Pol´ımeros y Orbitas de Part´ıculas´ en Espacios Mu...

Take any shape but that, and my firm nerves

Shall never tremble

William Shakespeare (1564–1616), Macbeth

16

Polımeros y Orbitas de Partıculasen Espacios Multiplemente Conectados

En el capıtulo anterior el potencial binario de interaccion entre los elementos de unpolımero se aproximo mediante una funcion δ. En terminos mecanico–cuanticosse encuentra que este potencial no es completamente impenetrable. Es decir,un polımero con esta interaccion tiene una probabilidad finita de presentar auto-interacciones. Lo anterior es solo una aproximacion burda a la situacion real, endonde el potencial atomico es del tipo de nucleo duro y las auto-interacciones sonextremadamente poco comunes. En el ensemble gran-canonico, es frecuente queun polımero este enredado con otros polımeros y con el mismo, el polımero podradesenredarse solo si tiene extremos abiertos. Para lograr esto se requieren de fluc-tuaciones macroscopicas en la forma de procesos tipo gusano. Comparadas con lasfluctuaciones locales, las fluctuaciones macroscopicas necesitan mucho tiempo. Enpolımeros cerrados, desenrendarse es solo posible si se rompen las ligaduras. Paralograr esto se requieren energıas de activacion elevadas. Para estudiar el fenomenode enredado en su forma mas pura, como en la Seccion 15.10, es ultil idealizar elpotencial de interaccion altamente repulsivo mediante una restriccion topologica deltipo discutido en el Capıtulo 6.

El fenomeno de enredado tiene tambien un papel importante en mecanicacuantica, donde las orbitas fluctuantes de las partıculas pueden enredarse con tubosde flujo magnetico o con las orbitas de otras partıculas. De hecho, como se mostraraen este capıtulo, las propiedades estadısticas de las partıculas de Fermi y Bose sepueden ver como un fenomeno de enredado.

16.1 Modelo Sencillo para Polımeros Enredados

Consideremos el modelo mas sencillo de un sistema con restricciones topologicasque produzcan fenomenos de enredado: un polımero alargado fijo orientado sobredel eje z y un segundo polımero fluctuante. Se permiten enredados arbitrarioscon el polımero recto. Por simplicidad, descartamos el posible auto-enredado delpolımero fluctuante. Estudiemos la distribucion extremo a extremo del segundo

1144

16.1 Modelo Sencillo para Polımeros Enredados 1145

polımero fluctuante. En primera instancia despreciamos la tercera dimension, la cualse puede incluir trivialmente en un segundo paso, imaginando que el movimientoesta confinado completamente al plano xy. Si el polımero a lo largo del eje z esinfinitesimalmente delgado, entonces la distribucion extremo a extremo total delpolımero fluctuante en el plano es independiente de la presencia del polımero central.En la aproximacion de cadena aleatoria, la distribucion para un valor no muy grandede R sera

PN(xb − xa) =

√

2

2πLa

2

e−(xb−xa)2/2La, (16.1)

donde x es un vector localizado en el plano.En la presencia del polımero central, surge un nuevo problema interesante:

¿Como descomponer la distribucion extremo a extremo con respecto al numero deveces que el polımero fluctuante se envuelve alrededor del polımero central? Paradefinir este numero, escogemos una lınea de referencia arbitraria desde el origenhasta el infinito, digamos el eje x. Para cada trayectoria desde xa hasta xb, contabi-lizamos cuantas veces el polımero cruza esta lınea, introduciendo un signo negativocuando tengamos que la direccion de cruce sea en la direccion opuesta. De estamanera, cada trayectoria recibe como etiqueta un numero entero n, el cual dependede la posicion de la lınea de referencia.

Existe una propiedad que es independiente de la eleccion de la lınea de referenciapara la pareja de trayectorias con extremos fijos. La diferencia de las trayectorias escerrada. El numero de veces n en que una trayectoria cerrada encierra al origen esun invariante topologico, llamado el numero de enredado . Encontremos la descom-posicion de la distribucion de probabilidad de un polımero cerrado, PN(xb − xa),con respecto a n:

PN(xb − xa) =∞∑

n=−∞

P nN (xb,xa). (16.2)

La restriccion topologica destruye, en el lado izquierdo, la invarianza translacionalde la distribucion total, de tal manera que, en el lado derecho, las diferentes dis-tribuciones para cada n fijo dependen en forma independiente de xb y de xa.

En una integral de trayectoria es facil rastrear el numero de cruces n. La dife-rencia angular entre los puntos inicial y final xb y xa esta dada por la integral

ϕb − ϕa =∫ tb

tadt ϕ(t) =

∫ tb

tadtx1x2 − x2x1x21 + x22

=∫ xb

xa

x× dx

x2. (16.3)

Dadas dos trayectorias C1 y C2 que conectan a xa y xb, la integral difiere en unmultiplo entero de 2π. Por lo tanto, el numero de enredado esta dado por la integralde contorno sobre la trayectoria cerrada C, la diferencia de las trayectorias:

n =1

2π

∮

C

x× dx

x2. (16.4)

1146 16 Polımeros y Orbitas de Partıculas en Espacios Multiplemente Conectados

Para separar la distribucion extremo a extremo (16.2) con respecto al numero deenredado, recordemos la descomposicion angular de la amplitud de evolucion paratiempos imaginarios de la partıcula libre en dos dimensiones, Ecs. (8.9) y (8.17),

PL(xb − xa) =∑

m

1√rbra

(rbτb|raτa)m1

2πeim(ϕb−ϕa), (16.5)

donde la amplitud radial es

(rbτb|raτa)m = 2

√rbraLa

e−(r2b+r2a)/LaIm

(

2rbraLa

)

. (16.6)

Hemos insertado los parametros de los polımeros siguiendo las reglas de laSeccion 15.6, reemplazando M/2h(τb − τa) por 1/La, y usando la etiqueta L = Naen PL en lugar de N , como en la Ec. (15.301).

Ahora recordemos que, de acuerdo a la Seccion 6.1, una integral de trayectoriaangular consta del producto de integrales

N∏

n=1

∫ π

−π

dϕn2π

, (16.7)

cuyos momenta conjugados son valores enteros, el producto anterior se puede con-vertir en el producto de integrales ordinarias

N∏

n=1

∫ ∞

−∞

dϕn2π

, (16.8)

cuyos momenta conjugados son continuos. Por la conservacion de momentum, estaexpresion es independiente de la particion temporal n, el momentum comun estaapropiadamente restringido a su valor entero mediante la suma final sobre el numeroentero n que aparece en la formula de Poisson [ver la Ec. (6.9)]

∑

n

eik(ϕb+2πn−ϕa) =∞∑

m=−∞

δ(k −m)eim(ϕb−ϕa). (16.9)

Obviamente, el numero n en el lado izquierdo es precisamente el numero de enredadopor medio del cual queremos clasificar la distribucion extremo a extremo. La proba-bilidad restringida deseada P n

L (xb,xa) para un numero n de enredado dado se ob-tiene, por tanto, convirtiendo en la Ec. (16.5) la suma sobre m en una integral sobreµ y una suma sobre n como se hizo en la Ec. (1.205), omitiendo por ahora la sumasobre n, el resultado es:

P nL (xb,xa) =

2

La

∫ ∞

−∞dµe−(r2

b+r2a)/LaI|µ|

(

2rbraLa

)

1

2πeiµ(ϕb−ϕa+2πn). (16.10)

De aquı encontramos la probabilidad deseada para el polımero cerrado que pasa atraves del punto x con varios numeros de enredado n alrededor del polımero central:

P nL (x,x) =

2

La

∫ ∞

−∞dµe−2r2/LaI|µ|

(

2r2

La

)

1

2πei2πµn. (16.11)

16.1 Modelo Sencillo para Polımeros Enredados 1147

Calculemos ahora la funcion de particion de un polımero cerrado con un numeron de enredado dado. Para que la funcion de particion sea finita, cambiamos elsistema agregando un potencial de oscilador armonico centrado en el origen.1 Si ωse mide en unidades de 1/longitud, la probabilidad anterior se convierte en

P nL (x,x) =

2

a

ω

sinhωL

∫ ∞

−∞dµe−2(r2/a)ω cothωLI|µ|

(

2

a

r2ω

sinhωL

)

1

2πei2πµn. (16.12)

Esta expresion se puede integrar sobre todo el espacio usando la formula (2.475). Elresultado es

P nL ≡

∫

d2xP nL (x,x) =

1

2 sinhωL

∫ ∞

−∞dµe−|µ|ωLe2πiµn. (16.13)

Para revisar esta formula, sumamos ambos lados sobre todo n. Entonces la integralsobre µ se reduce, mediante la formula de Poisson, a una suma sobre los numerosenteros µ = m = 0,±1,±2, . . . , y encontramos

PL ≡∫

d2xPL(x,x) =∞∑

n=−∞

P nL

=1

2 sinhωL

(

2

1− e−ωL− 1

)

=1

[2 sinh(ωL/2)]2. (16.14)

Como habrıa de esperarse, esta es la funcion de particion de un oscilador armonicobidimensional.

Para encontrar la contribucion de varios numeros de enredado, hallamos la inte-gral sobre µ y obtenemos

P nL =

ωL

sinhωL

1

4π2n2 + ω2L2. (16.15)

El factor de la derecha se reconoce como el termino que se obtiene del desarrollo

1

2ωLcoth(ωL/2) =

∞∑

n=−∞

1

4π2n2 + (ωL)2

=1

L2

∞∑

n=−∞

1

ω2n + ω2

. (16.16)

Las cantidades ωn ≡ 2πn/L son los anologos, en el polımero, a las frecuencias deMatsubara. Ası podemos escribir

P nL = PL · αn, (16.17)

1Alternativamente, podemos agregar un campo magnetico con una frecuencia de Landau ω =−eB/Mc, como se hace en la Ec. (16.33). La amplitud tendra entonces la frecuencia ω/2 en lugarde ω, y un factor extra emωL/2.


donde αn es la probabilidad relativa de encontrar el numero de enredado n (y dondetenemos la normalizacion Σnαn = 1),

αn =1

ω2n + ω2

[

∞∑

n=−∞

1

ω2n + ω2

]−1

=1

L2

1

ω2n + ω2

[

1

2ωLcoth

ωL

2

]−1

. (16.18)

16.2 Orbitas Enlazadas de Partıculas Fluctuantes:el Efecto Aharonov-Bohm

El enredado de un polımero fluctuante alrededor de un polımero central recto tieneuna interesante contraparte mecanico-cuantica conocida como el efecto Aharonov-Bohm. Considerese una partıcula libre no relativista cargada moviendose en unespacio que contiene un tubo infinitesimalmente delgado con flujo magnetico finitoorientado a lo largo de la direccion z:

B3 =g

2πǫ3jk∂j∂kϕ = g δ(2)(x⊥), (16.19)

donde x⊥ es el vector transversal, x⊥ ≡ (x1, x2). Estudiemos la integral de trayec-toria asociada. La interaccion magnetica esta dada por [recordemos la Ec. (2.635)]

Amag =e

c

∫ tb

tadt x ·A, (16.20)

donde e es la carga y A el potencial vectorial. El flujo tubular (16.19) se obtiene delas componentes en el plano xy.

Ai =g

2π∂iϕ, (i = 1, 2), (16.21)

donde ϕ es el angulo azimutal alrededor del tubo:

ϕ(x) ≡ arctan(x2/x1). (16.22)

Notese que las derivadas de ϕ en la Ec. (16.19) conmutan en todo el espacio, exceptoen el origen, donde del teorema de Stokes tenemos

∫

d2x (∂1∂2 − ∂2∂1)ϕ =∮

dϕ = 2π. (16.23)

El flujo magnetico total a traves del tubo esta definido por la integral

Φ =∫

d2xB3. (16.24)

Sustituyendo la Ec. (16.19) vemos que el flujo total es igual a g:

Φ = g. (16.25)

16.2 Orbitas Enlazadas de Partıculas Fluctuantes: el Efecto Aharonov-Bohm 1149

Con el potencial vectorial (16.21), la interaccion (16.20) toma la forma

Amag = −hµ0

∫ tb

tadt ϕ, (16.26)

donde µ0 es el numero adimensional

µ0 ≡ − eg

2πhc. (16.27)

El signo negativo se introduce por convencion.Puesto que las orbitas de las partıculas exiten para todo tiempo, sus lıneas

universo en el espacio-tiempo se pueden considerar como cerradas en el infinito,y la integral

n =1

2π

∫ tb

tadt ϕ (16.28)

es el invariante topologico (16.4), la cual tiene valores enteros para el numerode enredado n. La interaccion magnetica (16.26) es, por lo tanto, un invariantetopologico cuyo valor es

Amag = −hµ0 2πn. (16.29)

Despues de sumar este resultado a la accion de la partıcula libre, en la descom-posicion radial (8.9) de la integral de trayectoria mecanico-cuantica, reescribimos lasuma sobre los numeros cuanticos azimutales m mediante la formula de suma dePoisson (16.10), y obtenemos

(xbτb|xaτa) =∫ ∞

−∞dµ

1√rbra

(rbτb|raτa)µ (16.30)

×∞∑

n=−∞

1

2πei(µ−µ0)(ϕb+2πn−ϕa).

Puesto que el numero de enredado n es difıcil de medir, busquemos consecuenciasobservables que sean independientes de n. La suma sobre todo n forza a que µ seaigual a un multiplo entero arbitrario de µ0, m = 0,±1,±2, . . . . El resultado es

(xbτb|xaτa) =∞∑

m=−∞

1√rbra

(rbτb|raτa)m+µ0

1

2πeim(ϕb−ϕa), (16.31)

donde la amplitud radial es

(rbτb|raτa)m+µ0 =√rbra

M

h

1

(τb − τa)exp

−M2h

r2b + r2aτb − τa

I|m+µ0|

(

M

h

rbraτb − τa

)

.(16.32)

Por generalidad, permitimos la presencia de un campo magnetico homogeneo B cuyafrecuencia de Landau es ω = −eB/Mc. Se ha definido el signo menos en analogıa


con el parametro µ0 de la Ec. (16.27). Usando la amplitud radial (9.105), vemosque la Ec. (16.32) puede generalizarse como

(rbτb|raτa)m+µ0 =√rbra

Mω

2hη

η

sinh ηexp

[

−M2h

ω

2coth η(r2b + r2a)

]

× I|m+µ0|

(

Mωrbra2h sinh η

)

e(m+µ0)η, (16.33)

donde η ≡ ω(τb − τa)/2.Ahora podemos hacer la siguiente observacion interesante: si µ0 es un numero

entero, i.e., si

eg

2πhc= entero, (16.34)

la funcion de distribucion mecanico-cuantica (x tb|x ta) de la partıcula dada en laEc. (16.31) es independiente del flujo magnetico tubular orientado a lo largo deleje z. La condicion implica que el flujo magnetico es un multiplo entero del flujomagnetico fundamental

Φ0 ≡ g0 ≡2πhc

e=hc

e. (16.35)

Identificamos a este tubo infinitesimalmente delgado como una cuerda de Dirac.Tales cuerdas indetectables se usaron en la las Secciones 8.12, en el Apendice 10A.3y en la Seccion 14.6 para traer el flujo magnetico de un monopolo magnetico desde in-finito hasta un cierto punto donde emergen radialmente las lıneas de flujo magnetico.En el Apendice 10A.3 hemos forzado que la cuerda sea matematicamente invisi-ble, imponiendo la invarianza de norma monopolar. La presente discusion muestraexplıcitamente que, para toda partıcula cargada, la cuantizacion del flujo permiteque las cuerdas de Dirac sean en efecto indetectables. Esta observacion inspiro aDirac en su especulacion sobre la existencia de los monopolos magneticos.

En la fısica de bajas temperaturas, la cuantizacion del flujo magnetico se observaen los superconductores del tipo II. Los superconductores son diamagnetos perfectosque expelen los campos magneticos. Los superconductores tipo II tienen la propiedadde que por encima de cierto campo externo crıtico llamado Hc1, la expulsion delcampo magnetico no es perfecta y aparecen tubos magneticos cuantizados de flujoΦ0 (fase de Shubnikov). Al incrementar el campo, existen mas y mas de estosflujos tubulares. Los tubos magneticos se aglomeran tanto que pueden formar unconglomerado periodico. En un corte a traves del plano xy, el conglomerado se vecomo el flujo de una red plana hexagonal [4]. Si el tubo de flujo magnetico centralde la Ec. (16.19) tiene un flujo que no es un multiplo entero de Φ0, la amplitudde partıculas que pasan por el tubo muestra un patron de interferencia interesante.Inicialmente este efecto fue una sorpresa, ya que el espacio esta libre de camposmagneticos. Para calcular este patron de interferencia consideremos la amplitud deenergıa fija de una partıcula libre en dos dimensiones dada por la Ec. (9.12), la cual


separamos en ondas parciales mediante el teorema de adicion (9.14) de las funcionesde Bessel, como se hizo en la Ec. (9.15):

(xb|xa)E = −2iM

h

∞∑

m=−∞

Im(κr<)Km(κr>)1

2πeim(ϕb−ϕa). (16.36)

Comparando este resultado con la Ec. (16.30) y repitiendo los argumentos que con-ducen a las Ecs. (16.31) y (16.32), podemos escribir inmediatamente la amplitud deenergıa fija en presencia del flujo Φ0:

(xb|xa)E = −2iM

h

∞∑

m=−∞

I|m+µ0|(κr<)K|m+µ0|(κr>)1

2πeim(ϕb−ϕa). (16.37)

Ahora es facil obtener las funciones de onda. En el plano complejo E, el ladoderecho tiene una discontinuidad sobre el eje real positivo. Rehaciendo lo hecho enlas Ecs. (9.15)–(9.22), derivamos la discontinuidad∫ ∞

−∞

dE

2πhdisc(xb|xa)E =

∞∑

m=−∞

∫ ∞

0dkkJ|m+µ0|(krb)J|m+µ0|(kra)

1

2πeim(ϕb−ϕb). (16.38)

La norma de la integral∫

(dE/2πh)(2πM/h) se ha reemplazado por∫∞0 dkk, de

acuerdo a la Ec. (9.23).En ausencia de un flujo tubular, la amplitud (16.38) se reduce a la de una

partıcula libre, la cual se puede separar como∫ ∞

−∞

dE

2πhdisc(xb|xa)E =

∫

d2k

(2π)2eik(xb−xa) =

1

2π

∫ ∞

0dkkJ0(k|xb − xa|)

=∞∑

m=−∞

∫ ∞

0dkkJm(krb)Jm(kra)

1

2πeim(ϕb−ϕa). (16.39)

Si hay un flujo tubular presente, un haz incidente de partıculas cargadas sedesviara de su trayectoria aun cuando el espacio alrededor del eje z no contenganingun campo magnetico. Calculemos de amplitud de dispersion y la seccion eficazresultante, utilizaremos para ello la amplitud de energıa fija (16.37). Recordemoslos resultados de la teorıa de dispersion mecanico-cuantica debida a Lippmann ySchwinger. En esa teorıa se estudia el efecto de la interaccion sobre el estado inci-dente de la partıcula libre ϕk, cuyo vector de onda es k. El resultado es el estadodispersado ψk, obtenido a partir de la ecuacion integral de Lippmann-Schwinger

ψk = ϕk +1

E − H0 + iηV ψk

= ϕk −i

hR(E) V ϕk, (16.40)

donde E es la energıa de la partıcula incidente, V el potencial y R(E) el operadorresolvente dado en la Ec. (1.319). Los estados dispersados ψk son soluciones de laecuacion de Schrodinger

Hψk = (H0 + V )ψk = Eψk. (16.41)


En el espacio x, la ecuacion de Lippmann-Schwinger es

ψk(x) = ϕk(x)−i

h

∫

dDx′ (x|x′)EV (x′)ϕk(x′). (16.42)

El primer termino describe las partıculas incidentes, el segundo las partıculas dis-persadas. Para hallar la amplitud de dispersion, solo importa el comportamiento delsegundo termino en el lımite de valores grandes de x. Generalmente normalizamosla funcion ϕk(x) a la exponencial eikx y factorizamos el comportamiento asintoticodel segundo termino como el producto de una onda esferica saliente multiplicadapor la amplitud de dispersion. En tres dimensiones, lejos del centro de dispersion,el comportamiento asintotico es

ψk(x)|x|→∞

−−−→ eikx +ei|k||x|

|x| f(θ, ϕ) + . . . , (16.43)

donde θ y ϕ son los angulos de dispersion del haz saliente y f es la amplitud dedispersion. El cuadrado de esta amplitud sera la seccion diferencial transversal

dσ

dΩ= |f(θ, ϕ)|2. (16.44)

En dos dimensiones, la separacion correspondiente es

ψk(x)|x|→∞

−−−→ eikx +ei|k||x|√

|x|f(ϕ) + . . . . (16.45)

La amplitud de dispersion f(ϕ), que depende unicamente del angulo azimutal ϕ =arctan(x2/x1), permite hallar la seccion diferencial transversal

dσ

dϕ= |f(ϕ)|2. (16.46)

Para calcular f(ϕ), observamos que la solucion mas general Ψ(x) de la ecuacionde Schrodinger (16.41) se obtiene formando la integral de convolucion de la discon-tinuidad del resolvente con una funcion de onda arbitraria φ(x):

ψ(x) =∫

dDx′ disc(x|x′)E φ(x′). (16.47)

Usando la Ec. (16.38), esto puede reescribirse como una combinacion lıneal de lasfunciones de onda J|m+µ0|(kr)

ψ(x) =∞∑

m=−∞

amJ|m+µ0|(kr)eimϕ, (16.48)

la cual es solucion de la ecuacion de Schrodinger (16.41). Los coeficientes am se eligende tal forma que se cumplan las condiciones de frontera de la dispersion en infinito.


Supongamos que las partıculas incidentes tienen el vector de onda k = (−k, 0). Enla region incidente x → ∞, las partıculas se describen por la funcion de onda

limx→∞

ψ(x) = e−ikxe−iµ0ϕ. (16.49)

El factor de fase extra es necesario para obtener el vector de onda correcto, ya queen presencia de la norma

eAi = −hcµ0∂iϕ, (16.50)

el momentum fısico p = hk no estara dado por el operador diferencial usual −ih∇,sino que por el operador del momentum invariante de norma

P = −ih∇− e

cA = −ih(∇+ iµ0∇ϕ). (16.51)

La corriente de partıculas incidentes, invariante de norma, correspondiente es

j(x) = −i h2M

ψ†↔

∇ ψ(x)− e

McA(x)ψ†ψ(x). (16.52)

Demostraremos a continuacion que la eleccion correcta para los coeficientes am es

am = (−i)|m+µ0|, (16.53)

de donde la amplitud de dispersion sera

f(ϕ) =1√2πe−iπ/4 sin πµ0

e−iϕ/2

cos(ϕ/2), (16.54)

y por tanto, la seccion transversal sera

dσ

dϕ=

1

2πsin2 πµ0

1

cos2(ϕ/2). (16.55)

Esta seccion transversal tiene un pico cerca de la direccion frontal ϕ ≈ π. Para µ0=entero, no hay dispersion y el flujo tubular es una cuerda invisible de Dirac.

Para deducir las Ecs. (16.53) y (16.54) podemos suponer que µ0 ∈ (0, 1). Deotra forma, podrıamos simplemente cambiar en la Ec. (16.37) la suma sobre m poralgun entero ∆m, y esto darıa lugar a un factor global ei∆m(ϕb−ϕa) en disc(xb|xa)E .Con esto tendrıamos el factor ei∆mϕ en ψ(x). Para µ0 ∈ (0, 1), separamos la funcionde onda (16.48) en tres partes:

ψk = ψ(1) + ψ(2) + ψ(3). (16.56)

La primera parte contiene los terminos con m positivo,

ψ(1) =∞∑

m=1

(−i)m+µ0Jm+µ0eimϕ, (16.57)


la segunda parte contiene los terminos con m negativo,

ψ(2) =−1∑

m=−∞

(−i)m+µ0J|m+µ0|eimϕ

=∞∑

m=1

(−i)m−µ0Jm−µ0e−imϕ, (16.58)

y la tercera parte contiene solo el termino m = 0,

ψ(3) = (−i)|µ0|J|µ0|. (16.59)

Obviamente, ψ(2) se puede obtener de ψ(1) mediante la identidad

ψ(2)(r, ϕ, µ0) = ψ(1)(r,−ϕ,−µ0). (16.60)

Ası, la funcion de onda (16.56) requiere solo del calculo de ψ(1).Como primer paso observemos que la suma (16.57) tiene la representacion inte-

gral

ψ(1) =1

2(−i)µ0e−iρ cosϕ I(ρ), (16.61)

siendo I(ρ) la integral

I(ρ) ≡∫ ρ

0dρ′eiρ

′ cosϕ(

J1+µ0 − iJµ0eiϕ)

. (16.62)

Hemos escrito kr ≡ ρ de tal manera que kx ≡ ρ cosϕ. Para probar la representacionintegral, diferenciamos la Ec. (16.61) y encontramos la ecuacion diferencial

∂ρψ(1) = −i cosϕ ψ(1) +

1

2(−i)µ0

(


, (16.63)

donde todas las funciones dependen solo de kr ≡ ρ. Precisamente la misma ecuacionse cumple para la suma (16.57):

∂ρψ(1) =

∞∑

m=1

(−i)m+µ0∂ρJm+µ0eimϕ

=∞∑

m=1

(−i)m+µ01

2(Jm+µ0−1 − Jm+µ0+1) e

imϕ (16.64)

= − i

2

∞∑

m=1

(−i)m+µ0Jm+µ0eimϕ

(

eiϕ + e−iϕ)

+1

2(−i)µ0

(

J1+µ0 − iJµ0eie)

.

Ası, las dos expresiones para ψ(1), Ecs. (16.57) y (16.61), difieren a lo mas en unaconstante de integracion. Sin embargo, la constante debe de ser cero ya que ambasexpresiones se anulan en ρ = 0. Esto demuestra la representacion integral (16.61).

