Portafolio de algebra oscar lomas

MODULO DE ALGEBRA Página 1

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS

AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Módulo

“ALGEBRA”

PRIMER NIVEL

PARALELO: ―A‖

JOSELYN CHILES

Ing. Oscar René Lomas Reyes

Enero del 2014


Índice.

Introducción…………………………………………………………………………….1

Conjunto de los números reales…………………………………………………...2

Conjunto de los números naturales……………………………………………...3

Conjunto de los números enteros…………………………………………………4

Conjuntos de los números racióneles……………………………………………5

Propiedad conmutativa…………………………………………………………...6

Propiedades de los números reales……………………………………………...7

Propiedad transitiva……………………………………………………………......8

Propiedad de la suma y multiplicación……………………………………….9

Propiedad conmutativa de la suma y multiplicación…………………..10

Propiedad asociativa de la suma y multiplicación………………………11

Propiedad de la identidad………………………………………………………..12

Propiedades del inverso……………………………………………………………13

Propiedad distributiva……………………………………………………………14

Exponentes y radicales…………………………………………………………....15

Exponentes…………………………………………………………………………….16

Radicales……………………………………………………………………………….17

Operaciones con expresiones algebraicas……………………………………18

Expresiones algebraicas…………………………………………………………...19

Suma de expresiones algebraicas………………………………………………20

Resta de expresiones algebraicas………………………………………………21


Factorización…………………………………………………………………………22

Factor común…………………………………………………………………………23

Factorización de trinomios……………………………………………………...24

Fracciones……………………………………………………………………………..25

Simplificación de fracciones……………………………………………………..26

Multiplicación y división de fracciones……………………………………..27

Racionalización de denominadores…………………………………………..28

Suma y resta de fracciones………………………………………………………29

Operación combinada de fraccione…………………………………………..30

Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31


Terminología para las ecuaciones……………………………………………..32

Ecuaciones equivalentes…………………………………………………………..33


Ecuaciones con literales…………………………………………………………..35

Ecuaciones fraccionarias…………………………………………………………36

Ecuación con radicales……………………………………………………………37

Ecuaciones cuadráticas…………………………………………………………..38

Resolución por factorización……………………………………………………39

Formula………………………………………………………………………………..40

Desigualdades lineales…………………………………………………………….41

Aplicación de las desigualdades………………………………………………..42

Valor absoluto………………………………………………………………………..43


Ecuaciones con valor absoluto………………………………………………….44

Propiedades del valor absoluto…………………………………………………45

Sistemas de ecuaciones lineales………………………………………………...46

Sistemas de ecuaciones con dos variables…………………………………...47

Método de eliminación por adición…………………………………………...48

Método de eliminación por sustitución……………………………………...49

Sistemas de ecuaciones con tres variables………………………………….50

Sistemas no lineales…………………………………………………………………51

Aplicaciones de sistemas de ecuaciones……………………………………...52

Programación lineal……………………………………………………………….53

Sistemas de desigualdades………………………………………………………..54

Método simplex………………………………………………………………………55

Programación lineal en Excel…………………………………………………..56

Solver……………………………………………………………………………………57

Bibliografía…………………………………………………………………………..59


EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Introducción. .

El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el

llamado sistema de los números reales. Números tales como: 1,3, y sus

correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.

Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno

de ellos comienza con un sistema más primitivo – tal como el conjunto de los números

naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4,..., y a partir de él, por medio de una secuencia

lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.

En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números

reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades

(axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse.

En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto de los

números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los

números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo

más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se

van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático

del mismo

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.

Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:

Conjunto de los números naturales.

El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z+,

corrientemente se presenta así:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}


La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los

sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

Conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta

así:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen

solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x =

-2.

Puede notarse que .

Conjunto de los números racionales.

El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente

manera:

Q = / m, n son enteros y n

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la

ecuación:

ax = b, con a, b

Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a es un divisor de b.

Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en


consecuencia, se puede concluir que:

Z

En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d,..., se

entenderá que a, b, c, d,..., son números enteros y que los denominadores son

diferentes de cero.

Conjunto de los números irracionales.

En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución

el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Así, por ejemplo, al

considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal

de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer

que x, satisface la ecuación: x2 = 2.

Puede demostrarse fácilmente, que no existe X Q que verifique esta última ecuación.

En general, una ecuación de la forma xn = a, con a Q y n N, carecerá (excepto

casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto,

en el cual, ecuaciones como las anteriores tenga solución.

El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los

números reales que no admiten la representación racional.

Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural),

, etc.

En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q, como

sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que

no son números racionales.

Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: *.

En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y


multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también

axiomas de campo).

LOS NUMEROS REALES Y ARECTA REAL

En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia

entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los

números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia

biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos

en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a

cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el

gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina

origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige

también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como

negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la

recta teniendo en cuenta lo siguiente:

Se asocia al origen el número 0, Se asocia a cada número positivo p un punto

que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva,

Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de

distancia del origen en la dirección negativa.

Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real

que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto

y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de

los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real.

El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".


Ejemplo.

Orden

Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones

siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea

mayor que b o a sea igual a b.

Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número a

está a la izquierda del punto que representa al número b.

Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la

derecha del que representa a b.

Si a = b, los puntos se superponen.

La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a preceder al

punto b si el número real a es menor que el número real b


(a < b).([email protected], s.f.)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones

de A x A en A:

Son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más

abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas

propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas

matemáticos

La propiedad conmutativa

Dice que resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los

elementos con los que se opera.

Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *:

Se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de

operar b con a.


Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es

conmutativa en A si:

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de

operar b con a.

La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales

y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b

elementos de mismo cualquier conjunto indicado

La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos

La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para 1

y -1.

El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.

El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA.

Propiedad conmutativa de la suma

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

Propiedad conmutativa de la multiplicación

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

2 · 5 = 5 · 2


10 = 10

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales.

Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas

cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias

experimentales, ciencias sociales, etc.

Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades:

Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad Adición Multiplicación

Cerradura

Conmutativa

Asociativa

Distributiva

Identidad

Inverso

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más

números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:

http://cenevalenlinea.com/component/glossary/Glosario-general-de-siglas-acr%C3%B3nimos-y-abreviaturas-2/D/DOS-9/

http://cenevalenlinea.com/component/glossary/Glosario-general-de-siglas-acr%C3%B3nimos-y-abreviaturas-2/U/UN-37/


Importante:

La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la

división, no se puede dividir entre cero.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes

cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el

mismo. Por ejemplo:

Importante:

La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el

resultado se altera.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer

sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para

después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una

expresión. Por ejemplo:


Importante:

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el

resultado se altera.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las

operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las

operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad (elemento neutro)

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado

elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el

resultado de la suma:

, el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número

(llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no

cambia el resultado de la multiplicación:

, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.


Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como

sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

el inverso aditivo para esta suma es el número

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser

usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

EXPONENTES Y RADICALES

Exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Más ejemplos:

Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125

En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o

simplemente "5 al cubo"

Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16


En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4"

o simplemente "2 a la cuarta"

Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones

Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con

esta notación.

