polinomios13

7/23/2019 polinomios13

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

Facultad de Ciencias Fsicas y Matematicas

Departamento de Ingeniera Matematica

Algebra I. 525147

Polinomios

Dpto. Ing. Matematica. U. de C. 1 . 525147. Algebra I.


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Polinomios

Definiciones

SeanK un cuerpo (Q,R o C),n N {0}, y seana0, a1,...,an K. Sellamafuncion polinomialcon coeficientesa0, a1,...,an a la funcion

p: K K que a cadax K le asigna el valor

p(x) =n

i=0

aixi =a0+a1x+a2x

2 + +anxn, x= 0

yp(0) =a0.

Sin es el mayor valor tal quean= 0, entonces se dice queel polinomioptienegradon y se escribegr(p) =n.

Sigr(p) = 0ya0= 0, entoncesp(x) =a0 es unpolinomio constante.Por otra parte, el polinomio definido por: p(x) = 0, x K, se llamapolinomio nulo, se denota por y se conviene en queno tiene grado.



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Polinomios

Definiciones

Aan se llamacoeficiente principaldepy aa0 termino libreo

independiente dex. Sian= 1, entonces el polinomio se dicemonico.

Se denota por

P(K)al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en

K y por Pn(K)al conjunto de polinomios con coeficientes en K y de gradomenor o igual quen. Por ejemplo, P(Q), P(R)y P(C)o indicando el grado,Pn(Q), Pn(R)y Pn(C). Tambien se escribe K[x] =P(K).Seanp yqpolinomios con gr(p) =n y gr(q) =m:

p(x) =n

i=0

aixi, q(x) =

m

i=0

bixi.

Los polinomiospyqson igualessi tienen el mismo grado y los mismos

coeficientes, es decir:

p=q

(m=n

ai =bi, i= 0,...,n).



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Polinomios

Ejemplo 1). Las siguientes expresiones:

p(x) = 2

2x+4x

5

, q(t) = 2+3i+3t

2

(5+i)t3

+3t

5

, r(z) =z

3

1

2 z

5

+z

7

.son ejemplos de polinomios en las variablesx, tyz respectivamente,todos

diferentes. Se tiene quep P5(R), q P5(C), r P7(Q). Tambien se puededecir que

res monico, que

pR

[x],

qC

[t]y

rQ

[z].

El polinomioptiene coeficientesa0= 2, a1=

2, a2=a3=a4= 0y

a5= 4, todos numeros reales. Ademas, comoa2 no es racional se tiene que

p /

P5(Q). Sin embargo, podemos decir quep

P5(C), pues los coeficientes

son complejos (R C).En general, P(Q) P(R) P(C). Ademas, sinm, entoncesPn(K) Pm(K).



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Polinomios

Adicion y multiplicacion de polinomios.

Sean p(x) =n

i=0aixi, q(x) =

mi=0bix

i dos polinomios de P(K).Adicion

p(x) +q(x) =r

i=0

cixi =c0+c1x+c2x

2 + +crxr,

donde ci =ai+bi, i= 0, 1,...,r y rmax{m, n}.

Multiplicacion

p(x) q(x) =m+n

i=0

dixi =d0+c1x+d2x

2 + +cm+nxm+n,

donde di =

k+j=iakbj , i= 0, 1,...,m +n.



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Polinomios

Ejemplo 2). Para los polinomios del ejemplo anterior, la suma es:

p(x) +q(x) = (2 2x+ 4x5) + [2 + 3i+ 3x2 (5 +i)x3 + 3x5]= (4 + 3i)

2x+ 3x2 (5 +i)x3 + (4 + 3)x5.

y la multiplicacion es:

p(x) q(x) = (2

2x+ 4x5) [2 + 3i+ 3x2 (5 +i)x3 + 3x5] =...

Ademas,

(x2+3)p(x) = (x2+3)(22x+4x5) = 632x+2x22x3+12x5+4x7.



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Polinomios

Propiedades de la Adicion y la Multiplicacion en P(K).

p, q, r P(K)se tiene:

A1) (p+q) +r =p+ (q+r). A2) p+q=q+p.

A3)

P(K

) :p+ =p A4)

p P(K

) :p+ (p) =M1) (p q) r=p (q r) M2) p q=qpM3) Existe1 P(K) :p 1 =p D) p (q+r) =p q+p r

Ademas,

p q=p= q=.