Para deducir la amplitud de dispersion para un flujo magnetico tubular tenemosque encontrar el comportamiento asintotico de la funcion de onda. Esto se logra


separando a ψ(1)∞ en dos terminos, una contribucion de ψ(1)

∞ donde la integral I selleva hasta infinito, donotada por I∞, y una parte complementaria ∆ψ(1), la cual seanula en el lımite r → ∞. La integral I∞ se puede calcular analıticamente usandola formula

∫ ∞

0dρeiβρJα(kρ) =

1

(k2 − β2)1/2eiα arcsin(β/k), 0 < β < k, α > −2. (16.65)

De donde obtenemos

I∞ ≡∫ ∞

0dρ′eiρ

′ cosϕ(


=1

| sinϕ|[

eiµ0(π/2−|ϕ|) − ieiϕei(1+µ0)(π/2−|ϕ|)]

=i

| sinϕ|eiµ0(π/2−|ϕ|)

(

e−i|ϕ| − eiϕ)

=

0, ϕ < 0,e−iµ0ϕ2iµ0 , ϕ > 0,

(16.66)

y donde ϕ ∈ (−π, π). Por lo tanto, tenemos

ψ(1)∞ =

0, ϕ < 0,e−ikxe−iµ0ϕ, ϕ > 0.

(16.67)

Usando la Ec. (16.60), encontramos

ψ(2)∞ =

e−ikxe−iµ0ϕ, ϕ < 0,0, ϕ > 0.

(16.68)

La suma ψ(1)∞ + ψ(2)

∞ representa la funcion de onda incidente (16.49). Por lo que laonda dispersada debe estar representada por la onda restante

ψsc = ∆ψ(1) +∆ψ(2) + ψ(3). (16.69)

En la amplitud de dispersion, solo el comportamiento 1/√r de los tres terminos es

el relevante. Para encontrar a este comportamiento en ∆ψ(1), usamos la Ec. (16.61)y escribimos el complemento de la integral (16.62) como

∆I(ρ) ≡ I(ρ)− I∞ =∫ ∞

ρdρ′eiρ

′ cosϕ(

J1+µ0 − ieiϕJµ0)

. (16.70)

Para valores grandes de ρ, el desarrollo asintotico

Jα(ρ) ∼√

2/πρ cos(ρ− α/2− π/4) (16.71)

nos permite escribir

∆I(ρ) =

√

2

π[A(ρ) +B(ρ)], (16.72)

donde usamos las integrales

A(ρ) =∫ ∞

ρ

dρ′√ρ′eiρ

′ cosϕ cos [ρ′ − (1 + µ0)/2− π/4] ,

B(ρ) = −ieiϕ∫ ∞

ρ′

dρ′√ρ′eiρ

′ cosϕ cos [ρ′ − µ0/2− π/4] . (16.73)


Si de la exponencial extraemos la funcion coseno y cambiamos la variable ρ′ en losdos terminos a la forma ρ′ = t2/(1± cosϕ), encontramos

A(ρ) =

[

(−i)1/2+µ0√1 + cos θ

∫ ∞

√ρ(1+cosϕ)

dteit2

+i3/2+µ0√1− cos θ

∫ ∞

√ρ(1−cosϕ)

dte−it2

]

,

(16.74)en forma analoga hallaremos una expresion equivalente para B(ρ). El desarrolloasintotico de la funcion error

∫ ∞

xdte±it

2

= ± i

2

exp(±ix2)x

+ . . . (16.75)

nos permite reescribir

A(ρ) =1

2

(−i) 12+µ0

eiρ√

ρ(1 + cosϕ)2+ i

12+µ0

e−iρ√

ρ(1− cosϕ)2

eiρ cosϕ,

B(ρ) = (−i)eiϕ

2(16.76)

×

(−i)− 12+µ0

eiρ√

ρ(1 + cosϕ)2+ i−

12+µ0

e−iρ√

ρ(1− cosϕ)2

eiρ cosϕ.

Luego de sumar los dos terminos en la Ec. (16.72) y sustituyendo todo en laEc. (16.61), encontramos el siguiente comportamiento asintotico

∆ψ(1) =

√−i

2√2πρ

[

(−1)µ0eiρ1 + eiϕ

1 + cosϕ+ ie−iρ

1− eiϕ

1− cosϕ

]

. (16.77)

Ahora, si usamos la expresion hallada en la Ec. (16.60) para ∆ψ(2), obtenemos

∆ψ(1) +∆ψ(2) =

√−i√2πρ

[

eiρcos(πµ0 − ϕ/2)

cos(ϕ/2)+ ie−iρ

]

+ e−i(ρ cosϕ+µ0ϕ).

(16.78)

Ademas, si de la Ec. (16.59) sumamos ψ(3), donde el lımite asintotico estara dadopor la expresion (16.71), encontramos que la funcion de onda total se comportacomo

ψ(x) → e−i(ρ cosϕ+µ0ϕ) + ψsc(x), (16.79)

donde la onda dispersada sera

ψsc =1√2πiρ

eiρsin πµ0

cos(ϕ/2)e−iϕ/2. (16.80)

Esto corresponde precisamente a la amplitud de dispersion (16.54) y su secciontransversal (16.55).

16.3 El Efecto Aharonov-Bohm y la Estadıstica Fraccionaria 1157

Mencionemos que para valores semi-enteros de µ0, la solucion de la ecuacion deSchrodinger tiene la representacion integral

ψ(x) =

√

i

2e−i(ϕ/2+ρ cosϕ)

∫

√ρ(1+cosϕ)

0dteit

2

. (16.81)

Esta representacion se anula sobre la lınea ϕ = π, i.e., directamente detras del flujotubular y es claramente uni-valuada.

16.3 El Efecto Aharonov-Bohm y la EstadısticaFraccionaria

Se hizo notar en la Seccion 7.5, y vale la pena mencionarlo una vez mas en estaseccion, que la amplitud del movimiento relativo de las orbitas de dos fermiones sepuede obtener de la amplitud del efecto Aharonov-Bohm.

Para mostrarlo en la amplitud de Aharonov-Bohm usamos el valor µ0 = 1 y paratener en cuenta la identidad de las partıculas sumamos sobre los estados finalesϕb, ϕb + π. El resultado es

(xb|xa)E + (−xb|xa)E = −2iM

h

∑

m

I|m+1|(κr<)K|m+1|(κr>)

× 1

2π

[

eim(ϕb−ϕa) + (−)meim(ϕb−ϕa)]

= −4iM

he−i(ϕb−ϕa)

∑

m=impar

I|m|(κr<)K|m|(κr>)1

2πeim(ϕb−ϕa). (16.82)

La suma sobre los dos estados finales identicos restringe la solucion solo a las fun-ciones de onda impares, como en las Ecs. (7.267)–(7.268). Cuando se calculan canti-dades observables tales como la densidad de partıculas o la funcion de particion, lascuales involucran solo la traza de la amplitud, el factor de fase e−i(ϕb−ϕa) no tieneconsecuencias importantes y se puede omitir.

Para µ0 6= 1, la amplitud resultante puede interpretarse como si describierapartıculas en dos dimensiones que obedecen una estadıstica fraccionaria inusual.Esta interpretacion ha ganado recientemente una gran popularidad,2 ya que haayudado a entender los datos experimentales del efecto Hall cuantico fraccionario.El fenomeno se puede explicar por medio de la siguiente idea: la excitacion de un gasde electrones, los cuales obedecen la interaccion de Coulomb, en un material cuasi-bidimensional expuesto a un campo magnetico intenso se puede ver, a orden masbajo, como un gas de cuasi-partıculas que no siente el potencial de Coulomb, sinocomo un par efectivo de interaccion. Cada interaccion se comporta como si una partedel par estuviera acompanada por un tubo delgado de flujo magnetico, cuyo valor esproporcional a µ0. Mientras que las cuasi-partıculas del estado base tienen un valorentero de µ0 y actuan estadısticamente como electrones ordinarios, las excitaciones

2Ver las Notas y Referencias al final del Capıtulo 7.


elementales tienen un valor fraccionario de µ0 y obedecen una estadıstica fraccionaria(para mas detalles ver la Seccion 16.11).

Para estudiar las propiedades termodinamicas fundamentales de un ensemble deestas partıculas, calculamos la funcion de particion de una partıcula moviendosealrededor de un tubo delgado de flujo magnetico orientado en la direccion del eje z.Por completes, suponemos ademas la existencia de un campo magnetico homogeneoen la direccion z. Ignorando la tercera dimension, usamos la amplitud (16.33),integramos sobre todo el espacio, y encontramos

Z =∫

d2x(xbτb|xaτa)

=1

2eµ0η

∞∑

m=−∞

emη∫ ∞

0dξe−ξ cosh ηI|m+µ0|(ξ), (16.83)

donde

ξ ≡Mωr2/2h sinh η (16.84)

[recordemos que ω = −eB/Mc y η = ω(τb − τa)/2]. Para calcular la funcion departicion, representemos la diferencia entre los tiempos Euclidianos τb, τa como τb−τa = h/kβT = hβ, de forma tal que η = ωhβ/2.

Para estudiar el caso de dos partıculas identicas necesitamos tambien la integralen la cual xb se intercambia por −xb:

Zex =∫

d2x(−xbτb|xaτa) =1

2eµ0η

∞∑

m=−∞

(−)memη∫ ∞

0dξe−ξ cosh ηI|m+µ0|(ξ). (16.85)

Para facilitar la escritura conjunta de una ecuacion para ambos desarrollos, denote-mos a Z y Zex por Z1 y Z1ex , respectivamente. Las integrales se resuelven con ayudade la formula (2.474), de donde hallamos las sumas

Z1,1ex =1

2

∞∑

m=−∞

(±)meη(m+µ0)1

sinh ηe−η|m+µ0|. (16.86)

Obviamente, para µ0 → µ0 + 2 estas sumas son periodicas. Debido al caracter deinvarianza traslacional, la funcion de particion Z ≡ Z1 diverge como V =

∫

d2x, i.e.,como el area total. Para asegurar la convergencia, multiplicamos los elementos devolumen d2x por un factor exponencial de regularizacion e−ǫξ. Luego, las integralesde area se pueden extender a todo el espacio. En terminos de la variable ξ, definidaen la Ec. (16.84), la norma en las integrales rotacionalmente simetricas anteriores sepuede escribir como

d2x = l2e(T )sinh η

ηdξ, (16.87)

donde le(T ) ≡√

2πh2/kBTM es la longitud termica introducida en la Ec. (2.354).El papel del area total V =

∫

d2x lo tiene ahora la cantidad finita

V ≡∫

d2xe−ǫξ =l2e(T )

ǫ

sinh η

η. (16.88)


En las integrales de las Ecs. (16.83) y (16.85) introducimos el factor e−ǫξ definiendola variable η′, la cual difiere de η, mediante la expresion

cosh η′ ≡ ǫ+ cosh η, (16.89)

y tiene el desarrollo

eη′

= cosh η′ +√

cosh2 η′ − 1

= eη(

1 +ǫ

sinh η− 1

2e−η

ǫ2

sinh3 η+ . . .

)

, η > 0, (16.90)

de donde encontramos que las sumas (16.86) para Z1 y Z1ex son casi las mismas queantes:

Z1,1ex =1

2

∞∑

m=−∞

(±)meη(m+µ0)1

sinh η′e−η

′|m+µ0|. (16.91)

Separando los valores positivos y negativos de m+µ0, podemos hallar las dos sumaspara µ0 ∈ (0, 1) y µ0 ∈ (−1, 0). En el intervalo combinado µ0 ∈ (−1, 1), encontramos

Z1,1ex =1

2eηµ0

1

sinh η′

e−η′µ0

1∓ a+eη

′µ0

1∓ b− eη

′|µ0|

, (16.92)

donde

a ≡ eη−η′

, b ≡ e−η−η′

.

La funcion de particion de dos partıculas identicas sera

Z =1

2(Z1 + Z1ex) =

1

2eηµ0

1

sinh η′

e−η′µ0

1− a2+

eη′µ0

1− b2− eη

′|µ0|

. (16.93)

Esta funcion es simetrica bajo el intercambio simultaneo de µ0 → −µ0 y η → −η.Fuera del intervalo µ0 ∈ (−1, 1), la funcion de particion esta definida por medio deuna extension periodica.

A falta de un flujo magnetico tubular delgado podemos utilizar directamentela amplitud (2.668) para Z1,1ex. Para las actuales variables xb = xa y xb = −xa,tendremos

(xaτb|xaτa) = l−2e (T )

η

sinh η, (−xaτb|xaτa) = l−2

e (T )η

sinh ηe−2 cosh η ξ. (16.94)

Sus integrales espaciales reguladas son

Z1,0 =1

2

∫ ∞

0dξe−ǫξ =

1

2ǫ,

Z1ex,0 =1

2

∫ ∞

0dξe−(ǫ+2cosh η)ξ =

1

2(ǫ+ 2 cosh η). (16.95)


Las funciones de particion substraidas ∆Z1,1ex ≡ Z1,1ex− 12Z1,0 tienen un lımite finito

para cuando ǫ → 0, y para el caso donde µ0 ∈ (0, 2), ∆Z = Z − 12Z1,0 se convierte

en

∆Z = − 1

8 sinh η

[

cothη + 2(µ0 − 1)− 2e2(µ0+1)η 1

sinh 2η+ 4e2ηµ0

]

. (16.96)

Estos resultados se pueden utilizar para calcular el segundo coeficiente que apareceen el desarrollo del virial de la ecuacion de estado. Para un gas diluido de partıculasque obedece las interacciones magneticas anteriores, obtenemos

pV

NkBT= 1 +

∞∑

r=2

Brnr−1. (16.97)

Aquı n es la densidad del numero de partıculas N/V . En teorıa de muchos cuerposse muestra que la dependencia entre el coeficiente B2 y la funcion de particion dedos cuerpos Z2 tiene la forma:

B2 = V

(

1

2− Z2

Z21

)

, (16.98)

donde Z1 es la funcion de particion bidimensional de una partıcula de masa M . Enpresencia de un campo magnetico homogeneo, Z1 sera igual a la funcion Z1,0 halladaen la Ec. (16.95). Sin el factor de regularizacion la integral espacial de la amplitudde tiempo imaginario, Ec. (16.94), sera

Z1 = Vη

l2e(T ) sinh η. (16.99)

Separando el centro de masa del movimiento relativo, encontramos que Z2 = 2Z1Zrel

y obtenemos

B2 =V

Z1(Z1/2− 2Zrel) =

l2e(T ) sinh η

2η(Z1 − 4Zrel). (16.100)

La diferencia en el lado derecho converge para V → ∞. Este resultado se puedeevaluar usando cualquier regulador para el area de integracion, en particular elregulador exponencial de la Ec. (16.88).

La funcion de partion para el movimiento relativo de las dos partıculas identicasse obtiene de Z reemplando M por la masa reducida, i.e., M → M/2. Esto dara elfactor 1/2 via l−2

e (T ). Por tanto Z1/2− 2Zrel sera igual a −∆Z y de la Ec. (16.100)obtenemos [5]

B2=l2e(T )

4η

[

cothη +2(µ0 − 1)−2e2(µ0+1)η 1

sinh(2η)+4e2ηµ0

]

. (16.101)

El comportamiento de B2 como funcion de µ0 se muestra en la Fig. 16.1. En ausenciade campo magnetico, este coeficiente se reduce a

B2 =l2e(T )

4

[

1− 2(1− |µ0|2)2]

, µ0 ∈ (−1, 1). (16.102)


Figure 16.1 Segundo coeficiente del virial B2 en funcion del flujo µ0 para varios cam-

pos magneticos externos parametrizados por η = −(eB/2Mc)hβ. Para una mejor com-

paracion, cada curva se ha normalizado a la unidad para el caso donde µ0 = 0.

A medida que µ0 crece desde cero hasta infinto, B2 oscila con perıodo 2 entreB2 = −l2e(T )/4, para valores pares de µ0, y B2 = l2e(T )/4, para los valores im-pares. Estos son los segundos coeficientes del virial de bosones y fermiones libres.Por supuesto, estos coeficientes se pueden obtener de manera mas simple y directa delas combinacion simetrica y antisimetrica de la Ec. (16.95), Z0 = (1/2)(Z1,0±Z1ex,0).Restando Z1,0 obtenemos ±Z1ex,0/2 el cual, para η = 0, se reduce a ±1/8. Tomandoen cuenta el factor 2 en la masa reducida, obtenemos B2 = ∓l2e (T )/4.

La expresion (16.102) se puede interpretar como el coeficiente del virial departıculas que no son ni fermiones ni bosones, i.e., partıculas que obedecen las leyesde la estadıstica fraccionaria. Estas partıculas son los aniones introducidos en laSeccion 7.5. Desafortunadamente no existen, al presente, datos experimentales conlo cuales se puedan comparar los coeficientes del virial de las expresiones teoricas(16.102) [o (16.101)].

Mencionemos aquı algunos comentarios sobre antiguas, y ya descartadas, especu-laciones de que el fenomeno de la superconductividad de alta temperatura pudiese serexplicado utilizando la estadıstica fraccionaria de las excitaciones elementales. Dehecho, el cambio de estadıstica se puede deducir de la interaccion electromagneticaentre los electrones en una capa cuasi-bidimensional de un material que se mueveen un campo magnetico intenso. Tambien, es posible construir un modelo anionicode superconductividad bidimensional, en el cual los efectos topologicos conducena un apantallamiento Meissner de los campos magneticos (ver la Seccion 16.13).Sin embargo, un estudio cuidadoso muestra que, a pesar de todo, la existencia decorrientes electricas en el modelo dan origen a disipacion.

Se debe de enfatizar que la igualdad entre las interacciones electromagneticas yla estadıstica, usada en los calculos anteriores, esta restringida a sistemas de dospartıculas y no se puede extender a un numero arbitrariamente grande como en el


Figure 16.2 Nudo de trebol izquierdo en un polımero.

tratamiento de la Seccion 7.5. Aun cuando es posible distribuir equitativamenteel flujo magnetico entre los contituyentes de un sistema de muchas partıculas, pro-duciendo el comportamiento deseado bajo el intercambio de partıculas, una dis-tribucion igualitaria de las cargas crearıa un potencial de Coulomb adicional in-deseado y el caracter puramente topologico de la interaccion se destruirıa. Esteproblema no se presenta para partıculas cargadas tales como los electrones. Por lotanto, es necesaria una descripcion teorica mejor y universal que sea aplicable a losaniones. Esta descripcion sera presentada en la Seccion 16.7.

16.4 Auto-Enredado de Polımeros

Una consecuencia interesante de las propiedades del volumen-excluido de lospolımeros es la posibilidad de auto-enredado de un polımero cerrado. Ya que estaprohibido que sus elementos de lınea se crucen entre sı, las fluctuaciones son in-capaces de explorar todas las configuraciones posibles. Por ejemplo, un polımeroinicialmente circular nunca se podra transformar en un nudo de trebol , como elmostrado en la Fig. 16.2, sin romper algun enlace molecular. En el proceso de for-macion quımica de un gran numero de polımeros surgen muchas configuraciones. Elpoder encontrar las distribuciones de las distintas clases topologicas independienteses un problema muy interesante. Hasta hace poco, la falta de un metodo teoricoapropiado hacıa que el trabajo analıtico fuese algo casi imposible, restringiendolosolo a una cuestion de clasificacion. Solo los metodos Monte Carlo habıan dado ideascuantitativas. Sin embargo, desde 1989 se han desarrollado nuevos e interesantesmetodos en la teorıa cuantica de campos que prometen progresos significativos en elfuturo cercano. Revisaremos aquı estos metodos e indicaremos como deducir algunosresultados analıticos. Primero, introducimos los conceptos topolologicos relevantes.

En general, un polımero cerrado forma un nudo. Un polımero circular repre-senta un nudo trivial. Si dos nudos se pueden deformar el uno en el otro sin romperninguna lınea, entonces los nudos son equivalentes . Tales deformaciones se llamanisotopicas . Un primer paso hacia la clasificacion de los nudos consiste en separar lasclases equivalentes en reducibles e irreducibles, definiendolos como nudo principalo simple, o como nudo no principal o compuesto, respectivamente. Un nudo com-puesto se caracteriza por la existencia de un plano que es intersectado dos veces(despues de realizar alguna deformacion isotopica) (ver la Fig. 16.3). Cerrando losextremos abiertos en cada lado del plano se obtienen dos nuevos nudos. Los nudos

16.4 Auto-Enredado de Polımeros 1163

Figure 16.3 Nudo no principal (compuesto). La lınea a trazos separa el nudo en dos

piezas. Despues de que los dos extremos se cierran, las piezas forman dos nudos principales.

Figure 16.4 Ilustracion de la ley de multiplicacion a1a2 ≈ a3 en el grupo de nudos. Los

lazos a1 y a2 son equivalentes, a1 ≈ a2, mientras que a4 ≈ a−11 .

ası resultantes se podran o no reducir aun mas, en la misma forma, hasta llegara nudos simples. Una forma importante para distingir las diferentes clases equiva-lentes de nudos simples y compuestos es el uso del grupo nodal , el cual definimos acontinuacion. En el espacio multiplemente conectado creado por algun nudo, selec-cionemos un punto arbitrario P (ver la Fig. 16.4). Luego, consideremos todos losposibles lazos cerrados que empiezan de P y terminan de nuevo en P . Se dice quedos lazos son equivalentes , si se pueden deformar el uno en el otro sin cruzar laslıneas del nudo en consideracion. Sin embargo, se permite que los lazos tengan unnumero arbitrario de auto-intersecciones. La clase de nudos equivalentes forman ungrupo. La multiplicacion en el grupo se define como el proceso de pasar en formasucesiva, a traves de dos lazos cualesquiera pertenecientes a dos clases equivalentes.Las clase cuyos lazos se pueden contraer en el punto P se define como el elementounidad e. Cambiar la orientacion de los lazos en una clase corresponde a invertir elelemento asociado del grupo.

De esta forma, la clasificacion de los nudos se puede relacionar con la clasificacionde todos los grupos de nudos posibles. Consideremos el nudo trivial, el cırculo.


Figure 16.5 Nudos compuestos no equivalentes que poseen grupos isomorficos. El nudo

superior es el nudo de la abuela y el de abajo es el nudo cuadrado. Estos nudos son

esteroisomeros caracterizados por el mismo polinomio de Alexander (t2 − t + 1)2, pero

con diferentes polinomios de HOMFLY [ver la Ec. (16.126)].

Obviamente, los lazos cerrados a traves de P caen dentro de las clases etiquetadas porun numero entero n. El grupo asociado es el grupo de los enteros. Recıprocamente,no hay nudos no-triviales asociados con este grupo.

A pesar de que a primera vista este ejemplo trivial pudiera sugerir una corres-pondencia uno-a-uno entre los nodos simples y sus grupos, se encuentra que noexiste tal correspondencia. Se conocen muchos ejemplos donde nudos no equivalentestienen grupos isomorficos. En particular, todos los nudos con imagen especular,que generalmente no son equivalentes a los originales (tal como el trebol derecho eizquierdo), tienen el mismo grupo. Ası, el grupo de nudos presentan necesariamenteuna clasificacion incompleta de los nudos. En la Fig. 16.5 se muestra un ejemplo.

Afortunadamente, las degeneraciones son bastante raras. Solo una pequenafraccion de nudos no equivalentes no se pueden distinguir por sus grupos.

La forma mas facil de representar un nudo en tres dimensiones es dibujar suproyeccion en el plano. La proyeccion muestra el numero de cruces , y el dibujodebe distinguir la lınea superior de la inferior. Entonces, el nudo se deformaisotopicamente hasta obtener la proyeccion que tiene el mınimo numero de cruces.En la proyeccion, todas las deformaciones isotopicas se pueden descomponer en unasucesion de tres tipos elementales, los movimientos de Reidemeister , mostrados enla Fig. 16.6.

En la Fig. 16.7 se muestra la imagen de todos los nudos simples para n = 8.El numero de nudos no equivalentes, simples y compuestos, para un numero n decruces esta listado en la Tabla 16.1.

Las imagenes proyectadas se pueden usar para construir una cantidad algebraicaimportante que caracteriza al grupo, el llamado polinomio de Alexander descubiertoen 1928. Esto reduce la clasificacion del grupo de nudos a la de los polinomios. Estetipo de trabajo es tıpico del campo de la topologıa algebraica.

Explicaremos la construccion para el nudo de trebol. Asignando una direccional polımero y seleccionado un punto de partida arbitrario, seguimos en esa direccionhasta que llegamos al primer cruce inferior. Este punto se denota por 1. Ahoracontinuamos al siguiente cruce inferior, denotado por 2, y ası sucesivamente hasta


Figure 16.6 Movimientos de Reidemeister de un nudo proyectado, los cuales no cambian

la clase isotopica. Esto define los movimientos de la isotopıa ambiental . Para cintas, solo

el segundo y tercer movimiento estan permitidos, definiendo con ello la isotopıa regular .

El primer movimiento esta prohibido ya que cambia el retorcido [para una definicion, ver

la Ec. (16.110)].

Table 16.1 Numero de nudos simples y compuestos proyectados en el plano con n cruces

mınimos.

n simple knots compound knots0 1 01 0 02 0 03 1 04 1 05 2 06 3 17 7 18 21 39 49 510 166 1011 548 3712 – 15413 – 48414 – 1115

n (ver la Fig. 16.8). La seccion del polımero entre dos cruces sucesivos i e i + 1la llamamos xi+1. Para cada cruce inferior de xi a xi+1, observamos si el crucesuperior va de derecha a izquierda (tipo r) o de izquierda a derecha (tipo l) (verla Tabla 16.2). Ahora definimos una matriz Aij . Cada paso inferior con etiqueta idefine la fila Aij , j = 1, 2, 3, . . . de acuerdo a las siguientes reglas: sea xk la seccion


Figure 16.7 Nudos simples con un mınimo de 8 cruces. El numero de cruces debajo de

cada imagen lleva un subındice enumerando la clase de equivalencia.


