Polinomio y Formula de Taylor y Mac Laurin Vfinal

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL C. DEL URUGUAY Concurso: Análisis Matemático I Tema: Polinomio y Formula de Taylor y Mac Laurin. Aproximación de las funciones. Adriana N. Poco 15/11/2013

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL C. DEL URUGUAY

Concurso: Análisis Matemático I

Tema: Polinomio y Formula de Taylor y Mac Laurin.

Aproximación de las funciones.

Adriana N. Poco

15/11/2013

UTN – FRCU Análisis Matemático I

Objetivos:

Expresar funciones polinómicas mediante un polinomio de forma particular: el polinomio de

Taylor y su caso particular el de Mac-Laurin.

Aproximar funciones no polinómicas a través de la fórmula de Taylor y de Mac Laurin.

Apreciar el error que se comete en dichas aproximaciones.

POLINOMIO Y FÓRMULA DE TAYLOR

Existes situaciones en Matemática, en las cuales es necesario recurrir a cálculos aproximados. Por

ejemplo, existe aproximación en el redondeo de cifras decimales al escribir

13=0 , 333

ó π=3 , 1416 .

También hemos estudiado con anterioridad la aproximación del valor del incremento de la función Δy

a través del cálculo de la diferencial de la función dy , debido al incremento de la variable

independiente Δx .

Asimismo es conveniente, en ocasiones, aproximar una función derivable no polinómica

mediante un polinomio especial y determinar la precisión de dicha aproximación o el error que se

comete al reemplazar el valor de la función en un punto cualquiera de su dominio x por el valor, en el

mismo punto, del polinomio.

Para ello analizamos en primer lugar el polinomio de Taylor, que permite aproximar funciones

polinómicas mediante un polinomio especial que contiene las sucesivas potencias del binomio

y luego generalizamos el uso de estos polinomios para aproximar funciones no polinómicas.

Polinomio de Taylor

Sea la función polinómica de grado n y coeficientes reales A0, A1, A2, .....An.

Es decir

Si a es un número real cualquiera, siempre es posible expresar el polinomio p según potencias del

binomio , es decir de la forma general:

O sea (1)

El problema que se nos presenta es que no conocemos los n+1 coeficientes del nuevo polinomio

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Para hallarlos calculamos las sucesivas n derivadas del polinomio:

..........................

En el punto , el polinomio y de sus derivadas sucesivas determinadas por las expresiones

anteriores alcanzan los valores siguientes:

Por lo tanto resulta:

Reemplazando en (1), obtenemos la expresión:

(2)

La expresión (2) recibe el nombre de Polinomio de Taylor.

Si denotamos al polinomio y recordando que , la expresión anterior

puede escribirse como una sumatoria de la siguiente manera:

Si se elige, en especial, , el polinomio queda expresado en la forma

que recibe el nombre de Polinomio de Mac Laurin.

Considerando lo demostrado anteriormente podemos afirmar que, dado un polinomio cualquiera

podemos expresarlo en potencias de .

Asimismo si conocemos las derivadas en dicho punto a, podemos encontrar el polinomio.

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Ejemplo:

Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface:

Para encontrar la expresión del polinomio en términos de , simplemente sustituimos a

por 2 y n por 4 en la fórmula (2), resultando:

El polinomio buscado resulta:

1) Escribir el polinomio según potencias del

binomio .

2) Desarrollar en potencias de el polinomio .

3) Desarrollar en potencias de el polinomio .

Fórmula de Taylor

Consideramos una función , definida en un intervalo I que contiene al punto a, y con n

derivadas sucesivas finitas en cualquier punto de dicho intervalo.

Según vimos al tratar la ecuación de la recta tangente a una curva plana en un punto, el polinomio

de primer grado nos da la ecuación de la recta tangente en el punto

y tiene el mismo valor que en el punto y también, como se comprobó en su

momento, la misma derivada que en este punto, por lo que es una buena aproximación de la

función en el entorno del punto a.