Así que, en general:

an te dice que multipliques a por sí mismo,

y hay n de esos a's:

Exponentes negativos

¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo

significa cuántas veces se divide entre el número.

Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0,125

O varias divisiones:

Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008

Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:

5-3 también se podría calcular así:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008


Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar

exponentes negativos:

Calcula la potencia positiva (an)

Después cacula el recíproco (o sea 1/an)

Más ejemplos:

Exponente negativo Recíproco del exponente positivo Respuesta

4-2 = 1 / 42 = 1/16 = 0,0625

10-3 = 1 / 103 = 1/1.000 = 0,001

¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?

Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 91 = 9)

Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1)

Radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que

cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/reciproco.html


POTENCIAS Y RADICALES

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones

que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la

fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo

número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los

exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción a índice común

1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común

índice

2. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado

obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.


Extracción de factores en un radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

1. Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja

en el radicando.

2. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del

radicando.

3. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el

índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del

radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.


La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número

por él mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil.

Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo,

el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.

Así por ejemplo:

Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y

obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.

Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de

veces es una potenciación.

Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X

8 X 8.

Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.

En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a

multiplicar por sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces

que se va a multiplicar al ocho por sí mismo).

De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:

85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768

Elevar a una potencia el número 10


Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.

Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:

104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000

Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros.

Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100

millones (100.000.000)...

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las siguientes:

Potencia de potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y

exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.

Multiplicación de potencias de igual base

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de

base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de

base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero

no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

En particular:


(a + b)m = am + bm

(a − b)m = am − bm

Se cumple en los siguientes casos:

Si m=1.

Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.

Si a y b son iguales a 0 y m≠0

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando

aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o

equivalentes.

En particular:

ab = ba

Si y sólo si a=b.

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

a0 = 1 si se cumple que

Potencia de exponente 1

Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.

a1 = a

Potencia de base 10


Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros

como unidades posee el exponente.

101 = 10

Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un

exponente

106 = 1000000

104 = 10000

radicación

Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división

es la operación inversa de la multiplicación.

La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama ―radicación‖.

Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64. De la

misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número

que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:

Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al

exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás

ver en cursos posteriores.

Raíz cuadrada


1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número

en grupos de dos cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64

2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual

(o lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda).

En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado

al cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.

3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo

En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale

5 -4 = 1

4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo

En nuestro ejemplo nos quedaría 156

5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento

de la raíz.

En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el

número que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número

que estamos buscando se acerque lo más posible al número que tenemos

como resto. Ese número será el siguiente número de la raíz.

En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que

se aproxima más a 156 y la raíz seria 23...

7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del

que queríamos obtener realmente.


En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27

8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior

el número del siguiente grupo

En nuestro ejemplo: 2701

9- A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

10- después repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que

se aproxima más a 2701 y la raíz seria 235...

11- después repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376


En nuestro ejemplo: 37664

13 A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470


En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número

que se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358


En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el

resto es cero.


Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas

Este método se debe a Newton

Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una

aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula:

ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)

Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la

aproximación

2, entonces:

a1 = 2

a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250

a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236

OPERACIÓN CON EXPRESIONES ALGÉBRICAS

1. Suma

2. Resta

3. Multiplicación

4. División.

Suma de expresiones algebraicas

Para realizar la suma de expresiones algebraicas se agrupa los términos

semejantes. Se puede realizar en forma horizontal o vertical, para llevar a cabo la

suma en forma vertical se puede disponer en filas, con los términos semejantes

por su grado en la misma columna y a continuación, se suman los términos de

cada columna.

Ejemplo.


Suma horizontal

(2x³ + x² -5) + (x² + x +6)

= 2x³ + x² -5 + x² + x +6

= 2x³ + (x² + x²) + x + (6 -5)

= 2x³ + 2x² + x + 1

Suma vertical

(5x³ + 2x² - x + 7) + (3x² - 4x + 7) + (-x³ + 4x² - 8)

Resta de expresiones algebraicas

Para restar cambie el signo de cada uno de los términos que va a restarse y después

sume los términos semejantes resultantes.

Se lo realiza en forma horizontal y vertical.

Ejemplo.

Resta horizontal.

Restar x³ + 2x² - x – 4 de 3x³ - 5x² + 3

(3x³ - 5x² + 3) – (x³ + 2x² - x – 4)

= 3x³ - 5x² + 3 – x³ - 2x² + x + 4

= (3x³ - x³) + (-5x² - 2x²) + x + (3 + 4)

= 2x³ - 7x² + x + 7

Resta vertical

(4x4 - 2x³ + 5x² - x + 8) – (3x4 - 2x³ + 3x – 4)

http://1.bp.blogspot.com/-lWV6og4EpPI/UFaI1osbH7I/AAAAAAAAAG0/mMcqPZ4JMiY/s1600/daum_equation_1347832897000.png


Multiplicación de expresiones algebraicas

Podemos tener multiplicaciones como las siguientes:

1. Multiplicación de dos o más monomios.

Se realiza aplicando las reglas de la potenciación, de los signos y las propiedades

asociativa y conmutativa del producto.

Ejemplo.

Multiplicar -3x²y³z, 2x4y, y -4xy4z²

(-3x²y³z)(2x4y)(-4xy4z²)

=[(-3)(2)(-4)][(x²)(x4)(x)][(y³)(y)(y4)][(z)(z²)]

= 24x7y8z3 para obtener este resultado se debe realizar mentalmente en

próximos ejercicios, esto se realizar con la práctica.

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

El producto se obtiene por la directa aplicación de la propiedad distributiva.

Ejemplo

4x²(3x – 2x³ + 1)

= 4x²(3x) – 4x²(2x³) +4x²(1)

= 12x³ – 8x5 + 4x²

= – 8x5 + 12x³ + 4x²

3. Multiplicación de binomios

Utilizando la propiedad distributiva

http://2.bp.blogspot.com/-9uGWS-GRwc8/UFaJOIws98I/AAAAAAAAAG8/tyt4pacYnKw/s1600/daum_equation_1347835015437.png


Ejemplo

(x + 2)(x – 3)

= x(x – 3) + 2(x – 3)

= x² - 3x + 2x – 6

= x² - x – 6

Utilizando el método PEIU

PEIU significa que se debe realizar los productos de los Primeros términos, los

términos Externos, términos Internos y el término Último.

Ejemplo

(3x + 4)(2x + 1)

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios que tienen tres o más términos, se puede usar el

mismo principio básico que se usa para multiplicar monomios y binomios. Esto es

cada término de un polinomio debe multiplicarse por cada término del otro

polinomio. Puede hacer la multiplicación en forma horizontal o vertical.

Multiplicación horizontal

Ejemplo.

Multiplicar (4x² - 3x – 1) (2x – 5)

= 4x²(2x – 5) -3(2x – 5) -1(2x – 5)

http://2.bp.blogspot.com/-8BmNhSM0BQg/UFaJtv0Lh-I/AAAAAAAAAHE/irQz3CdJ_ZU/s1600/daum_equation_1347839899421.png


= 8x³ - 20x² - 6x² + 15x -2x + 5

= 8x³ - 26x² + 13x + 5

Multiplicación vertical

Se alinea términos semejantes en las mismas columnas verticales.

