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PRUEBAS EBAU FÍSICA
Juan P. Campillo Ni olás
19 de septiembre de 2020
1
COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
1. Gravita ión.
1. Cal ula razonadamente la velo idad de es ape desde la super� ie de un planeta uyo radio es 2 ve es
el de la Tierra y su masa es 8 ve es la de la Tierra. Dato: velo idad de es ape desde la super� ie de la
Tierra, 11,2 km·s−1
Respuesta:
La velo idad de es ape para la Tierra tiene la expresión:
v =
√
2GM
r= 11200m · s−1
Mientras que para el otro planeta es:
vp =
√
2G · 8M2r
Dividiendo miembro a miembro:
11200
vp=
√
2GM
r√
2G · 8M2r
=
√
1
8−→ vp =
11200√
1
8
= 31768m · s−1
2. Un esquiador puede utilizar dos rutas diferentes para des ender entre un punto ini ial y otro �nal. La
ruta 1 es re tilínea y la 2 es sinuosa y presenta ambios de pendiente. ¾Es distinto el trabajo debido a
la fuerza gravitatoria sobre el esquiador según el amino elegido? Justi� a la respuesta
Respuesta:
El trabajo debido a la fuerza gravitatoria es el mismo, debido a que ésta es una fuerza onservativa y
el trabajo no depende del amino seguido, sino de las posi iones ini ial y �nal. Esta a�rma ión no sería
válida en aso de existir otras fuerzas no onservativas (por ejemplo, rozamiento).
3. Dedu e la expresión de la velo idad de un planeta en órbita ir ular alrededor del Sol, en fun ión de
la masa del Sol y del radio de la órbita. Suponiendo que Marte sigue una órbita ir ular, on un radio
de 2,3 · 10
8km , a una velo idad = 8,7 · 10
4km/h, al ula de forma razonada la masa del Sol. Dato:
onstante de gravita ión universal, = 6,67 � 10
−11N ·m2 · kg−2
Respuesta:
a) La velo idad de una órbita se puede dedu ir del Segundo Prin ipio de la Dinámi a:
F =GMSm
r2= ma =
mv2
rde donde : v =
√
GMS
r
Apli ando la expresión anterior, tendremos:
2, 42 · 104 =√
6, 67 · 10−11MS
2, 3 · 1011
De donde, despejando, obtenemos: MS = 2·1030 kg
4. Determina razonadamente la rela ión gM/gT , donde gM es la intensidad del ampo gravitatorio en la
super� ie de Marte y gT la de la Tierra, sabiendo que la masa de Marte es 0,11 ve es la de la Tierra y
que su radio es 0,53 ve es el terrestre. Un uerpo que en la Tierra pesa 2,6 N, ¾ uánto pesará en Marte?
Respuesta:
2
COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
El o iente entre los valores de g en la super� ie de Marte y de la Tierra es:
gMgT
=
G · 0, 11MT
(0, 53 · rT )2G ·MT
r2T
=0, 11
0, 532= 0, 39
El peso en Marte será, pues:
pM = 2, 6 · 0, 39 ≃ 1N
5. Dedu e razonadamente la expresión que permite al ular el radio de una órbita ir ular des rita por un
planeta alrededor de una estrella de masa M, ono iendo la velo idad orbital del planeta. Supongamos
dos planetas uyas velo idades orbitales alrededor de la misma estrella son v1 y v2, siendo v1> v2 .
¾Qué planeta tiene el radio orbital mayor? Razona la respuesta.
Respuesta:
Para al ular la velo idad orbital de un planeta, igualamos la fuerza de atra ión gravitatoria al produ to
de la masa por la a elera ión entrípeta del planeta:
GMm
r2=
mv2
rde donde se obtiene : v =
√
GM
r
Y a partir de esta expresión:
r =GM
v2
Como onse uen ia de lo anterior, aquel planeta que tenga mayor velo idad orbital tendrá menor radio
de órbita.
6. Tau Ceti es una estrella que, omo nuestro Sol, tiene un sistema planetario. La masa de ese sistema solar
es 0,7 ve es la masa del nuestro. Considerando ambos sistemas omo dos masas puntuales separadas una
distan ia d, al ula el punto donde se anula el ampo gravitatorio originado ex lusivamente por di has
masas. Cal ula primero la posi ión del punto en fun ión de d y realiza después el ál ulo numéri o en
km sabiendo que d = 12 años-luz. Dato: velo idad de la luz en el va ío, 3 10
8m/s.
Respuesta:
Sabiendo que la masa del sistema solar de Tau Ceti es 0,7 ve es la de nuestro sistema solar, existirá un
punto situado a una distan ia x del sistema de Tau Ceti (y, por tanto, a una distan ia d−x de nuestro
sistema solar, para la ual se umpla la igualdad:
G · 0, 7Mx2
=GM
(d− x)2
√
(
x
d− x
)2
=√
0, 7
Resolviendo esta e ua ión: x = 0,455 d. Sustituyendo los valores que nos da el enun iado:
x = 0, 455 · 365 · 86400 · 3 · 108 = 4, 30 · 1015m
7. Un planeta, de masa M 0,86 MT y radio un 4% mayor que el de la Tierra, orbita alrededor de la
estrella TRAPPIST-1. Cal ula: a) El peso de un astronauta en la super� ie del planeta si su peso en
la super� ie terrestre es de 800 N. b) La expresión de la velo idad de es ape del planeta. Realiza el
ál ulo numéri o sabiendo que la velo idad de es ape de la Tierra es de 11,2 km· s−1
Respuesta:
3
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a) El peso del astronauta en la super� ie terrestre y en la del planeta tienen los valores respe tivos:
800 =GMtm
r2tP =
G · 0, 86 ·Mtm
(1, 04 rt)2
Dividiendo miembro a miembro:
P
800=
0, 86
1, 042P = 636, 1N
b) Las velo idades de es ape del planeta y de la Tierra son, respe tivamente es:
v =
√
2G · 0, 86 ·Mt
1, 04rt11200 =
√
2GMt
rt
Dividiendo miembro a miembro:
v
11200=
√
0, 86
1, 04v = 10185m · s−1
8. Dedu e razonadamente la expresión que rela iona el periodo de una órbita ir ular on su radio. El
radio de la órbita terrestre es de 1,5 � 10
11m y el de la órbita de Urano es de 2,9 � 10
12m . Cal ula el
periodo orbital de Urano, suponiendo que la órbita de los planetas alrededor del Sol es ir ular.
Respuesta:
La velo idad orbital se obtiene al igualar la fuerza de atra ión gravitatoria al produ to de la masa
por la a elera ión entrípeta del uerpo que des ribe la órbita:
GMm
r2=
mv2
rv =
√
GM
r
A partir de la expresión de la velo idad orbital, igualamos ésta al o iente entre la longitud de la órbita,
supuesta omo una ir unferen ia, y el tiempo que el uerpo tarda en des ribirla (periodo):
v =
√
GM
r=
2πr
T
Despejando:
T2 =4π2r3
GM
El o iente entre los periodos de Urano y la Tierra alrededor del Sol es:
TU
1=
√
(2, 9 · 1012)3(1, 5 · 1011)3 TU = 85 anos terrestres
9. Sobre un uerpo sólo a túan fuerzas gravitatorias. Al trasladarse el uerpo entre dos puntos, A y B, su
energía poten ial gravitatoria aumenta en 2000 J . ¾Cuál es el valor del trabajo que realizan las fuerzas
onservativas que a túan sobre el uerpo? ¾En uál de los dos puntos su velo idad es mayor?
Respuesta:
a) El trabajo realizado será: W = −∆U = UA−UB = −2000 J b) Apli ando el prin ipio de onserva ión
de la energía:
UA + EcA = UB + EcB UA + EcA = UA + 2000 + EcB
Tendremos que EcB = EcA − 2000 , por lo que la velo idad será menor en el punto B.
4
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10. Un satélite arti� ial de la Tierra tiene una velo idad de 4,2 km/s en una determinada órbita ir ular.
Cal ula: a) Las expresiones del radio de la órbita y del periodo del movimiento, así omo sus valores
numéri os. b) La velo idad on la que debe lanzarse el satélite desde la super� ie terrestre para situarlo
en di ha órbita. Datos: onstante de gravita ión universal, G = 6,67 � 10
−11N ·m2 · kg−2; masa de la
Tierra, MT = 6 � 10
24kg; radio de la Tierra, RT = 6400 km
Respuesta:
a) La velo idad orbital es:
v =
√
GM
r=
√
6, 67 · 10−11 · 6 · 1024r
= 4200 r = 2, 27 · 107m
El periodo es:
T =2πr
v=
2π · 2, 27 · 1074200
= 33959 s
b) Apli ando el prin ipio de onserva ión de la energía::
−GMm
rt+
1
2mv2 − GMm
2r− 6, 67 · 10−11 · 6 · 1024
6, 4 · 106 +1
2v2 = −6, 67 · 10−11 · 6 · 1024
2 · 2, 27 · 107
Despejando: v = 10365 m· s−1
11. Expli a brevemente el on epto de velo idad de es ape de un planeta y dedu e su expresión en fun ión
del radio del planeta y de la a elera ión de la gravedad en su super� ie .
Respuesta:
La velo idad de es ape de un planeta es la mínima velo idad que debe omuni arse a un uerpo situado
en la super� ie de di ho planeta, para que es ape a su atra ión gravitatoria, es de ir, se aleje a una
distan ia in�nita. Apli ando el Prin ipio de Conserva ión de la Energía, tendremos:
−GMm
r+
1
2mv2 = 0 + 0 v =
√
2GM
R
Teniendo en uenta que g =
GM
R2, la velo idad de es ape se puede expresar omo:
v =√
2gR
12. Se sitúan dos masas puntuales de 1 kg en las posi iones (-3,0) m y (3,0) m de un sistema de oordenadas
artesiano. Cal ula para el punto (0,4) m : a) Los ve tores ampo gravitatorio que generan ada una
de ellas y el ve tor ampo gravitatorio total. Razona si existe algún punto de esta on�gura ión donde
se anula el ampo gravitatorio y en aso a�rmativo identifí ala. b) El poten ial gravitatorio debido a
ada una de las masas y el poten ial total. Razona si existe algún punto donde el poten ial gravitatorio
se anula. Dato: onstante de gravita ión universal, G = 6,67 � 10
−11N·m2·kg−2
Respuesta:
a) A partir de la siguiente representa ión:
Se puede dedu ir que α = 36, 87º y que:
−→g1 = −6, 67 · 10−11 · 152
(−→i cosα)− 6, 67 · 10−11 · 1
52(−→j senα)
−→g1 =6, 67 · 10−11 · 1
52(−→i cosα)− 6, 67 · 10−11 · 1
52(−→j senα)
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COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
−→g = −→g1 +−→g2 = −2 · 6, 67 · 10−11
52cos36, 87º
−→j = −4, 27 · 10−12−→j N · kg−1
El ampo gravitatorio resultante será nulo en el origen de oordenadas.
El poten ial gravitatorio de ada una de las masas es:
Vg1 = Vg2 =−6,67 · 10−11 · 1
5= −133 · 10−11N ·m · kg−1
El poten ial gravitatorio sólo podría ser nulo a una distan ia in�nita de ada una de las masas.
