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Por qu no nos gusta ensear estadstica y probabilidad?

Pilar Azcrate Goded CEU del Departamento de Didctica de la Matemtica

Universidad de Cdiz pilar.azcarate@uca.es

RESUMEN La observacin de la realidad de nuestras aulas, tanto de primaria como de secundaria, nos informa sobre lo poco habitual que es la presencia de una enseanza sistemtica de le estadstica y de la probabilidad, ms all de una mera introduccin de los procedimientos bsicos de clculo. La formacin obligatoria de nuestros alumnos adolece an de una presencia significativa de estos conocimientos. Sin embargo, tanto las instituciones, investigadores y especialistas, indican la imperiosa necesidad de esta formacin para una adecuada integracin en la sociedad actual. Si hace ya ms de 30 aos que estas ideas estn presentes en los currcula ofciales y en las indicaciones de los expertos por qu sigue estando ausente de nuestras aulas? En estas lneas intentamos hacer una breve reflexin sobre algunas de las causas que creemos estn subyacentes en dicha ausencia y algunas estrategia en la bsqueda de soluciones.

PRESENTACIN DE LA SITUACIN

Hace ya muchos aos que la necesidad de la enseanza y la estadstica es reconocida en las

diferentes propuestas curriculares; de hecho, ya en los comienzos de los 60 fue introducida de

forma opcional en el currculo de Inglaterra para los alumnos de secundaria (Holmes, 2002).

Este reconocimiento institucional es reflejo de las caractersticas propias de nuestra sociedad.

Sociedad que se caracteriza como un entorno sujeto a unos altos niveles de incertidumbre y

dnde la capacidad de analizar, interpretar y comunicar la informacin adecuadamente son

competencias necesarias para la vida diaria y para una actuacin ciudadana eficaz que implica

la toma de decisiones en gran nmero de situaciones afectadas por incertidumbre.

Esta realidad incide directamente en el importante papel que adquieren la estadstica y la

probabilidad para el desarrollo de dicha sociedad; dichos conocimientos nos proporcionan

herramientas metodolgicas para analizar la variabilidad, las relaciones entre variables,

disear estudios y experimentos adecuados, mejorar las predicciones y la toma de decisiones

en situaciones de incertidumbre.

La integracin de la estocstica en nuestras escuelas e institutos, como parte significativa de la

educacin obligatoria de los futuros ciudadanos, se puede argumentar desde mltiples

razones, as la estocstica:

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Ayuda a adquirir la capacidad de lectura e interpretacin de tablas y grficos

estadsticos que con frecuencia aparecen en los medios de comunicacin.

Ayuda a la toma de decisiones con criterios, conociendo las opciones y sus riesgos.

Incide en el desarrollo personal, fomentando un razonamiento crtico basado en la

valoracin de la evidencia y en el anlisis del contexto.

Ayuda a comprender otros mbitos del conocimiento, donde con frecuencia aparecen

tablas, grficos o valores de naturaleza estadstica.

Es til para la futura vida profesional, donde en muchas ocasiones se precisan

conocimientos bsicos del tema (Batanero, 2002).

En otras palabras, el desarrollo de una sociedad instruida y crtica necesita de una ciudadana

formada adecuadamente y ello implica la necesidad de introducir la formacin estocstica en

la enseanza obligatoria de los futuros ciudadanos.

Estas ideas apoyan las actuales tendencias curriculares en las que los conceptos estadsticos y

probabilsticos estn ocupando, progresivamente, un importante papel, establecindose como

una parte vital de los planes de estudio de la mayora de los pases.

En el currculo espaol estn recogidos tanto en primaria como en secundaria. Por ejemplo, de

los cinco bloques de contenido que se proponen para la Enseanza Secundaria Obligatoria,

dos estn relacionados con la Estadstica: Interpretacin. representacin y tratamiento de la

informacin; Tratamiento del azar.

Aspectos tambin recogidas en el currculo de Primaria, aunque en algunos casos dispersos

entre los diferentes bloques de contenidos (Cardeoso y Azcrate, 1995).

Como indica Gal (2002: 2), el objetivo principal de esta integracin no es proporcionar a los

futuros ciudadanos el dominio de unos algoritmos de clculo sino una cultura estadstica: Que se refiere a dos componentes interrelacionados: a) capacidad para interpretar y evaluar crticamente la informacin estadstica, los argumentos apoyados en datos o los fenmenos estocsticos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicacin, pero no limitndose a ellos, y b) capacidad para discutir o comunicar sus opiniones respecto a tales informaciones estadsticas cuando sea relevante.

Sin embargo, la realidad nos dice que dicha tendencia no tiene un reflejo similar en las aulas,

el hecho de que la estadstica y la probabilidad se incluyan de una forma oficial en el currculo

no significa que necesariamente se enseen; es ms, los datos nos dicen que sigue siendo un

tema ausente de la mayora de las aulas de la educacin obligatoria de gran parte de los

pases.

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En Espaa, por ejemplo, el hecho es que muchos profesores no se sienten cmodos con estas

materias, la dejan como ltimo tema y cuando es posible la omiten.

Lo cual no deja de ser un indicador significativo, pues son campos del conocimiento

matemticos, especialmente verstiles y potentes para introducir en el aula. As, su

tratamiento nos permite:

Generar situaciones de aprendizaje referidas a temas de inters para el alumno. Utilizar como apoyo las representaciones grficas No necesitar una teora matemtica compleja,

Entonces, Por qu los profesores somos tan reacios a integrar de forma sistemtica su

estudio en nuestras aulas?

Evidentemente es una compleja red de razones la que provoca esta situacin, muchas de las

cuales no controlables. En las siguientes lneas apuntamos algunas de las que, tanto desde los

estudios tericos, histricos, epistemolgicos y didcticos, como desde la investigacin,

hemos podido ir caracterizando y sobre las que creemos que s se puede actuar.

ALGUNAS POSIBLES RAZONES

Uno de los problemas que afectan claramente a su enseanza es la propia naturaleza del

conocimiento estocstico y la existencia de temas controvertidos sobre los que no hay un

consenso general entre los estadsticos.

Los conceptos estadsticos se mezclan a veces con cuestiones filosficas sobre la naturaleza del conocimiento y sobre cmo un nuevo hallazgo se apoya en los datos. Los conceptos estadsticos se combinan con frecuencia con cuestiones sobre la causalidad o la induccin que han sido tema de debates durante siglos (Batanero, 2002).

