Plantilla de Tesis Universidad Nacional de Colombia

Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras

planas: una trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo

Marco Emilio Correa Repizo

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería y Administración

Maestría en Enseñanza de la Ciencias Exactas y Naturales

Palmira, Colombia

2020

Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras

planas: una trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo


Tesis o trabajo de investigación presentada(o) como requisito parcial para optar al título

de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director (a):

PhD. Teresa Pontón Ladino

Línea de Investigación: Educación Matemática

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería y Administración

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Palmira, Colombia

2020

(Dedicatoria o lema)

A Dios y a toda mi familia por ser parte

fundamental en mi vida y ayudarme a lo largo de

todo este proceso.

Declaración de obra original

Yo declaro lo siguiente:

He leído el Acuerdo 035 de 2003 del Consejo Académico de la Universidad Nacional.

«Reglamento sobre propiedad intelectual» y la Normatividad Nacional relacionada al

respeto de los derechos de autor. Esta disertación representa mi trabajo original, excepto

donde he reconocido las ideas, las palabras, o materiales de otros autores.

Cuando se han presentado ideas o palabras de otros autores en esta disertación, he

realizado su respectivo reconocimiento aplicando correctamente los esquemas de citas y

referencias bibliográficas en el estilo requerido.

He obtenido el permiso del autor o editor para incluir cualquier material con derechos de

autor (por ejemplo, tablas, figuras, instrumentos de encuesta o grandes porciones de

texto).

Por último, he sometido esta disertación a la herramienta de integridad académica, definida

por la universidad.


Nombre

Fecha 07/07/2020

Agradecimientos

A mi estimada profesora Teresa Pontón Ladino, admiración y respeto por lo que

representas para mí y muchos estudiantes en la maestría, tu entrega a nosotros a lo largo

de cada proceso hará que muchos profesionales en la educación, en particular la

educación matemática, tomen tu ejemplo y comencemos a transformar nuestras prácticas

y aplicar todas tus enseñanzas, sobre todo estoy muy agradecido por llevarme a umbrales

en la comprensión de los que implica ser un profesional en educación y ser un profesor de

matemáticas.

También te doy gracias por formarme como investigador y hacerme más consciente de la

entrega que exige la academia.

A los directivos, administrativos, profesores de la I. E. Manuel Antonio Sanclemente por

abrirme las puestas de su institución educativa y brindarme todas las garantías para

realizar mi trabajo, especialmente mis más sinceros agradecimientos la profesora Iliana

Holguín Peña por ser parte activa de este proyecto.

A Yamileth Sandoval Ocampo, admiración por lo bien que realiza su labor y el haber

trabajado contigo me permitió crecer como persona y profesional, con sinceridad atesórate

tu amistad.

A Paola Andrea Toro Pantoja y Lina Verónica Collazos por brindarme su apoyo, amistad y

aliento cuando más lo necesitaba a lo largo de la maestría y a Augusto Lema Villegas un

agradecimiento espacial, por hacer de los espacios de la maestría un lugar grato para

compartir y debatir.

Resumen y Abstract XI

Resumen

En este informe de trabajo final, se presenta un estudio de los procesos de visualización

que se movilizan en estudiantes de grado séptimo de educación básica, cuando se

enfrentan a una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA), que apunta a la comprensión

del tópico de áreas de figuras planas y al desarrollo de su pensamiento geométrico y

métrico. La implementación de la THA que aquí se presenta se llevó a cabo con tres grupos

de estudiantes de grado séptimo de una Institución Educativa oficial ubicada en la ciudad

de Buga (Valle del Cauca). Para identificar los elementos y procesos que permitirían el

desarrollo de este trabajo se tomó como referente la propuesta semiótico-cognitiva

desarrollada por Duval (1999, 2001, 2005), la cual parte de la premisa de que el

aprendizaje de las matemáticas en particular de la geometría radica en la debida

coordinación de registros de representación semiótica y su interpretación. También se

recurrió a las investigaciones de Marmolejo (2007, 2014), para orientar el diseño de una

trayectoria de aprendizaje la cual, permitió entender como los estudiantes alzaban un

acercamiento a la comprensión del tópico de interés, mediante la exploración heurística de

figuras geométricas que permitirían la comparación, clasificación y reconfiguración de las

formas y la elaboración de explicaciones, determinando así, una mejor conceptualización

del tópico de interés. Finalmente, los resultados de este estudio permiten concluir que la

comprensión desarrollada por los estudiantes se logró establecer que ésta se encuentra

mediada por una diversidad de recursos semióticos que les ayuda a tomar conciencia

frente al registro figural y que dotan de sentido a los procesos de visualización que se van

desarrollando.

Palabras clave: procesos de visualización, teoría semiótica-cognitiva, registros

semióticos, trayectoria hipotética de aprendizaje y áreas de figuras planas.

XII Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una

trayectoria hipotética de aprendizaje en grado séptimo

Abstract

In this final paper report, it shows a study about the visualization processes that are

mobilized in seventh grade students of basic education, when they face a hypothetical

learning trayectory (THA), which aims the understanding of flat figures area topic and

devlopment od geometric and metric thinking. The THA implementation presented here

was carried out with three groups of seventh grade students from an official Educational

Institution located in Buga city (Valle del Cauca). To identify the elements and processes

that would allow the development of this paper, the semiotic-cognitive proposal developed

by Duval (1999, 2001, 2005) was taken as a reference, which starts from the premise that

the mathematics learning in particular from geometry, lies in the proper registers

coordination of semiotic representation and their interpretation. Also, the Marmolejo`s

research (2007, 2014) was used to guide the design of a learning trajectory, which allowed

to understand how students raised an approach to understand the topic, through the

heuristic exploration of geometric figures that allows the forms comparison, classification

and reconfiguration and the elaboration of explanations, determining a better

conceptualization of the interest topic. Finally, this study results allow us to conclude about

the understanding developed by the students developed by the students, it was established

that it is mediated by a diversity of semiotic resources that helps them become aware about

the figural register and that give meaning to the visualization processes that are going

developing.

Keywords: Processes of visualization, semiotic - cognitive theory, semiotic registers,

hypothetical learning trajectories and plane figures, areas.

Contenido XIII

Contenido

Pág.

Resumen ........................................................................................................................ XI

Lista de figuras ............................................................................................................ XVI

Lista de tablas ............................................................................................................. XXI

Introducción .................................................................................................................... 1

1. Contextualización y planteamiento del campo problemático ............................... 5

1.1 Planteamiento del problema ............................................................................... 5 1.2 Justificación ...................................................................................................... 10 1.3 Antecedentes ................................................................................................... 15

1.3.1 Investigaciones relacionadas con aspectos de la enseñanza y/o aprendizaje de la geometría vista desde un enfoque semiótico cognitivo ................................... 16 1.3.2 Investigaciones que registran adelantos frente al trabajo con áreas .......... 20 1.3.3 Investigaciones que abordan la metodología de trayectorias de aprendizaje 23

1.4 Planteamiento de la pregunta de investigación ................................................ 25 1.5 Objetivos .......................................................................................................... 26

1.5.1 Objetivo general ........................................................................................ 26 1.5.2 Objetivos específicos ................................................................................ 26

2. Fundamentos Teóricos .......................................................................................... 27

2.1 Algunos elementos de la teoría semiótica-cognitiva ......................................... 27 2.1.1 Los procesos cognitivos en geometría ...................................................... 29 2.1.2 Las condiciones cognitivas de ver en geometría ....................................... 30 2.1.3 Las entradas en geometría ........................................................................ 32 2.1.4 La manera de ver requerida en geometría “una quinta entrada” ................ 36

2.2 Formas de aprehensión en geometría .............................................................. 41 2.2.1 La aprehensión perceptiva ........................................................................ 41 2.2.2 Aprehensión operatoria ............................................................................. 42 2.2.3 Aprehensión discursiva ............................................................................. 45

2.3 La influencia de los libros de texto escolar en el desarrollo de la visualización de un contenido especifico en geometría ......................................................................... 47

2.3.1 Elementos generadores del control visual ................................................. 48 2.3.2 Tipos de control visual ............................................................................... 54

XIV Contenido

2.4 El área de figuras planas .................................................................................. 61 2.5 Deducciones de fórmulas para hallar el área de algunas figuras geométricas .. 64

3. Fundamentos metodológicos y de diseño ........................................................... 75

3.1 Las trayectorias de aprendizaje: una teoría para el diseño ............................... 76 3.2 Elementos constitutivos de las trayectorias hipotéticas de aprendizaje ............. 78 3.3 Elementos por considerar para la recolección y análisis de información ........... 81 3.4 Contextualización de la implementación y planificación metodológica .............. 83 3.5 Elementos primarios de diseño ......................................................................... 86

3.5.1 Orientaciones didácticas ............................................................................ 87 3.5.2 Conocimientos previos de los estudiantes ................................................. 89

3.6 Síntesis general de los niveles de aprendizaje pensados a priori para diseñar la THA 90

4. Diseño de la THA: tareas por niveles ................................................................... 95

4.1 Primer nivel de aprendizaje ............................................................................... 95 4.2 Segundo nivel de aprendizaje ......................................................................... 105 4.3 Tercer nivel de aprendizaje ............................................................................. 112 4.4 Cuarto nivel de aprendizaje ............................................................................ 126 4.5 Quinto nivel de aprendizaje ............................................................................. 133

5. Análisis a posteriori: constitución de una trayectoria real de aprendizaje ..... 143

5.1 Presentación general del instrumento de valoración del proceso de análisis de datos 144 5.2 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el primer nivel de aprendizaje ........................................................................................ 145

5.2.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del primer nivel de aprendizaje ......... 155 5.2.2 Reflexión de cierre del primer nivel de aprendizaje .................................. 159

5.3 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el segundo nivel de aprendizaje .................................................................................... 159

5.3.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del segundo nivel de aprendizaje ..... 166 5.3.2 Reflexión de cierre del segundo nivel de aprendizaje .............................. 170

5.4 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el tercer nivel de aprendizaje ......................................................................................... 171

5.4.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del tercer nivel de aprendizaje .......... 180 5.4.2 Reflexión de cierre del tercer nivel de aprendizaje ................................... 182

5.5 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el cuarto nivel de aprendizaje ........................................................................................ 183

5.5.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del cuarto nivel de aprendizaje ......... 190 5.5.2 Reflexión de cierre del cuarto nivel de aprendizaje .................................. 192

5.6 Presentación general del grupo de tareas que conforman el quinto nivel de aprendizaje ................................................................................................................ 193 5.7 Reflexión de cierre de la THA para constituirse como una TRA ...................... 200

6. Conclusiones ....................................................................................................... 203

6.1 Respecto a los elementos de corte teórico y documental ................................ 203 6.2 Respecto al diseño e investigación de la trayectoria y los niveles de aprendizaje 206

Contenido XV

6.3 Respecto a los procesos de visualización, tratamientos figurales y factores de visibilidad ...................................................................................................................209 6.4 Recomendaciones ...........................................................................................211

A. Anexo: Rejilla de análisis de las variables consideradas para le diseño de la

THA 215

B. Anexo: Algunas evidencias fotográficas de las intervenciones realizadas en los

grados séptimos de I.E. Manuel Antonio Sanclemente ............................................ 217

Referencias Bibliográficas ......................................................................................... 223

Contenido XVI

Lista de figuras

Pág.

Figura 2-1. Ejemplo de visualización icónica. ................................................................. 31

Figura 2-2. Ejemplo de visualización de una tarea no icónica. ....................................... 32

Figura 2-3. Ejemplo de representación de algunas figuras euclidianas elementales. ..... 33

Figura 2-4. Ejemplo alusivo a una tarea de la entrada del topógrafo–geómetra. ............ 34

Figura 2-5. Ejemplo de construcción de un polígono ABCD. .......................................... 35

Figura 2-6. Ilustración de la reconfiguración de un paralelogramo ABCD en un rectángulo

con una sola partición. .................................................................................................... 36

Figura 2-7. Ejemplo de descomposición estrictamente homogénea de un cuadrado. ..... 37

Figura 2-8. Ejemplo de descomposición homogénea de un cuadrado. ........................... 38

Figura 2-9. Ejemplo de descomposición heterogénea. ................................................... 39

Figura 2-10. Ejemplo de descomposición de unidades figurales por deconstrucción

dimensional de una forma poligonal. ............................................................................... 40

Figura 2-11. Representación de un trapecio ABCD realizado en Geogebra. .................. 42

Figura 2-12. Ejemplo de aprehensión operatoria. ........................................................... 44

Figura 2-13. Ilustración del paso crucial para reconfigurar la figura inicial en subfiguras.

....................................................................................................................................... 44

Figura 2-14. Representación de la operación figural de sustracción. .............................. 45

Figura 2-15. Ilustración del ejemplo de la aprehensión discursiva. ................................. 46

Figura 2-16. Adaptación del ejemplo del elemento de generador de control visual de

procedimiento usando la réplica como forma de control. ................................................. 50


procedimiento usando la referencia como forma de control. ........................................... 51

Figura 2-18. Ejemplo del elemento de generador de control visual de visibilidad. .......... 52

Figura 2-19. Ejemplo del elemento de generador de control visual de visibilidad. .......... 53

Figura 2-20. Ejemplo del elemento de generador de control visual de iconismo. ............ 54

Figura 2-21. Despliegue del tipo de visualización de control visual simple. .................... 55

Figura 2-22. Adaptación del ejemplo presentado por (Marmolejo y González, 2015, p.21).

....................................................................................................................................... 56

Figura 2-23. Ejemplo de control visual ambiguo. ............................................................ 58

Figura 2-24. Representación de la solución propuesta para el ejemplo de control visual

ambiguo. ......................................................................................................................... 59

Figura 2-25. Ilustración de la segunda solución al ejemplo de control visual ambiguo. ... 60

Figura 2-26. Representación de una línea poligonal....................................................... 65

Contenido XVII

Figura 2-27. Representación de un rectángulo ABCD con un área ab. .......................... 66

Figura 2-28. Representación figural de un conjunto elemental. ..................................... 67

Figura 2-29. Representación de un cuadrado OPQR con área a2. ................................. 67

Figura 2-30. Representación de la aprehensión operatoria por configuración de un

paralelogramo ABCD a un rectángulo EFCD. ................................................................. 68

Figura 2-31. Ilustración de la aprehensión operatoria de un cambio figural para hallar la

fórmula de un triángulo ABC al transformarlo en un romboide ABDC. ............................ 70

Figura 2-32. Representación de un trapecio ABDC. ...................................................... 70

Figura 2-33. Representación de un rombo ABCE. ......................................................... 71

Figura 2-34. Representación de un rectángulo regular ABCDE. .................................... 72

Figura 3-1. Adaptación del Ciclo de enseñanza de Simon (1995). ................................. 78

Figura 3-2. Esquema de elementos a considerar para planear la estructura del diseño. 86

Figura 4-1. Presentación del diseño de la T1-Nv1. ........................................................ 96

Figura 4-2. Presentación de la solución esperada de la T1-Nv1. ................................... 97


Figura 4-4. Presentación de la solución esperada de la T2-Nv1. ................................... 98


Figura 4-6. Presentación de la solución esperada de la T3-Nv1. ..................................100

Figura 4-7. Presentación de la opción de solución esperada la T3-Nv1. .......................101

Figura 4-8. Presentación del diseño de la T4-Nv1. .......................................................102

Figura 4-9. Presentación de la solución esperada de la T1(a)-Nv1. ..............................103

Figura 4-10. Presentación de la solución esperada de la T1(b)-Nv1. ............................104

Figura 4-11. Presentación del diseño de la T1-Nv2. .....................................................106

Figura 4-12. Presentación de la solución esperada de la T1-Nv2. ................................106


Figura 4-14. Presentación de una posible solución esperada de la T2-Nv2 ..................108


Figura 4-16. Presentación una posible solución de la T3-Nv2. .....................................109




Figura 4-20. Presentación de una posible solución de la T1-Nv3. ................................115


Figura 4-22. Representación de la posible solución de la primera situación de la T2-Nv3.

......................................................................................................................................119

Figura 4-23. Representación de la posible solución de la segunda situación de la T2-Nv3.

......................................................................................................................................119

Figura 4-24. Representación de la posible solución de la tercera situación de la T2-Nv3.

......................................................................................................................................120


Figura 4-26. Representación de la posible solución esperada de la T2-Nv3. ................123


Figura 4-28. Representación de la posible solución de la T4-Nv3.................................124


Contenido XVIII

Figura 4-30. Representación de la solución esperada de la T5-Nv3. ............................ 126

Figura 4-31. Presentación de los diseños de las T1 y T2-Nv4. ..................................... 127

Figura 4-32. Representación de las soluciones esperadas de la T1 -Nv4. ................... 129

Figura 4-33. Representación de las soluciones esperadas de la T2 -Nv4. ................... 129

Figura 4-34. Presentación del diseño de la T3-Nv4. ..................................................... 130




Figura 4-38. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 1. ......................................... 133




Figura 4-42. Representación de las soluciones esperadas de la T1-Nv5. .................... 136


Figura 4-44. Representación de la posible reconfiguración del rombo del diseño de la T2-

Nv5. .............................................................................................................................. 138


Figura 4-46. Presentación de los trazos esperados para la solución de la T3-Nv5. ...... 140

Figura 5-1. Evidencia 1 de solución de la T1-Nv1. ....................................................... 147

Figura 5-2. Evidencia 2 de solución de la T1-Nv1. ....................................................... 147

Figura 5-3. Evidencia 1 de las producciones de la T2-Nv1. .......................................... 148

Figura 5-4. Evidencia 2 de las producciones de la T2-Nv1. .......................................... 149

Figura 5-5. Evidencia de una de las producciones representativas de los estudiantes de

la T3-Nv1. ..................................................................................................................... 150


la T3-Nv1. ..................................................................................................................... 151

Figura 5-7. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (a). .......................................... 152

Figura 5-8. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (a). .......................................... 152

Figura 5-9. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (b). .......................................... 153

Figura 5-10. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (b). ........................................ 153

Figura 5-11. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (c).......................................... 154

Figura 5-12. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (c).......................................... 155

Figura 5-13. Evidencia 1 de un uso inadecuado de las reglas de la designación. ........ 155

Figura 5-14. Evidencia 2 de un uso inadecuado de las reglas de la designación. ........ 156

Figura 5-15. Evidencia de un obstáculo en la designación del círculo. ......................... 156

Figura 5-16. Evidencia 1 de la distorsión de la conservación de la unidad de medida. . 157



Figura 5-19. Evidencia de solución de la T1-Nv2. ........................................................ 161

Figura 5-20. Evidencia 1 de solución de la T2-Nv2. ..................................................... 161



Figura 5-23. Evidencia de algunas de las soluciones de la T3-Nv2. ............................. 163

Figura 5-24. Evidencia de algunas de las soluciones de la T3-Nv2. ............................. 164

Contenido XIX

Figura 5-25. Evidencias de algunas de las soluciones de la T3-Nv2. ............................164

Figura 5-26. Evidencia de muestra de una de las soluciones de la T4-Nv2. .................165

Figura 5-27. Evidencia 1 de casos con variantes en la T1-Nv2. ....................................166

Figura 5-28. Evidencia 2 de casos con variantes en la T1-Nv2. ....................................166

Figura 5-29. Evidencia 1 de los casos con variantes en la T2-Nv2. ..............................167

Figura 5-30. Evidencias de casos con variantes en la T2-Nv2. .....................................167

Figura 5-31. Evidencia de un caso de casos con variantes en la T2-Nv2. ....................168

Figura 5-32. Evidencia en que falto una cuadrícula para recubrir la superficie en la T3-

Nv2. ...............................................................................................................................168

Figura 5-33. Evidencia donde faltó una cuadrícula para recubrir la superficie en la T4-

Nv2. ...............................................................................................................................169

Figura 5-34. Evidencia (1A) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una

relación parte-todo en la T1-Nv3. ..................................................................................172

Figura 5-35. Evidencia (1B) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una


Figura 5-36. Evidencia (1C) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una


Figura 5-37. Evidencia (1D) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una


Figura 5-38. Evidencia 1 representativa de la T2-Nv3. .................................................175




Figura 5-42. Evidencia representativa de resolución de la T4-Nv3. ..............................178

Figura 5-43. Evidencia 1 representativa de resolución de la T5-Nv3. ...........................179

Figura 5-44. Evidencia 2 representativa de resolución de la T5-Nv3. ...........................179

Figura 5-45. Evidencia de aspectos puntuales por atender de la T1-Nv3. ....................180

Figura 5-46. Evidencia de aspectos puntuales por atender de la T2-Nv3. ....................181

Figura 5-47. Evidencia de uno de los casos en que faltó colocar las unidades de áreas

T5-Nv3. .........................................................................................................................182

Figura 5-48. Evidencia 1 representativa de reconfiguración figural T1-Nv4. .................185



Figura 5-51. Evidencia 2 representativa de reconfiguración figural T2-Nv4 ..................187

Figura 5-52. Evidencia representativa de reconfiguración figural sin elemento de

contraste T3-Nv4. ..........................................................................................................188

Figura 5-53. Evidencia representativa de deconstrucción figural T4-Nv4. .....................189

Figura 5-54. Evidencia de caso por aspecto a mejorar en el uso de la medida T1-Nv4.

......................................................................................................................................190

Figura 5-55. Evidencia de caso por aspecto a mejorar coordinar la visualización con

unidades de referenciaT4-Nv4. .....................................................................................191

Figura 5-56. Evidencia 1(a) de reconfiguración de áreas a una forma específica T1-Nv5.

......................................................................................................................................194

Contenido XX

Figura 5-57. Continuación de evidencia 1(a) de reconfiguración de áreas a una forma

específica T1-Nv5. ........................................................................................................ 195


..................................................................................................................................... 195


específica T1-Nv5. ........................................................................................................ 196

Figura 5-60. Evidencia 1 de reconfiguración el área de un rombo T2-Nv5. .................. 197

Figura 5-61. Evidencia 2 de reconfiguración el área de un rombo T2-Nv5. .................. 198

Figura 5-62. Evidencia 1 de descomposición figural de un área poligonal T3-Nv5. ...... 199

Figura 5-63. Evidencia 2 de descomposición figural de un área poligonal T3-Nv5. ...... 200

.

Contenido XXI

Lista de tablas

Pág.

Tabla 2-1: Compilación de las diferentes modificaciones operatorias. ........................... 43

Tabla 2-2: Presenta una síntesis de los mencionados elementos de control para el

tratamiento del tópico de área de figuras planas presentes en los libros escolares. ....... 49

Tabla 3-1: Pensamientos y estándares asociados al contenido de áreas, propuestos por

el (MEN, 2006). .............................................................................................................. 88

Tabla 3-2. Estructura general de los niveles de aprendizaje de la THA. ......................... 90

Tabla 4-1. Compilación de las descripciones esperadas para cada seccionamiento del

polígono ABCDEF. ........................................................................................................141

Tabla 5-1. Ejemplo de tabla de balance de los procesos evaluados en los estudiantes

para un nivel de aprendizaje..........................................................................................145

Tabla 5-2. Valoración de los resultados, posterior a la aplicación. ................................146

Tabla 5-3. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el segundo nivel

de aprendizaje. ..............................................................................................................160

Tabla 5-4. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el tercer nivel de

aprendizaje. ...................................................................................................................171

Tabla 5-5. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el cuarto nivel de

aprendizaje. ...................................................................................................................184

Tabla 5-6. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el quinto nivel de

aprendizaje. ...................................................................................................................193

Introducción

La educación matemática como campo de estudio e investigación busca dar respuesta a

los interrogantes que emergen en torno a la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas, en especial la comprensión de los objetos matemáticos, lo que implica que

los trabajos que se propongan, no se limiten a la selección de contenidos o escogencia de

estrategias para su enseñanza; sino que, más importante aún, generen espacios de

análisis y reflexión donde la aprehensión del conocimiento sea motivo suficiente para

actuar, en aras de ayudar a superar las debilidades que presentan los estudiantes cuando

despliegan sus razonamientos.

Así, en el amplio espectro de la educación matemática, el interés de este trabajo está

centrado en la enseñanza de la geometría, por ser uno de los campos con mayor

necesidad de estudio, debido al bajo nivel de desempeño que presentan los estudiantes

en distintos niveles de la formación escolar, TIMSS (2007) y PISA (2018) que reportó el

ICFES (2010, 2018). Ese nivel de desempeño es quizás explicado por una enseñanza

tradicional centrada en la formalidad y la desarticulación de los contenidos en los currículos

escolares (Camargo y Acosta, 2012). Lo que trae fuertes consecuencias tales como el

alejamiento de la capacidad de realizar acercamientos heurísticos que permitieran

desarrollar habilidades específicas del pensamiento geométrico en los estudiantes.

En ese sentido, cabe recalcar que el aprendizaje de la geometría, visto desde un

posicionamiento semiótico y cognitivo recurre como mínimo a dos registros de

representación: el registro figural y el registro de la lengua natural, debido a que para

asegurar que se produzca un aprendizaje en esta disciplina se hace necesario alcanzar

una interacción entre ambos registros, en el que su coordinación permitirá al educando dar

cuenta de la apropiación de una serie de conocimientos.

2 Introducción

Conforme a lo anterior, este trabajo propone abordar el tópico de áreas de figuras

planas, para realizar un acercamiento hacia el tratamiento de las figuras geométricas y

mostrar las posibilidades que permite plantear una propuesta que estimule los procesos

de visualización por ser una actividad cognitiva fundamental para desarrollar en los

estudiantes.

Todos estos elementos se conjugaron para el diseño de una trayectoria hipotética de

aprendizaje (THA) que se aplicaría en la clase de geometría a estudiantes de grado

séptimo de una Institución Educativa pública de la ciudad de Buga (Valle del Cauca), la

cual, fue analizada y ajustada por el docente investigador, la profesora de aula y la tutora

quien dirigió este trabajo. En definitiva, el objetivo de este trabajo de indagación busca

estudiar los procesos visuales que emergen cuando se orientan a los estudiantes mediante

los diseños de un grupo de tareas que pone en juego los factores de visibilidad y los

elementos de control visual.

Respecto a los elementos de control visual y factores de visibilidad (Marmolejo y

González, 2013, 2015) se consideran como partes de la estructura de los diseños de tareas

dado que, los tratamientos sobre las figuras estimulan el desarrollo de procesos propios

del pensamiento geométrico y de medida en el que los estudiantes deberán dar cuentas

de las trasformaciones realizadas sobre las figuras para decir algo sobre ellas, pero esto

está lejos de ser un asunto espontáneo y de fácil aprehensión.

Por lo tanto, es importante enseñar a los jóvenes a desarrollar su pensamiento

geométrico y hacer que las figuras geométricas sean un soporte intuitivo para el desarrollo

de actividades geométricas, porque estas al estar acompañadas de descripciones dejaran

ver lo que los estudiantes entienden y este asunto debe ser atendido en la enseñanza de

toda la escolaridad. Luego para este fin, es necesario que los estudiantes aprendan a

diferenciar las diferentes formas de ver que una figura posibilita y según sea el caso hacer

posible la discriminación sobre las figuras y subfiguras que pueden presentar diversas

configuraciones geométricas.

Este trabajo final se organizó de la siguiente manera: en el primer capítulo se describen

los elementos considerados para el planteamiento del problema de investigación, se

presentan los antecedentes de este trabajo y se dan argumentos que sustentan su

Introducción 3

importancia, para después formular la pregunta indagación y los objetivos del mismo. En

el segundo capítulo hace un recorrido por todos los conceptos y posturas que caracterizan

el marco teórico que orientaron este trabajo, es decir, se hace una descripción general de

la perspectiva semiótica y cognitiva para el aprendizaje de las matemáticas, en particular

de la geometría propuesta por Duval (1999, 2001, 2005) y sus colaboradores. Al mismo

tiempo que se destacan los elementos de control visual Marmolejo y González (2015) como

una extensión que serviría de apoyo para la construcción de una propuesta de orden

teórico, que ha de acompañar tanto al diseño de las tareas como sus análisis posteriores,

teniendo lugar de desarrollo en los grados séptimos.

En el tercer capítulo se presentan las características que conllevan la investigación

basada en el diseño y dentro de ese espectro, se encuentra las trayectorias hipotéticas de

aprendizaje las cuales determinaron la metodología con la que se desarrolló este trabajo.

Así mismo se estructuró la trayectoria en la que se establecieron una serie de metas de

aprendizaje las cuales debían responder a unas expectativas de desempeño por parte de

los educados, todo esto mediante la valoración de unos procesos que eran alusivos a las

tareas diseñadas. Después, en el cuatro capítulo se describen los grupos de actividades

que se diseñaron para determinar los niveles de aprendizaje, acompañados de los análisis

que dan respuesta a particularidades de su diseño en relación con los elementos de control

visual y los factores de visibilidad en el que, trabajos como los que elaboró Marmolejo

(2007, 2014) han sido explicitados. Mientras que, en el quinto capítulo se presentan los

criterios bajo los cuales de analizaron las respectivas producciones de los estudiantes

para, determinar si los resultados obtenidos avalan el diseño de la trayectoria hipotética de

aprendizaje como una trayectoria real de aprendizaje.

En la parte final del informe se describen las conclusiones a las que se llegaron con la

implementación de la trayectoria de aprendizaje, para dar cuenta de cómo se consiguieron

los objetivos trazados y cómo está se constituyó como una propuesta de enseñanza que

estimula el desarrollo de la visualización para la comprensión del trabajo con áreas. Por

último, se incluyen algunas observaciones para el desarrollo de futuras investigaciones

como también se adjuntan un grupo de evidencias fotográficas de las aplicaciones que

soportan este trabajo.

1. Contextualización y planteamiento del campo problemático

Este primer capítulo tiene como objetivo presentar los elementos que hicieron posible

mostrar que existe una problemática que sustenta esta investigación; por lo que

inicialmente se hace un recuento de algunas características que debería tener, el pensarse

un trabajo que se instaura en el marco de la enseñanza de las ciencias exactas y naturales,

para después resaltar las condiciones particulares que implica pensarse un trabajo

reflexivo que centra su interés en comprender los procesos cognitivos, en particular la

visualización en geometría ubicada al inicio de la formación de la básica secundaria.

También se presentan la justificación y antecedentes que respaldaron y orientaron las

razones por las cuales ameritaba desarrollarse este trabajo. Para después cerrar con el

planteamiento de la pregunta de indagación y los objetivos los cuales, se constituyeron

como los ejes conductores de este trabajo de investigación.

1.1 Planteamiento del problema

Las actividades que desarrolla todo sujeto en su vida cotidiana en trasfondo tienen algo

de ciencia aplicada en ellas, pero suelen ser obviadas particularmente por los estudiantes

por ser naturales en el quehacer diario, por lo que rescatar en la sociedad el interés por

cuestionarse sobre ciertos fenómenos que suceden en nuestro entorno hace parte de la

tarea que tiene todo educador en ciencias, tal y como lo expresan Campanario y Moya

(1999) afirmando “no se espera que el alumno descubra por sí mismo los contenidos

científicos” (p.182). En efecto, la enseñanza de las ciencias es un proceso lento, puesto

que requiere de un cierto grado de madurez intelectual y su aprendizaje debe ser

progresivo y debido al amplio espectro que representa comprenderlas en ese sentido se

pensó en clasificarla en ramas de conocimiento como la química, la física y las

matemáticas, por solo mencionar algunas.

6 Los procesos de visualización en la comprensión del área de figuras planas: una


A partir de esa idea, se debería afrontar el reto de la enseñanza de las ciencias exactas

y naturales con el interés de dar solución a problemas afines en un contexto determinado,

que sea real para las personas que aprenden, es decir, a los estudiantes que se le ha de

compartir un conocimiento.

La enseñanza en general y la de la matemática en particular son asuntos de la

mayor importancia para la sociedad contemporánea. A lo largo del tiempo, las

sociedades han conformado instituciones con el objeto de incorporar a la

matemática y a la ciencia en la cultura de la sociedad, con la clara intención de

favorecer entre la población una visión científica del mundo (Cantoral y Farfán,

2003, p.28).

Se ha elegido establecer este trabajo en el campo de la educación matemática, debido

a que se ha constituido como un campo de investigación y de reflexión autónomo que a lo

largo de los últimos años ha ganado legitimidad dentro de una comunidad científica, en el

cual son aceptados todos los esfuerzos por mejorar la enseñanza y el aprendizaje. Debido

a que estamos en un mundo vertiginoso y en constante cambio a nivel social, tecnológico,

científico y educativo producto de la globalización y un país como Colombia debe estar

generando, adaptando o aplicando políticas educativas que estén a la par de las exigencias

de estándares de calidad como son las pruebas TIMSS, PISA y las desarrolladas

nacionalmente por el ICFES que son las pruebas Avancemos, Saber once y Saber Pro

esto por solo referenciar al ámbito educativo.

De manera que existe la necesidad por mejorar los procesos tanto de enseñanza como

de aprendizaje en los establecimientos educativos, lo cual conlleva una gran

responsabilidad debido a que los procesos de cualificación demandan resultados positivos

en el menor tiempo posible pero la escuela deberá lograr esto sin perder el carácter

formativo de ciudadanos. Respecto a ello Guzmán (2007) plantea que la complejidad de

la educación matemática y la matemática misma, den permanecer abiertas a los cambios

profundos que la situación global exija para tener mayores competencias al afrontar los

retos de orden didáctico, pedagógico y disciplinar. En este arduo camino de culturización

científica ha generado cambios en el sistema educativo:

Capítulo 1 7

Cambios que nos ayudan a reconocer la necesidad de implementar modificaciones

educativas en el campo particular de las matemáticas con base en diseños mejor

adaptados a las prácticas escolares. Del estudio sistemático de los efectos de tales

procesos se ocupa la matemática educativa (Cantoral y Farfán, 2003, p.28).

Situación que, en el caso de Colombia a partir del movimiento de la renovación

curricular que se denominó “matemática moderna”, en los años sesenta y setenta, trajo

una serie de cambios profundos en la enseñanza de la matemática a nivel curricular, de

formación de maestros y en la forma en que se presentaban los contenidos de los libros

de texto. Lo que tuvo ciertas repercusiones en la formación de las personas de aquel

tiempo y que ha sido difícil de desarraigar de los sistemas educativos, a pesar de que no

ha sido la única reforma que se ha dado a nivel nacional dado a que instauró cambios muy

drásticos tal y como menciona Guzmán (2007):

Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas áreas, en espacial el álgebra.

Se pretendió enfatizar en el rigor lógico (teoría de conjuntos) y la comprensión de

aspectos operativos y manipulativos, la geometría elemental y la intuición espacial

perdieron lugar en los currículos (pp.22-23).

A nivel nacional en buena parte de las escuelas se practica una enseñanza tradicional

sobre todo en el caso de la geometría que si bien, expertos en educación y educadores

matemáticos han intentado que esta recupere un lugar en los currículos escolares no se

está aprovechando toda su potencialidad, además, que la formación del pensamiento

geométrico es compleja de estructurar, frente a esto se gestaron múltiples esfuerzos

renovación y transformación en la enseñanza de las matemáticas en el país. Esto se logra

gracias a la Ley 115 de 1994 o Ley general de Educación dado que:

Dentro de los límites fijados por la presente ley y el proyecto educativo institucional,

las instituciones de educación formal gozan de autonomía para organizar las áreas

fundamentales de conocimientos definidas para cada nivel, introducir asignaturas

optativas dentro de las áreas establecidas en la ley, adaptar algunas áreas a las

necesidades y características regionales, adoptar métodos de enseñanza y

organizar actividades formativas, culturales y deportivas, dentro de los lineamientos

que establezca el Ministerio de Educación Nacional (p.17).



De ahí que, las escuelas gocen de autonomía sobre el desarrollo y direccionamiento de

sus proyectos educativos institucionales. A partir de este punto un grupo selecto de

profesionales en el campo de la educación matemática y grupos de investigación

pedagógica referentes a nivel nacional elaboraron unos documentos rectores conocidos

como los Lineamientos Curriculares en Matemáticas (MEN, 1998) y los Estándares

Básicos de Competencias (MEN, 2006).

Los Lineamientos, pretenden ser una guía orientadora para los maestros colombianos,

con el fin de establecer criterios claros en los currículos que se ponen en marcha en los

establecimientos educativos en función de las áreas de conocimiento y sobre los enfoques

que son necesarios para comprender las matemáticas en función de su enseñanza, de tal

manera que sea significativa para los aprendices, es decir, los lineamientos serán los

encargados de promover en los educadores procesos de reflexión y de análisis crítico para

que realicen ajustes pertinentes en su entorno educativo y comunidad académica (MEN,

1998).

Mientras que los Estándares refuerzan y esclarecen las orientaciones del anterior

documento rector, dado que ofrece un modelo que parte de criterios claros donde se

establecen niveles de competencias que deberían desarrollar un individuo a medida que

supera ciertos ciclos en su formación primaria, de básica secundaria y educación media.

Sin embargo, si se quiere realizar un aporte a la educación matemática, en particular

de la geometría debido a la alta complejidad que representa este campo de desafíos,

debemos considerar una perspectiva que permita reflexionar sobre la forma en que los

estudiantes comprenden, debido a la particularidad que tienen los procesos de aprendizaje

y desde la perspectiva que se pretende implementar que es la línea semiótica cognitiva es

una alternativa propicia para incursionar en ese sentido, debido a que se necesita mejorar

los desempeños frente a la construcción de conocimiento matemático en todos los niveles

de formación académica, y que están por debajo de lo esperado por el Estado. Lo cual es

inquietante para toda la comunidad de educadores matemáticos puesto que, la enseñanza

en la educación básica según la UNESCO en 2011 tiene como principal desafío asegurar

una educación matemática de calidad para todos (Artigue, 2014), lo que no se refleja en

los resultados actuales de las evaluaciones ni nacionales ni internacionales.

Capítulo 1 9

Ahora, desde hace un par de décadas cuando surgieron los Lineamientos Curriculares

en Matemáticas ((MEN, 1998) como ya se mencionó, se establecieron diferentes maneras

de concebir la educación matemática en Colombia, debido a que formar el pensamiento

matemático en los estudiantes no es tarea fácil, no obstante los profesores han hecho

énfasis en una serie de procesos que se constituyen como herramientas para desarrollar

la cultura matemática por lo que se dividió en cinco tipos de pensamiento matemático su

enseñanza y aprendizaje los cuales son: el pensamiento numérico, el aleatorio, el

variacional, el espacial y el métrico.

En respuesta a la anterior para poder atender el análisis de la actividad de aprendizaje

matemático, será necesario centrar este trabajo de reflexión y de práctica sobre un par de

pensamientos en los que se divide el saber matemático como son el espacial y sistemas

geométricos y en parte el métrico y sistemas de medida para así poder delimitar la

problemática. Esto es necesario para la construcción de una posible vía de trabajo que sea

significativa para los estudiantes y así poder describir el proceso de desarrollo del

pensamiento geométrico, el cual lo presentan como “…el conjunto de los procesos

cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones

mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, sus

diversas traducciones o representaciones materiales” (MEN, 1998, p.56). Lo que implica

que según MEN (2006):

Contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones para

interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio, desarrollar

varias representaciones y, a través de la coordinación entre ellas, hacer

acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas

representaciones mentales (p.61).

Dada la riqueza que requiere el estudiar y comprender por un lado los conceptos y

propiedades de los objetos en el espacio físico y por otro, del espacio geométrico que

hacen parte de un corpus teórico interesante de abordar y de analizar, debido a la alta

exigencia que tiene el aprendizaje de la geometría. Más aún alcanzar la debida

coordinación de diferentes registros de representación semiótica, y el afianzar los

diferentes procesos de cognitivos que deben subjetivamente interiorizarse, hace que la

geometría sea una entrada propicia para estimular el desarrollo del pensamiento



matemático en general, y mejor aún enfocarse en una trabajo de intervención y de reflexión

que este ubicado al inicio de la formación básica secundaria, dado que es un punto

neurálgico que no siempre es fácil de asimilar que es el paso de primaria a la básica

secundaria. A continuación, se expondrán los diferentes argumentos que respaldaron el

desarrollo y realización de este trabajo final.

1.2 Justificación

En este apartado se pretende resaltar los elementos que sustentan la realización del

presente trabajo de investigación, exaltando elementos del porqué la elección de la

geometría, bajo qué proceso cognitivo se espera hacer énfasis, sustentar la elección de

un contenido específico como es el área de figuras planas y su potencialidad al entrar en

relación con otros elementos didácticos y semióticos cognitivos, como también justiciar la

elección de la metodología que permitirá realizar la intervención en el aula. La geometría

goza de una amplia riqueza multifacética producto de su variada relación con otros

dominios de conocimiento propios de la matemática misma y otras áreas de saberes como

son las ciencias naturales, sociales y la vida cotidiana, respecto a estas variadas relaciones

Camargo y Acosta (2012) relacionan las siguientes dimensiones:

En su dimensión biológica, se relaciona con capacidades humanas como el sentido

espacial, la percepción y la visualización. En su dimensión física, indaga por

propiedades espaciales de los objetos físicos y sus representaciones, modelando

el espacio circundante. En su dimensión aplicada, se constituye en una herramienta

de representación e interpretación de otras ramas del conocimiento. En su

dimensión teórica, integra una colección de diversas teorías que han sido ejemplo

de rigor y abstracción (p.4).

Lo mencionado hasta aquí supone que la toma de conciencia de esta

multidimensionalidad pueda estar relacionada con un cambio de perspectiva en el que su

estudio no solo se concibe como una disciplina formal, sino que se ha comenzado a

integrar como parte de la actividad humana y que las matemáticas que han de ser

enseñadas se conviertan en herramientas que estimulen las distintas formas de pensar

matemática y lógicamente. Por lo que su aporte desde las diferentes dimensiones cumple

Capítulo 1 11

un rol importante para la formación del individuo, justificando entonces que se incursione

en propuestas que incentiven su enseñanza.

No obstante, en la multiplicidad de la geometría coexisten dos polos en permanente

tensión que en palabras de Camargo y Acosta (2012) son “el empírico, donde se ubican la

percepción, la intuición, la visualización y el carácter instrumental de la geometría; y el

teórico, relacionado con los aspectos abstractos, conceptuales, deductivos, formales y

rigurosos de la geometría, como disciplina científica” (p.4). Como se puede apreciar cada

polo atrae a la actividad geometría a su manera y no es posible concebir una geometría

sin la mutua dependencia de esta polaridad. Esto se puede corroborar con las diferentes

geometrías que son: la euclidiana, la proyectiva, la descriptiva, la analítica, las no

euclidianas y la topología que han surgido a lo largo de la historia debido a su estrecha

relación entre actividades humanas, sociales, culturales, científicas y tecnológicas

mediadas por la resolución de problemas a la hora de interpretar hechos o dar

explicaciones.

Sin embargo, en algún momento de la historia debido al movimiento de la reforma de

las matemáticas modernas con los trabajos del grupo Bourbaki, se llegó alcanzar la idea

de prescindir de toda huella intuitiva o empírica, es decir, abolir de cualquier representación

figural la enseñanza de la geometría. Pero gracias a los trabajos de Goedel, estos

mostraron la imposibilidad de lo antes mencionado y aceptar una base intuitiva o no

racional en la matemática, por otra parte:

Los avances en piscología y epistemología reforzaron el punto de vista según el

cual el origen de los conceptos matemáticos no es la racionalidad pura, sino un

proceso que parte de los esquemas de acción innatos, que se van complejizando

por la integración con el mundo hasta desarrollar modelos mentales racionales

(Camargo y Acosta, 2012, p.5).

Por estas razones, es que se ha venido reconociendo para la educación matemática,

en particular la enseñanza de la geometría la necesidad de retomar el polo empírico para

servir de base en la construcción del polo teórico. Esto nos invita a pensar en cómo nuestro

quehacer puede hacer que se alcance un equilibrio entre ambos polos que son al fin de

cuentas los que rigen la actividad geométrica para nuestros estudiantes.



Buscando que nuestros estudiantes cuando trabajen de manera perceptiva con las

figuras recurran a la teoría para guiar y controlar la percepción, y cuando trabajen

de manera deductiva en los enunciados teóricos, recurran a la percepción para

representar y comprender la teoría (Camargo y Acosta, 2012, p.7).

