Polinomios
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1
Guรญa de trabajo
Nยบ 5
OBJETIVO Nยบ 3:
General:
Estudiar las determinantes
Especรญficos:
Definir
determinantes
Calcular el valor de determinantes
Conocer las propiedades de los determinantes
POLINOMIOS
I. Definiciรณn de Polinomios:
Se llama polinomio a la siguiente expresiรณn por
ejemplo:
๐ท ๐ = ๐ + ๐ + ๐๐ โ ๐๐๐ +๐
๐๐๐ โ ๐๐๐๐
Donde cada nรบmero que acompaรฑa a las ๐ se llama
coeficiente, cada expresiรณn que estรก entre los signos
mรกs o menos se llama tรฉrmino, los pequeรฑos nรบmeros que
estรกn sobre las variables se llaman exponentes de cada
tรฉrmino y el nรบmero que no estรก acompaรฑado de la
variable se llama tรฉrmino independiente.
Los polinomios se pueden representar con cualquier
letra mayรบscula o variable por ejemplo: ๐ ๐ฅ , ๐ ๐ฆ , ๐ ๐ง โฆ Finalmente para que una expresiรณn sea polinรณmica la
variable siempre debe tener todos sus exponentes
positivos.
II. Valor numรฉrico de un Polinomio:
Sea ๐ ๐ฅ un polinomio y ๐, un nรบmero real, se
llama valor numรฉrico del polinomio ๐ ๐ฅ para ๐ฅ = ๐, al valor que se obtiene al sustituir ๐ฅ por ๐ en el
polinomio. Ejemplo:
Dado el polinomio ๐ท ๐ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐, halar su valor para
๐ฅ =1
2
๐ท ๐ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐
๐ท ๐
๐ =
๐
๐ ๐โ ๐
๐
๐ + ๐ ๐ท
๐
๐ =
๐
๐โ ๐ + ๐ ๐ท
๐
๐ =
๐
๐+ ๐ =
๐
๐
III. Propiedad fundamental de la divisiรณn:
Dado dos polinomios ๐ท ๐ฅ y ๐ ๐ฅ , con grado
๐ท ๐ฅ โฅ ๐ ๐ฅ , al efectuar la divisiรณn de ๐ท ๐ฅ entre ๐ ๐ฅ , se hallan dos polinomios ๐ ๐ฅ y ๐ ๐ฅ , se obtiene que ๐ ๐ฅ < ๐ ๐ฅ y se obtiene la propiedad fundamental de la divisiรณn que es:
๐ท ๐ฅ = ๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ + ๐ (๐ฅ)
Donde ๐ท ๐ฅ es el dividiendo, d ๐ฅ es el divisor, ๐ ๐ฅ es el cociente y ๐ ๐ฅ es el resto o residuo del polinomio.
2
I.- Ejercicios Propuestos
1. Hallar el valor numรฉrico de ๐ท ๐ = ๐๐ + ๐๐๐ + ๐ โ ๐ para los valores
๐ = ๐, โ๐,๐
๐
2. Hallar el valor numรฉrico de ๐ท ๐ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐๐ para los valores
๐ = ๐, โ ๐
๐
3. Considere el polinomio ๐ท ๐ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐ y calcule su valor
numรฉrico para ๐ = ๐, โ๐,โ ๐
๐๐, ๐, ๐
4. Considere el polinomio ๐ท ๐ = ๐๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ + ๐ y calcule su valor
numรฉrico para ๐ = โ๐,โ๐, ๐, ๐
๐
5. Calcular el valor numรฉrico del polinomio ๐ท ๐ = โ๐๐ + ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ โ ๐
cuando ๐ = โ๐,โ๐
๐, โ ๐
6. Calcular el valor numรฉrico del polinomio ๐ท ๐ = ๐๐๐ + ๐ ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐ ๐๐๐ โ
๐๐ + ๐ ๐ cuando ๐ = โ ๐
7. Dados los polinomios ๐ท ๐ฅ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐ y ๐ ๐ฅ = ๐๐ + ๐ + ๐, obtener el cociente y el resto de la divisiรณn
8. Para los polinomios ๐ท ๐ฅ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐ y ๐ ๐ฅ = ๐๐ + ๐ +๐,comprobar la propiedad fundamental de de la divisiรณn
9. Dados los polinomios ๐ท ๐ฅ = ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐ y ๐ ๐ฅ = ๐ + ๐, obtener el cociente y el resto de la divisiรณn
10. Para los polinomios ๐ท ๐ฅ = ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐ y ๐ ๐ฅ = ๐ + ๐, comprobar la
propiedad fundamental de de la divisiรณn
11. Dados los polinomios ๐ท ๐ฅ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐ y ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2 โ ๐๐ + ๐, obtener el cociente y el resto de la divisiรณn
12. Para los polinomios ๐ท ๐ฅ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐ y ๐ ๐ฅ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐, comprobar la propiedad fundamental de de la divisiรณn
13. Dados los polinomios ๐ท ๐ฅ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐ โ ๐ y ๐ ๐ฅ = ๐ + ๐, obtener el cociente y el resto de la divisiรณn
14. Para los polinomios ๐ท ๐ฅ = ๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐ โ ๐ y ๐ ๐ฅ = ๐ + ๐, comprobar la propiedad fundamental de de la divisiรณn
3
IV. Regla de Ruffini:
Es un mรฉtodo que permite aplicar un conjunto de normas prรกcticas que
sirven para abreviar un poco el proceso de efectuar una divisiรณn por el
mรฉtodo usual, siempre y cuando el divisor sea un binomio de la forma ๐ฅ ยฑ ๐ o ๐๐ฅ ยฑ ๐. El tรฉrmino que dividirรก a cada coeficiente del dividiendo serรก el opuesto del tรฉrmino independiente del divisor. Cabe destacar que antes
de proceder a dividir el polinomio por este mรฉtodo, hay que verificar que
el polinomio este completo y en caso de que no lo este, se debe
completar, como ya se ha visto en clase.