Para su adecuada presentacin y tratamiento en el aula, es necesario analizar los aspectos ms

significativos de la peculiar naturaleza del conocimiento estocstico pues ellos inciden

directamente en las condiciones de su aprendizaje y su enseanza.

Sobre la naturaleza del conocimiento estocstico

El estudio realizado sobre las condiciones y formas de su evolucin a lo largo de la historia y

las caractersticas epistemolgicas reconocidas en cada momento, nos permite observar como

se presentan controversias en sus definiciones e interpretaciones incluso en las nociones ms

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bsicas. Por ejemplo, el propio objeto de estudio del conocimiento estocstico, los fenmenos

aleatorios, est sometido a controversia (Azcrate, 1995).

Desde las explicaciones encontradas en los distintos momentos histricos, podemos suponer

que para unas personas el azar y lo aleatorio ser, por ejemplo, todo aquello que tiene que ver

con la "suerte" o el "destino" y por tanto incontrolable; para otros, simplemente el producto de

nuestra ignorancia sobre ciertos fenmenos, sobre las causas que los originan o sobre su

funcionamiento, lo que conlleva su imposible control; en algunos casos, la explicacin

considerada puede estar ms en funcin de la complejidad intrnseca de los fenmenos y, por

tanto, de la imposibilidad de una prediccin exacta de su resultado; etc. Todas ellas son

susceptibles de ser consideradas pero no todas son idneas para una adecuada comprensin

probabilstica de la realidad.

En el anlisis de su progresiva configuracin se percibe la aleatoriedad, como una nocin

que slo puede ser definida en funcin de los instrumentos de los que se disponga para

probar el carcter aleatorio del fenmeno ante el que nos enfrentemos, del cuerpo de

conocimiento y de la clase de referencia que consideremos; es decir, no existe una forma

nica, precisa y universalmente vlida para definir la aleatoriedad (Kyburg, 1974; Cardeoso,

2001).

Este breve anlisis, que no deja de ser un mero boceto de la complejidad de la temtica, nos

da una idea de su dificultad y de la ambigedad implcita en el reconocimiento de un suceso

como aleatorio, sin determinar claramente las condiciones y los criterios o argumentos para

tal adscripcin. Un grave error educativo es considerar la caracterizacin de la aleatoriedad

como algo obvio y no dependiente de determinados criterios y reconocimientos de los

elementos implicados, cuando vienen referidos a sistemas de ideas implcitos.

Cmo se conciben y se explican los sucesos aleatorios constituye un elemento clave en la

elaboracin del conocimiento estocstico y en el reconocimiento de sus posibilidades de

estudio. Una inadecuada comprensin del concepto de suceso aleatorio y de aleatoriedad

puede ser un obstculo epistemolgico en la comprensin de este conocimiento. Idea

considerada por muchos autores, como Hietele (1975), Konold y otros (1991), Steinbring

(1991), etc.

Otro de sus nociones bsicas, la probabilidad, es tambin un concepto de difcil comprensin

pues, en general, entra en clara contradiccin con el pensamiento determinista y causal

dominante en nuestra educacin.

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"La probabilidad es un concepto particularmente resbaladizo. A travs de la probabilidad intentamos demarcar un estado amorfo situado entre dos extremos imaginarios: la total ignorancia y el conocimiento perfecto" (Konold, 1991; p.139).

En este caso su significado es de compleja elaboracin desde una lgica causal, ni el estudio

de la situacin emprica por s misma: el objeto de estudio; ni la representacin matemtica

por s mismo: el modelo, pueden expresar el significado de la probabilidad.

La modelizacin matemtica, es decir, el dato probabilstico, puede estar a su vez

caracterizada por diferentes posibilidades de interpretacin; por un lado, la probabilidad como

caracterizacin experimental a travs de las frecuencias relativas observadas, lo que le

confiere un valor ms objetivo; por otro, la probabilidad clsica, considerada como un "a

priori", con un carcter ms terico basada en las propias condiciones del fenmeno; o bien,

la probabilidad considerada como resultado de hiptesis establecidas, unas veces a partir de

las creencias subjetivas de las personas y otras de las estimaciones realizadas a priori, en

funcin de datos empricos, relacionadas en ciertos aspectos con la aproximacin bayesiana.

Los problemas filosficos que presenta la probabilidad en su posible significado es un

elemento sobre el que es necesario reflexionar para conocer su particular naturaleza y la

idiosincrasia de este conocimiento. La comprensin integral de la nocin de probabilidad

necesita de la interaccin de las diferentes posibles interpretaciones, aspectos que habrn de

ser tenidos en cuenta a la hora de su tratamiento en el aula, siempre que el objetivo sea

facilitar el desarrollo de un pensamiento probabilstico idneo (Azcrate, 1996).

Desde la revisin de las claves de la evolucin, tanto del conocimiento estadstico como el

probabilstica, una de las principales ideas que pueden extraerse y que los caracteriza, es la

constante relacin interactiva entre las situaciones empricas y la modelizacin

matemtica a lo largo de todo su desarrollo. El modelo matemtico y la situacin emprica

no pueden ser totalmente congruentes, se construyen modelos adaptados a las distintas

situaciones que luego han de ser generalizados, pero sin olvidar la necesidad de dicho

referente real para la construccin del modelo.

Las afirmaciones estocsticas siempre reflejan una vinculacin con situaciones reales y, por

tanto, el pensamiento estocstico, a diferencia de otros campos del pensamiento matemtico

como el aritmtico, el geomtrico o el algebraico, ha de tener siempre un referente real,

siendo imprescindible tener en cuenta, desde el principio, la diferencia entre el modelo

matemtico y la situacin real.

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Es decir, como ya sealaban Anderson y Loynes (1987) hace casi 20 aos, el aprendizaje de

este conocimiento es inseparable del estudio de sus aplicaciones; su historia muestra tambin

como recibe ideas y aportes desde reas muy diversas, donde, al tratar de resolver problemas

diversos (transmisin de caracteres hereditarios, medida de la inteligencia, etc.) se han creado

conceptos y mtodos estadsticos de uso general (correlacin, anlisis factorial).

Como sugieren Murray y Gal (2002) la comprensin, interpretacin y reaccin frente a la

informacin estadstica no slo requiere conocimiento estadstico o matemtico, sino tambin

habilidades lingsticas, conocimiento del contexto, capacidad para plantear preguntas y una

postura crtica que se apoya en un conjunto de creencias y actitudes, que influye directamente

en la interpretacin de dicha informacin.