13. Entre un uerpo de masa m y otro de masa M > m (ambas puntuales) existe solo la intera ión
gravitatoria. ¾es la fuerza gravitatoria que ejer e M sobre m mayor que la que ejer e m sobre M? ¾es
la a elera ión de ambos uerpos igual en módulo? ¾y en dire ión y sentido? Razona ade uadamente
las respuestas.
Respuesta:
La fuerza ejer ida por M sobre m es la misma (en módulo) que la que ejer e m sobre M , por
apli a ión del Ter er Prin ipio de la dinámi a. En uanto a la a elera ión, la misma fuerza a tuando
sobre masas diferentes provo ará a elera iones diferentes. La a elera ión de m será mayor que la
de M (suponiendo M > m).En uanto a la dire ión, será la misma, pues la fuerzas son iguales y
opuestas, pero el sentido será el ontrario para las dos a elera iones.
14. Syn om 3 fue un satélite de tele omuni a iones de masa 40 kg, que des ribía órbitas ir ulares a una
altura de 35800 km sobre la super� ie terrestre. a) Dedu e la expresión de la velo idad orbital de un
satélite y al ula el valor en este aso, así omo el periodo de la órbita (en horas). b) Cal ula las
energías poten ial y inéti a del satélite en su movimiento por di ha órbita. Cal ula la energía que se
debe aportar al satélite para que se sitúe en una órbita en la que su energía me áni a sea E = = 9,5·10
7
J. Datos: onstante de gravita ión universal, G = 6,67·10
−11N m
2kg
−2; masa de la Tierra, MT=
6·10
24kg; radio de la Tierra, RT=6,4·10
6m.
Respuesta:
a) La velo idad orbital se obtiene igualando la fuerza gravitatoria al produ to de masa por a elera ión
entrípeta:
GMm
r2=
mv2
rv =
√
GM
r
La velo idad orbital será:
v =
√
6, 67·10−11 · 6·10243, 58 · 107 = 3343, 5m · s−1
6
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El periodo de la órbita será:
T =2πr
v=
2π · 3, 58 · 1073343, 5
= 67267 s→ 18, 69, h
b) Las energía poten ial y inéti a son, respe tivamente:
U = −GMm
r=
6, 67·10−11 · 6·1024 · 403, 58 · 107 = −4, 47 · 108 J
Ec =1
240 · 3343, 52 = 2, 23 · 108 J
Apli ando el Prin ipio de Conserva ión de energía:
(U + Ec)0 + E = −9, 5 · 107
E = −9, 5 · 107 −(
−4, 47 · 108 + 2, 23 · 108)
= 1, 28 · 108J
15. Es ribe la expresión del trabajo de una fuerza y su rela ión on la energía poten ial si la fuerza es
onservativa. Un satélite gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita ir ular. Razona qué trabajo
realiza la fuerza gravitatoria uando el satélite re orre un uarto de la órbita. ¾Y si re orre una órbita
ompleta?
Respuesta:
El trabajo de una fuerza viene dado por la expresión:
W =
ˆ B
A
−→F · d−→r = UA −UB
Siendo U la energía poten ial.
Cuando un satélite re orre una órbita ir ular, el trabajo realizado por aquella es nulo, pues la posi ión
ini ial y �nal respe to a la Tierra es la misma, independientemente de si se re orre total o par ialmente
la órbita.
16. El proye to Starlink ha olo ado en órbita ir ular alrededor de la Tierra unos 300 satélites para
omuni a iones, que son fá ilmente visibles desde la super� ie de la Tierra. Sabiendo que la velo idad
de uno de di hos satélites es de 7,6 km/s: a) Cal ula la altura h a la que se en uentra desde la super� ie
terrestre (en kilómetros). b) ¾Cuántas órbitas ir ulares ompletas des ribe el satélite en un día? Datos:
onstante de gravita ión universal, G = 6,67·10−11Nm
2/kg
2; masa de la Tierra, MT= 6·1024 kg; radio
de la Tierra, RT= 6400 km.
Respuesta:
a) El radio de la órbita se dedu e la la velo idad orbital:
v =
√
GM
rr =
GM
v2=
6, 67 · 10−11 · 6 · 1024(7, 6 · 103)2 = 6, 93 · 106m
La altura respe to a la super� ie terrestre será:
h = 6, 93 · 106 − 6, 4 · 106 = 5, 3 · 105 m = 530 km
b) El periodo de la órbita es:
T =2πr
v=
2π · 6, 93 · 1067, 6 · 103 = 5279 s
En número de órbitas des ritas en un día es:
n =86400 s · dıa−1
5279 seg orbita−1= 15 orbitas
7
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2. Vibra iones y ondas.
1. Expli a la diferen ia existente entre la velo idad de propaga ión de una onda y la velo idad de os ila ión
de un punto de di ha onda.
Respuesta:
La velo idad de propaga ión de una onda es el o iente entre la longitud de onda de aquella y su
periodo, v = λ/T y es onstante para una determinada onda. La velo idad de vibra ión es la derivada
de la elonga ión on respe to al tiempo. Si la e ua ión de la onda es y = A sen (ωt − kx + ϕ0), lavelo idad de os ila ión será:
vy =dy
dt= Aωcos (ωt− kx+ ϕ0)
Expresión que, omo vemos, dependerá de los valores de posi ión, x y tiempo,t.
2. Una onda sonora de fre uen ia f se propaga por un medio (1) on velo idad v1. En un ierto punto, la
onda pasa a otro medio (2) en el que la velo idad de propaga ión es v2= v1/2. Determina razonadamente
los valores de la fre uen ia, el periodo y la longitud de onda en el medio (2) en fun ión de los que tiene
la onda en el medio (1).
Respuesta:
La fre uen ia de la onda no depende del medio en que se propaga. El periodo, al ser el inverso de la
fre uen ia, tampo o varía on el medio. En uanto a la longitud de onda, si tenemos en uenta que
λ = v · T , donde T es el periodo, veremos que, a una varia ión de la velo idad de propaga ión le
orresponderá la misma varia ión en la longitud de onda. Así pues, uando la velo idad de propaga ión
en el segundo medio sea la mitad que la del primero, la longitud de onda en el segundo medio será
también la mitad de la orrespondiente al primero.
3. Una onda armóni a y(x, t) = A sen (ωt + kx + ϕ) que se propaga on una velo idad de 1 m/s en el
sentido negativo del eje X tiene una amplitud de (1/π) m y un periodo de 0,1 s . La velo idad del punto
x = 0 para t = 0 es 20 m/s. a) Determina razonadamente la longitud de onda, la fre uen ia y la fase
en unidades del SI. b) Es ribe la fun ión de onda y(x, t) utilizando los resultados anteriores y al ula
su valor en el punto x = 0,1 m para t = 0,2 s.
Respuesta:
a) Los valores de longitud de onda y fre uen ia son, respe tivamente:
λ = v · T = 1 · 0, 1 = 0, 1m ν =1
T=
1
0, 1= 10 s−1
La velo idad de os ila ión de un punto es:
dy
dt= y(x, t) = Aω cos (ωt + kx + ϕ)
Si para x = 0 y t = 0, la velo idad es 20 m/s, tendremos que:
20 =1
π2π · 10 cosϕ ϕ = 0 rad
b) Sabiendo que ω = 2πν = 20π y que k =2π/λ =20π, la e ua ión de la onda es:
y(x, t) =1
πsen (20πt + 20πx)
Para x = 0,1 m y t = 0,2 s, tendremos:
y(x, t) =1
πsen (20π · 0, 2 + 20π · 0, 1) = 0m
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4. Una onda sonora de fre uen ia f se propaga por un medio (1) on una longitud de onda λ1. En un
ierto punto, la onda pasa a otro medio (2) en el que la longitud de onda es λ2 = 2λ1. Determina
razonadamente el periodo, el número de onda y la velo idad de propaga ión en el medio (2) en fun ión
de los que tiene la onda en el medio (1).
Respuesta:
Al pasar de un medio a otro, la fre uen ia de la onda no varía, por lo que el periodo será el mismo en
ambos medios.
Los números de onda en el medio (1) y (2) serán, respe tivamente:
ν1 =1
λ1
ν2 =1
λ2
=1
2λ1
=ν12
Para al ular la velo idad de propaga ión, sabemos que:
v1 =λ1
T1
v2 =λ2
T2
=2λ1
T1
= 2v1
5. La fun ión que representa una onda sísmi a es: y(x, t) = 3 sen(π
4t− 4πx
)
, donde x e y están expre-
sadas en metros y t en segundos. Cal ula razonadamente: a) La amplitud, el periodo, la fre uen ia y la
longitud de onda. b) La velo idad de propaga ión de la onda y la velo idad de vibra ión de un punto
situado a 1 m del fo o emisor, para t = 8 s.
Respuesta: a) Los valores pedidos son los siguientes:
A = 3m ω =2π
T=
π
4→ T = 8 s y ν = 1/8 s−1 k =
2π
λ= 4π → λ = 0, 5m
b) La velo idad de propaga ión de la onda es:
k =ω
v4π =
π/4
vv =
1
16m · s−1
La velo idad de vibra ión será:
vt =dy
dt=
3π
4cos
(π
4t− 4πx
)
Sustituyendo x por 1 m y t por 8 s en la anterior expresión, tendremos:
vt =3π
4m · s−1
6. Una onda transversal se propaga por una uerda según la e ua ión y(x,t) = 0,5 os [5π(2t - x)℄, enunidades del SI. Cal ula: a) La elonga ión, y del punto de la uerda situado en x1 = 40 cm en el instante
t1 = 1 s . ¾Qué distan ia mínima hay entre dos puntos de la uerda on la misma elonga ión y velo idad
en un mismo instante? b) La velo idad transversal en los dos puntos x1 y x2 = x1 +λ
4, en el instante t1
Respuesta:
a) Sustituyendo los valores dados en la e ua ión de la onda, tendremos:
y(0,4 , 1) = 0, 5 cos (10π− 2π) = 0, 5m
La distan ia será la de una longitud de onda, es de ir: λ =2π
k=
2π
5π= 0, 4m
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b) La velo idad transversal será:
vt =dy
dt= −0, 5 · 10π sen (10πt− 5πx)
Sustituyendo los valores indi ados:
vt1 = −5πsen (10π − 5π · 0, 4) = 0m · s−1
vt2 = −5πsen (10π − 5π · 0, 5) = −5πm · s−1
7. La grá� a representa la propaga ión de una onda armóni a de presión, en ierto instante temporal. La
fre uen ia de la onda es de 100 Hz . Determina razonadamente la longitud de onda y la velo idad de
propaga ión de la onda en el medio.
Respuesta:
La longitud de onda es de 3 m, puesto que esta es la distan ia entre dos puntos onse utivos en el
mismo estado de vibra ión. Para al ular la velo idad de propaga ión, utilizamos la expresión:
v =λ
T= λν = 3 · 100 = 300m · s−1
8. En la �gura se representa un instante de la propaga ión de una onda armóni a en una uerda. La onda
se mueve ha ia la dere ha sobre el eje x, su periodo es T = 4 s, la distan ia entre los puntos P y Q
es de 45 m. Determina razonadamente la longitud de onda, la fre uen ia angular y la velo idad de
propaga ión.
Respuesta:
a) La distan ia entre P y Q orresponde a 1,5 ve es la longitud de onda, por lo que: λ =45
15= 30 m.