Figure 16.8 Etiquetado de los pasos inferiores para la construccion de los polinomios

de Alexander t2 − t+ 1 del trebol izquierdo.

Table 16.2 Tablas de paso inferior (inferior) y direcciones (dir) r o l de lıneas superiores

(superior), para el nudo de trebol 31 y el nudo 41 de la Fig. 16.7.

31 :

inferior superior dirx1 x3 rx2 x1 rx3 x2 r

41 :

inferior superior dirx1 x4 rx2 x1 lx3 x2 rx4 x3 l

superior. Si xk coincide con xi o xi+1 el paso inferior es llamado trivial . En estecaso, la fila i-esima de la matriz Aij tiene los elementos

Aii = −1, Ai,i+1 = 1. (16.103)

El resto de los elementos de la fila de Aij se anulan. Si el paso inferior no es trivial,los elementos no nulos son

Aii = 1, Aii+1 = −t, Aik = t− 1, tipo r (de derecha a izquierda), (16.104)

Aii = −t, Aii+1 = 1, Aik = t− 1, tipo l (de izquierda a derecha). (16.105)

De esta manera, encontramos la matriz del nudo de trebol:

Aij =

1 −t t− 1t− 1 1 −t−t t− 1 1

. (16.106)

Como otro ejemplo, el nudo 41 de la Fig. 16.7 tiene la matriz

Aij =

1 −t 0 t− 1t− 1 −t 1 00 t− 1 1 −t1 0 t− 1 −t

. (16.107)


Table 16.3 Polinomios de Alexander, Jones, y HOMFLY para los nudos mas simples

que contienen hasta 8 cruces. Los numeros determinan los coeficientes, por ejemplo, el

nudo 71 tiene asociado el polinomio de Alexander A(t) = 1− t+ t2 − t3 + t4 − t5 + t6 y el

nudo 88 tiene asociado el polinomio de Jones J(t) = t−3(1 − t + 2t2 − t3 + t4). Para los

polinomios de HOMFLY H(t, α), ver la explicacion en p. 1176.

A(t) J(t) H(t,α)

41 1−31 (−2)−1 (1[−1]1)([−1])

51 1−11−11 (0)1101 ([0]03−2)([0]041)([0]01)

52 2−32 (0)101 ([0]11−1)([0]11)

61 2−52 (−2)−10−1 (1[0]−11)([−1]−1)

62 1−33−31 (−1)−11−1 ([2]−21)(1[−3]1)([0]1)

63 1−35−31 (−3)1−11 (−1[3]−1)(−1[3]−1)(1) s

71 1−11−11−11 (0)1111101 ([0]004−3)([0]0010−4)([0]006−1)([0]001)

72 3−53 (0)10101 ([0]10−11)([0]111)

73 2−33−32 (0)110201 (−22−10[0])(−1330[0])(1100[0])

74 4−74 (0)10201 (−1020[0])(121[0])

75 2−45−42 (0)1102−11 ([0]020−1)([0]032−1)([0]011)

76 1−57−51 (−1)−12−11 ([1]−12−1)([1]−22)([0]−1)

77 1−59−52 (−3)1−21−1 (1−2[2])(−2[2]−1)([1])

81 3−73 (−2)−10−10−1 (1−10[0]1)(−1−1[−1])

82 1−33−33−31 (1)1−11−1 (1−33[0])(3−74[0])(1−51[0])(−10[0])

83 4−94 (−4)−10−20−1 (10[−1]01)(−1[−2]−1) s

84 2−55−52 (−3)−10−21−1 (2[−2]01)(1[−3]−21)([−1]−1)

85 1−34−55−31 (1)1−21−1 (2−54[0])(3−84[0])(1−51[0])(−10[0])

86 2−67−62 (−1)−11−21−1 (1−1−1[2])(1−2−2[1])(−1−1[0])

87 1−35−55−31 (−2)1−12−11 ([−1]4−2)([−3]8−3)([−1]5−1)([0]1)

88 2−69−62 (−3)1−12−11 (−1[2]1−1)(−1[2]2−1)([1]1)

89 1−35−75−31 (−4)−11−21−1 (2[−3]2)(3[−8]3)(1[−5]1)([−1]) s

810 1−36−76−31 (−2)1−13−11 ([−2]6−3)([−3]9−3)([−1]5−1)([0]1)

811 2−79−72 (−1)−12−21−1 (1−21[1])(1−2−1[1])(−1−1[0])

812 1−7(13)−71 (−4)−11−31−1 (1−1[1]−11)(−2[1]−2)([1]) s

813 2−7(11)−72 (−3)1−22−11 ([0]2−1)(−1[1]2−1)([1]1)

814 2−8(11)−82 (−1)−12−22−1 ([1])(1−1−1[1])(1−1[0])

815 3−8(11)−83 (0)1103−22−1 (1−4310[0])(−3520[0])(210[0])

816 1−48−98−41 (−2)1−23−21 ([0]2−1)([−2]5−2)([−1]4−1)([0]1)

817 1−48−(11)8−41 (−4)−12−32−1 (1[−1]1)(2[−5]2)(1[−4]1)([−1]) s

818 1−5(10)−(13)(10)−51 (−4)−13−33−1 (−1[3]−1)(1[−1]1)(1[−3]1)([−1]) s

819 1−1010−11 (0)11111 (1−5500[0])(−5(10)00[0])(−1600[0])(100[0])

820 1−23−21 (−1)101 ([−1]4−2)([−1]4−1)([0]1)

821 1−45−41 (0)1−11−1 (1−33[0])(1−32[0])(−10[0])


Figure 16.9 Nudos excepcionales con el mismo polinomio de Alexander de un nudo

trivial [|A(t)| ≡ 1], encontrados por Kinoshita y Terasaka (a), Conway (b) y Seifert (c).

Habiendo construido la matriz Aij , cuya dimension es n×n, escogemos un subde-terminante (menor) arbitrario de orden n−1. Este subdeterminante es un polinomioen t con coeficientes enteros. El polinomio se divide conveniente por una potenciade t, de tal manera que inicie en una constante. El resultado es el polinomio deAlexander A(t). El polinomio es independiente de la eleccion del subdeterminante.

Para el trebol izquierdo, de la matriz (16.106) obtenemos

A(t) = t2 − t+ 1. (16.108)

Para el nudo 41, de la matriz (16.107) encontramos

A(t) = t2 − 3t+ 1. (16.109)

Los polinomios de Alexander para los nudos simples de la Fig. 16.7 se muestran enla Tabla 16.3. Notese que el reemplazo t → 1/t deja a los polinomios de Alexanderinvariantes (luego de renormalizarlos de nuevo por medio de alguna potencia de tpara que empiecen en una constante).

El polinomio de Alexander de un nudo compuesto se factoriza en los nudos sim-ples que lo componen. Si dos nudos son la imagen especular uno del otro, entoncestendran el mismo grupo y el mismo polinomio de Alexander. Debido a la propiedadde factorizacion, dos nudos compuestos cuyas partes simples difieran por una re-fleccion especular (estereo–isomeros ; ver la Fig. 16.5) tienen el mismo polinomio.Ası los polinomios de Alexander no pueden proporcionar un clasificacion completade los nudos no equivalentes. Esto es cierto aun despues de eliminar todas lasposibles degeneraciones. En la Fig. 16.9 se muestra el ejemplo mas simple de nudoscon polinomio de Alexander A(t) ≡ ±1, correspondiente al nudo trivial. Con 11cruces, estos son los unicos ejemplos. Dado que el numero total de nudos simplespara n = 11 es 795, las excepciones son en verdad muy pocas.


Los anos recientes han sido testigos del desarrollo de procedimientos sencillospara la construccion de polinomios mas eficientes para la clasificacion de nudos yeslabones con varios nudos, los polinomios de Jones, los polinomios HOMFLY 3 ysus generalizaciones. Los primeros dependen de una variable, y los segundos de dosvariables, una de las cuales aparece tambien con potencias inversas, i.e., para estavariable los polinomios son del tipo de Laurent. Otros polinomios encontrados enla literatura, tales como los polinomios Conway , los polinomios X-, o los corchetesde Kauffman, son casos especiales de los polinomios HOMFLY. Ademas, existendiferentes tipos de polinomios de Kauffman y polinomios BLM/Ho F (a, z) y Q(x),respectivamente, los cuales son capaces de distinguir algunos nudos con polinomiosde HOMFLY accidentalmente degenerados. Estos casos no seran discutidos aquı,para una definicion ver el Apendice 16B.

Los polinomios X(a) estan trivialmente relacionados con los polinomios de JonesJ(t), a los cuales se reducen despues del cambio de variable a = t1/4. Ademas, lospolinomios X tambien estan relacionados con los polinomios de Kauffman K(a), eneste caso obedecen la expresion

X(a) = (−a)−3wK(a). (16.110)

Donde w es el numero de cotorsion, tambien llamado el numero de giro, numero Tait ,o retorcido [6]. Este numero se define al asignar al lazo o al eslabon una orientaciony atribuyendole a cada cruce los numeros 1 o −1, de acuerdo a la siguiente regla.Cada vez que el lazo o eslabon presenta un cruce, si el cruce inferior esta orientadode derecha a izquierda entonces le asignamos el numero 1, en caso contrario leasignamos el numero −1. La suma de estos numeros es la cotorsion w. Por ejemplo,en el nudo de trebol de la Fig. 16.2, cada cruce tendra asignado un −1 de tal maneraque w = −3.

Los polinomios de Kauffman pueden hallarse mediante una construccion sencilla.Decimos que un conjunto de n lazos triviales tiene el polinomio de Laurent

Kn(a) = −(a2 + a−2)n−1. (16.111)

Cada nudo o eslabon se puede reducir a estos lazos cambiando de manera recursivalos cruces a las dos nuevas configuraciones mostradas graficamente en la Fig. 16.10.

La primera configuracion esta asociada con un factor a, la segunda con un factora−1. La configuracion del factor a se identifica facilmente aproximandose por el cruceinferior de la curva y siguiendo con un giro derecho. Las dos nuevas configuracionesse procesan de la misma manera, continuando ası sucesivamente hasta llegar a lazostriviales. Aplicando estas reglas al nudo de trebol, obtenemos un nudo y un eslabonconocido como el eslabon de Hopf . Su descomposicion se muestra en la Fig. 16.11.Los polinomios de Kauffman asociados se listan en la Tabla 16.4. El polinomio delnudo de trebol es

K(a) = a7 − a3 − a−5. (16.112)

3La palabra “HOMFLY” se forma por las iniciales de los autores (Hoste, Ocneanu, Millet,Freyd, Lickorish, Yetter), los artıculos apropiados estan citados en las Notas y Referencias.


L+ L0 L∞

= a + a−1

Figure 16.10 Regla para eliminar cruces en la generacion de los polinomios de Kauffman.

Figure 16.11 Descomposicion de Kauffman del nudo de trebol. La configuracion 3 es

el eslabon de Hopf. El calculo de los polinomios asociados se muestra en la Tabla 16.4.

Puesto que w = −3, y usando el factor (−a)−3w = −a9, obtenemos el polinomio X

X(a) = −a16 + a12 + a4. (16.113)

El cual corresponde al polinomio de Jones J(t) = t + t3 − t4.Para los polinomios de Jones, tenemos una construccion directa y simple. De

acuerdo a J.H. Conway, cualquier nudo se puede relacionar a nudos o eslabones massimples llevando a cabo las operaciones de desenredo mostradas en la Fig. 16.12para todo cruce proyectado en el plano. Un cruce L+ se puede transformar ya sea

Figure 16.12 Operaciones de desenredo entre nudos complicados y nudos sencillos.


Table 16.4 Polinomios de Kauffman en la descomposicion del nudo de trebol.

eslabon polinomio regla15 −a2 − a−2 Eq. 16.11114 1 Eq. 16.11113 1 Eq. 16.11112 −a2 − a−2 Eq. 16.11111 1 Eq. 16.11110 −a2 − a−2 Eq. 16.1119 −a2 − a−2 Eq. 16.1118 −a4 − 2− a−4 Eq. 16.1117 −a−3 a〈14〉+ a−1〈15〉, Fig. 16.106 −a3 a〈12〉+ a−1〈13〉, Fig. 16.105 −a3 a〈10〉+ a−1〈11〉, Fig. 16.104 a5 + a a〈8〉+ a−1〈9〉, Fig. 16.103 −a4 − a−4 a〈6〉+ a−1〈7〉, Fig. 16.102 a6 a〈4〉+ a−1〈5〉, Fig. 16.101 a7 − a3 − a−5 a〈2〉+ a−1〈3〉, Fig. 16.10

Figure 16.13 Operaciones de desenredo para calcular los polinomios de Jones de dos

espiras no anudadas.

en L− y L+, o se puede transformar en L− y L0. Para nudos relacionados en estaforma definimos la relacion de recurrencia de los polinomios de Jones J(t) mediantela relacion de desenredo

1

tJL+(t)− tJL−(t) =

(√t− 1√

t

)

JL0(t). (16.114)

La espira circular se define como aquella que tiene el polinomio trivial J(t) ≡ 1.Aplicando las operaciones de desenredo a las dos espiras separadas no anudadas dela Fig. 16.13, hallamos el polinomio de Jones

J2(t) = −(√t+ 1/

√t). (16.115)

Aplicando este procedimiento a n espiras, hallamos

Jn(t) = [−(√t+ 1/

√t)]n−1, (16.116)


de acuerdo con la Ec. (16.111). Para los nudos mas simples, los polinomios de Jonesse listan en la Tabla 16.3. Para el caso hasta con nueve cruces, los polinomios deJones pueden distinguir nudos con simetrıa de reflexion.

Conway descubrio la primera relacion de desenredo en 1970. Cuando intentabadesarrollar un programa de computo para calcular los polinomios de Alexander,encontro que los polinomios de Alexander cumplen con la convencion de modulo demormalizacion, la relacion de desenredo

AL+(t)− AL−(t) = (√t− 1/

√t)AL0(t), (16.117)

la cual eventualmente reduce los polinomios de todos los nudos al polinomio trivialA1(t) = 1. La relacion de desenredo simplifica el procedimiento de tal forma queConway fue capaz de trabajar analıticamente todos los polinomios conocidos en esemomento. Debido a la simplicidad del procedimiento, los polinomios de Alexanderson llamados polinomios de Alexander-Conway .

Calculemos ahora los polinomios de Jones del nudo de trebol 31 de la Fig. 16.7.Primero usamos la operacion de desenredo mostrada en la Fig. 16.14. La espira L−

Figure 16.14 Operacion de desenredo para calcular los polinomios de Jones del nudo

de trebol.

esta desanudada y tiene un polinomio unitario. De esta forma obtenemos la relacionpolinomial

Jtrebol(t)JL+(t) = t2 · 1 + t(√t− 1/

√t)JL0(t). (16.118)

La configuracion L0 se conoce como el eslabon de Hopf . Este eslabon necesita deuna reduccion mas4, la cual puede hallarse mediante la operacion mostrada en laFig. 16.15, con lo cual hallamos la relacion

1

tJL 0

+

(t) = tJ2(t) + (√t− 1/

√t)J1(t). (16.119)

4El polinomio de Kauffman del eslabon de Hopf es KL0(a) = −a4−a−4. Junto con la cotorsion

w = −2, esto nos lleva al polinomio X(a) = −a10−a2 y el polinomio de Jones JL0(t) = −

√t(1+t2)

tal como en la Ec. (16.120).


Figure 16.15 Operacion de desenredo para calcular el polinomio de Jones del eslabon

de Hopf.

Usando la Ec. (16.111), encontramos

JL0(t) = −√t(1 + t2). (16.120)

Sustituyendo este resultado en la Ec. (16.118) obtenemos el polinomio de Jones delnudo de trebol

Jtrebol = t+ t3 − t4. (16.121)

Este resultado difiere del hallado arriba para el trebol de mano izquierda por lasustitucion t→ t−1.

Los polinomios de HOMFLY HL(t, α) se obtienen mediante una ligera generali-zacion de las relaciones de desenredo (16.114) de los polinomios de Jones: el factor(√t−1/

√t) del lado derecho se reemplaza por un parametro arbitrario α, de donde

obtenemos la relacion de desenredo

1

tHL+(t, α)− tHL−(t, α) = αHL0(t, α). (16.122)

El nudo trivial se define como aquel que tiene el polinomio trivial H1(t, α) = 1. Parados espiras independientes, la relacion es

H2(t, α) = (t−1 − t)α−1. (16.123)

Bajo una reflexion especular del nudo, los polinomios de HOMFLY H(t, α) se trans-forman en H(−t−1, α). Notese que H2(t, α) tiene simetrıa de reflexion [trivialmenteH1(t, α) tambien tiene esta simetrıa].5 En general, los polinomios de HOMFLY daninformacion confiable sobre una posible simetrıa de reflexion. Sin embargo, hay al-gunas excepciones, i.e., parejas de nudos relacionados mediante alguna simetrıa dereflexion que poseen el mismo polinomio de HOMFLY.6

5Para los polinomios de Kauffman F (a, x), definidos en el Apendice 16B, la reflexion especularimplica que F (a, x) → F (a−1, x).

6La primera degeneracion de este tipo aparece para el eslabon de 3 espiras con 8 cruces.


Algunos ejemplos de los polinomios de HOMFLY son

Htrebol(der)(t, α) = −t4 + 2t2 + t2α2,

Htrebol(izq)(t, α) = −t−4 + 2t−2 + t−2α2,

HHopf(der)(t, α) = (t− t3)α−1 + tα,

Hnudo 41(t, α) = t−2 − 1 + t2 − α2. (16.124)

Con la sustitucion α = t1/2− t−1/2 obtenemos los polinomios de Jones, mientras queusando t→ 1, α→ t1/2 − t−1/2 y con las potencias apropiadas de t como factores denormalizacion, regresamos a los polinomios de Alexander-Conway.

En la Tabla 16.3, se listan los polinomios de HOMFLY para nudos con hasta 8cruces. Para nudos sin simetrıa de reflexion, solo se presenta un caso. El polinomioreflejado se obtiene usando la sustitucion t → −t−1. El significado de los valoresmostrados se entendera mejor con un ejemplo: El nudo 71 tiene la entrada ([0]004−3)([0]00(10)−4)([0]006−1)([0]001), la cual representa al polinomio H(t, α) = (4t6−3t8)+(10t6−4t8)α2+(6t6− t8)α4+ t6α6. El corchete marca la posicion y coeficientede la potencia de orden cero para t2; los numeros a la derecha e izquierda de estetermino especifican los coeficientes de las potencias mayores y menores adyacentesde t2, respectivamente. Los numeros con mas de un digito estan entre parentesis.El polinomio del nudo reflejado se obtiene reflejando los numeros entre parentesissobre el corchete asociado. Los nudos marcados con una s tienen simetrıa especular.

Los polinomios de Alexander-Conway son casos especiales de los polinomios deHOMFLY. Una comparacion con las relaciones de desenredo (16.117) muestra quelos primeros se obtienen de los segundos usando t = 1 y reemplazando α por t1/2 −t−1/2:

AL(t) = HL(1, t1/2 − t−1/2). (16.125)

Los nudos reducibles de la abuela y el cuadrado de la Fig. 16.5, se distingen porsus polinomios de Jones y de HOMFLY; los ultimos son

Habuela(t, α) = (2t2 − t4 + t2α2)2,

Hcuadrado(t, α) = (2t2 − t4 + t2α2)(2t−2 − t−4 + t2α2); (16.126)

mientras que los polinomios de Jones se obtienen de la sustitucion α = t1/2 − t−1/2.Hasta ahora no exite un esquema algebraico de clasificacion completo. Por ejem-

plo, los polinomios de Jones para los nudos con 10 y 13 cruces, mostrados en laFig. 16.16, son los mismos.7 Para mayores detalles ver la literatura matematicacitada al final del capıtulo.

Ası, con la clasificacion incompleta de los nudos, ha sido imposible hasta ahoracalcular la distribucion de probabilidad de las distintas clases equivalentes de nudos.Las computadoras modernas nos permiten enumerar las diferentes configuraciones

7Los polinomios de HOMFLY tienen su primera degeneracion para nudos principales con 9cruces. Se ha corroborado que hasta 13 cruces (aglutinando 12965 nudos) ningun polinomio de unnudo no trivial esta degenerado accidentalmente con el polinomio trivial del cırculo.


Figure 16.16 Nudos con 10 y 13 cruces que no se pueden distingir por los polinomios

de Jones.

Figure 16.17 Fraccion fN de polımeros cerrados desanudados de logitud fija L = Na.

topologicas para polımeros no demasiado largos y simular su distribucion usandometodos Monte Carlo. En la Fig. 16.17 se muestra el resultado de una simulaciondebida a Michels and Wiegel, donde se mide la fraccion fN de polımeros desanudadoscon N eslabones. El ajuste se ha hecho usando una curva que obedece la ley

fN = CµNNα, (16.127)

donde los parametros son C ≈ 1.026, µ ≈ 0.99640, α ≈ 0.0088. Ası, fN decae comouna potencia en N de acuerdo a la relacion µN , donde µ < 1. El exponente α esextremadamente pequeno. Una simulacion mas reciente presentada por S. Windwer

16.5 El Invariante de Gauss de Dos Curvas 1177

tiene en cuenta el hecho de que los elementos de lınea se auto-evitan. Con esto, losparametros obtenidos con8

C ≈ 1.2325, µ ≈ 0.9949, α ≈ 0. (16.128)

Para un polımero encerrado en una esfera de radio R, la distribucion tiene laexpresion

fN(R) = e−A(Nβ l/R)γ , (16.129)

donde l es la longitud del eslabon. Los “exponentes crıticos” son β ≈ 0.76 y γ ≈ 3.

16.5 El Invariante de Gauss de Dos Curvas

Para el calculo analıtico de las propiedades topologicas de los nudos, se necesita deun funcional que modele la forma del polımero con ayuda del cual se puedan distingirlas diferentes clases de nudos. Inicialmente un buen candidato fue la version de unrizo de la integral de contorno para una pareja de curvas cerradas C y C ′ introducidapor Gauss hace un par de siglos:

G(C,C ′) =1

4π

∮

C

∮

C′[dx× dx′] · x− x′

|x− x′|3 . (16.130)

Gauss demostro que esta integral es un invariante topologico. De hecho, con ayudade la funcion δ dada en la Ec. (10A.8) podemos reescribir la Ec. (16.130) como

∮

Cdx∮

C′

dx′ × (x− x′)

|x− x′|3 = −∫

d3x Æ(x;C) ·[

∫

d3x′ Æ(x′;C ′)× R′

R′3

]

. (16.131)

Donde indentificamos a la segunda integral como el gradiente del campo multivalua-do Ω(x;C ′), definido por las Ecs. (10A.18), el cual es el angulo solido para la curvaC ′ vista desde el punto x, de tal forma que tenemos

G(C,C ′) = − 1

4π

∫

d3x Æ(x;C) ·∇Ω(x;C ′). (16.132)

Sustituyendo ahora la Ec. (10A.27), donde S ′ es una superficie arbitraria encerradapor el contorno L′, y usando el hecho de que

∫

d3x Æ(x;C) ·∇Ω(x;S ′) = −∫

d3x∇ · Æ(x;C)Ω(x;S ′) = 0, (16.133)

de la Ec. (10A.9) y del hecho de que Ω(x;S) = 0 es univaluada, obtenemos

G(C,C ′) = −∫

d3x Æ(x;C) · Æ(x;S ′). (16.134)

8Recientemente se ha obtenido una primera determinacion teorica de estos parametros usandouna transformacion a un modelo de cuatro estados de Potts. Un representacion de este modelo sinusar integrales de trayectoria esta fuera del alcance de este libro. Ver los artıculos de A. Kholodenkocitados al final del capıtulo.


Esta es una integral puramente topologica. Si la reescribimos como

G(C,C ′) = −∮

Cdxi δi(x;S

′), (16.135)

vemos que G(C,C ′) representa el numero de enlace de C y C ′. Este numero sedefine como la cantidad de veces que una de las curvas, por ejemplo C ′, cruza lasuperficie S encerrada por la otra curva.

Una representacion alternativa de la integral de Gauss (16.130) es

G(C,C ′) = − 1

4π

∮

C′dΩ′(x′;C) = − 1

4π

∮

CdΩ(x, C ′), (16.136)

donde Ω′(x′;S) es el angulo solido de la curva C vista desde el punto x′.Los valores de la integral de Gauss para distintas parejas de curvas enlazadas,

hasta 8 cruces, estan listados en la tercera columna de la Tabla 16.5. Todas lasparejas de curvas inter-enlazadas etiquetadas como 21, 71, 72, 87, por ejemplo, tienenla integral de Gauss G(C,C ′) = ±1.

Terminemos esta seccion con otra interpretacion de la integral de Gauss. Deacuerdo a la Seccion 10A.1, el angulo solido Ω es igual al potencial magnetico deuna corriente 4π circulando por la curva C ′. Su gradiente es el campo magnetico

Bi = ∂iΩ. (16.137)

Con esto escribimos

G(C,C ′) = −∮

CdxiBi = −

∮

C′dx′iB

′i. (16.138)

De acuerdo a esta expresion, G(C,C ′) sera el trabajo total necesario para moveruna unidad de carga magnetica alrededor de la orbita cerrada C en la presencia delcampo magnetico originado por la corriente de la carga electrica unitaria circulandosobre la curva C ′.