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Polinomios

Observaciones.

x K : (x) = 0 1(x) = 1, para0, 1 K.

Ladivision de polinomiostiene mucha semejanza con la division de

numeros enteros.

Sip, q P(K), entonces pq

se llamafuncion racional dex, y en general no

es un polinomio.

Ejemplo 3).Dividirp(x) = 6x+ 4x3

+ 5x4

x2

pord(x) =x2

+ 1, paraobtener un cuocienteq(x) = 5x2 + 4x 6y un resto r(x) = 2x+ 6. Enconsecuencia,

p(x)d(x) = 5x

2 + 4x 6 + 2x+6x2+1 .



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Polinomios

Teorema.Seanp, d P

(K)congr(p)

gr(d)ygr(d)

1. Entonces existen

polinomiosq, r P(K), determinados de manera unica, llamadoscuociente yresto, respectivamente, y tales que:

p=qd+r, donde r=, o bien, gr(r)< gr(d).

Observaciones.

Como hemos visto en el ejemplo 3) dividirp pord permite encontrar los

polinomios unicosqyr indicados en el teorema.

Si al dividirppord resultar =, entoncesp=q dy se dice queqyddividenap o que sonfactoresdep o queqyd son divisoresdep.

Ejemplo 4).Dividirp(x) = 2x5 + 5x3 2x2 + 3x 2pord(x) =x2 + 1paraobtener un cuocienteq(x) = 2x3 + 3x 2y un restor(x) = 0.

En este caso, el resto esr =yp(x) = (2x3

+ 3x 2)(x2

+ 1).



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Polinomios

Observaciones.

En el teorema se tiene que sip es eldividendoyd es eldivisor, entonces

p

d

=q+r

d

.

Regla de Ruffini.Si dividimos el polinomiop(x) =a0+a1x+ anxnpor(x c), obtenemos un cuociente

q(x) =qn1xn1 +qn2xn2 + +q1x+q0y un resto constanter(x) =r0, conr0=p(c).

El polinomiop(x)es divisible por(x c)si, y solo si,r0= 0, en tal casop(x) = (x c)q(x).

Se dice quepes divisible porx

c.



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Polinomios

Para calcular el polinomio cuocienteqse utiliza una tabla generada al poner en la

primera fila los coeficientes an,...,ao, del polinomiop(x)y mediante un algoritmo

se obtienen los coeficientesqn1, qn2,...,q0 del cuocienteq(x)y el restor, en

la tercera fila. El procedimiento se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5). Dividirp(x) = 5x4 5x2 + 5x 374pord(x) =x 3paraobtener un cuocienteq(x) = 5x

3

+ 15x2

+ 40x+ 125y un restor(x) = 1.Como el resto esr= 0se tiene quep(x) = (x 3)(5x3 + 15x2 + 40x+ 125) + 1no es divisible porx 3.

Ejemplo 6)Dividirp(x) =x4 3x3 3x2 + 11x 6pord(x) =x 1paraobtener un cuocienteq(x) =x3 2x2 5x+ 6y un restor(x) = 0. Como elresto esr = 0se tiene quep(x) = (x 1)(x3 2x2 5x+ 6)es divisibleporx

1.



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Polinomios

Polinomios irreducibles.

Sip P(K)ygr(p)2se dice quepesreducibleen P(K)si es divisible en

P(K), es decir, cuando existen dos polinomiosq, s

P(K), con

gr(q)1, gr(s)1y tales quep=qs. En caso contrario se dice quep esirreducible o primoen P(K).

Ejemplos 7).

1. Los polinomios de grado 1,p(x) =a0+a1x, son irreducibles en P(K).2. El polinomiop(x) =x2 + 1 es reducible en P(C), pues

x2 + 1 = (x i)(x+i)y es irreducible en P(R)y en P(Q).3. El polinomiop(x) =x2 3es reducible en P(R)y en P(C), pues

x2 3 = (x 3)(x+ 3)y es irreducible en P(Q).



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Polinomios.

Races de polinomios.

Seanp P(K)yc K. Se dice queces unaraz o cerodep sip(c) = 0. Esdecir:

p(c) =a0+a1c+a2c2 + +ancn = 0.

Observacion.Para calcularp(c)se puede evaluar directamente o utilizar el

algoritmo de Horner:

p(c) =a0+c(a1+c(a2+ +c(an1+can) ))que solo exige2noperaciones elementales frente a las

n(n+3)2 operaciones

efectuadas con la sustitucion directa.



