + D tiene dos alternativas, o es

cero, o es 10, ya que la suma puede tener dos dígitos. Pero para que fuese cero

tendría que ser D cero lo cual no se puede. Por lo tanto, la suma debe ser 10, con

lo cual de D es cinco.

En tercer término tenemos O + O es D. Podríamos decir que O es 2.5 pero eso no

es válido.

Hemos olvidado algo, la columna a la derecha sumo 10, así que en la operación

debemos llevar 1. Lo que debimos escribir es 1 + O + O = D, es decir que O + O =

D – 1 = 4, ya que D es 5. Por lo tanto O es dos.

Reemplazamos los valores para verificar la respuesta nos da:

2 5 0 +

2 5 5 5 0 5

Esta es una operación matemática. Por lo tanto es la respuesta de ejercicio.

Ejercicio 2. Identifica los valores de números enteros que corresponden a las letras A, D

y O para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único

valor.

O D A

+

O D D

D AD


El enunciado solo nos plantea que reemplacemos las letras por los números para

que la operación sea correcta. El resto de la información tiene que salir de la

respuesta.

En primer término observamos que tenemos S + S = U y O + O = U. ¿Es posible

que dos números diferentes den el mismo número? Hagamos la tabla que sigue

para ayudarnos.

Primer número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Segundo número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Suma de los dos números (el 1 se lleva a

la columna de la izquierda)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Veamos que el 1 + 1 da 2, pero el 6 + 6 da 12. Coloco el 2 y llevo 1. De esta forma

S y O pueden ser los pares (0 y 5), (1 y 6), (2 y 7), (3 y 8) y (4 y 9). Noten que en

los pares el primer número esta entero 0 y 4 y el segundo entre 5 y 9. Las sumas

de los número del 5 y 9 consigo mismo llevan 1 a la columna de la izquierda. Esto

nos obliga a que el número a colocar en la primera columna de la derecha debe

ser el número menor del par. Si colocamos el mayor llevaríamos un 1 adicional

para la suma de la segunda columna, con lo cual las sumas de las dos columnas

no tendrían el mismo resultado. También se desprende de la operación indicada

en el enunciado que U debe ser un número par.

Entonces, O es un numero entre 0 y 4. Con esa información podemos encontrar

los valores correspondientes a la U. El valor cero hay que descartarlo porque cero

Ejercicio 3. Identifica los valores de números enteros que corresponden a las letras O, S

y U para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único

valor.

O S O

+

U S O

S U U


más cero en la primera columna debería dar cero también y veamos la suma del

enunciado que suma de la primera columna es un numero diferente al de los

términos de la suma.

O 0 1 2 3 4

U 0 2 4 6 8

Luego que tenemos los posibles valores de O con U, podemos determinar los

valores correspondientes para la S.

O 0 1 2 3 4

U 0 2 4 6 8

S 6 7 8 9

Finalmente podemos calcular el resultado de sumar O con U y el 1 que llevamos

de la segunda columna a la tercera columna.

O 0 1 2 3 4

U 0 2 4 6 8

S 6 7 8 9

O + U + 1 4 7 10 13

A partir de esta última tabla podemos eliminar los valores de 3 y 4 para la O

porque la suma tiene un valor superior a 9 y eso obligaría a tener un cuarto digito

que no es el caso a partir del enunciado. También debemos hacer notar que debe

cumplirse que O + U + 1 debe ser igual a S. Eso solo se da para el valor 2 para O.

Por lo tanto podemos descartar los valores 1, 3 y 4 de la O en la tabla.

Reemplazando los valores en la operación para verificar la respuesta nos da:


2 7 2 +

4 7 2 7 4 4

Esta es una operación matemática correcta. Por lo tanto es la respuesta al

ejercicio. En esta práctica obtuvimos una respuesta única, sin embargo existen

casos en los cuales puede haber más de una solución. Algunas ayudas en este

tipo de problemas:

Cuando se suman dos números iguales en la primera columna de la

derecha el resultado de la suma es un número par, como se muestra en la

tabla que hicimos en el ejercicio 3.