Ejemplo

Multiplicar (4x² + x – 2) (-x² + 3x + 5)

División de expresiones algebraicas

1. División de dos monomios.

Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales

aplicando las reglas de potenciación.

Ejemplo.

Dividir: 24x4y²z³ por -3x³y4z

http://1.bp.blogspot.com/-qyI0kay3hLU/UFaK4yFEqaI/AAAAAAAAAHM/VyG5J0-M8vY/s1600/daum_equation_1347841659062.png

http://2.bp.blogspot.com/-x4Qipv_MFDc/UFaL180Kn2I/AAAAAAAAAHU/dzAW6hgoEEc/s1600/daum_equation_1347842799828.png

http://3.bp.blogspot.com/-iZA7tmGFMtk/UFaL_iXUs2I/AAAAAAAAAHc/2BtzfzNlWtU/s1600/daum_equation_1347843279968.png








División de dos polinomios

a. Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes

(o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios.

b. Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que

resulta el primer término del cociente.

c. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta el dividendo,

obteniéndose un nuevo dividendo.

d. Con el dividendo del literal c., se repite las operaciones del los literales b. y c.

hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo.

e. El resultado es:

Ejemplo

Dividir 2x4 - 3x³ + x² + x + 2 por x² - 3x + 2

Por lo tanto,

http://1.bp.blogspot.com/-VfWy9l43ps8/UFaMS16s0gI/AAAAAAAAAHk/DZ_rmOVFE2U/s1600/daum_equation_1347844091515.png

http://4.bp.blogspot.com/-h1mmNOwzlsQ/UFaMi5JCoiI/AAAAAAAAAHs/5hR2ile2dVs/s1600/daum_equation_1347845698093.png

http://1.bp.blogspot.com/-Hrfr0LyUv-0/UFaNemYJjyI/AAAAAAAAAH0/tdXuqwfZaxc/s1600/daum_equation_1347844901656.png








Expresiones algebraicas

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o

más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables,

incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los

signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y

potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia:, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2

Un tercio de un número: x/3

Un cuarto de un número: x/4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³


Un número par: 2x

Un número impar: 2x + 1

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

La suma de dos números es 24: x y 24 − x

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

El producto de dos números es 24: x y 24/x

El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es

igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación,

pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores;

mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que

multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Factorización


Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus

factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los

multipliquemos, escribiremos . En el proceso inverso, tenemos el producto

15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos

Al factorizar el número 20, tendremos o .

Advierte que y no están factorizados por completo. Contienen

factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7,

11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que

en la primera factorización , de modo que mientras que la

segunda factorización , de modo que , en cualquier caso la

factorización completa para 20 es .

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir

factorizarla por completo. Además se supone que los factores numéricos son

números primos. De esta manera no Factorizamos 20 como .

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas

expresiones algebraicas.


Factor común.

Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si

podemos descubrir un patrón.

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que:

. Cuando factorizamos .

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea

común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión

completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, . Aquí

tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC)

El término , es el MFC de un polinomio sí:

1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del

polinomio, y

2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

De este modo para factorizar , podríamos escribir

Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún

más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en


todos los términos es . De esta manera la factorización completa es

. Donde es el MFC.

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

E J E M P L O

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar


EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

Diferencia de cuadrados.

Aquí tenemos un producto notable podemos utilizar esta

relación para factorizar una diferencia de cuadrados.

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar


EJEMPLO

Factorizar

Trinomios con término de segundo grado.

Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es

un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

Los trinomios , son trinomios cuadrados porque son

cuadrados de un binomio.

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

A. Dos de los términos deben de ser cuadrados y

B. No debe haber signo de menos en o en

C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer

término 2AB o su inverso aditivo -2AB.

¿Es un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un

término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.

Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada

ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de


dos cubos.

EJEMPLO

Factorizar , observemos primero que se puede escribir en otra forma:

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la

fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar

trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es

posible.


Por Agrupación.

Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con

cuatro términos. Consideremos . No hay ningún factor diferente de

1. Sin embargo podemos factorizar a y por separado:

Por lo tanto . Podemos utilizar la propiedad

distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las

expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.

EJEMPLO

EJEMPLO

Factorizar

EJEMPLO

Factorizar


FRACCIONES

Una fracción es una parte de un total

Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones:

1/2 1/4

3/8

(Una mitad) (Un cuarto) (Tres octavos)

El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de

abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza.

Numerador / Denominador

Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes.

Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha

dividido el total.


Numerador

Denominador

¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que

denominador es con "D" de dividir)

Fracciones equivalentes

Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo:

4/8 = 2/4 = 1/2

(Cuatro octavos) (Dos cuartos) (Una mitad)

Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple (1/2 en

este caso). Eso se llama Simplificar o Reducir la fracción.

Sumar fracciones

Puedes sumar fracciones fácilmente si el número de abajo (el denominador) es el

mismo:

1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2


(Un cuarto) (Un cuarto) (Dos cuartos) (Una mitad)

Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o

más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

Por ejemplo: Simplificar

Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, ,

Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar

factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.

Por ejemplo: Simplificar

Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de

simplificar hay que factorizarlo.

En este caso el método adecuado es sacar factor común así

http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm


Más ejemplos:

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador,

basta dividir numerador y denominador por los factores comunes

2.

3. En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el

denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor

común en el numerador e en el denominador

4. , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar,

pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una

suma.






5. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una

diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:

1. Por numerador el producto de numeradores.

2. Por denominador el producto de denominadores.

Ejemplo:

División de fracciones

La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:

1. Por numerador el producto de los extremos.

2. Por denominador el producto de los medios.



Ejemplo:

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.

Recuerda que se llama irracional al número que no puede expresarse con

números enteros ni fraccionarios. Son números que su expresión decimal tiene

infinitas cifras pero sin formar períodos.

Podemos decir que 0,5 es lo mismo que .

Es lo mismo que 0,75.

Todos estos números son racionales, podemos escribirlos como enteros o

fraccionarios.

Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por ejemplo

a estos números los llamamos irracionales porque si

queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo

decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni


11, ni 13,…. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener.

Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos

en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que no tengan

raíces en el denominador llamamos racionalización de radicales de los

denominadores:

Ejemplo: .El denominador es un número irracional, por mucho que intentes

calcular su valor verás que nunca acabas de hacer operaciones.

Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una

fracción por un mismo número, su valor sigue siendo el mismo.

Para hacer racional el denominador lo más simple es que le multipliquemos por sí mismo:

.

Pero para que no varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al

numerador por .Podemos decir que: son iguales pero

no tiene como denominador un número irracional.

Racionaliza:

Respuesta .


Racionaliza:

Respuesta .

Solución:

Racionaliza:

Respuesta .

Solución:

Las operaciones las tienes desarrolladas paso a paso:

Racionaliza:

Respuesta:

Solución:

El proceso de cálculos con letras es el mismo que aplicamos con los números. Tienes desarrollado paso a paso la resolución del ejercicio:


Racionaliza:

Respuesta: .