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La fre uen ia angular o pulsa ión es: ω = 2πν =2π
T=
2π
4=
π
2s−1
La velo idad de propaga ión es:
v =λ
T=
0, 30
4= 0, 075m · s−1
9. El grá� o representa una onda armóni a en un instante arbitrario t propagándose ha ia la dere ha del
eje X on una velo idad de 2 m/s. Determina razonadamente la amplitud y la fre uen ia de la onda.
¾Cuál es la diferen ia de fase entre dos puntos de la onda situados en x2 = 5 m y x1 = 4 m ?
Respuesta: La amplitud es de 3 m, omo orresponde a la máxima elonga ión. la longitud de onda
(distan ia entre dos puntos onse utivos en el mismo estado de vibra ión) es de 4 m, on lo que podremos
es ribir:
k =2π
λ=
2πν
v
2π
4=
2πν
2ν = 0, 5 s−1
La diferen ia de fase se dedu e de:
2π rad
λm=
∆ϕ rad
x2 − x1 m∆ϕ =
2π · 14
=π
2rad
10. Una onda sinusoidal transversal en una uerda se propaga en el sentido positivo del eje X on una
velo idad de 1 m/s y un periodo de 0,2 s. En el instante ini ial, el punto de la uerda situado en el
origen de oordenadas tiene una elonga ión positiva igual a su amplitud. a) Cal ula los valores de la
fre uen ia angular, el número de onda y la fase ini ial. b) Si la amplitud de la onda es de 0,1 m; es ribe
la fun ión de onda y (x,t) ¾qué elonga ión tiene el punto de la uerda x = 0,2 m en el instante t = 0,4
s?
Respuesta:
a) La fre uen ia de la onda es:ν =1
0, 2= 5 s−1
, on lo que la fre uen ia angular será: ω = 2πν = 10π s−1.
La longitud de onda es: λ = v · T = 1 · 0, 2 = 0, 2m. El número de ondas será, por tanto:k =2π
λ= 10πm−1
.
A partir de la e ua ión de la onda:
y = A sen (ωt− kx + ϕ0)
Y de los datos del enun iado, se desprende que:
A = Asenϕ0 ϕ0 =π
2
11
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b) La e ua ión de la onda será:
y = 0, 1 sen(
10πt− 10πx +π
2
)
La elonga ión será:
y = 0, 1 sen(
4π − 2π +π
2
)
= 0, 1m
11. Es ribe la expresión del nivel sonoro (en dB) en fun ión de la intensidad de un sonido. A una ierta
distan ia del punto de explosión de un petardo se mide una intensidad de 1 W m
−2. ¾Qué nivel de
intensidad en dB tendremos en este punto? Cal ula la intensidad en W m
−2que se medirá al dupli ar la
distan ia. (Considera que la onda sonora es esféri a). Dato: Intensidad umbral de referen ia I0= 10
−12
W m
−2
Respuesta:
El nivel sonoro viene expresado por:
β = 10 logI
I0Siendo β el nivel de intensidad, I la intensidad a una ierta distan ia del origen del sonido, e I0 la
intensidad umbral.
El nivel de intensidad será:
β = 10 log1
10−12= 120 dB
Al ha er doble la distan ia, la super� ie se hará uatro ve es mayor, y la intensidad a esta distan ia
será: I =
1
4= 0, 25W ·m−2.El nivel de intensidad será:
β = 10 log0, 25
10−12= 114 dB
12. Una onda armóni a transversal se propaga on velo idad v = 5 m/s en el sentido negativo del eje x.
A partir de la informa ión ontenida en la �gura y justi� ando la respuesta: a) Determina la amplitud,
la longitud de onda, el periodo y la diferen ia de fase entre dos puntos que distan 15 m y separados
en el tiempo 3 s. b) Es ribe la expresión de la fun ión de onda (usando el seno), suponiendo que la fase
ini ial es nula. Cal ula la velo idad de un punto de la onda situado en x = 0 m para t = 0 s.
Respuesta:
a) La amplitud es 4 m (0,04 m), que orresponde a la máxima elonga ión. La longitud de onda
(distan ia entre dos puntos onse utivos en fase) es de 10 m (0,1 m). El periodo viene dado por: T =
λ
v=
0, 1
0, 05= 2 s. Para hallar la diferen ia de fase, sabiendo que a dos puntos separados por una longitud
de onda le orresponde una diferen ia de fase de 2π rad:
2π rad
10 cm=
∆ϕ rad
15 cm∆ϕ = 3π rad
12
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b) El número de ondas es: k =
ω
v=
2π
vT=
2π
0, 05 · 2 = 20πm−1. Con este dato, junto on los anteriores,
tendremos:
y = A sen (ωt− kx) = 0, 04 sen (40πt− 20πx)
la velo idad de un punto es:
vy =dy
dt= 0, 04 · 40π sen (40πt− 20πx)
Sustituyendo x = 0 y t = 0:
vy = 0m · s−1
13
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3. Ópti a.
1. Una pla a de vidrio se sitúa horizontalmente sobre la super� ie del agua ontenida en un depósito, de
forma que la parte superior de la pla a está en onta to on el aire, tal omo muestra la �gura. Un
rayo de luz in ide desde el aire a la ara superior del vidrio formando un ángulo 60° on la verti al. a)
Cal ula el ángulo de refra ión del rayo de luz al pasar del vidrio al agua. b) Dedu e la expresión de
la distan ia (AB) de desvia ión del rayo de luz tras atravesar el vidrio, y al ula su valor numéri o. La
pla a de vidrio tiene un espesor 20 . Datos: índi e de refra ión del agua 1,3; índi e de refra ión del
aire: 1; índi e de refra ión del vidrio: 1,5.
Respuesta:
a) Apli ando la Ley de Snell a la interfase aire-vidrio, tendremos:
sen 60º
senαrv
=1, 5
1obteniendose senαrv = 0, 577 y αrv = 35, 26º
Apli ando nuevamente esta ley, en esta o asión a la interfase vidrio-agua:
0, 577
senαra
=1, 33
1, 5obteniendose senαra = 0, 632 y αra = 39, 18º
b) En el triángulo re tángulo que puede verse en la siguiente imagen, puede dedu irse que:
2. Se sitúa un objeto de 5 m de tamaño a una distan ia de 20 m a la izquierda de una lente delgada
onvergente de distan ia fo al 10 m. a) Indi a las ara terísti as de la imagen a partir del trazado de
14
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rayos. b) Cal ula el tamaño y la posi ión de la imagen y la poten ia de la lente.
Respuesta:
a) Como puede verse en la siguiente representa ión grá� a, la imagen es igual, real e invertida.
b) La poten ia de la lente será:
P =1
f ′=
1
0, 1= 10 dioptrıas
Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:
1
s− 1
s′= − 1
f ′−→ 1
−0, 20− 1
s′= −10 s′ = 0, 20m
El tamaño de la imagen se hallará así:
y′
y=
s′
s−→ y′ = 0, 05
(
0, 20
−0, 20
)
= −0, 05m
3. Se utiliza una lente delgada para proye tar sobre una pantalla la imagen de un objeto. Esta lente se
sitúa entre el objeto y la pantalla. La distan ia entre el objeto y la imagen es de 6 m y se pretende que
ésta sea real, invertida y 3 ve es mayor que el objeto. a) Realiza un trazado de rayos donde se señale
la posi ión de los tres elementos y el tamaño, tanto del objeto omo de la imagen. ¾Qué tipo de lente
debe usarse? b) Cal ula la distan ia fo al y la posi ión de la lente respe to a la pantalla.
Respuesta:
a) La representa ión grá� a es la siguiente:
Para que la imagen pueda verse en una pantalla, debe ser real, lo ual se onsigue úni amente utilizando
una lente onvergente.
b) De la anterior representa ión se dedu e que -s + s
′= 6 m. Apli ando, además, la e ua ión del
15
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aumento lateral, tendremos:
y′
y=
s′
s= −3 −→ s′ = −3s
Combinando ambas igualdades, tendremos: -s - 3s = 6, por lo que s = 1,5 m y s
′= 4,5 m. En uanto
a la distan ia fo al:
1
s− 1
s′= − 1
f ′f ′ = 1, 125m
4. Utiliza un esquema de trazado de rayos para des ribir el problema de visión de una persona que sufre
de miopía y expli a razonadamente el fenómeno. ¾Con qué tipo de lente debe orregirse y por qué?
Respuesta:
La miopía onsiste en un defe to de la visión por el ual la imagen de un objeto lejano es enfo ada
delante de la retina, lo que ha e que el objeto se vea borroso. Para expli ar el fenómeno y la forma de
orregirlo, veamos el siguiente diagrama de rayos:
El ojo, sin la utiliza ión de una lente, formaría una imagen (a la dere ha, en olor azul) situada delante
de la retina. Al utilizar una lente divergente delante del ojo, se formará una imagen intermedia del
objeto (representada a la izquierda, en olor rojo), de menor tamaño que éste y más er ana al ojo.
Esta imagen intermedia dará lugar, al refra tarse en el ristalino, a una imagen �nal (representada en
rojo en la parte dere ha del diagrama de rayos), que se formará sobre la retina, on lo que la imagen se
observará on nitidez. La poten ia de la lente divergente utilizada dependerá del grado de miopía que
presente la persona.
5. La lente onvergente de un proye tor de diapositivas tiene una poten ia de 10 D, y se en uentra a una
distan ia de 10,2 m de la diapositiva que se proye ta. a) Cal ula razonadamente la distan ia a la que
habrá que poner la pantalla para tener una imagen nítida b) Cal ula el tamaño de la imagen y realiza
un trazado de rayos para justi� ar la respuesta.
Respuesta:
a) Apli ando la e ua ión de las lentes delgadas:
1
s− 1
s′= −P
1
−0, 102− 1
s′= −10 s′ = 5, 1m
b) Apli ando la e ua ión del aumento lateral:
y′ = ys′
s= y
5, 1
−0, 102= −50 y
La representa ión grá� a (no a es ala) es la siguiente:
16
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6. Se tiene una lente onvergente en aire. Razona mediante un trazado de rayos dónde habrá que situar
un objeto respe to a la lente para que la imagen sea dere ha y mayor que el objeto.
Respuesta:
El objeto deberá olo arse entre el fo o y la lente, omo puede verse en el siguiente diagrama de rayos.
7. En el fondo de una ubeta, llena de un ierto líquido, se sitúa un pequeño fo o luminoso (ver �gura
adjunta). Se observa que el rayo A se refra ta y sale on un ángulo de refra ión de 58º, pero el rayo B
no se refra ta. Determina el índi e de refra ión, n, del líquido y expli a razonadamente el motivo por
el ual el rayo B no se refra ta. Dato: índi e de refra ión del aire,na = 1, 00
Respuesta:
Para el rayo A, se umplirá para el ángulo de in iden ia:
tgαA =14
20αA = 35º
Apli ando la Ley de Snell:
sen 35º
sen 58º=
1, 00
nn = 1, 48
El ángulo límite entre los dos medios se al ula así:
senαL
sen 90º=
1, 00
1, 48αL = 42, 5º
El ángulo de in iden ia para el rayo B será:
tgαB =20
20αL = 45º
17
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Al ser mayor el ángulo de in iden ia del rayo B que el ángulo límite, no se produ irá refra ión.