Estas ideas, nos informan sobre las peculiaridades propias del conocimiento estocstico que,

como ya indicbamos, inciden tanto en su aprendizaje como en su enseanza.

El razonamiento estocstico no es algo inmediato y dependiente exclusivamente del

desarrollo de los individuos, sino que se construye progresivamente en interaccin con el

entorno. Dicho razonamiento parte de unas intuiciones iniciales que aparecen desde edades

muy tempranas y que no evolucionan paralelamente al desarrollo lgico del sujeto.

Las investigaciones nos muestran que el razonamiento de los individuos en situaciones

aleatorias, tanto nios como adultos, es muy frgil; sin alcanzar un nivel formal de

conceptualizacin. Se detectan numerosos sesgos y obstculos en sus razonamientos. Se

detectan claramente concepciones intuitivas y el uso de esquemas heursticos en sus

funcionamientos. El sujeto slo adquirir una verdadera comprensin estocstica, a travs de

la interaccin, en situaciones concretas, de sus nociones subjetivas con los conceptos y

modelos estocsticos. (Azcrate, 1995).

La idea de que su desarrollo conceptual es un proceso en espiral, dependiente de la necesaria

complementariedad entre lo terico y lo emprico, no solamente es til para explicar la

evolucin del conocimiento, sino tambin para comprender y planificar los procesos de

interaccin en el aula.

Los procesos de enseanza han de reflejar, por tanto, esta necesaria interaccin entre el

modelo matemtico y la situacin emprica, en los distintos niveles de complejidad. Este

complicado "feedback" como vehculo de la instruccin supone un serio cambio para el

profesor, pues ello implica una aproximacin al conocimiento estocstico por distintos

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caminos que permitan la interrelacin continua entre lo emprico, lo intuitivo y lo formal

(Falk y Konold, 1992).

En otras palabras, supone un diseo de actividades con una configuracin en espiral,

alternativo al diseo usual que refleja una estructura lineal y jerarquizada; es decir, ser

necesario un diseo que permita un itinerario cclico entre distintas actividades

interrelacionadas entre s, con avances progresivos en complejidad, a travs de la resolucin

de los problemas que se presenten en las distintas situaciones. Situaciones que han de guardar

un grado suficiente de similitud con las situaciones reales. Uno de los aspecto claves es la

seleccin de situaciones potentes y ricas por su variedad de elementos y, a la vez, cercanas a

la realidad del nio

En dichas situaciones, surgen dos elementos que son bsicos para el desarrollo del

pensamiento estocstico: los medios de representacin de los datos obtenidos en dichas

situaciones y la actividad que con ellos se realice. En el caso del conocimiento estocstico un

elemento que refleja las posibles interacciones entre el modelo matemtico y el caso

individual es su modelizacin mediante los diferentes medios de representacin, como tablas

o grficos (Steinbring, 1991). Todas estas capacidades se incentivan en el trabajo con

propuestas globales de actuacin, proyectos, casos, escenarios, etc.

El trabajo con propuestas de esta naturaleza supone problemas de gestin en el aula. Las

condiciones que configuran el conocimiento estadstico y probabilstico implican la

consideracin de un proceso de enseanza contextualizada y participativa, lo cual provoca

controversias cos las formas tradicionales de trabajo en las aulas de matemticas. Por otro

lado, este tipo de trabajo promueve tambin el trabajo en grupos y la perspectiva socio

cultural en el aula (Cobb y Hodge, 2002), parte importante tambin de su aprendizaje.

Supone, por tanto, la interaccin entre el trabajo individual del alumno y el cooperativo,

orientado hacia el aprendizaje comprensivo de conceptos, procedimientos de bsqueda y

recogida de informacin, representaciones y grficos, la necesaria ejercitacin de tcnicas de

clculo y la mejora en las capacidades de anlisis, argumentacin, formulacin de conjeturas

y creatividad de sus alumnos y la adecuada organizacin de la informacin para su

comunicacin (Lipson y Kokonis, 2005). La organizacin de la informacin obtenida y la

elaboracin de informes favorece el desarrollo de la capacidad discursiva de los estudiantes,

como medio de ampliar sus habilidades de pensamiento crtico. En la produccin de su

informe el estudiante debe situar el anlisis de sus datos dentro de un argumento coherente y

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convincente que apoye sus hiptesis; la comunicacin de ideas a partir de tablas y grficos es

especialmente importante en el razonamiento estadstico (Nolan y Speed, 1999).

Como podemos percibir, el conocimiento estocstico es un conocimiento complejo, y su

tratamiento en el aula reclama formas diferentes de actuacin de las tradicionales en las aulas

de matemticas.

Su significado no puede ser agotado en el conocimiento de la propia estructura matemtica,

pero tampoco adquiere su sentido completo a travs del estudio de experiencias empricas

inmediatas sin ms, pues transformaramos al conocimiento estocstico en una coleccin de

recetas o tcnicas concretas. Respetar esas condiciones nos lleva a evitar los caminos

unilaterales y lineales en los procesos de enseanza.

Ideas que pueden dar pistas sobre la dificultad del profesorado para tratarlos en sus aulas.

Podramos pensar que ante la falta de dominio de este conocimiento, los profesores podran

acudir a los libros de textos, pero tampoco parece una solucin acertada.

Sobre su tratamiento en los libros de texto

Aunque pueda parecer un aspecto ms pragmtico el anlisis de los libros de texto, no por ello

deja de ser importante. Gran parte del profesorado utiliza como referente fundamental, para

preparar su intervencin, los libros de texto.

Evidentemente, en respuesta a estas reformas institucionales, numerosas editoriales han

elaborado nuevas versiones de sus libros de texto en las que presentan nuevas unidades

relacionadas con el conocimiento estocstico. Sin embargo, el nfasis se mantiene en otros

bloques de conocimiento clsicos como la aritmtica, el lgebra, la geometra o el anlisis,

otorgando un papel secundario a estas nuevas unidades. Por ejemplo, habitualmente son las

ltimas unidades las que tiene menor presencia en nmero y las que ocupan menos nmero de

pgina, aspectos formales pero significativos.

Adems, como indica Martnez (2002), las nuevas propuestas se quedan en un cambio ms de

formas que de fondo, pues, gran parte de ellas mantienen un carcter de continuidad con los

principios tradicionales, en los que el objetivo preferente es la actividad matemtica y no la

actividad estadstica (Holmes, 2002).

