plasticidad

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

PlasticitàPlasticitàPlasticitàPlasticità

Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale e GeotecnicaCorso di “Tecnica delle Costruzioni” 1

CAP. 2 – Plasticità

PLASTICITA’PLASTICITA’

1. DEFINIZIONI

σLa teoria dell’elasticità si riferisce a comportamentielasto-fragili dei materiali.

LEGAME σ - ε LINEARE

σσu A

LEGAME σ - ε LINEARE

εεu

Nei materiali “da costruzione” il legame tensionale σ - ε assume forma sensibilmente differente daquella corrispondente a materiali elasto-fragili (vetro)

E’ presente una zona del diagramma in cui letensioni sono “sensibilmente” costanti al crescered ll d f i i

curve reali σ

delle deformazioni.

Tale comportamento si definisce elasto-plasticoschematizzazione di calcolo

σu


εεu εro

La presenza di comportamento elasto-plastico nel materiale determina una chiara insufficienza della teorialineare nella valutazione della sicurezza ultima in particolare di:


lineare nella valutazione della sicurezza ultima, in particolare di:- azioni indirette- autotensioni- concentrazioni di tensione- concentrazioni di tensione

Occorre quindi tener conto del comportamento reale dei materiali eventualmente tramite una opportunaschematizzazione di calcolo.

La corretta conoscenza della sicurezza ultima implica la valutazione del comportamento della struttura finoal carico di collasso, quindi in presenza di non-linearità della risposta (non-linearità meccanica).

Si può ad esempio analizzare il comportamento a rottura di una struttura composta da materiale elasto-fragile ed elasto-plastico.

A

Sez. A-A

l

A

hh

bMi


Mi


a) MATERIALE ELASTO-FRAGILE

12q M

2

il

=Diagramma

t i l l l

σuσσu

24q M

2

ul

=tensionale locale

σu

h

εεu

Il collasso si verifica per σmax = σu, pertanto nella sezione di incastro.

w2

2

u2

2

2

2

u σhb2 q hb2

q hb

612q

WM σ ⋅

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅==

lll da cui CARICO DI COLLASSO

σu

b) MATERIALE ELASTO-PLASTICO

Il diagramma La sezioneσuσuσ Il diagramma

tensionale si modifica quando si entra in zona non lineare del

La sezione completamente plasticizzata ha comportamento di cerniera con

h/2hσu

Se ci fosse una completa plasticizzazione ( εr→ ∞ ) il diagramma tensionale finale diventerebbe

non lineare del diagramma σ - ε

di cerniera con attrito.

σuσuεεu εr


p p ( r ) gbirettangolo, con braccio di leva della coppia interna pari ad h/2


Nella struttura a collasso: mi M M =q1q 22 llMi Quindi:16q

21

8q M M mi

ll=⋅==

Insorge una ridistribuzione rispetto ai momenti elastici

Mi

Mm

16q

4hb

2h

2hb M

2u

uul

=⋅⋅

=⋅⋅

⋅=σσ u2

2

u2

2u

uhb4 q 16

4hb q σσ

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=ll

Il carico di collasso della struttura a materiale elasto-plastico è DOPPIO di quello della struttura amateriale elasto-fragile.

In termini di deformazione, ovviamente, il comportamento è molto differente:In termini di deformazione, ovviamente, il comportamento è molto differente:

- regime elasto-fragile:

regime elasto plastico:

IE32M

IE32

12q

IE384q δ

2u

224

⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅

=⋅⋅

⋅=

llll

Mq5δ2

p4 ⋅⋅ ll- regime elasto-plastico:

IE8-

IEq

384 δ p

⋅⋅⋅⋅=

Mp Mp

2P

uM16 q

l⋅

=

M12 ⋅ Ovviamente alla formazione della cerniera di

q

2PM12 q

l⋅

=Ovviamente alla formazione della cerniera dimezzeria la struttura si trasforma in uncinematismo e collassa.


δδel δp


2. CERNIERA PLASTICA

Di l i i d

2.1 ANALISI DI SEZIONE RETTANGOLARE METALLICA

σDiagramma reale acciaio da costruzione metallica

εi = deformazione di incrudimentoσsy

A B

εi / εsy ≅ 10

εsy εi ε

La risposta del tronco elementare di trave soggetto a flettente può essere così rappresentata:σsyεsyl

l


Alla formazione della cerniera plastica si raggiunge il momento plastico.


