POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo...

27
1 POLÍGONOS. POLÍGONO: é unha superficie plana pechada limitada por rectas que se cortan formando vértices. PERÍMETRO: é a suma dos seus lados. - O polígono pode ser cóncavo se ten algún ángulo interior maior de 180º. - O polígono pode ser convicto se todos os seus ángulos interiores son menores de 180º. TRIÁNGULOS É unha figura plana limitada por tres rectas que se cortan dous a dous formando tres lados e tres ángulos. Os ángulos noméanse con letras maiúsculas A,B,C. Os lados noméanse coa letra correspondente ao ángulo oposto pero en minúscula. Os ángulos A= B= C= Segundo os seus lados: Segundo os seus ángulos: A. exterior A. interior diagonal lado vértice convicto cóncavo A B C A B C A B C a b c c b a c b a Equilátero a=b=c Isóscele a=b=c Escaleno a=b=c un ángulo obtuso A A A B B B C C C a a a b b b c c c Acutángulo 3 ángulos agudos Rectángulo un ángulo de 90º Obtusángulo

Transcript of POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo...

Page 1: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

1

POLÍGONOS.

POLÍGONO: é unha superficie plana

pechada limitada por rectas que se cortan formando vértices.

PERÍMETRO: é a suma dos seus lados. - O polígono pode ser cóncavo se ten

algún ángulo interior maior de 180º. - O polígono pode ser convicto se todos

os seus ángulos interiores son menores de 180º.

TRIÁNGULOS

É unha figura plana limitada por tres rectas que se cortan dous a

dous formando tres lados e tres ángulos. Os ángulos noméanse con letras maiúsculas A,B,C.

Os lados noméanse coa letra correspondente ao ángulo oposto pero en minúscula.

Os ángulos A= B= C=

Segundo os seus lados:

Segundo os seus ángulos:

A. exterior A. interior

diagonal

lado vértice

convicto cóncavo

A

B C

A

B C

A

B C a

b c c b

a

c b

a

Equilátero a=b=c

Isóscele a=b=c

Escaleno a=b=c

un ángulo obtuso

A A A

B B B C C C a a a

b b b c c c

Acutángulo 3 ángulos agudos

Rectángulo un ángulo de 90º

Obtusángulo

Page 2: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

2

Propiedades dos triángulos

- A suma dos ángulos dun triángulo é de 180º. Â+B+C=180º

- Un triángulo non pode ter máis dun ángulo recto ou dun ángulo obtuso.

- Nun triángulo rectángulo os seus dous ángulos agudos son ángulos

complementarios. (1º) - O ángulo exterior dun triángulo é igual á

suma dos dous ángulos interiores

adxacentes. (2º) - A maior ángulo, maior lado oposto.

- A suma de dous lados é maior sempre que a do outro lado. A resta de dous lados é

menor sempre que a do outro lado. - Se nun triángulo ABC trazamos arcos con

entro en A, B e radio b e a respectivamente unindo posteriormente os

resultados o vértice C, teremos un triángulo a base do cal é o perímetro do

triángulo anterior e os ángulos da cal cumpre (3º).

Puntos notables dun triángulo. Circuncentro: Cc. É o punto onde a unes as mediatrices dun

triángulo e é o centro dunha circunferencia circunscrita ao triángulo.

Incentro: Ic.

É o punto onde se unen as bisectrices dos ángulos dun triángulo e é o centro da

circunferencia inscrita ao triángulo.

A

B C

1º) A

B

A. complementario

45º 75º

60º

A

B C

A+C=135º

2º)

A

B C A' B' /2

/2

3º)

B C

A

a

b c Cc.

C

A

B

Ic.

Page 3: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

3

Baricentro: Ba.

É o punto onde se unen as medianas do triángulo.

Mediana: recta que vai dende o vértice ata a metade do lado oposto.

Ortocentro: Oc. É o punto onde se xuntan as alturas dun

triángulo. Unindo os pés das alturas fórmase o triángulo Órtico. Con centro no ortocentro

pódese trazar a circunferencia Órtica que está inscrita no triángulo Órtico.

Altura: é a recta que vai perpendicularmente

dende o vértice ata o lado oposto. Cando o triángulo é obtusángulo o

ortocentro é exterior. Cando o triángulo é acutángulo o

ortocentro é interior. Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro

coincide co vértice recto do triángulo.

Recta de Euler: É aquela recta que pasa polo Ortocentro,

Circuncentro e o Baricentro.

Exercicio nº 1 Debuxar un triángulo coñecendo os tres

lados, a= 30 mm, b=20mm, c=15mm.