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Polinomios

Ejemplo 8). Para el polinomiop(x) = 1 + 2x+x2

x3, de gradon= 3,

evaluarp(3).

Directamente, se tiene:p(3) = 1 + 2 3 + 32 33 = 1 + 6 + 9 27 =11,se efectuan 9 operaciones. Ahora, usando el algoritmo de Horner

p(3) =a0+3(a1+3[a2+3a3]) = 1+3(2+3[1+3(1]) = 1+3(4) =11,

se realizan2n= 6operaciones.

Obviamente, el algoritmo es util cuando el grado del polinomio es grande.



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Polinomios

Teorema del resto. El resto de dividirp P(K)porx cesp(c).

Demostracion.Sip(x) =q(x)(x c) +r, entoncesp(c) =r.

Notar que se puede encontrarp(c) =r haciendo uso de la Regla de Ruffini. Por

ejemplo, parap(x) = 5x4 5x2 + 5x 374, se tiene quep(3) = 1pues,como hemos visto antes, el resto de dividirp(x)porx 3esr =p(3) = 1.

Teorema del factor. Sic K es una raz dep P(K), entoncesx ces factordep, es decir:

p(c) = 0 =

q

P(K) :p(x) =q(x)(x

c).

Ejemplo 9).Sip(x) =x4 3x3 3x2 + 11x 6, probamos quep(1) = 0.Luego,x 1es un factor del polinomio. Por la Regla de Ruffini encontramos elcuociente q(x) =x3 2x2 5x + 6yp(x) = (x 1)(x3 2x2 5x + 6).



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Polinomios

Definicion.Seak N el mayor entero tal que(x c)k divida ap(x). Es decir,para el cual existeq P(K)tal que

p(x) =q(x)(x c)k

, x K.Se dice queces unaraz simplesik = 1y una raz de multiplicidadk sik >1.

Nota.La multiplicidad de una raz del polinomiopse encuentra haciendo usosucesivo de la regla de Ruffini. Ademas, sip P(K)ygr(p) =n, entonces lasuma de las multiplicidades de los ceros dep es menor o igual quen.

Ejemplo 10). Sip(x) =x4 3x3 3x2 + 11x 6, entonces aplicamos Ruffinien dos oportunidades para obtenerp(x) = (x 1)2(x2 x 6)y comox2 x 6no es divisible porx 1, se tiene quex= 1es una raz demultiplicidad

k = 2.



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Polinomios

Observacion. Notar que el procedimiento anterior permite encontrar el cuociente,

un polinomio de grado dosx2 x 6no divisible porx 1. Sin embargo,x2 x 6 = (x 3)(x+ 2)es facil de factorizar. En consecuencia,

p(x) =x4 3x3 3x2 + 11x 6 = (x 1)2(x 3)(x+ 2),lo que permite encontrar otras racesx= 3yx=2(en este caso simples) delpolinomio dado. Ademas, la suma de las multiplicidades es

2 + 1 + 1 =gr(p) = 4.

Ejemplo 11). Otro ejemplo es el siguiente. Si

p(x) =x5 2x4 + 5x3 8x2 + 4x, entonces un factor comun esx. Ademas,aplicando la division por

x 1se ve que

p(x) =x(x4 2x3 + 5x2 8x+ 4) =x(x 1)2(x2 + 4).El cuocientex2 + 4 = (x 2i)(x+ 2i). En consecuencia, se encuentran todaslas races del polinomio:0, 1(doble)y las complejas2iy 2i.



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Polinomios

Teorema Fundamental del Algebra.Todo polinomiop(x) =

ni=0aix

i P(C)admite una descomposicion en factores irreducibles:

p(x) =an(x

c1)(x

c2)

(x

cn),

dondec1, c2,...,cn son las races complejas dep(x).

Ejemplo 12). El polinomio

p(x) = 3x7 + 6x6 + 6x5 + 6x4 15x3 36x2 18x= 3x(x+ 1)2(x2 2)(x2 + 3)= 3x(x+ 1)2(x

2)(x+

2)(x

3i)(x+

3i).

tiene 7 races complejas:0, 1, 2, 2, 3iy 3i. De ellas, -1 es demultiplicidad 2, cinco son reales, dos imaginarias puras y tres son racionales.



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Polinomios

Observaciones.