Imponendo le condizioni di equilibrio della sezione (deformazioni indeterminate) risulta:−σsy

dW

dW W1

x

21 ΩΩΩ 0N +==

0 dΩ σΩ

=∫ 0 dΩ σ dΩ σ21 ΩΩ

=+ ∫∫

∫∫

dΩ

dΩ

Ω1

dW

W2

y

2121ΩsyΩsy ΩΩ 0ΩΩ- 0 dΩσ dΩσ-21

==+=+ ∫∫+σsy

dΩ

Ω2

L’asse neutro plastico divide la sezione in due aree uguali.

L’asse neutro elastico divide la sezione in aree con momenti statici uguali.

Ne consegue che in generale asse neutro elastico ed asse neutro plastico sono distintiNe consegue che, in generale, asse neutro elastico ed asse neutro plastico sono distinti.

−σsy

PLASTICO( )21syΩ

) 0 (

syΩ

) 0 (

syΩp SS σ dΩy σ dΩy σ- dΩy σ M21

+⋅=+== ∫∫∫><

Ω1ELASTICO

Posto 21 SSZ += MODULO PLASTICO DELLA SEZIONE

Risulta / ZM σ psy =

1

Ω2

+σsy

y

psy

Elasticità: con maxelel

)(σ

yJ W WM σsy

==

Plasticità: con SSZ/ ZMσ +==

FIBRE ESTREME ALLO SNERVAMENTOTUTTE LE FIBRE ALLO


Plasticità: con 21psy SS Z / ZMσ +== SNERVAMENTO


• Si definisce coefficiente di forma il rapportoZ 1ϕ = >1Wϕ = >

Sezione rettangolare

Sezione doppio T 1 12 1 16ϕ ÷

2 2 2

2

b h b h h b h b h 6ZW Z 2 1,5W6 2 4 4 4 b hϕ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ ⋅ = ⇒ = = ⋅ =⋅

Sezione doppio T

Sezione circolare

Sezione triangolare

1,12 1,16ϕ = ÷

2,37ϕ =

1,7ϕ =

- ϕ elevato → sezione con molte risorse plastiche (poco sfruttata in campo elastico)

- ϕ ridotto → sezione con poche risorse plastiche (molto sfruttata in campo elastico)

Nel caso si utilizzi materiale con differenti tensioni di snervamento a trazione e compressione

dovrà comunque risultare N = 0, quindi l’asse neutro plastico dovrà individuare aree in rapporto

−+ ≠ sysy σσ

inverso a quello delle tensioni.In SEZIONE RETTANGOLARE: Nel CEMENTO ARMATO:

σsy

σA103,5ε ;σσ 0;σ 3

csysyc ⋅=== −−++σcr

σcr b xb

y2

y1

2

1sy

2sy1sy

yy

σσ

ybσybσ

=

⋅⋅=⋅⋅

−

+

−+

( )2xhσAM

bσσA

xσAxbσ

sysp

cr

syssyscr

−⋅⋅=⇒⋅

⋅=⇒⋅=⋅⋅

hAs σsy

x

Esistono però legami costitutivi più


σsyb2sy yσ

As σsy

Esistono però legami costitutivi piùraffinati per il calcestruzzo.


2.2 COMPORTAMENTO DI TRAVE ISOSTATICA DURANTE LA PLASTICIZZAZIONE DI UNA ZONA (CIOE’ FORMAZIONE DI UNA CERNIERA PLASTICA)

P

Nella zona a forte plasticizzazione tutto avviene come

UNA ZONA (CIOE FORMAZIONE DI UNA CERNIERA PLASTICA)

l / 2 l / 2

Nella zona a forte plasticizzazione tutto avviene comese vi fosse concentrata una cerniera che, dotata diattrito:

per M < M rimane rigidaMOMENTO - per M < Mp rimane rigida

- per M = Mp mantiene il valore del momento plasticoe consente la rotazione relativa dei due tronchi ditrave1/r lim el

MOMENTO

P1/4trave.1/r lim. el.