8. Se tiene una lente de poten ia 2 dioptrías. Cal ula razonadamente a qué distan ia de la lente debe
situarse un objeto para que la imagen tenga el mismo tamaño que el objeto y sea invertida. Realiza un
trazado de rayos omo omproba ión de tu respuesta.
Respuesta:
a) Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:
1
s− 1
s′= −P = −2(∗)
Por otra parte, utilizando la expresión del aumento lateral:
y′
y= −1 =
s′
ss′ = −s
Sustituyendo en (*):
1
s+
1
s= −2 s = −1m
El diagrama de rayos es el siguiente:
9. Como se observa en la �gura, un rayo de luz mono romáti a in ide (punto A ) sobre un bloque de
poli arbonato que se en uentra rodeado de aire. a) Cal ula el ángulo α y el índi e de refra ión np del
poli arbonato. b) ¾Cuál es la velo idad del rayo uando se mueve en el poli arbonato? Cuando el rayo
llega al punto B, ¾se refra ta o se re�eja? Realiza los ál ulos ne esarios para razonar la respuesta.
Dato: velo idad de la luz en el va ío, = 3 10
8m· s−1
Respuesta:
a) De la representa ión grá� a podemos dedu ir: tg α = d/2d , on lo que α = 26,56º. Para al ular
el índi e de refra ión del poli arbonato, tendremos según la ley de Snell:
sen 45
sen 26, 56º=
np1
np = 1, 58
18
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b) La velo idad del rayo luminoso en el poli arbonato es:
v =c
np=
3 · 1081, 58
= 1, 90 · 108m · s−1
) El ángulo de in iden ia será ahora de 90 - 26,56 = 63,44º. El ángulo límite se obtiene de:
senαL
sen 90º=
1
1, 58αL = 39, 26º
Al ser superior el ángulo de in iden ia al ángulo límite, el rayo se re�ejará.
10. Una lente de -2 dioptrías ¾es onvergente o divergente? ¾El fo o imagen de esta lente es real o virtual?
Cal ula la distan ia fo al imagen de esta lente. Razona qué tipo de defe to o ular (miopía o hiperme-
tropía) puede orregir.
Respuesta:
a) La lente es divergente, pues tiene una poten ia negativa. El fo o imagen es virtual.
La distan ia fo al es:
P = − 1
f′f′ = −0, 5m
Una lente de este tipo tiene el efe to alejar la distan ia a la que se forma la imagen, por lo que el defe to
visual que orrigen es la miopía, defe to visual en el que la imagen se forma delante de la retina.
11. Para observar una hormiga de 3 de longitud se usa una lupa de distan ia fo al f
′ = 12 m situada a una
distan ia de 6 m respe to a la hormiga. a) Cal ula la posi ión, respe to a la lupa, a la que se en uentra
la imagen y el tamaño on el que veremos la hormiga. b) Representa el diagrama de rayos, señalando
laramente la posi ión y tamaño de objeto e imagen. Indi a ómo es la imagen ¾real o virtual? ¾dere ha
o invertida?
Respuesta:
a) Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:
1
−0, 06− 1
s′= − 1
0, 12s′ = −0, 12m
El tamaño se obtendrá a partir de:
y′
3=
−0, 12
−0, 06y′ = 6 cm
b) El diagrama de rayos es el siguiente:
De donde se dedu e que la imagen es mayor, dere ha y virtual.
19
COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
12. El esquema de la �gura representa una lente, un objeto y dos rayos (1 y 2) que, pro edentes del extremo
del objeto (�e ha), salen de la lente tal y omo se muestra. Determina, a partir de un trazado de rayos,
la posi ión, tamaño de la imagen y aumento, posi ión de los puntos fo ales y la poten ia de la lente,
¾la imagen es real o virtual?
Respuesta: De la representa ión anterior se dedu e que el rayo 1 in ide de forma perpendi ular a la
lente, por lo que no experimenta refra ión. La prolonga ión del rayo 2, al refra tarse, pasa por el fo o,
objeto, on lo que s
′ = −8 m. Puesto que el objeto está situado a una distan ia s = 8 m, es de ir,
sobre el fo o objeto, tendremos, apli ando la e ua ión de las lentes delgadas:
1
−0, 08− 1
s′= − 1
−0, 08s′ = −0, 04m
El tamaño de la imagen será:
y′
4=
−0, 04
−0, 08y′ = 2 cm
El diagrama de rayos sería el siguiente:
De donde dedu imos que la imagen es menor, dere ha y virtual.
13. Dedu e la rela ión entre la distan ia objeto, s, y la distan ia fo al, f´, de una lente onvergente para
que la imagen sea invertida y on un tamaño tres ve es mayor que el del objeto.
Respuesta:
Apli ando la e ua ión del aumento lateral:
y′
y=
−3y
y=
s′
ss′ = −3s
1
s− 1
s′= − 1
f′1
s− 1
−3s= − 1
f′f′ = −3s
4
14. En una revisión optométri a indi an a una persona que, para ver bien objetos lejanos, debería ponerse
una gafa de lentes de 1,5 dioptrías. Razona si tiene miopía o hipermetropía y por qué se orrige on
20
COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
di ho tipo de lente. Expli a razonadamente el fenómeno y su orre ión on ayuda de un trazado de
rayos.
Respuesta:
La persona pade e de miopía,que onsiste en la di� ultad de ver orre tamente objetos lejanos, debido
a que el enfoque de los rayos paralelos se produ e delante de la retina, y no sobre ella. Este defe to
se orrige mediante el uso de lentes divergentes. El diagrama de rayos para una lente que orrija este
defe to de la visión es el siguiente:
15. Se ha e in idir un haz de luz blan a sobre una lámina plano-paralela de un ierto material, uyo índi e
de refra ión para la luz roja es nr= 1,19 y para la luz violeta nv= 1,23. a) Expli a qué su ede uando
el rayo in idente de luz blan a entra en la lámina e identi� a uál de los rayos 1 y 2 orresponde al rojo
y uál al violeta. Razona la respuesta en base a la ley físi a que rige este fenómeno. b) Tras in idir en
la ara superior de la lámina, el rayo 2 prosigue paralelo a ella, omo se ve en la �gura. Determina el
ángulo, i, on el que in ide sobre esta ara y el ángulo de entrada, ε.
Respuesta:
Al llegar a la super� ie de separa ión, la luz blan a se refra ta, separándose en sus omponentes. El
ángulo de refra ión para un rayo luminoso se determina apli ando la Ley de Snell:
sen ε
senαr
=n
1
senαr =sen ε
n
El ángulo αr será tanto mayor uanto menor sea el índi e de refra ión de la luz. Por tanto, el rayo 1
orresponderá a la radia ión de menor índi e de refra ión, es de ir, a la luz roja, orrespondiendo el
rayo 2 a la luz violeta.
Apli ando de nuevo la Ley de Snell:
sen i
sen 90º=
1
1, 23i = 54, 39º
21
COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
16. Un rayo de luz in ide sobre una lámina de aras plano-paralelas de índi e de refra ión n2, situada en
un medio de índi e de refra ión n1. Demuestra que el rayo que emerge de la lámina es paralelo al rayo
in idente.
17. La imagen de un objeto real, dada por una lente delgada divergente, es siempre virtual, dere ha y más
pequeña que el objeto. Justifí alo mediante trazado de rayos y expli a el porqué de di ho trazado. ¾Qué
signi� a imagen virtual?
Respuesta:
El diagrama de rayos es el siguiente:
El rayo paralelo al eje ópti o diverge al atravesar la lente, mientras que el rayo que pasa por el vérti e
ópti o no se desvía. La imagen sólo se puede formar por la interse ión de este último on la prolonga ión
del rayo que diverge. La imagen no puede ser proye tada en ningún aso sobre una pantalla, por lo
que se trata de una imagen virtual.
18. Expli a en qué onsiste la miopía utilizando los on eptos de la ópti a geométri a. ¾Qué tipo de lente
hay que usar para orregirla? Si una persona miope se va a er ando un objeto al ojo, existe una posi ión
en la que ve bien, ¾por qué?
Respuesta:
La miopía es el defe to de la visión por el ual una persona no puede ver on nitidez los objetos situados
a mayor distan ia de un valor determinado, debido a que la imagen se forma por delante de la retina.
Se orrige on lentes divergentes.
Al ir a er ando el objeto al ojo, la imagen se va alejando del ristalino y a er ando a la retina, llegando
un momento en que la imagen se forma sobre ella, pudiendo verse enton es on nitidez.
4. Ele tromagnetismo.
1. Una partí ula de arga 3 µC que se mueve on velo idad 2 10
3−→i m/s entra en una región del espa io
en la que hay un ampo elé tri o uniforme
−→E = −3
−→j N/C y también un ampo magnéti o uniforme
22
COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
−→B = 4
−→k mT. Cal ula el ve tor fuerza total que a túa sobre esa partí ula y representa todos los ve tores
involu rados (haz oin idir el plano XY on el plano del papel).
Respuesta:
La fuerza total que a túa sobre la arga es:
−→F = q (
−→E +−→v ×−→
B ) = 3 · 10−6(−3−→j +2 · 103−→i × 4 · 10−3−→k ) = 3 · 106(−3
−→j − 8
−→j ) = −3, 3 · 10−5−→j N
La representa ión grá� a (no realizada a es ala) es la siguiente:
2. Un ele trón se mueve dentro de un ampo elé tri o uniforme
−→E = −E
−→i N/C. El ele trón parte del
reposo desde el punto A, de oordenadas (0, 1) m , y llega al punto B on una velo idad de 10
6/
después de re orrer 1 . a) Indi a la traye toria que seguirá el ele trón y las oordenadas del punto B.
b) Cal ula razonadamente el trabajo realizado por el ampo elé tri o sobre la arga desde A a B y el
valor del ampo elé tri o. Datos: arga elemental, e = 1,6 10
−19C ; masa del ele trón, me = 9,1 10
−31
kg
Respuesta:
a) Al estar dirigido el ampo elé tri o en el sentido negativo del eje X, la fuerza sobre el ele trón, q−→E ,
se dirigirá en sentido positivo de di ho eje, siendo el movimiento re tilíneo. Así pues, las oordenadas
de B serán (1,1) m
b) El trabajo realizado sobre el ele trón será:
W = q∆V =1
2mv2 1, 6 · 10−19∆V =
1
29, 1 · 10−31(106)2 = 4, 55 · 10−19J
Obteniéndose:
∆V = 2, 84V y E =∆V
r=
2, 84
1= 2, 84N/C
3. La �gura muestra dos ondu tores re tilíneos, inde�nidos y paralelos entre sí, separados por una dis-
tan ia d = 4 m . Por ellos ir ulan orrientes ontinuas de intensidades I1e I2= 2I1 . En un punto
equidistante a ambos ondu tores y en su mismo plano, estas orrientes generan un ampo magnéti o,−→B= 3·10−5
−→k T . a) Cal ula la orriente I1 . b) Si una arga q = 2 µC pasa por di ho punto on una
velo idad
−→v = 5·106−→j , al ula la fuerza
−→F (módulo, dire ión y sentido) sobre ella. Representa los
ve tores
−→v −→B y
−→F . Dato: permeabilidad magnéti a del va ío, µ0 = 4π · 10−7Tm/A.