1. Si un polinomiop(x)de gradoncon coeficientes complejos es igual a cero

para mas den valores dex distintos, entonces el polinomio es nulo;

2. equivalentemente decimos quep(x)tiene a lo masn races distintas;

3. O bien, decimos que los unicos factores irreducibles dep son polinomios de

grado uno.

4. Obviamente, mas adelante veremos la forma de encontrar las races de un

polinomio.



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Polinomios

Teorema.Seap P

(R)congr(p)

2yz =a+biC, b

= 0.

Sip(z) = 0, entoncesp(z) = 0y existeq P(R)tal que

p(x) = [(x a)2 +b2]q(x).

Observaciones.

1. Es claro que(x

z)(x

z) = (x

a)2 +b2 =x2

2ax+a2 +b2.

2. x2 2ax + a2 + b2 es un factor irreducible de segundo grado, depen P(R).3. (x z)(x z)son factores irreducibles del polinomiop, en P(C).

4. En un polinomio con coeficientes reales, de grado dos o mas, las races

complejas se presentan de pares.

5. Sipes un polinomio con coeficientes reales, de grado impar, entonces tiene al

menos una raz real.



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Polinomios

Corolario. Seap P(R)congr(p)>2. Siz =a+bi, conb= 0, es una razde multiplicidadk dep en P(C), 1< kgr(p), entonces[(x a)

2

+b2

]k

es un factor irreducible de grado2k dep en P(R).

Ejemplo 13).Seap(x) =x3 5x2 + 17x 13. Comop P(R)yp(2 + 3i) = 0se tiene quez = 2 3ies una raz y el conjugadoz = 2 + 3i,tambien es una raz dep. Luego, cona= 2yb= 3se tiene que

(x z)(x z) = (x a)2 +b2 =x2 2ax+a2 +b2 =x2 4x+ 13

es un factor irreducible del polinomio, en P(R).



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Polinomios

Teorema.Seap P(R)congr(p) =n. Entonces

p(x) = (xa1)m1 (xar)mr [(x1)2 + 21 ]n1 [(xs)2+ 2s ]ns ,

donde:

x=ai es cero de multiplicidadmi : p(ai) = 0, i= 1,...,r.

zk =k+ik es cero de multiplicidadnk : p(zk) = 0, k= 1,...,s.

m1+m2+ +mr+ 2n1+ 2n2+ + 2ns =n.



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Polinomios

Criterios sobre races.

Sip P(R)tiene grado impar, entoncesptiene al menos una raz real.

Sia+

bes una raz dep P(Q), cona, b Q y bes irracional,entoncesa

btambien es raz dep.

Regla de Descartes. El numero de races reales positivas (negativas) de un

polinomiop P(R)es igual que al numero de cambios de signo de loscoeficientes dep(x)( dep(x)), o bien es menor y difiere de el en unnumero par.



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Polinomios

Ejemplo 14).El polinomiop(x) =x4 x3 + 4x2 4xtiene tres cambios designo. Luego, tiene tres o una raz real positiva.

Ahora,p(x) =x4 + 4x2 +x3 + 4xno tiene cambios de signo. Luego, elpolinomio no tiene races reales negativas.

Otras races pueden ser complejas conjugadas o cero. En este caso es facil ver

que

p(x) =x4x3+4x24x=x(x3x2+4x4)x= 0 es una raz de p.

Veremos como encontrar las otras races dep. En este caso a partir del factor

x3 x2 + 4x 4.



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Polinomios

Las races racionales de un polinomiop, con coeficientes racionales, son las

mismas que las del polinomioq=Mp . En efecto,

p(x) = 0q(x) =M p(x) = 0.

En particular, cuando M es el mnimo comun multiplo de los denominadores de

los coeficientes dep.

Ejemplo 15).Por ejemplo, las races de

p(x) =1

2x6 x5 +3

2x4 2x3 + + 3

2x2 x+1

2, p Q[x]

y del polinomio

q(x) = 2p(x) =x6 2x5 + 3x4 4x3 + 3x2 2x+ 1, q Z[x]

con coeficientes enteros, son las mismas.



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Polinomios

Teorema de las races racionales.. Sea

r(x) =anxn +an1x

n1 + +a1+a0 un polinomio con coeficientes enZ y sea pq Q una raz der conp yqprimos relativos. Entoncespdivide aa0 yqdivide aan.