De igual manera, es posible elegir un polinomio de segundo grado

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tal que en el punto tenga el mismo valor que y valores también iguales para su

primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de más que la anterior. Es

natural esperar que si construimos un polinomio que en tenga las mismas n primeras derivadas

que en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a en los puntos x próximos a a.

Por lo tanto, si f es una función con n derivadas sucesivas finitas en cualquier punto de un

intervalo I; si y las derivadas sucesivas finitas en a son:

Podemos generar un polinomio de grado n, que tiene idéntico valor que la función e iguales

derivadas hasta la enésima en el punto , denominado polinomio de Taylor correspondiente a la

función en el punto a.

De (2):

(3)

Que puede escribirse:

Ejemplo:

Si consideramos la función y sus desarrollos en polinomio de Taylor en el punto hasta el

tercer término y realizamos un gráfico con la función y los tres polinomios:

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Realizado con software:

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a a+δa-δ xc

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Podemos observar en el gráfico cómo se mejora la aproximación de los polinomios a la función

exponencial en el entrono del punto .

Como el polinomio sólo se aproxima a los valores de la función en el entrono del punto a,

designamos por la diferencia entre los valores de la función dada y del polinomio

calculado :

de donde obtenemos :

en forma desarrollada de (3)

(4)

El término se conoce como resto de Taylor o Término complementario y su valor

depende de n.

Para hallar la expresión del resto analizamos el siguiente teorema:

Si f es una función con derivada finita de orden (n+1) en todos los puntos de un entorno del punto a y

para cualquier punto x perteneciente a dicho entorno, existe un punto c, entre x y a, tal que:

Para demostrarlo consideramos dos funciones auxiliares definidas en el intervalo ,

incluido en el entrono del punto a, :

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Si bien la demostración se realiza para un punto x del semientorno a la derecha de a,

análogamente se puede realizar para un punto del semientorno a la izquierda de a.

Las funciones auxiliares son:

(5)

y (6)

Estas funciones satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy, por lo que podemos asegurar

que existe al menos un punto c, interior al intervalo en el cual:

(7)

Si reemplazamos t por x en (4) y en (5) hallamos:

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Sustituyendo y por cero la expresión (7) es:

(8)

Hallando las derivadas de y :

Y para t = c es:

y

Reemplazando en (8)

Despejando :

Como

y

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Con lo que se demuestra el teorema.

Por lo que la expresión del resto de Taylor en su forma de Lagrange es:

Siendo la expresión de la fórmula de Taylor:

(9)

Como c está comprendido entre x y a, puede ser representado donde , es un

número comprendido entre 0 y 1, es decir, 0 < < 1. En este caso la fórmula del término

complementario toma la forma:

y la fórmula de Taylor con el resto será :

Caso particular: Polinomio y fórmula de Mac_Laurin

En el caso particular que el punto se obtienen el polinomio y la fórmula de Mac-Laurin,

respectivamente:

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1) Aplique la fórmula de Taylor a la función cuando .

2) Obtener cuatro términos del desarrollo de en serie de potencias de

.

3) Obtener tres términos del desarrollo de en una serie de potencias de

.

4) Analizar si el desarrollo de la función dada es correcto:

5) Verificar el siguiente desarrollo en :

6) Escribir el polinomio de Taylor de tercer grado de la función en el

punto , expresando el término complementario en la forma de Lagrange.

7) Obtenga el desarrolla de Mac Laurin para las funciones:

.

8) Represente en un mismo gráfico cartesiano la función y = e x y los polinomios de grado cero, primero y segundo que se aproximan a la función mediante la fórmula de Mac-Laurin. Extraer conclusiones de los gráficos.

Ejemplo – Resolución ejercicio 8):

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Si consideramos la función y sus desarrollos en polinomio de Mac Laurin hasta el tercer

término y realizamos un gráfico con la función y los tres polinomios:

Realizado con software:

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Podemos observar en el gráfico la aproximación de los polinomios a la función exponencial en el

entrono del punto .