Exercicio nº 2

Debuxar un triángulo coñecendo dous lados e o lado comprendido. a=30mm,

b=40mm e C=30º.

A

B C

0c.

Pa

Pb Pc

B C

A

Mc Mb

Ba

Ma

Oc Ba Cc

B C

A

A

B C a

b c

A

a

b c

C B

30º

R40

Page 4: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

4

R60

30º

C A

B

b

c

a

Exercicio nº 3

Construción dun triángulo isóscele de

lado desigual 20 mm e lados iguais 40 mm.

Exercicio nº 4

Constución dun triángulo isóscele dous

lados de 40 mm e ángulo  30º.

Exercicio nº 5

Construción dun triángulo coñecendo un

lado e os ángulos adxacentes. a=40mm, B=60º, C=45º.

Exercicio nº 6

Construción dun triángulo coñecendo un lado a=40mm, b=50mm e B=75º

Exercicio nº 7

Construción dun triángulo rectángulo

coñecendo os dous catetos b=50mm e c=30mm.

Exercicio nº 8

Construción dun triángulo rectángulo

coñecendo a hipotenusa a=60mm e o ángulo C= 30º

nº3

nº4

nº5

nº6

nº7

nº8

A

B C

R40 R40

a

b c

A B

C R40 b

c

a

30º

A

a B

b

C

c

60º 45º

A

B C

R40

a

b

75º

50

30

B

A C

a

b

c

Page 5: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

5

50 60º

o

b

B

A

a

C

c

Exercicio nº 9 Construír un triángulo rectángulo coñecendo

un cateto de 50 mm e o ángulo oposto de 60º.

Exercicio nº 10

Construír un triángulo coñecendo dous lados e o ángulo oposto a un deles. a=30mm, b=45mm, Â=30º.

Exercicio nº 11 - Construír un triángulo equilátero sabendo

que a súa altura é de 35 mm.

Exercicio nº 12 Construír un triángulo equilátero sabendo que o radio r =20 mm da circunferencia

circunscrita. ( pódese trazar facendo un hexágono). - Trázase unha circunferencia de radio 20 mm.

- Con centro nun punto P calquera e radio 20 mm

trázase un arco de circunferencia que corta á

circunferencia inicial en BC vértices do triángulo

equilátero. Con centro en B e radio BC arco que corta

en A, unimos ABC.

Exercicio nº 13

Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e os seus dous lados iguais de 38 mm.

a B C

O

A

A'

b

b'

R45

30

A

B C

h 35

30º

R20

R20 A

B

C O

P

RBC

R38

35

A

B C a

b

c

Page 6: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

6

20 28.93

C

A B B'

C'

37º30'

Exercicio nº 14

Construír un triángulo Isósceles dada a base de 20 mm e a súa altura de 35 mm.

Exercicio nº 15

Construír un triángulo Isósceles dado o ángulo Â=37º30' e o seu lado oposto a=20mm.Trazar de dúas formas.

1º procedimiento

Exercicio nº 16 Trazar un triángulo coñecendo a=40mm,

b=30mm, e a altura ha=20mm.

Exercicio nº 17 - Debuxar o triángulo de lado BC= 35 mm, e

dúas medianas mb= 30 mm e a mc= 40 mm

2º procedemento

35

20

A

B C

A

B C

0

20

R30

40 C

A

a B

b c

30

Ba=20

40

Ba=26.67

B C R20 R30

R26.67 R40 A

Ba

Page 7: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

7

Ma=40

40 45º

A'

B C

A

O

A

B C

A'

Cc.

R25

R25

40

10

Exercicio nº 18

Representar un triángulo de lado a=40mm, Â= 45º e mediana da,

Ma= 40 mm.

Exercicio nº 19 Trazar o triángulo de lado a= 40 mm,

b=25mm e co circuncentro Cc situado a 1 cm do lado a.

Exercicio nº 20 - Achar o triángulo rectángulo de perímetro

P=70mm e o ángulo B= 60º. Recorda que en calquera

triángulo os ángulos que forman un triángulo de base o perímetro e os outros dous lados

chegan ata o vértice oposto do triángulo orixinal son:

Pasos: - Polo extremo do segmento perímetro trasládanse os

ángulos 45º/2 e 60º/2 que córtanse en C.

- Por C perpendicular ao segmento perímetro dá A.Por C 60º/2

e danos B.

- Tamén se pode trazar a mediatriz de A/2C e danos A.