Respecto a la respuesta que se plantea, conlleva a pensar en un currículo flexible para

que los alumnos puedan hacer uso de sus presaberes y experiencias que son de

naturaleza matemática así no esté representado en lenguaje matemático, se podrá

aprovechar este elemento en el acercamiento a un nuevo tópico que será cotejado con la

intuición geométrica, abriendo paso a una construcción de conocimiento más accesible y

significativo para los estudiantes. En ese sentido los profesores deberán articular sus

conocimientos pedagógicos con una propuesta de enseñanza apropiada al contexto en el

que se necesite.

Hoy en día existen muchos desarrollos en cuanto propuestas de enseñanza y

aprendizaje en este caso la teoría semiótica y cognitiva, es potente en el sentido que su

interés esta entrado en los procesos de pensamiento que tienen el sujeto o los sujetos que

aprenden que en este caso son los estudiantes de grado séptimo de la Institución

Educativa pública de interés.

La teoría que se fundamenta este trabajo es la propuesta y desarrollada por Duval

(1999, 2001, 2004, 2005, 2006) puesto que dentro de su espectro de intervención el

investigador en cuestión centra muchas de sus reflexiones en el aprendizaje de la

geometría. Duval (2001, 2005) expresa desde su postura que si se quiere aprender

geometría se debe considerar que esta disciplina se deben desarrollar tres actividades

cognitivas que son: la construcción, el razonamiento y la visualización. Además de

demandar la articulación y movilización entre dos registros de representación semiótica,

los cuales son el registro figural (RF) y el de lengua natural (RLN), respecto a esto se

ahondará con más detalle en el marco teórico.

Esta propuesta se centrará en la actividad cognitiva de la visualización, dado a que es

un atributo que es aplicable no solo en el ámbito geométrico debido a que contribuye al

desarrollo de la capacidad explotaría, de representar y de describir de los estudiantes. A

demás, la geometría es necesaria para poderla aplicar y trabajar en toda la matemática y

Capítulo 1 13

en otros campos de conocimiento como son la química, la física, las ciencias sociales, etc.

Centrando la mirada desde la geometría la visualización alude a las representaciones

espaciales (figuras, gráficos cartesianos, tablas, esquemas…) y permite “la ilustración de

proposiciones, la exploración heurística de situaciones complejas, echar vistazos

sinópticos sobre ella o realizar verificaciones subjetivas” (Duval, 1999, p.37).

Otro rasgo para recalcar es que existen múltiples investigaciones frente a esta actividad

cognitiva; tales como las realizadas por Padilla (1992), Duval (1999), Marmolejo (2007,

2014), Marmolejo y Vega (2012), Marmolejo y González (2013, 2015) entre muchas más,

y tienen la particularidad de estar asociadas al registro figural, que si bien las figuras

geométricas desempeñan un papel muy importante desde lo heurístico como soporte en

el desarrollo de actividades geométricas. Diferentes estudios ponen de manifiesto realizar

transformaciones sobre las figuras, reorganizarlas en otras figuras de contorno global

distinto y realizar procesos de conversión cuando hay presente una consigna en un

enunciado de problema, son asuntos que están lejos de ser un algo espontáneo Padilla

(1992), Duval (1999), Marmolejo (2007, 2014), Marmolejo y Vega (2012). Por el por el

contrario es necesario saber el tipo de aprehensión pertinente para resolver un problema

determinado.

Por consiguiente, se puede decir que la visualización adquiere matices y características

diferentes según el tipo de registro semiótico que se considere, es en este caso será el de

las figuras geométricas de naturaleza plana o bidimensional. Según Marmolejo y González

(2015) “se considera que este tipo de representaciones son soportes intuitivos

fundamentales para dotar de sentido y significado a los conceptos matemáticos” (p.303).

Lo cual invita a definir la visualización según (Duval, 1999, 2001) como una actividad

cognitiva que permite primero que todo el reconocimiento y discriminación de las

organizaciones posibles de una configuración geométrica, además, de aquellas que se

imponen a primera vista, segundo las modificaciones de naturaleza configural como el

cálculo de una variable en función de otras que pueden ser aplicadas sobre una figura

dada.

En definitiva, el papel que desempeña la visualización en la construcción de objetos

matemáticos es complejo. Pero que su estudio debe tomarse en consideración a lo largo

de toda la educación básica (Marmolejo y Vega, 2012). Por otro lado, dentro de la amplia



gama de contenidos que se enseñan en geometría, adolecen de promover y estimular las

actividades cognitivas exaltadas por Duval debido a que muchas de esas prácticas de

enseñanza aún están permeadas por un estilo tradicional en el que se limitan a desarrollar

actividades en el que se “enfatizan en la aplicación de fórmulas y aspectos memorísticos,

lo que trae como consecuencia que procesos de visualización, argumentación y

justificación no tengan un papel preponderante en la enseñanza de la disciplina” (Gamboa

y Ballestero, 2010, p.125).

Por lo tanto, la pertinencia de este trabajo que buscó la manera de encontrar una

entrada propicia a las actividades cognitivas como es el caso de la visualización para un

contenido específico como es el área de superficies planas, no solo por tratarse de un

tópico cuya construcción se realiza durante gran parte de la formación de la básica

secundaria si no porque:

Procesos como la construcción de la magnitud de área, la medida de cantidades

de área y la diferenciación entre área y perímetro de una figura, suscitan la

aplicación de operaciones que transforman bidimensionalmente las figuras y el

paso de centrar la atención en la superficie de la figura a hacerlo en algunas de sus

partes constituyentes de dimensión inferior (Marmolejo y González, 2015, p.304).

Estos aspectos, son determinantes para una investigación que intente analizar los

procesos de visualización que están presentes en las actividades que resuelven los

estudiantes cuando intentan discriminar entre diferentes formar de ver para reconocer las

que son pertinentes y potentes para la resolución de una actividad matemática, añadiendo

también que muchas de las tareas que están presentes en los libros de texto o guías

educativas que se llevan a trabajar en el aula no necesariamente están bien estructuradas

ya sea desde lo disciplinar o lo pedagógico. Pontón (2012) hace hincapié en que los

enunciados de problemas poseen elementos lingüísticos claves que permiten la

comprensión de la actividad a resolver y si no se cuenta con una consigna lo

suficientemente clara dicha actividad no podrá ser abordada eficazmente. En definitiva, se

necesitará pensar en el diseño de situaciones que estén acordes a la línea semiótica

cognitiva y que se articulen y vinculen los elementos lingüísticos y disciplinares, para

alcanzar claridad en las tareas que se pretenden elaborar y ordenar en una trayectoria de

aprendizaje.

Capítulo 1 15

Las anteriores son consideradas un instrumento metodológico flexible y válida para el

campo, debido a que en la institución educativa en la que se pretende aplicar los

estudiantes no han trabajado o les han aplicado propuestas con un enfoque como el estilo

de la presente, ni se les ha enseñado a ver y a tratar a las figuras geométricas como lo

propone Duval, además se necesitará hacer conjeturas y cambios en la orientación en el

contenido específico seleccionado esto con la finalidad de tomar las decisiones más

pertinentes desde la perspectiva que el docente investigador considere para constituir una

ruta de aprendizaje que logre alcanzar las metas de aprendizaje que se planteen.

A continuación, se dará paso a la presentación de los antecedentes que sustentan el

presente trabajo y que son una clara evidencia que la problemática escogida mereció su

estudio y realización dado a que los múltiples esfuerzos que se han venido haciendo

respaldan su elección y el aportar al campo de la educación matemática desde este

posicionamiento lo hace pertinente.

1.3 Antecedentes

Existen diversas investigaciones que se han preocupado por otorgar a la enseñanza de

la geometría un estatus relevante dentro de los currículos escolares, a tal punto que esto

ha permitido que exista en la actualidad múltiples miradas de cómo analizar las líneas de

pensamiento de cómo podría promoverse su enseñanza. Así cómo, identificar y analizar

los factores didácticos, curriculares y cognitivos que dificultan su aprendizaje en los

estudiantes.

En este sentido, numerosos estudios reconocen la dificultad que representa la

enseñanza y el aprendizaje de la geometría debido a la carga cognitiva que representa la

coordinación de los registros semióticos y los procesos inherentes a esta disciplina, han

dejado claro que existe una problemática a nivel general y que ha sido objeto de estudio,

por ende, se ha motivado a los diferentes investigadores como, Camargo (2010), Vásquez

(2011), Acosta y Fiallo (2017) entre otros a profundizar en cada una de estas dificultades

que la afectan. A continuación, se hace referencia explícita y breve de algunas

investigaciones que han encargado de estudiar el campo de interés mencionado.



Para ello se presentan los antecedentes clasificándolos en tres subapartados los cuales

son: mostrar aquellos trabajos concernientes a la enseñanza y/o aprendizaje de la

geometría vista desde un enfoque semiótico-cognitivo, luego se presentarán las

investigaciones alusivas a trabajos con áreas de figuras planas. Por último, se reunirán las

algunas investigaciones que han abordado la metodología de las trayectorias de

aprendizaje.

1.3.1 Investigaciones relacionadas con aspectos de la enseñanza y/o aprendizaje de la geometría vista desde un enfoque semiótico cognitivo

Desde una mirada internacional los trabajos que se pretende destacar en la línea

semiótica y cognitiva se encuentran los desarrollados por Duval (1999, 2001, 2004, 2005,

2006) debido a que el aprendizaje de la matemática, en particular de la geometría es un

campo de estudio propicio para el análisis de actividades cognitivas importantes como son

la construcción, el razonamiento y la visualización. Dado que se requiere de la articulación

de registros de representación semiótica como son el registro figural y el de lengua natural.

Además de los respectivos tratamientos y conversiones que se pueden movilizar entre

ambos registros. Esto no son un proceso que se dé, de manera espontánea, de tal manera

que, si quiere llegar a la comprensión de un objeto matemático particular, se debe lograr

que el sujeto pueda visualizar las diversas maneras representar determinado objeto

matemático y que logre de manera armónica la coordinación de los registros en que este

se puede representar.

En la misma línea de Duval se desarrollaron casi que paralelamente los trabajos

doctorales de Mesquita (1989) que se centró en el estudio de los tratamientos figurales

que facilitan o inhiben tanto el reconocimiento de las situaciones representadas como la

búsqueda de heurísticas que permitan clarificar su comprensión, esto en cuanto a tareas

con figuras geométricas. Por otro lado, Padilla (1992) analizó las situaciones cuando se

enfrenta los estudiantes a tareas fuera de la aprehensión perceptual, e intentar analizar los

factores que inciden en el número de respuestas exitosas y por ende el grado de éxito sea

bajo.

En la misma perspectiva investigativa exciten múltiples adelantos como se verá a

continuación donde ha tomado fuerza en el panorama nacional desde hace ya un tiempo

Capítulo 1 17

en la comunidad de educadores matemáticos, sobre la manera en que debería pensarse

la educación actual del campo, para responder a las demandas nacionales y globales que

requiere el ciudadano del siglo XXI para desenvolverse en la vida diaria y otros ámbitos

como el académico y laboral. Por ende, el desarrollo de habilidades y competencias

matemáticas juegan un rol primordial en las formas de aprehensión del conocimiento

adquirido. Puesto que “Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación

espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones

problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia

más y más complejos” (MEN, 2007, p.4). Con respecto a ello localmente los trabajos que

delimitan y guían la orientación del pensamiento geométrico que anteceden a esta

propuesta se encuentran:

En su tesis doctoral, León (2005) realizó un profundo análisis de los antecedentes

curriculares, reformas e implementación de nuevas metodologías de enseñanza en

geometría a nivel nacional. Al mismo tiempo tomó y contrastó los resultados de

evaluaciones nacionales e internacionales (llámese pruebas SABER), aplicadas a

estudiantes que finalizaban su formación básica, o del tercer estudio Internacional de

Matemáticas y Ciencias TIMSS- Colombia, aplicadas a estudiantes de grado séptimo y

octavo en el año 1996, la Evaluación de Competencias Básicas Secretaria Distrital de

Educación, aplicadas a los estudiantes de tercero, quinto, séptimo y noveno en el año

1999. En la cual se evidencia que todas esas pruebas estandarizadas se obtuvieron un

muy bajo rendimiento por parte de los estudiantes colombianos en el área de geometría.

Teniendo como dato curioso que estas pruebas primaba como factor común la evaluación

de la visualización en transformaciones de figuras, es decir, tratamientos de registros

figurales.

Teniendo en cuenta las evidencias anteriores León (2005), reconoce que existe un

problema desde cómo se está efectuando y direccionando la enseñanza y el aprendizaje

de la geometría proponiendo que este último debe establecerse desde un enfoque

comunicativo y argumentativo, debido a que un aprendizaje que sea mediado por la

argumentación y el empleo de registros semióticos como el natural y el figural permiten

desarrollar un saber más estructurado desde el orden didáctico.



Otro trabajo por referenciar es el de Galeano (2015), quien propuso desde una

perspectiva semiótica y cognitiva, fomentar el trabajo y desarrollo del pensamiento espacial

partiendo de figuras geométricas, para ello diseñó un experimento de enseñanza, en que

el buscó estimular los procesos cognitivos de construcción, visualización y razonamiento

en geometría, teniendo como referente la teoría de Duval.

Entre sus hallazgos obtuvo, la caracterización de algunas situaciones que favorecen la

elaboración de propuestas novedosas en el aula de clases, debido a que la implementación

de la propuesta cognitiva de Duval permitió ampliar la comprensión del proceso de

construcción en situaciones en la que se explora con el uso de instrumentos no

convencionales como reglas no graduadas, moldes rotos y plantillas para sentar las bases

en el tratamiento sobre las figuras, en cuanto a los convencionales como las reglas y

escuadras aparecieron después como una herramienta potente y con un uso más

significativo para los estudiantes.

También (Galeano, 2015) al diseñar y aplicar ciertos tipos de actividades muestra que

se logró superar una visualización icónica perceptiva en los estudiantes a tal punto que

lograran otras formas de ver en el que ya podían dar el paso al reconocimiento de

subfiguras y otros elementos constitutivos de una visualización matemáticamente más

pertinente, para finalmente sentar las bases de los elementos de corte cognitivo que

permiten analizar las producciones de los estudiantes en el que se pueden relacionar las

tres actividades cognitivas de visualización, razonamiento y construcción. La presente

propuesta se aplicó en una institución educativa privada en el grado sexto de la ciudad de

Cali. Sirviendo como referente para el planteamiento de este trabajo investigativo para el

diseño de situaciones que movilicen la visualización.

Por esta misma línea, tenemos el trabajo desarrollado por Bonelo y Maca (2018),

quienes implementaron un experimento de enseñanza, que tenía como objetivo potenciar

el desarrollo de la visualización en los estudiantes de grado sexto mediante el

establecimiento de equivalencia de polígonos cuando se involucran las Transformaciones

Isométricas, a través del tratamiento figural valiéndose de la implementación del software

de geometría dinámica Geogebra. Entre los resultados que se destacan en este trabajo se

tiene que: la mediación del recurso tecnológico potenció los procesos de visualización en

Capítulo 1 19

los tratamientos figurales de equivalencia de polígonos a través de transformaciones

isométricas, dado que la actividad heurística de estas.

Además, se vio potenciada en el uso de la herramienta gracias a su facilidad en la

variabilidad que ofrece en actividades de construcción que abre la posibilidad de

exploración dinámica, clasificación y elaboración de explicaciones, dando paso a que los

estudiantes tengan una mejor conceptualización a lo que respecta a tratamientos figurales

y operaciones visuales reafirmando así lo dicho por (Duval, 2006) sobre la articulación del

discurso en geometría. Este trabajo permitirá ilustrar el planteamiento de tareas que se

piensen desde la mediación de algún recurso no tradicional o manipulativo para la

trayectoria de aprendizaje.

También se destaca el trabajo elaborado por Galvis (2017), el cual se instauró desde

una mirada semiótica-cognitiva desarrollada por Duval (1999), con el propósito de

identificar y describir, las formas de aprehensión que movilizan los estudiantes frente a

diversos registros de la demostración gráfica del teorema de Pitágoras. Galvis centró su

interés en la identificación de las relaciones matemáticas y geométricas que emergen, a

través de comparaciones de área y figuras geométricas, desde tratamientos y

procedimientos netamente geométricos, mediados por la coordinación de RF y de RLN.

Por lo que será un trabajo que sentará bases de análisis para lo geométrico y los objetos

matemáticos escogidos en el trabajo que se desarrolló.

Por último se cuenta con el trabajo de Sainz (2014), quien en su propuesta investigativa

de maestría que realizó en la Universidad de Cantabria presenta un estudio de cómo se

encuentra el nivel de formación y desarrollo de la visualización en estudiantes para

profesor y profesores en ejercicio en grado tercero de la ESO, en particular, cómo el tema

de la orientación espacial en los objetos geométricos y cuerpos se ha venido abordando

desde la visualización mostrando como resultado que se ha estado fallando en la forma de

introducir y estimular el desarrollo de habilidades para que los estudiantes sean

competentes en las resolución de actividades donde impera la visualización y el juego de

perspectivas. En la que concluye que una posible acción para mejorar esos resultados

puede darse en la enseñanza de tratamientos del registro figural (las formas) para la

exploración de estas.



1.3.2 Investigaciones que registran adelantos frente al trabajo con áreas

Respecto al del concepto de área de superficies planas y su comprensión se cuenta

con la tesis doctoral de elaborada por Corberán (1996) en la Universidad de Valéncia,

quien realizó un análisis exhaustivo de cómo se ha realizado el estudio de este tópico a lo

largo de la formación primaria hasta llegar a la universidad. Para ello, realizó un análisis

didáctico del contenido, luego estudió los grados de comprensión que se tienen del

concepto los estudiantes a través de una pruebas al finalizar la primaria y observar, si ese

grado de comprensión experimenta algún tipo de evolución en los alumnos en relación al

nivel educativo al que pertenecen, para después hacer lo mismo en los otros niveles de

formación y hacer un contraste frente a lo que se está enseñando en las unidades

didácticas, es decir, verificar si están realmente comprendiendo de eso que se enseñanza

por parte de los estudiantes.

Algunos de las conclusiones que dejó este trabajo Corberán (1996) es que existe un

elevado grado de incomprensión del concepto de área por parte de los estudiantes y la

principal causa se debe a la insuficiente dedicación y el incorrecto modo en el que se

realiza su enseñanza. No se hace una buena adaptación en términos de complejidad de

dicho concepto con relación al nivel educativo. Su enseñanza debería centrarse en el

estudio de procedimientos para comparar medir áreas de superficies planas, el analizar las

características de distintos procedimientos variando el nivel de dificultad. De igual modo,

quedó en evidencia que la incomprensión que poseen los estudiantes en general sobre las

fórmulas para el cálculo de cantidad de área se debe a la inmadurez mental de su

formación matemática específica para comprenderla como el producto de dos dimensiones

lineales. Concretamente los alumnos antes de estudiar las fórmulas de área; deberían

estar familiarizados con las otras manifestaciones de área geométricamente hablando

(transformaciones figurales, comparación de superficies, relaciones entre formas y

determinadas regiones poligonales, etc.).

Ahora pues, como principal referente que fundamenta este trabajo de profundización

se encuentra en un primer momento Marmolejo (2007) con su trabajo de maestría

desarrollado en la Universidad del Valle, en el cual analiza la importancia de los procesos

de visualización y factores de visibilidad frente al registro de representación figural los

Capítulo 1 21

cuales como objeto de aprendizaje se han dejado de lado en los currículos escolares. El

registro al cual hace referencia cumple con un rol esencial, pero que en las aulas escolares

no se enseña a tratarlas, y mucho menos a discriminar las diferentes maneras de ver, como

tampoco se exploran los llamados factores de visibilidad que las acompañan.

Marmolejo (2007), en sus análisis se encuentra que existe una fuerte concepción tanto

en estudiantes como de profesores de matemáticas, que las figuras hablan por sí mismas,

y acceder a las posibilidades heurísticas que emergen de ellas es un asunto “espontáneo”

y carente de complejidad. Para mostrar lo contrario escogió el tópico especifico áreas de

figuras geométricas bidimensionales ya que es un contenido propicio para generar

situaciones donde predomina la exigencia de transformar las figuras en otras de contorno

global distinto, pero de igual área, en el que se puede prestar para la indagación y

exploración de diversas formas de razonamiento y maneras de ver en el registro figural.

El segundo momento Marmolejo (2014) en su tesis doctoral desarrollada en la

Universidad de Salamanca España, profundiza en su trabajo que inició en la maestría pero

esta vez analizando cómo los libros de texto escolar tanto españoles como colombianos

estructuran o ejercen un tipo de control visual en la presentación de tareas, actividades y

ejercicios del área de superficies planas, debido a que la visualización si bien es un proceso

que puede desarrollarse, los estudiantes de primaria en adelante no la están desarrollando

como se pretende mediante la implementación de estos materiales. Por lo que se apoya

en la teoría de Duval (1999, 2004) para establecer un instrumento de análisis para

establecer categorías en la que identifica, caracteriza y analizan las aprehensiones

visuales, las factores de visibilidad, los tipos de control visual y la forman en que se

presenta el contenido de área, para poder así establecer relaciones sobre las maneras de

ver y operar que predominan en los libros de texto para el tópico específico en mención y

que pueden servir al docente investigador para reflexionar sobre su quehacer y dar un

criterio sobre los tipos de actividades que estimulan ciertos tipos de visualización.

Además de contar con trabajos posteriores como Marmolejo y González, (2015b),

donde realiza una presentación del estado de la cuestión sobre las diferentes maneras en

que se ha abordado el tópico de áreas de superficies planas, en el cual, resalta la

complejidad latente que existe en su enseñanza y aprendizaje llegando a plantear cuatro

frentes de análisis como son: el tratamiento y la conceptualización del área, la medida de



cantidades de área, la conservación del área y su papel en el tratamiento del concepto y

su relación con otros objetos matemáticos. En el que a manera de conclusión después de

realizar un análisis a detalle de la literatura especializada considera a la visualización como

un núcleo común para abordar el tópico de áreas y poner de manifiesto su enfoque para

el tratamiento y la visualización para abordar dicho contenido.

También se cuenta con el trabajo de D`Amore y Fandiño (2007), quienes en su

investigación realizan un estudio sobre las concepciones de estudiantes y maestros frente

a cómo estos establecen conexiones entre el perímetro y el área de una figura plana, para

ello aplican una prueba donde el perímetro y el área tienen se conservan y como al variar

la forma de una figura puede ser mayor o menor. Para desarrollar dicho estudio toman una

muestra de análisis de los argumentos que hacen explícitos los participantes desde el

lenguaje, es decir, dejan evidencia oral y escrita de lo que ven y piensan frente a los

cambios que surge cierta figura.

Entre los resultados más destacados de la investigación de en mención se encuentra

que generalmente las actividades que trabajan las relaciones perímetro-área se aplican en

figuras convexas, lo que provoca una idea errónea de que las figuras cóncavas no pueden

ser usadas para trabajar tal relación, además, las tareas de relación entre perímetro y área

casi no se efectúan sobre la misma figura insistiendo más en las diferencias que en las

relaciones reciprocas.

Otro trabajo a presentar es el desarrollado por Caviedes, De Gamboa, y Badillo (2019),

quienes en la Universidad Autónoma de Barcelona elaboraron un estudio cuyo objetivo

consistía en indagar sobre las conexiones matemáticas entre las manifestaciones de áreas

que (establecen o no), un grupo de maestros en formación cuando se les aplica una serie

de actividades asociadas al cálculo de áreas de superficies planas, donde tenían

condicionantes como el empleo de dos o más procedimientos para resolver una misma

tareas y justificar dichos procedimientos con medidas, encontrado con resultados donde

se evidencia que el trabajo con áreas prima el uso de fórmulas y procedimientos

numéricos, ignorando procedimientos geométricos e intuitivos para la medicación,

cuantificación y comparación de áreas.

Capítulo 1 23

Por último, se cuenta con el trabajo de González (2016), quien trabajó sobre la

construcción y la comprensión del concepto de área, centrándose particularmente en seis

figuras planas: el cuadrado, el rectángulo, el paralelogramo, el triángulo, el rombo y el

trapecio. A partir de la creación de situaciones apoyadas en la teoría cognitiva de los

niveles de Van Hiele para estudiantes de grado décimo de un aula inclusiva. Cuya

propuesta dotó de significado al uso de las fórmulas, mediante la implementación de

materiales manipulativos e instrumentos tradicionales en el cual se evidencio como

resultado que los estudiantes comprendieron de dónde se obtienen y para qué se usan.

Por lo que este antecedente servirá de insumo en caso de necesitar orientación desde lo

didáctico o para la construcción de situaciones que estimulen el saber hacer de los

estudiantes con métodos alternativos en la construcción de la trayectoria hipotética de

aprendizaje.

1.3.3 Investigaciones que abordan la metodología de trayectorias de aprendizaje

Dentro del panorama de campo de la investigación de diseño se encuentra los

desarrollos documentados por Molina, Castro, Molina, y Castro (2011), donde se realiza

un esfuerzo por describir este paradigma metodológico, además de realizar una

presentación ejemplificada de las principales características de este tipo de estudios con

el fin de dar difusión y conocimiento del mismo, teniendo como una de sus principales

premisas el gran potencial que ofrecen este tipo de estudios para desarrollar teorías de

enseñanza/aprendizaje de contenidos específicos.

Uno de los trabajos más representativos a nivel de reflexión frente al uso de trayectorias

hipotéticas de aprendizaje se encuentra el trabajo elaborado por Gómez y Lupiánez (2007),

los cuales caracterizan un trabajo que muestra un esfuerzo por mejorar los procesos de

formación de profesores, en particular de matemáticas para que estos sean capaces de

mejorar la calidad de sus prácticas de aula mediante la implementación este constructo

teórico. Esta investigación deja como aporte, una luz de cómo implementar las trayectorias

de aprendizaje como un instrumento eficaz para mejorar los diseños que se piensan llevar

al aula de clases y como puede conjugarse con el ciclo de enseñanza propuesta por Simon

(1995), donde se puede combinar el conocimiento de contenido por parte del profesor para

potenciar las competencias que se pretenden desarrollar en los estudiantes.



Dentro del mismo panorama encontramos interés por aportar con trabajos

investigativos para desarrollar elementos de análisis en las trayectorias de aprendizaje, un

claro ejemplo de ello lo encontramos en una publicación realizada en la revista

Mathematics Thinking and Learning, en el cual Clements & Sarama (2011) exponen la

elaboración y diseño de una trayectoria de aprendizaje para niños empleando un software

para el trabajo con figuras geométricas y muestran cómo este es uno de los desafíos más

imperiosos a los que hoy en día se enfrenta la educación matemática y los profesores en

general, para trabajar en propuestas basadas en el diseño de materiales de instrucción.

Por esa misma línea se encuentra el trabajo conjunto elaborado por Sánchez, Moreno,

Pérez, y Callejo (2018), quienes pretenden caracterizar el uso de la trayectoria de

aprendizaje de la longitud y su medida como un instrumento conceptual para favorecer la

adquisición de la competencia docente “mirar profesionalmente” el conocimiento de los

niños, con el fin de hacer uso de este instrumento para hacer que los profesores en

formación lograran hacer un análisis en el que puedan describir e interpretar las

producciones de los estudiantes, para después hacer una propuesta de diseño que

involucraran tareas que favorecieran la comprensión de los jóvenes. Los resultados

obtenidos frente a este trabajo fueron divididos puesto que, no se logró el objetivo

propuesto desde el punto de vista cognitivo en los estudiantes, pero a nivel de reflexión

dejó elementos para reflexionar desde cuestiones didácticas.

A nivel nacional se han llevado a cabo varios trabajos con esta metodología de

intervención entre los más relevantes se encuentran los desarrollos de Suárez y León

(2016), quienes tienen cómo foco de interés estudiar los procesos de enseñanza y

aprendizaje que promueven la visualización espacial en niños y niñas en un espacio de

construcción del ser dentro del aula en área de matemáticas, específicamente geometría,

dicho proceso de intervención intenta promover a las trayectorias de aprendizaje como el

medio que mostrará que no existe un factor de superioridad de un género sobre otro.

Dando continuidad a lo ya presentando se encuentra el trabajo de Quevedo (2018),

quien elaboró en su tesis de maestría en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas

una trayectoria de aprendizaje que pretende caracterizar los elementos cuasi-lógicos

logrados por los estudiantes, basado en el enfoque propuesto por Pelerman y Olbrechts

(1989) en conjunto con la teoría de la argumentación desarrollada por León (2005). Dicha

Capítulo 1 25

investigación se llevó a cabo en una institución educativa de Bogotá con estudiantes de

grado sexto, en la que se desarrollaron actividades para promover la argumentación en la

orientación espacial a través de la situación argumentativa tomando como referencia los

trabajos de (Clements & Sarama, 2011).

Algunos de los resultados obtenidos fueron: que los estudiantes comenzaron a incluir

un lenguaje técnico para expresar o referenciar direcciones, locaciones y posicionamientos

en la que se asocia las experiencias vividas con el razonamiento espacial. También se

logró que los estudiantes vincularan las expresiones orales con expresiones corporales

cuando hicieran explicitas sus argumentaciones en 21 tipos de actividades donde tuvieran

que representar el espacio y se involucraran coordenadas cartesianas, esto último con

relación a su entorno.

1.4 Planteamiento de la pregunta de investigación

De acuerdo con todos los elementos presentados anteriormente, la pertinencia de

haber ejecutado un trabajo de esta naturaleza permitió desde la línea de investigación

semiótica-cognitiva, el abordar la problemática señalada dado que en la población de

estudiantes de grado séptimo de una institución educativa pública, requieren de un mejor

direccionamiento en los procesos que conciernen al pensamiento geométrico y las

actividades cognitivas que deberían trabajarse como es el caso de la visualización, para el

tópico especifico de áreas de algunas figuras planas. Por tal motivo, llevar a cabo este

trabajo permitió reflexionar al docente investigador y consecuentemente a la docente de

aula, sobre la propia práctica y replantear la manera en esta institución educativa los

docentes dentro del aula han venido trabajando en el área de geometría. Al mismo tiempo,

contribuir en el fortalecimiento de la formación de los docentes para que atiendan las

necesidades de los estudiantes de tal manera que se estimule el desarrollo del

pensamiento geométrico. Por todo lo anterior y otros aspectos que se presentan más

adelante, es posible establecer para este trabajo los objetivos del problema de indagación

con el propósito de responder la siguiente pregunta:

¿Cómo los procesos de visualización promueven la comprensión del tópico de áreas de

figuras planas mediante el diseño e implementación de una trayectoria hipotética de

aprendizaje dirigida a estudiantes de grado séptimo?



1.5 Objetivos

1.5.1 Objetivo general

❖ Analizar los procesos de visualización que permiten evidenciar que se está

logrando una comprensión del tópico de áreas de figuras planas presentes en las

producciones de los estudiantes de grado séptimo.

1.5.2 Objetivos específicos

❖ Identificar los elementos semióticos y cognitivos presentes en tareas que aborden

el contenido de áreas en figuras planas.

❖ Diseñar una trayectoria hipotética de aprendizaje que permita comprender el tópico

de áreas en figuras planas a partir de los procesos de visualización en estudiantes

de grado séptimo.

❖ Identificar los elementos de análisis que promueve la visualización en la aplicación

de la trayectoria hipotética de aprendizaje.

❖ Analizar los aportes del diseño de la trayectoria hipotética de aprendizaje que

permiten validarla como una trayectoria real de aprendizaje desde un enfoque

semiótico cognitivo.

2. Fundamentos Teóricos

En este capítulo se recopilan los elementos teóricos esenciales que orientan la

construcción de este trabajo: los fundamentos de la teoría semiótica y cognitiva de

Raymond Duval (1999, 2001, 2004, 2005, 2006) y Padilla (1992). Debido a que es una

perspectiva que estudia aspectos que conciernen al desarrollo del pensamiento humano,

en particular del matemático. Así mismo, se retomaron trabajos desarrollados por

Marmolejo (2007, 2014), Marmolejo y González (2015) y Barreto (2017) que se apoyan en

la anterior perspectiva y permiten analizar elementos de interés relativos al desarrollo de

la visualización y el tratamiento del área en figuras planas.

Para poder comprender la teoría de representaciones semióticas se debe tener claro

algunos aspectos de la naturaleza de los objetos matemáticos, como el hecho que son

inexistentes en el mundo real y que solo podemos acceder a ellos mediante sus

representaciones Duval, (1999, 2006). La anterior salvedad resalta el hecho que las

actividades que moviliza las matemáticas, en especial la geometría en la educación básica

secundaria se realiza generalmente desde los registros de la lengua natural y el figural, lo

cual conduce a establecer una serie de elementos teóricos que fundamentaron la

elaboración de esta trayectoria de aprendizaje que servirán como soporte para los análisis

a priori y a posteriori en las diferentes etapas del diseño, como también conducirán las

reflexiones finales que darán cumplimento a los diferentes objetivos planteados.

2.1 Algunos elementos de la teoría semiótica-cognitiva

El aprendizaje de las matemáticas constituye un campo de estudio privilegiado en la

comunidad académica y desde su perspectiva, Duval (1999), fundamenta sus trabajos

desde una teoría semiótica - cognitiva, debido a que considera fundamental investigar y

trabajar sobre el problema de la comprensión de los objetos matemáticos. Es por ello, que

al estudiar los sistemas de representación semiótica y analizar las actividades cognitivas



fundamentales como la conceptualización, el razonamiento, la resolución de problemas, e

incluso, la comprensión de textos. Le permita asegurar que la particularidad del aprendizaje

de las matemáticas recaiga o tenga mucho que ver con la constante aprehensión de

conceptos, el recurrir a diferentes sistemas de expresión distintos al de la lengua natural y

manipular las diferentes reglas en cada registro propios del saber matemático.

Ahora bien, algunos de los aspectos relevantes que presenta Duval (1999) en su

perspectiva se encuentra el rol de los registros semióticos debido a que cumplen con dos

propósitos: el primero tiene que ver con una función meramente comunicativa debido a

que constituye el único medio de acceso a los objetos matemáticos puesto que ellos no

son accesibles directamente por la percepción, sino que se debe recurrir a una

representación de estos, el segundo se relaciona intrínsecamente con las actividades

cognitivas inherentes a toda representación que son: la formación, los tratamientos y las

conversiones.

Respecto a las anteriores actividades cognitivas ligadas a la semiosis de los registros

de representación Duval (1999) las define como: la formación de un registro semiótico

particular ora en la construcción de marcas perceptibles que sean identificables como una

representación de algo en un sistema determinado. Hablamos de tratamiento de una

representación cuando se producen operaciones respetando las reglas propias del sistema

obtenido así una representación en el mismo registro. Y se reconoce como conversión

cuando se realiza una transformación en un registro distinto a la representación inicial. Ver

el ejemplo de elaboración propia a continuación:

Tarea. Se está construyendo una casa a la cual se le realizarán dos ventanas en su frente. La

primera ventana tiene forma cuadrada y mide 2.3 metros de lado y la ventana de forma rectangular

mide 7.3 metros de largo y 2.3 metros de alto, tal y como se muestra en la (figura ilustrativa). ¿Cuál

es el área de cada ventana?, ¿Cuánto mide el marco de cada ventana?

(figura ilustrativa)

Capítulo 2 29

La situación anterior es un ejemplo inventado que ilustra las actividades cognitivas de

trasformación, conversión y tratamiento. La trasformación se hace presente cuando se da

la premisa del problema en lengua natural de la situación a dar solución, teniendo en

cuenta que la Imagen * hace las veces de registro figural para dar claridad al interpretante

de los datos enunciados. Luego aparece la conversión cuando el sujeto interpreta el

enunciado problema y realiza un cambio de registro de representación que en este caso

es de lengua natural al registro numérico para proceder a estimar los perímetros y áreas.

Tal y como se ilustra a continuación:

Á𝑟𝑒𝑎𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 ∗ 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 2.3 𝑚 ∗ 2.3𝑚 = 5.9𝑚2

𝑀𝑎𝑟𝑐𝑜𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 = 4 ∗ 2.3𝑚 = 9.2𝑚

Á𝑟𝑒𝑎𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑜 = 7.3 𝑚 ∗ 2.3 = 16.79𝑚2

𝑀𝑎𝑟𝑐𝑜𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 2 ∗ 7.3𝑚 + 2 ∗ 2.3𝑚 = 19.2𝑚

Acto seguido después de interpretar, al estar realizándose operaciones en un mismo

registro de representación en este caso numérico hacen acto de presencia los

tratamientos, para estimar los valores que respectivos solicitados para la ventana cuadrada

y rectangular, cuando finalizan estos y se ha llegado a los resultados se recurre

nuevamente a una conversión para dar respuesta a los interrogantes del enunciado

problema. todo lo anterior se ilustra de la siguiente manera:

¿Cuál es el área de cada ventana? 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 = 5.9 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 16.79 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

¿Cuánto mide el marco de cada ventana? 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 = 9.2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 19.2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

2.1.1 Los procesos cognitivos en geometría

La geometría es una disciplina que moviliza una gran carga de elementos cognitivos

dentro de la perspectiva, Duval (1999, 2001, 2004, 2005, 2006) menciona: “La

comprensión de los fenómenos asociados a la enseñanza y aprendizaje de la geometría

exige considerar el estudio de tres actividades cognitivas básicas: el razonamiento, la

construcción y la visualización” (p.1). Estos tres procesos cumplen con funciones

epistemológicas específicas en la geometría las cuales Duval, (2001) las presenta así:



❖ Los procesos de construcción se llevan a cabo mediante el uso de herramientas,

los cuales se encuentran clasificados en dos tipos: los que permiten

manipulaciones de objetos materiales y los que permiten operaciones de trazado

gráfico.

❖ Los procesos de visualización traen a colación a las representaciones espaciales

para la ilustración de proposiciones, permite las exploraciones heurísticas y dar

vistazos sinópticos brindando una verificación subjetiva.

❖ El razonamiento se encuentra relacionado con los dos procesos antes

mencionados haciendo las veces de extensión del conocimiento, además de estar

vinculado con procesos lingüísticos que permiten dar paso a explicaciones y

demostraciones.

Las anteriores se pueden considerar, según Duval (2001), procesos independientes

para su estudio, en el caso de la visualización esta no depende de la construcción debido

a que se puede acceder a las figuras independientemente de la forma en que fueron

construidas, eso sin desconocer que exista un razonamiento presente, mientras que el

proceso de construcción depende solo de las propiedades matemáticas y de las

restricciones que técnicas propias de las herramientas empleadas. Además, la

visualización es una habilidad que puede desarrollarse como recurso intuitivo; que al

combinarse con el proceso de razonamiento se convierte en otro espectro de análisis

desde el punto de vista cognitivo.

2.1.2 Las condiciones cognitivas de ver en geometría

La actividad matemática, en particular la geométrica en la educación básica y secundaria

demanda como ya se ha mencionado antes la articulación sinérgica cognitiva de dos

registros de representación muy diferentes que son el figural y el de la lengua natural,

según (Duval, 2005) “El primero se refiere a la visualización de las formas o su designación

y el segundo sirve para enunciar propiedades”. De aquí se generan muchas de las

dificultades en el aprendizaje de la geometría puesto que estos registros que se emplean

de manera usual en un ámbito fuera de las propias matemáticas.

Capítulo 2 31

Por ende, es una necesidad generar la coordinación de estos dos registros y es en ese

sentido que Duval enfoca su interés en buscar que los sujetos tomen conciencia de

aquellos tratamientos que son pertinentes en el registro figural. Respaldando esta postura

Marmolejo (2007), argumenta que las figuras son un soporte intuitivo para el desarrollo de

actividades geométricas, debido a que estas dejan “ver” mucho más que los enunciados,

permitiendo una exploración heurística de las situaciones. De este modo Duval (2005)

menciona existen dos maneras de ver las figuras cuando se movilizan en una actividad

propuesta, la icónica y la no icónica.

Para Duval (2005) “la visualización icónica es aquella “se asemeja al perfil de un objeto

real, la figura permanece como un objeto independiente de las operaciones que se

efectúen sobre ella” (p.9). Para una mejor ilustración de este concepto ver el ejemplo

presentado en la figura 2-1: Ejemplo. Con ayuda de una regla, construir un cuadrado DCBA

cuyos lados midan dos centímetros y un rectángulo HGFE que sea igual de alto que el

cuadrado DCBA y una base que un centímetro.

Figura 2-1. Ejemplo de visualización icónica.

Fuente: Elaboración propia.

De la figura 2-1, se puede apreciar que la presentación de la actividad solo implica un

reconocimiento visual global de una forma geométrica elemental en este caso dos

polígonos denotados como DCBA y HGFE los cuales se identificaron como cuadrado y

rectángulo sin presentar trazos internos o externos que permitan apreciar alguna

modificación de la figura geométrica representada. La otra forma de visualizar para Duval

(2005) es la no icónica la cual define como:



“una secuencia de operaciones que permiten reconocer propiedades geométricas

por la imposibilidad de obtener ciertas configuraciones, o por la invarianza de las

configuraciones obtenidas, es decir, la figura hace parte de una configuración

contextualmente destacada de una red o configuración más compleja” (pp.9-10).

Para una mejor ilustración de este concepto el siguiente ejemplo el cual se ilustra en la

figura 2-2. Ejemplo. Dado un triángulo ACB, identifica y clasifica los diferentes polígonos

que aluden a figuras geométricas contenidas en el. Sugerencia: Para la notación de las

subfiguras contendías hacer uso de letras mayúsculas.

Figura 2-2. Ejemplo de visualización de una tarea no icónica.


La figura 2-2 permite apreciar una percepción no icónica, dado que prestan trazos

internos que subdividen la figura global denotada como triángulo ACB y puede surgir el

uso de operaciones de reconfiguración que favorecen la resolución de la actividad, siendo

también los colores un elemento que permite diferenciar las figuras internas que favorece

la visualización de contornos diferentes, los elementos mencionados facilitan entonces los

posibles tratamientos visuales para dar solución a lo solicitado en la actividad.

2.1.3 Las entradas en geometría

La clasificación de las entradas o maneras de ver establecidas por Duval (2005) surgen

al tomar como criterio el tipo de operaciones aplicables sobre las formas dadas, así mismo,

posibilitan la movilización de propiedades geométricas en relación con la actividad que se

Capítulo 2 33

proponga, se pueden llegar a distinguir cuatro entradas que son: la del botánico, el

topógrafo, el constructor y la del inventor. La entrada del botánico es catalogada como la

más evidente e inmediata, debido a que en términos generales este tipo de actividad

consiste en saber distinguir y clasificar las formas euclidianas a simple vista, de tal manera

que el sujeto este en capacidad de generar una representación mental o manual sobre una

superficie. Dicho de otro modo:

Se trata de aprender a reconocer y nombrar las formas elementales usadas en

geometría plana: tipos de triángulos y cuadriláteros, obtener configuraciones

obtenidas por las distintas posiciones de dos rectas una con relación a la otra,

eventualmente las formas circulares y las formas ovales (Duval, 2005, p.5).

Un posible ejemplo se puede apreciar figura 2-3 la cual es acompañada de la siguiente

premisa: Ejemplo. Dibuja con diferentes colores la figura geométrica de círculo, cuadrado,

triángulo y rectángulo en tu cuaderno.

Figura 2-3. Ejemplo de representación de algunas figuras euclidianas elementales.


La entrada del topógrafo geómetra o agrimensor se reconoce como la entrada histórica.

Las tareas que fundamentan esta entrada consisten en actividades que permitan ir de una

escala a otra teniendo en cuenta las proporciones y las unidades de medida. “Se trata de

aprender a medir longitudes sobre un terreno, el suelo, o distancias entre dos señales, y a

prorrogarlas sobre un dibujo que toma el estatuto de plano” (Duval, 2005, p.6). Aunque en

esta entrada se puede considerar en sus tareas un trasfondo que implique algo más que

comparar medidas, sino que involucra la puesta en correspondencia el reconocer planos y



dimensiones entre figuras, introduciendo así al sujeto en la distinción de conocimientos

propios del pensamiento espacial tal y como se puede ver figura 2-4:

Ejemplo. Con ayuda de una regla en una hoja construir un cuadrado DCAB, con dos

centímetros de longitud de cada lado, dibuje a escala 2⁄1 cm y 1⁄2 cm el mismo cuadrado

DCAB.

Figura 2-4. Ejemplo alusivo a una tarea de la entrada del topógrafo–geómetra.