CURVATURE

tratto “pressoché” rettilineozona a

forte curvatura


forte curvatura


2.3 PRESENZA DEL TAGLIO ASSIEME ALLA FLESSIONE

Per le strutture metalliche si considera una condizione di snervamento puntuale in termini di componentinormali e tangenziali di tensione:

2sy

222 στασ =⋅+

(TRESCA) oppure (VON MISES)

La presa in conto del taglio è significativa solo per sezioni con ϕ poco maggiore di 1 (IPE, HE, …) epuò essere valutata imponendo che il collasso avvenga per sole σ nelle piattabande e per

3α 2α ==

può essere valutata imponendo che il collasso avvenga per sole σ nelle piattabande e percombinazione di σ e τ nelle anime.

Si rileva peraltro che qualora il taglio sia sufficientemente basso da comportare tensioni tangenzialinon molto prossime al limite σ / α l’influenza del taglio sulla valutazione del momento plastico ènon molto prossime al limite σsy / α, l influenza del taglio sulla valutazione del momento plastico èdel tutto trascurabile.

Non è ancora stato completamente definito l’effetto del taglio sul momento plastico nel caso dellestrutture in cemento armatostrutture in cemento armato.



3. CALCOLO DEL CARICO DI COLLASSO IN STRUTTURE IPERSTATICHE

q crescente progressivamente fino al collasso

Si forma la prima cerniera plastica sull’appoggio centrale e per gli ulteriori incrementi del carico, lastruttura è ISOSTATICA.

La formazione della successiva cerniera plastica, trasformando la struttura in un meccanismo, comportail collasso della stessa.

• In generale: in una struttura n volte iperstatica occorrono n+1 cerniere plastiche per raggiungere ilcollasso.

Esistono però casi particolari:Esistono però casi particolari:

- COLLASSO PARZIALE

23

n = 62

1

4

meccanismo!

n 6

Attese 7 cerniere plastiche.

A collasso con 4 cerniere plastiche per la formazione di uni i i l


1 cinematismo parziale.


- COLLASSO PIU’ CHE COMPLETOn = 1n = 1

Attese 2 cerniere plastiche.

A collasso con 3 cerniere plastiche per la

12a 2b

formazione contemporanea delle 2a e 2b (casoteorico).

• In definitiva la presenza della plasticità induce due ordini di benefici:

l l

In definitiva la presenza della plasticità induce due ordini di benefici:

- sulla sezione

- sulla struttura: solo se intervengono ridistribuzioni dei momenti elastici.

( )ϕ 1M / M elp >

Esempio:

Le 3 cerniere plastiche si formano nello stesso istante,P·l / 8P p

quindi non ci sono ridistribuzioni dei momentielastici.

P·l / 8

• Il principio di sovrapposizione degli effetti NON è applicabile in quanto il sistema non è Hookiano.Non è di conseguenza possibile utilizzare le linee di influenza.


No è d co segue a poss b e u a e e ee d ue a.


• Per il calcolo semplificato del carico di collasso si assumono le seguenti ipotesi semplificative:Per il calcolo semplificato del carico di collasso si assumono le seguenti ipotesi semplificative:

1. in ogni sezione è possibile raggiungere un momento plastico Mp= σsy·Z che è anche il massimomomento raggiungibile;

2. si suppongono le cerniere plastiche concentrate in una singola sezione anche se, di fatto, sonodistribuite su un tratto finito di struttura;

3. il materiale rimane duttile fino al collasso;

4. il momento plastico non è influenzato dalla presenza di N e T e di forze concentrate agenti nellasezione in cui si raggiunge;

5. assenza di fenomeni di instabilità locale e di insieme fino al raggiungimento del carico di collasso;5. assenza di fenomeni di instabilità locale e di insieme fino al raggiungimento del carico di collasso;

6. carichi crescenti tutti proporzionalmente;

7. deformazioni “a collasso” ininfluenti sulla geometria delle azioni;

8. connessioni strutturali in grado di trasmettere completamente il momento plastico.

L’i i 4 è i ddi f di i f i l li i fil i hé i lL’ipotesi 4 non è in genere soddisfatta; occorre disporre rinforzi locali nei profilati perché in generalelo sia.

Ciò vale anche in parte per l’ipotesi 5.



