SOBRE EL PROBLEMA i QUE ES UN PROBLEMA?

par

CARLO FEDERICI CASA

Focultod de Motematicos de 10 Universidod Nocionol.

Unos de los problemas a los cuales tiene que enfrentarse el

maestro son los que pueden enunciarse con las tres preguntas :

i Que es un problema?

i Por que se resuelve un problema?

i Como se resuelve un problema?

Para poder contestar a estas preguntas, considerese el si-

guiente problema, enunr:iado en forma "imperativa" :

"Encontrar los enteros cuyo cuadrado disminuido del quintu-

plo y aumentado de seis dan como resultado final cero".

EI mismo problema puede ser enuncicido en forma "interrogativa"

"L Cucl es son los enteros cuyo cuadrado disminuido del quin-

tuplo y aumentado de seis dan como resultado final cero ?" .

Se sabe muy bien que las formas di scur si vo s tanto imperativas

como interrogativas, ponen 01 que escucha en un estado particular de

"tension", 10 cual es 10 que 10 impele a contestar, a responder. Esto

nos Ileva a pensar que las expresiones imperativas 0 interrogativas no

son simbolos completos como si 10 son las expresiones declarativas, y

a buscar, entonces, que parte de una expre sion declarativa es una

interroqoci on, 0 10 que es 10 mismo, un problema.

Si se considera I problema antes enunciado, es foci I aceptar

que se Ie puede dar el siguiente giro declarativo :

"La c1ase de los enteros cuyos cuadrados disminuidos del

quintuple y aumentados de sei s dan cero, es igual a ", que con oportu-

nos siml:.olos toma la forma mas concisa :

11-

"(x till X es un Et, is,x2.- 5x + 6 = 0) = "

Sin mas ejemplos se puede generalizar y afirmar que un proble-

ma es una igualdad a 10 cual Ie falta el segundo miembro, con 10 cualse ha contestadoa Ia pri mera pregunta.

L a anterior afirmaci6n contiene impllcitamente 10 respuesta a

10 segundo pregunta. En efecto, si un problema es una igualdad a 10

cual Ie falta el segundo miembro, entonces un problema es un s irnbo lo

incompleto y como tal impele 01 hombre a completarlo resolviendolo.

Finalmente, se puede contestar a 10 tercera pregunta afirman-do que un problema se resuelve encontrando el segundo miembro de 10

igualdad de 10 cual el problema es part.e, y esta se consigue transfor-

mando el primer miembro usanda las reglas de transformaci6n que 10 16-gica y 10 rncterndti co nos proporcionan.

Vamos a aclarar esta tercera afirmaci6n "resolviendo" paso

a paso el problema antes enunciado :

(x tl"" x es un Et, is, 0 = x2 - 5x + 6) = (x -tl" x es un Et,.

is, 0 = (x - 2) (x - 3)) = (x tl", x es un Et, is" 0=x-2, ed, 0--

= x-3) =

= (x tl", x es un Et, is" x es un ig 2, ed, x es un ig 3) =

(x tl ,,, x es un Et, is" x es un ({ 2 \ , ed, { s] )) =

(x tl '" x es un Et, is" x es un { 2, 3} ) =

= (x tl x es un (Et is {2,3}))= Et ist2,3} = f 2, 3}

Es decir,

(x tl" x esun Et, is, 0 = x'2-5x + 6) =t2,3}, cue e s !c

respuesta deseada.

Parece conveniente mostrar 10 resoluci6n de un problema me-

nos simple que el precedente :

"Encontrar 10 intersecci6n de 10 circunferencia Cr y de 10

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hiperbo lo Hp cuyas ecuaciones con respecto a un referencial carte-

siano ortogonal estrin dadas respectivamente por 0 = xl + y 2 - 25 yO - x2 2 7"- - y - •

Con el sistema de s irnbolo s ya usado se puede dar al problemaprecedente Ia forma :

Cr is Hp = ( (x, y) tl,,(x,y) es un RI2. is, 0 = xl + yl _ 25)is,

( (x, y) -r.. (x, y) es un RI~ is, o = 2 2 7), x - y -= ( (x , y) tl" (x , y) R11. is, o = xl + 2. - 25, is,es un , y

0 = x 2 _ 2- 7 )y -= ( (x , y) tl .. (x , y) ) es un RI" is, x2 = 16, is, ; = 9),

= ( (x, y) tl" (x , y) es un RI1 is, x = ! 4, is, y =±3),

= ( (x y y) tl"" (x,y) es un Rl1 is "' x =-4, ed, x =,

= + 4" is" Y = - 3, ed, y = + 3 )

= ((x, y) tl "" (x,y) es un Ril, is/II x =-4, is, y=-3I1edll,

x = -+4, is, y = + 3 11 ed 1/ x = - 4, is y = -+ 3" ed " x =

=44, is, y =+3)

= ( (x,y) ti,,, (x,y) es un Ril, is" (x.y) = (-4,-3), ed, (x,y)=

(-4,+3), ed, (x, y) = (.. 4,-3), ed, (x, y = (+4,+3) )

= ((x,y) tl", (x,y) es un RI~ is" (x,y)es un (ig (-4,-3), ed,

ig (-4,+3), ed, ig (~4,~3), ed, ig (44, +3) ) )

= ((x,y) tl", (x,y) es un RI1,is, (x,y) es un {(-4,-3),

(+4,-3), (-4,+3), f+4,-+3)})

= ((x,y) tl (x,y) es un (RIZ,iS{_4,_3), (-4, 3), (+4,-3), (+4,+3)}))

= RI\ is 1(-4,-3), (-4, ....3),( ...4,-3), ("'4,+3)

= {(-4, .. 3), (-4,-3), (+4,-3), (+4,+-3)}.

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Es decir,

Cr is Hp = l(-4,-3), (-4,+3), (+4,-3),(+4,-+3)),

que es la respuesta deseada.

L1STA DE LOS SIMBOLOS ESPECIALES UTiLIZADOS

Et Conjunto de los numero s enteros.

tl Tal que

is Intersecci6n de conjuntos.

ed Reunion de conjuntos.

es un ig : Es un igual a.

RI Conjunto de todas las parejas de ruimerc s reales.

(Recibido en agosto, 1963)

,

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