Corolario.Sip es un polinomio monico con coeficientes en Z, entoncessus

posibles races racionales son los enteros divisores de su termino librea0.

En el ejemplo 15). Para encontra las races dep, aplicamos el teorema al

polinomioq, que tiene coeficientes enteros. Luego, sus races son de la forma p

q

dondepes un divisor dea0 = 1; esto esp=1yqes un divisor dean= 1;esto esp=1. Luego, las posibles races son1 y 1.



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Polinomios

Utilizando la regla de Ruffini, dividimos porx 1y se obtiene un cuociente

q1(x) =x5x4+2x32x2+x1q(x) = (x1)(x5x4+2x32x2+x1).

Si dividimos nuevamente porx 1se obtieneq2(x) =x

4 + 2x2 + 1q(x) = (x 1)2(x4 + 2x2 + 1).

Esta descommposicion del polinomio permite encontrar la raz doblex= 1

. Las

demas se obtienen del factorq2. Esto es:

q2(x) = 0x4 + 2x2 + 1 = 0u2 + 2u+ 1 = (u+ 1)2 = 0,

que corresponde a una ecuacion de grado dos enu=x2 con solucion

u=x2 =1ox=iyx=i. En consecuencia, las races son1, iy i,todas dobles o de multiplicidad 2.



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Polinomios

Descomposicion en suma de fracciones parciales.

Sip, q P(R), congr(p)< gr(q)yq=, entonces la funcion racional pq

se

puede descomponer en sumas de fracciones, cuyos denominadores sonpolinomios obtenidos de la factorizacion deqen polinomios irreducibles en P(R),de la siguiente forma:

(I) por cada factor lineal repetidon veces en la factorizacion deq,

(ax+b)n, n N, se obtienen los sumandos:A1

(ax+b)+

A2(ax+b)2 + +

An(ax+b)n ,

dondeA1, . . . , An son numeros reales a determinar.



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Polinomios

(II) por cada factor cuadratico irreducible en P(R), repetidomveces(ax2 +bx+c)m en la factorizacion deq, se obtienen los sumandos:

A1x+B1(ax2 +bx+c)+ A2x+B2(ax2 +bx+c)2 + + Amx+Bm(ax2 +bx+c)m ,

dondeA1, B1, . . . , Am, Bm son numeros reales a determinar.

Observacion.Sigr(p)gr(q), entonces debemos calcular el cuocienteQy elrestoR de la division p

q, para tener:

p

q =Q+

R

q, gr(R)< gr(q),

y luego aplicar el procedimiento anterior a Rq

.


Polinomios


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Polinomios

Ejemplo 16).

a) La funcion racional p(x)q(x) =

3x+5x2+2x3 se puede escribir en la forma:

3x+ 5

x2 + 2x

3

= A1x

1

+ A2x+ 3

,

pues el denominador esx2 + 2x 3 = (x 1)(x+ 3). Se determinan lasconstantesA1= 2yA2 = 1y se obtiene

3x+ 5

x2 + 2x 3 =

2

x 1+

1

x+ 3.

b) La funcion racional p(x)q(x) =

x2+7x+12x3+9x2+12x+4 es tal que su denominador

2x3 + 9x2 + 12x+ 4tiene dos races reales, una simplex=1/2y unade multiplicidad dos,x=2. Luego, la fraccion se escribep(x)

q(x) =

A

x+ 2+

B

(x+ 2)2 +

C

2x+ 1 =

1

x+ 2+

3

(x+ 2)2+

12x+ 1

.

Pues, conxigual a

2,

1

2 y0, se obtienen las constantes1, 3y

1.


31-1


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Polinomios

Ejemplo 17).La funcion racional p(x)q(x) =

x5x43x+5x42x3+2x22x+1 es tal que

gr(p)> gr(q). En consecuencia, de acuerdo con la observacion, en primer lugar

tenemos que dividir para tener

x5 x4 3x+ 5x4 2x3 + 2x2 2x+ 1 =x+ 1 +

2x+ 4(x2 + 1)(x 1)2

y aplicar lo anterior a la ultima fraccion, se tiene

2x+ 4(x2 + 1)(x 1)2 =

A1x+A2x2 + 1

+ A3x 1+

A4(x 1)2 .

Finalmente, se determinan las cuatro constantes para obtener la descomposicion

de la fraccion original en suma de fracciones simples o parciales.ACQ/acq.

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