La entrada del constructor reconocida también como la necesaria según Duval (2005),

parte de la necesidad de recurrir de instrumentos como por ejemplo la regla y el compás

debido a que son herramientas que ayudan en la elaboración de representaciones de

figuras euclidianas, articulando así una figura con medidas y trazos, permitiendo al sujeto

tomar conciencia de las propiedades geométricas. Ver la presentación del siguiente:

Ejemplo. Con ayuda de una regla y compás realizar la construcción de un cuadrado ABCD.

Para lo cual se debería seguir estas instrucciones:

A. Trazar un segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

B. Trazar una recta 𝐿1que pase el punto 𝐴 y sea perpendicular al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

C. Realizar el mismo procedimiento del ítem anterior, pero trazando una recta 𝐿2 que

pase por 𝐵.

Capítulo 2 35

D. Con ayuda del compás trazar una circunferencia 𝐶1, que tenga como centro el

punto 𝐴 y radio el extremo donde se encuentra el punto 𝐵.

E. Luego marcar la intersección con un punto que denotaras como 𝐶, entre la recta

𝐿1 y la circunferencia 𝐶1.

F. Trazar con la regla una recta 𝐿3, que pase por el punto 𝐶 y sea paralela al segmento

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

G. Marcar con un punto 𝐷 la intersección resultante entre la recta 𝐿2 y 𝐿3.

H. Finalizar resaltar con un color distinto el polígono ABCD, el cual denotara un

cuadrado.

Figura 2-5. Ejemplo de construcción de un polígono ABCD.


Del ejemplo presentado en la figura 2-5, se puede apreciar que la actividad de

construcción puede llevarse a cabo en un software como Geogebra el cual hace las veces

de herramienta de construcción, mostrándose como una vía alterna a instrumentos

clásicos, pero Duval menciona que el emplear este nuevo de tipo de herramientas permiten

tener en cuenta la conservación de las propiedades de una figura geométrica realizando

una prueba de arrastre cosa que con instrumentos clásicos no es fácil de percibir.



La entrada del inventor tiene la intención de realizar una reconstrucción de tipo visual

de formas elementales para después reconfigurar la figura inicial que se proponga, con la

salvedad que el sujeto debe “visualizar unos trazos suplementarios”. Para ilustrar esta

entrada véase el siguiente:

Ejemplo. Dado un paralelogramo ABCD, reconfigurarlo de tal manera que con un solo corte

se pueda formar un rectángulo.

Figura 2-6. Ilustración de la reconfiguración de un paralelogramo ABCD en un

rectángulo con una sola partición.


En el ejemplo presentado en la figura 2-6, para realizar la reconstrucción solicitada

puede presentar dos soluciones, un primer caso en el que se realice un trazo auxiliar que

parte del vértice 𝐷 y caiga de manera perpendicular al lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ o un trazo auxiliar que parte

de vértice 𝐵 que forme una perpendicular respecto al lado 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ . Independiente mente de la

elección se formará un triángulo rectángulo que dependiendo del caso se denotará como

𝐵𝑂`𝐶 o 𝐷𝑈`𝐴. Y al hacer una traslación del fraccionamiento realizado al paralelogramo

𝐴𝐵𝐶𝐷 se podrá reconfigurar en un a una nueva figura que en este caso es un rectángulo.

2.1.4 La manera de ver requerida en geometría “una quinta entrada”

Como se pudo apreciar anteriormente, existen cuatro entradas o clasificaciones de las

maneras de ver en geometría a su vez Raymond Duval apuesta hacia una quinta entrada

Capítulo 2 37

denomina deconstrucción dimensional de las formas, la cual “consiste descomponer

cualquier forma discriminada, es decir, reconocida como una forma nD/2Dn, en unidades

figurales de dimensiones inferior al de esta forma” (Duval, 2005, p.15). Con esto quiere

decir, por ejemplo: que un cubo que es una figura en 3D, su representación en 2D seria

descompuesto en cuadrados y estos a su vez en rectas y segmentos 1D y así, hasta llegar

a unidades figurales de 0D que serían los puntos. A continuación, se presentarán los tipos

de descomposición de las formas que Duval clasifico en: descomposición mereológica de

las formas reconocidas como heurísticas, la instrumental (para construir una figura) y la

descomposición por deconstrucción dimensional de las formas.

La descomposición heurística por división mereológica de las formas

reconocidas, esta manera de ver una figura demanda que el sujeto observe las formas

como si fueran partes de un rompecabezas, según Duval (2005) “Suponer que se divida

en unidades figúrales del mismo número de dimensiones que la figura inicial” (p.15). Por

lo que esta división mereológica de un todo en partes yuxtaponibles o superpuestas, se

hace para reconstruir una figura con las subpartes obtenidas que puede llegar a ser igual

o diferente a la original. Esta clase de descomposición se clasifican en tres clases que son:

las estrictamente homogéneas, las homogéneas y las heterogéneas.

Para Duval la descomposición estrictamente homogénea es aquella que se realiza

en unidades de la misma forma de la figura inicial y a su vez son consideradas las

descomposiciones más simples, ver ejemplo figura 2-7.

Figura 2-7. Ejemplo de descomposición estrictamente homogénea de un

cuadrado.




En la figura 2-7 se aprecia claramente como inicialmente un cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴, puede

ser descompuesto en unidades de la misma forma, en este caso cuatro cuadrados que

pueden ser nombrados como: 𝐻𝐺𝐹𝐸, 𝐾𝐿𝐽𝐼, 𝑃𝑂𝑁𝑀, 𝑇𝑆𝑅𝑄, que al volverse a integrar

formaran nuevamente la figura inicial.

La descomposición homogénea es aquella que se realiza en unidades figurales de

forma distinta a la figura inicial, pero las con unidades figurales de igual forma, ver ejemplo

presentado en la figura 2-8.

Figura 2-8. Ejemplo de descomposición homogénea de un cuadrado.


En la figura 2-8, plantea una descomposición homogénea de un cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴, que

al ser descompuesto en unidades figurales de distinta forma a la inicial (dos triángulos)

designados como 𝐴𝐵𝐷 y 𝐶𝐵𝐷 pueden formar nuevamente al cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴.

Por último, se encuentra la descomposición heterogénea, posee el mayor grado de

complejidad puesto que es aquella que se realiza en unidades figurales de formas

diferentes entre ellas, ver ejemplo presentado en la figura 2-9:

Capítulo 2 39

Figura 2-9. Ejemplo de descomposición heterogénea.


Para el tercer caso se puede apreciar un problema de división de un paralelogramo

para reformarlo en un cuadrado, para esta solución se resalta el hecho que se conservó el

área de la figura inicial 𝐴𝐵𝐶𝐷 (paralelogramo) en comparación la figura final 𝐴𝐵𝐶𝑋

(cuadrado), cabe subrayar que Duval (2005) menciona que “las descomposiciones

homogéneas son transformaciones visualmente reversibles y que pueden ser iniciadas

espontáneamente con solo mirar la figura. En cambio, las descomposiciones heterogéneas

no son visualmente reversibles” (p.16). En definitiva, la descomposición por división

mereológica está estrechamente relacionada con la exploración visual y no existe una

forma determinada que conduzca directamente a la solución de un problema, puesto que

dependerá del enunciado problema.

La descomposición por deconstrucción dimensional de las formas es la manera

matemática de ver las figuras más exaltada por Duval, pero así mismo la más compleja

debido a que las situaciones que cumplan con las características de esta entrada son poco

trabajadas y de manera explícita menciono que “se hace necesaria una articulación con

una actividad discursiva. Hasta se podría decir que es de orden discursivo. Para

representarla gráficamente, es necesario trasformar hasta cierto punto las figuras

geométricas en esquemas” (Duval, 2005, p.17). La deconstrucción dimensional de las

formas debe causar una revolución cognitiva en la visualización icónica y no icónica, es

decir, es una gestión que va en contra de los procesos organizativos y perceptivos de las

formas, a lo que al autor mencionado añade “se parece a una reconstrucción deductiva de

los objetos representados”. En la figura 2-10 se presenta un ejemplo.



Figura 2-10. Ejemplo de descomposición de unidades figurales por deconstrucción

dimensional de una forma poligonal.


En la figura 2-10, se presenta una tarea tiene como premisa: En la figura poligonal

representada en el plano cartesiano deberás realizar lo siguiente:

A. Designar los vértices

B. Identificar las diferentes figuras geométricas que componen la figura inicial,

(nómbralas y resáltalas con un color).

Capítulo 2 41

C. Calcular el área de cada figura que visualizaste (sugerencia: puede hacer uso de

una regla en caso de ser necesario)

D. Halla el área total de la figura inicial dada

Nota. Cada cuadricula corresponde a un centímetro.

De lo anterior se puede apreciar que no existe un camino predeterminado para que un

sujeto siga debido a que las maneras de ver que tenga desarrolladas necesariamente son

serán idénticas a las de otro par, la secuenciación de pasos es una manera de numerar

una posible forma en que se puede visualizar la actividad la cual se aprecia como un

polígono compuesto es deconstruido en formas reconocibles de 2D y así hasta llegar a

unidades figurales de dimensión 1D y 0D que se pueden apreciar en el punto 5 y 6 de la

figura 2-10, la solución más simple de ver es un triángulo rectángulo, un paralelogramo y

un rectángulo, la sugerencia dada en el ítem (c) está de más, si se considera la nota,

aunque el uso de instrumentos podría considerarse si no se presentara la actividad con el

plano cartesiano.

2.2 Formas de aprehensión en geometría

Las figuras geométricas son esenciales para la actividad geométrica pues son un

soporte intuitivo para su desarrollo Duval (1999) plantea que la figura puede dar lugar a

tres tipos de aprehensión: la perceptiva, la operatoria y la discursiva. Aclarando que, por

aprehensión se entiende como tomar lo que se percibe por medio de los sentidos,

valiéndose de los procesos cognitivos y tomar lo más significativo de ese objeto. Los tipos

de aprehensión corresponden a tratamientos figurales y como se expuso anteriormente

realizar tratamientos implica tomar el registro figural y realizar transformaciones al interior

de ese registro. A continuación, se presenten los tres tipos de aprehensión:

2.2.1 La aprehensión perceptiva

Es una manera espontánea de reconocer las unidades figurales inmersas en una figura

presentada, que puede cumplir un rol facilitador o inhibidor en el acto de ver, en el que es

posible observar las figuras geométricas y se establezcan rápidamente lo pertinente para

dar solución al problema o por el contrario se dé lugar a que existan factores que impidan

el reconocimiento de unidades figurales que retrasen la visualización. Para mayor claridad

ver el ejemplo de la figura 2-11: Ejemplo. Al representar un trapecio 𝐴𝐸𝐷𝐶 con dos lados



de igual medida 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ y dos lados paralelos 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ este último tiene como punto medio

a 𝐹 que es equidistante a cualquier vértice. Descomponerlo en subfiguras.

Figura 2-11. Representación de un trapecio ABCD realizado en Geogebra.


La figura 2-11, ilustra una configuración de un trapecio 𝐴𝐸𝐷𝐶 que se clasifica como

isósceles, que a su vez puede ser descompuesto en subfiguras de diferente forma de la

figura inicial, como es el caso de una descomposición homogénea, de tres triángulos

isósceles que serían las figuras 𝐴𝐹𝐶, 𝐶𝐹𝐷 y 𝐹𝐷𝐸, para poderlos identificar es necesario

neutralizar la organización perceptiva del contorno global respecto a los puntos dados y

del trapecio sobre su lados no paralelos, también se puede considerar una sobreposición

de dos paralelogramos que compartes una base y que perceptivamente pueden ser

identificados como 𝐴𝐹𝐶𝐷 y 𝐹𝐸𝐷𝐶, Aunque el reconocimiento de unidades figurales

pueden ser discernibles dependiendo de la capacidad gestáltica de un sujeto por ejemplo

alguna persona puede llegar a solo ver un rectángulo acompañado de dos triángulos

rectángulos.

2.2.2 Aprehensión operatoria

Esta aprehensión se relaciona con la exploración heurística que permiten las figuras y

con todas las posibles modificaciones que se puedan realizar sobre ellas. Las cuales se

pueden clasificar como se muestra en la tabla 2-1:

Capítulo 2 43

Tabla 2-1: Compilación de las diferentes modificaciones operatorias.

Tipo de modificación

configural

Operaciones constituyentes de

la productividad heurística

Factores que juegan sobre

la visibilidad

Modificaciones mereológicas Reconfiguración, configuración Carácter convexo o no convexo de las partes

elementales

Modificaciones ópticas Superponibilidad, anamorfosis Recubrimiento parcial. Orientación

Modificaciones posicionales Rotación, traslación Estabilidad del señalamiento del campo perceptivo para el

soporte de la figura

Tabla 2-1. Presenta una síntesis de las diferentes modificaciones operatorias que están

asociadas a diferentes factores que facilitan o dificultan la visibilidad para la resolución de

problemas en geometría. Tomada de (Marmolejo, 2007, p.26).

De la tabla 2-1 se aprecia el importante rol de las figuras en geometría frente a los tipos

de modificaciones que podemos encontrar, debemos reconocer a las mereológicas como

aquellas en que teniendo una figura de partida esta se puede subdividir en subfiguras y de

ellas, se pueden realizar trasformaciones para llegar a otra figura de contorno global

diferente o no, poniendo en juego todas las relaciones entre las partes y el todo. Se

reconocen como las ópticas aquellas en que la figura se agranda, disminuye o se deforma

la figura inicial. En cuanto a las modificaciones posicionales se reconocen por recurrir a

cambios a manera de juegos de espejos en el que la figura no sufre modificaciones al

poder desplazarla conservando la forma o contorno global. En síntesis, la actividad

heurística que conlleva un problema en geometría contiene una alta gama de operaciones

cognitivas y para clarificar todo lo anterior debemos considerar la reconfiguración como

una actividad heurística importante a su vez como una herramienta en la resolución de un

problema. Apreciar el siguiente ejemplo:

Ejemplo. Dada la figura 2-12, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es la diagonal del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, compare las áreas

de los rectángulos sombreados.



Figura 2-12. Ejemplo de aprehensión operatoria.

Tomado de (Marmolejo, 2007, p.27).

La resolución de este problema pone en juego la habilidad visual del sujeto al

enfrentarse aún problema de comparación de áreas. La solución a esta problemática no

es simple, dado que desde el punto de vista perceptivo evidenciamos dos superficies

sombreadas denotadas como 𝐷𝐺𝐹𝐸 y 𝐹𝐻𝐵𝐼 que no parecen ser equivalentes si no son

isométricas, es decir, que si sus formas no coinciden por superposición entonces no

tendrán igual área. “El problema centra su interés en los rectángulos sombreados que no

son superponibles entre sí, por lo cual a simple vista no parecen equivalentes” (Marmolejo,

2007, p.28). Aunque el problema puede ser resuelto, haciendo uso de la división de la

figura de partida en subfiguras iguales haciendo uso de la diagonal 𝐴𝐶, ver la siguiente

figura:

Figura 2-13. Ilustración del paso crucial para reconfigurar la figura inicial en subfiguras.


Capítulo 2 45

Del anterior proceso queda a la vista que existen dos triángulos 𝐷𝐶𝐴 y 𝐴𝐶𝐵, los cuales

son congruentes entre sí y al realizar una “sustracción” a cada una de las dos

configuraciones obtenidas, la figura de partida 𝐴𝐵𝐶𝐷 se dividio en dos triángulos 𝐷𝐶𝐴 y

𝐴𝐶𝐵 luego a estos se les sustrae las configuraciones iguales 𝐴𝐸𝐹𝐺𝐶𝐴 y 𝐴𝐼𝐹𝐻𝐶𝐴, ver lo

descrito a continuación:

Figura 2-14. Representación de la operación figural de sustracción.


En la figura 2-14, se aprecia una operación sustractiva figural y por pasaje de

complementariedad. Esto significa que, “dos superficies tienen la misma área si ellas

resultan de una sustracción de superficies parciales iguales a las superficies totales

iguales” (Marmolejo, 2007, p.28). Se llega a la conclusión que las dos partes sombreadas

son iguales, es decir las áreas 𝐷𝐺𝐹𝐸 = 𝐹𝐻𝐵𝐼. También se debe mencionar que existen

otras soluciones para este problema en este caso se quiso ilustrar aquella en que la

operación de reconfiguración permite ver a través de comparaciones entre subfiguras,

generan ideas que permiten explicar y justificar la resolución de un problema en el que la

figura juega un rol de soporte intuitivo en problemas geométricos.

2.2.3 Aprehensión discursiva

Las figuras no constituyen por sí mismas un registro de tratamiento autónomo, esto se

hace evidente cuando los estudiantes intentan resolver una tarea de geometría en el que

podría centrarse en los elementos, relaciones y propiedades de una figura dada según sea

el caso, es decir, esta aprehensión es aquella que se encuentra ligada a las propiedades

asociadas a las hipótesis de lo que estas enuncian en un problema. Según Marmolejo

(2007) “la aprehensión discursiva de una figura es inseparable de una doble referencia:



por un lado, a una red semántica de objetos matemáticos y, por otra, a una axiomática

local” (p.37). Este tipo de aprehensión privilegia el estatus del enunciado que concede a

sus proposiciones, debido a que el tratamiento cognitivo corresponde a un razonamiento

de orden deductivo. Para dar claridad a lo todo lo mencionado ver la figura 2-15:

Figura 2-15. Ilustración del ejemplo de la aprehensión discursiva.

Tomado de (Torregrosa y Quesada, 2007, p.282).

De la figura 2-15, se aprecia dos casos el primero corresponde a un anclaje visual a un

anclaje discursivo, esto sucede cuando al dibujo representado se le asocia la afirmación

“ABC es un triángulo rectángulo”, señalando sus vértices con las letras 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶. Para llevar

a cabo esta asociación de sentido, el observador debe haber identificado el dibujo con todo

aquello que lo caracteriza.

Mientras que el segundo caso presenta un cambio de anclaje que parte de lo discursivo

a lo visual que es materializado en el registro figural, es decir, en la afirmación “𝐴𝐵𝐶 es un

triángulo rectángulo”, el estudiante deberá tener la capacidad de realizar la representación

del polígono que cumpla con la característica de ser triángulo rectángulo, de hecho,

Torregrosa y Quesada (2007) mencionan “esta configuración no tiene por qué ser la misma

para todos los alumnos” (p. 282). En ese sentido para comprender mejor el proceso

cognitivo de la visualización en geometría y sus implicaciones, conlleva como mínimo

considerar: cambios dimensionales, tratamientos figurales, algún tipo de aprehensión

Capítulo 2 47

visual, asociaciones de enunciados problemas con registros figurales. Todo esto deberá

estar enfocado en algún objeto matemático para ser estudiado, en este caso será el área

de figuras planas.

2.3 La influencia de los libros de texto escolar en el desarrollo de la visualización de un contenido especifico en geometría

Los textos escolares son reconocidos como uno de los materiales didácticos más

usados por los profesores a la hora de planificar, preparar y desarrollar sus clases debido

a que son un recurso auxiliar en la labor de enseñanza, de este modo se convierten en

una fuente para identificar clasificar contenido, además de mostrar formas de cómo puede

ser presentado en el aula de clases y servir de base para plantear actividades que permitan

la comprensión de los contenidos desde diferentes ámbitos.

Los textos escolares son un importantísimo referente a considerar para comprender

muchos fenómenos asociados a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,

en particular las cuestiones relacionadas con la sinergia existente entre la

construcción del área y el rol que desempeña ella en la visualización. (Marmolejo y

González, 2015, p.4).

Conforme a lo anterior la comprensión de los fenómenos asociados a la enseñanza y

aprendizaje de la geometría debe considerar cómo influyen los textos escolares en las

decisiones y orientaciones que un profesor debe considerar a la hora de planificar la

enseñanza de un tópico particular como es el caso de las áreas de figuras planas para

desarrollo la actividad cognitiva de la visualización.

En este caso particular, (Duval, 1999, 2001, 2004, 2005, 2006) resalta que el proceso

cognitivo de la visualización permite: el reconocimiento o discriminación, discernir, así

como también explorar sobre todos las posibles formas o configuraciones susceptibles a

ser aplicadas en una figura que se estudia. Por lo tanto, el área de superficies planas es

un contenido propio para trabajar desde la visualización porque:



“Procesos como la construcción de la magnitud de área, la medida de cantidades

de área y la diferenciación entre área y perímetro de una figura, suscitan la

aplicación de operaciones que trasforman bidimensionalmente las figuras y el paso

de centrar la atención en la superficie de una figura a hacerlo en algunas de sus

partes constituyentes de dimensión inferior. Estos aspectos son, uno y otro,

terminantes en cualquier investigación que considere la visualización como un

objeto de estudios (Duval, 1999)” citado por (Marmolejo y González, 2015, p.2).

Dentro de las acciones que se han tomado para realizar investigaciones en este sentido,

se han formulado los denominados elementos generadores del control visual tomando

como referentes los trabajos de Duval (1999, 2001, 2004, 2005, 2006) y Padilla (1992) así

como las estructuras de control de Balacheff y Gaudin (2010), acerca de los factores que

guían o no las maneras de ver, denominados también cómo factores de visibilidad. Para

servir de referentes de análisis en las posibles actividades que se diseñan en los textos

escolares y/o clasificar las formas de visualización que se están privilegiando desarrollar

en los estudiantes. De manera que es fundamental que se tenga un modelo teórico

conceptual que proporcione información sobre como ver las figuras y las características

que hay trasfondo a ciertas tareas que permiten trabajar el concepto de área en los textos

escolares.

2.3.1 Elementos generadores del control visual

Teniendo presentes los elementos que fundamentan este estudio desde la línea

semiótica – cognitiva, es necesario analizar la influencia que tiene en los profesores los

libros de texto escolar debido a que son los materiales didácticos más usuales para guiar

su quehacer en el proceso de enseñanza y planeación de clases como soporte a su

conocimiento profesional y en el caso de las matemáticas no son la excepción. Teniendo

presente los trabajos de Duval (2004, 2005, 2006), Padilla (1992), Balacheff y Gaudin

(2010), al considerar los contenidos presentados en los textos escolares como parte de un

proceso de investigación se debe entender por estructura de control visual “como todo

conjunto de elementos y estrategias a las que recurren, explícita o implícitamente, los

textos escolares para expresar los caminos visuales a privilegiar en el desarrollo y

comprensión de las tareas propuestas” (Marmolejo y González, 2015, p.10). Tal estructura

permite caracterizar desde diferentes frentes los enunciados y explicaciones dados en

Capítulo 2 49

lengua natural, elementos de contraste (líneas punteadas, colores, flechas, etc.) y la

alusión a imágenes que de alguna forma determinan acciones en alguna tarea expuesta

sobre áreas de figuras bidimensionales. Aclarando que a cada una de los elementos y

estrategias que caracterizan una estructura de control se le denomina elementos

generadores de control visual, en este caso se constituyen cuatro categorías que son:

procedimiento, contenido, visibilidad e iconismo tal y como se aprecia en la tabla 2-2.

Tabla 2-2: Presenta una síntesis de los mencionados elementos de control para el

tratamiento del tópico de área de figuras planas presentes en los libros escolares.

Elementos Generadores del

Control visual Formas de control

Procedimiento

Directo: despliegue (total o parcial) de procedimientos;

descomposición de problemas complejos en otros de menor

complejidad y establecimiento de un orden de resolución;

indicaciones a seguir en el desarrollo del problema; y

representación de la figura de partida junto a la de llegada.

Replica: procedimientos previos.

Referencia: acciones y sugerencias que determinan la

operación a considerar y característica (figurales y de medida

de área) de la figura de llegada.

Contenido Alusión o presentación de definiciones de conceptos

matemáticos, formulas y propiedades geométricas.

Visibilidad

Factores de visibilidad: fraccionamiento dado, subfiguras

convexas, complementariedad de formas, desdoblamiento,

grado de inclinación de la figura o de un eje de simetría,

ubicación del centro de homotecia y características del

contorno.

Elementos de contraste: color, punteado y contraste en el tono

y el grosor del contorno de una figura y del fondo cuadriculado

en que se representa.

Índices: letras, segmentos continuos, puntos

sobredimensionados, flechas curvas y rectas, trazos, nombres



Tabla 2-2. (Continuación) de las unidades a las que se alude, valor de la medida de unidad

y espacios en blanco.

Iconismo Características del objeto o acción física representada o

aludida.

Tabla 2-2. Elementos generadores del control visual. Tomados de (Marmolejo y González,

2015, p.15).

De la tabla 2-2 se puede apreciar de forma sintética los elementos generadores del

control visual sobre el tipo de visualización a contemplar en los libros de texto escolares,

para un mejor entendimiento de las formas de control se ilustrarán algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Para las siguientes figuras ilustradas, copia o completa lo que falta para que las

figuras resultantes sean simétricas respecto al eje que se señala. Luego calcula el área de

cada figura resultante teniendo en cuenta que cada cuadricula corresponde a un

centímetro cuadrado.


procedimiento usando la réplica como forma de control.

Tomado de (Marmolejo y González, 2015, p.14).

Capítulo 2 51

Para el ejemplo presentado en la figura 2-16, la tarea propuesta la visualización se da

de forma directa, debido a que solo implica una la actividad de construcción de una figura

que está a medio completar, por lo que bastara con comparar las subfiguras que componen

a los contornos globales denotados como 𝑄𝑃𝑂𝑀𝐿𝐼𝐽𝐾 y 𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐴𝐵𝐶𝐷 para completar los

simétricos respecto a los ejes referenciados, este tipo de tareas se caracterizan porque

previamente se ha realizado una actividad similar y su desarrollo solo demanda de un poco

de atención y toma de medidas, en cuanto al cálculo del área deberá aplicarse la

aprehensión perceptual junto con el conteo de cuadricular para estimar el valor resultante

en las unidades solicitadas.

Ejemplo 2. Construye los polígonos 𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, 𝐾𝐿𝐺𝐻𝐼𝐽 y 𝑅𝑀𝑁𝑂𝑃𝑄, y con ayuda de una

regla busca la manera de dividirlos de tal manera que todas las partes que se obtengan

sean paralelogramos. (Ayuda. Cada cuadricula equivale a un centímetro cuadrado).


procedimiento usando la referencia como forma de control.


En la figura 2-17, se muestra el procedimiento por referencia, pero en esta ocasión se

tienen dos elementos de control visual los que caracterizan la tarea, por un lado, el

enunciado o consigna que hace explicita la acción de dividir los polígonos, por otro, se

caracteriza el tipo de figuras que deben resultar al ser divididos (“sean paralelogramos”),

los polígonos referenciados. Por lo que los aspectos en cuestión determinaran el desarrollo

de la tarea, por ejemplo, al polígono 𝐾𝐿𝐺𝐻𝐼𝐽 se le puede trazar un segmento 𝐿𝐼 y formara

así dos paralelogramos denotados como: 𝐼𝐽𝐾 y 𝐺𝐻𝐼𝐿.



Ejemplo 3. Se presenta unas figuras sombreadas en una hoja cuadriculada, en la que se

debe determinar la cantidad de área de las regiones sombreadas y expresar el resultado

obtenido en unidades cuadradas.

Figura 2-18. Ejemplo del elemento de generador de control visual de visibilidad.


Del ejemplo de la figura 2-18, se puede apreciar que existe una ausencia de contraste

dado que las figuras respecto al fondo cuadriculado no resaltan ni por tono o grosor entre

su contorno o segmentos las constituyen, la introducción de estos elementos en la figura

representada privilegia u obstaculizan una forma de ver en detrimento de otras. En el caso

de las figuras que sobresalen en un tono oscuro tienden espontáneamente a ser

discriminadas como la unión de un gran número de pequeños cuadrados, asimismo la

figura y fondo se funden en un mismo objeto, el fondo no es un soporte, sino una parte de

la figura. Para calcular el área de la región sombreada se requerirá realizar una

reconfiguración mereológica de las formas para poder realizar un conteo de las cuadriculas

y expresar el cálculo de la medida bidimensional en unidades cuadradas. Ejemplo 4.

Determinar el área de la figura 𝐴𝐸𝐷𝐹𝐶𝐵, en las correspondientes unidades.

Capítulo 2 53

Figura 2-19. Ejemplo del elemento de generador de control visual de visibilidad.


Otro ejemplo de visibilidad se presenta en la figura 2-19, cuando se introducen líneas

punteadas segmentos discontinuos en la figura 𝐴𝐸𝐷𝐹𝐶𝐵. Debemos centrar la atención,

por ejemplo, en los ejes de simetría sobresalen respecto a la figura estudiada.

También se destacan como elementos que generan una buena visibilidad las unidades

a considerar y que guían a manera de índices la representación como es el caso de los

puntos, y las medidas de los segmentos en centímetros como 𝐴𝐵 = 2𝑐𝑚, 𝐶𝐹 = 6𝑐𝑚 y

𝐷𝐹 = 2𝑐𝑚, respecto a los espacios en blanco se puede deducir que los arcos que

sobresalen pueden sobreponerse en ellos fonda así una figura 𝐴𝐸𝐹𝐶 que es un rectángulo

con un área de 24 𝑐𝑚2.

Ejemplo 5. En la siguiente situación representada se aprecia la rotación de una región

azul que hace parte de los rines de una bicicleta, al seguir la secuencia numérica se aprecia

que la región azul rota. Tomar un color y pintar la región en donde quedaría tal región en

la secuencia 4 y 5.



Figura 2-20. Ejemplo del elemento de generador de control visual de iconismo.


La figura 2-20, alude a un objeto físico o una acción física, donde las características del

objeto o de la acción planteada guían la manera en que se procede visualmente por parte

del sujeto. (Marmolejo y González (2015) mencionan que este elemento de control se ve

reflejado en la tarea propuesta del ejemplo 5 ya que se propone una secuencia con cinco

figuras isométricas entre sí. Y quien resuelve la tarea deberá centrar su atención en las

tres primeras bicis con las ruedas marcadas con azul y discriminar la rotación a la

operación figural a privilegiar. Las figuras representan un mismo objeto físico (bicicletas),

por lo que se asocia la rotación de las llantas con el movimiento hacia adelante, por lo que

la representación otorga elementos al sujeto para que interprete y realice sus propias

deducciones para que infiera visualmente la solución.

2.3.2 Tipos de control visual

Los tipos de control visual surgen según el número de elementos de control visual

presentes en alguna tarea de un texto escolar, como también se pueden dar, según la

cantidad de visualizaciones. De las que se pueden privilegiar destacar tres tipos los cuales

fueron caracterizados por Marmolejo y González (2015) acompañados de un ejemplo

ilustrativo.

Control visual simple o disjunto: En este tipo de control los elementos que guían la

solución en la tarea determinan el tipo de visualización pertinente para la solución y la

manera de ver. En ese sentido, para el ejemplo que se presenta a continuación solo existe

un elemento. Por eso se denomina control simple, si son varios elementos los que fijan el

Capítulo 2 55

control en partes distintas de la secuencia visual en juego se le denominará control

disjunto. Para mayor claridad ver el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Dado un cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴 que ha sido representado en un fondo cuadriculado,

deberás dividirlo en dos triángulos rectángulos, ver la figura 2-21:

Figura 2-21. Despliegue del tipo de visualización de control visual simple.


Del anterior ejemplo, se puede analizar que sobre la figura inicial 𝐷𝐶𝐵𝐴 sin color y

fondo cuadriculado, se debe visualizar un fraccionamiento en dos triángulos rectángulos

designados como 𝐷𝐶𝐴 y 𝐶𝐵𝐴, para así, centrar la mirada y prestar atención de la figura

inicial 𝐷𝐶𝐵𝐴 a la de dos subfiguras como se muestra en el cuadrado 𝐷𝐶𝐵𝐴 con colores

azul y verde. Luego se debe verificar si ambas subfiguras 𝐷𝐶𝐴 y 𝐶𝐵𝐴 son realmente dos

triángulos rectángulos, para ello, el sujeto debe pasar de centrar su atención en las

características perceptivas globales de cada triángulo al de sus partes internas como son

sus ángulos, en particular los que sean rectos, en este caso serían los vértices 𝐴𝐷𝐶 y 𝐴𝐵𝐶

respectivamente.

También se aprecia que al fraccionar el cuadrado se encontraran dos triángulos, pero

uno de ellos está en lo que se puede denominar posición habitual “el triángulo 𝐷𝐶𝐴” y el

otro en una representación no habitual “𝐶𝐵𝐴”, por tanto, es necesario en palabras de

Marmolejo y González, (2015) aplicar sobre este último un cambio de focalización, es decir,

una rotación. El autor mencionado resalta el hecho que el enunciado del problema exigió



de entrada un fraccionamiento del cuadrado, pero la forma de proceder respecto al

contenido que hay trasfondo hace parte de los elementos de análisis de los tipos de control

visual. En este caso fue control simple porque la atención solo se centraba en dar un paso

fundamental para secuencialmente llegar a la solución del problema.

Control visual por refuerzo: Es la situación en la cual varios elementos generadores del

control de una tarea propuesta se fijan en un mismo aspecto de la secuencia visual

contemplada, en otras palabras, según Marmolejo y González (2015) “imponen una única

manera de ver pertinente a su desarrollo o comprensión” (p.21). A continuación, se

presenta un ejemplo de este tipo en la figura 2-22.

Ejemplo: Dado un rombo 𝐴𝐷𝐵𝐶, hacer un paralelogramo. Comparar las áreas y perímetros

de ambas figuras.

Figura 2-22. Adaptación del ejemplo presentado por (Marmolejo y González, 2015, p.21).


El ejemplo ilustrado en la figura 2-22, deja en evidencia la trasformación de un rombo

𝐴𝐷𝐵𝐶 en una figura con cuatro lados denominada paralelogramo la cual se designó como

𝐴𝐶𝐵𝐷 en el que se puede apreciar que tienen área ambas con 12 𝑐𝑚2 y distinto perímetro,

siendo el del rombo ADBC mucho menor en comparación con el del paralelogramo 𝐴𝐶𝐵𝐷

esto debido posicionamiento de sus subpartes constitutivas.

Capítulo 2 57

Respecto a lo anterior, se presentan ambas figuras descompuestas 𝐴𝐷𝐵𝐶 y 𝐴𝐶𝐵𝐷 en

cuatro subfiguras de forma triangular de igual área las cuales se designan como: 𝐴𝑂𝐷,

𝑂𝐵𝐷, 𝐶𝑂𝐵 y 𝐴𝑂𝐶. Se evidencia una flecha que indica la dirección de la transformación

aplicada. La actividad muestra la solución a través de un despliegue de unas subfiguras

que se derivan de la “figura original”. La secuencia visual de la trasformación está ligada a

los colores que representan ciertas subfiguras triangulares para que el sujeto interpretante

sepa cuál fue la ruta seguida para transformar una figura en otra. Por lo tanto, quien asuma

la tarea debe comparar la figura de inicio con la de llegada, aunque esto puede

interpretarse de igual manera si la actividad no tuviera colores, bastaría con las

designaciones de las subfiguras que constituyen el problema, pero esto dependerá de la

capacidad del interprete.

De esta manera se concluye que las subfiguras triangulares 𝐶𝑂𝐵 y 𝐴𝑂𝐶 permanecieron

quietas y que las designadas como 𝐴𝑂𝐷, 𝑂𝐵𝐷 se les aplicaron una composición de

traslaciones horizontal de tres unidades hacia la derecha y vertical de tres unidades hacia

arriba tal y como se aprecia en la figura 2-22. En este caso serían dos procesos de control

introducidos en el enunciado que son el procedimental y el de divisibilidad, el primero

aparece al asumir el desarrollo de la actividad cuando se compara la figura 𝐴𝐷𝐵𝐶 y la de

llegada 𝐴𝐶𝐵𝐷 y se presentan descompuestas en ambas figuras en subfiguras triangulares

𝐴𝑂𝐷, 𝑂𝐵𝐷, 𝐶𝑂𝐵 y 𝐴𝑂𝐶 para comprender como se realizó la trasformación. Mientras que

el segundo proceso de control se demarca con la introducción de los colores y la flecha

que guía el proceso de trasformación para así minimizar la complejidad de la

reconfiguración.

Control visual ambiguo: Se presenta cuando varios elementos de control determinan

distintos tipos de visualización en la figura, pero no todos son pertinentes al desarrollo de

la tarea propuesta, esto significa en palabras de “que la ambigüedad se produce cuando

se suscitan visualizaciones de naturaleza distinta a las tratadas en el tópico” (Marmolejo y

González 2015). Sea de estudio y que pueda o no ser tan viables para dar solución a la

tarea propuesta. Un ejemplo de este tipo es el siguiente:



Figura 2-23. Ejemplo de control visual ambiguo.

Tomada de (Multiáreas 5, Grupo editorial Norma, p.175).

El ejemplo presentado en la figura 2-23, se pide calcular el área de los pisos de cada

habitación del nuevo apartamento que Verónica y Sebastián compraron. Cuando se lee el

problema se supone que en teoría se le ha dado al estudiante la fórmula a aplicar o tiene

conocimiento de ella, la ilustración secciona el apartamento en las diferentes habitaciones

pero la sala representa un polígono irregular el cual no se le ha dado una fórmula directa

para calcular su área, por lo que es necesario realizar un fraccionamiento previo de figuras

en este caso rectangulares de las que se conozcan las fórmulas del cálculo del área.

La figura 2-23, es susceptible a dos tipos de descomposición para su solución, la

primera está relacionada con el fraccionamiento parcial de las medidas lineales de cada

habitación dadas en metros como unidad de medida referencial. Otra característica son los

contornos de las habitaciones que están diferenciados con colores para hacer aún más

evidente el fraccionamiento del apartamento, para lo cual se induce al posible sujeto que

busca solución de la actividad que tome aparte cada representación con sus medidas y

calcule el área de cada habitación y dar respuesta inmediata al cometido planteado. Véase

a continuación:

Capítulo 2 59

Figura 2-24. Representación de la solución propuesta para el ejemplo de control visual

ambiguo.


De la figura 2-24, se puede apreciar que la representación gráfica que incluye el libro

es un soporte que ofrece información al sujeto que interpreta y resuelve la tarea, pero la

carga cognitiva radica en realizar operaciones por medio de un registro numérico y análisis

mental (completar los valores de cada habitación), y cómo ira a operar con la fórmula que

ya es conocida teniendo en cuenta las respectivas unidades.

La segunda ruta de solución tiene en cuenta que la ilustración es una representación

auxiliar del problema planteado y dependiendo de la manera de ver que tenga el

interpretante puede hallar cada área dependiendo de los valores que están asignados a

ciertas longitudes para solamente reducir la actividad a una suma de longitudes faltantes

(contornos globales) que son claves para completar las medidas reales de las habitaciones

luego calcular las áreas casi de manera heurística. Tal y como se presenta en la figura 2-

25:



Figura 2-25. Ilustración de la segunda solución al ejemplo de control visual ambiguo.


Una vez vistas las soluciones no cabe duda de que, sea cual fuese el camino elegido

al fraccionar la figura, quien intente resolver la actividad en ambos casos, se debe ser

consciente del fraccionamiento inicial de la sala, luego centrar la atención en las subfiguras

que representa cada habitación que compone el apartamento, para luego aplicar la fórmula

que permite calcular el área en unidades de metros cuadrados. Pero como no sean dado

todos los datos de manera explícita de las longitudes de cada habitación es necesario

aplazar el empleo de la fórmula conocida para calcular el área en metros cuadrados, lo

que implica una actividad precavida de visualización antes de operar las longitudes.

En este caso los elementos de control introducidos en el ejemplo del texto de multiáreas

5 son el de contenido y el de divisibilidad, el primero aparece a través del enunciado de la

tarea, haciendo alusión al concepto del área a través de una unidad de medida (indirecta,

lo que implica una descomposición figural de la ilustración de inicio). Para después

proceder con alguno de los dos tipos de soluciones descritas y ejercer al final un cambio

Capítulo 2 61

dimensional. La visibilidad está demarcada por la introducción de la ilustración del

apartamento dividida en habitaciones y las demarcaciones de las longitudes dadas en

metros de cada habitación. La ambigüedad en el control es introducida en la primera

medida, debido a que se debe considerar un fraccionamiento del polígono irregular

presentado como “sala” y esto dependerá si el sujeto ha alcanzado cierto nivel de

descomposiciones figural o divisibilidad de las formas comunes.

2.4 El área de figuras planas

El concepto de área, a lo largo del tiempo, ha sido un elemento de estudio muy usual

debido a la practicidad que esta noción ha tenido con el desarrollo de actividades del

hombre como es el caso de la agricultura y la construcción, por lo que no es de desconocer

el hecho que según la Real Academia Española (RAE) se defina como “la superficie

comprendida dentro de un perímetro o la cantidad de tierra comprendida entre ciertos

límites”. Pero debido a la perspectiva que se está encaminado este trabajo es conveniente

mencionar a (González, 2016) quien cita a D`Amore y Fandiño (2007) quienes la definen

como “una medida bidimensional que siempre va acompañada de una unidad de medida

cuadrada. El concepto de área no nace con el ser humano, sino que es trasmitido a lo largo

de procesos históricos” (pp.27-28). Por lo que es necesario entender que cuando se

estudia ese concepto como objeto de enseñanza desde la escuela primaria a la secundaria

varia su complejidad, aunque está claro que la finalidad en estos niveles de formación no

es la construcción del concepto matemático, sino que se espera realizar un acercamiento

a la construcción del área desde el punto de vista geométrico, es decir, al tratamiento del

registro figural y sus respectivas reconfiguraciones y analizar la conservación de esta

magnitud.

Al remontarse a los antiguos griegos nos damos cuenta de que se puede abordar el

cálculo de áreas de superficies planas sin necesidad de precisar de un modo formal qué

se entiende por ella, por lo tanto, en niveles como primaria e inicios de la formación básica

secundaria, el tratamiento de este contenido habitualmente viene estructurado en las

siguientes categorías descritas por Marmolejo (2014) “cantidad de área, medida del área

y relación perímetro área” (pp.143-144). De la primera categoría se puede describir que se

refiere al momento en que los libros de texto operan superficies sin recurrir a medidas o



datos numéricos llamase unión, sustracción, composición o descomposiciones de

superficies y la comparación entre las mismas u otras.

La segunda categoría hace referencia la medida del área ya sea de manera directa

(replicación de unidades de referencia), o indirecta que alude a encontrar la unidad de

referencia para después aplicar un algoritmo dependiendo de la figura geométrica. Por

último, se encuentra la relación perímetro-área y esta puede encontrarse en tareas donde

se trabajan ambos conceptos o se solicita su determinación al encontrarse estrechamente

relacionados.

Otro aspecto que tiene que ver con la fundamentación teórica del área de figuras planas

(en adelante área) se encuentra en establecer ¿qué se entiende por los términos superficie

y área? está claro que ambos términos no atañen a un mismo significado puesto que

muchos investigadores y educadores matemáticos empelan la palabra superficie para

referirse al área, y a veces al área para referirse a la misma medida del área.

En palabras de Corberán (1996) “para algunos el área es un número, y para otros es

algo distinto del número que la mide” (p.38). Por lo que es necesario explicitar como es

que se entienden estos términos o el significado que se les otorgó en este trabajo porque

así mismo es se buscó que los estudiantes los comprendieran.

Si bien, como educadores debemos llegar a consensos de las reflexiones realizadas en

el desarrollo de nuestro quehacer el referente teórico que orienta la diferenciación es los

términos anteriormente mencionados es Corberán (1996) quien afirma “que el área es una

propiedad más de una superficie que puede ser medible, y por lo tanto se le puede asociar

un número como resultado de su medida” (p.40). La apuesta en este sentido, porque la

mayoría de los programas curriculares (MEN, 1998, 2006), se incluyen orientaciones

específicas para el tratamiento del área pero a pesar de los múltiples esfuerzos de

investigadores como (De Araújo y Dos Santos, 2009 citado por Marmolejo y González,

2015b) manifiestan que “son escasas las ocasiones en que esas técnicas de despliegue

de procedimientos de comparación de áreas se ven reflejados en las actividades que

resuelven los estudiantes, es más brillan por su ausencia”(p.46). Por otro lado, Olmo y

Moreno (1989) citados por (Marmolejo y González, 2015b) expresan que tradicionalmente

Capítulo 2 63

se asume que el alumno descubre por sí mismo el concepto de área y por eso se pasa

directamente a su medida.