Aproximación de funciones

La fórmula de Taylor se utiliza para aproximar funciones derivables no polinómicas mediante

polinomios de distintos grados conociendo el valor de la función y de sus derivadas sucesivas en un

punto a.

La aproximación es más precisa cuanto mayor es el grado del polinomio y el resto permite

estimar la misma pues es la diferencia entre el verdadero valor de la función en el punto considerado y

el polinomio correspondiente.

Si consideramos un término de la fórmula de Taylor:

obtenemos la llamada aproximación de orden cero.

Si consideramos dos términos de la fórmula de Taylor:

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obtenemos la llamada aproximación de orden uno o aproximación

lineal. Es, según lo estudiado al iniciar el Módulo la ecuación de la recta tangente a la curva que

representa a la función en el punto .

Si consideramos tres términos de la fórmula de Taylor:

obtenemos la llamada aproximación de orden

dos o aproximación cuadrática. Es la ecuación de una parábola de eje vertical denominada parábola

osculatriz.

Si se toman más términos se logran aproximaciones superiores que serán parábolas de

aproximación de orden 3; 4;… n-nésimo.

Por otro lado, puede destacarse aquí la importancia del término complementario que permite

calcular el error que se comete en las distintas aproximaciones.

Para realizar una interpretación intuitiva de lo expresado con anterioridad vamos a considerar la

función la función y sus desarrollos en polinomio de Mac Laurin en valores próximos al cero.

1 2 2,5 2,718281828

0,5 1,5 1,625 1,6487212707

0,3 1,3 1,345 1,349858808

0,1 1,1 1,105 1,10517091807

0,01 1,01 1,01005 1,010050167

0,001 1,001 1,0010005 1,00100050016

De esta tabla podemos hacer dos observaciones:

1. En cada columna, vemos que la aproximación del correspondiente polinomio de Mac-Laurin es

mejor cuanto más cercano se encuentre x a 0.

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a=0 a+δa-δ x=0,5c

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2. En cada fila, vemos que para cada valor fijo de x, no importa si está cerca o no de 0, la

aproximación va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio. O sea que, la parábola

osculatriz a la gráfica de la función en el punto (0,1) es una mejor aproximación que la recta tangente.

Ejemplo 1:

Hallar un valor aproximado para   utilizando un polinomio de Taylor de grado 2 y estimar el

error.

Como se desea calcular tomamos y el punto más próximo es , o sea que la

gráfica sería:

Utilizando el desarrollo de Mac-Laurin de la función mediante un polinomio de grado dos:

Para

Siendo es

Si lo verificamos mediante cálculo directo:

<

Ejemplo 2:

Encontrar un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y

estimar el error. Elegimos un valor cercano a 35º que para su cálculo directo es 30º o sea :

 Aplicando la fórmula para

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como

Siendo

Sabemos que la función senoidal de amplitud 1 está acotada entre -1 y 1:

multiplicando miembro a miembro por

 

.

Por lo que la aproximación se obtuvo con un error menor o igual a .

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1) Obtener la fórmula de Taylor de la función en un entorno de a=1.

2) Calcular con el polinomio de Taylor de grado 5 y estimar el error cometido.

3) Calcular con el polinomio de Taylor de grado 5 y estimar el error cometido.

4) Dada la función encontrar los polinomios de de Mac-Laurin de grado

1 , 3 y 5 en los puntos indicados y completar la tabla:

x 0 0,25 0,5 0,75 1

Describir el cambio en la precisión de la aproximación polinómica al aumentar la distancia al punto

Bibliografía:

“INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO - CÁLCULO I” - Hebe T. Rabuffetti – Ed. El

Ateneo – 10º edición - 1987.

“CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA” - Edwin Purcell – Dale Varberg – Ed. Prentice-

Hall – 6º Edición – 1992.

“CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA”- Larson-Hostetler-Edwards - Ed. Mc Graw Hill –

8º edición – 2006.

“CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA” – Howard Anton – Volumen 1 – Ed. Limusa – 2º

edición – 1991.

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