Solución:

Tratamos ahora una raíz cúbica. Si tienes y quieres quitar la raíz tienes que

conseguir que el exponente del radicando(que es 1) sea igual al índice de la

raíz(que es 3). Para que sean iguales a

tendrás que multiplicarle de este modo, en el denominador al multiplicar por

tendrás que sumar los exponentes dejando la misma base: . Para que

el valor de la fracción no varíe tendrás que multiplicar también al numerador por :

Racionaliza:

Respuesta: .

Solución:


Para poder quitar la raíz de ,5 tenía que tener como exponente un 7.

Vemos que tendríamos que multiplicarle por de este modo al sumar los

exponentes el valor obtenido iguala al índice de la raíz y entonces podemos

simplificar. Para que no varíe el valor de la fracción tendremos que multiplicarle al

numerador también por :

Racionaliza:

Respuesta .

Suma y resta de fracciones

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones

mentalmente.

Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar

podemos seguir la siguiente regla:

a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman)

b d bd (se multiplican los denominadores)


Veamos un ejemplo:

El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de

los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia

más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En

total, ¿qué parte del trabajo tiene que realizar Cheo?

1 + 1 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7

4 3 (4)(3) 12 12

Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")

¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?

Solución:

Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones

a. Si a = c entonces ad = cb

b d

b. Si a < c entonces ad < cb

b d

c. Si a > c entonces ad > cb


b d

Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?

7 ? 1 7(2) > 12(1), por lo tanto 7 > 1

12 2 12 2

De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo.

Veamos otro ejemplo:

A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió

a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de

la herencia la tocó a María?

Solución

1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11

3 5 15 15 15

A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.

Suma de Fracciones

Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:

1. Fracciones homogéneas (1, 3, 5) 4 4 4

2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3) 3 5 7


Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el

mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen

diferentes denominadores.

Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:

1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que

5 5 5 tienen el mismo denominador. Las

fracciones homogéneas, en suma, se

suman los numeradores y el

denominador se queda igual.>

2 + 3 = 5 7 7 7

Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:

1 +1 4 2 <Aquí es diferente, las fracciones son

heterogéneas; los denominadores son diferentes.>

Para sumar fracciones heterogéneas:

1. Se multiplican los denominadores.

2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.

3. Se suman los productos para obtener el numerador.

1 + 1 4 2

Paso 1 : 1 + 1 = ___ <Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8> 4 2 8


Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado> 4 2 8

Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el numerador.> 8 8

Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.> 8 2 4

Resta de Fracciones

En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones;

pero en este caso hay que restar.

Ejemplo 1:

5 - 1 = 4 Resta de Fracciones Homogéneas 9 9 9

Ejemplo 2:

2 - 1 = ( 2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1 3 2 6 6 6

Suma y resta con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Ejemplo:


Suma y resta con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman

o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Ejemplo:

Operaciones combinadas de fracciones

1. Pasar a fracción los números mixtos y decimales.

2 .Calcular las potencias y raíces.

3 .Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

4 .Efectuar los productos y cocientes.

5 .Realizar las sumas y restas.

Ejemplo:


1. Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los paréntesis.

2 .Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

3 .Realizamos el producto y lo simplificamos.

4 .Realizamos las operaciones del paréntesis.

5 .Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal con n incógnitas x1,..., xn es una ecuación que se puede

escribir en la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +... + anxn = b (1), donde las a-es se llaman

coeficientes de los x y el número b se llama término constante. Se asume que las

a- es y la b son valores conocidos.

Ejemplos.

a.

b.

c.

a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas

respectivamente.

a.


b.

c.

d.

Terminología para las ecuaciones

Ecuaciones equivalentes

Las solución de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones

que tienen la misma solución se denominan ecuaciones equivalentes.

Para obtener una ecuación equivalente a una dada se utilizan las siguientes

propiedades de las igualdades:

a) Si sumamos o restamos un mismo número o una misma expresión algebraica

a los dos miembros de una ecuación obtenemos otra ecuación equivalente.

b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un

mismo número diferente de cero obtenemos otra ecuación equivalente.

Por ejemplo, para obtener una ecuación equivalente a x+2=5 multiplicamos por

4 los dos miembros:

4(x+2)=4·5 → 4x+8=20

Fíjate en que la ecuación obtenida 4x+8=20 también tiene por solución 3.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

2x − 3 = 3x + 2 x = −5

x + 3 = −2 x = −5


1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma

cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3

x = −5

2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una

misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

5x + 10 = 15

(5x + 10) : 5 = 15 : 5

x + 2 = 3

x + 2 −2= 3 −2

x = 1

Ecuaciones lineales

Ecuación lineal con n incógnita

Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2

+ a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b .

Los valores ai se denominan coeficientes,

b es el término independiente.

Los valores xi son las incógnitas.

Solución de una ecuación lineal

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina

solución de la ecuación.


Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:

(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).

Ecuaciones lineales equivalentes

Son aquellas que tienen la misma solución.

x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0

Ecuaciones lineales de primer grado

Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó

cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar

adopten esa expresión.

Resolución de ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los

siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el

otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Despejamos la incógnita:


Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:


Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común

múltiplo.


Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:


Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Quitamos corchete:



Quitamos denominadores:


Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

Ecuaciones con literales

En nuestro diario vivir y en el mundo del trabajo nos enfrentamos a muchas

situaciones que se resuelven por medio de las ecuaciones. La industria, el

comercio, las ciencias, la ingeniería, y otras áreas necesitan fórmulas en las

cuales se aplican los principios establecidos para resolver ecuaciones. A muchas

de estas fórmulas se les llaman ecuaciones literales.

Una ecuación literal es una ecuación en la cual se usan letras para representar

constantes.

Ejemplos:


1. P = 2L + 2W es la fórmula que se utiliza para hallar el perímetro de un

rectángulo. Si el largo (L) de un rectángulo es 5 pulgadas y el ancho (W) es

3 pulgadas, entonces el perímetro del rectángulo es:

P = 2L +2W

= 2 (5) + 2(3)

= 10 + 6

P = 16 pulgadas

Es la fórmula para hallar la velocidad de un objeto conociendo la

Distancia (d) y el tiempo (t). Si un objeto se mueve a una distancia de

10 pulgadas en 2 segundos su velocidad es:

Otros ejemplos de ecuaciones literales son las siguientes: y – c = d; C

= 2πr; d = vt, A = ½ bh.

Otros ejemplos:

1. C = 2πr (fórmula para hallar la circunferencia de un círculo) ¿Cuál es la

circunferencia de un círculo si su radio mide 3 pulgadas?


2. ]

¿Cuál es el promedio actual de Pedro en la clase de matemáticas si sus

notas son 80, 75 y 94?

3. La fórmula que un pescador tiene para estimar el peso de un pez en libras

es , donde W representa el peso en libras, L el largo en pulgadas

y g el grueso (distancia alrededor del pez en el área central) en

pulgadas. Halla el peso de un pez de 96 pulgadas de largo y 47 pulgadas

de grueso. Resuelve la fórmula para g2.