Desafortunadamente, para un polımero cerrado no existe la integral topologicainvariante. Al ser posible identificar a las curvas C y C ′, la integral de Gaussdeja de ser un invariante topologico. Sin embargo, se le puede usar para clasificarcintas auto-enredadas. Estas cintas poseen dos bordes separados, identificados comoC y C ′. Las citas tienen un papel importante en biofısica. Las moleculas delADN, los portadores de la informacion genetica de la estructura de los organimosvivos, pueden ser consideradas como cintas. Estas moleculas constan de dos cadenasde moleculas conectadas por enlaces debiles de hidrogeno. Las cadenas se puedenromper termicamente, o mediante la descomposicion enzimatica de las cintas, endos cadenas simples.

16.6 Estados Ligados de Polımeros y Cintas

Dos o mas polımeros pueden alinearse en forma paralela para formar un estado li-gado. El ejemplo mas famoso es la molecula del ADN. Esta molecula es un estado

16.6 Estados Ligados de Polımeros y Cintas 1179

ligado de dos cadenas largas de moleculas que pueden contener desde unos miles deeslabones hasta varios millones. La distancia d entre las dos cadenas es del ordende los 20 rA. En equilibrio, las dos cadenas estan enrolladas en forma de una doblehelice, separados por casi 20rA por vuelta (i.e., alrededor de 10 monomeros, ver laFig. 16.18). La molecula de ADN puede ser idealizada como una cinta infinitesimal-mente delgada. La cinta tiene siempre dos lados ya que los bordes de la cinta estanhechas de diferentes grupos de fosfatos, cuya estructura quımica hace que el enlacesea unico. Las estructuras con un solo lado, formadas por una tira de Mobius estanprohibidas.

Las moleculas circulares de ADN tienen propiedades topologicas interesantes.En la doble helice, un borde pasa a traves del otro un numero entero de veces. Estees el numero de ligadura Lk de la doble helice. Siendo un invariante topologico, estenumero no cambia si los dos bordes cerrados se separan y se distorcionan en unaforma arbitraria.

Si el numero total de vueltas Nw en la helice del ADN es diferente del numero deligadura Lk, entonces la helice circular estara bajo estres mecanico. La helice puede

Figure 16.18 Corte y vista idealizada de una molecula circular de ADN. El numero

de eslabon Lk (el cual se define como el numero de veces que una cadena pasa por una

superficie arbitraria formada por otro eslabon) es Lk ≈ 9.

Figure 16.19 Molecula de ADN super-enrollada. Esta es su forma natural cuando se le

extrae cuidadosamente de una celula. El super-enrollado es negativo.


Figure 16.20 Ligaduras simples de dos polımeros hasta con 8 cruces.


relajarse formando una cadena super-enrollada (ver la Fig. 16.19). El numero devueltas en exceso

τ = Lk −Nw, (16.139)

dara una medida de la densidad del super-enrollamiento, la cual se define por larazon

σ ≡ τ

Nw. (16.140)

En una molecula normal de ADN, la densidad de super-enrollamiento generalmenteestara en el rango −σ ∼ 0.03 − −0.1. El signo negativo implica que las vueltasnaturales de la doble helice disminuye ligeramente debido al super-enrollamiento.Parece ser que el signo menos es esencial en los principales procesos biologicos,los procesos llamados replica. La replica se puede variar mediante una enzima,la llamada ADN girasa. Una celula tiene un gran arsenal de enzimas que puedenromper una de las cadenas de la helice y desenredar el numero de ligadura Lk enuna o mas unidades, cambiando con ello la topologıa. Tales enzimas son llamadastopoisomerasas del tipo I. Las hay tambien del tipo II, las cuales rompen ambascadenas y pueden armar o desarmar los nudos de la doble helice del ADN como untodo.

La importancia biofısica del super-enrollamiento esta en el hecho de que el estrescontenido en tal configuracion puede relajarse rompiendo algunas ligaduras entrelas dos cadenas. De hecho, el numero θ = −σ de enlaces rotos lleva a la relajacioncompleta. Durante la division celular, todas la ligaduras se rompen. Notese que esteproceso serıa energeticamente poco favorable si la densidad de super-enrollamientofuera positivo.

Tal como para los nudos, no se conocen invariantes topologicos para ligadurasde dos (o mas) polımeros cerrados. Historicamente, los polinomios generalizados deAlexander se usaron como una clasificacion aproximada de las ligaduras. Estospolinomios dependen de dos variables. Para su construccion, usamos uno de los dospolımeros y etiquetamos todos los cruces inferiores de la misma forma que se hizocon los nudos. Lo mismo para el otro polımero. Por cada cruce inferior, escribimosuna fila de la matriz Aij de Alexander con las dos variables s y t. El polinomiode Alexander A(s, t) estara dado por un sub-determinante (n − 1) × (n − 1) de lamatriz Aij de dimension n× n. Las ligaduras con hasta 8 cruces se muestran en laFig. 16.20. Los polinomios de Alexander asociados con estas ligaduras se listan en laTabla 16.5. Notese que el reemplazo s→ 1/s, t→ 1/t, o ambos, dejan al polinomiode Alexander invariante (debido a la renormalizacion a un entero de los coeficientesde orden menor). Para polımeros no encadenados tenemos A(s, t) = 0.

No hay necesidad de una revision mayor ya que se pueden construir los polinomiosde Jones y HOMFLY, los cuales son lo mas reciente y poderosos, para eslabonesarbitrarios sin necesidad de prescripciones adicionales. En la cuarta columna de laTabla 16.5 se da una lista de los polinomios de HOMFLY. En muchos casos, uncambio de orientacion de la ultima espira da origen a un eslabon no equivalente.


Table 16.5 Polinomios de Alexander A(s, t) y coeficientes de los polinomios de HOMFLY

H(t, α) para eslabones simples de dos curvas cerradas con un mınimo de hasta 8 cruces,

los cuales se han etiquetado de acuerdo a la Fig. 16.20. El valor de |A(1, 1)| es igual al

valor absoluto de la integral de Gauss |G(C,C ′)| para las dos curvas. Los elementos de la

ultima columna se explican en el texto.

A(s,t) |A| H(t,α)

21 1 1 −1(∗1−1)(∗1)

41 s+t 2 −1(∗01−1)(∗11)−1(∗01−1)(∗03−1)(∗01)

51 (s−1)(t−1) 0 −1(1∗−1)(−12∗−1)(1∗)

61 s2+t2+st 3 −1(∗001−1)(∗006−3)(∗005−1)(∗001)−1(∗001−1)(∗111)

62 st(s+t)−st+s+t 3 −1(∗001−1)(∗022−1)(∗011)

63 2st−(s+t)+2 2 −1(∗01−1)(∗021−1)(∗011)−1(1−10∗)(−21∗−1)(1∗)

71 s2t2−st(s+t)+st−(s+t)+1 1 −1(1−1∗)(−24−3∗)(10∗)−1(∗1−1)(−11∗2−1)(1∗1)

72 st(s+t)−t2−s2−3st+s+t 1 −1(∗1−1)(1∗0−11)(∗−1−1)−1(∗1−1)(−2∗5−2)(−1∗4−1)(∗1)

73 2(s−t)(t−1) 0 −1(1∗−1)(1∗−1−1)(∗−1−1)

74 (s−1)(t−1)(s2+1) 0 −1(−13−2∗)(−25−3∗)(−14−1∗)(10∗)

75 2s3t−t2−s+2 2 −1(∗002−3)(∗014−3)(∗012)−1(−1∗3−2)(−2∗6−2)(−1∗4−1)(∗1)

76 (s+1)2(s−1)(t−1) 0 −1(1∗−1)(1−2∗1)(1−3∗1)(−1∗)

77 s3+t 2 −1(−1∗3−2)(−1∗4−1)(∗1)−1(∗002−31)(∗006−4)(∗005−1)(∗001)

78 (s−t)(t−1) 0 −1(−13−2∗)(−13−2∗)(10∗)

81 (s+t)(s2+t2) 4 −1(∗0001−1)(∗00010−6)(∗00015−5)(∗0007−1)(∗0001)−1(∗0001−1)(∗1111)

82 st(s+t−1)(st+1)+s+t 4 −1(∗0001−1)(∗0034−3)(∗0044−1)(∗0011)−1(∗0001−1)(∗0212−1)(∗0111)

83 2s2t2−st(s+t)+3st−(s+t)+2 3 −1(∗001−1)((∗0041−2)(∗0043−1)(∗0011)−1(1−100∗)(−200∗−1)(11∗)

84 s2t2(s+t)−2s2t2+2st(s+t)−2st+s+t 4 −1(∗0001−1)(∗0131−1)(∗0121)−1(∗0001−1)(∗0042−2)(∗0043−1)(∗0011)

85 s2t2−2st(s+t)+3st−2(s+t)+1 3 −1(∗001−1)(∗0130−1)(∗0121)−1(1−100∗)(1−42−2∗)(−23−1∗)(10∗)

86 2st−3(s+t)+2 2 −1(∗01−1)(∗0201−1)(∗0111)−1(1−10∗)(−20∗1−1)(1∗1)

87 s2t2−2st(s+t)+s2+3st+t2−2(s+t)+1 1 −1(1−1∗)(1−4∗3−1)(−2∗3−1)(∗1)−1(∗1−1)(∗2−33−1)(∗1−32)(∗0−1)

88 s2t2−2st(s+t)+s2+st+t2−2(s+t)+1 3 −1(∗1−1)(−1∗4−31)(−1∗3−2)(∗1)−1(∗1−22−1)(1∗1−33)(∗−1−2)

89 s3+2s2t−4s2−4st+s+2t 2 −1(∗1−22−1)(1∗1−33)(∗−1−2)−1(∗1−22−1)(∗2−34−1)(∗1−32)(∗0−1)

810 (s2−1)(t−1) 0 −1(1−2∗2−1)(1−4∗4−1)(1−3∗2)(−1∗)

811 s3t−2s2(s+t)+2s(s+t)−2(s+t)+1 2 −1(∗002−31)(∗005−2−1)(∗0042−1)(∗0011)−1(2−3∗1)(1−5∗3−1)(−2∗3−1)(∗1)

812 (s2−1)(t−1) 0 −1(−13−2∗)(−14−4∗1)(2−3∗1)(−1∗)

813 (s2+1)(s−1)(t−1) 0 −1(1∗−1)(∗1−21)(−1∗2−2)(∗1)

814 s3t−4s2t+4s2+4st−4s+1 2 −1(∗002−31)(∗005−2−1)(∗0131)−1(−1∗3−2)(1−3∗5−1)(−2∗3−1)(∗1)

815 (s−1)(t−1) 0 −1(1−2∗2−1)(−2∗3−1)(∗1)

816 s3−2s(s+1)+1 2 −1(∗1−22−1)(∗2−22)(∗0−1)−1(∗1−22−1)(∗3−43)(∗1−41)(∗0−1)


La tabla muestra dos posibilidades para cada caso. Para el nudo 72, el elementosuperior −1(1 ∗ −1)(1 ∗ 0 − 11)(∗ − 1 − 1) indica que el polinomio es H(t, α) =α−1(t−1−t)+α(t−1−t2+t3)+α3(−t−t3). Los corchetes indican la potencia inferiorde α y el asterico muestra la posicion de la potencia cero de t. Los coeficientes det, t3, . . . estan colocados a la derecha de estas variables, mientras que los coeficientescorrespondientes a . . . , t−3, t−1 estan a la izquierda.

Para el caso especial de una cinta circular, tal como una molecula de ADN, la in-tegral de Gauss sobre los dos bordes, siendo un invariante topologico, indica tambienuna clasificacion de la cinta como un todo. Como se muestra en la Ec. (16.135), laintegral de Gauss dara precisamente el numero de ligadura Lk.

Resulta ilustrativo calcular G(C,C ′) para una cinta en el lımite de una distanciad muy pequena entre bordes. Esto ayudara a entender porque la integral de GaussG(C,C ′), donde tanto C como C ′ van sobre la misma espira, no es un invariantetopologico. Empecemos con la integral de Gauss para los dos bordes C,C ′ de lacinta

G(C,C ′) =1

4π

∮

C

∮

C′[dx× dx′] · x− x′

|x− x′|3 (16.141)

y cambiemos los dos contornos de integracion C,C ′ hacia el eje de la cinta, el cualsera denotado por C. Sea ǫ la distancia entre los dos bordes y sea n(τ) el vectorunitario ortogonal al eje, dirigido desde C hacia C ′. Con esto tenemos

G(C,C ′) =1

4π

∮

Cdτ∮

Cdτ ′ [x(τ)× (x(τ ′) + ǫn(τ ′))] · x(τ)− x(τ ′)− ǫn(τ ′)

|x(τ)− x(τ ′)− ǫn(τ ′)|3 .

(16.142)

En el lımite ǫ → 0, G(C,C ′) no sera igual a G(C, C) [el cual deberıa ser el mismoque G(C,C) o G(C ′, C ′)]. Un cuidadoso estudio del proceso del lımite, desarrolladoabajo, muestra que hay un residuo Tw,

Lk = G(C, C) + Tw. (16.143)

El residuo se conoce como el retorcido de la cinta, y se define como

Tw ≡ 1

2π

∮

Cdτ x(τ) · [n(τ)× n(τ)]/|x(τ)|. (16.144)

Por otro lado, la integral es tambien valida para una curva sola si n(τ) es el vectornormal principal de la curva. En este caso, Tw dara lugar a la conocida torsionintegrada total de la curva. El primer termino en la Ec. (16.143), la integral deGauss para una curva cerrada C, se conoce como el numero de retorcido de la curva

Wr ≡ G(C, C) =1

4π

∮

Cdτ∮

Cdτ ′ [x(τ)× x(τ ′)] · x(τ)− x(τ ′)

|x(τ)− x(τ ′)|3 . (16.145)

Generalmente, la relacion (16.143) se escribe en la forma

Lk = Wr + Tw. (16.146)


Unicamente la suma Wr + Tw es un invariante topologico, Tw contiene informacionsobre la estructura de la cinta en la curva cerrada C. Esta formula fue hallada en1959 por Calagareau y generalizada por White en 1969.

De lo que hemos visto en la Ec. (16.136), el numero de retorcido puede escribirsecomo una integral

Wr = − 1

4π

∮

CdΩ(x), (16.147)

donde Ω(x) es el angulo solido bajo el cual se ve el eje de la cinta desde otro puntodel eje. Cuando se reescribe en la forma dada por la Ec. (16.138), encontramos lainterpretacion magnetica comentada con esa ecuacion.

Esta interpretacion es relevante para entender las propiedades de espacio–tiempodel atomo de dionio, el cual se puede ver como una cinta universo cuyas carasdescriben una carga electrica y una carga magnetica. En la Seccion 14.6 hemoscomentado que para un parametro de carga semi–entero q, el atomo de dionio, queconsta de dos bosones, se comporta como un fermion. Por esta razon, se puedeusar una integral de trayectoria sobre las fluctuaciones de una cinta para describirla mecanica–cuantica de un fermion en el espacio-tiempo de tres dimensiones [7].

Deduciremos ahora la relacion (16.146). Para ello separamos la integral (16.142)sobre τ en dos partes, una parte singular dentro de una pequena vecindad del puntoτ ′, i.e.,

τ ∈ (τ ′ − δ, τ ′ + δ) (16.148)

y otra parte donde la integral es regular. En la parte regular, podemos suponer quela distancia ǫ entre las curvas C y C ′ es cero, de donde obtenemos la integral deGauss G(C, C), i.e., el numero de retorcidoWr. Para la parte singular, aproximamosx(τ) en la vecindad (16.148) por una lınea recta

x(τ) ≈ x(τ ′) + x(τ ′)(τ − τ ′),

x(τ) ≈ x(τ ′). (16.149)

Con lo cual la integral en τ es facil de hallar. Para el caso donde ǫ ≪ δ ≪ 1,obtenemos

Tw = − 1

4π

∮

C′dτ ′ [n(τ ′)× x(τ ′)] · n(τ ′)ǫ2

∫ τ ′+δ

τ ′−δdτ

1√

|x(τ ′)|2(τ − τ ′)2 + ǫ2

=1

2π

∮

C′dτ ′ [x(τ ′)× n(τ ′)] · n(τ ′)/|x(τ ′)|. (16.150)

Es importante enfatizar que, contrario a la integral de Gauss para las curvas C,C ′, elvalor de la integral de Gauss para C no es un entero sino que un numero continuo.Este numero depende de la forma de la cinta y cambia continuamente a medidaque deformamos isotopicamente la cinta. Sin embargo, si una seccion de la cintapasa a traves de otra, el numero de retorcido cambia en 2 unidades. La definicion

16.7 Teorıa de Chern-Simons del Enredado 1185

Figure 16.21 Ilustracion de la relacion de Calagareau-White (16.146). El numero de

vueltas alrededor del cilindro es Lk = 2, mientras que Tw = Lk − p/√

p2 +R2, donde p es

la inclinacion de la helice y R el radio del cilindro.

muestra que Wr se anula si el eje de la cinta tiene un centro o plano de simetrıa.Un ejemplo de una cinta circular cerrada con valor entero de Lk y numero arbitrariode retorcido Wr puede verse de la construccion de Brook-Fuller y Crick. Una cintacerrada se enrolla alrededor de la superficie plana de un cilindro, regresandola luegoa lo largo del eje del cilindro (ver la Fig. 16.21). Mientras que los bordes de la cintase perforan entre sı un numero entero de veces tal que Lk = 2, el eje de la cinta tieneuna integral de Gauss Wr no entera que depende de la razon entre la inclinacion dela helice y el radio del cilindro, Wr = 2− p/

√p2 +R2 .

16.7 Teorıa de Chern-Simons del Enredado

La integral de Gauss tiene una forma muy similar a la ley, hallada en 1820, de Biot-Savart de la magnetostatica. Esta ley es una formula de accion a distancia para laenergıa de interaccion entre dos corrientes electricas I, I ′ circulando sobre las curvasC y C ′:

E = −II′

c2

∮

C

∮

C′dx · dx′ 1

|x− x′| , (16.151)

donde c es la velocidad de la luz. La explicacion de la Ec. (16.151) mediante laenergıa local del campo que aparece del vector potencial A(x), fue un avanceconceptual decisivo de la teorıa de Maxwell. En vista de la importancia de la integralde Gauss para la clasificacion topologica del enredado, sera de utilidad deducir unateorıa de campo local que ayude a interpretar a la integral de Gauss como una acciontopologica a distancia. Supongamos que los contornos C y C ′ portan una corriente


estacionaria de alguna pseudo–carga, la cual en principio esta normalizada a launidad. Estas corrientes electricas estan acopladas al vector potencial A(x), el cualno esta relacionado con el magnetismo y sera llamado vector potencial estadıstico-magnetico:

Ae,curr = −i∮

CdxA(x)− i

∮

C′dxA(x). (16.152)

La accion es del tipo Euclideano, tal como se indica por el subındice e (recordemosla relacion entre esta accion y la accion ordinaria A = iAe). Construyamos ahorauna accion de campo para A(x), de tal forma que las ecuaciones de campo describanla interaccion entre las dos corrientes electricas, la cual es precisamente de la formadada por la integral de Gauss. La accion del campo sera

Ae,CS =i

2

∫

d3xA · (∇×A) (16.153)

y se le conoce como la accion de Chern-Simons . Esta accion, al igual que la accionmagnetica ordinaria Euclideana, muestra una dependencia cuadratica como funciondel vector potencial A(x), y de la misma forma es invariante ante transformacionesde norma locales

A(x) → A(x) +∇Λ(x), (16.154)

lo cual es obvio cuando transformamos el segundo vector potencial en la forma dadapor la Ec. (16.153). La transformacion de norma del primer potencial vectorial nocambia luego de una integracion parcial. Igualmente, luego de una integracion porpartes, el acoplamiento de los contornos C y C ′ en la Ec. (16.152) es un invariantede norma, dado que los contornos son cerrados, entonces se cumple la relacion

∇ ·∮

dx = 0. (16.155)

Sin embargo, contrario al caso de la energıa del campo magnetico, la accion(16.153) es puramente imaginaria. El factor i es importante en las aplicaciones dondela accion de Chern-Simons dara origen a factores de fase de la forma ei2θG(C,C′).

Extremando la accion combinada, obtenemos la ecuacion de campo

∇×A(x) =(∮

C+∮

C′

)

dx. (16.156)

Cuya solucion es

Ai(x) =(∮

C+∮

C′

)

Gij(x,x′)dx′j , (16.157)

donde Gij(x,x′) es una funcion de Green apropiada, que es solucion de la ecuacion

de campo inhomogenea (16.157), y donde hemos usado una funcion δ como fuenteen lugar de la corriente. Sin embargo, no tenemos una solucion unica debido a la

16.7 Teorıa de Chern-Simons del Enredado 1187

invarianza de norma del lado izquierdo. Dada una solucion Gij(x,x′), toda trans-

formacion de norma de la funcion de Green

Gij(x,x′) → Gij(x,x

′) +∇iΛj(x,x′) +∇jΛi(x,x

′)

tendra el mismo rotacional ∇×A. Solo la parte transversal del potencial vectorial(16.157) tiene significado fısico, y la funcion de Green debe cumplir la relacion

ǫijk∇jGkl(x,x′) = δ

(3)ij (x− x′)T , (16.158)

donde

δ(3)ij (x− x′)T =

(

δij −∇i∇j

∇2

)

δ(3)(x− x′) (16.159)

es la funcion δ transversal. El vector potencial se obtiene de la Ec. (16.157) usandola norma transversal

∇ ·A(x) = 0. (16.160)

Para el espacio bi-dimensional transversal es facil hallar la solucion de la ecuaciondiferencial (16.158). La transformada de Fourier de la Ec. (16.158) sera

iǫijkpjGkl(p) = δil −pjplp2

, (16.161)

cuya solucion es

Gij(p) = iǫikjpk1

p2. (16.162)

La norma transversal (16.160) puede introducirse formalmente en la accion agre-gando en la accion (16.153) un termino que fije la norma

AGF =1

2α(∇ ·A)2, (16.163)

donde α es un parametro intermedio de norma, el cual sera igualado a cero al final.Luego, la ecuacion de campo (16.158) sera

(

ǫijk∇j +i

α∇i∇k

)

Gkl(x,x′) = δikδ

(3)(x− x′), (16.164)

la cual, en el espacio del momentum tendra la forma(

iǫijkpj −i

αpipk

)

Gkl(p) = δik. (16.165)

Esta ecuacion tendra como solucion unica la expresion

Gik(p) =

(

iǫijkpj + iαpipkp2

)

1

p2, (16.166)


cuyo lımite α→ 0 sera la Ec. (16.162).Regresando ahora a la configuracion de las coordenadas, la funcion de Green sera

Gij(x,x′) =

∫ d3p

(2π)3eip(x−x′) iǫikjpk

p2=

1

4πǫikj∇k

1

|x− x′| =1

4πǫijk

(x− x′)k|x− x′|3 . (16.167)

Sustituyendo este resultado en la accion Ae,curr + Ae,CS obtenemos la interaccionentre las corrientes electricas9

Ae,int = −i∮

C

∮

C′dxidx

′jGij(x,x

′). (16.168)

Salvo el factor −i, este resultado es precisamente la integral de Gauss G(C,C ′) delas curvas C, C ′. Ademas, obtenemos la auto–interaccion de las curvas

Ae,int = − i

2

(∮

C

∮

C+∮

C′

∮

C′

)

dxidx′jGij(x,x

′), (16.169)

la cual es igual a −(i/2)[G(C,C)+G(C ′, C ′)]. Debido a su naturaleza no topologica,discutida anteriormente, esta interaccion no tiene valores cuantizados y debe seromitida.

Las auto–interacciones no cuantizadas pueden omitirse considerando sistemascuyas orbitas obedecen un conjunto apropiado de restricciones. Por ejemplo, puedencontener solo lıneas que no se enredan entre ellas y estar orientadas en una direccionpreferencial de −∞ a ∞. En dos dimensiones, los ensembles de partıculas no rela-tivistas tienen este tipo de lıneas universo en el espacio–tiempo tri–dimensional. Porlo tanto, estas lıneas son los campos ideales de la teorıa de Chern-Simons, como seramostrado en detalle a continuacion.

Otra forma de evitar las auto–interacciones no cuantizadas, es el uso de unproceso de lımite apropiado. Si las lıneas C y C ′ coinciden, la integral GaussianaG(C,C ′) para C = C ′ puede extenderse sobre un gran numero N de lıneas paralelasCi (i = 1, . . . , N), cada una de las cuales tiene una carga topologica 1/N . La suma(1/N2)

∑

ij G(Ci, Cj) contiene N veces la misma auto–interaccion y N(N − 1) vecesel mismo numero entero de ligadura Lk de pares de lıneas. En el lımite N → ∞,solo permanece el numero Lk. El resultado coincide con la integral de Gauss paralas dos lıneas de referencia C1 y CN de la cinta. Por lo tanto, el numero LK puedeser llamado el numero de ligadura del sistema. Es claro que este numero dependede la eleccion de los sistemas de referencia. Hay un sistema preferente donde Lk seanula. Esto cancela la auto–interaccion en forma trivial.

Aunque el proceso del lımite convierte a la auto–interaccion en topologica, laarbitrariedad de la eleccion del sistema de referencia destruye la informacion sobrela clase de los nudos. Esta informacion se puede rescatar mediante una generalizacionde la accion topologica anterior, con lo cual obtenemos la version no–Abeliana dela teorıa de Chern-Simons. Esta teorıa tiene la misma arbitrariedad en la elecciondel sistema de referencia. Sin embargo, es posible eliminar la libertad de la eleccion

9Comparece este resultado con lo hallado en la Ec. (3.247).

16.8 Enredado de Parejas de Polımeros 1189

del sistema de referencia eligiendo el mismo sistema del caso Abeliano y calculandosolo los cocientes de cantidades observables. Al final, esto nos permitira distinguirlas diferentes clases de nudos.