- Tamén se traza a mediatriz de CB/2 e danos B

A

B C A' B' /2

/2

30º

60º 90º

30º

45º

C

B A A/2 B/2

B/2

70

Page 8: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

8

Exercicio nº 21 - Achar o triángulo Isósceles de

perímetro P=70mm e ángulo oposto á base Â=30º

Sábese que a suma dos

ángulos dun triángulo é de 180º. Asi que se temos un ángulo de 30º os outros dous teñen que ser

de 75º.

Pasos: - Trazamos o segmento perímetro. - Trázase os ángulos de 37º 30' en

cada extremo do devandito segmento que córtanse no punto A.

- Trázase ángulos de 37º 30' polo vértice A. Dándonos o ángulo de 30º e o triángulo buscado. - Tamén se pode achar as mediatrices para dar os vértices B e C xa que son

triángulos isósceles os creados polo perímetro A,B/2,B e A,C,C/2. Pódese achar con outro procedemento: Crear un triángulo Isósceles auxiliar e

buscando o seu perímetro.

CONSTRUCIÓNS "TIPO" DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Exercicio nº 22

Construción dun triángulo rectángulo coñecendo a hipotenusa a=65mm e a diferenza de catetos b-c=15mm

Razoamento: Se temos un triángulo rectángulo calquera e

buscamos o segmento b-c. Pódese crear un triángulo rectángulo isóscele os ángulos da cal serían 45º cada un.

Para construír o noso triángulo rectángulo buscado, só fai falta aplicar este coñecemento.

b-c

45º

45º

b

c

a

A

B

C c

37º30'

30º

75º 75º 37º30' 37º30'

70

A

B C B/2 C/2

Page 9: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

9

Pasos:

- Nunha recta recta ponse o segmento b-c= CX.

- Por X trázase un ángulo de 45º. - Por C trázase un arco con distancia hipotenusa

a= 65 mm.

- Os devanditos trazados córtanse no vértice B. - Dende B trázase unha perpendicular á recta

inicial e dá o vértice A. - o triángulo buscado é o triángulo ABC.

Exercicio nº 23

Construír un triángulo rectángulo coñecendo a hipotenusa a=55mm e a suma dos seus catetos b+c=70mm.

Razoamento:

Se temos un triángulo rectángulo calquera e buscamos o seu segmento b+c, veremos que se

forma un pequeno triángulo rectángulo isóscele cun dos vértices e o extremo do segmento suma.

Pasos: - Dado o segmento b+c=XC.

- Por X trázase un ángulo de 45º. - Por C trázase un arco de radio hipotenusa. - Estes córtanse en B.

- Dende B trázase unha recta perpendicular a b+c e dá o vértice A.

- Trázase máis forte o triángulo ABC.

R65

15 C X

b

A

c

a

B

45

X A'

B'

B

A C

R55

45º

b+c

a

a'

45º

45º

b+c

c b

a c

B

A C

Page 10: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

10

Exercicio nº 24

Construción dun triángulo rectángulo coñecendo un cateto b=25mm e a suma da hipotenusa e o outro cateto a+c=90mm.

Razoamento: Se nun triángulo rectángulo buscamos o segmento

a+c podemos crear un triángulo isóscele e como a mediatriz do lado desigual pasa sempre polo

vértice desigual. Se trazamos a mediatriz do lado desigual XC pasará polo vértice B.

Pasos:

- Dado a+c=XA. - Por A trazar una perpendicular de 25mm. - Se une XC. Se traza la Mediatriz de XC.

que corta al segmento a+c en B.

Ejercicio nº 25

Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto

c=30mm y la diferencia de la hipotenusa y el otro cateto a-b=15mm.

Razoamento: Se nun triángulo rectángulo calquera buscamos o

segmento a-b, podemos determinar un triángulo isóscele os vértices do cal serían BCX. A mediatriz do lado desigual dun triángulo isóscele pasa

sempre polo vértice oposto.

Pasos: - Sobre unha recta poñer a-b=AX. - Trazar unha perpendicular por A de 30 mm

e dános o punto B. - Unimos BX e trazamos a mediatriz que

corta á recta r en C. Unir os vértices ABC.

a+c a

a

c

b X A

C

B

X B

a+c

a

a

c

b

A

C

a

b

a c

a-b X

A C

B

15

30

b

c a

r A

B

C X

Page 11: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

11

Exercicio nº 26

Construción dun triángulo isóscele, coñecendo o ángulo Â=30º e o segmento a+ha=5cm.