4. C = mx + b, ecuación de costo total, dado el costo fijo (b), el costo variable

(m) y la cantidad (x). El costo diario de alquiler de auto es $30.00 más

$0.50 por milla recorrida. Carlos pagó $150 por el alquiler del

auto. ¿Cuántas millas viajó?

5.

Cambia 1220 Fahrenheit a centígrados.

Ecuaciones fraccionarias

Ecuación Fraccionaria. Ecuación que contiene fracciones algebraicas, es decir, donde la

variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellos).

http://www.ecured.cu/index.php/Ecuaci%C3%B3n


Ejemplos

Resolución

Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado:

1. Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en

paréntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que

aparece antes de una fracción afecta a todo el numerador.

2. Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

3. Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado.

4. Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el

m.c.m.

5. Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas.

6. Continuamos resolviendo la ecuación con los números enteros que

obtuvimos.

En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformándolas en

ecuaciones enteras, para lo cual es necesario eliminar los denominadores. Para

eliminar los denominadores en una ecuación fraccionaria se procede de la

siguiente manera:

1. Se halla el mcm de los denominadores.

2. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m de los

denominadores.

Ejemplo 1

el mcm de los denominadores es: (x + 1) (x - 1)

http://www.ecured.cu/index.php/Archivo:Ecuacionesfracc.jpg

http://www.ecured.cu/index.php/Archivo:Resol1.jpg

http://www.ecured.cu/index.php/Archivo:Ecuacionesfracc.jpg

http://www.ecured.cu/index.php/Archivo:Resol1.jpg


Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (x + 1) (x - 1) resulta:

Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuación

fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene

una ecuación equivalente a la dada, siempre que la solución obtenida no anule

algún denominador.

Comprobación:

Ejemplo 2:

Estas ecuaciones no son equivalentes a la original, porque el conjunto solución es

{3} para ambas, pero no para la ecuación original.

Sustituyendo tenemos

http://www.ecured.cu/index.php/Archivo:Resol21.JPG










Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que

tienen la incógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones con radicales

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el

resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.

3º Se resuelve la ecuación obtenida.

4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial.

Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra

que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se

obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del

proceso hasta eliminarlos todos.

1º Aislamos el radical:





2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3ºResolvemos la ecuación:

4ºComprobamos:

La ecuación tiene por solución x = 2.

Ejercicios de ecuaciones con radicales

1


2

3


Ecuaciones cuadráticas

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo

grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la

forma ax2 + bx + c igual a cero.

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0

se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)

Método de solución de la ecuación cuadrática


Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión

Para lo cual se suma y resta

, que puede escribirse como

Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término

puede despejarse


El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de

segundo grado

El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos

tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y

¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene

Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí

Si las dos raíces son reales e iguales

Si las dos raíces son complejas conjugadas

Ejemplos numéricos

Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0

Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1


Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula

Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que , en

este ejemplo en particular

Segundo ejemplo, 9x2 – 6x + 1 = 0

Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que

Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0

Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1


Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que , para

esta ecuación se obtuvo

Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación

cuadrática

Demostración


Demostración

ECUACIONES CUADRÁTICAS – FACTORIZACIÓN

Por: Melissa Murrias

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y

c son números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las

ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple

2. Completando el Cuadrado

3. Fórmula Cuadrática


Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto

de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0


x + 4 = 0 x – 2 = 0

x = 0 – 4 x = 0 + 2

x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la

constante de a tiene que ser igual a 1.

Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la

siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0

4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]


x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3

x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación

cuadrática a la siguiente fórmula:


Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6

2


X = -2 + 6 x = -2 - 6

2 2

x = 4 x = -8

2 2

x = 2 x = - 4


DESIGUALDADES LINEALES

DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE

También conocidas como inecuaciones de primer grado)

Se establece rápidamente la definición de una desigualdad lineal, pasando a

dar un bosquejo de una estrategia general para resolver este tipo de

desigualdad. Se puntualiza el tipo de conjunto solución de este tipo de

desigualdad, de manera gráfica, por intervalos y por conjuntos. Se dan una

serie de pasos recomendados que conducen siempre al despeje de la

variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dos procedimientos, el

primero siguiendo los pasos recomendados, el segundo es para aclarar que

se pueden emplear otras estrategias, siempre y cuando respeten la

propiedades algebraicas y de desigualdades.

Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son

iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un

signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:

Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones

siguientes:

X es mayor que Y

X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita

La expresión ,

Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de

"b", puede tenerse , que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia es


positiva y , que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia es

negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es

mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la

izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y

los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de

desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen

algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

DESIGUALDADES LINEALES

Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son

iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un

signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:

Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones

siguientes:


X es mayor que Y

X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita

La expresión , quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores

particulares de "a" y de "b", puede tenerse , que se lee "a" mayor que "b",

cuando la diferencia es positiva y , que se lee "a" menor que "b", cuando

la diferencia es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades

tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la

izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y

los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de

desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen

algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor

valor absoluto;

Ejemplo:

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20


Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las

proposiciones:

Propiedades de las desigualdades

Teorema1-Propiedad transitiva:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema2-Suma:


Teorema3-Multiplicación por un número positivo:


Teorema4:


Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"

Teorema5:

Teorema6:

"Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad".

Teorema7:

Teorema8:

Teorema9:

Teorema10:

Teorema11:


Inecuaciones lineales:

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado

de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una

inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la

desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una

unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es

similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las

propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una

inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la

gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la

solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco

(transparente).

Ejemplo ilusrativo1:

Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:


Inecuaciones cuadráticas: Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:

El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver

ecuaciones cuadráticas.


Ejemplo ilustrativo2:


VALOR ABSOLUTO

El álgebra normalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y

el valor sino también con el signo. No es lo mismo -10 que 10. 3 + 7 nos da un

resultado distinto que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no

importa, en matemáticas y en la vida cotidiana. ¿Alguna vez has tropezado al

bajar de unas escaleras eléctricas? No importa tanto si te estás moviendo más

rápido o más lento que el suelo, es la magnitud de la diferencia la que te hace

perder el equilibrio. O piensa en una larga caminata por el campo, tus pies se

lastimarán sin importar si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa,

sólo la distancia.

En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño

importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un

número consiste en su valor, sin importar su signo.

Valor Absoluto — Enfoque Numérico

El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente.

Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o

expresión dentro de barras verticales, así:

|20|

|x|

|4n − 9|

Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero.

Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor

original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor

absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.


Ejemplo

Valor

Valor

Absoluto

5 5

-5 5

Recuerda, en situaciones de valor absoluto no estamos cambiando la posición ni

la dirección de un número, sólo estamos ignorando esos detalles.

Ten cuidado de no confundir las |barras de valor absoluto| con los (paréntesis) o

los [corchetes]. No son los mismos símbolos, y las reglas que los evalúan son

diferentes.

Por ejemplo, -1(-3) = 3. Los signos negativos dentro y fuera de los paréntesis se

cancelan cuando son multiplicados.