Por otra pare si el divisor es de la forma ๐๐ฅ ยฑ ๐, se debe proceder a dividir el dividiendo y el divisor por el coeficiente de la variable que
es ๐ del divisor ๐๐ฅ ยฑ ๐. Si el polinomio posee fracciones y estas se
pueden simplificar hay que hacerlo ya que facilita la resoluciรณn de las
operaciones
Ejemplo:
CASO I: forma ๐ฅ ยฑ ๐
Dados los polinomios ๐ ๐ฅ = ๐ฅ4 + 3๐ฅ3 โ 2๐ฅ2 + 3 y ๐ ๐ฅ = ๐ฅ + 2, hallar el cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini
1 3 โ2
โ2 โ2
0 8
3 โ16 โ2
1 1 โ4 8 โ13
๐ถ ๐ฅ = ๐ฅ3 + ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 8 y el ๐ ๐ฅ = โ13
CASO II: forma ๐๐ฅ ยฑ ๐
Dados los polinomios ๐ ๐ฅ = 10๐ฅ2 โ 7๐ฅ + 5 y ๐ ๐ฅ = 2๐ฅ +1
3, hallar el cociente y
el resto aplicando la regla de Ruffini (El coeficiente ๐ es 2)
๐ ๐ฅ = 10๐ฅ2 โ 7๐ฅ + 5 =10๐ฅ2
2โ
7๐ฅ
2+
5
2= 5๐ฅ2 โ
7๐ฅ
2+
5
2
๐ ๐ฅ = 2๐ฅ +1
3=
2๐ฅ
2+
132
= ๐ฅ +1
6
5
โ7
2
-5
6
5
2
13
18
โ1
6
5 โ13
3
29
9
๐ถ ๐ฅ = 5๐ฅ โ13
3 y el ๐ ๐ฅ =
29
9
CASO III: cuando el divisor es de grado mayor que 1
4
Dados los polinomios ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ12 โ 10๐ฅ6 + 7๐ฅ3 + 6 y ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 + 2 hallar el
cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini (se divide el primer
termino del divisor entre cada tรฉrmino del dividendo excepto el tรฉrmino
independiente y el primer termino del divisor entre el mismo. Y al
obtener el cociente los exponentes se multiplican por el exponente del
primer tรฉrmino del divisor)
๐ ๐ฅ = 3๐ฅ12 โ 10๐ฅ6 + 7๐ฅ3 =3๐ฅ12
๐ฅ3โ
10๐ฅ6
๐ฅ3+
7๐ฅ
๐ฅ3
3
= 3๐ฅ4 โ 10๐ฅ2 + 7๐ฅ
3
0
-6
-10 7 -4
6
โ2 12 -6
3 -6 2 3 0
๐ถ ๐ฅ = 3๐ฅ3 โ 6๐ฅ2 + 2๐ฅ + 3 โ ๐ถ ๐ฅ = 3๐ฅ9 โ 6๐ฅ6 + 2๐ฅ3 + 3 y el ๐ ๐ฅ = 0
II.- Ejercicios Propuestos
1. Aplicar la Regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) ๐ ๐ฅ = ๐ฅ5 โ ๐ฅ2 + 3๐ฅ + 2 รท ๐ ๐ฅ = ๐ฅ โ 2
b) ๐ ๐ฅ = โ๐ฅ3 +2
3๐ฅ2 โ
1
3๐ฅ โ 4 รท ๐ ๐ฅ = ๐ฅ โ
5
2
c) ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 โ 3๐ฅ2 + 2๐ฅ รท ๐ ๐ฅ = 2๐ฅ โ1
2
d) ๐ ๐ฅ = 2๐ฅ3 โ 5๐ฅ2 + 3 รท ๐ ๐ฅ = 2๐ฅ + 3
e) ๐ ๐ฅ = ๐ฅ4 โ 3๐ฅ2 + 2๐ฅ รท ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ + 2
f) ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 1 รท ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ โ 2
g) ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ4 + 3๐ฅ3 โ 6๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 8 รท ๐ ๐ฅ = ๐ฅ + 3
h) ๐ ๐ฅ =๐ฅ3
2+ ๐ฅ2 +
2
3 รท ๐ ๐ฅ = ๐ฅ +
1
2
i) ๐ ๐ฅ = 5๐ฅ8 โ ๐ฅ6 + ๐ฅ4 โ ๐ฅ2 + 1 รท ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2 โ 1
j) ๐ ๐ฅ = ๐ฅ6 โ 7๐ฅ4 โ 4๐ฅ2 + 1 รท ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2 โ 1
k) ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ18 โ ๐ฅ6 + 2 รท ๐ ๐ฅ = ๐ฅ6 โ 2
l) ๐ ๐ฅ =๐ฅ3
2+ ๐ฅ2 +
1
2 รท ๐ ๐ฅ = ๐ฅ โ
1
2