Pasos: -Trazar un triángulo isóscele auxiliar de 30º

formado por a ' B 'C'. Buscamos o segmento auxiliar a'+ha' que nos dará o punto X' na

prolongación da altura auxiliar. - Unimos C X e B'X'. - Dende A' transportamos o noso a+ha de 5 cm e

daranos o punto X. - Trazamos polo punto X paralelas a C 'X' e B'X'

que corta ás rectas de prolongación dos lados do triángulo auxiliar en C e B.

- Unimos ABC e temos o triángulo buscado.

Exercicio nº 27 Construción dun triángulo coñecida a altura ha=3cm. a mediana ma=4'5cm. e sabendo que o lado a=2b

- Trázase unha recta r onde se coloca perpendicularmente a ha=3cm. esta recta

dános o vértice do triángulo buscado A.

- Con centro en A e radio ma=4'5 trázase un arco que corta á recta no punto Ma (punto

medio do lado a ) - Trazamos a mediatriz de ma para buscar o

vértice B xa que a=2b, aínda que non se sabe canto vale b, o lado ma será o lado desigual dun triángulo isóscele.

- Trázase o simétrico de CMa e daranos B.

30º

50

A'=A B'

C' C

B

X' X

A

hai

c

ma

Ma

b

b

A

hai ma

Ma

b

b C B

R45

30

Page 12: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

12

Exercicio nº 28

Construír un triángulo coñecido un ángulo Â=45º e as medianas ma=5'5cm e mb=4cm.

- Dividimos a mediana mb ( extremos Mb e B) en tres partes iguais e localizamos o baricentro

do triángulo buscado. - Trazamos o arco capaz do segmento mb e o

ángulo de 45º.

- Dividimos a mediana ma en tres partes iguais. - Con centro no Baricentro e radio dúas partes

de ma trazamos un arco que corta ao arco capaz no punto A.

- Con centro en Mb e radio MbA trazamos un

arco que corta á prolongación AMb en C. - Unimos e dános o triángulo buscado.

Podemos ver que temos de datos a mediana do lado b e o ángulo  que é o seu oposto, trazando o arco capaz conseguimos unha parte do triángulo

buscado, só nos faltaría un vértice que conseguiremos coa prolongación da mediana da

ou a metade do lado b.

Exercicio nº 29

Construír un triángulo coñecendo un lado c=5cm. un ángulo adxacente

Â=30º e o segmento Wb=3cm.

- Recórdase a nomenclatura do triángulo. - Trázase o lado c e o ángulo Â.

- Con centro en B e radio Wb trazamos un arco que corta ao  en X.

- Temos a metade do ángulo B, polo que

soamente temos que transportar outra metade de B que cortará o lado anterior en C.

40

36.67 55

45º ma

mb

A

Mb B

C

Ba

= =

c

C

A B

a X b Wb

30º

Page 13: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

13

Exercicio nº 30

Debuxar o triángulo de lado a=30mm, e as medianas mb=50mm, mc=35mm. - Dividir mc e mb en tres partes

iguais. - Poñer o lado a.

- Polo extremo B trázase un arco con radio dous partes de mb.

- Polo extremo de C trázase un

arco con radio dúas partes de mc. Os devanditos arcos

córtanse no baricentro. - Prolóngase mc engadindo a

parte que lle falta. dános Mc

(punto medio do lado c).

- Unimos BMc e prolongamos.

- Prolóngase mb engadindo a parte que lle falta. Dános Mb

(punto medio do lado b). - Unimos CMb e prolongamos. As

devanditas prolongacións

córtanse en A.

Ejercicio nº 31. Construye un triángulo conociendo el lado a=35mm, la altura

ha=25mm y el Â=60º

- Se traza el arco capaz del lado a y el ángulo A.

- Se prolonga el lado a para trazar

una perpendicular u transladar la altura ha.

- Se traza una paralela con la distancia de la altura que corta al arco capaz en dos puntos, hay

dos soluciones A'BC y ABC.

33.33 16.67 50

23.33 35

11.67

a B C

R23.33

R35 R50

A

R33.33 Ba

Mc Mb

c b

A

B C

A'

a

c b hai O

60º

Page 14: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

14

Ejercicio nº 32 Construir un triángulo conociendo el lado c=40mm; mc=45mm y hc=35mm

- Trázase o lado c. - Búscase a mediatriz de c e dános

Mc - Trázase unha paralela coa altura

hc. - Con centro en Mc e radio mc

curta á paralela en dous puntos.

- Hai dúas solucións.

Exercicio nº 33 Debuxar un triángulo ABC dado ángulos Â=75º o ángulo B=75º e a lonxitude da mediana a partir de c de 45 mm. (é dicir mc=45mm).