Ejemplo

Problema -1(-3) =

-1 • -3 = 3

Pero -1|-3| = -3. No puedes multiplicar a través de las barras de valor absoluto, por

lo que primero tienes que encontrar el valor absoluto del número contenido entre

ellas. Como el valor absoluto de -3 es 3, la operación se convierte en -1(+3).


Ejemplo

Problema -1|-3| =

-1 • 3 = -3

Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye

operaciones, la expresión debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto.

Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que podamos obtener el valor absoluto de

la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se

convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el

valor absoluto de 2, el cual es 2.

|6 − 4| = |2| = 2

De manera similar, para la expresión |15 − 21|, debemos realizar primero las

operaciones dentro de las barras de valor absoluto.

|15 − 21| = |-6| = 6

Valor Absoluto — Enfoque Gráfico

En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una expresión es la

distancia entre el valor y cero. Cuando usamos la recta numérica para explorar el

valor absoluto, éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si el valor

original es positivo o cero, el valor absoluto estará sobre el original.

Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo

lugar. El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3

unidades a la derecha del cero en la recta numérica.


Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del

cero que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos

el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero,

pero en direcciones opuestas.

Cuando utilizamos la recta numérica para mostrar el valor absoluto de una expresión,

debemos una vez más asegurarnos que llevamos a cabo todas las operaciones dentro de

las barras antes de graficar. El |4 − 6| se coloca en 2, no -2, 4, o 6.

Ecuaciones con valor absoluto

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


9.

10.

11.

12.

Propiedades del valor absoluto

Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales

podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o

inecuaciones que incluyen valor absoluto.

Propiedad 1

Demostración

Hay dos posibles casos:

Caso 1:

Caso 2:

Propiedad 2

Si


Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 3

Si Demostración Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

En particular:

Usando esta definición se tiene que:

Propiedad 4

Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 5

Si entonces Demostración

Aquí también usaremos el hecho de que:

Si


Propiedad 6

Demostración

, se tiene que:

Propiedad 7

Sea una variable real y un número real positivo:

Interpretación geométrica de esta propiedad

Demostración Como


Propiedad 8

Sea una variable real y un número real positivo entonces:

Demostración

Como , se tiene:


Resolviendo esta inecuación:

De aquí se tiene:

Interpretación geométrica de esta propiedad:

Propiedad 9 Sea una variable real y un número real positivo entonces:


Demostración Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.


Propiedad 10 Sea una variable real y un número real positivo entonces:

i.

ii.

Demostración

Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.


i.

ii.


Propiedad 11

Demostración

Sabemos que

CASO 1:

(*)

Además como entonces y como entonces: (**) Así por (*) y (**) se tiene que:

(I)

CASO 2:


Además como entonces

(****)

Así por (***) y (****) se tiene que:

(II) Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:

Propiedad 12 (desigualdad triangular)

Si Demostración Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema: LEMA:

Sean

Si

Demostración (del lema)

Supongamos que , hay que demostrar que

i.

ii.

Por i. y ii. Se tiene que

Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente:


Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.

Demostración de la desigualdad triangular

, se tiene que:

Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:

, por la propiedad (10. i)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de

primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni

multiplicadas entre sı´, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x +2y +6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.

Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una

recta en el plano.

Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el

espacio.


Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir,

un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son

equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la

misma recta o plano.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la

forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se

denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar)

y bj se denominan términos independientes.


En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y

en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es

indiferente a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan

TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.

Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Tipos de sistemas

En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R.

Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema,

estos se pueden clasificar en:

Sistemas con dos incógnitas

Los sistemas más sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2

ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados.

Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:

* Reducción

* Igualación

* Sustitución

En los que ya no nos entretendremos.


Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como

una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2

rectas en el plano.

Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e

interpretar el sistema:

Por reducción

De donde y = -1 y sustituyendo x + 2*(-1) = -3, x = -1.

Es decir, la solución del sistema es ´única, x = -1, y = -1 lo que significa que el

sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto,

precisamente el (-1,-1):

Resolver e interpretar el sistema:

Por igualación


Lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema

incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geométricamente:

Resolver e interpretar el siguiente sistema:

Por sustitución, como x = −2y – 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9+6y

= −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0.

Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene

infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.


Sistemas de 2 incógnitas y 3 ecuaciones

Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas cuantas

ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o más

ecuaciones. En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los

mismos reseñados anteriormente.

Al aumentar el número de ecuaciones, la resolución del sistema por alguno de los

tres métodos clásicos se vuelve más farragosa, por lo que conviene aplicar ya el

conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema.

Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz

ampliada asociada, que tendrá 2 columnas y tantas filas como ecuaciones

tengamos.

Analizaremos tan so ´lo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas.

La matriz ampliada genérica es:

Aplicar el método de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales

mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonada siguiente:

Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz

(ecuaciones del sistema) eran:


T1) Multiplicar o dividir una filas por un número real distinto de cero.

T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo.

T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí.

Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son

equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones.

Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento

a31, utilizando también la fila 1, y por ´ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de

modo análogo al método de Gauss-Jordán para la inversa.

Además, es conveniente en cada paso indicar la operación realizada con las filas,

poniendo en primer lugar aquella que se va a sustituir por otra.

Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los

casos siguientes

1. a *22 = 0. Entonces hay dos posibilidades:

a) b*3 = 0. Sistema incompatible (hay una ecuación del tipo 0=k), sin solución.

Geométricamente, puede ocurrir que:

a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte.

b) Las rectas se corten dos a dos (formen un triángulo).

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que

comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son

todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde

las gráficas de las ecuaciones se intersectan.


Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y

por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones

cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.

Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas

lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay

sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos.

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas

Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de

sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos

ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber más de una

solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos

ecuaciones lineales:

Una solución No hay solución Soluciones infinitas

Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.

Si las gráficas de dos ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.

Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para ambas ecuaciones.


Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas:

Una solución No hay solución Dos soluciones

Si la parábola y la recta se tocan en un sólo punto, entonces existe una solución

para ambas ecuaciones.

Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.

Si la recta se intersecta con la parábola en dos lugares, entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones.

No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el

mismo conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice

versa.

Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de

dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito

(las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una

ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un

lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares).

Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una

ecuación cuadrática.


Ejemplos

Problema Resolver el sistema graficando las ecuaciones

y

Graficar cada ecuación y localizar los puntos de intersección

Solución Este sistema tiene dos soluciones, No podemos determinar la posición exacta de los puntos de

intersección a partir de la gráfica, pero son aproximadamente (-2,0) y (5,22)

Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan

las gráficas, es difícil encontrar la posición exacta.

Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos

por sustitución, seguimos los siguientes pasos:

1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y

una variable que sea fácil de despejar).


2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada

vez que esta variable aparezca.

3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación.

4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la

otra variable.

Ejemplo

Problema Resolver el sistema usando el método de sustitución

y

En este caso, ambas ecuaciones tienen la variable y despejada, por lo que las podemos igualar

Restar 3x de ambos lados y restar 7 de ambos lados. Ahora queda una ecuación cuadrática igual a 0 por lo que podemos usar la fórmula cuadrática,

, para encontrar la solución

a = 1, b = -3, y c = -12

Sustituir los valores de a, b, y c en la fórmula

Simplificar

o

Simplificar un poco más, recordando evaluar ambos

y .