4. TEOREMI FONDAMENTALI DELL’ANALISI LIMITE

TEOREMASTATICO (Greenberg) carico di collasso approssimato per difetto

CINEMATICO (Prager) carico di collasso approssimato per eccesso

4.1 RICHIAMO PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Struttura deformabile in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze esterne e sottoposta ad un sistemadi spostamenti virtuali (congruenti e compatibili): il lavoro delle forze esterne L deve eguagliare ildi spostamenti virtuali (congruenti e compatibili): il lavoro delle forze esterne Le deve eguagliare illavoro delle sollecitazioni interne Li

ie LL =

Per una struttura piana composta di travi e caricata nel suo piano risulta:

∑ ⋅=k

iie δP Lk = numero di forze Pi

δ t d P d ll t t=1i δi = componente secondo Pi dello spostamentodel suo punto di applicazione

Il lavoro è compiuto dalle caratteristiche di sollecitazione M, N, T, associate agli spostamenti ad esse corrispondenticorrispondenti.

Riferendoci al tronco elementare di lunghezza ds ed integrando lungo tutto il sistema, si ottiene:

( )i N ds T dy M dy= ⋅Δ + ⋅ + ⋅Δ∫L


( )i SISTEMA N ds T dy M dyΔ + + Δ∫L


Al collasso i può ammettere che le aste siano composte da tronchi rigidi connessi da cerniere plastichenelle quali si concentra il lavoro interno Ne consegue:nelle quali si concentra il lavoro interno. Ne consegue:

- CARICHI CONCENTRATI ∑∑==

⋅=⋅m

1jjj

k

1iii M δP ϑ

∫m

m = numero di cerniere plastiche

- CARICHI DISTRIBUITI

Si applica il P. L. V. ad un caso semplice in cui le condizioni di simmetria strutturale e di carico consentono di individuare facilmente la posizione delle cerniere plastiche.

∑∫=

⋅=⋅⋅1j

jjM ϑδSIST

dxp

p p

4p2

42p

2

eϑϑ ⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅

=lll

L

ϑϑϑϑ ⋅⋅=⋅+⋅+⋅= Mp4Mp2MpMpLl

p

ϑϑϑϑ =++= Mp4Mp2MpMpiL

ie LL =2 Mp16pMp4p l ⋅

=⋅⋅=⋅⋅ ϑϑ

l

p·l/2 p·l/2

·l/42p Mp4

4 l== ϑ

Non è però sempre così agevole la determinazione della posizione delle cerniere plastiche!I termini del lavoro interno sono additivi in quanto in tutte le cerniere ha luogo lavoro interno positivo.

2

q g pL’angolo ϑ, individuante la configurazione ultima, è sufficientemente piccolo da poterlo confondere conla sua tangente.Operando su tronchi rigidi, il lavoro del carico distribuito può essere sostituito con quello del suo


Operando su tronchi rigidi, il lavoro del carico distribuito può essere sostituito con quello del suorisultante.


4.2 TEOREMA STATICO (1° TEOREMA DELL’ANALISI LIMITE)

In un sistema n volte iperstatico indichiamo con λ il moltiplicatore dei carichi (λ=1 carichi diesercizio)

Partendo da λ=1 scegliamo ARBITRARIAMENTE una distribuzione di azioni interne che equilibranole forze esterne (configurazione equilibrata ma non congruente) ed incrementiamo λ fino al valore λ1per il quale si plasticizza una sezione.

λ1 rappresenta il valore limite di λ per la distribuzione assegnata di sollecitazioni.

Introduciamo ora uno stato di autensione che scarichi la sezione plasticizzata ed incrementiamoulteriormente i carichi fino al moltiplicatore λ = λ 2 per il quale si raggiunge una nuovaplasticizzazione (λ 2> λ 1).

Si introduce un nuovo stato di autensione e si ripete la procedura fino ad introdurre n+1 stati diautotensione e raggiungere il moltiplicatore λ n+1.

λ +1 è il moltiplicatore critico del carico ed il sistema si trasforma in un meccanismoλ n+1 è il moltiplicatore critico del carico ed il sistema si trasforma in un meccanismo.