16.8 Enredado de Parejas de Polımeros

Para una pareja de polımeros, los problemas anteriores del auto–enredado se pueden evitar me-diante una ligera modificacion de la teorıa de Chern-Simons. Esto nos permitira estudiar soloel enredado de la pareja. En particular, podremos calcular el segundo momento topologico delenredado, el cual se define como el valor esperado 〈m2〉 del cuadrado del numero de ligadura m[8]. El auto–enredado de polımeros individuales sera ignorado.

El resultado sera aplicable en forma aproximada a un polımero en un ensemble de muchosotros polımeros, donde el ensemble puede ser considerado como un polımero efectivo muy largo.

Consideremos dos polımeros definidos sobre los contormos C1 y C2 los cuales estadısticamentepueden estar encadenados el uno con el otro un numero arbitrario de veces m = 0, 1, 2, . . . . Enla Fig. 16.22 se muestra el caso para m = 2. El numero de ligadura (16.130) de estos polımeros

Figure 16.22 Polımeros cerrados sobre los contornos C1, C2 respectivamente.

se puede calcular con ayuda de una ligera modificacion de la accion de Chern-Simons (16.153) ylos acoplamientos (16.152). Para lo cual en la accion introducimos simplemente dos potencialesvectoriales y la accion Euclideana

Ae = Ae,CS12 + Ae,curr, (16.170)

donde

Ae,CS12 = i

∫

d3xA1 · (∇ ×A2) (16.171)

y obtenemos

Ae,curr = −i∮

C1

dxA1(x) − i

∮

C2

dxA2(x). (16.172)

Si, al igual que en la Ec. (16.160), utilizamos la norma transversal de los campos, obtendremos lasfunciones de correlacion de la norma de los campos

Dµνab (x,x′) ≡ 〈Aµ

a(x)Aνb (x′)〉, a, b = 1, 2 (16.173)

donde

Dij11(x,x

′) = 0, Dij22(x,x

′) = 0, (16.174)

Dij12(x,x

′) = Dij21(x,x

′) =

∫

d3p

(2π)3eip(x−x′) iǫikjk

k

p2=

1

4πǫikj∇k

1

|x− x′|

=1

4πǫijκ

(x − x′)k

|x− x′|3 . (16.175)


La norma transversal se obtiene sumando a la accion (16.171) un termino que fije la norma

AGF =1

2α[(∇ ·A1)

2 + (∇ ·A2)2], (16.176)

y hallando luego el lımite α → 0. Extremando la accion extendida obtenemos de la Ec. (16.130) elnumero de ligadura Gaussiano −iG(C1, C2). El calculo es completamente analogo al que se hizoen la Ec. (16.168).

La funcion de particion de los dos polımeros y los campos de norma estara dada por la integralde trayectoria

Z =

∫

C1

Dx1

∫

C2

Dx2

∫

DA1DA2e−Ae−AGF . (16.177)

Realizando la integral funcional sobre los campos de norma y del extremum obtenemos

Z = const ×∫

C1

Dx1

∫

C2

Dx2 eiG(C1,C2), (16.178)

donde la constante es el factor de fluctuacion trivial de los potenciales vectoriales. De la integralGaussiana G(C1, C2) obtenemos los valores m = 0,±1,±2, . . . de los numeros de ligadura.

Para analizar la distribucion de los numeros de ligadura, en el sistema de dos polımeros,debemos poder fijar un cierto numero de ligadura. Esto se hace reemplazando en la integral detrayectoria (16.178) el factor de fase eim por la fase eimλ, y calculando Z(κ). Luego, la integral∫

dκe−imλZ(λ) seleccionara un numero especıfico de enlace m. En la funcion de particion (16.178),el factor de fase eimλ se obtiene agregando a cualquiera de las corrientes de acoplamiento de lainteraccion (16.172), por ejemplo a la corriente sobre C2, el factor λ, con lo cual la Ec. (16.172)tendra la forma

Ae,curr,λ = −i∮

C1

dxA1(x) − iλ

∮

C2

dxA2(x). (16.179)

La funcion de particion dependiente de λ sera

Z(λ) =

∫

C1

Dx1

∫

C2

Dx2

∫

DA1DA2e−Ae,CS12−Ae,curr,λ−AGF

= const ×∫

C1

Dx1

∫

C2

Dx2 eimλ. (16.180)

Finalmente, deseamos hallar la distribucion de probabilidad del numero de eslabones m comofuncion de las longitudes C1 y C2. La solucion del problema de dos polımeros puede considerarsecomo una aproximacion a un problema de mayor interes fısico, en el cual un polımero esta ligadoa un numero arbitrario N de polımeros, los cuales se reemplazan por un polımero “efectivo” [9].Desafortunadamente, la distribucion total m es difıcil de calcular. Con un poco de esfuerzo solose puede calcular el segundo momento topologico. Esta cantidad esta dada por 〈m2〉, el valoresperado del cuadrado del numero de eslabones m.

Sea PL1,L2(x1,x2;m) la probabilidad configuracional de hallar el polımero C1, de longitud L1

y cuyos puntos extremos coinciden en x1, y el polımero C2, de longitud L2 con extremos fijoscoincidiendo en x2, enredados con un numero de ligadura Gaussiano m. El segundo momento〈m2〉 estara dado por la razon de integrales

〈m2〉 =

∫

d3x1d3x2

∫ +∞−∞ dm m2PL1,L2

(x1,x2;m)∫

d3x1d3x2∫ +∞−∞ dmPL1,L2

(x1,x2;m), (16.181)

respecto a cualquiera de las dos probabilidades. Las integrales en d3x1d3x2 cubren las posiciones

de todos los puntos extremos. El denominador resulta ser la funcion de particion del sistema:

Z ≡∫

d3x1d3x2

∫ +∞

−∞dmPL1,L2

(x1,x2;m). (16.182)


De la invarianza traslacional del sistema, las probabilidades dependen solo de la diferenciaentre las coordenadas de los puntos extremos:

PL1,L2(x1,x2;m) = PL1,L2

(x1 − x2;m). (16.183)

Ası, luego de un cambio de variable, las integrales espaciales dobles de la expresion (16.181) sepueden reescribir como

∫

d3x1d3x2PL1,L2

(x1,x2;m) = V

∫

d3xPL1,L2(x;m), (16.184)

donde V representa el volumen total del sistema.

16.8.1 La Probabilidad en la Teorıa de Campo de Polımeros

El calculo de la integral de trayectoria sobre todas las configuraciones de lınea se puede hallar enforma conveniente utilizando la teorıa de campo de los polımeros desarrollada en la Seccion 15.12.Esta teorıa nos permite reescribir la funcion de particion (16.180) como una integral funcional sobreψα1

1 (x1) y ψα2

2 (x2), para las replicas n1 y n2 (α1 = 1, . . . , n1, α2 = 1, . . . , n2). Al final hallaremosel lımite n1, n2 → 0, para asegurar que los campos describen solo un polımero a la vez, tal como seexplico en la Seccion 15.12. En estos campos definimos una probabilidad auxiliar P~z(~x1, ~x2;λ) deencontrar el polımero C1 con extremos abiertos en x1,x

′1 y el polımero C2 con extremos abiertos

en x2,x′2. Los vectores dobles ~x1 ≡ (x1,x

′1) y ~x2 ≡ (x2,x

′2) contienen los extremos inicial y final

de los dos polımeros C1 y C2. La probabilidad auxiliar P~z(~x1, ~x2;λ) esta dada por la integralfuncional

P~z(~x1, ~x2;λ) = limn1,n2→0

∫

D(campos)ψαi

1 (x1)ψ∗α1

1 (x′1)ψ

α2

2 (x2)ψ∗α2

2 (x′2)e

−A, (16.185)

donde D(campos) representa la norma de la integracion funcional, y A es la accion total (16.180)que controla las fluctuaciones. El valor esperado se calcula para toda pareja (α1, α2) de las etiquetasreplica, i.e., las etiquetas replica no estan sujetas a la convencion de suma de ındices repetidos deEinstein. La accion A contiene los terminos cineticos de los campos, la interaccion de cuarto ordenen los campos, la cual tiene en cuenta el hecho de que dos monomeros del polımero no puedenocupar el mismo punto, este es el llamado efecto del volumen excluido, y un campo de Chern–Simons que describe el numero de eslabones m. Ignorando inicialmente el efecto del volumenexcluido y enfocandonos solamente en el problema de la ligadura, la accion sera

A = ACS12 + Ae,curr + Apol + AGF, (16.186)

donde la accion de campo del polımero es

Apol =

2∑

i=1

∫

d3x[

|Diψi|2 +m2i |Ψi|2

]

. (16.187)

Donde el acoplamiento con los campos del polımero estara dado por las derivadas covariantes

Di = ∇ + iγiAi, (16.188)

y donde las constantes de acoplamiento γ1,2 seran

γ1 = 1, γ2 = λ. (16.189)

El cuadrado de la masa del campo de los polımeros estara dado por

m2i = 2Mzi. (16.190)


dondeM = 3/a, y a es la longitud de los eslabones del polımero [recordemos la Ec. (15.79)], ademaszi es el potencial quımico de los polımeros, el cual tendra unidades de temperatura. Los potencialesquımicos son las variables conjugadas de los parametros de longitud L1 y L2, respectivamente. Lossımbolos Ψi reunen la replica de los campos de los dos polımeros

Ψi =(

ψ1i , . . . , ψ

ni

i

)

, (16.191)

y su cuadrado absoluto contiene la suma sobre la replica

|DiΨi|2 =

ni∑

αi=1

|Diψαi

i |2, |Ψi|2 =

ni∑

αi=1

|ψαi

i |2. (16.192)

Una vez determinados los campos, tendremos una expresion para la norma de la integral funcionaldada en la Ec. (16.185):

D(campos) =

∫

DAi1DAj

2DΨ1DΨ∗1DΨ2DΨ∗

2. (16.193)

Por la Ec. (16.180), tendremos que el parametro λ es el conjugado del numero de ligadura m. Porlo tanto, podemos calcular la probabilidad PL1,L2

(~x1, ~x2;m), para la cual los dos polımeros estanabiertos con diferentes puntos extremos, usando la probabilidad auxiliar P~z(~x1, ~x2;λ) mediante lasiguiente integral de Laplace sobre ~z = (z1, z1):

PL1,L2(~x1, ~x2;m) = lim

x′

1→x1

x′

2→x2

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz12πi

Mdz22πi

ez1L1+z2L2

∫ ∞

−∞dke−imλP~z (~x1, ~x2;λ) .

(16.194)

16.8.2 Calculo de la Funcion de Particion

Utilicemos la teorıa de campo de los polımeros para calcular la funcion de particion (16.182).Por la Ec. (16.194), hallamos que esta funcion de particion estara dada por la integral sobre lasprobabilidades auxiliares

Z =

∫

d3x1d3x2 lim

x′

1→x1

x′

2→x2

∫ c+∞

c−i∞

Mdz12πi

Mdz22πi

ez1L1+z2L2

∫ ∞

−∞dm

∫ +∞

−∞dλe−imλP~z (~x1, ~x2;λ) .

(16.195)

La integral sobre m es trivial y tiene el valor 2πδ(λ), de donde hallamos que λ = 0, de tal formaque

Z =

∫

d3x1d3x2 lim

x′

1→x1

x′

2→x2

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz1Mdz22πi

ez1L1+z2L2P~z (~x1, ~x2; 0) . (16.196)

Ahora, para calcular P~z (~x1, ~x2; 0), observemos que en la Ec. (16.186) la accion A depende de λsolo a traves de la accion del polımero (16.187), y es cuadratica en λ. Desarrollando A en la forma

A = A0 + λA1 + λ2A2, (16.197)

donde la parte independiente de λ es

A0 ≡ ACS12 + AGF +

∫

d3x

[

|D1Ψ1|2 + |∇Ψ2|2 +2∑

i=1

|Ψi|2]

, (16.198)


el coeficiente lineal

A1 ≡∫

d3x j2(x) ·A2(x) (16.199)

contiene una pseudo–corriente de campo del segundo polımero

j2(x) = iΨ∗2(x)∇Ψ2(x), (16.200)

y el coeficiente cuadratico sera

A2 ≡ 1

4

∫

d3x A22|Ψ2(x)|2. (16.201)

Con estas definiciones y con ayuda de la Ec. (16.198) tendremos:

P~z (~x1, ~x2; 0) =

∫

D(campos)e−A0ψα1

1 (x1)ψ∗α1

1 (x′1)ψ

α2

2 (x2)ψα2

2 (x′). (16.202)

En la accion (16.198), los campos Ψ2,Ψ∗2 claramente son libres, mientras que los campos Ψ1,Ψ

∗1

aparentemente no lo son debido al acoplamiento con los campos de Chern–Simons en la derivadacovariante D1. Sin embargo, este acoplamiento no tiene consecuencias fısicas. De hecho, integrandoAi

2 en la Ec. (16.202), a partir de ACS12 encontramos la condicion para un espacio plano:

∇×A1 = 0. (16.203)

Para un espacio plano cuyas condiciones de frontera se cancelan en infinito, esto implica queA1 = 0. Como consecuencia, la integral funcional (16.202) se puede factorizar en la siguienteforma [comparar con la Ec. (15.370)]

P~z (~x1, ~x2; 0) = G0(x1 − x′1; z1)G0(x2 − x′

2; z2), (16.204)

donde G0(xi − x′i; zi) son las funciones libres de correlacion de campo del polımero:

G0(xi − x′i; zi) = 〈ψαi

i (xi)ψ∗αi

i (x′i)〉. (16.205)

En el espacio del momentum, las funciones de correlacion son

〈ψαi

i (ki)ψ∗αi

i (k′i)〉 = δ(3)(ki − k′

i)1

k2i +m2

i

, (16.206)

de tal manera que

G0(xi − x′i; zi) =

∫

d3k

(2π)3eik·x

1

k2i +m2

i

, (16.207)

y

G0(xi − x′i;Li) =

∫ c+i∞

c−i∞

Mdzi2πi

eziLiG0(xi − x′i; zi)

=1

2

(

M

4πLi

)3/2

e−M(xi−x′

i)/2Li . (16.208)

La funcion de particion (16.196) esta dada por la integral

Z = 2π

∫

d3x1d3x2 lim

x′

1→x1

x′

2→x2

G0(x1 − x′1;L1)G0(x2 − x′

2;L2). (16.209)


Las integrales en los puntos extremos comunes pueden hallarse facilmente, de donde obtenemos

Z =2πM3V 2

(8π)3(L1L2)

−3/2. (16.210)

Es importante notar que en la Ec. (16.195), los lımites de los puntos extremos comunes x′i → xi

y las transformadas inversas de Laplace no conmutan a menos que se elija un esquema de renor-malizacion apropiado, de tal forma que se eliminen las divergencias originadas por la insercion delos operadores compuestos |ψα(x)|2. Esto puede verse en el caso de un solo polımero. Conmutandoel lımite de los puntos extremos comunes con la transformada de Laplace, obtendrıamos

∫ c+i∞

c−i∞

dz

2πezL lim

x′→xG0(x− x′; z) =

∫ c+i∞

c−i∞

dz

2πiezLG0(0, z), (16.211)

donde

G0(0; z) = 〈|ψ(x)|2〉. (16.212)

Sin embargo, este valor esperado diverge linealmente:

〈|ψ(x)|2〉 =

∫

d3k

k2 +m2→ ∞. (16.213)

16.8.3 Calculo del Numerador en el Segundo Momento

Veamos ahora el numerador de la Ec. (16.181):

N ≡∫

d3x1d3x2

∫ ∞

−∞dm m2 PL1,L2

(x1,x2;m). (16.214)

Analogo a lo hecho en la Ec. (16.195), construiremos una integral funcional para N en terminosde la probabilidad auxiliar P~z(~x1, ~x2; 0). Primero, observemos que

N =

∫

d3x1d3r2

∫ ∞

−∞dm m2 lim

x′

1→x1

x′

2→x2

∫ cτ i∞

c−i∞

Mdzi2πi

Mdz22πi

× ez1L1+z2L2

∫ ∞

−∞dλe−imλP~z(~x1, ~x2;λ). (16.215)

La integracion con respecto a m es facil de hallar, observando que

∫ ∞

−∞dm m2e−imλP~z(~x1, ~x2;λ) = −

∫ ∞

−∞dm

(

∂2

∂λ2e−imλ

)

P~z(~x1, ~x2;λ). (16.216)

Luego de dos integraciones por partes para λ, y una integracion para m, obtenemos

N =

∫

d3x1d3x2 lim

x′

1→x1

x′

2→x2

(−1)

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz12πi

Mdz22πi

ez1L1+z2L2

×∫ ∞

−∞dλ δ(λ)

[

∂2

∂λ2P~z(~x1, ~x2;λ)

]

. (16.217)

Ahora, luego de hallar la integral trivial sobre λ, obtenemos

N=

∫

d3x1d3x2 lim

x′

1→x1

x′

2→x2

(−1)

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz12πi

Mdz22πi

ez1L1+z2L2

[

∂2

∂λ2P~z(~x1, ~x2; 0)

]

. (16.218)


Para calcular los terminos entre corchetes usamos de nueva cuenta la Ec. (16.197) y lasEcs. (16.198)–(16.223), de donde hallamos

N =

∫

d3x1d3x2 lim

n1→0

n2→0

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz12πi

Mdz22πi

ez1L1+z2L2

×∫

D(campos) exp(−A0)|ψα1

1 (x1)|2|ψα2

2 (x2)|2

×[

(∫

d3xA2 · Ψ∗2∇Ψ2

)2

+1

2

∫

d3xA22 |Ψ2|2

]

. (16.219)

En esta ecuacion hemos incluido el lımite comun de los puntos extremos en la integral de Laplacepara z1, z2. Esto se vera justificado posteriormente por el hecho de que los diagramas de Feyn-man potencialmente peligrosos, que contienen operaciones tales como |Ψi|2, se anulan en el lımiten1, n2 → 0.

Para calcular la expresion (16.219), dividimos la accion en una parte libre

A00 ≡ ACS +

∫

d3x

[

|D1Ψ1|2 + |∇Ψ2|2 +

2∑

i=1

2|Ψi|2]

, (16.220)

y una parte de interaccion

A01 ≡

∫

d3x j1(x) ·A1(x), (16.221)

donde definimos la “corriente” de campo del primer polımero

j1(x) ≡ iΨ∗1(x)∇Ψ1(x), (16.222)

y

A20 ≡ 1

4

∫

d3x A21|Ψ1(x)|2. (16.223)

Desarrollando la exponencial

eA0 = eA00+A1

0+A20 = eA0

[

1−A10+

(A10)

2

2−A2

0+. . .

]

, (16.224)

y conservando solo terminos relevantes, la integral funcional (16.219) puede reescribirse como unvalor esperado puramente Gaussiano

N = κ2∫

d3x1d3x2 lim

n1→0

n2→0

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz12πi

Mdz22πi

ez1L1+z2L2

×∫

D(campos) exp(−A00)|ψα1

1 (x1)|2|ψα2

2 (x2)|2

×[

(∫

d3xA1 · Ψ∗1∇Ψ1

)2

+1

2

∫

d3xA21 |Ψ1|2

]

×[

(∫

d3xA2 · Ψ∗2∇Ψ2

)2

+1

2

∫

d3xA22 |Ψ2|2

]

. (16.225)

Notese que el tratamiento inicialmente asimetrico de los polımeros C1 y C2, en la accion (16.187),nos ha llevado a una expresion completamente simetrica para el segundo momento.

Solo los cuatro diagramas mostrados en la Fig. 16.23 contribuyen a la Ec. (16.225). El primerdiagrama diverge debido a la divergencia del contorno formado por las funciones de correlacion delos dos vectores. Este infinito se puede absorber en la cuarta interaccion Ψ teniendo en cuentael efecto del volumen excluido, lo cual no hemos considerado hasta este momento. Calculemosahora los cuatro diagramas por separado.


+ + +

Figure 16.23 Diagramas que contribuyen a la Ec. (16.225). Las lıneas indican las

funciones de correlacion de los campos Ψi. Los cırculos cruzados con etiqueta i representan

la insercion de |Ψi(xi)|2.

16.8.4 Primer Diagrama de la Fig. 16.23

De la Ec. (16.225) tenemos que evaluar la siguiente integral

N1 =κ2

4limn1→0

n2→0

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz12πi

Mdz22πi

ez1L1+z2L2

∫

d3x1d3x2

∫

d3x′1d3x′2 (16.226)

×⟨

|ψα1

1 (x1)|2|ψα2

2 (x2)|2(

|Ψ1|2A21

)

x′

1

(

|Ψ2|2A22

)

x′

2

⟩

.

Como se menciono anteriormente, tenemos una contribucion que diverge en el ultravioleta, lacual debe regularizarse. El sistema tiene una escala microscopica, misma que corresponde a ladimension de los monomeros. Sin embargo, esta no es una escala apropiada, y no la usaremos ennuestro estudio. En el modelo, los polımeros se tratan como cadenas aleatorias. Sin embargo, enel laboratorio los monomeros de un polımero normalmente no se mueven libremente, es decir lospolımeros tienen una cierta rigidez. Esta rigidez da origen a cierta longitud de persistencia ξ0,donde el polımero es rıgido. La longitud crece, ξ > ξ0, debido a los efectos del volumen excluido.Esta es la escala que sera usada como la distancia mınima fısicamente importante. Podemosintroducir esta distancia suponiendo que el modelo esta definido sobre una red cubica simple cuyaconstante de red es ξ. Sin embargo, esto hara que el calculo analıtico sea demasiado complicado.Aun ası, podremos estimar la dependencia de la integral N1, y otras integrales, en el lımite deinteres fısico donde la longitud de los polımeros es mucho mayor que la longitud de persistencia ξ.

Para distancias menores que ξ, una regularizacion alternativa y mas simple consiste en eliminartodas la integrales que divergen en el continuo ultravioleta.

Luego de tal regularizacion, el calculo de N1 es directo. Reemplazando los valores esperadospor las contracciones de Wick correspondientes al primer diagrama de la Fig. 16.23 y hallando lasintegrales como se muestra en el Apendice 16A, obtenemos

N1 =V

4π

M4

(8π)6(L1L2)

− 12

∫ 1

0

ds [(1 − s)s]− 3

2

∫

d3xe−Mx2/2s(1−s) (16.227)

×∫ 1

0

dt [(1 − t)t]− 3

2

∫

d3ye−My2/2t(1−t)

∫

d3x′′11

|x′′1 |4

.

Las variables x y y se han reescalado con respecto a las variables originales para mostrar elcomportamiento de N1 como funcion de L1 y L2. Como consecuencia de esto, las redes donde sedefinen x y y tendran los siguientes parametros de red ξ/

√L1 y ξ/

√L2, respectivamente.

En el lımite de interes L1, L2 ≫ ξ, donde las constantes de red anteriores son muy pequenas,las integrales en x,y se pueden hallar facilmente. Mas aun, la integral para x′′

1 se puede aproximarcomo una integral sobre una variable continua l y una distancia de corte en la region ultavioleta:

∫

d3x′′11

|x′′1 |4

∼ 4π2

∫ ∞

ξ

dl

l2. (16.228)


Finalmente, luego de estas aproximaciones obtenemos

N1 = V π1/2 M

(4π)3(L1L2)

−1/2ξ−1. (16.229)

16.8.5 Diagramas Segundo y Tercero de la Fig. 16.23

Ahora tenemos que calcular

N2 = κ2 limn1→0

n2→0

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz12πi

Mdz22πi

ez1L1+z2L2

∫

d3x1d3x2

∫

d3x′1d3x′′1d

3x′2

×⟨

|ψα1

1 (x1)|2|ψα2

2 (x2)|2 (A1 ·Ψ∗1∇Ψ1)x′

1(A1 ·Ψ∗

1∇Ψ1)x′′

1

(

A22 |Ψ2|2

)

x′

2

⟩

. (16.230)

La amplitud anterior no diverge en el ultravioleta, de tal forma que no se necesita regularizacionalguna. Las contracciones de Wick mostradas en el segundo diagrama de Feynman de la Fig. 16.23nos llevan a la integral

N2 = −4√

2V L−1/22 L−1

1

M3

π6

∫ 1

0

dt

∫ t

0

dt′C(t, t′), (16.231)

donde C(t, t′) es una funcion independiente de L1 y L2:

C(t, t′) = [(1 − t)t′(t− t′)]−3/2

∫

d3xd3yd3ze−M(y−x)2/2(1−t)

×(

∇jye

−My2/2t′)(

∇ixe

−Mx2/2(t−t′)) [δijz · (z + x) − (z + x)i zj]

|z|3|z + x|3 . (16.232)

Tal como en la seccion anterior, las variables x,y y z se han reescalado con respecto a las variablesoriginales para hallar el comportamiento de L1.

Si las longitudes del polımero son mucho mayores que la longitud de persistencia, podemosignorar el hecho de que los monomeros tienen un tamano finito, por lo que es posible calcularanalıticamente C(t, t′), con lo cual hallamos

N2 = −V L−1/22 L−1

1

(2π)6M3/2 4K, (16.233)

donde la constante K es

K ≡ 1

6B

(

3

2,1

2

)

+1

2B

(

5

2,1

2

)

− B

(

7

2,1

2

)

+1

3B

(

9

2,1

2

)

=19π

384≈ 0.154, (16.234)

y B(a, b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a+ b) es la funcion Beta. Para valores donde L1 → ∞, este diagrama darauna contribucion que, comparada con N1, puede ignorarse.

El tercer diagrama en la Fig. 16.23 dara el mismo resultado obtenido en el segundo diagrama,excepto que ahora L1 y L2 estan intercambiados.