Mientras que autores como (Kospentaris, Spyrou, & Lappas, 2011) afirman que, el

conocimiento geométrico formal, cuando se trabaja la percepción visual y las nociones

intuitivas personales, son factores que pueden determinar los procedimientos que los

estudiantes realizan en el estudio de la equivalencia de áreas. Mientras que el significado

de superficie viene a estar más ligado con la forma que describe cierta figura en un espacio

euclídeo, que para el nivel de escolarización en que se piensa aplicar será el campo

bidimensional.

Lo que se menciona anteriormente sobre la superficie es necesario que los estudiantes

desde un inicio en su formación escolar de básica secundaria se familiaricen con las

diferentes unidades de medida en que esta se puede medir, pero antes que eso es

necesario que comprendan porque es una magnitud bidimensional porque si no, se estaría

dando continuidad a la dificultad de la linealización de la magnitud del área tal y como

sucede cuando se enseña este tópico, cuando se enfatiza en el despliegue de fórmulas

dejando relegado a un segundo plano a la exploración del registro figural.

Teniendo presente los elementos mencionados respecto al estudio y enseñanza del

área es evidente que resulta ser un contenido propicio para trabajar desde la visualización,

no solamente por tratarse de un contenido cuya construcción se lleva a cabo durante la

mayor parte de la educación básica, sino por su riqueza en la movilización de procesos y

situaciones propias del pensamiento espacial y métrico, tales como: comprender procesos

de medición de longitudes, como perímetros, áreas y ángulos, aplicar de forma adecuada

los tratamientos figurales, emplear herramientas de medición y otros recursos, además de

poder aplicar expresiones matemáticas para calcular o deducir las áreas de ciertas figuras

geométricas básicas.

Respecto a la aplicación de expresiones matemáticas para calcular o deducir las áreas

de ciertas figuras geométricas Barreto (2017) se propuso deducir las fórmulas tomando

como punto de referencia a los antiguos griegos, específicamente aquellos conocimientos

geométricos que les permitieron hacer geometría partiendo de construcciones que se

regían de definiciones, nociones comunes, entre otras formas de organización teórica.



Aclarado lo anterior Barreto (2017) parte del manejo de nociones primordiales que se

encuentran dentro del libro de los Elementos de Euclides. Respaldado en un enfoque de

procesos cognitivos, es decir, que le permitirán ir mostrando como operar las figuras

geométricas de forma tal que se podrá ir poco a poco visualizando y razonando de una

manera más fácil la deducción de fórmula del área de algunas figuras ya conocidas, todo

esto para ir generando un conocimiento progresivo.

Como consecuencia se pretende llegar a la coordinación de procesos cognitivos como

la visualización, las aprehensiones operatorias y mereológicas, que permitirán la

construcción de ciertas fórmulas que suelen ser usadas para calcular el área de figuras

planas, las cuales junto a los conceptos de conjunto elemental y figuras congruentes

facilitara de la deducción de las fórmulas.

2.5 Deducciones de fórmulas para hallar el área de algunas figuras geométricas

Generalmente, cuando se estudian las matemáticas se suele establecer relaciones

entre cantidades y magnitudes, esto se debe a que algunas propiedades que presentan

ciertos objetos matemáticos, en este caso tenemos a las figuras geométricas. Se les

pueden realizar ciertas operaciones lógicas para deducir algunas relaciones en las que se

conjugan ciertas definiciones como son la de magnitud y la línea poligonal, que en palabras

de (Barreto, 2017) son una manera de construir y deducir el algoritmo que permite calcular

el área de figuras planas elementales en términos de definiciones, teoremas y tratamientos

figurales. a continuación, se comenzarán a presentar algunos casos que ilustran este tipo

de procesos:

Definición 1. Magnitud escalar: Es todo aquello que se puede medir, las cuales se

identifican porque dan su valor, que siempre es un número real acompañado de

una unidad. Definición 2. Línea poligonal: Es la figura plana obtenida de trazando

segmentos no alineados, de modo que dos segmentos consecutivos tengan un

extremo en común (Barreto, 2017, p.1).

La figura 2-26 representa la combinación de las definiciones anteriores:

Capítulo 2 65

Figura 2-26. Representación de una línea poligonal.


Se puede apreciar de la figura 2-26, los segmentos consecutivos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , formando

así una sola línea poligonal que se denota 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ . Otro rasgo que la puede caracterizar es

que, si cada vértice pertenece a dos lados, a esta se la puede denominar línea poligonal

cerrada.

“Definición 3. (Polígono): Es una región del plano limitada por una línea poligonal

cerrada. Definición 4. (Cuadrilátero): Es un polígono de cuatro lados” (Barreto,

2017, p.1).

De las anteriores definiciones se puede deducir que también tendrá cuatro ángulos

interiores, formados por cada par de lados consecutivos. Los vértices de un cuadrilátero

son la intersección de cada dos lados. Por lo que se reconocerán como vértices opuestos

a aquellos que no se sitúan sobre el mismo lado y las diagonales de un cuadrilátero serán

los segmentos determinados por un par vértices opuestos.

“Definición 5. (Paralelogramo): Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Definición 6. (Rectángulo): Son paralelogramos que tiene todos sus ángulos rectos”

(Barreto, 2017, p.1).



A partir de la estimación o cálculo de áreas se puede pensar a priori en desarrollar una

idea de medida y entenderla como una cantidad asociada a algún tipo de magnitud,

teniendo presente a Barreto (2017):

“Se puede evidenciar usando hechos primitivos como los conocidos por los griegos,

tales como: (i) El área de un rectángulo de lados a y b es igual a ab. (ii) El área de

un rectángulo es invariante por traslación” (p.1).

En la figura 2-27, se esclarece lo acabado de referenciar:

Figura 2-27. Representación de un rectángulo ABCD con un área ab.


Se aprecia que en la figura 2-27, el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, denota como a y b a las medidas

de sus lados siendo a la que corresponde a los segmentos 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y b la medida asociada

a los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ .

“Definición 7. (Conjunto elemental): Un conjunto se llama elemental si se puede

expresar como unión infinita de triángulos rectángulos” (Barreto, 2017, p.1).

En este caso podría decirse que cualquier polígono es un buen ejemplo de este

conjunto, ver la figura 2-28:

Capítulo 2 67

Figura 2-28. Representación figural de un conjunto elemental.


De acuerdo con lo presentado en la figura 2-28, un polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 puede verse como

la composición de otros como es el caso de un rectángulo 𝐴𝐵𝐷𝐸 y un triángulo 𝐵𝐶𝐷. En

ese sentido y con los hechos presentados tenemos que un paralelogramo rectángulo de

iguales lados se le reconoce y denomina como cuadrado y cuenta con la característica de

tener un área igual al producto de sus lados, véase en la figura 2-29:

Figura 2-29. Representación de un cuadrado OPQR con área a2.




De la figura 2-29, se puede ver que cada lado tiene una medida de a unidades y el

producto del lago y el ancho del cuadrado 𝑂𝑃𝑄𝑅 se le reconoce como área. Donde el

resultado anterior se obtiene el primer axioma el cual dice:

“Axioma (1): El área de un conjunto elemental es aditiva, es decir que, si A y B son

conjuntos elementales tal que A al ser intersecado con B es vacío, un punto o

segmento, entonces el área A unida con B es igual a la suma de las áreas en

cuestión”. Y por Definición 8. (Romboide): Es el paralelogramo que no tiene ni sus

ángulos ni sus lados iguales (Barreto, 2017, p.1).

Usualmente al romboide se le denomina simplemente paralelogramo o paralelogramo

no rectangular. En la figura 30, se aprecia en el lado izquierdo un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷,

que puede ser transformado o reconfigurado en un rectángulo 𝐸𝐹𝐶𝐷 de igual área al

aplicar una aprehensión operatoria por reconfiguración, esto se logra al mover un triángulo

𝐴𝐷𝐸 al lado derecho del paralelogramo no rectangular 𝐵𝐶𝐹, aunque el triángulo como

figura aún no se ha definido se va a emplear en esta configuración porque los dos

triángulos mencionados tienen áreas iguales.

Figura 2-30. Representación de la aprehensión operatoria por configuración de un

paralelogramo ABCD a un rectángulo EFCD.


Otras apreciaciones de la figura 2-30, es que las longitudes de los paralelogramos

𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝐸𝐹𝐶𝐷 tienen como medida a “b” en sus lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ y como medida de las

Capítulo 2 69

alturas de los triángulos 𝐴𝐷𝐸, 𝐵𝐶𝐹 y lados 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐹̅̅̅̅ tenemos a “h”. De esta

manera si se parte de un razonamiento discursivo y visto como un proceso natural tenemos

que el área de un paralelogramo no rectangular viene dada por la fórmula: 𝐴𝑝 = 𝑏 × ℎ,

donde 𝐴𝑝 denota el área de un paralelogramo no rectangular. Cabe resaltar que, aunque

tiene la misma fórmula para calcular el área ambos polígonos, lo que cambiará por lo

regular siempre será la denotación de las longitudes.

Continuando con las construcciones de las áreas demos paso a las siguientes

definiciones:

Definición 9. (Figura congruente): Dos figuras son congruentes si pueden hacer

coincidir en todos sus puntos mediante una isometría, es decir, la aplicación o

transformación geométrica que conserva las distancias existentes entre rectas,

longitudes y ángulos, por ejemplo: las rotaciones, traslaciones y simetrías.

Definición 10. (Triángulo): Es un polígono de tres lados (Barreto, 2017, p.1).

Se debe aclarar que el término isometría hace referencia a algún tipo de transformación

geometría en la que se conserva ya sea las distancias entre lados de una figura, las

longitudes de sus segmentos y los ángulos. Por ejemplo, las rotaciones, traslaciones y

simetrías.

Ahora pues, para calcular el área de un triángulo 𝐴𝐵𝐶, es necesario aplicar una

aprehensión operativa de cambio figural, en este caso el triángulo 𝐶𝐵𝐷 como se ve en la

figura 2-31 del lado derecho, formando un romboide 𝐴𝐵𝐷𝐶, al hacer uso de la fórmula

obtenida anteriormente y partiendo de una conjetura sin demostración como menciona

Barreto (2017), teneos que el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es la mitad que la del romboide

𝐴𝐵𝐷𝐶.



Figura 2-31. Ilustración de la aprehensión operatoria de un cambio figural para hallar la

fórmula de un triángulo ABC al transformarlo en un romboide ABDC.


En la figura 2-31, se visualiza un triángulo 𝐴𝐵𝐶 y un romboide 𝐴𝐵𝐷𝐶 que tiene como

altura una longitud h y como base un segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ con medida b, luego la expresión que

permite obtener el área del triángulo viene dada por: 𝐴𝑇 = ℎ×𝑏

2. Cabe anotar en el proceso

de aprehensión empleado se recurrió a una congruencia de triángulos lo que implica que

ambos tienen igual área.

Definición 11. (Trapecio): Cuadrilátero que solo tiene dos lados paralelos. Véase en la

figura 32:

Figura 2-32. Representación de un trapecio ABDC.


Capítulo 2 71

Al observar la figura 2-32, se representa un trapecio 𝐴𝐵𝐷𝐶, en el que el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

con medida 𝑏2 es denominado como base menor, mientras que el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ con

medida 𝑏1es la base mayor, también se debe considerar que las alturas ℎ1 y ℎ2 al poseer

igual medida para términos prácticos la denominaremos simplemente h. Ahora pues, al

aplicar una aprehensión operativa figural y un razonamiento discursivo como proceso

natural tenemos:

𝐴𝑇𝐴𝐵𝐶 =𝑏1×ℎ1

2 (1) 𝐴𝑇𝐷𝐶𝐵 =

𝑏2×ℎ2

2 (2)

En el que (1) describe el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 y (2) el área del triángulo 𝐷𝐶𝐵 y como

ya se mencionó que el área de un conjunto elemental es aditiva “Axioma 1” tenemos que

al sumar (1) y (2):

𝐴𝑇𝑃 =𝑏1 × ℎ1

2+

𝑏2 × ℎ2

2=

(𝑏1 + 𝑏2) × ℎ

2

Obtenemos 𝐴𝑇𝑃 que es la expresión que permite calcular el área de un trapecio gracias

a la suma de fracciones y asociación de términos semejantes ℎ1 = ℎ2 = ℎ.

“Definición 12. (Rombo): Es el paralelogramo que tiene todos sus lados iguales, pero sus

ángulos no son rectos” (Barreto, 2017, p.1).

Véase en la figura 2-33 de la izquierda:

Figura 2-33. Representación de un rombo ABCE.




En la figura 2-33, se aprecia un rombo 𝐴𝐵𝐶𝐸 con longitudes de diagonal mayor D y

diagonal menor d que corresponden a los trazos 𝐴𝐶 y 𝐸𝐵, respectivamente. En la parte

derecha de la misma figura 2-33, se aprecia el rombo ABCE dentro de un rectángulo con

las longitudes mencionadas, en los que se puede visualizar ocho triángulos congruentes:

AFE, 𝐴𝐹𝐸, 𝐴𝐺𝐵, 𝐵𝐻𝐶, 𝐶𝐼𝐸, 𝐴𝑂𝐸, 𝐴𝐵𝑂, 𝑂𝐵𝐶 y 𝐸𝑂𝐶 donde los últimos cuatro forman el

rombo 𝐴𝐵𝐶𝐸. Ahora bien, como D es la longitud de la base y d la longitud de la altura del

rectángulo 𝐹𝐺𝐻𝐼 que encierra al rombo 𝐴𝐵𝐶𝐸, tenemos que el A_R=D×d=b×h donde A_R

denota la expresión del área del rectángulo 𝐹𝐺𝐻𝐼, Al visualizar que la figura 2-33 del lado

derecho notamos que el rombo 𝐴𝐵𝐶𝐸 la mitad del área del rectángulo 𝐹𝐺𝐻𝐼 nos queda

que:

𝐴𝑅𝐵 =𝑏 × ℎ

2=

𝐷 × 𝑑

2

Donde 𝐴𝑅𝐵denota el área del rombo.

En general el área de un polígono regular (que tiene igual medida de sus lados) como

se puedo aprecia lo podemos deducir inductivamente, por ejemplo: Deducir al área de un

pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 como el que se aprecia en la figura 2-34:

Figura 2-34. Representación de un rectángulo regular ABCDE.


Capítulo 2 73

A la izquierda de la figura 2-34, notamos un pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, en el que existe

un punto F que se ubica equidistantemente sobre cualquiera de los vértices, se puede

evidenciar que el pentágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 está conformado por cinco triángulos equiláteros, es

decir, que tiene lados de igual longitud tales como: 𝐴𝐵𝐹, 𝐵𝐹𝐶, 𝐶𝐹𝐷, 𝐷𝐹𝐸, 𝐸𝐹𝐴. En la

parte derecha de la figura 2-34, notamos uno esos triángulos descritos en el que existe un

trazo que llega al punto F y está formando una perpendicular al lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ el cual se le llama

altura del triángulo 𝐴𝐵𝐹, que a su vez viene siendo la apotema del polígono regular la cual

se conoce como: la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un

segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de

cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado. Por lo que en este caso

analizado se tiene la de un pentágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, luego a través de la aditividad de cada una

de ella, al ser un conjunto elemental podemos llegar al resultado:

𝐴𝑃𝑅 =𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑛𝑡á𝑔𝑜𝑛𝑜 × 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2 ,

𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜 = 5 × 𝑙𝑎𝑑𝑜

Aunque la expresión más reconocida viene dada: 𝐴𝑝 =𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ×𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2, siendo 𝐴𝑝

y 𝐴𝑃𝑅 la denotación del área del pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Por otro lado, parafraseando

a Barreto, (2017) las deducciones trabajadas para calcular el área de algunas figuras

planas, es una muestra clara que se movilizan diversos recursos cognitivos propios del

pensamiento geométrico. Lo cual ratifica este contenido como viable desde los sustentos

teóricos para diseñar la trayectoria de aprendizaje.

3. Fundamentos metodológicos y de diseño

En este capítulo se presentan y caracterizan de los fundamentos metodológicos que

guiaron este trabajo de investigación, en primer lugar se presentan las características

generales que componen el enfoque cualitativo, en segundo lugar, se presenta la

estructura y característica generales que compone el paradigma de la investigación de

diseño para finalmente, presentar aquellos elementos que hicieron parte de la planificación

de la toma, organización y clasificación de la información que produjo el diseño de la

trayectoria hipotética de aprendizaje para llevarla a cabo.

Como se pudo apreciar en el capítulo anterior, este trabajo tuvo un posicionamiento

teórico semiótico-cognitivo fundamentado Duval (1999, 2001, 2005) y con los aportes

desarrollados por Marmolejo (2007, 2014) frente al trabajo con áreas a partir de la

exploración heurística del registro figural, desde estas perspectivas, se ha centrado el

interés por estudiar los procesos de visualización que les permiten a los estudiantes

alcanzar la comprensión de ese tópico. De modo que diseñar una propuesta que articule

ambos trabajos se hace necesario puesto que desde la mirada en que se ha planteado

este trabajo para dar cumplimiento a los objetivos trazados tomando como enfoque la

investigación de diseño mediante la elaboración de una trayectoria hipotética de

aprendizaje, debido a que no se ha realizado un trabajo que tenga este posicionamiento

teórico con el objeto matemático de interés.

Cabe añadir, que la investigación de diseño tiene el potencial de ser una metodología

flexible y que se ajusta a las necesidades del contexto en que el docente-investigador quien

elaboró este trabajo estaba en la que cada intervención que realizara en el aula fuera lo

más efectiva posible además de combinar elementos como son análisis a priori y a

posteriori, los cuales hace parte de la ingeniería didáctica desarrollada por (Artigue,

Douady, Moreno y Gómez, 1995). Respecto a lo anterior, dichos elementos se hacen



necesarios incluirlos dado a que este trabajo investigativo es de corte cualitativo en el que

la validación del instrumento es interna y se hace desde la comparación teórica y empírica

de los análisis a priori y a posteriori.

Por consiguiente, este trabajo está posicionado en un paradigma de investigación

cualitativo porque estos se caracterizan por orientar los análisis de las situaciones de

aprendizaje hacia la búsqueda del significado y la interpretación del contenido de área de

figuras planas. Ya que el foco de interés de la pregunta problema busca la manera cómo

la actividad cognitiva de visualización emerger como una entrada propicia desde el

tratamiento figural para que los estudiantes alcancen la comprensión, es decir, en palabras

de Hernández, Fernández y Baptista (2014): “El interés debe estar centrado en

comprender los fenómenos, explorándolos desde las perspectivas de los participantes en

un ambiente natural y en relación con su contexto” (p.358). Por lo que ciertamente, esto es

un punto importante de estos paradigmas investigativos dado que, facilitan tener una

mirada integral y particular de los elementos que se conjugan en cada momento del

desarrollo de la investigación y el aula de clases.

3.1 Las trayectorias de aprendizaje: una teoría para el diseño

El concepto de trayectorias de aprendizaje nace de una corriente constructivista de la

enseñanza. Es preciso mencionar, que este constructo, el cual fue propuesto por Simon

en 1995, hace parte de la investigación de diseño, o diseños basados en la investigación

(Coobb, 2000; Sztajn, Confrey, Wilson, & Edgington, 2012), los cuales permiten estudiar

los procesos de enseñanza y aprendizaje mediante la toma de decisiones de tipo didáctico,

curricular y disciplinar. Adicionalmente, y en la búsqueda de cualificación de las

intervenciones de aula, se trazaron una serie de objetivos, que implicaron el diseño de

unas tareas, las mismas, que respondieron a una estructura de carácter hipotético, en aras

que las concepciones de los estudiantes progresaran de lo “informal”, hacia un

conocimiento más elaborado.

Durante todos estos años, desde su aparición, las trayectorias hipotéticas de

aprendizaje han servido de fundamento teórico para numerosos trabajos, en los cuales se

han evidenciado dos usos claramente diferenciados según Gómez y Lupiáñez (2005):

“como herramienta de investigación y como herramienta para la planificación” (p.81). En

Capítulo 3 77

ese sentido, un ejemplo del primer caso es el realizado por Clements & Sarama (2011) en

el que estos investigadores, centran su mirada en el tema específico de la composición de

figuras geométricas por parte de estudiantes de preescolar. Cabe anotar, que, en estos

trabajos, se diseñaron instrumentos que contribuyeron a identificar las progresiones en los

aprendizajes de los estudiantes, al establecer niveles de comprensión superiores, en

habilidades concernientes a la composición y descomposición figural.

Continuando con este enfoque instruccional del diseño, es necesario mencionar los

trabajos de León, Díaz, y Guilombo (2014), de Suárez y León (2016) y de Quevedo (2018).

Cabe subrayar, que los citados autores, enfrentando diferentes contextos, hicieron uso de

trayectorias para diseñar y planificar situaciones de aprendizaje, que ayudaron a los

estudiantes a desarrollar habilidades y alcanzar la comprensión, tomando como base los

trabajos de Clements & Sarama (2011). Además, después de establecer los fundamentos

de corte didáctico y disciplinar, y de aplicar actividades específicas, los estudiantes

alcanzaron las competencias esperadas, desde distintos niveles de desarrollo del

pensamiento espacial, utilizando estrategias que incluyeron el juego, o el uso de elementos

cuasi-lógicos (argumentaciones con fundamento).

En aras de alcanzar los objetivos trazados, se propuso una trayectoria hipotética de

aprendizaje como alternativa sobre la cual cimentar este trabajo de investigación, por ser

una teoría que orienta el diseño además de contar con la capacidad de permitir al profesor-

investigador, contrastar sus teorías sobre la concepción del aprendizaje con la puesta en

escena. En ese orden de ideas, la propuesta que se plantea este trabajo ve a las

trayectorias hipotéticas de aprendizaje como el medio por el cual unos diseños que ya

están respaldados por una teoría semiótica-cognitiva consolidada en el campo de la

educación matemática permiten alcanzar una comprensión del tópico de áreas a

estudiantes del grado séptimo. Por consiguiente, la idea no es validar un diseño, sino que

este enfoque instruccional ayude al profesor-investigador a plantear un escenario propicio

que promueva la comprensión del contenido de interés, tal y como se apreció en los

trabajos anteriormente mencionados.

A continuación, se procederá a presentar una síntesis general de la estructura de los

diferentes componentes que se pensaron para el diseño de la trayectoria hipotética de

aprendizaje.



3.2 Elementos constitutivos de las trayectorias hipotéticas de aprendizaje

Cuando se hace referencia al constructo teórico de las trayectorias hipotéticas de

aprendizaje en adelante THA como aquel enfoque instruccional o teoría que orienta el

diseño, se hace necesario mostrar cómo debería entenderse un ciclo de enseñanza

cuando estas se aplican. Dado que, al ser un concepto relativamente nuevo en la

educación matemática, dentro de la misma comunidad, aún no existe un consenso sobre

el alcance que estas puedan tener. La figura 3-1, muestra el ciclo de enseñanza propuesto

por Simon (1995), con algunas adaptaciones realizadas al trabajo que se ejecutó.

Figura 3-1. Adaptación del Ciclo de enseñanza de Simon (1995).

Referenciado por (Gómez y Lupiánez, 2007, p.80). Fuente: Elaboración propia.

Valoración y evaluación de los conocimientos de los estudiantes

Trayectorias hipotéticas de aprendizaje

Metas de aprendizaje del profesor

Plan del profesor para las

tareas de aprendizaje

Hipótesis del profesor sobre

el proceso de aprendizaje

Conocimiento matemático y teórico (semiótico cognitivo) del profesor del contenido sobre el

tópico de áreas de figuras planas

Reflexión en la acción:

frente a las tareas diseñadas,

el conocimiento de los

estudiantes y las metas u

objetivos trazados

Análisis a posteriori

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Trayectoria real de aprendizaje

Capítulo 3 79

En concordancia con lo planteado por Simon (1995), en la figura anterior, se presentan

los postulados del ciclo de enseñanza. Se debe mencionar, que este constructo, tiene una

estructura de cinco peldaños, cada uno de los cuales se refiere a un nivel de avance por

parte del profesor, en el dominio de las diferentes competencias que lo conforman. En ese

sentido, el nivel 1, se refiere al conocimiento que debe tener el profesor-investigador o si

es el caso el docente de aula frente al contenido de la asignatura, en los aspectos

matemático y semióticos-cognitivo; el nivel 2, contiene las tareas diseñadas en aras de

alcanzar unas metas específicas contempladas por el docente, el nivel 3, trata de la

evaluación pertinente, de acuerdo con el desempeño observado en el aplicativo de los

cometidos, el nivel 4, hace un análisis a posteriori, de las características de la evaluación,

en el fin avanzar o de dar continuidad en los procesos de aprendizaje y alentando la

comprensión de los alumnos, y el nivel 5, hace alusión, a la contrastación entre los

elementos constitutivos de la THA, con los que arrojaron los análisis de las producciones

de los estudiantes.

En cuanto al dominio disciplinar, (nivel 1), en la medida en que todo profesor crece en

experiencia, este va afianzando su conocimiento del contenido. Conviene señalar, que, en

el caso específico del aumento de las capacidades en el ámbito de la geometría, esto le

permitirá fundamentar sus decisiones curriculares. Adicionalmente, el docente tiene mayor

autoridad para redireccionar el camino de la clase, cuando sea necesario, lo que conducirá

a un mejor diseño del ambiente de aprendizaje. Al respecto, Simon, dice:

“Una trayectoria hipotética de aprendizaje le da al profesor criterios para

seleccionar un diseño instruccional particular, por lo tanto, esta toma las decisiones

de enseñanza, basado en la mejor conjetura acerca de cómo va a proceder con el

proceso de aprendizaje “(Simon, 1995, p.135).

Es importante hacer notar, que, en la anterior cita, subyacen las partes que configuran

una trayectoria de aprendizaje (TA). Conviene señalar, que, en primera instancia, se habla

de criterios instruccionales, los cuales necesariamente están conectados con las metas de

aprendizaje, que, a su vez, lo están, con los objetivos propuestos por el profesor quien

diseña. Adicionalmente, están contenidas las hipótesis de aprendizaje, las cuales permiten

establecer rutas y niveles de formación, que, los estudiantes de manera progresiva deben

ir alcanzando.



Por último, se tienen las tareas en el que su cantidad y división por niveles, viene sujeta

a los elementos constitutivos ya mencionados y están fundamentadas desde la teoría

semiótica cognitiva propuesta por Duval y colaboradores. En cuanto a las trayectorias

hipotéticas de aprendizaje (nivel 2 del cuadro), allí se encuentra consignado el entramado

metodológico de la trayectoria hipotética de aprendizaje. Es preciso subrayar, que en el

momento en que el profesor escoge un contenido específico de estudio, en este caso, el

de los procesos de visualización que emergen cuando se trabaja con áreas de figuras

planas para estudiantes de grado séptimo, deberá tener presente que este acervo

instruccional, consta de tres elementos: a) los propósitos u objetivos de aprendizaje, b) las

conjeturas o hipótesis de aprendizaje, y c) las tareas que son diseñadas mediante un plan

que el profesor cree idóneo para ejecutar dentro del aula de clase.

Respecto al nivel (3), una vez se tenga el conjunto de tareas definidas, podrá tomarse

la decisión de realizar un pilotaje o iniciar las tareas proyectadas. En virtud de esta

definición, para valorar el estado de conocimientos que tiene el grupo de interés y

establecer la cantidad de niveles que contendrán los diseños, el profesor deberá solucionar

todas las tareas y hacer un análisis a priori. Al respecto, esta práctica le permite al docente

conocer, las posibles dificultades y soluciones que podrían encontrarse, cuando se haga

la intervención en el aula, aunque puede darse el caso que aparezcan respuestas de los

estudiantes que estén por fuera de los análisis que anticipa el profesor.

Una vez se cierre cada nivel, y se tome la decisión de seguir con el proceso, el profesor

investigador deberá ir al paso (4), en el que se hace la evaluación de las producciones de

los estudiantes. En este marco, el docente deberá auscultar otras formas de solución de

las tareas, las cuales pueden ser igualmente válidas. A su vez, debe llegar a descubrir,

elementos de análisis que tengan la capacidad de evidenciar las dificultades que existen

en cada tarea, las cuales, deberán ser solventadas antes de proseguir con el siguiente

nivel. En el desarrollo del ciclo de la THA, en aras que esta se logre consolidar como una

trayectoria real de aprendizaje (TRA), es condición sine qua non, establecer una serie de

categorías que pueden verse también como procesos transversales, de manera que,

permitan elaborar el análisis a posteriori. Conviene señalar, que este proceso constituye el

paso (5), y consiste en que el profesor deberá contrastar los elementos constitutivos de la

THA en conjunto con los que arrojó los análisis de las producciones de los estudiantes.

Capítulo 3 81

Finalmente, en este estadio del proceso, el profesor deberá analizar y argumentar por qué

se puede concluir que los estudiantes progresaron cognitivamente.

En resumen, si en algún momento el docente-investigador ve la necesidad de añadir

algún elemento a su diseño, con el propósito de solventar alguna dificultad, deberá hacer

los ajustes necesarios. En tal sentido, desde una postura flexible, será posible validar los

resultados grupales de la trayectoria, y desde allí, poder considerarlos efectivos, en el

alcance de la comprensión del tópico escogido, por parte de los estudiantes.

3.3 Elementos por considerar para la recolección y análisis de información

Este trabajo de investigación pretende emplear a la THA como medio para hacer que

el análisis trasfondo que conlleva el enfoque semiótico-cognitivo, los estudiantes logren

desarrollar procesos de visualización en ese sentido, se pensó en elaborar y organizar la

información según su naturaleza para su posterior análisis, es decir, las fuentes

documentales que sustentan este trabajo de investigación (antecedentes, marco teórico,

artículos sobre el trabajo con áreas, etc.); luego vienen aquellas que permiten ir

estructurando la THA con los diseños que conformaran el grupo de tareas (rejilla de

categorías de diseño) como también las que permiten agrupar los registros posterior a las

aplicaciones (tablas de síntesis de desempeño grupal).

Lo anteriormente mencionado tu tuvo como fuentes de información los siguientes

procesos: Para ordenar y clasificar las fuentes documentales, se llevó a cabo gracias a la

organización que ofrece el gestor de referencias bibliográfico Mendeley, el cual permitió

clasificar los documentos según fuera su aporte en cada capítulo de la investigación, lo

que facilitó la lectura y relectura de las fuentes bibliográficas para después pensar en los

análisis a priori y a posteriori, así como la adaptación de algunas tareas que conformarían

el diseño a aplicar. Una vez se tuviera la estructura general de los niveles de aprendizaje

que conformarían la THA, y tener una preselección de los posibles grupos de tareas que

conformarían cada nivel, se pensó en elaborar una rejilla de categorías de diseño (Anexo

A), que permitirían ir llevando un control sobre que procesos de visualización, las formas

de ver, el tipo de aprehensión visual que se irían trabajando con los estudiantes, con la

intención de ir aumentando el nivel de complejidad sin que se fuera repetitivo en las

mismas categorías de diseño en los grupos de tareas.



Ahora pues, antes de implementar se pensó en llevar un registro clasificado de las

producciones de los estudiantes donde se salvaguardará su identidad para ello, se tomaron

los diferentes listados de clase y se manejó una codificación, por ejemplo: 7B3-24, en el

que el 7 indicaba el nivel escolar que era el grado séptimo y las letras A, B, C, D, eran un

indicativo del grupo al que pertenecería ese estudiante además, el 3 que aparecía

después, era el nivel de aprendizaje al que pertenecería la prueba, que al final se decidió

por cinco niveles mientras que, los últimos dos dígitos hacían referencia al número de lista

que tenía cada estudiante.

Luego, al contar con las producciones de los estudiantes se tendría una tabla general

en la que se valorarían los avances grupales en términos de procesos las cuales serán

descritas en el capítulo 5, lo que facilitaría al final de cada aplicación si había evidencias

de aprendizaje y desarrollo de procesos visuales.

Respecto a la población a la que fue dirigido este trabajo se puede mencionar lo

siguiente: Las aplicaciones llevaron a cabo en una institución educativa Manuel Antonio

Sanclemente. Es importante subrayar que este colegio, se encuentra ubicado en el sector

urbano de la ciudad de Buga (Valle del Cauca), pertenece al sector oficial, y presta sus

servicios como centro de formación para la educación básica secundaria y media técnica

en informática y gestión contable, además de contar con cinco escuelas anexas de la

ciudad; de las cuales tres de ellas pertenecen al sector rural. En la que atiende un total de

1057 estudiantes, de condición socioeconómica baja en doble jornada.

El trabajo de implementación de la THA fue propuesto para aplicar a estudiantes de

grado séptimo de la sede central, la cual cuenta con cuatro grupos de este nivel escolar,

por lo que optó porque solo se tomarían las producciones de 5 estudiantes más

representativas por cada grupo, sin dejar de considerar en cada intervención las restantes

producciones. Dicha decisión se tomó puesto que, cada grupo contaba con alrededor de

30 estudiantes y en total 120 producciones era poco viable de analizar a detalle. Además,

la idea principal era apoyarse con aquellos estudiantes que se mostraran más afines con

este trabajo y tuvieran una asistencia casi que ininterrumpida durante su proceso escolar

dado que, solo se disponían de nueve sesiones para realizar los aplicativos y

socializaciones. Otro dato para considerar es que los estudiantes que fueron participantes

Capítulo 3 83

de este proceso contaban con un rango de edades que oscilaban entre los 12 a 14 años y

nunca habían recibido un apoyo del tipo que caracteriza este trabajo.

En cuanto a los elementos e instrumentos de recolección de información: Como

la locación escogida para implementar era ajena al lugar de trabajo del docente

investigador, se debió solicitar dos permisos el primero para poder ingresar al

establecimiento educativo y segundo era solicitar el uso de derechos de imagen a los

estudiantes de manera colaborativa, como esto no fue posible en un alto grado, se decidió

solo contar con la producciones de cada intervención de los estudiantes, acompañadas de

una notas personales por parte de profesor investigador donde se incluían apuntes de las

observaciones a considerar para los análisis en cada intervención de los estudiantes y

apoyar con algunas fotos las evidencias de cada visita realizada a la institución educativa.

3.4 Contextualización de la implementación y planificación metodológica

El proceso de elaboración de la THA se inició con un trabajo documental que le permitió al

docente-investigador, encontrar un punto sinérgico entre la teoría semiótica-cognitiva y los

elementos que, en su opinión, debían afianzar los estudiantes para trabajar el contenido

de áreas de figuras planas. Como ya se mencionó se buscó una locación en donde se

llevaron a cabo las aplicaciones, y en ese sentido, se escogió a la Institución Educativa

Manuel Antonio Sanclemente. Una vez presentada la propuesta en la institución, se contó

con el respaldo del rector para realizar los aplicativos necesarios. Así mismo, dos

profesoras de grado séptimo dieron el visto bueno para colaborar y ser partícipes de la

ejecución de la trayectoria de aprendizaje, en aras que, esta experiencia pudiera contribuir

a transformar sus prácticas de aula, de acuerdo con lo proyectado en el diseño.

En consideración de lo anterior, una de ellas accedió a un proceso de “alfabetización

teórica”, con el propósito de comprender el trasfondo de las situaciones de aprendizaje

pensadas para aplicar en su aula. Más aún, con la información suministrada y socializada

por ambas partes (profesor-investigador y profesora de aula), esto contribuyó al docente-

investigador, a hacerse una idea del nivel académico de los estudiantes, concretamente

en matemáticas y de los contenidos que habían sido abordados hasta el momento en el

primer periodo y lo que verían en el segundo periodo académico de su respectivo año

escolar coincidiendo entonces con el contenido de áreas para el caso de la asignatura de

geometría.



Paralelamente, al escudriñar las condiciones de aprendizaje de los estudiantes en la

citada institución educativa, se evidenció que, asignaturas como geometría y estadística

habían sido descuidadas. Es preciso resaltar, que, debido a la generación de este

escenario, las citadas asignaturas, habían obtenido un avance casi nulo en su desarrollo

vistos desde la perspectiva teórica que fundamentó este trabajo. Como estrategia de

implementación, y a partir que la institución contaba con cuatro grados séptimos, se tomó

la decisión de organizar el rol que tendría cada profesor en el proceso de esta investigación

en ese orden de ideas el docente-investigador junto con su tutora del trabajo se encargaría

de diseñar la THA y de definir los diseños de tareas que se aplicarían lo que al final resultó

un total de 20 tareas distribuidas para 5 niveles de aprendizaje.

En ese orden de ideas el docente-investigador (quien elaboró y documento este

trabajo), también participaría en las sesiones de implementación siendo este el que

marcaría la pauta dando una consignas y condiciones a los estudiantes de cómo debían

trabajar los aplicativos, coordinar y dirigir las socializaciones en la prueba y manejar los

tiempos de cada sesión, mientras que la docente de aula se encargaría de apoyar al

docente investigador en las sesiones programadas para cada intervención y garantizar los

espacios para llevar a cabo las mismas en la institución educativa.

En cada sesión se registraba la asistencia de los participantes y en apoyo con la

profesora de aula ella se encargaría de facilitar el material para aquellos estudiantes que

faltaban a los aplicativos con el fin de que no perdieran continuidad el proceso y

asegurándose que ellos mismos fueran los que los desarrollaran, ahora pues, luego de

cada intervención se preseleccionaban las producciones más destacadas teniendo en

consideración aquellas en las que la profesora de aula resaltaba por tener un mejor

conocimiento del grupo de estudiantes, aunque después se realizaban una revisiones con

más calma de manera general se añadirían otras producciones de estudiantes que

comenzaban a destacar y pudieran considerarse como muestras representativas. Sin

embargo, las demás producciones en todo momento se les haría un seguimiento porque

seguirían siendo parte del proceso debido a que podrían aportar algún elemento de análisis

que retroalimentara el reporte final.

Capítulo 3 85

Por otro lado, al cuarto grupo que correspondía al de la otra profesora de aula, se lo

dejó para aplicar pruebas de “pilotaje” las cuales eran las mismas que al final se aplicaron

a los otros tres grupos y sumaron en total 20, pero esto se hacía para afinar detalles que

sirvieron de referencia para el docente-investigador en la mediación de los aplicativos y

medir los tiempos que podrían tardarse los estudiantes para solucionar las tareas en los

grupos en que si se enfatizaría los análisis. Dado que, los tiempos que se ofrecieron para

trabajar con todos los grupos se limitaron y esto se salía de las manos de quien elaboró

este trabajo puesto que se habían pensado un total de nueve sesiones para desarrollar la

trayectoria de aprendizaje y al final terminaron siendo siete. Respecto al espacio que se

dispuso para el desarrollo de las tareas, se acordó realizarlas en las respectivas clases de

geometría, las cuales contaban con una asignación de dos horas a la semana, cada una

con una intensidad horaria de cincuenta minutos.

Haciendo referencia a la programación del año lectivo, la institución educativa maneja

el calendario A (febrero-noviembre), cuyo año está dividido en tres periodos académicos,

cada uno con una duración de doce a trece semanas. Teniendo en cuenta esto, se tomó

la decisión de realizar los aplicativos a finales del segundo periodo y desarrollar la

trayectoria de aprendizaje hasta que finalizara el año escolar esto debido a que los

estudiantes tendrían la posibilidad de avanzar más en sus clases magistrales y tener un

conocimiento previo y reciente del tópico de áreas. En consecuencia, durante todo el

primer periodo y gran parte del segundo, se llevaron a cabo clases de instrucción y

afinamiento de las tareas que comprenderían los niveles establecidos en la THA.

El desarrollo de la intervención se inicia con unas jornadas de socialización con los

diferentes grupos de estudiantes, con el objetivo de explicarles en qué consistía el trabajo

a desarrollar. Conviene subrayar, que, en esta parte del proceso, se les concientizó a los

niños, de la importancia de su participación, en aras de cumplir con los objetivos

planteados. Por añadidura, se les envió a los padres una circular, con el propósito de

obtener la aquiescencia de ellos o de sus acudientes, en cuanto a la necesidad de hacer

uso de recursos audiovisuales que contendrían imágenes de sus hijos, los mismos que se

utilizarían únicamente con fines académicos. Lo anterior se reitera que no fue posible en

un alto porcentaje por lo que solo se tenía para objeto de estudio las producciones de los

estudiantes y algunos registros fotográficos que fueron autorizadas por el rector.



3.5 Elementos primarios de diseño

La planeación de la trayectoria se inicia con la determinación de contenidos o áreas que

serán tenidas en cuenta para el desarrollo de la clase, y de la misma intervención. En ese

sentido, es necesario recalcar, que se debe obtener una muy buena sinergia entre lo que

se pretende abarcar en las tareas pensadas por el profesor, y los aspectos en los que, se

debe profundizar con los estudiantes. Además, la pretendida afinidad entre estos dos

aspectos de la trayectoria garantizaría un buen diseño del material de enseñanza. Entre

los nuevos aportes al trabajo de la clase de matemáticas, por parte de la comunidad de

educación en ciencias, es posible mencionar, que han surgido metodologías que buscan

una estimulación de procesos cognitivos de los estudiantes a través de tareas

cuidadosamente diseñadas. En esa dirección, es preciso decir, que estos nuevos

procedimientos, tienen un fuerte fundamento didáctico, epistemológico y cognitivo, lo que

los convierte en potentes herramientas para contribuir a la construcción de comprensión,

por parte de los estudiantes que se enfrentan a la visualización de figuras geométricas.

Además, permiten focalizar la atención en la problemática de la interpretación de los

contenidos.

Figura 3-2. Esquema de elementos a considerar para planear la estructura del diseño.


Capítulo 3 87

El esquema de la figura 3-2, muestra como el profesor, juega un papel central en su

condición de orientador del trabajo. Cabe señalar, que este, haciendo uso de su

conocimiento, debe lograr construir una propuesta que integre los fundamentos teóricos

estudiados en el capítulo dos, y que, además, estén en concordancia con el currículo que

establecen las orientaciones ministeriales. En ese sentido, para llevar a cabo una eficaz

intervención en el aula y planificación, es necesario entre otras cosas: garantizar la claridad

de las intervenciones discusivas para darse a entender a los estudiantes, construir diseños

claros de tareas, y ofrecer una orientación que medie en el educando la comprensión de

aquello que obstaculiza o le permite avanzar en su aprendizaje. Adicionalmente, también

se ilustran en el esquema, los elementos que fundamentan el diseño, a saber:

aprehensiones visuales, coordinación de registros semióticos de representación (RRS), el

uso de factores de visibilidad como parte de los elementos generadores de control visual,

como los más destacables.

En el proceso de construcción de la trayectoria, también hay que observar la

experiencia de los estudiantes, si se debe tener en cuenta, dado que el enfrentar las

exigencias lógicas del conocimiento geométrico no era tarea fácil. Por lo que, habría que

unir esfuerzos para que el docente realice de la mejor manera posible, la transposición

didáctica y mediación en las actividades de aula. Es preciso mencionar, que, de esta

manera, los profesores comprenderán el pensamiento matemático de sus estudiantes, y,

en segundo lugar, aumentará la probabilidad de éxito del proceso de enseñanza. Además,

no menos importante, es la elección de los referentes que fundamentan la estructura de

los diseños, más que validados por los múltiples trabajos que se han orientado por la

perspectiva.

3.5.1 Orientaciones didácticas

Dentro de las orientaciones que fundamentan las decisiones del profesor a la hora de

implementar su diseño, se debe tener como foco de interés el objetivo del trabajo

investigado. Cabe destacar, que en este caso consiste en: estudiar los procesos de

visualización que emergen cuando los estudiantes comienzan a comprender el concepto

matemático de áreas de figuras planas. Por lo tanto, es necesario dar a una mirada a las

directrices que presenta el MEN, a través de sus estándares, puesto es que un orientador

didáctico por excelencia y que marcó las pautas de las posibles tareas que debían



pensarse, apoyadas en conjunto con trabajos de grado, particularmente tesis de maestría

y doctoral.

Tabla 3-1: Pensamientos y estándares asociados al contenido de áreas, propuestos por el

(MEN, 2006).

Tipo de pensamiento matemático Estándares asociados

Pensamiento espacial y sistemas

geométricos

• Identifico, clasifico y designo polígonos en relación

con sus propiedades.

• Predigo y comparo los resultados de aplicar

transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones,

reflexiones) sobre figuras bidimensionales en

situaciones matemáticas.

Pensamiento métrico y sistemas

de metidas

• Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de

figuras planas y con medidas dadas.

• Calculo áreas a través de composición y

descomposición de figuras.

• Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas

para medir cantidades de la misma magnitud.

• Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas

de estimación.


Como se puede apreciar en la tabla 3-1, existen muchas formas de abordar el tópico

de áreas de figuras planas para trabajar en el ciclo escolar escogido. Como se sabe, agotar

un estándar básico de competencia con una sola tarea, es imposible, debido a la

multiplicidad de procesos que ofrece la educación matemática. En ese sentido, la

profundidad con la que se piensen los diseños de las ateas y/o actividades, debe ir ajustado

al contexto en el que se va a desarrollar, además de distribuir los recursos que se

dispongan, y el tiempo que se emplee para trabajar con los estudiantes.

Otro punto importante para considerar durante el proceso de investigación es que el

profesor debe tener la suficiente agudeza, para analizar las variables que pueden darse

en el aula y, en consecuencia, tener la capacidad de anticiparse a las expectativas de

Capítulo 3 89

desempeño que puedan requerir sus estudiantes. Dicho de otra manera, es en el aula

donde se puede evidenciar la potencia de esta metodología, si se tiene en cuenta que es

una herramienta que permite tanto a los docentes como a los estudiantes, abordar

diferentes tareas, en aras de cumplir los objetivos que al fin de cuenta es “que

comprendan”. Del mismo modo, el proceso de diseño e implementación permitirá conocer

de primera mano, el razonamiento y formas de aprendizaje de los estudiantes, asumiendo

que ellos siempre tendrán un conocimiento propio, el cual puede ser distinto a la manera

de ver del investigador.

3.5.2 Conocimientos previos de los estudiantes

Para la implementación de la trayectoria, se deben tener en cuenta, contenidos

abarcados según el plan de clase, o en su defecto, algunos que debieron ser vistos por los

estudiantes, en su proceso de formación anterior. Anclando que, desde el posicionamiento

de las perspectiva semiótica -cognitiva los contenidos enseñados no deben ser vistos como

temas aislados sino, como una articulación de contenidos, donde los tratamientos y en

espacial las conversiones deben ser el objetivo de estudio. Porque es la manera en que

este enfoque puede justificar que el estudiante logrará alcanzar la comprensión de los

objetos matemáticos. Por lo que se sugiere indagar sobre los siguientes aspectos:

• Identificación de algunas figuras planas.

• Manejo de instrumentos de medida (regla y escuadra).

• Manejo de sistema de unidades de medida.

• Determinación o cálculo de áreas y perímetros en figuras planas.

Para finalizar, teniendo en cuenta que el direccionamiento que tuvo la trayectoria de

aprendizaje se encuentra más dirigida hacia la profundización y desarrollo de habilidades

visuales sobre el registro figural, por lo que es indispensable realizar un acompañamiento

continuo al estudiante, respecto al avance en los conocimientos antes enlistados. Lo

anterior quiere decir, que, si aún persisten vacíos, se sugiere que sean retomados y

solventados, antes de iniciar cualquier implementación en el caso ideal, lo contrario

tampoco se considera un impedimento para trabajar sobre el camino, teniendo en cuenta

deberán considerar una ampliación de los tiempos y ser lapsos para realizar algún

refuerzo.



3.6 Síntesis general de los niveles de aprendizaje pensados a priori para diseñar

la THA

En la tabla 3-4 se presenta la estructura de los niveles que conformaran la THA, la misma

que está dividida en cinco niveles de aprendizaje. Se debe agregar, que a medida que se

avanza, paralelamente se produce un aumento en la dificultad, teniendo en cuenta, que

cada nivel se apoya en el anterior para poder desarrollarse, atados por la coherencia. Más

aún, en cuanto a los contenidos matemáticos que esperan ser movilizados, es menester,

buscar la manera más adecuada para introducirlos, de modo que estos logren estimular

en los estudiantes la capacidad de visualizar para trabajar el contenido de áreas de figura

planas, haciendo un recorrido desde lo más elemental hasta lo más complejo.

Tabla 3-2. Estructura general de los niveles de aprendizaje de la THA.

Propósito: Que los estudiantes aprendan a identificar, clasificar y designar algunas

figuras geométricas planas.

Nivel de

aprendizaje

Contenidos matemáticos Tareas Expectativas de

desempeño

I • Identificación de algunas

figuras planas.

• Clasificación de polígonos

• Caracterización de una

forma geométrica.

• Deducción del área y

perímetro de una figura plana

4 • Realizar una mirada no

icónica

• Descomposición de

partes de menor

dimensión

• Recubrimiento de una

unidad de medida

haciendo uso de

instrumentos

• Descripción de manera

concisa de los procesos

visualizados

Propósito: Que los estudiantes empleen las transformaciones (translación, rotación,

cambios de posición y trazos complementarios), para configurar contornos globales

predeterminados, como también descomponerlos en otros subfiguras de igual

dimensión.

Capítulo 3 91

Tabla 3-2. (Continuación)

Nivel de

aprendizaje


desempeño

II • Perímetro y área en una

mima figura plana

• Rotación y traslación de una

figura geométrica en un

espacio determinado

• Composición y/o

descomposición figural

4 • Discriminar visualmente

perímetro de área.

• Aplicación de isometrías

• Manejo de aprehensión

visual perceptiva

• Aplicación de trazos

auxiliares

Propósito: Que los estudiantes apliquen los elementos adquiridos en las tareas de la

situación dos, pero esta vez enfocados en la comparación y la estimación de la cantidad

de superficie de áreas sombreadas que tiene una figura dada en determinada situación

problémica, haciendo explícitos las visualizaciones llevadas a cabo mediante el uso de

la lengua natural.

Nivel de

aprendizaje


desempeño

III • Áreas sombreadas (relación

parte-todo)

• Razonamiento y resolución

de problemas de

comparación de áreas

• determinación de medidas

de área

5 • Realizar trazos

suplementarios

• Mostrar y describir

procesos de tratamientos

figurales

• Superación de factores de

visibilidad (contraste y

fondos con cuadrículas)

Propósito: Que los estudiantes trabajen las aprehensiones visuales mediante la

reconfiguración de diferentes figuras geométricas y /o descomposiciones de estas.



Tabla 3-2. (Continuación)

Nivel de

aprendizaje


desempeño

IV • Descomposición y

reconfiguración figural

• Manejo del plano cartesiano

para determinar áreas de

polígonos

4 • Desarrollo y superación de

la mirada del inventor

• Avance respecto al nivel

descriptivo de los

procesos visualizados

Propósito: Afianzar los elementos trabajados en los anteriores niveles de aprendizaje.

Nivel de

aprendizaje • Contenidos matemáticos Tareas • Expectativas de

desempeño

V • Deducción de relaciones de

medida con una figura

• Deducción de fórmulas de

área

• Hallar y deducir área de

figuras planas

3 • Que la designación sea un

recurso familiar para

describir los procesos

registrados producto de la

visualización.

• Desarrollo de las

aprehensiones visuales a

un nivel elemental que

permite dar solución

efectiva a las tareas que

se diseñen.


A partir de la síntesis presentada en la tabla 3-2, se planteó una transformación en la

presentación de los contenidos que moviliza el trabajo con áreas y que fuera más acorde

con el ciclo se enseñanza que rige esta metodología y que se pensaron al inicio de la

construcción de la trayectoria. Ciertamente, fue un asunto complejo de ejecutar, y que,

además requirió de un cambio de actitud por parte del profesor de aula, en el sentido de

acceder a un replanteamiento de su quehacer, desde la idea que, la clase debe estar

centrada en el alumno y no en el profesor. No obstante, las dificultades, esta forma de

Capítulo 3 93

pensar emergió como una posibilidad de trabajo para seguir desarrollando las clases de

geometría de la Institución. Educativa Manuel Antonio Sanclemente.

Cuando se analizó la estructura del diseño de la trayectoria, esta se dividió en cinco

niveles de aprendizaje, lo que trajo consigo, una diversidad de tareas que condujeron a la

creación de conexiones entre la teoría semiótica-cognitiva del aprendizaje de la geometría

de Duval (1999, 2001, 2004, 2005) y la forma de pensarse la enseñanza del contenido por

parte del profesor-diseñador que es quien elaboró coordino este proceso. Igualmente, una

vez alcanzado un equilibro entre las partes, esperando que los estudiantes lograran aplicar

los conocimientos ya adquiridos, y los que estaban aún por adquirir.

No obstante, cabe mencionar que, para pasar de un nivel de otro, dependerá primero

que todo de evaluar el desempeño de los estudiantes y a si se fueron apropiado de los

contenidos matemáticos concernientes a cada nivel. Segundo que logren alcanzar las

expectativas de desempeño que planteó el docente, tercero que lograran desarrollar los

procesos que en transformado fueron recurrentes en cada nivel de aprendizaje, es decir,

aquellos que fueron transversales independientemente del enfoque de las tareas y el

propósito trazado. Los cuales fueron el reconocimiento de las figuras, la clarificación y/o

organización de las figuras y subfiguras, la configuración y reconfiguración figural y la

coordinación entre registro semióticos de representación (registro figura y de lengua

natural).

A continuación, en el siguiente capítulo se procederá a presentar las respectivas tareas

además de incluir las soluciones esperadas que conforman los diferentes niveles de

aprendizaje de la trayectoria hipotética de aprendizaje.

4. Diseño de la THA: tareas por niveles

El presente capítulo, tiene la finalidad de presentar los niveles de aprendizaje que

componen la THA, la cual fue planificada por el profesor-diseñador, quien elaboró este

trabajo, en conjunto con la tutora, quien orientó el proceso. Conviene señalar, que, para

estructurar la elaboración de estos análisis se apoyó en una rejilla que se dejará en la parte

de (Anexo A), la cual surgió de los fundamentaciones teóricos y metodológicos expuestos

en los capítulos dos y tres. De la misma manera, considerando la estructura de la

trayectoria, se pensaron un total de cinco niveles de situaciones, las cuales contiene cada

una, una cierta cantidad de tareas, que se ajustaron para desarrollarse en los tiempos

establecidos por cada sesión.

Complementariamente, se incluyeron las posibles tratamientos y soluciones esperadas

las cuales se exponen para cada tarea. Además, es necesario aclarar, que estas, irán

acompañadas de una breve explicación sobre los elementos que pueden generar

dificultades en la visualización, de acuerdo con la heurística definida para enfrentar figuras

bidimensionales. Igualmente, se busca que los estudiantes reafirmen algunas de las

competencias en las que han venido siendo instruidos en el aula de clases de manera que,

desarrollen los procesos transversales que se han de evaluar cuando se implementen las

tareas.

4.1 Primer nivel de aprendizaje

El primer nivel que compone la trayectoria pretende darles las siguientes herramientas

a los estudiantes: a) la capacidad de designar las figuras geométricas y clasificarlas, b) la

habilidad de descomponer las mismas, en otras partes de menor dimensión, c) la destreza

de realizar trazos auxiliares en la silueta geométrica. Cabe mencionar que, dentro del ciclo

de escolarización de los estudiantes, ellos no han estado familiarizados con la lectura y la

interpretación de enunciados y que han tenido poco tiempo para asimilar los elementos



anteriormente mencionados, por lo tanto, es factible encontrar dificultades en estos ítems.

Otro rasgo para mencionar es que, al diseñar este primer nivel de actividades, debía hacer

que los estudiantes superaran aspectos de la visualización que se interrelacionan con las

entradas clásicas de la geometría. En ese sentido, se esperaba que exista una fuerte

tendencia por parte de los alumnos hacia una mirada icónica y que se realicen inferencias

de ese tipo para lograr realizar las tareas propuestas, pero lo que verdaderamente marcará

indicios de entender la dinámica que plantea y si se han apropiado de ciertos

conocimientos, serán las explicaciones o procedimientos que ellos registren.

Figura 4-1. Presentación del diseño de la T1-Nv1.

Tarea 1.1 a. Designa las subfiguras encontradas en la figura, cuenta cuántas figuras identificaste en

total.

b. En la presente compilación de figuras geométricas debes clasificar cada una de ellas. Para ello debes registrar su nombre en la Tabla de Registro. En caso de no saberlo debes marcar la figura con una X y explicar la razón por la cual se te dificultó nombrarla.

figura

Tabla de Registro


Breve análisis a priori de la tarea 1.1: En esta tarea los estudiantes deben identificar

algunas de las figuras planas elementales tales como: el círculo, el triángulo, el

paralelogramo, el rombo, el hexágono. Ahora bien, para dar solución a la identificación

solicitada, el estudiante debe realizar la designación de tales figuras desde una mirada no

icónica de la figura, que en un inicio se le presenta, debido a que en ella hay una ausencia

de designaciones. Así mismo, se espera que los estudiantes hagan uso de las letras

Capítulo 4 97

mayúsculas del abecedario, para poder hacer una distinción entre cada subfigura,

mediante la “designación” cuyo término aún no les es muy familiar.

Desde luego, el papel del docente de aula es el de orientador, para que sean los

estudiantes, los que designen las figuras que identifican. De la misma manera, la tabla de

registro servirá para que los alumnos lleven un orden en el desarrollo de la tarea y esto

facilite al profesor la revisión y seguimiento de esta.

Una posible solución a la tarea 1 del nivel 1 sería la que se presenta a continuación: se

espera una tendencia a que la primera figura que se vea y designe sea el triángulo ABC.

En esa dirección, es posible que el niño no sea tan específico, al clasificar la clase de

polígonos que visualiza, es decir, que el triángulo ABC no se le caracterice como equilátero

y lo mismo puede pasar con el resto de subfiguras que componen el contorno global.

Figura 4-2. Presentación de la solución esperada de la T1-Nv1.

Lista de registro

Triángulo 𝐴𝐵𝐶.

Triángulos 𝐴𝐹𝐺, 𝐼𝐽𝐵, 𝐽𝐵𝐾, 𝑄𝑃𝑂.

Hexágono IKLMHG.

Rombo 𝐸𝐺𝐻𝐹.

Paralelogramo 𝐻𝑀𝑁𝑃.

Trapecios 𝐿𝑀𝐶𝑁 y 𝐻𝐹𝑄𝑂.

Un círculo con centro en el punto 𝐷.

Total, de once figuras geométricas


Breve análisis a priori de la tarea 2.1: En la segunda tarea se trabajará con polígonos

regulares e irregulares. Considerando que estos términos introducen a los estudiantes en

los tecnicismos propios de la geometría, y que, además, ellos deberían tener estos

conceptos claros, intencionalmente se han dejado las figuras, sin las designaciones para

que las hagan. Así mismo, se espera que marquen con una X, las figuras irregulares, o

hagan uso de la designación para referenciarlas.



Dentro de las posibilidades de respuestas, se contempla el hecho que algunos de los

estudiantes aún no tengan claridad entre los términos regular e irregular. En gracia de esto,

podrían incurrir en marcar algún polígono regular, como irregular y viceversa, o

simplemente que su criterio para clasificar unas figuras en unas u otras no tenga la

justificación adecuada.


Tarea 2.1 En la presente tarea deberás resolver los siguientes ítems:

a. Designar a cada uno de los vértices solamente con las (letras 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺), de cada uno de los polígonos presentados.

b. Marcar con una X aquellos polígonos no sean regulares. Para ello, debes hacer uso del espacio otorgado para tu explicación del por qué lo son, en conjunto con la respectiva designación.

Espacio para descripción


La solución esperada para la tarea 2 del nivel 1 es la siguiente:


Espacio otorgado para tu

explicación

Los polígonos que no son

regulares no tienen la

medida de sus lados iguales

en este caso serían el

triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶 el

rectángulo 𝐷𝐸𝐹𝐺 y el

polígono irregular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺.


Capítulo 4 99

En la designación del ítem (a), se les exige que solo usen esas letras para que su

percepción, les permita ver, que dos figuras geométricas distintas pueden tener igual

designación y eso no quiere decir que tengan igual forma.

Breve análisis a priori de la tarea 3.1: En esta tarea se espera que los estudiantes

infieran el importante rol que cumple la designación sobre las figuras, para poder atribuirles

características a las subfiguras de menor dimensión. También, se espera que una

definición como la de vértice, les ayude a tener en cuenta que, en las figuras geométricas,

existe un punto que, por ser de dimensión cero, no se suele colocar (control visual por

refuerzo). De la misma manera, cuando se les solicita que tracen las diagonales (otra

característica de las figuras), con las designaciones, deberán registrar en una tabla la

información que caracteriza la figura, empleando su capacidad de razonamiento y de

contraste. En este caso, como hay varios elementos de control (las designaciones, las

diagonales, el tipo de polígono) estaríamos en un caso de control disjunto, el cual suele

ser una forma guiada de visualización básica.


Tarea 3.1

a. Observa y analiza el siguiente ejemplo que contiene algunos elementos que son propios de una figura geométrica:

Caracterización de la figura

Geométrica

Polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷 (Trapecio)

Lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐴̅̅ ̅̅

Diagonales 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅

Dadas las siguientes figuras geométricas debes nombrar los vértices asignando las letras del

abecedario.



Una vez establezcas las designaciones de las figuras geométricas del anterior ítem, deberás

trazar sus diagonales, es decir, realizar un trazo que conecte vértices opuestos. (Hazlo con una

regla).


La solución esperada para la tarea 3 del nivel 1 es la siguiente:



Geométrica

Polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷

(Cuadrado)

Lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐴̅̅ ̅̅

Diagonales 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅


Geométrica

Polígono 𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽

(Hexágono)

Lados 𝐸𝐽̅̅ ̅, 𝐼�̅�, 𝐼𝐻̅̅̅̅ , 𝐻𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ ,

𝐹𝐸̅̅ ̅̅

Diagonales 𝐸𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐼̅̅ ̅, 𝐺𝐽̅̅ ̅


Capítulo 4 101

No se espera que los alumnos tengan dificultad con la resolución de esta tarea. Del

mismo modo, aunque la solución que se presenta se podría considerar la típica, también

se pueden trazar otras diagonales, como se presenta a continuación:

Figura 4-7. Presentación de la opción de solución esperada la T3-Nv1.


Teniendo en cuenta este ejemplo, se puede deducir que por cada vértice del hexágono

EFGHIJ le corresponden a cada vértice tres diagonales, y en el caso representado, al

vértice J se le trazaron las diagonales 𝐽𝐺̅̅ ̅, 𝐽𝐻̅̅̅̅ , 𝐽𝐹̅̅ ̅.

Breve análisis a priori de la tarea 4.1: En la cuarta tarea, se espera evaluar los

estudiantes, en cuanto a la comprensión de los conceptos de área y de perímetro. Cabe

decir, que para este caso se acude a una figura básica como es el rectángulo, debido a

que es una figura plana que les es muy familiar a los niños, y que en libros de texto suele

ser presentado junto con el cuadrado. De la misma manera, el interés por esta tarea se

encuentra, en como los estudiantes desde el punto de vista del concepto dimensión,

recorren la figura por completo, determinando las unidades y haciendo uso de la función

referencial del lenguaje.

Es usual que suelan haber confusiones entre lo que representa la noción de área y la

de perímetro. Del mismo modo, en situaciones en las que debe determinarse cada una de

ellas, surgen preguntas como: ¿Cuándo se suma o cuándo se multiplica? el cual, es un

pensamiento estático de las figuras en el que prima el uso de fórmulas. En resumen, los

estudiantes, suelen confundir las unidades de longitud y las unidades bidimensionales.



También puede darse el caso de niños que captan la ayuda de los elementos visuales,

cuando realizan el ítem (b), y si pasaron por alto, esto corrijan o pasen de largo frente a la

unidad de referencia, en el ítem (a). Con respecto a esto, es importante aclarar que, las

gráficas tienen medidas reales. En ellas, cada cuadrícula corresponde a un centímetro. Sin

embargo, en el ítem (b), se prescinde de las cuadrículas, pero el polígono rectangular

EFGH sigue siendo el mismo por lo que la unidad de referencia que es el centímetro

cuadrado puede trabajarse como una relación parte-todo o una pavimentación.

Por último, se espera trabajar la noción de cantidad de área, a través de la unidad de

referencia ABC. Puesto que, esta unidad, guarda relación con la unidad referencial ABCD,

dada anteriormente, para los estudiantes, se facilita, ver esta situación entre figuras como

una relación parte de un todo, es decir, la superficie deberá ser cubierta por completo por

las pequeñas áreas.


Tarea 4.1

a. Sea 𝐸𝐹𝐺𝐻 un rectángulo cuyas medidas vienen dadas de la siguiente manera 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = 5𝑐𝑚,

𝐹𝐺̅̅ ̅̅ = 3𝑐𝑚, determina su perímetro. Justifica cómo llegaste a la respuesta.

b. Del anterior rectángulo 𝐸𝐹𝐺𝐻 determina su área teniendo en cuenta la unidad de medida

𝐴𝐵𝐶𝐷 que se muestra a continuación:

Capítulo 4 103

c. Una vez hecho lo solicitado, responde: ¿Cuántas unidades de medida 𝐴𝐵𝐶𝐷 están

contenidas en el lado 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ ? Y ¿Cuántas en el lado 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ ?, y ¿Si la unidad de medida fuera un triángulo 𝐴𝐵𝐶 cuantas veces estará contenida en 𝐸𝐹𝐺𝐻? muestra en la figura 𝐸𝐹𝐺𝐻 tu respuesta.


La solución esperada para la tarea 4 del nivel 1 es la siguiente: Supongamos que los

estudiantes toman la unidad ABCD y realizan el recubrimiento del rectángulo EFGH. En

esta tarea, ellos tienen la libertad de hacer uso de la regla, por lo que no sería extraño que

cometan errores a la hora de completar el recubrimiento y esto se deba más a una falencia

por mal uso del instrumento, que por interpretación de la consigna. También puede darse

la situación, que se quieran anticipar a deducir los datos, por ende, recuerden el algoritmo

de sumar la medida de los lados del rectángulo. Para ello, deben completar la información,

debido a que solo se les dio en la consigna dos datos de las longitudes y ellos deberán

sacar sus propias conclusiones: que los lados paralelos tienen igual longitud.

Figura 4-9. Presentación de la solución esperada de la T1(a)-Nv1.

𝑚𝐻𝐸̅̅ ̅̅ + 𝑚𝐻𝐺̅̅ ̅̅ + 𝑚𝐹𝐺̅̅ ̅̅ + 𝑚𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = 3𝑐𝑚 + 5𝑐𝑚 + 3𝑐𝑚 + 5𝑐𝑚 = 16𝑐𝑚




En el caso del siguiente ítem, seguramente los estudiantes recordarán de sus clases

pasadas, la metodología implementada por la profesora de aula, en el sentido que solo es

cuestión de multiplicar las unidades de medida de la base y la altura de la figura EFGH,

obteniendo como resultado 15 cm2. Quizás dejen en un segundo plano la figura, y se

olviden de las unidades del área, también se espera que no ignoren la información de la

consigna.

Figura 4-10. Presentación de la solución esperada de la T1(b)-Nv1.

Solución esperada del ítem (b), en el que se

evidencia quince unidades cuadradas

recubriendo el contorno rectangular 𝐸𝐹𝐺𝐻.

Solución esperada del ítem (c), en el que se

visualiza que el recubrimiento completo

obedece a treinta triángulos 𝐴𝐵𝐶 como unidad

referencial.


En el ítem (c), se solicita a los estudiantes que respondan a una serie de interrogantes

que necesariamente requiere que ellos razonen sobre la figura EFGH. Es preciso recalcar,

que, si realizan bien los solapamientos, las inferencias saldrán sin mucha dificultad. En

caso contrario, de no haber realizado un buen recubrimiento, sus respuestas no serán

correctas a no ser que contrasten con lo calculado analíticamente y vean que algo no

concuerda desde lo numérico con lo visual.

Otra variable que se agrega en la consigna emerge cuando se cambia la forma de la

unidad de referencia y pasa de ser un cuadrado ABCD, a un triángulo ABC, es decir, la

mitad de esa unidad. En ese sentido, es claro que se necesita el doble de esa unidad para

recubrir la superficie y la respuesta se espera, que sea deducida a partir de una

visualización y se registre la cantidad de 30cm2 correspondientes a la nueva unidad.

Capítulo 4 105

4.2 Segundo nivel de aprendizaje

En el segundo nivel de aprendizaje se busca trabajar las nociones de área y perímetro.

En ese sentido, los estudiantes deberán mostrar como visualmente hablando, se puede

constituir el área de una figura, a partir de completar su superficie. Además, la tarea implica

plantearle diferentes figuras (contornos), al niño, para que determine el área.

También se incluirán tareas en las que los educandos, deberán realizar tratamientos

figurales a un molde, que hace las veces de unidad de referencia. Al respecto, es necesario

aclarar que, esta tarea consiste en calzar figuras de dimensión menor, en otra que es de

dimensión mayor, de contorno global predeterminado. Se debe agregar que, en este

cometido se espera que los estudiantes describan lo que han visualizado, primero en una

tarea que tendrá solución única con un solo molde, un segundo caso donde se les dará

libertad de elegir la configuración que más les parezca, es decir, dicha reconfiguración

dependerá de quien la visualice esta (actividad que está relacionada con el juego de Tetris,

el cual es familiar para los chicos), dado que en este juego, están implícitas las isometrías

de rotación y traslación.

Por último, se presenta una tarea en la que se deja abierto el tipo de solución, a la que

se puede recurrir en la descomposición figural. Es preciso aclarar, que a diferencia del T3-

Nv1, esta tiene la misión de pretender descomponer una figura en otras dos de igual

dimensión haciendo uso de las designaciones para referenciarlas.

En el caso de la primera tarea se presenta una visualización obstaculizarte estática

dado que, no existe congruencia y el dinamismo es mínimo en la figura ABC. Esta

visualización no suscita transformaciones bidimensionales ni unidimensionales puesto que

la consigna no permite que el sujeto tenga que realizar algún tipo de operación y

tratamientos sobre ella y no se alude directamente a la noción de área y perímetro

explícitamente. Por tal motivo, su inclusión en la enseñanza de las matemáticas no suscita

el desarrollo de habilidades visuales Marmolejo y González, (2017). Pero servirá de

introducción para saber que ven los estudiantes como perímetro y área.




Tarea 1.2. Observando la cantidad de superficie y el contorno del triángulo 𝐴𝐵𝐶, ¿Qué crees que

represente el contorno (píntalo de azul) y la cantidad de superficie (píntala de café) en la figura

𝐴𝐵𝐶?


Breve análisis a priori de la tarea 1.2: En la solución de la tarea 1, la cual es de segundo

nivel, se debe considerar la cantidad de superficie, además del contorno. Cabe aclarar,

que se habla de cuando se refiere al espacio que está dentro de la figura, mientras que el

contorno está relacionado con los bordes que la delimitan. Añadido a esto, se aclara que

el haber propuesto esta tarea, implica tener claro desde la condición visual, qué

representan tanto el perímetro como el área. Ahora pues, en caso de haber una confusión

al respecto, es necesario atender ese obstáculo, antes de proseguir con las demás tareas

que componen el nivel. Solución esperada para la T1-Nv2:



Breve análisis a priori de las tareas 2.2 y 3.2: En estas tareas se representan dos figuras

con sus superficies disjuntas entre sí. Lo anterior quiere decir, que el desarrollo de cada

tarea exige solapar una de ellas (uso de los moldes) con la superficie de la otra. En

consecuencia, la tarea exige comparar las dos representaciones, a partir de sus contornos,

es decir, centrar la atención en los lados y vértices de la superficie global, e ir poco a poco

Capítulo 4 107

recubriendo el espacio de manera que coincidan ambas conjuraciones geométricas

(medidas), hasta ponerlos en correspondencia. Es preciso mencionar que el hacer uso de

rotaciones y traslaciones, en este caso específico, es fundamental para que le estudiante

logre superar este cometido.

Haciendo referencia a la tarea 2, es preciso decir que, esta presenta la característica de

contar con un solo molde. Así pues, en gracia de esto, el alumno deberá buscar la manera

de hacerlo coincidir con el contorno de la figura *, en un proceso en el que la anticipación

visual a cada posicionamiento tendrá que estar presente. Como elemento complementario

de la tarea, el estudiante deberá irlo registrando en la misma, haciendo uso, ya sea de una

regla para replicar el molde, o trazando una serie de cuadrículas sobre la superficie.

Teniendo en cuenta la anterior situación, se debe realizar unos procedimientos similares

en la tarea 3, pero con ciertas condiciones que se especifican en la consigna. En este caso,

se sugiere hacer uso del color, para que los estudiantes que lo consideren necesario

ejerzan una forma de control visual, que facilite la realización de este cometido. En este

sentido, esta misión, exige una mayor dificultad por tener tres moldes distintos y forzará a

los estudiantes a visualizar la configuración que se adapte mejor, en la idea de hacer calzar

los moldes con el contorno global, incluso, puede darse el caso que los estudiantes no

logren dar con la configuración que les permita no dejar ningún cuadro en blanco. Como

puede colegirse, las anteriores tareas, hacen referencia a los juegos de puzzle, los cuales

pueden ser una herramienta para estimular los tratamientos figurales en los estudiantes,

en el deseo de configurar contornos.


Tarea 2.2. Calcula la medida del área de la figura * haciendo uso del molde. Describe que pasos

llevaste a cabo para cubrir exactamente la superficie.




Para llegar a la solución de la tarea 2 del nivel 2, los estudiantes deberán aplicar al

molde, una serie de rotaciones y traslaciones, o combinaciones de ellas, en aras de llenar

totalmente la superficie que se quiere cubrir, tal y como se presenta a continuación:

Figura 4-14. Presentación de una posible solución esperada de la T2-Nv2


Así pues, cuando se logre recubrir toda la superficie, el estudiante notará que, para

hacer todo el proceso, tuvo que emplear ocho moldes, en aras de poder cubrir toda el área.

Conviene señalar que, cada molde está compuesto por tres unidades cuadradas, el

estudiante deberá concluir que el área total de la figura es de 8 moldes los cuales

representan la medida del área.

Finalmente, se puede decir que, al recubrir la superficie, puede darse el caso de que

los estudiantes asuman que el molde es algo estático e invariante por lo que pueden no

lograr recubrir el contorno de la figura *.

Tarea 3.2. Recubre la superficie del cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 haciendo uso de todos los moldes 1, 2, 3, 4

con las siguientes condiciones: que debes usarlos todos al menos una vez y cualquiera de ellos no

puede usarse en más de tres oportunidades. Muestra y describe que pasos llevaste a cabo en tu

procedimiento para llegar a la solución del problema.

Capítulo 4 109



Una posible solución a la tarea 3 del nivel 2 puede ser:

Figura 4-16. Presentación una posible solución de la T3-Nv2.


En cuanto a la descripción que se les solicita a los estudiantes, se espera que

reconozcan que ellos deben cambiar las posiciones originales de los moldes a partir del

uso de rotaciones, además de hallar la configuración que mejor se adapte a selección de

los mismos. En virtud de esto, es probable que escojan los moldes 1,2 y 3 dado que, tienen

formas más simples y sencillas de cuadrar en la superficie ABCD. Otro aspecto para tener

presente es que, puede ser que los estudiantes realicen la tarea haciendo uso del conteo



de cuadrículas del contorno global ABCD, e intenten cuadrar la solución sabiendo ese dato

para después elegir los moldes que les sean convenientes. En el caso que llegaren a usar

este procedimiento, sería muy interesante ver como consignan sus procesos.

Breve análisis a priori de la tarea 4.2: Para la siguiente tarea, se presentarán algunas

figuras geométricas planas, a las cuales el estudiante deberá concederles la respectiva

designación. Conviene subrayar, que el objetivo de este cometido consiste en que los

estudiantes realicen trazos auxiliares para subdividir cada figura en dos figuras menores,

dependiendo de la particularidad de cada consigna. Añadido a esto, el cometido está

pensado para trabajar la descomposición figural en otras figuras, evocando elementos de

dimensión menor, a través del trazado de segmentos suplementarios y diagonales.


Tarea 4.2. Se presentan una serie de figuras geométricas para que realices las respectivas

designaciones de sus vértices y luego procedas a realizar lo que se te solicita en cada una de

ellas como se muestra a continuación.

Divide la figura en dos cuadrados. Espacio para que describas cómo llegaste a

la solución y las designaciones de los

cuadrados obtenidos.

Divide la figura en un triángulo y un rectángulo.

Espacio para que describas cómo llegaste a

la solución y las designaciones del triángulo

y el rectángulo obtenido.

Divide la figura en dos triángulos.


la solución y las designaciones de los

triángulos obtenidos.

Capítulo 4 111

Divide la figura en un trapecio y un triángulo.


la solución y las designaciones del triángulo

y de trapecio obtenido.


Una posible solución para la tarea 4 del nivel 2 sería la siguiente:


Divide la figura en dos cuadrados.

Espacio para que describas cómo llegaste a la

solución y las designaciones de los cuadrados

obtenidos.

Se realizó la correspondiente designación de vértices,

luego se colocó un par de puntos en la mitad de los

segmentos 𝐹𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ designados respectivamente

como E y B, luego se trazó el segmento 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ para así,

obtener los cuadrados 𝐹𝐸𝐵𝐴 y 𝐸𝐷𝐶𝐵.

Divide la figura en un triángulo y un

rectángulo.


solución y las designaciones del triángulo y el

rectángulo obtenido.


luego se colocó un punto que es paralelo a L y que

está ubicado en el segmento 𝐻𝐽̅̅̅̅ , luego se trazó el

segmento 𝐿�̅� para obtener así el triángulo 𝐻𝐼𝐿 y el

rectángulo 𝐼𝐽𝐾𝐿.

Divide la figura en dos triángulos.


solución y las designaciones de los triángulos

obtenidos.




luego se trazó la diagonal 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ para así visualizar los

triángulos 𝐸𝐷𝐹 y 𝐷𝐺𝐹.

Divide la figura en un trapecio y un

triángulo.


solución y las designaciones del triángulo y de

trapecio obtenido.

Se inicia con la correspondiente designación de

vértices, después trazo un segmento 𝑄𝑁̅̅ ̅̅ , y luego

puedo visualizar que obtuve un triángulo 𝑄𝑀𝑁 y un

trapecio 𝑄𝑁𝑂𝑃.


De la anterior tarea, se espera que los estudiantes logren articular el registro figural y

el natural, con el propósito de acercarlos a la exploración heurística de las figuras

bidimensionales. En este caso, a pesar de que el lenguaje con que expresan sus ideas,

quizás, no emplee tecnicismos del lenguaje geométrico, y que seguramente no manejen

las referencias de los segmentos con el trazo que los caracteriza, las soluciones

presentadas pueden ser las esperadas, por ser aparentemente las más evidentes. Merced

a esto, puede darse en el caso del paralelogramo EFGD se trace un segmento 𝐸𝐺̅̅ ̅̅ , para

obtener dos triángulos EGD y DGF. Análogamente, pasaría lo mismo con el pentágono

MNOPQR, al que se le puede realizar un trazo en cualquiera de sus vértices para dar con

las figuras solicitadas.

4.3 Tercer nivel de aprendizaje

En este nivel, se trabaja la determinación y comparación de áreas en ciertas

problemáticas en la que es necesario realizar algún tipo de tratamiento figural para hallar

la solución. Conviene destacar, que en las tareas de áreas sombreadas que se presentan,

prima la operación de cambio figural de los contornos con sus subfiguras.

Capítulo 4 113

Según Duval (2001), el cambio figural alude al efecto que produce en una configuración

geométrica, la aplicación de acciones que transforman su organización perceptual y

determinan la naturaleza de la aprehensión operatoria. En gracia de este planteamiento,

son tres los cambios figurales identificados por Duval (2005):

a) mereológico, cuando la modificación pone en juego las relaciones existentes

entre las partes y el todo y se transforma el contorno global de la figura de inicio; b)

posicional, cuando se conserva la forma de la figura de partida y se cambia su

posición en el plano; c) óptico, es el tipo de “transformación, que es realizable como

un juego de lentes o de espejos, puede conservar la forma de partida o alterarla”

(Duval, 1999, p. 62).

Breve análisis a priori de la tarea 1.3: En esta tarea se les solicita a los estudiantes que

determinen el área sombreada en cada figura. Es preciso subrayar que, para ello, los

alumnos deberán relacionar el contorno global con las cuadrículas, como factor facilitador

de la visibilidad, y de esta manera, determinar qué fracción equivale a cada superficie

sombreada, respecto a la unidad que será el contorno global. En ese marco, se requiere

que ellos realicen una descripción, haciendo uso de las designaciones, con el propósito de

poder percibir los procesos de razonamiento sobre las figuras, y acceder a relacionar el

registro figural con un dato numérico en cada caso. Adicionalmente, la sucesión de figuras

está numerada de tal manera, que la dificultad aumenta levemente de manera gradual.


Tarea 1. Determina la cantidad de superficie sombreada en cada caso, para ello deberás hacer uso

de la designación para hacer explícitos sus razonamientos visualizados en el espacio otorgado.

Figura 1.

Fracción de área sombreada:

Espacio para la descripción



Figura 2.



Figura 3.



Figura 4.



Figura 5.



Capítulo 4 115

Figura 6.




Una posible solución a la tarea 1 del nivel 3 sería la que se presenta a continuación:

Figura 4-20. Presentación de una posible solución de la T1-Nv3.

Tarea 1.3. Determina la cantidad de superficie sombreada en cada caso, para ello deberás hacer

uso de la designación para hacer explícitos sus razonamientos visualizados en el espacio

otorgado.

Figura 1.

Fracción de área sombreada: 1

2

Espacio para la descripción: Dada una

circunferencia con centro en B y radio 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , se

trazan dos cuerdas denotadas como AC y DE

que pasan por el centro lo que permite que se

visualice que la circunferencia tiene un área

sombreada que excede al segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ pero

que puede rellenar el espacio que esta e

blanco en forma de arco en el segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .

Por tanto, la figura 1 tendría la mitad de su

superficie sombreada y la otra mitad no.

Figura 2.

Fracción de área sombreada:2

4

Espacio para la descripción: Primero se

realiza la designación al contorno del cuadrado



𝐴𝐷𝐶𝐸, luego a los triángulos rectángulos 𝐴𝐵𝐷

y 𝐸𝐵𝐶 que están sombreados y por

consecuencia se visualizan los otros dos no

sombreados que son el 𝐴𝐵𝐸 y el 𝐷𝐵𝐶,

concluyendo que los cuatro dividen al cuadrado

𝐴𝐷𝐶𝐸 en partes iguales.

Figura 3.


6

Espacio para la descripción: Se realiza las

designaciones correspondientes para el

contorno global que tiene forma de

paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, luego se visualiza con

ayuda de las cuadrículas una serie de trazos

auxiliares designados como: 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y dos

punteados como: 𝐺𝐶̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐴𝐹̅̅ ̅̅ los cuales dejan ver

que el paralelogramo está dividido en seis

partes iguales en forma de forma triangular

congruente con la única región sombreada

𝐸𝐻𝐺.

Figura 4.


8

Espacio para la descripción: Se realizan las

designaciones de los vértices del contorno

global cuadrado 𝐿𝑀𝑁𝑂, luego el fondo

cuadriculado deja ver que las regiones

sombreadas corresponden a dos triángulos

designados como 𝑂𝑆𝑃 y 𝑃𝑊𝑁, después

realizamos un trazo auxiliar 𝑅𝑃̅̅ ̅̅ , el cual divide

el triángulo 𝑂𝑆𝑃 en dos que son el triángulo

𝑂𝑆𝑅 y 𝑅𝑆𝑃 caso análogo para el triángulo PWN

con un trazo 𝑋𝑊̅̅ ̅̅ ̅, lo que indica que el cuadrado

Capítulo 4 117

𝐿𝑀𝑁𝑂 está dividido en ocho triángulos de los

cuales cuatro están sombreados.

Figura 5.


12


Comenzamos con la designación de cada uno

de los vértices que componen cada una figura

sombreada que son dos triángulos rectángulos

𝐴𝐻𝐺 e 𝐼𝐽𝐾 y un trapecio 𝐹𝐿𝐶𝐷, mientras que el

contorno global es un rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷. Se

realizan una serie de trazos punteados que

indican que el triángulo 𝐼𝐽𝐾 puede trasladarse

al espacio 𝐻𝐾𝐺 formando así un rectángulo de

dos cuadrículas sombreadas, mientras que en

trazo 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ punteado indica que en el trapecio uno

de sus lados pude llevar para el espacio en

blanco 𝐸𝐷𝐹 y formar otro rectángulo de dos

cuadrículas sombreadas y como en total se

contabilizan 12 cuadrículas de las cuales 4

están sombreadas.

Figura 6.


16


Se realizan las designaciones

correspondientes al contorno global que tiene

forma de triángulo 𝐸𝐹𝐷, luego se complementa

la figura 6 con trazos horizontales 𝐿𝐽,̅̅̅̅ 𝑀𝐼̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑁𝐺̅̅ ̅̅ ,

para así poder ver que existen dieciséis

divisiones congruentes en forma con respecto

al triángulo 𝐻𝐸𝐺 que es el sombreado.




Breve análisis a priori de la tarea 2.3: En este punto se espera que los estudiantes,

después de haber trabajado los tratamientos figurales para determinar la fracción del área

sombreada, en la que anteriormente se apoyaron en la ayuda visual del fondo

cuadriculado; en esta ocasión, se enfrenten a una tarea de determinación y comparación

de regiones sombreadas, sin el citado fondo.

Conviene decir, que esto representa un mayor grado de dificultad, aunque en la tarea,

se les permita hacer uso de las designaciones y los elementos de dimensión 0D (puntos).

En virtud de esto, ellos están en capacidad de explicitar sus aprehensiones operatorias y

así, llegar a una conclusión descriptiva desde lo figural y, además, descrita en lengua

natural.

Tarea 2.3. Escribe la fracción que corresponde a la superficie sombreada con respecto a la unidad

que es el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 en cada una de las situaciones. Para cada uno de los casos deberás

mostrar que hiciste gráficamente para ver la solución de la conclusión a la que llegaste a

acompañada de una descripción escrita en el espacio asignado. Para lo cual en deberás describir

tus procesos lo más detallado posible según lo que hallas visualizada para cada situación

específica.




Capítulo 4 119

Figura 4-22. Representación de la posible solución de la primera situación de la T2-Nv3.

(a)

(b)


Según la situación 1, tenemos una unidad referencial con forma cuadrada ABCD, al

realizarle ciertas modificaciones que se visualizaron, se puede apreciar en (b) que el

triángulo que se observaba en (a) denotado como PDG se trasladó y en el (b) ocupó la

posición que estaba en blanco designada como EFH, lo mismo ocurre con el triángulo PEH

de la figura (a), que se trasladó “oblicuamente” a la posición que tiene espacio en blanco

GCF, por lo tanto obtenemos dos rectángulos en (b), uno sombreado designado como

GHBC y uno no sombreado AHGD, los cuales dividen en dos partes iguales la unidad

cuadrada ABCD de la situación uno, dado como resultado un área sombreada uno igual a

1

2.

Figura 4-23. Representación de la posible solución de la segunda situación de la T2-Nv3.

(a)

(b)




En la situación 2 tenemos una unidad referencial cuadrada ABCD, la cual tiene tres

triángulos sombreados inicialmente en (a), los cuales están designados como: AID, IJL y

JKB estos dos últimos son congruentes, para llegar a la solución que se visualiza en (b),

vimos que el segmentos 𝐽�̅� podría extenderse hasta el segmento 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y ser su punto medio

el cual designamos como P, después de decidió hacer “ un dobles, al triángulo AID” como

se parecía en (b), luego vimos un espacio en blanco designado ILC podría ser ocupado

por el triángulo JKB, si se le realizaba una traslación y una rotación para así formar un

cuadrado IJLC. Después de realizar estas modificadoras obtuvimos como se aprecia en

(b) dos rectángulos uno sombreado designado como DPLC y uno no sombreado PABL,

los cuales dividen en dos partes iguales la unidad cuadrada ABCD de la situación dos,

dando como resultado un área sombreada dos, igual a 1

2.. Que al ser comparada con la

situación uno es equivalentes.

Figura 4-24. Representación de la posible solución de la tercera situación de la T2-Nv3.

(a)

(b)


Al visualizar la configuración de regiones sombreadas del cuadrado ABCD en (a) se

decidió realizarle uno puntos auxiliares designados como E en medio del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , F

en medio de 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , H en medio de 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ e I en medio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ luego se visualizó que el triángulo

sombreado AQB se dividía en dos triángulos designados como AEQ y QEB, los cuales se

trasladaron a ocupar las posiciones que estaban en blanco designadas como DOM para

QEB y CTM para AEQ.