Evaluar cualquiera de las funciones con cada x para encontrar el valor de y correspondiente


Solución

(5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18)

Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo

hicimos graficando el sistema, sin embargo, si hicieron aproximaciones cuando

sacamos la raíz cuadrada de 57. ¡Esta no es la solución exacta!

Es siempre buena idea comprobar el resultado en las ecuaciones originales.

Aquí hay una prueba con el punto (5.27, 22.82):}

Nota que la comprobación no resulta en una igualdad perfecta, pero cercana.


Usar una gráfica para encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones.

y = -4x – 4 y y = -0.25x2 – 4

A) una solución

B) dos soluciones

C) no hay solución

D) soluciones infinitas

Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas

Ahora veamos el caso de dos ecuaciones cuadráticas. Imagina por un momento

cómo las gráficas de las dos ecuaciones cuadráticas pueden intersectarse (o no).

Una solución No hay solución


Dos ecuaciones cuadráticas que tienen sólo un punto en común, como un vértice compartido, tienen una solución.

Dos ecuaciones cuadráticas que no se superponen (no tienen valores comunes de y) no tienen solución.

Dos soluciones Soluciones infinitas

Dos ecuaciones cuadráticas que se superponen pero tienen ecuaciones diferentes tienen dos soluciones

Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones válidas para ambas ecuaciones.

Podemos resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas graficando:

Ejemplo

Problema Resolver el sistema graficando las ecuaciones

y


Graficar ambas ecuaciones y encontrar los puntos de intersección

Aproximar las coordenadas de los puntos de intersección

Solución (-3, 9) y (3, 9)

Una vez más, no podemos estar seguros de que nuestras soluciones gráficas son

exactas. Un método algebraico siempre puede garantizar una solución exacta. Por

ejemplo, podemos resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas por sustitución:

Ejemplo

Problema Resolver el sistema usando el método de sustitución:

y

En este caso ambas ecuaciones tienen la variable y despejada,


por lo que las podemos igualar

Sumar 2x2 y 6 a ambos lados para traer todas las variables a un lado de la ecuación

Aplicar la fórmula cuadrática. a = 3, b = 0, y c = 10

Simplificar, notando que la cantidad debajo de la raíz cuadrada es un valor negativo - este es el [discriminante] - lo que significa que no hay solución y las gráficas no se intersectan

Solución no hay solución

Como no hay solución, no podemos comprobar nuestra solución algebraicamente,

pero podemos ver ambas gráficas para verificar que no hay solución:


También podemos usar combinación lineal para resolver sistemas de ecuaciones,

siguiendo estos pasos:

1. Re arreglar las ecuaciones de forma que los términos se alineen.

2. Multiplicar ninguna, o una, o ambas ecuaciones por una constante para que

los coeficientes de una de las variables sean opuestos.

3. Sumar las ecuaciones para eliminar una de las variables.

4. Resolver la ecuación resultante.


5. Sustituir la solución del paso 4 en la ecuación original para encontrar la otra

variable.

Ejemplo

Problema Resolver el sistema usando combinación lineal

y

Alinear las ecuaciones

Como ya hay dos variables que son opuestas (x2 y –x2), podemos sumar las dos ecuaciones

y = 5 Despejar y dividiendo ambos lados de la ecuación entre 2

Sustituir y en una de las ecuaciones para encontrar los valores de x.

Solución

y

Las mismas estrategias de graficar, sustitución, o combinación lineal pueden ser

aplicadas para resolver sistemas de ecuaciones de otras funciones no lineales,

como círculos, elipses, y otras funciones coordenadas.

La solución de sistemas de ecuaciones no lineales puede hacerse usando las

técnicas de graficar, sustitución y combinación lineal. De la misma forma que con

sistemas de ecuaciones lineales, cuando encontramos soluciones a sistemas de

ecuaciones no lineales, estamos buscando la intersección de sus gráficas o los

lugares donde las ecuaciones tienen los mismos valores de las variables.


CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:

Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 1, y = 4; x = 2, y = 2

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y= 0; x = 2, y = 2

Las rectas se cortan en un punto que será la solución: x = 2, y = 2.

Por tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación

más abajo .x + y = 3 2

x + 2 y = 6

b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:


x = 0, y = 3; x = 3, y = 0


x = 1, y = 2; x = 2, y = 1


c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:


x = 0,y = 3; x = 3,y = 0


x = 0, y =-1; x = -2, y = 1

Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no

tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la

representación siguiente:


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones

algebraicas.

TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios

símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término

son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de

sus factores literales.


GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de

dicha letra.

CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal,

el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el

que no tiene radical, e irracional el que tiene radical.

TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.

TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.

TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la

misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales

exponentes.

10 Ejemplos de Términos Semejantes:


CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA

MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.


GRADO DE UN MONOMIOS

Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte

literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el

grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.

GRADO DE UN POLINOMIO

Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo

XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten

resolver problemas de optimización en el ´ámbito, sobre todo, de las Ciencias

Sociales.

Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación

lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales.


Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven

por el llamado método Simplex (ideado por G.B. Danzig, matemático

estadounidense en 1951).

Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos,

Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar,

que es más rápido que el método simplex en ciertos casos. Los problemas de este

tipo, en el que intervienen gran número de variables, se implementan en

ordenadores.

Inecuaciones lineales con 2 variables

Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax + by ≤ c

(donde el símbolo ≤ puede ser también ≥, < o bien>), donde a, b y c son números

reales y x e y las incógnitas.

Para resolver estas inecuaciones, se recordará de otros cursos, hay que

representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente

ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al

plano.

Ejemplo: Si queremos resolver la inecuación: 2x +3y ≥−3, representamos en

primer lugar la recta

2x +3y = −3:


La recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la

inecuación. Para saber que parte es, hay dos procedimientos:

1. Se despeja la y de la inecuación, poniendo cuidado en que si en una inecuación

multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de

sentido. En este caso tendíamos que:

Observando el dibujo vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos

partes.

La solución de la inecuación será aquella parte en la que la y sea mayor que la

recta, es decir, la parte superior.

2. Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1,2).


Para que dicho punto sea solución, se tendrá´ que cumplir la desigualdad, por lo

que sustituimos en la inecuación inicial el (1,2):

2 · 1+3· 2 ≥−3, es decir, 8 ≥−3.

Como esta ´ultima desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2)

es solución y por tanto el semiplano que contiene al (1,2) es la solución, es decir el

semiplano superior, como habíamos obtenido antes.

Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza con corrección.

Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables

Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones

del tipo anterior, y resolverlo consistirá en resolver gráficamente cada inecuación

(como en el caso anterior), representar la solución en un mismo gráfica y la

solución total será la parte común a todas las soluciones.

Resolver el sistema de inecuaciones siguiente:

Si representamos las rectas


El triángulo rayado es la solución del sistema.