Cuando se suman dos números iguales en otras columnas diferentes a la

primera de la derecha el resultado de la suma es un numero par si la suma

de la columna a la derecha es menor de 10, y es un número impar si la

suma de la columna a la derecha es igual o mayor a 10.

Si en una columna los dos sumandos son iguales entre si y también son

iguales al resultado, hay dos posibilidades: si no se lleva de la columna

anterior, es 0 + 0 = 0; y si se lleva 1 de la columna anterior, es 1 + 9 + 9 =

9 y llevo 1 para la columna de la izquierda.

A medida que voy identificando número o relaciones entre ellos puedo ir

construyendo una tabla que me ayuda a descartar posibles soluciones que

tengan para dos letras diferentes un mismo valor numérico

849

849

1698

Practica 1: identificar los valores de números enteros que corresponden a las letras

para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único valor

ATE

ATE

OSEA


731

733

1464

CIERRE


Problemas de construcción de soluciones

¿Cuántos tipos de problemas estudiamos?

Por acotación por construcción de problemas

¿En qué consiste la estrategia utilizada en esta lección para resolver los

problemas?

La búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones es una estrategia que

tiene como objetivo la construcción de respuesta al problema mediante el

desarrollo de procedimientos específicos

¿Qué pasa si no resolvemos estos problemas de manera sistemática,

siguiendo un orden estricto?

La respuesta seria errónea

¿Cómo me ayuda el aprendizaje de la estrategia construcción sistemática de

soluciones?

Me ayuda a encontrar soluciones de estrategias mediante procedimientos

específicos

Practica 1: identificar los valores de números enteros que corresponden a las letras

para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único valor

TQM

TQQ

MAJA


Lección 13 problemas de búsqueda exhaustiva, ejercicios de consolidación

Introducción


Problemas de construcción de soluciones

¿Cuál estrategia hemos estudiado para resolver estos problemas?

La búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones

Práctica del proceso

¿Qué información puedes obtener del enunciado?

El producto de las edades 36 y 3 hijas

¿Cuáles son las ocho posibles tres edades cuyo producto sea 26? (factores

de 36= 3x3x2x2x1).

Edades Producto Suma

Hija 1

6 9 18 3 9 12 36 6

Hija 2 3 2 2 3 4 1 1 6

Hija 3 2 2 1 4 1 3 1 1

total 36 36 36 36 36 36 36 36

¿Qué significa lo que Pedro le dice “que tuvo tres hijas porque no quería

tener una hija única”.

Que la primera hija es mayor y las demás son gemelas

Respuesta:

Practica 1. El señor pedro le pide a un compañero de trabajo que adivine

la edad de sus tres hijas. Le da como información que el producto de las

edades es 36, y que la suma de las edades es igual al número de

empleados de la empresa. El compañero le dice que no tiene suficiente

información y Pedro le dice que tuvo tres hijas porque no quería tener una

hija única. ¿Cuáles sin las edades de cada una de las hijas?


R= las edades de las hijas de pedro son 9.2.2

13

13

13 13

Datos:

Dígitos del 1 al 9

Suma 13

Posibles ternas:

139 247

148 256

157 346

238

Respuestas:

R= 139, 247, 148,256

Practica 2: coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo,

de forma tal que cada una de las cuatro direcciones indicadas sume 13.

2 1

7 8

4

5

6

3

9


A

B 7

12 6 D

14

E

F

7

G 11 9 I

5

A

¿Qué valores pueden tener A y C?

A= 2

C= 5

Practica 4: el diagrama está formado por 10 círculos, cada uno de ellos

contiene una letra. A cada letra le corresponde un digito del 1al 9. Los

números colocados en las intersecciones de los círculos corresponden a la

suma de los números asignados a los dos círculos que se encuentran (por

ejemplo, B y C deben de ser dos números que sumados dan 12). ¿Qué

numero corresponde a cada letra?

HH

¿Qué relaciones puedes sacar de la figura?

A+C=7 F+H=7 B+C=12 G+H=11 D+C=6 I+H=9 E+C=14 A+H=5 ¿Cómo derivamos la relación siguiente?

A+B+D+E+F+G+I+4C+4H+A7+12+6+14+7+11+9+5

¿Cuánto es la suma de A+B+C+D+E+F+G+H+I=?