Capítulo 4 121

Luego se trazó un segmento 𝐻𝐼̅̅̅̅ que pasaba por Q el cual dividía el cuadrado ABCD en

dos y notamos que los triángulos sombreados ONP y TSR se dividían en dos partes al

igual que el cuadrado sombreado MNQS y se procedió a completar los espacios en blanco

al fraccionar las figuras sombreadas formando así un rectángulo OYIH que al juntarse con

DOTC, obtuvimos como se aprecia en (b) dos rectángulos uno sombreado designado como

DHIC y uno no sombreado HIBA, los cuales dividen en dos partes iguales la unidad

cuadrada ABCD de la situación tres, dando como resultado un área sombreada tres igual

a 1

2. Que al ser comparada con la situación uno y dos podremos concluir que todas son

equivalentes.

De la anterior tarea se espera que, por un lado, las “situaciones 1 y 2 planteadas en la

tarea 2”, sean fácilmente tratadas, partiendo de la idea en la que los estudiantes trabajen

la figura, con regiones equivalentes sombreadas. Por otro lado, la situación tres se torna

más compleja, pues, aunque en este cometido, se anticipa que algunas respuestas no

sean las correctas, sí se confía en que a partir de las descripciones se puedan percibir, los

procesos de visualización.

Breve análisis a priori de las tareas 3.3, 4.3 y 5.3: Las modificaciones se aplican sobre

unidades constituyentes de dimensión dos de la figura de partida. En ese sentido, la

organización perceptual de las unidades cambia momentáneamente y la figura inicial, no

sufre transformación alguna. Conviene mencionar, que este tipo de proceder se encuentra

en tareas donde se solicita calcular mediante conteo, el área de una figura que está

descompuesta en subfiguras, algunas de ellas con forma y área iguales a la unidad

asignada, otras con forma distinta y con una fracción del área de la unidad de medida: un

medio, un cuarto, etc.

Así mismo, la resolución de la actividad propuesta exige la unión de algunas de las

fracciones de unidad y el conteo de las veces que la unidad seleccionada es necesaria

para cubrir la superficie de la figura. Según Marmolejo y González (2013) se induce un

cambio figural intermitente (operatorio), pues para calcular el área de la figura, es necesario

considerar las subfiguras triangulares y rectangulares, además de asumir que la unión de

cada par o más de ellas, producirá una superficie igual a la unidad de medida considerada.”



Para el caso particular de la tarea 3, existen unos puntos que servirán para facilitar el

conteo de lo que representa la región sombreada. Del mismo modo, teniendo en cuenta

que estamos en un nivel escolar donde los valores enteros son el conjunto numérico que

prima, no sobra incluir el registro numérico fraccionario para que hagan el ejercicio de

sumar, desde la visualización de las subpartes, y de esa manera, las unidades figurales,

las conviertan en enteras. La tarea 4 presenta una situación similar a la 3, pero con la

ventaja que la consigna cambia totalmente el sentido de la actividad que se quiere

desarrollar. Conviene subrayar, que, puesto que la tarea no consiste simplemente en

calcular, en este trabajo se les solicita también, verificar cierta información adicional. Sobre

este aspecto, es necesario aclarar, que en caso de obtener o no, una estimación correcta,

de cualquier manera, deberán explicitar sus procesos.


Tarea 3.3. Determina el área de la región sombreada describiendo el análisis o procesos que tuviste

encuentra para lograr ver la solución a la que llegaste.


Una posible solución a la tarea 3 del nivel 3 sería la que se presenta a continuación: Se

realiza la designación de la región sombreada siguiente, con las letras

DCBAONLKJIHGFE. Se espera que los estudiantes encuentren que son siete las unidades

cuadradas enteras, contando las cuadrículas, además, que el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ pertenece

simultáneamente a dos triángulos, los cuales, al juntarlos forman una cuadrícula más,

llegando a ocho.

Capítulo 4 123

Al mismo tiempo, se espera que, los estudiantes realicen algún trazo auxiliar para

conectar los vértices D con I, mostrando que existe una región en blanco designada como

EFGH la cual visualmente equivale a un medio, pero al ver que existe una región LNOQ

que es un medio de la cuadricula sombreada por “complementariedad ” asuman que esa

región si se traslada al espacio en blanco EFGH como subpartes rectangulares LMPQ y

LMOP sumaran una unidad más llegando así a 9 unidades cuadradas.

Figura 4-26. Representación de la posible solución esperada de la T2-Nv3.



Tarea 4.3. Yamileth es una joven estudiante que determinó el área de la región que aprecia en

figura, la cual afirma que da 22 unidades cuadradas o (22U2), ayuda a la joven a comprobar su

respuesta. En caso de estar equivocada explica porque se equivocó de estar en lo correcto muestra

que procedimientos viste para corroborar el resultado.




Nota. La tarea 4 es una adaptación de una actividad analizada por (Marmolejo y González, 2013),

en el que cambió totalmente la consigna.


Existe la posibilidad que los estudiantes intente realizar un conteo de las cuadrículas que

son enteras y notaran que hay solo 17 de ellas a primer golpe de ojo. Del mismo modo,

puede darse el caso que no realicen ninguna designación y que más bien realicen trazos

y guías que harán de su descripción, un ejercicio visual tal y como se muestra a

continuación. Finalmente, encuentran así, otras 5 cuadrículas que se formaran por

complementariedad de las medias regiones sombreadas tal y como se representa a

continuación:

Figura 4-28. Representación de la posible solución de la T4-Nv3.


En virtud de esto, sería posible concluir que efectivamente Yamileth tenía razón. Como

corolario, es posible decir, que puede darse el caso que no se presenten muchas

dificultades en la realización de esta tarea debido a que la anterior los “preparó para esta”.

Breve análisis a priori de la tarea 5.3: Se presentan elementos de control de la visibilidad

de los siguientes tipos: a) Índice: nombre dado a la unidad de medida que resulta de las

cuadrículas que pertenecen a las regiones A y B, además de los cuadros en blanco, b)

Elementos de contraste: nombre dado a las regiones sombreadas con un tono distinto

respecto a los trazos de las cuadrículas.

Capítulo 4 125

Conviene mencionar, que el tipo de control es ambiguo, debido a que se da cierto grado

de libertad para que el estudiante elija la manera en que llegará a dar respuesta a los ítems

de la tarea por lo que puede subdividir las regiones sombreadas o por conteo de

cuadrículas llegar calcular el área.

En esta tarea, se espera que los estudiantes realicen algún tipo de reconfiguración

figural. En esa dirección, puede darse el caso que comiencen a hacer uso de las áreas

para realizar un conteo de las cuadrículas que cada una contiene, para luego compararlas,

o, que vayan directamente al área que no está sombreada (sustrayendo las regiones A y

B).


Tarea 5.3. Compara las regiones 𝐴 y 𝐵 que se presentan a continuación y responde a los siguientes

ítems:

a. Qué región tiene mayor área explica el porqué de tu elección.

b. Si se suman ambas regiones que área sombreada se tendría en total.

c. Con el dato del ítem anterior compara esa área con la que representa las cuadrículas en

blanco ¿Cuál es mayor? Explica los análisis que visualizaste, para concluir la respuesta que

diste.


Una posible solución a la tarea 5 del nivel 3 sería:



Figura 4-30. Representación de la solución esperada de la T5-Nv3.


Como se puede apreciar, al comparar las regiones coloreadas, tanto A como B tienen

igual cantidad de superficie, es decir, 12,5 unidades cuadradas cada una, dando respuesta

al primer ítem de la tarea. Así mismo, al sumar ambas cantidades, tememos 25 unidades

cuadradas. Es importante mencionar, que en este punto las figuras cumplen una función

informativa, si tenemos en cuenta que las cuadrículas que eran mitades se unieron para

formar unidades enteras. Con respecto al último ítem, es necesario recordar la situación

de primer nivel correspondiente a la tarea 4, lo que implica, que solo es cuestión de

multiplicar las 5 unidades de la longitud por las 14 unidades del ancho para concluir que

existen 70 cuadrículas que componen el área de trabajo. Seguidamente se procede a

restar las 25 unidades que suman las que están ocupadas por las regiones A y B,

obteniendo 45 cuadrículas en blanco. Por lo tanto, las cuadrículas en blanco son una

cantidad mayor a la que componen ambas regiones sombreadas, lo que visualmente se

aprecia con cierta dificultad y que deberán confirmar ellos.

4.4 Cuarto nivel de aprendizaje

Todas las tareas que componen este nivel se han pensado para que los estudiantes

pongan en juego las aprehensiones perceptuales, operatorias y discursivas haciendo

énfasis en la combinación de las dos últimas, respeto al registro figural. Adicionalmente, a

este nivel se espera que los estudiantes, hayan superado dificultades relacionadas con las

Capítulo 4 127

concepciones de área y las comparaciones entre ellas, como también el uso de las

designaciones para hacer sus descripciones.

Comprendido todo lo anterior, el trabajo se enfoca ahora desde la visión de Duval

(2005), la misma que se refiere al posicionamiento de la cuarta y adentrándose a la quinta

mirada, el cual alcanza un grado de comprensión suficiente, de manera que, afloran

heurísticas que permitan construir reconfiguraciones a partir de las figuras geométricas

reconocidas. Conviene aclarar, que, en todos los casos, se presenta un fondo cuadriculado

como estrategia de observación, salvo en el caso en que usa el plano cartesiano como

soporte. Finalmente, los tipos de control son disjuntos pues presentan distintos tipos de

información simultáneamente. En el caso de las tareas 1, 2 y 3, hay una inclinación hacia

la mirada del inventor, mientras que la tarea 4, se inclina hacia la deconstrucción

dimensional, siendo la tarea 5, una mezcla de todas, aunque se prioriza el estatus de

tratamiento figural sin importar que sea un control visual cuasi ambiguo.

Breve análisis de la tarea 1.4 y 2.4: Se espera que, en esta primera tarea, los

estudiantes al estar ya familiarizados con la realización de trazos auxiliares, como

instrumento útil en la visualización de figuras, que hacen parte de la composición de otras,

utilicen esa capacidad para descubrir, nuevas reconfiguraciones. Así que, partiendo de un

diferente contorno global, es posible llegar a la conclusión que, el área de la figura de

partida y el de la figura final es la misma y que lo único que permanece igual o variando es

el perímetro.

Figura 4-31. Presentación de los diseños de las T1 y T2-Nv4.

Tarea 1.4. Dado un cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 realiza un solo trazo en él, de tal manera que puedas formar

un triángulo isósceles. ¿Qué puedes decir al comparar las áreas y perímetros entre la figura inicial

(cuadrado) y obtenida (triángulo isósceles)?



Tarea 2.4. Dado un paralelogramo 𝐸𝐹𝐺𝐻 con un solo trazo, reconfigúralo en un cuadrado. ¿Qué

puedes decir de sus áreas y perímetros al compararlas?


Una posible solución a la tarea 1 y 2 del nivel 4 sería la que se presenta a continuación:

Se espera que en la tarea 1, los estudiantes decidan irse por uno de los dos caminos que

ofrecen las diagonales del cuadrado ABCD. Conviene aclarar que, en el caso escogido se

trazó la diagonal 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y tal y como se aprecia en la figura 1*, lo que nos conduce a obtener

dos triángulos rectángulos designados como ADC y ABC, los cuales configura al cuadrado

ABCD inicial. Del mismo modo, al triángulo isósceles ADC, lo vamos a configurar,

aplicándole una rotación en sentido antihorario sobre el punto C, con el propósito de formar

el triángulo isósceles ADC. En ese sentido, si comparamos las áreas del cuadrado ABCD

y del triángulo ADC están son equivalentes. En cambio, en cuanto a sus perímetros, dado

que el segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es una diagonal y esta tiene mayor longitud que uno de los lados 𝐴𝐷̅̅ ̅̅

por lo tanto, el contorno del triángulo ADC tiene mayor longitud que el del cuadrado ABCD,

es decir, tiene mayor perímetro que la figura de partida.

Para solucionar la tarea 2, es preciso señalar, que esta solo tiene un solo camino de

solución. En efecto, este consiste en trazar un segmento 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ sobre el paralelogramo

EFGH, obteniendo así dos triángulos designados como EFH y FGH, y aplicando sobre este

último, una traslación de dos unidades hacia la izquierda según las cuadrículas de

referencia visual, para así obtener un cuadrado EFGH. De la misma manera, merced a la

comparación de sus áreas, se encuentra que, tanto el paralelogramo EFGH como el

cuadrado EFGH, tienen igual área y sus perímetros también son iguales debido a que las

longitudes de sus contornos se conservaron en las mismas dos cuadrículas de referencia.

Capítulo 4 129

Figura 4-32. Representación de las soluciones esperadas de la T1 -Nv4.

Solución tarea 1. (Figura1*)


Figura 4-33. Representación de las soluciones esperadas de la T2 -Nv4.

Solución tarea 2. (Figura 2*)


Breve análisis a priori de la tarea 3.4: La tarea en cuestión es similar a los puntos

anteriores, específicamente en el uno y el dos, del ítem a y b de la tarea 4 de la situación

dos. Es preciso mencionar, que, a pesar de esas similitudes, esta, tiene el valor agregado

en la reconfiguración figural, lo que permite la comparación de áreas mediante el uso de

las cuadrículas. Así que, en ese orden de ideas, la tarea 1 de este nivel, aporta elementos

para que los niños, deduzcan que al tener un trapecio y ser descompuesto en otras

unidades figurales de igual dimensión, con el propósito de formar otra figura geométrica

(rectángulo), se conserva el área.

Tarea 3.4. En el trapecio 𝐴𝐵𝐶𝐷, deberás:

a. Realizar un par de trazos de tal manera que se forme un cuadrado y un par de triángulos. b. Designa las subfiguras obtenidas En el paso anterior.

Explica que harías (escríbelo) para que con esas las figuras formes un rectángulo. ¿qué se puede decir de las áreas de las figuras que obtuviste (paralelogramo respecto al rectángulo)?








Para este caso, es necesario que los estudiantes hagan buen uso de los instrumentos

como la regla o la escuadra, dado que el trapecio ABCD no dispone de cuadrículas, y el

trazado de los segmentos auxiliares requerirá que sean “sean perpendiculares” respecto a

la base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Conviene resaltar, que los puntos que se interceptan sobre la base son

designados como E y F para formar así los triángulos rectángulos AED, CFB y un cuadrado

DEFC. Adicionalmente, al triángulo AED, se le aplica una traslación hacia la derecha, y

una reflexión de tal manera que ocupe el espacio que se muestra como punteado CAB, y

se forme el rectángulo EBAD. En efecto, este, tiene igual área por estar formado por las

mismas subfiguras del trapecio ABCD descompuesto inicialmente.

Breve análisis a priori de la tarea 4.4: En esta tarea, se trabajará la descomposición

figural de un contorno global irregular, que hace uso de medidas, por medio de los ejes

Capítulo 4 131

coordenados. Acorde con esto, la consigna de la tarea se plantea apoyada en ítems, los

cuales deben transcurrir secuencialmente, desarrollando una solución, cuya génesis es la

combinación de elementos visuales propios del registro figural, los cuales a su vez actúan,

en coordinación con el registro de la lengua natural.

En esa dirección, para hacer referencia a las subfiguras de las que se pide determinar

su área, es necesario, hacer explícitos los procedimientos de cálculo. Esta tarea, se

concibe como una de las más complejas y por eso cierra este nivel, dado que, el contorno

final, se presta para identificar diferentes figuras, que surgieron desde el contorno inicial.


Tarea 4.4. En la figura poligonal representada en el plano cartesiano deberás realizar lo siguiente:

A. Designar los vértices de la figura.

B. Identificar las diferentes figuras geométricas que componen la figura inicial

(nómbralas y resáltalas con un color).

C. Calcular el área de cada figura que visualizaste.

D. Halla el área total de la figura inicial dada.







Una vez se han designado los vértices de la figura ABCDEFG, notamos que se puede

visualizar un posible trazo auxiliar que va desde el punto G al D y puede extenderse hasta

la segunda unidad del eje coordenado el cual se designó como H. Así pues, en virtud de

esto, es posible visualizar tres figuras geométricas que son: un rectángulo HDCB, un

paralelogramo GFED y un triángulo rectángulo GHA, mostrándose esta solución de

descomposición como la más simple. Se sugiere el uso de un color a los estudiantes para

que les ayude visualmente los contrastes. Para dar respuesta al ítem (c) debemos inferir

visualmente los datos ya sea por el conteo de las cuadrículas, o haciendo uso de las

fórmulas de área de cada subfigura configurada, además de dar los resultados obtenidos

en unidades cuadradas.

Área del rectángulo HDCB = 8U2

Área del paralelogramo GFED = 6U2

Área del triángulo rectángulo = 1U2

La solución del punto (d) es cuestión de tomar las medidas de las cantidades de área

halladas y sumarlas, es decir:

Á𝑟𝑒𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8𝑈2 + 6𝑈2 + 1𝑈2 = 15𝑈2

Capítulo 4 133

4.5 Quinto nivel de aprendizaje

Para el presente grupo de tareas que conforman este nivel, se quiere que los

estudiantes apliquen las aprehensiones operatorias y discursivas, desarrolladas hasta

ahora. De igual manera, se espera que empleen las herramientas que en las anteriores

situaciones se utilizaron, tales como: las designaciones para referenciar las formas y

caracterizarlas, el establecimiento de relaciones entre áreas y perímetros, la realización de

trazos auxiliares, y la descomposición de los contornos globales en unidades figurales o

subfiguras. Igualmente, también se espera que apliquen procesos de visualización con el

propósito de razonar sobre las formas que ya les son “familiares”, y poder hacer

comparaciones en términos de áreas, además de deducciones de las expresiones útiles

para calcular estas, en el caso de las figuras planas.

Figura 4-38. Presentación del diseño de la T1-Nv5 parte 1.

Tarea 1.5. Dado el polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 que se nombró figura 1, debes estimar el área que tiene dicha forma en unidades cuadradas (U2).

Figura 1


Tarea 1.5 (a). Reconfigurar la figura 1 en la figura2. ¿Qué puedes decir sus áreas? ¿hay una mayor

o menor a otra muéstralo?




Figura 2



Tarea 1.5 (b). Reconfigurar la figura 1 en la figura 3. Describe los pasos que realizaste.

Figura 3.


Capítulo 4 135


Tarea 1.5 (c). Reconfigurar la figura 1 en la figura 4.

Figura 4.


Breve análisis a priori de la tarea 1.5: La presente tarea es una composición de los

cometidos del nivel anterior, con la diferencia que, en este caso, se prioriza el estatus del

tratamiento figural. Es preciso mencionar, que, dependiendo de la decisión del estudiante,

en el sentido de intentar o no, resolver la tarea, así mismo, se evidenciará cierto nivel de

razonamiento sobre las figuras tratadas y el nivel de sus deducciones, lo mismo que se

reflejará en el uso del lenguaje para explicitar sus decisiones, al visualizar la solución.

Una posible solución a la tarea 1 del nivel 5 sería la que se presenta a continuación: En

el primer ítem, se inquiere por el área que compone la figura 1, la misma que se designa

con las letras ABCDEF. Conviene recalcar, que, al contabilizar las cuadrículas, se concluye

que tiene 17 unidades cuadradas enteras y dos cuadrículas divididas a la mitad ubicadas

cerca al segmento 𝐸𝐷,̅̅ ̅̅ ̅ las cuales, si se juntan sumarían una unidad cuadrada más,

obteniendo así, una suma del área de la figura ABCDEF de 18 U2. Acto seguido, se solicita

realizar algún tipo de tratamiento figural para llevar la figura 1 a la forma que tienen las

figuras 2, 3 y 4 respectivamente. En estos casos, si son equivalentes sus áreas, y esto se

puede corroborar buscando formas de contar las cuadrículas que componen cada figura.

En consecuencia, las posibles transformaciones que se podrían hacer son las siguientes:



Figura 4-42. Representación de las soluciones esperadas de la T1-Nv5.

(a)

(b)

(c)


Para dar solución al punto (a), se tomó la figura ABCDEF y se le realizó un trazo auxiliar

desde el vértice E hasta A, dejando ver un triángulo FEA, al que se le realiza una traslación

de cuatro unidades hacia abajo hasta llegar a coincidir el segmento 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ con el segmento

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ obteniendo así la comparación solicitada.

En el siguiente ítem se debe partir de la figura ABCDEF y realizarle un trazo auxiliar

que parte del vértice C, hasta que llegue hasta un punto que sea paralelo a E, el mismo

que debe estar ubicado en el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ tal y como aparecía en (b), para después

producir una rotación en C del triángulo formado en sentido horario de 90°, formando así

la composición figural solicitada. Por último, se debe realizar una reflexión con respecto a

la base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de la figura ABCDEF, de tal manera que su posición quede invertida y su

contorno global, no sufra ninguna modificación, obteniendo así la figura solicitada en el

ítem (c).

Se espera que los estudiantes sean capaces de visualizar las soluciones presentadas,

independientemente del nivel de claridad y rigurosidad que tengas sus explicaciones.

Tarea 2.5. Dado un rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 cómo el que se presenta a continuación:

Capítulo 4 137



Resuelve

a. Si el área del triángulo 𝐴𝑂𝐵 es igual a 3𝑐𝑚2 ¿Cuál sería el área total del rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷?

b. Reconfigurar el Rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 tal manera que se forme un rectángulo. ¿Qué puedes

observar respecto a el área de las dos figuras?

c. Teniendo en cuenta que el segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y el 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ son conocidas como las diagonales del

rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 y sus medidas respectivamente son 6 𝑐𝑚 y 2 𝑐𝑚.

d. Deduce la expresión que permitirá calcular su área. (sugerencia ten en cuenta el resultado

obtenido en el ítem a).

Breve análisis a priori de la tarea 2.5: De esta tarea, se exalta una función visual

heurística, y se propone la aprehensión operatoria para reconfigurar el rombo (figura de

partida), a un rectángulo. Ciertamente, en términos de Marmolejo y González (2013),

quiere decir que, se debe realizar una reconfiguración simple. En efecto, la figura de partida

se transforma en otra de forma distinta e igual área, y las unidades 2D que la conforman

(o algunas de ellas) son reubicadas bajo la acción de traslaciones, rotaciones o reflexiones

en lugares distintos al inicialmente ocupado por ellas. Sumado a esto, el color o lo tonos

de contraste en los triángulos rectángulos que configuran el rombo refuerza visualmente

las designaciones para ver con más claridad la posible reconfiguración y llevar un control

sobre la misma, aunque para esta tarea, la mayoría del material se aplicara con una copia

con escala de grises.

La información que resta en los ítems de la consigna demandará del estudiante, que se

apoye en el registro figural para establecer la relación entre la representación en mención,

y el de la lengua natural. De este modo, la actividad cognitiva de razonamiento relacionada



con la visualización le dará al intérprete (estudiante), una perspectiva Gestáltica muy

peculiar, por lo que en esta tarea se tiene una buena expectativa en cuanto a las

descripciones de los procedimientos.


Si el área del triángulo AOB es igual a 3𝑐𝑚2, eso quiere decir que cada triángulo que

conforma el rombo ABCD tiene área 3𝑐𝑚2, lo que indica que la medida del área de los

triángulos 𝐴𝑂𝐵 + 𝑂𝐵𝐶 + 𝐷𝑂𝐶 + 𝐴𝑂𝐷 = 12𝑐𝑚2.

Cuando se solicita reconfigurar el rombo ABCD en un rectángulo DBZT los colores

facilitan la visualización para realizar la reconfiguración tal y como se presenta a

continuación:

Figura 4-44. Representación de la posible reconfiguración del rombo del diseño de la T2-

Nv5.


Las áreas del rombo ABCD y el rectángulo DBZT se puede decir que son iguales. Del

ítem (c), nos dan las medidas de las diagonales del rombo ABCD las cuales son 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =

6𝑐𝑚 y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 2𝑐𝑚, lo que ayuda a inferir visualmente que los segmentos 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ y 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ cada

uno mide 3cm y que los segmentos 𝐷𝑂̅̅ ̅̅ y 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ miden 1cm, teniendo en cuenta la sugerencia

podemos inferir que la expresión para calcular el área del rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∗ 𝑚𝐷𝐵̅̅ ̅̅ =

12𝑐𝑚2.

Capítulo 4 139

Es posible que el mayor obstáculo se encuentre a la hora de asociar las designaciones

con los valores numéricos y así, poder llegar a la deducción de las fórmulas que permite

estimar el área del rombo ABCD.


Tarea 3.5. En la presente figura plana desarrolla los siguientes ítems:

a. Designa con una letra mayúscula del abecedario a los vértices.

b. Determina las subfiguras que conforman la figura designada en el ítem (a) con su respectiva

designación.

c. Calcula el área de las subfiguras que encontraste en (b).

d. Determina el área total de la región poligonal.

Nota. Debes registrar los procesos que realizas para responder a cada ítem, intentando ser los más

claro posible.

Imagen Tomada de (Marmolejo y González, 2015), tarea adaptada.

Breve análisis a priori de la tarea 3.5: Esta tarea se espera que sea, la posible meta a

alcanzar, con los estudiantes a los que se les aplicará la trayectoria hipotética de

aprendizaje, con tareas que suelen estar en algunos libros de texto, o, en la parte de

actividades complementarias y de profundización. En este aspecto, conviene señalar que

el tipo de control es ambiguo tal y como lo expresan Marmolejo y González (2015), cuando

varios elementos ejercen control sobre la manera de ver en la figura. En esa misma

dirección, algunos introducen maneras de ver pertinentes para la resolución de la tarea

propuesta, mientras que otros, por el contrario, suscitan visualizaciones de naturaleza

distinta a las tratadas en el tópico en estudio y/o no pertinentes a la resolución de la tarea

propuesta, por lo que se produce un control ambiguo.



En la tarea 3. se pide calcular la medida del área de un polígono irregular, pregunta

para la que no se ha dado una fórmula a aplicar, por tanto, es necesario realizar

previamente un fraccionamiento en figuras, en aras de reconocer las fórmulas del cálculo

de área. Así mismo, hay que mencionar, que la figura poligonal, cumple una función visual

informativa puesto que la consigna per se, es insuficiente para que el estudiante pueda

resolver la tarea propuesta.

Del mismo modo, se puede deducir que, es estrictamente necesario apelar al registro

figural, puesto que, se encuentran datos que servirán para determinar los cálculos

necesarios en las subfiguras, como también se aprecian trazos auxiliares punteados, los

cuales, indica un control visual de contraste que dará indicios para avizorar las subfiguras

en que puede fraccionarse el contorno poligonal global.


Figura 4-46. Presentación de los trazos esperados para la solución de la T3-Nv5.

El proceso de solución inicia con la designación de los vértices de la figura dada, la cual

se reconocerá como figura ABCDEF. En ese marco, se debe visualizar que la figura

ABCDEF, se puede descomponer en tres figuras las cuales son dos triángulos rectángulos

designados como ABH y EGF y dos rectángulos designados como BCIH y DEGI. Es

preciso mencionar, que esto puede darse, en virtud de los trazos auxiliares 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ , 𝑦 𝐸𝐺̅̅ ̅̅ ̅̅ que

ya estaban dados, lo que significa que solo debía agregarse 𝐷𝐼̅̅ ̅.

Capítulo 4 141

Finalmente, debe completarse la información suministrada por la figura ABCDEF para

obtener todas las medidas necesarias que permitirán estimar las áreas de cada subfigura

que compone el contorno global. En ese sentido, tenemos:

Tabla 4-1. Compilación de las descripciones esperadas para cada seccionamiento del

polígono ABCDEF.

El triángulo 𝑨𝑩𝑯 tiene como base la

medida 𝒎𝑨𝑯̅̅̅̅̅ =𝟏𝟎𝒎 y como altura

la medida 𝒎𝑩𝑯̅̅ ̅̅̅ =𝟏𝟐𝒎. Luego el

Á𝒓𝒆𝒂𝑨𝑩𝑯 =𝟏𝟎×𝟏𝟐

𝟐=

𝟔𝟎𝒎𝟐

El rectángulo 𝑩𝑪𝑰𝑯, tiene como base la medida del

segmento 𝒎𝑯𝑰̅̅̅̅ =𝟖𝒎 y altura la medida del

segmento 𝒎𝑯𝑩̅̅ ̅̅̅ =𝟏𝟐𝒎.

Á𝒓𝒆𝒂𝑩𝑪𝑰𝑯 = 𝟖 × 𝟏𝟐= 𝟗𝟔𝒎𝟐

El rectángulo 𝑫𝑬𝑮𝑰, tiene como base la medida del

segmento 𝒎𝑰𝑮̅̅̅̅ =𝟔𝒎 y altura la medida del

segmento 𝒎𝑬𝑮̅̅ ̅̅ =𝟓𝒎.

Á𝒓𝒆𝒂𝑫𝑬𝑮𝑰 = 𝟔 × 𝟓= 𝟑𝟎𝒎𝟐

El triángulo 𝑬𝑮𝑭, tiene como altura la medida del

segmento 𝒎𝑬𝑮̅̅ ̅̅ =𝟓𝒎 y base la medida del

segmento 𝒎𝑮𝑭̅̅ ̅̅ =𝟐𝒎 este dato se obtuvo se restar la

medida 𝒎𝑨𝑭̅̅ ̅̅ =𝟐𝟔𝒎. Con las medidas de los

segmentos 𝒎𝑨𝑯̅̅̅̅̅ =𝟏𝟎𝒎 y 𝒎𝑯𝑰̅̅̅̅ = 𝟖𝒎 e

𝒎𝑰𝑮̅̅̅̅ = 𝟓𝒎, obteniendo así:

Á𝒓𝒆𝒂𝑬𝑮𝑭 =𝟓 × 𝟐

𝟐= 𝟓𝒎𝟐

Á𝒓𝒆𝒂𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭 = Á𝒓𝒆𝒂𝑨𝑩𝑯 + Á𝒓𝒆𝒂𝑩𝑪𝑰𝑯 + Á𝒓𝒆𝒂𝑫𝑬𝑮𝑰 + Á𝒓𝒆𝒂𝑬𝑮𝑭 = 𝟏𝟗𝟏𝒎𝟐


Al en la tabla 4-1 se puede ver claramente el despliegue de procedimientos realizados

en el registro discursivo de la lengua natural coordinado con el registro numérico para

establecer la media del área para cada subfiguras visualizada y el contorno global.

Es importante recalcar que, terminado de presentar los diferentes análisis a priori de

cada grupo de tareas que compone cada nivel de aprendizaje, se puede dar vía libre para

que la trayectoria hipotética de aprendizaje sea aplicada a los estudiantes de grado

séptimo.



Además, una vez se tengan los resultados de sus producciones, se podrán establecer

y analizar cómo influyeron las diferentes variables de los diseños de las tareas, cómo

también, valorar los avances en cuanto a la actividad cognitiva de la visualización y la

coordinación entre registros de representación a comprender el tópico de área de figuras

planas.

5. Análisis a posteriori: constitución de una trayectoria real de aprendizaje

En este capítulo se presentan y analizan las producciones más representativas de las

diversas aplicaciones que se llevaron a cabo para el desarrollo de la trayectoria hipotética

de aprendizaje. Tomando esto en consideración, la organización del capítulo se inició con

un apartado que presenta las diferentes categorías o procesos que se evaluaron a lo largo

de cada nivel de aprendizaje. Para sintetizar los resultados, se realizaron unas tablas que

muestran el alcance que se obtuvo con la aplicación, y además en relación con los

propósitos trazados por cada grupo de tareas que ya fueron presentados en el tercer

capítulo, permitieron tomar la decisión de avanzar al siguiente nivel de la trayectoria.

Del mismo modo, se realizaron los respectivos análisis por los niveles de aprendizaje

establecidos. Cabe aclarar, que por cada nivel se hizo una presentación que ilustra acerca

de cómo fue el desempeño de los estudiantes en general, y en qué condiciones lograron

cumplir con el objetivo trazado. Después se procede a describir particularidades que se

hallaron en la revisión post aplicación, aspectos que se adjuntan a la respectiva evidencia

acompañada de un breve análisis del profesor-investigador.

Una vez se presentados todos los análisis a posteriori, se incluyó un breve apartado de

cierre del capítulo. Conviene recalcar, que este epílogo, tuvo como propósito evaluar la

trayectoria hipotética de aprendizaje que recopiló todos los progresos a nivel cognitivo, que

evidenciaron los estudiantes en el trabajo con áreas de figuras planas.

Complementariamente, esto permitió argumentar, por qué esta trayectoria hipotética debe

constituirse como una trayectoria real de aprendizaje, para los estudiantes a quienes se

les aplicó, teniendo como base los avances de los procesos relacionados con la

visualización, vistos desde una mirada semiótica-cognitiva.



5.1 Presentación general del instrumento de valoración del proceso de análisis de datos

En principio, se pensó que los grupos de tareas que componían los diferentes niveles

de aprendizaje que se presentaron en el tercer capítulo, se debían clasificar su análisis en

una serie de categorías las cuales correspondieran a facilitar este desde los elementos

cualitativos del diseño y el seguimiento de los objetivos trazados. En virtud de esto, se

pudo hacer un análisis del alcance parcial o total de los propósitos de cada nivel de la

trayectoria. Añadido a esto, se decidió nombrar procesos a los elementos de valoración

del balance de resultados grupales post aplicación, dado que, van más con el estilo

metodológico del diseño que se implementó.

Los procesos que se postularon fueron los siguientes: (1) la comparación de las figuras

geométricas, (2) la clasificación de los componentes de las figuras, (3) la descomposición

/ reconfiguración de las representaciones bidimensionales, (4) la coordinación de las

explicaciones ligadas al registro figural, es decir, el uso de los registros semióticos de

representación figural y de lengua natural. Teniendo en cuenta las características de estos

procesos, se consideró la transversalidad de ellos, dado que, independientemente de la

tarea que desarrollaron los estudiantes, estos debían ejecutar cualquiera de esas

operaciones o combinación de estas, acompañada de las actividades cognitivas inherentes

a la geometría, en especial la de la visualización.

En la tabla 5-6 se muestran las ponderaciones de los diferentes niveles, con los cuales

se evaluó el desempeño de 30 estudiantes, los mismos que participaron en el ejercicio.

Conviene subrayar, que la tabla consta de cuatro procesos, y tres niveles de calificación.

Así mismo, estos últimos, tienen la misión de valorar los desempeños teniendo en cuenta

los siguientes criterios: (1): nivel que se refiere al caso en el que no se superó una media

de 14/30. Por ejemplo, alcanzaron las metas propuestas en los grupos de tareas de

visualización: 14, o 13, o 12, u 11… alumnos, de un grupo de 30, (2): nivel que indica que

el número de estudiantes en alcanzar los logros, estuvo contenido en un rango de 15/30 a

24/30, es decir: 15, o 16, o 17, o 18… (3) nivel que indica que se alcanzaron

satisfactoriamente las expectativas, con una razón de 25/30 o más estudiantes, es decir,

25 o 26, o 27 o 28…. Véase a continuación:

Capítulo 5 145

Tabla 5-1. Ejemplo de tabla de balance de los procesos evaluados en los estudiantes para

un nivel de aprendizaje.

Procesos

Comparación Clasificación y

reconocimiento

Descomposición y/o

Reconfiguración

Coordinación de RF y RLN

Nivel de

Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

N.º T1 x x x

T2 x x x x


Es preciso señalar, que, en la fila de los niveles de aprendizaje, se hace referencia al

grupo de tareas a las que se les hizo un análisis. De la misma manera, se complementa la

información, a través de dos subfilas, en la que se emplea la nomenclatura T1, T2, la cual

indica la cantidad de tareas que acompañaron dicho nivel, y que fueron presentadas en el

capítulo 4. Una vez ejemplificada la manera en que se implementó este recurso, se

procede a presentar el respectivo análisis a posteriori.

5.2 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el primer nivel de aprendizaje

Cuando se diseñó el grupo de tareas que conformaban este nivel de entrada de la THA,

se esperaba que los estudiantes fueran adquiriendo elementos que les permitiera ir

desarrollando los procesos de visualización, a medida que se enfrentaban a cada una de

las tareas. En virtud de esto, en cada tarea, se les exigía una evidencia de los

procedimientos que llevaban a cabo, empezando por el registro figural, y complementado

por el registro de lengua natural, de tal manera, que ellos poco a poco, pudieran ir

elaborando sus propias descripciones y explicaciones de lo que visualizaban. Por ejemplo:

a) referenciar una figura; b) distinguirla de otra mediante la designación; c) expresar las

ideas que surjan, a partir del análisis de la comparación de las figuras; d) hacer uso del

pensamiento geométrico, para hallar el área de una figura plana por medio de tratamientos

visuales.

Con el propósito de generar un ambiente académico de las mejores condiciones

posibles, todos los estudiantes se presentaron a las pruebas con su respectivo kit de



geometría, vale decir, escuadras de 30 y 45 grados, regla, compás, lápiz y borrador.

Conviene enfatizar, que cada una de las pruebas tuvo una duración de 100 minutos, tiempo

en el cual el estudiante debió desempeñarse individualmente, disponiendo de un espacio

prudencial para resolver cada tarea. Adicionalmente, se les autorizó a hacer uso de la

rutina de levantar la mano, en caso de presentarse alguna duda y requerir alguna medición

para comprender mejor las tareas. En la tabla 5-2, se presenta un balance de los resultados

que obtuvieron los aprendices, terminada la aplicación del primer grupo de tareas.

Tabla 5-2. Valoración de los resultados, posterior a la aplicación.

Procesos


reconocimiento

Descomposición y/o

Reconfiguración


Nivel De

Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

I

T1 x x x x

T2 x x x

T3 x x x x

T4 x x x x


Al hacer una lectura de la tabla 5-2, se puede apreciar, que los desempeños de los

alumnos en el conjunto de tareas de primer nivel arrojaron un balance positivo. Del mismo

modo, en los casos en los que se presentaron dificultades, estas se consideraron para

formar una base para que el docente-investigador replanteará su mediación desde una

perspectiva diferente. En otras palabras, se generó un escenario en el que se observaron

características propias de cada alumno, en concordancia con el postulado de (León et al.,

2014): “los procesos de aprendizaje de cada estudiante varían por aspectos de tipo

histórico, académico, contexto social, y contexto familiar” (p.28). A partir de aquí, se pudo

inferir, que el estudiante está en capacidad de afrontar situaciones que no habían hecho

parte de su proceso formativo con anterioridad, además que se convirtieron en elementos

estructurantes de su pensamiento geométrico, estimulando las actividades cognitivas

establecidas por Duval.

En cuanto a los resultados de los procesos asociados a cada tarea, se observó lo

siguiente: a) para la tarea T1, los educandos lograron hacer uso de la designación dejando

ver las subfiguras que encontraron en una configuración geométrica dada; b) se mantuvo

Capítulo 5 147

un nivel medio en los tres primeros procesos con una razón de 21/30 estudiantes, y solo

en el último proceso bajó a una razón de 11/30. Así mismo, en la figura 5-1, el estudiante

registró un total de 12 figuras, ejercicio en el que no inició visualizando el contorno global

de la figura 5-1, además de no haber tenido dificultad en realizar la designación para

referenciar al círculo. Lo cual es una muestra que las hipótesis planteadas en el análisis a

priori en la presentación de los diseños de las tareas no se cumplieron para varios casos

entre ellos este que se trae a ilustración.

Figura 5-1. Evidencia 1 de solución de la T1-Nv1.

En la figura 5-2, se aprecia otra producción, en la que sí se cumple la hipótesis de

registrar como primera figura plana dentro de la tabla de registro, el contorno global como

triángulo ABC y casos como este fueron los más frecuentes.




Otro rasgo que se pudo observar es que, una vez se inició la designación de las figuras

que se identificaron, no se presentaron casos en los que un estudiante a la hora de realizar

el registro de las figuras visualizadas dejase en blanco el espacio para enlistarlas. Aunque

es preciso señalar, que solo en unos pocos casos, se dejó pasar por alto la designación

del círculo o al menos registrarla en la tabla, es decir, se dejó pasar por alto el ítem b, de

la consigna.

Para la tarea T2 se logró con relativa desenvoltura clasificar los polígonos como

regulares e irregulares, con el argumento visual indicado, además de hacer uso de la

designación de los vértices que componían las figuras en cuestión. De la misma manera,

el nivel alcanzado en promedio por los dos primeros procesos que conciernen a la

clasificación y comparación; mostraron una razón de éxito satisfactoria de 25/30

estudiantes. Por el contrario, en el último, el cual está relacionado con la coordinación de

los registros semióticos figural y de lengua natural, bajó un poco a un rango medio de

22/30. Véanse las figuras 5-3 y 5-4 las cuales son los ejemplos representativos de la tarea

T2.

Figura 5-3. Evidencia 1 de las producciones de la T2-Nv1.

En la figura 5-4, se puede observar que el estudiante, realizó bien la designación de las

seis figuras y logró diferenciar las figuras regulares de las no regulares. Es preciso señalar,

que esta tarea tenía como trasfondo valorar la capacidad de los estudiantes para hacer

explicitas sus descripciones, teniendo como excusa a la propiedad de clasificar como

irregular o no la forma de una figura geométrica, utilizando expresiones como: “no

coinciden sus lados, sus lados son distintos o sus lados no son iguales”. En virtud de esto,

Capítulo 5 149

se puede inferir que la comprensión de ese criterio de regularidad se relaciona con la

noción de medida.

Por otro lado, en la figura 5-4, se observa que el estudiante realizó la designación y

clasificación de las figuras, pero no volvió a recurrir a ellas. De hecho, menciona que el

polígono de siete lados es un heptágono lo cual es correcto y deja en evidencia una

suficiente apropiación de los criterios para clasificar las figuras planas. Además, cuando

realiza las respectivas descripciones de las tres figuras discriminadas como irregulares,

cuando describe por qué estas tienen lados con diferente medida, es posible decir que,

desde la visualización que, sin necesidad de medir con una regla para asignar una medida

que efectivamente esa característica resalta al comparar los segmentos. Se resalta el

hecho que este caso fue el que menos se presentó en los estudiantes.

Figura 5-4. Evidencia 2 de las producciones de la T2-Nv1.

De la misma manera, ocho de los estudiantes recurrieron a este tipo de solución, lo que

permite inferir que al ser la designación de las figuras un proceso relativamente nuevo para

ellos es difícil que se realice su apropiación e implementación y requiere de más

acompañamiento por parte del profesor-investigador. En el caso de la tarea T3 alcanzó

una razón media de 25/30 de estudiantes, lo que permite ubicarla como la tarea en la que

mejor se desempeñaron los educandos. Tomando esto en consideración, se puede afirmar

que, a diferencia de las anteriores tareas, esta contaba con un ejemplo que guiaba el

proceso de resolución, es decir, hacía las veces de una modelación continua y ese

elemento de control visual fue potente, para guiar a los estudiantes en el camino de

diligenciar el llenado de las celdas de las respectivas tablas. Así mismo, al evaluar los



procesos, se evidencia que en lo que compete a comparación, clasificación y

descomposición, permanecieron en un nivel satisfactorio de 25/30 estudiantes, mientras

que el último bajó a 24/30. Ver sustento de algunas producciones de los estudiantes en la

figura 5-5 y 5-6:


la T3-Nv1.

De la figura 5-5, se puede mencionar 25 de 30 estudiantes resolvieron la tarea de esta

manera, y que la solución a la que llegó el estudiante responsable de la evidencia es la

misma que se presentó en los análisis a priori del capítulo anterior. Del mismo modo, se

puede afirmar, que faltó ejecutar la designación de los lados, y a las diagonales les faltó

trazar la línea indicativa de segmento, es decir, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Salvo ese detalle no se aprecia aluna

dificultad para la solución de cometido. Ahora bien, en la figura 5-6, el estudiante procedió

de manera distinta para el trazado de las diagonales del hexágono. Ciertamente, dichos

trazos son considerados en la presentación a priori como la solución alternativa, por lo

tanto, el estudiante en cuestión logró percibir un mayor número de diagonales en la figura,

lo cual es una muestra que el ejercicio de la visualización, permite desarrollar diferentes

alcances para cada sujeto.

Capítulo 5 151


la T3-Nv1.

De manera semejante, al hacer una minuciosa revisión de las producciones de los

estudiantes en la última tarea, se pudo concluir que algunos presentan dificultades en el

manejo de instrumentos de medida, dado que distorsionaban las unidades de referencia

dentro del contorno global, esto se debe a que no estaban familiarizados con su uso.