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As, analizando las formas de presentacin del conocimiento probabilstico (figura1) en los

libros de texto de la ESO (Serrado, 2000), se detecta como la estructura de dichas unidades

responde fundamentalmente a dos formas diferenciadas de razonamiento.

Estructura Unidades

Tendencia tradicional Tendencia tecnolgica

Hipottico-deductivo Emprico-inductivo

Conocimiento externo ya determinado

Relacin causa/efecto

Verdad determinada

Observacin

Estructura Unidades

Tendencia tradicional Tendencia tecnolgica

Hipottico-deductivo Emprico-inductivo

Conocimiento externo ya determinado

Relacin causa/efecto

Verdad determinada

Observacin

Figura 1.- Clasificacin de la estructura de las Unidades

En unos casos se pone el nfasis en el razonamiento deductivo, partiendo de la explicacin

con las posteriores aplicaciones y, en otros casos, se parte de la observacin y de mtodos

inductivos. En ningn caso se interrelacionan y se establecen conexiones entre ellos.

Los problemas y ejercicios de los libros de texto slo suelen concentrarse en los

conocimientos tcnicos.

Sobre los profesores y su formacin

Por ltimo, otra de las posibles razones que, desde nuestra perspectiva mayor influencia

puede tener es que, si bien la necesidad de su integracin ha sido reconocida

institucionalmente y se ha promovido su introduccin progresiva en los planes de estudios, sin

embargo, paralelamente no se ha dedicado la necesaria atencin al desarrollo de los

profesionales responsables de su integracin real en las aulas, lo que ha provocado una

preparacin insuficiente para ensear estos conceptos.

La mayora de los maestros nunca han estudiado formalmente estos conocimientos y los

profesores de secundaria pueden haber recibido algn curso introductorio en la universidad,

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generalmente desde perspectiva formales, situaciones que en ningn caso preparan a los

profesores para ensearlos.

Como resultado, la mayora de los maestros y profesores tiene conocimiento dbil de estos

conceptos y, en el caso de tratarla en su aula, tienden a enfocar su instruccin en los aspectos

ms procedimentales vinculados al clculo y no en la comprensin conceptual (Nicholson y

Darnton, 2003; Watson, 2001).

Los docentes se encuentran ante grandes dificultades para otorgar en sus aulas el peso

indicado a estas ideas ya que, por un lado, se enfrentan ante una propuesta externa para la

incorporacin de este nuevo conocimiento que en la mayora de los casos no conocen y, por

otro, dicho conocimiento se presenta de forma dispersa en los libros de texto y materiales

curriculares.

Todos estos aspectos inciden en las decisiones de los profesores que explican la baja

presencia de estos conocimientos tanto en las aulas de primaria como de secundaria. El

tiempo y las formas de la formacin estadstica y probabilstica estn an muy lejos de ser las

adecuadas y los alumnos llegan al final de su etapa formativa, o a la universidad, sin los

conocimientos bsicos de estadstica descriptiva y clculo de probabilidades.

Creemos que realmente, como Lajoie y Romberg (1998) apuntan, la estadstica y la

probabilidad pueden ser temas novedosos tanto para los alumnos como para los docentes y la

integracin de su enseanza y aprendizaje en las aulas un reto para la educacin del siglo

XXI.

UNA PIEZA CLAVE DEL PROCESO: LAS IDEAS DE LOS

PROFESORES

La investigacin desarrollada en los ltimos aos indica que hay una relacin clara entre las

concepciones de los profesores y sus experiencias durante el desarrollo del proceso de

enseanza y aprendizaje.

Idea que en el campo de la educacin estadstica se ve determinada por las caractersticas del

conocimiento que los profesores tienen sobre el tema. De hecho, hay una fuerte evidencia de

investigacin de la pobre comprensin de estos conocimientos que disponen tanto los

profesores en formacin, como en activo (Azcrate, 1996; Carnel, 1997; Begg y Edward,

1999; Cardeoso, 2001; Serrad, Azcrate y Cardeoso, 2006).

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Como hemos visto en el apartado anterior, una de las nociones bsicas del razonamiento

estocstico es la aleatoriedad. En principio, las personas se desconciertan ante lo inesperado o

fortuito, pero luego, progresivamente, buscan causas que justifiquen "ms o menos" las

fluctuaciones encontradas, lo que les lleva a buscar razones ocultas para los hechos de un

cierto orden oculto, argumentando y explicando la existencia de ese suceso inesperado. En sus

trabajos, Ayton, Hunt y Wright (1989) describen la variedad de criterios que utilizan los

individuos para determinar si una cierta secuencia es aleatoria o no, reflejo de la propia

complejidad de la nocin de Aleatoriedad.

Investigaciones con profesores en activo, y con futuros profesores, nos dan algunas pistas

sobre las dificultades en la caracterizacin de la Aleatoriedad (Azcrate, 1995; Cardeoso,

2001).

En las siguientes afirmaciones, podemos ver la diversidad de argumentaciones

S258: Predecir la cantidad de caras que se obtienen en 100 lanzamientos de una moneda es un fenmeno... No Aleatorio, porque se pueden calcular las probabilidades...

S45: Un Fenmeno Aleatorio es aquel... Que no sea algo material, que no tenga reglas, que no tenga estructura

S24: Un Fenmeno Aleatorio es aquelQue tenga las mismas posibilidades de que se llegue a dar, que de que no se llegue a dar.

Podemos ver como clasifican como no aleatorios aquellos fenmenos que estn originados

por factores conocidos que determinan si el suceso va a ocurrir o no, independientemente del

azar; cuando aparece cualquier factor que pueda contrarrestar la accin del azar, y por tanto

tener informacin sobre su funcionamiento, el suceso ya no es aleatorio.

En contraposicin, asocian lo aleatorio a las opciones no controladas cuyo resultado

habitualmente consideran como equiposible, hay tantas posibilidades de que ocurra como de

que no ocurra pues no hay nada que determine su ocurrencia.

S270: Encontrar un trabajo que tenga que ver con mi formacin es un fenmeno... No Aleatorio, porque depende de la ley de la oferta y de la demanda.

S312:.Predecir el color de una bola que se extrae de un bombo con bolas de distintos colores es un fenmeno Aleatorio..., porque depende de la suerte

Reafirman que solo se reconoce como suceso aleatorio aquel que depende del azar, en cuanto

existe alguna otra causa que el sujeto pueda conocer o controlar, ya no se considera

aleatorio, aunque exista un margen de imprecisin en su ocurrencia.