23
COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
Respuesta:
a) El módulo del ampo resultante será:
B = B2 −B1 =µ0I22πd
− µ0I12πd
=4π · 10−7 · 2I1
2π · 0, 02 − 4π · 10−7 · 2I12π · 0, 02 = 3 · 10−5
De donde obtenemos I1 = 3 A.
b) La fuerza sobre la arga será:
−→F = q(−→v ×−→
B) = 2 · 10−6(5 · 106−→j × 3 · 10−5−→k ) = 3 · 10−4−→i N
La representa ión grá� a de los ve tores será la siguiente:
4. Se sitúan sobre el eje X dos argas positivas q, puntuales e idénti as, separadas una distan ia 2a, tal y
omo se muestra en la �gura.
Cal ula la expresión del ve tor ampo elé tri o total en el punto P situado en el eje Y, a una distan ia
a del origen. Dibuja los ve tores ampo generados por ada arga y el total en el punto P.
Respuesta:
a) Una representa ión del ampo elé tri o en P es la que puede verse en la siguiente imagen:
24
COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
El ampo elé tri o reado por ada una de las argas q en el punto P tiene la expresión:
−→E1 =
kq
2a2cos 45º
−→i +
kq
2a2sen 45º
−→j
−→E2 = − kq
2a2cos 45º
−→i +
kq
2a2sen 45º
−→j
El ampo resultante tendrá la expresión:
−→E =
−→E1 +
−→E2 = 2
kq
2a2sen 45º
−→j
5. Las partí ulas emitidas por las sustan ias radia tivas pueden ser identi� adas observando su desvia ión
al atravesar un ampo elé tri o. Razona grá� amente la dire ión y sentido de la desvia ión sufrida, en
rela ión on la dire ión y sentido del ampo elé tri o, para la emisión radia tiva de los tipos α, β−y γ,indi ando las partí ulas que las onstituyen.
Respuesta:
La respuesta a esta enun iado puede verse en la siguiente imagen:
Al estar la radia ión α formada por partí ulas de arga positiva (nú leos de He), la desvia ión se
produ irá ha ia abajo, en el plano del papel, lo que representamos on una urva de olor rojo. La
radia ión β, formada por ele trones y, por tanto, on arga negativa, se desvía ha ia arriba en el plano
del papel ( urva de olor negro). Por último, la radia ión γ no experimenta desvia ión, al no poseer
arga elé tri a.
6. Atendiendo a la distribu ión de argas representada en la �gura, al ula: a) El ve tor ampo elé tri o
debido a ada una de las argas y el total en el punto P . Dibuja todos los ve tores.. b) El trabajo
mínimo ne esario para trasladar una arga q3 = 1nC desde el in�nito hasta el punto P . Considera que
el poten ial elé tri o en el in�nito es nulo. Dato: onstante de Coulomb, ke =9 10
9N m
2C
−2
Respuesta:
a) La representa ión grá� a es la siguiente:
25
COMUNIDAD VALENCIANA PRUEBAS EBAU FÍSICA
De la anterior representa ión grá� a se desprende lo siguiente:
−→E1 = −9 · 109 · 4 · 10−6
42−→j
−→E2 =
9 · 109 · 2 · 10−6
82
(
−−→i cos 30º+
−→j sen 30º
)
Finalmente, tendremos: −→E = −2, 43 · 102 −→i − 2, 24 · 104 −→j N · C−1
b) En el punto P, el poten ial valdrá:
VP =9 · 109(−4 · 10−6)
4+
9 · 109 · 2 · 10−6
8= −6750V
El trabajo será, por tanto:
W = q(V∞ −VP = 10−9 [0− (−6750)] = 6, 75 · 10−6 J
7. La �gura representa un ondu tor re tilíneo de longitud muy grande re orrido por una orriente ontinua
I1 = 2 A. Cal ula y dibuja el ve tor ampo magnéti o en un punto P situado a una distan ia d = 1
m a la dere ha del ondu tor. En el punto P se sitúa otro ondu tor re tilíneo paralelo al anterior y
re orrido por una orriente I2 en sentido opuesto. Representa el ve tor fuerza que a túa sobre el segundo
ondu tor. Dato: permeabilidad magnéti a del va ío, µ0 = 4π · 10−7N/A
2
Respuesta:
La representa ión grá� a es la siguiente:
26
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El ampo magnéti o reado en el punto P tiene el valor:
B =µ0I
2πd=
4π · 10−7 · 22π · 1 = 4 · 10−7T
8. Por dos ondu tores re tilíneos, paralelos e inde�nidos ir ulan orrientes ontinuas de intensidades
I1 e I2, siendo I2 = 2I1 (ver �gura adjunta). Cal ula la fuerza que a túa sobre una arga que pasa por el
punto P on una velo idad
−→v = 2−→i m/s Dato: permeabilidad magnéti a del va ío,µ0 = 4π · 10−7T ·m ·A−1
Respuesta:
En apli a ión de la regla de la mano dere ha, la fuerza ejer ida por el ampo magnéti o reado por
ada una de las orrientes tendrá la misma dire ión que la otra, pero sentido ontrario. El módulo del
ampo magnéti o reado en el punto P será:
B = B1 − B2 =µ0I1
2π · 0, 03 − µ02I12π · 0, 06 = 0
Por onsiguiente, la fuerza sobre la arga será nula, al serlo el ampo magnéti o resultante sobre ella.
9. En los puntos A(0,0) m, B(0,2) m , y C(2,2) m, se sitúan tres argas elé tri as iguales, de valor −3µC.a) Dibuja, en el punto D(1,1), los ve tores ampo elé tri o generados por ada una de las argas y
al ula el ve tor ampo elé tri o resultante. b) Cal ula el trabajo realizado en el desplazamiento de una
arga elé tri a puntual de 1 µC , entre los puntos D(1,1) y E(2,0) , razonando si la arga puede realizar
espontáneamente di ho desplazamiento. Dato: onstante de Coulomb, K = 9 · 109N ·m2 · C−2
Respuesta:
a) A partir de la siguiente representa ión grá� a:
Podemos ver que el ampo resultante en el punto D se redu e al reado por la arga situada en el punto
B. Su valor será:
−→E =
9 · 109 · 3 · 10−6
2(−cos 45º
−→i + cos 45
−→j ) = 9546 (−−→
i +−→j )N · C−1
27
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b) Los poten iales en el punto D y en el punto E serán, respe tivamente:
VD = 39 · 109 · (−3 · 10−6)√
2= −57276V
VE = 29 · 109 · (−3 · 10−6)
2+
9 · 109 · (−3 · 10−6)√8
= −36546V
El trabajo realizado será:
W = 10−6[−57276− (−36546)] = −0, 021 J
valor que indi a que la arga no puede realizar espontáneamente di ho desplazamiento.
10. Sabiendo que el poten ial elé tri o en el punto P es nulo, determina el valor de la arga . Razona si
será nulo el ampo elé tri o en el punto P .
Respuesta:
a) El poten ial elé tri o es:
0 =9 · 109 · 10−3
a+
9 · 109q3a
q = −3 · 10−3C
El ampo elé tri o en P no será nulo, sino que tendrá el valor:
−→E =
9 · 109 · 10−3
a2−→i +
9 · 109 · 3 · 10−3
9a2−→i 6= 0
11. Dos ables re tilíneos y muy largos, paralelos entre sí, transportan orrientes elé tri as I1 =2 A e I2 =4A on los sentidos representados en la �gura adjunta. a) Cal ula el ampo magnéti o total (módulo,
dire ión y sentido) en el punto P. b) Sobre un ele trón que se desplaza por el eje X a túa una fuerza
magnéti a
−→F = 1, 6 · 10−18−→j N uando pasa por el punto P. Cal ula el módulo de su velo idad en
di ho punto. Datos: permeabilidad magnéti a del va ío, µ0 = 4π·10−7T·m· A−1
; arga del ele trón, e
= -1,6·10−19C
28
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Respuesta:
a) Apli ando la regla de la mano dere ha, el ampo magnéti o en el punto P será:
−→B =
4π · 10−7 · 22 · π · 0, 4
−→k +
4π · 10−7 · 42 · π · 0, 2
−→k = 5 · 10−6−→k T
b)Para al ular el módulo de la velo idad, tendremos:
∣
∣
∣
−→F∣
∣
∣= q |−→v |
∣
∣
∣
−→B∣
∣
∣|−→v | =
∣
∣
∣
−→F∣
∣
∣
q∣
∣
∣
−→B∣
∣
∣
=1, 6 · 10−18
1, 6 · 10−19 · 5 · 10−6= 2 · 106m · s−1
12. Una arga puntual q1 de valor -4 mC se en uentra en el punto (0,0) m y una segunda arga de valor
des ono ido, q2se en uentra en el punto (2,0) m . Cal ula el valor que debe tener la arga para que
el ampo elé tri o generado por ambas argas en el punto (4,0) m sea nulo. Representa los ve tores
ampo elé tri o generados por ada una de las argas en ese punto.
Respuesta:
a) Para que el ampo elé tri o en el punto (4,0) sea nulo, deberá umplirse:
−9 · 109 · 4 · 10642
−→i +
9 · 109q22
−→i = 0 q = 10−6C
La representa ión grá� a sería la siguiente:
13. Es ribe la ley de Faraday-Lenz y expli a su signi� ado. La �gura muestra una varilla que se desliza ha ia
la dere ha on velo idad
−→v sobre dos raíles paralelos formando una espira re tangular. El onjunto es
ondu tor y se en uentra en el seno de un ampo magnéti o uniforme
−→B perpendi ular al plano del
papel.Expli a el sentido de la orriente indu ida en la espira en base a di ha ley.
29
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Respuesta:
a)La ley de Faraday-Lenz puede expresarse de la forma:
ε = −dϕ
dt
Es de ir, uando una ir uito es atravesado por un ampo magnéti o uyo �ujo varíe on el tiempo,
se indu irá en aquél una orriente uyo efe to será el de oponerse al ampo magnéti o que indu e la
orriente. Según el sentido del movimiento, el �ujo del ampo magnéti o va aumentando on el tiempo,
al ha erlo así la super� ie atravesada por las líneas de ampo magnéti o.Apli ando la regla de la mano
dere ha, la orriente indu ida en el ir uito representado seguirá un sentido antihorario, pues el ampo
magnéti o generado por di ha orriente sería perpendi ular al plano del papel, y dirigido ha ia arriba.
14. Las posi iones, respe to al origen de oordenadas, de dos argas -4 µC y -6 µC son, respe tivamente,
−→r1 =3−→j y
−→r2 = −3−→j . Cal ula el valor de una arga , situada en el origen de oordenadas, si la fuerza
elé tri a total que a túa sobre ella es
−→F =2 � 10
−3−→j . Dato: onstante de Coulomb, 9 � 10
9N· m2 · C−2
Respuesta:
15. Dos hilos re tilíneos inde�nidos, paralelos y separados una distan ia d = 2 m ondu en las orrientes
I1 e I2, on los sentidos representados en la �gura. En el punto P, equidistante a ambos hilos, el modulo
del ampo magnéti o reado sólo por la orriente I1 es 0,06 mT, y el del ampo total debido a las dos
orrientes es 0,04 mT. Ambos ampos (el debido a I1 y el total) tienen la misma dire ión y sentido.
a) Cal ula razonadamente el ampo magnéti o generado por la orriente I2 y representa laramente
todos los ve tores ampo magnéti o involu rados. b) Cal ula el valor de las orrientes I1 e I2 Dato:
permeabilidad magnéti a del va ío, µ0 = 4π · 10−7T ·m · A−1.