¿Cómo nos queda la siguiente relación?

3C+2H=7+12+6+14+7+11+9+5-45-(A+H)

¿Puedo saber si C es par o impar?


¿Qué valores pueden tener Ay H?

A= 2 2

H= 3 7 1

7 12 5 6

14

9

4

8 7 6

11 3 7

2

¿Qué información puedes deducir de la operación con letras?

8594

1594

10198

Plantea la tabla que te ayuda a identificar el o los conjuntos de letras que

satisfacen la operación:

A B C D E F G H I

2

7

5

1

9

4

8

3

6

Practica 6: identifica los valores de números enteros que corresponden a

las letra para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo

puede tomar un único valor.

FARO + CARO

CICFF


Verifica el resultado:

Reemplamos los valores de las letras


Que es una suma, las letras que se repiten tienen el mismo valor




ABAD + 3930 + ABCB 3989

PBTB 7919

F= 8

A= 5

R= 9

O= 4

C= 1

I= 0




ABAD + ABCB

PBTB

A=3

B=9

C=8

D=0

P=7

T=1



Que es una suma, las letras que se repiten tienen el mismo valor




ABAD + 1914 + ABCB 1969

PBTP 3983




ABAD + ABCB

PBTP

A=1

B=9

C=6

D=4

P=3

T=8

Practica 9: se tienen tres sombreros rojos y dos blancos. Tres personas a,

b, c utilizan tres de los sombreros; los dos son sombreros restantes se

guardan ay b quedan con sombreros de colores diferentes. las personas b,c

y c no saben cuál es el color de sus respectivos sombreros pero cada uno

puede ver el sombrero de los otros dos. se le pregunto a la persona a:¿ usted

sabe el color de su sombrero? y la persona le respondió “no lose" se le hizo

la misma pregunta a la persona b y también contesto” yo tampoco lo sé “.

Finalmente se le hizo la misma pregunta a c, que escucho las respuestas de

ay contesto con seguridad “si, el color de mi sombrero es xxxx”. ¿Cuál es el

color de sombrero? como hizo c para saberlo


¿Qué datos te da el enunciado del problema?

Tres sombreros rojos y 2 blancos

Tres personas A,B,C

¿Cuáles son todas las posibles maneras de colocar sombreros en A, B Y C?

A

B C

¿Qué posibilidad descartas cuando A contesta que no sabe el color de su

sombrero?

Que no sabe si es blanco o rojo

¿Qué conclusiones cuando B dice que no sabe el color de su sombrero?

No sabe si el color de su sombrero es blanco, rojo

No sabe si el color de su sombrero es rojo, blanco, rojo

¿Qué características tienen las alternativas que quedan después que A y

Contestan la pregunta?

Que si es A es rojo y B es blanca entonces el C debe ser rojo porque solo queda

ese color

Practica 10: Se necesita clocar los dígitos del 1 al 9, sin repetirse, uno en

cada cuadrado de la figura que se presenta de manera que sumen 14,

según se indica. ¿Cuál o cuáles números puedo poner en la celda

amarilla? ¿Cuántas soluciones diferentes hay en este problema?


. 15

15

15 15

20

13

20 20

2 1

7

8 4

5

6 3

9

8

3

2

5

9

6

1

Practica 2: coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo,

de forma tal que cada una de las cuatro direcciones indicadas sume 20.

7


Datos:

Dígitos del 1 al 9

La suma de los cuatro números pueden formar 20

Posibles cuartetos:

1289 238

1379 2486

1469 2576

1487 3458

1586 3657

CIERRE:

¿Qué utilidad tienen estas prácticas que hemos realizado?

Aplicar y comprender estrategias

¿Qué habilidades se desarrollan mediante estas prácticas?

Reconocer los tipos de problemas

¿Cuáles son las estrategias de la solución de problemas por búsqueda

exhaustiva?

Estrategia del tanteo sistemático

¿En qué consiste la identificación de información implícita?

Encontrar información a partir de un texto

¿Cuáles son los pasos de procedimiento general de resolución de un

problema?

Leer bien el ejercicio

Separar datos

Hacer una representación

Aplicar bien la regla

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