Además, para los problemas de programación lineal es necesario el cálculo de los

vértices de la región solución. Es sencillo su cálculo, pues se reduce a resolver

sistemas de ecuaciones lineales son dos incógnitas, que provienen de igualar las

ecuaciones de las rectas correspondientes.

Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto intersección de las rectas r y t

tendremos que resolver el sistema formado por:


Ejercicios:

1. Calcular los otros dos vértices.

2. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los

vértices de las regiones que sean solución:

Nota: Rectas horizontales y verticales.

En ocasiones, en estos sistemas, aparecen inecuaciones del tipo x ≥ k o bien y ≥

k, donde falta alguna de las dos incógnitas.

Estas inecuaciones en realidad corresponden a rectas horizontales y verticales, y

sus representaciones bien sencillas.

Por ejemplo, la inecuación x ≤−2noesma´s que el conjunto de puntos a la izquierda

de la recta vertical que pasa por el punto x = −2, gráficamente:


Lo mismo ocurre con y ≤ 1, que será en este caso la parte inferior a la recta

horizontal y =1, es decir:

En el caso particular de que sea x ≥ 0 o y ≥ 0, las rectas coincidirán con los ejes

de coordenadas.

Forma algebraica

Consiste, simplemente, en sustituir cada uno de los vértices de la región en la

función objetivo. La solución óptima vendrá dada por aquel que tome el mayor (o

menor) valor.

Ejemplo: Maximizar la función F(x, y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones:

F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000

F (0, −1) = 2000 · 0 + 5000 · (−1) = 0 − 5000 = −5000


F (3, −3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000 − 15000 = −9000

Vemos que el valor máximo se alcanza para el vértice (5,1) y que dicho valor es

15. La misma solución que se obtenía antes.

Ejercicio: Resolver los problemas de programación lineal:

Algunos ejemplos de casos extremos

Puede ocurrir que la solución óptima no sea ´única, e incluso que no exista, como

en los ejemplos siguientes:

Ejemplo 1:

Maximizar g(x, y)=3x +4y sujeta a las restricciones:


Si representamos la región factible:

PROGRAMACIÓN LINEAL EN EXCEL

Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión

tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones

del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas


más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se

facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad.

Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas

(MD) o Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los

parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia

de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los

parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos

introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en

Modelos Determistas.

Supuestos Básicos de la Programación Lineal: Linealidad, Modelos

Deterministas, Variables reales, No Negatividad.

APLICACIONES

1. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de

manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer

requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus

características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes

variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:


Leche

(lt)

Legumbre (1

porción)

Naranjas (unidad)

Requerimientos Nutricionales

Niacina 3,2 4,9 0,8 13

Tiamina 1,12 1,3 0,19 15

Vitamina C

32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25

Variables de Decisión:

X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta

X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta

X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta

Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3

Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales

Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13

Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15

Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45

No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0

Compruebe utilizando nuestro

Módulo de Resolución que la solución Óptima es X1=0, X2=11,4677,

X3=0,483871, con Valor Óptimo V(P)=2,4145.

http://www.programacionlineal.net/resolucion.html


SOLVER

Solver forma parte de una serie de comandos a veces denominados herramientas

de análisis Y si. Con Solver, puede encontrar un valor óptimo (mínimo o máximo)

para una fórmula en una celda, denominada la celda objetivo, sujeta a

restricciones o limitaciones en los valores de otras celdas de fórmula en una hoja

de cálculo. Solver trabaja con un grupo de celdas llamadas celdas de variables de

decisión, o simplemente celdas de variables, que participan en el cómputo de

fórmulas en las celdas objetivo y de restricción. Solver ajusta los valores en las

celdas de variables de decisión para cumplir con los límites en las celdas de

restricción y producir el resultado deseado para la celda objetivo.

Para ejemplificar respecto al uso de Solver utilizaremos el siguiente modelo de

Programación Lineal:

Paso 1: Abrir una planilla de cálculo de Excel y definir las variables de decisión y

la función objetivo. En este ejemplo se han marcado con amarillo y verde las

variables de decisión y función objetivo respectivamente sólo para facilitar la

comprensión. Es importante notar que la función objetivo (celda F4) será siempre

una fórmula que depende de los parámetros de la función objetivo (celdas B5, C5,

D5) y las variables de decisión (B4, C4, D4)


Paso 2: Se definen las restricciones del modelo. La columna en amarillo bajo el

titulo "Laso Izq" es una fórmula de los parámetros y las variables de decisión en

las respectivas restricciones. Por ejemplo, la fórmula incorporada en E9 es

simplemente: 15X + 7,5Y + 5Z. La celda F9 es el lado derecho de dicha restricción

y corresponde a una constante (315).


Paso 3: Ingresamos a la Opción Solver (Ver Instalacion Solver de Excel). Luego

definimos la celda objetivo (función objetivo), el valor que buscamos

(maximización o minimización), las celdas que deseamos cambiar (variables de

decisión) y las restricciones. Para nuestro ejemplo está será la pantalla que se

debe obtener:

Paso 4: Accedemos a "Opciones..." y seleccionamos "Adoptar modelo lineal" y

"Adoptar no negativos". Finalmente seleccionamos "Aceptar" y luego "Resolver".

http://www.investigaciondeoperaciones.net/instalacion_solver_excel.html


Paso 5: Si el proceso se ha desarrollado en forma correcta la planilla de cálculo se

actualizará y se obtendrán los siguientes resultados. Solución Óptima: X=4,

Y=10, Z=36. Valor Óptimo: V(P)=6.620. Se recomienda requerir el informe de

sensibilidad tal como se muestra en la imagen de abajo.


Paso 6: La imagen a continuación ha sido levemente editada y corresponde al

informe de sensibilidad. Por ejemplo, el parametro que actualmente acompaña a X

en la función objetivo es 200, sin embargo, si este valor varía entre [120,240] se

conservará la actual solución óptima. En cuanto a las restricciones podemos decir,

por ejemplo, que si el lado derecho de la segunda restricción (actualmente este

lado derecho es igual a 110) aumenta a 120, es nuevo valor óptimo será

V(P)=6.620 + 10*10 =6.720, es decir, el valor óptimo aumentará en forma

proporcional al precio sombra de dicha restricción. Se recomienda revisar la

sección de Análisis de Sensibilidad para reforzar estos conceptos.

http://www.investigaciondeoperaciones.net/analisis_de_sensibilidad.html


Ejercicios de aplicación programación lineal

Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos

beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo

A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del

modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa

dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo

pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han

de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este?

SOLUCIÓN:

Variables:

A = Cantidad de fundas del tipo ―A‖ a fabricar.

B = Cantidad de fundas del tipo ―B‖ a fabricar.

Función Objetivo:

Z = 40A + 20B (beneficio a maximizar)

Restricciones: Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la

información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema:

Restricción 1: 4A + 3B ≤ 48 (horas de trabajo)

Restricción 2: 3A + 5B ≤ 60 (unidades de tela)

Restricción 3: A lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo ―A‖. A ≤ 9


Trabajos y tareas


BIBLIOGRAFIA LINKOGRAFIA

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