- Trázase un triángulo auxiliar a '

B 'C' que teña un ángulo de 45º e outro de 75º.

- Búscase o seu segmento auxiliar mc'.

- Transpórtase noso mc sobre a

mediana auxiliar e trázase unha paralela ao lado auxiliar c'

daranos o triángulo xa ben prolongando os lados de auxiliar se fose máis grande, ou no

propio auxiliar se fose máis pequeno.

R45 A B

C C'

hc

mc

Mc c

b a

45

C

A'

A

Mc'

Mc B

B'

75º 45º

Page 15: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

15

Exercicio nº34 Construír un triángulo coñecendo o ángulo Â=30º ángulo C=45º e a bisectriz Wc=45mm

- Trázase un triángulo auxiliar a '

B 'C' cos ángulos de 3º e 45º. - Búscase a bisectriz do auxiliar e

transpórtase sobre ela a nosa

wc=45mm. - Trázase unha paralela ao lado c'

e daranos o noso triángulo ABC.

Exercicio nº 35

Debuxar un triángulo ABC dados os ángulos Â=75º, o ángulo B=45º e a altura hc=35mm

- Trázase case igual que os

anteriores cun triángulo auxiliar.

Exercicio nº36 construír un triángulo ABC do que se coñece o lado AB=55mm, a altura sobre este lado hc=44mm, e a altura ha=40mm sobre o lado BC.

Explicación razoada.

- Se coñecemos o segmento ha e o lado continuo neste caso o lado c, podemos determinar sempre

a dirección do lado da , co arco capaz de 90º, xa que o segmento altura e a porción do segmento lado do triángulo forman un ángulo de 90º

PARA 2º BACH.

A' A

B

B'

C

Wc=45

C

A'

A B

B'

hc=35

A B

hai a

c

C

b

Page 16: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

16

- Trázase o lado AB, trázase o

arco capaz de 90º, o centro da cal

- será o punto medio do devandito segmento.

- - Con centro en A e radio ha

trázase un arco que corta ao arco

- capaz. Únese o vértice B, o punto de corte anterior e prolóngase.

- - trázase unha perpendicular coa altura hc, trázase unha

paralela - que corta á prolongación en C.

- unimos ABC e temos o

triángulo buscado.

Exercicio nº 37

Construír un triángulo do que se coñece o lado AB=c e o seu baricentro G. Explicación razoada.

- O baricentro é o centro de gravidade dun

triángulo e segméntoos que o forman son as medianas que van dende o vértice ata a

metade do lado oposto. O baricentro corresponde a 1/3 da súa correspondente mediana, por iso:

- Trázase a mediatriz do lado c para buscar o punto medio fáiselle pasar polo baricentro

prolongandose. - Transpórtase dúas partes do segmento McBa

dándonos o vértice C.

- Únense ABC e temos o triángulo buscado. - Pódese trazar doutra forma como é utilizando

as medianas ma e mb.

44

55

R40 A B

C

hc

hai

A c

B

B

A c

B

B Mc

C

Page 17: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

17

Exercicio nº 38 Debuxar o triángulo ABC sendo AB+BC=a+c, AC=b e coñecendo o

ángulo B de 60º. o segmento a=60mm., b=40

Razoamento: - Se nun triángulo aliñamos dous lados, o c e o

a, pódese ver na figura que forma un triángulo

isóscele (raiado), onde terá dous ángulos iguais e a mediatriz do lado desigual pasarà

polo vértice oposto. - O ángulo B sería B= R+T. xa que B é o

suplementario de S e o ángulo exterior dun

triángulo é a suma dos outros dous ángulos interiores do triángulo. B= 2 R (xa que R=T).

De aquí dedúcese R=B/2. - A bisectriz do ángulo B, é paralela ao lado

desigual do triángulo isóscele anterior.

- Analizando as figuras anteriores, podemos resolver o

problema ospuesto. - Trázase o arco capaz da

metade do ángulo de 60º, é dicir de 30º.

- Con centro en A e radio a+c curta ao arco capaz en dous

puntos (o problema posúe dúas solucións)

- Únese XA e XC, fórmasenos un triángulo de lado b, de

ángulo 30º e o lado a+c.

- Trázase a mediatriz do segmento XC que sería o lado

- desigual, segundo o razoamento da figura

anterior. Esta mediatriz corta ao lado a+c no vértice B.

- A solución sería a unión de ABC.