En las tendencias de pensamiento caracterizadas en dichas investigaciones, es significativa la

presencia de aproximadamente el 20% de sujetos, tanto entre los futuros docentes como los

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profesores en activo, integrados en la tendencia caracterizada como Determinista;

caracterizada por utilizar argumentaciones causales tanto para reconocer como para negar la

aleatoriedad, generalmente slo reconocen como suceso aleatorio el vinculado con el contexto

del juego y, en consecuencia, el procedimiento bsico que utilizan para asignar probabilidades

es el Laplaciano.

Los datos globales nos dicen que ms del 50% de los criterios de anlisis de las situaciones

presentadas se apoyaban en presupuestos deterministas y causal, en muy pocas ocasiones se

analizaba la existencia de una interaccin de causas vinculada a la incertidumbre

20% muestra Tendencia a negar aleatoriedad No admiten mundo indeterminista, salvo asociado

al juego Estimacin Laplaciana como lectura usual de la

frmula matemtica Nivel determinista de la realidad

Evidentemente esto tiene sus consecuencias en las aulas, Batanero y Serrano (1999) indican

que la introduccin de la idea de aleatoriedad se hace preferentemente de un modo

descriptivo, cobrando un papel primordial los matices de lenguaje. La descripcin de las

caractersticas atribuidas a los resultados de los experimentos se realiza mediante palabras

como imprevisible, incierto, etc., con las que se pretende que se evoquen las propiedades de

tales fenmenos, pero cuyo significado no suele clarificarse.

Estas dificultades se ven agravadas cuando al acudir a los libros de textos nos encontramos

con una realidad similar. En primer lugar, los textos presentan bsicamente el azar

modelizado a partir de argumentaciones asociadas con la suerte y la aleatoriedad con la

incertidumbre del suceso, caracterizaciones que son insuficientes para poder comprender

adecuadamente el significado de las nociones probabilsticas.

Es difcil encontrar en los libros de texto alguna seccin dedicada a presentar el significado de

la incertidumbre y de la aleatoriedad como ideas previas a su estudio mediante los

procedimientos estadsticos y probabilsticos. En sus unidades suelen incluir una breve

explicacin y actividades relacionadas con experimentos del azar, fundamentalmente juegos.

En general presentan a los experimentos, que no fenmenos o situaciones, deterministas y

azarosos en la misma seccin.

Al objeto de Argumentacin Reconocer ALEA Causalidad

Negar ALEA Causalidad

Asignar PRO Laplaciana

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Por ejemplo, una caracterizacin del experimento del determinista presente en muchos libros

de texto sera:

"Un experimento es determinista si es posible predecir el resultado".

Y por contraposicin, un experimento aleatorio se define como:

"Un experimento es aleatorio cuando es imposible de predecir el resultado."

Realmente estas dos definiciones son antagnicas. El experimento aleatorio no se define por

sus caractersticas sino por lo que no es; es decir, se define como negacin del determinista, es

como si establecieran un isomorfismo entre los experimentos aleatorios y los no-

deterministas.

La contraposicin a la nocin de fenmeno determinista enfatiza las relaciones de causa y

efecto que, a su vez, pueden producir sesgos en la interpretacin correcta del significado de

sucesos dependientes e independientes y constituirse como un obstculo para la posterior

comprensin de la nocin de probabilidad (Serrado, 2003).

Cuando en la caracterizacin de las situaciones aleatorias no hay referencia alguna a las

condiciones iniciales o a la presencia del azar, la comprensin del significado de estas

situaciones y experimentos aleatorios se reduce a saber que no es determinado. En esta

contingencia en donde el Azar est presente, que condiciona la ignorancia del individuo. Esta

ignorancia puede relacionarse con la imposibilidad para saber las condiciones iniciales del

fenmeno (Wagensberg, 1998). El experimento aleatorio se define como negacin del

determinista, en el que se asocia la existencia del azar a la ignorancia; de hecho, esta es una

acepcin tpica del siglo XVII (Azcrate, 1995).

No se analiza en ningn momento el experimento o fenmeno aleatorio como aquel cuyo

resultado depende de una compleja interaccin de causas y su resultado no puede ser

calculado previamente, ya que son fenmenos que realizados en las mismas condiciones

pueden tener diferentes resultados.

Todas estas ideas son reforzadas cuando la mayora de los ejemplos de experimentos

deterministas se refieren a experimentos fsicos y qumicos, que se rigen por las leyes de la

ciencia. Sin embargo, la mayora de los ejemplos de experimentos aleatorios son juegos

obtenidos con generadores aleatorios, como dados o monedas. Los estudiantes determinan

que estos experimentos son aleatorios porque las causas son desconocidas y un producto de la

fortuna. Bajo esta caracterizacin, como la imposibilidad de predecir las causas, subyace un

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principio de determinismo, opcin que entra en clara controversia con la idea de

incertidumbre.

La falta de clarificacin de la nocin de aleatoriedad deja abierta la posibilidad de

interpretacin ambigua, y se puede configurar como un obstculo en la comprensin de la

nocin de aleatoriedad por parte de los alumnos.

A este respeto, Bennett (2000: 13) indica que:

"las ideas intuitivas sobre el azar pueden preceder a las ideas formales y, si son correctas, pueden ser de gran ayuda en le aprendizaje; pero en caso contrario, pueden llegar a dificultar la correcta comprensin de los conceptos".

Otra gran dificultad que se detecta en el conocimiento de los profesores es el significado de

los trminos. Cuando iniciamos el estudio de la estadstica y la probabilidad, habitualmente

ya hemos usado muchos de sus trminos en la vida cotidiana, en juegos e informaciones del

contexto; expresiones que usamos para referirnos a fenmenos y sucesos aleatorios, a sucesos

ciertos, posibles o imposibles, que, con frecuencia, no tienen el mismo sentido preciso que

adquieren en el Tratamiento del Azar (Cardeoso y Azcrate, 1995). Estas diferencias

existentes entre el lenguaje cotidiano y el lenguaje estocstico ocasionan obstculos en la

elaboracin comprensiva de estos conocimientos. Lo que resulta problemtico no son los

trminos imposible, seguro, suceso o experimento en s mismos, sino los conceptos y

procesos subyacentes que se estn comunicando y el significado que transmiten.