N3 = N2|L1↔L2. (16.235)

16.8.6 Cuarto Diagrama de la Fig. 16.23

Aquı tenemos la integral

N4 = −4κ21

2limn1→0

n2→0

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz12πi

Mdz22πi

ez1L1+z2L2

∫

d3x1d3x2

∫

d3x′1d3x′2d

3x′′1d3x′′2

×⟨

|ψα1

1 (x1)|2|ψ2(xα2

2 )|2(A1 ·Ψ∗1∇Ψ1)x′

1(A1 ·Ψ∗

1∇Ψ1)x′′

1

× (A2 ·Ψ∗2∇Ψ2)x′

2(A2 · Ψ∗

2∇Ψ2)x′′

2

⟩

, (16.236)


la cual no diverge en el ultravioleta. Luego de un poco de trabajo analıtico encontramos

N4 = − 1

16

M5V

(2π)11(L1L2)

−1/2

∫ 1

0

ds

∫ s

0

ds′∫ 1

0

dt

∫ t

0

dt′C(s, s′, t, t′), (16.237)

donde

C(s, s′; t, t′) = [(1 − s)s′(s− s′)]−3/2

[(1 − t)t′(t− t′)]−3/2

×∫

d3p

(2π)3

[

ǫikαpα

p2ǫjlβ

pβ

p2+ ǫilα

pα

p2ǫjkβ

pβ

p2

]

(16.238)

×[∫

d3x′d3y′e−i√L1p(x′−y′)e−Mx′2/2(1−s)

(

∇jy′e

−My′2/2t′)(

∇ix′e−M(x−y)2/2(s−s′)

)]

×[∫

d3u′d3v′e−i√L2p(u′−v′)e−Mv′2/2(1−t)

(

∇lu′e−Mu

′2/2t′)(

∇kv′e−M(u′−v

′)2/2(t−t′))]

,

y donde x′,y′ son las variables escaladas. Para tener en cuenta lo finito de la longitud de persis-tencia, definimos estas variables en una red cuyo parametro de red es ξ/

√L1. De manera similar

u′,v′ deben considerarse en una red con parametro de red igual a ξ/√L2. Sin hallar las integrales

espaciales d3x′d3y′d3u′d3v′, se puede estimar facilmente el comportamiento de N4 como funcionde la longitud del polımero en los lımites:

1. L1 ≫ 1;L1 ≫ L2

N4 ∝ L−11 (16.239)

2. L2 ≫ 1;L2 ≫ L1

N4 ∝ L−12 (16.240)

3. L1, L2 ≫ 1, L2/L1 = α = finito

N4 ∝ L−3/21 . (16.241)

Mas aun, si las longitudes de los polımeros son considerablemente mayores que la longitud depersistencia, la funcion C(s, s′, t, t′) se puede hallar en forma cerrada:

N4 ≈ −128V

π5

M

π3/2(L1L2)

−1/2

∫ 1

0

ds

∫ 1

0

dt(1 − s)(1 − t)(st)1/2

× [L1t(1 − s) + L2(1 − t)s]−1/2

. (16.242)

Es facil checar que esta expresion tiene exactamente el mismo comportamiento anterior.

16.8.7 Segundo Momento Topologico

Reuniendo todas las contribuciones obtenemos el resultado para el segundo momento topologico:

〈m2〉 =N1 +N2 +N3 +N4

Z, (16.243)

donde N1, N2, N3, N4 y Z estan dadas por las Ecs. (16.210), (16.229), (16.233), (16.235) y(16.231).

En todas las formulas, suponemos que el volumen V del sistema es mucho mayor que el volumenocupado por un solo polımero, i.e., V ≫ L3

1

Para discutir el significado fısico del resultado (16.232), suponemos que C2 es un polımeroefectivo largo que representa a todos los polımeros en una solucion uniforme. Introducimos la

16.9 Teorıa de Chern-Simons de la Interaccion Estadıstica 1199

concentracion de polımeros l, como la densidad de masa promedio de los polımeros por unidad devolumen:

l =M

V, (16.244)

donde M es la masa total de los polımeros

M =

Np∑

i=1

maLk

a. (16.245)

Aquı ma es la masa de un solo monomero de longitud a, Lk es la longitud del polımero Ck y Np esel numero total de polımeros. Ası Lk/a es el numero de monomeros en el polımero Ck. El polımeroC1 es unico como cualquiera de los polımeros Ck, por ejemplo Ck, y su longitud es L1 = Lk. Losrestantes polımeros se reemplazan por un polımero efectivo largo C2, de longitud L2 = σk 6=kLk.De las relaciones anteriores tendremos

L2 ≈ aV l

ma. (16.246)

En esta forma, la longitud de la molecula efectiva C2 se expresa en terminos de parametrosfısicos: la concentracion de polımeros, la longitud del monomero y la masa y volumen del sis-tema. Sustituyendo la Ec. (16.246) en la Ec. (16.232), donde N1, N2, N3, N4 y Z estan dadaspor las Ecs. (16.210), (16.229), (16.233), (16.235) y (16.231), conservando solo los terminos dondeV ≫ 1, hallamos la siguiente aproximacion para el segundo momento topologico 〈m2〉

〈m2〉 ≈ N1 +N2

Z, (16.247)

misma que tendra la siguiente forma

〈m2〉 =al

ma

[

ξ−1Li

2π1/2M2− 2KL

1/21

π4M3/2

]

, (16.248)

donde K esta definida en la Ec. (16.234).De esta forma hemos construido una teorıa de campo topologica que describe las fluctuaciones

de los polımeros C1 y C2, y hemos calculado el segundo momento topologico para el numero deligadura m entre C1 and C2. El resultado puede usarse como una aproximacion para hallar elsegundo momento de un solo polımero con respecto a otros polımeros en una solucion de muchospolımeros.

Un problema interesante que aun necesita de una solucion, es el calculo del efecto del volumenexcluido.

16.9 Teorıa de Chern-Simons de la Interaccion Estadıstica

La teorıa de Chern-Simons (16.153) junto con el acoplamiento (16.152) dan origena la interaccion topologica correspondiente a la integral de Gauss entre la pareja decurvas C y C ′. Demostraremos ahora que esta interaccion topologica es la mismainteraccion estadıstica introducida en la Ec. (7.279), encontrada nuevamente en laEc. (16.26), la cual describe la fısica del movimiento de partıculas cargadas alrededorde un tubo de flujo magnetico. Esta observacion es la que permite que la integralGaussiana y ası la accion de Chern-Simons sean relevantes en la descripcion de laspropiedades estadısticas de las orbitas de partıculas no relativistas. Contrario a


la generacion electromagnetica de la estadıstica fraccionaria para las orbitas de laspartıculas dada en la Seccion 16.2, mediante el efecto Aharonov-Bohm, en la teorıade campo el vector potencial de la estadıstica magnetica tiene la ventaja de eliminarla asimetrıa entre las partıculas, donde una de ellas tiene que llevar una carga yla otra un flujo magnetico. Ahora, a un numero arbitrario de orbitas de partıculasidenticas se les puede agregar una estadıstica fraccionaria, tal como que se hizo conla interaccion topologica (7.279).

Para demostrar la igualdad entre las dos interacciones topologicas en un espaciode dos dimensiones espaciales y una dimesion temporal, consideremos un electron enun plano circundando un “flujo tubular” magnetico infinitamente delgado colocadoen el origen (la palabra flujo tubular se coloca entre comillas ya que el “tubo” essolo un punto en el espacio de dos dimensiones). En un espacio–tiempo Euclideano,la lınea universo C del electron rodea al “flujo tubular” C ′ orientado sobre el eje τ .Para esta geometrıa, la integral (16.130) sobre C ′ se puede hallar facilmente usando

la formula∫∞−∞ dt/

√t2 + d2

3= 2. El resultado es

G(C,C ′) =1

2π

∫

dτ x(τ)∇ϕ(x(τ)) =1

2π

∫

dτ ϕ(x(τ)), (16.249)

donde ϕ(x(τ)) representa el angulo azimutal del electron con respecto al “flujotubular” al tiempo τ

Salvo un factor 2π, la expresion (16.249) concuerda con la interaccion estadısticade las Ecs. (16.26) y (7.279). En el espacio de dos dimensiones espaciales y unadimension temporal, el comportamiento bajo el intercambio de partıculas puedeasignarse a una amplitud que se obtiene de la accion Euclideana agregandole unaintegral Gaussiana con un prefactor apropiado. El factor de fase eiθ se obtiene por elintercambio de partıculas cuando elegimos la siguiente accion Euclideana a distancia:

Ae,int = i2hθG(C,C ′). (16.250)

Esta interaccion topologica se genera de la accion de Chern-Simons

Ae,CS =1

4θhi

∫

d3xA · (∇×A). (16.251)

El angulo de la fase θ esta relacionado con el parametro inicial µ0, de las interaccionesestadısticas (16.26) y (7.279), por la expresion

θ = πµ0. (16.252)

Para µ0 = ±1,±3,±5, . . . , las orbitas de la partıcula obedecen la estadıstica deFermi; para µ0 = 0,±2,±4, . . . , obedecen la estadıstica de Bose. Valores frac-cionarios de µ0 dan lugar a una estadıstica fraccionaria. Contrario a la generacionmagnetica de la estadıstica fraccionaria, la mecanica de Chern-Simons se aplica acualquier numero de orbitas de partıculas. Sin embargo, por alguno de los metodosdiscutidos luego de la Ec. (16.169) debe de asegurarse que la “auto–energıa” Gaus-siana no de lugar a contribuciones topologicas no deseables.

16.9 Teorıa de Chern-Simons de la Interaccion Estadıstica 1201

Para mantener la analogıa con las interacciones magneticas tanto como sea posi-ble, la accion de Chern-Simons para un gas de electrones la escribimos en la forma

Ae,CS =1

4πi

e2

c2hµ0

∫

d3xA× (∇×A), (16.253)

mientras que el acoplamiento del vector potencial estadıstico–magnetico de la orbitade la partıcula tendra la forma

Ae,curr = −iec

∮

CdxA(x)− i

e

c

∮

C′dxA(x). (16.254)

Esto se ve como el acoplamiento Eculideano de un potencial vectorial ordinario alelectron. Para un numero arbitrario de orbitas definimos la densidad de corrientebidimensional Euclideana

j(x) ≡ ec∑

α

∮

Cα

dxα δ(3)(x− xα) (16.255)

y escribimos la interaccion (16.254) como

Ae,curr = −i 1c2

∫

d3x j(x)A(x). (16.256)

El rotacional del potencial vectorial

B ≡ ∇×A (16.257)

se conoce como el campo estadıstico-magnetico. Hallando la variacion de laEc. (16.253) mas la Ec. (16.256) con respecto a A(x), obtenemos la ecuacion decampo

B(x) = µ02πhc

e2j(x). (16.258)

Con ayuda del flujo elemental cuantizado Φ0, podemos reescribir el campo como

B(x) = µ0Φ01

ej(x). (16.259)

Para utilizar las formulas anteriores, debemos transformarlas del espacio tridi-mensional Euclideo al espacio–tiempo de Minkowski, donde las curvas Cα son lasorbitas de las partıculas en dos dimensiones cuyas coordenadas x⊥ = (x, y) dependendel tiempo t. En especial, sustituimos coordenadas en la siguiente forma:

(x1, x2) → x⊥ ≡ (x, y),

x3 → ix0 ≡ ict.

Las componentes del campo Euclideo A1,2,3 corresponderan al potencial estadıstico-electrico de Minkowsky φ y dos componentes espaciales Ax,y. Los tres campos B1,2,3


se transforman en los campos estadıstico-electricos Ey, Ex y el campo estadıstico-magnetico Bz:

A3 = iφ = iA0, A1 = Ax, A2 = Ay,

B3 = iBz, B1 = −iEy, B2 = iEx. (16.260)

Salvo un factor i, las corrientes Euclideanas seran la carga bi–dimensional y lasdensidades de corriente:

j3 = ij0 = icρ(x⊥), ρ(x) ≡ e∑

α

δ(2)(x⊥ − x⊥α),

j1 = ijx(x⊥) = e∑

α

xαδ(2)(x⊥ − x⊥α),

j2 = ijy(x⊥) = e∑

α

yαδ(2)(x⊥ − x⊥α), (16.261)

donde ρ es la densidad de partıculas por unidad de area. El movimiento de unapartıcula en un campo externo φ,Ax, Ay obedece a la interaccion

Aint =∫

dtd2x[

ρφ− 1

c(jxAx + jxAy)

]

. (16.262)

Inversamente, en un espacio–tiempo de dimension 2+1 las partıculas con estadısticafraccionaria generan un campo estadıstico–electromagnetico de Minkowsky que obe-dece el siguiente conjunto de ecuaciones

Bz = µ0Φ0ρ, Ex = µ0Φ01

cjy, Ey = µ0Φ0

1

cjx. (16.263)

La normalizacion electromagnetica en la Ec. (16.262) tiene la ventaja de que unapartıcula no puede distinguir un campo magnetico–estatico de un campo magneticoverdadero. Como se vera en la Seccion 18.9, esta propiedad constituye la base de lainterpretacion simple del efecto Hall cuantico fraccionario.

16.10 Segunda Cuantizacion de Campos Anionicos

Luego del desarrollo hecho en el Capıtulo 7, debemos esperar que el factor de faseeiµ0π, que aparece en la integral de trayectoria con del intercambio de los puntosextremos de las dos orbitas anionicas, se pueda obtener tambien en la formulacionde un operador de segunda–cuantizacion. Para verificarlo, consideremos un campolibre de Bose con accion (7.286), acoplado a un campo estadıstico–electromagneticosujeto a la accion de Chern-Simons. La accion libre de aniones resultante sera

Aanion = ACS +Aboson, (16.264)

donde

Aboson =∫

d2x∫ tb

tadt

ψ∗(x, t)[

ih(

∂t + ie

hφ(x, t)

)

+ µ]

ψ(x, t)

− h2

2M

∣

∣

∣

∣

[

∇− ie

hcA(x, t)

]

ψ(x, t)∣

∣

∣

∣

2

. (16.265)

16.10 Segunda Cuantizacion de Campos Anionicos 1203

El ultimo termino corresponde a la accion (7.286) en el lımite continuo, donde lasderivadas de la red se reemplazan por las derivadas covariantes, de acuerdo a la reglade sustitucion mınima de la Ec. (2.644):

p0 → p0 −e

cφ, p → p− e

cA. (16.266)

En la relacion (16.263), la primera ecuacion de campo sera

Bz(x, t) = µ0Φ0ψ†(x, t)ψ(x, t), (16.267)

de tal manera que el potencial vectorial cumple con la ecuacion diferencial

∂xAy(x, t)− ∂yAx(x, t) = µ0Φ0ψ†(x, t)ψ(x, t). (16.268)

Salvo la libertad de norma (∂xΛ, ∂yΛ), la solucion de esta expresion determinaralas componentes (Ax, Ay), donde Λ(x, t) es una funcion arbitraria univaluada quecumple la condicion de integrabilidad de Schwarz

(∂x∂y − ∂y∂x)Λ(x, t) = 0. (16.269)

En el presente caso, resulta util permitir la violacion de esta condicion, para lo cualintroducimos una funcion multivaluada α(x, t), cuyo gradiente sea igual a un vectorpotencial dado:

(Ax, Ay) = (∂xα, ∂yα). (16.270)

Esta funcion debe cumplir la siguiente ecuacion diferencial (recordemos la discusiondel Apendice 10A)

(∂x∂y − ∂y∂x)α(x, t) = µ02πhc

eψ†(x, t)ψ(x, t). (16.271)

La funcion de Green de esta ecuacion diferencial, la cual que es la piedra angularen la contruccion de las funciones multi–valuadas en dos dimensiones, es la funcionusada anteriormente en la Ec. (16.249) [ver tambien la Ec. (10A.30)]:

ϕ(x− x′) ≡ arctan[(y − y′)/(x− x′)]. (16.272)

Esta funcion dara el angulo entre los vectores x y x′ y viola la condicion de in-tegrabilidad de Schwarz en los puntos donde coinciden los vectores [recordemos laEc. (10A.33)]:

(∂x∂y − ∂y∂x)ϕ(x− x′) = 2πδ(2)(x− x′). (16.273)

Para cumplir con esta ecuacion, se debe evitar la discontinuidad del arctan en elplano complejo mediante una deformacion apropiada del contorno. La funcion ϕ(x−x′) tiene la propiedad importante

ϕ(x− x′)− ϕ(x′ − x) = π. (16.274)


En los dos terminos del lado izquierdo, el punto x′ se mueve alrededor del punto x

en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.Con ayuda de la funcion de Green multivaluada (16.272) hallamos inmediata-

mente la solucion de la Ec. (16.271):

α(x, t) = µ0hc

e

∫

d2xϕ(x− x′)ψ†(x, t)ψ(x, t). (16.275)

La relacion (16.270) permite eliminar el campo estadıstico–magnetico de la accion.Esto es cierto en general, como tambien lo es el hecho de que es posible multiplicarlos campos ψ(x, t) por un factor de fase

exp[

−i ehc

∫ x

dx′A(x′, t)]

,

donde la integral de contorno es para la variable x desde de un punto fijo y sobreuna trayectoria fija. Para el campo transformado

Ψ(x, t) = e−i(e/hc)∫

x

dx′A(x′,t)ψ(x, t), (16.276)

las derivadas covariantes

Diψ(x, t) = (∂i − ie

hcAi)ψ(x, t) (16.277)

resultan ser igual a las derivadas ordinarias ∂i. Desafortunadamente, el nuevo campoΨ(x, t) depende del potencial vectorial en una forma no–local complicada, de talforma que esta transformacion, en general, no vale la pena. Sin embargo, en elcaso actual la ecuacion de movimiento del potencial vectorial es tan simple quela transformacion puede hallarse explıcitamente. De hecho, la no–localidad tieneprecisamente la propiedad deseada de transformar la estadıstica de los campos dela estadıstica de Bose a cuaquier estadıstica.

Mostraremos este hecho considerando los operadores de campo ψ(x, t), los cualesestan canonicamente cuantizados de acuerdo a la Ec. (7.294). En el lımite continuoestos campos cumplen la reglas de conmutacion

[ψ(x, t), ψ†(x′, t)] = δ(2)(x− x′),

[ψ†(x, t), ψ†(x′, t)] = 0, (16.278)

[ψ(x, t), ψ(x′, t)] = 0.

Los operadores de campo transformados cumplen con las correspondientes reglas deconmutacion modificadas por el factor de fase eiµ0π:

ψ(x, t)ψ†(x′, t)− eiπµ0 ψ†(x′, t)ψ(x, t) = δ(2)(x− x′),

ψ†(x, t)ψ†(x′, t)− eiπµ0ψ†(x′, t)ψ†(x, t) = 0, (16.279)

ψ(x, t)ψ(x′, t)− eiπµ0ψ(x′, t)ψ(x, t), = 0.

16.11 Efecto Hall Cuantico Fraccionario 1205

Como en la Ec. (16.274), el vector x′ del lado izquierdo tiene que girar alrededor de xen la direccion contra–reloj. Usando la relacion (16.270), la integral en el prefactor dela Ec. (16.276) puede hallarse inmediatamente y los campos transformados estarandados simplemente por

ψ(x, t) = e−iehcα(x,t)ψ(x, t), ψ†(x, t) = ψ(x, t)ei

ehcα(x,t). (16.280)

Las mismas relaciones son ciertas para los operadores de campo de segunda–cuantizacion. Con lo cual, la demostracion de las reglas de conmutacion (16.279)es muy simple. A continuacion mostraremos solo el caso de la segunda regla, lacual rige el comportamiento de las funciones de onda de muchos cuerpos bajo elintercambio de las coordenadas de dos partıculas:

ψ†(x, t)ψ†(x′, t)− eiπµ0ψ†(x′, t)ψ†(x, t) = 0.

Con lo cual hallamos la relacion

ψ†(x, t)eiehcα(x,t)ψ†(x′, t)ei

ehcα(x′,t) = eiπµ0 ψ†(x′, t)ei

ehcα(x′,t)ψ†(x, t)ei

ehcα(x,t). (16.281)

Los factores de fase en la parte media pueden hallarse de los terminos del ladoderecho usando la formula de transformacion

ei∫

d2x′f(x′,t)ψ†(x,t)ψ(x,t)ψ†(x, t)e−i∫

d2x′f(x′,t)ψ†(x,t)ψ(x,t) = eif(x,t)ψ†(x, t), (16.282)

la cual se sigue de la representacion de Lie [recordemos la Ec. (1.297)]

eiABe−iA = 1 + i[A, B] +i2

2![A, [A, B]] + . . . . (16.283)

Igualando f(x) con µ0ϕ(x− x′), la Ec. (16.281) se transforma en

ψ†(x, t)ψ†(x′, t)eiµ0ϕ(x−x′)eiehc

[α(x,t)+α(x′,t)]

= eiπµ0ψ†(x′, t)ψ†(x, t)eiµ0ϕ(x′−x)ei

ehc

[α(x′,t)+α(x,t)] . (16.284)

El que esta ecuacion es correcta se sigue directamente de la propiedad (16.274) delcampo ϕ(x) y de la conmutatividad entre los campos de Bose ψ†(x, t). Esto muestrala segunda de las reglas de conmutacion (16.279). Las otras reglas se obtienen deforma similar.

Notese que podrıamos construir los campos anionicos a partir de los campos deFermi cambiando el factor de fase por el angulo π.

16.11 Efecto Hall Cuantico Fraccionario

Las partıculas que cumplen la estadıstica fraccionaria y se mueven en un campomagnetico ordinario, tambien estaran sujetas a un campo estadıstico-magnetico.Como observamos anteriormente, este campo actua sobre cada partıcula en la mismaforma que un campo magnetico real adicional. Esta observacion nos provee con la


clave para entender el efecto Hall cuantico fraccionario. A continuacion presentamosuna explicacion.

Para medir experimentalmente el efecto Hall se coloca una pelıcula delgada deun material conductor (el experimento original utilizo el compuesto AlxGa1−xAs)a baja temperatura (≈ 0.5 K) en el plano xy transversal a un campo magneticointenso Bz (entre 10 y 200 kG) orientado a lo largo del eje z. Luego se aplicaun campo electrico Ex en la direccion x y la corriente de Hall jy, por unidad delongitud, se mide en la direccion y. En un gas disipativo de electrones con densidadρ (por unidad de area), se espera la aparicion de esta corriente y se encuentra quelos campos cumplen la relacion

Ex = − 1

ρecjyBz (16.285)

(ver el Apendice 16E). Es decir, la resistencia transversal, definida por

Rxy ≡Bz

ρec, (16.286)

crece en forma lıneal como funcion de Bz. Las unidades de la resistencia transversalson seg/cm. Sin embargo, contrario al resultado teorico, los datos experimentalesmuestran que Rxy presenta un crecimiento escalonado seguido de un valor constante,donde la resistencia tiene los valores h/e2ν, siendo ν un numero racional cuyo de-nominador es impar:

ν = 15 ,

27 ,

13 ,

25 ,

23 , . . . . (16.287)

Hemos omitido la cantidad ν = 52 , ya que una explicacion teorica sobre este valor

requiere de consideraciones fısicas adicionales (ver la referencias al final del capıtulo).En forma similar se han observado casos donde ν acepta valores enteros, lo cual

explicamos a continuacion.En un lıquido ideal de Fermi, a temperatura cero, las obitas electronicas tienen las

energıas p2/2M . Sus momenta llenan la esfera de Fermi de radio pF . La magnitudde pF se determina del numero de partıculas ρ, por unidad de area, mediante laintegral del espacio fase

ρLxLy = 2×∫

dpxdpyLxLy(2πh)2

, (16.288)

donde Lx y Ly son las dimensiones de la pelıcula en estudio en las direcciones xy y. El factor 2 tiene en cuenta las dos orientaciones del espın. De la invarianzarotacional, la integral para pF dara

pF =√

2πρh. (16.289)

Al introducir el campo magnetico Bz, se destruye la invarianza rotacional y loselectrones circulan con velocidad v = ωr, sobre las orbitas de Landau, alrededor del

16.11 Efecto Hall Cuantico Fraccionario 1207

eje z con frecuencia ciclotron ω = eB/Mc. De acuerdo a la mecanica cuantica estesistema corresponde a un ensemble de osciladores armonicos los cuales, usando lanorma A = (0, Bx, 0) [ver la Ec. (9.93)], oscilan en la direccion x y su espectro deenergıas es (n+1/2)hω [ver la Ec. (9.100)]. Por lo tanto, la integral del espacio fase∫

dpxLx/(2πh) en la direccion x sera una suma sobre n. El centro de las oscilacioneses x0 = py/Mω [ver la Ec. (9.95)], por lo que la integral del espacio fase restante∫

dpyLy/(2πh) puede integrarse facilmente y sera MωLx/(2πh). Con lo cual, paracada orientacion de espın, la Ec. (16.288) sera

ρ =Mω1

2πh

nF∑

n=0

. (16.290)

El numero de niveles de energıa saturados es ν = nF + 1. En el vacıo, y para uncierto valor de n, los niveles de una orientacion de espın estaran degenerados con losde la orientacion opuesta (hasta correcciones radiactivas del orden de α ≈ 1/137).Esto se debe al momento magnetico anomalo del electron de espın 1/2, el cual esigual a un magneton de Bohr µB = eh/2Mc ≈ 0.927 × 10−20erg/gauss (i.e., eldoble del valor clasico esperado, el factor 2 se obtiene por la precesion relativistade Thomas). Debido al factor 2, la diferencia de energıa entre los niveles de las dosorientaciones de espın es igual a ωh, valor que es igual a la diferencia de energıa entrelos niveles vecinos n. En un solido, sin embargo, el momento magnetico anomaloestara renormalizado con lo cual se elimina la degeneracion. Por lo tanto, en estecaso cada nivel tiene una orientacion de espın definida.