Respuesta:
a)
16. Expli a brevemente qué es un ampo de fuerzas onservativo. Una arga positiva se en uentra en el
seno de un ampo ele trostáti o. El trabajo realizado por el ampo para desplazarla entre los puntos
30
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A y B de la �gura es de 0,01 J si se sigue el amino (1) ¾Cuál es el trabajo si se sigue el amino (2)?
¾En qué punto, A o B, es mayor el poten ial elé tri o? Razona las respuestas. a
Respuesta:
17. Una espira plana de super� ie 5 m
2está situada en el seno de un ampo magnéti o uniforme de B
= 1 mT, perpendi ular al plano de la espira. Cal ula el �ujo magnéti o a través de la espira en esta
situa ión y uando la espira ha girado un ángulo a = 45º. Razona si se genera una fuerza ele tromotriz
en la espira mientras gira.
Respuesta:
El �ujo del ampo magnéti o a través de la espira es: ϕ =−→B · −→S = BS cosα. Los valores respe tivos
del �ujo serán:
ϕ1 = 10−3 · 5 · 10−4cos 0º = 5 · 10−7T ·m2 ϕ2 = 10−3 · 5 · 10−4cos 45º = 3, 53 · 10−7T ·m2
Se generará una fuerza ele tromotriz, puesto que di ha fuerza ele tromotriz es igual a la varia ión del
�ujo on respe to al tiempo:
ε = −dϕ
dt
18. Se olo an dos argas puntuales, q y =2q, en los vérti es de un uadrado de 1 m de lado, omo apare e
en la �gura. Si q = 2
√2 nC, al ula y representa laramente el ve tor ampo elé tri o en el punto P
debido a ada arga, así omo el ve tor ampo elé tri o resultante generado por di has argas en el
punto P. Dato: onstante de Coulomb k=9·109 N m
2/C
2
Respuesta:
31
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La representa ión grá� a es la siguiente:
Los respe tivos módulos de los ve tores ampo son:
∣
∣
∣
−→E1
∣
∣
∣=
9 · 109 · 2√2 · 10−9
12= 25, 45N · C−1
∣
∣
∣
−→E2
∣
∣
∣=
9 · 109 · 2 · 2√2 · 10−9
12= 50, 90N · C−1
El ve tor ampo resultante será:
−→E = −25, 45
−→j + 50, 90
−→i N · C−1
19. Por un ondu tor re tilíneo inde�nido ir ula una orriente de intensidad I. Es ribe y representa el
ve tor ampo magnéti o
−→B en puntos que se en uentran a una distan ia r del hilo. Expli a omo
ambia di ho ve tor si los puntos se en uentran a una distan ia 2r.
Respuesta:
La representa ión grá� a es la siguiente:
El ampo magnéti o a una distan ia r vendrá dado por:
B =µ0I
2πr
Por lo que a una distan ia doble, el ampo magnéti o se redu e a la mitad.
20. Se tiene una espira ir ular en el interior de un ampo magnéti o uniforme y onstante omo muestra la
�gura a). Si el área de la espira ir ular disminuye hasta ha erse la mitad ¾se indu e orriente elé tri a
en la espira? ¾en qué sentido? Si la forma de la espira pasa a ser ovalada, dejando invariante su área
(�gura b), ¾se indu e orriente elé tri a? Es ribe y expli a la ley del ele tromagnetismo en la que te
basas y responde razonadamente.
32
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Respuesta:
a) La fuerza ele tromotriz indu ida viene expresada por:
ε = −d (−→B · −→S )
dt
Por lo que si disminuye el área
−→S de la espira, se indu irá orriente elé tri a que, según la Ley de
Lenz, tenderá a oponerse a la ausa que la produ e. Al dirigirse B ha ia el interior del plano, la orriente
indu ida debe rea un ampo dirigido ha ia el exterior de aquel, por lo que la orriente ir ulará en el
sentido de las agujas del reloj.
b) Al no haber varia ión ni en el ampo magnéti o ni en el área atravesada por éste, no se indu irá
orriente elé tri a.
21. Un ion on arga q = 3,2·10
−19C, entra on velo idad onstante v =20
−→j m/s en una región del espa io
en la que existen un ampo magnéti o uniforme
−→B = =20
−→i T y un ampo elé tri o uniforme
−→E .
Despre ia el ampo gravitatorio. a) Cal ula el valor del ve tor
−→E ne esario para que el movimiento del
ion sea re tilíneo y uniforme. b) Cal ula los ve tores fuerza que a túan sobre el ion (dire ión y sentido)
en esta región del espa io. Representa laramente los ve tores,
−→v ,−→B y
−→E di hos ve tores fuerza.
Respuesta:
a) Para que el ion des riba un movimiento re tilíneo y uniforma, la fuerza de Lorentz que a túes sobre
él debe ser nula: −→F = q
(−→E +−→v ×−→
B)
= 0
0 =−→E + 20
−→j × (=20
−→i )
−→E = −400
−→k N · C−1
Los respe tivos ve tores fuerza serán:
−→Fe = q
−→E = 3, 2 · 10−19(−400
−→k ) = −1, 28 · 10−16−→k N
−→Fm = 3, 2 · 10−19[(20
−→j × (=20
−→i )] = 1, 28 · 10−16−→k N
la representa ión grá� a será la siguiente:
33
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22. Una arga q1= = 3 nC se en uentra situada en el origen de oordenadas del plano XY. Una segunda
arga de q2= 4 nC está situada sobre el eje Y positivo a 2 m del origen. Cal ula el ve tor ampo elé tri o
reado por ada una de las argas en un punto P situado a 3 m del origen sobre el eje x positivo y el
ampo elé tri o total reado por ambas. Dato: onstante de Coulomb, k=9·109 N m
2/C
2
Respuesta:
a) La representa ión grá� a será la siguiente:
Los ampos reados por las argas de - 3 nC y 4 nC valen, respe tivamente:
−→E1 =
9 · 109 · 3 · 10−9
32(−−→
i ) = −3−→i N · C−1
−→E2 =
9 · 109 · 4 · 10−9
22 + 32(−→i cos 33, 7º−−→
j cos 33, 7º) = 2, 76−→i − 1, 54
−→j
El ampo total reado por ambas es:
−→E =
−→E1 +
−→E2 = −3
−→i + 2, 76
−→i − 1, 54
−→j = −0, 24
−→i − 1, 54
−→j N · C−1
23. Dos argas q1= 8,9 mC y q2= 17,8 mC se en uentran en el va ío y situadas, respe tivamente, en los
puntos O (0,0,0) m y P (1,0,0) m. Enun ia el teorema de Gauss para el ampo elé tri o. Cal ula,
justi� adamente, el �ujo del ampo elé tri o a través de una super� ie esféri a de radio 0,5 m entrada
en el punto O. ¾Cambia el �ujo si en lugar de una esfera se trata de un ubo de lado 0,5 m? Dato:
permitividad del va ío ε0= 8,9·10−12C
2N
−1m
−2
Respuesta:
a) El teorema de Gauss estable e que el �ujo del ampo elé tri o reado por una arga en errada por
una super� ie (que denominaremos super� ie gaussiana) es:
φ = E · S =q
ε
Siendo q la arga en errada por la super� ie, S el área de ésta y ε la permitividad del medio.
La super� ie esféri a en ierra solamente la arga de 8,9 µC, por lo que el �ujo del ampo elé tri o será:
φ =8, 9 · 10−6
8, 9 · 10−12= 106N ·m2 · C−1
La segunda arga, puesto que no se en uentra en errada por la super� ie gaussiana, no tiene efe to
sobre el valor del �ujo. La forma geométri a de la super� ie no in�uye, siempre que se trate de
una super� ie errada.
24. En la �gura se muestra una espira re tangular de lados 10 m y 12 m en el seno de un ampo magnéti o
−→B perpendi ular al plano del papel y saliente. Se ha e variar |
∣
∣
∣
−→B∣
∣
∣| desde 0 a 1 T en un intervalo de
tiempo de 1,2 s. Cal ula la varia ión de �ujo magnéti o y la fuerza ele tromotriz media indu ida en la
34
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espira. Indi a y justi� a el sentido de la orriente elé tri a indu ida.
Respuesta:
La varia ión del �ujo será:
∆ϕ = ∆(B · S) = (1 − 0) 0, 1 · 0, 12 = 1, 2 · 10−2Wb
La fuerza ele tromotriz indu ida es:
ε = −∆ϕ
∆t= −1, 2 · 10−2
1, 2= −10−2V
Puesto que el �ujo del ampo magnéti o aumenta, la orriente indu ida tenderá a oponerse a este
ambio. Siguiendo la regla de la mano dere ha, el sentido de la orriente indu ida será el de las
agujas del reloj.
25. La �gura muestra dos ondu tores re tilíneos, inde�nidos y paralelos entre sí, separados por una distan-
ia d en el plano YZ. Se ono e la intensidad de orriente I1= 1 A, el módulo del ampo magnéti o que
esta orriente rea en el punto P de la �gura, B1= 10
−5T, así omo el módulo del ampo magnéti o
total B = 3B1. a) Cal ula la distan ia d y el ve tor ampo magnéti o
−→B2 en el punto P b) Si una
arga q = 1 mC pasa por di ho punto P on una velo idad v =10
6−→k ms/, al ula la fuerza F (módulo,
dire ión y sentido) sobre ella. Representa los ve tores
−→v ,−→B y
−→F .Dato: permeabilidad magnéti a del
va ío, µ0=4 π·10−7T m/A
Respuesta:
a) En la siguiente representa ión grá� a podemos ver el ampo magnéti o reado por ada una de las
orrientes, así omo el ampo magnéti o resultante. También se representan el ve tor velo idad de la
arga, así omo la fuerza sobre la misma. El ampo magnéti o reado por la orriente I1 será:
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10−5 =4π · 10−7
2πdd = 0, 02m
El módulo del ampo magnéti o B2= 3B1−B1 = 2B1 = 2 · 10−5T. Tal omo puede verse en la anterior
representa ión grá� a, los ampos B1 y B2 estará dirigidos ha ia la parte positiva del eje X, por lo tanto:
−→B2 = 2 · 10−5−→i T
b) La fuerza sobre la arga será:
−→F = q−→v ×−→
B = 10−6(105−→k × 2 · 10−5−→i ) = 0, 2
−→j N
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5. Físi a moderna.
1. Cal ula la energía total en kilovatios-hora (kW·h) que se obtiene omo resultado de la �sión de 2 g de
235U, suponiendo que todos los nú leos se �sionan y que en ada rea ión se liberan 200 MeV. Datos:
número de Avogadro, NA= 6·1023; arga elemental, e = 1,6 10
−19C
Respuesta:
El número de moles de
235U será:
Respuesta:
a)
n =2
235= 8, 51 · 10−3
El número de nú leos tendrá el valor:
N = n ·NA = 8, 51 · 10−3 · 6 · 1023 = 5, 106 · 1021nucleos
La energía liberada, expresada en eV será:
E = 5, 106 · 1021 · 2 · 108 = 1, 02 · 1030eV
Por último, sabiendo que:
1kW · h = 1000J
s,3600 s
1 eV
1, 6 · 10−19J= 2, 25 · 1025eV
La energía, expresada en kW·h tendrá el valor:
E =1, 02 · 10302, 25 · 1025 = 4, 53 · 104kW · h
2. El átodo de una élula fotoelé tri a tiene una longitud de onda umbral de 750 nm . Sobre su super� ie
in ide un haz de luz de longitud de onda 250 nm . Cal ula: a) La velo idad máxima de los fotoele trones
emitidos desde el átodo. b) La diferen ia de poten ial que hay que apli ar para anular la orriente
produ ida en la foto élula. Datos: onstante de Plan k, h = 6,63·10−34J· s ; masa del ele trón, me =
9,1 10
−31kg ; velo idad de la luz en el va ío, = 3 10
8; arga elemental, e = 1,6 10
−19C.