De nuevo, si nos vamos a los textos, encontramos que tampoco ayudan especialmente a los

profesores. Los textos tampoco suelen clarificar el significado de trminos como imprevisible,

coleccin, conjunto, seguro, imposible, etc., dificultando la elaboracin de las nociones

probabilsticas que los sustentan, como fenmeno y experimento, suceso y proceso, espacio

muestral o secuencia aleatoria.

En la misma lnea, las investigaciones realizadas con futuros maestros nos permite mostrar

que, a pesar de la simplicidad aparente de algunos de las ideas estadsticas, como la idea de

promedio, su comprensin presenta dificultades similares a las encontradas en sus futuros

alumnos. Los datos muestran la falta de comprensin del algoritmo de clculo de la media, el

desconocimiento de los alumnos de la relacin entre media, mediana y moda en distribuciones

no simtricas o la creencia en que todas las distribuciones son simtricas (Batanero, Godino y

Navas, 1997).

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En una reciente investigacin realizada con profesores de secundaria en activo, en relacin

al tratamiento de estos conocimientos en sus aulas, se presentan diferentes argumentaciones

sobre sus dificultades a la hora de su enseanza (Serrado, 2003; Serrado, Cardeoso y

Azcrate, 2005).

En ella, aunque reconocen su papel en la formacin del alumno por su transferencia a la vida

real:

Yo creo que s les puede servir a ellos... porque quizs es algo que ellos s lo vean ms en la vida diaria que, por ejemplo, la unidad de polinomios (S5).

No termina de ver claro su introduccin en el aula, por lo distante del trabajo actual del

alumno en clase de matemticas:

Supongo que tambin depender de cmo tu plantees el tema, pero al menos tal y como los alumnos estn acostumbrados hasta el momento de cmo se les presentan las matemticas en el aula, para ellos sera aprender nuevas reglas del juego... (S1).

Los datos de la investigacin nos dicen que estos profesores consideran que:

* Hay una falta de tradicin en su enseanza

* El desarrollo de este bloque de contenidos tiene menos importancia que los otros

* Carecen de conocimientos didcticos suficientes para explicarlo adecuadamente.

En definitiva, estamos ante un proceso de innovacin en el aula que involucra el tratamiento

de un nuevo conocimiento, ajeno a gran parte del profesorado y que adems demanda de

nuevas formas de hacer en el aula, con estrategias metodolgicas que permitan una mayor

participacin del alumno, como el trabajo con proyectos, con escenarios, con aspectos del

entorno. Estamos realmente ante una situacin especialmente desafiante para el

profesorado. La educacin estadstica slo ser una realidad en nuestras aulas cuando los

profesores entiendan y valoren su aportacin a la formacin de sus alumnos. Y ello slo

ser posible si disponemos de una adecuada formacin conceptual y didctica en este

mbito del conocimiento.

ASPECTOS FORMATIVOS DEL PROFESORADO

Como podemos intuir de las diferentes informaciones disponibles desde las investigaciones y

reflexiones presentadas, es realmente una compleja red de razones la que nos llevan a la

actual situacin de ausencia en las aulas del tratamiento del conocimiento estocstico.

Razones que reflejan las dificultades que deben afrontar los profesores y que podramos

16

sintetizar en tres categoras:

Dificultades de orden epistemolgico, debidas a los problemas de comprensin conceptual de las nociones y de los procedimientos bsicos del conocimiento

estocstico, debido al tipo de formacin recibida, centrada ms en los aspectos

formales y en los procedimientos de clculo que en los problemas de su significado.

Dificultades cognitivas, provocadas por la naturaleza del conocimiento adulto no formal configurado desde la experiencia y que, en muchos casos, lleva a elaborar

significados alternativos y procedimientos heursticos para dar respuesta a las

situaciones afectadas por incertidumbre en el contexto cotidiano.

Dificultades didcticas, tanto por al falta de referentes y materiales curriculares adecuados, como la integracin en el aula de nuevas formas de relacin y de

estrategias metodolgicas que demanda la educacin estadstica.

Todos estamos de acuerdo que la naturaleza progresivamente creciente de una sociedad de la

informacin hace muy importante formar profesores componentes para le enseanza del

conocimiento estocstico. Ello implica que cada vez es ms prioritario establecer formas

efectivas de preparar a los profesores en formacin y en ejercicio, pero Cmo podemos

lograrlo?.

El conocimiento profesional se configura como un sistema de ideas, con diferentes niveles de

especificidad y articulacin, que estn sujeto a evolucin constante y reorganizacin apoyada

en la reflexin y en la resolucin de los problemas que emanan de la prctica (Azcrate,

1999).

En los estudios desarrollados desde la perspectiva de desarrollo profesional, se incide en la

necesidad de que los profesores integren diferentes aspectos en su conocimiento prctico

profesional (Porln y Rivero, 1998; Azcrate, 2001), aspectos que puede favorecer abordar las

dificultades indicadas en el caso de la educacin estocstica, como:

La reflexin epistemolgica sobre el significado de los conceptos, procedimientos (en general, objetos) particulares que se pretende ensear, es decir, en este caso, la

reflexin epistemolgica sobre la naturaleza del conocimiento estocstico, su

desarrollo y evolucin. El conocimiento profundo de la materia y de sus relaciones es

el que permite al profesor buscar las mejoras formas de presentacin y adaptacin del

conocimiento estocstico al nivel de sus alumnos.

17

El estudio de los proceso cognitivos, las dificultades, errores y obstculos de los alumnos en el aprendizaje del conocimiento estocstico, sus nociones, procedimientos

y estrategias que le permiten orientar e interpretar las producciones de sus alumnos y

guiar su aprendizaje.

El anlisis didctico del currculo, diseo de situaciones y entornos adecuados, recursos para la enseanza de temas especficos, estrategias metodolgicas adecuadas

para su enseanza.

Las perspectivas epistemolgica, ontolgica y didctica desde la que actan los profesores

tienen claras implicaciones en sus decisiones sobre qu y cmo ellos ensean. Configuran tres

referentes, o dimensiones bsicas del conocimiento prctico profesional, que el profesor ha de

elaborar y ha de poner en prctica durante el proceso de ensear el conocimiento estadstico.

Desde nuestra perspectiva, como investigadores centrados en el estudio del desarrollo

profesional del docente, subscribimos que todo cambio en las ideas del profesorado est

ligado a la reflexin del docente en su propio campo de actuacin, el aula.