Potendosi utilizzare differenti successioni di stati di autensione, le corrispondenti differentisuccessioni λ i non conducono tutte allo stesso valore finale di λ n+1.

i di h il ll l ddi i d i ϑ δ il l ll i l i hSi dimostra che il collasso reale è contraddistinto da parametri ϑi, δj; il lavoro nelle cerniere plastichevale:

∑+

⋅=1n

1iii

*i Mp ϑL corrisponde a λ *


=1i


Se si considera un moltiplicatore λ < λ *, in alcune sezioni non si raggiungerà Mp (Mi<Mp) ed il segno di Mi non sarà concorde a quello della rotazione Risulta allora:di Mi non sarà concorde a quello della rotazione. Risulta allora:

∑∑+

+==

⋅+⋅=1n

1kiii

k

1iiii M Mp ϑϑL corrisponde a λ < λ *

Ma anche può essere espresso come somma di due termini:*iLMa anche può essere espresso come somma di due termini:

∑∑+

+==

⋅+⋅=1n

1kiii

k

1iii

*i Mp Mp ϑϑL

i

Poiché Mpi>Mii i*i LL >pi i

Applicando il Principio dei lavori virtuali allo stato limite ultimo si ha:ii

∑=

⋅=m

1jjj

**i δ Pλ L m = numero di forze

∑=

=

⋅=m

1jjji

1j

δ Pλ L

* *E poiché risulta:i*i LL > λλ* >

Il carico limite reale è il maggiore tra quelli che soddisfano l’equilibrio senza violare le condizioni diplasticitàplasticità.

Il carico limite è il maggiore tra quelli staticamente ammissibili.

Staticamente ammissibile è un diagramma di momento, ottenuto da condizioni di equilibrio dellah ddi fi i i i l di i


struttura, che soddisfi in ogni sezione la condizione .MpM ≤


ESEMPIO

l l

P

ll Mp4P Mp

4P

L⋅

=⇒=⋅

l l

l4

LP Mp 2 Mp P4 2

ll

⋅ ⋅= ⇒ =

P·l/8

l /

P·l/44

4 2 l

l Mp6MpP

P·l/4P·l·3/8

Mp/2 Mp

ll Mp6P Mp

2Mp

4P *

L⋅

=⇒=−⋅

I i d d l i i il il t l ti ll di i i t ti

P·l/4 Mp = P·l/6

In corrispondenza del carico occorre inviluppare il momento relativo alla condizione isostatica pergarantire l’equilibrio.

Il valore limite PL* di P si raggiunge con due sezioni plasticizzate ed è il massimo tra quelli esaminati.


Utile è il riferimento al diagramma di momento elastico.


4.3 TEOREMA CINEMATICO (2° TEOREMA DELL’ANALISI LIMITE)Plasticizzando un numero sufficiente di sezioni (n+1 cerniere plastiche) una struttura n volte iperstaticaPlasticizzando un numero sufficiente di sezioni (n+1 cerniere plastiche) una struttura n volte iperstaticapuò essere trasformata in un meccanismo → meccanismo CINEMATICAMENTE AMMISSIBILE (1grado di libertà).Si può allora trovare il carico che lo rende equilibrato, a mezzo del P.L.V. → caricop qCINEMATICAMENTE AMMISSIBILE.Il carico limite è il MINORE tra quelli cinematicamente ammissibili, perchè ogni carico ad essosuperiore corrisponde ad un meccanismo di collasso differente, ottenibile solo con un RINFORZO dellat ttstruttura.

Il Lemma di Feinber enuncia che se si rinforza un sistema iperstatico (senza introdurre altriindebolimenti, si rinforza almeno una sezione) il carico limite non può diminuire.Il carico limite è il minore tra quelli ottenibili disponendo le cerniere in posizioni arbitrarie e calcolandoIl carico limite è il minore tra quelli ottenibili disponendo le cerniere in posizioni arbitrarie e calcolandoil carico corrispondente al meccanismo così realizzato.ESEMPIO

P

ll Mp6P Mp2Mp2

P *L

⋅=⇒⋅+⋅⋅=⋅⋅ ϑϑϑ

l l

P

P

2

2

2 ll Mp8P 2Mp2Mp2

P L⋅

=⇒⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ ϑϑϑ

Prevale il 1° meccanismo che fornisce un valore di PL* coincidente con


2 Lil precedente.


4.4 TEOREMA MISTO

Se un carico P è cinematicamente e staticamente ammissibile è il vero carico limite.STATICAMENTE P ≤ PL