Respuesta:
a) La e ua ión del efe to fotoelé tri o puede ser expresada de la siguiente forma:
hc
λ=
hc
λ0
+1
2mv2
Sustituyendo valores:
6, 63 · 10−34 · 3 · 1082, 5 · 10−7
=6, 63 · 10−34 · 3 · 108
7, 5 · 10−7+
1
29, 1 · 10−31v2
Con lo que se obtiene: v = 1, 09 · 106m · s−1
b) La energía inéti a se puede igualar al produ to de la arga del ele trón por la diferen ia de poten ial
que debe apli arse para frenarlo (poten ial de frenado), es de ir:
1
29, 1 · 10−31(1, 09 · 106)2 = 1, 6 · 10−19∆V −→ ∆V = 3, 38V
37
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3. La grá� a representa el número de nú leos radia tivos de una muestra en fun ión del tiempo en años.
Utilizando los datos de aquella, dedu e razonadamente el periodo de semidesintegra ión de la muestra
y determina el número de periodos de semidesintegra ión ne esarios para que sólo queden 250 nú leos
por desintegrar:
.
Respuesta:
La representa ión grá� a muestra que el número de nú leos ini iales (1000) se redu e a la mitad uando
ha trans urrido un tiempo de 5 años. Éste es, pues, el periodo de semidesintegra ión.
Cuando el número de nú leos se haya redu ido a 250 (una uarta parte del número ini ial), habrán
trans urrido dos periodos, ya que en ada uno de ellos el número de nú leos se redu e a la mitad.
4. Indi a razonadamente qué partí ula se emite en ada uno de los pasos de la siguiente serie radia tiva,
e identifí ala on algún tipo de desintegra ión.
23190 Th →231
91 Pa →22789 Ac
Respuesta:
El primer paso puede representarse de esta forma:
23190 Th →231
91 Pa+0−1 e
Es de ir, se produ e una emisión de un ele trón (desintegra ión β)El segundo paso es:
23191 Pa →227
89 Ac+42 α
Se produ e en este aso una emisión de nú leos de Helio (desintegra ión α).
5. Determina la velo idad a la que debe a elerarse un protón para que su longitud de onda aso iada de
De Broglie sea de 0,05 nm. Cal ula también su energía inéti a (en eV). Datos: onstante de Plan k, h
= 6,63 · 10
−34J· s; masa del protón, mp = 1, 7 · 10−27
kg.
Respuesta:
a) La longitud de onda de De Broglie es:
λ =h
p=
h
mv=
6, 63 · 10−34
1, 7 · 10−27v= 5 · 10−11 v = 7800m · s−1
Su energía inéti a tendrá el valor:
Ec =1
2mv2 =
1
21, 7 · 10−27 · 78002 = 5, 17·10−20 J
38
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6. A tualmente existen varias ompañías privadas que aspiran a desarrollar rea tores de fusión nu lear
para la obten ión de energía. Una de ellas, situada en Canadá, pretende lograr la rea ión de fusión:
21H +3
1 H →ab X +1
0 n
Para evitar los problemas derivados de la emisión de +10n , otra ompañía, on sede en California, está
intentando lograr la rea ión:
cdY +11
5 B → 3 42He
Determina, a, b, y d, y el nombre de los elementos X e Y.
Respuesta:
En la primera rea ión tendremos: 2 + 3 = a + 1 y 1 + 1 = b + 0, on lo que a = 4 y b = 2. Para la
segunda rea ión, se umple que: + 11 = 12 y d + 5 = 6. Así pues, = 1 y d = 1. El elemento X es
el Helio y el Y, es un protón
7. En un experimento de efe to fotoelé tri o, la luz puede in idir sobre un átodo de Cesio (Cs) o de Zin
(Zn). Al representar la energía inéti a máxima de los ele trones frente a la fre uen ia O de la luz, se
obtienen las re tas mostradas en la �gura. Cuando la longitud de onda de la luz in idente es λ =500 nm
, sólo se dete tan ele trones para el Cs, que tienen una energía inéti a máxima E
maxc = 6,63 · 10
−20J.
Cuando λ = 250 nm se dete tan ele trones para ambos átodos, siendo E
maxc = 13,26· 10
−20J. para el
de Zn. a) Sin realizar ningún ál ulo numéri o, razona a qué elemento orresponden las re tas (1) y
(2) y expli a el signi� ado de los puntos de orte de estas re tas on el eje horizontal (puntos a y b).
b) Cal ula el trabajo de extra ión de ele trones del Cs y Zn y los valores de los puntos a y b. Datos:
onstante de Plan k, h = 6,63 · 10
−34J·s; velo idad de la luz en el va ío, = 3 · 10
8m/s.
Respuesta:
a) La re ta (1) orresponderá al Cs, que es el elemento para el que la emisión fotoelé tri a tiene lugar
on una menor fre uen ia (mayor longitud de onda) de la radia ión in idente. Por tanto, la re ta (2)
orresponderá al Zn. Los puntos (a) y (b) representan los valores mínimos de la fre uen ia (fre uen ia
umbral) para los que omienza la emisión fotoelé tri a de Cs y Zn, respe tivamente.
b) El trabajo de extra ión se obtendrá a partir de la e ua ión del efe to fotoelé tri o:
hν = Wext + Ec
despejando el trabajo de extra ión en la anterior expresión, tendremos:
(Cs) Wext =hc
λ− Ec =
6, 63 · 10−34 · 3 · 1085 · 10−7
− 6, 63 · 10−20 = 3, 32 · 10−19 J
(Zn) Wext =hc
λ− Ec =
6, 63 · 10−34 · 3 · 1082, 5 · 10−7
− 13, 26 · 10−20 = 6, 63 · 10−19 J
39
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Los valores de los puntos (a) y (b) son los siguientes:
νa =Wext(Cs)
h=
3, 32 · 10−19
6, 63 · 10−34= 5 · 1014 s−1
νb =Wext(Cs)
h=
6, 63 · 10−19
6, 63 · 10−34= 1015 s−1
8. En una experien ia de efe to fotoelé tri o se ilumina un metal on luz mono romáti a de 500 nm y
se observa que es ne esario apli ar una diferen ia de poten ial de 0,2 V para anular totalmente la
foto orriente. Cal ula la longitud de onda máxima de la radia ión in idente para que se produz a el
efe to fotoelé tri o en el metal. Datos: onstante de Plan k, 6,63·10−34J· s; arga elemental, qe = 1,6
10
−19C ; velo idad de la luz en el va ío, = 3 10
8m/s.
Respuesta:
A partir de la e ua ión del efe to fotoelé tri o:
hc
λ=
hc
λ0
+ qVf
tendremos, sustituyendo valores:
6, 63 · 10−34 · 3 · 1085 · 10−7
=6, 63 · 10−34 · 3 · 108
λ0
+ 1, 6 · 10−19 · 0, 2 λ0 = 5, 44 · 10−7m
9. En una prueba médi a, se le inye ta a un pa iente un radiofárma o onstituido por un isótopo radia tivo
on periodo de semidesintegra ión T = 17,8 h . Para obtener la resolu ión deseada, en el momento de
realizar la prueba la a tividad de la sustan ia inye tada debe ser de 2 10
8Bq (desintegra iones/segundo).
Entre la fabri a ión del radiofárma o y la realiza ión de la prueba pasan 20 horas . Cal ula: a) La
a tividad que debe tener el radiofárma o en el momento de su fabri a ión. b) El número ini ial de
nú leos de di ho isótopo y la masa que se ne esita fabri ar. Datos: número de Avogadro, NA = 6,02
10
23mol−1,; masa molar del isótopo, mM = 74g/mol.
Respuesta:
a) La onstante de desintegra ión es:
λ =0, 693
τ=
0, 693
17, 8= 3, 89 · 10−2 h−1 = 1, 08 · 10−5 s−1
Puesto que: N = N0e−λt
, podremos es ribir:
A = λN = λN0e−λt = A0e
−λt 2 · 108 = A0e−3,89·10−2
·20
Despejando, obtenemos:
A0 =2 · 108
e−3,89·10−2·20
= 4, 35 · 108Bq
b) El número ini ial de nú leos es:
N0 =A0
λ=
4, 35 · 1081, 08 · 10−5· = 4, 03 · 1013 nucleos
La masa a fabri ar es:
m =4, 03 · 10136, 023 · 1023 74 = 4, 95 · 10−9 g
40
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10. La energía inéti a de una partí ula es un 50% de su energía en reposo. Cal ula su energía relativista
total en fun ión de su energía en reposo y al ula también la velo idad de la partí ula. Dato: velo idad
de la luz en el va ío, = 3·108 m/s.
Respuesta:
a) La energía inéti a es:
Ec = 0, 5mc2
Por lo que la energía relativista es:
E = m0c2 + Ec = 1, 5m0c
2
Sabiendo que:
m = 1, 5m0 = γm0 =1
√
1− v2
c2
m0 1, 5 =1
√
1− v2
c2
v = 0, 745 c
11. Expli a brevemente en qué onsisten la radia ión alfa y la radia ión beta. Halla razonadamente el
número atómi o y el número mási o del elemento produ ido a partir del
21884 Po, después de emitir una
partí ula α y una partí ula β.
Respuesta:
a) La radia iónα está formada por nú leos de He, por tanto, posee arga positiva. La radia ión β esta
formada por ele trones, poseyendo, por tanto, arga negativa.
21884 Po →4
2 α+21482 X
21482 X →0
−1 β +21483 Y
12. Razona ual debe ser la velo idad de un muon, para que su longitud de onda aso iada (de De Broglie)
sea igual que la de un ele trón que se mueve a una velo idad 0,025 . La masa del muon es 207 ve es
la del ele trón. Considera que las velo idades son no relativistas. Deja el resultado en fun ión de la
velo idad de la luz en el va ío.
Respuesta:
a) La longitud de onda aso iada al ele trón es:
λ =h
m · 0, 025c =h
207mvv = 1, 21 · 10−4c
13. Se ha des ubierto una antigua silla egip ia de madera que se desea datar. Se mide la a tividad de una
muestra debido al
14C presente en la silla y se obtiene que es de 260 desintegra iones/día , frente a
las 18 desintegra iones/hora que produ e una muestra similar de madera re ién talada. a) Cal ula las
a tividades de las muestras en be querelios (desintegra iones por segundo). Determina la edad de la
silla y estable e si pudo pertene er a la reina Hetepheres I que vivió en la uarta dinastía entre los años
2575 5 a.C. y 2551 5 a.C. b) Cal ula la a tividad de la muestra de la silla dentro de 2000 años y el
por entaje de nú leos de
14C que se han desintegrado desde que se fabri ó la silla. Dato: periodo de
semidesintegra ión del
14C : 5730 años.