Por otro lado, aunque en muchos casos se logró dar respuesta a lo solicitado, los

procesos visuales muestran que en los alumnos no han construido procesos que les

permitan explicitar de manera habitual sus razonamientos por escrito. En la valoración de

los procesos, el promedio de aciertos en los tres primeros fue de 17/30 estudiantes y solo

11/30 lograron explicitar las soluciones como se propusieron en el capítulo pasado. A

continuación, se presenta algunas evidencias de las producciones representativas de la

tarea T4.



Figura 5-7. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (a).

En la figura 5-7, el estudiante expresó una igualdad en la medida de los segmentos

𝐹𝐺̅̅ ̅̅ 𝑐𝑜𝑛 𝐻𝐸̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐻𝐺̅̅ ̅̅ 𝑐𝑜𝑛 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ lo cual, es una inferencia acertada gracias a que se puede

visualizar la representación del rectángulo EFGH. Cabe señalar que, para hacer esa

deducción, seguramente se apoyó en el fondo cuadriculado, además, hizo uso de su lógica

para sumar después las medidas y dar solución al ítem de la tarea. De la misma manera,

el estudiante que desarrolló la tarea de la figura 5-8, hizo más explícitos sus pensamientos,

a partir de la visualización que realizó en la figura lo que evidenció en una descripción más

detallada.

Figura 5-8. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (a).

Capítulo 5 153

Para el ítem (b) de la tarea T4, (figura 5-9), el análisis permite afirmar los siguiente: 1)

no realizó ninguna clase de marcación visual o recubrimiento de la unidad de referencia

sobre la figura rectangular EFGH, y 2) mencionó que la unidad ABCD cabía o estaba

contenida 15 veces en el rectángulo dado. Véase la evidencia de lo mencionado se puede

ver en la figura 5-9.

Figura 5-9. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (b).

Haciendo referencia a la figura 5-10, se puede afirmar que los estudiantes iniciaron el

ejercicio comparando el rectángulo EFGH con el del ítem (a), lo midieron con la regla, y le

hicieron unas “marcas visuales” a través de líneas punteadas, con el propósito de hacer el

conteo de las cuadrículas que se “asemejaban a la unidad de referencia”, tal y como se

muestra a continuación:

Figura 5-10. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (b).



La figura 5-11, muestra un caso en el que la unidad de referencia utilizada es el triángulo

ABC.

Figura 5-11. Evidencia 1 de solución de la T4-Nv1 ítem (c).

La figura 5-12, muestra el mismo ítem “c” en el que se observa que el estudiante, logra

inferir la respuesta por asociación con el ejercicio anterior, demostró poca habilidad en el

manejo de la regla, con la consiguiente distorsión de la medida. Tomando esto en

consideración, se le dio la oportunidad de volver a intentar el ejercicio, esta vez, con ayuda

de la cuadrícula como elemento de contraste. Así que, esto implicó bajar el grado de

dificultad de la tarea. Cabe destacar, que el estudiante recurrió al conteo para mostrar que

efectivamente había 30 unidades de referencia contendías en el rectángulo EFGH.

Capítulo 5 155

Figura 5-12. Evidencia 2 de solución de la T4-Nv1 ítem (c).

5.2.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del primer nivel de aprendizaje

En la primera tarea se detectaron algunos casos puntuales en el que se realizaba la

designación de los vértices de la figura geométrica, introduciendo elementos como: uso de

minúsculas, guiones, comas o puntos entre cada letra. Si bien, esto es una falencia de la

actividad cognitiva que se está estudiando, no desmerita el hecho que los estudiantes

lograron ver las figuras internas, como parte de la configuración geométrica de la tarea T1,

tal como se aprecia las figuras 5-13, 5-14 y 5-15.

Figura 5-13. Evidencia 1 de un uso inadecuado de las reglas de la designación.



Figura 5-14. Evidencia 2 de un uso inadecuado de las reglas de la designación.

Figura 5-15. Evidencia de un obstáculo en la designación del círculo.

Adicionalmente, dentro de las hipótesis surgidas a partir de los análisis a priori en la

presentación de los diseños, se pensó que el círculo que está presente dentro de la

configuración figural de la tarea T1, representaría un mayor esfuerzo cognitivo para los

estudiantes a la hora de realizar su designación. En ese sentido, algunos escribieron: “no

hay vértice”, lo cual revela la necesidad visual y lógica de los estudiantes de ver un vértice

o un punto. Además, se pudo inferir que algunos alumnos no sabían cómo designar el

círculo.

En la cuarta tarea se presentaron varios casos en que los estudiantes no conservaron

la medida de referencia para hacer el recubrimiento de un contorno rectangular EFGH. En

consideración de esto, se intuye que los estudiantes usualmente en sus clases de

Capítulo 5 157

geometría no usan instrumentos clásicos para medir, quizás solo lo hayan hecho en tareas

esporádicas, por lo que se tomó la decisión de volver a realizar la aplicación de la tarea

T4, pero con una instrucción guiada. Véanse ejemplos de la situación referenciada:

Figura 5-16. Evidencia 1 de la distorsión de la conservación de la unidad de medida.

Como puede observarse en la figura 5-16, el estudiante responsable de esta producción

no usó la regla para realizar el trazado de los segmentos. Del mismo modo, intentó dejar

unas marquillas en los lados del rectángulo EFGH, los cuales aparentemente le servían

para visualizar las cuadrículas. Sumado a esto, ignoró completamente la conservación de

la unidad de referencia y pasó por alto que los triángulos representados no son los mismos.

Para el caso de la figura 5-17, es muy notable la no conservación del triángulo ABC,

como unidad de medida referencial. Ahora bien, aunque el estudiante efectivamente

realiza el recubrimiento del rectángulo, una vez que se acerca al lado 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ , a este, le queda

faltando una pequeña parte de la superficie por recubrir, y en ese caso el estudiante

interpreta que, como ya formó los 15 cuadrados ABCD, dentro de la superficie EFGH esa

pequeña área la puede ignorar porque el joven posiblemente al estar pensado en el ítem

anterior ya se pudo anticipar a que los cuadrado formados se pueden subdividir en 30

triángulos ABC y con eso es suficiente para responder correctamente el ítem (c) de la tarea.

Dejando de lado, el hecho de que esa pequeña superficie que no recubrió bien también

formaba parte del área.




Es preciso subrayar, que se encontró un solo caso crítico en el desarrollo de esta tarea,

en el que no se logra realizar un recubrimiento total de la superficie del rectángulo EFGH.

Ciertamente, se infiere que el estudiante ha hecho un intento por trazar unas líneas que

sirvan de guía, para construir las cuadrículas necesarias con el propósito de cubrir toda la

longitud de los segmentos. Adicionalmente, aunque se le hubiera dado más tiempo para

trabajar, es evidente que no hubiera podido llegar a una respuesta correcta, lo cual se

corrobora visualmente.


Se rescata de las producciones de las figuras 5-16, 5-17 y 5-18, la recursividad que

cada individuo en su momento implementó para hacer marcas visuales (líneas punteadas,

trazos continuos entre lados paralelos, numeración de unidades de medidas). De hecho,

esta capacidad les permitió a los estudiantes disminuir la dificultad del trazado del

recubrimiento y realizar más rápidamente el conteo de las unidades de referencia. Por lo

Capítulo 5 159

tanto, no se debe considerar como erróneas los casos en que ignoraron una parte del

contorno que no se logró recubrir. Cuando eso ocurrió, se les dio un nuevo rectángulo

EFGH con fondo cuadriculado para que comprobaran que las medidas realmente

calzaban. Como parte de la medición en estas tareas.

5.2.2 Reflexión de cierre del primer nivel de aprendizaje

Como una reflexión, al observar y analizar las diferentes dificultades y obstáculos en

cada tarea, se llegó a la conclusión que el docente debe ser muy cuidadoso en el uso de

su discurso, cuando enseña los objetos matemáticos y enuncia los tratamientos que se

deben realizar en un mismo registro. Así pues, debe asegurarse de involucrar a los

estudiantes cuando realiza una conversión (paso del registro figural RF al de lengua natural

RLN) pues, en muchas ocasiones los estudiantes dan por “obvio” que sus respuestas son

evidentes para el profesor.

También se debe considerar el hecho que, los errores en la designación de las figuras

geométricas planas pueden ser una posible mal interpretación de los estudiantes, o que,

no estaban acostumbrados a este tipo de actividad discursiva en las figuras. cuando el

profesor enunció las reglas, estas no fueron claras para ellos. Complementariamente, el

uso de instrumentos como la regla, se debió reforzarse antes de continuar con el siguiente

nivel, por lo que la introducción de un elemento de control visual como son las cuadrículas

será fundamental en el ejercicio subsiguientes. Cabe añadir, que en la última tarea de este

nivel se vio reflejado la afirmación que realizan investigadores como Brown, Carpenter,

Kouba, Lindquist, Plata y Swafford, (1988) citados por Marmolejo y González (2015b) “los

estudiantes tienen problemas para comprender el área como la suma de sus partes” (p.49).

Lo cual es un elemento clave para reflexionar sobre la conservación del área.

5.3 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el segundo nivel de aprendizaje

La estructura del segundo nivel de aprendizaje concibe los procesos de la siguiente

manera: la comparación se refiere a que el estudiante deberá distinguir visualmente entre

el área y el perímetro en una misma figura. Así mismo, no deberá descuidar el uso de las

designaciones dirigidas a referenciar las figuras que se enuncian en sus explicaciones. En

cuanto al proceso de clasificación y/o comparación, estos se refieren a que deberán buscar



la manera de “armar” una configuración que se ajuste a un contorno figural dado, e ir

verificando el cumplimiento de las condiciones necesarias de determinada tarea.

Por otra parte, el proceso de descomposición o reconfiguración va sujeto a las

aprehensiones visuales, específicamente a las aprehensiones mereológicas y

posicionales. Es preciso señalar, que estas están registradas en la hoja de trabajo y

descritas por cada uno de los estudiantes. Como cierre de la tarea, se introduce un trazo

adicional en una figura plana elemental, con el propósito que el niño haga el ejercicio de

describir el proceso de descomposición de la figura inicial, y en ese nuevo escenario,

pueda visualizarla como dos áreas diferentes, con el correspondiente uso de las

designaciones que hará las veces de una función referencial cuando describa sus

procesos. En la tabla 5-3, se establece una cualificación media de la valoración de los

rendimientos en cada una de las tareas:

Tabla 5-3. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el segundo nivel de

aprendizaje.

Procesos


reconocimiento

Descomposición y/o

Reconfiguración


Nivel de

Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

II

T1 x x

T2 x x x x

T3 x x x x

T4 x x x x


De la tarea T1 se destaca que, si bien no se les solicitó una descripción en el registro

de lengua natural, dirigida a hacer un contraste de las interpretaciones de la visualización

de área y perímetro de una figura, la tarea dejó ver que los estudiantes en una razón de

28/30, la resolvieron sin problemas. En efecto, los procesos de comparación y de

reconocimiento alcanzaron un nivel satisfactorio para la mayoría del grupo. Una muestra

de ello se puede apreciar a continuación:

Capítulo 5 161

Figura 5-19. Evidencia de solución de la T1-Nv2.

En el caso de las dos tareas siguientes, el colectivo de estudiantes asumió este ejercicio

como un juego, el mismo que simultáneamente tenía visos de reto. En virtud de esto,

específicamente en el caso de la tarea T2, se logró dar con las soluciones en uno o dos

intentos, y solo un par de ellos no ejecutó el recubrimiento total de la superficie con el

molde. En cuanto a los tres primeros procesos, se alcanzó un nivel satisfactorio de 28/30

estudiantes, aunque las descripciones no fueron muy completas. Se pudo apreciar

finalmente, que la manera en que cada estudiante describió sus procesos marcó

tendencias. Por ejemplo, la figura 5-20:


En la producción referenciada en la figura 5-20, se muestra una lista de pasos

considerados por el estudiante, en el que se ha considerado el hecho que el molde debía

tener movimiento, dado que su posición original, no permitía recubrir la superficie. De

hecho, puede observarse que las demás descripciones, giran en torno a esa condición,

salvo la última, donde se explicita que la tarea debió construirse visualmente con moldes



de diferente color (unidades arbitrarias de medida de área), lo que es un indicador que

para algunas personas el juego de contrastes o uso de tonos distintos favorece la

visualización.

Contrariamente en el caso de la figura 5-21, no fue necesario asignar colores al molde,

y a diferencia de la evidencia anterior, se logró dar respuesta a la tarea con un tratamiento.


Para el caso que se muestra en la figura 5-22, el estudiante consignó hallar (la cantidad

de unidades arbitrarias de medida del área) que tuvo que emplear para rellenar por

completo el contorno dado. Cabe señalar que, aunque sus explicaciones no son muy

completas o claras, se pudo inferir que lo hizo a medida que realizaba la tarea.


Capítulo 5 163

Dentro de las particularidades de cada descripción, se aprecia que: a) los alumnos

asumen e interpretan que la posición original del molde necesariamente debe cambiarse

para dar cumplimiento al objetivo trazado, b) se valieron de una regla para replicar el molde

dentro del contorno, lo cual evidencia una mejoría respecto al ejercicio anterior de la tarea

T4-Nv1. Adicionalmente, usaron el color como un factor potenciador de la visibilidad. Del

mismo modo, lo aplicado en esa tarea, fue replicado en la tarea T3, es decir, se apoyaron

en los procesos visuales.

En las figuras 5-23, 5-24 y 5-25, se presentan tres tipos de soluciones, cada una con

una configuración de moldes distinta, lo que refleja diversas maneras de visualizar y de

construir configuraciones geométricas aplicadas a un mismo contorno, en este caso, el

cuadrado ABCD. Efectivamente, se evidencia el carácter individual que tiene la actividad

cognitiva de la visualización para cada sujeto, donde la diferencia fundamental radica en

las explicaciones o descripciones de los participantes.

Para el caso de la figura 5-23, se evidencia que el estudiante usó el artificio de ubicar

cada molde, conservando la numeración correspondiente. Adicionalmente, se observa que

empleó nueve de ellos y que la configuración del contorno correspondía a un área de 25

cuadrículas, de donde se infiere que este, leyó claramente la cantidad de cuadrículas que

constituía cada forma.

Figura 5-23. Evidencia de algunas de las soluciones de la T3-Nv2.

En la figura 5-24, se evidencia la capacidad de síntesis a la hora de describir los

procedimientos. Conviene señalar, que en este caso el estudiante, a partir de la



designación de los lados del cuadrado, alcanzó el recubrimiento de los moldes empleados

para solucionar la tarea en la que se empleaban unidades arbitrarias de medida de área.

Figura 5-24. Evidencia de algunas de las soluciones de la T3-Nv2.

De igual manera en la figura 5-25, se aprecia que el estudiante además de realizar bien

los tratamientos figurales describió las acciones haciendo uso correcto del registro de

lengua natural. Adicionalmente, se percibe que a medida que este recubría el contorno

ABCD con los diferentes moldes (unidades arbitrarias de medida de área), cuando fue

necesario, realizó ajustes.

Figura 5-25. Evidencias de algunas de las soluciones de la T3-Nv2.

Al analizar la tarea de cierre del segundo nivel de aprendizaje, se esperaba que en la

tarea T4 los estudiantes hicieran el trazado del segmento al que era necesario acudir, para

dar solución a la descomposición figural. Si bien, 24/30 de ellos, realizaron bien la

Capítulo 5 165

designación de los vértices, usando el citado trazo suplementario, en las descripciones

omitieron las designaciones de los puntos necesarios para referenciar las nuevas formas

configuradas, a pesar de que, tenían la posibilidad de apoyarse en el elemento de

dimensión cero que fue incluido intencionalmente. Así mismo, en la figura 5-26, el aprendiz

realizó efectivamente los trazos de los segmentos, apoyándose en la inclusión de puntos

que el después libremente designó, con el propósito de explicitar las subfiguras que se

conformaban según fuera el caso.

Figura 5-26. Evidencia de muestra de una de las soluciones de la T4-Nv2.



5.3.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del segundo nivel de aprendizaje

En la tarea T1 después de la aplicación, se hallaron un par de producciones como se

aprecia en la figura 5-27, el estudiante colorea de amarillo lo que considera que es el área

del triángulo ABC, y además manifiesta: “esta es la cantidad de la figura”. En ese sentido,

quizás haya sido una idea que quedó incompleta o que, en sus imágenes mentales, asocia

la superficie que se encuentra encerrada con la noción de área. Paralelamente, expresa

que el perímetro viene siendo “toda la figura y su borde”, por lo tanto, da a entender, que

el perímetro contiene al área, desde lo visual. Puede ser que en el nivel pasado la distinción

entre la medida lineal y bidimensional no quedó muy clara para el estudiante.

Figura 5-27. Evidencia 1 de casos con variantes en la T1-Nv2.

En cambio, en la figura 5-28, el segundo estudiante alteró la designación en que estaba

referenciado el triángulo ABC a CBA. Cabe señalar, que a los estudiantes se les explicó

que no debían cambiar las referencias iniciales con que se designan los objetos así sean

únicos, en aras a que no se pierda la congruencia de la consigna con la conversión

realizada por el interpretante. Véase lo explicitado a continuación:

Figura 5-28. Evidencia 2 de casos con variantes en la T1-Nv2.

Los hallazgos detectados para la tarea T2, se pudo observar dos situaciones en la que

los estudiantes recurrieron a unas “marcas visuales” que caben dentro de la denominación

Capítulo 5 167

de índices según los elementos de control visual. Por un lado, la primera evidencia es un

equivalente de los moldes que se usan para ir recubriendo el contorno.

Figura 5-29. Evidencia 1 de los casos con variantes en la T2-Nv2.

Por otro lado, en la figura 5-30, las flechas se pueden interpretar como las rotaciones

que tuvo el molde. En particular, se nota en este segundo caso que, quedaron unos

espacios que no empatan, porque no fue totalmente recubierta la superficie de la figura.

En ese caso no se logró dar con el acoplamiento.

Figura 5-30. Evidencias de casos con variantes en la T2-Nv2.

Curiosamente en ambos casos, no se menciona la cantidad de moldes que emplearon

los aprendices para el recubrimiento de las figuras. En ese sentido, se puede interpretar,

que los chicos sabían que más que dar con la respuesta, era más significativo realizar la

tarea y explicarle al profesor lo hecho.



Otro rasgo encontrado en las producciones de esta tarea (figura 5-131), es que el

estudiante toma el molde, lo referencia como “molde más pequeño” y esa información la

asimila como válida, en vez de intentar la designación de los vértices de este. Así mismo,

concluye que el molde está compuesto por tres cuadrados que, si bien no los marca, esto

le permite resolver la tarea como se puede apreciar:

Figura 5-31. Evidencia de un caso de casos con variantes en la T2-Nv2.

Para la tercera tarea presentada en la figura 5-132, es preciso mencionar, que el

estudiante no logró dar con un acomodamiento de los moldes que le permitiera rellenar

completamente el cuadrado ABCD, por más que empleó los colores como factor de

visibilidad. Sin embargo, fue consciente de ello y lo expreso en el espacio de registro, lo

que indica que puede darse el caso que la visualización en el grupo de estudiantes viene

desarrollándose de manera cuasi homogénea, solo que algunos de ellos, requieren de más

tiempo en el desarrollo de tareas específicas. Ver figura 5-32:

Figura 5-32. Evidencia en que falto una cuadrícula para recubrir la superficie en la T3-Nv2.

Capítulo 5 169

Para cerrar el nivel, se presenta una situación como la evidenciada en la figura 5-33,

donde el estudiante realiza una descripción muy pulida y cercana a lo pretendido en las

soluciones a priori, pero con la salvedad, que no hace una referencia de la figura de partida,

a pesar de haber hecho la correspondiente designación.

Figura 5-33. Evidencia donde faltó una cuadrícula para recubrir la superficie en la T4-Nv2.

También se destaca la manera en que se hace referencia a lados y vértices. Se

evidencia entonces, que el estudiante está empezando a apropiarse de elementos propios

del lenguaje disciplinar. En ese sentido, se puede inferir que se debe a que este ha estado

atendiendo la manera en que el profesor da las explicaciones a partir de un apropiado

lenguaje matemático. Por consiguiente, se ha generado una coordinación visual y cognitiva

de la escritura de esos elementos semióticos.



5.3.2 Reflexión de cierre del segundo nivel de aprendizaje

Como resultado de la segunda implementación, en este grupo de tareas las

producciones de los estudiantes permiten afirmar, que alcanzaron a desarrollar elementos

de dominio relevantes. De hecho, se han comenzado a movilizar elementos de

visualización matemática, específicamente en el afianzamiento de una aprehensión

perceptual, a través de una forma de ver no icónica. Esto se debe a que el aprendiz ha

logrado visualizar la solución de unas tareas que requieren una descomposición

mereológica homogénea y otras de tipo heterogéneo, las cuales han desarrollado con

éxito. Adicionalmente, se evidencia que ellos lograron realizar rotaciones y traslaciones de

forma que debían empatar en un contorno determinado y en ciertos casos con condiciones

prestablecidas. Todo lo anterior coincide con lo manifestado en la investigación de

Caviedes et al. (2019), de igual modo se aprecia que las tareas trabajadas invitan a la

reflexión de la comprensión de la conservación de la medida del área como un paso

preliminar pero obligado de la medida de esta, tal y lo como expresan Mather y Beattys

(1986) citador por Marmolejo y González (2015b).

También lograron dar un primer paso hacia la descomposición de figuras de igual

dimensión. En ese sentido, al realizar el trazo de un segmento cuya ubicación debían

inferir, y luego designar las nuevas configuraciones surgidas, se logra componer la figura

identificada inicialmente. En efecto, el paso de visualizar trazos independientes, se le

considera como un salto para posibilitar la resolución de problemas que requieran

establecer relación con propiedades geométricas.

Otro punto por considerar es que aún persisten dificultades para designar los objetos y

descubrir las relaciones existentes entre ellos. En este aspecto es posible afirmar que, han

mejorado mucho en cuestiones de la designación de las figuras geométricas y ha quedado

claro al menos visualmente, el significado del área y del perímetro en una figura

geométrica. Sin embargo, tales descripciones muestran que los estudiantes organizan

cortas proposiciones, pero que tales explicaciones aún no llenan la necesidad de

argumentar o razonar para justificar dichas acciones.

Capítulo 5 171

5.4 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el tercer nivel de aprendizaje

Para este nivel de aprendizaje las tareas diseñadas giran en torno al trabajo con área

de figuras sombreadas. En este nuevo escenario, los procesos se asocian a esta temática

de la siguiente manera: por un lado, en la comparación se hace el hallazgo de la relación

parte-todo, o según sea el caso, se contrastan regiones sombreadas, para descubrir cuál

es mayor. Por otro lado, el proceso de reconocimiento está ligado con el de

descomposición / reconfiguración, porque, los estudiantes deben realizar algún trazo

auxiliar o señalamiento, para hallar el área de unas figuras a las que se les deben realizar

modificaciones, en aras a que alcancen la igualdad con la figura modelo. Agregado a esto,

se debe relacionar una región sombreada con otra que no lo es, y hallar su equivalencia

numérica.

Del mismo modo, el proceso de coordinación está asociado con el manejo de los

registros figural y de lenguaje natural, los mismos que los estudiantes han usado cuando

planteaban sus explicaciones y/o procedimientos. En la tabla 5-4, se muestra una síntesis

de la valoración de los resultados en cada una de las tareas.

Tabla 5-4. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el tercer nivel de

aprendizaje.

Procesos


reconocimiento

Descomposición y/o

Reconfiguración


Nivel de

Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

III

T1 x x x x

T2 x x x x

T3 x x x x

T4 x x x x

T5 x x x x


La tarea T1 abre el tercer nivel de aprendizaje, en un intento de articular esta, con la

tarea de cierre del nivel anterior. Conviene mencionar que, en esta tarea, se les solicitó a

los estudiantes que hicieran uso de los elementos trabajados como la designación y la

realización de trazos suplementarios, para determinar el área sombreada que comprende



cada caso. Los procesos de comparación, reconocimiento y reconfiguración quedaron

ubicados en un nivel medio, con una razón de 15/30 estudiantes, mientras que el proceso

de coordinación se mantuvo por debajo en una razón de 9/20.

La muestra más representativa de la tarea T1 se decidió analizar en cuatro partes. Dada

la complejidad de la tarea, se analizaron algunos aspectos interesantes. Por ejemplo, en

la figura 115 se aprecia que, en la primera silueta, el estudiante recurre a realizar el trazo

de dos rectas, las cuales nombra en su descripción, las mismas que se intersecan en el

punto C. Merced a esto, la solución a priori esperada, coincide con la del estudiante, razón

por la cual, él da por sentado, que con esos elementos se puede ver que el área sombreada

es equivalente a 1

2,.

Ahora bien, en el caso de la segunda figura, el estudiante mencionó que denotó los

vértices del cuadrado MONT, afirmando que está divido en cuatro partes y dos de ellas

están sombreadas, lo cual es correcto. Así pues, cuando ponemos en contraste ambas

soluciones, en una se recurrió a elementos extras para mostrar lo que el aprendiz

visualizaba, mientras que, en el segundo caso bastó con la designación para dar con el

área sombreada. Es preciso señalar que se hizo con la expresión fraccionaria 2

4, la cual es

equivalente a 1

2,. Véase sustento a continuación:

Figura 5-34. Evidencia (1A) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una

relación parte-todo en la T1-Nv3.

Capítulo 5 173

La tarea T1 continúa con un paralelogramo. El estudiante en cuestión, al igual que otros,

designaron la figura para después proceder con el seccionamiento de ella. Cabe señalar

que esta quedó dividida en seis fracciones, partiendo del triángulo sombreado NST. Con

respecto a este, si bien se logra visualizar y referenciar, el estudiante no lo hace en su

descripción, aunque su razonamiento desde la visualización es correcto, tal como se

aprecia en la figura 5-35.

Figura 5-35. Evidencia (1B) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una


Con respecto a lo descrito en esta figura, la solución que presentó el estudiante para la

silueta DERL, consistió en realizar tres trazos auxiliares acompañados de su designación,

procedimiento que condujo a dificultades para encontrar la verdadera equivalencia de la

región sombreada. Se le abona que, en su breve descripción, designa los triángulos

sombreados y los referencia, llegando a un razonamiento que es acertado, cuando deduce

que la figura DERL se divide en 8 partes.

Como consecuencia de la descripción anterior, se desprende el razonamiento en la

figura geométrica que acompaña la figura 5-36, se puede ver con claridad que el estudiante

realiza muy bien los trazos auxiliares para subdividir el contorno de la figura en doce partes.

Tomando esto en consideración, se observa que surgen problemas cuando este se

enfrenta a la reconfiguración de la figura JBZI debido a que esta, es equivalente a dos



cuadrículas y junto con los triángulos que logró designar, formarían una razón de 4

12 y no

de 3

12.

Figura 5-36. Evidencia (1C) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una


Por último, tenemos que, en la sexta figura de la tarea T1, el estudiante hace efectivo

el trazado de las rectas que dividen al triángulo que se designó como NER. Seguidamente,

hace un conteo de los diferentes subtriángulos que configuran el contorno global y un cierre

de la descripción, diciendo que el triángulo sombreado KET efectivamente representa una

fracción de dieciséis.

Figura 5-37. Evidencia (1D) representativa del trabajo con áreas sombreadas desde una


Para la tarea T2 se plantearon tres situaciones en las que, debían realizarse una serie

de tratamientos figurales para reorganizar las siluetas. En esa dirección, la búsqueda

consistió en comparar las áreas sombreadas equivalentes. Los procesos visuales de

comparación y reconfiguración obtuvieron una razón de 17/30 estudiantes y fue la tarea

que causó mayor dificultad para coordinar las descripciones, llegando solo a 13/30 con los

pasos válidos. Una muestra de ello se aprecia en las figuras 5-38 y 5-39 que fueron las

soluciones más frecuentes de esta tarea.

Capítulo 5 175

Figura 5-38. Evidencia 1 representativa de la T2-Nv3.

En la anterior ilustración se pudo observar, que el estudiante recurrió al uso de flechas

indicativas de los movimientos que iba realizando paulatinamente, con el propósito de

acomodar las partes. Así mismo, en las tres situaciones, se puede inferir que analizó que

fracción o parte de la unidad de referencia, era el contorno del cuadrado ABCD.

Efectivamente llegó a la respuesta esperada, pero el único indicio que se encontró en sus

registros fue la designación de la región sombreada que configuró. Sin embargo, no hay

evidencia que realizara una descripción como tal, de los procedimientos visualizados. En

la figura 120, este estudiante siguió con el mismo patrón de resolución, y, además dejó

evidencia visual de la utilización de unas fechas para indicar los movimientos de rotación

o traslación, en aras de aglutinar las regiones sombreadas. Tal producción es interesante,

debido a que, la representación en el registro figural es muy clara, a pesar de no ir

acompañada de un texto que complementara o describiera sus procedimientos.




Conviene señalar, que el estudiante llega con facilidad a la conclusión esperada, la cual

es que cada región sombreada es equivalente a 1

2 del cuadrado ABCD, si se tiene en

cuenta que, elementos visuales de apoyo como flechas y trazos auxiliares, comienzan a

hacer parte de los recursos que apoyan la visualización de los estudiantes.

Ahora bien, en la tarea T3 la tendencia se orientó al desarrollo visual, en base al registro

figural. En gracia de esto, muchos estudiantes, el 24/30, han optado por explicitar sus

procesos de esta manera, quizás porque se sientan más cómodos debido a que su

estructura cognitiva, permite que evolucione más rápidamente el trabajo con

representaciones figurales y no tanto desde la escritura. Agregado a esto, se evidencia

que, en la oralidad, han demostrado buena capacidad, lo que implica que con las

descripciones o explicaciones relativamente les va mejor.

Cuando se analizó la tarea que se aprecia en la figura 5-40, lo primero que se observó

fue que efectivamente, la hipótesis de solución que se había planteado para ella se

cumplió. Los estudiantes dejaron de lado el uso de las designaciones, y así mismo

buscaron alguna manera de explicitar su forma de ver y resolver la tarea. En esa dirección,

es posible afirmar que los estudiantes fueron capaces de deducir a que equivalía una

cuadrícula, en concordancia con la forma que la relacionaba con su fraccionamiento.


Capítulo 5 177

También se debe señalar que los puntos que se introdujeron sirvieron de guía (véanse

figuras 5-40 y 5-41) para que los estudiantes conjeturaran sobre ellos, pudieran a su vez,

descubrir su utilidad. En virtud de esto, se puede afirmar que los elementos de control

visual que se introducen intencionalmente pueden ser muy efectivos, para apoyar de forma

pasiva los procesos de diseño de tareas en geometría.


Haciendo un balance de la tarea T4, este se puede considerar positivo porque en efecto,

la solución encontrada fue alcanzada por la mayoría de los estudiantes (27/30). Así mismo,

en cuanto a los procesos de clasificar y configurar, se relacionaron con la representación

de media cuadrícula, cuyas dos mitades debían juntarse, para formar una sola, y

contabilizarse junto con las cuadrículas enteras. La razón de acierto fue de 24/30

estudiantes mientras que las descripciones rondaron la razón de 22/30.

En la figura 5-42, se nota que el estudiante, usó el registro semiótico de representación

numérico para contar las cuadrículas enteras y en total encontró 17. Del mismo modo,

paulatinamente fueron tomando las mitades, las cuales fueron “chuleando” como se

aprecia en la evidencia. Es conveniente aclarar que, cada par de ellas al juntarlas formaban

5 cuadrículas y al sumarlas, efectivamente contabilizaban un total de 22 U2.



Figura 5-42. Evidencia representativa de resolución de la T4-Nv3.

Haciendo una comparación de los resultados, es posible afirmar que esta última tarea,

fue la que menor dificultad representó para los educandos. De la misma manera, haciendo

referencia a la tarea T5, se pretendía con esta, poner sobre el tapete el registro figural,

terreno en el que los estudiantes se han vuelto fuertes. Como ya se afirmó, los resultados

de la evaluación de esta práctica muestran que en promedio se sostuvo una razón de

26/30, de los cuales resolvieron con éxito la tarea un total de 23/30, evidenciando avances

en el registro de lengua natural. Los ejemplos icónicos de esta tarea se presentan en las

figuras 5-43 y 5-44.

En la figura 5-43, se puede ver como este estudiante se acerca mucho a la solución

hipotética que se anticipó en los análisis a priori, de donde parte haciendo uso del registro

figural como una manera de contabilizar la cantidad de cuadrículas que compone las

regiones A y B, para después mostrar que son equivalentes. De igual modo hace uso del

producto de las unidades que componen la superficie de trabajo vertical y horizontal y

menciona que son 70 cuadrículas que en total se encuentran representadas y este le resta

las correspondientes 25 cuadrículas que componen la suma de las regiones A y B para

llegar a la respuesta.

Capítulo 5 179

Figura 5-43. Evidencia 1 representativa de resolución de la T5-Nv3.

La producción de la figura 5-44, tiene una ligera variante, que consiste en plantearse

como contabilizar cada cuadrícula en blanco guiándose con un punto. Merced a esto, es

necesario referenciar cuántas de ellas son enteras y cuántas son mitades. Posteriormente

se deben sumar para llegar al mismo resultado que en el anterior caso (figura 124). Al

comparar ambas soluciones, el anterior resultaría más potente, pero eso no quiere decir

que el presentado en la figura 5-44, no sea válido e incluso se muestra más organizado y

eso facilitó mucho su comprensión.

Figura 5-44. Evidencia 2 representativa de resolución de la T5-Nv3.



5.4.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del tercer nivel de aprendizaje

Al entrar a evaluar este nivel dentro de la trayectoria hipotética, se evidenciaron ciertos

obstáculos para las dos primeras tareas, quizás por ser las más complejas en cuanto a la

coordinación de registros. En virtud de esto, es posible inferir que esta situación se debe a

que es necesaria la demanda de un cierto nivel de desarrollo de la aprehensión discursiva,

aspecto que hasta el momento no se ha ahondado mucho en las tareas pasadas.

Por ejemplo, en la tarea T1 no hubo ningún estudiante que lograra dar con todas las

fracciones de área sombreada. En efecto, siempre se presentó dificultad ya fuera en el

caso de la figura cuatro o cinco de la tarea T1, o en la figura 5-45, donde el estudiante

confundió la relación que hay entre las fracciones sombreadas que son cuatro, respecto a

la unidad de referencia que eran las ocho partes. En el resto de la tarea, efectivamente

emplea las designaciones y además consigna las subpartes que fueron visualizadas en la

configuración.

Figura 5-45. Evidencia de aspectos puntuales por atender de la T1-Nv3.

Puede ser que los estudiantes arrastren dificultades desde el pensamiento numérico

cuando necesita realizarse una conversión, si tenemos en cuenta que esta es la primera

tarea que demanda uso de expresiones numéricas fraccionarias de los racionales menores

Capítulo 5 181

que la unidad. Así pues, la conjetura que plantea el docente-investigador en este caso, es

que se debe hacer un esfuerzo para enfrentar esta clase de contenidos y, de esta manera

se disminuye el problema de interpretación de la tarea.

Para el caso de la tarea T2, es necesario mencionar que fue la que causó mayor

dificultad para los estudiantes. Ciertamente se reconoce, que esta tarea, era la más

compleja de reorganizar y en el caso de cinco estudiantes, se dejó en blanco ese apartado

y solo diligenciaron las anteriores tal y como se aprecia en la figura 5-46.

Figura 5-46. Evidencia de aspectos puntuales por atender de la T2-Nv3.

Con el propósito de no dejar esos casos a la deriva, se procedió a mostrar la situación

en el tablero, con la esperanza que alguno de los estudiantes visualizara la configuración.

Ciertamente, uno de ellos, la visualizó y explicó a sus compañeros el procedimiento. Cabe

aclarar, que el docente de aula guiaba la descripción de las explicaciones, mediante la

designación de las regiones sombreadas para que todos siguieran la secuencia que al final

representaría un medio de la unidad. También cabe mencionar que, en las restantes

tareas, los estudiantes omitieron poner las unidades de área determinadas. Véase figura

5-47.



Figura 5-47. Evidencia de uno de los casos en que faltó colocar las unidades de áreas

T5-Nv3.

Finalmente, este aspecto se socializó con el grupo, debido a que fue uno de los

obstáculos identificados por Corberán (1996), y suele ser típico cuando se trabaja con el

contenido de áreas de figuras planas.

5.4.2 Reflexión de cierre del tercer nivel de aprendizaje

Al analizar las producciones de este nivel de aprendizaje, se puede afirmar que la

mayoría de los estudiantes ya han logrado superar la aprehensión perceptiva, que antes

les restringía la identificación de figuras de determinados contornos. Conviene recalcar,

que se evidenció la recurrencia de comparaciones en las que hay visualización

descentrada del contorno global, con el consiguiente reconocimiento defectuoso de partes

y propiedades de las figuras.

En el mismo sentido, sobre las modificaciones de las formas de visualizar las figuras

cuando se trabaja con áreas sombreadas, se encontró en los trabajos, indicios de una

génesis de la aprehensión operatoria y la deconstrucción dimensional. De la misma

manera, aparecen trazos sobre las figuras, los cuales dejan ver rectas o segmentos que

se pueden asociar a ficha figura y que podrán dar partida a otra configuración geométrica.

Capítulo 5 183

Conviene subrayar, que el uso del lenguaje ha tenido una evolución más lenta, dado

que persiste la no introducción de términos especializados, los cuales son reemplazados

por expresiones del uso común. Sin embargo, los estudiantes recurren a formas diversas

de realizar sus descripciones tal y como se apreció en las tres últimas tareas, donde el uso

del registro figural ayudó a conceptualizar sus procedimientos. En ese mismo orden de

ideas, es claro que los niveles de desarrollo de los procesos visuales cuando se logran

coordinar de manera efectiva con un lenguaje disciplinar puede dar muestras más fieles al

despliegue de procedimientos tal y como lo mostraron (D`Amore y Fandiño, 2007).

Otro aspecto que destacar es que los conceptos de compensación y de relación parte-

todo visto con las tareas de áreas se superficies sombreadas, así como las nociones de

reversibilidad y transitividad son fundamentales para el estudio del desarrollo de la

conservación del área, esto último lo corroboran Piaget et al., 1989 citado por Marmolejo y

González (2015b).

5.5 Presentación general de los resultados del grupo de tareas que conforman el cuarto nivel de aprendizaje

Las tareas en este nivel de aprendizaje hacen énfasis en la reconfiguración de figuras

geométricas, en las que se debe comparar si la figura de partida tiene o no igual área y

perímetro que la figura obtenida. De la misma manera, los otros procesos están incluidos

en los pasos intermedios, los cuales deben ser visualizados por los estudiantes cuando se

identifica una figura o se realiza un trazo auxiliar idóneo para descomponer en dos o más

partes una figura plana y transformarla en otra configuración geométrica de igual

dimensión. Teniendo presente las pautas que deben considerarse en el paso a paso de la

construcción geométrica, en la tabla 5-5, se consolidan los rangos por medio de los cuales,

los procesos fueron valorados.



Tabla 5-5. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el cuarto nivel de

aprendizaje.

Procesos


reconocimiento

Descomposición y/o

Reconfiguración


Nivel de

Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

IV

T1 x x x x

T2 x x x x

T3 x x x x

T4 x x x x


En la tabla 5-5, se puede observar que se generó una tendencia a permanecer siempre

en los mismos rangos para los procesos de comparación, clasificación/reconocimiento en

una razón intermedia de 19/30 estudiantes. Así mismo, el de descomposición/

reconfiguración estuvo ligeramente más alto en 25/30. Lo anterior se debe a la naturaleza

descrita anteriormente de las tareas, donde el interés comenzó a centrarse en que los

educandos hicieran buen uso de la regla para sus construcciones geométricas, además de

la escritura, sin tanto uso de deícticos para aludir a enunciarlas figuras que producían.

La primera tarea en su consigna se presenta cuadrado ABCD, para que los estudiantes

con un solo trazo realicen la división de este y lo reconfiguren en un triángulo isósceles,

además de hacer algún comentario acerca de áreas y perímetros. Con ese planteamiento,

los elementos de control introducidos son en su mayoría pertenecientes a la categoría de

la visibilidad, si se tiene en cuenta que el citado cuadrado, cuenta con las designaciones

de sus vértices y sus lados, además de encerrar unas cuadrículas con un contraste menor.

Las soluciones más representativas se pueden ver en las figuras 5-48 y 5-49.

La solución planteada en la figura 5-48, muestra que el estudiante centra

exclusivamente su mirada en la búsqueda del trazo necesario para subdividir el cuadrado

ABCD, y después de eso, enumera los pasos que siguió para reconfigurarlo en un triángulo

isósceles. Cabe anotar, que, respecto al segundo requerimiento, el estudiante no

argumentó nada sobre áreas y perímetros. Es posible inferir que, aunque a simple vista el

área permanece constante, el estudiante pudo pensar que ocurría lo mismo con el

perímetro.

Capítulo 5 185

Figura 5-48. Evidencia 1 representativa de reconfiguración figural T1-Nv4.

Otro caso que se presentó con mucha recurrencia es el que se muestra en la figura 5-

49. En este caso, el estudiante realiza una reconfiguración a manera de despliegue

horizontal, en el que se opta por el trazo de la misma diagonal que se eligió en el caso de

la evidencia anterior, con el resultado que igualmente se llega a la reconfiguración.

Conviene resaltar que el área del cuadrado y la del triángulo isósceles son ambas de 9

unidades cuadradas, lo cual puede aseverarse como afirmación correcta porque las

cuadrículas puestas en el diseño son el sustento visual para hacerlo.

También vale la pena mencionar que este estudiante concluye, gracias a las

cuadrículas, que el perímetro del cuadrado es de 12cm. Cabe anotar que esto indica un

nivel interesante de razonamiento, el mismo que se aprecia cuando menciona que el

perímetro del triángulo isósceles es mayor que del cuadrado. En esa dirección, es posible

decir, que este estudiante tiene un nivel de percepción sobresaliente, si se compara la con

la solución típica de sus compañeros en la evidencia del caso anterior.




Para el segundo cometido, se decidió darle seguimiento al mismo tipo de tarea, pero en

este caso se parte de un paralelogramo EFGH que con un solo trazo debe reconfigurarse

como un cuadrado, e igualmente, se debe aportar algún comentario, respecto a sus áreas

y perímetros. Los casos representativos que se citan en las figuras 5-50 y 5-51, fueron los

predominantes, por ejemplo, en la figura 5-50, el estudiante realiza una extensión de las

rectas que hace las veces de fondo cuadriculado, luego recurre a marquillas visuales para

contabilizar las cuadrículas que compone el paralelogramo EFGH, deduce que son 4

unidades cuadradas, para después hacer el despliegue descriptivo de los pasos que

visualizó.


Capítulo 5 187

En cuanto a los pasos seis y siete, se registran dos conclusiones acertadas: a) se

menciona que el cuadrado configurado, posee las mismas cuatro unidades cuadradas de

área que el paralelogramo EFGH, b) de los perímetros concluye, que tiene mayor medida

el paralelogramo que el cuadrado debido a la contribución de la longitud que tenían los

segmentos 𝐸𝐻̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ . Por otro lado, en el caso de la figura 5-51, optan por descomponer

linealmente la figura de partida hasta dejar al lado derecho la figura a la que tienen que

llegar. Adicionalmente, las descripciones pueden apoyarse en este tipo de desarrollo y

muestra de ello, se da cuando el estudiante menciona que “traslada el triángulo EFH hacia

el triángulo HGF”, pero visualmente “la flecha” indica lo contrario, se entiende la idea que

despliega. También recurrió al uso del registro figural de manera icónica para mostrar que

los perímetros de ambas figuras geométricas eran los mismos, pero sin incluir las unidades

de medida.

Figura 5-51. Evidencia 2 representativa de reconfiguración figural T2-Nv4

Puede ser que visualmente ambos casos den muestra de elementos semióticos

valiosos, pero una coordinación que no esté al nivel del desarrollo del registro figural limita

o puede introducir obstáculos epistemológicos a las descripciones de los estudiantes. En

esa dirección, en la tarea T3 se tiene un caso que sobresale ante las otras producciones

del grupo. Cabe mencionar, que el estudiante en referencia, mostrado destacar en este

nivel de aprendizaje sobre sus compañeros, debido a que sus intervenciones han ido

evolucionando, cuando se socializaba la resolución de cada tarea. La evidencia se

presenta en a la figura 5-52:



Figura 5-52. Evidencia representativa de reconfiguración figural sin elemento de

contraste T3-Nv4.