A

B C

c

c

b

a

S R

T

X

T

R X c

c

B S

a

A

b

C

b C A

B/2

a+c

B

C

a

a

c

O

B/2

B/2

Page 18: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

18

Exercicio nº 39 Debuxar un triángulo de lado a=6cm., e as alturas ha=4cm e hc=4'4cm.

- Sobre unha recta r búscase un punto calquera P. trázase unha perpendicular con lonxitude hc.

e dános o vértice C. - Dende o vértice C trázase un arco co lado a

que corta á recta r no vértice B.

- Por C trázase unha recta perpendicular ao lado a de lonxitude hai. e dános X.

- Dende X trázase unha paralela ao lado a que corta á recta r no vértice A.

- Unimos ABC e temos a solución.

Exercicio nº 40 Construción dun triángulo os datos do cal son: a altura hc=45mm,

ángulo C=60º e Ángulo B=45º. - Trázase un triángulo auxiliar a ' B 'C cos

ángulos de 45º e o de 60º. - Búscase a altura auxiliar hc'.

- Con centro en C e radio hc=45 trázase un arco que corta á altura auxiliar. Dende este último punto trázase unha paralela á recta auxiliar a

'B', esta paralela curta nos puntos A,B. Unimos ABC.

Exercicio nº 41 Construír o triángulo os datos do cal son: O ángulo C=60º, hb=5cm. e ma=4cm.

- Trázase unha recta e búscase un

punto calquera P e nela se

translada a altura hb. Trázase unha paralela á recta.

hc

r

hai

P

C

A B

a

c

b X

hc'

R45

hc

C B' B

A'

A

60º

45º

C P

hb

B

b

a

Ma

40

A

c

Page 19: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

19

- Por outro punto calquera da recta C transladase o ángulo C 60º que corta á

recta paralela en B - Xa temos o lado a trázase a mediatriz para obter o punto Ma.

- Con centro Ma e radio ma trázase un arco que corta á recta en A. - Unimos ABC.

Exercicio nº 42 Debuxar o triángulo os datos do cal son: o lado b=4cm. o ángulo C=30º e o ángulo B=45º

- Trázase o arco capaz do arco de 45º baixo o lado b.

- Polo extremo C trázase o ángulo de 30º que corta ao arco capaz en B.

- Unimos ABC.

Exercicio nº 43 Construír un triángulo dado o lado b=45mm, o ángulo A=15º e o ángulo B=105º.

- Trázase o arco capaz do ángulo de 105º baixo

o segmento b.

- Trázase o ángulo de 15º polo vértice A.

b C A

O

B

90°0'

O

A

C b

B

105º

Page 20: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

20

Exercicio nº 44 Construír un triángulo rectángulo coñecendo as medianas correspondentes á hipotenusa de 40 mm e ao cateto de 55 mm.

- Trázase o arco capaz de 90º

baixo o segmento da mediana de

b mb. - Divídese polo teorema de thales

ma e mb. - Nun extremo do segmento mb

estará o punto B e no outro Mb.

O baricentro está a 1/3 de Mb. - Con centro en Ba e radio 2/3 de

ma trázase un arco que corta ao arco capaz de 90º dandonos o vértice A.

- Con centro en Ba e radio 1/3 de ma trázase un arco que corta á

prolongación de ma en Ma. - Con centro en MB e radio MbA

trázase un arco que corta á

prolongación MbA en C.

- Únese AMa e propóñase que concorre no vértice C.

Ejercicio nº 45. Debuxar o triángulo de lados proporcionais a 4,5, e 6 e de radio da circunferencia circunscrita de 60 mm

- Este exercicio é en realidade

unha homotecia de centro Cc. - Trázase un triángulo auxiliar que

teña os lados proporcionais a

4,5,y 6 ( como 40mm,50mm e 60 mm). A ' B 'C' e búscase o

circuncentro e a súa circunferencia circunscrita auxiliar.

- Trázase a circunferencia

circunscrita de radio 60 mm. - Como é unha homotecia

únense CcC' e prolóngase. - Únese CcA' e prolóngase. - Únese CcB' e prolóngase.

B Mb Ba

A

C

mb

ma

55 40

26.67

A

A' B'

B

C

C'

Cc

R50 R60

R40

R60

Page 21: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

21

- Estas prolongacións curta á circunferencia de 60 mm en ABC triángulo

buscado

Exercicio nº 46 Nun triángulo ABC, Â=75º, ángulo B=60º e radio =30mm (radio da circunferencia inscrita), debuxar o triángulo

- Trázase un trliángulo auxiliar que teña por ángulos 77º e 60º., búscase o seu incentro e a

súa circunferencia inscrita. - Con centro no incentro e radio 30 trázase a

nosa circunferencia inscrita. Dende o Ic

trázanse rendas tanxentes para buscar os puntos de tanxencia sobre a nosa

circunferencia inscrita. - Polos puntos de tanxencias trázanse rectas

perpendiculares p paralelas ao triángulo

auxiliar que se cortan dous a dous formando os vértices ABC.