Respuesta:
41
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a) Las respe tivas a tividades, expresadas en Bq serán:
silla : As =260
86400= 3 · 10−3Bq madera : Am =
18
3600= 5 · 10−3Bq
A partir del periodo de semidesintegra ión, podemos al ular la onstante radia tiva:
λ =0, 693
5730= 1, 21 · 10−4 anos−1
Comparando las a tividades, tendremos:
3 · 10−3 = λN 5 · 10−3 = λN0
De donde dedu imos que el número a tual de nú leos equivale a los tres quintos del número ini ial, por
lo que podremos es ribir:
3
5N0 = N0e
−1,21·10−4t
Despejando, obtenemos: t = 4225 año, por lo que el año de pro eden ia sería: 2018 - a = 4225; a =
-2207 (2207 a.C.), por lo que no pudo pertene er a la reina Hetepheres I.
b) El número de nú leos dentro de 2000 años, onsiderando los 4225 años de antigüedad de la muestra
en la a tualidad, será:
N = N0e−1,21·10−4
·6225 = 0, 471N0
Por lo que el por entaje de nú leos restantes será el 47,1% , y el de nú leos desintegrados será el 100 -
47,1 = 52,9%
Sabiendo que en la a tualidad el número de nú leos y la a tividad de la muestra son:
N = N0e−1,21·10−4
·4225 = 0, 6N0 A = λ · 0, 6N0 = 3 · 10−3Bq
Dentro de 2000 años, la a tividad será:
A2000 = λ · 0, 471N0 = x
λ · 0, 471N0
λ · 0, 6N0
=x
3 · 10−32, 36 · 10−3Bq
14. La energía inéti a relativista de un ele trón es el doble de su energía en reposo. Cal ula su energía
total y su velo idad en unidades del SI. Dato: velo idad de la luz en el va ío, c = 3 · 108m · s−1; masa
del ele trón, 9,1·10−31kg.
Respuesta:
La energía inéti a relativista será
Ec = mc2 −m0c2 = 2m0c
2 mc2 = 3m0c2 m = 3m0
Puesto que la masa relativista es:
m = γm0 =m0
√
1− v2
c2
= 3m0
1√
1− v2
c2
= 3
Con lo que la velo idad será: v = 0,943 = 2,83·108m · s−1
La energía total será:
mc2 = 3m0c2 = 3 · 9, 1 · 10−31 · 9 · 1016 = 2, 457 · 10−13 J
42
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15. Completa la rea ión (determinando Z y X) sabiendo que la partí ula emitida sigue la traye toria
representada en la grá� a uando pasa por un ampo elé tri o uniforme. ¾De qué tipo de desintegra ión
y partí ula se trata?
146 C →14
Z N+X
Teniendo en uenta que la partí ula X se desvía ha ia la pla a positiva, su arga debe ser negativa. Así
pues, se trata de una partí ula β, on lo que la rea ión quedará así:
146 C →14
7 N+0−1 β
16. El
60Co se utilizaba omo fuente de rayos gamma para iertos tratamientos de radioterapia. Su periodo
de semidesintegra ión es de 1925 días. Se dispone de una muestra de 100 g de
60Co. a) Cal ula el
valor de la onstante de desintegra ión radia tiva y de la a tividad ini ial de la muestra. b) Si hay que
reemplazar la muestra uando la a tividad ha des endido a un ter io de la a tividad ini ial, ¾ uál es
la vida útil en años de una muestra destinada a este uso? Datos: número de Avogadro, 6·1023 ; masa
molar del
60Co : M = 60 g/mol.
Respuesta:
a) La onstante de desintegra ión radia tiva es:
λ =0, 693
1925 · 86400 = 4, 19 · 10−9s−1
La a tividad ini ial es:
A = λN0 = 4, 19 · 10−9 100
606 · 1023 = 4, 19·1015Bq
b) Para que la a tividad se reduz a a la ter era parte, deberá trans urrir un tiempo t, tal que:
N0
3= N0e
−4,19·109t t = 2, 62 · 108s (≃ 3035 dıas)
17. Una partí ula de masa en reposo m0 y energía igual a tres ve es su energía en reposo se une a otra de
igual masa y energía para formar una úni a partí ula on velo idad nula y energía en reposo M
2. Si
en el pro eso de unión se onserva la energía, al ula razonadamente el valor de M en fun ión de m, y
la velo idad de las partí ulas ini iales en fun ión de la velo idad de la luz en el va ío.
Respuesta:
a) La energía inéti a relativista es: E = 3m 02= m
2- m 0
2 on lo que: m = 4m0, es de ir, la mas se
ha he ho uatro ve es mayor que la masa en reposo. Teniendo en uenta que m =γ m0:
4m0 =1
√
1− v2
c2
m0 v = 0, 968 c
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18. Es ribe la expresión de la longitud de onda de De Broglie y expli a su signi� ado. Cal ula la longitud
de onda de De Broglie de una ba teria que se mueve a una velo idad de 66 µm/s sabiendo que la masa
de un millón de ba terias es de 1 µg. Dato: onstante de Plan k, h = 6,6·10−34 J · s.
Respuesta:
La expresión es la siguiente:
λ =h
p
Esta expresión rela iona las ara terísti as ondulatorias y orpus ulares, de forma que una partí ula
posee una propiedad ondulatoria, omo es la longitud de onda, y una onda posee una propiedad or-
pus ular, omo es el momento lineal.
La masa de la ba teria es: m =
10−9kg
106= 10−15kg, on lo que la longitud de onda de De Broglie es:
λ =6, 6 · 10−34
10−15 · 6, 6 · 10−5= 10−14m
19. En la nu leosíntesis estelar de estrellas masivas, el nú leo de la estrella, al ontraerse, provo a la siguiente
desintegra ión:
2010Ne →16
8 O +X . Determina razonadamente qué partí ula es X. En esta rea ión se
onsume una energía de 4,7 MeV. Cal ula la energía onsumida, en julios, uando se desintegra un mol
de nú leos de neón. Datos: número de Avogadro, NA =6·1023mol−1 arga elemental, qe = 1, 6 · 10−19
C.
Respuesta:
La partí ula es
42α para que la suma de los nu leones sea onstante.
La energía onsumida al desintegrarse un nú leo de Ne es: E = 4, 7·1, 6·10−19 ·106 = 7, 52·10−13J. En la
desintegra ión de un mol de nú leos, la energía onsumida es: Emol = 7, 52 ·10−13 ·6 ·1023 = 4, 51 · 1011 J
20. La energía relativista de una partí ula es 3/
√8 ve es su energía en reposo. Cal ula su velo idad en
fun ión de la velo idad de la luz en el va ío, c. Si se dupli a di ha velo idad, ¾se dupli a su energía?
Responde razonadamente.
Respuesta:
La energía relativista viene expresada por:
E =m0c
2
√
1− v2
c2
= γm0c2 =
3√8m0c
2
3√8=
1√
1− v2
c2
v =c
3
Si se dupli a la velo idad, tendremos:
1√
1− v2
c2
=1
√
1− 4c2
9c2
= 1, 34
Mientras que para la velo idad ini ial,
1√
1− v2
c2
=3√8= 1, 06. Por tanto, la energía de la partí ula no
se dupli ará.
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21. El Rn222 (radón 222) es un gas radia tivo natural presente en el aire de los espa ios errados. Se realizan
medidas para determinar la masa y la a tividad de di ho gas. a) Determina la a tividad en be querel
de un ierto volumen de aire si la masa de Rn222 que se mide es de 0,02 pg. b) La a tividad medida en
otro volumen de aire es de 228 Bq. Si di ho volumen se aísla, y se vuelve a medir al abo de 11,4 días
¾Cuánta a tividad, debida al Rn222, se tendrá? ¾Cuánto valdrá la masa de Rn222 orrespondiente?
Dato: masa de un átomo de
222Rn: 3,7·10
−25kg; periodo de semidesintegra ión del
222Rn, 3,8 días.
Respuesta:
a) Debemos hallar, en primer lugar, la onstante de desintegra ión:
λ =0, 693
3, 8 · 86400 = 2, 11 · 10−6s−1
La a tividad de una muestra es:
A = λN0 = 2, 11 · 10−6 2 · 10−17
3, 7 · 10−25= 114Bq
b) La a tividad, 228 Bq, es el doble de la al ulada en el apartado anterior, por lo que el número de
nú leos será también el doble:
N0 = 22 · 10−17
3, 7 · 10−25= 1, 08 · 108
Al ser el tiempo igual a tres ve es el periodo de semidesintegra ión, la antidad ini ial de nú leos se
habrá redu ido a la o tava parte (1/2
3), por lo que la a tividad será:
A = 2, 11 · 10−6 1, 08 · 1088
= 28Bq
La masa orrespondiente de
222Rn será: m =
1, 08 · 1088
3, 7 · 10−25 = 5 · 10−18Kg
22. Un muon (partí ula elemental) generado por un rayo ósmi o en la atmósfera, a 10 km de altura, viaja
ha ia el suelo, donde se determina que su velo idad ( onstante) es v = 0,98c. Cal ula uánto tiempo
dura el vuelo del muon según una observadora situada en el suelo y también según otra que viaje on
el muon. Determina la altura (distan ia re orrida por el muon) según la observadora que viaja on el
muon. Dato: velo idad de la luz en el va ío, c = 3·108 m/s.
Respuesta:
El valor de γ será:
γ =1
√
1− v2
c2
=1
√
1− 0,982= 5, 03
La distan ia medida por la observador en Tierra es la longitud propia para ella. El tiempo medido por
la observadora que se en uentra en el suelo es, por tanto:
t =10000
0, 95 · 3 · 108 = 3, 51 · 10−5 s
El tiempo medido por la observadora que se desplaza on el muon (tiempo propio) será:
t′ =t
γ= 6, 98 · 10−6 s
23. Una radia ión mono romáti a de longitud de onda 500 nm in ide sobre una foto élula de esio, uyo
trabajo de extra ión es de 2 eV. Cal ula: a) La fre uen ia umbral y la longitud de onda umbral. b) La
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energía inéti a máxima de los ele trones emitidos y el poten ial de frenado, ambos en eV. Expli a qué
es el poten ial de frenado. Datos: arga elemental q = 1,6·10
−19C; velo idad de la luz en el va ío, c =
3·10
8m/s; onstante de Plan k, h = 6,6·10
−34J·s
Respuesta:
a) El trabajo de extra ión expresado en J es:
Wext = 2 · 1, 6 · 10−19 = 3, 2 · 10−19J
La fre uen ia umbral se dedu e de: Wext = hν0 , on lo que ν0 =Wext
h=
3, 2 · 10−19
6, 6 · 10−34= 4, 85 · 1014 s−1.
La longitud de onda umbral es:
λ0 =c
ν0=
3 · 1084, 85 · 1014 = 6, 19 · 10−7m
b) La energía inéti a máxima será:
Ec =6, 6 · 10−34 · 3 · 108
5 · 10−7− 3, 2 · 10−19 = 7, 6 · 10−20 J
El poten ial de frenado es la mínima diferen ia de poten ial que habría que apli ar para detener la
emisión fotoelé tri a. En este aso, tendremos:
qVf = 7, 6 · 10−20 Vf =7, 6 · 10−20
1, 6 · 10−19= 0, 48V
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