Partir de sus propias ideas, conceptuales y didcticas, analizarlas, cuestionarlas y elaborar

nuevos conocimientos en contextos reflexivos, es una condicin imprescindible. Las grandes

dificultades de comprensin provienen de los obstculos intuitivos y estos slo salen a la luz,

al ponerlos en accin en situaciones empricas concretas, al intentar explicar y ser conscientes

de los razonamientos seguidos y al contrastarlos con la aplicacin de un conocimiento

normativo.

Los profesores, como ciudadanos estadsticamente cultos deben ser capaces de controlar sus

intuiciones sobre el azar, diferenciar las que son correctas e incorrectas, y aplicar el

razonamiento estadstico para controlar sus intuiciones en las situaciones de riesgo y toma de

decisin. Condicin necesaria para ayudar a sus alumnos a elaborar un razonamiento

adecuado y superar la situacin actual, donde los alumnos llegan a la universidad con

conocimientos casi nulos y numerosas intuiciones incorrectas sobre la estadstica y la

probabilidad, que les dificultarn la comprensin posterior de conceptos fundamentales como

los de de inferencia (Carrera, 2002).

En este sentido, es necesario que el profesor reflexione sobre la naturaleza del conocimiento

estocstico, pero tambin ha de reflexionar sobre los aspectos relacionados con el

aprendizaje y la enseanza. En la misma lnea que cuando analiza el campo conceptual, el

18

trabajo sobre los aspectos didcticos ha de estar vinculado con sus intereses ideas y con sus

prcticas.

Para que sean significativos los contextos formativos han de estar ligados a la prctica

profesional, o su futura prctica, como forma de poner en cuestin y contrastar las diferentes

decisiones que se toman en un proceso de intervencin. Situaciones que han de permitirles pensar en el "qu" ensear en relacin al conocimiento estocstico y el "cmo" ensearlo.

Integrarse en estos contextos reflexivos favorece el estudio sobre las estrategias

metodolgicas ms adecuadas para su presentacin y tratamiento en el aula.

Los profesores formados desde la perspectiva determinista, imperante en nuestro contexto

educativo, piensan que hay un nico y verdadero conocimiento que debe transmitirse de

manera organizada, jerrquica y coherente con el mtodo hipottico-deductivo. Desde esta

perspectiva los objetivos de la enseanza se limitan a las estrategias para calcular los primeros

estadsticos y la probabilidad en contextos de experimentos aleatorios, presentados como una

herramienta para calcular la probabilidad y la estabilidad de las frecuencias (Azcrate,

Cardeoso y Serrad, 2003).

Sin embargo, ya indicbamos que el conocimiento estocstico no puede ser comprendido

separado de su contexto de aplicacin. Ello implica que a los conceptos y tcnicas estadsticas

no han de ser presentadas descontextualizadas, o aplicadas nicamente a problemas abstractos

que no se encuentran en la vida real, se trata de presentar escenarios o situaciones ms

globales que permitan el desarrollo de las diferentes fases de un estudio estadstico:

planteamiento de un problema, decisin sobre los datos a recoger, recogida y anlisis de

datos, obtencin de conclusiones sobre el problema planteado, previsiones, toma de

decisiones, etc.(Connor, Davies y Payne, 2002).

Este tipo de trabajo supone un reto para los alumnos, acostumbrados a que en la clase de

matemticas cada problema y ejercicio tiene una nica solucin y suele estar concentrado

cada vez en un slo concepto. Sin embargo, el trabajo con escenarios, proyectos o situaciones

ms globales, implica la existencia de diferentes procedimientos y soluciones adecuadas que

suelen trabajar bastantes ms de un solo contenido (Cardeoso y Serrado, 2006; Batanero y

Daz, 2004). Pero no slo es un reto para los alumnos, tambin lo es para el profesor que debe

aprender a moverse en el mtodo y razonamiento estadstico

Las propuestas deben ser realistas, abiertas y apropiadas al nivel del alumno. Se debe

comenzar proponiendo un problema prctico y abarcable que necesita de la estadstica para

19

resolverlo. Nolan y Speed (1999) sugieren que en el comienzo el profesor no debe centrarse

en la terminologa estadstica, sino proporcionar estrategias generales que puedan

generalizarse a otros datos y contextos. El razonamiento estadstico es una herramienta de

resolucin de problemas y no un fin en s mismo. La fase de planteamiento de preguntas es

una de las ms difciles.

Los profesores tienen grandes dificultades a la hora de disear escenarios o proyectos que

configuren entornos de aprendizaje adecuados del conocimiento estocstico. Muchas veces,

ellos mismos tienen dificultades para afrontar la realizacin de proyectos.

Una situacin anloga, como docentes investigadores, la podemos encontrar en el momento

de formulacin de un problema de investigacin que nos permita configurar un proyecto.

Habitualmente comenzamos con la formulacin de problemas muy generales, difciles de

abordar, y poco a poco vamos cerrando el problema hasta llegar a un problema claramente

formulado, que puede ser estudiado y sobre el que podemos realmente obtener informacin

tras su estudio, estadstico en este caso.

Una lista de puntos a tener en cuenta al plantear las preguntas del estudio podra ser:

Qu quieres probar?; Qu tienes que medir /observar /preguntar?; Qu datos necesitas?

Cmo encontrars tus datos? Qu hars con ellos?; Crees que puedes hacerlo?

Encontrars problemas? Cules?; Podrs contestar tu pregunta? Para qu te servirn los

resultados?

Una posibilidad para promover procesos formativos de esta naturaleza es incorporar a los

profesores en equipos de investigacin y diseo curricular que den sentido a su propio

proceso formativo (Espasandn y Lpez, 2002). Un intento de constituir un equipo de esta

naturaleza se recoge en el proyecto Earlystatistics .

UNA PROPUESTAS: EL PROYECTO EARLYSTATISTICS

La constatacin de que est realidad no slo corresponde al mbito espaol sino que, en

muchos pases europeo estn en condiciones similares, ha provocado la necesidad de buscar

soluciones y alternativas que nos permitan avanzar en el camino de integrar este conocimiento

en las aulas.

Siendo conscientes de que la llave de la puerta la tiene en gran parte el profesorado, este

proyecto intenta elaborar y evaluar una propuesta formativa que d respuesta a alguna de estas

20

problemticas y aporte informacin relevante para lo formacin de los docentes en este campo

del conocimiento matemtico.

Dicha propuesta configurar un programa formativo (Earlystatistics course), elaborado

desde unos determinados principios comunes y configurado desde la propuesta de un conjunto

de escenarios para su desarrollo en las aulas.