Exercicio nº 47

Debuxar un triángulo de lados proporcionais a 2,3 e 4, de forma que a súa circunferencia inscrita teña de radio 2 cm.

- É moi parecido ao outro exercicio. - Búscase un auxiliar que teña os

lados proporcionais a 2,3 e 4. Como pode ser o triángulo de 20,30 e 40

mm. - O seguinte é igual ao exercicio

anterior.

R30

6075º

Ic

C'

C

A

A' B'

B

R30 R400

20 R20

A

A'

B'

C'

C

B

Page 22: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

22

Exercicio nº 48 Debuxar o triángulo isóscele, o lado desigual do cal é a metade dos lados iguais, inscrito na circunferencia de radio 4 cm.

- Trázase un triángulo auxiliar o lado desigual da cal a=c/2, é dicir por exemplo a=20, c e

b=40mm. - O triángulo que temos que buscar está inscrito

nunha circunferencia, polo que a circunferencia

e o punto que temos que achar é o circuncentro e a súa circunferencia..

- Áchase o circuncentro Cc auxiliar e a súa circunferencia (aínda que non sirva para nada).

- Con centro en Cc, e radio 4 cm trázase a

circunferencia circunscrita, prolóngase a mediatriz da que pasa polo vértice e se trazan

paralelas aos lados, dandonos ABC.

Exercicio nº 49 Debuxar o triángulo XYZ que ten un vértice no punto X, a súa

circunferencia inscrita é C, e o ángulo no vértice Y vale 75º. Distancia XO=60mm, Radio de C= 20 mm. O:Centro de C.

Formulación: - Se vemos os datos que nos dá o

problema podemos ver que hai un triángulo rectángulo que se

pode obter. O noso triángulo acharémolo despois trazando

recta perpendicular a 75º e recta tanxente á circunferencia.

Pasos: - Sobre unha recta r búscase un punto T calquera e trázase a súa

perpendicular con distancia 20 mm. Dános Ic. - Con centro en Ic e radio 60 mm arco que corta á recta r en X. - Trázase a circunferencia inscrita.

- Noutro punto calquera da recta r trázase un ángulo de 75º.

R40

A

A'

B' C'

B C

Cc

75º

20

60

X

Ic

T Y

Page 23: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

23

- Trázase dende O unha recta perpendicular á

recta de ángulo 75º esta curta á circunferencia noutra T1. Trazamos unha recta tanxente á

circunferencia por T2 e dános o punto Y. - Trázase outra recta por X tanxente á

circunferencia e achamos o vértice Z.

Exercicio nº 50

Construír un triángulo coñecendo o lado raiz cadrada de AB, o ángulo oposto

C=37º30' e a altura hc=30mm, AB=50mm.

- Un dos lados do triángulo é a raiz cadrada de AB. polo

que achamos a media proporcional.

- Se halla el triángulo trazando el arco capaz de

37º30' bajo el lado media proporcional.

- Se traza la altura buscando un punto P.Hay dos

soluciones.

75º T Y X

Z

O

1

T2

AB 22.36

50 10 C C'

A B

H

o

p

37º30

30

Page 24: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

24

Exercicio nº 51

Construción dun triángulo coñecendo a mediana ,la bisectora e a altura do mesmo vértice. ma=25mm,wa=20mm e ha=18mm.

razoamento sobre as rectas notables bisectriz e mediatriz.

Sexa E un ángulo inscrito

nunha circunferencia de centro O. Este ángulo central, mide o dobre do correspondendo inscrito 2E. O

arco abranguido por estes dous ángulos é o FNG.

Se trazamos a bisectriz do

ángulo E, daranos dúas metades osea dous E/2. A bisectriz corta ao

arco FNG no seu punto medio M (posto que a medida dun inscrito depende do arco abranguido)

Na figura do triángulo se se acha a mediatriz de FG esta divide

ao arco da devandita corda en M punto medio do arco. Hai que

recordar que a mediatriz é perpendicular ao lado FG.

Se fundimos as dúas figuras anteriores, podemos ver que a

mediatriz dun lado e a bisectriz do ángulo oposto dun triángulo se cortan no punto medio do arco da

circunferencia circunscrita ao triángulo.

