Polinomios

Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica

que cumple con las siguientes condiciones:

Ningún término de la expresión tiene un

denominador que contiene variables

Ningún término de la expresión tiene un radical que

contiene variables

Todos los exponentes de las variables son enteros

no-negativos.

Los polinomios se pueden nombrar con una letra

mayúscula seguida por la(s) variable(s) que contiene

la expresión entre paréntesis. Ej. P(x), Q(x,y)

Polinomios

𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒐

Un polinomio tiene la siguiente forma general:

Donde:

𝒂𝒏, 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐, …., 𝒂𝟎 son coeficientes reales

y las potencias de las variables descienden en valor

Ejemplos de

Polinomios

P(x) = 3x2 – 5x + 1

Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5

G x =9 − 4x − 2x3

5

R(x,y) = 2xy – 7y + 6x

W(p,q) = p + q – 5pq

143 2 xx

53

4 x

x

42

772

3 xxx

354 22

3

xx

3

2

3

174

x

xx

Ejemplos de No

- Polinomios

Clasificar Polinomios

Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad

de términos:

• monomio: un solo término

• binomio: dos términos

• trinomio: tres términos

• De ahí en adelante no reciben nombres particulares

y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli

significa plural, o muchos)

Evaluación de Polinomios:

Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente. (Los polinomios SON expresiones algebraicas.)

Ejemplo: Sea P(x) = 3x2 – 5x + 1, hallar P(2).

Nota: La notación P(2) se lee “P de 2” y significa “determinar el valor de la expresión cuando x tiene el valor de 2”

Evaluación de Polinomios Ejemplo: Determinar P(0) y P(-3) si P(x) se define como en

el ejemplo anterior: P(x) = 3x2 – 5x + 1

P(0) =

P(-3) =

Evaluación de Polinomios

Ejemplo: Si R(p, q) = 2pq + 6pq2 – 4p2q, evalúe R(2, -3)

Notas:

• Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables.

En este caso p=2 y q= -3

• Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay

una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq implica multiplicar el

valor de p ó el valor de q

R(2, -3) =

Grado y coeficiente principal

El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del término con la potencia mayor de la variable.

El grado de un polinomio se determina de la siguiente forma:

(i) Si el polinomio es en una variable el grado será la potencia

mayor de la variable con coeficiente distinto de cero.

(ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se

determina de la siguiente forma: para cada término se suman

las potencias de la variable y el grado será el total mayor.

Polinomio Grado Coeficiente Principal

P(x) = -7

P(x) = 5x – 7

Q(z) = 2+ 7z – 4z2

Q(y) = 2y – 51y2 – 2y6 – 7

F(r) = 3r2 – 5r3 + 3r + 45

F(x,y) = 2xy + 6x3y – 4xy2

R(x,y) = 4x2y – 5x2y2 + xy4

R(x,y) = 42x3y2 – x3y3 – 11x3y

Grado de Polinomios – Práctica

Operaciones entre polinomios

I. Suma y resta:

a) Sumar o se restar coeficientes de los términos

semejantes de ambos polinomios . Luego, ordena los

términos según el grado. (ascendente o descendente)

b) La operación de resta requiere aplicar la propiedad

distributiva al sustraendo. Esto afectará el signo de

TODOS los términos en éste polinomio.

c) Si no existen términos semejantes en los polinomios, el

polinomio nuevo se compone de los términos de cada

polinomio, en orden de grado

Suma y resta de polinomios - ejemplos

13)3x (4x 11) 5x 3x ( a) 22

10)– 11x (2x 7) 5x – (13x b) 22

Veamos los siguientes ejemplos:

Suma y resta de polinomios - ejemplos

4x) 3x 2(11– 8) 4x– (2x c) 22

3y) 11xy – 6xy– y (4x– 7x) 5xy– y 4x 2(3xy d) 2222

Suma y resta de polinomios - ejemplos

Multiplicación de polinomios

Propiedad de exponentes

• Antes de pasar a multiplicación y división de polinomios, debemos recordar algunas de las leyes de exponentes.

• Sea b un número real; m y n dos números enteros, entonces:

• 1era ley: bn * bm = bn+m

•

• 25 ∙ 24 = 29

Multiplicación de dos

monomios La multiplicación de monomios se realiza de

la siguiente manera:

Se multiplican los coeficientes numéricos

Si la parte variable de los términos tiene la misma

variable, su producto va a tener la misma

variable con un exponente nuevo formado con la

suma de los exponentes de los términos

Si la parte variable de los términos tiene variables

diferentes, éstos se escriben uno al lado del otro,

sin cambiar.

Ejemplos- Multiplicación de

monomios

4x2(2x4y)

-2y3(3y4z5)

5x6y6 (-4x4y)

Multiplicación de un monomio por un

polinomio.

Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicamos

la ley distributiva de la multiplicación y la ley de exponentes:

Ejemplos:

(a) x(2x3 + 45)

(b) 2a2 (-3b3 – 12)

bn * bm = bn+m a(b+c) = ab + ac

a(b - c) = ab - ac

Multiplicación de un monomio por un

polinomio.

Ejemplos (cont):

5y2 (2y3 – 5y2 +9) – 2(4y2 – 3y)

Multiplicación de

binomio por binomio Aquí aplicamos la propiedad distributiva dos

veces:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

= ac + ad + bc + bd

Esto equivale a multiplicar cada término de un

binomio por cada término del otro binomio.

Al final, si existen términos semejantes, éstos se

reducen.

Ejemplos • (2x + 3)(4x2 – 5)

• (x – 5)(2 – x)

• (2x2 – 5)(x2 – 9)

Diferencia de cuadrados

Cuando se multiplican dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de los términos, el resultado es un binomio

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2

= a2 – b2

A este resultado se le conoce como diferencia de cuadrados.

Diferencia de cuadrados Multiplique (2x + 1) (2x – 1) .

Podemos multiplicar como hasta ahora:

= 2x (2x – 1) +1 (2x – 1)

= 4x2 – 2x + 2x – 1

= 4x2 – 1

Podemos hallar el producto usando la fórmula:

(2x + 1) (2x – 1) = (2x)2 – (1)2

= 4x2 – 1

Estos términos tiene

signos opuestos. Su

suma es cero.

Ejemplos Si reconocemos que los binomios siguen el

modelo establecido (a + b)(a – b) = a2 – b2

podemos aplicar la fórmula directamente

(7 + 3y)(7 – 3y)=

1

2x −

1

4

1

2x +

1

4=

Otras propiedades de exponentes

Simplificando cuando un exponente se eleva a otro exponente

(𝑏𝑛)𝑚 = 𝑏𝑛∗𝑚

En general,

Esta propiedad es útil cuando tenemos que simplificar potencias de binomios.

32 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32

Otros ejemplos – forma larga a) (4x2 – 5)(4x2 + 5)

b) (10 – 2x3)2

Nota: NO es una diferencia de cuadrados,

es un binomio cuadrado

Binomio cuadrado usando fórmula

(a + b)2 = a2 + 2a b + b2

(a – b)2 = a2 – 2a b + b2

• (2x – 3y)2

• (5x3 + 4x5)2

Otros ejemplos – cont. • 5x(4x – 1)(3x + 1)

• 3x2(1 – 2x)(2 – x)