De acuerdo a la Ec. (16.290), el nivel energetico mas alto estara completamenteocupado sı el numero de partıculas en cada nivel se corresponde con la densidadmaxima de saturacion

ρmax =Mω

2πh. (16.291)

Para campos magneticos menores, esta densidad es pequena y los electrones estarandistribuidos en varios niveles cuyo numero ν estara dado por

ρ =Mω

2πhν. (16.292)

Si expresamos ω en terminos de Bz obtenemos

Bz

ρ=hc

e

1

ν. (16.293)

Usando el cuanto de flujo Φ0 = hc/e, obtenemos que el flujo magetico por electron

Φ ≡ Bz

ρ(16.294)

tendra el valor

Φ

Φ0

=1

ν. (16.295)


1234 1 2 3 4

5

1

2

3

4

6

7

8

m

νeff

1/7 1/5

2/11

3/17

1/3

2/7

3/11

4/15

5/19

1/1

2/3

3/5

4/7

5/9

6/11

7/13

8/15 8/17

1/3

2/5

3/7

4/9

5/11

6/13

7/15

1/5

2/9

3/13

4/17

5/21

1/7

2/13

3/19

1/91/7 1/5

2/11

3/17

1/3

2/7

3/11

4/15

5/19

1/1

2/3

3/5

4/7

5/9

6/11

7/13

1/3

2/5

3/7

4/9

5/11

6/13

7/15

1/5

2/9

3/13

4/17

5/21

1/7

2/13

3/19

1/9

Figure 16.24 Valores teoricos del parametro ν para los cuales se esperan valores cons-

tantes de la resistencia Hall cuantica fraccionaria h/e2ν. El lado derecho muestra los

valores νeff/(2mνeff + 1), el lado izquierdo muestra los valores νeff/(2mνeff − 1). Los

cırculos llenos muestran los valores hallados experimentalmente.

Si el campo magnetico aumenta, los niveles de Landau aceptaran mas electrones, loscuales estaran en un numero menor ν de niveles. Sustituyendo en la Ec. (16.286) elvalor de Bz para el cual el nivel mas alto disminuye, obtenemos la resistencia Hallcuantizada observada experimentalmente

Rxy =h

e21

ν(16.296)

para valores enteros de ν. La hipotesis de una interaccion magneto–estadıstica per-mite explicar el efecto Hall cuantico fraccionario reduciendolo al efecto Hall cuanticoordinario.

En el efecto Hall cuantico fraccionario, el campo magnetico es tan intenso queaun el nivel de Landau mas bajo estara parcialmente lleno. Esta es la razon por lacual no se espera ningun valor constante. Sin embargo, de acuerdo a una idea simplepropuesta por Jain se pueden relacionar los valores constantes fraccionarios con losvalores constantes enteros. Para ello, suponemos que los electrones en el estadobase del efecto Hall cuantico fraccionario poseen un flujo magnetico–estadıstico par−2mΦ0 originado por la accion de Chern-Simons. En la funcion de onda, esto agregaun factor de fase estadıstico ei2πm debido al intercambio de las coordenadas de dospartıculas; con lo cual la estadıstica de Fermi de los electrones no cambia. Ahora,hacemos uso de la observacion hecha en la ultima seccion de que los electrones no

16.12 Superconductividad Anionica 1209

pueden distingir un campo magneto–estadıstico de un campo magnetico externo.Debido a los campos combinados,

Beffz = Bz − Bstat

z , Bstatz = 2mΦ0ρ, (16.297)

los electrones se mueven en orbitas de Landau. La frecuencia ciclotron de los elec-trones en las orbitas de Landau es

ωeff = eBeffz /Mc. (16.298)

Dado a que ahora el campo efectivo es mucho mas pequeno que el campo externo,los niveles de Landau pueden acomodar menos electrones. Por ello los electronesdeben ser distribuidos en varios niveles a pesar del campo magnetico intenso. Elnumero de niveles disminuye a medida que el campo crece. Los escalones aparecendonde el campo magnetico tiene valores enteros constantes cuanticos de Hall, i.e.,para los campos magneticos efectivos

Beffz = ±ρΦ0/ν

eff , νeff = 1, 2, 3, . . . . (16.299)

Los valores de νeff estan relacionados con los valores ν del campo magnetico externomediante la expresion:

± 1

νeff=

1

ν− 2m. (16.300)

De esto tenemos que

ν =νeff

2mνeff ± 1. (16.301)

Los valores resultantes para ν, en el plano de valores enteros descrito por los numerosm y νeff , se muestran en la Fig. 16.24. Solo se permiten valores impares en eldemoninador. Los valores para ν hallados usando esta hipotesis simple concuerdanmuy bien con los niveles experimentales (16.287) de menor orden.

16.12 Superconductividad Anionica

Al final de la Seccion 16.3 mencionamos que un ensemble de partıculas con es-tadıstica fraccionaria en un espacio–tiempo de 2 + 1 dimensiones exhibe el apan-tallamiento de Meissner. Esto ha llevado a especular que el fenomeno, pobrementeentendido, de la superconductividad de alta temperatura pudiera ser explicado uti-lizando la fısica de los aniones. Esta nueva clase de superconductividad se observa enmateriales que contienen una marcada estructura de capas, y es concebible que lascorrientes electricas se muevan sin disipacion en estos subespacios bidimensionales.En efecto, con un poco de esfuerzo se puede mostrar que en 2 + 1 dimensiones, enprincipio, se puede generar una accion de Chern-Simons 10 mediante una integracion

10Ver las notas y referencias al final del capıtulo.


de los campos de Fermi. Suponiendo que este es el caso, podemos facilmente de-ducir que la adicion de esta accion a la accion normal del campo electromagneticopermite hallar el campo magnetico en un rango finito, i.e., en el rango de la longitudde penetracion. La accion normal del campo electromagnetico es

A =1

8π

∫

dtd3x[E2 − (∇×A)2], (16.302)

donde E es el campo electrico

E = −1

c

∂A

∂t−∇A0. (16.303)

En el formalismo Euclideano, donde x4 = ict, la accion sera

Ae =1

8πc

∫

d4x[E2 + (∇×A)2]. (16.304)

Para incluir la accion de Chern-Simons, restringimos la dimensionalidad del espacio-tiempo a 3. La restriccion se impone considerando un sistema en un espacio–tiempo4 dimensional y suponiendo que este espacio–tiempo tiene invarianza translacionalen la direccion x4. Ahora, como no hay campos electricos la accion Euclideana sera

Ae =L

8πc

∫

d3x(∇×A)2, (16.305)

donde L es la longitud del sistema en la direccion x4. Ahora, debemos incluir laaccion de Chern-Simons (16.253) y la corriente de acoplamiento (16.256). Extre-mando la accion total obtendremos la ecuacion de campo:

L

4πc∇× (∇×A) + i

e2

2πc2hµ0∇×A = i

1

c2j. (16.306)

Para el campo magnetico B = ∇×A, la ecuacion sera

L

4πc(∇×B+ iλ−1B) = i

1

c2j, (16.307)

donde el parametro λ representa la siguiente longitud (aquı α = e2/hc, es la cons-tante de estructura fina ≈ 1/137):

λ ≡ chµ0

2e2L =

µ0

2αL. (16.308)

Multiplicando vectorialmente la Ec. (16.307) por ∇ y usando una vez mas la mismaecuacion, obtenemos

L

4πc(−∇

2 + λ−2)B = i1

c2∇× j+

1

c2λ−1j . (16.309)

16.12 Superconductividad Anionica 1211

Para el caso donde hay corrientes electricas libres, se puede ver que la longitud depenetracion λ del campo magnetico en el material es finita. En un superconductorordinario, este fenomeno se conoce como el efecto Meissner . En este caso el efectoMeissner puede verse como consecuencia de la introduccion de una supercorriente enun lıquido ideal de partıculas cargadas (i.e., un lıquido incompresible y sin friccion),el cual disminuye el campo magnetico externo de acuerdo con la regla de Lenz. Parael caso en que no hay friccion, tendremos una extincion total.

Recordemos que para un superconductor donde hay corrientes electricas y cam-pos dependientes del tiempo se cumple la ecuacion caracterıstica de London (ver elApendice 16D)

∇× j ∝ B. (16.310)

Para un superconductor bidimensional tendremos

(∇× j⊥)z ∝ Bz. (16.311)

El sistema anionico anterior tiene un fenomeno de induccion similar. En ausenciade corrientes electricas, de la Ec. (16.309) obtenemos el campo magnetico Bz a partirde la densidad de partıculas

Bz = µ0Φ0ρ. (16.312)

Si hay corrientes electricas en el plano xy, i.e., j⊥ = (jx, jy), el campo magneticoaumenta como funcion de ∆Bz de acuerdo con la ecuacion

L

4πc(−∇

2 + λ−2)∆Bz =1

c2(∇× j⊥)z. (16.313)

Esta es la relacion buscada entre el campo magnetico y el rotacional de la corrienteque expresa el caracter superconductor del sistema, expresada anteriormente por laecuacion de London (16.311). La relacion con la ecuacion de London se obtiene porla restriccion de configuracion suave del campo, en la cual se puede ignorar el primertermino de la Ec. (16.313).

De esta forma, concluimos que la corriente electrica y los campos magneticosen un sistema bidimensional de aniones dan origen al apantallamiento de Meissner.Este efecto no es suficiente para que el sistema sea superconductor, dado que esto noimplica automaticamente la ausencia de disipacion. En un superconductor normal,la existencia de una region de energıa prohibida permite que la parte disipativa dela funcion de correlacion corriente–corriente se anule para vectores de onda menoresque un cierto valor kc. Este valor determina la magnitud de la corriente crıticapor arriba de la cual el sistema superconductor regresa al estado normal. En elsistema anionico, la ausencia de disipacion se obtiene como una aproximacion. Sinembargo, estudios recientes, que incluyen correcciones de orden superior, muestranque el sistema anionico presenta disipacion, con lo cual se elimina la esperanza deun superconductor anionico.


16.13 Teorıa no Abeliana de Chern-Simons

La interaccion topologica de campo (16.153) puede generalizarse a grupos con normano-Abeliana. En el grupo con simetrıa local SU(N) tendremos

Ae,CS =k

4πi

∫

d3xǫijktr N

(

Ai∇jAk +2

3AiAjAk

)

, (16.314)

donde Ai son matrices Hermıticas de dimension N ×N , sin traza, y trN representala traza asociada. En la teorıa no-Abeliana, tenemos las siguientes transformacionesde norma

Ai ↔ UAiU−1 + i(∂iU)U

−1. (16.315)

Puede mostarse que estas transformaciones de norma cambian la accion Ae,CS en laforma [10]:

Ae,CS → Ae,CS + 2πinkh, n = entero. (16.316)

Es decir, la accion no es un invariante de norma. Sin embargo, en la integral detrayectoria asociada con las fluctuaciones orbitales y para valores enteros de k, elfactor adicional 2πinkh no tiene ningun efecto sobre el factor de fase e−Ae,CS/h. Ası,para valores enteros de k, tendremos un invariante de norma (contrario al casoAbeliano donde k es arbitrario).

En la teorıa no–Abeliana, el problema de fijar la norma no es trivial. Aquı no sepuede sumar simplemente una norma funcional del tipo dado en la Ec. (16.163). Larazon es que el volumen en el espacio de las transformaciones de norma depende dela norma del campo. Para fijar consistentemente la norma, este volumen tiene quesepararse de la funcional que fija la norma como fue mostrado por Fadeev y Popov[11]. Para una discusion adecuada de este interesante tema, el cual esta mas alla delalcance mecanico–cuantico de este texto, el lector debera consultar textos de teorıacuantica de campos.

Como en el caso Abeliano, la derivada funcional de la accion de Chern-Simonscon respecto al potencial vectorial dara la magnitud del campo

Bi ≡ ǫijkFjk, (16.317)

donde Fij es la version no–Abeliana del rotacional:

Fij ≡ ∂iAj − ∂jAi − i[Ai, Aj]. (16.318)

Un resultado importante hallado, en 1989, por Witten estable lo siguiente: elvalor esperado de una integral invariante de norma definida para todo contorno L

WL[A] ≡ tr NW [A] ≡ tr N P ei∮

LdxA, (16.319)

llamada integral de contorno de Wilson, tiene un relacion muy cercana con lospolinomios de Jones de la teorıa de nudos. El contorno L puede consistir de varios

16.13 Teorıa no Abeliana de Chern-Simons 1213

componentes ligados en una forma arbitraria, en cuyo caso la integral WL[A] secalcula sucesivamente sobre todas los componentes. El operador P que antecede ala funcion exponencial representa el operador de ordenamiento de la trayectoria. Elcual, analogamente a la definicion dada para el operador de ordenamiento temporalT de la Ec. (1.241), se define de la siguiente forma: si la funcion exponencial de laEc. (16.319) se desarrolla en una serie de Taylor, el operador define el orden en elcual las matrices Ai(x) de dimension N×N aparece en los productos, donde ademasencontramos que las matrices no conmutan para diferente x e i. Si las trayectorias seetiquetan por un “parametro temporal”, las matrices tempranas estan a la derechade las posteriores. Las fluctuaciones del potencial vectorial obedecen la accion deChern-Simons (16.314). Los valores esperados de las integrales de contorno estandefinidos por la integral funcional

〈WL[A]〉 ≡∫ DAie−Ae,CS/hWL[A]

∫ DAie−Ae,CS/h. (16.320)

Para calcular la auto–interaccion a un lazo, procedemos como se describe en laEc. (16.169) para el caso Abeliano distribuyendo la trayectoria en un conjunto in-finitamente delgado de lıneas paralelas. Los bordes del conjunto se colocan de talforma que su numero de ligadura Lk se anule. Si 0 representa al cırculo, i.e., unnudo trivial, se puede mostrar que

〈W0[A]〉 = qN/2 − q−N/2

q1/2 − q−1/2, (16.321)

donde

q ≡ e−2πi/(N+k). (16.322)

Para un eslabon arbitrario L encontramos la relacion (ver el Apendice 16C)

qN/2〈WL+ [A]〉 − q−N/2〈WL−[A]〉 = (q1/2 − q−1/2)〈WL0 [A]〉. (16.323)

Si N = 2 esto concuerda, hasta un signo en el lado derecho, con la relacion (16.114)para los polinomios de Jones JL(t). En general, para N 6= 2, t = q−N/2 y α =q1/2 − q−1/2 = −(t1/N − t−1/N ), claramente obtendremos las relaciones (16.122) delos polinomios de HOMFLY. La relacion de interes es

〈WL[A]〉〈W0[A]〉 = HL(t,−(t1/N − t−1/N )), t = eπi/k. (16.324)

Dado que la segunda variable del polinomio HL(t, α) aparace solo para potenciaspares o impares, aparte del signo (−1)s+1, HL(t,−(t1/2 − t−1/2)) es un polinomio deJones y s es el numero de rizos en L.

Una eleccion favorable para el sistema de referencia es aquel en el cual el numerode auto-ligadura Lk de cada componente es igual al numero de torsion o retorcido w,introducido en la Ec. (16.110). Luego el conjunto de lineas paralelas sera plano en el


plano de proyeccion del nudo. Este sistema de referencia puede dibujarse facilmenteen una pizarra separando la lınea L en dos lıneas paralelas; por lo que se le llamasistema de referencia de pizarra. Por otro lado, cada sistema de referencia puededibujarse como un sistema de referencia de pizarra, si agregamos al contorno L unnumero apropiado de vueltas mediante un movimiento de Reidemeister de tipo I.Estos movimientos son triviales para lıneas, mientras que para cintas esto ya no escierto (ver la Fig. 16.6). En el sistema de referencia de pizarra, cada una de lasvueltas cambia los valores Lk y w en una unidad de manera simultanea. De estamanera se puede calcular Lk = w a todo orden deseado. Por ejemplo, sea el nudo detres hojas de la Fig. 16.2. En el diagrama de pizarra tendremos el siguiente numerode auto–ligadura Lk = w = −3. El cual puede hacerse cero sumando tres vueltasmediante movimientos de Reidemeister de tipo I.11

En el sistema de referencia Lk = w, el lado derecho de la Ec. (16.324) tendra elfactor de fase extra cw, el cual sera

c = e−i2π(N2−1)/2Nk. (16.325)

Por comparacion: en la teorıa Abeliana de Chern–Simons, el factor de fase es c =e−2πi/k, y el valor esperado 〈WL[A]〉 para un eslabon con varias vueltas etiquetadaspor i numeros individuales de auto–ligadura Lki nulos, tendra el valor cΣi6=jLkij . Enel sistema de referencia Lki = wi, el valor es c

Σi6=jLkij+Σiwi.El estudio de las propiedades de contornos con interacciones topologicas no

Abelianas es un area de investigacion actual e interesante.

Apendice 16A Calculo de los Diagramas de Feynmanen Polımeros Enredados

Para el calculo de las amplitudes N1, . . . , N4 de las Ecs. (16.226), (16.230), (16.235) y (16.236),necesitamos las siguientes formulas tensoriales que involucran los tensores completamente anti-simetricos εijl:

εijkεimn = δmj δ

nk − δnj δ

mk , εijkε

ijl = 2δlk. (16A.1)

Los diagramas de Feynman mostrados en la Fig. 16.23 corresponden a las integrales sobre elproducto de las funciones de correlacion G0 definido en la Ec. (16.213), las cuales tienen queintegrarse sobre todo el espacio y luego hallar la transformada de Laplace. Aquı hacemos uso dela propiedad de convolucion de la integral sobre las transformadas de Laplace f(z) y g(z) de lasfunciones f, g:

∫ c+i∞

c−i∞

Mdz

2πiezLf(z)g(z) =

∫ L

0

dsf(s)g(L− S). (16A.2)

Todas las integrales espaciales son Gaussianas de las forma

∫

d3xe−ax2+2bx·y = (2π)3/2a−3/2eb2y2/a, a > 0. (16A.3)

11Los matematicos prefieren los sistemas de referencia donde las cintas permanecen planas sobrelas llamadas superficies de Seifert .

Apendice 16A Calculode losDiagramasdeFeynmanenPolımerosEnredados 1215

Contrayendo los campos en la Ec. (16.226), y conservando solo las contribuciones que no se anulanen el lımite de ındices de replica cero, con ayuda de las Ecs. (16A.1) y (16A.2) obtenemos:

N1 =

∫

d3x1, d3x2

∫ L1

0

ds

∫ L2

0

dt

∫

d3x′1d3x′2G0(x1−x′

1; s)G0(x′1 − x1;L1 − s)

× G0(x2 − x′2; t)G0(x

′2 − x2;L2 − t)

l

|x′1 − x′

2|4. (16A.4)

Utilizando los siguientes cambios de variables

s′ =s

L1, t′ =

t

L2, x =

x1 − x′1√

L1

, y =x2 − x′

2√L2

, (16A.5)

y haciendo x′′1 ≡ x′

1 − x′2, hallamos facilmente la Ec. (16.227).

Para valores pequenos de ξ/√L1 y ξ/

√L2, usamos la aproximacion (16.228). Las integrales

espaciales pueden hallarse utilizando la formula (16A.3). Luego de un poco de trabajo obtendremosel resultado (16.240).

Ası mismo, para la amplitud N2 dada en la Ec. (16.230), obtenemos la integral

N2 =

∫

d3x1d3x2

∫

d3x′1d3x′′1d

3x′2

×[

∫ L1

0

ds

∫ S

0

ds′G0(x′1 − x1;L1 − s) ∇

jx′′

1

G0(x1 − x′′1 ; s′)∇i

x′

1G0(x

′′1 − x′

1; s− s′)]

× Dik(x′1 − x2)Djk(x

′′1 − x′

2)

[

∫ L2

0

dtG0(x2 − x′2;L2 − t)G0(x

′2 − x2; t)

]

, (16A.6)

donde Dij(x,x′) son las funciones de correlacion (16.174) y (16.175) de los potenciales vectoriales.

Haciendo x2 ≡√L2u+x′

2 y suponiendo que ξ/√L2 es pequeno, la integral sobre u puede evaluarse

facilmente con ayuda de la integral Gaussiana (16A.3). Luego de las sustituciones x′′1 =

√L1y+x1

x′1 =

√L1(y − x) + x1, x′

2 =√L1(y − x− z) + x1 y reescalando las variables s, s′ por el factor

L−11 , obtenemos la Ec. (16.231), donde hemos usado la expresion (16.232).

Para valores pequenos de ξ/√L1, ξ/

√L2, es facil evaluar las integrales espaciales, de donde

obtenemos:

N2 =−√

2V L−1/22 L−1

1 M−1/2

(4n)6

∫ 1

0

dt

∫ t

0

dt′t′(1 − t)

√

t− t′

1 − t+ t′. (16A.7)

Luego del cambio de variable t′ → t′′ = t− t′, la doble integral se reduce a una suma de integralesdel tipo

c(n,m) =

∫ 1

0

dttm∫ t

0

dt′t′n√

t′

1 − t′, m, n = enteros .

Estas integrales se pueden simplificar reemplazando tm por dtm+1/dt(m + 1), e integrando porpartes. De esta forma obtenemos una combinacion lineal de integrales de la forma:

∫ 1

0

dttκ+

12

√1 − t

= B

(

κ+3

2,1

2

)

. (16A.8)

El calculo de N3 y N4 es muy similar, y por lo tanto, sera omitido en lo que sigue.


Apendice 16B Polinomios de Kauffman y BLM/Ho

Los polinomios de Kauffman estan dados por F (a, x) = a−wΛ(a, x), donde w es la torsion y Λ(a, x)cumple con la relacion

ΛL+(a, x) + ΛL−

(a, x) = x[ΛL0(a, x) + ΛL∞

(a, x)]. (16B.1)

Los subındices se refieren a la misma configuracion de los rizos dada en las Figs. 16.10 y 16.12. Elrizo trivial tiene el valor

Λ(a, x) =a+ a−1

z− 1. (16B.2)

Mientras que el polinomio de Kauffman representa un nudo invariante, el polinomio Λ represetarauna cinta invariante.12 Si un enredado LT+ o LT− se remueve de un contorno con la ayuda deun movimiento de Reidemeister del tipo I de la Fig. 16.6 (para lıneas infinitamente delgadas serıatrivial, mientras que para una cinta habra un cambio en una unidad), entonces Λ(a, x) obtendrael factor a o a−1, respectivamente (ver la Fig. 16.25).

LT+ LT0 LT− LT0

= a × = a−1 ×

Figure 16.25 Cruces triviales LT+ y LT−. Su remocion mediante un movimiento de

Reidemeister del tipo I disminuye o aumenta el retorcido w en una unidad.

Si la accion (16.314) tiene simetrıa SO(N) en lugar de SU(N), los polinomios de Kauffmanapareceran de las integrales de contorno de Wilson de la teorıa no Abeliana de Chern-Simons. Unalista de tales polinomios puede hallarse en los artıculos de Lickorish y Millet y Doll y Hoste, citadosal final del capıtulo.

Los polinomios BLM/Ho son un caso especial de los polinomios de Kauffman. La relacionentre estos polinomios esta dada por la expresion Q(x) ≡ F (1, x).

Apendice 16C Relacion de Enredo entre las Integralesde Rizos de Wilson

Bosquejamos aquı la deduccion de las relaciones (16.323) para los valores esperados de las integralesde contorno de Wilson (16.319). Descompongamos Ai en terminos de los N2 − 1 generadores, Ta,del grupo SO(N):

Ai =∑

a

Aai Ta. (16C.1)

Los cuales cumplen con las relaciones de conmutacion

[Ta, Tb] = ifabcTc. (16C.2)

12En forma mas precisa, F (a, x) es invariante bajo los tres movimientos de Reidemeister, lo cualen la imagen proyectada del nudo de la Fig. 16.6 define el ambiente isotopico, mientras que Λcambia bajo el primer movimiento de Reidemeister asociado con la isotopıa regular.

Apendice 16C Relacion de Enredo entre las Integrales de Rizos de Wilson 1217

Por simplicidad suponemos que k es muy grande, de tal manera que podemos restringir eltratamiento a orden menor en 1/k. A fin de evitar la aparicion innecesaria de las constantese, c y h, las hacemos igual a 1. Para una pequena variacion de los campos tenemos

δWL[A]

δAai (x)

= iP

∫

L

dx′iδ(3)(x− x′)Ta(x

′)WL[A], (16C.3)

donde el operador de ordenamiento de la trayectoria P arregla la expresion a la derecha, de talforma que Ta estara situado correctamente en WL. Para enfatizarlo agregamos en el argumentode Ta la posicion x. En forma mas precisa, si discretizamos la integral de contorno como

WL[A] = eiAi(x1)∆x1

i eiAi(x2)∆x2

i · · · eiAi(xn)∆xn

i · · · , (16C.4)

donde xn son los puntos medios de los intervalos ∆xn, obtenemos que una diferenciacion con res-pecto a uno de los campos Ai(x

n) reemplaza el factor asociado eiAi(xn)∆xni por iTae

iAi(xn)∆xn

i .Con ayuda de la funcion δ sobre una lınea L, definida en la Ec. (10A.8), podemos escribir laEc. (16C.3) como

δWL[A]

δAai (x)

= iP δi(x, L)Ta(x)WL[A]. (16C.5)

Por simplicidad suponemos que el contorno L cruza solo una vez el punto x.Si el contorno se deforma infinitesimalmente de acuerdo con dSi = ǫijkdxid

′xj , entonces el

cambio en WL estara dado por

δWL = idxid′xj PF

aij(x)Ta(x)WL, (16C.6)

donde F aij representa la magnitud de las N2 − 1 componentes de los campos no Abelianos

Fij = ∂iAj − ∂jAi − i[Ai, Aj ] (16C.7)

y x son los puntos medios de los paralelogramos descritos por dx y d′x. La deduccion de laEc. (16C.6) se basa en la observacion de que un cambio en la trayectoria, mediante un pequenoparalelogramo, agrega a la integral WL un factor W , el cual es una integral de contorno de

Wilson alrededor del pequeno paralelogramo. Esta ultima integral se puede evaluar en las formasiguiente:

W = eiAi(x−d′x/2)dxieiAj(x+dx/2)d′xje−iAi(x+d′x/2)dxie−iAj(x−dx/2)d′xj

= ei[Ai(x)dxi−∂jAi(x)dxid′xj+...]ei[Aj(x)d

′xj+∂iAj(x)dxid′xj+...]