CINEMATICAMENTE P ≥ PLP = PL

Si consideri in pratica una struttura per la quale si abbia una distribuzione staticamente ammissibile deiflettenti, tale che sia M = Mp in un numero di sezioni sufficiente alla formazione di un meccanismo incui ci siano rotazioni nelle cerniere plastiche; se la rotazione in ogni cerniera ha segno concorde a quellod l il i id è ll di ll ( i ibili à i i )del momento il carico considerato è quello di collasso (ammissibilità cinematica).Al contrario, trovato un meccanismo di collasso si costruisce il diagramma di momento corrispondente; se esso è ammissibile (M ≤ Mp) la soluzione è corretta.Attenzione ai segni:

V

l

h

H

h

22

1

2

1

M

Corretto:

Errato:

Errato Corretto


1M


ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL METODO CINEMATICO

individuare un possibile meccanismo di collasso

determinare il corrispondente carico limite con il P.L.V.

verificare che il diagramma di momento ultimo risulti staticamente ammissibile

MODALITA’OPERATIVE

verificare che il diagramma di momento ultimo risulti staticamente ammissibile

P

2Mp

23MpMp

3P :P.L.V. l

⋅+⋅⋅+⋅=⋅⋅ϑϑϑϑ

/2

23 ll/3

Mp9P

L l⋅

=

⇓

·l/33

2

/2

P2P2M :ISOSTATICO MOMENTO ll

l

⋅⋅=⋅⋅=

Mp 2Mp Mp

PMpP2Mp2

933

ll ⋅⇒

⇓

Mp 9Mp P

9Mp2 l =⇒⋅⋅=⋅

STATICAMENTE AMMISSIBILE

Il l di P è ll di ll


Il valore di PL è quello vero di collasso.


PP

2 43 PP

PP

PP

a b c

l

h

3

22

ll++ Mp4MpMpMpPa) ϑϑϑϑϑ

1 5

ll

l

=⋅

⇒⋅

=

⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅=⋅⋅

8Mp

P Mp8P

Mp4MpMpMp2

P a)

aL,aL,

ϑϑϑϑϑ

llh

l

⋅=⋅

⇒⋅

=

⋅⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⋅

4P

Mp4P

Mp4 MpMpMpMpP b)Mp

bL,bL

ϑϑϑϑϑϑ

lPh

hh

⋅⋅=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅ Mp6 )22(Mp2

P c)

MpbL,

ϑϑϑϑϑϑϑ

lh

llh ⋅

+=

⋅⇒

+

⋅= 21

12Mp

P

2

Mp6P cL,cL,



b cP iL, l⋅

6

8a b c

l=

⋅8

Pa) aL,

Mp

4

6

hll⋅=

⋅

=

4Mp

P b)

8Mp

a)

bL,

0

2

lh

lh

⋅+

=⋅

21

12Mp

P c)

Mp

cL,

l0

0 1 2 3 4lh

lhl Mp4P b"" meccanismo 1 L

⋅=⇒<

lhl

lh

Mp6

c"" e b"" meccanismo 1

⋅

=

l

lhhl

Mp8Pa""meccanismo4

2

Mp6P c"" meccanismo 41 L

⋅⇒>

+

⋅=⇒<<


lhP a meccanismo 4 L =⇒>


VERIFICA DELL’AMMISSIBILITA’ STATICA NEL CASO l/h = 2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅= l

Mp6PL

Occorre tracciare il diagramma di momento del portale. Nelle sezioni 1/3/4/5 è presente una cerniera plastica e quindi il momento il momento plastico. E’ però incognito il momento nella sezione 2, da ricavare con l’ausilio della statica. Si può applicare il P.L.V. al meccanismo di trave della zona 2/3/4.

⎠⎝

l

Mp6

2P Mp2MpM L2

⇓

⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅

l

lϑϑϑϑ

2 34x Mp

MpPPP MpP

02

Mp6Mp3M2

=⋅

=⋅

−⋅

=⇒+=⋅

=⋅⋅

+⋅−=

lllxxl

llMp

21264p

4

STATICAMENTE AMMISSIBILE

1 5Mp Mp


CAP. 2 – PlasticitàCAP. 2 – Plasticità

ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL METODO STATICO

scegliere le incognite iperstatichescegliere le incognite iperstatiche

tracciare il diagramma di momento della struttura principale M0

tracciare il diagramma di momento dovuto alla iperstatiche (incognite) agenti sulla struttura principale M1

sommare i due diagrammi scegliendo il valore delle iperstatiche in modo che risulti:

MODALITA’OPERATIVE

M = |Mp| in un numero di sezioni sufficiente a formare

i di ll

M ≤ |Mp| in tutte le sezioni

disegnare il meccanismo di collasso ipotizzato e controllare che esista concordanza di segno tra momenti plastici e rotazioni reali

un meccanismo di collasso



HP

HP

X h H h + X h

M0 + M1h

Hl

H X·h H·h + X·h

Al collasso il portale si trasforma in n

0 1X H

P l/4 Al collasso il portale si trasforma in un meccanismo con due sole cerniere plastiche. Sono possibili due sole condizioni di M1M0

2 3 4P·l/4

H·h2 3 4

X·h

pintervento delle cerniere plastiche da quanto emerge dal diagramma M0+M1.

1 5 1 5

Traversa con modulo Traversa e montanti

HP

H P432 2 4

plastico maggiore dei montanti (cerniere ad estremo montante)

Traversa e montanti con lo stesso modulo plastico.1 5 1 5

3



Nei due casi occorre modificare M1 in modo che sovrapponendolo ad M0 le due cerniere si formino nelle posizioni voluteposizioni volute.

Mp=H·h/2H·h

MpP·l/4

M0

Mfinale

M(x)

Quando il numero delle incognite iperstatiche aumenta non è possibile procedere con metodi manualiQuando il numero delle incognite iperstatiche aumenta non è possibile procedere con metodi manuali.

Operando sulla struttura principale ed evidenziate le n incognite iperstatiche risulta:

∑ ⋅+⋅=n

jj0 XMλMM ∑=

+j

jj1

0 XMλMM

E, con il teorema statico, in ogni sezione deve risultare:

MpXMλMMp-1

0 ≤⋅+⋅≤ ∑=

n

jjj



In genere occorre indagare solo le sezioni in cui (carichi concentrati ed elementi rettilinei) risulti:

- presenza di carico concentrato

- appartenenza ad un nodo strutturale

- discontinuità del valore dei momenti limitediscontinuità del valore dei momenti limite

Per una di tali sezioni (sezione i-esima) è quindi:

∑ ⋅+⋅=n

jijii 0 XMλMM ∑=j

jj1

Dove Mij è il momento nella sezione i-esima per effetto di Xj.

Il moltiplicatore del vero carico di collasso λ* coincide con il massimo che la funzione linearep

z = λ

può assumere nel rispetto della disuguaglianzan

MpXMλMMp-1

0 ≤⋅+⋅≤ ∑=

n

jjiji

Si ricade quindi in un problema di programmazione lineare che comporta l’ottimizzazione della funzione li λ i li i i d ll di lilineare z = λ con zn vincoli imposti dalla disuguaglianza.



15 15 15 15

ESEMPIO15 t 15 t 15 15 X

M1 M2

M3

3 m 3 m 3 m

⎪⎧ ⋅= x

3-45M1 λ⎪⎧ +≤⋅≤ 603-4560- xλ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

⋅⋅=

x

x

-M3

2-45M345M

3

2

1

λ

λ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+≤≤

+≤⋅⋅≤

+≤≤

60-60-

6032-4560-

6034560

x

xλ

λSi determina il Max di

λ nel rispetto di:

⎪⎩xM3 ⎪⎩

+≤≤ 6060 x

2

2,5 l Le disuguaglianze descrivono il dominio ABCDEF nel piano λ, x.Bz = l = 1,78

0

0,5

1

1,5

x [t·m]

Il massimo di λ (λ *) si ottiene quando la retta z = λ passa per il vertice B.

Quindi la soluzione ottimale corrisponde ai valori delle

AF

2

-1,5

-1

-0,5-100 -50 0 50 100

Quindi la soluzione ottimale corrisponde ai valori delle variabili:

λ = λ *= 1,78

C

DE


-2 x = 60 t·mE


Pertanto risulta:

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅

⋅=−⋅=⋅=

mt406021 7845245M

m t603601,78453-45M1

x

x

λ

λ

⎪⎪⎩

⎨

⋅−==

⋅=−⋅=⋅=

m t60 -M

mt4036021,78453

2-45M

3

2

x

xλ

i l i di llMeccanismo plastico di collasso


plasticidad

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