Ahora bien, la no inclusión del elemento de contraste, caso que sucedió en las dos

tareas últimas, no afecta la visualización del intérprete, cuando este se enfrenta a la

situación de reconfigurar el trapecio ABCD. De igual manera, cuando se sobredimensionan

los puntos de los vértices, para que sobre ellos puedan trazarse segmentos

perpendiculares con respecto a la base del trapecio, esto se presenta como muestra fiel

de la evolución del proceso de visualización.

El empleo de flechas que hacen las veces de índices, dentro de los elementos de control

visual, es recurrente, para los casos de reconfiguración de figuras de igual dimensión. En

virtud de esto, parece ser que intentar suplir dentro de las descripciones, la referencia de

las isometrías como la traslación, por ejemplo, no hace parte aún del léxico que ha de

formalizarse en los discursos de los estudiantes. También se logró un avance al comparar

las áreas de las figuras y deducir que son las mismas. Además, como en este caso no se

tuvo un elemento de contraste, como las cuadrículas, por ejemplo, esto impidió que se

diera una medida numérica de la misma.

Para concluir con este nivel de aprendizaje, tenemos la cuarta tarea T4 donde se

solicita, proceder poco a poco con la solución del cometido. De la misma manera, en

principio se pide que se designen los vértices de la figura poligonal, luego identifiquen las

Capítulo 5 189

subfiguras para después hallen el área de las subfiguras y su suma total. En la figura 5-53,

se tiene la solución representativa del estudiante que es más organizado del grupo.

Figura 5-53. Evidencia representativa de deconstrucción figural T4-Nv4.

Al proceder con los análisis de la producción antes evidenciada, se observa que el

estudiante realizó el trazo más económico de subdivisión del polígono BTSARMYZ. En la

misma dirección, la mayoría optó por esa solución, aunque hubo un caso de excepción, en

el que se realizó la misma división del polígono, visualizando cuatro partes, como se verá

más adelante con la figura 5-53. Es satisfactorio saber, que los estudiantes han aprendido

a elegir los caminos más cortos.

De la misma manera, se aprecia claridad en el desarrollo de toda la tarea, donde prima

la visualización no icónica y la mirada del inventor, ha logrado alcanzar un buen nivel.

Prueba de ello, se aprecia cuando el estudiante coordina de manera adecuada los registros

figurales, cartesiano y de lengua natural, recurriendo a una representación basada en

subfiguras deconstruidas visualmente, sin hacer uso de la designación. Es preciso

enfatizar, que quizás por practicidad y por no cargar visualmente las representaciones

figurales, el estudiante ha dejado el resto del procedimiento para que fuera internalizado,

y el operar, resultare más rutinario.



5.5.1 Hallazgos de aspectos por mejorar del cuarto nivel de aprendizaje

Existen algunos casos particulares que deben ser atendidos, antes de pasar al siguiente

nivel de aprendizaje. En relación con esto, se encontró que en la tarea T1 un estudiante

hizo uso de la regla como instrumento de apoyo para respaldar no solo su construcción

sino para establecer medidas en los segmentos y en los perímetros. Es preciso mencionar

que, esta manera de proceder la realizó tanto en las figuras de partida, como de llegada,

lo cual resultó contraproducente. Cabe decir, que la problemática de la medición puede

significar un obstáculo en los tratamientos figurales tal y como se puede ver en siguiente

figura.

Figura 5-54. Evidencia de caso por aspecto a mejorar en el uso de la medida T1-Nv4.

En la figura 5-54 se puede ver, que en el desarrollo de la reconfiguración del cuadrado

ABCD, el estudiante opta por medir con su instrumento las longitudes de los segmentos y

los designa. Ciertamente, aunque lo hace con letras minúsculas, hace buen uso de las

unidades y cifras que puede darle la regla. Hasta aquí, puede ser que solo midiera un solo

lado y por definición de cuadrado diera por hecha la igualdad de las longitudes. También

se valió de las cuadrículas para decir que el área es de 9 unidades cuadradas, lo cual es

correcto visualmente hablando, entrando en conflicto con las medidas que registró con su

regla.

Capítulo 5 191

Para terminar la reconfiguración, hizo uso de otro color de lapicero, con el propósito de

dejar una marca visual que ubica al triángulo isósceles, el mismo que, debe juntarse con

el que dejó estático y formar así, un nuevo triángulo isósceles. Con respecto a este último

triángulo, el estudiante afirma, que tiene 12 centímetros de perímetro, presentando

conflicto con las medidas que inicialmente tomó. Finalmente, al comparar tanto al cuadrado

inicial como el triángulo final, se afirma que este último tiene mayor perímetro.

Hay que mencionar también que, en el caso de la tarea T4 se encontraron cinco casos

en que los estudiantes designaron correctamente las representaciones geométricas, pero

cuando dividieron las regiones de las subfiguras que componían al polígono inicial, tuvieron

inconvenientes para extraer la información de las medidas de las bases o las alturas como

se muestra en la figura 5-55.

Figura 5-55. Evidencia de caso por aspecto a mejorar coordinar la visualización con

unidades de referenciaT4-Nv4.

Se aclara que cuando se hace mención del “triángulo 1” se afirma que su área es de 2

unidades cuadradas, lo cual es un dato incorrecto, porque su altura es de 2 unidades y su

base es de 1 unidad, por ende, su área es 1 unidad cuadrada. Así mismo, cuando se hace

referencia al rectángulo 4, se menciona que su área es de 4 unidades cuadradas, lo cual

es incorrecto porque realmente es de 8 unidades cuadradas. Es posible inferir que la falla

en la extracción de las medidas se deba a que este tipo de tareas en donde la función

informativa de las figuras está dada en un plano cartesiano, presenta dificultades, debido



a que requiere de mayor concentración y coordinación de registros semióticos de

representación (registro cartesiano, figural, lengua natural).

5.5.2 Reflexión de cierre del cuarto nivel de aprendizaje

Al cierre del cuarto nivel, se evidencia una evolución en el proceso de la visualización,

por parte de los estudiantes. Cabe anotar que esto es debido a que el estudiantado ha

empezado a afirmar una forma de ver no icónica, es decir, que el reconocimiento de las

subfiguras que son producto de trazos reorganizadores en las tareas ya no es suficiente

para realizar modificaciones mereológicas. En ese sentido, los estudiantes están

comenzando a consolidar la aprehensión de tipo operatorio, además de hacer uso de la

mirada del inventor en las tres primeras tareas, identificando con éxito la descomposición

figural.

Los resultados anteriores, han reforzado la hipótesis que es necesario hacer del

lenguaje, específicamente la lengua natural como objeto de enseñanza de las

matemáticas, un asunto de enseñanza no solo en la clase de geometría sino en general

para el área de matemáticas. En efecto, se debe pensar en actividades que permitan a los

estudiantes avanzar en la comprensión a través de operaciones discursivas. En virtud de

esto, pueden superar la etapa de primaria, en la que estaban acostumbrados a una

enseñanza donde primaba lo operatorio y no tanto los descriptivo e interpretativo de sus

producciones.

Otro aspecto central en los desempeños de los estudiantes al dar cierre con la última

tarea se pudo apreciar, desde el análisis de los resultados que los estudiantes logran dar

el paso dimensional. Conviene destacar, que los estudiantes pasan de ver las figuras de

dos dimensiones como unidades figurales, a ver las unidades de menor dimensión que las

conforman. Con esto se quiere decir, que para la mayoría de ellos ya es claro que esos

trazos de menor dimensión constituyen figuras de dimensión superior. Es por eso, que el

uso de la designación y la consigna de los procedimientos se espera que sea más fluida

para adentrarlos al último nivel diseñado de aprendizaje.

Todo lo anterior, es una muestra que pone de manifiesto que la orientación que está

teniendo este trabajo ha hecho que los estudiantes no evidencien serias dificultades para

Capítulo 5 193

aceptar que dos figuras puedan tener la misma área a pesar de tener formas distintas tal

y lo sí lo manifiesta en su investigación Popoca y Acuña (2001) citados por Marmolejo y

González (2015b).

5.6 Presentación general del grupo de tareas que conforman el quinto nivel de aprendizaje

El quinto y último nivel de la trayectoria hipotética de aprendizaje, se espera dar cierre

a este trabajo mediante la introducción de tres tareas que combinan y/o recopilan la mayor

parte de los elementos que estuvieron en relación con los niveles de aprendizaje. Cabe

señalar, que estos son: la designación de las representaciones figurales, la inclusión de

trazos auxiliares suplementarios para descomponer las figuras, la inclusión del registro de

lengua natural en la que se referenciaban los pasos visualizados, entre otras cuestiones.

Así mismo, los procesos que constantemente se pusieron a prueba para ser desarrollados,

se esperaba que se mantuvieran en un rango de desempeño bueno o satisfactorio tal y

como se aprecia en la tabla 5-6.

Tabla 5-6. Balance de los procesos evaluados en los estudiantes para el quinto nivel de

aprendizaje.

Procesos


reconocimiento

Descomposición y/o

Reconfiguración


Nivel de

Aprendizaje 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

V

T1 x x x x

T2 x x x x

T3 x x x x


Al respecto, se puede afirmar, que los estudiantes cumplieron con las expectativas de

desempeño que se estructuraron al final del capítulo tres. De hecho, se llevaron a cabo

tratamientos en los que ellos configuraban o reconfiguraban una figura dada desde el

registro bidimensional. Merced a esto, se pudo extractar información pertinente, para

articular los registros figurales con el registro numérico, cuando era necesario incluir

medidas de las longitudes de los segmentos y poder así, deducir las longitudes

unidimensionales que se concebían como un paso intermedio para determinar el área de



una figura plana. Ahora bien, cuando se habla de procesos transversales, como, por

ejemplo: comparación, reconocimiento, reconfiguración y coordinación, para introducir las

explicaciones de un registro a otro, en la tarea T1 siempre se sostuvo en un nivel intermedio

la valoración de los resultados, con una razón de 23/30 estudiantes.

En la evidencia que se muestra en la figura 5-56, se solicitó determinar el área de la

primera figura, además de realizar tratamientos figurales que permitieran llevar a cabo las

transformaciones figurales que fueran congruentes con la forma de la figura uno, la cual

hace las veces de muestra. En ese caso, cuando no se logra, se debían comparar sus

áreas si es que alguna era mayor que la otra. Para la evidencia en cuestión el estudiante

hizo uso de las cuadrículas que están con un contraste tenue de la primera figura y logró

determinar que efectivamente eran 18 U2.


Continuando con el análisis del caso, el estudiante procede a incluir unos trazos

suplementarios continuos y otros punteados en cada situación, lo que le ayudaba a ver “lo

diferente de cada figura”. Es preciso enfatizar, que esta debía ser modificada para poder

transformar las figuras 2, 3 y 4 de la tarea, en la figura de muestra inicial, acompañada de

su respectiva designación.

Capítulo 5 195

Cuando se procede a ver las descripciones que soportan los tratamientos que están

asociadas al registro figural, se evidencia que en la figura 5-57, el estudiante coordinó bien

lo visualizado con lo descrito, a excepción de cuando hace uso de las rotaciones,

traslaciones y simetrías. En efecto, en ningún caso, se dijo en qué sentido se realizó la

rotación. Finalmente, cuando se trazaron los segmentos continuos y se logró ver la figura

1 en cada caso, se recurrió a la figura hipotética que se configuraba con las líneas

punteadas las cuales siempre debían ser “completadas”.


específica T1-Nv5.

La anterior situación fue recurrente en las tres cuartas partes de los casos analizados.

Ahora bien, otro tipo de solución que se evidenció fue optar por un modelo más gráfico tal

y como se ve en la figura 5-58. En este, se hace un conteo de las cuadrículas en lengua

natural, pero se les registra con una representación icónica para después registrar el área

con las respectivas unidades.




Contrariamente, algunos estudiantes que no hicieron uso del material donde estaban

plasmadas las figuras 2, 3 y 4, optaron por representarlas al respaldo de la hoja. Una

muestra de ello puede verse en la figura 140, para los dos primeros casos vistos de

izquierda a derecha. Conviene mencionar que, se evidencia que las soluciones, son

similares a lo estudiado en el caso anterior, y que la diferencia radica en que para el último

caso se cometió un error de construcción y esto se observa claramente cuando se

compara la figura representada en la evidencia de la figura 5-58, con la figura UZYXWV,

presentada en la figura 5-59 dado que, no son la misma, además de introducir el término

“reflejo”, para hacer quizás uso de la palabra reflexión (isometría). Del mismo modo, se

puede inferir que lo ocurrido puede ser un indicio que la actividad cognitiva de construcción

en los estudiantes tiene ciertas limitaciones, a más aún, cuando se coordina con el registro

de lengua natural.


específica T1-Nv5.

Sin embargo, en general el avance presentado y evidenciado en las muestras

representativas de la primera tarea, dan cuenta de una evolución y transformación del

pensamiento geométrico de los estudiantes. Cabe señalar, que independientemente del

nivel de la tarea, siempre se logró demostrar capacidades. En el caso específico de la tarea

T2, se buscaba trabajar aspectos como la designación, la reconfiguración, la determinación

y, comparación de áreas y deducción de la expresión del área. En ese sentido, los

estudiantes mantuvieron un desempeño satisfactorio con una razón de 26/30 lo que indica

que se logró resolver la tarea cumpliendo con cada pesquisa. Al analizar el proceso que

Capítulo 5 197

desarrolló el estudiante responsable de la producción que se ve en la figura 5-60, al

responder al ítem (a), el aprendiz asume que el área del triángulo AOB es congruente con

las otras tres figuras que componen al rombo ABCD. Así que se puede afirmar que, este

asocia tal configuración como la suma del área de sus subpartes en forma de triángulo

rectángulo y así obtiene los 12 cm2.

Con respecto al ítem (b), el estudiante en la representación del rombo que acompaña

la consigna realiza una superposición de otra figura. Ciertamente, la figura es un rectángulo

cuya área es el doble del área del rombo ABCD. En consecuencia, se puede afirmar, que

el chico enumeró en ocho partes las posibles subdivisiones que componían tal

configuración bidimensional. Así que, después procedió a representar la reconfiguración

del rombo en un rectángulo con cuatro triángulos los cuales designó. Un elemento de

control visual que se introdujo fue el de contraste de tonos o escala de grises, para ayudar

intuitivamente al estudiante en la designación de segmentos y diagonales. En virtud de

esto, el estudiante se está apoyando en ese elemento visual para verificar la congruencia

de las subpartes que componen el rombo. Lo interesante del procedimiento descrito

consiste en que cuando el joven relaciona la cantidad de partes con las subfiguras,

consigna que es una relación de un medio, es decir, deduce que el área del rombo ABCD

debe ser la mitad del rectángulo que numeró. Finalmente, el estudiante recurre a multiplicar

las medidas de las diagonales con el valor agregado de la relación que determinó y así,

dejar por sentado su razonamiento.

Figura 5-60. Evidencia 1 de reconfiguración el área de un rombo T2-Nv5.



El segundo caso más representativo presentado en la tarea T2, se muestra en la figura

142. En este caso, se presenta el área del triángulo AOB, y con ayuda de la representación

de este, se observa que esa representación figural se replica cuatro veces, entonces se

deduce que equivale a 12 cm2 el área total del rombo. Cabe mencionar que, en este caso,

se dispuso el material a colores a diferencia del primer caso general, esto con el fin de

contrastar cómo la variable color vs escala de grises, influía o no en la reconfiguración que

se le dio al rombo ABCD. En efecto, el desarrollo fue distinto y el tipo de reconfiguración,

se acercó más al que se propuso como solución a priori, tal y como se aprecia en la figura

5-61.

Figura 5-61. Evidencia 2 de reconfiguración el área de un rombo T2-Nv5.

Para dar cierre a lo observado en el segundo caso representativo de solución de tarea

T2, se puede afirmar que el ítem (c), presenta una solución idéntica a la del primer caso

general, con la diferencia que se visualizó, sin realizar una superposición del rectángulo

con la representación auxiliar del rombo de la consigna, es decir, esto se hizo mentalmente.

Agregado a esto, lo expresa en lengua natural, lo cual es un proceso más potente

cognitivamente hablando.

Capítulo 5 199

Haciendo el análisis de la tercera y última tarea, esta consistía en aplicar la designación

de los vértices sobre la figural poligonal dada, luego en encontrar y enlistar las subfiguras

y finalmente conformar el contorno global, teniendo presente las líneas que en un inicio

estaban punteadas y así poder determinar el área total de la figura. Las soluciones que se

presentaron se dividieron en dos grupos: el primero estaba asociado a la solución

anticipada o a priori, la cual recordemos que, después de designar al polígono dado, se

determinaba que, con un solo trazo vertical, el cual se podía ver que en total había 4 figuras

las que conformaban el contorno global. Véase la figura 5-62.

Figura 5-62. Evidencia 1 de descomposición figural de un área poligonal T3-Nv5.

En el caso que se referencia, se puede notar que es una tarea típica en que la figura

que acompaña la tarea cumple una función informativa debido a que, en ella existen las

medidas de la mayoría de los lados. Cabe anotar que aquellos que hacen falta por

determinar las medidas de sus lados, requieren hallarse. En ese sentido, gracias a

elementos como la designación, el estudiante logra de forma organizada guiar su

visualización y esto sirve para otorgarle rigurosidad a la estructura que se le quiere dar al

pensamiento geométrico.

Lo anterior apoyó la noción, en la que se logró deducir el valor que le faltaba a la base

𝑚𝐹𝐸̅̅ ̅̅ = 26𝑚 y que el estudiante registró como 𝐻𝐸̅̅ ̅̅ = 2𝑚. Lo mismo pasó cuando en el

ítem (b), se enlistaron las respectivas designaciones de las subfiguras. En este caso, se



hace una especie de anticipación de los datos que se necesita saber, para que en el punto

(c), se proceda a reemplazar los valores de cada fórmula, habiéndolos inferido visualmente

y al final, solo sea cuestión de sumar los valores de área determinados para encontrar en

ese caso el área del polígono ABCDEF.

El otro caso que se generalizó fue uno donde se realizaron dos trazos suplementarios.

Es necesario aclarar, que una vez formadas cinco subfiguras que componían el polígono

JPARMY, se evidenció (figura 5-63), el mismo razonamiento descrito en el caso en que al

tener que ver más figuras geométricas se tuvo que inferir en este caso, más medidas de

longitud de las subpartes visualizadas, llegando igualmente al mismo resultado.

Figura 5-63. Evidencia 2 de descomposición figural de un área poligonal T3-Nv5.

5.7 Reflexión de cierre de la THA para constituirse como una TRA

Al terminar los respectivos análisis de las diferentes producciones representativas que

se dieron por cada nivel de aprendizaje, se evidenció el notable progreso que tuvieron los

estudiantes de grado séptimo de la Institución Educativa Manuel Antonio Sanclemente. En

cuanto a los procesos de visualización que se desarrollaron, poco a poco adquirieron

elementos como: la designación para hacer referencia de los objetos geométricos,

superación de la aprehensión perceptual y profundización en la de tipo operatorio, logrando

Capítulo 5 201

la movilización de los tratamientos figurales en completa sinergia con registros numéricos,

y cartesianos.

Es necesario afirmar que, se colocaron en juego los llamados factores de visibilidad que

en principio influenciaban sus maneras de ver. Posteriormente, estos factores entraron a

formar parte de recursos visuales tales como: el trazo de líneas puntadas para hipotetizar

posiciones de figuras, realizar trazos suplementarios para descomponer figuras en otras

de igual dimensión o formar fondos cuadriculados para establecer una unidad de medida

referencial para el área, etc. Se puede considerar como un diseño de niveles de

aprendizaje exitoso que dieron cuenta de la aprehensión del trabajo del contenido de áreas

de figuras planas. Del mismo modo, se observa que se construyeron y adaptaron tareas

que, desde diferentes perspectivas sirvieron para estimular paulatinamente en los

estudiantes el uso de sus conocimientos. Es preciso mencionar que, gracias a las

decisiones que fue tomando el profesor en el curso del programa, se hicieron los ajustes

necesarios para hacer una mediación discursiva que fuera acorde con el nivel visual y

disciplinar de los jóvenes.

Para cerrar la reflexión particular de esta trayectoria, se puede afirmar, que puede

considerarse como una trayectoria real de aprendizaje, si se tienen en cuenta, las

evidencias citadas a lo largo del capítulo. No está de más añadir, que la estructuración de

cada nivel, puede ampliarse con el diseño de nuevas tareas que ayuden a fortalecer

aspectos en los que se requiere profundizar, por ejemplo: el tratamiento de las isometrías

(rotación, traslación y simetrías), debido a que los estudiantes mostraron ser conscientes

de los movimientos que realizaban las figuras en las reconfiguraciones, pero a la hora de

expresar las descripciones de manera oral o escrita, presentaron una baja apropiación de

ellas.

Cabe aclarar no esos elementos de contenido disciplinar y dentro de las perspectivas

de desarrollo no habían sido incluidas de forma explícita, como un objeto de enseñanza

las diferentes formas de referenciar esos movimientos en las figuras planas porque eso

ampliaría el tiempo que se disponía para poder aplicar los diseños y dado al contexto fue

un limitante que limitaba al profesor-investigador pero que se deja abierto para ser

ampliado por la profesora de aula. Para que continuo con su grupo con su grupo de



estudiantes, aunque esa decisión que está sujeta al contexto en que se desarrolle la

trayectoria de aprendizaje y los tiempos en que se pueda implementar.

6. Conclusiones

El desarrollo del presente trabajo dio lugar a una serie de resultados que, desde la

mirada de quienes estuvieron implicados en la investigación, aportan de manera

significativa a la enseñanza de la geometría y la medición especialmente, al inicio de la

formación de la básica secundaria. Estas conclusiones se dividirán en tres grupos: las

primeras centran la atención en aspectos de cohorte teórico y documental frente al tópico

de áreas de figuras planas desde una mirada semiótico-cognitiva, el segundo grupo tiene

que ver con los elementos que se asociaron al diseño de la trayectoria de aprendizaje que

permitieron la inclusión del objeto matemático de interés y ajustarlo gradualmente a los

niveles de aprendizaje. Por último, se encuentran los avances que alcanzaron los

estudiantes en cuanto a la visualización, para alcanzar la comprensión del trabajo con

áreas de figuras planas.

6.1 Respecto a los elementos de corte teórico y documental

El rastreo bibliográfico que se llevó a cabo para consolidar la base documental de este

estudio, estableció los fundamentos teóricos del diseño e implementación de esta

trayectoria de aprendizaje, la cual permitió avanzar en la comprensión de diversos

fenómenos que están asociados al trabajo de planeación y desarrollo de la clase de

geometría, dado que por un lado, son necesarios elementos teóricos que apoyen los

criterios de orientación, diseños y mediación de las clases por parte del profesor, pero por

otro, se necesitan de fundamentos teóricos en particular, este trabajo resalta la importancia

de aspectos de índole cognitivo que le permitan al educador acercarse a las estructuras

de pensamiento que construyen sus estudiantes.



En ese sentido, el marco teórico que fundamenta esta propuesta investigativa es una

opción sólida y bien estructurada porque está centrada, en primer lugar, en el sujeto que

aprende y en segunda instancia porque está pensada para desarrollar las actividades

cognitivas necesarias y los procesos fundamentales que deben implementar los

estudiantes para comprender los objetos matemáticos, tal como Duval (1999, 2001, 2005)

y colaboradores, plantean en su propuesta teórica semiótico-cognitiva para repensarse el

aprendizaje de las matemáticas, en particular de la geometría en la que se identifica

claramente las actividades cognitivas centrales del aprendizaje de los estudiantes como

son la construcción, el razonamiento y la visualización.

Cuando se estructuró este trabajo se escogió a la visualización por ser una entrada

propicia para el desarrollo de tareas de exploración donde se destacan las heurísticas que

pueden desplegarse cuando se trabaja en geometría, además, la aplicación de la

visualización no solamente es propia de las matemáticas, sino que, también está presente

en otras actividades que son afines a otros campos de conocimiento por su

polifuncionalidad.

En la fase de implementación se pudo ratificar que los estudiantes implicados en esta

investigación, aún no se les había enseñado a ver sobre las figuras, a explorarlas, y mucho

menos a decir algo sobre ellas, lo anterior se confirmó porque al entrevistar de manera

informal a los jóvenes estos concebían a las figuras geométricas con una naturaleza

estática y era otro rasgo que se resaltaba mucho en la literatura que se recopiló. De ahí

qué, surgiera la necesidad por realizar alguna acción que permitiera a los estudiantes

dotaran de sentido las clases de geometría.

El rastreo bibliográfico evidencia que no se puede concebir la enseñanza de ningún

saber en matemáticas sin recurrir al uso de registros de representación semiótica, pues,

en el caso de la geometría la docente de aula que colaboró en este trabajo en un inicio

tenía la noción que, las figuras hablaban por sí mismas y que su uso carecía de elementos

heurísticos como los tratamientos que obedecen a registro figural.

Conclusiones 205

Al mismo tiempo la profesora no realizaba el acompañamiento de un discurso oral o

escrito que describiera los procesos que se ejecutaban sobre las figuras. Por lo que una

vez se inició con el proceso de la alfabetización teórico-práctica alrededor de las clases de

geometría entre el docente investigador y el de aula, se comenzó a implementar la nueva

dinámica de clase y a estructurar los diseños secuenciales de los diferentes grupos de

tareas, que estarían pensados para promover los procesos de visualización en los

estudiantes.

Lo anterior, hizo que la lectura y fundamentación teórica esclareciera la posibilidad de

trabajar sobre tareas ya existentes de diferentes investigaciones que desde la perspectiva

semiótico-cognitiva han abordado el tópico de áreas de figuras planas por ser un objeto de

estudio propicio que exalta matices de a visualización donde los estudiantes comiencen a

incursionar sobre el trabajo del registro figural. En este sentido, las investigaciones

desarrolladas por Marmolejo (2007, 2014), además publicaciones que se generaron de sus

investigaciones como Marmolejo y Vega (2012), Marmolejo y González, (2015), sirvieron

como pilar de esta investigación al poner en juego los factores de visibilidad y elementos

de control visual para el tratamiento con áreas, cuyos aportes se aplicarían en los análisis

a priori y a posteriori del trabajo.

En el caso concreto de la investigación de diseño que es llevada a la práctica resulta

una apuesta acertada más aún cuando se trata de trabajos que en principio, como los ya

mencionados, se desarrollaron teniendo en consideración el contexto nacional colombiano,

por lo tanto, esa cercanía facilitó mucho la comprensión de los aspectos a considerar desde

el conocimiento disciplinar y didáctico.

Todas esas observaciones fortalecieron la propuesta, porque resaltaron el hecho de que

la implementación del instrumento que se diseñara para unas cuantas sesiones suscitaría

en los estudiantes procesos de visualización, pero eso no aseguraría la adecuada

movilización de ellos (procesos visuales y coordinación entre registros) y que el diseño de

las tareas debía necesariamente complementarse con el acompañamiento continuo del

profesor de aula e investigador.



6.2 Respecto al diseño e investigación de la trayectoria y los niveles de aprendizaje

Llevar a cabo el desarrollo de la trayectoria de aprendizaje para realizar un

acercamiento a la comprensión del trabajo con áreas de figuras planas permitió que desde

una aplicación teórico-práctica, se pusiera en juego una serie elementos teóricos de la

perspectiva cómo son: las maneras de ver, las aprehensiones visuales, los factores de

visibilidad y estudiar los elementos que ejercen control visual sobre las figuras geométricas,

todos y cada uno de ellos hicieron parte del proceso de diseño de la THA dando como

resultado, un constructo teórico que es pionero desde este enfoque para la Maestría en la

Universidad Nacional de Colombia sede Palmira. Cabe anotar que, en el escenario de la

práctica, surgieron elementos que condujeron a enriquecer la experiencia, los mismos que

el profesor, tomó para mejorar sus diseños y por consiguiente el escenario cognitivo.

Tal desarrollo permitió la organización de diferentes niveles de aprendizaje que se

enfocaban en desarrollar la actividad cognitiva de la visualización en estudiantes de grado

séptimo, de tal manera que les permitirá adquirir formas de realizar exploraciones

heurísticas sobre el registro figural e incursionar en el acompañamiento de descripciones

de sus procedimientos, y así, dejar en evidencia que es lo que los estudiantes lograban

ver y entendían cuando se enfrentaban a unas tareas.

Pensar en plantear cada nivel de aprendizaje condujo a considerar una serie de

contenidos matemáticos que son necesarios adquirir para responder a unas expectativas

de desempeño, lo cual significó un reto para el docente-investigador dado que, debía

contemplar no solamente variables de diseño, sino que en su plan de acción debía

anticiparse el posible ritmo de aprendizaje de sus estudiantes, lo que conduce a darle

prioridad a elementos que se deben profundizar desde los procesos alrededor del concepto

de áreas a trabajar aspectos como: la determinación del área, la comparación de áreas y

relacionar las magnitudes de área y perímetro.

Habría que añadir que, cada nivel de aprendizaje implícitamente se relacionaba a una

serie de procesos transversales que independientemente del grupo de tareas que se

trabajasen siempre girarían en torno al desarrollo de habilidades de comparación,

Conclusiones 207

clasificación, reconfiguración/configuración figural y coordinación entre registros

semióticos de representación.

Durante los aplicativos se pudo apreciar como los estudiantes no estaban apropiados

del lenguaje propio de la geometría, a veces referenciaban los objetos representados y la

clasificación de figuras geometrías mediante el uso deícticos, por lo que, el uso de la

designación y describir sus procedimientos visualizados resultaba ser una actividad

extraña o poco usual, permeada por la falsa concepción que “en matemáticas no se

escribe”, este aspecto como muchos otros fueron anticipados en la presentación a priori

de las tareas, así como las posibles dificultades que pudiesen presentarse.

En cuanto a los factores de visibilidad que eran necesarios en los primeros diseños

siempre fueron los fondos cuadriculados, los puntos sobre dimensionados e incluir

contrastes entre los contornos globales, una vez los estudiantes en la medida que eran

instruidos y progresaban en los grupos de tareas diseñadas, aprendieron hacer uso de los

trazos auxiliares e incluir puntos en las representaciones dispuestas para los aplicativos.

Lo que condujo a ver de una manera icónica las representaciones figurales y avanzar hacia

una mirada matemática.

Otro rasgo por destacar es que la determinación de áreas solo se realizaba por medio

de fórmulas por lo que resultaba un poco confuso para los estudiantes el trabajar con una

unidad de medida como la cuadrada qué, cómo se pudo apreciar, represento un obstáculo

más por el uso de un instrumento de medida que por la complejidad de la tarea.

Un hecho contundente que marco a los estudiantes se presentó cuando llegaron las

tareas de comparación de áreas de figuras bidimensionales mediante el conteo, que es

una entrada tradicionalista para después adentrarlos a la comparación por tratamientos

figurales, dado que en este punto habían avanzado hacia una aprehensión operatoria.

Luego al haber trabajado desde diferentes complejidades la determinación y

comparación de áreas y la familiarizaron los estudiantes con el tratamiento de ese registro

ellos comenzaron a tener un mayor despliegue en esa clase de procedimientos, dejando

un poco relegado al registro de lengua natural, lo cual se pudo apreciar descripciones de



sus producciones, pero igualmente surgieron progresos que antes no hacían parte de su

dominio.

En cuanto a las consignas estas tuvieron una presentación simple y clara, aunque las

algunas ocasiones se decidió cambiar la función que las asociaba con la representación

del registro figural, intentando en las últimas tareas otorgarle un sentido informativo para

que los estudiantes adquirieran la costumbre de recurrir a estas. Mientras que, en el caso

de las descripciones resultantes de los procedimientos visualizados estas debían

responder a algún aspecto concreto del trabajo del concepto de áreas, respecto a ello,

siempre se consideró para cada nivel de aprendizaje que el trabajo que desplegaran los

estudiantes fuera independiente de la intervención del profesor y estuviera más ligado a

un acompañamiento de las informaciones suministradas por las tareas.

Lo anterior representó una ganancia para los estudiantes porque en sus clases

magistrales siempre tenían la costumbre que el maestro debía leerles el enunciado de la

tarea y una vez terminado los respectivos procedimientos el mismo maestro, retomaba la

consigna y respondía a la pregunta respectiva. Mientras tanto, con el diseño de esta

trayectoria se concedía el protagonismo a los estudiantes y que ellos mismos mediante la

dirección del profesor eran los que respondían y concertaran en las socializaciones sus

soluciones. Aunque, debido a la limitante de tiempo que se contaba para la aplicación del

diseño, se debió concretarla en mes y medio por las disposiciones dadas en la institución

educativa.

Sin embargo, se considera que la conformación de los grupos de tareas fue acertada

para los ritmos de progreso que tenían los estudiantes, los resultados sintetizados en las

tablas de procesos presentados en el capítulo cinco lo ratifican, porque en la medida que

se dieron las sesiones de aplicación fueron alcanzado las metas de aprendizaje que se

establecieron en cada a nivel, donde las aprehensiones perceptuales debían superarse

para comenzar a incursionar en las aprehensiones de tipo operatorio e inicios de la

discursiva, además de tocar el nivel de la quinta entrada denominada por Duval (2005)

deconstrucción dimensional de las formas.

Conclusiones 209

6.3 Respecto a los procesos de visualización, tratamientos figurales y factores de visibilidad

Los estudiantes en los primeros diseños de tareas tuvieron una buena aceptación frente a

los factores de visibilidad que jugaban a su favor y que, en principio, cuando se

familiarizaron con los trazos suplementarios y el uso de índices (inclusión de flechas y

puntos) en las figuras, sirvieron como elementos que ayudaron a superar algunas

limitantes heurísticas en los tratamientos figurales sobre todo en las tareas de

comparación. Otro aspecto por destacar es que algunos de los estudiantes cuando se

enfrentaban a las tareas, lo único que veían era el contorno de la figura, luego cuando

comenzaron a tener más experiencia con la exploración figural donde se descomponían

las formas geométricas en unidades de menor dimensión, es decir, se pasaba a ver hacia

una mirada no icónica, se logró evidenciar cambios en las perspectivas en que concebían

a las figuras y su relación con otras configuraciones.

Por lo tanto, la evolución en la forma de ver de los estudiantes amplio su perspectiva,

lo que permitió que accedieran a explorar posibilidades que antes no veían y con ayuda

de la designación y el acompañamiento de un registro discursivo hizo que se accediera a

una experiencia que ellos no tenían, por ejemplo, descomponer y componer una figura

geométrica con una unidad arbitraria de área, comparar figuras geométricas de igual área,

pero de diferente forma.

Se pudo comprobar que parte del desarrollo de la visualización está se asociado a dos

tipos de experiencias: En primera estancia se encuentran las que empíricamente han

construido los estudiantes y en segunda estancia las que están asociadas a cómo los libros

de texto escolar tratan los contenidos del concepto de áreas, estos en ese sentido, no

promovían la exploración heurística, ni suscitaba a desarrollar la visualización en los

estudiantes porque las figuras representaban simples ilustraciones donde se limitaban a

estimar áreas con fórmulas.

También hay mencionar que la complejidad que radica del acompañamiento discursivo

oral o escrito de los tratamientos figurales que realiza un estudiante, debe ser un asunto

de enseñanza no solo para el tópico de áreas de figuras planas sino para las matemáticas

en general. Porque dentro de los resultados y las reflexiones de cierre de cada nivel de

aprendizaje queda en evidencia que no nos basta con saber designar a las figuras que los



estudiantes identifican, sino que además hay muchos aspectos dentro de los procesos

(tratamientos figurales) que los estudiantes no describen, lo que no se debe entender que

no estén realizando bien la actividad cognitiva de coordinar registros de presentación o las

conversiones.

Sino que, por el contrario, es una muestra fiel del hecho que, aún falta incursionar en la

enseñanza de elementos discursivos a parte de una función referencial de los objetos

matemáticos para que los estudiantes se apropien del lenguaje propio disciplinar el cual,

si es posible que puedan alcanzar, pero en un proceso que se piense a lo largo de su

formación de básica primaria, básica secundaria y media.

En relación con el trabajo con áreas de figuras planas se consideraron algunas

cuestiones de este objeto métrico como fue la comparación cualitativa, la asignación

numérica de esta medida bidimensional y se planteó la construcción de las deducciones

de las fórmulas de área, pero de una manera débil, es decir, un acercamiento a las

construcciones de la deducción de la fórmula del área del rombo. Los estudiantes lograron

responder a los diferentes frentes planteados recurriendo a diversos recursos visuales que

fueron analizados en las producciones representativas del capítulo cinco, además de surgir

hallazgos que permiten al investigador pensar en fortalecer dentro de su proceso de

mediación como profesor de aula en su práctica profesional.

Para finalizar cabe resaltar que del diseño y análisis a priori y a posteriori de las tareas

frente a la teoría que las sustentaba fue una labor compleja y que no fue fácil de sustentar

frente a la docente de aula y la tutora de este trabajo para convencerlas de la estructura

que tenía la trayectoria con sus diseños de tareas eran las oportunas para el contexto

institucional al que se verían aplicadas. La organización que tuvo el diseño debía partir de

elementos claves como la identificación y clasificación de las figuras geométricas, para

después comenzar a trabajar aspectos concernientes al trabajo con áreas desde la

determinación de su medida, pasando por procesos de comparación y construcción de las

áreas, hasta llegar a la configuración y deconstrucción dimensional de formas donde los

factores de visibilidad se conjugaran.

Conclusiones 211

Para que lo anterior fuese posible era necesario que los estudiantes fueran conscientes

de que los registros de representación figural podían ser manipulados y se podía decir algo

de ellos, pero para lograr ese cometido debían pasar por un proceso de aprendizaje que

los guiara de a poco a realizar tales exploraciones respetando ciertas reglas que en los

denominados Hallazgos del capítulo quinto debieron atenderse. pero después de haber

sido sometidas a aplicación las discusiones presentadas, los aportes recibidos y sobre todo

asumir los errores cometidos antes, durante y después de la implementación hacen pensar

que el balance fue positivo.

6.4 Recomendaciones

Una vez presentados los resultados del desarrollo de este trabajo de indagación, se

formulan algunas recomendaciones o sugerencias para los profesores de matemáticas, en

especial aquellos que estén interesados en profundizar en aspectos de la enseñanza y

aprendizaje de la geometría y que deseen implementar este tipo de propuestas teórico-

metodológicas en el aula, en el que se destaque el trabajo de la visualización mediante la

exploración del registro figural.

❖ Es importante que la formación del docente de aula este abierta a la posibilidad de

estar en constante renovación, pero también, cuando asuma el rol de investigador

tenga un posicionamiento teórico coherente con lo que quiere enseñar, dado que,

el aprendizaje de los estudiantes es un proceso que se construye de manera lenta

pero continuada y necesita de una guía, donde el educador debe necesariamente

tener un equilibrio entre su conocimiento disciplinar y didáctico.

❖ La apropiación de un marco teórico y, desde este una concepción de aprendizaje

no es tarea fácil, desde la experiencia personal unas cuentas sesiones y el tiempo

que se lleva en la maestría no es suficiente para garantizar que se denomina el

enfoque porque el tópico de áreas es una manera de incursionar en ellos, pero el

pensarse una propuesta desde otros objetos matemáticos trae consigo su

complejidad que se debe asumir.

❖ Por lo tanto, es importante que los profesores de matemáticas tomen posición

frente a cómo se deben aprender los objetos matemáticos y se posicionen dentro

un marco teórico fuerte que les permita respaldar sus decisiones en conjunto de los

orientadores ministeriales. En este caso se optó por escoger la perspectiva



semiótico-cognitiva desarrollada por Duval (1999, 2001, 2005, 2006), la cual, como

ya se evidenció, permite que los estudiantes lleguen a la comprensión de los

objetos matemáticos mediante la coordinación de diversos registros de

representación.

Lo anteriormente mencionado debe ser un asunto de enseñanza, pero como un

conjunto de saberes integrales y no visto como una serie de temáticas aisladas, además

de incluir el acompañamiento del uso discursivo para que los estudiantes comiencen a

describir, explicar, justificar, argumentar y demostrar sus procedimientos. Teniendo

presente que cada una de las anteriores formas de expansión discusiva contiene un valor

epistémico, unos de mayor complejidad que las otras pero que ayudaran a dejar ver el

grado de comprensión que tiene el estudiante.

❖ Se recomienda para el diseño de las trayectorias de aprendizaje, se realice un

estudio previo del contexto en el que se ha venido instruyendo a los estudiantes y

de las particularidades que presente el grupo de interés, dado que esta forma de

trabajo permite estructurar formas dinámicas de intervención para hacer de estos

procesos investigativos un proyecto inclusivo e integral.

❖ También se recomienda que para el diseño de propuestas donde se trabajen las

actividades cognitivas inherentes a la geometría, se centre la atención en la

enseñanza de relaciones que puedan surgir cuando se realicen transformaciones

como la conversión, debido a que no todos los registros de representación ofrecer

la misma información y esto es un elemento crucial que debe ser enseñado a los

estudiante antes, aunque es un asunto complejo de aprehensión pero que desde

la visualización, como se pudo apreciar a lo largo de este trabajo trae resultados

positivos y avances a corto, mediano y largo plazo.

Lo dicho hasta aquí sugiere la necesidad de comenzar a pensarse de manera crítica la

manera de formar el pensamiento geométrico y de medición, no solo en los estudiantes

sino también en los maestros, por lo que, en muchas instituciones educativas no logran

identificar factores que repercuten de manera poco positiva en la trasposición didáctica

pero, gracias a la implementación de este tipo de propuestas investigativas la educación

continua ayuda al docente de aula ampliar sus esquemas mentales y lo vincula a

incursionar en un proceso de alfabetización que le permite transformar su práctica para

hacerla más significativa. Aunque, esto no quiere decir que el problema del aprendizaje del

Conclusiones 213

contenido de áreas de figuras planas este resuelto, se logró una ganancia frente al

pensamiento matemático y geométrico más no es solución total de las problemáticas

identificas.

En adición a lo anterior, desde una postura personal, la Maestría en Enseñanza de las

Ciencias Exactas y Naturales permitió que surgiera el diseño y la estructura de esta

trayectoria de aprendizaje y que se ajustase al contexto que requería la institución

educativa. Aunque este producto teórico-práctico no está acabado, puede estar sujeto a

continuar su construcción, y en ese sentido, es una propuesta que puede seguir

evolucionando, visto desde la mirada semiótica cognitiva.

A partir de la confrontación teórica de los resultados surgieron interrogantes que podrían

considerarse importantes para el desarrollo de otras investigaciones, entre ellos que se

encuentran:

• ¿Cómo incide en la comprensión del estudiante la mediación que realiza un

docente frente a la enseñanza del trabajo con áreas de figuras planas?

• ¿Cómo el diseño desde un recurso digital puede potenciar los procesos de

visualización, razonamiento y construcción para el trabajo con áreas?

A. Anexo: Rejilla de análisis de las variables consideradas para le diseño de la THA

Categorías de Análisis

Clasificación de

Actividades

Tipo de Aprehensión

Función visual Tipo de Control visual Elementos generadores del control visual

Formas de Control

1er Nv.A. Perceptual Operatoria Discursiva Heurística

Inductiva Informativa Simple o disjunto

Refuerzo Ambiguo Procedimiento Contenido Visibilidad

I E V S Directo Replica Referencia General Contraste Índices Iconismo

Tareas

T1 x x x x x x x x x x

T2 x x x x x x x

T3 x x x x x x x x x x x


2do Nv.A.

Tareas

T1 x x x x x x x

T2 x x x x x x x


T4 x x x x x x x x x x

3er Nv.A.

Tareas



T3 x x x x x x x x x x x x

T4 x x x x x x x x x x x x x x


4to Nv.A.

Tareas

T1 x x x x x x x x x x x x x

T2 x x x x x x x x x x x x x



5to Nv.A.

T1 x x x x x x x



B. Anexo: Algunas evidencias fotográficas de las intervenciones realizadas en los grados séptimos de I.E. Manuel Antonio Sanclemente

Anexo B 219

Anexo B 221

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