× e−i[Ai(x)dxi+∂jAi(x)dxid′xj+...]e−i[Aj(x)d

′xj−∂iAj(x)dxid′xj+...]

= eiFij(x)dxid′xj . (16C.8)

La ultima lınea se encuentra con ayuda de la formula de Baker-Hausdorff: eAeB = eA+B+[A,B]/2+...

(recordemos el Apendice 2A).

Denotemos la integral funcional de Chern-Simons sobre WL[A] por WL. Sus trazas N × Nseran WL[A] y WL. La ultima difiere del valor esperado dado en la Ec. (16.320) 〈WL[A]〉, ya queno contiene el denominandor de normalizacion, i.e.,

WL ≡∫

DAe−Ae,CSWL[A]. (16C.9)

Bajo una deformacion del contorno el cambio en esta expresion sera

δWL =

∫

DAδWL[A]e−Ae,CS

= idxid′xj

∫

DAF aij(x)Ta(x)WL[A]e−Ae,CS , (16C.10)


con el acuerdo tacito de que un generador Ta(x) escrito enfrente de la traza tiene que ser evaluadodentro de la traza en la posicion definida por el operador de ordenamiento de la trayectoria. Ahora,observemos que F a

ij puede obtenerse aplicando una derivada funcional a la accion de Chern-Simons(16.314):

i4π

kǫijk

δAe,CS

δAak(x)

= F aij(x). (16C.11)

Esto nos permite reescribir la Ec. (16C.10) como

−4π

k

∫

DA

∫

dSiδAe,CS

δAai (x)

Ta(x)WL[A]e−Ae,CS

o tambien en la forma4π

k

∫

DAdSiTa(x)WLδ

δAai (x)

e−Ae,CS .

Una integracion funcional por partes nos permite hallar

−4π

k

∫

DA

∫

dSiTa(x)δWL[A]

δAai (x)

e−Ae,CS ,

con la cual tenemos que la variacion sera

δWL = −4πi

k

∫

DAdSiδi(x, L)Ta(x)Ta(x)WL[A]e−Ae,CS . (16C.12)

El valor esperado de la integral de contorno de Wilson WL cambia bajo una deformacion solo siel contorno cruza algun otro elemento de lınea. Esta propiedad permite que WL sea un invariantede cinta, i.e., un invariante de isotopıa regular.

Para una deformacion finita, el lado derecho tiene que ser integrado sobre el area S que contienela lınea. Usando la formula integral

∫

S

dSiδi(x, L) =

10

si la lınea L

cruza Sno cruza S

, (16C.13)

para cada cruce obtenemos

WL+−WL−

≡ ∆WL = −4πi

k

∫

DATa(x)Ta(x)WL[A]e−Ae,CS . (16C.14)

En las diferentes secciones de cruce, los dos generadores Ta(x) permanecen ordenados sobre latrayectoria. Para establecer la equivalencia con los polinomios de nudos, el lado izquierdo se haetiquetado con los subındices del rizo L+ y L− que aparece en la relacion de desenredo de laEc. 16.114.

El producto de los generadores del lado derecho es el operador N ×N de la representacion deSO(N) de Casimir:

(Ta)αβ(Ta)γδ =1

2δαδδβγ − 1

2Nδαβδγδ. (16C.15)

Sustituyendo en la Ec. (16C.14), obtenemos la relacion grafica:

.

Apendice 16D Ecuaciones de London 1219

La segunda grafica del lado derecho puede descomponerse como

2

.

Llevando estos dos terminos al lado izquierdo de la Ec. (16C.14), obtenemos la relacion de desenredo

(

1 − πi

Nk

)

WL+−(

1 +πi

Nk

)

WL−= −2πi

kWL0

. (16C.16)

Ahora, aplicamos esta relacion a los cruces mostrados en la Fig. 16.25. Estos cruces se puedenseparar en una lınea y un cırculo. Debido a la aparicion de la traza WL0

, el cırculo contribuye conun factor N . De esto obtenemos la relacion

(

1 − πi

Nk

)

WLT+−(

1 +πi

Nk

)

WLT−= −2πi

kN WLT0

. (16C.17)

Luego, en el lado izquierdo eliminamos los cruces de acuerdo a las reglas graficas de la Fig. 16.25.De esta operacion hallamos que la integral de contorno de Wilson no es invariante. Al igual quepara los polinomios de BLM/Ho, obtenemos el factor a o a−1:

WLT+= aWLT0

, WLT−= a−1WLT0

. (16C.18)

Para que sea compatible con la Ec. (16C.17), el parametro a debe cumplir la relacion

a = 1 − πi

Nk(N2 − 1), a−1 = 1 +

πi

Nk(N2 − 1). (16C.19)

Debido a la expresion (16C.18), la integral de contorno de Wilson es un invariante de cinta queexhibe isotopıa regular. Un invariante de nudos propio, que distinge las clases isotopicas se obtienemultiplicando WL por a−w. Los polinomios HL ≡ e−wWL cumplen la relacion

[(

1 − πi

Nk

)

a

]

HL+−[(

1 +πi

Nk

)

a−1

]

HL−= −2πi

kHL0

. (16C.20)

Para valores grandes de k, los prefactores en el lado izquierdo pueden escribirse como 1−2πiN/k ≈qN/2 y 1 + 2πiN/k ≈ q−N/2, donde q = 1 − 2πiπ/k. El prefactor en el lado derecho es igual aq1/2 − q−1/2. Ası, a primer orden en 1/k, hemos hallado la relacion (16.323) de los polinomios deHOMFLY HL.

Apendice 16D Ecuaciones de London

Consideremos un fluido ideal de partıculas cargadas. Por definicion, el fluido es no viscoso eincompresible y cumple la relacion ∇ ·v = 0. Si la carga de las partıculas es e (la cual tomaremoscomo negativa para el caso de electrones), entonces la densidad de corriente electrica es

j = ρev, (16D.1)

donde ρ es la densidad de partıculas. Por supuesto, la corriente se conserva.La ecuacion de movimiento de las partıculas en un campo electrico y magnetico obedece la

relacion de Lorentz

M v = e

(

E +1

cv ×B

)

. (16D.2)


Usando la identidad cinematica

dv

dt=∂v

∂t+ (v ·∇)v =

∂v

∂t+ ∇

(

1

2v2

)

− v × (∇× v), (16D.3)

obtenemos una ecuacion diferencial parcial para el campo de velocidades v(x, t)

M∂v

∂t+ ∇

(

M

2v2

)

= eE +Mv ·(

∇× v +e

McB)

. (16D.4)

Considerando la dependencia temporal del campo vectorial en el lado derecho

X = ∇× v +e

McB, (16D.5)

y usando la ecuacion de Maxwell

∂

∂tB = −c∇×E, (16D.6)

obtenemos

∂

∂tX = ∇× (∇ ×X). (16D.7)

Supongase que inicialmente en el fluido ideal en reposo no hay campo B, por lo cual tendremosque en todo el espacio X ≡ 0. Si ahora se aplica un campo magnetico, la Ec. (16D.7) garantizaque X sigue siendo cero en todo momento. Esto implica que

∇× j = − ρe2

McB, (16D.8)

y tenemos la primera ecuacion de London. Sustituyendo la primera ecuacion de London en laEc. (16D.4), hallamos la segunda ecuacion de London

∂

∂tv + ∇

(

M

2v2

)

= eE. (16D.9)

Si el potencial vectorial posee una norma transversal ∇ ·A = 0 (llamada norma de London),entonces podemos resolver la primera ecuacion de London, y tenemos

j = − ρe2

McA. (16D.10)

Sustituyendo esta expresion en la ecuacion de Maxwell carente de campo electrico E, obtenemos

∇×B =4π

cj = −ρ4πe

2

Mc2A. (16D.11)

Reescribiendola en la forma

∇× (∇×A) + λ−2A = 0, (16D.12)

obtenemos

λ−2 =ρ4πe2

Mc2, (16D.13)

la ecuacion muestra directamente la aparicion de una longitud de penetracion λ finita del campomagnetico en el fluido, el famoso efecto Meissner. Este efecto es una manifestacion ideal de laregla de Lenz, de acuerdo a la cual un campo magnetico induce una corriente electrica que reduceel campo magnetico — en el presente caso llevando a la extincion.

Apendice 16E Efecto Hall en un Gas de Electrones 1221

Apendice 16E Efecto Hall en un Gas de Electrones

Un gas de electrones con densidad ρ, posee la densidad de corriente

j = ρev. (16E.1)

En un campo magnetico, las velocidades de las partıculas cambian debido a la fuerza de Lorentz

M v = e

(

E +1

cv ×B

)

. (16E.2)

Si σ0 representa la conductividad del sistema sin campo magnetico, es obvio que la densidad decorriente estara dada por

j = σ0

(

E +1

cv ×B

)

= σ0

(

E +1

ρecj×B

)

. (16E.3)

El segundo termino contiene la resistencia Hall clasica (16.286).

Notas y Referencias

Sobre el efecto Aharonov-Bohm, ver el trabajo original deY. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115, 485 (1959).Para una revision verS. Ruijsenaars, Ann. Phys. (N.Y.) 146, 1 (1983).Ver tambien los artıculos deA. Inomata and V.A. Singh, J. Math. Phys. 19, 2318 (1978);E. Corinaldesi and F. Rafeli, Am. J. Phys. 46, 1185 (1978);M.V. Berry, Eur. J. Phys. 1, 240 (1980);S. Ruijsenaars, Ann. Phys. 146, 1 (1983);G. Morandi and E. Menossi, Eur. J. Phys. 5, 49 (1984);R. Jackiw, Ann. Phys. 201, 83 (1990); and in “M. A. B. Beg Memorial Volume” (A. Ali and P.Hoodbhoy, Eds.), World Scientific, Singapore, 1991;G. Amelino-Camelia, Phys. Lett. B 326, 282 (1994); Phys. Rev. D 51, 2000 (1995);C. Manuel and R. Tarrach, Phys. Lett. B 328, 113 (1994);S. Ouvry, Phys. Rev. D 50, 5296 (1994);C.R. Hagen, Phys. Rev. D 31, 848 (1985); D 52 2466 (1995);P. Giacconi, F. Maltoni, and R. Soldati, Phys. Rev. D 53, 952 (1996);R. Jackiw and S.-Y. Pi, Phys. Rev. D 42, 3500 (1990);O. Bergman and G. Lozano, Ann. Phys. (N.Y.) 229, 416 (1994);M. Boz, V. Fainberg, and N.K. Pak, Phys. Lett. A 207,1 (1995); Ann. Phys (N.Y.) 246, 347(1996);M. Gomes, J.M.C. Malbouisson, and A.J. da Silva, Phys. Lett. A 236, 373 (1997); Int. J. Mod.Phys. A 13, 3157 (1998); (hep-th/0007080).

Las integrales de trayectoria en espacios multiplemente conectados y su historia se discuten enel libro de texto deL.S. Schulman, Techniques and Applications of Path Integration, Wiley, New York, 1981.

Detalles sobre la ecuacion de Lippmann-Schwinger pueden hallarse en libros de textos usuales,ver por ejemploS.S. Schweber, Relativistic Quantum Field Theory, Harper and Row, New York, 1961, Seccion 11b.


En quımica, las propiedades de anillos de polımeros auto–enredados, llamados catenanos , fueroninvestigadas por primera vez porH.L. Frisch and E. Wasserman, J. Am. Chem. Soc. 83, 3789 (1961).Su existencia fue demostrada por la tecnica de espectroscopıa de masas porR. Wolovsky, J. Am. Chem. Soc. 92, 2132 (1961);D.A. Ben-Efraim, C. Batich, and E. Wasserman, J. Am. Chem. Soc. 92, 2133 (1970).

En optica, la formula de difraccion de Kirchhoff puede reescribirse como una integral de trayectoriacon terminos de ligadura:J.H. Hannay, Proc. Roy. Soc. Lond. A 450, 51 (1995),

En biofısica,J.C. Wang, Accounts Chem. Res. D 10, 2455 (1974)mostro que las moleculas de ADN pueden estar enredadas y deben desenredarse durante la replica.

La aproximacion de la integral de trayectoria al problema del enredado en polımeros fue partedel trabajo pionero deS.F. Edwards, Proc. Phys. Soc. 91, 513 (1967);S.F. Edwards, J. Phys. A 1, 15 (1968).Ver tambien el trabajo deM.G. Brereton and S. Shaw, J. Phys. A 13, 2751 (1980)y posteriores trabajos de estos autores.

Estudios usando simulacion Monte Carlo fueron presentados porA.V. Vologodskii, A.V. Lukashin, M.D. Frank-Kamenetskii, and V.V. Anshelevin, Sov. Phys.JETP 39, 1095 (1974);A.V. Vologodskii, A.V. Lukashin, and M.D. Frank-Kamenetskii, Sov. Phys.-JETP 40, 932 (1975).Ver tambien el artıculo de revision deM.D. Frank-Kamenetskii and A.V. Vologodskii, Sov. Phys. Usp. 24, 679 (1982).Este artıculo tambien discute las cintas.

Trabajo computacional posterior sobre distribuciones de nudos puede verse enJ.P.J. Michels and F.W. Wiegel, Phys. Lett. A 9, 381 (1982); Proc. Roy. Soc. A 403, 269 (1986),y referencias ahı incluidas. El trabajo esta resumido en el libro de texto deF.W. Wiegel, Introduction to Path-Integral Methods in Physics and Polymer Science, World Sci-entific, Singapore, 1986.Ver tambien el trabajo deS. Windwer, J. Chem. Phys. 93, 765 (1990).El parametro C del final de la Seccion 6.4 fue hallado porA. Kholodenko, Phys. Lett. A 159, 437 (1991),quien represento el problema como un modelo de Potts del estado q usando q = 4. En esta repre-sentacion encontramos α = 0 y C = 2e−π/6 ≈ 1.18477.

La integral de Gauss como un invariante topologico de los eslabones puede verse en el artıculooriginal deG.F. Gauss, Koenig. Ges. Wiss. Goettingen 5, 602 (1877).El numero de retorcido Wr fue introducido porF.B. Fuller, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 68, 815 (1971),quien aplico la relacion matematica al ADN. Ver tambien el trabajo deF.H.C. Crick, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 68, 2639 (1976).La relacion Lk = Tw +Wr fue primeramente introducida porG. Calagareau, Rev. Math. Pur. et Appl. 4, 58 (1959); Czech. Math. J. 4, 588 (1961),y extendida posteriormente por

Notas y Referencias 1223

J.H. White, Am. J. Math. 90, 1321 (1968).

En fısica de partıculas, las cintas se usan para construir integrales de trayectoria sobre orbitasfluctuantes de fermiones:A.M. Polyakov, Mod. Phys. Lett. A 3, 325 (1988).Para mayores detalles verC.H. Tze, Int. J. Mod. Phys. A 3, 1959 (1988).

La construccion de los polinomios de Alexander para eslabones se describe enA.V. Vologodskii, A.V. Lukashin, and M.D. Frank-Kamenetskii, JETP 40, 932 (1974).Su deduccion a partir de las relaciones de enredo puede verse enJ.H. Conway, An Enumeration of Knots and Links , Pergamon, London, 1970, pp. 329–358;L.H. Kauffman, Topology 20, 101 (1981).En la literatura matematica, los diversos polinomios de nudos estan discutidos porL.H. Kauffman, Topology 26, 395 (1987); Contemporary Mathematics AMS 78, 283 (1988); Trans.Amer. Math. Soc. 318, 417 (1990); On Knots , Princeton University Press, Princeton, 1987; Knots

and Physics , World Scientific, Singapore, 1991; J. Math. Phys. 36, 2402 (1995).V. Jones, Bull. Am. Math. Soc. 12, 103 (1985); Ann. Math. 126, 335 (1987);P. Freyd, D. Yetter, J. Hoste, W. B. R. Lickorish, K.C. Millet, and A. Ocneanu, Bull. Am. Math.Soc. 12, 239 (1985);W. B. R. Lickorish and K.C. Millet, Math. Magazine 61, 3 (1987).Los polinomios de HOMFLY de orden inferior estan tabulados en el texto. Para los polinomio deorden superior ver el microfilm que acompana al artıculoH. Doll and J. Hoste, Math. of Computation 57, 747 (1991)y las tablas no publicadas deM.B. Thistlethwaite, University of Knoxville, Tennessee.El autor agradece haber recibido una copia de estos polinomios.Una coleccion de artıculos relevantes puede hallarse enT. Kuhno (ed.), New Developments in the Theory of Knots , World Scientific, Singapore, 1990.Una introduccion breve a la clasificacion del problema de nudos puede hallarse enW.F.R. Jones, Scientific American, November 1990, p. 52,I. Stewart, Spektrum der Wissenschaft, August 1990, p. 12.

La accion de Chern-Simons han recibido un creciente interes debido a su relevancia en la ex-plicacion el efecto Hall cuantico fraccionario y su posible utilidad en la superconductividad de altatemperatura. Acciones de este tipo fueron inicialmente utilizadas en las teorıas de campo cuanticocuatro–dimensional en forma de las llamadas anomalıas porJ. Wess and B. Zumino, Phys. Lett. B 36, 95 (1971).La accion (16.253) en el espacio de tres dimensiones fue primeramente analizada porS. Deser, R. Jackiw, and S. Templeton, Ann. Phys. 140, 372 (1982),quienes notaron la coneccion con las clases de Chern de la geometrıa dimensional descrita porS. Chern, Complex Manifolds without Potential Theory, Springer, Berlin, 1979.En particular estos autores encontraron la masa del campo magnetico el cual se conjeturaba era elorigen del efecto Meissner en los superconductores de alta temperatura. Ver los artıculosA.L. Fetter, C. Hanna, and R.B. Laughlin, Phys. Rev. B 39, 9679 (1989);Y.-H. Chen and F. Wilczek, Int. J. Mod. Phys. B 3, 117 (1989);Y.-H. Chen, F. Wilczek, E. Witten, and B.I. Halperin, Int. J. Mod. Phys. B 3, 1001 (1989);A. Schakel, Phys. Rev. D 44, 1198 (1992).Sin embargo, los recientes hallazgos de la disipasion en sitemas anionicos deD.V. Khveshchenko and I.I. Kogan, Int. J. Mod. Phys. B 5, 2355 (1991) hablan en contra de unmecanismo anionico de este fenomeno.

Una accion tipo Chern-Simons se obtiene en la integracion de fermiones, para detalles ver


H. Kleinert, Fortschr. Phys. 26, 565 (1978) (http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/55).

La relacion con las clases de Chern fue reconocida porM.V. Berry, Proc. Roy. Soc. A 392, 45 (1984);B. Simon, Phys. Rev. Lett. 51, 2167 (1983).La accion de Chern-Simons usada en el texto fue deducida para un lıquido degenerado de electronesen dos dimensiones porT. Banks and J.D. Lykken, Nucl. Phys. B 336, 500 (1990);S. Randjbar-Daemi, A. Salam, and J. Strathdee, Nucl. Phys. B 340, 403 (1990),P.K. Panigrahi, R. Ray, and B. Sakita, Phys. Rev. B 42, 4036 (1990).Hay un trabajo relacionado deM. Stone, Phys. Rev. D 33, 1191 (1986);I.J.R. Aitchison, Acta Physica Polonica B 18, 207 (1987).Ver tambien los re–impresos de muchos artıculos sobre este tema enA. Shapere and F. Wilczek, Geometric Phases in Physics , World Scientific, Singapore, 1989.F. Wilczek, Fractional Statistics and Anyon Superconductivity, World Scientific, Singapore, 1990,el cual da una introduccion clara del tema y contiene varios re–impresos importantes. Un buenartıculo de revision esta en las notas deJ.J. Leinaas, Topological Charges in Gauge Theories , Nordita Preprint, 79/43, ISSN 0106-2646.

Libros de texto sobre este tema sonA. Lerda, Anyons-Quantum Mechanics of Particles with Fractional Statistics , Lecture Notes inPhysics, m14, Springer, Berlin 1992;A. Khare, Fractional Statistics and Quantum Theory, World Scientific, Singapore, 1997.El libro de Lerda contiene muchos ejemplos utiles y explica el origen de las dificultades en eltratamiento de la interaccion de aniones. El libro de Khare contiene un tratamiento motivador eincluye una breve introduccion a los grupos de Braid. Ambos textos incluyen una discusion delefecto Hall cuantico y la superconductividad anionica.

Para la relacion entre la teorıa de Chern-Simons y los polinomios de nudos verE. Witten, Comm. Math. Phys. 121, 351 (1989), Nucl. Phys. B 330, 225 (1990).Ver tambien los trabajos deP. Cotta-Ramusino, E. Guadagnini, M. Martellini, and M. Mintchev, Nucl. Phys. B 330, 557(1990);G.V. Dunne, R. Jackiw, and C. Trugenburger, Ann. Phys. 194, 197 (1989);A. Polychronakos, Ann. Phys. 203, 231 (1990);E. Guadagnini, I. J. Mod. Phys. A 7, 877 (1992).

El efecto Hall cuantico entero fue hallado porK. vonKlitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980);y el efecto Hall cuantico fraccionario porD.C. Tsui, H.L. Stormer, and A.C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1980).La explicacion teorica fue dada enR.B. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, 1395 (1983), Phys. Rev. B 23, 3383 (1983);F.D.M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 51, 605 (1983);B.I. Halperin, Phys. Rev. Lett. 52, 1583 (1984);D.P. Arovas, J.R. Schrieffer, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 53, 722 (1984);D.P. Arovas, J.R. Schrieffer, F. Wilczek, and A. Zee, Nucl. Phys. B 251, 117 (1985);J.K. Jain, Phys. Rev. Lett. 63, 199 (1989).El factor excepcional de llenado ν = 5

2 esta discutido enR. Willet et al., Phys. Rev. Lett. 59, 17765 (1987);S. Kivelson, C. Kallin, D.P. Arovas, and J.R. Schrieffer, Phys. Rev. Lett. 56, 873 (1986).

La integral de trayectoria de Chern-Simons es estudiada semi–clasicamente enD.H. Adams, Phys. Lett. B 417, 53 (1998) (hep-th/9709147).

Notas y Referencias 1225

Una discusion simple del cambio de la estadıstica de Bose a la de Fermi al nivel de operadores decreacion y aniquilacion usando interaccion topologica puede verse enE. Fradkin, Phys. Rev. Lett. 63, 322 (1989); Field Theories of Condensed Matter Physics ,Addison-Wesley, 1991.

En el lenguaje de redes, la forma de la accion∑

x ǫµνλAµ(x)∇νAλ(x) usada por este autor no

es correcta ya que viola la invarianza de norma. Sin embargo, se puede restaurar facilmente sindestruir los resultados reemplazando el primer campo Aµ(x) por Aµ(x−eµ), donde eµ es el vectorunitario en la direccion µ. Ver la discusion general de las transformaciones de norma en redes enH. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I, World Scientific, Singapore, 1989, Chap-ter 8 (http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b1).

Tambien enD. Eliezer and G.W. Semenoff, Anyonization of Lattice Chern-Simons Theory, Ann. Phys. 217,66 (1992).

Para las ecuaciones de London ver el trabajo original deF. London and H. London, Proc. Roy. Soc. A 147, 71 (1935)y el trabajo posterior de:A.B. Pippard, ibid., A 216, 547 (1953).

Las citas individuales se refieren a

[1] P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 133, 60 (1931); Phys. Rev. 74, 817 (1948), Phys. Rev. 74,817 (1948).Ver tambienJ. Schwinger, Particles, Sources and Fields , Vols. 1 and 2, Addison Wesley, Reading, Mass.,1970 and 1973.

[2] Para una revision, verG. Giacomelli, in Monopoles in Quantum Field Theory, World Scientific, Singapore, 1982,edited by N.S. Craigie, P. Goddard, and W. Nahm, p. 377.

[3] B. Cabrera, Phys. Rev. Lett. 48, 1378 (1982).

[4] Una discusion detallada de la fısica de lıneas de vortices en superconductores, puede verseenH. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter , World Scientific, Singapore, 1989, Vol. I,p. 331 (http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b1).

[5] Ver la coleccion de re–impresosA. Shapere and F. Wilczek, Geometric Phases in Physics , World Scientific, Singapore, 1989.En particular el artıculo deD.P. Arovas, Topics in Fractional Statistics , p.284.

[6] El numero de Tait o numero de retorcido no debe confundirse con el numero Wr introducidoen la Seccion 16.6, el cual en general es un numero entero. VerP.G. Tait, On Knots I, II, and III , Scientific Papers, Vol. 1. Cambridge, England: UniversityPress, pp. 273-347, 1898.

[7] Ver la Ref. [7] del Capıtulo 19. Desafortunadamente no existe una extension obvia al espacio–tiempo de cuatro dimensiones.


[8] El desarrollo de esta seccion se obtiene deF. Ferrari, H. Kleinert, and I. Lazzizzera, Phys. Lett. A 276, 1 (2000) (cond-mat/0002049);Eur. Phys. J. B 18, 645 (2000) (cond-mat/0003355); nt. Jour. Mod. Phys. B 14, 3881(2000) (cond-mat/0005300); Topological Polymers: An Application of Chern-Simons Field

Theories , in K. Lederer and N. Aust (eds.), Chemical and Physical Aspects of Polymer

Science and Engineering, 5-th Oesterreichische Polymertage, Leoben 2001, MacromolecularSymposia, 1st Edition, ISBN 3-527-30471-1, Wiley-VCH, Weinheim, 2002.

[9] M.G. Brereton and S. Shah, J. Phys. A: Math. Gen. 15 , 989 (1982).

[10] R. Jackiw, in Current Algebra and Anomalies , ed. by S.B. Treiman, R. Jackiw, B. Zumino,and E. Witten, World Scientific, Singapore, 1986, p. 211.

[11] L.D. Faddeev and V.N. Popov, Phys. Lett. B 25 , 29 (1967).

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