E

F

N

O

2E

G

F

N

2

O

G

E

E/E/2

F

N G

E

Cc

N

F

G

E

Page 25: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

25

Pasos:

- Sobre unha recta r trázase unha recta

perpendicular que será ha e daranos o vértice A.

- Con centro en A e radio ma trázase un arco

que corta á recta en Ma (punto medio do lado a).

- Por este punto Ma trázase unha recta perpendicular (que sería a mediatri do lado a).

- Con centro en A e radio wa trázase un arco que

corta á recta r en x, esta wa prolóngase ata que corte á mediatriz en M (punto que

pertence á circunferencia circunscrita.

- Únese AM (corda da circunferencia circunscrita) áchase a mediatriz, que corta á perpendicular por Ma en Cc.

- Con centro en Cc e radio CcA, circunferencia circunscrita que dá os puntos B e C.

Exercicio nº 52

Construción dun triángulo coñecendo as tres medianas. ma=45mm,

mb=30mm e mc=25mm. Razoamento

Para saber que pasa coas medianas dun triángulo trazamos un triángulo calquera e buscamos as súas medianas. Estas medianas dividen cada lado

en partes iguais.

Hai que recordar que dende o baricentro ao vértice hai 2/3, e dende o baricentro ao punto medio hai 1/3.

Se dende o vértice B se pode trazar unha

paralela a mc e se leva 2/3 mc. dános o punto X.

Pódese trazar un triángulo con lados 2/3 das mediatrices

BXBa.

R25

Ma

Cc

A

B C

hai

wa

M

Ba

B C

A

M

X

ma

mb mc

2/3 ma

2/3 mc

2/3 mb

Page 26: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

26

Pasos:

- Segundo o anterior visto, trázase o segmento 2/3 ma e buscamos o seu punto medio M.

- Búscase o vértice C sabendo que M é o punto medio do lado a. Unindo BM e prolongando o dobre.

- Prolóngase XM e trázase 2/3 de ma a partir de M. dándonos o vértice A.

- Prolóngase BaB e con centro en Ba trasládase 1/3 mb dàndonos M de b. - Unimos ABC e temos o triángulo.

Exercicio nº 53 Construír un triángulo dado lado a=30mm, Â=45º e mb=28mm.

Razoamento:

Para crear este triángulo primeiro hai que saber que pasa co lugar xeométrico dos puntos medios das cordas dunha circunferencia, que parten dun punto dela.

Isto é, temos un punto P calquera dunha circunferencia, por este punto

facemos pasar infinitas cordas da devandita circunferencia, se trazamos os puntos medios das devanditas cordas, estas describen unha circunferencia

(estas describen un lugar xeométrico) o centro da cal esta na corda que é o diámetro.

M

Ba

B

X

M

C

A

45 30 25 30 20 16.67

M M M M M M

M M M

P o

Page 27: POLÍGONOS.GONOS... · Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro ... Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e ... c=30mm y la diferencia de la hipotenusa

27

Se temos unha circunferencia e nesta dúas cordas concorrentes, sendo unha delas o

diámetro. unimos os extremos (UT) e daríanos un triángulo rectángulo onde U é o ángulo de 90º.

Se trazamos polo centro O da circunferencia

unha recta paralela a UT, daríanos outro

triángulo rectángulo POM, onde M sería o punto medio da corda PU.

Tamén podemos facelo ao revés: o extremo do diámetro T sería o centro dunha

circunferencia onde U sería o punto medio doutra circunferencia de corda o dobre de PU

e de diámetro o dobre de PT.

Pasos.

- Temos a mediana mb que ten un extremo do segmento B nunha circunferencia circunscrita e

o outro extremo é Mb que é o punto medio do segmento AC=b que é corda da circunferencia circunscrita.

- Temos o segmento a e o seu ángulo oposto polo que case inmediatamente hai que facer o

arco capaz, onde o centro sería o circuncentro do triángulo buscado.

- Se unimos Cc co vértice C, este segmento sería

o diámetro da circunferencia formada polos puntos medios das cordas da circunferencia

anterior. - Trázase a mediatriz de CcC dános X. Con

centro en X e radio XCc trazamos a

circunferencia de puntos medios. - Con centro en B e radio mb trázase un arco

que corta á circunferencia de puntos medios en Mb.

- Únese MbC e prolóngase ata cortar ao arco

capaz en A.

- Unimos ABC.

P o

M

U

T

P o T

M U

B

Cc

a C

A

Mb

X

R28

45º