Ser implementado en cuatro pases europeos (Chipre, Grecia, Noruega y Espaa), desde

procesos colaborativos, apoyados en recursos tecnolgicos, y sometido a un proceso riguroso

de investigacin que nos permita valorar su adecuacin y eficacia.

El curso ser llevado, sobre la base de un "aprendizaje-combinado, con apoyo tecnolgico:

- Reuniones y discusiones presenciales con los tutores y profesores locales en cada pas.

- Al empezar y terminar las sesiones se ha de realizar un anlisis de los aspectos

sociales y de intercambio, la comunicacin visual, el trabajo colaborativo y del

entorno tecnolgico.

- Sesiones prcticas con los ordenadores y sistema E_Learning

- E_Learning: LMS

- Sesiones de videoconferencia, para el intercambio entre profesores de diferentes pases

- Sistema de comunicacin continuo (audio y video): la presentacin de simulaciones sobre

el tratamiento de temas de estadstica especficos

- Pgina Web: Http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/data/, en la que ser

presentada la propuesta formativa, con la plataforma Moodle, promoviendo el intercambio de

opiniones y experiencias en su desarrollo entre los profesores del mismo pas.

En definitiva, es una propuesta que intenta vincular la prctica real de los profesores

implicados con procesos de experimentacin y reflexin sobre el tratamiento en el aula de

algunas de las ideas bsicas del conocimiento estadsitico (Figura 2).

21

Figura 2.- Ideas Bsicas

El proceso de elaboracin de dicho conocimiento se aproxima tericamente desde la

consideracin de tres referentes, o dimensiones bsicas, que configuran el conocimiento

prctico profesional que el profesor ha de elaborar y ha de poner en prctica durante el

proceso de ensear el conocimiento estadstico:

(a) Conceptual: el dominio y comprensin conceptual y didctica del contenido;

(b) Cognitiva: la comprensin del aprendizaje estadstico y las formas de promoverlo;

(c) Prctica: el desarrollo de las competencias y estrategias de intervencin en las

aulas.

El desarrollo del programa formativo se configura en cuatro ciclos (Figura 3). Los dos

primeros momentos, centrados en el proceso de diseo previo a la experimentacin en el aula,

estn dirigidos a analizar el conocimiento seleccionado y su aprendizaje y adaptar a su nivel

educativo y contexto la presentacin de los escenarios integrados en la propuesta formativa.

El tercer momento es la puesta en prctica del escenario, en cada aula, con un seguimiento

del proceso mediante las herramientas que facilita el entorno tecnolgico.

El cuarto momento est ms orientado a retomar todo el proceso y analizar xitos, dificultades

y posibles modificaciones.

Poblacin Muestra

I. Produccin de datos Datos II. Anlisis

exploratorio de datosIII. Inferencia

Probabilidad

F/E Aleatorio

Poblacin Muestra

I. Produccin de datos Datos II. Anlisis

exploratorio de datosIII. Inferencia

Probabilidad

F/E Aleatorio

Poblacin Muestra

I. Produccin de datos Datos II. Anlisis

exploratorio de datosIII. Inferencia

Probabilidad

F/E Aleatorio

Poblacin Muestra

I. Produccin de datos Datos II. Anlisis

exploratorio de datosIII. Inferencia

Probabilidad

F/E Aleatorio

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Conocimiento sobreAprendizaje/enseanza

3Prctica

Conocimiento de y sobre Estadstica y probabilidad

Conocimiento prctico

4Reflexin

evaluacin1

Contenido 2

Cognicin

Conocimiento sobreAprendizaje/enseanza

3Prctica

Conocimiento de y sobre Estadstica y probabilidad

Conocimiento prctico

4Reflexin

evaluacin1

Contenido 1

Contenido 2

Cognicin

Figura 3.- Ciclos de desarrollo del programa formativo

La idea es hacer un seguimiento del proceso que nos permita analizar y contrastar, entre el

equipo de profesores y formadores implicados, la experiencia formativa y el desarrollo de los

escenarios puestos en juego en el aula. La evaluacin ser llevada a cabo desde procesos de

reflexin y de colaboracin que permitan no slo experimentar con la enseanza del

conocimiento estocstico, sino elaborar un conocimiento profesional que de respuesta a

algunos de los problemas planteados y favorezca la progresiva integracin de su enseanza en

nuestras escuelas.

CONCLUSIONES

La reforma curricular promovida por la LOGSE, as como en otros currculos recientes de los

pases de nuestro entorno, supone un importante reto al sistema educativo, no slo en los

niveles de enseanza primaria y secundaria, sino tambin para la formacin inicial y

permanente de los profesores de las distintas reas curriculares. En el caso de la formacin de

los profesores de primaria y secundaria es preciso contemplar la preparacin matemtica y

didctica en los nuevos contenidos, cuya enseanza se propone o potencia en la reforma,

como es el razonamiento estadstico y el tratamiento de la informacin.

Nuestros alumnos, no slo aprenden en el contexto escolar, su interaccin con el medio es una

parte vital de su desarrollo. En l encuentran informacin estadstica en la prensa y medios de

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comunicacin, en Internet, realidad que est empezando a modificar las relaciones docentes

con o sin participacin voluntaria de los profesores. Es evidente que los profesores de todos

los niveles educativos hemos de aceptar la rapidez del cambio social, e implicarnos en l, si

queremos guiar de algn modo la educacin estadstica y crear una verdadera cultura

estadstica en la sociedad.

Como en cualquier campo profesional, los profesores necesitan de una formacin especfica

que habilite para el ejercicio de esta importante profesin. La formacin debe proporcionar

los conocimientos iniciales necesarios, ayudar en el logro y desarrollo de competencias

especficas de la profesin docente, actualizar respecto a los cambios metodolgicos,

conceptuales y tcnicos que peridicamente se producen y atender demandas formativas

especficas, en este caso las necesarias para promover una educacin estocstica adecuada.

Pero, si bien esta idea es vlida, su incidencia en las aulas no ser un hecho hasta que los

profesores, responsables de esas aulas, no las incorporemos a nuestro sistema de ideas.

El cambio en nuestras formas de ensear slo es posible si somos capaces de revisar nuestras

ideas, ello implica mirarnos a nosotros mismos, analizar y poner en cuestin nuestras ideas y

esquemas de accin que guan nuestras prcticas (Azcrate, 2005). Debemos pensar qu

podemos hacer, desde nuestras posibilidades y en nuestro contexto, para apoyar y promover la

presencia de la Educacin Estocstica en nuestras aulas.

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